lin rov reseni

ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH ROVNIC S JEDNOU
NEZNÁMOU
Lineární rovnice s jednou neznámou
Lineární rovnicí s jednou neznámou x ∈ M (kde M je daný číselný obor) nazýváme každý
zápis, který lze pomocí povolených úprav převést na tvar L(x) = P(x), kde L(x) a P(x) jsou
konstantní výrazy nebo výrazy s proměnnou x.
Proměnná x se v rovnicích nazývá neznámou.
Výraz L(x) se nazývá levá strana rovnice, výraz P(x) se nazývá pravá strana rovnice.
Řešení lineární rovnice s jednou neznámou
Řešit lineární rovnici s jednou neznámou x ∈ M znamená určit všechny takové její hodnoty
xk ∈ M, pro které platí L(xk) = P(xk). Tato čísla se nazývají kořeny (řešení) rovnice.
Množinu všech kořenů (řešení) rovnice značíme obvykle P (P⊂ M) nebo K.
Pro řešení lineárních rovnic s jednou neznámou používáme zpravidla ekvivalentní
úpravy.
Poznámka 1: neznámá v rovnici může být označena i jiným písmenem než x.
Poznámka 2: je nutno rozlišovat rovnost čísel, rovnost funkcí a rovnost výrazů.
Ekvivalentní úpravy rovnic
Ekvivalentní úpravy rovnic jsou hlavně:
1. Přičtení téhož výrazu (majícího smysl v celém oboru řešení) k oběma stranám rovnice
2. Násobení obou stran rovnice týmž (nenulovým) výrazem, který je definován v celém
oboru řešení
3. Vzájemná výměna obou stran rovnice
Postup při řešení lineární rovnice s jednou neznámou
Doporučený postup řešení lineárních rovnic s jednou neznámou:
1. Provedení naznačených početních úkonů
2. Odstranění zlomků
3. Převedení na jednotlivé strany rovnice členů bez neznámé a členů s neznámou
4. Osamostatnění neznámé
5. Zápis množiny P (po případném provedení zkoušky)
Poznámka 3: podle zadání rovnice se některé kroky vynechávají
Příklady
Příklad 1:
2(x – 1) = x + 3
Řešení:
2x – 2 = x + 3
(provedení naznačených početních úkonů)
x=5
(převedení na jednotlivé strany rovnice členů bez
neznámé a členů s neznámou)
P = {5}}
(zápis množiny P)
x −1 x + 3
=
2
3
Příklad 2:
Řešení:
3(x – 1) = 2(x + 3)
(odstranění zlomku násobením celé rovnice
společným jmenovatelem – tj. číslem 6)
3x – 3 = 2x + 6
(provedení naznačených početních úkonů)
x=9
(převedení na jednotlivé strany rovnice členů bez
neznámé a členů s neznámou)
P = { 9}
(zápis množiny P)
x −1 x + 3
−
=1
2
3
Příklad 3:
Řešení:
3(x – 1) - 2(x + 3) = 6 (odstranění zlomku násobením celé rovnice
společným jmenovatelem – tj. číslem 6)
Poznámka: pozor na znaménko – před zlomkem !
3x – 3 – (2x + 6) = 6
3x – 3 – 2x – 6 = 6
(provedení naznačených početních úkonů)
(provedení naznačených početních úkonů)
x = 15 (převedení na jednotlivé strany rovnice členů bez
neznámé a členů s neznámou)
P = {15}
Příklad 4:
(zápis množiny P)
(x − 2)2 − x + 3 = 3(x + 1) − x − 1 − (x − 4)2 + 2 x 2
2
3
Řešení:
x+3
x −1
= 3x + 3 –
– (x2 – 8x + 16) + 2x2
2
3
x+3
x −1
= 3x + 3 –
– x2 + 8x – 16 + 2x2
x2 – 4x + 4 –
2
3
x2 – 4x + 4 –
Poznámka: před odstraněním zlomků je vhodné převedení členů
Pokud nepřevedete členy, pak řešení pokračuje následovně:
x2 – 4x + 4 –
x+3
x −1
= 3x + 3 –
– x2 + 8x – 16 + 2x2
2
3
/.6
6x2 – 24x + 24 – 3(x + 3) = 18x + 18 – 2(x – 1) – 6x2 + 48x – 96 + 12x2
6x2 – 24x + 24 – 3x – 9 = 18x + 18 – 2x + 2 – 6x2 + 48x – 96 + 12x2
6x2 + 6x2 – 12x2 – 24x – 3x – 18x + 2x – 48x = 18 + 2 – 96 – 24 + 9
– 91x = – 91
x=1
P = { 1}
Pokud převedete členy, pak řešení pokračuje následovně:
x+3
x −1
= 3x + 3 –
– x2 + 8x – 16 + 2x2
2
3
x
+
3
x −1
x2 + x2 – 2x2 – 4x – 3x – 8x –
=3–
– 16 – 4
2
3
x2 – 4x + 4 –
x+3
x −1
= – 17 –
2
3
90x – 3(x + 3) = – 102 – 2(x – 1)
90x – 3x – 9 = – 102 – 2x + 2
90x – 3x + 2x = – 102 + 2 + 9
– 91x = – 91
x=1
– 15x –
–
–
–
P = { 1}
Poznámka: rozhodněte se, který postup vám více vyhovuje
/.6