Dvojrozměrná frekvenční a směrová filtrace

Dvojrozměrná frekvenční a směrová filtrace
pomocí diskrétní Fourierovy transformace
práce na 10. konferenci studentů v matematice
Vítězslav Vít VLČEK
červen 2002
Západočeská univerzita v Plzni – Fakulta aplikovaných věd
Dvojrozměrná frekvenční a směrová filtrace
pomocí diskrétní Fourierovy transformace
Vítězslav Vít VLČEK — červen 2002
V této práci pojednáme o dvojrozměrné
směrové a frekvenční filtraci pomocí diskrétní Fourierovy transformace. Uvedeme
definici diskrétní Fourierovy transformace a
její základní vlastnosti. Následně popíšeme
1
charakteristiky spektra, tvorbu filtrů jak
frekvenčních tak i směrových. Pro úplnost
uvedeme i některé druhy filtrů v prostorové
oblasti. V závěru provedeme porovnání filtrace v prostoru s filtrací ve spektru.
Fourierova transformace
Fourierova analýza patří mezi matematické techniky, které jsou založeny na dekompozici signálu do sinusoid. Diskrétní Fourierova transformace (DFT) se používá při
zpracování číslicových (diskrétních neboli digitálních) signálů.
Fourierova analýza se jmenuje po Jean Baptiste Joseph Fourierovi, který žil v období 1768–1830. Působil ve Francii jako matematik a fyzik. Fourier se zajímal o problémy šíření tepla, kde se poprvé objevuje rozklad spojitého periodického signálu do
sinusoid, které prezentoval v roce 1807 v Institut de France.
1.1
Diskrétní dvojrozměrná Fourierova transformace
Diskrétní Fourierova transformace se používá např. pro interpolaci a filtraci diskrétních signálů, atd.
Definice 1.1.1 Přímá diskrétní dvojrozměrná Fourierova transformace Fb funkce
y = y(n1 , n2 ), (n1 , n2 ) ∈ [0, N1 − 1] × [0, N2 − 1], je transformace Fb : y 7→ Y
definovaná předpisem:
1 −1 N
2 −1
X
−2iπ
1 NX
y(n1 , n2 ) e
Y (l1 , l2 ) =
N1 N2 n1 =0 n2 =0
n1 l1
n l
+ N2 2
N1
2
,
(1.1.1)
kde (l1 , l2 ), (n1 , n2 ) ∈ [0, N1 − 1] × [0, N2 − 1].
Zde Y (l1 , l2 ) je diskrétní (period.) spektrum a y(n1 , n2 ) diskrétní (period.) signál.
Věta 1.1.1 Pro inverzní diskrétní dvojrozměrnou Fourierovu transformaci Fb −1
k (1.1.1) platí:
y(n1 , n2 ) =
NX
1 −1 N
2 −1
X
Y (l1 , l2 ) e
2iπ
n1 l1
n l
+ N2 2
N1
2
,
(1.1.2)
l1 =0 l2 =0
kde (l1 , l2 ), (n1 , n2 ) ∈ [0, N1 − 1] × [0, N2 − 1].
1.1.1
Vlastnosti diskrétní Fourierovy transformace
Definice 1.1.2 Jestliže Fb {y(n1 , n2 )} = Y (l1 , l2 ) a F −1 {Y (l1 , l2 )} = y(n1 , n2 ), pak
označíme dvojci
y(n1 , n2 ) *
) Y (l1 , l2 ),
(n1 , n2 ), (l1 , l2 ) ∈ [0, N1 − 1] × [0, N2 − 1].
(1.1.1)
jako diskrétní Fourierův pár, kde funkce y(n1 , n2 ) představuje diskrétní signál a
funkce Y (l1 , l2 ) jeho diskrétní spektrum.
Nyní popíšeme několik základních vlastností diskrétní 2D Fourierovy transformace.
1. Linearita – ∃y1 (n1 , n2 ) *
) Y1 (l1 , l2 ), ∃y2 (n1 , n2 ) *
) Y2 (l1 , l2 ) : ∀c1 ∈ C, c2 ∈ C,
c1 y1 (n1 , n2 ) + c2 y2 (n1 , n2 ) *
) c1 Y1 (l1 , l2 ) + c2 Y2 (l1 , l2 ),
(1.1.2)
kde c1 a c2 jsou konstanty. Linearita je jedna z často používaných vlastností.
2. Reálný signál – ∀ (n1 , n2 ) ∈ [0, N1 − 1] × [0, N2 − 1] : y(n1 , n2 ) ∈ R a ∃y(n1 , n2 )
*
) Y (l1 , l2 ), pak platí,
y(n1 , n2 ) = y(n1 , n2 ) *
)
*
) Y (l1 , l2 ) = Y (N1 − l1 ) mod N1 , (N2 − l2 ) mod N2 .
(1.1.3)
Tato vlastnost způsobuje středovou symetrii amplitudového spektra (pouze při
reálném signálu).
Důkazy vlastností (1, 2) najdeme v [Bez88]. Diskrétní Fourierova transformace je
hojně využívána ve výpočetní technice. Pokud pro výpočet spektra a signálu použijeme vztahy (1.1.1, 1.1.2), pak má program podstatně vyšší časovou složitost, než
když se použijí algoritmy FFT (blíže o FFT v [FFTB]).
2
Spektra
Komplexní spektrum S(Ω1 , Ω2 ) je komplexní funkce dvou reálných (celočíselných)
proměnných Ω1 , Ω2 , (l1 , l2 ). Pro porovnání dvou
spekter S
1 (Ω1 , Ω2 ), S2 (Ω1 , Ω2 ), můžeme porovnávat zvláště jejich reálné části Re Si (Ω1 , Ω2 ) a zvláště imaginární části
Im Si (Ω1 , Ω2 ) . Nejčastěji však porovnáváme absolutní hodnoty spekter |Si (Ω1 , Ω2 )|
a argumenty (hlavní hodnoty) arg Si (Ω1 , Ω2 ), i = 1, 2.
2.1
Charakteristiky komplexního spektra
• amplitudové spektrum – A(Ω1 , Ω2 ) = |S(Ω1 , Ω2 )|,
• výkonové spektrum – P (Ω1 , Ω2 ) = A2 (Ω1 , Ω2 ) = |S(Ω1 , Ω2 )|2 ,
• fázové spektrum – F (Ω1 , Ω2 ) = arg S(Ω1 , Ω2 ),
kde F (Ω1 , Ω2 ) ∈ (−π, πi a funkce arg značí hlavní hodnotu argumentu,
• logaritmické spektrum – L(Ω1 , Ω2 ) = ln A(Ω1 , Ω2 ) = ln |S(Ω1 , Ω2 )|.
Poznámka 2.1.1 Logaritmické spektrum L(Ω1 , Ω2 ) má význam mj. pro názorné
zobrazení amplitudového spektra A(Ω1 , Ω2 ) v oblastech, kde jsou jeho hodnoty značně
menší než v oblasti jeho maxima.
Pro nulovou hodnotu amplitudového spektra A(Ω1 , Ω2 ) není logaritmické spektrum L(Ω1 , Ω2 ) definováno. V grafickém výstupu tento problém řešíme nahrazením
nedefinované hodnoty nějakým malým záporným číslem.
2.2
Příklady zobrazení spektra
Nyní si ukážeme možnosti zobrazení spektra, které bylo získáno pomocí DFT.
120
100
Obr. 2.2.1 y(n1 , n2 ) – zdrojový signál je definován jako:
80
60
40
y(n1 , n2 ) = 10
20
sin 8n1
sin 8n2
+100
,
8n1
8n2
0
kde nosič má velikost 75 × 75.
−20
40
40
20
20
0
0
−20
−20
−40
−40
Poznámka 2.2.1 Všechna spektra obsahují ve svém středu DC hodnotu (directcurrent value). Matematické vyjádření DC hodnoty je průměrná hodnota z dat signálu. Pro náš signál je DC hodnota Y (0, 0) =
1
752
74
P
74
P
n1 =0 n2 =0
y(n1 , n2 ) =9,
˙ 7181. Pokud
vynulujeme DC hodnotu ve spektru, pak tím způsobíme pouze „vycentrováníÿ signálu „na ose Zÿ.
7
x 10
10
10000
8
8000
6
6000
4
4000
2
2000
0
40
0
40
40
20
40
20
20
0
20
0
0
0
−20
−20
−20
−40
−20
−40
−40
Obr. 2.2.2 A(Ω1 , Ω2 ) – amplitudové spektrum signálu
−40
Obr. 2.2.3 P (Ω1 , Ω2 ) – výkonové spektrum
signálu
4
x 10
1
8000
6000
0.5
4000
2000
0
0
−2000
−0.5
−4000
−6000
−1
40
−8000
40
40
20
20
0
40
20
20
0
0
−20
−20
−40
−40
Obr. 2.2.4 Re S(Ω1 , Ω2 ) – reálná část
spektra signálu
0
−20
−20
−40
−40
Obr. 2.2.5 Im S(Ω1 , Ω2 ) – imaginární část
spektra signálu
10
5
4
0
2
−5
0
−10
−2
−15
−4
−20
40
−25
30
−30
20
40
10
−35
40
20
0
−10
−40
0
−20
−20
−40
−40
Obr. 2.2.6 F (Ω1 , Ω2 ) – fázové spektrum signálu
20
0
−20
−30
40
20
0
−20
−40
Obr. 2.2.7 L(Ω1 , Ω2 ) – logaritmické spektrum signálu
Poznámka 2.2.2 Jestliže porovnáme amplitudové spektrum (obr. 2.2.2) s logaritmickým (obr. 2.2.7), pak uvidíme, že malé hodnoty amplitudového spektra jsou v logaritmickém spektru zdůrazněny, což je účel logaritmického spektra.
3
Dvojrozměrná filtrace dat
Zaměříme se pouze na filtraci signálů z reálného oboru hodnot. Chceme-li provádět
filtraci, pak máme dvě možnosti. Buď budeme filtrovat přímo v prostorové oblasti,
nebo ve frekvenční. Pro filtrování v prostorové oblasti není třeba žádné transformace
signálu. Tento způsob je hojně využíván ve většině komerčních programů pro úpravu
R
R
fotografií (např. AdobePhotoshop
).
Velkou výhodou filtrace ve frekvenční oblasti je veliká názornost a snadná interpretovatelnost filtru. Tedy pro filtraci ve spektru je třeba použít DFT a IDFT.
3.1
Filtrace ve spektru
Máme-li dvojrozměrná data, pak máme dvě možnosti filtrace. Ta první vychází z jednorozměrného případu, tj. frekvenční filtrace, a ta druhá je směrová filtrace. V jednorozměrném případě nemá smysl směrovou filtraci zavádět.
Filtr je reprezentován jako matice a filtrace je „součinÿ dvou matic filtru a spektra
„prvek po prvkuÿ. Výsledný signál je získán pomocí IDFT. V dalších kapitolách
popíšeme vytváření frekvenčního a směrového filtru.
3.1.1
Frekvenční filtrace ve spektru
Filtr je reprezentován jako matice, která má stejný typ, jako matice spektra. Máme
tři možnosti frekvenční filtrace:
• filtr s dolní propustí (low-pass filtr),
• filtr s horní propustí (high-pass filtr),
• pásmová propust (bandpass filtr).
Všechny tyto druhy filtrů jsou reprezentovány symetrickou maticí, protože filtr působí všesměrově. Chceme-li v signálu zachovat nízké frekvence, použijeme filtr s dolní
propustí. Pro zachování vysokých frekvencí použijeme filtr s horní propustí. Třetí typ
je pásmová propust (zádrž), spojuje vlastnosti obou filtrů dohromady.
– Aplikace filtru s horní propustí je protějšek k filtru s dolní propustí, všechny
frekvence nižší než je cut-off poloměr jsou tedy odstraněny.
– Jestliže máme vycentrované spektrum, pak nalezneme odpovídající frekvenci f
jako kružnici, která má střed v DC hodnotě.
– Máme-li signál, který obsahuje určité množství šumu, pak tento šum můžeme
odstranit pomocí filtru s dolní propustí. Šum se projevuje jako vysoké frekvence. Po
provedení IDFT tak získáme signál, který je „bez šumuÿ.
– Užití filtru s horní propustí způsobuje eliminaci DC hodnoty, která má vliv na
posuv signálu.
Hladké frekvenční filtry (ohlazení frekvenčního filtru) jsou velmi důležité pro
kvalitní filtraci. Filtr, který není ohlazený, má velmi strmé čelo (skoková změna –
obr. 3.1.1), které zanáší do signálu chyby. Proto se snažíme tento problém odstranit.
Máme zase několik možností jak tento problém vyřešit. Pokud nahradíme skokovou změnu lineární funkcí, pak získáme ohlazení, ale v napojujících bodech máme
nespojité derivace charakteristiky filtru (obr. 3.1.2), což není vhodné. Jako nejlepší
se ukazuje využít funkce y = cos x, která zajistí spojitost derivace i v těchto bodech
(obr. 3.1.3).
Jestliže máme filtr připraven, pak ho můžeme aplikovat na spektrum a to tak, že
násobíme vždy prvek z matice spektra odpovídajícím prvkem z matice filtru.
3.1.2
Směrová filtrace ve spektru
Směrová filtrace ve spektru je další možností jak modifikovat spektrum. Směrový filtr
je reprezentován jako matice, která má stejný typ, jako matice spektra. Toto je stejné
jako u frekvenčního filtru. Frekvenční filtr je středově symetrický, na směru nezávislý
a proto má symetrickou matici. Tato vlastnost plyne ze vztahu (1.1.3). Je nutné
zachovat podmínku, že signál po filtraci musí být reálný! Tedy matice směrového
filtru již nemusí být nutně symetrická.
Aplikace směrového filtru způsobí, že hodnoty signálu v určitém směru budou
zachovány, kdežto hodnoty signálu v ostatních směrech budou potlačeny. Zde zavádíme pojem hladkého filtru. Filtr, který není ohlazený, má velmi strmé čelo
(skoková změna), které zanáší do signálu chyby. Proto se snažíme tento problém
odstranit (obr. 3.1.1).
Následující obrázky ukazují různé druhy ohlazení filtrů.
0
cut-off
frequency
frequency
0
cut-off
frequency
frequency
0
cut-off
frequency
frequency
Obr. 3.1.1 Standardní
filtr Obr. 3.1.2 Lineárním ohla- Obr. 3.1.3 Nejlepší volba pro
bez ohlazení.
zení
(nespojité
ohlazení, zde je
derivace označeny
využita
funkce
v kroužcích).
cos x.
Na dalších obrázcích jsou demonstrovány některé druhy frekvenčních filtrů (obr.
3.1.4, 3.1.5, 3.1.6, 3.1.7). Všechny tyto filtry jsou všesměrové. Obrázek 3.1.8 předsta-
vuje neohlazený směrový filtr, poslední filtr (obr. 3.1.9) je kombinace frekvenčního a
směrového filtru.
Pásmový filtr je tedy vizuálně reprezentován jako mezikruží, zatímco směrový
filtr je reprezentován jako výseč.
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
40
0
40
40
20
40
20
20
0
20
0
0
−20
0
−20
−20
−40
−20
−40
−40
Obr. 3.1.4 Low-pass filtr nízké frekvence ponechává, kdežto vysoké frekvence
odstraňuje.
Obr. 3.1.5 High-pass filtr vysoké frekvence
ponechává, kdežto nízké frekvence jsou odstraněny.
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
40
−40
0
40
40
20
40
20
20
0
20
0
0
−20
0
−20
−20
−40
−20
−40
−40
Obr. 3.1.6 Pásmový filtr – frekvence, které
jsou uvnitř pásma, budou ponechány, ostatní jsou odstraněny.
Obr. 3.1.7 Tento obrázek popisuje ohlazený
pásmový filtr. Ohlazení je tvořeno
pomocí funkce cos.
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
40
−40
0
40
40
20
20
0
40
20
20
0
0
−20
−20
−40
−40
Obr. 3.1.8 Směrový filtr zdůrazní hodnoty
signálu směřující od východu na
západ, hodnoty směřující ze severu na jih jsou potlačeny.
0
−20
−20
−40
−40
Obr. 3.1.9 Tento filtr je kombinací všech
předchozích možností (ohlazený
frekvenční a směrový filtr).
3.2
Filtrace v prostorové oblasti
Filtrace v prostorové oblasti je další možnost úpravy signálu. Tato filtrace nepoužívá
nějaké transformační vztahy, ale realizuje se pomocí diskrétní konvoluce.
Definice 3.2.1 Diskrétní konvoluce pro prostorovou filtraci
x(n1 , n2 ) =
M1
X
M2
X
h(m1 , m2 ) x1 (n1 − m1 , n2 − m2 ),
(3.2.1)
m1 =−M1 m2 =−M2
kde (n1 , n2 ), (m1 , m2 ) ∈ Z, x1 je vstupní signál, x je výstupní signál a h impulzní
odezva, pro kterou platí
pro (n1 , n2 ) 6∈ [−M1 , M1 ] × [−M2 , M2 ].
h(n1 , n2 ) = 0
(3.2.2)
Zde matice h představuje filtr a filtrace je realizována vztahem (3.2.1). Typ matice
h je podstatně menší než typ matice filtru ve spektru. [Bez88]
Definice 3.2.2 Směrový filtr hs v prostorové oblasti





1
1
1
−1 0 1





0
0 
hs = α cos ϕ  −1 0 1  + sin ϕ  0
,
−1 −1 −1
−1 0 1
kde ϕ je směr, který chceme potlačit, α je nastavení kontrastu. [IP87]
Definice 3.2.3 Filtr pro zvýraznění změn hz . [Bez88]


−1 −1 −1
1
hz =  −1 12 −1 

3
−1 −1 −1
Definice (3.2.2 a 3.2.3) představují matici h ve vztahu (3.2.1).
3.3
Příklady filtrace
Pro srovnání filtrace ve spektru s filtrací v prostorové oblasti, která je zde zastoupena
R
R jsem si vybral následující příklad.
programem AdobePhotoshop
,
Signál (obr. 3.3.2) je tvořen z ortogonálních úseček. Cílem filtrace bude odstranit
úsečky jdoucí vodorovně nebo svisle, jedná se tedy o směrovou filtraci. Budeme-li
dělat filtraci ve spektru (obr. 3.3.3), potom použijeme pro odstranění svislých úseček
filtr z obrázku 3.1.8, který ještě musíme ohladit1 . Po provedení IDFT získáme nový
signál (obr. 3.3.4, 3.3.5). Z obrázku je patrné, že nový signál ještě obsahuje částečně
viditelné vodorovné (svislé) úsečky, ale ty mají podstatně menší jasnost.
R
R pak provádíme filtraci v prostorové obPoužijeme-li program AdobePhotoshop
,
lasti. Filtr je zde reprezentován maticí, která má podstatně menší typ než matice
R
R je tento model implementován náslespektra. V programu AdobePhotoshop
dovně.
Pro směrovou filtraci zadáváme do dialogu již výslednou matici hs (definice 3.2.2).
Pole měřítko odpovídá konstantě α a pole posun slouží pro úpravu jasu. Nevyplněná
pole jsou standardně nastavena na nulu. Z obrázku 3.3.1 je vidět, že filtrační matice
je maximálně pátého řádu. Výsledkem prostorové filtrace jsou obrázky 3.3.6, 3.3.7.
1
Pro odstranění vodorovných úseček provedeme pouze otočení filtru o
π
2 rad.
Obr. 3.3.1 Dialog pro nastavení směrového filtru
R
R .
v programu AdobePhotoshop
R
R s filtrací ve
Porovnáme-li filtraci v prostorové oblasti pomocí AdobePhotoshop
R
R generuje výstupy bez dalších
spektru, pak zjistíme, že program AdobePhotoshop
ortogonálních úseček, ale vedlejší efekt je ztenčení zachovávaných úseček. V obou
případech došlo k odstranění průsečíků svislých a vodorovných úseček.
Z tohoto příkladu je vidět, že neexistuje ideální filtrační metoda. Bohužel program
R
R nemá integrovanou filtraci ve spektru. Chceme-li tuto metodu
AdobePhotoshop
R
používat, pak musíme použít jiný prostředek (např. Matlab).
10
5
0
−5
30
20
30
10
20
0
10
0
−10
−10
−20
−20
−30
−30
Obr. 3.3.2 Zdrojový signál představují ortogonální úsečky.
Obr. 3.3.3 Logaritmické spektrum signálu
(obr. 3.3.2)
Obr. 3.3.4 Signál po provedení filtrace ve
spektru. Filtr potlačil vodorovné
úsečky.
Obr. 3.3.5 Signál po provedení filtrace ve
spektru. Filtr potlačil svislé
úsečky.
Obr. 3.3.6 Filtrace v prostorové oblasti, filtr
potlačil vodorovné úsečky.
Obr. 3.3.7 Filtrace v prostorové oblasti, filtr
potlačil svislé úsečky.
Následující příklad demonstruje využití frekvenční filtrace ve spektru. Jako zdrojový
signál použijeme obrázek 3.3.8. Cílem filtrace bude odstranění šumu z tohoto signálu.
4
x 10
10
500
5
0
−500
0
30
30
20
20
30
10
30
10
20
20
0
0
10
10
0
−10
0
−10
−10
−10
−20
−20
−20
−20
−30
−30
−30
Obr. 3.3.8 Zdrojový signál včetně šumu.
−30
Obr. 3.3.9 Spektrum zdrojového signálu.
Z předchozí kapitoly víme, že šum se projevuje jako vysoké frekvence. Ve spektru
(obr. 3.3.9) vidíme dvě „soustředné kružniceÿ. Ta vnitřní představuje námi hledaný
signál a ta vnější šum. Pro odstranění šumu je vhodný filtr s dolní propustí, který ponechává nízké frekvence. Obrázky 3.3.10, 3.3.11 představují „čistýÿ signál bez šumu
a jeho spektrum.
100
15000
10000
0
5000
−100
0
30
30
20
20
30
10
30
10
20
0
10
0
−10
20
0
10
0
−10
−10
−20
−10
−20
−20
−30
−30
Obr. 3.3.10 Signál po odstranění šumu.
−20
−30
−30
Obr. 3.3.11 Spektrum signálu (obr. 3.3.10).
Užitím filtru s horní propustí získáme pouze šum (obr. 3.3.12, 3.3.13).
4
x 10
6
500
4
0
2
−500
0
30
30
20
20
30
10
30
10
20
20
0
10
0
−10
0
10
0
−10
−10
−10
−20
−20
−20
−20
−30
−30
Obr. 3.3.12 Signál, ve kterém zbyl jen šum.
−30
−30
Obr. 3.3.13 Spektrum šumu.
V reálném případě není šum a signál tak jednoznačně oddělen. Často dochází k působení šumu jen v určitém směru, pak musíme použít i směrový filtr.
R
R 5.0 implemenFrekvenční filtrace ve spektru není v programu AdobePhotoshop
tována. Chceme-li tento druh filtrace použít, pak musíme hledat jiný prostředek
R
(např. Matlab).
4
Závěr
V této práci jsem se pokusil shrnout některé poznatky o dvojrozměrné diskrétní
Fourierově transformaci a o jejím využití při směrové a frekvenční filtraci ve spektru. Z provedených numerických experimentů dospívám k závěru, že DFT je mocný
nástroj, který lze úspěšně uplatnit v řadě odvětví matematiky (interpolace, filtrace,
atd.). Filtrace pomocí DFT je velmi užitečná při odstraňování šumu, protože spektrum i filtr lze snadno interpretovat.
R
R (který se velmi
Provedl jsem základní porovnání programu AdobePhotoshop
R
často používá pro úpravu fotografií) s dalším velmi používaným programem Matlab.
Pokud chceme používat diskrétní Fourierovu transformaci, pak musíme sáhnout po
R
R neobsahuje.
Matlabu nebo po jiném prostředku, protože tu AdobePhotoshop
R má v sobě vytvoPro filtraci v prostorové oblasti je naprosto dostačující. Matlab
řen balík pro práci s DFT, který je realizován pomocí algoritmů FFT.
R
R mi pro testování zapůjčilo Plzeňské planetárium.
Program AdobePhotoshop
R jsem testoval na FAV ZČU.
Program Matlab
Vítězslav Vít VLČEK
Reference
[Bez88]
Bezvoda, V. – Ježek, J. – Saic, S. – Segeth, K.: Dvojrozměrná diskrétní Fourierova transformace a její použití I. Teorie a obecné užití. Praha, SPN 1988.
[FFTB]
Chu, E. – George, A.: INSIDE the FFT BLACK BOX, Serial and Parallel Fast
Fourier Transform Algorithms. CRC Press LLC 2000.
[IP87]
Kowalik, W. S. – Glenn, W. E.: Image processing of aeromagnetic data and
integration with Landsat. Geophysics, vol. 52, no. 7 (July 1987)