modelování tvářecích procesů - FMMI

Transkript

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství
MODELOVÁNÍ TVÁŘECÍCH
PROCESŮ
(studijní opory)
Doc. Ing. Richard Fabík, Ph.D.
Ostrava 2013
Recenzent: doc. Ing. Radim Kocich, Ph.D.
Název:
MODELOVÁNÍ TVÁŘECÍCH PROCESŮ
Autor:
doc. Ing. Richard Fabík, Ph.D.
Vydání:
první, 2013
Počet stran: 76
Studijní materiály pro studijní obor Moderní metalurgické technologie (studijní program
Metalurgické inženýrství) navazujícího magisterského studia Fakulty metalurgie a
materiálového inženýrství.
Jazyková korektura: nebyla provedena.
Určeno pro projekt:
Operační program Vzděláváním pro konkurenceschopnost
Název: ModIn - Modulární inovace bakalářských a navazujících magisterských programů na
Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství VŠB - TU Ostrava
Číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0304
Realizace: VŠB – Technická univerzita Ostrava
Projekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR
© Richard Fabík
© VŠB – Technická univerzita Ostrava
Předmluva
Studijní opora k předmětu Modelování tvářecích procesů je určena především studentům
kombinované formy studia. V kombinované formě studia je mnohem menší podíl přímé
kontaktní výuky, což činí toto studium pro studenty mnohem obtížnějším. Tato studijní opora
je pomocníkem, který má tento handicap alespoň jistým způsobem eliminovat. Nejedná se
tedy o nová skripta, těch existuje dost. Studijní opora je určitou náhradou, je-li to možné, za
chybějící přímou výuku a mezičlánkem k následnému studiu vlastní odborné literatury, ať již
to budou skripta nebo jiné publikace.
Při psaní studijní opory jsem se snažil o co největší srozumitelnost textu. Té není možné
dosáhnout, alespoň podle mého názoru, bez určitých zjednodušení, omezení a někdy i
nepřesností. Pokud by někomu připadalo, že zjednodušení je příliš mnoho, předem se
omlouvám. Ale mé pedagogické zkušenosti z výuky tohoto předmětu mne přivedly k
výsledku, kterým je právě tento text.
I přes pečlivou kontrolu textu je téměř jisté, že jsem se v něm nevyhnul chybám, překlepům
apod., možná i chybám věcným. Budu vám vděčný, když mě na ně upozorníte, abych je mohl
opravit. Buď přímo, nebo mailem na adresu: [email protected].
Přejeme vám všem, kdo budete studijní oporu využívat, hodně sil ke studiu!
Autor
1
MODELOVÁNÍ TVÁŘECÍCH PROCESŮ
Pro předmět Modelování tvářecích procesů 3. semestru navazujícího magisterského studia
studijního oboru Moderní metalurgické technologie jste obdrželi studijní balík obsahující
integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu.
Prerekvizity
Pro studium tohoto předmětu se předpokládá absolvování předmětu Teorie tváření, Válcování
a Kování.
Cíle předmětu a výstupy z učení
Předat studentům znalosti z oblasti matematického modelování tvářecích procesů. Objasnit
základní matematické pozadí metody konečných prvků. Na příkladech z praxe vysvětli
inženýrsko problémový přístup k matematickému modelování.
Po prostudování předmětu by měl student být schopen:
výstupy znalostí:
 student bude schopen vysvětlit podstatu metody konečných prvků
 student bude umět definovat a stanovit okrajové a počáteční podmínky při
matematickém modelování tvářecích procesů
 student bude schopen diskutovat o možnostech a úskalích použití metody konečných
prvků při modelování vybraných tvářecích procesů
výstupy dovedností:
 student bude umět vytvořit simulaci v programu Forge 3D
 student bude umět pracovat s výsledky simulací v programu Forge 3D
Pro koho je předmět určen
Předmět je zařazen do magisterského studia oboru Moderní metalurgické technologie
studijního programu Metalurgické inženýrství, ale může jej studovat i zájemce z kteréhokoliv
jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity.
Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky,
ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto
jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná
struktura.
1
PRŮVODCE STUDIEM
Studijní opora je rozdělena do osmi velkých celků – kapitol. Většina z nich se dělí na menší
celky – podkapitoly. Každá kapitola je uvedena cíly vyjádřené pomocí dovedností
(kompetencí), které by jste studiem měli získat.
Cíl:
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 Zde jsou uvedeny cíle, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly –
konkrétní dovednosti, znalosti
Za cíly následuje podrobný obsah kapitoly, který slouží pro rychlejší orientaci při studiu.
Obsah kapitoly
U každé podkapitoly je uveden orientační čas ke studiu. Čas vám může sloužit jako hrubé
vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Někomu se čas může zdát příliš
dlouhý, někomu naopak. Jsou studenti, kteří se s touto problematikou ještě nikdy nesetkali a
naopak takoví, kteří již v tomto oboru mají bohaté zkušenost
Čas ke studiu: x hodin
Jak byste mohli se studijní oporou pracovat?
Základním učebním celkem jsou podkapitoly číslované např. 2.1, 2.2, 3.1 atd.
 Na začátku kapitoly jsou uvedeny nové důležité pojmy, buď s definicí, nebo je definice
uvedena později v textu podkapitoly. Na důležité pojmy v textu, jakož i na důležité
vzorce budete upozorněni grafikou
Pojmy (vzorce) k zapamatování
Klíčové pojmy a vzorce, jejichž znalost je podmínkou absolvování předmětu
 Zkuste si podkapitolu celou přečíst.
Výklad
 Pokud jsou k ní multimédia – animace, videa – podívejte se na ně.
CD-ROM
Informace o doplňujících animacích, videosekvencích apod., které si můžete vyvolat
z CD-ROMu připojeného k tomuto materiálu
1
 Většinu obrázků, zejména schémata a diagramy, si zkuste sami od ruky nakreslit.
 Jsou-li v podkapitole řešené příklady, vyřešte je tak, že je přepíšete a výpočty provedete
sami.
Řešený příklad
Zadání a řešení praktického příkladu jako součást výukového textu.
 V textu se mohou vyskytovat i následující prvky:
Opakování z minulých ročníků
V této opoře navazujeme na látku probíranou v předmětech Základy progresívních
konstrukčních materiálů a Nauka o materiálu I. Pro snazší pochopení probírané
látky bude vhodné, když si některé pojmy a fakta připomenete.
Odměna a odpočinek
Ve chvílích nejvyššího vypětí přichází zasloužená odměna a odpočinek
Korespondenční úkol
Zadání domácí úlohy, testu apod. k odevzdání tutorovi a hodnocené v rámci kurzu.
Zajímavost
Zajímavost, vztahující se k probírané látce.
 Pak se podívejte na shrnutí podkapitoly a zkuste si zodpovědět, zda vám toto shrnutí něco
říká.
Σ
Shrnutí
Na závěr podkapitoly jsou zopakovány hlavní pojmy a myšlenky, které si v ní máte
osvojit. Pokud něčemu z toho ještě nerozumíte, vraťte se k tomu ještě jednou.
 Orientačně se můžete podívat na otázky a úkoly k řešení a pokuste se formulovat
odpovědi alespoň na některé z nich.
2
Otázky
Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik
teoretických otázek.
Úlohy k řešení
Protože většina teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a
využití v technologické praxi, jsou Vám nakonec předkládány i praktické úlohy
k řešení. V nich je hlavní význam předmětu a schopnost aplikovat čerstvě nabyté
znalosti při řešení reálných situací hlavním cílem předmětu.
Pokud vám to všechno napoprvé půjde, bude to vynikající, ale spíše to nepředpokládám.
Tak se pusťte do četby znovu, dělejte si poznámky u toho, co považujete za podstatné. Znovu
se podívejte na animace a videa a řekněte si, zda jim rozumíte. Znovu vyřešte řešené příklady,
ale nejlépe tak, že se podíváte jen na zadání a příklad zkusíte vyřešit sami. Jen pokud vám to
nepůjde, podívejte se na postup do studijní opory. Znovu si přečtěte shrnutí pojmů a zkuste je
popsat vlastními slovy. Pak se můžete pustit do odpovědí na otázky. Otázky jsou formulovány
jednoduše, tak abyste odpověď našli v textu. Odpovídejte stručně písemně!!! Odpovědi na
otázky jsou v Klíči, který je vždy na konci velkých kapitol. Odpovědi v Klíči srovnejte se
svými odpověďmi. Odpovědi v Klíči a vaše odpovědi se nemusí přesně shodovat, ale měly by
mít stejný význam.
Klíč k řešení
Výsledky zadaných příkladů i teoretických otázek jsou uvedeny v závěru každé
hlavní kapitoly. Používejte je až po vlastním vyřešení úloh, jen tak si
samokontrolou ověříte, že jste obsah kapitoly skutečně úplně zvládli.
Pak můžete přistoupit k Úlohám k řešení.
Pokud vás daná problematika zaujala a chcete do ní proniknout hlouběji, využijte odkazy uvedené
na konci kapitoly.
Další zdroje
Seznam další literatury, www odkazů ap. pro zájemce o dobrovolné rozšíření
znalostí popisované problematiky.
Budete-li mít během studia problémy, s nimiž si nebudete vědět rady, bez obav se na mne
obraťte mailem ([email protected]) nebo na telefon (59 732 4456), nebo přímo na
pedagogy, jejichž jména se dozvíte na úvodní přednášce.
3
Principy matematické modelování
OBSAH
1.
PRINCIPY MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ
2.
METODA KONEČNÝCH PRVKŮ
36
3.
OPERACE TVÁŘENÍ KOVŮ JAKO SYSTÉM
83
4.
TERMOMECHANICKÁ ANALÝZA VE TVÁŘENÍ
105
5.
MATEMATICKÉ MODELY
131
6.
KLÍČ K OTÁZKÁM A ÚLOHÁM K ŘEŠENÍ
171
1
1
1. PRINCIPY MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ
Cíl:






Objasnit pojmy základní pojmy z oblasti matematického modelování
Navrhnout vstupy a výstupy při řízení tvářecího procesů
Porovnat možnosti fyzikálního a matematického modelování
Vysvětlit základní postup při matematickém modelování
Stanovit neznámé veličiny a okrajové podmínky pro nejjednodušší úlohy
Odvodit model pro 1D úlohu pružnosti
Obsah kapitoly 1
2.1.
Matematické modelování v průmyslovém výzkumu a vývoji
Čas ke studiu: 0,5 hodiny
Pojmy k zapamatování
CAD, CAE, CAM, model, omezující podmínky, optimalizace.
Výklad
Na konci 70 a na začátku 80 let minulého století se výrazně zvýšilo využití CA (computer
aided, počítačem podporovaných) technik (CAD – design, návrh, CAE – engineering,
projektování, CAM – manufacturing, výroby, atd.) v průmyslu tváření kovů. Bylo jen otázkou
času, rozšíření těchto technologií na oblast simulace a řízení procesů.
Hlavním cílem průmyslového výzkumu a vývoje je optimalizace výrobních prostředků
při výrobě daného produktu. Optimalizační kritéria mohou být různá, záleží na požadavcích,
které jsou na výsledný produkt kladeny. Obecně platí, že stanovení vhodných optimalizačních
kritérií musí předcházet maximální porozumění výrobnímu procesu. V technologii tváření
-1-
je rozhodující znalost deformačních mechanismů probíhajících v daném procesu tváření. Bez
znalosti vlivu proměnných jako jsou tření, materiálové vlastnosti, geometrie nástrojů na
mechaniku procesu, je nemožné optimálně navrhnout tvar nástrojů a konfiguraci strojů,
případně předvídat vznik defektů a vývoj mikrostruktury. Z provozních (poloprovozních)
experimentů či z fyzikálního modelování (laboratorní válcování, plastometry) prakticky nikdy
nedokážeme stanovit přesné časové průběhy termomechanických veličin, jejich distribuci
např. po průřezu výrobku pak nejsme schopni stanovit téměř v žádném případě. Proto má
procesní modelování pomocí počítačové simulace rostoucí význam v současné technologii
tváření kovů. Blokový diagram návrhu a řízení procesu (viz. Obr. 1.1) přehledně zobrazuje
vstupní parametry a omezující podmínky, které vstupují do analýzy a optimalizace procesu
[01]. Jejich podrobný popis bude uveden v následujících kapitolách.
Obr. 1.1.
Σ
Blokový diagram – návrh a řízení procesu tváření kovů [01]
Shrnutí
Jen důkladná znalost všech proměnných do procesu vstupujících a jejich vlivu na
proces tváření nám umožní provádět jeho optimalizaci. S rozvojem výpočetní
techniky nám v tom hodně pomáhají specializované programy.
-2-
2.2.
Základní principy matematického modelování
Čas ke studiu: 1 hodina
CAD, CAE, CAM, model, omezující podmínky, optimalizace.
Výklad

Úvod
Existují dva základní způsoby modelování: modelování experimentální, které však není
možno uskutečnit vždy a modelování teoretické, které zpravidla vyžaduje jisté zjednodušující
předpoklady. Teoretické modelování lze provádět dvěma způsoby: analyticky (řešení je
přesné, ale je dosažitelné jen pro nejjednodušší úlohy) nebo numericky (přibližně) s využitím
výpočetní techniky (tento způsob je označován jako matematické modelování).
Základní postup při matematickém modelování ukazuje následující schéma na obr. 2.1.
V každém z naznačených kroků se můžeme dopustit chyby!
Obr. 1.2. Základní postup při matematickém modelování

Vazby mezi veličinami obecného matematického modelu
Matematický model obvykle reprezentují diferenciální rovnice. Jde v něm o definování
důležitých veličin a jejich vzájemných vztahů. Obecně lze vzájemné vazby mezi veličinami
popsat jako na obr. 1.3.
Obr. 1.3. Vazby mezi veličinami obecného matematického modelu
kde
u (unknown) je neznámá (teplota; posunutí),
 = du/dx (teplotní spád, deformace),
-3-
f() (tepelný tok, Furierův zákon, napětí, Hookův zákon pro pružné deformace,
nebo např. Hollomonova pro plastické deformace),
f symbolizuje vnitřní zdroje (vnitřní zdroj tepla, gravitační síla) a d/ dt = f.
V obecném případě tedy hledáme řešení Poissonovy rovnice:
Vzorec k zapamatování
,
 u  f v 
s homogenní Dirichletovou okrajovou podmínkou
u  0 na

(1.1)
,
(1.2)
kde  je polyedrická oblast v R d u  1 s hranicí  ,
u 
 u
 u
 ...  2 a f  L2  je
2
x1
xd
2
2
zadaná funkce.
Analytické řešení této úlohy není obecně známo, a tak nám nezbývá, než ji řešit pouze
přibližně např. pomocí metody konečných prvků.
Uveďme si nyní dva příklady:
Příklad 1
Úloha vedení tepla v jednorozměrném prostoru (1D)
Máme kruhovou tyč délky l a průřezu a. Povrch tyče s výjimkou podstav válce je
izolován a nevede žádné teplo (q = 0).
Hlavní veličiny:
•
•
•
teplota T (konstantní v řezech)
hustota tepleného toku q, množství tepla na jednotku obsahu průřezu za jednotku
času.
teplotní spád 1,2 = (T1 – T2)/(x1-x2)
bude-li (x1→x2) pak  x  lim
l 0
T ( x  l )  T ( x)
 T ( x)
l
-4-
Příklad 1 - pokračování
Furierův zákon vedení tepla (hustota tepelného toku je úměrná gradientu teploty):

T
q
x
kde l je součinitel tepelné vodivosti [W.m-1.K-1],
q je hustota tepelného toku [W.m-2].
Vznik vnitřního tepla (teplo vzniklé např. deformací, fázovou transformací, průchodem
proudu a pod.)
x2
x2
x1
x1
Q( x1 , x2 )   a  f ( x)dx   a  R  I 2 dx
Kde:
a je průřez tyče (m2)
R je elektrický odpor [W]
I je elektrický proud [A]
Okrajové podmínky
v našem případě můžeme mít buď konstantní teplotu nebo tok tepla.
T (0)  Tˆ
T (0)  Tˆ
nebo
q(l )  qˆ
q(l )  qˆ
Slovně: teplota T v bodě 0 je rovna nějaké konkrétní hodnotě Tˆ , hustota tepelného toku
q procházejícího bodem l je rovna konkrétní hodnotě q̂ .
Matematický model (model stacionární – veličiny se nemění v čase)
Základní princip: Změna množství tepla v libovolné části tyče je nulová.
 q( x)  Q  0
 (  T ( x))  Q v 0, l
Nelineární model:
  f (T )
-5-
Příklad 2
1D úloha pružnosti
Máme kruhovou tyč délky l a průřezu a, která je na jednom konci pevně uchycena (např.
v čelistech tahového stroje). tyč je namáhána silou F ve směru délky.
Hlavní veličiny:
•
posunutí u, příčné řezy se nedeformují!
•
napětí σ, síla působící na jednotku plochy
•
poměrná deformace 
 x  lim
h0
h  u( x  h)  u(h)  h  lim u( x  h)  u(h)  u( x)
h
h0
h
Hookův zákon (napětí je přímo úměrné deformaci):
  E 
kdeE je modul pružnosti v tahu [MPa],
Vnitřní zdroje (gravitační síla).
f  g
kde f je gravitační síla na jednotku objemu [N.m-3]
r je hustota [kg.m-3]
g gravitační zrychlení [m.s-2]
Okrajové podmínky
u (0)  0
 (l )  ˆ
Slovně: posunutí u v bodě 0 je rovno 0 (tyč je pevně držena čelistmi stroje). Na konec
tyče v bodě l působí konkrétní hodnota napětí ˆ .
Matematický model (model stacionární – veličiny se nemění v čase)
  ( x)  f  0
 ( E   ( x))  f
v 0, l
-6-

Odvození stacionárního matematického modelu 1D úlohy pružnosti
Z tyče z příkladu 2 si vytkneme nekonečně krátký element (viz. obr. 1.4.). Nyní zapíšeme
součet sil, které na daný element působí.
Obr. 1.4. Blokový diagram – návrh a řízení procesu tváření kovů [01]
Součet sil působících na vybraný element musí být roven nule.
   S    d  S  f x  dx  S  0
,
(1.3)
Protože vytknutý element je nekonečně malý je i jeho hmotnost blízká nule. Pro výpočet vlivu
gravitace tak musíme použít f x  což je gravitační síla na jednotku objemu [N.m-3].
Úpravou dostaneme tvar:
     d
 f x   0 ,
dx
(1.4)
a tedy:
d
  f x  .
dx
(1.5)
Pokud dosadíme za  z Hookůva zákona, že ,   E   dostaneme tento tvar:
d
E      f  x 
dx
Dosadíme za  
(1.6)
du
a dostaneme finální tvar:
dx
d  du 
"
 E     f x  neboli E  u   f x 
dx 
dx 
(1.7)
-7-
Příklad 3
Analytické řešení stacionární 1D úlohy pružnosti
Řešíme diferenciální rovnici druhého řádu (1.7)
Rovnici integrujeme:
x
du
E
   f    d  C1 ,
dx
l 1
Pro stanovení konstanty C1 použijeme okrajovou podmínku:
 (1)  P (napětí v bodě 1 je rovno P)
V bodě 1 pak platí:
l
 du 
E       f    d  C1
 dx 1
1
P  C1
Dosadíme do rovnice a upravíme:
x
x
du
du
1
P
E
   f    d  P 
    f    d  ,
dx
dx
E 1
E
1
Integrujeme podruhé:
x v
1
P
u     f    d  dv   x  C2 ,
E 01
E
u(0)  0 (posunutí v bodě 0 je nulové)
V bodě 0 platí:
u0  0  0  C2
Tedy finální rovnice popisující posunutí libovolného bodu tyče v závislosti na jeho
poloze vypadá takto:
x v
1
P
u     f    d  dv   x
E 01
E
Nyní dosaďme za f   nějakou konkrétní hodnotu, máme dvě smysluplné možnosti:
1. Pokud nepůsobí gravitace bude funkce : f    0
P
a tedy hledaná funkce má tvar přímky: u   x
E
2. Pokud působí gravitace bude funkce : f      g  Fg / V  C , kde Fg  m  g
x v
1
P
u     C  d  dv   x
E 01
E
x
v
x
1
P
1
P
u     C  x d   x     C  v  C d   x
E 0
E
E 0
E
1
x

1  v2
P
u    C   C  v    x
E 
2
0 E
A tedy hledaná funkce má tvar paraboly:
 P
1  x2
u     C   C  x    x
E 
2
 E
-8-
Σ
Shrnutí
Existuje modelování experimentální a teoretické, každé má svoje výhody a
omezení. Teoretické modelování s využitím numerických metod se nazývá
matematické modelování. Postup při matematickém modelování nějakého jevu jde
od matematického modelu (např. parciální diferenciální rovnice), přes řešitelný
matematický model (soustava n rovnic o n neznámých získaná např. pomocí
metody konečných prvků), následuje numerické řešení na počítači a zobrazení
řešení. V každém kroku může dojít k chybě, úlohou inženýra je potom porovnat
výsledek a zkoumaný jev zda výsledky popisují realitu.
Otázky ke kapitole 1
1.1.Uveďte příklad matematického modelu a řešitelného matematického modelu při
tváření kovů.
1.2.Znáte nějakou numerickou metodu pro řešení soustavy lineárních rovnic?
1.3.K čemu slouží okrajové podmínky?
1.4.Jak lze popsat vztah mezi napětím a deformací?
1.5.jaký je rozdíl mezi stacionární a nestacionární úlohou?
1.6.Jaké zjednodušení bylo použito v přkladě 1 a lze tohoto zjednodušení v praxi
dosáhnout?
1.7.Jaké zjednodušení bylo použito v přkladě 2 a lze tohoto zjednodušení v praxi
dosáhnout?
1.8.Definujte poměrnou deformaci pomocí posunutí.
Úlohy k řešení ke kapitole 1
1.1. Analyticky řešte 1D úlohu vedení tepla z příkladu 1.
1.2. Načrtněte výsledek příkladu 3 do grafu u = f(x) pro obě varianty.
Další zdroje
[01]
[02]
[03]
[04]
KOBAYASHI, S., OH, S., ALTAN, A. Metal forming and the finite element
method. Oxford University Press, Inc. New York 1989, ISBN 0-19-504402-9.
REKTORYS, K. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech
matematické fyziky. 6. vyd., Academia Praha 1999, ISBN 80-200-0714-8.
WAGONER, R., CHENOT, J. Metal Forming Analysis. Cambridge University
Press, Syndicate of the University of Cambridge 2001, ISBN 0 521 64267 1.
LENARD, J.G., PIETRZYK, M., CSER, L. Mathematical and Physical
Simulation of the Properties of Hot Rolled Products, Elsevier Science
Ltd,1999, 364 p., ISBN 0 08 042701 4
-9-
Metoda konečných prvků
2. METODA KONEČNÝCH PRVKŮ
Cíl:

Hovořit o historii metody konečných prvků

Vysvětlit základní princip metody konečných prvků

Popsat vliv velikosti prvku na řešení matematické úlohy.

Sestrojit bázovou funkci, odvodit její rovnici a derivaci.

Sestavit matici tuhosti pro 1D úlohu pružnosti

Vysvětlit úskalí numerického řešení soustavy lineárních rovnic.
Obsah kapitoly 2
2.1.
Úvod
Metoda konečných prvků MKP, variační principy, triangulace, matice tuhosti
Výklad
Metoda vznikla v období kolem roku 1956 ve výzkumném ústavu aeronautické a
kosmické mechaniky v Ohiu, USA (Wright Paterson Air Force Base). Výzkumný tým byl
veden prof. R.W. Cloughem a spolupracovali zejména R.L. Melosh, H.C. Martin, J.L. Tocher
a další. Výzkum a vývoj uvedené numerické metody vyvolal striktní požadavek „měsíčního“
programu Apollo v oblasti vývoje a konstrukce nosných raket. V daném čase a při známém
objemu financí (3 miliardy) se po rozboru zjistilo, že se pomocí experimentu nedá úkol splnit.
Zbyla jediná cesta a sice vývoj takové numerické metody, která by výpočty potřebné pro
- 10 -
projekty nových typů raket a dalších systémů projektu Apollo zvládla. Výsledky výzkumu
byly dále intenzívně využívány na uvedené vojenské základně při projektech letadel, ponorek,
raket všech typů, atd. Tato skutečnost způsobila utajení detailů metody tak, že programy a
teoretické články ležely nejméně deset roků ve vojenských sejfech. První konference v Ohiu
(1965 a 1968) uváděly jen kusé informace. Další vývoj byl pak často poznamenán četnými
duplicitami v odvození základních "nástrojů" metody (uvádí se, že deskový trojúhelníkový
prvek odvodilo na sobě nezávisle aspoň 7 autorů).
Zajímavost
Inženýři s metodou dlouhé roky úspěšně počítali, než matematikové dokázali konvergenci
metody a vlastně posvětili desetileté výpočtářské úspěchy.
V civilním sektoru se nejbouřlivěji metoda konečných prvků (MKP) rozvíjela v letech
1965-1975. Prvním propagátorem a neochvějným zastáncem metody byl v ČSFR prof. V.
Kolář, DrSc. z Brna, který také dosáhl značného mezinárodního uznání za programy řady NE.
Pomocí MKP se dnes řeší celá řada úloh, jejichž realizace nebyla dosud možná a to nejen v
oblasti mechaniky spojitých těles či soustav. Svou obecnou matematickou formulací
umožňuje MKP řešit problém: mechaniky hornin, proudění kapalin a plynů, šíření tepla a
záření, stacionárních a nestacionárních elektromagnetických polí atd. Dokonce jsou známy
pokusy o řešení sociologických úloh a modelování ekonomických problémů. O MKP má
smysl hovořit pouze v souvislosti s nasazením na počítačích - směle se dá říci, že metoda je
produktem doby moderních počítačů. V současné době jsou to pro zajímavost vědeckotechnické výpočty meteorologů, které mají největší požadavky na velikost a rychlost počítačů
tak, aby předpověď počasí pro celou zeměkouli byla vypočítána do dvou hodin po
shromáždění naměřených dat [08].
Metoda konečných prvků (MKP) je v současné době považována za nejefektivnější
numerickou metodu pro řešení problémů matematické fyziky, tj. problémů popsaných
diferenciálními či integrálními rovnicemi nejrůznějších typů, systémy těchto rovnic,
variačními nerovnicemi apod. Typickým příkladem jsou parciální diferenciální rovnice
popisující elektrický, magnetický nebo gravitační potenciál, Schrödingerova rovnice, rovnice
vedení tepla, systém Maxwellových rovnic, nerovnice pro kontakt dvou pružně plastických
těles atd.
Název metody zdůrazňuje skutečnost, že základním stavebním kamenem je prvek
konečných rozměrů narozdíl od infinitesimálního pohledu, který vychází z představy
rovnováhy na nekonečně malém elementu.
Aplikační možnosti MKP vedly k bouřlivému vývoji software pro řešení pestrého spektra
technických a vědeckých úloh. Celý výpočetní proces totiž může být podstatně
automatizován, tj. generování triangulací, sestavování matic tuhosti, řešení vzniklých soustav
algebraických rovnic, grafické znázornění výsledků apod. lze svěřit počítači. Další velkou
předností MKP je, že umožňuje dokonale popsat vyšetřovanou oblast, což nebylo možné u
klasických metod (např. metoda kolokací či metoda sítí). Pro teoretickou numerickou analýzu
(existence řešení, důkazy konvergence, odhady chyb atd.) je výhodné, že se MKP většinou
opírá o fyzikální variační principy. To jednak umožňuje využívat efektivních nástrojů
- 11 -
funkcionální analýzy a také nevyžaduje dodatečných předpokladů na vyšší hladkost řešení
jako u klasických metod [09].
Σ
Shrnutí
Metoda konečných prvků (finite element method FEM) je už poměrně stará,
obrovská rozmach nastal až s rozšířením PC. Metoda se používá pro řešení
obrovského spektra inženýrských úloh díky celé řadě specializovaných programů.
2.2.
Metoda konečných prvků v praxi
Variační principy, numerické metody, preprocessing , processing a postprocessing,
okrajové podmínky, hustota sítě, typ prvku
Výklad





Metoda konečných prvků jako vědní obor
V současnosti je MKP široce a podrobně rozpracovávaný vědní obor obsahující tyto části:
teoretická: formulace variačních principů, odvozování vztahů pro různé typy prvků atd.
matematická: problematika vhodných numerických metod, výběr algoritmů, hledání
rychlých algoritmů (např. 2,5D metody), důkazy existence a konvergence řešení, odhad
chyby řešení atd.
počítačová:
 preprocessing - generování vstupních dat, grafické zobrazení členění, vstupní data,
okrajové podmínky, zatížení, opravy a úpravy dat atd.
 processing - výpočet matic prvků, sestavení matic celého systému, sestavení
maticových rovnic a jejich řešení atd.
 postprocessing - výpočty závislých parametrů, výstupní soubory, grafické znázornění
výsledků, výstupy výsledků na periferie atd.
inženýrsko problémová: využití možnosti MKP pro konkrétní inženýrské úlohy tj.
dělení tělesa na prvky – volba hustoty sítě, výběr typu prvku, výběr vhodného prvku pro
danou úlohu, zadání potřebných vstupních údajů (okrajové a počáteční podmínky), volba
forem výstupů (isoplochy, grafy) atd.
První dvě části ponechme matematikům, třetí částí se zabývají programátoři firem
vyvíjejících simulační software. Zato poslední část v předchozím výčtu, bude náplní této
studijní opory. Aplikace MKP programů na reálné technologické problémy je často velmi
náročná, neobejde se bez hluboké znalosti příslušného vědního oboru (hledání a definování
- 12 -
vazeb mezi jednotlivými vstupy), ale potřebné je rovněž porozumět základním principům
metody (schopnost odhadnout chybu výpočtu a pod).

Použitelnost MKP v praxi
MKP je velmi úzce provázána s výpočetní technikou a softwarovým inženýrstvím. Její
robustnost a univerzalita je podmíněna nebývalým rozsahem zpracovávaných dat a nároky na
počet operací. Použití MKP v ručním (počítačem nepodporovaném) výpočtu je prakticky
nemožné. Programové aparáty metody konečných prvků mají obvykle dva základní typy
programů:
• Program provádějící vlastní výpočet - numerické jádro
• Programy pro přípravu vstupních dat a zpracování výsledků-preprocesor a postprocesor
Hlavními požadavky kladenými na numerická jádra jsou: vybavenost, spolehlivost,
robustnost, výkon:
• Vybavenost vyjadřuje požadavek uživatele, aby v programu byly implementovány
úlohy, které uživatel potřebuje. Tento požadavek bývá naplňován buď snahou po
maximální univerzalitě, nebo naopak úzkou specializací.
• Spolehlivost znamená, že všechny partie programu jsou ověřovány a testovány a jsou
fyzikálně i matematicky správně implementovány. Jedním z atributů spolehlivosti je
dlouhodobý vývoj a zpětná vazba mezi uživateli a výrobcem programu. Praktická
zkušenost ukazuje, že při dobrém počátečním návrhu lze numerická jádra udržovat a
vyvíjet desítky let. Většina implementovaných procedur je v takovém produktu
verifikována nejen u výrobce, ale také desítkami a stovkami výpočtů u uživatelů
programu.
• Robustností se míní na jedné straně kvalita samotného kódu, minimalizace výskytu
programátorských chyb, na druhé straně jasný a srozumitelný návrh rozhraní, který
minimalizuje nebezpečí nedorozumění mezi programátorem a uživatelem, srozumitelný
systém varování a chybových hlášení, dostatečně podrobný protokol o úloze a v
neposlední řadě kvalitní dokumentace.
• Výkon je prvořadým požadavkem, ale neměl by být dosahován za cenu kompromisů v
plnění předchozích tří. U MKP roste náročnost výpočtu zhruba s kvadrátem až třetí
mocninou rozsahu úlohy, takže výkon programu spolu s výkonem použité výpočetní
techniky jsou často limitujícím faktorem, který určuje koncepci MKP modelování.
Požadavky na pre-postprocesory jsou různorodější a více závislé na oboru a typu úlohy. Ve
strojírenských aplikacích MKP je v současnosti standardem podpora geometrického
modelování a automatizované generování MKP sítě do geometrických šablon.
Běžným požadavkem jsou i m p o r t y geometrických modelů z CAD programů. V některých
případech dochází k užšímu propojování CAD programů s MKP preprocesory i numerickými
jádry, takže rozdíly mezi CAD programy a MKP se zmenšují1. V oblasti postprocesingu je
1V
současné etapě existují MKP preprocesory vybavené geometrickým modelářem podporujícím hiearchickou výstavbu modelu jako
sestavy jednotlivých částí (samostatných těles), která jsou popsána sledem operací a podporují dědičnost, možnost potlačovat a
obnovovat jednotlivé vlastnosti a další vymoženosti běžné v CAD. Řada CAD programů má moduly pro generování MKP sítí, zadávání
- 13 -
samozřejmým požadavkem vykreslování výsledných polí v různých variantách barevně
odstupňovaných isoploch, generování animací vývoje deformace i ostatních veličin,
vykreslování závislostí výsledných veličin na čase v daném místě nebo na poloze podél
definované křivky do grafů. Standardem jsou transformace složek vypočtených vektorových a
tensorových polí do zvolených souřadných systémů. Zpracování vypočtených dat např. z
hlediska vývoje mikrostruktury je obvykle řešeno mimo rámec standardního postprocesoru,
ale řada programových aparátů MKP nabízí dobře integrované moduly.

Mýty a pověry o MKP
Z hlediska matematiky představuje metoda konečných prvků (MKP)
• v širším smyslu numerickou metodu řešení (parciálních) diferenciálních rovnic (v
kontinuu).
• v užším smyslu jen techniku diskretizace definičního oboru hledaných funkcí (techniku
diskretizace kontinua). Vlastní podstatou řešení je pak některá z variačních metod.
V technické praxi se ukázalo, že MKP je velmi silná při řešení úloh mechaniky
poddajných těles. V průběhu poslední třetiny dvacátého století se MKP stala téměř
monopolním prostředkem numerické analýzy mechanických soustav poddajných těles. Je
implementována v řadě inženýrských programových prostředků: v čistě analytických
aplikacích (tradiční „velké MKP balíky" ADINA, NASTRAN, ANSYS, ABAQUS,
MARC...), v programech specializovaných na různé konkrétní technické problémy - simulace
havárií, simulace technologických procesů (programy řady Pam, např. Pam-Crash, PamStamp, Pamp-Cast, konkrétně ve tváření pak programy Deform, Forge, FormFEM, apod.) . . )
a konečně i v systémech CAD jako prostředek pro rychlé návrhové výpočty (Pro-Engineer,
Pro-mechanika...). V posledních dvou případech bývá často vlastní MKP ukryta „někde uvnitř
programu" a uživatel s ní ani nepřijde do styku.
V rámci průmyslových aplikací vznikla v souvislosti s MKP řada předsudků a mýtů.
• Nejnebezpečnějším mýtem je „slepá" víra, že vypočtené výsledky jsou
správné.
• Výpočet MKP je věrohodnější než analytický výpočet.
• Výpočet MKP je rychlejší než analytický výpočet.
• Zavedení MKP ve firmě zlevní vývoj a konstrukci.
• Zavedení MKP vede ke zlepšení technologie.
Tyto výroky nejsou vyslovenými nepravdami, ale neplatí univerzálně:
• Za správnost výsledků ručí výpočtář, nikoli metoda. Metodu lze použít nevhodným
způsobem jak z hlediska vlastního modelování mechanické soustavy (např.
rozhodování zda užít 1D, 2D či 3D kontinuum, skořepiny, nosníky, tuho-plastický nebo
elasticko-plastický materiálový model), tak i z hlediska použitých výpočtových postupů
- lineární či nelineární, statický či dynamický.
- 14 -
• Např. při aplikaci výsledků výpočtu v odhadu životnosti cyklicky zatěžovaného tělesa
může být analytický výpočet, který odpovídá dané normě výpočtu poškození a
způsobu, kterým byla získána materiálová data, přesnější i rychlejší.
• Vlastní výpočet mnohdy je rychlejší, ale tvorba modelu bývá velmi náročná.
• Často se MKP ve firmě zavádí tak, že se nakoupí program. Využívání programu ale
vyžaduje kvalifikované pracovníky. S tím ovšem management nepočítal. Někdy se
dokonce stane, že program vůbec není nainstalován. Běžněji je používán ve volných
chvílích, kdy se pracovníkovi podaří se „utrhnout" od důležitějších povinností. V
takových případech je levnější nekupovat program, ale výpočty.
• Platí to, co v prvním bodě. Za kvalitu výpočtu ručí technolog. Na základě nekvalitních
výpočtů nelze zlepšovat technologie.
Obecně platí, že v průmyslových aplikacích je MKP prostředkem, nikoli cílem. Z
tohoto hlediska je třeba vždy zvažovat nejen to, zda MKP vůbec použít, ale také to, jak ji
použít.
Σ
Shrnutí
Problematika spojená s MKP je velmi rozsáhlá, vás jako budoucí uživatele však
zajímá jen její inženýrsko-problémová část. Naštěstí máme k dispozici celou řadu
programů na bázi MKP a pak jen v preprocesoru připravíte síť a zadáte počáteční a
okrajové podmínky v postprocesoru potom vyberete a zobrazíte výsledek, který má
k z pohledu řešené problematiky nejlepší vypovídací schopnost. Základní pravidlo
vaší práce pak zní, slepě nevěřit ve správnost výsledků.
2.3.
Princip metody konečných prvků
Element – prvek, uzel, diskretizace, síť, funkcionál, variace, bázová funkce, matice
tuhosti
Výklad
Metoda konečných prvků, na níž je založena většina simulačních programů dneška, patří
mezi tzv. metody variační. Tyto metody vznikly v polovině 20. století objevem tzv.
Dirichletova principu pro řešeni diferenciálních rovnic. Princip spočívá v tom, že k
jednotlivým typům diferenciálních rovnic lze sestavit tzv. Dirichletův integrál, jehož
minimalizace je řešením dané rovnice. Nalezením funkce, která minimalizuje tento
- 15 -
funkcionál, je nalezeno řešení dané diferenciální rovnice se známými okrajovými
podmínkami.
Při variačních metodách hledáme řešení dané úlohy pomocí pokusného řešení.
Postupujeme tak, že daný funkcionál vyjádříme jako funkci předpokládaného pokusného
řešení. Ze všech možných řešení, splňujících okrajové podmínky, pak vybereme to, které činí
daný funkcionál stabilní – zajistí jeho minimum. Variačním principem nazýváme
matematický postup, který umožňuje výběr řešení problému z celé třídy možných řešení.

Myšlenka diskretizace
Ve většině případů potřebujeme nalézt takové proměnné, jako jsou např. posunutí, napětí,
teplota, tlak a rychlost, které jsou funkcí souřadnic x, y, z. V případě přechodných či nestálých
úloh jsou však tyto veličiny funkcí nejen souřadnic x, y, z, ale také času t. Geometrie
problému je velice často nepravidelná.
Základním krokem metody konečných prvků je rozdělit (diskretizovat) libovolný
mechanický systém (nosník, rám, rošt, desku, stěnu, blok ...) na konečný počet prvků
(elementů) obvykle geometricky jednoduchých (úsečka, trojúhelník, obdélník, hranol,...).
Dělení na prvky není v žádném případě jednoznačné a je silně ovlivněno technickými
zkušenostmi a citem řešitele viz obr. 2.1.
Obr. 2.1 Příklad nasíťování bramy při simulaci vertikálního válcování, v místě kde
očekáváme největší změnu tvaru je použita nejjemnější síť (velikost sítě 0,5 mm).
Dnes sice existují automatické generátory sítí konečných prvků, avšak "poslední slovo"
(opravy a úpravy vzniklé sítě v rozích, přechodech atd.) má vždy řešitel úlohy.
Jestliže tedy systém rozdělíme na prvky, vybíráme vlastně za určující (prvotní neznámé)
jen ty body konstrukcí (v podstatě z nekonečného počtu bodů kontinua), které nejčastěji leží v
rozích prvků, koncových bodech, uprostřed hran, ploch atd.). V těchto uzlech (u kterých je
konečný počet) vypočítáme prvotní neznámé veličiny (ve statických úlohách obvykle
posunutí) a z nich odvozeně druhotné (ve statice vnitřní síly a napětí). Ze známých
- 16 -
fyzikálních veličin uzlových hodnot jednoho prvku pak můžeme určit jakoukoliv veličinu
libovolného bodu prvku.

Základní tvary prvků
Tvar, velikost i počet prvků je třeba pečlivě vybírat tak, aby původní oblast byla
rozdělena co nejlépe, tzn. aby nasíťovaná oblast byla co nejpodobnější originálnímu modelu.
Často se tvar elementu odvíjí od geometrie síťované oblasti. Jestliže geometrie, materiálové
vlastnosti a výsledné proměnné jsou mohou být popsány jedinou souřadnicí, pak lze použít
tyčové prvky (obr. 2.2.a). Těchto elementů lze využít například při modelování distribuce
teploty v tyči nebo modelování deformace tyče při osovém zatížení. I když tyto prvky mají
určitý příčný průřez, často jsou schematicky značeny pouze jako úsečky (obr. 2.2.b).
Obr. 2.2. a) tyčový prvek b) schematické značení tyčového prvku
V případě, že konfigurace a další vlastnosti řešeného problému lze pospat dvěma
nezávislými souřadnicemi, pak lze využít 2D elementů (obr. 2.3.). Základním užívaným
prvkem ve 2D analýze je zpravidla trojúhelníkový prvek.
Obr. 2.3. Různé typy prvků pro tvorbu 2D sítě
Čtyřstranný prvek (a z něj odvozený prvek čtvercový nebo rovnoběžník) může být
sestrojen ze dvou či čtyř trojúhelníkových prvků, tak jak ukazuje obr. 2.4.. V některých
případech je využití čtyřstranných prvků výhodnější.
- 17 -
Obr. 2.4. Čtyřstranný prvek složený ze dvou či čtyř trojúhelníků
V případě, že vlastnosti jsou funkcí tří souřadnic, pak je nutno využít 3D prvky
(obr. 2.5.). Základním prvkem 3D sítě je zpravidla čtyřstěn. V některých případech lze použít
šestistěn složený z pěti trojbokých jehlanů.
Obr. 2.6. Různé druhy trojrozměrných prvků

Velikost prvků
Velikost prvků přímo ovlivňuje konvergenci řešení a proto musí být vybírána s rozvahou.
Pokud je velikost elementů malá, pak je očekáváno přesnější řešení. Menší velikost však
znamená navýšení výpočtového času. Proto se často využívá elementů rozdílných velikostí ve
stejném objemu. V místech, kde je očekáván větší gradient proměnné se tedy použije jemnější
nasíťování.

Počet prvků
Potřebný počet prvků k diskretizaci je spojen s požadovanou přesností, velikostí elementů
a zahrnutým počtem stupňů volnosti. Více elementů zpravidla značí přesnější řešení, ale pro
každý problém existuje určitý počet uzlů N0, nad kterým se již přesnost řešení nezvyšuje.
Grafické znázornění je uvedeno na obr. 2.8.
- 18 -
Obr. 2.8. Vliv zvyšování počtu elementů na přesnost řešení

Tvar prvku
U příliš deformovaného tvaru dostáváme špatně podmíněné prvkové matice (viz. níže),
což může vést k lokálním chybám. Ideálním tvarem je z tohoto hlediska v prostoru krychle, v
rovině pak čtverec, případně rovnostranný trojúhelník.
Při generování sítě je přiblížení prvků k ideálnímu tvaru hodnoceno prostřednictvím
velikostí vnitřních úhlů, které svírají strany resp. stěny prvků nebo pomocí poměru mezi
plochou a obvodem (objemem a obsahem pláště) prvku. Příklad dobrého a špatného
trojúhelníkového 2D prvku je na obr. 2.9. Na obr. 2.10. je pak zobrazen surface shape faktor,
který pro kvalitativní analýzu sítě využívá program FORGE 3D (nedoporučuje se používat
síť, když tento faktor klesne pod 0,4).
Obr. 2.9. Dobrý a špatný
tvar konečného prvku.í
Obr. 2.10. Hodnocení kvality sítě v programu FORGE
- 19 -

Courantovy bázové funkce
Pomocí metody konečných prvků hledáme přibližné řešení Poissonovy rovnice. Hledaná
funkce má nějaký obecný tvar u(x) (modrá křivka na obr. 2.11.). Přibližné řešení má potom
tvar po částech lineární funkce ui(x) (červená křivka na obr. 2.11.), která je spojitá
v elementech (mezi jednotlivými uzly sítě). Z obr. 2.11. je zřejmé, že přesnost závisí na počtu
uzlových bodů (resp. na velikosti prvků).
Obr. 2.11. Přibližné řešení získané pomocí metody konečných prvků
Výjimečnost metody konečných prvků spočívá v geniální konstrukci oné po částech
lineární funkce, kterou lze popsat následující rovnicí:
N
ui   d i   i
(2.1)
1
Funkci ui tedy zapisujeme pomocí Courantových bázových funkci  i x  , které nesou svůj
název na počest objevitele MKP. N je počet elementů a di je neznámá konstanta.
Tvar bázové funkce ilustruje obr. 2.12. Tedy bázová funkce  i x  má v uzlovém bodě i
hodnotu 1 v ostatních uzlových bodech pak hodnotu 0.
Obr. 2.12. Tvar bázové funkce
- 20 -
Příklad 2.1
Stanovení rovnice bázové funkce
Máme kruhovou tyč délky l a průřezu a. tyč je rozdělena na N elementů o stejné
délce.
Délka každého elementu je tedy v tomto případě
1
,
N
1
2
i
, x2 
, xi 
N
N
N
Funkce 1 je lineární v intervalu x1 až x2 a lze ji tedy zapsat takto:
tzn. x1  0 , x1 
.
1  a  x  b
1 x1   1  a  x1  b  1 ,  b  1  a  x1 ,
1 x2   0  a  x2  b  0 ,
Vyjádříme si z první rovnice b a dosadím ho podruhé. Tím získáme vztah:
1
a z toho rezultuje hodnota b:
a  x2  1  a  x1  0  a 
x1  x2 
1
b 1
x ,
x1  x2  1
1 x  

x
x1  x  x1

 1 
.
x1  x2   x1  x2  x1  x2
Rovnici této funkce ořízneme tak, aby platila jen v intervalu x1 , x2 :
1 x   max 0,
x  x1
x1  x2
Dosazením za x2  x1 
1
dostaneme obecnou rovnici pro všechny bázové
N
funkce a pro všechna x:

i 1 


x N 

i x   max 0; 1 
i i 1 




N
N 

- 21 -

Funkcionál
Vraťme se nyní zpět k neznámé funkci ui. Tuto funkci hledáme pomocí variace
funkcionálu, který představuje energii systému potřebnou pro dosažení posunutí u.
Co je to funkcionál?
Předpokládám, že vám pojem funkcionář není znám. A co tedy pojem funkce.
Co je to tedy funkce? Je to pojem, který používáte tak často, že pro vás může
být obtížné jej stručně a jasně definovat.
Tak tedy, funkce je takový předpis (běžně matematický), který přiřadí prvku
(číslu) jedné množiny prvek (číslo) z druhé množiny.
Funkcionál je potom předpis, který funkci přiřadí číslo. Typickým
představitelem funkcionálu je určitý integrál, který číselně představuje plochu
pod křivkou.
Variace je pro funkcionál to co pro funkci derivaci.
Následující funkcionál představuje energii systému J nutnou pro určité posunutí u,
v případě úlohy 1D elasticity (tyč o délce 1 m) popsané v kapitole 1:
2
1  du 
0 2  E  dx   dx  0 f x   ux   dx  P  u1  J
1
1
(2.2)
První člen rovnice (2.2) představuje práci vnitřních napětí vznikajících v tyči, druhý člen
pak představuje práci sil v uzlových bodech a třetí člen představuje práci v koncovém bodě
tyče, na který působí vnější napětí P.
Ze zákona o toku kovu cestou nejmenšího odporu platí, že energie na posunutí musí být
minimální. Tedy platí, že najdeme-li minimum funkcionálu bude takto získaná funkce ui
řešením rovnice (1.7). Minimum funkcionálu získáme tak, že položíme jeho variaci rovnu
nule:
1
E
0
du  du 
     dx  Pu x 1   F    u  dx  0
dx  dx 
0
1
(2.3)
Tuto rovnici lze s využitím rovnice (2.1) přepsat do následujícího tvaru:
d
d  N
E

di  i   1  dx   f x  1  0
0 dx  
i 1
 dx
0
Rovnice (2.4) ve skutečnosti představuje následující soustavu rovnic:
1
1
N
d
d
E   d i  i   1  dx   f x  1
dx
dx
i 1
0
0
1
1
N
1
i 1
1
d
d
i    2  dx   f x   2
dx
dx
0
0
E   d i 
(2.5)

N
1
1
d
d
i    N  dx   f  x   N  P
dx
dx
i 1
0
0
Tuto soustavu rovnic lze symbolicky zapsat pomocí maticového počtu takto:
E   d i 
(2.4)
- 22 -






Kde
  d1   
 d   
   2     nebo K·D = F
     
    
  dN   
K…globální matice tuhosti
D…globální vektor neznámých parametrů
F…globální vektor zatížení
(2.6)
Jak vidíme v rovnicích (2.3 až 2.5) se nachází neznámá funkce u ve tvaru derivace podle
x. Pro další výpočty proto budeme potřebovat znát derivaci bázové funkce. Derivaci
stanovíme jako tangentu úhlů, které funkce  i x  svírá s osou x (viz. obr. 2.13.).
Obr. 2.13. Stanovení derivace bázové funkce
V intervalu (xi -1, xi) (když xi - xi -1 = 1/N) a se tangenta úhlu stanoví takto:
1
tg 
N
1
N
V intervalu (xi +1, xi) pak takto:
1
tg 
 N
1
N
Obecně můžeme psát:
 N x  xi 1 , xi 
d i 
  N x  xi , xi 1 
dx 
 0 x  xi 1 , xi 1 

(2.7)
(2.8)
(2.9)
Matice tuhosti
Matice soustavy K·D = F má výhodnou pásovou strukturu, která spolu s dalšími
numerickými vlastnostmi, jako je pozitivní definitnost (symetrická s kladnými vlastními
čísly), přispívá k efektivní řešitelnosti i velmi rozsáhlých problémů.
Neznámé parametry vektoru D se dají uspořádat tak, že koeficienty jsou v matici K
rozmístěny v relativně úzkém pásu okolo hlavní diagonály (viz. příkladu 2.2.)
- 23 -
Příklad 2.2
1D úloha pružnosti – řešení pomocí MKP
Máme kruhovou tyč délky l = 1 m a průřezu a. Tyč je rozdělena na 5 elementů o
stejné délce.
S použitím rovnice (2.5) vypočítáme všechny prvky matice tuhosti. Matice tuhosti
má 5 řádků a 5 sloupců, tedy celkem 25 prvků.
 (1) (2) (3) (4) (5) 
 (6) (7) (8) (9) (10) 


 (11) (12) (13) (14) (15) 


(16) (17) (18) (19) (20)
(21) (22) (23) (24) (25) 
Výpočet prvku (1):
x
1

x
1
2
2
d
d
2
2





dx

(

N
)

(

N
)

dx

0

0

dx

0 dx 1 dx 1
x
x
x N  dx  N  x
1
2
1
 N 2  x2  x1   N 2 
x2


x1
1
N
N
x
x
1
1
3
2
d
d





dx

(
N
)

(

N
)

dx

0 dx 2 dx 1
x
x ( N )  0  dx  x 0  0  dx 
1
2
3
x2

x2
   N  dx   N  x
2
2
x1

  N 2  x2  x1    N 2 
x1
1
 N
N
1
x
x
x
1
3
2
4
d
d





dx

0

(

N
)

dx

(
N
)

0

dx

0 dx 3 dx 1
x
x
x ( N )  0  dx  x 0  0  dx  0
1
2
3
4
Díky speciální konstrukci bázové funkce budou prvky (4) a (5) také rovny nule.
- 24 -
Příklad 2.2 - pokračování
x
x
1
1
3
2
d
d





dx

(

N
)

(
N
)

dx

0 dx 1 dx 2

 0  ( N )  dx  x 0  0  dx 
x1
x2
3
x2

x2
   N  dx   N  x
2
2
x1

  N 2  x2  x1    N 2 
x1
1
 N
N
x
x
1
1
3
2
d
d





dx

N

N

dx

0 dx 2 dx 2

 ( N )  ( N )  dx  x 0  0  dx 
x1
x2
3

x3
x2
x2
  N  dx   N  dx   N  x
2
2
x1
2

x2
 N2 
x1
1
1
 N 2   2N
N
N
x
x
1
x
1
3
2
4
d
d





dx

0

(
N
)

dx

N

(

N
)

dx

0 dx 3 dx 2


 ( N )  0  x 0  0  dx 
x1
x2
x3
4
x3

x2
   N  dx   N  x
2
x2
2

x1
Pro
1
  N  x2  x1    N    N
N
2
2
další prvky je výpočet podobný, můžete si zkusit sami dopočítat libovolný prvek
naší matice tuhosti. Výsledná matice pak vypadá takto:
0
0
0 
 N N
 N 2 N  N
0
0 

 0  N 2N  N
0 


0  N 2N  N 
 0
 0
0
0  N N 
Tuto matici potom počítač řeší některou numerickou metodou pro řešení soustavy
lineárních rovnic, např. Gausssovou eliminační metodou.

Vliv číslování uzlů na tvar matice tuhosti
Struktura matice K souvisí s očíslováním prvků a uzlů sítě. U 1D úlohy je číslovaní uzlů
velmi jednoduché, už při modelování ve 2D se situace komplikuje. Porovnejme si dvě různá
očíslování u rovinné úlohy, kterou reprezentují následující dva modely (Obr. 2.14.).
- 25 -
Obr. 2.14. 2D úloha – způsob číslování prvků
Každý prvek má 3 uzly = 6 neznámých (v každém uzlu jsou 2 neznámé posuvy (ve směru
osy x a y)) tedy prvková matice tuhosti bude řádu 6 x 6. Neznámých je dohromady pro celé
těleso 12 (v každém uzlu 2 posuvy) globální matice tuhosti bude řádu 12 x 12.
Očíslování a)
Matice tuhosti prvního prvku proto po rozšíření na dimenzi 12x12 (tj. na rozměr globální
matice K) obsahovat nenulové příspěvky na pozicích v 1.-4., 7. a 8. řádku a sloupci:
Sečtením takto rozšířených matic všech čtyř prvků získáme globální matici K:
Indexy značí číslo prvku jenž svojí tuhostí přispívá k výsledné tuhosti v matici K.
- 26 -
Očíslování b)
Globální matice K bude mít nyní takovouto strukturu :
Uzly se dají optimálně očíslovat, aby šířka pásu matice byla minimální. Je to nutné z
hlediska množství ukládaných dat efektivnosti řešení soustavy. Počet operací a i tím délka
výpočtu jsou u přímých metod (GEM) lineárně závislé na počtu neznámých a kvadraticky na
šířce pásu.
Minimalizace šířky pásu je u všech komerčních systémů MKP zajištěna automaticky
pomocí programových procedur.

Řešení soustavy lineárních rovnic
Příklad 2.3
Řešení je průsečík přímek:
Řešení soustavy lineárních rovnic
Řešme graficky soustavu:
3  x1  2  x2  18
 x1  2  x2  2
Obecně mohou kromě výše uvedeného případu nastat tyto případy (obr. 2.15.).
- 27 -
Obr. 2.15. Příklady řešení průsečíku dvou přímek
Přímé metody – Gausova eliminační metoda (GEM)
Jedná se o metodu vedoucí k (alespoň teoreticky) přesnému řešení v konečně mnoha
krocích. Řádkovými (nikoliv sloupcovými) úpravami převádíme tuto matici do tvaru, kdy se
pod hlavní diagonálou nachází pouze nuly. Upravená matice pak odpovídá soustavě rovnic,
která je ekvivalentní s původní soustavou. Postu řešení se skládá ze dvou kroků:
1.
eliminace (převedení na schodový tvar, vytvoření diagonální matice)
2.
zpětné dosazení (vyčíslení neznámých)
Počet operací je u přímých metod předem známý u GEM je počet úměrný 2n3/3.
Tabulka 2.1 Počet operací při GEM v závislosti na počtu neznámých
n – počet
neznámých
Eliminace
Zpětné
dosazení
Celkem
2n3/3
Z toho
eliminace v %
10
705
100
805
667
87,58
100
671 550
10 000
681 550
666 667
98,53
1 000
6.67 x 108
1 x 106
6,68 x 108
6.67 x 108
99,85
- 28 -
Špatně podmíněná soustava při řešení pomocí GEM
Špatně podmíněné matice vznikají u chybových konečných prvků které nesplňují kritéria pro
tvar prvku (viz. kapitolka Tvar prvku).
Řešme špatně podmíněnou soustavu rovnic pomocí kalkulačky nebo PC:
0,0003  x1  3  x2  2,0001
x1  x2  1
Přesné řešení: x1 = 1/3 a x2 = 2/3.
Výpočet:
Z rovnice vyjádříme x2a dosadíme do druhé:
2,0001  3  2 3
,
x1 
0,0003
Výsledek ovšem závisí na tom, na kolik desetinných míst vyjádříme x2
Počet
desetinných míst
x2
x1
Chyba v
% pro x1
3
0,6670000
-3,330000
1099
4
0,6667000
0,000000
100
5
0,6666700
0,300000
10
6
0,6666670
0,330000
1
7
0,6666667
0,333000
0,1
Špatně podmíněné matice vznikají u chybových konečných prvků které nesplňují kritéria pro
tvar prvku (viz. kapitolka Tvar prvku). Vliv zaokrouhlovacích chyb je třeba na PC ošetřit.
Provádí se to pomocí výběru hlavního prvku (pivoting).
Špatnou podmíněnost lze upravit i vynásobením všech rovnic vhodným číslem (scaling). Tím
se determinant matice soustavy, který se téměř blíží nule zvětší.
Dále je možné provést tzv. přepodmínění (preconditioning), převedení soustavy rovnic na
lépe podmíněnou soustavu.
Gauss.Seidlova metoda
Kromě přímých metod se používají metody iterační, např. Jacobiho nebo Gauss-Seidlova
metoda. Řešme iteračně soustavu pomocí G-S metody.
3  x1  0,1  x 2  0,2  x3  7,85
0,1  x1  7  x 2  0,3  x  19,3
0,3  x1  0,2  x 2  010  x  71,4
Z první rovnice vyjádříme první neznámou:
- 29 -
x1 
7,85  0,1  x2  0,2  x3
3
Z druhé rovnice vyjádříme druhou neznámou:
x2 
 19,3  0,1  x1  0,3  x3
7
Z třetí rovnice vyjádříme třetí neznámou:
x3 
71,4  0,3  x1  0,2  x2
10
Tím jsme získali iterační předpis pro neznámé x1, x2, x3.
1. iterace
Jako počáteční odhad výsledků položíme všechny neznámé rovny nule a budeme tento odhad
dále zpřesňovat. Použijeme iterační předpis:
x1 
7,85  0  0
 2.616667
3
Vyjadřujeme-li x2, můžeme již za x1 dosadit novou aproximaci 2,6167:
x2 
 19,3  0,1  2.616667   0
 2,794524
7
Vyjadřujeme-li x3, můžeme již za x2 dosadit novou aproximaci -2,794524:
x3 
71,4  0,3  2,616667  0,2   2,794524
 7.005610
10
2. iterace
Tento postup se dále opakuje, až po určitém počtu iterací jsou neznáme hodnoty vyčísleny
s požadovanou přesností. Tomuto jevu se říká konvergence řešení. Pokud se naopak
přesnému řešení vzdalujeme hovoříme o divergenci řešení (viz. obr. 2.16.).
Obr. 2.16. Příklady konvergence (vlevo) a divergence (vpravo) řešení
- 30 -
Σ
Shrnutí
Princip MKP lze shrnout takto: Celý prostor Ω se zdiskretizuje na síť konečných
prvků. Původní Ω má často složitý tvar a parametry modelu nejsou po celém Ω
konstantní. Oproti tomu má každý prvek jednoduché hranice a parametry modelu se
mohou vzít jako konstanty.V konečném důsledku tak místo jedné parciální
diferenciální rovnice, řešíme soustavu lineárních rovnic o n neznámých, jež lze
počítačově řešit za použití numerických metod.
Je třeba mít na paměti, že takovéto řešení je vždy zatíženo chybou. Záleží hlavně na
kvalitě sítě a na vlastním simulačním programu (jeho robustnosti) jak velké tyto
chyby budou a záleží na obsluze programu, aby je případně dokázala identifikovat a
minimalizovat.
2.1. Co je podstatou variačních metod?
2.2. Co se myslí pod pojmem diskretizace?
2.3. Kdo vytváří síť konečných prvků modelu?
2.4. Jaké rozeznáváme základní tvary prvků?
2.5. Jak velikost prvků ovlivňuje výsledek řešení?
2.6. Jaké jsou ideální tvary prvků:
2.7. Jak se hodnotí kvalita sítě?
2.8. Jakou podobu má hledaná funkce při řešení pomocí MKP?
2.9. Co je to bázová funkce? Jaké jsou její vlastnosti?
2.10.
Co je to funkce?
2.11.
Co je to funkcionál?
2.12.
Jak stanovíme minimum funkcionálu?
2.13.
V jakém intervalu nabývá derivace bázové funkce φi nenulových hodnot?
2.14.
Jaké vlastnosti má matice tuhosti získaná pomocí MKP?
2.15.
Jak se hledají neznáme konstanty v matici tuhosti?
2.16.
Co se rozumí pod pojmem špatně podmíněná soustava rovnic?
2.17.
Popište postup řešení soustavy rovnic pomocí Gaussovy eliminační metody.
2.18.
Jaký je rozdíl mezi nepřímou a přímou metodou řešení soustavy rovnic?
2.19.
Co je to konvergence řešení?
2.20.
Jak můžete ovlivnit zda bude řešení konvergovat nebo divergovat?
- 31 -
2.1.V intervalu x1 až x2 stanovte rovnici bázové funkce φ2 pro situaci jako v
příkladě 2.1.
2.2.Stanovte derivaci bázové funkce φ2 z předchozí úlohy v intervalu x2 až x3.
2.3.Nakreslete obdélníkový objekt ve 2D prostoru. Proveďte jeho diskretizaci
pomocí 6 trojúhelníkových prvků. Prvky a uzly očíslujte.
2.4.Početně řešte soustavu rovnic z příkladu 2.3
2.5.Pomocí Gaussovy eliminační metody řešte soustavu rovnic:
3  x1  0,1  x 2  0,2  x3  7,85
0,1  x1  7  x 2  0,3  x  19,3
0,3  x1  0,2  x 2  010  x  71,4
Další zdroje
[01]
[02]
[03]
[04]
KOBAYASHI, S., OH, S., ALTAN, A. Metal forming and the finite element
REKTORYS, K. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech
matematické fyziky. 6. vyd., Academia Praha 1999, ISBN 80-200-0714-8.
WAGONER, R., CHENOT, J. Metal Forming Analysis. Cambridge University
Press, Syndicate of the University of Cambridge 2001, ISBN 0 521 64267 1.
LENARD, J.G., PIETRZYK, M., CSER, L. Mathematical and Physical
Ltd,1999, 364 p., ISBN 0 08 042701 4
- 32 -
Operace tváření kovů jako systém
3. OPERACE TVÁŘENÍ KOVŮ JAKO SYSTÉM
Cíl:

Vysvětlit systémový přístup k tváření kovů.

Identifikovat všechny součásti systému tváření kovů.

Mít přehled o proměnných systému a o tom jak je získat
Obsah kapitoly 3
3.1.
Úvod
Systém, tribologie, procesní proměnné
Výklad
Systém tváření kovů (viz. 01) zahrnuje všechny vstupní proměnné vztahující se
k polotovaru (geometrie a materiál), k nástrojům (geometrie a materiál), podmínky rozhraní
nástroj-polotovar (tribologie), mechanismus plastické deformace, použité zařízení (buchary,
lisy, válcovací stolice, …) a nakonec také charakteristiky okolního prostředí, ve kterém se
daný proces prováděl.
Tento systémový přístup umožňuje studovat vliv jednotlivých proměnných procesu na
ukazatele kvality výrobku a na ekonomiku procesu. Klíčem k úspěchu procesu tváření kovů
(tj. dosažení požadovaného tvaru a mechanických vlastností výrobku), je porozumění a řízení
toku kovu. Směr toku kovu, velikost deformace a teploty má významný vliv na vlastnosti
tvářených výrobků. Důsledkem toku kovu je jednak získaná úroveň mechanických vlastností
- 33 -
(závislá na stupni deformace v daném místě polotovaru), ale také vznik defektů jako jsou
trhliny či přeložky. Tok kovu je ovlivňován procesními proměnnými:.
Procesní proměnné ovlivňují makro a mikrogeometrii výrobku (finální rozměry a
povrch). Procesní podmínky (teplota, deformace, rychlost deformace) ovlivňují
mikrostrukturní změny v polotovaru a tím i jeho výsledné vlastnosti.
Výstižný systémový přístup musí zahrnovat:
 vztah mezi vlastnostmi a mikrostrukturou tvářeného materiálu,
 kvantitativní vliv podmínek tváření na tok kovu.
Obr. 3.1. Schéma systému tváření kovů při válcování.
1. polotovar, 2. válce, 3. rozhraní, 4. mechanismus plastické deformace, 5. tvářecí stroj
(válcovací stolice), 6. vývalek, 7. okolní prostředí
Σ
Shrnutí
Podstatou systémového přístupu je, že všechny složky systému posuzujeme
dohromady, zajímáme se o jejich vzájemné interakce a jejich vliv na výsledek.
3.2.
Materiálové proměnné
Anizotropie, přirozený deformační odpor, intenzita napětí, tvařitelnost, teplotní
vodivost, měrné teplo, hustota,
- 34 -
Výklad
Pro dané chemické složení materiálu a deformační historii, či historii tepelného
zpracování (mikrostrukturu) jsou nejdůležitějšími materiálovými veličinami ovlivňujícími
přímo tok kovu: přirozený deformační odpor a tvařitelnost, obě veličiny mohou být odlišné
v různých směrech (anizotropie). Nepřímo (přes rozložení teplotního pole polotovaru)
ovlivňují tok kovu tepelné vlastnosti: součinitel tepelné vodivosti λ [W.m-1.K-1], měrná
tepelná kapacita c [J.kg-1.K-1], hustota ρ [kg.m-3] a teplotní délková roztažnost α [K-1].

Přirozený deformační odpor
Jedná se o materiálovou charakteristiku. Je to nejmenší napětí nutné k vyvolání plastické
deformace za určitých smluvních podmínek [11]. Zjišťuje se v podmínkách lineárního stavu
napjatosti, tedy s vyloučením vlivu deformačního tření, a to nejčastěji tahovou zkouškou.
Fyzikálně odpovídá intenzitě napětí σi (kumulovaný vliv všech hlavních napětí σ1, σ2, σ3):
 p  i 


1
1   2 2   2   3 2  1   3 2 ,
2
(3.1)
Obecně přirozený deformační odpor vyjadřuje tato rovnice:
 p  f (M , T , e, e) ,
(3.2)
Kde M je metalurgický charakter kovu, T je teplota, e je deformace a é je deformační
rychlost. Graficky je tato závislost nejčastěji prezentována jako křivka napětí σ - deformace e.
Přesný matematický popis křivky σ-e je jednou z nejdůležitějších součástí procesu
tváření. Je nutný při vkládání údajů do simulačních programů. Jedním z rozhodujících zdrojů
jsou výstupy z plastometrických experimentů (krutové, tlakové). Při provozním či
laboratorním měření válcovacích sil totiž můžeme získat pouze střední přirozený deformační
odpor.
Matematický popis křivky napětí deformace lze provést způsoby, které se dají rozdělit do
tří skupin:
 Každý termomechanický parametr se projevuje samostatně a jeho vliv je hluboce
rozebrán. Vznikají složité a dlouhé rovnice. Popisují průběžnou hodnotu napětí jako
funkci všech proměnných s tím, že každá proměnná může v sobě obsahovat vliv dalších
proměnných. Jako příklad pro pochopení uveďme možnost vlivu deformační rychlosti.
Základní vztah může mít, i s uvedením vlivu teploty na deformačně - rychlostní
exponent, tuto podobu:
 p  A0    m   a bT   ,
(3.3)
Není obtížné si představit i možnost zahrnutí dalšího vlivu do tohoto exponentu, např.
strukturního a pod. Tím se rovnice jen pro popis jednoho parametru rozrůstá do délky.
Navíc jsme si vybrali jednoduchý příklad deformační rychlosti, u vlivu deformace je
situace mnohem složitější. Zásadně zde musíme rozlišovat deformaci menší než píkovou,
větší než píkovou a minimální deformaci v ustáleném stavu. Ačkoli je přidávání další
- 35 -


členů jako součinů do rov. (2.5) řešitelné a následně je celá rovnice logaritmovatelná,
neúměrně ji to komplikuje.
Experimentální údaje z plastometru zpracované do polynomu. Tyto rovnice nejsou běžné
a v moderních výpočtech , jako „potrava“ pro MKP se nepoužívají. V různé podobě se
však dají použít tabulkové výsledky plastometrických testů, což sice umožňuje konkrétní
vložení jednoho konkrétního experimentu do výpočtu MKP, ale z hlediska celkové
databáze a uživatelského komfortu je to cesta nereálná. V současné době se objevily prvé
náznaky řešení pomocí neuronových sítí, které v principu umožňují „naučit“ počítač z
načtených hodnot vytvořit vnitřní závislosti, které se pak dají použít pro následné
výpočty.
Konstitutivní rovnice s možností zcela fyzikálního přístupu nebo částečně
fenomenologické. Tento přístup spočívá v registraci skutečných průběhů křivek,
získaných na plastometrech a stanovením význačných bodů na těchto křivkách a jejich
fyzikálním popisem. Jedná se zejména o píkový bod, při maximálním napětí a píkové
deformaci se určují hodnoty σmax což je píkové maximální experimentální napětí, εp což je
píková maximální experimentální deformace a samozřejmě průběžné hodnoty napětí jako
funkce deformace při definovaných konstantních parametrech (teplota, rychlost
deformace). Lze si představit, a takové rovnice existují, že se popíše fyzikálně i bod
ustáleného stavu jak velikostí napětí, tak deformací a použije se jedné, nebo více rovnic s
omezenou, ale na sebe navazující platností proměnné deformace.
Největším problémem se stává popis vlivu deformace. Zatímco teplotní či deformačněrychlostní vliv je monotónní, u deformace tomu tak není. Proto i následující rozbor bude
věnován převážně snaze o vysvětlení způsobů, jak matematicky zahrnout do rovnice vliv
deformace. Skutečné popisy křivky σ-e pak mohou mít jen pro vliv jednoho parametru
(zde deformace) následující tvary:
 p  A0  n ,
(3.4)
1
 p  A1 1  A2  n
(3.5)
 p  A3   A3  A4  exp  A5  
(3.6)
2
nebo pro možnost zahrnutí i vlivu dynamického změkčování:
 p  B0 B1   n  B2  n ,
3
(3.7)
4
nebo jinak i s částečným vlivem deformační rychlosti, ale uvnitř parametru deformace :


 p  C0   n  C1  C2 ln  
5
C3 
.
T 
(3.8)
Ještě komplexnější rovnice vypadá takto :
- 36 -
 m4 
m T
m
mT
 1    5 exp m7   3  8 ,
T 
 p  A exp m1T  T m  m exp 
9
2
(3.9)
nebo i s vlivem času v mezipauzách:
 p   0 B1 exp n1 T  B2  n exp n3   B3  n B4 t n ,
2
4
5
(3.10)
a též komplexně:

  D  TF 

 p  A  exp   B  
exp  G T  ,

p


B
(3.11)
kde A, B, C, D, F , G , m, n jsou materiálové konstanty a celá rovnice je platná v rozsahu
deformací ε = 0 až εm, kde εm je deformace až do inflexního bodu za píkem.
S využitím napětí odpovídající ustálenému stavu:


 
 p  A   ss    exp 1  
  p 
  p
d  f (T )
(3.12)
,
Všechny rovnice podobného typu však neřeší onu základní otázku, jak plynule popsat
změnu charakteru křivky za inflexním bodem s možností popisu nejméně do ustáleného
toku kovu, čili spíše paralelní průběh napětí s rostoucí deformací.

Metalurgická tvařitelnost
Jedná se o schopnost materiálu snášet plastické deformace bez porušení soudržnosti za
určitých technologických podmínek (stav napjatosti, vnější tření). Závisí na deformačních
podmínkách (teplota, rychlost deformace, velikost hlavních napětí, a historie tváření) a
materiálových parametrech (chemické složení, výskyt a povaha precipitátů, vměstky, dutiny a
počáteční mikrostruktura). Vznik a šíření mikrotrhlin ovlivňuje výsledný tok kovu.
V algoritmech simulačních programů je vznik a šíření trhlin řízeno lomovým kritériem.
Pokud dojde v některém uzlovém bodě konečnoprvkové sítě k překročení kritické hodnoty
lomového kritéria, mohou (podle typu algoritmu) nastat dva případy: rozštěpení sítě, nebo
vymazání prvku. Pro svou jednoduchost je běžnější druhý přístup, zde je však nutno nastavit
dostatečně jemnou síť, aby nedocházelo k velkým chybám.
Lomová kritéria
Všechna kritéria jsou postavena na předpokladu, že poškození vznikající během
deformace vedou ke vzniku trhlin. Většina kritérií je počítána jako integrál, reprezentující
časovou závislost napětí a deformace. Trhlina vznikne, jestliže hodnota integrálu překročí
kritickou hodnotu C. V odborné literatuře je možno nalézt celou řadu vzorců pro výpočet
kritérií, jedním z nich je Oyanovo kritérium:
i (t )

0

 
1  A m d i (t )  C ,
i 

(3.13)
- 37 -
kde:  i – intenzita deformace, σh – střední (hydrostatické) napětí,  i – intenzita napětí
Podle tohoto vzorce dochází v materiálu ke ztrátě koheze po překročení kritické hodnoty
C. V obvyklých případech je C pro daný materiál konstantní. Obecně lze C vyjádřit takto:
C = f (M, T, ė, ) ,
(3.14)
kde: M - je metalurgický charakter kovu (chemické složení, čistota, struktura), T – je teplota,
ė – je rychlost deformace.
V literatuře je pro stanovení závislosti (3.14) využívaná inverzní analýza. Tedy spojení
matematického modelování pomocí programu na bázi MKP a laboratorního modelování na
vybraném zařízení. Princip je následující, pomocí matematického modelování se provede
analýza laboratorního experimentu. Pro každý uzel se stanoví velikost kritéria, případně další
zkoumané parametry (teplota, rychlost deformace, atd.), výsledky se pak porovnají s reálným
experimentem při kterém došlo ke vzniku trhliny. Pomocí zpětné vazby, lze přejít z mikro
měřítka na makro měřítko a získat tak informace o vzniku trhliny v jednotlivých krocích.
Obecně lze na základě literárních studií říci, že v jednofázové oblasti roste hodnota kritické
hodnoty lomového kritéria s rostoucí teplotou a s klesající rychlostí deformace.
Dále v naší práci je používáno Lathamovo-Cockcroftovo kritérium charakterizované
následující rovnicí:
 i (t )
  d (t )  C ,
1
(3.15)
i
0
kde: σ1 – největší hlavní napětí, C – kritická hodnota,

 i - deformace.
Tepelné vlastnosti materiálu
Součinitel tepelné vodivosti λ [W.m-1.K-1]
Představuje množství tepla v Joulech, které projde mezi body vzdálenými 1 metr za 1 s,
je-li rozdíl jejich teplot 1 Kelvin.
Charakteristickou vlastností kovů je dobrá vodivost tepla a elektřiny. Vedení elektřiny
se uskutečňuje pomocí elektronů. Na vedení tepla se podílí jak elektrony, tak vlastní mřížka
kmitáním atomů. Protože kmitající atomy jsou vzájemně spojeny vazebnými silami, ovlivňuje
kmitání jednoho atomu atomy v jeho okolí, což se navenek projeví jako vedení tepla.
Tepelná vodivost je u čistých kovů nejvyšší (u železa λ  75 W.m-1.K-1 ), kdežto
přísadovými prvky se snižuje (viz. obr. 3.2.). Pro součinitel tepelné vodivosti oceli
feritických (λf), perlitických (λp), martenzitických (λm) a austenitických (λa) platí, že:
λf > λp > λm > λa
Obecně platí: λ = f(M, t)
Součinitel tepelné vodivosti se snižuje zhuštěním mřížkových poruch, jímž se vyznačuje
struktura litá, tvářená za studena či zakalená. Pozoruhodný je vliv teploty, podle něhož se
oceli rozdělují do tří skupin, v nichž se součinitel tepelné vodivosti se vzrůstající teplotou:
•
•
výrazně snižuje (nízkouhlíkové a nízkolegované oceli) (viz. obr. 3.3. červená čára),
snižuje nevýrazně nebo se vůbec nemění (středně legované oceli),
- 38 -
•
mírně zvyšuje (vysokolegované oceli) (viz. obr. 3.3. černá čára).
Obr.3.3. Závislost součinitele tepelné
vodivosti na teplotě nízkouhlíkové a legované
oceli
Obr.3.2. Vliv přísadových prvků na
snížení součinitele tepelné vodivosti
Nad teplotou 900 °C se součinitel tepelné vodivosti všech druhů ocelí ustaluje na
hodnotě 25 W.m-1.K-1.
Vliv λ na ohřev
↑ λ =>↓τ, Δt
Větší součinitel tepelné vodivosti znamená menší teplotní spád mezi povrchem a jádrem
zahřívaného tělesa, tím i menší tepelná pnutí a kratší dobu ohřevu.
Měrná tepelná kapacita c [J.kg-1.K-1]
Množství tepla v J, které je potřeba dodat látce o hmotnosti 1 kg, aby se ohřála o 1 K.
c= f(t) ↑c =>↑τ
Vliv chemického složení je nepatrný, s teplotou měrná tepelná kapacita stoupá až
k maximu, které je při teplotě přeměny α → γ (viz. obr. 3.4.). Větší měrná tepelná kapacita
prodlužuje dobu ohřevu a zvyšuje tak jeho energetickou náročnost.
- 39 -
Obr.3.4. Závislost měrné tepelné kapacity na teplotě nízkouhlíkové a legované oceli
Hustota ρ [kg.m-3]
Hustota je nejnižší u čistých kovů, např. pro železo ρ = 7 880 kg.m-3.
ρ = f(M, t) ↑ ρ =>↑ τ
Větší hustota prodlužuje dobu ohřevu a zvyšuje jeho energetickou náročnost.
Závislost na chemickém složení lze popsat takto:
ρ0 = 7 876 - 40C - 16Mn - 73Si - 164S - 117P + 11Cu + 4Ni + Cr + 95W - 120Al
(3.16)
Pro uhlíkové oceli ρ = 7 800 až 7 850 kg.m-3, u vysokolegovaných ocelí, zejména
s větším obsahem wolframu, až 8 690 kg.m-3. Hustota dále závisí na struktuře podle vztahu:
ρaustenitu > ρbainitu > ρperlitu > ρmartenzitu a na teplotě podle vztahu:
0
(3.17)
t 
(1    t )
Kde ρ0 je hustota při teplotě 0 °C a β je teplotní objemová roztažnost (K-1).
Součinitel teplotní vodivosti a [m2.s-1]
Změna teploty s časem, ke které dochází v teplotním poli ve výrobku při nestacionárním
vedení tepla je přímo úměrná tepelné vodivosti λ, ale nepřímo úměrná měrné tepelné kapacitě
c a hustotě ρ. Proto se zavádí veličina, která charakterizuje rychlost změn teploty při ohřevu
nebo při ochlazování výrobku. Je to součinitel teplotní vodivosti nebo prostě teplotní
vodivost:
a

c
 a   ,  t ,  tep
(3.18)
Větší součinitel teplotní roztažnosti zkracuje dobu ohřevu a snižuje jeho energetickou
náročnost. Z toho plyne vyšší teplotní gradient mezi povrchem a středem polotovaru a z toho
plyne vyšší hodnota tepelného pnutí  tep .
- 40 -
Teplotní roztažnost
Za stálého tlaku se s rostoucí teplotou
zvětšují délkové rozměry i objem tuhých těles.
Poměrná změna délky je charakterizována
izobarickým součinitelem délkové roztažnosti,
který je funkcí teploty:
Délková roztažnost
lt  l0    T  T0 
(3.19)
Objemová roztažnost


Vt  V0    T  T0 
(3.20)
Tato roztažnost je nejnižší u čistých kovů,
např. u železa při teplotě 0°C je teplotní délková
roztažnost α = 11,7.10-6 K-1. Vliv uhlíku je
sotva znatelný. Největší teplotní roztažnost, α =
16 až 20.10-6 K-1, je příznačným rysem
austenitických ocelí. Při ohřevu se teplotní
délková roztažnost zvěstuje až na maximum při
teplotě překrystalizace, a poté se zmenšuje
následkem menšího objemu nové fáze.
Obr.3.5. Závislost součinitele délkové
roztažnosti na teplotě
Větší teplotní roztažnost vyvolává větší tepelná pnutí, čelí se tomu snížením rychlosti
ohřevu, což je však spojeno se zvýšením energetické náročnosti ohřevu.
Σ
Shrnutí
Seznámili jste se velkým množstvím rovnic pro popis přirozeného deformačního
odporu. Některé z nich se používají v komerčních MKP programech.
Míru tvařitelnosti materiálu lze popsat pomocí lomového kritéria.
Na vedení tepla mají vliv základní tepelné veličiny: součinitel tepelné vodivosti λ,
měrná tepelná kapacita c a hustota ρ. Snížená hodnota λ a zvýšené hodnoty c a ρ
vedou k velkým rozdílům teplot mezi povrchem a středem polotovaru. Tento rozdíl
v kombinaci s teplotní roztažností způsobuje tepelná pnutí.
3.3.
Nástroje a stroje
Geometrie nástroje, povrch nástroje, pohyb nástroje
- 41 -
Výklad
Výběr stroje pro daný proces je prováděn na základě znalosti energetických charakteristik
stroje a výrobní přesnosti nástrojů. Proměnné charakterizující válce jsou: konstrukce a
geometrie, kvalita povrchu, tuhost a mechanické a tepelné vlastnosti za podmínek tváření,
opotřebení válců (změna geometrie oproti výkresu). V případě válcovacích stolic vstupuje do
hry hlavně skok válců jako funkce válcovací síly.
Σ
Shrnutí
Výběr stroje pro daný proces je prováděn na základě znalosti energetických
charakteristik stroje a výrobní přesnosti nástrojů. Proměnné charakterizující válce
jsou: konstrukce a geometrie, kvalita povrchu, tuhost a mechanické a tepelné
vlastnosti za podmínek tváření, opotřebení válců (změna geometrie oproti výkresu).
V případě válcovacích stolic vstupuje do hry hlavně skok válců jako funkce
válcovací síly.
3.4.
Tribologie
Tribologie, kontakt, tření, opotřebení, mazání, Coulombův zákon, tření podle Trseca
Výklad
Tribologie je vědní obor, jež se zabývá chováním dotýkajících se povrchů ve vzájemném
pohybu nebo při pokusu o vzájemný pohyb. Vzájemné vazby v tribologickém systému jsou
uvedeny na 06. Zvláštnosti tribologického procesu při válcování ve srovnání s kontaktem
dvou tuhých těles v mechanice: válce se deformují pružně, tvářené těleso plasticky; povrch
vývalku se stává otiskem válců; vysoký tlak na stykové ploše (až 500 MPa válcování za tepla,
až 2 500 MPa válcování za studena); velikost stykové plochy není stálá, postupně se zvětšuje.
- 42 -
Obr. 3.6.Vzájemné vazby v tribologickém systému

Kontaktní procesy
Vzájemný kontakt je základním znakem chování tribologického systému. Je třeba
uvažovat se základními tvarově-rozměrovými (viz. 07.) a materiálovými vlastnostmi
dotýkajících se částí, jejich vzájemnou vazbou a reakcích mezi nimi. Interakce mohou být
materiálové, fyzikální, chemické atd.
Je třeba zvažovat tyto vlivy:

počet těles v kontaktu,

makrogeometrii a mikrogeometrii těles,

fyzikální, chemické a mechanické vlastnosti,

druh deformace mezi tělesy,

typ a rychlost relativního pohybu.
Obr. 3.7 Tvarově-rozměrové charakteristiky povrchu
Na stykovou plochu tribologického systému lze pohlížet z těchto hledisek:



mechanické hledisko
makroskopické hledisko
mikroskopické hledisko
- 43 -

Mechanické hledisko
Styková plocha je z mechanického hlediska tenkou vrstvou mezi tuhým nástrojem a
plastickým tělesem. Předpoklad nástroje jako tuhého tělesa vede k zanedbání vlivu deformace
nástroje na třecí síly. Výhodou je, že není vyžadována hlubší znalost vlastností mezní vrstvy a
tudíž se ani neočekávají žádné změny jejích vlastností.
Tento zjednodušený model je ideální při výpočtu základních parametrů válcování, ale
není vhodný (použitelný) chceme hlouběji porozumět zdroji třecích sil, mazání nebo
opotřebení.
Ačkoliv může být rozhraní mezi nástrojem a polotovarem popsáno pomocí smykového
napětí τ, je výhodnější používat tyto bezrozměrné faktory:


koeficient tření μ
součinitel smykového tření m

Makroskopické hledisko










pracujeme s následujícími jevy:
nástroj se nechová jako tuhé těleso a je
popsán modulem pružnosti a pevností,
umožňuje tak zohlednit zploštění válců,
plastickou deformaci válců případně i
poškození válců,
materiál nástroje i polotovaru lze popsat
takovými parametry, aby bylo možno
počítat přitažlivé síly (tlakové svaření),
nebo adhezi v kontaktní zóně,
je možno uvažovat, že teplota nástroje a
polotovaru se v průběhu deformace mění
(deformační teplo, teplo vzniklé třením) a
má dále vliv na součinitel tření.
Obr. 3.8. Rozhraní válec-polotovar
z makroskopického hlediska [31]
Mikroskopické hledisko
Umožňuje vzít do úvahy další tribologické jevy:
okamžité hodnoty výstupků a rýh nástroje i polotovaru (jejich velikost i geometrii), které
mají vliv nejen na vlastní třecí síly, ale i na stabilitu mazacího filmu,
je možno pracovat s materiálem nástroje, jako s kompozitem tvrdých částic (karbidů) a
pojiva (hotovní bloky při válcování drátu),
povrchové vrstvy polotovaru i nástroje mohou mít definovány odlišné vlastnosti (např.
vlivem difúze),
pracovní povrchy mohou být pokryty produkty interakce s okolím (okuje),
mazivo může být chápáno jako chemicky aktivní látka, jejíž vlastnosti nezávisí jen na
jejím složení, ale i na molekulární formě, ve které se nacházejí.
Třecí procesy
Mechanické tření je výsledkem smykového kontaktu mezi dvěma povrchy, které jsou
obvykle suché nebo s mazivem. Tření brání organizovanému pohybu těles a způsobuje
44
disipaci mechanické práce nevratnou přeměnou na teplo. Tření mezi suchými povrchy má
nespojitý charakter. Tečná (třecí) síla (napětí) je úměrná normálové síle (napětí) působící na
povrch:

T i
 ,
N p
(3.21.)
kde T je síla působící proti pohybu (třecí síla), N je normálová síla, τi je smykové napětí
na kontaktním povrchu, p je normálový tlak. Obě napětí získáme tak, že vydělíme příslušné
síly velikostí stykové plochy S (viz. obr. 3.9.).
Pro tření platí dva základní zákony:

Třecí síla je přímo úměrná normálové síle

Třecí síla je nezávislá na velikosti stykové plochy
To znamená, že pokud je koeficient tření konstantní, roste třecí síla s rostoucím
normálovým tlakem. Tento vztah platí, ale pouze pro kluzné tření, kterému se také říká
Coulombovo tření.
Podmínku kluzného (sliding) tření lze vyjádřit takto:
i    p  k ,
(3.22.)
kde k je pevnost ve smyku.
Obr. 3.9. Smykové napětí na kontaktním povrchu a maximální velikost koeficientu tření v závislosti na
normálovém tlaku
Jestliže τi překročí hodnotu k, dojde ve tvářeném tělese ke smykové deformaci spíše než
ke skluzu tvářeného tělesa po nástroji. V tomto případě hovoříme o smykovém (sticking)
tření.
45
Podmínku smykového (sticking) tření lze vyjádřit takto:
i    p  k ,
(3.23.)
Pokud nastane tato situace není koeficient tření dále aplikovatelný. Někteří výzkumníci
nabízejí jako alternativu k součiniteli tření smykový faktor m.
Součinitel smykového tření (Tresca):
 i  m  max ,
(3.24.)
kde m nabývá hodnot od 0 (nulové tření) do 1 (smykové tření)
Obecně můžeme říct, že Coulombův model poskytuje přesnější výsledky při působení
menších tlaků, za podmínky: p   max a v opačném případě kdy: p   max nám použití
Trescova modelu přinese lepší výsledky. Kombinaci obou modelů nabízí Lavanovův
a Wanheim-Bayův model. Při objemovém tváření se tedy používá nejčastěji rovnice (3.24),
zatímco rovnice (3.21) je používána např. při tváření plechů. Pro různé tvářecí podmínky
nabývá faktor m těchto hodnot:
 m = 0,05 – 0,15 při tváření ocelí a slitin mědi a hliníku za studena s použitím
konvenčních mýdlových prášků a emulzí,
 m = 0,2 – 0,4 při tváření ocelí a slitin mědi a hliníku za tepla s použitím maziv na bázi
grafitu (grafit – voda; grafit – olej),
 m = 0,1 – 0,3 při tváření titanu a slitin vysokou teplotou tání se sklem jako mazivem,
 m = 0,7 – 1,0 tváření bez použití maziv, např. válcování plechů a sochorů za tepla,
protlačování hliníkových slitin.
Maziva neovlivňují jen třecí faktor, ale také přestup tepla mezi teplým polotovarem a
studeným nástrojem.

Procesy opotřebení
Opotřebení je nežádoucí změna (úbytek) povrchu nebo rozměrů tuhých těles, způsobená
buď vzájemným působením funkčních povrchů, anebo funkčního povrchu a média, které
opotřebení vyvolává. Projevuje se odstraňováním či přemísťováním částic hmoty z funkčního
povrchu mechanickými účinky, někdy doprovázenými i jinými vlivy, například chemickými,
elektrochemickými a pod. Existuje šest základních druhů opotřebení: abrazivní, adhezivní,
erozivní, únavové, kavitační a vibrační.
Měření lze kvantitativně popsat pomocí opotřebení Ws [mm3/N.m](definovaným jako
objemová ztráta materiálu v závislosti na délce kontaktu a přítlačné síle).
S opotřebením se v matematické analýze válcování můžeme setkat buď v podobě modelů
aplikovaných do programů na bázi MKP, které dokáží vypočítat míru opotřebení nástroje,
nebo v podobě změny počáteční geometrie válce.

Procesy mazání
Pokud vycházíme ze základního tribologického systému mohou nastat čtyři základní
stavy tření:
46




Tření suchých těles (suché tření)
Tření kapalinové
Tření plynné
Tření plazmatické
Jednotlivé stavy se v praxi vyskytují omezeně, často nastává kombinace jednotlivých
druhů. Při kluzném tření dvou pevných kovů vznikají podle Stribecka při určitém
zjednodušení 4 druhy tření:
 Suché tření je charakterizováno vysokou hodnotou koeficientu tření
 Hraniční tření vzniká mezi dvěma kluznými plochami, mezi kterými je velice tenká
molekulová vrstva mazacího filmu. Je charakterizováno tím, že se při zvyšující se
relativní rychlosti třecích ploch výrazně snižuje koeficient tření. Hraniční tření vzniká při
velikém zatížení a relativní malé kluzné rychlosti.
 Hydrodynamické tření vzniká při tak vysoké relativní kluzné rychlosti, při které nelze
přesně stanovit závislost mezi koeficientem tření a relativní kluznou rychlostí. Tření
vzniká působením vnitřního tření mazací vrstvy. U hydrodynamického tření roste
koeficient tření v závislosti na relativní kluzné rychlosti jen velice pomalu. Kromě toho je
velikost koeficientu tření výrazně závislá na středním tlakovém napětí mazacího filmu.
Čím vyšší je plošný tlak, tím nižší je hodnota koeficientu tření.
 Smíšené tření je definováno jako přechodná oblast mezi hraničním třením a
hydrodynamickým třením. Tlak přenášející mazací film hydrodynamického tření je v
důsledku vrcholků drsnosti povrchu třecích ploch přerušován. Smíšené tření vzniká
především při nízkých relativních kluzných rychlostech a vysokých zatížených při
tenkých tekutých mazacích filmech anebo při nedostatečném přísunu maziv k třecím
plochám.
Existují různé metody stanovení modelu tření (při válcování): metoda s využitím
předstihu, metoda brzdění vzorku, metoda kroutícího momentu.
Σ
Shrnutí
Problematika tření je největším zdrojem chyb při matematickém modelování
tvářecích procesů. Do hry vstupuje celá řada faktorů, které se v drtivé většině
případu zjednodušují na pouhou znalost koefientu (Coulomb) nebo součinitele
(Tresca) tření.
3.5.
Tok kovu
Zákon toku kovu cestou nejmenšího odporu, deformační odpor, tření
47
Výklad
Podle zákona nejmenšího odporu se částice kovu přemísťují ve směru nejnižšího odporu,
neboť je to energeticky nejvýhodnější. Průběh toku kovu ovlivňuje vlastnosti a kvalitativní
parametry výrobku a silové a energetické požadavky na proces .




Tok kovu závisí hlavně na:
geometrii a způsobu pohybu nástrojů,
podmínkách tření,
teplotních a rychlostních podmínkách v pásmu deformace (deformační odpor) a
na tvaru tuhých konců polotovaru.
První tři body již byly podrobně rozepsány v předcházejících kapitolách. Tuhé konce‚
tedy ta část, která neleží v oblasti pásma deformace polotovaru, ovlivňují výsledný tok kovu
při válcování velmi významně. To je z technologické praxe známá věc, že počátek a konec
provalku šíří zcela jinak, než oblasti válcované v tzv. ustáleném stádiu válcování. Při
matematickém modelování, je tedy zapotřebí dostatečně dlouhých tuhých konců s přiměřenou
hustotou konečnoprvkové sítě. Tuhé konce navíc průběh deformace v provalku ovlivňují i
vlastní hmotností, kdy může při válcování nesymetrických vývalků docházet ke zkrucování
vývalku kolem jeho podélné osy.
Σ
Shrnutí
Tok kovu ovlivňují činitelé mající přímý vliv na deformační odpor a také geometrie
polotovaru a nástrojů a tuhé konce. Právě délka tuhých konců bývá často při
simulacích podceňována.
48
3.1. Definujte jednotlivé složky systému tváření kovů.
3.2. Co všechno ovlivňuje tok kovu při tváření?
3.3. Jaké znáte materiálové proměnné při tváření?
3.4. Jaké znáte procesní proměnné při tváření?
3.5. Co je to anizotropie?
3.6. Na čem závisí přirozený deformační odpor?
3.7. Jaké existují typy rovnic pro popis přirozeného deformačního odporu?
3.8. Definujte metalurgickou tvařitelnost. Jak se liší od technologické tvařitelnosti?
3.9. Co je to lomové kritérium? Jak lze stanovit jeho kritickou hodnotu?
3.10.
Jaké znáte tepelné vlastnosti materiálu? Definujte je.
3.11.
Jak tepelné vlastnosti materiálu ovlivňují vedení tepla?
3.12.
Co je součástí tribologického procesu?
3.13.
Charakterizujte povrch polotovaru z pohledu tvaru a rozměru.
3.14.
Z jakými parametry pracujeme, posuzuje-li kontakt z makroskopického hlediska?
3.15.
Jak je definován součinitel tření?
3.16.
Za jakých podmínek dochází ke kluznému tření?
3.17.
Jaký model popisuje smykové tření?
3.18.
Jaký model tření použijete při objemovém tváření za tepla?
3.1.Nakreslete schéma systému tváření kovů pro zápustkové kování.
3.2.Nakreslete křivku popisující deformační odpor při tváření za tepla, definujte
všechny související parametry.
Další zdroje
[01] ŽÍDEK, M., DĚDEK, V., SOMMER, B., Tváření oceli. SNTL, Praha 1988, ISBN
04-408-88
[02] KOBAYASHI, S., OH, S., ALTAN, A. Metal forming and the finite element
[03] LENARD, J.G., PIETRZYK, M., CSER, L. Mathematical and Physical
Ltd,1999, 364 p., ISBN 0 08 042701 4
49
Termomechanická analýza ve tváření
4. TERMOMECHANICKÁ ANALÝZA VE TVÁŘENÍ
Cíl:

Rozeznat jednotlivé úrovně termomechanické analýzy při tváření

Definovat vazby mezi jednotlivými proměnnými systému

Aplikovat 4 kroky pro úspěšné použití simulace při analýze tváření.
Obsah kapitoly 4
4.1.
Úvod
Globální, místní a mikroskopická analýza, rekrystalizace, precipitace, deformační
odpor, deformační rychlost, tok kovu, teplotní pole
Výklad
Pro dokonalý návrh, řízení a optimalizaci tvářecích procesů potřebujeme mít informace o
toku kovu, napětích a přestupu tepla, stejně jako technologické informace o mazání, o
způsobu ohřevu a ochlazování, o manipulaci s materiálem, o tvaru a zpracování nástrojů a o
tvářecím zařízení.
Důvodem proč analyzovat proces tváření je popsat mechaniku procesů plastické
deformace s ohledem na následující body:
 Nalézt kinematické vazby (tvar, rychlost, deformační rychlost, deformace) mezi
nedeformovanými částmi a polotovarem; tj. predikce toku kovu během tvářecí operace. Tento
bod také zahrnuje predikci teploty a přestupu tepla, protože tyto proměnné mají velký vliv na
místní podmínky toku kovu.
- 50 -
 Nalézt limity tvařitelnosti nebo výrobnosti; tj. určit, zda je možno provést danou tvářecí
operaci bez vzniku povrchových nebo vnitřních defektů (trhlin nebo přeložek).
 Predikovat napětí, síly a energii potřebné k uskutečnění tvářecí operace. Tyto informace
jsou nezbytné při návrhu nástrojů a pro výběr přiměřeného zařízení s adekvátní silovou a
energetickou kapacitou.
Celková analýza je tedy prostředkem, který nám umožní odhadnout, jaký bude tok kovu,
zda bude dosaženo požadovaného tvaru a jaké budou mechanické parametry produktu.
Pro jakýkoliv tvářecí problém můžeme navrhnout obecné úrovně problému
(viz. tabulka 4.1):
Tabulka 4.1 Úrovně simulace procesu
Úroveň
Výsledky
1. úroveň – globální analýza
Síla
Práce
Výkon
Teplotní pole
Termomechanické parametry
( T ,  , , )
2. úroveň – místní analýza
3. úroveň – mikroskopická
analýza
Velikost zrna
Zpevňování
Uzdravování
Fázové transformace
Precipitace …
1. úroveň
Výsledky znalostí první úrovně jsou nezbytné pro stanovení základních technických
parametrů tvářecích strojů a provozů. Nejdůležitější je přesné stanovení geometrie tvářeného
tělesa před a po deformaci, jeho hmotnost, teplotní pole, požadovanou sílu a z toho práci a
výkon. Toto umožňuje buď navrhnout klasické (technologicky zvládnuté) výrobní zařízení,
nebo může vést k zásadním inovačním změnám.
2.úroveň
Ke zjištění základních termomechanických veličin a jejich průběhů ve tvářeném tělese se
dnes nejčastěji využívá metoda konečných prvků (MKP).
3. úroveň
Její složitost je nejlépe znázorněna na vývojovém diagramu obr. 4.1. , kde jsou
zachyceny základní vazby (plnými čarami) a naznačeny další interakční děje (tečkovanými
čarami). Provázanost a složitost vztahů je zde veliká. Každé jednotlivé problematice a ještě
dalším dějům (např. překrystalizace) musí být věnována samostatná pozornost, avšak bez
ztráty zřetele souvislého celku. Pokud budeme uvažovat i precipitační děje, tak se celá
struktura ještě více zkomplikuje.
- 51 -
Obr. 4.1.. Vícestupňová simulace pro řešení tvářecích parametrů.
Vzájemné vazby mezi technologickými parametry procesu a hlavními veličinami z první
a druhé skupiny jsou ve zjednodušené formě znázorněny na obr. 4.2. Proměnné z třetí
skupiny je možno s daným schématem spojit přes jejich vliv na deformační odpor.
Obr. 4.2.. Interakce mezi hlavními proměnnými ve tváření kovů.
Celkově lze říci, že pro úspěšné použití simulace, vedoucí k praktické aplikaci, jsou nutné
nejméně tyto čtyři předpoklady:
1. Existence modelového schématu toku kovu a modelu přestupu tepla v diferenciálních
rovnicích a vhodný matematický a počítačový program (na bázi MKP).
2. Rovnice a konstanty pro popis křivek zpevnění, strukturních změn, teplotního pole, atd.
- 52 -
3. Plastometrická simulace, potvrzující platnost a funkčnost (v daných mezích) teoretických
vztahů a doplňující je o konkrétní hodnoty.
4. Pilotní simulace, pro verifikaci matematického modelu a okrajových a počátečních
podmínek.
Σ
Shrnutí
Při modelování můžeme problém zkoumat na globální úrovni (na to nám obvykle
stačí funkční analýza) na místní úrovni (zde se nejčastěji setkáme s MKP) a na
mikroskopické úrovni (kdy simulujeme např. chování jednotlivých zrn při
rekrystalizaci např. metodou MonteCarlo).
Pro správně provedenou analýzu je nezbytná znalost vazeb mezi proměnnými
v systému. Měli by jste dokázat sami najít další vazby, které nejsou na obr. 4.2.
zakresleny.
4.1. Vysvětlete jednotlivé úrovně termomechanické analýzy tváření. Uveďte
příklady.
4.2.Jak mazivo ovlivňuje tvařitelnost?
4.3.Jak rychlost nástrojů ovlivňuje tok kovu při tváření?
4.4.Uveďte příklad jak lze při poloprovozním válcování verifikovat okrajové
podmínky matematické analýzy?
4.5.Co je to plastometr?
4.1.Navrhněte plastometrický experiment pro ověřenímodelu deformačního odporu
oceli.
Další zdroje
[01] ŽÍDEK, M., DĚDEK, V., SOMMER, B., Tváření oceli. SNTL, Praha 1988, ISBN
04-408-88
[02] KOBAYASHI, S., OH, S., ALTAN, A. Metal forming and the finite element
[03] LENARD, J.G., PIETRZYK, M., CSER, L. Mathematical and Physical
Ltd,1999, 364 p., ISBN 0 08 042701 4
- 53 -
Matematické modely
5. MATEMATICKÉ MODELY
Cíl:




Rozlišovat modely pro popis toku kovu
Používat modely pro popis přestupu tepla.
Diskutovat o možných chybách při použité nesprávných modelů.
Sestavit kompletní model pro popis vývoje mikrostruktury.
Obsah kapitoly 5
5.1.
Model toku kovu
Pružně-plastická formulace, Tuho-plastická formulace, Tuho-vazko-plastická
formulace
Výklad

Pružně-plastická formulace MKP
Obecně je pro tváření, kde převládají velké plastické deformace, preferován tuhoplastický materiálový model. Některé úlohy, např. z tváření plechů, obecně všechny úlohy
řešící zbytková pnutí, musí být simulovány s použitím pružně plastického materiálového
modelu.
a) Konstitutivní rovnice
Pro pružnou oblast platí zobecněný Hookův zákon:
1 v 
v

d ije 
  d ij 
  ij  d kk 
.
(5.1)
E 
1 v

- 54 -
Matematické modely
Pro plastickou oblast teorie Prandtl-Reuss (s HMH podmínkou plasticity) zahrnující pružnou i
plastickou oblast:
d ij  d ije  d ijp
,
(5.1)
d ijp  d   ij
2
s  ij   ij   2
3
   d ke 
v

d ij  2  G d ij   ij 
 d kk   ij  ke

1 2 
S


kde
,
(5.2)
,
(5.3)
,
(5.4)
ij je deviátor napětí,
 je Poissonova konstanta,
G je modul pružnosti ve smyku,
ij je Kroneckrovo delta (pro i = j je ij = 1; pro i  j je ij = 0),
S je materiálová konstanta,
 je intenzita napětí.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
b) Formulace
Používá se Lagrangeova souřadného systému (okamžitá deformace je vztahována
k původní nedeformované konfiguraci).
Úloha je řešena v prostoru napětí nebo v deformaci.
Neznámou veličinou je posunutí.
Základní funkcionál je založen na variačním principu nebo na principu virtuálních prací.
Pro velké deformace se používá přírůstkového řešení.
c) Výhody
Bere v úvahu přechod od pružného k plastickému stavu (např. Poissonova konstanta
  f ( ) ).
V řešení je zahrnuta pružná i plastická oblast.
Je uvažováno s geometrickou nestabilitou a nehomogenitou.
Lze postihnout zbytková napětí, odpružení a tření.
d) Nevýhody
1. Komplikované řešení pro nelineární tváření materiálu.
2. Vysoké nároky na výpočetní čas, zejména je-li použita teorie tečení.
3. Numerické chyby se mohou akumulovat.

Tuho-plastická formulace MKP
Levy-Misesův materiálový zákon:
2 
 ij    ij
[Pa]
3 
  Re pro tuhý materiál,
kde
,
  Re pro plastický materiál,
Re mez kluzu,
- 55 -
(5.5)
Matematické modely
 je intenzita rychlosti deformace.
b) Formulace
1. Používá se Eulerův systém souřadnic (deformace je vztahována k okamžité hodnotě).
2. Neznámou je rychlostní pole.
3. Problémy související s požadavky plnění podmínky nestlačitelnosti se ve funkcionálu
        Ti  ui  dS
,
(5.6)


řeší použitím penalizační funkce nebo Lagrangeova multiplikátoru.
4. Analýza nestacionárního tvářecího procesu je prováděna inkrementálně prostřednictvím
velkého počtu malých ustálených (stacionárních) deformačních kroků.
c) Výhody
1. V každém iteračním kroku je dán linearizovaný vztah mezi napětím a rychlostí deformace.
2. Pro nestacionární problémy je použito kvazi-stacionární řešení.
3. Krátký výpočetní čas.
d) Nevýhody
1. Nelze zahrnout pružné zatížení.
2. Nelze počítat s geometrickou nelinearitou a nehomogenitou.

Tuho-vazko-plastická formulace MKP
Materiál je považován za „ne newtonovskou“ kapalinu, pro kterou je adaptována
podmínka plasticity HMH.
b) Formulace řešení
Stejná jako tuho-plastická formulace.
c) Výhody
1. Je možná simulace tváření za tepla.
2. Každý iterační krok má fyzikální smysl nestacionárního procesu.
d) Nevýhody
1. Pružná deformace je zanedbána.
2. Systém nelineárních rovnic je citlivý na koeficient viskozity.

Okrajové podmínky
Napěťová okrajová podmínka na  F může být buď nulová nebo v nejlepším případě
popsána rovnoměrným hydrostatickým tlakem. Avšak na styčné ploše mezi nástrojem a
polotovarem bývá okrajová podmínka obvykle smíšená. Kromě toho, ani rychlost a ani síla
(počítaje v to velikost i směr), nemůže být na styčné ploše zcela předepsána, protože třecí
napětí působí v opačném směru než vzájemná rychlost mezi polotovarem a nástrojem,
přičemž tato rychlost nebývá apriori známa.
- 56 -
Matematické modely
Σ
Shrnutí
Rozeznáváme tři základní formulace MKP. Jejich výběr se řídí typem úlohy, kterou
chceme řešit. Zohledňujeme složitost výpočtu a případné chyby plynoucí
z přílišného zjednodušení.
5.2.
Model přestupu tepla
Biotovo kritérium, okrajové podmínky, součinitel přestupu tepla
Výklad

Úvod
Poměrně malá znalost průběhu teplot v kovu během válcování souvisí se značnou
složitostí tohoto procesu, neboť změna teplot válcovaného kovu je ovlivněna odvodem tepla,
zejména konvekcí a sáláním, a přívodem tepla při deformaci kovu. Dále složitost řešení
změny teplotního pole válcovaného kovu spočívá v tom, že se jedná v celém objemu o
nestacionární přestup tepla, tedy o časově neustálený tepelný děj (obr. 5.1).
1200
1180
x bar + s
1160
teplota [°C]
x bar
1140
1120
x bar - s
1100
1080
1060
9:20:00
9:30:00
9:40:00
9:50:00
10:00:00
10:10:00
10:20:00
10:30:00
10:40:00
čas [h:m:s]
Obr. 5.1 Průměrné teploty tyčí za 1. stolicí. (HCC, ArcelorMIttal Ostrava)
- 57 -
Matematické modely
b °C
1 014
a
1 115 °C
1 166 °C
1 010 °C
1 055 °C
1 600
b
Směr válcování
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
0
Obr. 5.2. Povrchové teploty při válcování kolejnice R 65 v 5. kalibru: a) schéma teplot naměřených
pyrometrem, b) fotografie povrchu.
Pokles teploty při válcování profilové oceli je poněkud odlišný než při válcování bloků a
bram, neboť složitost tvaru profilu vnáší do rozdělení teplot po jeho průřezu celou řadu
zvláštností. Základní rozdíl spočívá v tom, že při průchodu provalku kalibrem nastává při
plastické deformaci složitější tečení kovu, než při válcování na hladkých válcích, čímž se
značně komplikuje stanovení počáteční podmínky řešení po každém průchodu kalibrem. Další
komplikace vzniká tím, že válcovaný profilový provalek nechladne rovnoměrně, vznikají
tepelné uzly a tenčí části profilu chladnou rychleji, což znerovnoměrňuje teplotní pole po jeho
průřezu. Typickým příkladem je válcování kolejnice R65 v pátém, tzv. rozřezaném, kalibru,
viz. obr. 5.2., kdy při oddělování budoucí hlavy a patky proniká hřeben kalibru hluboko
dovnitř provalku a odkrývá tak vnitřní vrstvy kovu s mnohem vyšší teplotou.
- 58 -
Matematické modely
Teplotní změny provalků v průběhu válcovacího procesu možno zjednodušeně vyjadřovat
jako změny průměrné teploty provalku, nebo přesněji, jako změny teplotního pole po průřezu
provalku po délce válcovací tratě. Pro kalibrační výpočty bylo zatím uvažováno s průměrnou
teplotou provalku, což nevystihuje teplotní podmínky u tvarově složitého sortimentu. Určení
teplotního pole po průřezu je obtížnější s ohledem na definování okrajových podmínek.

Matematické modelování změn teplot při válcování tvarových vývalků
Při řešení změn teplotních polí válcovaného materiálu je možno obecně použít analytické
nebo numerické metody řešení. Analytické řešení Fourierovy diferenciální rovnice popisující
nestacionární vedení tepla je možno provést různými metodami.
Fourierova diferenciální rovnice pro těleso popsané v kartézské soustavě souřadnic má
následující tvar:
  2t  2t  2t 
t
 a .  2  2  2 

y
z 
 x
[K.s-1]
,
(5.7.)
kde a je součinitel teplotní vodivosti [m2.s-1],
t je teplota [K],
 je čas [s],
x,y,z jsou souřadnice [m].

Podmínky jednoznačnosti
Správné stanovení kinetiky změny teplotního pole závisí na podmínkách jednoznačnosti:
fyzikálními podmínkami – součinitel tepelné vodivosti, hustota, měrná tepelná kapacita aj.;
geometrickými podmínkami – tvar a rozměry kolejnice;
okrajovými podmínkami (počáteční + povrchové) – charakterizují počáteční rozložení teplot
v tělese a vzájemné působení mezi tělesem a okolím.
Počáteční podmínky definují rozložení teplot v provalků počátečním stavu řešení. Při
řešení se používají zejména dva druhy počátečních podmínek:
1. Teplota je v počátečním čase řešení konstantní ve všech bodech provalku.
t  t 0  konst
,
(5.8)
2. Rozdělení teplot v počátečním čase řešení je popsáno známou funkční závislostí (obr. 5.3.).
t x, y, poč   konst [°C]
,
(5.9)
Obr. 5.3. Teplotní pole před válcováním, popsané pomocí exponenciální funkce. (Výsledek
operace ochlazování)
- 59 -
Matematické modely
Obr. 5.4. Teplotní pole po válcování, obvykle velmi složité, standardně nelze pomocí
programů na bázi MKP zadat.
Rozložení teplot u tvarově složitých vývalků je ovlivněno podmínkami válcování, které
lze např. vyjádřit pomocí poměru délky oblouku záběru ku počáteční tloušťce materiálu.
Průběh teplotních nárůstů vlivem plastické deformace lze pak vyjádřit jako
pro
ld/h0 < 0,7
je
∆tdef = f1 (y) [K]
,
(5.10)
pro
ld/h0 = 0,7 až 1
je
∆tdef = f2 (y) [K]
,
(5.11)
pro
ld/h0 = 0,7 až 1
je
∆tdef = f3 (y) [K]
,
(5.12)
kde
f1 je funkce ∆tdef podle obr. 5.5a,
f2 je funkce ∆tdef podle obr. 5.5b,
f3 je funkce ∆tdef podle obr. 5.5c,
ld  R.h - délka pásma deformace [m],
R – poloměr válce [m],
h – absolutní výšková deformace [m].
y
y
a
h0
tdef
y
c
b
h0
h0
tdef
tdef
Obr. 5.5. Průběh přírůstku teplot pro podmínky válcování.
Mimo vznik deformačního tepla při válcování, existuje celá řada dalších činitelů, kteří
ovlivňují rozložení teplot po průřezu kolejnice, jako např. vznik tepla vlivem tření, kontakt
provalku s dopravníkem a v hlavní míře kontakt provalku s válci, kdy dochází k intenzivnímu
- 60 -
Matematické modely
přestupu tepla, který je však ovlivněn celou řadou těžko definovatelných parametrů
(přítomnost okují, chlazení válců vodou apod.).
Ohřevem zkoumaného vzorku v peci tedy nelze dosáhnout shodného
rozložení teplot, jako u materiálu válcovaného, a to zvláště u tak složitého
profilu, jako jsou kolejnice. Rozdíl v počátečních podmínkách matematického
modelu a skutečné kolejnice se projeví chybou řešení v průběhu výpočtu. Tato
chyba dosahuje nejvyšších hodnot v počáteční fázi ochlazování a s teplotou se
následně snižuje.
Povrchové podmínky charakterizují tepelné poměry na povrchu provalku. Obecně lze
definovat čtyři druhy povrchových podmínek:
Podmínka I. druhu (Dirichletova)
V libovolném časovém okamžiku je známo rozložení teplot na povrchu:
tp  f 1 
,
(5.13)
kde tp je teplota povrchu [°K],
 je čas [s].
Podmínka II. druhu (Neumanova)
V libovolném časovém kroku je známá hustota tepelného toku povrchem

t
x
x 0
 q  f 2 
,
(5.14)
kde  je součinitel tepelné vodivosti [W.m-1.K-1],
q je hustota tepelného toku [W.m-2].
Podmínka III. druhu (Fourierova)
V každém časovém okamžiku je známá teplota okolního prostředí a je dán matematický
vztah pro přestup tepla mezi prostředím a povrchem tělesa
t

x 0    tp  to 
x
,
(5.15)
-2 -1
kde  je součinitel přestupu tepla [W.m .K ].
Podmínka IV. druhu
Povrch tělesa je vystaven tepelnému působení jiného tělesa s nímž je v přímém kontaktu.
Dotyk na povrchu obou těles je zcela dokonalý, takže teplota dotýkajících se bodů těles je
stejná. Tato podmínka tedy vyjadřuje rovnost tepelných toků na rozhraní obou těles

t1
x1
x 0
 
t 2
x 2
.
x 0
(5.16)
Povrchové podmínky zohledňují odvod tepla při chladnutí kolejnice po válcování. Použití
povrchové podmínky II. druhu je v praktickém měření obtížné. Při neznalosti povrchové
podmínky I. druhu je výhodnější použití povrchové podmínky III. druhu, která vyžaduje
znalost celkového součinitele přestupu tepla konvekcí a sáláním C. Hodnoty tp lze pak
stanovit extrapolací hodnot teplotního gradientu experimentálního měření vnitřních teplot
vzorku kolejnice.
- 61 -
Matematické modely

Volné ochlazování na vzduchu
V nedávné době byla většina standardních kolejnic ochlazována tímto způsobem. Při
sdílení tepla se projevuje záření povrchu oceli a volná konvekce. Tento způsob je
nejjednodušší, ale vykazuje nízkou intenzitu chlazení. Pro určení součinitele  lze použít tyto
vztahy:
,
(5.17)
 c   k   s [W.m-2.K-1]
kde k je součinitel tepelné vodivosti konvekcí [W.m-2.K-1],
s je součinitel tepelné vodivosti sáláním [W.m-2.K-1].
Určení součinitele přestupu tepla konvekcí:
Nu  
k 
[W.m-2.K-1]
l
kde
Nu  c  Gr  Pr 
n
,
je Nusseltovo kritérium (sdílení tepla konvekcí) [ - ],
(5.18)
(5.19)
g    T  l 3
je Grasshoffovo kr. (přir. konvekce vazké tekutiny) [ - ], (5.20)
v2
v
je Prandtlovo kritérium (sdílení tepla v tekutinách) [ - ], (5.21)
Pr 
a

je součinitel tepelné vodivosti [W.m-1.K-1],
l
je charakteristický rozměr [m],
g
je tíhové zrychlení [m.s-2],

je teplotní objemová roztažnost [K-1],
T
je rozdíl teplot [K],
v
je kinematická viskozita tekutin [m2.s-1],
a
je součinitel teplotní vodivosti [m2.s-1].
Gr 
Tabulka 5.1 Hodnoty koeficientů c, n v rovnici (5.19)
Rozmezí platnosti
1  10-3 < Gr  Pr < 5  102
5  102 < Gr  Pr < 2  107
2  107 < Gr  Pr < 1  1013
c
1,180
0,540
0,135
n
0,125
0,250
0,330
Určení součinitele přestupu tepla zářením:
 T p  4  T  4 
   ok  
C0   n  
100

  100  
s 
Tp  Tok 
[W.m-2.K-1]
,
Kde n je součinitel poměrné pohltivosti, který se stanoví z obecného vztahu:
1
n 
[-] ,
1 
1

  1.12    1. 21  1
 1 
 2 
kde
1, 2
je součinitel poměrné pohltivosti pro povrch 1; 2 ,
- 62 -
(5.22)
(5.23)
Matematické modely
12, 21
jsou úhlové součinitele přenosu tepla sáláním z povrchu 1 na povrch 2 a
z povrchu 2 na povrch 1.
Povrch 1 tvoří povrch kolejnice, hlava, pata, boční stěny. Povrch 2 tvoří plocha okolí
nebo chladníku.
Pro horní plochu hlavy a spodní plochu paty ležící kolejnice je úhlový součinitel 12 = 1.
Pro svislé stěny kolejnice je úhlový součinitel
S
[-]
,
(5.24)
12  3
S1
kde S3
je fiktivní plocha daná délkou kolejnice a vzdáleností mezi horním koncem
paty a dolním koncem hlavy kolejnice v metrech,
S2
je plocha vnitřní stěny kolejnice v metrech.
Pro sálání spodní stěny kolejnice na chladník lze předpokládat sálaní dvou rovnoběžných
ploch, pak 12 = 1 a 21 = 1.
Na obr. 5.5. je uvedena závislost součinitele přestupu tepla na teplotě a emisivitě
ochlazovaného povrchu. Graf byly vypočten programem TTSteel 2.0 na základě rovnic (5.22)
až (5.24).
-1
-1
součinitel přestupu tepla (W.m .K )
250
emisivita 1,0
emisivita 0,8
200
emisivita 0,6
emisivita 0,4
150
emisivita 0,2
100
50
0
0
100
200
300
400
500 600 700
Teplota (°C)
800
900 1000 1100 1200
Obr. 5.5. Závislost  na teplotě a emisivitě ochlazovaného povrchu pro teplotu vzduchu 20 °C.

Zrychlené ochlazování vodou
Voda je nejintenzivnější kalící prostředí. Její předností je vysoká ochlazovací účinnost
v oblasti perlitické přeměny. Chlazení je založeno zejména na odpařování vody. Při vysokých
teplotách oceli se vznikající bubliny spojí v souvislou parní blánu a začne blánový var (při
Tp  250°C). Vytvoří se tenká vrstva vodní páry, tzv. parní polštář. Tato vrstva působí jako
izolátor a intenzita ochlazování klesá. Na sdílení tepla se podílí záření přes vrstvu a vedení.
K narušení parního polštáře napomáhá cirkulace vody, přidání vhodných přísad do lázně
(hydroxidy, soli), nebo je možno použít k chlazení vodní sprchu (velmi intenzívní odvod
tepla). Určit velikost součinitele můžeme např. z tepelné bilance:
- 63 -
Matematické modely
Qchl    (Tp  Tv )  S  chl
kde
-2
,
(5.25)
,
(5.26)
-1
α je součinitel přestupu tepla [W.m .K ],
Tp je teplota povrchu před chlazením [°C],
Tv je teplota vody [°C],
S je povrch [m2],
chl je doba chlazení [s].
Qchl  m  c  t
kde
[J]
[J]
m je hmotnost [kg],
c je měrné teplo provalku [J.kg-1.K-1],
T je pokles teploty povrchu [°C].
Na obr. 5.6. je uvedena závislost součinitele přestupu tepla na teplotě ochlazovaného
povrchu pro klidnou vodu při teplotě 30 a 70 °C (zdroj: databáze programu TTSteel 2.0).
-1
-1
Součinitel přestupu tepla (kW.m .K )
25
20
30 °C
70 °C
15
10
5
0
0
100
200
300
400
500
Teplota (°C)
600
700
800
900
Obr. 5.6. Závislost  na teplotě pro vodu o teplotě 30 a 70 °C.

Zrychlené ochlazování vzduchem
Používá se proud vzduchu z ventilátoru nebo také trysky se stlačeným vzduchem.
Intenzita je menší než u vody, odpadá však riziko vzniku parního polštáře a riziko
přechlazení. Hlavní odvod tepla je konvekcí (nucené proudění), součinitel
  150 – 800 W.m-2.K-1. K přibližnému určení součinitele  lze využít tyto vztahy :
Obtékání válce:
Nu  C  Re m  Pr n     
[-]
,
(5.27)
,
(5.28)
Obtékání hranolu:
Nu  C  Re m  Pr 0,33
kde
[-]
Re je Reynoldsovo kritérium,
Pr je Prandtlovo kritérium,
 je teplotní součinitel, u plynů  = 1,
- 64 -
Matematické modely
 je součinitel zahrnující úhel dopadu proudění.
Tabulka 5.2. Hodnoty konstant v rovnici (5.27), (5.28)
Rozmezí platnosti
5  Re  1103
1103  Re  2105
2105  Re  2106
C
0,500
0,250
0,023
m
0,5
0,6
0,8
n
0,38
0,38
0,37
Na obr. 5.7. je uvedena závislost součinitele přestupu tepla na teplotě ochlazovaného
povrchu a rychlosti proudění vzduchu (emisivita je 0,8, což odpovídá zokujenému ocelovému
povrchu nad 500 °C). Graf byly vypočten programem TTSteel 2.0 podle rovnice (5.28).
700
Rychlost proudění 5 m/s
v klidu
-1
-1
Součinitel přestupu tepla (W.m .K )
800
600
500
400
300
200
100
0
0
200
400
600
Teplota (°C)
800
1000
1200
Obr. 5.7. Závislost  na teplotě ochlazovaného povrchu rychlosti proudění vzduchu pro teplotu
vzduchu 20 °C a emisivitu 0,8.

Kontakt provalku s válci
Typický průběh teploty v závislosti na čase je uveden na obrázku. Pomocí inverzní
analýzy byl hledán součinitel přestupu tepla, který nejlépe popíše naměřená data. Úbytek
tepla pásu při jednom průchodu je dán následující rovnicí:
Q    c  Tvstup  Tvýstup    p   i
,
(5.29)
Jestliže zanedbáme odvod tepla vlivem ochlazování na vzduchu, bude celkový úbytek
tepla roven tepelnému toku kontaktním povrchem. Součinitel přestupu tepla pak počítáme:

  c  T
vstup
 Tvýstup    p   i 
2  Tpásu  Tválců  t
,
- 65 -
(5.30)
Matematické modely
Obr. 5.7. Závislost teploty na čase při válcování, deformace 20 %, rychlost válců 4 ot.min-1.
Srovnání naměřených a vypočtených hodnot pro různé hodnoty součinitele přestupu tepla.
Příklady vypočtených součinitelů přestupu tepla na laboratorní válcovací trati, jsou
uvedeny v tabulce 5.3. Měření prováděných v průmyslových (provozních) podmínkách je
velmi málo. Na válcovně pásů se součinitel přestupu tepla pohybuje od 75 kW.m-2.K-1
(počáteční úběry) po 88 kW.m-2.K-1 (finální úběry).
Tabulka 5.3. Hodnoty vypočtených součinitelů přestupu
- 66 -
Matematické modely
Σ
Shrnutí
Nejen při tváření za tepla, ale i při tváření za studena hraje svoji roli vedení tepla.
Kromě správného zadání tepelných vlastností materiálu je nejdůležitější stanovení
součinitele přestupu tepla. Zatímco výpočet ochlazování tělesa do okolního vzduchu
je poměrně snadné a přesné, pokud je použito jiné ochlazovací médium (voda, olej)
a nebo se jedná o kontakt s nástroje, je situace daleko složitější.
5.3.
Mikrostrukturní model
Dynamická, metadynamická a statická rekrystalizace, precipitace, zotavení
Výklad

Model velikosti zrna a částečného změkčení
Během jednotlivých úběrů rozhoduje součet zbytkových a okamžitých deformací, jaký ze
změkčovacích mechanizmů (statická rekrystalizace (SRX) nebo dynamická rekrystalizace
(DRX) následovaná metadynamickou rekrystalizací (MDRX)) proběhne. V závislosti na
mechanizmu změkčení se používají různé rovnice pro vyjádření velikosti zrna a částečného
změkčení. Pro zjednodušení se předpokládá, že teplota během válcování klesá kontinuálně,
proto se pro daný meziúběrový interval používá teplota, vypočtená jako průměr teploty při
předcházejícím a následném úběru.

Změkčení mezi úběry
Rovnice pro výpočet kinetiky rekrystalizace je úpravou Avrami-Johnson-MehlKolmogorovy rovnice:
q

   
  ,
X ( )  1  exp  0.693



 0,5  

(5.31)
kde  50 je čas nutný pro uzdravení poloviny struktury rekrystalizací, q = 1 pro SRX a
q = 1,5 pro MDRX. Pro popis času  50 jsme pro danou ocel použili následující vztahy:

MDRX
0,5

 300000 
 1,1    exp 

 RT 

0 ,8
 230000  ,
exp 

 RT 
- 67 -
(5.32)
Matematické modely
 230000  ,

 RT 
15
 0SRX
  2,5  d 02 exp 
, 5  2,3  10
(5.33)
kde d 0 je průměr počátečního zrna (µm),  je intenzita rychlosti deformace (s-1),  je
intenzita deformace (-), T je teplota (K), R je univerzální plynová konstanta 8,314
(J.mol-1K-1).
Přechod dynamické rovnováhy do stacionárních podmínek bez působení vnějšího napětí
nazval J. Jonas postdynamickými procesy. Jejich průběh závisí především na:
 konečném stavu dislokací po tváření,
 charakteru struktury,
 teplotě,
 ochlazovací rychlosti.
Podle původních předpokladů měl úplný změkčovací proces dvě základní stádia, a to
statické zotavení (SRV) a SRX. Jedná se tedy o dvoustupňový proces s jednou prodlevou na
diagramu změkčení - čas. Délka prodlevy závisí především na inkubační době pro SRX. J.
Jonas a R.A.P. Djaic zjistili, že po tváření za tepla může mít změkčování třístupňový
charakter, a to SRV, MDRX, SRX.
Předpokladem pro vznik MDRX jsou dynamicky rekrystalizovaná zrna při tváření, tedy
při    cDRX . MDRX proto nevyžaduje žádnou inkubační dobu a její průběh je až o 1 řád
rychlejší než u SRX. Probíhá přednostně v místech s maximální deformací.
U třístupňového změkčovacího procesu první prodleva, tj. mezi SRV a MDRX, není
způsobena inkubační dobou, ale rozdílnými rychlostmi obou procesů. Aktivační energie
rekrystalizace je značně větší než zotavení, které je ukončeno před počátkem MDRX.
Zvýšením teploty se kinetika obou změkčovacích procesů vyrovnává, takže délka první
prodlevy se snižuje.
Vliv velikosti deformace na průběh křivek uzdravení je na 08. Souhrnně lze všechny
mechanizmy postdynamických uzdravovacích procesů v závislosti na velikosti deformace
vyjádřit podle 09.
Obr. 5.8. Průběh uzdravení oceli v závislosti na velikosti deformace a době
- 68 -
Matematické modely
Obr. 5.9. Schematické vyjádření vztahu mezi mechanizmy postdynamického uzdravení a velikostí
deformace [59] (εcSRX – 0,8; εcDRX – 0,18; εss = 0,32)

Akumulace deformace mezi úběry
Vlivem částečné rekrystalizace vzniká zbytková deformace, která se musí přičíst k okamžité
deformaci při následujícím úběru. Akumulovanou deformaci v průchodu i (i > 1) určíme
z rovnice:
 ia   i  K acc (1  X i 1 )   i 1 ,
(5.34)
Konstanta Kacc se vztahuje ke stupni zotavení a jeho hodnota se pohybuje v rozmezí od
0,5, pro dlouhé meziúběrové pauzy (tj. velké zotavení), až po 1, pro krátké meziúběrové
pauzy (tj. malé zotavení) [63].  i a  i 1 jsou intenzita deformace v aktuálním a předcházejícím
úběru (-), X i 1 je podíl rekrystalizované struktury v předcházející meziúběrové pauze.

Změna velikosti zrna
1.1.1.1.1
Velikost původního γ zrna
Výchozí velikost γ zrna je funkcí teploty a metalurgického charakteru oceli. Růst zrna
ovlivňuje obsah příměsí v tuhém roztoku a částice druhé fáze, které snižují plochu hranic a
ukotvují hranice zrn. Obsahují-li oceli precipitáty zůstává zrno malé (20 až 40 µm) až do
kritické teploty. Při překročení kritické teploty vzniká směs jemných a hrubých zrn, kterou
postupně nahrazuje rovnoměrná hrubozrnná struktura (150 µm).
Velikost rekrystalizovaného zrna
Velikost zrna po SRX d SRX je silně závislá na deformaci a v menší míře je závislá na
deformační rychlosti. Naopak, velikost zrna po MDRX d MDRX je na deformační rychlosti silně
závislá. Pro naše potřeby jsme použili následující rovnice:
  45000 
d SRX  343  d 00, 4   0,5 exp 
,
 RT 
(5.35)
- 69 -
Matematické modely
d MDRX

 300000 
 26000    exp 

 RT 

0 , 23
(5.35)
,
V případě neúplné rekrystalizace, se počáteční velikost zrna pro následující úběr ( d 0i1 )
vypočítá pomocí následující rovnice:
d 0i 1  d RX i  X i4 / 3  d 0i  (1  X i ) 2 ,
(5.36)
kde d RX i pochází z rov. (2.63) nebo (2.64). Bude-li se hodnota Xi blížit 1, bude počáteční
velikost zrna v následujícím průchodu rovna dRX i, v případě že Xi bude malé, bude d 0i 1 blízké
původní velikosti d0 i .
Růst zrna po rekrystalizaci
Po úplné rekrystalizaci je mikrostruktura náchylná k růstu zrna, to je způsobeno poklesem
volné energie na hranicích zrn. Existuje významný rozdíl mezi velikosti koeficientu růstu zrna
v čase do 1 s a nad 1 s [63]. Tento rozdíl je zřejmě důsledkem rozdílné velikosti sil řídících
růst zrna. Vysvětlit to lze přítomností ,,deformačních“ vakancí v okamžiku bezprostředně po
doválcování, které mohou ovlivnit růst zrna. To bylo zohledněno přidáním různých exponentů
popisujících růst zrna pro každý úběr a použitím následujících rovnic [56]:
SRX , ip  1s ,
  113000 
2
d 2  d SRX
 4  107  ( ip  4,32 0,5 )  exp 
,
 RT 
(5.37)
MDRX , ip  1s ,
  113000 
2
d 2  d MDRX
 1,2  107  ( ip  2,65 0,5 )  exp 
,
 RT 
SRX , ip  1s ,
  400000 
7
d 7  d SRX
 1,5  10 27  ( ip  4,32 0,5 )  exp 
,
 RT

(5.38)
(5.39)
MDRX , ip  1s ,
  400000 
7
d 7  d MDRX
 8.2  10 25  ( ip  2.65 0,5 )  exp 
,
 RT

(5.40)
kde  ip je délka meziúběrové pauzy (s).
Velikost zrna feritu po transformaci
Hlavními vstupy při výpočtu velikosti feritického zrna jsou: velikost austenitického zrna
po posledním průchodu, zbytková deformace a rychlost ochlazování Cr mezi finální teplotou
tváření a 500°C. Velikost feritického zrna se vypočte podle rovnice:
- 70 -
Matematické modely
d0  1,4 


5
 22  1  exp( 1,5 102 d ) ,
Cr
(5.41)
Protože zbytková deformace v austenitu zmenšuje výslednou velikost feritického zrna,
musí být vzata do úvahy:
d  d0 (1  0,45   r ) ,
(5.42)
Závislost zbytkové deformace po statickém zotavení na velikosti předchozí deformace a
na čase je reprezentována rovnicí:
 r  (1  X )   ia ,
(5.43)
kde  ia je akumulovaná deformace z rovnice (5.34).
Kritická deformace pro iniciaci DRX
Znalost kritické deformace  cDRX je požadovaná při predikci provozních změkčovacích
mechanizmů. Je vhodné vyjádřit kritickou deformaci jako funkci deformace na píku  p :
 cDRX  0,8   p ,
 p  5,6  d

0,3
0

 300000 
   exp 

 RT 

(5.44)
0,17
,
(5.45)
Model precipitace
Výskyt precipitátů velice intenzivně snižuje rychlost rekrystalizace. Významnou úlohu
sehrává historie jejich vzniku. Řada prací potvrdila maximální účinek indukovaných
precipitátů velikosti 2,5 až 5 nm. Podstatnými se ukázaly částice vzniklé v dislokační spleti
hranic subzrn. Naproti tomu karbidy, nitridy a karbonitridy existující v soustavě ještě před
zahájením deformace mají jen malý vliv.
Izotermickou deformačně indukovanou precipitaci Nb(C,N) z přesyceného roztoku
austenitu popisuje DS (Dutta-Sellars) model. Konečnou rovnice pro čas počátku precipitace
zobrazuje vztah (31):


A
B
 270000 

t ps 
 exp 
  exp  3
2 
Nb    Z
 RT 
 T  ln K s 
(5.46)

10
6
Hodnoty konstant v rovnici (5.46) A  3 10 a B  2,5  10 [K3].
Člen Ks vyjadřuje poměr množství Nb a C v roztoku při teplotě ohřevu a teplotě úběru za
rovnovážných podmínek.
- 71 -
Matematické modely
Ks 
10
10
6770
 2 , 26
TRH
 6770
 2 , 26
T pass
(5.47)
Konstanta A z rovnice (31), která reprezentuje množství precipitačních zárodků na
jednotku objemu, je silně závislá na deformaci a teplotě. DS model nebere v úvahu
zpomalující účinek Mn na precipitaci. Po vyladění DS modelu přidáním korekčního faktoru
zahrnujícího vliv Si a Mn na precipitaci, dostaneme následující rovnici:
DS
t ps
t ps  ( 0, 260,9 Mn 2,85Si)
10
(5.48)
Další dva body, které je nutno zahrnout do řešení: 1)stanovení vlivu Si a Mn na
rozpustnost karbonitridů Nb a 2) přidání korekčního členu do DS rovnice.

Mikrostrukturní faktory po transformaci
Pevnost a mez kluzu feriticko-perlitických ocelí závisí na třech parametrech
mikrostruktury: velikost feritického zrna dα, podíl feritu fα a mezilamelární vzdálenost perlitu
λ.
Podíl feritu ve struktuře je možno počítat podle následujících rovnic:


f  fe  5,476  1  exp( 0,0106  Cr )  0,723  1  exp  8,8  104  d

,
fe  1  C  0,789  0,167  Mn  0,1607  Mn 2  0,0448  Mn3  ,
1
(5.49)
(5.50)
Kde C, Mn je obsah prvků v hm. %
Interlamelární vzdálenost perlitu stanovíme pomocí rovnice:
  0,1307  1,027  C  1,993  C 2  0,1108  Mn  0,0305  Cr0,52 ,

(5.51)
Mechanické vlastnosti feriticko-perlitických ocelí
Pro výpočet meze kluzu a pevnosti ocelí v závislosti na struktuře a chemickém složení se
používá následující rovnice:

 

R02  f  77,7  59,5Mn  9,1  d0,5  145,5  3,5  00,5  478N 0,5  1200P ,

Rm  f  20  2440 N 0,5  18,5  d
0,5
 750  1  f
- 72 -

  1  f0,5  3  00,5  92.5Si ,
(
(
5
.
5
1
)
(
5
.
4
9
)
5
Matematické modely
Σ
Shrnutí
Seznámili jste se s komplexním modelem pro popis vývoje mikrostruktury. Není
nutní si pamatovat jednotlivé rovnice, i když z jiných předmětů už je možná znáte.
Důležitá je vzájemná logická návaznost jednotlivých submodelů.
5.1.Jaký význam má číslo -0,693 v AJMK rovnici?
5.2.Na čem závisí čas pro uzdravení poloviny struktury statickou rekrystalizací?
5.3.Jaké znáte postdynamické uzdravovací procesy?
5.4.Jaká je podmínka pro vznik metadynamické rekrystalizace?
5.5.Na čem závisí původní velikost zrna?
5.6.Jak ovlivňuje zbytkové deformace velikost feritického zrna?
5.7.Co je to precipitace?
5.8.Definujte mezilameární vzdálenost perlitu?
5.9.Na čem závisí pevnost feriticko-perlitické oceli?
5.1. V programu Excel sestavte tabulku, která pro zadané termomechanické
parametry bude počítat změnu velikosti zrna při válcování na spojité válcovně
pásů 7 úběry.
Další zdroje
[01] ŽÍDEK, M., DĚDEK, V., SOMMER, B., Tváření oceli. SNTL, Praha 1988,
ISBN 04-408-88
[02] GÜR, C., H., PAN, J., Handbook of Thermal Process Modeling od Steels,
IFHTSE, 2009, ISBN 978-0-8493-5019-1
- 73 -

modelování tvářecích procesů - FMMI

Transkript

Podobné dokumenty

Úvod do překladu krásné literatury

Technický list 6539