Planimetrie I - Gymnázium TG Masaryka, Litvínov

Planimetrie I
1) Zvolte šest různých bodů A, B, C, D, E, F tak, že trojice A, B, C a
D, E, F leží v přímkách. Kolik přímek je takovou skupinou bodů dáno?
[11]
2) Zvolte tři různé body A, B, C, které neleží v přímce. Vyznačte konvexní
úhel ACB a poté označte α jeho vrcholový úhel; β jeho vedlejší úhel.
3) Jsou dány dva úhly o velikostech 72º33´ a 86º 49´. Určete velikosti
zbývajících vnitřních vnějších úhlů v trojúhelníku, jsou-li uvedené úhly:
a) oba vnitřní
[20º38´; 107º27´; 93º11´; 159º22´]
[93º11´; 14º16´; 107º27´; 165º44´]
b) první vnitřní a druhý vnější
A
4) Určete velikosti vnitřních úhlů dvou
B
rovnoramenných trojúhelníků ABC a ACD:
|AB|=|BC|; |CD|=|CA|; | ABC| = 90º; AB || DC.
D
C
viz. obrázek
.
[|<BAC|=|<ACB|=|<ACD|= 45º; |CAD|=|<ADC|= 67º30´]
5) Vnitřní úhly v trojúhelníku mají velikosti v poměru 2 : 3: 5. V jakém
poměru jsou velikosti jeho vnějších úhlů?
[8 : 7 : 5 ]
6) Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou
C
AC a pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník BDC
se základnou BC. Body A, B, D leží na jedné přímce.
Určete velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku ADC.
B
D
A
viz. Obrázek
.
[|<BCD|=|<CBD|=45º; |<ABC|= 135º;|<CAB|=|<BCA|= 22º30´ ]
C
.
7)
106°
A
S
B
Určete velikost úhlu α při vrcholu A
a β při vrcholu B v pravoúhlém trojúhelníku
ABC, kde bod S je střed strany AB.
[ α = 53°; β = 37° ]
A
8) Trojúhelníku ABC je opsána kružnice.
B
Velikost úhlu ASB je 100º a velikost
úhlu BSC je 40º. Určete velikost úhlu ACB.
C
S
9) Je dán trojúhelník ABC, jemuž je opsána kružnice K se středem S.
Úhel ASB má velikost 50° a úhel BSC má velikost 80°. Určete
[ 65°; 25° ]
velikost úhlu SAB a ACB.
10) V trojúhelníku ABC ( AB = 12cm; AC = 15cm; BC = 9cm )
je narýsována příčka EF: EF║AB, EF = 4cm . Vypočítejte
vzdálenosti bodů E a F od vrcholu C.
[ 5 cm a 3 cm]
C
11) V pravoúhlém trojúhelníku ABC je
AB = 10cm; AC = 8cm; BC = 6cm .
Určete na základě podobnosti vzdálenost
B
paty P výšky vc od obou vrcholů A a B. A
P
.
[ ‫׀‬AP6,4 = ‫ ׀‬cm; ‫ ׀‬PB│ = 3,6 cm ]
12) Svislá metrová tyč vrhá stín 150 cm dlouhý. Vypočtěte výšku
sloupu, jehož stín je ve stejném okamžiku dlouhý 36 m.
[54 m]
13) Je dána úsečka │AB│= 7 cm. Na úsečce sestrojte body X a Y tak,
aby ji rozdělili na tři úseky, jejichž délky jsou v poměru 2:3:4.
14) Danou úsečku:
a) zmenšete v poměru 5:3 b) zvětšete v poměru 4:7
15) Který n-úhelník má třikrát více úhlopříček než stran?
[n=9]
16) Který prav. n-úhelník má vnitřní úhly o velikosti 150°? [ n = 12 ]
17) Urči velikost vnitřního úhlu pravidelného dvacetiúhelníku. [ 162° ]
18) Urči počet úhlopříček osmiúhelníku.
[ 20 ]
19) Urči poloměr kružnice opsané a vepsané pravidelného
desetiúhelníku se stranou délky 10 cm. [ r = 16,2 cm ρ =15,4 cm ]
20) Urči obsah a obvod pravidelného osmiúhelníku s poloměrem
kružnice vepsané ρ = 5 cm.
[ S = 82 cm2 o = 32,8 cm ]
21) Urči obsah a obvod pravidelného desetiúhelníku s poloměrem
kružnice opsané r = 6 cm.
[ S = 105,5 cm2 o = 37 cm ]
22) Pravidelný šestiúhelník má obsah 360 cm2. Urči poloměr kružnice
opsané a vepsané tomuto šestiúhelníku. [ r = 11,77 cm; ρ = 10,19 cm ]
[50º]
Použité zdroje: RNDr. Pomykalová: Planimetrie pro gymnázia, Prometheus 2005
G
TG M
Gymnázium T.G.Masaryka – Mgr.M.Morávková