M - Katedra optiky

Transkript

M - Katedra optiky

Aberace oka
z vlnového hlediska
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Optické aberace
Zernikovy polynomy
Rozklad do Zernikových polynomů
Shack-Hartmannův senzor
Aberace vlnoplochy
i.Profiler firmy Zeiss
Prémiová korekce
Vliv LOA a HOA na vízus
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
1
Oko = optický přístroj
Oko je složitý a citlivý optický přístroj,
má chyby a nedokonalosti jako každý přístroj,
také se časem opotřebovává.
Evolučně se oko vyvíjí k dokonalosti (většinou).
Komorové oko savců
2
Složené oko hmyzu
Oko plaza
Oko hlemýždě
3
Oko hlavonožce
se evolučně vyvíjelo zcela jinak,
oční nerv neprochází sítnící,
nemá slepou skrnu
4
5
Optické aberace
Aberace = odchylka, odklon
Optické aberace = odchylka, vada, chyba od ideálního zobrazení
Klasické dělení aberací:
1. aberace paprskové:
chromatické (barevné) aberace:
disperze optického prostředí n(λ), modrá se láme více než červená
monochromatické aberace:
zobrazení je stigmatické (bodové) jen při užití paraxiálních paprsků
aberace širokého svazku paprsků (sférická vada, koma)
aberace šikmého svazku paprsků (astigmatismus, zklenutí pole, zkreslení)
2. aberace vlnové:
difrakce (ohyb) světla:
omezené průměry optických svazků, apertury, clony
interference, koherence
3. aberace technologické + materiálové
Justáž, chyby ve výrobě, tolerance, šlíry a nehomogenity, …
Všechny aberace se projeví poruchou vlnoplochy, všechny lze proto měřit a popisovat
z vlnového hlediska! analýza vlnoplochy, aberometrie
6
Paprskové aberace
chromatické aberace
disperze světla
spektrum
7
ε
n
Paprskové aberace
monochromatické aberace
n´
ε′
σ′
r
S
Pro tangenciální paprsky a jednu lámavou plochu platí :
r+s
n
sin ε ' 

sin σ → sin ε ' = sin ε → σ ' = ε − ε ′ − σ → s ′ = r 1 +
,
r
n'
 sin σ ' 
ale pouze když sin ε ≈ ε , sin ε ' ≈ ε ' , sin σ ≈ σ , sin σ ' ≈ σ ,
tj. pro paraxiální paprsky, odtud vychází s' nezávislé na σ , σ '
n' n n'−n
zobrazovací rovnice :
+ =
s' s
r
sin ε =
aprox. 7. řádu
s´
aprox. 5. řádu
s
A´
paraxiální aproximace
A
Seidelova aprox.
σ
x3 x5 x7
sin x ≈ x −
+
−
+ ...
3! 5! 7!
Stigmatické zobrazení pouze pro paraxiální paprsky !!!
8
Monochromatické aberace
kaustika
sférická vada
nebo
otvorová vada
=
symetrická aberace
širokých svazků
kaustika
kaustika
koma
=
asymetrická aberace
šikmých
a širokých svazků
9
astigmatismus
Meridiální (tangenciální)
a sagitální fokála
S
M
astigmatismus v celém zorném poli
zklenutí pole
10
astigmatismus
zkreslení
poduškovité
zkreslení
soudkovité
zkreslení
11
Paprskové aberace jsou do značné míry odstranitelné!
optický průmysl
Vlnové aberace (jsou neodstranitelné!)
difrakce
1 bod
2 bod
Difrakční limita
(Rayleigho kritérium)
λ
120′′
ψ ≈ 1.22 ≈
D D[mm]
12
Hubble space telescope HST
D ≈ 2.4 m, f ≈ 57.6 m
vynesen na oběžnou dráhu roku 1990
600 km nad Zemí
Celkové náklady 10 mld $ = 200 mld Kč
očekávané rozlišení 0.1″
(pozemské dalekohledy jen 1″)
Leštění primárního zrcadla
RMS ≈ λ/65 ≈ 0.008 µm
PSF
13
1990 Až na oběžné dráze zjištěna sférická aberace hlavního zrcadla, rozlišení jen 1″
Zrcadlo bylo vybroušeno vinou testovacího zařízení (posunutého o 1.3 mm) chybně
1993 HST dostal „brýle“ (tj. 2 korekční zrcadla k odstranění sférické vady)
obraz před a po korekci roku 1993
14
Zernikovy polynomy
Ortogonální funkce:
Vektor A rozkládáme do souřadných vektorů e1,e2,e3
a přiřazujeme mu složky A1,A2,A3
a pak platí A = A1e1 + A2 e2 + A3 e3
souřadné vektory e1,e2,e3 jsou obvykle
vzájemně kolmé a normované
A = 3e1 + 2e2
nebo
A = (3,2)
e2
e1
***
Podobně v matematické analýze vybíráme vhodnou soustavu funkcí fn a libovolnou funkci f(x)
můžeme do nich rozložit jako řadu f = c1f1 + c2 f2 + c3 f3 + …
3
5
7
Například funkci sinus rozložíme do mocnin xn jako Taylorovu řadu: sin x ≈ x − x + x − x + ...
Nebo obdélníkovou funkci rect(x) do harmonických funkcí sin nx
3! 5! 7!
jako Fourierovu řadu:
rect ( x ) ≈
4
sin 3 x sin 5 x sin 7 x

+
+
+ ... 
 sin x +
π
3
5
7

Nejvhodnější jsou vzájemně kolmé funkce fn, například Besselovy funkce, Hermiteovy či Legendrovy
polynomy anebo Zernikovy polynomy Znm(x,y), které jsou ortogonální na jednotkovém disku a po
vhodném normování i ortonormální. Díky ortogonalitě na jednotkovém disku se Zernikovy polynomy
používají hodně v optice (kruhové pupily, apertury, čočky atd.)
Matematická definice:
Funkce f(x,y) a g(x,y) jsou vzájemně kolmé
(ortogonální) v oblasti S, pokud platí:
∫ f (x, y )g (x, y )dxdy = 0
S
15
Symbolika není jednoznačná!
Používají se různé způsoby indexování Zernikových polynomů (např. modální
index j), my se držíme nejobvyklejšího značení
Znm se dvěma indexy:
dolní hlavní index (radiální) n určuje řád polynomu
a horní vedlejší index (azimutální) m určuje úhlovou frekvenci (četnost)
maxim a minim,
přitom platí m = -n, - n +2, - n +4, …, n -2, n
(pro dané n tedy existuje n+1 povolených hodnot m)
-3
Tedy n a m jsou vždy obě současně sudá nebo lichá, např. Z3 nebo
nikdy ne Z10 nebo Z43
Frits Zernike
1888 – 1966
Nobelova cena 1953
za objev fázově
kontrastní
mikroskopie
Z42 , ale
V kartézských souřadnicích se skutečně jedná o polynomy!
Normované Zernikovy polynomy:
Z =1
0
0
Z 1−1 = 2 y
Z = 2x
1
1
Z
−2
2
= 6 2 xy
(
6 (x
)
Z 20 = 3 2 x 2 + 2 y 2 − 1
Z 22 =
2
− y2
(
)
8 (3 x y + 3 y − 2 y )
8 (3 x + 3 xy − 2 x )
8 (x − 3 xy )
Z 3−3 = 8 3 x 2 y − y 3
)
Z 3−1 =
Z 31 =
Z 33 =
2
3
3
3
2
2
16
V kartézských souřadnicích se skutečně jedná o polynomy Znm(x,y) .
V polárních souřadnicích Znm(ρ,θ) jde ale o součin radiálního polynomu Rnm(ρ)
a azimutální harmonické funkce cos mθ nebo sin mθ, například:
(
)
(
)
Z 22 = 6 x 2 − y 2 = 6 ρ 2 cos 2θ − sin 2 θ = 6 ρ 2 cos2θ
nebo
(
) (
)
y
Z 31 = 3 x 3 + 3 xy 2 − 2 x = 3 x 2 + 3 y 2 − 2 x = 3ρ 3 - 2 ρ cosθ ,
Polární (x,y) a
kartézské
souřadnice (ρ,θ)
kde
P
x = ρ cos θ
ρ
y = ρ sin θ
ρ= x +y
2
2
POZOR:
Existují a v literatuře se
používají i nenormované
či jinak normované
Zernikovy polynomy!
O
θ
x
y
x
POZOR:
Pupila oka je různá, průměr typicky 2 až 6 mm,
pro použití Zernikových polynomů
nutno vždy přeškálovat pupilu na jednotkový kruh
17
Normované Zernikeho polynomy Znm
0. a 1. řádu
Z 00 = 1
píst
náklon vertikální
Z 1−1 = 2 ρ sin θ
Z 11 = 2 ρ cos θ
2. řádu
Z 2−2 = 6 ρ 2 sin 2θ
(
náklon horizontální
astigmatismus (šikmý)
)
Z 20 = 3 2 ρ 2 − 1
defokus
Z 22 = 6 ρ 2 cos 2θ
astigmatismus (vertikální)
3. řádu
Z 3−3 = 8 ρ 3 sin 3θ
(
trefoil
)
Z 3−1 = 8 3ρ 3 − 2 ρ sin θ
koma vertikální
Z 31 = 8 3ρ 3 − 2 ρ cos θ
koma horizontální
(
)
Z 33 = 8 ρ 3 cos 3θ
4. řádu
trefoil
Z 4−4 = 10 ρ 4 sin 4θ
(
)
tetrafoil (šikmý)
Z 4− 2 = 10 4 ρ 4 − 3ρ 2 sin 2θ sekundární astigmatismus (šikmý)
(
)
Z 40 = 5 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1
(
)
sférická aberace
Z 42 = 10 4 ρ 4 − 3ρ 2 cos 2θ sekundární astigmatismus (vertikální)
Z 44 = 10 ρ 4 cos 4θ
tetrafoil (vertikální)
18
Zernikovy polynomy
(faktorizace v ρ a θ)
sudé (kladné)
Z m (ρ , θ ) = R m (ρ ) cos(mθ )
n
n
liché (záporné)
Z − m (ρ , θ ) = R m (ρ )sin (mθ )
n
n
kde
0 ≤ ρ ≤1
0 ≤ θ ≤ 2π
Zernikovy polynomy
komplexní
Z m  ρ , θ  = R m  ρ e imθ
n
n
n− m
2n + 2
×
kde R m  ρ  =
n
1+ δ
m0


2
∑
k =0
k!






− 1 k  n − k !
n+ m
2






−k !






n− m
2
n − 2k
ρ


− k !


je radiální funkce
a kombinace n ± m je vždy sudá
Počet (n + 1) Zernikeho polynomů daného řádu n je zřejmý :
Například polynom druhého řádu n = 2 obecně
Z 2m = ax 2 + bxy + cy 2 + dZ 1+1 + eZ1−1 + fZ 00
má právě n + 1 = 3 další nezávislé koeficienty a,b,c
(3 další nezávislé funkce x 2 , xy a y 2 na jednotkovém kruhu),
a proto existují právě 3 možné hodnoty vedlejšího indexu m = −2,0,2
pro Zernikeho polynomy druhého řádu Z 2m
19
20
Přepočet indexů j
n,m
n(n + 2 ) + m
2
 − 1 + 1 + 8 j  zaokrouhli
radiální číslo (řád) : n = 

dolů
2


úhlové číslo (frekvence) : m = 2 j − n(n + 2)
modové číslo : j =
Například n = 3, m = 1 dává j = (3 * 5 + 1)/2 = 8,
a tedy Z 31 = Z 8
 − 1 + 1 + 8 *11 
a naopak j = 11 dává n = 
 = 4.22 = 4
2


a m = 2 *11 - 4 * 6 = -2 a tedy Z 11 = Z 4− 2
21
Rozklad funkce do Zernikeho polynomů, Zernikeho koeficienty
Aberační funkci W rozkládáme do Zernikeho polynomů Z m
n
W = ∑ c nm Z nm = c00 Z 00 + c1−1 Z 1−1 + c11 Z 11 + c 2− 2 Z 2− 2 + c 20 Z 20 + c 22 Z 22 + ...,
m ,n
tak dostaneme Zernikovy koeficienty c m .
n
Díky ortonormalitě Z nm se snadno najdou Zernikeho koeficienty c nm k funkci W = ∑ c nm Z nm .
m,n
Pokud W vynásobíme Z nm' ' a vystředujeme přes jednotkový disk, dostaneme
WZ nm' ' = ∑ c nm Z nm Z nm' ' = ∑ c nmδ nn 'δ mm ' = c nm' '
m,n
m ,n
tedy pro hledané Zernikovy koeficienty c nm platí :
c = WZ
m
n
m
n
Ve skutečnosti aberometr počítá podle vzorce :
Matematická definice:
ortogonalita :
Z nm Z nm' ' = δ nn 'δ mm '
1 N
c ≈ ∑ W ( x k , y k )Z nm (x k , y k ),
N k =1
kde se sčítá přes celou mřížku N bodů ( x k , y k )
norma :
POZOR!
funkce W přes jednotkový disk S :
Zernikeho koeficienty c nm závisí na velikosti R pupily!
W=
m
n
c nm ∝ R n
Z nm Z nm = 1,
kde W značí střední hodnotu
1
WdS
S ∫S
22
Výpočet střední hodnoty:
_
Střední hodnota y
funkce y(x)
na intervalu (a,b)
y(x)
y
x
Například :
1
1
1 = ∫ 1dS = S = 1,
S
S
1
x = ∫ xdS = 0, (plyne ze symetrie, Z 00 = 1 a Z 11 = 2 x kolmé)
S
1
y = ∫ ydS = 0, ( tedy Z 00 = 1 a Z 1−1 = 2 y kolmé)
S
1
xy = ∫ xydS = 0, ( tedy Z 11 = 2 x a Z 1−1 = 2 y kolmé)
S
ale
1
1
x = ∫ x 2 dS =
S
S
2
2π 1
∫ ∫ ρ cos θ ρdρdθ =
2
2
0 0
1
π
2π
1
2
d
cos
ρ
ρ
∫
∫ θ dθ =
3
0
0
a
b
11
1
π=
4
π 4
1
( tedy normované Z 1−1 = 2 y a Z 11 = 2 x ), a proto také
4
1
1
2 ρ 2 − 1 = 2 x 2 + 2 y 2 − 1 = 2 x 2 + 2 y 2 − 1 = 2 + 2 − 1 = 0, ( tedy Z 00 = 1 a Z 20 = 3 2 ρ 2 − 1 kolmé)
4
4
a podobně y 2 =
(
)
23
Podobně :
1
x =y =
4
4
x y =
2
4
∫ ρ dρ ∫ cos θ dθ =
5
0
0
1 1 3π 1
= ,
π 6 4 8
2π
1
1
2
π
2π
1
2
2
∫ ρ dρ ∫ cos θ sin θ dθ =
5
π
0
0
1 1π
1
=
,
π 6 4 24
ρ 4 = (x 2 + y 2 ) = x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 = + 2 *
1
8
2
(
1 1 1
+ = .
24 8 3
)
2
1
1
1
Protože 2 ρ 2 − 1 = 4 ρ 4 − 4 ρ 2 + 1 = 4 * − 4 * + 1 = ,
3
2
3
bude normovaný polynom Z 20 = 3 2 ρ 2 − 1 , a protože
(
(x
2
− y2
)
2
= x 4 − 2x 2 y 2 + y 4 =
)
1
1 1 1
−2 + =
8
24 8 6
nebo ( xy ) = x 2 y 2 =
1
,
24
bude normovaný polynom Z 22 = 6 x 2 − y 2
2
(
)
(
)
a Z 2− 2 = 24 xy = 6 2 xy.
Protože x 2 − y 2 ( xy ) = x 3 y − xy 3 = 0 budou Z 22 a Z 2− 2 kolmé
(
)
a podobně protože 2 ρ 2 − 1 ( xy ) = 2 x 3 y + 2 xy 3 − xy = 0 budou Z 20 a Z 2− 2 kolmé.
24
Aberační funkce
Aberace je možno zkoumat paprskově (Seidel) nebo vlnově (Airy, Fraunhoffer, Abbe, Zernike)
Analýza vlnoplochy (wavefront analysis, aberometry)
Aberační funkce (vlnové aberace) W
Vlnoplocha
Množina bodů o stejné fázi, obvykle sféra nebo rovina
A
B
W
R
S S0
Ideálně z bodu A vycházející sférická vlnoplocha R se transformuje na čočce
ve sbíhavou sférickou vlnoplochu S0, která vytvoří bodový obraz B.
Reálně se místo sférické vlnoplochy S0 pozoruje porušená vlnoplocha S a jejich rozdíl
W = S - S0 představuje aberační funkci (vlnovou aberaci)
Místo bodu B dostaneme v obrazové rovině rozmazanou plošku
Vlnové aberace se měří v obrazovém prostoru za optickým přístrojem (u oka to nejde!)
25
Aberační funkce z hlediska paprskové optiky :
P
W (x, y ) = W (P ) = l (P ) − l (O )
kde l (P ) = l ( APB ) a l (O ) = l ( AOB ) jsou optické dráhy l = ∫ nds
a P = ( x, y ) a O = (0,0) jsou body ve vstupní pupile optické soustavy
Ideální soustava má podle Fermatova principu W (x, y ) = 0,
reálná soustava má W (x, y ) ≠ 0.
A
O
B
Obecně z definice je W (0,0) = W (O ) = 0.
Zdroje aberací oka:
Nepravidelnosti a nerovnoměrnosti oka, především
rohovky a čočky, tj. asféričnost lámavých ploch a
nehomogenity optických médií, dále třeba disperze,
odchlípení sítnice …
26
Monochromatické aberace (Seidelova aproximace)
sférická vada
=
symetrická aberace
širokých svazků
kaustika
W ∝ ρ4
θ
y
y′
ρ
W ∝ Z 40
kaustika
koma
=
asymetrická aberace
šikmých
a širokých svazků
W ∝ yρ 3 cos θ
W ∝ Z 31
27
astigmatismus (simplex)
astigmatismus (mixtus)
W ∝ y 2 ρ 2 cos 2 θ
W ∝ y 2 ρ 2 cos 2θ
W ∝ Z 22 ⊕ Z 20
W ∝ Z 22
zkreslení
W ∝ y 3 ρ cos θ
W ∝ Z 11
zklenutí pole
W ∝ y2ρ 2
soudkovité
poduškovité
W ∝ Z 20
28
Aberometrie oka metodou wavefront analysis
Zkoumáním vlnoplochy (wavefront analysis) se měří i aberace oka, jen se musí vytvořit umělý zdroj
světla na sítnici a využije se obrácený chod paprsků
Automaticky a objektivně měří aberace oka aberometr (wavefront aberometer), který využívá ShackHartmannův senzor a rychlou numerickou analýzu vlnoplochy
Reálná vlnoplocha
W(x,y)
Rozptyl
stopy
laseru
na sítnici
CCD
senzor
29
Shack-Hartmannův senzor
Apertura s mřížkou malých čoček (typicky rozměr mikročočky 0.1 mm)
Dopadá-li neporušená rovinná vlna, dostaneme za SHS pravidelnou mřížku bodů
Dopadá-li porušená vlna, bude mřížka nepravidelná a body rozmazané
maska
mikročoček
Laserem se osvětlí sítnice oka, stopa se zobrazí SH senzorem na CCD snímač o rozměru apertury oka
U dokonalého oka se dostane rovinná vlna a tedy pravidelná mřížka
Obraz
porušené mřížky
na CCD snímači
aberační funkce W = l − l 0 se najde ze sklonů
∂W ∆x
∂W ∆y
, β ( x, y ) =
≈
≈
f
∂x
f
∂y
numericky pomocí křivkového integrálu
α ( x, y ) =
W ( x, y ) = ∫
( x, y )
(0, 0 )
(αdx + βdy )
Práce s aberační funkcí W je nepohodlná
(příliš rozsáhlá matice dat, málo názorná),
proto se provádí rozklad aberační funkce
do Zernikeho polynomů a pracuje se dále
jen s Zernikeho koeficienty.
30
β
∆y
0
W(x,y) W(0,0)
SHS
CCD
vypočtená W
31
Shack-Hartmann
sensor image
Wavefront maps
32
Z historie Shack-Hartmannova senzoru
Johannes Franz Hartmann, astrofyzik, kolem roku 1900 používá na testování kvality objektivů masku
s několika malými otvory (Hartmannova maska, Scheinerova maska)
Během studené války snaha o zlepšení kvality satelitních špionážních snímků vede k vzniku
adaptivní optiky, ta potřebuje znát velikost deformace vlnoplochy po průchodu atmosférou,
proto koncem 60. let Roland Shack a Ben Platt vylepšují Hartmannovu masku řadou malých čoček.
Kolem roku 1985 (Josef Bille, Heidelberg) první aplikace SHS v oftalmologii: topografie rohovky,
později aberometrie oka
První komerční masky pro SHS
Roland Shack
1927 - *
Josef Bille 1944 - *
Johannes Franz Hartmann
1865 - 1936
33
Kvantifikace aberace – RMS aberační funkce (RMS wavefront error)
RMS =
(∆W )
2
(W − W )
2
=
=
1
N
∑ (W (x
N
k =1
k , yk ) − W )
2
RMS je směrodatná odchylka (odmocnina z variance) vlnové aberace (aberační funkce W) na apertuře.
Místo aberační funkce W pracujeme raději s Zernikeho koeficienty cnm , díky ortonormalitě Zernikeho
polynomů platí:
RMS =
(W − W )
2
2


=  ∑∑ c nm Z nm  =
 n>0 m

∑∑ ∑∑ c
n > 0 m n '> 0 m '
m m'
n n'
c Z nm Z nm' '
ale Z nm Z nm' ' = 0 pro n ≠ n' a m ≠ m' a Z nm Z nm' ' = 1 pro n = n' a m = m' , takže
RMS =
∑∑ (c )
n >0 m
m 2
n
=
(c ) + (c ) + (c ) + (c ) + (c )
−1 2
1
1 2
1
−2 2
2
0 2
2
2 2
2
+ ...
jen c00 z rozvoje vypadne, neboť W = c00
platí také
Je - li aberace dána pouze sférou (defokus),
RMS =
(W − W )
2
= W 2 −W
2
platí W = c 20 Z 20 , takže RMS = c 20 .
Je - li aberace dána pouze zkříženým cylindrem (astigmatismus mixtus),
platí W = c 2± 2 Z 2± 2 , takže RMS = c 2± 2
Je - li aberace dána pouze sférou i cylindry,
platí W = c 20 Z 20 + c 2− 2 Z 2− 2 + c 22 Z 22 , takže RMS =
(c ) + (c ) + (c ) .
−2 2
2
0 2
2
2 2
2
34
Ekvivalentní defokus
W
Pro sférickou vlnoplochu o poloměru f = 1/M platí
W (r ) = f −
r2 1
f −r ≈
≈ Mr 2
2f 2
2
2
R
r
MR 2
M 2R4
MR 2
2
2
→ RMS = ∆W =
a tedy W =
aW =
4
12
4 3
Ideální čočka o lámavosti M změní rovinnou vlnoplochu
ve sférickou o poloměru f = 1/M , takže defokus vlnoplochy
v dioptriích je M =
f
F
4 3
RMS
R2
Pro obecnou aberaci definujeme ekvivalentní defokus stejným předpisem
Me =
4 3
RMS
2
R
Ekvivalentní kroužek rozostření
Podobně definujeme ekvivalentní kroužek rozostření (blur circle diameter) v úhlové míře
Be = 2 RM e =
8 3
RMS (v mrad)
R
vízus V ≈
2′
2′ 2 + Be2
≈
2′
(1′ ≈ 0.29mrad)
Be
Příklad : Pro směrodatnou odchylku vlnoplochy RMS = 1µm a pupilu 5 mm ( R = 2.5 mm)
→ M e ≈ 1.1 D a Be ≈ 5.5 mrad ≈ 19′ a vízus 0.10
35
Vztah mezi sférou a cylindrem a Zernikovými polynomy
Obecně pro vlnoplochu ve tvaru kvadriky (astigmatismus compositus) platí :
(
)
(
M(θ)
)
1
1
1
M x 2 + y 2 + J 0 x 2 − y 2 + J 45 2 xy,
(*)
2
2
2
1
tj. lámavost ve směru 0° (osa x) je W = (M ± J 0 )x 2 → M (0 ) = M + J 0 ,
2
1
ve směru 90° (osa y ) je W = (M − J 0 ) y 2 → M (90°) = M − J 0 ,
2
1
a ve směru ± 45° ( y = ± x) je W = (M ± J 45 )r 2 → M (± 45°) = M ± J 45 ,
2
1
obecně ve směru θ je x = rcosθ a y = rsinθ a tedy W = M (θ )r 2 , kde
2
obecná lámavost je M (θ ) = M + J 0 cos 2θ + J 45 sin 2θ
W =
y
θ
M+J
x
M-J
Výsledný cylindr je
2
J = J 02 + J 45
2
takže maximální a minimální lámavost je M ± J 02 + J 45
a pozoruje se ve směru tan 2θ =
J 45
J0
Aberační funkci (*) lze přepsat pomocí Zernikových polynomů 2. řádu do tvaru
x2 + y2
x2 − y2
xy
−2
2
W = c Z − Z (0,0) + c Z + c Z = c 2 3
+
c
+
c
6
2
6
2
2
R2
R2
R2
4 3
2 6
2 6
a tedy srovnáním obou zápisů M = c 20 2 a J 0 = c 22 2 a J 45 = c 2− 2 2
R
R
R
0
2
(
2
0
2
0
)
2
2
2
2
−2
2
−2
2
0
2
36
Pupilový zlomek
Kvantifikace optické kvality oka
(1) číslem
•
•
•
•
•
RMS wavefront error, dokonalé oko RMS = 0
Ekvivalentní defokus Me
Absolutní rozdíl ∆W = Wmax – Wmin (PV-value)
podle Rayleigha je pro ∆W < λ/4 prakticky
dokonalé zobrazení
Pupilový zlomek (pupile fraction) PF = S/S0
Strehlův poměr S = I/I0 _(podle Strehla pro
S>0.8, prakticky dokonalé zobrazení)
(2) grafem
•
•
•
•
Mapa aberačních křížů
(Power cross map)
Mapa aberačních křížů
Bodová rozptylová funkce (PSF)
Optická funkce přenosu (OTF=FT(PSF))
Modulační přenosová funkce (MTF=|OTF|)
(3) aberační funkcí
•
•
•
2D topografie
3D zobrazení
Zernikeho koeficienty
ekvivalentní defokus
4 3
RMS
2
R
4 3
−1 2
= 2
c1 + c11
R
Me =
( ) ( ) + (c ) + (c ) + (c )
2
−2 2
2
0 2
2
2 2
2
+ ...
37
Bodová rozptylová funkce PSF
rozmazaný obraz bodu
PSF slouží k výpočtu obrazu O obecného předmětu P pomocí konvoluce ⊗
O = P ⊗ PSF
Z Fresnelovy difrakční teorie :
PSF(α , β ) = ∫ exp[ikW ( x, y )]exp[- ik ( xα + yβ )]dxdy
bodová rozptylová funkce
38
I(θ)
Strehlův poměr
Strehlův poměr S =
I
maximum reálné intenzity PSP
=
I 0 maximum ideální intenzity PSP
I0
I
Z Fresnelovy difrakční teorie pro malé RMS plyne :
(
S = exp(ikW ) ≈ 1 − k 2 RMS 2 ≈ exp − k 2 RMS 2
2
)
(Maréchalova a Mahajanova aproximace), neboť
(
exp(ikW ) = 1 + ikW − k W + ... = 1 − k 2 W 2 − W
2
2
2
2
2
)+ ...
Strehlovo kriterium pro kvalitní optiku S > 0.8
dává k 2 RMS 2 < 0.2
neboli RMS <
λ
λ
≈
2π 5 14
v optometrii je ale
obvykle S << 1
39
Prostorová frekvence
Optická funkce přenosu OTF
OTF=FT(PSF)
modulace 100 %
Modulační přenosová funkce MTF
Jak se přenese původně 100% kontrast periodické mřížky?
MTF=|OTF|
kontrast = MTF(ω ) =
I max − I min
I max + I min
Kontrast (modulace)
ω malé
ω velké
kontrast + frekvence
modulace 100 %
modulace 50 %
modulace 30 %
40
Teoretické hodnoty PSF a OTF
Difrakce na kruhové apertuře D=2R
Airyho disk θ ≈ 1.22λ/D ≈ 0.61λ/R
 2 J (kR sin θ )
PSF =  1

 kR sin θ 
OTF =
2
[
arccos ω − ω
π
2
]
1 − ω 2 , kde ω =
λ
D
νθ
mezní prostorová frekvence :
ν θ = D / λ (ω = 1)
pro D = 2 mm a λ = 555 nm je mezní frekvence
ν θ ≈ 3590 čar na radián ≈ 63 čar na stupeň
neboli
ν θ ≈ 1 čára na minutu (V ≈ 1)
41
Testovací mřížka
15-40 čar na deg
Difrakce
R = 1 mm
Defokus
0.25 D
rozliší jen 20 čar/deg
V ≈ 0.3
42
Wavefront refraction (prémiová korekce)
Standardně se najde sférocylindrická korekce z Zernikeho koeficientů 2. řádu
(LOA method – odpovídá minimální RMS)
Lepší korekce (prémiová) se dosahuje pomocí oskulační kvadratické plochy
k aberační funkci W ve středu pupily
(HOA method – započtou se i aberace vyšších řádů)
Z Zernikeho koeficientů druhého řádu
Lepší je oskulační kvadrika
− c 20 4 3
M =
R2
− c 22 2 6
J0 =
R2
− c 2− 2 2 6
J 45 =
R2
− c 20 4 3 + c 40 12 5 − c60 24 7 + ...
M =
R2
− c 22 2 6 + c 42 6 10 − c62 12 14 + ...
J0 =
R2
− c 2− 2 2 6 + c 4− 2 6 10 − c6− 2 12 14 + ...
J 45 =
R2
43
MTF z HOA
PSF z HOA
po prémiové korekci
po prémiové korekci
44
i.Profiler firmy Zeiss
Plně automatický multifunkční přístroj:
Aberometrie (Shack-Hartmann)
Analýza LOA, HOA, autorefraktometr
1 500 měřicích bodů
Doba měření: 0.2 s
Topografie rohovky (Placido projektor)
Topografie, keratometrie
6 144 analyzovaných bodů
Grafické výstupy
LOA, HOA, topografie, 3D zobrazení
PSF, MTF, Zernikovy koeficienty atd.
45
46
47
48
Pupila 5 mm
2.50µm@164°
0.31µm@140°
0.19µm@22°
(c
) (
, c n− m → c n , m θ n
+m
n
m
m
)
c n+ m = c n cos m θ n
m
m
c n− m = c n sin m θ n
m
c n− m
m
Zernikeho koeficienty
v polárním zápisu
(c
+m
n
, c n− m
)
m
cn
mθn
m
c n+ m
49
PSF odpovídající Z(n,m)
vlnolochy odpovídající Z(n,m)
50
Koherentní osvětlení
Test na temném pozadí
51
Optický test
pro vízus 1.0 resp. 0.6,
tj. výška 5´ resp. 9´
Difrakce
PSF - Airyho disk
Oko bez aberací, pouze vliv difrakce světla
pupila 5 mm
pupila 2 mm
pupila 1 mm
52
sféra 0.25 D
sféra 0.50 D
sféra 1.00 D
Sféra a cylindr (astigmatismus prostý)
Aberace 2. řádu
všude pupila 5 mm
astigmatismus cyl. 0.25 D
astigmatismus cyl. 0.25 D
53
Astigmatismus Z2-2 0.25 D
astigmatismus Z2-2 0.50 D
Astigmatismus mixtus
astigmatismus Z22 0.25 D
54
Moje oko
Z 3−3
RMS = 3.12 µm
Me=3.45 D
V ≈ 0.03
RMS HOA = 0.22 µm
Me= 0.24 D
V ≈ 0.4
55
HOA
HOA - 0.20 D
RMS = 0.22 µm
RMS = 0.28 µm
56
RMS = 0.39 µm
HOA + prémiová korekce M = -0.27 D, J0 = 0.13, J45 = 0.09
57
Aberace vyšších řádů
Ekvivalentní defokus 0.25 D
Z(3,1)
Z(3,3)
Z(3,-1)
J. Bajer, Katedra
optiky, UP Olomouc 2013
Z(3,-3)
58
Z(4,2)
Z(4,4)
Z(4,0)
Z(4,-2)
Z(4,-4)
59
Z(5,1)
Z(5,-1)
J. Bajer, Katedra
Z(5,3)
Z(5,-3)
Z(5,5)
Z(5,-5)
60
Nekoherentní osvětlení
Test na bílém pozadí
61
Optický test
pro vízus 1.0 resp. 0.6,
(malá resp. velká písmena)
tj. výška 5´ resp. 9´
Difrakce
PSF - Airyho disk
Oko bez aberací, pouze vliv difrakce světla
pupila 5 mm
pupila 2 mm
pupila 1 mm
62
sféra 0.125 D
sféra 0.25 D
sféra 0.50 D
Sféra a cylindr (astigmatismus prostý)
Aberace 2. řádu
všude pupila 5 mm
cylindr 0.25 D
cylindr 0.25 D
63
Astigmatismus mixtus
64
Moje oko
Z 3−3
RMS = 3.12 µm
Me=3.45 D
V ≈ 0.03
RMS HOA = 0.22 µm
Me= 0.24 D
V ≈ 0.4
65
HOA
HOA - 0.20 D
RMS = 0.22 µm
RMS = 0.28 µm
66
RMS = 0.39 µm
HOA + prémiová korekce M = -0.27 D, J0 = 0.13, J45 = 0.09
67
Aberace vyšších řádů
Z(3,1)
Z(3,3)
Z(3,-1)
J. Bajer, Katedra
Z(3,-3)
68
Z(4,2)
Z(4,4)
Z(4,-2)
Z(4,-4)
Z(4,0)
69
Z(5,1)
Z(5,-1)
J. Bajer, Katedra
Z(5,3)
Z(5,5)
Z(5,-3)
Z(5,-5)
70

M - Katedra optiky

Transkript

Podobné dokumenty

XXII. sjezd České kontaktologické společnosti, os

Zkoušení textilií pro bakaláře 1

Oční operace laserem - Optika Vahala Frenštát pod Radhoštěm

offline v PDF - Mathematical Assistant on Web

PDF ke stažení

PDF ke stažení

PDF ke stažení

Anizometropie Kontrastní citlivost Rozhovor

Novinky firmy Rodenstock

Studijní text - MATEMATIKA online