Operační zesilovač

Transkript

Operační zesilovač

Automatizace
Obsah
OBSAH
1. Předmluva .............................................................................................................................2
2. Operační zesilovač ................................................................................................................3
2.1 Seznámení s operačním zesilovačem............................................................................3
2.1.a Co to vlastně je…......................................................................................................................... 3
2.1.b Jak to vlastně funguje ................................................................................................................... 4
2.2 Základní zapojení s operačním zesilovačem.................................................................6
2.2.a
2.2.b
2.2.c
2.2.d
2.2.e
2.2.f
2.2.g
Komparátor .................................................................................................................................. 6
Sledovač napětí ............................................................................................................................ 8
Invertující zesilovač ..................................................................................................................... 9
Součet pomocí operačního zesilovače........................................................................................ 11
Rozdíl pomocí operačního zesilovače ........................................................................................ 12
Integrační člen ............................................................................................................................ 15
Derivační člen ............................................................................................................................ 18
2.3 Doporučená literatura..................................................................................................20
SPŠ na Proseku, Novoborská 2, Praha 9
1
- doplňkový učební text -
1. PŘEDMLUVA
Tento učební text je určen žákům čtvrtého ročníku oboru strojírenství a doplňuje chybějící
studijní materiál k některým pasážím předmětu automatizace. Neklade si za cíl kompletní
rekapitulaci vybraných částí oboru, ale je zcela podřízen podpoře výuky předmětu
automatizace. Výběr témat je volen i s ohledem na znalosti, které jsou nezbytné pro úspěšné
zvládnutí cvičení a navazujících samostatných prací.
K sestavení toho učebního textu mě přivedl zejména fakt, že vybrané pasáže jsou pro
úspěšné zvládnutí studia předmětu automatizace poměrně důležité. Přitom však v základní
učebnici chybí. Je sice možné je najít v odborné literatuře, to však u současného průměrného
studenta zřejmě nelze očekávat.
Kromě nejzákladnějších informací, znalostí, vzorců, obrázků, schémat atd. v textu najdete i
podrobná odvození a vysvětlení, uváděná při výkladu v hodině, případně i další doplňující
odvození a podrobnosti. Navíc se zde vyskytují i pokusy o co nejjednodušší shrnutí
základních principů pro lamy.
Nezbytné základní znalosti a vzorce jsou opatřeny symbolem žárovky, pokusy o jednoduchá
shrnutí symbolem lamy.
Pokud by se náhodou vyskytl pilný student, který by si tento text prostudoval, upřímně
doufám, že mu bude užitečný. I méně pilní studenti, resp. spíše posluchači (a někdy ani to
ne…) předmětu automatizace zde však mohou nalézt v případě potřeby informace, které jim
třeba unikly během výuky.
Hb.
2
Automatizace
2. OPERAČNÍ ZESILOVAČ
2.1 Seznámení s operačním zesilovačem
2.1.a Co to vlastně je…
Operační zesilovač je elektronická součástka, která umožňuje
realizaci různých matematických operací.
Operační zesilovač (OZ) je součástka, pomocí které se dříve v analogových počítačích
(viz.[1],[3]) realizovaly různé matematické operace (např. součet, součin, inverze, derivace,
integrace, porovnávání čísel, analogová paměť…). Odtud pochází název „operační“.
Vzhledem k tomu, že většinu věcí z reálného světa můžeme (pokud nebudeme zabíhat do
filozofie) díky vědě matematicky popsat, můžeme taky pomocí OZ sestavit elektronický
model téměř čehokoliv.
Můžeme například sestavit simulační model, který se bude chovat stejně jako nějaká
soustava. Stejně tak můžeme vytvořit zapojení, které bude v (téměř) reálném čase počítat
nějakou (klidně i složitou) matematickou funkci. Můžeme také vytvořit zapojení, které bude
nejen předstírat, že je regulátor- ale skutečně se tak bude chovat a regulovat.
Přestože by se mohlo zdát samostatné použití OZ pro zapojení
simulačního nebo řídícího obvodu zastaralé, můžeme si na něm odvodit a
ověřit řadu principů z oblasti analogové techniky a spojitého řízení.
Mohlo by se také zdát, že v digitální současnosti je zbytečné zabývat se
analogovou technikou. Je třeba připomenout, že většina vesmíru, včetně
naší planety, se chová analogově (pokud nebudeme zabíhat do filozofie a
kvantové mechaniky).
Ve skutečnosti kromě elektronické varianty existuje i například zapojení pneumatické, ale
pokud se tedy budeme držet elektroniky tak kromě polovodičové varianty existuje i například
zapojení s elektronkami (viz.[1]) a tak bychom mohli pokračovat dále… popojedem.
Operační zesilovač budeme ve schématech značit tímto symbolem:
neinvertující
vstup
výstup
invertující
vstup
obr.1. - schematická značka OZ
Všimněte si, že OZ má dva vstupy a jeden výstup. Jeden vstup je označen jako
invertující (-). Lidově řečeno to znamená, že tento vstup obrací hodnotu, jinak řečeno
funguje jako záporný pól vstupu. Druhý vstup, neinvertující (+) můžeme přeložit jako
neobracející, tedy přímý. Funguje jako kladný pól vstupu.
3
2.1.b Jak to vlastně funguje
Abychom si mohli vysvětlit funkci operačního zesilovače, musíme si nejdříve ujasnit pár
detailů ohledně napájení a napětí, která můžeme na OZ sledovat - viz obr. 2.
+Unap
ud
us
uo
−Unap
obr.2. - základní zapojení operačního zesilovače
Všimněte si nejprve napětí Unap. Je to napájecí napětí, většinou tzv. symetrické. To
znamená, že proti zemi (0V) přivádíme například na +Unap napětí +15V a na -Unap napětí
-15V. Je dobré vědět, že rozsah napětí, které se může objevit na výstupu, je závislý na rozsahu
napájecího napětí.
Rozsah napětí na výstupu OZ je přibližně o 2V menší, než
rozsah napájecího napětí.
Například pokud je napájecí napětí ±15V, na výstupu se může objevit
napětí maximálně -13V nebo +13V.
Pokud budeme realizovat pomocí OZ například součet a zapojení nám
vypočítá, že výsledek má být například 120, tzn. výstup 120V, tak se na
výstupu ve skutečnosti stejně objeví nanejvýš maximum, tzn. například
zmíněných +13V.
Pokud by výsledek měl být třeba -5.3, výsledné napětí bude -5,3V. Pokud
by výsledek „přetekl“ a měl být třeba -16, na výstupu naměříme zase jen
maximum: -13V.
Napětí us je napětí (třeba) invertujícího vstupu proti zemi, to pro naše účely kupodivu
nebude moc důležité.
Napětí ud (index d zřejmě od slovíčka difference=rozdíl) je napětí měřené mezi vstupy- to
pro nás bude naopak velmi podstatné.
Napětí uo (index není nula, ale písmeno o – zřejmě jako output=výstup) je napětí na
výstupu, měřené opět proti zemi a opět pochvopytelně důležité.
4
Automatizace
To podstatné, co bychom si měli pamatovat především, je vztah mezi vstupy a výstupem:
napětí na vstupu je samozřejmě závislé na vstupu. Je ale závislé ani ne tak na absolutní
hodnotě napětí některého ze vstupů, ale na rozdílu napětí mezi vstupy. Závislost můžeme
popsat jednoduchým vztahem:
uo = K · ud
Písmeno K, které se nám objevilo ve vztahu, je tzv. zesílení. Znamená to, že napětí mezi
vstupy se vynásobí konstantou a objeví na výstupu. Jednoduché. Ve skutečnosti to je ale
trochu složitější, ale popravdě řečeno takřka geniální. Nyní je ale pravý čas na to, seznámit se
s nějakými základními vlastnostmi ideálního operačního zesilovače:
1) vstupní odpor operačního zesilovače je nekonečně velký,
2) výstupní odpor operačního zesilovače je nekonečně malý,
3) zesílení operačního zesilovače je nekonečné.
Takže popořadě, co to vlastně znamená:
1) Vzpomeňme na Ohmův zákon: U=R·I, kde U je elektrické napětí, I je elektrický proud a
R je elektrický odpor. Pokud platí, že vstupní odpor je nekonečně velký, pak proud tekoucí do
vstupu operačního zesilovače musí být nulový při jakémkoliv konečně velkém napětí
připojeném na vstup.
Jinak řečeno: protože proud určíme z Ohmova zákona jako I=U/R, a
protože předpokládáme napětí řádově pár voltů, nejvýše pár desítek voltů
a odpor považujeme za nekonečný, pak dělíme „normální“ číslo
nekonečnem (hodně, hodně, nepředstavitelně hodně velkým číslem), musí
nám vyjít nula (hodně, hodně, nepředstavitelně hodně malé číslo). V
„normální“ matematice je taková věc zakázaná, ale tím se nyní nemusíme
vůbec trápit.
Ve skutečnosti, u reálného operačního zesilovače, není vstupní odpor nekonečný, ale řádově
miliony až miliardy ohmů, takže proud do vstupu není nulový, ale řádově µA až nA. Pokud
bychom zapojovali velmi přesný přístroj, museli bychom se tím zabývat. Pro naše účely ale
můžeme takový proud spokojeně ignorovat. Značně nám to usnadní další výpočty.
2) Vzpomeňme nyní na chování ideálního a reálného zdroje. Víme, že pokud reálný zdroj,
například baterii, zatížíme (tzn.odebíráme z něj proud), jeho napětí klesá. Obvykle platí, že
čím větší proud „odsáváme“, tím menší napětí na svorkách zdroje naměříme. V teorii
elektrotechniky se tento efekt svádí na tzv.vnitřní odpor zdroje- čím větší je tento parazitní
odpor, tím více napětí s proudem ubývá. Zdroj s velkým vnitřním odporem, kde napětí
s odebíraným proudem slábne hodně výrazně, se označuje jako slabý… a naopak.
Do lidské řeči volně přeloženo, nekonečně malým odporem se vlastně myslí odpor nulový.
Pokud tedy předpokládáme, že výstupní odpor je nulový, pak se operační zesilovač bude
chovat jako ideální, tedy nekonečně silný zdroj. Takže může teoreticky v ideálním případě
dávat jakkoliv velký proud a jeho napětí se nezmění.
Jinak řečeno, pokud má být na výstupu operačního zesilovače například
výsledek nějaké matematické operace a má být pokud možno maximálně
přesný, je příjemné si myslet, že tento výsledek nebude ovlivněn
připojením zátěže (dalších součástek) na výstup.
5
Ve skutečnosti, u reálného operačního zesilovače, není výstupní odpor nulový, ale velmi,
velmi malý. Takže k ovlivnění výstupného napětí odebíraným proudem dochází, ale je tak
malé, že nás opět nemusí nijak zvlášť zajímat.
3) Poslední bod je pro nadšeného elektronika a případně i matematika skutečná bomba a na
rozdíl od předchozích, které nám pouze ulehčují výpočty, třetí bod nám (s větší dávkou
snahy) konečně objasní funkci operačního zesilovače v zapojeních.
Už víme, že napětí na výstupu je K-násobkem napětí mezi vstupy, pro připomnění: uo=K·ud.
Pokud bychom předpokládali, že zesílení K je ale nekonečné, pak zjistíme, že ve skutečnosti
mezi vstupy nemůžeme mít žádné napětí ud, protože bychom na výstupu měli vždy plus nebo
mínus nekonečno, resp. plus nebo mínus maximální výstupní napětí, ale to by nám asi
většinou nebylo k ničemu, pokud potřebujeme například spočítat reálný součet dvou čísel.
Pokud se nad tím zamyslíme, dostáváme prakticky jediné možné řešení:
Pokud při nekonečně velkém napěťovém zesílení K má být
napětí na výstupu uo konečně velké, musí být napětí mezi
vstupy ud nulové.
A platí:
Operační zesilovač zapojujeme obvykle tak, aby napětí mezi
vstupy sám udržoval (vhodnou zpětnou vazbou) nulové.
Ve skutečnosti opět platí, že reálné zesílení není nekonečné, ale řádově miliony nebo
miliardy, takže mezi vstupy je pak napětí řádové µV až nV. Opět ale platí, že jsou to hodnoty
natolik malé, že je pro naše účely můžeme naprosto zanedbat.
Pro přehled si to ještě jednou shrneme:
1) do operačního zesilovače neteče žádný proud,
2) z operačního zesilovače může téci jakkoliv velký proud, aniž by se tím ovlivnila
přesnost výsledku (výsledného, výstupního napětí),
3) operační zesilovač se (většinou) zapojuje tak, aby mezi vstupy bylo nulové napětí.
A nyní se již můžeme podívat na několik zapojení, která budeme v budoucnu potřebovat
(další viz.[2],[3]).
2.2 Základní zapojení s operačním zesilovačem
2.2.a Komparátor
Komparátor je vlastně nejjednodušší zapojení ze všech, protože se v něm nevyskytují žádné
součástky, dokonce ani zpětná vazba- takže hned prvním zapojením vlastně porušíme
pravidlo číslo 3 z předchozí kapitoly.
Slovo komparátor vychází z anglického compare, neboli porovnávat. Stejně tak bychom
našli podobné slovo v němčině i dalších jazycích, nicméně toto slovo přesně vyjadřuje, co
komparátor dělá:
Komparátor porovnává dvě napětí na vstupech a hlásí, které
z nich je větší.
6
Automatizace
Jak takové „zapojení“ OZ vypadá:
u1
uv
u2
obr.3. - komparátor
Všimněte si, že tady se skutečně ještě ani nedá mluvit o zapojení, je to prostě jen operační
zesilovač, který má na každý vstup přivedeno jiné napětí. Ve skutečnosti by tam mohly být
nějaké součástky pro ochranu vstupů a podobně, ale pro jednoduchost nám to takhle musí
stačit.
Jak vidíte, mezi vstupy nyní opravdu asi nemusí být nulové napětí, spíše naopak. Pokud
bude napětí, přivedené na neinvertující vstup (+) větší, než napětí na invertujícím vstupu (-),
bude rozdíl mezi vstupy kladný a po vynásobení nekonečným zesílením máme dostat na
výstupu kladné nekonečné napětí, ve skutečnosti se tam objeví kladné maximum. Jakmile
bude na neinvertujícím vstupu (+) menší napětí, než na invertujícím (-), rozdíl bude záporný,
a na výstupu se zase objeví záporné maximum. A to je způsob, jakým nám komparátor říká,
které z těch dvou napětí je tedy větší.
+Umax
uv
napětí
Pro lepší představu se podívejme na nějaký náhodný průběh dvou napětí u1 a u2 na vstupech
a na to, jak reaguje výstup komparátoru (viz. obr. 4).
u1
čas
u2
–Umax
obr.4. - funkce komparátoru
V grafu závislosti napětí na čase máme pro představu náhodně se měnící napětí na vstupech
u1 a u2. V místech, kde se v čase kříží, se přepíná napětí na výstupu uv mezi plus a mínus
maximem. V úsecích, kde je napětí u1 (modrá čára) vyšší než napětí u2 (zelená čára), je na
výstupu kladné maximum (+Umax). V úsecích, kde je naopak napětí u1 menší než napětí u2, je
na výstupu záporné maximum (-Umax). Přesnost přepínání je závislá na přesnosti operačního
zesilovače.
Existuje i zapojení komparátoru s tzv. hysterezí, kde je přepnutí zpožděno, resp. k přepnutí
je potřeba, aby rozdíl napětí mezi vstupy překročil určitou (nastavitelnou) hranici (viz.[2],[3]).
K čemu můžeme komparátor použít? Alespoň dva příklady za všechny:
1) Pokud například k jednomu vstupu připojíme výstup elektrického snímače teploty, u
kterého je teplota převedena na napětí, a k druhému vstupu dělič napětí tvořený
7
potenciometrem (volně přeloženo knoflík, na kterém můžeme nastavit napětí), pak
získáme základ termostatu. Komparátor bude hlásit, jestli je teplota vyšší nebo nižší,
než hranice nastavená potenciometrem a může například spínat topení nebo naopak
chlazení.
2) Pokud k jednomu vstupu připojíme senzor hladiny a k druhému opět potenciometrem
tvořený dělič napětí, bude komparátor hlásit, když hladina přesáhne nastavenou mez.
Konkrétně z oblasti automatizace bychom našli podobných příkladů mnoho, ať se jedná o
snímání a jednoduché řízení teploty, hladiny, polohy, rychlosti, průtoku, tlaku atd.
Komparátor vlastně danou veličinu převádí do binární podoby, tzn. ze spojité veličiny udělá
pouze informaci typu 0/1.
2.2.b Sledovač napětí
Sledovač napětí je zřejmě druhé nejjednodušší zapojení OZ, kde stále ještě nejsou žádné
součástky (opět by mohly být, ale my se pro jednoduchost obejdeme bez nich), jen již přibude
zpětná vazba.
u1
u2
obr.5. - sledovač napětí
Jak vidíme z obrázku, zpětná vazba vede z výstupu rovnou na invertující vstup (-) a jediný
volný a použitelný vstup tak zůstává ten neinvertující (+).
Jak to funguje. Pokud předpokládáme, že mezi vstupy má být nulové napětí (viz.obr.6),
potom je jediná možnost- napětí na vstupu i na výstupu musí být stejné. Pokud by se vyskytla
sebemenší odchylka, vynásobí se teoreticky nekonečnem a na výstupu dostaneme nesmysl.
Všimněte si, že zpětná vazba vede do invertujícího vstupu (-), tomu se říká záporná zpětná
vazba a ta obvykle vede ke stabilitě systému- o tom potom. Pokud by totiž na výstupu napětí
kleslo pod hodnotu vstupu, rozdíl mezi vstupy bude kladný a operační zesilovač má tendenci
na výstup dát větší napětí - tím se rozdíl srovná. Pokud by napětí na výstupu přesáhlo hodnotu
na vstupu, rozdíl je záporný a operační zesilovač má tendenci dát na výstup napětí záporné,
tedy nižší- a tím se rozdíl opět srovná.
u1
u2
0V
obr.6. - sledovač napětí: odvození funkce
8
Automatizace
Pokud bychom chtěli prohodit vstupy operačního zesilovače, pak
samozřejmě zapojení povede k nestabilitě- protože při vychýlení
z rovnováhy kladným směrem by rozdíl ještě rostl a při vychýlení
záporným směrem by zase ještě dál klesal.
Sledovač napětí pouze kopíruje napětí ze vstupu na výstup:
u2=u1.
Mohlo by se zdát, že to k ničemu není, protože by stačilo dát mezi vstup a výstup jen kus
drátu a funkce bude stejná. Pokud ale vzpomenete na základní vlastnosti operačního
zesilovače, pak je podstatné, že do vstupů teoreticky neteče proud a z výstupu zase může téci
jakýkoliv proud. Přestože napětí se nemění, dodávaný proud se může podstatně zvýšit.
K čemu můžeme sledovač napětí použít? Všude tam, kde chceme nějaké napětí sledovat
nebo i nějak použít, ale bojíme se, že připojením například měřícího nebo řídicího obvodu se
výsledek změní- vlivem odsání proudu. Zapojením sledovače napětí se výsledek soustavy
prakticky neovlivní.
Například pokud bychom měli například snímač, který dává slabý proud a připojením
řídicího systému nebo voltmetru by se výstupní napětí snímače změnilo, můžeme použít
sledovač napětí a máme určitou jistotu, že nebudeme měřením výstup zatěžovat a tím
ovlivňovat.
2.2.c Invertující zesilovač
Teď trochu přitvrdíme. Na obrázku 7 máme zapojení invertujícího zesilovače, které už je
trochu komplikovanější- u vstupu i ve zpětné vazbě se objevily rezistory.
R2
u1
R1
u2
obr.7. - invertující zesilovač
Abychom si mohli odvodit, co invertující zesilovač dělá, je nutné vzpomenout alespoň na
dva zákony z elektrotechniky:
- 1. Kirchhoffův zákon: Elektrické proudy vstupující do uzlu a vystupující z uzlu jsou
v rovnováze. Jinak řečeno: co vstoupí dovnitř, vystoupí ven. Součet všech proudů je roven
nule. Elektrický proud v uzlu ani nevzniká, ani nezaniká.
- Ohmův zákon: můžeme zapsat jako U=R · I, neboli napětí (třeba) na rezistoru = odpor krát
proud.
Vybereme si pro odvození uzel u invertujícího vstupu a zavedeme si příslušné proudy a
odpovídající napětí (viz. obr. 8).
9
R2
i2
u1
R1
i1
0V
i3
u2
0V
0V
obr.8. - invertující zesilovač: odvození funkce
Popořadě: především vidíme, že neinvertující vstup (+) je připojen k zemi, bude na něm
tedy napětí 0V. Pokud bude vše správně fungovat, musí být i mezi vstupy nulové napětí, tím
pádem i u invertujícího vstupu (-) musí být napětí 0V. To nám dost usnadní výpočet.
Pokud budeme předpokládat, že vstupní napětí u1 je kladné, pak proud i1, tekoucí přes odpor
R1, musí téci směrem k invertujícímu vstupu, protože na něm máme napětí 0V, tedy menší.
Pokud bychom kvůli odvození naivně předpokládali, že na výstupu bude také kladné napětí,
pak i proud i2 musí téct směrem k invertujícímu vstupu, kde máme stále napětí 0V- tedy tak,
jak je nakresleno v obrázku. Bystřejší z vás už možná vidí, že to nebude úplně pravda, ale pro
účely odvození je to pohodlnější a skutečnost nám na konci odhalí znaménka.
Kirchhoffův zákon pro zvolený uzel tedy můžeme nyní zapsat ve tvaru:
i1 + i2 – i3 = 0,
protože u proudů i1 a i2 předpokládáme, že tečou směrem do uzlu a proud i3 naopak z uzlu
ven. Protože ale předpokládáme, že do vstupu OZ neteče žádný proud (viz. vlastnosti
ideálního operačního zesilovače), vztah se nám zjednoduší:
i1 + i2 = 0.
Elektrické proudy, které tečou přes odpory můžeme snadno vyjádřit:
i1 =
u1
R1
i2 =
u2
R2
a dostáváme vztah:
u1 u 2
+
=0
R1 R2
→
u2 = −
R2
⋅ u1
R1
Co nám vztah říká? Že napětí na výstupu u2 bude mít opačnou polaritu, než napětí vstupní u1
(proto se tomu říká invertující zesilovač) a bude větší nebo menší, podle toho, jaký bude
poměr odporů R2 ku R1. Takže:
Invertující zesilovač násobí vstupní napětí konstantou a obrací
polaritu. Konstantu (zesílení) určíme jako poměr odporů.
10
Automatizace
Invertující zesilovač se prostě používá jako násobení konstantou.
Například bychom měli opět třeba snímač. Tentokrát takový, který dává
velmi malé a špatně měřitelné nebo špatně přenositelné napětí. Jeho
výstup můžeme pomocí invertujícího zesilovače znásobit, třeba 10x, 100x
a podobně, konkrétní hodnotu nastavíme velmi pohodlně pomocí odporů.
Například pro zesílení 100x bychom například použili R1=1kΩ a
R2=100kΩ.
Později zjistíme, že je možné invertující zesilovač použít také jako regulátor.
2.2.d Součet pomocí operačního zesilovače
Zapojení součtu je na první pohled dost podobné invertujícímu zesilovači a má taky
podobný princip.
u3
R3
u2
R2
u1
R1
Rv
uv
obr.9. - součet napětí
Na obrázku máme zapojení pro součet tří hodnot- tří napětí u1, u2, u3. Pokud bychom chtěli
sčítat více hodnot, úprava je jednoduchá- prostě doplníme nad R3 další odpor a na něj
přivedeme další napětí. Stejně tak můžeme samozřejmě i odebírat.
Opět počítáme s tím, že na neinvertujícím vstupu (+) je zem, tedy napětí 0V a stejné tedy
musí být i na invertujícím vstupu (-) a opět zavedeme proudy tekoucí v jednotlivých větvích:
u3
R3
i3
u2
Rv
R2
iv
i2
u1
R1
0V
i4
i1
uv
0V
0V
obr.10. - součet napětí: odvození funkce
Můžeme opět vyjádřit Kirchhoffův zákon pro uzel u invertujícího vstupu (-):
11
i1 + i2 + i3 + iv – i4 = 0,
a opět budeme počítat s tím, že do vstupu OZ neteče žádný proud, tedy i4=0A a tedy platí:
i1 + i2 + i3 + iv = 0.
Opět podle Ohmova zákona určíme hodnoty proudů:
i1 =
u1
R1
i2 =
u2
R2
i3 =
u3
R3
iv =
uv
Rv
a opět dosadíme do předchozí rovnice:
u1 u 2 u 3 u v
+
+
+
=0
R1 R2 R3 Rv
→
u
uv
u 
u
= − 1 + 2 + 3 
Rv
 R1 R2 R3 
takže dostáváme:
u
u 
u
u v = − Rv  1 + 2 + 3 
 R1 R2 R3 
pokud si opět zjednodušíme práce a použijeme všechny čtyři odpory stejné, tzn.
R1=R2=R3=Rv, hodnoty odporů se nám v rovnici vzájemně vykrátí a vztah se zjednoduší do
finální podoby:
u v = −(u1 + u 2 + u 3 )
Na výstupu součtového členu s OZ je součet vstupních napětí, jen
s obrácenou polaritou.
2.2.e Rozdíl pomocí operačního zesilovače
Další zapojení vypadá celkem podobně, ale odvození bude trochu náročnější.
Rv
u1
R1
uv
u2
R2
R3
obr.11. - rozdíl pomocí operačního zesilovače
12
Automatizace
Zavedeme si opět potřebná napětí a proudy. Tentokrát ale nemáme neinvertující vstup (+)
připojen k zemi, ale k napěťovému děliči tvořeného odpory R2 a R3, který ze vstupního napětí
u2 vytváří menší napětí, které zatím neznáme, které si označíme u3 a které je přivedeno na
neinvertující vstup (+). Pokud budeme opět předpokládat, že zapojení funguje, pak musí být
mezi vstupy operačního zesilovače opět nulové napětí- ta jediná jistota nám tu zůstala. V tom
případě bude stejné napětí u3 i na invertujícím vstupu (-). Ke každému rezistoru si zavedeme
příslušný proud, pro přehlednost jsou proudy označeny stejným indexem, jako rezistory.
Rv
iv
u1
R1
i1
u2
R2
0V
u3
i4
i5
uv
u3
i2
i3
R3
0V
obr.12. - rozdíl: odvození funkce
Nejprve bychom měli zjistit, jaké je vlastně napětí u3. Na jedné straně rezistoru R2 máme
napětí u2, na druhé straně napětí u3. Pokud pro odvození předpokládáme, že napětí u2 je třeba
kladné, pak u3 bude také kladné, ale menší. Na straně rezistoru R2 máme tedy napětí (u2-u3).
Stejně tak napětí na jedné straně rezistoru R3 je u3, na druhé straně je 0V, protože je připojena
k zemi. Proto na rezistoru R3 můžeme počítat přímo s napětím u3.
Nyní můžeme zapsat Kirchhoffův zákon pro uzel u neinvertujícího vstupu (+):
i2 - i3 - i5 = 0
Můžeme opět předpokládat, že do vstupu nepoteče žádný proud, tedy i5 považujeme za
nulový a pak dostáváme primitivní vztah:
i2 - i3 = 0
resp.
i2 = i3
takže oběma rezistory teče stejný proud a můžeme dosadit vyjádření proudů:
i2 =
u 2 − u3
R2
i3 =
u3
R3
→
u 2 − u3 u3
=
R2
R3
a protože u2 známe a u3 potřebujeme zjistit, upravíme:
u 2 u3 u3
−
=
R2 R2 R3
→
 1
u 2 u3 u3
1 

=
+
= u 3 ⋅ 
+
R2 R2 R3
 R2 R3 
13
R
 R 
R + R2
R 
u 2 = u 3 ⋅  2 + 2  = u 3 ⋅ 1 + 2  = u 3 ⋅ 3
R3 
R3
 R2 R3 

a konečně dostáváme vztah pro napětí u3:
u3 = u 2
R3
R2 + R3
Teď tedy víme, jaké napětí je na neinvertujícím vstupu (+) a pokud zapojení funguje, bude i
na vstupu invertujícím (-). V tom případě pak platí, že na jednom konci rezistoru R1 máme
napětí u1 a na druhém konci u3. Pokud předpokládáme, že napětí u1 je třeba zase kladné,
máme na rezistoru napětí (u1-u3). Stejně tak na jednom konci rezistoru Rv je napětí uv, na
druhém konci u3 a celkem tedy rozdíl (uv-u3), pokud bychom chtěli dodržet naivně zavedený
směr proudu iv (od výstupu ke vstupu). Můžeme zapsat Kirchhoffův zákon:
i1 + iv - i4 = 0
a opět samozřejmě zanedbáme proud do vstupu OZ i4 a po dosazení za proudy dostaneme:
i1 =
u1 − u 3
R1
iv =
uv − u3
Rv
→
u1 − u 3 u v − u 3
+
=0
R1
Rv
a protože potřebujeme znát především napětí na výstupu uv, pokračujeme:
u1 u 3 u v u 3
−
+
−
=0
R1 R1 Rv Rv
 1
u v u 3 u 3 u1
1 
1
 − u1
=
+
−
= u 3 ⋅  +
Rv R1 Rv R1
R1
 R1 Rv 
a konečně osamostatníme uv a dostáváme:
R
R

R 
R
R
R + R1
R
u v = u 3 ⋅  v + v  − u1 v = u 3  v + 1 − u1 v = u 3 v
− u1 v
R1
R1
R1
R1
 R1

 R1 Rv 
Zbývá do vztahu dosadit za u3 a dostaneme pikantní formulku:
uv = u2
R3
R + R1
R
⋅ v
− u1 v
R2 + R3
R1
R1
A nyní je pravý čas všechno zjednodušit. To jsme sice mohli udělat už na začátku, ale to by
odvození nebylo zcela správné a univerzální a přiznejme si- ani tak půvabné a zábavné.
Zjednodušení, stejně jako v předchozím, spočívá v tom, že použijeme všechny odpory
stejné. To znamená, že dosadíme R1=R2=R3=R4=Rv. V takovém případě vztah dostane finální
sympatický tvar:
uv = u2 - u1
A máme to.
14
Automatizace
Bystřejší z vás možná vidí, že stejného výsledku, tedy výpočtu rozdílu, bychom mohli
dosáhnout i tak, že bychom použili součet napětí a před jeden ze vstupů bychom dali
invertující zesilovač se zesílením 1 (tedy přesněji -1).
2.2.f Integrační člen
A opět poněkud přitvrdíme. Další funkce, integrační člen, vychází z vyšší matematiky a je
to funkce, která již není závislá jen na hodnotě vstupu, ale i na čase. Předběžně můžeme říci:
Výstup integračního členu se sám trvale mění, v závislosti na
velikosti vstupního napětí.
CI
u1
RI
u2
obr.13. - integrační člen
Ve zpětné vazbě se nám tentokrát objevil kondenzátor, což je součástka, o které víme, že se
při přiložení napětí nabíjí nebo vybíjí, takže je evidentně závislá na čase. Také víme, že pokud
se kondenzátor nabije na plnou hodnotu připojeného napětí, už dál nic nedělá. Neteče už do
něj ani z něj žádný proud.
Popis toho, jak se kondenzátor chová, můžeme velmi zjednodušeně shrnout vztahem:
i =C⋅
∆u
∆t
kde i je proud tekoucí do/z kondenzátoru, C je jeho kapacita ve Faradech, ∆u je změna
napětí na kondenzátoru a ∆t je čas, za který jsme tuto změnu zaznamenali. I tady se nám tedy
již projevuje závislost na čase. Volně přeloženo, čím větší je změna napětí za určitý čas, tedy
čím rychleji se kondenzátor nabíjí/vybíjí, tím větší proud do/z něj teče. Rychlost nabíjení
závisí samozřejmě na kapacitě (podobně jako u baterií). Pokud chceme za stejnou dobu nabít
na stejné napětí dva kondenzátory s různými kapacitami, pak kondenzátor s větší kapacitou
(=který uchová více energie) se musí logicky nabíjet větším proudem. Tolik pro připomenutí.
15
Obvyklým způsobem zavedeme napětí a proudy v zapojení:
CI
u1
i2
RI
i1
0V
i3
u2
0V
0V
obr.14. - integrační člen: odvození funkce
Funkci si předběžně můžeme představit i takto: pokud je na invertujícím vstupu (-) skutečně
napětí 0V a přivedeme třeba konstantní kladné napětí u1, bude rezistorem téci trvalý proud.
Jinak to ani nejde. Jenže proud nemá jinou možnost než dále téci do kondenzátoru- ale pokud
do kondenzátoru trvale teče proud, pak se také stále nabíjí. A protože na invertujícím
vstupu (-) je stále napětí 0V, není jiná možnost, než že se trvale mění napětí na druhé straně
kondenzátoru, tedy napětí na výstupu u2.
Pokud ale budeme chtít být exaktní a opět zapíšeme Kirchhoffův zákon pro tentýž uzel, jako
obvykle, a abychom se nezdržovali budeme rovnou počítat s tím, že proud i3=0A (na obrázku
je to jen pro formu), dostáváme vztah:
i1 + i2 = 0
a po dosazení za proudy:
i1 =
u1
RI
i2 = C I ⋅
∆u 2
∆t
můžeme zapsat finální tvar:
u1
∆u
+ CI ⋅ 2 = 0
RI
∆t
→
∆u 2 = −
∆t
⋅ u1
RI ⋅ C I
Všimněte se, že tentokrát nemůžeme napsat vztah pro skutečnou hodnotu u2 (tedy u2=…),
ale jen pro změnu napětí ∆u2 za určitý čas ∆t a i tak je tento vztah spíše přibližný.
Všimněte si také, že ve jmenovateli se objevil výraz RI·CI. Tento výraz budeme označovat
jako časovou konstantu integračního členu τI a věřte nebo ne, fyzikální rozměr násobku
Ohmu s Faradem dává skutečně sekundu - ostatně, pokud si zkontrolujete poslední vztah
z hlediska jednotek, zjistíte, že jinak to ani být nemůže.
Co tedy ve vztahu máme: především je tam opět znaménko mínus, takže se jedná opět o
zapojení, které obrací polaritu zapojení- správně bychom měli říkat, že se jedná o invertující
integrační člen. Dále vidíme, že změna napětí na výstupu (∆u2) bude tím větší, čím déle
budeme čekat (∆t) a čím větší bude napětí na vstupu (u1). Pak už výsledek závisí jen na
zmíněné časové konstantě. Právě tou tedy můžeme nastavit, jak rychle má zapojení reagovat.
16
Automatizace
Právě volbou hodnoty odporu RI a kapacity CI můžeme rychlost reakce zpomalit (při vyšších
hodnotách) nebo naopak zrychlit (při nižších hodnotách).
Zkusme to tedy shrnout:
- pokud je na vstupu kladné napětí, výstupní napětí trvale klesá,
- pokud je na vstupu záporné napětí, výstupní napětí trvale roste,
- pokud je napětí na vstupu nulové, výstup zůstává konstantní (je totiž
nulová změna),
- čím větší je napětí na vstupu, tím rychleji se výstup mění.
napětí
Můžeme si to ukázat i v grafu, pro náhodně zvolený skokový průběh vstupního napětí u1:
čas
u1
u2
obr.15. - průběh napětí na integračním členu
Popořadě: na počátku je vstupní i výstupní napětí třeba na nule. Výstupní napětí se nemění,
protože vstupní napětí je nulové. Pak se na vstupu objeví záporné napětí, výstup trvale roste.
Dále se napětí změní, je stále záporné, ale menší, takže výstup roste dál, ale pomaleji. V další
části je na vstupu opět nula, takže výstup zůstane konstantní tam, kde byl. Velké kladné napětí
na vstupu způsobí rychlé klesání výstupu (až do záporných hodnot) a nakonec opět záporné
napětí na vstupu vyvolá růst napětí na výstupu.
A k čemu to může být dobré? Kromě toho, že je to funkce, bez které by se vyšší matematika
prakticky neobešla, později zjistíme, že toto zapojení funguje také jako regulátor,
mimochodem velmi šikovný a užitečný regulátor.
Pro představu lze uvést alespoň jeden příklad: graf na obrázku 15 by vám mohl připomínat
něco, co znáte přinejmenším z mechaniky- kinematiky, a sice vztah mezi polohou a rychlostí,
nebo mezi rychlostí a zrychlením. Pokud bychom za vstup považovali rychlost nějakého
tělesa (vezměme třeba infantilní příklad: rychlost autíčka), potom druhá čára, pokud bychom
si její polaritu obrátili (tzn. otočili zrcadlově podle osy x neboli časové osy), pak nám bude
tato křivka nápadně připomínat průběh polohy, tedy dráhy autíčka. Je to skutečně tak, pokud
informaci o rychlosti proženeme integračním členem, pak dostaneme informaci o poloze.
Stejně tak pokud dovnitř pustíme informaci o zrychlení, ven vyjde informace o rychlosti.
Takže pokud bychom měli k dispozici snímač rychlosti a potřebovali znát polohu, stačí
skutečně jen připojit ke snímači integrační člen s vhodně nastavenou časovou konstantou a
ven nám vyjde rozluštěná poloha. Užitečné. V praxi to tedy může znamenat, že nám stačí
17
měřit jen jednu ze zmíněných veličin (polohu, rychlost, zrychlení) a ty další nám prostě
dopočítá integrační člen, případně člen následující- derivační.
2.2.g Derivační člen
Poslední zapojení s OZ, které budeme potřebovat a se kterým se seznámíme, je opět závislé
na čase a jeho funkce jistým způsobem souvisí s předchozím.
RD
CD
u1
u2
obr.16. - derivační člen
Schéma derivačního členu je na první pohled příbuzné předchozímu zapojení- v podstatě je
skoro stejné, jen se nám prohodil rezistor s kondenzátorem. Je asi zřejmé, že o závislost na
čase se opět postará právě kondenzátor.
Pro odvození si -nyní již notoricky známým postupem- zavedeme příslušná napětí a proudy,
vyjádříme je a zapíšeme Kirchhoffův zákon.
RD
i2
CD
u1
i1
0V
i3
u2
0V
0V
obr.17. - derivační člen: odvození funkce
Platí tedy:
i1 = C D ⋅
∆u1
∆t
i2 =
u2
RD
i1 + i2 = 0
a po dosazení dostáváme:
CD ⋅
∆u1 u 2
+
=0
∆t RD
→
u 2 = − RD ⋅ C D ⋅
∆u1
∆t
A co to vlastně znamená. Narozdíl od předchozího jsme tentokrát mohli vyjádřit napětí na
výstupu u2 přímo, nejen pomocí změny. Změna napětí se tentokrát ve vzorci vyskytla na
18
Automatizace
vstupu: ∆u1. Výraz ∆t znamená určitý časový interval, po který obvod sledujeme. Takže
poměr ∆u1/∆t vyjadřuje změnu napětí na vstupu za určitý čas, lépe řečeno rychlost, jakou se
napětí na vstupu mění.
Tím funkce obvodu popravdě řečeno začíná a končí, možná tedy bude její pochopení snazší,
než v předchozím případě.
Ještě je nutno doplnit, že se ve vzorci opět vyskytlo znaménko mínus, takže se jedná opět o
funkci invertující. Můžeme opět zavést tzv. časovou konstantu: τD=RD·CD. Tentokrát časovou
konstantou násobíme, takže platí, že čím větší bude časová konstanta, tvořená odporem a
kapacitou, tím silnější bude reakce obvodu.
Funkci si můžeme vysvětlit i jinak. Jak víme, kondenzátorem teče proud jen tehdy, pokud se
na něm mění napětí, nebo jinak řečeno, proud teče do kondenzátoru nebo z kondenzátoru
pokud se nabíjí nebo vybíjí. Pokud je na něm konstantní napětí, proud neteče. Takže pokud na
vstupu a tím i na jedné straně kondenzátoru bude konstantní napětí, neteče kondenzátorem
proud, tím pádem nemůže téct proud ani z výstupu přes odpor RD a tím pádem musí být na
výstupu nulové napětí. Pokud se napětí na vstupu a tím i na jedné straně kondenzátoru bude
měnit, musí se kondenzátor nabíjet nebo vybíjet, a tudíž do něj nebo z něj teče proud a tentýž
proud musí protékat i rezistorem RD a na výstupu OZ tedy musí být odpovídající napětí.
A radši ještě shrnutí:
Napětí na výstupu derivačního členu je úměrné rychlosti, jakou
se mění napětí na vstupu. Intenzita reakce se nastavuje časovou
konstantou τD.
Jinak řečeno:
Výstup derivačního členu sleduje rychlost změn na vstupu.
Pro jistotu shrneme ještě jinak:
- pokud napětí na vstupu roste, na výstupu je záporné napětí,
- pokud napětí na vstupu klesá, na výstupu je kladné napětí,
- pokud je na vstupu konstantní napětí, na výstupu je nula,
- čím rychleji se napětí na vstupu mění, tím větší je napětí na výstupu.
Můžeme to vyjádřit i grafem, kde se bude (skoro) náhodně měnit napětí na vstupu a budeme
pozorovat reakci derivačního členu na výstupu.
19
napětí
čas
u2
u1
obr.18. - průběh napětí na derivačním členu
Všimněte si, že je to v podstatě tentýž graf, jako u integračního zesilovače, jen křivky se
nám prohodily. Popořadě. V prvním časovém úseku je napětí u1 nulové, tedy konstantní a
tedy i napětí u2 je nulové. V druhém úseku napětí na vstupu roste a na výstupu je záporné
napětí. Ve třetím úseku napětí na vstupu stále roste, ale pomaleji, takže na výstupu je stále
záporné napětí, ale menší. Pak je na vstupu opět konstantní napětí a na výstupu nula.
V předposlední části grafu napětí na vstupu prudce klesá a tomu odpovídá velké kladné napětí
na výstupu. Nakonec napětí opět roste a na výstupu se objeví záporné napětí.
Všimněte si:
Funkce derivačního členu je inverzní (přesně opačná) k funkci
integračního členu.
Je zajímavé, že u zapojení integračního členu stačí prohodit dvě součástky, rezistor a
kondenzátor, a celá funkce se otočí. Z hlediska matematiky i fyzikálního významu se funkce
přesně invertuje a i v grafu se křivky prostě jen prohodí.
K čemu to může být dobré? Podobně jako u integračního členu můžeme i tady vidět v grafu
analogii s pohybem. Pokud by na vstupu byla třeba informace o dráze, například ze snímače
polohy, na výstupu bude napětí odpovídající rychlosti. Pokud bychom na vstup přivedli
informaci o rychlosti, na výstupu se objeví napětí odpovídající zrychlení atd.
Pokud bychom připojili snímač hladiny, získáme zapojení, které nám bude signalizovat
změnu hladiny, tedy ohlásí, pokud hladina klesá nebo roste určitou rychlostí.
Pomocí derivačního členu můžeme tedy podle potřeby sledovat změny a rychlosti změn
jakékoliv veličiny. Později zjistíme, že toto zapojení můžeme například použít i jako regulátor
s poněkud speciální funkcí.
2.3 Doporučená literatura
[1] – Operační zesilovače - historie a současnost, Punčochář J., BEN, Praha, 2002
[2] – Použití moderních integrovaných obvodů, Vlček J., BEN, Praha, 1996
[3] – http://www.wikipedia.cz – článek “zapojení s operačním zesilovačem”
20

Operační zesilovač

Transkript

Podobné dokumenty