2D metoda multiple-histogram pro simulace NPT MC Aleš Vítek

2D metoda multiple-histogram pro
simulace NPT MC
Aleš Vítek
Společný seminář
Skupiny fyziky klastrů, týmu molekulové dynamiky IT4I/VP3 a SGS PřF OU
2012
Klasické parallel tempering Monte Carlo v NVT souboru:
- m replik systému simulovaných při m různých teplotách
T1<T2< … < Tm
- Hodnoty měřených veličin obdržíme pouze pro teploty
T1<T2< … < Tm, pro ostaní teploty je nutné zvolit vhodnou
interpolační techniku
3
4
5
6
- Fyzikálně motivovaná interpolační a extrapolační technika by měla být
vhodnější než technika čistě matematická
- Metoda Multiple Histograms: pro interpolaci a extrapolaci veličin X(E(R))
závisejících na souřadnicích pouze prostřednictvím interakční energie
- Během simulace zaznamenáváme histogramy energií
- Po skončení simulace z nich iterační metodou určíme klasickou hustotu stavů
- Z klasické hustoty stavů pak určíme hodnotu měřené veličiny X při libovolné
teplotě výpočetně nenáročným jednorozměrným integrálem

m
X
T

E
 X  E  exp   k T
a 1
a

m
 Ea
exp


a 1
 kBT
B

  ( Ea )


 ( Ea )

8
9
2D multiple histograms metoda pro NPT soubor
NPT PT-MC N x M simulovaných systémů při N různých teplotách a M různých tlacích,
měříme dvoudimenzionální histogramy hnm (Ea,Vb) všech systémů.
Po ukončení MC simulace numerickým řešením rovnic vypočteme dvoudimenzionální
klasickou hustotu stavů Ω(Ea,Vb).
1)Nastavení počátečních hodnot konfiguračních integrálů Zn,m
Z n,m 
1
NM
2) Vypočet hustoty stavů z histogramů a konfiguračních integrálů
N
( Ea ,Vb ) 
M
 h
n 1 m 1
N
M
n ,m
( Ea ,Vb )
 Ea  PmVb  1
Z n ,m
k
T

B n

 exp 
n 1 m 1
3) Výpočet (nebo spíše upřesnění) konfiguračních integrálů z hustoty stavů
 E  PmVb 

Z n ,m   ( Ea ,Vb ) exp  a
kBTn 
a 1 b 1

A
B
4) Normování velikosti konfiguračních integrálů
Z n,m 
Z n,m
N
M
 Z n, m
n 1 m 1
2
Měřené veličiny systému
Střední hodnotu libovolné veličiny X(E,V) , jejíž okamžitá hodnota závisí pouze na
objemu a energii systému určíme při libovolné teplotě a tlaku z hustoty stavů
numericky nenáročnou dvourozměrnou integrací
 Ea  PVb 
( Ea ,Vb )
X Ea ,Vb exp 

kBT 
a 1 b 1


A B
 Ea  PVb 
( Ea ,Vb )
exp 


k
T
a 1 b 1
B


A
X
T ,P
B
První výsledky:
(H2O)15 TIP4P model
Tepelná kapacita
Cp 

1
H2  H
2
kBT
Pearsonův korelační koeficient pro EINT a V
2

PE ,V 
E
EV  E V
2
 E
2
 V
2
 V
2

Technické problémy a jejich řešení:
1) Rozsah hustoty stavů“ od 10500 do 10-500 , což je mimo rozsah datového typu
DOUBLE PRECISION. Vyřešeno použitím datového typu REAL(16), pouze v
INTEL FORTRANU
2) Extrémní nároky na paměť díky dvourozměrným histogramům. V MH metodě
pro NPT byly řádově desítky systémů a histogramy měly řádově tisíce dílků. V
NPT simulaci jsou řádově stovky systémů, histogramy mají řádově milióny
dílků. Řešením je Floreon.
3) Časově náročný iterační proces výpočtu hustoty stavů. Řešením je
zaznamenávání okamžitých hodnot energií a objemů během simulace a
„zhistogramování“ provézt až po simulaci. Nejdříve s hrubým dělením pro
určení „nástřelu“ konfiguračních integrálů (řádově tisíce iterací). Pak
přehistogramování na jemné dělení a za použití nástřelu konfiguračních
integrálů z hrubého dělení stačí již několik jednotek iterací.
4) Redukce počtu dílků energií a objemů v histogramech a hustotě stavů pomocí
neekvidistantního (geometrického) dělení intervalu energie a objemu.
(Jemn=é dělení je nutné zejména pro nízké teploty, kdy jsou fluktuace
energie a objemu malé, výpočet „zkolabuje“, pokud jsou fluktuace menší než
šířka dílku energie či objemu). Při nízkých teplotách jsou objem i energie
blízké minimálním hodnotám => nutnost zahustit d2len9 pro nízké energie a
objemy.
Rovnoměrné dělení
(H2O)4, TIP5P
100 dílků energie
100 dílků objemu
Nerovnoměrné dělení
Děkuji za pozornost