zde - Katedra speciální geodézie

SYLABUS 3. - 5. PŘEDNÁŠKY Z
GEODÉZIE 2
(Vytyčování)
1. ročník bakalářského studia
studijní program G
studijní obor G
doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc.
březen 2016
1
Geodézie 2 – přednáška č.3 až 5
VYTYČOVÁNÍ
(Skripta Geodézie 2, str.62, )
Vytyčování je možno rozdělit na vytyčování polohy (ve vodorovné rovině), vytyčování
výšky, popř. vytyčování prostorové. Týká se např. vytyčování hranic pozemků, kde
vytýčení probíhá vzhledem k bodům ZPBP a PPBP, ale nejčastěji se týká vytyčování
ve výstavbě (např. stavebních objektů) či ve strojírenství, energetice apod., a to
vzhledem k vytyčovací síti, budované speciálně k tomuto účelu (podrobněji v předmětu
Inženýrská geodézie).
Obecně lze polohové vytyčení, kterému je věnována tato kapitola, rozložit na
základní prvky, kterými jsou vytyčení bodu, přímky, úhlu a úsečky. S ohledem na
řešenou úlohu, konfiguraci sítě a požadovanou přesnost vytyčení se volí vytyčovací
metoda, přístroje a pomůcky, ale i způsob stabilizace bodů (dřevěným kolíkem, při
vyšších požadavcích na přesnost s hřebíčkem, ocelovou trubkou či železnou tyčí,
často obetonovanou, nastřelovacím hřebem apod.).
VYTYČENÍ BODU
V obrázku č.1 jsou zobrazeny 4 základní metody vytýčení bodu C z daných bodů
A,B:
 pravoúhlými souřadnicemi (staničením x´c
a kolmicí y´c), neboli ortogonálně,
 protínáním vpřed z úhlů (ωA , ωB),
 protínáním z délek (sAC a sBC),
 polárními souřadnicemi (ωA , sAC), neboli
rajónem,
 průsečíkovou metodou,
 v současné době lze bod C vytýčit též
metodami GNSS.
Ze známých souřadnic daných a určovaných bodů se podle zvolené metody vytyčení
nejprve vypočtou vytyčovací prvky (úhly a délky – sylaby přednášek č.6 a 7, Geodézie 1),
přičemž délky vypočtené ze souřadnic je třeba nejprve převést z nulové hladiny a
zobrazení do skutečnosti (tedy s opačným znaménkem než při opravách měřených
délek pro souřadnicové výpočty).
Vytyčení pravoúhlými souřadnicemi
předpokládá viditelnost mezi body A,B; pata kolmice Q (obr.1) se vytyčuje s ohledem
na požadovanou přesnost dvojitým pentagonem nebo teodolitem (zařazení do směru
A,B) a pásmem (staničení xc´), stejně jako pravý úhel v bodě Q a délka kolmice yc´.
Přesnost ortogonálně vytyčeného bodu závisí na přesnosti zařazení paty kolmice do
přímky, na přesnosti vytyčení délky staničení a délky kolmice a konečně na přesnosti
vytyčení pravého úhlu. Při přesnosti požadované v řádu centimetrů vyhovuje použití
dvojitého pentagonu, jehož úhlová chyba se uvažuje hodnotou 1´ až 2´ (což
představuje teoreticky příčnou chybu 3, resp. 6 mm na 10 m, nebo 9 až 18 mm na
vzdálenost 30 m, prakticky však s ohledem na přesnost provážení paty kolmice
olovnicí 3 až 5 cm). Má-li být dosaženo přesnosti v řádu milimetrů, je nutno použít
teodolitu odpovídající třídy přesnosti, a to jak pro zařazení paty kolmice do přímky,
tak i pro vytyčení kolmice (úhlová chyba 0,01 gon (resp.0,002 gon) způsobí příčnou
chybu 5 mm (resp. 1 mm) na délku 30m.
2
V obrázku č.2 je znázorněno vytyčení rohů
objektu (body A,B) pravoúhlými souřadnicemi
(staničení a kolmice) z měřické přímky dané
body 1,2.
Při vyšších požadavcích na přesnost (v
řádech milimetrů) se vytyčení provádí ve dvou
fázích. Nejprve se vytyčí přibližná poloha bodu a
bod se osadí vhodnou stabilizací tak, aby na ní
bylo možno realizovat posuny do „přesné“
polohy (např. deskou na kolících). Ve druhé fázi se pak převádí vytyčení na
zaměření bodu (které je přesnější, neboť oba koncové body jsou, na rozdíl od
vytyčování, „pevné“), výpočet jeho polohy a výpočet a následnou realizaci posunů do
polohy projektované. Pro „přesné“ určení měřených prvků se vodorovné úhly měří ve
dvou polohách, popř. i ve více skupinách, stejně jako vodorovné délky. Tento postup
platí i pro ostatní metody vytyčení.
Vytyčení protínáním vpřed z úhlů
předpokládá vzájemnou viditelnost mezi danými body A,B a určovaným bodem C.
Vytyčovaný bod se určí jako průsečík dvou úhlů ωA , ωB, (obr.1) nejlépe při
současném použití dvou teodolitů, postavených na daných bodech A a B. Použije-li
se pouze jeden teodolit je nutno vytyčený úhel z jednoho daného bodu (např. A)
vyznačit dvěma body přibližně v místě bodu C a
spojnici těchto bodů realizovanou např. pásmem,
provázkem či drátem protnout úhlem vytyčeným
z druhého daného bodu (např. B). Při vyšších
požadavcích na přesnost vytyčení se postupuje
způsobem uvedeným výše, tzn. po vytyčení
přibližné polohy bodu C a jeho osazení vhodnou
deskou se na okrajích desky vyznačí vždy dvěma
body vytyčené směry a graficky realizuje průsečík
(pravítkem).
V obrázku č.3 je znázorněno vytyčení rohu objektu
(bod A) protínáním vpřed z úhlů, z daných bodů 1,2.
S ohledem na požadovanou přesnost vytyčení bodu se použije teodolit odpovídající
třídy přesnosti. Přesnost vytyčení závisí i na přesnosti dostředění teodolitů na daných
bodech a především na úhlu průseku vytyčovacích směrů (měl by být v rozmezí od
30 do 170 gon – Návod na obnovu katastrálního operátu – přednáška G1 č.10).
Vytyčení protínáním vpřed z délek
vyžaduje stejné předpoklady jako v předchozím případě. Vytyčovaný bod se určí jako
průsečík dvou kružnic o poloměru délek sAC a sBC,
vytyčovaných z daných bodů A a B. Úloha je vhodná
pro vytyčení pásmem a krátké délky (do délky
jednoho kladu pásma), tedy při nižších požadavcích
na
přesnost
vytyčení
(obr.4).
Při
použití
elektronického dálkoměru v totální stanici je vhodnější
použít jiného postupu, nejspíše polární metody.
3
Vytyčení polárními souřadnicemi (rajónem)
předpokládá viditelnost minimálně z jednoho daného bodu na druhý daný bod (např.
z A na B – obr.1) a dále z bodu A na vytyčovaný bod C. Tato metoda je v současné
době nejpoužívanější klasickou metodou, s ohledem na dnes již standardní
přístrojové vybavení. Postup při vytyčení je takový, že na bodě A se vytyčí úhel ωA,
s orientací na bod B a ve vypočtené vzdálenosti s AC se vyznačí poloha vytyčeného
bodu C.
Na obrázku č.5 je znázorněno vytyčení rohů
stavebního objektu (A,B) polární metodou z daných
bodů 1,2.
Přesnost vytyčení bodu je závislá na přesnosti
dostředění přístroje na stanovisku a cíle na
orientačním bodě, podobně jako na dostředění
cílové značky (terč, hranol) na určovaném bodě C
a dále především na přesnosti vytyčované (popř.
měřené) délky a vytyčovaného (měřeného) úhlu.
Při použití totální stanice je chyba v podélném
směru, daná délkovým měřením, prakticky
konstantní, zatímco chyba v příčném směru, ovlivněná přesností úhlového měření, je
závislá na délce záměry (s délkou záměry, při stejné úhlové chybě, roste).
Postup při vytyčení úhlu je uveden v následujícím textu.
Vytyčení průsečíkovou metodou
Průsečíková metoda se používá jako doplňková
pro opakované vytyčení bodů stavebních objektů
vytyčených jiným postupem a zajištěných
odsazenými body, stabilizovanými vhodným
způsobem tak, aby byly k dispozici po celou dobu
výstavby (např. stavebními lavičkami – obr.6,
zabetonovanými ocelovými trubkami či železnými
trny). Rohy stavebního objektu (A až D) se přitom
stabilizují pouze dočasně dřevěnými kolíky a
zajišťují na odsazené lavičky v prodloužení stran
objektu (body A´ až D´ a A´´ až D´´) hřebíkem
zatlučeným do horní hrany vodorovně osazeného
prkna, přichyceného na dva dřevěné kůly, zaražené do terénu (obr.6). Zajištění rohů
objektu na odsazené stabilizace je nutné vzhledem k očekávanému zničení kolíků při
zemních pracích (výkopy pro základové pasy či základovou desku) a nutnost
opakovaného vytyčování rohů do výkopů, pro založení stěn na základech a kontrolu
realizace stavby. Průsečíky se v tomto případě realizují obvykle tenkými dráty,
napnutými mezi odpovídajícími si hřebíky na lavičkách.
Poznámka: Prkna na stavebních lavičkách se osazují do vodorovné polohy, přičemž se jejich výška
vytyčuje do roviny odsazené o zvolenou hodnotu od projektované výšky (ve stavební hantýrce tzv.
„vágris“) zpravidla nultého podlaží objektu, v projektu označené jako ±0, které odpovídá stanovená
nadmořská výška.
Vytyčování průsečíkovou metodou z odsazených zajišťovacích bodů se ve
stavebnictví používá poměrně často, např. pro opakované vytyčování patek sloupů
(obr.7) (pro výkop, pro osazení bednění, pro betonáž, pro osazení kotevních šroubů do hlavy patek,
pro usazení ocelových či železobetonových sloupů, pro kontrolní měření), osazovaných
v pravoúhelníkových sítích, nebo též u liniových staveb (obr.8) (opakované vytyčení bodů
v ose např. komunikace).
4
Vytyčení technologiemi GNSS
Polohové vytyčení bodu lze realizovat i vhodnými postupy využívajícími technologie
GNSS, s ohledem na požadovanou přesnost vytyčení. (Základní informace o GNSS na
str.22 tohoto sylabu. Podrobnější informace v předmětech Inženýrská geodézie a Vyšší geodézie)
VYTYČENÍ PŘÍMKY
Touto úlohou se rozumí vytyčení mezilehlých bodů přímky, dané v terénu body P
(počáteční bod) a K (koncový bod). Podle požadované přesnosti vytyčení, viditelnosti
a přístupnosti koncových bodů přímky se volí vhodná metoda vytyčení.
Vytyčení mezibodů na přímce zařazením od oka (při nižších požadavcích na
přesnost vytyčení)

Vytyčení v plochém a přehledném terénu
Na koncových bodech P a K vytyčované
přímky se postaví do stojánků výtyčky a
urovnají se do svislé polohy pomocí olovnice
nebo alespoň podle svislé hrany blízké
budovy apod. Mezibody se zařazují do
zákrytu těchto výtyček od oka ze vzdálenosti
cca 5 m za bližší výtyčkou (aby co nejméně
zakrývala výtyčku vzdálenější – obrázky č.9,
10). V místě zvoleného mezibodu M
pohybuje pomocník svisle drženou výtyčkou ve směru přibližně kolmém na
přímku a podle pokynů měřiče ji zařadí do zákrytu krajních výtyček. Vytyčení se
zpřesní při samostatném zařazení levého a pravého okraje výtyček. Výslednou
polohou je pak průměr z obou vytyčení (obr.9). Mezibody se stabilizují nejčastěji
kolíkem, po jehož osazení do terénu se provede kontrola vytyčení.
Při pečlivé práci měřiče i pomocníka lze očekávat přesnost v zařazení mezibodů
do přímky kolem 5 cm, s ohledem na vzdálenost koncových bodů, svažitost a
konfiguraci terénu.
 Vytyčení přes terénní vlnu či násep
Vytyčení mezibodů přímky přes terénní vlnu nebo násep lze provést postupem
uvedeným ve skriptech Geodézie 2, str.64
(obr.11). Tento postup vyžaduje 2 měřiče
(postavené za body P a K a 2 pomocníky
s výtyčkami (figuranty) na zvolených
bodech M, resp. N. Nejprve měřič
postavený za bodem K zařadí do směru
na bod M1 pomocníka na bodě N, a to do
bodu N2. Potom měřič postavený za
5
bodem P zařadí do směru na bod N2 pomocníka na bodě M, a to do polohy označené
na obrázku č.11 M3. Takto se postupuje opakovaně, až jsou posuny na bodech M a
N prakticky nulové a mezibody jsou v přímce.
Jiným postupem, vyžadujícím pouze 2 měřiče, obsluhující též výtyčky, je postupné
vzájemné zařazování do směru na příslušný koncový bod. Tedy měřič za bodem M1,
zařadí do směru na bod K výtyčku do bodu N2. Potom měřič za bodem N2 zařadí do
směru na bod P výtyčku do bodu M3, a tak dále až jsou všechny body v zákrytu.
Oba postupy, postupného přibližování k přímce, předpokládají viditelnost mezi body
P, M, N a mezi body K, M, N.
Vytyčení mezibodů na přímce dvojitým pentagonem (při již vyšších požadavcích
na přesnost vytyčení)
Při vyšších požadavcích na přesnost
vytyčení mezibodu přímky (kolem 3 cm) je
možné v přehledném terénu použít
k zařazení bodu do přímky dvojitého
pentagonu (přednáška č.4, Geodézie 2). Pro
kontrolu a zvýšení přesnosti vytyčení je
vhodné vytyčit mezibod ve dvou polohách
(otočit pentagon o 200 gon – obr.12).
Vytyčení mezibodů na přímce teodolitem (při nejvyšších požadavcích na přesnost
vytyčení)
Mezibod na přímce lze vytyčit v jedné nebo ve dvou polohách teodolitu, opět
s ohledem na požadovanou přesnost vytyčení.

Je-li požadovaná přesnost v zařazení mezibodu do přímky kolem 1cm, je možno
jej vytyčit v jedné poloze dalekohledu. Teodolit se zcentruje a zhorizontuje
(olovnicí, optickým dostřeďovačem či laserovou olovnicí) na jednom koncovém
bodě přímky a druhý koncový bod se signalizuje výtyčkou ve stojánku, olovnicí
zavěšenou na stativu nebo terčem na stativu, popř. při přímé viditelnosti se bod
signalizuje špičkou tužky či hřebíčkem. Použité pomůcky by měly odpovídat
požadované přesnosti vytyčení. Dalekohled teodolitu se přesně zacílí na protilehlý
bod a utáhne se hrubá horizontální ustanovka. Sklápěním dalekohledu ve svislé
rovině se postupně cílí na vytyčované mezibody, které se stabilizují nejčastěji
dřevěnými kolíky tak, aby po zatlučení svislá ryska ryskového kříže procházela
středem kolíku. Na hlavu kolíku se poté přenese směr přímky a přesně signalizuje
hřebíčkem.
Přesnost vytyčení je ovlivněna přesností centrace teodolitu i cílové značky,
osovými chybami teodolitu (úklonná, kolimační a nepřesná horizontace),
v závislosti na sklonu záměry a významně může být ovlivněna též viditelností
(nebo spíše neviditelností) na hlavu kolíku. Při přímé viditelnosti odpadají chyby
z provažování cíle na hlavu kolíku. Přesnost je rovněž významně ovlivněna
pečlivostí pracovníků, a to jak u teodolitu, tak u mezibodu.

Při maximální požadované přesnosti se mezibody zařazují do přímky v obou
polohách dalekohledu (vylučují se osové chyby teodolitu), centrace na
koncových bodech musí být provedena optickým dostřeďovačem a směr přímky
se získá průměrem vytyčení v první a druhé poloze dalekohledu. Pro nejpřesnější
práce v inženýrské geodézii se opět vytyčení převádí na zaměření, takže po
přibližném vytyčení bodu se bod pečlivě signalizuje terčem na stativu,
dostředěným opticky, úhel mezi koncovým bodem a mezibodem se zaměří
6
s požadovanou přesností (i ve více skupinách), vypočte se příčný posun, který se
realizuje na hlavě kolíku a vytyčená poloha se kontrolně zaměří ( podrobný výklad
v předmětu Inženýrská geodézie).
Prodloužení přímky
Obdobně jako vytyčení mezibodů přímky lze prodloužení přímky za jeden koncový
bod řešit s ohledem na požadovanou přesnost vytyčení.
Prodloužení přímky od oka
Postupuje se obdobně jako při zařazení bodů do přímky s tím, že sám měřič zařazuje
do zákrytu výtyček na koncových bodech, nejlépe závěs olovnice (popř. výtyčku)
držený v natažené ruce před okem. Prodloužená přímka by neměla přesáhnout ¼ až
1/3 vzdálenosti koncových bodů.
Prodloužení přímky teodolitem
 Prodloužení přímky proložením dalekohledu
Postup centrace a signalizace na koncových bodech přímky je opět obdobný jako
při vytyčování mezibodů do přímky. Po přesném zacílení dalekohledu v 1. poloze
na protilehlý koncový bod P se proloží dalekohled do 2. polohy a do směru se
v požadované vzdálenosti vytyčí poloha bodu C1. Poté se znovu pečlivě zacílí na
bod P ve 2. poloze a postup se opakuje. Výsledkem druhého proložení je bod C 2.
Výslednou polohou bodu prodloužené přímky je průměrná poloha bodů C 1 a C2.
Přesnost vytyčení bodu na prodloužené přímce je ovlivněna chybami v cílení a
v dostředění přístroje a cíle. Přístrojové chyby, až na vliv sklonu osy alhidády, se
průměrem vytyčení ve dvou polohách dalekohledu vyloučí.
 Prodloužení přímky vytyčením přímého úhlu (200 gon)
Postup je jiný v tom, že místo proložení dalekohledu se na koncovém bodě
K vytyčí přímý úhel (200 gon) na vodorovném kruhu a v požadované vzdálenosti
se vytyčí poloha bodu C1. Totéž se
provede ve druhé poloze dalekohledu a
vytyčí poloha C2. Výslednou polohou
bodu prodloužené přímky je opět
průměrná poloha bodů C1 a C2 (obr.13).
Přesnost vytyčení je navíc oproti
předchozímu postupu, ovlivněna nepřesností odečtení vodorovného kruhu.
Vytyčení průsečíku dvou přímek
Opět podle požadavku na přesnost vytyčení průsečíku se volí vhodný postup (od
oka, dvojitým pentagonem nebo teodolitem).
Vytyčení průsečíku od oka – shlédnutím
Koncové body přímek se signalizují výtyčkami ve stojáncích a dva měřiči zařazují
postupně pomocníka s výtyčkou do směru obou
přímek. Je-li výtyčka současně zařazena do směru
obou přímek, nachází se v jejich průsečíku. Vytyčujeli průsečík pouze jeden měřič s pomocníkem, vytyčí
nejprve dva mezibody na jedné přímce (poblíž
průsečíku) a potom jiné dva mezibody na druhé
přímce (obr.14). Průsečík se získá pomocí pásma
nebo provázků natažených na spojnici mezibodů
obou přímek. Obdobně se postupuje při vytyčení
průsečíku pomocí dvojitého pentagonu.
7
Vytyčení průsečíku teodolitem
Obdobně jako v předchozím případě se na obou přímkách vytyčí teodolitem po dvou
mezibodech poblíž jejich průsečíku, mezibody se stabilizují kolíky s hřebíčky a
provázkem se určí průsečík, který je možno kontrolně z krajních bodů obou přímek
přeměřit. Při současném použití dvou teodolitů je možno průsečík vytyčit přímo.
VYTYČOVÁNÍ ÚHLŮ
Úhly požadované velikosti lze vytyčit opět několika postupy, s ohledem na jejich
požadovanou přesnost. Často se vyskytuje úloha, při které se vytyčuje pravý úhel.
Vytyčení pravého úhlu
Při nižších požadavcích na přesnost vytyčení je možno pravý úhel vytyčit pomocí
Pythagorejského trojúhelníka pásmem (postup je uveden v tomto sylabu str.20, nebo skripta
Geodézie 1, str.79). Na stejném místě je vysvětlen postup vytyčení pravého úhlu
pentagonem, který je přesnější.
Je-li požadována vyšší přesnost ve vytyčení pravého úhlu, použije se teodolit
odpovídající úhlové přesnosti. Na bodě, v němž má být pravý úhel vytyčen se pečlivě
zcentruje (optickým dostřeďovačem) teodolit, stejně jako cílová značka (výtyčka, terč
na stativu apod.) na vzdálenějším bodě přímky, k níž je kolmice vztyčována. Na tuto
značku se pečlivě zacílí dalekohled v 1. poloze a na vodorovném kruhu se nastaví
čtení blízké nule (zpravidla kolem 0,01 gon). Poté se na vodorovném kruhu nastaví
čtení o 100 gon (popř. o 300 gon) větší a směr kolmice se vyznačí ryskou na hlavě
kolíku. Totéž se provede ve druhé poloze dalekohledu a výsledný směr kolmice je
průměrem rysek z první a druhé polohy dalekohledu. Průměrný směr kolmice je
prakticky zbaven přístrojových chyb teodolitu.
Při použití opticko-mechanického teodolitu s koincidenčním způsobem čtení
vodorovných směrů (např. Zeiss Theo 010A(B)) se nejprve nastaví požadované
„jemné“ čtení na mikrometrické stupnici mikrometrickým šroubem, poté se přibližně
nastaví otáčením alhidády „hrubé“ čtení a po upnutí hrubé ustanovky se zkoincidují
protilehlé částí stupnic vodorovného kruhu jemnou ustanovkou vodorovného kruhu.
Tím je záměrná přímka nastavena do vytyčovaného směru.
Vytyčení libovolného úhlu
Při nižších požadavcích na přesnost lze vytyčit úhel libovolné velikosti bez
úhloměrného přístroje, pomocí délkového měření a vypočtené tangenty
vytyčovaného úhlu. Funkce tgα je definována jako poměr protilehlé strany ku přilehlé
v pravoúhlém trojúhelníku. Vytyčuje-li se tedy úhel α od přímky PK z bodu P, vytyčí
se na přímce PK ve vzdálenosti s (celého kladu pásma, tedy 20 nebo 30 m) bod M,
ve kterém se vytyčí kolmice a na ní ve vzdálenosti x = s.tgα bod N. Spojnice PN
svírá s přímkou PK vytyčený úhel α. Přesnost vytyčení je závislá na velikosti úhlu α a
je vyšší pro malý úhel. Analogicky lze řešit i určení velikosti úhlu α. Na jednom
rameni úhlu se zvolí bod N, ze kterého se spustí kolmice na přímku PK (bod M) a
změří se délka PM a délka kolmice MN. Úhel α = arctg MN/PM.
Při vyšších požadavcích na přesnost se úhel vytyčí
teodolitem vhodné úhlové přesnosti, a to buď v jedné
poloze dalekohledu, nebo při maximální požadované
přesnosti ve dvou polohách dalekohledu (obr.15).
Výsledným směrem je průměr obou poloh(bod B).
Při maximální přesnosti se opět převádí vytyčování
na zaměření, dříve uvedeným postupem, kdy na
přibližné vytyčení směru navazuje přesné zaměření s
realizací posunů (Inženýrská geodézie).
8
VYTYČOVÁNÍ POMOCÍ LASERU
Lasery se používají k vytyčování přímek a rovin (tzv. rotační lasery), a to
vodorovných, svislých i šikmých. Mají využití především při vytyčování ve
stavebnictví, ve vedení stavebních strojů apod. (Více informací v předmětech Inženýrská
geodézie a Automatizace v IG).
VYTYČOVÁNÍ OBLOUKŮ
(Skripta Geodézie 2, str.69, )
Vytyčování oblouků se vyskytuje zejména u liniových staveb (silnice, železnice,
regulované vodní toky atd.). Prostorová poloha liniové stavby je dána tzv. trasou,
kterou lze rozložit na složku polohovou, tvořenou osou liniové stavby (průmět trasy
do vodorovné roviny) a na složku výškovou, tvořenou niveletou (průmět trasy do
svislé roviny). Předmětem přednášek 2. semestru geodézie je polohové vytyčování,
proto se zde budeme zabývat pouze složkou polohovou.
Osu liniové stavby je možno rozlišit na úseky přímé a oblouky, umožňující změnu
směru (obr.16). Nejčastěji se používá oblouků kružnicových pro jejich konstantní
křivost a jednoduchost výpočtu i vytyčování. S ohledem na eliminaci příčného rázu
účinkem odstředivé síly, působící na rychle jedoucí vozidlo při změně směru z přímé
do oblouku a zaručení plynulého přechodu z přímého úseku do kružnicového
oblouku o poloměru R , vkládá se mezi přímý úsek a kružnicový oblouk přechodnice,
tedy křivka plynule měnící svou křivost k z nulové hodnoty na hodnotu poloměru R,
tedy
(podrobně bude probráno v předmětu Inženýrská geodézie).
Jako přechodnice se používá klotoida u silničních staveb (a v současnosti často i u
železnic), kubická parabola u železnic a lemniskáta u vodních toků.
Poznámka: Působení odstředivé síly
se čelí též příčným náklonem
komunikace (silnice, železnice) v
oblouku.
Plného
náklonu
v
kružnicovém oblouku se dosahuje
postupně v průběhu přechodnice (u
železniční
stavby
se
nazývá
vzestupnice). Jedná se o výškové
řešení trasy a podrobně bude
probráno v Inženýrské geodézii.
Projekt liniové stavby je dán
směrovým (dříve též tečnovým)
polygonem, jehož vrcholy se značí VBi (kde i je číslo vrcholu) a jsou číslovány ve
směru rostoucího staničení (od bodu ZÚ – začátek úpravy, do bodu KÚ – konec
úpravy). Do směrového polygonu jsou pak navrhovány oblouky (viz výše), číslované
v souladu s čísly vrcholů (obr.16). Středový úhel α (je shodný s úhlem při vrcholu
směrového polygonu α = 200 gon – ω, nebo α = ω – 200 gon) a je buď přímo měřen,
nebo vypočten ze souřadnic bodů na stranách směrového polygonu (obr.16 a 17).
Poloměry kružnicových oblouků jsou voleny s ohledem na návrhovou rychlost,
svažitost (maximální povolený spád podle třídy komunikace) a konfiguraci terénu
(nejkratší spojení dvou míst, mezi kterými se komunikace navrhuje). V neposlední
řadě se přihlíží k ekonomickým nákladům stavby (jiná kritéria jsou stanovena pro
dálnice – tunely, mosty, výkopy, násypy, jiná pro silnice nižších tříd – vedeny spíše
po fyzickém povrchu).
9
Hlavní body a hlavní prvky kružnicového oblouku
Pro změnu směru z přímého úseku do oblouku jsou důležité body dotyku
kružnicového oblouku s tečnou (stranou směrového polygonu) a vrchol oblouku,
které tvoří tzv. hlavní body kružnicového oblouku (v obr.16 vyznačeny červeně).
K jejich vytyčení ze směrového polygonu pak slouží délky, popř. i úhly, nazývané
hlavními prvky kružnicového oblouku, které jsou obvykle počítány ze zadaného
poloměru R, a středového úhlu α.
Označení hlavních bodů kružnicového oblouku je rozdílné v silničním a v železničním
(uvedeno v závorce) stavitelství (obr.17):
TK (ZO) tečna – kružnice [silnice], (začátek oblouku) [železnice],
KK (VO) kružnice – kružnice, (vrchol oblouku),
KT (KO) kružnice – tečna, (konec oblouku).
V silničním stavitelství je zvykem označovat délkové hlavní prvky (celkem je jich 5)
velkými písmeny, v železničním stavitelství malými (podobně jako např. v matematice
či geodézii), úhlové hodnoty pak řeckými písmeny. Vzhledem k tomu, že se geodeti
častěji setkávají s vytyčením osy silnice, je zde upřednostněno označení používané
v silničním stavitelství.
Proto
se
hlavní
prvky
kružnicového oblouku (v obr.17
červeně) označují:
T (t) délka tečny (vzdálenost TK a
VB),
Z (z) vzepětí (vzdálenost KK od
VB),
xv x-ová souřadnice vrcholu
oblouku KK po tečně s počátkem
v bodě TK,
yv y-ová souřadnice vrcholu
oblouku KK od tečny,
O (o) délka kružnicového oblouku.
Obdobné je to i s označováním
zadaných prvků oblouku:
tedy R (r) se značí poloměr
oblouku, středový úhel se značí α
a úhel tečen τ. Mezi úhlem tečen a úhlem středovým platí vztah: α = 200gon - τ.
Výpočet hlavních prvků kružnicového oblouku
K výpočtu hlavních prvků kružnicového oblouku je nutno určit vrcholový (a následně i
středový) úhel stran směrového polygonu (dvou tečen kružnicového oblouku).
Projektuje-li se silnice tzv. trasováním přímo v terénu (silnice menšího významu),
vytyčí se směry tečen dvěma body a v průsečíku dvou sousedních tečen se vytyčí
vrchol VB. Na něm se pak přímo měří, obvykle levostranný úhel ω (po směru
staničení stavby – obr.16) a dopočítá středový úhel α. Zaměří se rovněž délky stran
směrového polygonu. Projektant zvolí vhodný poloměr kružnicového oblouku a hlavní
prvky je potom možno vypočítat přímo.
V současné době se převážně řeší trasa analyticky, takže se její průběh navrhne do
mapového podkladu vhodného měřítka a souřadnice vrcholů směrového polygonu (tj.
průsečíků tečen) se z mapy odměří nebo se vypočtou ze zadaných podmínek (např.
rovnoběžnost osy komunikace, v zadané vzdálenosti, s uliční frontou objektu, jehož
10
rohy jsou dány v souřadnicích apod.). Ze souřadnic se potom vypočtou prvky
směrového polygonu (délky a vrcholové, resp. středové úhly), do kterého se navrhují
oblouky. Kružnicový oblouk je přitom dán 3 prvky (např. bod, tečna a poloměr nebo
střed a poloměr, přičemž střed kružnice je prvek dvojnásobný).
Výpočet hlavních prvků (obr.17):
délka tečny:
(z pravoúhlého trojúhelníka S,TK,VB),
pravoúhlé souřadnice vrcholu oblouku:
⁄ (z pravoúhlého trojúhelníka S,E,KK),
⁄
(
⁄ ) (rozdíl poloměru a odvěsny z pravoúhlého
trojúhelníka S,E,KK),
vzepětí:
(
) (z trojúhelníka S, TK,VB),
délka oblouku:
⁄ , kde ρ = 200/π pro setinnou míru.
Nepřímé určení úhlu tečen τ
Je-li průsečík tečen nepřístupný (padne do lesa, skály či zástavby), nelze úhel tečen
přímo měřit. Není-li osa řešena v souřadnicích, určuje se úhel tečen nepřímo a to:
 buď pomocí trojúhelníka,
 nebo pomocí polygonového pořadu.
Řešení pomocí trojúhelníka
Předpokladem je přímá viditelnost mezi dvěma body P1, P2 na sousedních tečnách
(obr.18).
Z měřených úhlů φ´ a ψ´na bodech P1, P2
se odečtením 200 gon nejprve vypočtou
úhly φ a ψ. Úhel tečen τ = 200 – (φ + ψ).
Pro vytyčení bodů dotyku TK a KT se
sinovou větou z měřené délky d a úhlů φ a
ψ vypočtou délky a a b:
, resp.
.
(
)
(
)
Po výpočtu středového úhlu α = 200gon – τ
se zvolí poloměr kružnicového oblouku R a
vypočte délka tečny
Bod TK se vytyčí od bodu P1 ve směru
tečny t1 ve vzdálenosti x = a – T (kladná hodnota se vytyčuje směrem k vrcholu VB)
a bod KT pak od bodu P2 ve směru tečny t2 ve vzdálenosti y = b – T, (dle obrázku
č.18 záporná hodnota a vytyčuje se směrem od vrcholu VB). Výpočet hlavních prvků
je již dále stejný.
Řešení pomocí polygonového pořadu
Pokud není přímá viditelnost mezi sousedními tečnami, lze řešit určení úhlu tečen
polygonovým pořadem, vedeným z bodu P1 na tečně t1 na bod P5, ležící na tečně t2
(obr.19). Polygonový pořad například o 5 vrcholech (obr.19) tvoří spolu s průsečíkem
tečen VB šestiúhelník, kde součet vnitřních úhlů v n-úhelníku je:
∑
(
)
,
tedy pro zvolený šestiúhelník platí:
(
)
,
a to včetně úhlu tečen τ. Úhel tečen se tedy vypočte ze vztahu:
(
)
∑
,
kde pro náš příklad n = 6.
11
K přechodu na stejné řešení jako u trojúhelníka stačí určit z polygonového pořadu
vzdálenost d1,5.
Z měřených délek di,i+1 a vrcholových
úhlů ωi polygonového pořadu se
vypočtou souřadnicové rozdíly ve vlastní
zvolené souřadnicové soustavě s
počátkem v bodě P1 a poloosou +x
vloženou do směru tečny t1 (obr.19), ze
vztahů:
a
.
Souřadnice koncového bodu P5 potom
jsou:
∑
∑
a
.
Z rozdílů souřadnic se vypočte i směrník
Délka d1,5 se vypočte Pythagorovou
větou z rozdílu souřadnic bodů P1 (0;0)
).
√(
P5 ( x5; y5):
, přičemž platí, že α1,5 = φ a
dále směrník α5,VB = α4,5 + ω5 a posléze úhel ψ = α5,VB - α1,5 + 200 gon.
Vytyčení podrobných bodů kružnicového oblouku
Po vytyčení hlavních bodů kružnicového oblouku následuje vytyčení bodů
podrobných, a to zpravidla po 20 m (s ohledem na vytyčení příčných řezů pro
výpočty kubatur tělesa komunikace). Podrobné body se mohou vytyčovat v
zaokrouhleném staničení od začátku a konce oblouku symetricky, nebo častěji se
vytyčují v okrouhlém staničení od začátku úpravy komunikace, tedy bez ohledu na
začátek oblouku. Potom je délka oblouku od bodu TK k prvnímu podrobnému bodu
obecné číslo, stejně jako od posledního podrobného bodu oblouku k bodu KT (tyto
délky jsou samozřejmě navzájem různé).
Podrobné body je možno vytyčovat různými postupy:
 polárními souřadnicemi,
 semipolárním způsobem,
 polárními souřadnicemi s přenášením přístroje po obvodě,
 pravoúhlými souřadnicemi od tečny,
 pravoúhlými souřadnicemi od tětivy.
Vytyčení podrobných bodů polárními souřadnicemi (rajónem)
Pro zvolenou délku oblouku oi (při známém poloměru oblouku R) se počítají polární
souřadnice od bodu dotyku TK (popř. pro druhou větev kružnicového oblouku od
bodu KT), tj. úhel δi od tečny a délka soi po tětivě (obr.20). Pro výpočet vytyčovacích
prvků se nejprve vypočte středový úhel φi, odpovídající zvolené délce oblouku oi a
poloměru R:
,
kde pro výpočet φi v gonech se dosazuje délka oblouku a poloměr ve stejných
jednotkách (nejčastěji v metrech) a radián v odpovídajících jednotkách (zde tedy v
gonech). Pro určení úhlu δi platí známá poučka v kružnici pro vztah mezi úhlem
středovým a obvodovým (obr.20), tedy že úhel obvodový je polovinou odpovídajícího
úhlu středového:
12
,
,
∑
.
Délka soi se vypočte z pravoúhlého
trojúhelníka S,TK,Pi ze vztahu:
∑
.
Jsou-li zvolené délky oblouku stejné,
pak úhel δ2 = 2.δ1 , stejně jako φ2 = 2. φ1 .
Pro délku tětivy tento vztah samozřejmě
neplatí, tedy so2 ≠ 2.so1 .
Po výpočtu vytyčovacích prvků se první podrobný bod 1 vytyčí z bodu TK úhlem δ1
od směru tečny na VB a délkou so1. Stejně se pokračuje i při vytyčení dalších
podrobných bodů. K použití tohoto postupu je třeba totální stanice s elektronickým
dálkoměrem. Vhodnou kontrolou výpočtu vytyčovacích prvků i vytyčení hlavních
bodů kružnicového oblouku je kontrolní polární vytyčení vrcholu oblouku KK (již dříve
vytyčeného s použitím hlavních prvků oblouku). (Podrobný postup je uveden ve skriptech
Geodézie 2).
Vytyčení podrobných bodů semipolární metodou
Tento postup byl s výhodou používán v době, kdy nebyly k dispozici totální stanice s
elektronickými dálkoměry a délky se vytyčovaly
pásmem. Vodorovné úhly na podrobné body se
vytyčují stejně jako u polární metody, tedy z
bodu TK (popř. KT), ovšem délky se vytyčují
vždy z předchozího vytyčeného bodu, tedy
délka so1 z bodu TK, s12 z bodu 1, s23 z bodu 2
atd. (obr.21). Délky tětiv se volí do délky
jednoho kladu pásma.
Vytyčení podrobných bodů polární metodou s přenášením přístroje po obvodě
Tohoto postupu se používá při vytyčování kružnicového oblouku v zářezu nebo v
tunelu, kde není přímá
viditelnost mezi bodem TK a
podrobnými body. Jedná se
vlastně o postupné vytyčování
bodů polygonového pořadu s
délkami si,i+1 a vrcholovými
úhly ωi (obr.22). Výpočet
délek tětiv mezi podrobnými
body je stejný jako v
předchozích
případech,
vrcholové úhly se počítají ze
vzorců, vycházejících ze vztahů mezi středovým a obvodovým úhlem (obr.22):
,
.
13
Jsou–li zvolené délky oblouků stejné, pak ωi = 200 gon + φi .
Nejprve se z bodu TK vytyčí polárními souřadnicemi (ωTK; so1) podrobný bod č.1,
který se stabilizuje vhodným způsobem. Na vytyčený bod se přenese teodolit (totální
stanice) a s orientací na předchozí bod (zde TK) se vytyčí vrcholový úhel ω1. Ve
vytyčeném směru se vynese délka s12 a stabilizuje se podrobný bod č.2. Stejně se
postupuje i dále.
Vytyčení podrobných bodů pravoúhlými souřadnicemi od tečny (ortogonálně)
Při vytyčení podrobných bodů pravoúhlými souřadnicemi od tečny rozlišujeme ještě
dvojí postup:
 volí se délka oblouku (obdobně jako při polární metodě),
 volí se délka x-ové souřadnice na tečně.
Při volbě délky oblouku oi se počítají
odpovídající středové úhly φi (stejné vzorce jako
pro polární metodu) a prostřednictvím známého
poloměru R se vypočtou z pravoúhlého
trojúhelníka S,i,pata kolmice na spojnici S,TK,
souřadnice xi a yi ze vztahů (obr.23):
(
,
).
Při volbě x-ové souřadnice xi se vypočte
souřadnice yi ze stejného trojúhelníka (obr.23),
a to buď Pythagorovou větou:
√
,
nebo se ve stejném trojúhelníku nejprve vypočte středový úhel:
a další postup výpočtu je pak již stejný jako při volbě délky oblouku.
Vytyčení podrobných bodů pravoúhlými souřadnicemi od tětivy
Postup je uveden ve skriptech Geodézie 2, str.77 (samostudium).
Vytyčovací výkres
Vytyčovací výkres liniové stavby slouží k vytyčení osy komunikace, tedy k vytyčení
podrobných bodů v přímém úseku a k vytyčení hlavních i podrobných bodů
kružnicového oblouku (obr.24). Obsahuje body vytyčovací sítě, vytyčovací prvky,
popř. souřadnice hlavních a podrobných bodů, použitý souřadnicový a výškový
systém, značku severu, měřítko vytyčovacího výkresu, zhotovitele, popř. další údaje.
14
VYTYČOVÁNÍ SMĚRU PŘES PŘEKÁŽKU
(Skripta Geodézie 2, str.80)
K vytyčování směru přes překážku se v geodézii často používá polygonových
pořadů. Podle požadavků na přesnost a spolehlivost vytyčení se k vytyčení použije
buď volného polygonového pořadu nebo uzavřeného, popř. i oboustranně
orientovaného polygonového pořadu s možností vhodných kontrol nebo i vyrovnání.
Při vysokých požadavcích na přesnost a spolehlivost vytyčení se buduje
trojúhelníková síť s nadbytečným počtem měřených veličin a s vyrovnáním metodou
nejmenších čtverců. V obou případech se úlohy řeší obvykle v místním (lokálním)
souřadnicovém systému.
Prodloužení směru za překážku
Překážka (v obr.25 např. les) se obejde vhodně voleným volným polygonovým
pořadem,
s měřenými
vrcholovými úhly ωi a
délkami stran si,i+1. Počátek
místního
souřadnicového
systému se volí v koncovém
bodě
přímky
před
překážkou (P1 ≡ 0) a kladný
směr osy +x se s výhodou
vloží do prodlužovaného
směru
přímky (obr.25).
Poslední polygonový bod se volí za prodlouženou přímkou (odhadne se z mapy).
Postup výpočtu je následující:
15

výpočet směrníků stran polygonového pořadu

od bodu P2 platí obecně:
tedy pro směrník strany 5,6
výpočet souřadnicových rozdílů
,

,
.
;
.
výpočet souřadnic bodů (stačí bodů kolem průsečíku s přímkou, v našem případě
bodů P5 a P6)
∑
∑
;
,
∑
kde n = 6 (v našem příkladu).
∑
;
,
Pro výpočet vzdálenosti s5,7 mezi bodem P5 a bodem P7, který leží na vytyčované
přímce, se využije skutečnosti, že tento bod leží zároveň na ose +x, tedy jeho
souřadnice y = 0. Tedy platí:
.
Odtud:

,
kontrolně:
a
.
výpočet vytyčovacích úhlů φ, popř. φ´
Směrník strany s5,6 je stejný jako směrník strany s7,6 a platí:
a
.
Směr přímky se vytyčí z bodu P7 s orientací na bod P5 , (popř. na bod P6), a to
úhlem φ´ + 200 gon (popř. 200 gon – φ).
Kontrolně je možno úhel φ vypočítat ze vztahu pro součet vnitřních úhlů
v mnohoúhelníku (zde šestiúhelníku):
∑
(
)
,
∑
potom
.

∑
Délka s1,7 je rovna souřadnici x7, tedy
.
Vytyčení přímky přes překážku
Přímka je dána svými koncovými body P1 ≡ P a P6 ≡ K (obr.26), mezi kterými je
překážka znemožňující viditelnost
(např. les). Úkolem je vytyčit směr
jejich spojnice (např. pro vykácení
lesního
průseku
pro
dálkové
elektrické vedení, pro komunikaci
apod.) a určit její délku.
Mezi koncové body se vloží
polygonový pořad, ve kterém se
změří levostranné vrcholové úhly ωi
a délky si,i+1. Polygonový pořad
se řeší
v místní
souřadnicové
soustavě, s počátkem (0) vloženým
do bodu P a kladnou poloosou +x
vloženou do strany s1,2.
16
Postup výpočtu je následující:
 výpočet směrníků stran polygonového pořadu
,
od bodu P2 platí obecně:
,
tedy pro směrník koncové strany 5,6 (pro příklad na obrázku č.26):
.
 výpočet souřadnicových rozdílů
;
.
 výpočet souřadnic bodů (stačí souřadnice koncového bodu K ≡ P 6).
∑
∑
;
,
kde n = 6 (v našem příkladu).
 výpočet délky strany sP,K a směrníku  P,K
Z rozdílu souřadnic koncového a počátečního bodu (přičemž yP = 0; xP = 0)
se vypočte vzdálenost sP,K mezi body P a K z Pythagorovy věty:
√
a směrník  P,K ze vztahu:
.

výpočet vytyčovacích prvků
Vytyčovacími prvky jsou v tomto případě úhly  a  od polygonových stran
P1,P2 resp. P5,P6 (obr.26), které se vypočtou z rozdílů směrníků:
a
.
Kontrolou výpočtu vytyčovacích úhlů je jejich součet v n-úhelníku pro vnější či
vnitřní vrcholové úhly (známé vzorce), nebo v případě zvrhlého n-úhelníka
(příklad v obrázku č.26) součet vypočtený ze vzorce:
∑
,
který ovšem předpokládá zavedení
levostranných (popř. pravostranných)
úhlů v celém n-úhelníku. Proto se do
výpočtu musí na bodě P1 zavést úhel
400 gon -  (obr. 26).
Není-li možno měřit některé délky přímo,
je možné je nahradit délkami nepřímo
určenými z vhodně volených základen
(délkově zaměřených) a vodorovných
úhlů měřených z jejich koncových bodů
(v obrázku č.27 délky mezi body P1,P2 a
P5,P6 skripta Geodézie 2, str.83). Poznámka:
Při použití totální stanice s elektronickým
dálkoměrem lze při avizované viditelnosti mezi
uvedenými body měřit jak úhel, tak i délku.
Vytyčení přímky přes překážku uzavřeným polygonovým pořadem
Při vyšších nárocích na přesnost a spolehlivost vytyčení přímky přes překážku, je
možno koncové body přímky spojit dvěma větvemi polygonových pořadů, které tak
vytvoří uzavřený polygonový pořad se třemi nadbytečnými prvky, které umožňují
jednak kontrolu měření a výpočet souřadnic bodů s vyrovnáním (obr.28).
Řešení je obdobné jako v předchozím případu s volbou místního souřadnicového
systému. Počátek se opět volí ve výchozím bodě P a kladná poloosa +x se vloží do
17
první polygonové strany sP,1. Změří se levostranné vrcholové úhly ωi a délky
polygonových stran si,i+1. Při použití přibližného způsobu vyrovnání se nejprve
provede vyrovnání úhlové, při němž se úhlový uzávěr vypočte ze vztahu:
(
)
∑
.
Dosažený úhlový uzávěr se porovná s mezním uzávěrem ∆Mω. Je-li splněna
nerovnost:
,
úhlový uzávěr se rozdělí úměrně počtu vrcholů a měřené úhly se opraví:
.
Z opravených vrcholových úhlů se vypočtou směrníky polygonových stran:
,
.
Z vyrovnaných směrníků a měřených délek se vypočtou souřadnicové rozdíly:
;
.
Vzhledem k tomu, že se jedná o uzavřený polygonový pořad, který vychází z bodu 1
a končí stejným bodem, tedy 1 (formálně 1 ≡ 9 = n), měl by součet souřadnicových
rozdílů vyjít nulový. Potom platí:
∑
∑
.
Dále se vypočtou souřadnicové uzávěry:
∑
∑
;
a polohový uzávěr :
, který se porovná s mezním uzávěrem ∆Mp .
√
Platí-li nerovnost
, rozdělí se souřadnicové uzávěry úměrně absolutním
hodnotám souřadnicových rozdílů:
|
| ;
|
|.
∑|
∑|
|
|
Poznámka:
Hodnoty mezních uzávěrů, vycházející z požadované přesnosti vytyčení, se stanoví prostřednictvím
zákona přenášení chyb se zohledněním očekávané přesnosti měřených veličin.
Po výpočtu souřadnic bodů polygonového pořadu (pro vyřešení stanovené úlohy
stačí souřadnice bodu K ≡ 5) se určí délka strany sP,K a směrník  P,K , stejně jako
v předchozím případě:
√
,
18
a vypočtou se vytyčovací prvky, kterými jsou v tomto případě úhly P a K nebo KP
a K od polygonových stran P1,P2 a P5,P4, resp. P1,P8 a P5,P6 (obr.28), které se
vypočtou z rozdílů směrníků:
a
nebo
a
.
JEDNODUCHÉ VYTYČOVACÍ POMŮCKY
Určování úhlů stálé velikosti
(Skripta Geodézie 1, str.79, )
Častou úlohou geodetické praxe je vytyčení pravého nebo přímého úhlu. Je-li
požadováno rychlé a méně přesné vytyčení (jako např. u mapovacích prací), vystačí
se s jednoduchými vytyčovacími pomůckami, jakými jsou např. pásmo a hranol
(nejčastěji pětiboký, n. pentagon). Přitom se může jednat jak o vytyčení bodu na
kolmici (obr.29a) či přímce (obr.29c), tak o zaměření daného bodu pravoúhlými
souřadnicemi k měřické přímce, tj. jednak zařazení bodu do přímky (vytyčením
přímého úhlu, obr.29c) a dále určení paty kolmice (obr.29b).
Pravý úhel lze též vytyčit jen pásmem (obr.29d), a to s využitím tzv. Pythagorejského
trojúhelníka (pravoúhlého) o stranách rovných násobkům čísel 3, 4 a 5 (3 2 + 42 = 52).
Na dané přímce se vytyčí od bodu A úsečka o délce 4 m (bod P). K tomuto bodu se
přiloží nula pásma, údaj 8 m (3 + 5 = 8) se ztotožní s bodem A, pásmo se napne a u
údaje 3 m na pásmu leží bod B, který leží na kolmici k úsečce AP.
Vytyčení pásmem je pracné a poměrně nepřesné (podle přesnosti vytyčovaných
délek), proto je nejpoužívanější pomůckou pro vytyčení pravého úhlu pentagon, a to
zpravidla dvojitý, umožňující i vytyčení úhlu přímého.
Průběh paprsku v pětibokém hranolu
(pentagonu) je znázorněn na obrázku č.30.
Hranol má tvar deltoidu (čtyřúhelníku),
s jedním úhlem pravým a úhlem protilehlým
o velikosti 50 gon. Nepotřebná část hranolu
u vrcholu V je z důvodu zmenšení hmotnosti
a rozměru odbroušena (proto pětiúhelník).
Hranol dává velmi jasný obraz a má velké
zorné pole.
Stěny BC a ED spolu svírají úhel 50 gon a
jsou amalgamovány (postříbřeny), takže
působí jako úhlové zrcátko. Stěny EA a AB
spolu svírají pravý úhel, tedy 100 gon.
19
Paprsek dopadá na stěnu AB pod úhlem , láme se při průchodu z prostředí řidšího
(vzduch) do hustšího (sklo) ke kolmici pod úhlem ´ a pod úhlem  a dále  dopadá
na amalgamované stěny, od kterých se odráží. Na stěnu EA dopadá pod úhlem δ´,
láme se od kolmice (z prostředí hustšího do řidšího) a vychází pod úhlem δ.
Z trojúhelníka D´C´V plyne:
a odtud
.
Dále z trojúhelníka D´C´P vyplývá:
(
)
a po dosazení z předchozí rovnice:
.
Ze čtyřúhelníka B´PE´A je zřejmé:
a po dosazení za ε = 100 gon bude:
.
Při rovnosti úhlů  = δ a ´ = δ´ bude výsledná změna ω vystupujícího paprsku od
paprsku vstupujícího rovna pravému úhlu, neboť ze čtyřúhelníka B´RE´A plyne:
a dále
.
Při vytyčení kolmice na přímku AB, v bodě A (obr.31) se pentagon umístí pomocí
olovnice zavěšené v ose pentagonu nad bod
A, a otočí se jednou stěnou ke vzdálenější
výtyčce, označující směr přímky (v obr.31, bod
B). V druhé stěně hranolu se objeví obraz této
výtyčky, udávající spolu s okem (v obrázku bod
C) směr hledané kolmice (při změně natočení
pentagonu se pravý úhel nemění).
Pro vytyčení přímého úhlu (možnost zařazení
pentagonu do přímky) se sestavují dva
pentagony nad sebe (tzv. dvojitý pentagon),
vzájemně natočené tak, že umožňují vytyčit
pravé úhly z obou stran úsečky (obr.32).
Hranoly jsou uloženy v pouzdře a často
umístěny v kardanově závěsu s háčkem pro závěs olovnice tak, že hmotnost
olovnice po jejím zavěšení automaticky urovnává dvojitý pentagon do svislice.
Určuje-li se bod na přímce AB (obr.32), pohybuje se dvojitým pentagonem ve směru
kolmém k dané přímce až obraz výtyčky postavené na bodě A (v obr.32 dolní
hranol) splyne s obrazem výtyčky postavené na bodě B (horní hranol). Olovnice pak
směřuje do vrcholu dvou pravých
úhlů, majících společné rameno,
takže vrchol musí ležet na spojnici
daných bodů A,B.
Dvojitým pentagonem lze rovněž
vytyčit kolmici k dané přímce či
vyhledat patu kolmice spuštěné
z daného (zaměřovaného) bodu (na
obr.32
bod
D).
Dvojitým
pentagonem se přitom pohybuje
kolmo (zařazení do přímky) a podél
20
dané přímky (vyhledání paty kolmice), až splývají obrazy obou koncových bodů A,B a
určovaný bod D, signalizovaný např. svisle postavenou výtyčkou (levá část obr.32).
Kontrola funkce dvojitého pentagonu
 zkouška vytyčení pravého úhlu se provede z přesně vytyčené paty kolmice
(teodolitem), zhruba uprostřed mezi body A,B a vytyčí se směr kolmice jak
z bodu A, tak z bodu B. Směřují-li obě vytyčení do stejného bodu, je pomůcka
v pořádku.
 zkouška vytyčení přímého úhlu se provádí vytyčením bodu na přímce, zhruba
uprostřed dané přímky A,B, a poté opakovaným vytyčením s pentagonem
přetočeným o 200 gon (B,A). Je-li poloha bodu z obou vytyčení prakticky
stejná, je pomůcka v pořádku.
Přesnost pentagonu
Přesnost pentagonu při vytyčení pravého nebo přímého úhlu je udávána úhlovou
hodnotou 1´ až 2´ , která způsobí příčnou chybu cca 10 až 20 mm na délku 30m.
Problém s viditelností krajních bodů nastává ve svažitém terénu. Částečně tento
problém řešil trojitý pentagon (3 pentagony nad sebou, přičemž horní a dolní jsou ve
stejné poloze, což umožňuje viditelnost i výtyčky postavené pod svahem nebo na
něm.
ZÁKLADNÍ INFORMACE O GNSS (Global Navigation Satellite System)
Globální navigační satelitní systém GPS (Global Positioning Systém) byl vyvinut americkou armádou a
jedná se o družicový pasivní dálkoměrný systém. Je tvořen 24 družicemi kroužícími ve výšce 20 000
km (oběžná doba cca 12 hodin). V současné době je ve službě celkem 31 satelitů. Družice vysílají
speciální kódovaný signál obsahující informace o své poloze a čase vysílání zprávy. Signály z družic
přijímá uživatel pomocí speciálního přístroje, který informace zpracovává (počítá vzdálenosti mezi
přijímačem a družicí) → odtud dálkoměrný. Přijímač žádný signál nevysílá → odtud pasivní.
Výpočet pozice vychází ze znalosti rychlosti šíření družicového signálu a rozdílu času mezi vysíláním
a příjmem signálu. Pro určení prostorové polohy je potřeba přijímat signál minimálně ze 4 družic.
Systém GPS lze rozdělit na 3 segmenty: kosmický (družice), řídící (kontrolní monitoring družic,
výpočty, korekce systému) a uživatelský (přijímací aparatury).
Zpracování signálu:
 navigační – nejjednodušší, přesnost 5 a ž 10 m,
 diferenciální GPS – stejný algoritmus, navíc se zavádí řada korekcí, přesnost kolem 1 m,
 geodetické – nutné dva speciální přijímače nebo připojení do sítě referenčních stanic (v
současnosti v ČR: CZEPOS, Topnet, Trimble VRS Now). Výpočet je velmi složitý, určuje se pouze
rozdíl poloh. Přesnost v cm, při dlouhých observacích (12 hodin) až v mm. Měřit i vytyčovat lze
v reálném čase (on-line spojení s referenční stanicí), potom přesnost v poloze do 50 mm (běžně
do 30 mm). Ve výšce je přesnost 1,5 až 2x horší.
Ve světě jsou kromě systému GPS v provozu nebo ve výstavbě další GNSS. Jsou to:
 ruský GLONASS (28 satelitů),
 evropský GALILEO (3 satelity),
 čínský BEIDOU (COMPASS) (35 satelitů).
Dále existují regionální navigační systémy, které doplňují stávající GNSS:
 japonský QZSS (3 ? satelity),
 indický IRNSS (7 ? satelitů).
Existence vícero GNSS má pro uživatele řadu výhod. Mezi největší lze řadit dostatečný počet
viditelných satelitů v každém okamžiku.
21