45 VÝUKA MATEMATICKÉ ANALÝZY NA

Kvaternion 1 (2012), 45–52
45
VÝUKA MATEMATICKÉ ANALÝZY
NA ZÁPADOČESKÉ UNIVERZITĚ V PLZNI
GABRIELA HOLUBOVÁ a JAN POSPÍŠIL
Abstrakt. Cílem příspěvku je představit výuku matematické analýzy na Fakultě
aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni. Předměty Matematická analýza 1
a Matematická analýza 2 jsou povinné pro všechny studenty bakalářských matematických oborů, svým charakterem, obsahem a náročností tak tvoří kvalitní matematický základ nutný pro další studium. Moderně pojatá výuka matematické analýzy
nabízí studentům kvalitní matematický základ a trénink analytického myšlení tolik
potřebný pro další studium a uplatnění v praxi.
1. Fakulta aplikovaných věd a katedra matematiky
Fakulta aplikovaných věd (FAV1) je jednou z osmi fakult Západočeské univerzity v Plzni (ZČU2) a svým zaměřením se řadí mezi přírodovědné fakulty. Vedle
vzdělávacích programů, které studentům nabízejí širokou škálu oborů a specializací z oblastí matematiky, fyziky, výpočetní techniky a informatiky, kybernetiky,
mechaniky a geomatiky, se fakulta orientuje též na vědecko-výzkumnou činnost
s úspěchy na světové úrovni.
Katedra matematiky (KMA3) je jednou z pěti kateder Fakulty aplikovaných věd
a řadí se mezi největší matematické katedry v České republice. Tvoří ji šest oddělení: oddělení diskrétní matematiky, oddělení finanční matematiky a aplikované
statistiky, oddělení geometrie, oddělení geomatiky, oddělení matematické analýzy
a oddělení numerické matematiky. Díky své velikosti a šíři odborného záběru je
katedra schopna zabezpečovat téměř veškerou výuku matematických předmětů na
všech fakultách Západočeské univerzity v Plzni. V současné době katedra garantuje celkem osm bakalářských oborů, šest navazujících magisterských oborů a tři
doktorské obory. Konkrétně jde o následující obory v bakalářském stupni studia:
2010 MSC. Primární 97B40, 97B70, 97B10, 97A80, 97I99; Sekundární 00A05.
Klíčová slova. Matematická analýza, modernizace výuky matematiky, vysokoškolské studium,
vzdělání pro konkurenceschopnost.
Práce byla částečně podpořena z projektu OP VK A-Math-Net – síť pro transfer znalostí
v aplikované matematice CZ.1.07/2.4.00/17.0100 a částečně z projektu OP VK Modernizace
obsahu a formy výuky matematiky pro přírodní a technické vědy CZ.1.07/2.2.00/15.0377.
1
www.fav.zcu.cz
2
www.zcu.cz
3
www.kma.zcu.cz
46
G. HOLUBOVÁ a J. POSPÍŠIL
I
I
I
I
Aplikované vědy a informatika (3-letý studijní program, titul Bc.)
Finanční informatika a statistika
Geomatika (3-letý studijní program, titul Bc.)
Geomatika
Matematika (3-letý studijní program, titul Bc.)
Matematika a finanční studia
Matematika a management
Matematika pro přírodní vědy
Matematické výpočty a modelování
Obecná matematika
Stavitelství (4-letý studijní program, titul Bc.)
Územní plánování
Dále jsou to následující obory v navazujícím magisterském studiu:
I
I
I
Aplikované vědy a informatika (2-3 letý studijní program, titul Ing.)
Finanční informatika a statistika
Matematické inženýrství
Geomatika (2-3 letý studijní program, titul Ing.)
Geomatika
Matematika (2-3 letý studijní program, titul Mgr.)
Matematika
Matematika a management
Učitelství matematiky pro střední školy
V neposlední řadě KMA nabízí tyto studijní obory v doktorském stupni studia:
I
I
I
Aplikovaná matematika (3-letý studijní program, titul Ph.D.)
Aplikovaná matematika
Geomatika (3-letý studijní program, titul Ph.D.)
Geomatika
Matematika (4-letý studijní program, titul Ph.D.)
Obecné otázky matematiky
2. Matematické předměty na KMA
V bakalářském stupni studia mají studenti všech matematických oborů následující
společné povinné předměty:
KMA/MA1
KMA/LA
KMA/MA2
KMA/DMA
KMA/G1
KMA/PSA
KMA/NM
Matematická analýza 1 (6 kr., rozsah 4+2, 1. ZS),
Lineární algebra (4 kr., rozsah 3+1, 1. ZS),
Matematická analýza 2 (6 kr., rozsah 4+2, 1. LS),
Diskrétní matematika (4 kr., rozsah 3+1, 1. LS),
Geometrie 1 (4 kr., rozsah 2+1, 2. ZS),
Pravděpodobnost a statistika (5 kr., rozsah 3+2, 2. ZS),
Numerické metody (5 kr., rozsah 3+2, 2. LS).
Všechny tyto předměty jsou na KMA nabízeny i v anglické verzi, která se po
obsahové stránce od české verze neliší, je však ohodnocena jedním kreditem navíc.
VÝUKA MATEMATICKÉ ANALÝZY NA ZČU
47
Studenti si tak mohou rozšířit své znalosti o odborné termíny v angličtině a současně zvýšit svoje šance ve výběrových řízeních na zahraniční studentské pobyty.
Mezi další povinně volitelné a volitelné matematické předměty bakalářského
stupně studia patří:
KMA/DG
KMA/GM1
KMA/MA3
KMA/MA4
KMA/MM
KMA/ODR
KMA/STAV
KMA/TSI
KMA/UFA
Diferenciální geometrie (5 kr., rozsah 2+2),
Geometrické a počítačové modelování (6 kr., rozsah 3+2),
Matematická analýza 3 (5 kr., rozsah 3+2),
Matematická analýza 4 (5 kr., rozsah 3+2),
Matematické modelování (5 kr., rozsah 2+2),
Obyčejné diferenciální rovnice (6 kr., rozsah 3+2),
Výpočtová statistika (5 kr., rozsah 2+2),
Teorie sítí (4 kr., rozsah 2+1),
Úvod do funkcionální analýzy (5 kr., rozsah 3+1).
V navazujícím magisterském stupni studia mají studenti matematických oborů
následující povinné a povinně volitelné předměty:
KMA/DRB1,2
KMA/FA
KMA/MA5
KMA/MDO
KMA/MNO
KMA/NA
KMA/PDR
KMA/PVM
KMA/SNM1,2
KMA/SOF
KMA/TGD1,2
KMA/USA
Diferenciální rovnice v biologii 1,2 (3kreditů, rozsah 2+0),
Funkcionální analýza (5 kr., rozsah 4+0),
Matematická analýza 5 (6 kr., rozsah 3+2),
Metody dynamické optimalizace (4 kr., rozsah 2+1),
Metody numerické optimalizace (4 kr., rozsah 2+1),
Numerická analýza (5 kr., rozsah 2+2),
Parciální diferenciální rovnice (6 kr., rozsah 3+1),
Paralelní výpočtové metody (5 kr., rozsah 2+2),
Speciální numerické metody 1,2 (4 kr., rozsah 3+0),
Software a algoritmy numerické matematiky (5 kr., 3+1),
Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1,2 (5 kr., 3+1),
Úvod do stochastické analýzy (5 kr., rozsah 2+2)
a řadu dalších volitelných matematických předmětů.
V závěrečných ročnících si studenti vybírají zadání a témata kvalifikačních
prací, čímž si současně určují užší specializaci svého studia. Zpracování bakalářské
práce se týkají předměty KMA/PRJ5 (5 kreditů) a KMA/BPMA (12 kreditů),
diplomových prací se týkají předměty KMA/OSMA (4 kredity) a KMA/DPMA
(18 kreditů).
3. Matematická analýza
Po přijetí na vysokou školu považují studenti prvních ročníků za nejnáročnější
předměty Matematická analýza 1 a 2. Absolvování těchto předmětů je pro studenty naprosto fundamentální, a proto se podívejme na jejich charakter a obsah
podrobněji.
Cílem předmětu Matematická analýza 1 (MA1) je seznámení a aktivní osvojení si základních pojmů matematické analýzy, jako jsou:
I posloupnosti a řady reálných čísel,
I reálné funkce jedné reálné proměnné,
48
G. HOLUBOVÁ a J. POSPÍŠIL
I
diferenciální a integrální počet v R.
V předmětu Matematická analýza 2 (MA2) se studenti seznamují a učí se
pracovat s následujícími pojmy vyšší matematiky:
I funkční posloupnosti a řady,
I vektorové funkce jedné reálné proměnné,
I reálné funkce více proměnných,
I diferenciální a integrální počet v Rn .
Úspěšný absolvent předmětu MA1 je schopen především:
I číst matematický text a aktivně používat logické výroky;
I používat korektní postupy při řešení matematických úloh v rozsahu sylabu
tohoto předmětu;
I prokázat znalost definic a základních tvrzení týkajících se posloupností, řad
a spojitých a diferencovatelných funkcí jedné reálné proměnné;
I vypočítat první i vyšší derivace funkce nejen za použití základních pravidel
pro jejich výpočet, ale také z definice;
I nakreslit graf funkce s použitím asymptot, kritických bodů a derivací pro
určení intervalů monotonie a konvexity, resp. konkavity;
I formulovat základní úlohy na maximum, resp. minimum a tyto úlohy vyřešit
použitím diferenciálního počtu;
I vypočítat limitu použitím l’Hospitalova pravidla;
I používat základní techniky výpočtu integrálů, např. substituce, úprava na
parciální zlomky a integrace per partes;
I použitím integrálního počtu vypočítat obsahy ploch v rovině a objemy jednoduchých těles pomocí řezů;
I najít Taylorův rozvoj dané funkce v blízkosti nějakého bodu a formulovat
důsledky plynoucí z prvních několika členů tohoto rozvoje;
I ilustrovat použití probraných pojmů pro řešení konkrétních fyzikálních úloh.
Úspěšný absolvent předmětu MA2 pak je schopen:
I prokázat znalost definic a základních tvrzení týkajících se funkčních posloupností, funkčních řad, vektorových funkcí jedné reálné proměnné a reálných funkcí více proměnných;
I pracovat s funkčními posloupnostmi a řadami;
I rozvinout danou funkci v mocninnou nebo Fourierovu řadu;
I popsat křivky v Rn a pracovat s nimi;
I určit vlastnosti reálných funkcí více proměnných (spojitost, hladkost apod.);
I počítat derivace ve směru a parciální derivace funkcí více proměnných;
I formulovat základní úlohy na maximum, resp. minimum a tyto úlohy vyřešit
použitím diferenciálního počtu;
I počítat dvojné a trojné integrály;
I pracovat s integrály závislými na parametru;
I ilustrovat použití probraných pojmů pro řešení konkrétních fyzikálních úloh.
Oba předměty jsou svým charakterem věrné svému jménu, tj. náplní předmětů
není jen matematický kalkulus reálných funkcí jedné a více proměnných, nýbrž
postupné budování teorie, analýza všech vysvětlovaných pojmů a v neposlední řadě
VÝUKA MATEMATICKÉ ANALÝZY NA ZČU
49
důkazy všech tvrzení, jejichž demonstrace je následně po studentovi vyžadována
u zkoušky.
Na předměty Matematická analýza 1 a 2 ve vyšších ročnících bezprostředně
navazují předměty Matematická analýza 3, 4 a 5 s následující náplní.
Matematická analýza 3 (MA3):
I křivkové a plošné integrály,
I vektorová a tenzorová analýza.
Matematická analýza 4 (MA4):
I posloupnosti a řady komplexních čísel,
I komplexní funkce komplexní proměnné,
I diferenciální a integrální počet v Cn .
Matematická analýza 5 (MA5):
I teorie míry a integrálu,
I teorie Fourierových řad.
V dalších specializovaných předmětech pak studenti mají možnost nahlédnout
i do dalších oblastí matematické analýzy, jako je funkcionální analýza, teorie obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic, stochastická analýza, stochastické diferenciální rovnice apod.
Kvalitní matematický základ je naprosto nezbytný pro další studium, a to nejen
v případě studia matematicky zaměřených oborů, ale i pro studium na jakékoli vysoké škole technického zaměření. Moderně pojatá výuka matematické analýzy nabízí studentům kvalitní matematický základ a trénink analytického myšlení, tolik
potřebný pro další studium a uplatnění v praxi. Zvládnutím základů vysokoškolské
matematiky v podobě matematické analýzy studenti získají analytické schopnosti,
dovednost řešit abstraktní i reálné úlohy a schopnost analyzovat řešení kvalitativně
(z pohledu vlastností řešení) i kvantitativně (z pohledu počtu řešení).
4. Matematika moderně
Katedra matematiky FAV garantuje výuku cca 180 matematických předmětů celkem na šesti fakultách univerzity pro zhruba šestnáct tisíc studentů ročně. V současné době se zaměstnanci FAV podílejí na řešení několika projektů z Operačního
programu MŠMT: Vzdělání pro konkurenceschopnost. Jedním z nich je i projekt
Modernizace obsahu a formy výuky matematiky pro přírodní a technické vědy4.
V rámci řešení projektu dochází k inovaci databáze studijních podpor, příkladů
a testů k matematickým předmětům, známé pod názvem TRIAL5. Tento systém
existuje na ZČU od roku 2002 a dlouhodobě patří k nejnavštěvovanějším webům
univerzity. V přiloženém seznamu literatury je uvedeno několik příspěvků z konferencí o matematice na vysokých školách technických, ekonomických a zemědělských, kde byl moderní přístup k výuce matematiky prezentován.
V současné době na webovém portálu mají (resp. budou mít) studenti k dispozici úlohy i teorii od středoškolské matematiky po vysokoškolskou, viz též ukázky
4
číslo projektu CZ.1.07/2.2.00/15.0377, mmm.zcu.cz
trial.zcu.cz, trial.kma.zcu.cz
5
50
G. HOLUBOVÁ a J. POSPÍŠIL
na obr. 1 a 2. Vyučující pak mohou systém využít např. ke generování a vystavení materiálů k přednáškám, k zápočtovým a zkouškovým písemným pracím a
ke zveřejnění jejich výsledků, a v neposlední řadě k vystavení důležitých informací
k jednotlivým předmětům. Všichni pak mohou využívat fórum, kde studenti mezi
sebou nebo s vyučujícími diskutují např. řešení některých příkladů. Studenti mají
tedy pro studium k dispozici na jednu stranu veškeré výdobytky moderních technologií a na druhou stranu jsou nuceni pochopit principy „klasickýchÿ teoretických
důkazů.
Obrázek 1. Ukázka z TRIALu – příklady z diferenciálního počtu.
VÝUKA MATEMATICKÉ ANALÝZY NA ZČU
Obrázek 2. Ukázka z TRIALu - 3D grafy funkcí dvou proměnných.
51
52
G. HOLUBOVÁ a J. POSPÍŠIL
Reference
[1] J. Čepička, M. Míková, L. Tesková: Výuka matematiky na technických fakultách ZČU, v
3. konference o matematice a fyzice na vysokých školách s mezinárodní účastí, Brno, Vojenská akademie, 2003, 43–47.
[2] J. Daněk: Výuka numerické matematiky s užitím počítačové učebny, v 5th International
Conference Proceedings of Aplimat 2006, STU Bratislava, 2006, 309–314.
[3] M. Míková, J. Čepička: Nové pojetí matematiky na technických fakultách ZČU, v Sborník
27. konference VŠTEZ, Hejnice, JČMF Praha, 2002, 149–151.
[4] M. Míková, V. Vacek: Kombinovaná forma studia na ZČU v Plzni, v Zborník 28. konference
VŠTEP, Rožňava, JSMF Žilina, 2004, 245–248.
[5] J. Pospíšil: Matematická analýza na Západočeské univerzitě v Plzni, v Workshop matematicko-fyzikální vědy ve výuce geodézie a kartografie, VUT Brno, 2011.
Gabriela Holubová, Katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita
v Plzni, Univerzitní 8, 306 14 Plzeň, Česká republika,
e-mail: [email protected]
Jan Pospíšil, Katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita v Plzni,
Univerzitní 8, 306 14 Plzeň, Česká republika,
e-mail: [email protected]