Dynamika hmotného bodu

Mechanika – příklady pro samostudium
Dynamika hmotného bodu
Příklad 1:
Určete konstantní sílu F, nutnou pro zrychlení automobilu o hmotnosti 1000 kg z klidu na rychlost
20 m/s během 10s .
Dáno: m = 1000 kg, v0 = 0 ms-1, v1 = 20 ms-1, t = 10 s.
Určit: Sílu F.
Příklad 2:
Blok o hmotnosti 90kg leží na vodorovné podložce, působí na něho síla dle obrázku.
Zadání a):
Předpokládáme, že povrch je hladký, blok se pohybuje s konstantním zrychlením a.
Dáno: m = 90 kg, α = 34º, f = 0, a = 5 ms-2.
Určit: Velikost síly F.
Zadání b):
Předpokládáme drsný povrch a známou velikost síly F.
Dáno: m = 90 kg, α = 34º, f = 0,25, F = 1,5 kN.
Určit: Velikost zrychlení a.
Příklad 3:
Blok o hmotnosti 20 kg leží na nakloněné rovině o elevačním úhlu 20º. Na blok působí síla 250 N
v naznačeném směru. V čase t = 0 s předpokládáme nulové hodnoty polohy a rychlosti. Vypočtěte
rychlost a polohu bloku v čase t = 5 s.
Zadání a): Předpokládáme, že povrch je hladký.
Dáno: m = 20 kg, α = 20º, f = 0, F = 250 N, v(0) = 0 ms-1, x(0) = 0 m.
Určit: v(5 s), x(5 s).
Zadání b): Předpokládáme, že povrch je drsný.
Dáno: m = 20 kg, α = 20º, f = 0,2, F = 250 N, v(0) = 0 ms-1, x(0) = 0 m.
Určit: v(5 s), x(5 s).
Příklad 4:
Balík o hmotnosti 15 kg se pohybuje po skluzu o délce 5 m a sklonu 30º. Počáteční rychlost balíku
jsou 3 ms-1, koeficient tření mezi balíkem a skluzem je f1 = 0,15. Určete rychlost balíku na konci
skluzu a dráhu d, na které balík zastaví na vodorovné podložce, která má koeficient tření f2 = 0,30.
Dáno: m = 15 kg, l = 5 m, α = 30º, v0 = 3 ms-1, f1 = 0,15, f2 = 0,30.
Určit: v1 (na konci skluzu), d (dráha pro zastavení na vodorovné podložce).
Příklad 5:
Nákladní automobil o hmotnosti mA = 5400 kg veze náklad o hmotnosti mN = 2200 kg. Jestliže
automobil rovnoměrně zrychlí ze 40 km/h na 80 km/h na dráze 60 m, vypočtěte celkovou sílu,
kterou při zrychlování přenášela kola na vozovku. Dále vypočtěte nejmenší možný koeficient
smykového tření f min mezi nákladem a korbou, takový, aby při tomto zrychlení nedošlo k posunu
nákladu.
Dáno: mA = 5400 kg, mN= 2200 kg, v0 = 40 kmh-1, v1 = 80 kmh-1, l = 60 m.
Určit: F (mezi automobilem a vozovkou), fmin.
Příklad 6:
Závaží A a B jsou spojena dokonale ohebným lanem, které je vedeno přes ideální kladku,
v uspořádání dle obrázku. Koeficient tření mezi závažím A a nakloněným povrchem je f = 0,15,
hmotnost bloku A je mA = 25 kg. Na počátku děje je soustava v klidu, v naznačené poloze (závaží B
ve výšce 3m). Jestliže po uvolnění soustavy narazí závaží B na vodorovný povrch za čas tD = 3 s,
určete zrychlení a hmotnost závaží B a sílu v laně v průběhu děje.
Dáno: α = 40º, mA = 25 kg, f = 0,15, tD = 3 s, h = 3 m.
Určit: aB, mB, FL.
Příklad 7:
Na objímku o hmotnosti m = 20 kg působí vodorovná síla P, která se mění s časem dle naznačeného
průběhu. Objímka je na počátku děje v klidu. Koeficient smykového tření za klidu je fS = 0,35,
koeficient smykového tření za pohybu je fD = 0,30. Určete čas t1, ve kterém se objímka začne
pohybovat, rychlost objímky v čase 5 s a dráhu, kterou objímka urazila během 5s.
Dáno: m = 20 kg, fS = 0,35, fD = 0,30, v(0) = 0 ms-1, x(0) = 0 m, průběh síly P v čase.
Určit: t1 (čas, ve kterém dojde k pohybu), v(5 s), x(5 s).
Příklad 8:
Blok o hmotnosti m = 20 kg je spojen s pružinou o zanedbatelné hmotnosti. Pružina je svým
působením lineární, její tuhost je k = 100 N/m. Jestliže je blok posunut o 200 mm směrem doprava
z rovnovážné polohy a poté uvolněn (z klidu), vypočtěte rychlost jeho pohybu v místě, kde je síla
pružiny nulová, tj. pružina je nedeformovaná. Třecí síly zanedbáváme.
Dáno: m = 20 kg, k = 100 N/m, x(0) = 200 mm, v(0) = 0 m/s.
Určit: vn (rychlost v bodě x = 0 mm).
Příklad 9:
Kulička o hmotnosti m = 0,15 kg je vystřelena pružinou ze šikmé roury (sklon 30º). Konstanta
tuhosti pružiny je k = 5 N/cm. Volná délka pružiny je lv = 20 cm. Na obrázku je znázorněn výchozí
stav, kdy kulička byla v klidu (Pružina je tedy na počátku děje stlačena o 10 cm). Vypočtěte rychlost
kuličky na konci roury, jestliže zanedbáme veškeré pasivní odpory.
Dáno: α = 30º, m = 0,15 kg, k = 5 N/cm, lv = 20 cm, v(0) = 0 m/s, rozměry z obrázku.
Určit: v1 (rychlost na konci roury).
Příklad 10:
Závaží A o hmotnosti m = 10 kg je na počátku děje v klidu. Na počátku děje je též lineární pružina
o tuhosti k = 25 N/m nedeformovaná. V čase t = 0 s dojde k uvolnění soustavy. Určete rychlost a
zrychlení závaží a sílu v laně v okamžiku, kdy závaží A klesne o 10 cm oproti své původní poloze.
Pasivní odpory zanedbáváme.
Dáno: m = 10 kg, k = 25 N/m, v(0) = 0 m/s.
Určit: v(0,1 m), a(0,1 m), FL(0,1 m).
Příklad 11:
Objímka o hmotnosti m = 2 kg se pohybuje po hladké vodorovné tyči s rychlostí v0 = 3 m/s,
v okamžiku, kdy se dotkne pružiny. Pružina je nelineární, vztah mezi silou pružiny F a deformací x
je kvadratický, F = cx2, kde c je konstanta o fyzikálním rozměru [kg m-1 s-2]. Jestliže objímka
zastaví na dráze l = 10 cm, určete konstantu c pružiny.
Dáno: m = 2 kg, v0 = 3 m/s, l = 10 cm.
Určit: c.
Příklad 12:
Dragster o hmotnosti m = 550 kg se v okamžiku, kdy řidič vystřelí brzdící padák, pohybuje
rychlostí v0 = 160 km/h. Brzdná síla padáku je úměrná druhé mocnině rychlosti dle vztahu
Fp = 0,25 v2, kde Fp je v Newtonech a v v metrech za sekundu. Určete zpomalení dragsteru
v okamžiku vyhození padáku a vzdálenost l12, kterou dragster ujel mezi vyhozením padáku a
okamžikem, kdy dosáhl rychlosti v1 = 40 km/h.
Dáno: m = 550 kg , v0 = 160 km/h, Fp = 0,25 v2, v1 = 40 km/h.
Určit: a(0 s), l12.
Příklad 13:
Projektil o hmotnosti m = 5 kg je vystřelen kolmo vzhůru počáteční rychlostí v0 = 300 m/s.
a): Vypočtěte výšku výstupu hB, pokud zanedbáme odpor vzduchu.
b): Pokud je odpor vzduchu úměrný druhé mocnině rychlosti dle vztahu Fo = 0.006 v2, kde F je
v Newtonech a v v metrech za sekundu, vypočtěte výšku výstupu h a rychlost dopadu vD.
Dáno: m = 5 kg, v0 = 300 m/s, Fo = 0.006 v2.
Určit: hB, h, vD.
Příklad 14:
Letadlo se v okamžiku vypuštění bomby pohybuje rychlostí v0 = 750 km/h a letí pod úhlem 20º
směrem k zemi. Bomba byla vypuštěna ve výšce h = 5000 m. Při zanedbání odporu vzduchu určete
vodorovnou vzdálenost R mezi místem vypuštění bomby a místem jejího dopadu.
Dáno: v0 = 750 km/h, α = 20º, h = 5000 m.
Určit: vzdálenost R.
Příklad 15:
Automobil se pohybuje konstantní rychlostí v = 100 km/h po stoupající a klesající silnici. Vypočtěte
sílu přenášenou mezi řidičem o hmotnosti m = 80 kg a sedačkou v nejnižším a nejvyšším bodě
cesty, nakreslené na obrázku. Poloměry oblouků klesání a stoupání jsou shodně r = 90 m.
Dáno: v = 100 km/h, m = 80 kg, r = 90 m.
Určit: FD, FH.
Příklad 16:
Kruhový disk se otáčí ve vodorovné rovině. Hmotný bod o hmotnosti m = 1,5 kg leží ve vzdálenosti
r = 8 cm od osy rotace. Koeficient smykového tření (statický) mezi hmotným bodem a diskem je f
= 0,5. Na počátku děje je disk v klidu. V čase t = 0 s se začne roztáčet s konstantním úhlovým
zrychlením ε = 0.5 rad s-2. Určete čas t1, ve kterém se hmotný bod začne smýkat po disku.
Dáno: m = 1,5 kg, r = 8 cm, f = 0,5, ε = 0.5 rad s-2.
Určit: t1 ( čas, ve kterém se hmotný bod začne smýkat).
Příklad 17:
Kuličky jsou uvolňovány po jedné ze zásobníku na hladkou kruhovou dráhu o poloměru r = 1,5 m.
Na počátku dráhy, v bodě A mají nulovou rychlost. Kuličky dráhu opouštějí v bodě C ve
vodorovném směru a jsou chytány v bodě B. Určete velikost rychlosti kuličky jako funkci úhlu θ,
rychlost kuličky v bodě C a vzdálenost xB.
Dáno: r = 1,5 m, vA = 0 m/s, h = 50 cm.
Určit: v(θ), vc, xB.
Příklad 18:
Hmotný bod o hmotnosti m = 0,5 kg se pohybuje po hladké vodorovné dráze rychlostí v0 = 1,8 m/s.
Poté se dostane na čtvrtkruhovou rampu o poloměru r = 40 cm. Určete úhel θ, kde dojde k oddělení
hmotného bodu od povrchu.
Dáno: m = 0,5 kg, v0 = 1,8 m/s, r = 40 cm.
Určit: θ.
Příklad 19:
Hmotný bod o hmotnosti m = 3 kg je spojena s tyčí o zanedbatelné hmotnosti a provázkem. Délka
tyče l = 2 m. Na počátku děje je vše v klidu, tyč svírá se svislým směrem úhel α = 45º. V čase t = 0
je provázek přestřižen. Určete sílu T v tyči v těchto okamžicích: a) v pozici nakreslené na obrázku
před přestřižením provázku, b) v téže pozici těsně po přestřižení provázku, c) v nejnižším bodě
dráhy kuličky ( α = 0º).
Dáno: m = 3 kg, l = 2 m, α0 = 45º, v(0) = 0 m/s.
Určit: T0-, T0+, T90.
Příklad 20:
Hmotný bod o hmotnosti m se pohybuje po drsné nakloněné rovině (koef. smykového tření f, úhel
α) směrem vzhůru. Na počátku děje, v bodě A, má nulovou rychlost. V tomto bodě začne na
hmotný bod působit pružina s volnou délkou l0 a tuhostí k. V bodě B přestane pružina působit a
hmotný bod se začne pohybovat šikmým vrhem, v bodě C dopadne na podložku. Odpor prostředí
zanedbáváme. Určete rychlost vB hmotného bodu v bodě B a délku vrhu d, je-li počáteční natažení
pružiny lAB.
Dáno: α = 25º, m = 0,1 kg, f = 0,15, k = 500 N/m, l0 = 20 cm, lAB = 8 cm.
Určit: vB, d.
Poznámka o autorských právech: Všechny zde uvedené příklady a obrázky (vyjma příkladu 20) byly převzaty z knihy
Riley W.F. – Sturges L.D.: Engineering mechanics Dynamics, second edition, John Wiley & sons, 1996. Tento
dokument slouží pouze pro potřeby výuky předmětu Mechanika pro 2. ročník FM TU Liberec.
Výsledky (bez záruky :-):
Příklad 1:
F = 2000 N.
Příklad 2:
a: F = 542,80 N,
b: a = 9,035 ms-2.
Příklad 3:
a: v(5) = 45,724 ms-1, x(5) =114,31 m.
b: v(5) = 36,506 ms-1, x(5) =91,264 m.
Příklad 4:
v1 = 6,731 ms-1, d = 7,697 m.
Příklad 5:
F = 23,456 kN, fmin = 0,315.
Příklad 6:
aB = 0,6667 ms-2, mB = 22,146 kg, FL = 202,49 N.
Příklad 7:
t1 = 1,867 s, v(5) = 1,066 ms-1, x(5) = 0,3885 m.
Příklad 8:
vn = 0,4472 ms-1.
Příklad 9:
v1 = 5.636 ms-1.
Příklad 10:
v(0,1 m) = 1.365 ms-1, a(0,1 m) = 8,81 ms-2, FL(0,1 m) = 5 N.
Příklad 11:
c = 27000 kg m-1 s-2.
Příklad 12:
a(0 s) = 0,8979 ms-2, l12 = 3049,8 m.
Příklad 13:
hB = 4587,2 m, h = 1035,7 m, vD = 86,57 ms-1.
Příklad 14:
R = 4988,2 m.
Příklad 15:
FD = 1470,7 N, FH = 98,93 N.
Příklad 16:
t1 = 15.66 s.
Příklad 17:
v = 2 g r sin  , vC = 5.425 ms-1, xB = 1,732 m.
Příklad 18:
θ = 19,628º.
Příklad 19:
T0- = 41,620 N, T0+ = 20,810 N, T90 = 46,670 N.
Příklad 20:
vB = 14,064 ms-1, d = 15,446 m.