Rozhodovací diagramy aneb i auta lze rídit pomocí moderních

Rozhodovací diagramy
aneb
i auta lze řídit pomocí moderních nástrojů
pro podporu manažerského rozhodování
Jiří Vomlel
Ústav teorie informace a automatizace (ÚTIA)
Akademie věd České republiky
http://www.utia.cz/vomlel
Praha, 16. května 2015
Ve které hře lze očekávat větší zisk?
Ve které hře lze očekávat větší zisk?
(A) Padne-li šestka, získáte 60 Kč.
Padne-li jiný počet ok, nezískáte nic.
Ve které hře lze očekávat větší zisk?
(A) Padne-li šestka, získáte 60 Kč.
Padne-li jiný počet ok, nezískáte nic.
(B) Padne-li sudý počet ok, získáte 30 Kč.
Padne-li lichý počet ok, nezískáte nic.
Ve které hře lze očekávat větší zisk?
(A) Padne-li šestka, získáte 60 Kč.
Padne-li jiný počet ok, nezískáte nic.
u = P(X = 6) · 60 + P(X 6= 6) · 0
1
=
· 60 = 10
6
(B) Padne-li sudý počet ok, získáte 30 Kč.
Padne-li lichý počet ok, nezískáte nic.
Ve které hře lze očekávat větší zisk?
(A) Padne-li šestka, získáte 60 Kč.
Padne-li jiný počet ok, nezískáte nic.
u = P(X = 6) · 60 + P(X 6= 6) · 0
1
=
· 60 = 10
6
(B) Padne-li sudý počet ok, získáte 30 Kč.
Padne-li lichý počet ok, nezískáte nic.
v = P(X ∈ {2, 4, 6}) · 30 + P(X ∈ {1, 2, 3}) · 0
1
=
· 30 = 15
2
Ve které hře lze očekávat větší zisk?
(A) Padne-li šestka, získáte 60 Kč.
Padne-li jiný počet ok, nezískáte nic.
u = P(X = 6) · 60 + P(X 6= 6) · 0
1
=
· 60 = 10
6
(B) Padne-li sudý počet ok, získáte 30 Kč.
Padne-li lichý počet ok, nezískáte nic.
v = P(X ∈ {2, 4, 6}) · 30 + P(X ∈ {1, 2, 3}) · 0
1
=
· 30 = 15
2
Hra (B) má větší očekávaný zisk.
Rozhodovací diagram pro hod kostkou
Viz „model v akci“ v programu Hugin.
Úvěrové rozhodování banky:
Poskytneme klientovi úvěr?
klient
1
2
3
4
5
6
7
8
9
příjem
nízký
nízký
nízký
střední
střední
střední
vysoký
vysoký
vysoký
zůstatek účtu
nízký
střední
vysoký
nízký
střední
vysoký
nízký
střední
vysoký
úvěr
ne
ne
ano
ne
ano
ano
ano
ano
ano
Úvěrové rozhodování banky:
Poskytneme klientovi č. 3 úvěr?
očekávaný zisk
= očekávané_příjmy − výdaje
Úvěrové rozhodování banky:
Poskytneme klientovi č. 3 úvěr?
očekávaný zisk
= očekávané_příjmy − výdaje
= + P(nesplatí_úvěr) ∗ 0
+ P(splatí_polovinu_úvěru) ∗ (0, 5 ∗ 1, 10 ∗ výše_úvěru)
+ P(splatí_celý_úvěr) ∗ (1, 0 ∗ 1, 10 ∗ výše_úvěru)
− výše_úvěru
Úvěrové rozhodování banky:
Poskytneme klientovi č. 3 úvěr?
očekávaný zisk
= očekávané_příjmy − výdaje
= + P(nesplatí_úvěr) ∗ 0
+ P(splatí_polovinu_úvěru) ∗ (0, 5 ∗ 1, 10 ∗ výše_úvěru)
+ P(splatí_celý_úvěr) ∗ (1, 0 ∗ 1, 10 ∗ výše_úvěru)
− výše_úvěru
= + 0.05 ∗ (0, 5 ∗ 1, 1 ∗ 1.000.000)
+ 0.92 ∗ (1, 0 ∗ 1, 1 ∗ 1.000.000)
− 1.000.000
Úvěrové rozhodování banky:
Poskytneme klientovi č. 3 úvěr?
očekávaný zisk
= očekávané_příjmy − výdaje
= + P(nesplatí_úvěr) ∗ 0
+ P(splatí_polovinu_úvěru) ∗ (0, 5 ∗ 1, 10 ∗ výše_úvěru)
+ P(splatí_celý_úvěr) ∗ (1, 0 ∗ 1, 10 ∗ výše_úvěru)
− výše_úvěru
= + 0.05 ∗ (0, 5 ∗ 1, 1 ∗ 1.000.000)
+ 0.92 ∗ (1, 0 ∗ 1, 1 ∗ 1.000.000)
− 1.000.000
= 39.500
Rozhodovací diagram pro rozhodnutí o úvěru
Viz „model v akci“ v programu Hugin.
Simulace řízení rychlosti vozu formule 1
pomocí rozhodovacích diagramů
Okruh F1 Silverstone (Bridge version)
• Délka: 5.140 metrů
Okruh F1 Silverstone (Bridge version)
• Délka: 5.140 metrů
• Používal se pro Velkou cenu Velké
Británie v letech 2000 – 2009.
Okruh F1 Silverstone (Bridge version)
• Nejrychlejší okruh v roce 2009 při kvalifikaci Velké ceny Velké
Británie zajel Sebastian Vettel na voze Red Bull-Renault.
Okruh F1 Silverstone (Bridge version)
• Nejrychlejší okruh v roce 2009 při kvalifikaci Velké ceny Velké
Británie zajel Sebastian Vettel na voze Red Bull-Renault.
• Čas: 78.119 s.
Fyzika závodního vozu F1
i−1
i
s
i+1
• Vozidlo modelujeme jako hmotný bod pohybující se po zadané
dráze.
Fyzika závodního vozu F1
i−1
i
s
i+1
• Vozidlo modelujeme jako hmotný bod pohybující se po zadané
dráze.
• Dráhu rozdělíme na mnoho malých segmentů pevně dané
délky s (např. jeden metr).
Fyzika závodního vozu F1
i−1
i
s
i+1
• Vozidlo modelujeme jako hmotný bod pohybující se po zadané
dráze.
• Dráhu rozdělíme na mnoho malých segmentů pevně dané
délky s (např. jeden metr).
• Index i ∈ {0, . . . , n} bude označovat souřadnice bodu dráhy.
Fyzika závodního vozu F1
i−1
i
s
i+1
• Vozidlo modelujeme jako hmotný bod pohybující se po zadané
dráze.
• Dráhu rozdělíme na mnoho malých segmentů pevně dané
délky s (např. jeden metr).
• Index i ∈ {0, . . . , n} bude označovat souřadnice bodu dráhy.
• Symbol [i, i + 1] bude značit segment mezi body i a i + 1,
Fyzika závodního vozu F1
i−1
i
ai
s
i+1
vi+1
• Vozidlo modelujeme jako hmotný bod pohybující se po zadané
dráze.
• Dráhu rozdělíme na mnoho malých segmentů pevně dané
délky s (např. jeden metr).
• Index i ∈ {0, . . . , n} bude označovat souřadnice bodu dráhy.
• Symbol [i, i + 1] bude značit segment mezi body i a i + 1,
• Symbol vi bude značit rychlost v bodě i.
Fyzika závodního vozu F1
i−1
i
ai
s
i+1
vi+1
• Vozidlo modelujeme jako hmotný bod pohybující se po zadané
dráze.
• Dráhu rozdělíme na mnoho malých segmentů pevně dané
délky s (např. jeden metr).
• Index i ∈ {0, . . . , n} bude označovat souřadnice bodu dráhy.
• Symbol [i, i + 1] bude značit segment mezi body i a i + 1,
• Symbol vi bude značit rychlost v bodě i.
• Budeme předpokládat, že zrychlení je v každém segmentu
konstantní.
Fyzika závodního vozu F1
i−1
i
ai
s
i+1
vi+1
• Vozidlo modelujeme jako hmotný bod pohybující se po zadané
dráze.
• Dráhu rozdělíme na mnoho malých segmentů pevně dané
délky s (např. jeden metr).
• Index i ∈ {0, . . . , n} bude označovat souřadnice bodu dráhy.
• Symbol [i, i + 1] bude značit segment mezi body i a i + 1,
• Symbol vi bude značit rychlost v bodě i.
• Budeme předpokládat, že zrychlení je v každém segmentu
konstantní.
• Symbol ai bude značit zrychlení v segmentu [i, i + 1].
Fyzika závodního vozu F1
• Rychlost vi+1 je funkcí rychlosti vi a zrychlení ai :
q
vi+1 =
(vi )2 + 2 · s · ai .
Fyzika závodního vozu F1
• Rychlost vi+1 je funkcí rychlosti vi a zrychlení ai :
q
vi+1 =
(vi )2 + 2 · s · ai .
• Čas ti+1 potřebný na projetí segmentu [i, i + 1] je:
p
ti+1 =
−vi +
(vi )2 + 2 · s · ai
.
ai
Řízení vozu F1
• Předpokládáme, že řídící proměnná ui je konstantní v
segmentu [i, i + 1].
Řízení vozu F1
• Předpokládáme, že řídící proměnná ui je konstantní v
segmentu [i, i + 1].
• ui nabývá hodnot z intervalu [−1, +1].
Řízení vozu F1
• Předpokládáme, že řídící proměnná ui je konstantní v
segmentu [i, i + 1].
• ui nabývá hodnot z intervalu [−1, +1].
• Záporné hodnoty ui odpovídají brzdění.
Řízení vozu F1
• Předpokládáme, že řídící proměnná ui je konstantní v
segmentu [i, i + 1].
• ui nabývá hodnot z intervalu [−1, +1].
• Záporné hodnoty ui odpovídají brzdění.
• Kladné hodnoty ui představují plynový pedál.
Řízení vozu F1
• Předpokládáme, že řídící proměnná ui je konstantní v
segmentu [i, i + 1].
• ui nabývá hodnot z intervalu [−1, +1].
• Záporné hodnoty ui odpovídají brzdění.
• Kladné hodnoty ui představují plynový pedál.
• Proměnná ui řídí zrychlování/zpomalování vozu ai podle:
(
ai
=
atmax · ui − cv · (vi )2 když ui ≥ 0
atmin · ui − cv · (vi )2 když ui < 0 ,
Řízení vozu F1
• Předpokládáme, že řídící proměnná ui je konstantní v
segmentu [i, i + 1].
• ui nabývá hodnot z intervalu [−1, +1].
• Záporné hodnoty ui odpovídají brzdění.
• Kladné hodnoty ui představují plynový pedál.
• Proměnná ui řídí zrychlování/zpomalování vozu ai podle:
(
ai
=
atmax · ui − cv · (vi )2 když ui ≥ 0
atmin · ui − cv · (vi )2 když ui < 0 ,
• atmax je maximální dopředné zrychlení (u F1 je 16 m/s 2 ),
Řízení vozu F1
• Předpokládáme, že řídící proměnná ui je konstantní v
segmentu [i, i + 1].
• ui nabývá hodnot z intervalu [−1, +1].
• Záporné hodnoty ui odpovídají brzdění.
• Kladné hodnoty ui představují plynový pedál.
• Proměnná ui řídí zrychlování/zpomalování vozu ai podle:
(
ai
=
atmax · ui − cv · (vi )2 když ui ≥ 0
atmin · ui − cv · (vi )2 když ui < 0 ,
• atmax je maximální dopředné zrychlení (u F1 je 16 m/s 2 ),
• atmin je maximální dopředné zpomalení (u F1 je 18 m/s 2 ) a
Řízení vozu F1
• Předpokládáme, že řídící proměnná ui je konstantní v
segmentu [i, i + 1].
• ui nabývá hodnot z intervalu [−1, +1].
• Záporné hodnoty ui odpovídají brzdění.
• Kladné hodnoty ui představují plynový pedál.
• Proměnná ui řídí zrychlování/zpomalování vozu ai podle:
(
ai
=
atmax · ui − cv · (vi )2 když ui ≥ 0
atmin · ui − cv · (vi )2 když ui < 0 ,
• atmax je maximální dopředné zrychlení (u F1 je 16 m/s 2 ),
• atmin je maximální dopředné zpomalení (u F1 je 18 m/s 2 ) a
• cv označuje koeficient pro zpomalení způsobené odporem
vzduchu (u F1 je 0, 0021).
Chování vozu F1
Maximální brzdění (u = −100%)
200
150
speed [km/h]
100
200
50
150
0
100
speed [km/h]
250
250
300
300
Jízda na plný plyn (u = 100%)
0
200
400
600
distance [m]
800
1000
0
50
100
distance [m]
150
200
Profil poloměrů zatáček
• Dráha vozu je charakterizovaná poloměrem zatáček v každém
bodě dráhy – profil poloměrů zatáček
Profil poloměrů zatáček
• Dráha vozu je charakterizovaná poloměrem zatáček v každém
bodě dráhy – profil poloměrů zatáček
• Předpokládáme, že v každém segmentu dráhy [i, i + 1] je
poloměr ri konstantní a je znám.
Profil poloměrů zatáček
• Dráha vozu je charakterizovaná poloměrem zatáček v každém
bodě dráhy – profil poloměrů zatáček
• Předpokládáme, že v každém segmentu dráhy [i, i + 1] je
poloměr ri konstantní a je znám.
100 200 300 400
0
Radius [m]
Profil poloměrů zatáček na okruhu F1 v Silverstone
0
1000
2000
3000
Lap distance[m]
4000
5000
Rychlostní profil
• V každém bodě i poloměr zatáčky ri určuje maximální
možnou rychlost
vi
≤
p
anmax · ri ,
Rychlostní profil
• V každém bodě i poloměr zatáčky ri určuje maximální
možnou rychlost
vi
≤
p
anmax · ri ,
• kde anmax je maximální dovolené boční zrychlení, které pro
typický vůz F1 je 30 m/s 2 .
Rychlostní profil
• V každém bodě i poloměr zatáčky ri určuje maximální
možnou rychlost
vi
≤
p
anmax · ri ,
• kde anmax je maximální dovolené boční zrychlení, které pro
typický vůz F1 je 30 m/s 2 .
300
200
100
0
Maximum Speed [km/h]
400
Profil maximální rychlosti pro okruh F1 Silverstone
0
1000
2000
3000
4000
5000
Omezení řídících signálů
Maximální dopředné zrychlení dané vlastnostmi pneumatik
Omezení řídících signálů
Maximální dopředné zrychlení dané vlastnostmi pneumatik
a max
t
u · a max
t
an
max
an
Omezení řídících signálů
Maximální dopředné zrychlení dané vlastnostmi pneumatik
a max
t
u · a max
t
an
u · atmax
atmax
2
+
an
anmax
max
an
2
≤ 1 if u ≥ 0
Omezení řídících signálů
Maximální dopředné zrychlení dané vlastnostmi pneumatik
a max
t
u · a max
t
an
u · atmax
atmax
2
+
an
anmax
max
an
2
≤ 1 if u ≥ 0
V důsledku toho je řízení omezeno na:
s
u ≤
1−
vi
vimax
4
.
Omezení řídících signálů
Maximální dopředné zrychlení dané vlastnostmi pneumatik
a max
t
u · a max
t
an
u · atmax
atmax
2
+
an
anmax
max
an
2
≤ 1 if u ≥ 0
V důsledku toho je řízení omezeno na:
s
u ≤
vi
1−
vimax
Podobné omezení platí i pro brzdění.
4
.
Zadání úlohy
Cílem je nalézt rychlostní profil vozu F1 vi , i = 0, . . . , n, pro který
platí, že:
Zadání úlohy
Cílem je nalézt rychlostní profil vozu F1 vi , i = 0, . . . , n, pro který
platí, že:
• minimalizuje celkový čas
Pn
i=1 ti
projetí trasy,
Zadání úlohy
Cílem je nalézt rychlostní profil vozu F1 vi , i = 0, . . . , n, pro který
platí, že:
• minimalizuje celkový čas
Pn
i=1 ti
projetí trasy,
• splňuje rychlostní omezení pro všechny body trasy
i = 0, 1, . . . , n a
Zadání úlohy
Cílem je nalézt rychlostní profil vozu F1 vi , i = 0, . . . , n, pro který
platí, že:
• minimalizuje celkový čas
Pn
i=1 ti
projetí trasy,
• splňuje rychlostní omezení pro všechny body trasy
i = 0, 1, . . . , n a
• splňuje řídící omezení pro všechny body trasy i = 0, 1, . . . , n.
Rozhodovací diagram pro rychlostní profil vozu F1
(pro dva segmenty)
Jak řízení reálně vypadá?
Video jízdy Sebastiana Vettela při nejrychlejším projetí okruhu F1
Silverstone v jeho desetileté historii.
Porovnání rychlostních profilů
200
100
Max. allowed speed
0
Speed [km/h]
300
400
Omezení na maximální rychlost
0
1000
2000
3000
Lap distance [m]
4000
5000
Porovnání rychlostních profilů
200
100
Max. allowed speed
Influence diagram
0
Speed [km/h]
300
400
Řešení pomocí rozhodovacího diagramu – čas 84.0 s.
0
1000
2000
3000
Lap distance [m]
4000
5000
Porovnání rychlostních profilů
200
100
Max. allowed speed
Influence diagram
Analytical sol. [Velenis et al.]
0
Speed [km/h]
300
400
Řešení pomocí rozhodovacího diagramu – čas 84.0 s.
Analytické řešení – čas 82.7 s.
0
1000
2000
3000
Lap distance [m]
4000
5000
Porovnání rychlostních profilů
200
100
Max. allowed speed
Influence diagram
Testing pilot
0
Speed [km/h]
300
400
Řešení pomocí rozhodovacího diagramu – čas 84.0 s.
Analytické řešení – čas 82.7 s.
Testovací pilot – čas 85.8 s. (S. Vettel 78.119 s.)
0
1000
2000
3000
Lap distance [m]
4000
5000
Splnění omezujících podmínek pro řízení
0
−50
−100
Control [%]
50
100
Řešení pomocí rozhodovacího diagramu
0
1000
2000
3000
Lap distance [m]
4000
5000
Splnění omezujících podmínek pro řízení
0
−50
−100
Control [%]
50
100
Analytické řešení (řízení je zpětně rekonstruováno z rychlosti)
0
1000
2000
3000
Lap distance [m]
4000
5000
Splnění omezujících podmínek pro řízení
0
−50
−100
Control [%]
50
100
Testovací pilot (řízení je zpětně rekonstruováno z rychlosti)
0
1000
2000
3000
Lap distance [m]
4000
5000