Ondrej Klimo

České vysoké učenı́ technické v Praze
Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská
Katedra fyzikálnı́ elektroniky
Diplomová práce
Ondřej Klimo
Praha – 2003
České vysoké učenı́ technické v Praze
Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská
Katedra fyzikálnı́ elektroniky
Modelovánı́ transportu rychlých
elektronů při interakci laserového zářenı́
s pevnými terči
Diplomová práce
Autor práce:
Školitel:
Konzultant:
Školnı́ rok:
Ondřej Klimo
Doc. Ing. Jiřı́ Limpouch, CSc.
Dr. Ing. Milan Šiňor
2002/2003
Prohlašuji, že jsem předloženou práci vypracoval samostatně a že jsem uvedl veškerou
použitou literaturu.
Praha, 10.5.2003
Ondřej Klimo
2
Poděkovánı́
Na tomto mı́stě bych rád poděkoval Doc. Ing. Jiřı́mu Limpouchovi, CSc. za trpělivé vedenı́ mé práce, za množstvı́ podnětných připomı́nek a rad i cenné zkušenosti, které jsem dı́ky
této práci zı́skal. Chtěl bych také poděkovat ostatnı́m členům Katedry fyzikálnı́ elektroniky
za podmı́nky a prostředı́, které pro studenty na katedře vytvořili.
Ondřej Klimo
3
Obsah
1
2
3
4
Úvod
1.1 Vývoj laserové techniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Interakce velmi krátkého intenzivnı́ho laserového zářenı́ s pevnými terči
1.3 Vznik rychlých elektronů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Transport rychlých elektronů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ionizace ve vnitřnı́ch slupkách atomů a vznik charakteristického zářenı́ .
1.6 Motivace studia transportu rychlých elektronů a vzniku K-α zářenı́ . . .
1.7 Jaderné procesy indukované laserovým zářenı́m . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Popis interakce laseru s plazmatem a transportu rychlých elektronů pomocı́
počı́tačového modelu
2.1 Particle-In-Cell simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Makroskopické elektrické pole indukované v plazmatu . . . . . . . . . . .
2.3 Monte Carlo simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transport rychlých elektronů pomocı́ metody Monte Carlo
3.1 Základy metody Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Historie metody Monte Carlo a generovánı́ náhodných čı́sel . . . .
3.1.2 Transformace veličiny s rovnoměrným rozdělenı́m v intervalu (0,1)
na spojitou náhodnou veličinu se zadanou distribučnı́ funkcı́ . . . .
3.2 Algoritmus Monte Carlo simulacı́ transportu částic . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Účinné průřezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Střednı́ volná dráha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Směrové kosiny a transformace souřadnic . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Aproximace brzdnou silou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Detailnı́ simulace nebo aproximace pomocı́ brzdné sı́ly . . . . . . . . . . .
3.4 Interakce elektronů s atomy terče . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Pružné srážky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Nepružné srážky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Brzdné zářenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Ionizace v K slupce - účinné průřezy . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Přidánı́ simulace ionizace v K slupce do Monte Carlo kódu . . . . .
3.5 Vznik a transport K-α fotonů v terči . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Časové rozlišenı́ simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Simulace v terčı́ch s vı́ce vrstvami různých materiálů . . . . . . . . . . . .
Dalšı́ vlastnosti vypracovaného Monte Carlo kódu
4.1 Vlastnı́ realizace počı́tačového kódu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Paralelizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Test simulace na úloze výpočtu procenta zpětně rozptýlených elektronů . .
4.4 Porovnánı́ výsledků simulacı́ vzniku a transportu K-α fotonů s jinými simulacemi a experimentem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6
7
7
8
8
9
10
11
13
14
15
16
18
18
18
19
20
21
21
22
23
24
24
26
27
34
36
38
38
40
41
42
42
43
43
44
5
6
7
Transport rychlých elektronů v hydrodynamických simulacı́ch
5.1 Vznik a transport rychlých elektronů v hydrodynamickém kódu Medusa . .
5.2 Absorpce energie rychlých elektronů - aproximace brzdnou silou . . . . . .
5.3 Porovnánı́ absorpce energie rychlých elektronů s Monte Carlo simulacı́,
vylepšenı́ kódu Medusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
46
Výsledky simulacı́ vybraných experimentů
6.1 Počátečnı́ parametry simulacı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Vývoj termodynamických veličin pomocı́ kódu Medusa . . . . .
6.3 Spektra rychlých elektronů z PIC simulacı́ . . . . . . . . . . . .
6.4 Časová závislost vzniku rychlých elektronů . . . . . . . . . . .
6.5 Úhlová rozdělenı́ rychlých elektronů . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 K-α pulsy vypočtené v Monte Carlo simulacı́ch . . . . . . . . .
6.7 Časoprostorové rozloženı́ vzniku K-α fotonů v hlinı́kovém terči
6.8 Transformace energie laserového pulsu do pulsu K-α zářenı́ . .
50
50
51
53
56
58
59
61
64
Závěr
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
66
5
1
Úvod
Účelem této práce je studium některých aspektů interakce velmi krátkého intenzivnı́ho laserového pulsu s pevným terčem. Práce je zaměřena předevšı́m na transport rychlých elektronů, které při této interakci vznikajı́, a na vznik charakteristického zářenı́ při srážkách elektronů s atomy terče. K počı́tačové simulaci těchto procesů byla použita numerická simulačnı́
metoda Monte Carlo. Výsledkem simulacı́ jsou předevšı́m délky a výkony pulsů charakteristického rentgenového zářenı́ a jejich závislosti na parametrech laseru a materiálech terče
a uspořádánı́ experimentů. V simulacı́ch se podařilo předpovědět pulsy charakteristického
zářenı́ velmi krátké, s délkou řádu stovek femtosekund, a s využitı́m takového rentgenového
zářenı́ se počı́tá v řadě vědnı́ch oborů.
Při dopadu laserového zářenı́ na terč docházı́ různými procesy k částečné absorpci energie. Pro laserové vlny s vysokým výkonem je elektrické pole vlny řádově silnějšı́ než pole,
které váže elektrony k jádru atomu, a proto docházı́ v mı́stě dopadu zářenı́ k velmi rychlé ionizaci. Volné elektrony i ionty jsou potom vlnou laseru urychlovány, terč se v mı́stě dopadu
ohřı́vá a vzniká horké, husté plazma. Základnı́ vlastnosti tohoto plazmatu jsou významně
ovlivňovány parametry dopadajı́cı́ho laserového zářenı́. Většinu volných elektronů a iontů
v plazmatu lze přibližně popsat maxwellovským rozdělenı́m se střednı́ energiı́ v řádu desı́tek
či stovek eV. Těmto částicı́m se řı́ká tepelné, nebot’ určujı́ výslednou teplotu plazmatu.
Naproti tomu v laserovém plazmatu se někdy vyskytuje také nezanedbatelné množstvı́ elektronů a iontů s energiemi až o několik řádů vyššı́mi, kterým se řı́ká rychlé nebo horké.
Vysoká energie dovoluje těmto částicı́m pronikat mnohem hlouběji do terče, kde srážkami
s atomy postupně svou energii ztrácejı́. Při některých takových srážkách pak docházı́ k ionizaci ve vnitřnı́ch slupkách atomů terče. Ionizované atomy s elektronem, chybějı́cı́m ve
vnitřnı́ slupce, toto prázdné mı́sto velmi rychle zaplnı́ elektronem z nějaké vnějšı́ slupky
a zbavı́ se přebytečné energie. Tato energie bývá v některých přı́padech z atomu vyzářena
v podobě fotonu, který má u většiny atomů energii řádu jednotek až desı́tek keV a nacházı́
se tedy v rentgenovské části spektra.
Většina této práce je zaměřena právě na studium vzniku a transportu rychlých elektronů, ionizace ve vnitřnı́ch slupkách atomů terče, vzniku rentgenovských fotonů a jejich
transportu v terči. Těmto tématům se obecně se také věnuje zbytek úvodnı́ kapitoly. Na jejı́m
konci jsou také popsány hlavnı́ důvody, které vedou ke studiu transportu rychlých elektronů
a vzniku rentgenovského zářenı́ při interakci velmi krátkého velmi intenzivnı́ho laserového
zářenı́ s pevnou látkou. Druhá kapitola se zabývá předpoklady a omezenı́mi zjednodušeného
fyzikálnı́ho modelu, ze kterého vycházı́ tato práce. Ve třetı́ kapitole je popsán mechanismus
simulace transportu rychlých elektronů pomocı́ metody Monte Carlo a ve čtvrté kapitole jsou
popsány některé vlastnosti vytvořeného počı́tačového kódu. Na konci čtvrté kapitoly jsou
výsledky některých úloh použitých k ověřenı́ funkčnosti vytvořeného počı́tačového kódu.
Pátá kapitola popisuje vznik a transport rychlých elektronů v hydrodynamických simulacı́.
V kapitole šesté jsou uvedeny výsledky simulacı́ a některá porovnánı́ s výsledky jiných simulacı́ nebo experimentů.
6
1.1 Vývoj laserové techniky
Prvnı́ teoretické základy, které později vedly až k objevenı́ laseru (Light Amplification by
the Stimulated Emission of Radiation) položil již v roce 1916 Albert Einstein, když při
důkazu Planckova vyzařovacı́ho zákona předpověděl existenci stimulované emise zářenı́.
Téměř půl stoletı́ trvalo, než se v roce 1960 podařilo Theodoru Maimanovi sestrojit prvnı́
fungujı́cı́ laser, emitujı́cı́ zářenı́ ve viditelné oblasti spektra. Od té doby se laserová technika
intenzivně rozvı́jı́ a rostou také možnosti vytvářenı́ časově krátkých pulsů laserového zářenı́
s vysokým výkonem. Za přelom ve vývoji laserů s vysokým výkonem a velmi krátkými
pulsy zářenı́ lze považovat vynález technik Q-spı́nánı́ (Q-switching) a synchronizace módů
(mode locking) koncem 60. let a zejména techniky CPA (Chired Pulse Amplification) koncem let 80. Dı́ky tomuto pokroku je dnes možné v nejlepšı́ch laboratořı́ch vytvářet pulsy
laserového zářenı́ s výkonem řádu petawattů trvajı́cı́ pouze několik desı́tek femtosekund. Pro
menšı́ laboratoře zároveň začı́najı́ být dostupné laserové systémy s terawattovými výkony,
zvané table-top-terawatt. Vývoji vysoce výkonných laserů a studiu interakce jejich zářenı́
s látkou se v poslednı́ době věnuje stále většı́ pozornost zejména v souvislosti s inerciálnı́
fúzı́ jako potenciálnı́m zdrojem elektrické energie pro budoucı́ generace, ale také jako velmi
intenzivnı́mu zdroji rentgenového zářenı́.
1.2 Interakce velmi krátkého intenzivnı́ho laserového zářenı́ s pevnými
terči
Jak již bylo řečeno, elektrické pole laserových paprsků s vysokým výkonem sfokusovaných
do malé oblasti terče je podstatně vyššı́ než elektrické pole, kterým jsou k jádru atomu
vázány některé elektrony. Při dopadu takového laserového paprsku tedy docházı́ k velmi
rychlé ionizaci atomů u povrchu terče a tedy i ke vzniku volných elektronů. Volné elektrony i ionty postupně zı́skávajı́ od laserové vlny dalšı́ energii a začnou vyletovat z terče
ven do volného prostoru. Tak se hranice mezi plazmatem na povrchu terče a prostředı́m,
které terč obklopuje, postupně stává nezřetelnou. Z hlediska vzniku rychlých elektronů při
interakci subpikosekundových laserových pulsů s pevnými terči jsou nejzajı́mavějšı́mi absorpčnı́mi procesy vakuový ohřev a rezonančnı́ absorpce. Aby byla rezonančnı́ absorpce
účinná, je třeba, aby laserový puls dopadal na profil hustoty s konečnou charakteristickou
délkou, a proto se ke zvýšenı́ absorpce často použı́vá laserový předpuls. V takovém přı́padě
jsou podmı́nky na hranici terče z hlediska absorpce důležité a právě takovým přı́padem se
tato práce přednostně zabývá.
Pro nižšı́ intenzity laserového zářenı́ dopadajı́cı́ho na pevný terč byl již na konci 80. let
vypracován model absorpce [1], založený na srážkových procesech. Tento model je použitelný pro laserové zářenı́ s Iλ2 ≤ 1015 W/cm2 , (I je intenzita laserového paprsku v mı́stě
dopadu a λ je vlnová délka laseru), kde je v poměrně dobré shodě s experimentem. Při
vyššı́ch intenzitách ale v důsledku ohřevu plazmatu klesá efektivnı́ srážková frekvence a
srážky jako absorpčnı́ proces ztrácejı́ na důležitosti. Dominantnı́mi absorpčnı́mi procesy se
stávajı́ již zmı́něná rezonančnı́ absorpce a vakuový (Brunelův) ohřev.
Rezonančnı́ absorpce je nejúčinnějšı́ při šikmém dopadu p-polarizované elektromagnetické vlny na povrch plazmatu s nadkritickou hustotou. Tato vlna se v plazmatu postupně
7
stáčı́ až je, v mı́stě svého obratu, kde relativnı́ permitivita ε = sin2 θ (θ je úhel dopadu vlny),
kolmá k povrchu terče. Z tohoto mı́sta proniká pole s exponenciálnı́m útlumem dále do
plazmatu až do mı́sta kritické hustoty. To je mı́sto, kde se frekvence vlny rovná plazmové
frekvenci ω = ωp , tedy kritická hustota je nc = 0 mω 2 /e2 . Tam se energie vlny transformuje
v energii vlny plazmové. Plazmová vlna se pak šı́řı́ do podkritického plazmatu a postupně se
absorbuje binárnı́mi srážkami elektronů s ionty, Landauovým útlumem, nebo při vysokých
intenzitách a L ' λ nelineárnı́m procesem, nazývaným lámánı́ vln. Právě při Landauově
útlumu a lámánı́ vln vznikajı́ rychlé elektrony.
Druhý důležitý proces z hlediska vzniku rychlých elektronů je vakuový ohřev. Ten se
uplatňuje zejména v situaci, kdy je hustotnı́ profil plazmatu na povrchu terče strmý a šı́řka
rezonančnı́ oblasti, kde může docházet k rezonančnı́ absorpci, přı́liš malá. Kvantitativně to
lze vyjádřit podmı́nkou, že amplituda oscilacı́ elektronů v poli laserové vlny je většı́ než
délka hustotnı́ho profilu. Při vakuovém ohřevu vyletujı́ elektrony z plazmatu ven do volného
prostoru, tam se obracı́ a jsou urychlovány elektrickým polem p-polarizované složky laserové
vlny zpět do terče, vše během poloviny periody laseru. Elektrické pole ve skinové vrstvě
na povrchu terče přitom nenı́ dost silné na to, aby elektrony výrazně brzdilo a elektrony
pronikajı́ hlouběji do terče, kde se jejich energie měnı́ v tepelnou.
1.3 Vznik rychlých elektronů
Většina elektronů v plazmatu, vznikajı́cı́m při dopadu femtosekundových laserových pulsů
o intenzitě řádu 1016 W/cm2 na pevný terč, má energii řádu stovek elektronvoltů. Tyto elektrony jsou označovány jako tepelné, protože určujı́ výslednou elektronovou teplotu plazmatu
a dajı́ se přibližně popsat maxwellovským rozdělenı́m. Naproti tomu v mnoha situacı́ch se
v laserovém plazmatu vyskytujı́ i elektrony, které majı́ energii až o několik řádu vyššı́. Tyto
elektrony jsou označovány jako rychlé, přı́padně jako horké, a způsobujı́ změnu energetického rozdělenı́ elektronů. Energetické rozdělenı́ tepelných i rychlých elektronů současně
je v takovém přı́padě možné přibližně popsat dvouteplotnı́m maxwellovským rozdělenı́m.
Ke vzniku rychlých elektronů v laserovém plazmatu přispı́vá vakuový ohřev a rezonančnı́
absorpce. Při rezonančnı́ absorpci vzniká v kritické ploše plazmová vlna, která se šı́řı́ do
podkritického plazmatu. Při svém šı́řenı́ zachycuje některé elektrony a ty jsou urychlovány
elektrickým polem vlny převážně směrem do vakua. Dı́ky elektrickému poli na hranici plazmatu s vakuem se tyto elektrony obrátı́ a vracı́ se s vysokou rychlostı́ zpět do terče, kde
předávajı́ srážkami svou energii elektronům pomalejšı́m.
Absorpcı́ laserového zářenı́ a vznikem rychlých elektronů se ve své práci zabývá kolega
Vladislav Bı́na [2] pomocı́ Particle-In-Cell simulacı́. Na jeho výzkum navazuje moje práce,
která se věnuje přednostně transportu rychlých elektronů a ionizacı́m v K slupkách atomů
terče.
1.4 Transport rychlých elektronů
Zatı́mco chovánı́ tepelných elektronů v plazmatu lze poměrně dobře popsat rovnicemi hydrodynamiky, tedy jako pohyb tekutiny, pro rychlé elektrony je tento popis poněkud nevhodný.
Střednı́ volná dráha, tedy průměrná dráha, kterou elektron urazı́ mezi dvěma srážkami, je
8
závislá na rychlosti elektronu a pro rychlé elektrony bývá mnohonásobně většı́ než rozměry
plazmatu. Rychlé elektrony tedy poměrně snadno proletı́ vrstvou plazmatu na povrchu terče a
většinu energie ztrácejı́ až hluboko ve studené části terče. Tam jsou brzděny jednak nepružnými srážkami s atomy, při nichž docházı́ k ionizacı́m a excitacı́m, jednak přı́mo v elektrickém poli atomů vznikem brzdného zářenı́. I když nenı́ rychlých elektronů tolik jako elektronů tepelných, jejich proud je dostatečně velký, aby vytvořily makroskopické elektrické
pole, které je také brzdı́. Toto pole však nemá rozhodujı́cı́ vliv na transport elektronů při
intenzitách laseru nižšı́ch než 1018 W/cm2 [3]. Na energii rychlých elektronů má vliv také
potenciál, který v plazmatu vzniká v důsledku transportu tepelných elektronů. Tok tepelných
elektronů z povrchové vrstvy do terče musı́ totiž být kompenzován tokem volných elektronů
ze studenějšı́ části terče zpět do plazmatu, a tak v plazmatu vzniká makroskopické elektrické
pole, které tepelné i rychlé elektrony letı́cı́ do terče brzdı́ a naopak volné elektrony letı́cı́
z terče do plazmatu urychluje. Této a některým dalšı́m otázkám se budu podrobněji věnovat
v kapitole, zabývajı́cı́ se předpoklady fyzikálnı́ho modelu situace.
Pro simulace transportu rychlých elektronů v pevném materiálu se tradičně i v jiných
oborech fyziky (např. elektronové mikroskopii) použı́vá metody Monte Carlo. Ta byla použita i v této práci. Protože se ale jedná o metodu statistickou a také proto, že transport jednotlivých elektronů je na transportu dalšı́ch elektronů nezávislý, nenı́ tato metoda vždy
použitelná. V kapitole věnované transportu rychlých elektronů v hydrodynamických simulacı́ch je pak popsán postup, jakým je možné tento transport simulovat v některých hydrodynamických kódech, zabývajı́cı́ch se interakcı́ laserového zářenı́ s terčem.
1.5 Ionizace ve vnitřnı́ch slupkách atomů a vznik charakteristického
zářenı́
Při letu elektronu prostředı́m terče docházı́ mimo jiné i k nepružným srážkám. To jsou srážky,
při nichž se nezanedbatelně měnı́ energie elektronu a také kvantový stav atomu, který se
srážky účastnı́. Pravděpodobnosti takových interakcı́ jsou známy bud’ ve formě analytických
účinných průřezů, nebo jako experimentálně naměřené hodnoty. K ionizacı́m u atomů nejpravděpodobněji docházı́ ve vnějšı́ch elektronových slupkách nebo ve vodivostnı́ch elektronových pásech u kovů, protože tam jsou elektrony k jádru vázány nejslaběji. Rychlé
elektrony majı́ většinou dostatek energie i na to, aby vyrazily elektron ze slupky vnitřnı́,
tj. ze slupky nejblı́ž atomovému jádru.
Ionizované elektrony s chybějı́cı́m elektronem ve vnitřnı́ slupce se poměrně rychle vracı́
do základnı́ho stavu, nebo do stavu s nižšı́ energiı́. Dı́ra ve vnitřnı́ slupce se zaplnı́ elektronem z některé vnějšı́ slupky a přebývajı́cı́ energie se uvolnı́ bud’ vyzářenı́m dalšı́ho tzv.
Augerovského elektronu, nebo vyzářenı́m fotonu s charakteristickou energiı́. Celý proces je
schématicky znázorněn na obr. 1. Pravděpodobnosti vyzářenı́ Augerovského elektronu nebo
charakteristického zářenı́ jsou známy z některých experimentálnı́ch měřenı́, nebo z kvantových modelů. Pro atomy s nižšı́m atomovým čı́slem Z < 25 převažuje vznik Augerovských
elektronů, naopak pro atomy s vyššı́m atomovým čı́slem Z > 35 převažuje vznik charakteristického zářenı́. Toto charakteristické zářenı́ z vnitřnı́ch K (L) slupek má pro většinu atomů
poměrně vysokou energii (až několik desı́tek keV) a nacházı́ se tedy v rentgenové části spektra.
9
Obrázek 1:
Dva typy procesů, kterými se v atomu obsadı́ dı́ra v K slupce. Při prvnı́m vzniká Augerovský elektron,
při druhém K-α zářenı́.
1.6
Motivace studia transportu rychlých elektronů a vzniku K-α zářenı́
Jak již bylo řečeno na začátku této kapitoly, při interakci laserového zářenı́ s pevným
terčem vznikajı́ rychlé elektrony a při jejich transportu v terči pak vzniká charakteristické
rentgenové zářenı́. Toto zářenı́ má z hlediska využitı́ některé velmi zajı́mavé vlastnosti a je
jednı́m z hlavnı́ch důvodů studia interakce velmi krátkých laserových pulsů s plazmatem.
Předně při vhodné volbě experimentálnı́ch parametrů je transformace energie laserového
zářenı́ do energie pulsu K-α zářenı́ poměrně efektivnı́ a ozařovaný terčı́k, který může
mı́t rozměry pouhých několika µm, se tak stává intenzivnı́m rentgenovým zdrojem. Dalšı́
výhodou K-α zářenı́ je kvazimonochromatičnost. Dı́ky této vlastnosti je možné zářenı́ dobře
fokusovat na pozorovaný objekt. Výhodou oproti jiným zdrojům rentgenového zářenı́ je také
možnost vytvářet pulsy K-α zářenı́ velmi krátké, v našich simulacı́ch se podařilo předpovědět
zářenı́ s FWHM, tedy šı́řkou v polovině výšky pulsu, rovným několika stům femtosekund a
v některých přı́padech by se dalo dosáhnout i pulsů s FWHM řádu desı́tek femtosekund.
V neposlednı́ řadě lze za výhodu laserem generovaných pulsů K-α zářenı́ považovat to,
že jako zdroj laserového zářenı́ se dá použı́t systém table-top-terawatt. Jedná se o laser,
který se v podstatě vejde na jednu optickou lavici a jeho pořizovacı́ hodnota se dnes pohybuje ve stovkách tisı́c dolarů. To je nesrovnatelně méně, než jaké jsou náklady na výstavbu
synchrotronu, který se dnes jako zdroj rentgenového zářenı́ podobných vlastnostı́ použı́vá.
Kromě charakteristického zářenı́ s čárovým spektrem je možné použı́t laser i jako zdroj
brzdného zářenı́ se spojitým spektrem. K tomu jsou potřeba laserové pulsy o velmi vysoké
intenzitě (> 1018 W/cm2 ), které mohou urychlit elektrony na ještě vyššı́ energie (až řádu
jednotek MeV). Tyto elektrony pak vytvářejı́ předevšı́m brzdné zářenı́ s vysokými energiemi
fotonů. V našem přı́padě však brzdné zářenı́ přispı́vá k celkovému vyzářenému výkonu jen
nepatrně.
Velmi krátké rentgenové pulsy majı́ celou řadu možných využitı́. Mezi nejdůležitějšı́
oblasti, kde se o jejich využitı́ uvažuje, patřı́ zejména zı́skávánı́ lékařských snı́mků a snı́mků
10
v biologii, sledovánı́ chemických a fyzikálnı́ch procesů na atomárnı́ úrovni s pikosekundovým časovým rozlišenı́m, litografie. V budoucnosti se uvažuje i o využitı́ kvazimonochromatičnosti vznikajı́cı́ho rentgenového zářenı́ k efektivnı́mu buzenı́ některých jaderných reakcı́, vedoucı́ch ke vzniku kvazimonochromatického zářenı́ γ. Ačkoliv využitı́ laserem generovaného rentgenového zářenı́ je v lékařstvı́, biologii i chemii spı́še otázkou budoucnosti,
v některých laboratořı́ch už proběhly prvnı́ pokusy, při nichž bylo toto zářenı́ použito ke sledovánı́ pohybů krystalové mřı́žky při některých dějı́ch. Toto sledovánı́ umožňuje rentgenová
difraktometrie, která využı́vá efektu interference zářenı́ od sousednı́ch vrstev atomů ke
zı́skánı́ informacı́ o struktuře materiálu. Z takových informacı́ lze zjistit i polohy jednotlivých
atomů a délky jejich vazeb. Velmi významnými aplikacemi v tomto směru jsou sledovánı́
fázových změn, změn termodynamických veličin a šı́řenı́ rázových vln právě při interakcı́ch laserového zářenı́ s terčem a to s pikosekundovým rozlišenı́m. Experimenty, které
proběhly [4], [5], [6] byly většinou založeny na technice pump-probe. Tato technika je
založená na tom, že se laserový paprsek rozdělı́ na paprsky dva a v terči se ozářenı́m prvnı́m
paprskem vyvolajı́ změny, které lze poté sledovat ozářenı́m stejného mı́sta rentgenovým
zářenı́m. Rentgenové zářenı́ je přitom vytvořeno druhým laserovým paprskem a oba paprsky
lze časově synchronizovat tak, že je možné sledovat časový vývoj změn v terči.
Velmi důležité jsou znalosti o transportu rychlých elektronů také pro inerciálnı́ fúzi,
konkrétně pro koncept nazývaný Fast Ignition (rychlé zapálenı́) [7]. V tomto přı́padě by
mělo být palivo v terčı́ku nejprve stlačeno na vysokou hustotu a poté by měla být část ohřáta
proudem nabitých částic na teplotu potřebnou k zažehnutı́ fúze. V této souvislosti se uvažuje
o zahřátı́ paliva bud’ rychlými elektrony nebo rychlými ionty.
Studium transportu rychlých elektronů je v neposlednı́ řadě důležité i v elektronové
mikroskopii [8] a v dozimetrii napřı́klad pro studium vlastnostı́ některých detektorů. Již v 60.
letech vznikly v této souvislosti prvnı́ programy Monte Carlo simulacı́ transportu elektronů,
které byly v poměrně dobré shodě s tehdejšı́mi experimenty. V té době se také použitı́ Monte
Carlo technik transportu elektronů rozšı́řilo a byly vypracovány některé nové zjednodušujı́cı́
metody. Přı́kladem je i metoda grupovaných srážek, která simulace velmi zjednodušuje a
umožňuje provádět i náročnějšı́ výpočty s mnoha částicemi na stolnı́ch počı́tačı́ch. Použitı́
metody Monte Carlo umožňuje studovat četnosti a energetická spektra zpětně rozptýlených
elektronů i elektronů, které projdou terčem, vznik a transport druhotných elektronů, množstvı́
energie deponované elektrony v jednotlivých částech terče i vznik charakteristického a
brzdného zářenı́. To vše lze studovat i u terčů složených z několika různých materiálů a
u terčů s komplikovanou geometriı́. Jak již bylo řečeno, i když Monte Carlo simulace nejsou
použitelné vždy, pro aplikace v dozimetrii a elektronové mikroskopii jsou jejich výsledky
v poměrně dobré shodě s experimenty a technika Monte Carlo je v těchto oborech dnes již
běžně použı́vána.
1.7 Jaderné procesy indukované laserovým zářenı́m
V poslednı́ době se v souvislosti s vysokými výkony laserů začı́najı́ zkoumat i možnosti
laserem indukovaných jaderných reakcı́. Při interakci laserového zářenı́ s vysokým výkonem
s pevným terčem nevznikajı́ zpravidla jen rychlé elektrony, ale také rychlé protony a ionty
(rychlé protony vznikajı́ kvůli přı́tomnosti malého množstvı́ vodnı́ páry na povrchu terče).
11
Rychlé protony a rychlé těžké ionty mohou pak být využity pro některé jaderné procesy
přı́mo. Napřı́klad svazkem rychlých protonů lze pomocı́ reakcı́ (p,n) a (p,α) vytvořit izotopy
11
C a 13 N [9], které se potom využı́vajı́ v pozitronové emisnı́ tomografii. Rychlé těžké ionty
je možné využı́t v některých reakcı́ch, při nichž docházı́ k jejich slučovánı́ s jádry atomů.
Rychlé elektrony se nepoužı́vajı́ k indukovánı́ jaderných procesů přı́mo. Využı́vá se
ale toho, že při jejich transportu v terči vzniká charakteristické a brzdné zářenı́. Charakteristické zářenı́ vzniká v důsledku ionizacı́ ve vnitřnı́ch slupkách atomů a jeho spektrum je
čárové. Právě této vlastnosti charakteristického zářenı́ lze v některých přı́padech velmi efektivně využı́t napřı́klad k excitaci izomerů jader [10] na vyššı́ nestabilnı́ hladiny. Při jejich
deexcitaci se pak vyzářı́ kvantum γ zářenı́ s energiı́ daného přechodu. Tak je možné zı́skat
poměrně intenzivnı́ zdroj kvazimonochromatického zářenı́ γ.
Brzdné zářenı́ má naopak spektrum spojité a vzniká nejefektivněji při transportu velmi
rychlých elektronů v materiálu s vysokým atomovým čı́slem Z. Zatı́mco energie charakteristického zářenı́ se pohybujı́ v řádech jednotek až desı́tek keV, maximálnı́ energie brzdného
zářenı́ je omezena maximálnı́ energiı́ rychlých elektronů a dosahuje tedy v některých přı́padech až desı́tek MeV. Tyto fotony pak mohou být použity pro indukovánı́ štěpných reakcı́
a také k některým aktivacı́m nebo transmutacı́m jader. Zajı́mavou aplikacı́ by v budoucnosti mohla být napřı́klad transmutace Technecia 99 Tc, které vzniká jako vedlejšı́ produkt
štěpných reakcı́ v jaderných reaktorech a které má dlouhý poločas rozpadu. Technecium
99
Tc je možné transmutacı́ převést na 96 Tc, které má poločas rozpadu pouze 4.28 dne. Dalšı́
podrobnosti o zmı́něných aplikacı́ch je možné najı́t v přehledovém článku [11].
12
2
Popis interakce laseru s plazmatem a transportu
rychlých elektronů pomocı́ počı́tačového modelu
Při studiu interakce laserového zářenı́ s terčem jsme se zaměřili na situaci, kdy na
nekonečně tlustý terč z pevného materiálu s tenkou vrstvou plazmatu na povrchu, dopadá
pod určitým úhlem intenzivnı́ p-polarizovaný laserový puls. Plazma na povrchu terče přitom
bylo vytvořeno předpulsem o mnohem menšı́ intenzitě. Nabité částice, předevšı́m elektrony,
z plazmatu vyletujı́ do volného prostoru a plazma expanduje. Délka hustotnı́ho profilu na
hranici terče je v takovém přı́padě závislá na době, která uplyne mezi přı́chodem předpulsu a
hlavnı́ho pulsu. Jestliže předpokládáme izotermálnı́ expanzi plazmatu do vakua, pak hustotnı́
profil exponenciálně klesá s charakteristickou délkou (density scale length) L, vyjádřenou
v násobcı́ch vlnové délky laseru, přičemž na vzdálenosti x = L od povrchu terče poklesne
hustota na 1/e původnı́ hodnoty.
Za elektronovou i iontovou teplotu a střednı́ ionizaci v plazmatu byly dosazeny přibližné
odhady hodnot a byla studována i závislost na těchto parametrech. Ve většině výpočtů byl
za materiál terče zvolen hlinı́k, protože některé výsledky simulacı́ a experimentů s nı́m byly
již publikovány a byla tedy možnost srovnánı́. Později byly některé simulace provedeny i
s mědı́.
Bylo by velmi obtı́žné sestavit jeden komplexnı́ model, který by dokázal popsat absorpci
laserového zářenı́, vývoj plazmatu, vznik a transport rychlých elektronů i vznik a transport
charakteristického zářenı́. Pro takové komplexnı́ simulace se někdy použı́vajı́ modely, které
považujı́ plazma za jednu nebo vı́ce tekutin a procesy v plazmatu popisujı́ pomocı́ rovnic hydrodynamiky. Tyto modely ale většinou nesimulujı́ dostatečně přesně ani vznik ani transport
rychlých elektronů. Pro popis absorpce laserového zářenı́ a vzniku rychlých elektronů se pak
nejvı́ce hodı́ tzv. Particle-In-Cell (PIC) simulace. Tyto simulace vždy nahrazujı́ určitý počet
reálných částic jednou makročásticı́ a studujı́ pak jejı́ pohyb v poli laseru i v poli okolnı́ch
makročástic. Aby bylo dosaženo dostatečně přesných výsledků, je většinou třeba počı́tat pohyb až několika miliónů makročástic. To je velmi výpočetně náročné, a proto mohou PIC
simulace popisovat pouze malou oblast terče. Nejsou tedy vhodné pro výpočty souvisejı́cı́
s transportem rychlých elektronů. Jak již bylo řečeno v úvodnı́ části, pro popis transportu
rychlých elektronů a procesů s nı́m souvisejı́cı́ch, se velmi často s poměrně dobrou přesnostı́
použı́vajı́ simulace Monte Carlo. V našem přı́padě tedy kolega Vladislav Bı́na simuloval pomocı́ PIC kódu úzkou vrstvu plazmatu na povrchu terče a studoval absorpci laserového zářenı́
a vznik rychlých elektronů. Já jsem potom pomocı́ Monte Carlo simulacı́ modeloval transport
rychlých elektronů a vznik K-α zářenı́ hlouběji ve studené a pevné části terče. Vstupy pro
mé simulace byly rychlé elektrony vyletujı́cı́ z plazmatu směrem do terče, což byly zároveň
výstupy simulacı́ PIC. Uvádı́m tedy pro upřesněnı́ i některé podrobnosti, týkajı́cı́ se PIC
simulacı́, nebot’ jejich výsledky byly pro mou práci velmi důležité. Na obr. 2 je schematicky
znázorněno rozdělenı́ terče na dvě simulačnı́ oblasti popisované pomocı́ PIC a Monte Carlo
simulacı́.
13
Obrázek 2:
Fyzikálnı́ model interakce laserového zářenı́ s plazmatem, vzniku rychlých elektronů a K-α zářenı́.
Rozdělenı́ na oblast plazmatu, kterou se zabývá Particle-In-Cell simulace kolegy Vladislava Bı́ny, a
na oblast studeného pevného materiálu, kterou se zabývajı́ mé Monte Carlo simulace.
2.1
Particle-In-Cell simulace
Pro simulovánı́ absorpce laserového zářenı́ a vzniku rychlých elektronů ve vrstvě plazmatu
na povrchu terče byly použity Particle-In-Cell simulace. Původnı́ simulačnı́ kód LPIC++
vytvořený v Max-Planck-Institute für Quantenoptik v Garchingu pro potřeby těchto simulacı́
upravil kolega Vladislav Bı́na. Jedná se 1D3V kód. V simulacı́ch se tedy počı́tá s jednou
prostorovou souřadnicı́ a třemi rychlostnı́mi souřadnicemi. Šikmý dopad laseru je řešen
transformacı́ soustavy terče do soustavy, pohybujı́cı́ se podél rozhranı́ takovou rychlostı́, aby
v nı́ laserové zářenı́ dopadalo kolmo. Do modelu byly přidány Coulombovské srážky, s jejichž použitı́m jsou simulace přesnějšı́. Výsledky prezentované v této práci však pocházejı́
ještě ze simulacı́ beze srážek. Aby nenarůstal v simulačnı́ oblasti celkový elektrický náboj,
jsou rychlé elektrony, které vyletujı́ ze zadnı́ strany simulačnı́ oblasti, nahrazovány elektrony za studenějšı́ části terče, které majı́ počátečnı́ teplotnı́ rozdělenı́. Detailnı́ informace
14
o programu, jeho úpravách, parametrech simulacı́ i výsledcı́ch jsou v již citované diplomové
práci [2].
2.2 Makroskopické elektrické pole indukované v plazmatu
V přı́padě absorpce intenzivnı́ch pulsů zářenı́, tedy v přı́padě, kterým se také zabývá
tato práce, vzniká dosti značné množstvı́ volných tepelných a v některých přı́padech také
rychlých elektronů. Tepelné elektrony se šı́řı́ v důsledku tepelného toku z oblasti horkého
plazmatu dále do pevné studené části terče a vytvářejı́ proud s velmi vysokou proudovou
hustotou a v plazmatu vzniká makroskopické elektrické pole. Otázkou zůstává, jak je toto
pole veliké a jestli bude mı́t vliv na transport rychlých elektronů. Protože někteřı́ autoři
uvádějı́ [12], že toto pole na transport rychlých elektronů vliv mı́t, a to již pro intenzity
laserového zářenı́ I = 1017 W/cm2 , pokusili jsme se jeho vliv přibližně odhadnout,
respektive zjistit velikost tohoto pole v plazmatu. Následujı́cı́ odhady platı́ pro parametry
laserového pulsu a terč, který byl ve většině simulacı́ použit.
Jedná se o 120 fs laserový puls s vlnovou délkou λ = 0.8 µm a maximálnı́ intenzitou
I = 4 · 1016 W/cm2 a předpuls o 100 krát menšı́ intenzitě. Předpuls i hlavnı́ puls dopadajı́
na hlinı́kový terč pod úhlem 45◦ . Z výsledků hydrodynamické simulace pomocı́ 1D kódu
Medusa [13], který je podrobněji popsán v kapitole, věnované transportu rychlých elektronů
v hydrodynamických simulacı́ch, vyplývá, že po přı́chodu maxima laserové vlny vznikne
v terči za kritickou plochou oblast, ve které průměrná ionizace atomů hlinı́ku dosahuje až 8
elektronů na atom. Tato oblast je přibližně 0.35µm široká, průměrná hustota se zde pohybuje kolem 1 g/cm3 a teplota elektronů zde dosahuje až 200 eV. Tyto hodnoty představujı́
tedy hornı́ odhady pro výpočet maximálnı́ proudové hustoty, kterou jsou schopny vytvořit tepelné elektrony a která může způsobit vznik makroskopického elektrického pole. K proudové
hustotě tepelných elektronů bude dále připočı́tána i proudová hustota elektronů rychlých,
z našich odhadů však vyplývá, že tato proudová hustota je řádově nižšı́. Počet tepelných
elektronů ve vrstvě plazmatu za kritickou plochou na jednotku objemu lze vyjádřit jako
Ne =
NA ρ Z z
,
A
(1)
kde NA je Avogadrova konstanta, ρ je hustota hlinı́ku, Zz je počet volných elektronů na
atom a A je atomová hmotnost hlinı́ku. Po dosazenı́ parametrů dostaneme zhruba 1.8 · 1023
elektronů na cm3 . Rychlost elektronů s kinetickou energiı́ 200 eV je přibližně 6 · 108 cm/s,
jsou tedy schopny proletět dráhu 0.35 µm zhruba za 60 fs. Dále předpokládáme, že alespoň
1/6 těchto elektronů letı́ směrem do studené části terče. Po vynásobenı́ počtu elektronů ve
vrstvě elementárnı́m nábojem a 1/6 a vydělenı́ časem 60 fs dojdeme k hodnotě proudové
hustoty 3.2 · 1012 A/cm2 .
Proudovou hustotu rychlých elektronů můžeme jednoduše zı́skat z PIC simulacı́. Z jejich výsledků jsme zjistili, že za dobu simulace, přibližně 450 femtosekund, z plazmatu vyletı́
na 1 cm2 přibližně 5 · 1017 elektronů. Tedy proudová hustota rychlých elektronů dosahuje
přibližně hodnot 1.8 · 1011 A/cm2 . Proudová hustota tepelných elektronů je tedy řádově většı́
a celková proudová hustota tepelných i rychlých elektronů je přibližně 3.4 · 1012 A/cm2 .
Pokud vezmeme v úvahu, že vodivost ve studenějšı́ části hlinı́kového terče je přibližně
15
2 · 106 (Ωm)−1 , vzniká tedy makroskopické elektrické pole o velikosti 1.7 · 108 V/cm. Rychlé a tepelné elektrony letı́cı́ z kritické plochy dál do plazmatu a do pevného terče
jsou v takovém přı́padě brzděny silou až 16.8 kV/µm. Tato sı́la by v simulacı́ch měla
pravděpodobně velký vliv na transport rychlých elektronů.
Na druhou stranu ale vrstva plazmatu, ve kterém tato sı́la působı́, je přibližně 0.35 µm
široká a většina tepelných elektronů se v důsledku působenı́ této sı́ly zastavı́. Dále do terče
proletı́ z kritické plochy jen elektrony s energiı́ většı́ než asi 6 keV. Těchto elektronů nenı́
podle výsledků PIC simulacı́ vı́ce než 5 · 1016 na cm2 . Dalo by se tedy přibližně řı́ct, že
v poměrně malé vrstvě plazmatu vzniká veliké makroskopické elektrické pole, které zabrzdı́
většinu tepelných elektronů s energiı́ do několika keV. Tı́m, že se tyto elektrony v plazmatu zabrzdı́, elektrické pole významně poklesne a na rychlejšı́ elektrony s energiı́ řádu
desı́tek až stovek keV nemá většı́ vliv. V některých Monte Carlo simulacı́ch jsme se pokusili
nahradit vliv tohoto elektrického pole eliminacı́ všech elektronů s energiı́ menšı́ než 5 keV
a odečtenı́m 5 keV od energie elektronů zbývajı́cı́ch. Ve výsledcı́ch Monte Carlo simulacı́
však nenastala žádná významná změna, a proto jsme došli k závěru, že v našem přı́padě
nemá makroskopické elektrické pole vznikajı́cı́ v plazmatu blı́zko povrchu pevného terče
v důsledku toku tepelných a rychlých elektronů významný vliv. Odhady v tomto odvozenı́
jsou samozřejmě velmi zjednodušené, odpovı́dajı́ ale přibližně na otázku o důležitosti vlivu
makroskopického elektrického pole ve vrstvě plazmatu mezi kritickou plochou a pevnou
studenou částı́ terče, která bývá kladena v článcı́ch, zabývajı́cı́ch se transportem rychlých
elektronů [12].
2.3
Monte Carlo simulace
K simulaci transportu rychlých elektronů a ionizace v K slupkách atomů studené části terče
byla použita metoda Monte Carlo. Studenou částı́ terče je zde myšlena pevná látka, složená
z neionizovaných nebo málo ionizovaných atomů. Simulace Monte Carlo počı́tá trajektorie
elektronů náhodně na základě analyticky vyjádřených účinných průřezů jednotlivých druhů
srážek. Srážky jsou rozděleny na pružné a nepružné, nepružné srážky se pak dělı́ dál podle toho, se kterou elektronovou slupkou letı́cı́ elektron interaguje. Při pružných srážkách
elektron ztrácı́ jen zanedbatelné množstvı́ energie, měnı́ se však jeho směr. Při nepružných
srážkách nebývá změna směru rychlosti elektronu tak veliká, elektron ale naopak ztrácı́
většı́ množstvı́ energie a může vzniknout i sekundárnı́ rychlý elektron. Obecně platı́, že
náboj, pohybujı́cı́ se v elektrickém poli, vyzařuje část své energie ve formě brzdného zářenı́
(bremsstrahlung). Zářı́ tedy i elektron pohybujı́cı́ se v elektrickém poli okolnı́ch atomů.
Brzdné zářenı́ je pak tı́m významnějšı́, čı́m většı́ má elektron energii a čı́m většı́ je atomové čı́slo okolnı́ch atomů. V přı́padě terče z hlinı́ku (mědi) a elektronů s energiı́ menšı́
než 500 keV se dá ztráta energie elektronu v důsledku vzniku brzdného zářenı́ zanedbat
nebo nahradit brzdnou silou (ztráta energie elektronu s energiı́ 500 keV v hlinı́ku v důsledku
vyzářenı́ brzdného zářenı́ je podle hodnot z databáze ESTAR [14] zhruba 100 krát menšı́
než ztráta způsobená nepružnými srážkami, u mědi je to zhruba 50 krát). Oproti jiným
Monte Carlo kódům byly v některých simulacı́ch velmi zjednodušeně započı́tány i ztráty
energie elektronů v důsledku brzděnı́ vyvolaného elektrickým polem, které sami rychlé
elektrony vytvářejı́. Aby bylo možné zı́skat informace o časovém rozloženı́ intenzity K-α
16
zářenı́, počı́tajı́ simulace z rychlosti a dráhy, kterou elektron urazil, také čas, ve kterém dojde k ionizaci v K slupce atomu. Pravděpodobnost, že ionizovaný atom vyzářı́ K-α foton je
pak vyjádřena fluorescenčnı́m poměrem, který je pro mnoho prvků přibližně znám. K relaxaci atomu a vyzářenı́ fotonu pak docházı́ téměř okamžitě, relaxačnı́ časy pro ionizovaný
atom s chybějı́cı́m elektronem v K slupce se pohybujı́ v jednotkách femtosekund. V přı́padě
vzniku K-α fotonu program vypisuje do souboru čas a hloubku v terči, ve kterých k jeho
vzniku došlo. Data jsou pak zpracována dalšı́m programem, který počı́tá úbytek intenzity
K-α zářenı́ při transportu fotonů zpět ke hranici terče. Tento úbytek je aproximován exponenciálnı́m Beerovým zákonem.
17
3 Transport rychlých elektronů pomocı́ metody Monte
Carlo
Simulačnı́ metoda Monte Carlo je vhodným nástrojem pro detailnı́ popis transportu elektronů, pozitronů, fotonů i neutronů a různých procesů s tı́m souvisejı́cı́ch. Výsledky simulacı́
transportu elektronů se pak uplatňujı́ zejména v elektronové a pozitronové povrchové spektroskopii, elektronové mikroskopii, elektronové spektroskopii založené na energetických
ztrátách (electron energy loss spectroscopy), elektronové mikroanalýze a při konstrukci detektorů. Monte Carlo kódy, ve kterých je implementován transport elektronů, se dajı́ rozdělit
do dvou kategoriı́ podle toho, jaké počátečnı́ kinetické energie elektrony majı́. Prvnı́ kategorie je určena přednostně pro elektrony s vysokou energiı́, vyššı́ než 100 keV. V této
kategorii existuje již celá řada simulačnı́ch kódů, mezi nejrozšı́řenějšı́ patřı́ ETRAN [15],
ITS3 [16], EGS4 [17], EGSnrc [18], GEANT [19], MCNP [20]. Do druhé kategorie patřı́
simulačnı́ kódy vhodné pro elektrony s menšı́mi energiemi v řádu jednotek až stovek keV,
které jsou důležité pro výpočty napřı́klad v elektronové mikroskopii a mikroanalýze. I jejich praktická použitelnost bývá však omezena platnostı́ použitých účinných průřezů nebo
brzdných sil, které nejsou pro velmi nı́zké energie známy s dostatečnou přesnostı́. Proto se
u většiny kódů spodnı́ hranice použitelnosti nacházı́ v rozmezı́ desı́tek eV až jednotek keV.
Mezi nejdůležitějšı́ práce v této kategorii patřı́ kniha D.C.Joye [8], z nı́ž vycházı́ i část této
práce. Druhým velmi důležitým zdrojem informacı́ pro mou práci byl manuál k simulačnı́mu
kódu PENELOPE (PENetration and Energy LOss of Positrons and Electrons) [21], který
spojuje přı́stupy kódů pro nı́zké i pro vysoké energie elektronů a je použitelný v oblasti energiı́ 100 eV-1 GeV. Tento kód však nebylo možné v našich simulacı́ch použı́t, nebot’ nemá
možnost časového rozlišenı́.
3.1 Základy metody Monte Carlo
Metoda Monte Carlo je numerická simulačnı́ metoda. Jejı́ rozvoj byl do značné mı́ry
podmı́něn dostupným výpočetnı́m výkonem počı́tačů. Výpočet je v této metodě založen
na modelovánı́ náhodných procesů a výsledky jsou zpracovávány statistickými metodami.
Pro dosaženı́ potřebné přesnosti je přitom třeba mnohanásobného opakovánı́ simulacı́. Jedna
z prvnı́ch pracı́, věnujı́cı́ se metodě Monte Carlo [22] uvádı́ následujı́cı́ definici - ”S použitı́m
techniky náhodného vzorkovánı́ na daný problém je možné předpovědět vlastnosti velkého
množstvı́ prvků na základě studia menšı́ho počtu prvků. Tato technika je podobná zjišt’ovánı́
veřejného mı́něnı́ průzkumem, kdy se od malého vzorku obyvatel zı́skávajı́ informace
o celkové populaci dané země.”
3.1.1
Historie metody Monte Carlo a generovánı́ náhodných čı́sel
Snad vůbec poprvé byla metoda Monte Carlo použita v roce 1777 Buffonem pro výpočet
hodnoty čı́sla π. Znovu se využitı́ vzorkovánı́ pomocı́ náhodných čı́sel objevilo až ve čtyřicátých letech minulého stoletı́ při realizaci projektu Manhattan, který vedl k vytvořenı́ prvnı́
18
atomové bomby. Sám název metody, ”metoda Monte Carlo”, se poprvé objevuje až v roce
1949. Asi prvnı́ho skutečného využitı́ se metoda Monte Carlo dočkala v roce 1954, kdy byl
Haywardem a Hubbellem [23] vytvořen jednoduchý model transportu fotonů a s pomocı́
stolnı́ počı́tačky vygenerováno 67 jejich trajektoriı́. Rozvoj Monte Carlo metod byl také do
určité mı́ry ovlivněn možnostı́ generovánı́ náhodných čı́sel. Od prvnı́ch pokusů, kdy byly
použity mechanické a později elektronické generátory náhodných čı́sel, se postupně rozvinuly techniky generovánı́ posloupnostı́ pseudonáhodných čı́sel pomocı́ počı́tačových programů. Generátor se vždy na začátku inicializuje nějakou hodnotou, napřı́klad systémovým
časem počı́tače, a od této hodnoty se pak odvozuje posloupnost náhodných čı́sel, nejčastěji
s rovnoměrným rozloženı́m v intervalu (0,1). Mezi populárnı́ a často použı́vané generátory
patřı́ napřı́klad generátor [24].
Rn = 75 Rn−1 mod( 231 − 1) , ξn =
Rn
.
−1
231
(2)
Čı́slem R0 je generátor inicializován a čı́sla ξn jsou pak pseudonáhodná čı́sla rovnoměrně
rozdělená v intervalu (0,1). Čı́slo R0 musı́ být menšı́ než 231 − 1 a perioda generátoru je řádu
109 . Po uplynutı́ periody se začı́ná posloupnost čı́sel opakovat znovu od začátku. V Monte
Carlo kódu byl použit generátor, podobný Fibonnaciho generátorům náhodných čı́sel, s rotacı́ bitů navı́c
Zn = (Yn−j + (Yn−k rotl r1 )) mod 2b/2 ,
(3)
Yn = (Zn−j + (Zn−k rotl r2 )) mod 2b/2 ,
Xn = Yn + Zn 2b/2 ,
k = 17 , j = 10 , r1 = 19 , r2 = 27 .
Xn je zde náhodné čı́slo rovnoměrně rozdělené v intervalu (0,1), rotl znamená rotace bitů
čı́sla o zadaný počet mı́st vlevo. Dalšı́ informace i zdrojový kód k tomuto generátoru jsou
dostupné v [25].
3.1.2
Transformace veličiny s rovnoměrným rozdělenı́m v intervalu (0,1) na spojitou
náhodnou veličinu se zadanou distribučnı́ funkcı́
V metodě Monte Carlo jsou pravděpodobnosti jednotlivých událostı́ popsány distribučnı́mi
funkcemi. Při simulacı́ch transportu části jsou tyto distribučnı́ funkce spojité a jsou vyjádřeny
pomocı́ diferenciálnı́ch účinných průřezů. Proto je potřeba odpovědět na otázku, jak se dá
transformovat náhodná veličina s rovnoměrným rozdělenı́m v intervalu (0,1) na veličinu popsanou daným diferenciálnı́m účinným průřezem. K této transformaci se nejčastěji použı́vá
metody založené na vlastnostech inverznı́ funkce k dané distribučnı́ funkci F . Algoritmus
této metody je následujı́cı́ [26]:
• generujeme náhodně čı́slo ξ s rovnoměrným rozdělenı́m v (0,1)
• nalezneme řešenı́ γ rovnice F (γ) = ξ
• čı́slo γ je realizacı́ náhodné veličiny s distribučnı́ funkcı́ F
19
Definujeme-li tedy
Rγ
F (γ) = R 0∞
0
σ(x)dx
,
σ(x)dx
(4)
kde σ(x) je daný diferenciálnı́ účinný průřez, můžeme z rovnice F (γ) = ξ v některých
přı́padech zı́skat hodnotu γ. Hodnota γ bývá většinou úhel, do kterého se částice při interakci
rozptýlı́, nebo energie, kterou částice při interakci ztratı́.
Dalšı́, méně efektivnı́, ale poměrně univerzálnı́ metodou je metoda zamı́tacı́. Algoritmus
této metody pro distribučnı́ funkci definovanou vztahem (4) na intervalu (a,b) je následujı́cı́:
• generuj náhodné čı́slo ξ1 s rovnoměrným rozdělenı́m na intervalu (a,b)
• generuj náhodné čı́slo ξ2 s rovnoměrným rozdělenı́m na intervalu (0,1)
• pokud ξ2 < F (ξ1 ) generuj čı́sla ξ1 , ξ2 znovu
• jinak je ξ2 realizacı́ náhodné veličiny s distribučnı́ funkcı́ F
Vı́ce informacı́ k tomuto algoritmu i k dalšı́m technikám transformace veličin s různými
distribučnı́mi na veličinu rovnoměrně rozdělenou v intervalu (0,1) je v knize [26].
3.2
Algoritmus Monte Carlo simulacı́ transportu částic
Obecně je možné shrnout algoritmus Monte Carlo simulacı́ transportu částic do následujı́cı́ch
bodů:
• ze znalosti kinetické energie částice se vypočı́tajı́ totálnı́ účinné průřezy všech
uvažovaných interakcı́ a k nim přı́slušejı́cı́ střednı́ volné dráhy
• poté se vypočı́tá celková střednı́ volná dráha a pomocı́ náhodného čı́sla se rozhodne
o délce trajektorie, kterou částice urazı́ do mı́sta dalšı́ interakce
• ze znalosti směru letu částice se vypočı́tá poloha interakce
• na základě totálnı́ch účinných průřezů jednotlivých interakcı́ se náhodně zvolı́ druh
interakce
– pokud při interakci docházı́ ke ztrátě energie částice, rozhodne se náhodně z diferenciálnı́ho účinného průřezu o množstvı́ ztracené energie a pokud při interakci
vznikne nějaká dalšı́ částice, zjistı́ se i jejı́ parametry
– pokud při interakci docházı́ ke změně směru letu dopadajı́cı́ částice, zjistı́ se
z diferenciálnı́ho účinného průřezu nový směr a transformuje se do laboratornı́
soustavy
• je-li nějaký druh interakce aproximován pomocı́ brzdné sı́ly, ubere se částici energie
na základě této sı́ly a délky trajektorie, kterou uletěla od mı́sta poslednı́ interakce
• zjistı́ se, zda částice nevyletěla ze sledovaného objemu a zda jejı́ energie neklesla natolik, aby se částice stala pro výsledky simulace nepodstatnou
20
• pokud částice z objemu nevyletěla a jejı́ energie je stále dost velká, algoritmus se
opakuje od začátku, v opačném přı́padě simulace částice končı́
Jednotlivé části algoritmu budou podrobněji rozebrány v následujı́cı́ch podkapitolách.
3.2.1
Účinné průřezy
Účinný průřez má rozměr plochy a je tedy možné ho zjednodušeně interpretovat jako část
jednotkové plochy takovou, že pokud částice dopadne na tuto plochu, dojde k interakci,
kterou účinný průřez popisuje. Diferenciálnı́ účinný průřez σ se použı́vá k popisu srážek a
bývá diferenciálnı́ v prostorovém úhlu rozptylu. Pro interakci i je možné ho vyjádřit jako
dN
,
n
dσi =
(5)
kde dN je celkový počet částic, které se při interakci i za jednotku času rozptýlı́ do diferenciálnı́ho prostorového úhlu, a n je celkový počet částic dopadajı́cı́ch za jednotku času
na jednotku plochy. Totálnı́ účinný průřez interakce je pak možné zı́skat z diferenciálnı́ho
integracı́, tedy pro účinný průřez interakce i diferenciálnı́ v úhlu rozptylu je totálnı́ účinný
průřez dán
Z
σi =
dσi dΩ .
(6)
Ω
Celkový účinný průřez všech interakcı́ je pak
σT =
m
X
σi .
(7)
i=1
Pokud docházı́ při interakci ke ztrátě energie částice, tedy k nepružné srážce, použı́vajı́ se
účinné průřezy, které jsou diferenciálnı́ i v této ztrátě energie.
Přesná znalost účinných průřezů je jednı́m z hlavnı́ch faktorů, který ovlivňuje přesnost
a použitelnost Monte Carlo simulacı́ transportu částic. V některých přı́padech se proto
použı́vajı́ semiempirické účinné průřezy. Do fyzikálnı́ch modelů se přidávajı́ konstanty, které
jsou dopočı́tány ze znalosti experimentálně naměřených hodnot.
3.2.2
Střednı́ volná dráha
Ze znalosti totálnı́ho účinného průřezu dané interakce je možné vypočı́tat střednı́ volnou
dráhu. To je průměrná dráha, kterou částice uletı́ do mı́sta dalšı́ interakce. Střednı́ volná
dráha interakce i je tedy
1
,
(8)
λi ≡
N σi
kde σi je totálnı́ účinný průřez interakce i a N představuje počet atomů v jednotkovém objemu. Tento počet dán vztahem
NA ρ
N =
,
(9)
A
21
kde A je atomová hmotnost, ρ je hustota materiálu a NA je Avogadrova konstanta
6.022142 × 1023 mol−1 . Celková střednı́ volná dráha, přı́slušejı́cı́ všem druhům interakcı́ je
pak λT = (N σT )−1 , nebo
m
X
1
1
=
.
(10)
λT
i=1 λi
Vzdálenost, kterou částice v Monte Carlo simulaci urazı́ je vypočtená ze střednı́ volné dráhy
náhodně. Pravděpodobnost, že částice uletı́ dráhu s při střednı́ volné dráze λ je
p(s) =
1 −s/λ
e
.
λ
(11)
Odhad skutečné vzdálenosti je pak za pomocı́ náhodného čı́sla ξ s rovnoměrným rozdělenı́m
v intervalu (0,1) vyjádřen z rovnice (4). Z toho pro dráhu s plyne
s = −λ ln(ξ) .
3.2.3
(12)
Směrové kosiny a transformace souřadnic
Směrové kosiny určujı́ směr dalšı́ho letu částice. Dále budou značeny cx , cy , cz a znamenajı́ v tomto pořadı́ kosiny úhlů mezi vektorem letu částice a souřadnicovými osami x, y, z.
Protože úhly rozptylu zı́skané z diferenciálnı́ho účinného průřezu jsou úhly vztažené ke
směru, odkud rozptylovaná částice do bodu interakce přilétla, je třeba tyto úhly transformovat do absolutnı́, laboratornı́ soustavy. Srážka elektronu s atomem a polárnı́ a azimutálnı́
úhly rozptylu θ a φ jsou znázorněny na obr. 3.
Obrázek 3:
Srážka elektronu s atomem. θ je polárnı́ úhel rozptylu a φ je azimutálnı́ úhel rozptylu.
Jak je z obrázku patrné, směr letu částice lze jednoznačně určit dvěma úhly, úhly rozptylu. Polárnı́ úhel rozptylu je θ ∈ (0, π) a azimutálnı́ úhel rozptylu je φ ∈ (0, 2π). Azimutálnı́
úhel φ bývá většinou dı́ky předpokladu izotropie materiálu v intervalu (0, 2π) rozdělen
rovnoměrně. Polárnı́ úhel rozptylu θ je zı́skán z diferenciálnı́ho účinného průřezu. Transformace těchto úhlů do laboratornı́ soustavy se potom dá provést složenı́m několika rotacı́ [21].
22
V tomto přı́padě se nejprve rotacı́ transformuje směr letu částice do směru osy z, pak se
provede rotace daná úhly θ, φ a nakonec se směr opět transformuje rotacı́, inverznı́ k 1. rotaci,
0
0
0
do soustavy laboratornı́. Výsledné vztahy pro nové směrové kosiny cx , cy , cz je možné zapsat
takto
sin(θ)
0
[cx cz cos(φ) − cy sin(φ)] ,
cx = cx cos(θ) + q
1 − c2z
(13)
sin(θ)
0
cy = cy cos(θ) + q
[cy cz cos(φ) + cx sin(φ)] ,
1 − c2z
(14)
0
cz = cz cos(θ) −
q
1 − c2z sin(θ) cos(φ) .
(15)
Tyto rovnice nejsou platné, pokud cz = ±1. V takovém přı́padě jsou nahrazeny vztahy
0
0
cx = ± sin(θ) cos(φ) ,
0
0
0
cy = ± sin(θ) sin(φ) ,
cz = ± cos(θ) .
(16)
0
Nové souřadnice x , y , z se potom zı́skajı́ ze starých x, y, z a dráhy s takto
0
0
0
x = x + cx s ,
3.2.4
0
y = y + cy s ,
0
0
z = z + cz s .
(17)
Aproximace brzdnou silou
U interakcı́, při nichž docházı́ ke ztrátě energie, ale přı́liš se neměnı́ směr letu částice, se často
využı́vá aproximace daného druhu interakce brzdnou silou, tzv. CSDA (Continuous Slowing
Down Approximation). Tato aproximace je většinou dána vztahem dE/ds, který vyjadřuje
úbytek energie na jednotku délky dráhy s. Tento člen lze zı́skat z diferenciálnı́ho účinného
průřezu dané interakce integracı́ přes ztráty energie jako
Z Wmax
dσ
dE
=
W
dW ,
ds
dW
0
(18)
kde W vyjadřuje ztrátu energie a Wmax je maximálnı́ možná ztráta energie, tedy zpravidla
samotná energie částice. Při simulacı́ch transportu elektronů s menšı́mi energiemi (řádu
desı́tek až stovek keV) se často použı́vá Betheho aproximace [8], kdy jsou všechny interakce, při nichž docházı́ ke ztrátám energie nahrazeny následujı́cı́ brzdnou silou
1.166 E keV
dE
Z
= −78500
ln
,
dS
AE
I
g cm2
(19)
kde Z a A jsou atomové čı́slo a atomová hmotnost materiálu terče, E je kinetická energie
elektronu a dS = ρ ds má rozměry plošné hustoty. I je tzv. střednı́ ionizačnı́ potenciál. Hodnoty I jsou pro mnoho druhů materiálů naměřené experimentálně, dajı́ se ale také přibližně
vypočı́tat ze vztahů [28]
58.5
(eV) pro Z ≥ 13 ,
Z 0.19
I = 11.5 Z (eV) pro Z ≤ 12 .
I = 9.76 Z +
23
(20)
(21)
3.3 Detailnı́ simulace nebo aproximace pomocı́ brzdné sı́ly
Přesnost Monte Carlo simulace je mimo jiné závislá na tom, které interakce jsou simulovány
přı́mo a které pouze v aproximaci brzdnou silou. Uvažovat všechny typy interakcı́ přı́mo
je samozřejmě lepšı́, pokud jsou k dispozici dostatečně přesné účinné průřezy. Na druhou
stranu tento postup velmi prodlužuje výpočetnı́ čas simulace, proto je v praxi využı́ván
téměř výhradně pro částice s nižšı́ kinetickou energiı́, maximálně několika set keV. I v tomto
přı́padě je však užitečné vyčlenit z interakcı́ ty, jejichž pravděpodobnost je velmi malá, a
nahradit je brzdnou silou. Modely využı́vajı́cı́ této techniky jsou nazývány hybridnı́. V simulacı́ch popsaných v této práci byl zvolen postup, při kterém jsou všechny typy srážek počı́tány
přı́mo, na základě účinných průřezů. Brzdnou silou jsou aproximovány pouze ztráty kinetické energie spojené se vznikem brzdného zářenı́. V kódu simulace je však zahrnuta i
možnost nahradit všechny interakce, při nichž docházı́ ke ztrátě energie, Betheho brzdnou
silou dle rovnice (19).
3.4 Interakce elektronů s atomy terče
Až doposud byl text v této kapitole platný pro Monte Carlo simulace transportu částic
obecně. Následujı́cı́ části se budou týkat konkrétně postupu, zvoleného v našem modelu.
Na úvod jsou na obr. 4 schematicky znázorněny jednotlivé typy interakcı́, kterými se budou
zabývat následujı́cı́ kapitoly.
Obrázek 4:
Jednotlivé typy interakcı́, uvažované v počı́tačovém modelu. W je ztráta energie elektronu, ES a θS
jsou energie a úhel letu elektronu, vyraženého ze slupky atomu.
Postup zvolený v počı́tačovém modelu simuluje jednak přı́mo pružné a nepružné srážky,
jednak vznik brzdného zářenı́ v aproximaci brzdné sı́ly. Ionizace v K slupce je počı́tána
zvlášt’, protože diferenciálnı́ účinné průřezy použité pro simulace nepružných srážek nepopisujı́ tuto ionizaci dostatečně přesně. Ionizace v K slupce může být do simulace přidána
následujı́cı́m způsobem. Již fungujı́cı́ kód transportu elektronů je ponechán nezměněn a
na konci každého kroku se testuje na základě pravděpodobnosti dané přesnějšı́m účinným
průřezem, zda na dráze, kterou urazil elektron od mı́sta poslednı́ interakce, k ionizaci
v K slupce nedošlo. Pokud se tak stalo, pozice, ve které došlo k ionizaci, je nalezena náhodně
s rovnoměrným rozdělenı́m na této dráze. Pravděpodobnost ionizace v K slupce je dána
Pion = s N σion ,
24
(22)
kde s je délka dráhy, N je hustota atomů v jednotkovém objemu viz. rovnice (9) a σion je
účinný průřez ionizace v K slupce. Tento postup pro ionizaci v K slupce byl již použit v [27].
Na obr. 5 je schematicky zachycen algoritmus počı́tačového kódu.
Obrázek 5:
Schématické znázorněnı́ algoritmu simulace transportu rychlých elektronů a vzniku K-α zářenı́
v terči.
25
3.4.1
Pružné srážky
Pružné srážky je možné definovat jako srážky, při nich zůstává kvantový stav atomu, se
kterým elektron interaguje, nezměněn. Při těchto srážkách právě docházı́ k největšı́m rozptylům elektronů na atomech prostředı́. Výrazně tedy ovlivňujı́ výslednou trajektorii elektronu.
Samozřejmě i při pružných srážkách docházı́ k částečné ztrátě energie elektronů, která se
přeměnı́ v kinetickou energii atomů terče. Jelikož ale tyto atomy majı́ mnohem většı́ hmotnost (∼ 3500 Z me ), je úbytek energie zanedbatelný. Napřı́klad pro elektrony s kinetickou
energiı́ 30 keV a atom hlinı́ku je předaná energie řádu meV. Toto zanedbánı́ je ekvivalentnı́
předpokladu nekonečné hmotnosti atomů prostředı́.
Pružné srážky se popisujı́ jako rozptyl dopadajı́cı́ch částic, v tomto přı́padě elektronů,
v elektrostatickém poli atomů. Pro jejich simulaci byl použit totálnı́ účinný průřez [29]
−21
σE = 5.21 × 10
4π
Z2
2
E α (1 + α)
E + 511
E + 1024
!2
cm2 ,
(23)
kde E je kinetická energie elektronu v keV, Z je atomové čı́slo atomů prostředı́ a α je stı́nı́cı́
faktor. Jedná se tedy o takzvaný stı́něný Rutherfordův účinný průřez. Stı́nı́cı́ faktor je aproximován analyticky [30]
0.67
−3 Z
.
(24)
α = 3.4 × 10
E
Z a E jsou opět atomové čı́slo a kinetická energie elektronu v keV. Stı́něný Rutherfordův
účinný průřez diferenciálnı́ v úhlu rozptylu je [31]
Z2
dσ
= 5.21 × 10−21 2
dΩ
E
E + 511
E + 1024
!2
1
sin2 ( 2θ ) + α
2 ,
(25)
symboly Z, E, α majı́ stejný význam jako předtı́m, θ je polárnı́ úhel rozptylu. Za pomoci
vztahu (4) je pak možné odvodit konečný vztah pro úhel rozptylu (pouze mı́sto integrace
přes x bude integrace probı́hat přes úhel rozptylu)
cos(θ) = 1 −
2αξ
,
(1 + α − ξ)
(26)
ξ je náhodné čı́slo rovnoměrně rozdělené v intervalu (0,1).
Platnost tohoto stı́něného Rutherfordova průřezu je omezena tı́m, že byl odvozen klasicky. Toto odvozenı́ lze považovat za dostatečně správné, pokud se neprojevujı́ efekty dané
vlnovým charakterem částic. Částice, jako vlnové klubko, musı́ tedy mı́t malý počátečnı́
rozsah a nesmı́ se během interakce podstatně rozplynout. Konkrétně pro elektrony je možné
považovat stı́něný Rutherfordův účinný průřez za dostatečně přesný pro atomy s nižšı́m atomovým čı́slem (Z < 30) a elektrony s vyššı́ energiı́ (E ≥ 20 keV). Účinný průřez, přesnějšı́
při nižšı́ch energiı́ch, může být odvozen kvantově napřı́klad metodou rozkladu do parciálnı́ch
vln. Jeden z takových účinných průřezů pro pružné srážky je Mottův účinný průřez. Za svou
menšı́ popularitu vděčı́ Mottův účinný průřez tomu, že nenı́ znám jako analytický vztah, existujı́ pouze rozsáhlé databáze energiı́ a k nim dopočtených úhlů rozptylu. Někdy je též možné
použı́t analytickou aproximaci tohoto totálnı́ho účinného průřezu pro pružné srážky [32]
σ =
3.0 × 10−18 Z 1.7
.
(E + 0.005 Z 1.7 E 0.5 + 0.0007 Z 2 E −0.5 )
26
(27)
3.4.2
Nepružné srážky
Při nepružných srážkách docházı́ u elektronů s nižšı́mi a střednı́mi energiemi k významným
ztrátám kinetické energie. Nepružné srážky jsou pro tyto elektrony, co do ztrát energie,
nejvýznamnějšı́m procesem. Odpovı́dajı́ za elektronové excitace a ionizace atomů prostředı́
a měnı́ se při nich kvantový stav atomů. Proto je jejich popis mnohem komplikovanějšı́ než
u srážek pružných.
Na začátku minulého stoletı́ se začal Born zabývat brzdnými silami a ztrátami energie při transportu nabitých částic v materiálu. Z jeho teorie vyplynuly také prvnı́ vztahy
pro účinné průřezy nepružných srážek. Tyto vztahy byly v zásadě správné, ale protože
v té době ještě nebyla tolik propracována kvantová teorie, některé parametry v nich nebylo
možné na základě teorie vypočı́tat. Na jeho práci potom v roce 1930 navázal Hans Albrecht Bethe [33]. Ten odvodil na základě prvnı́ Bornovi aproximace a kvantově mechanické teorie prvnı́ použitelné vztahy pro nepružné srážky elektronů s atomy a pro brzdnou
sı́lu, těmito srážkami způsobenou. V odvozenı́ Betheho vztahů se vyskytuje člen, popisujı́cı́
pravděpodobnosti excitacı́ atomu do jednotlivých energetických hladin, který se nazývá koeficient nepružných srážek (inelastic scattering form factor) a jeho obdoba v atomové fyzice
se pak nazývá zobecněná sı́la oscilátoru (generalized oscillator strength). Koncept se silami
oscilátoru je znám již od začátku 20. stoletı́, kdy se předpokládalo, že se elektrony v atomu
nacházı́ v rovnovážných pozicı́ch a na působenı́ elektromagnetické vlny reagujı́ oscilacemi.
Později byla tato teorie přepracována na základě kvantové mechaniky a zobecněná sı́la oscilátoru, které se někdy řı́ká Betheho plocha (Bethe surface) se zavádı́ jako
W
df(Q, W )
=
dW
Q
2
Z
i q rj
X
< Ψ|
e h̄ |Ψ0 > .
j=1
(28)
V tomto vztahu jsou Ψ0 a Ψ vlnové funkce základnı́ho a excitovaného stavu atomu, W je
ztráta kinetické energie dopadajı́cı́ho elektronu při srážce a Q je energie spojená se změnou
jeho hybnosti. Veličina Q v podstatě nahrazuje význam srážkového parametru v klasické
teorii srážek a nazývá se energie zpětného rázu (recoil energy). Q je definováno vztahem
Q≡
q
q2
= 2 E − W − 2 E (E − W ) cos θ ,
2m
(29)
kde q je změna hybnosti a θ je polárnı́ úhel rozptylu. Pokud předpokládáme amorfnı́
prostředı́ s náhodně orientovanými atomy, pak azimutálnı́ úhel rozptylu φ je náhodný úhel
s rovnoměrným rozdělenı́m v intervalu (0, 2 π). V takovém přı́padě je možné efekt, který
majı́ nepružné srážky na dopadajı́cı́ elektron, úplně popsat parametry W a Q.
Zobecněná sı́la oscilátoru tak, jak byla zavedena vztahem (28), plně charakterizuje materiál terče. Platı́ pro ni dva základnı́ vztahy, které ji spojujı́ s atomovým čı́slem Z a střednı́
ionizačnı́ energiı́ I, Betheho sumačnı́ pravidlo [34]
Z
∞
df(Q, W )
dW = Z
dW
0
a
Z ln I =
Z
0
∞
ln W
df(Q = 0, W )
dW .
dW
27
(30)
(31)
Betheho sumačnı́ pravidlo vede někdy k interpretaci zobecněného oscilátoru jako efektivnı́ho
počtu elektronů na jednotku změny energie W , které se účastnı́ interakce s energiı́ změny
hybnosti elektronu Q. Střednı́ ionizačnı́ energie I ze vztahu (31) vystupuje i v již zmı́něné
Betheově rovnici pro brzdnou sı́lu (19).
Zobecněná sı́la oscilátoru df(Q, W )/dW se někdy nazývá Betheho plochou proto, že
je reprezentována plochou nad rovinou (Q, W ). Bohužel je zobecněná sı́la oscilátoru dobře
analyticky známa jen pro vodı́kové ionty a elektronový plyn, ale i v těchto přı́padech jsou
vztahy pro jejı́ výpočet na použitı́ v simulacı́ch přı́liš komplikované. V některých situacı́ch
lze zobecněný oscilátor vypočı́tat numericky z kvantové teorie a tabelovat, ale rozsáhlé tabulky hodnot nejsou v Monte Carlo simulacı́ch také vhodné. Naštěstı́ je fyzika nepružných
srážek ovlivněna jen několika málo základnı́mi vlastnostmi Betheho plochy a je možné
vytvořit poměrně jednoduché modely zobecněného oscilátoru takové, že popis nepružných
srážek je realistický a konzistentnı́ s experimentálnı́mi měřenı́mi. Jedna z důležitých vlastnostı́ zobecněného oscilátoru je jeho chovánı́ pro Q → 0. V tomto přı́padě se zobecněné sı́le
oscilátoru řı́ká optická sı́la oscilátoru. Ta se dá určit z komplexnı́ dielektrické funkce (k, ω)
nebo ze vztahu [35]
mc
df(W )
=
σph (W ) ,
(32)
dW
2 π 2 e2 h̄
kde σph je účinný průřez pro absorpci fotonu s energiı́ W . Na základě Betheho odvozenı́ a
teorie zobecněných oscilátorů v roce 1963 Ugo Fano [36] odvodil vztah pro diferenciálnı́
účinný průřez σin , charakterizujı́cı́ nepružnou srážku elektronu s atomem obsahujı́cı́m Z
elektronů v základnı́m stavu
d2 σin
2 π e4
2 me c2
β 2 sin2 (θ) W 2 me c2
=
+
dW dQ
me v 2 W Q (Q + 2 me c2 ) [Q (Q + 2 me c2 ) − W 2 ]2
!
df(Q, W )
. (33)
dW
v = β c je rychlost elektronu a θ je úhel mezi vektory hybnosti před a po interakci, tedy
polárnı́ úhel rozptylu, daný vztahem
W2
Q (Q + 2 me c2 ) − W 2
cos θ = 2
1
+
β Q (Q + 2 me c2 )
2 W (E + me c2 )
2
!2
.
(34)
Prvnı́ sčı́tanec ve výrazu na pravé straně rovnice (33) popisuje interakci elektronu s okamžitým Coulombovým potenciálem atomu a v práci [36] je nazýván podélná srážka (longitudinal interaction). Druhý sčı́tanec popisuje interakci elektronu s atomem jako emisi a absorpci
virtuálnı́ho fotonu a v práci [36] je nazýván přı́čná srážka (transversal interaction).V rovnici
(33) pro pevnou látku a malou hodnotu Q přibude ještě jeden člen, tzv. oprava hustoty (density effect correction) D(Q, W ), která vyjadřuje reakci pevného materiálu jako dielektrika
na elektrické pole letı́cı́ho elektronu. Jinými slovy, schopnost atomů prostředı́ polarizovat se,
zmenšuje částečně četnost přı́čných srážek. Rovnice s tı́mto členem pak bude
d2 σin
df(Q, W ) 2 π e4
=
×
dW dQ
dW
me v 2
×
2 m e c2
+
W Q (Q + 2 me c2 )
(
(35)
β 2 sin2 (θr ) W 2 me c2
− D(Q, W )
[Q (Q + 2 me c2 ) − W 2 ]2
)!
28
.
Nepružné srážky je v dalšı́m popisu ještě vhodné rozdělit podle hodnoty Q, tedy velikosti
změny hybnosti. Jak již bylo řečeno, Q v tomto popisu nahrazuje srážkový parametr, a proto
se srážky rozdělujı́ na blı́zké Q W (close interactions) a vzdálené Q ' W (distant
interactions).
Použitý model účinného průřezu pro nepružné srážky založený na zobecněných silách
oscilátoru byl publikován v [37] a předpokládá se v něm, že každou elektronovou slupku
k v atomu lze považovat za δ-oscilátor charakterizovaný čı́slem fk a ionizačnı́ energiı́ Uk .
Jedná se o oscilátor s jednoduchým excitačnı́m spektrem popsaným pomocı́ Diracových δ
funkcı́ a Heavisidových Θ funkcı́
df k (Q, W )
= fk [δ(W − Wk ) Θ(Wk − Q) + δ(W − Q) Θ(Q − Wk )] .
dW
(36)
Prvnı́ člen v této rovnici reprezentuje vzdálené srážky s malým Q a rezonancı́ s energiı́
Wk . Druhý člen naopak popisuje blı́zké srážky s velikým Q a elektrony vázané v atomu se
v tomto přı́padě chovajı́, jako by byly volné a v klidu. Jedná se tedy v podstatě o binárnı́
srážky s elektrony atomu. Definovaný zobecněný oscilátor splňuje rovnici
Z
∞
0
df k (W, Q)
dW = fk
dW
(37)
pro všechna Q. Celkový zobecněný oscilátor pak je sumou
X df k (W, Q)
df(W, Q)
=
,
dW
dW
k
(38)
kde sčı́tacı́ index k jde přes všechny elektronové slupky v atomu včetně slupky vodivostnı́ ve
vodičı́ch nebo polovodičı́ch. Z předchozı́ rovnice (38) a z Betheho sumačnı́ho pravidla (30)
vyplývá interpretace fk jako počtu elektronů, reprezentovaných oscilátorem, tedy v podstatě
počtu elektronů v k-té slupce. Rezonančnı́ energie slupky Wk , s vyjı́mkou slupky vodivostnı́,
je dána
Wk = g Uk ,
(39)
kde Uk je ionizačnı́ energie k-té slupky a g je empirický Sternheimerův faktor stejný pro
všechny slupky. Tento faktor souvisı́ se střednı́ ionizačnı́ energiı́ vztahem
ln(g) = (Z − fcb )−1 [Z ln(I) − fcb ln(Wcb ) −
X
fi ln(Ui )] .
(40)
Označenı́ cb v těchto i dalšı́ch vztazı́ch znamená vodivostnı́ slupku (conduction band). Někdy
se pro vnitřnı́ slupky s ionizačnı́ energiı́ většı́ než 200 eV použı́vá hodnota faktoru g = 1.65,
která platı́ pro vodı́k. V následujı́cı́ tabulce jsou uvedeny hodnoty některých parametrů použitelných pro hlinı́k, přejaté z článku [38].
Prvek
Z
I (eV)
fcb
Wcb (eV)
g
Hlinı́k
13
166
3.1
15.0
2.62
Tabulka 1:
Některé parametry hlinı́ku použité v simulacı́ch.
29
Dalšı́ tabulka obsahuje hodnoty ionizačnı́ch energiı́ pro elektrony z jednotlivých slupek
atomu hlinı́ku a k nim přı́slušejı́cı́ zobecněné sı́ly oscilátorů, převzaté rovněž z [38].
Slupka
Zi
fi
Ui (eV)
1s1/2
2
1.65
1559
2s1/2
2
2.05
117.7
2p1/2
6
6.2
73.2
cb
3
3.1
–
Tabulka 2:
Zobecněné sı́ly oscilátorů a ionizačnı́ energie hlinı́ku použité v simulacı́ch.
S použitı́m zobecněného oscilátoru, definovaného výše, je účinný průřez pro nepružné srážky
rozdělen do třı́ přı́spěvků. Prvnı́ přı́spěvek σdist,l odpovı́dá vzdáleným podélným srážkám,
druhý přı́spěvek σdist,t vzdáleným přı́čným srážkám a třetı́ σclo srážkám blı́zkým.
d2 σin
d2 σdist,l
d2 σdist,t
d2 σclo
=
+
+
.
dW dQ
dW dQ
dW dQ
dW dQ
(41)
Označenı́ dist tedy odpovı́dá srážkám vzdáleným, označenı́ clo blı́zkým, dále t srážkám
přı́čným a l podélným. Jednotlivé účinné průřezy, odvozené v [21] z předchozı́ch vztahů,
uvádı́ následujı́cı́ tabulka.
typ interakce
vzdálená, podélná
diferenciálnı́ účinný průřez
d2 σdist,l
dW dQ
=
2 π e4
m e v2
P
k
fk
1
2 me c2
W Q (Q+2 me c2 )
×
× δ(W − Wk ) Θ(Wk − Q)
vzdálená, přı́čná
d2 σdist,t
dW dQ
=
e4
2π
me v 2
(
P
k
fk
1
W
ln
1
1−β 2
)
− β 2 − δF
×
× δ(W − Wk ) Θ(Wk − Q− ) δ(Q − Q− )
blı́zká
d2 σclo
dW dQ
=
2 π e4
me v 4
1
k fk W 2
P
1+
β 2 (E−W ) W −E W
E (W +2 me c2 )
!
×
× δ(W − Q) Θ(W − Wk )
Tabulka 3:
Diferenciálnı́ účinné průřezy pro nepružné srážky založené na zobecněné sı́le oscilátorů.
Symbol δF je už zmı́něný efekt změny hustoty (v předchozı́m textu značený D(Q, W )),
β je poměr rychlosti elektronu ku rychlosti světla, E je kinetická energie elektronu, v
je samozřejmě rychlost elektronu, me hmotnost elektronu a e náboj elektronu, fk jsou
30
zobecněné sı́ly oscilátorů, Wk jsou rezonančnı́ energie a Q− je minimálnı́ energie zpětného
rázu. Pro tuto energii platı́ vztah
Q± =
r q
h
E (E + 2 m c2 ) ±
q
(E − W ) (E − W + 2 m c2 )
i2
+ m2e c4 − me c2 . (42)
Hodnota Q+ bude využita v dalšı́ch vztazı́ch.
Pro výpočet δF existujı́ poměrně komplikované vztahy a protože vliv tohoto parametru
na výsledný účinný průřez nenı́ významný, byl v simulacı́ch původně vynechán. Později byl
tento člen do simulacı́ přidán, přičemž hodnoty δF , zı́skané z databáze ESTAR [14] jsou na
začátku simulace načteny do pole a v průběhu simulace jsou konkrétnı́ hodnoty vypočı́távány
lineárnı́ interpolacı́ v tomto poli.
Poslednı́ vztah v předchozı́ tabulce, vztah pro blı́zké srážky, nenı́ zcela správný. Do
vztahu musı́ být ještě započı́tána oprava kvůli nerozlišitelnosti elektronu dopadajı́cı́ho a elektronu volného, který se interakce účastnı́. K tomu je použita část vztahu pro účinný průřez
srážky elektronu s volným elektronem v klidu, kterou odvodil Möller. Pro tento účinný průřez
platı́
d2 σM
2 π e4 1
=
F (−) (E, W ) δ(W − Q) ,
dW dQ
me v 2 W 2
F
(−)
!2
W
(E, W ) = 1 +
E−W
a =
E
E + me c2
W
−
+a
E−W
(43)
W
W2
+ 2
E−W
E
!
,
(44)
!2
.
(45)
Po přidánı́ opravy do účinného průřezu bude pro blı́zké srážky platit vztah
d2 σclo
2 π e4 X
1
=
fk 2 F (−) (E, W ) δ(W − Q) Θ(W − Wk ) .
2
dW dQ
me v k
W
(46)
Kvůli tomu, že jsou elektrony při této srážce nerozlišitelné, je také maximálnı́ možná ztráta
kinetické energie Wmax = E/2, na rozdı́l od vzdálených srážek, kde je Wmax = E.
Jak již bylo řečeno v části práce věnované účinným průřezům, totálnı́ účinné průřezy se
zı́skajı́ integracı́ diferenciálnı́ch a to jednak přes energii Q od hodnoty Q− do hodnoty Q+ a
jednak přes energii W od 0 do Wmax . Pro totálnı́ účinné průřezy tedy platı́ vztahy
σdist,l
1
Wk Q− + 2 me c2
2 π e4 X
=
f
ln
k
me v 2 k
Wk
Q− Wk + 2 me c2
σdist,t
2 π e4 X
1
=
fk
2
me v k
Wk
σclo
(
1
ln
1 − β2
!
!
Θ(E − Wk ) ,
(47)
)
2
− β − δF
Θ(E − Wk ) ,
Z E/2
2 π e4 X
1
=
fk
F (−) (E, W ) dW ,
2
2
me v k
W
Wk
(48)
(49)
kde
Z
1
1
1
1−a
E−W
F (−) (E, W ) dW = − +
+
ln
2
W
W
E−W
E
W
31
!
+
aW
.
E2
(50)
Většina vztahů, použitých v následujı́cı́m algoritmu, pocházı́ z knihy [21] a
z článku [38].
Algoritmus simulace nepružných srážek je následujı́cı́:
• Pokud dojde k nepružné srážce, musı́ se nejprve rozhodnout o jaký typ srážky půjde.
Pravděpodobnosti jednotlivých typů srážek jsou dány podı́lem účinného průřezu dané
srážky ku celkovému účinnému průřezu všech nepružných srážek, tedy napřı́klad pro
blı́zké srážky
σclo
pclo =
.
σclo + σdist,t + σdist,l
• Když je rozhodnuto o typu srážky, je třeba rozhodnout o tom, o kterou elektronovou
slupku, respektive zobecněný oscilátor, se bude jednat. Podobně jako v předchozı́m
přı́padě jsou pravděpodobnosti jednotlivých oscilátorů dány podı́lem účinného průřezu
daného oscilátoru a celkového účinného průřezu dané interakce. Napřı́klad pro blı́zké
srážky a slupku i platı́
σclo,i
pclo,i = P
.
j σclo,j
• Poté se zjistı́ z daných diferenciálnı́ch účinných průřezů ztráta energie W a energie
zpětného rázu Q, tedy i úhel rozptylu cos(θ). Zde se algoritmus dělı́ podle druhu srážek
na srážky blı́zké a vzdálené.
– Vzdálené srážky (distant interactions)
Při vzdálené srážce s i-tým oscilátorem, tedy s elektronem v i-té slupce je ztráta
energie W = Wi . Pro přı́čnou srážku je úhel rozptylu elektronu zanedbatelný
a tedy cos(θ) = 1. Výpočet úhlu rozptylu θ u podélných srážek je založen na
distribučnı́ funkci
P (Q) =



1
Q


1+
Q
2 me c2
pro Q− < Q < Wk
0
(51)
jinak .
Q− je minimálnı́ energie zpětného rázu. Vzorkovánı́ této distribučnı́ funkce se
provádı́ pomocı́ inverznı́ funkce a vede na vzorec
("
Q = QS
QS
Wk
Wk
1+
2 m e c2
!#ξ
QS
−
2 me c2
)−1
, QS ≡
Q−
1+
Q−
2 me c2
, (52)
kde ξ je opět náhodné čı́slo v intervalu (0, 1). Jakmile je známa ztráta energie W
a energie zpětného rázu Q, je možné vypočı́tat úhel rozptylu jako
cos(θ) =
E(E + 2 me c2 ) + (E − W )(E − W + 2 me c2 ) − Q(Q + 2 me c2 )
q
2 E(E + 2 me c2 )(E − W )(E − W + 2 me c2 )
(53)
Druhý úhel rozptylu φ je rovnoměrně rozdělený v intervalu (0, 2π).
32
.
– Blı́zké srážky (close interactions)
Při formulaci vzorkovacı́ho algoritmu pro tyto srážky je vhodné zavést relativnı́
ztrátu energie κ = W/E. Distribučnı́ funkce pro pak vzorkovánı́ je
1
(−)
Pk (κ) ≡ κ−2 F (−) (E, W ) Θ(κ − κc ) Θ
"
2
!#
1
κ2
+
1
(1−κ)2
−
1
κ(1−κ)
+a 1+
1
κ(1−κ)
−κ
Θ(κ − κc ) Θ
1
2
=
(54)
−κ ,
!2
a ≡
γ−1
γ
, κc ≡ Wk /E ,
Maximálnı́ hodnota κ je přitom 1/2. Dále se zavádı́ distribučnı́ funkce
1
Φ(−) (κ) ≡ (κ−2 + 5 a) Θ(κ − κc ) Θ
2
−κ .
(55)
(−)
Je přitom možné dokázat, že Φ(−) > Pk v intervalu (κc , 21 ). Proto můžeme ke
vzorkovánı́ využı́t metodu zamı́tacı́ se zkušebnı́ hodnotou z distribučnı́ funkce
(−)
(55) a pravděpodobnostı́ přijetı́ Pk /Φ(−) . Normalizovaná distribučnı́ funkce
v intervalu (κc , 1/2)
Φ(−)
norm (κ) =
kde
p1 (κ) =
1
[p1 (κ) + 5/2 a κc p2 (κ)] ,
1 + 5/2 a κc
(56)
κc
2
κ−2 , p2 (κ) =
.
1 − 2 κc
1 − 2 κc
(57)
Hodnoty κ z distribučnı́ funkce Φ(−)
norm dostaneme následujı́cı́m postupem:
∗
∗
∗
∗
Generuj ξ.
χ = (1 + 5/2 a κc ) ξ
Pokud χ < 1, κ = κc /[1 − χ (1 − 2 κc )].
Pokud χ > 1, κ = κc + (χ − 1)(1 − 2 κc )/(5 a κc ).
Zamı́tacı́ algoritmus pro κ celkově je:
∗ Generuj κ z distribučnı́ funkce Φ(−)
norm podle předchozı́ho postupu.
∗ Generuj náhodné čı́slo ξ.
(−)
∗ Pokud ξ (1 + 5 a κ2 ) < κ2 Pk , přijmi hodnotu κ za správnou.
∗ Jinak jdi na začátek algoritmu a generuj nové čı́slo κ.
Po zjištěnı́ úbytku energie W se zı́ská úhel rozptylu θ ze vzorce
cos2 (θ) =
E−W
E + 2 me c2
.
E
E − W + 2 me c2
Druhý úhel rozptylu φ je opět rovnoměrně rozdělen v intervalu (0, 2π).
33
(58)
• Při ionizaci atomu docházı́ k vyraženı́ elektronu z některé z jeho slupek. U vnitřnı́ch
slupek má vyražený elektron počátečnı́ energii ES = W − Ui , kde Ui je ionizačnı́
energie elektronů v i-té slupce. U slupek s nižšı́ ionizačnı́ energiı́ se tato zanedbává a
ES = W . Pro zjištěnı́ počátečnı́ho směru letu nově vzniklého sekundárnı́ho elektronu
se předpokládá, že tento elektron byl původně v klidu. Z toho plyne, že sekundárnı́
elektron z atomu vyletı́ ve směru změny vektoru hybnosti q. Polárnı́ úhel směru letu
elektronu θs je tedy
W2
cos (θs ) = 2
β Q (Q + 2 me c2 )
2
Q (Q + 2 me c2 ) − W 2
1+
2 W (E + 2 me c2 )
!2
.
(59)
Pro blı́zké srážky (Q = W ) tento vztah přecházı́ v
cos(θs ) =
W E + 2 me c2
E W + 2 me c2
!1/2
,
(60)
což souhlası́ s výsledkem pro binárnı́ srážku elektronu s jiným volným elektronem
v klidu. Protože vektor změny hybnosti ležı́ v rovině rozptylu, azimutálnı́ úhel rozptylu
φS bude
φS = π + φ .
(61)
Předpoklad srážek s elektrony atomu v klidu, který byl pro odvozenı́ těchto vztahů použit, nenı́ sice realistický, protože ale průměrná hybnost elektronů, vázaných
v atomu, je nulová, průměrný směr vyletujı́cı́ch sekundárnı́ch elektronů bude správný.
3.4.3
Brzdné zářenı́
Nabité částice, elektrony, pohybujı́cı́ se v elektrickém poli atomů jsou tı́mto polem zpomalovány. Z teorie je pak známo, že náboje, pohybujı́cı́ se se zrychlenı́m, vyzařujı́. Vznikajı́cı́
zářenı́ se nazývá zářenı́ brzdné (bremsstrahlung). Brzdné zářenı́ má spojité spektrum a maximálnı́ energie fotonů v tomto spektru je rovna až energii elektronů, které tyto fotony vyzařujı́.
Brzdné zářenı́ u nerelativistických elektronů je vyzařováno symetricky kolem směru zrychlenı́. Čı́m jsou ale rychlosti elektronů vyššı́, tı́m většı́ počet fotonů je vyzařován ve směru
zrychlenı́ elektronů.
Při kinetických energiı́ch do několika set keV nenı́ ztráta energie elektronů ani změna
směru jejich letu v důsledku vzniku brzdného zářenı́ nijak významná. Navı́c v oblasti energiı́ do sta keV existuje jen málo účinných průřezů, popisujı́cı́ch vznik brzdného zářenı́
dostatečně přesně. Proto nenı́ vhodné v simulacı́ch počı́tat brzdné zářenı́ mezi ostatnı́ interakce, ale mı́sto toho je vhodnějšı́ nahradit ztráty energie způsobené vznikem tohoto zářenı́
pomocı́ brzdné sı́ly. K výpočtu brzdné sı́ly je možné použı́t integraci součinu účinného
průřezu pro vznik brzdného zářenı́ diferenciálnı́ho v energii a energie viz. rovnice (18).
Kvůli náročnosti výpočtů s takto odvozeným analytickým vztahem pro brzdnou sı́lu, byla
tato sı́la původně aproximována jednoduššı́ analytickou funkcı́ takovou, že se jejı́ hodnoty
přibližně shodovaly s hodnotami, vypočtenými pomocı́ poměrně přesného modelu pro hlinı́k.
V novějšı́ verzi je tento problém vyřešen lineárnı́ interpolacı́ hodnot zı́skaných z databáze
ESTAR [14].
34
Mezi klasické a přehledné práce s účinnými průřezy pro vznik brzdného zářenı́ patřı́
zejména [39], [40], pro nižšı́ energie je možné využı́t model [41], založený na následujı́cı́m
účinném průřezu
dσ
8π
4π
1
1−β
=
σY − 2 (σX − σY ) 2 + ln
2
d(hν)
1−β
β
β
1+β
!
,
(62)
0.252 + a(Q − 0.135) − b(Q − 0.135)2
,
U hν
a = 1.47B − 0.507A − 0.833 , b = 1.7B − 1.09A − 0.627 ,
σX =
A = e−0.223U − e−57U , B = e−0.0828U − e−84.9U ,
Q =
hν
E
, U =
,
E
0.2998Z 2
h
−g + Q+f
σY =
,
U hν
−0.214y1 + 1.21y2 − y3
, g = (1 + 2f )y2 − 2(1 + f )y3 , h = (1 + f )(y3 + g) ,
1.43y1 − 2.43y2 + y3
0.023
0.00776
, y3 = −0.00259 +
.
y1 = 0.22(1 − 0.39e−26.9U ) , y2 = 0.067 +
U + 0.75
U + 0.116
Jak je vidět, je tento účinný průřez poměrně komplikovaný a jeho použitı́ v simulacı́ch
by bylo výpočetně náročné. Interpolace dostatečně přesných hodnot je mnohem jednoduššı́
a méně výpočetně náročná. Pro představu o významnosti brzdné sı́ly způsobené vznikem
brzdného zářenı́ v hlinı́ku jsou v následujı́cı́ tabulce uvedeny hodnoty této sı́ly z databáze
ESTAR [14].
f =
35
Kinetická energie
Brzdná sı́la v důsledku
Brzdná sı́la v důsledku
elektronu (keV)
brzdného zářenı́ (keV cm2 /g)
srážek (MeV cm2 /g)
10.0
6.559
16.49
20.0
6.926
9.844
30.0
7.059
7.287
40.0
7.133
5.909
50.0
7.191
5.039
60.0
7.243
4.439
70.0
7.295
3.998
80.0
7.350
3.661
90.0
7.411
3.394
100.0
7.476
3.177
125.0
7.659
2.781
150.0
7.865
2.513
175.0
8.096
2.320
200.0
8.344
2.174
250.0
8.888
1.972
300.0
9.487
1.839
350.0
10.13
1.747
Tabulka 4:
Porovnánı́ brzdné sı́ly aproximujı́cı́ úbytek energie elektronu v důsledku vzniku brzdného zářenı́ a
v důsledku nepružných srážek.
3.4.4
Ionizace v K slupce - účinné průřezy
V části o nepružných srážkách byly popsány diferenciálnı́ účinné průřezy vedoucı́ k ionizacı́m v jednotlivých slupkách atomů. Ačkoliv jsou tyto účinné průřezy založené na fyzikálnı́m základu, sı́ly jednotlivých oscilátorů a Sternheimerův faktor jsou určeny empiricky tak,
aby Monte Carlo simulace s těmito účinnými průřezy dávala výsledky shodné s experimentálnı́mi měřenı́mi, napřı́klad s počtem zpětně rozptýlených elektronů. Účinný průřez
pro ionizace v K slupce sám o sobě ale dává hodnoty menšı́, než jaké odpovı́dajı́ experimentálnı́m měřenı́m. Přesnějšı́ popis ionizacı́ v K slupkách atomů založený na stejných
účinných průřezech nabı́zı́ ve svém článku Cengiz [42]. Tento článek ale nebyl v době vzniku
počı́tačového modelu dostupný, a proto byl použit jiný semiempirický účinný průřez. Tento
účinný průřez vznikl přidánı́m některých parametrů do teoretického modelu. Tyto parametry
byly dopočı́tány tak, aby výsledný vztah co nejlépe aproximoval hodnoty, zı́skané z téměř
30 experimentálnı́ch měřenı́. Výsledný vztah byl publikován v roce 1981 [43]
σK =
nK a20
R
I0
IK
36
!2
ψφ
ln U
,
U
(63)
ψ =
IK
I0
!(d0 +d1 /U +d2 /U 2 )
,
2
φ = b0 eb1 /U +b2 /U ,
d0 = −0.0318 , d1 = 0.3160 , d2 = −0.1135 ,
b0 = 10.57 , b1 = −1.736 , b2 = 0.317 ,
kde IK je ionizačnı́ energie pro elektrony v K slupce, U je podı́l kinetické energie elektronu ku ionizačnı́ energii, tedy U = IEK , I0 = 13.606 eV je ionizačnı́ energie atomu
vodı́ku, a0 = 5.292 × 10−11 m je Bohrův poloměr, nK je počet elektronů v K slupce a R je
Gryzinského [44] relativistický parametr
R =
1+2J
U +2J
!
U +J
1+J
!2
(1 + U )(U + 2 J)(1 + J)2
J 2 (1 + 2 J) + U (U + 2 J)(1 + J)2
!3/2
,
m c2
.
IK
Autoři uvádějı́, že je tento účinný průřez velmi přesný v oblasti 6 ≤ Z ≤ 79 a 1 ≤
U ≤ 20. Je však velmi dobře použitelný i pro energie vyššı́ o čemž svědčı́ i to, že je v mnoha
pracı́ch citován. Na následujı́cı́m obr. 6 je tento vztah porovnán s experimentálnı́mi daty,
zı́skanými z článku [45].
J =
Obrázek 6:
Porovnánı́ vztahu 63 pro účinný průřez pro ionizaci v K slupce s experimentálnı́mi daty z časopisu
Atomic Data and Nuclear Data Tables [45]. Odchylky experimentálnı́ch hodnot od hodnot
vypočtených pomocı́ tohoto vztahu nejsou většı́, než uváděné přesnosti měřenı́.
37
3.4.5
Přidánı́ simulace ionizace v K slupce do Monte Carlo kódu
Jak již bylo řečeno v předchozı́m textu, účinný průřez pro nepružné srážky je pro simulaci
ionizace v K slupkách atomů nevhodný. Proto byla simulace těchto ionizacı́ do kódu přidána
dodatečně a to tı́mto způsobem:
• Na začátku každého kroku v simulaci je z kinetické energie elektronu na základě
vzorce, uvedeného v předchozı́ části, vypočı́tán totálnı́ účinný průřez pro ionizaci
v K slupce atomů σK (E).
• Na konci kroku, když je známa dráha, kterou elektron v tomto kroku uletěl, je
vyčı́slena pravděpodobnost, že při letu elektronu došlo k ionizaci v K slupce ze vztahu
PK = s N σK (E) ,
(64)
kde s je dráha elektronu a N je počet atomů na jednotku objemu.
• Poté se náhodně generuje čı́slo ξ, rovnoměrně rozdělené v intervalu (0, 1) a pokud
ξ < PK , došlo k ionizaci v K slupce.
• Pokud dojde k ionizaci, zjistı́ se náhodně jejı́ čas a prostorové souřadnice tak, že
pravděpodobnost této ionizace je rovnoměrně rozdělena na dráze elektronu.
Tento postup je někdy pro zjednodušenı́ v Monte Carlo simulacı́ch použı́ván, napřı́klad [27]
nebo [8] a je možné ho s úspěchem implementovat i do jiných simulacı́. Ionizaci v K slupce
je možné do Monte Carlo simulacı́ také přidat jako speciálnı́ druh nepružné srážky. Tento
postup byl použit napřı́klad v programu EGS4 [46].
3.5
Vznik a transport K-α fotonů v terči
Ionizovaný atom s chybějı́cı́m elektronem v K slupce má tendenci velmi rychle, řádově v jednotkách femtosekund, vakanci v K slupku zaplnit dalšı́m elektronem. To se zpravidla děje
tı́m, že do K slupky přejde elektron z nějaké vnějšı́ slupky, přičemž pro rozdı́ly kvantových
čı́sel obou stavů musı́ platit:
∆n 6= 0 , ∆l = ±1 , ∆j = 0, ±1 , j1 = 0 6→ j2 = 0 .
(65)
Protože vazebná energie elektronu v K slupce je mnohem většı́, než vazebná energie elektronů v dalšı́ch slupkách, uvolnı́ se při této reakci velké množstvı́ energie. Tato energie je
bud’ předána dalšı́mu elektronu, který opustı́ atom, tzv. Augerův elektron, nebo je z atomu
vyzářena v podobě fotonu. Pro většinu atomů je energie vyzářeného fotonu řádu jednotek
až desı́tek keV a foton se tedy nacházı́ v rentgenové oblasti spektra. Fotony, nazývané K-α
zářenı́m, vznikajı́ při zaplněnı́ K slupky elektronem za slupky L. Celý proces je schematicky znázorněn na obr. 1. Pravděpodobnosti vyzářenı́ fotonu jsou vyjádřeny čı́sly ω zvanými
fluorescenčnı́ poměry (fluorescent yield). Grafy těchto pravděpodobnostı́ jsou na obr. 7.
38
* % ! $ ' % ) & #). 1##
% # !54##
# *!
!#) (#
- 1# ! (#) ,
.&+4. .# #
,
(
" ,
,.# "& ,4 ( ,1 . # +% 2 ! 4 .#
$XJHU
/
/
0
0
1
1
=
00
Obrázek
L 7:
Pravděpodobnosti
pro
zaplněnı́
dı́ry
v
K
slupce
vyzářenı́m
Augerovského elektronu a vyzářenı́m
? % fotonu s charakteristickou energiı́ # v závislosti na atomovém čı́sle Z. Vzniku K-α zářenı́ odpovı́dá
přechod elektronu ze slupek L2 a L3. Tento obrázek je převzat z [21].
9& "1# 6# #
",
)&((
#7,"-@
,('
V.následujı́cı́
5 "!#)#'% "!#)#5",##65-2"!#)#5",##/& 6
tabulce jsou pro názornost uvedeny pravděpodobnosti vzniku fotonů cha#(
. @
*,
2 & " (1#"".
#,#)
#
rakteristického zářenı́ pro hlinı́k z databáze Evaluated Atomic Data Library [47] spolu s ener (
#( "Z! tabulky
#)# (", ##/&5 6
# (@ @ -
.@
giemi těchto fotonů.
je patrné, že pravděpodobnosti vzniku K-β zářenı́ jsou velmi
+ &
.'
#'
, (
#, #4 (
. ?
*, 2# malé, a proto se vznik K-β zářenı́ v této práci neuvažuje. Protože se energie zářenı́ K-α
7A 23. ''" "! v#)této
#
*práci
", ## "1
! ## 6( &
a K-α lišı́ jen velmi málo, jsou
oba druhy zářenı́ považovány za jeden druh a
#%
/&( # " jako
1 K-α.
.#$ .#- #$#
, #
2
označovány
, (' !shodně
)
& # zářenı́
, (, # ) # ! "#&, #.(
#)& " 4 .*
( #( # !. " 4
' #((! #, ". & .# ##
Foton Pravděpodobnost Energie (keV)
$
&
'&
(*)+$
&5, # ) K-α
' (
#, #+0.01237
"".
#, #)/"1.4687
!
#)#- A /
.3 ' .# (#
1
2
1
K-α2
0.02455
1.4692
K-β1
0.00008
1.5450
K-β2
0.00015
1.5450
Tabulka 5:
Energie a pravděpodobnosti vzniku K-α a K-β zářenı́ hlinı́ku.
Pro fluorescenčnı́ poměry, popisujı́cı́ zaplněnı́ vnitřnı́ch slupek atomu, existujı́ přibližné vztahy, které vznikly analytickou aproximacı́ experimentálnı́ch hodnot. Přı́kladem takového vztahu pro K slupku je
ωK = (1 + α Z −m )−1 , α = 1.16 ± 0.07 · 105 , m = 3.36 ± 0.02 .
(66)
Tento vztah i mnoho dalšı́ch společně s experimentálnı́mi daty a jinými informacemi
o přechodech ve slupkách atomů je možné najı́t v přehledovém článku [48]. V Monte Carlo
39
simulacı́ch byla pro hlinı́k použita hodnota 0.042 zı́skaná z [49], která pocházı́ z experimentálnı́ch měřenı́. Tedy pouze 4% ionizovaných atomů vyzářı́ K-α foton. Vzniklé Augerovské elektrony již nemajı́ dostatečnou energii, aby způsobily dalšı́ ionizaci v K slupce a pro
dalšı́ simulaci jsou nedůležité. Jejich vznik se tedy v simulacı́ch nepočı́tá.
Transport K-α fotonů k hranici terče se dá simulovat rovněž metodou Monte Carlo.
Dá se však použı́t i mnohem jednoduššı́, i když ne tak přesný model, založený na Beerově
zákonu
I(x) = I(0) e−µ ρ x .
(67)
Tento vztah vyjadřuje úbytek intenzity zářenı́ při šı́řenı́ na vzdálenost x v materiálu s hustotou ρ a koeficientem útlumu µ, který závisı́ jak na materiálu, tak na energii fotonů. Tento
koeficient lze spočı́tat z některých přibližných analytických formulı́ např. [8], nebo také ze
vztahu
NA
µ =
(σRa + σCo + σph + σpp ) .
(68)
A
NA je zde Avogadrova konstanta, A je molárnı́ hmotnost, σRa je účinný průřez pro koherentnı́, Rayleighův rozptyl, σCo je účinný průřez pro Comptonův rozptyl, σph je účinný průřez
pro vznik fotoelektronu a σpp je účinný průřez pro vznik elektron-pozitronových párů. Hodnoty koeficientu µ byly také pro mnoho materiálů a energiı́ fotonů vypočı́tány a tabelovány
a lze je zı́skat napřı́klad v databázi NIST [50]. Z této databáze pocházı́ i hodnota 424 cm2 /g,
která byla v simulacı́ch pro transport K-α fotonů hlinı́ku v hlinı́ku použita.
3.6
Časové rozlišenı́ simulace
Protože jsme se snažili ze simulacı́ zı́skat i informaci o časovém průběhu a celkové době
trvánı́ pulsu K-α zářenı́, bylo do Monte Carlo simulacı́ přidáno časové rozlišenı́ následujı́cı́m
způsobem:
• Na začátku každého kroku je z kinetické energie elektronu vypočı́tána jeho rychlost
podle relativistického vztahu
v
u
u
v = cu
t1 − 1
E
E0
2 ,
(69)
+1
kde c je rychlost světla a E0 je klidová energie elektronu 0.5109989 MeV.
• Když je známa dráha, kterou elektron k mı́stu dalšı́ interakce uletěl, je z této dráhy a
z rychlosti elektronu vypočı́tána doba letu elektronu.
• Každý elektron si uchovává informace nejen o své poloze a energii, ale také o čase,
který se na základě vypočtené doby letu elektronu aktualizuje.
Jak již bylo řečeno, čas mezi ionizacı́ v K slupce a vyzářenı́m K-α fotonu je velmi krátký.
Odhad tohoto času můžeme zı́skat z Heisenberovy relace neurčitosti
∆t '
h̄
,
∆E
40
(70)
kde ∆E je šı́řka K čáry. Tu je možné vypočı́tat z přibližného vztahu [48]
∆E = 1.73 Z3.93 · 10−6 eV .
(71)
Po dosazenı́ hodnot pro hlinı́k dojdeme přibližně k hodnotě 16 femtosekund. Tento čas nenı́
z hlediska simulace významný a je proto ve výpočtech zanedbáván. K výslednému času se
připočı́tává i doba transportu K-α fotonů v terči, přičemž se jako rychlost fotonů uvažuje
rychlost světla ve vakuu.
3.7
Simulace v terčı́ch s vı́ce vrstvami různých materiálů
Velikou výhodou metody Monte Carlo je možnost simulace transportu částic v terčı́ch s vı́ce
vrstvami z různých materiálů. Přidánı́ této možnosti do simulace je v našem přı́padě motivováno předevšı́m tı́m, že v některých experimentech je vhodné terč pokrýt tenkou vrstvou
plastiku. Tı́m se v podstatě oddělı́ plazma od dalšı́ vrstvy z jiného materiálu a ta zůstane
studená a neionizovaná. V poslednı́ době se také použı́vajı́ terče s vı́ce vrstvami materiálů ke
studiu elektrického pole vznikajı́cı́ho při transportu rychlých elektronů a jeho vlivu na tento
transport [51]. K tomuto účelu však použitý model transportu ještě nenı́ uzpůsoben.
Do vyvinutého kódu byla tedy přidána možnost simulace transportu elektronů ve vı́ce
vrstvách z různých materiálů, přičemž počet vrstev byl pevně nastaven na 5. Na hranicı́ch
vrstev je také možné nastavit, s jakou pravděpodobnostı́ se mohou částice, které touto hranicı́
proletı́, odrazit zpět. Toho se dá využı́t napřı́klad u tenkých terčů umı́stěných ve vakuu, kde
velký počet rychlých elektronů vyletı́ zadnı́ stranou terče ven, terč se stane kladně nabitým a
bude elektrony přitahovat zpět.
41
4
Dalšı́ vlastnosti vypracovaného Monte Carlo kódu
Monte Carlo simulace transportu elektronů do značné mı́ry závisı́ na typu řešené úlohy
a kinetické energii rychlých elektronů. Na kinetické energii závisı́ zejména použitelnost
účinných průřezů, přı́padně brzdných sil, a významnost jednotlivých typů interakcı́. Na typu
řešené úlohy závisı́ volba, které interakce budou simulovány přı́mo a které pomocı́ brzdné
sı́ly, tedy jak je simulace detailnı́.
V tomto přı́padě pak byla zvolena metoda co možná nejdetailnějšı́, tedy všechny srážky
jsou simulovány přı́mo a pouze brzdné zářenı́ je aproximováno brzdnou silou. Tento postup
sice velmi (řádově 10-ti až 100 násobně) prodlužuje výpočetnı́ čas, pro Monte Carlo simulace transportu částic s časovým rozlišenı́m a se započı́tánı́m vzniku druhotných elektronů
je ale asi ten nejvhodnějšı́. V simulacı́ch bez časového rozlišenı́ bývá většinou volen postup
jednoduššı́, někdy jsou dokonce simulovány jen pružné srážky a všechny ostatnı́ typy interakcı́ jsou zahrnuty v brzdné sı́le. V některých počı́tačových kódech se též použı́vá postup,
kdy je vı́ce srážek simulováno současně [17] za pomocı́ techniky condensed history. Tento
postup může v přı́padě, kdy nenı́ detailnı́ simulace nutná, velmi výrazně výpočet zrychlit.
4.1 Vlastnı́ realizace počı́tačového kódu
Počı́tačový model transportu elektronů a K-α fotonů se skládá ze třı́ částı́, samostatných programů. Prvnı́ program zpracovává vstupnı́ soubor tak, aby byl vhodný pro dalšı́ výpočty,
převádı́ veličiny do použı́vaných jednotek a eliminuje elektrony s nı́zkou energiı́ (pro hlinı́k
1.5 keV), které nepřispı́vajı́ ke vzniku K-α zářenı́. Druhá část je vlastnı́ Monte Carlo simulace transportu rychlých elektronů a vzniku K-α zářenı́. Jejı́m vstupem a zároveň výstupem
prvnı́ části je soubor elektronů, u kterých jsou uvedeny kinetická energie, čas vniknutı́ do
terče a směrový vektor letu elektronu. Druhá část je napsána v jazyce C++ s využitı́m objektového programovánı́. Skládá se ze třı́ objektů, generátoru náhodných čı́sel, objektu zapouzdřujı́cı́ho vlastnosti terče a objektu vlastnı́ho elektronu, který obsahuje všechny veličiny,
charakterizujı́cı́ elektron, a všechny metody, použité pro simulaci jeho letu a výpis jednotlivých veličin. Tento přı́stup zjednodušuje orientaci v programu a umožňuje i budoucı́
použitı́ programu jako součásti jiných modelů. Historie každého elektronu je počı́tána 50 krát
a každý výsledek je vážen s váhou 1/50. Ve výpočtech se vstupnı́mi daty z PIC simulacı́ je tak
simulováno až 5-8 milionů historiı́ elektronů. Tı́mto postupem se výpočty značně zpřesňujı́.
Výstupem programu je pak soubor, obsahujı́cı́ souřadnice a čas vzniku jednotlivých ionizacı́
v K slupce. Výstupnı́ soubor je poté zpracován třetı́m programem, který přiřadı́ každé ionizaci přı́slušný počet vzniklých K-α fotonů. V důsledku transportu k přednı́ straně terče se pak
redukuje počet K-α fotonů pomocı́ Beerova zákona a k času se připočte doba, potřebná k letu
fotonu od mı́sta ionizace k přednı́ straně terče. Prvnı́ a třetı́ program jsou velmi jednoduše
napsány pomocı́ programu flex. Program flex podle zadaných instrukcı́ generuje program pro
lexikálnı́ analýzu textu (výstupnı́ho souboru). Pokud tento program při prohledávánı́ textu
narazı́ na řetězec s vlastnostmi specifikovanými v instrukcı́ch pro program flex, provede
přı́kaz přı́slušný tomuto řetězci, rovněž specifikovaný v instrukcı́ch pro program flex. Oba
programy jsou velmi rychlé a hlavně velmi snadno modifikovatelné, takže lze generovat
různé typy výsledků. Tyto programy jsou schopné během několika vteřin zpracovat i soubory
42
o velikosti desı́tek Mb.
4.2 Paralelizace
Transport elektronů je v tomto modelu velmi snadno paralelizovatelný, což umožňuje výpočty s velkým množstvı́m elektronů a tedy i zvyšuje přesnost výsledků. Simulace jednotlivých
elektronů jsou na sobě nezávislé, a proto lze paralelizaci provést jednoduše tı́m, že se druhý
program přı́mo přeložı́ na několika počı́tačı́ch a vstupnı́ data se rozdělı́ mezi tyto programy.
Tato metoda je asi nejjednoduššı́m a nejintuitivnějšı́m způsobem paralelizace a navı́c nevyžaduje žádnou znalost paralelnı́ch nadstaveb programovacı́ch jazyků. Nenı́ také potřeba vůbec
žádné komunikace mezi jednotlivými počı́tači, která obvykle značně zvyšuje výpočetnı́ čas
a zhoršuje efektivitu paralelizace.
4.3 Test simulace na úloze výpočtu procenta zpětně rozptýlených elektronů
Asi nejjednoduššı́ úloha, na které se dá otestovat správnost Monte Carlo simulace transportu elektronů, je výpočet poměru počtu elektronů zpětně rozptýlených ku celkovému
počtu simulovaných elektronů. Tento poměr je nazýván backscattering yield a je v mnoha
přı́padech znám v podobě experimentálně naměřených dat. Jelikož se jedná pouze o transport elektronů, většinou monoenergetických, a ne o žádně dalšı́ souvisejı́cı́ jevy, dajı́ se
v této úloze použı́t všechna možná zjednodušenı́. V následujı́cı́ tabulce jsou porovnány
výsledky vyvinutého programu, výsledky některých experimentů [52] a výsledky napočı́tané
programem Casino, který se rovněž zabývá transportem elektronů. Jedná se o simulace se
svazkem monoenergetických elektronů dopadajı́cı́ch na hlinı́kový terč.
Energie elektronů
Výsledky
Výsledky některých
Výsledky
(keV)
vyvinutého kódu (%)
experimentů (%)
programu Casino (%)
10
17.534
14.0 - 19.0
18.17
20
16.402
14.0 - 16.5
16.47
30
15.704
13.5 - 15.6
15.39
40
15.322
14.7 - 15.5
12.41
50
15.247
14.7
11.23
Tabulka 6:
Porovnánı́ výsledků vyvinutého počı́tačového kódu s experimentálnı́mi daty a výsledky jiného
počı́tačového kódu na úloze výpočtu procenta zpětně rozptýlených elektronů pro monoenergetické
elektrony kolmo dopadajı́cı́ na hlinı́kový terč.
Jako výsledky experimentů jsou uvedena rozmezı́, ve kterém se pohybujı́ hodnoty všech
měřenı́ z [52]. K programu Casino je ještě třeba doplnit, že nabı́zı́ možnost volby různých
metod simulace, napřı́klad s použitı́m různých vztahů pro brzdnou sı́lu, a výsledky do jisté
43
mı́ry závisı́ na této volbě. Pro výpočet zlomku zpětně rozptýlených elektronů existuje také
semiempirický vztah [53], který je možné s jednotlivými výsledky srovnávat.
η(Z, E) = E m(Z) C(Z) ,
0.9211
m(Z) = 0.1382 − √
,
Z
C(Z) = 0.1904 − 0.2236 ln Z + 0.1292 (ln Z)2 − 0.01491 (ln Z)3 .
4.4
(72)
Porovnánı́ výsledků simulacı́ vzniku a transportu K-α fotonů
s jinými simulacemi a experimentem
Výsledky simulacı́ zpětně rozptýlených elektronů jsou sice částečným potvrzenı́m správnosti
kódu, nevypovı́dajı́ ale nic o použitelnosti kódu pro modelovánı́ vzniku a transportu K-α
zářenı́. Potvrzenı́ správnosti vypočtených výsledků při modelovánı́ vzniku a transportu K-α
zářenı́ se nám částečně podařilo prokázat porovnánı́m výsledků pro počet K-α fotonů, vyletujı́cı́ch kolmo z přednı́ strany terče na steradian na 1 elektron. Výsledky vyvinutého kódu
jsou na obr. 8 porovnávány s experimentálnı́mi měřenı́mi [54], výsledky kódů EGS4 [46]
a kódu MCSET. Jedná se opět o simulace s monoenergetickým svazkem elektronů kolmo
dopadajı́cı́m na hlinı́kový terč.V intervalu 40 - 100 keV nebyla k dispozici žádná data, proto
se v tomto intervalu naše výsledky od ostatnı́ch odchylujı́.
Obrázek 8:
Porovnánı́ výsledků vyvinutého programu s experimentálnı́mi výsledky a s výsledky jiných
simulačnı́ch kódů na úloze výpočtu K-α fotonů vyletujı́cı́ch kolmo z přednı́ strany terče na steradian
na 1 elektron.
44
5
Transport rychlých elektronů v hydrodynamických
simulacı́ch
Interakce laserového zářenı́ s terčem je v hydrodynamických simulacı́ch studována pomocı́ termodynamických veličin, tedy teploty, hustoty a tlaku. Vývoj těchto veličin je popsán
soustavou diferenciálnı́ch rovnic hydrodynamiky, tzv. zákony zachovánı́ hmotnosti, hybnosti
a energie, a řešı́ se numericky v každém čase v bodech prostorové sı́tě. Při řešenı́ těchto
rovnic se často použı́vajı́ Lagrangeovy souřadnice, které nejsou spojeny s body v prostoru,
ale jsou spojeny s hmotnostmi uvnitř buněk prostorové sı́tě.
V kapitole o vzniku rychlých elektronů bylo již řečeno, že rychlé elektrony v plazmatu
vznikajı́ převážně v mı́stě s kritickou hustotou, přı́padně v mı́stě s 1/4 kritické hustoty. Jejich
střednı́ energie závisı́ na intenzitě a vlnové délce laserového zářenı́ napřı́klad vztahem [55]
1/3
Thot = (7 keV ) · I15 , I15 = 10−15 I λ2 ,
(73)
přičemž I je intenzita laseru v mı́stě kritické hustoty ve W/cm2 a λ je vlnová délka laseru
v µm. Transport elektronů v terči bývá omezen na transport energie a nejčastěji se řešı́ pomocı́ brzdné sı́ly.
5.1 Vznik a transport rychlých elektronů v hydrodynamickém kódu
Medusa
Medusa je jednodimenzionálnı́ hydrodynamický kód, který byl v 70. letech vyvinut ke studiu
laserové fúze. V našich simulacı́ch byla použita upravená verze kódu Medusa 1.03 z roku
1995 [56]. Medusa je velmi univerzálnı́ a je použitelná i pro simulovánı́ interakce krátkých,
femtosekundových pulsů s terčem. Při těchto simulacı́ch je ale třeba velmi pečlivě volit
některé počátečnı́ parametry. Pomocı́ těchto parametrů se nastavuje množstvı́ absorbované
energie v mı́stě kritické hustoty, jaká část této energie je předána rychlým elektronům a co
se má udělat s rychlými elektrony, když narazı́ na hranici terče. Absorbovaná energie i energie předaná rychlým elektronům byly v simulacı́ch zvoleny na základě výsledků absorpce
v PIC kódu [2]. Střednı́ kinetická energie rychlých elektronů se v kódu Medusa počı́tá podle
jednoho ze vztahů
Thot = 1.86 · 106 (I λ2 )1/4 ,
(74)
Thot = 2.28 · 103 (I λ2 )2/3 ,
(75)
Thot = 3.67 · 104 (I λ2 )1/2 ,
(76)
kde I je intenzita laserového zářenı́ ve W/m2 , λ je vlnová délka laseru v m a Thot vycházı́
v K. Rovnice (74) se použı́vá pro I λ2 vyššı́ než 1015 W/cm2 · µm2 , rovnice (75) pro
I λ2 nižšı́. Rovnice (76) byla do kódu dodatečně implementována [57] a hodı́ se pro velmi
vysoké intenzity laserového zářenı́ (≥ 1018 W/cm2 ). Z intenzity a střednı́ energie Thot se
poté vypočı́tá počet rychlých elektronů, které vzniknou za jednotku času. Elektrony se
rozdělı́ do deseti skupin s různými energiemi podle rozdělenı́ E e−E/Thot . Toto rozdělenı́ je
znázorněno na obr. 9. Protože byl kód určen předevšı́m pro laserové pulsy delšı́ než několik
45
pikosekund, byl transport rychlých elektronů vyřešen tı́m, že se energie rychlých elektronů
okamžitě po jejich vzniku absorbuje v terči. Pro femtosekundové laserové pulsy nenı́ toto
zjednodušenı́ možné, protože absorpce rychlých elektronů trvá řádově stovky femtosekund,
toto zjednodušenı́ však z kódu zatı́m ještě nebylo odstraněno. Absorpce energie rychlých
elektronů probı́há tak, že se nejprve vypočı́tá brzdná sı́la podle vztahu [58]
dE
2 π e4
= −
n e λC ,
dx
E
(77)
kde e je náboj elektronu, ne je hustota elektronů a λC je Coulombův logaritmus. Tato brzdná
sı́la se vynásobı́ rozměrem buňky a vypočtená energie se odebere rychlým elektronům a
uložı́ v buňce. Když takto dorazı́ elektrony až na konec simulované oblasti a majı́ ještě
dostatek energie, obrátı́ se a letı́ zpět, tedy výpočet probı́há stejně ale od poslednı́ buňky.
Pokud elektronům zůstane energie i poté, co se vrátı́ až k přednı́ straně terče, energie se
v terči rovnoměrně rozdělı́.
5.2 Absorpce energie rychlých elektronů - aproximace brzdnou silou
Transport rychlých elektronů, jak je implementován v kódu Medusa, je velmi zjednodušený
a toto zjednodušenı́ s sebou přinášı́ jisté nepřesnosti. Jedna z nich je způsobena tı́m, že
jsou rychlé elektrony rozděleny podle energiı́ jen do deseti skupin. Jak elektronům v každé
skupině ubývá energie, rychle roste brzdná sı́la a tedy i absorbovaná energie. V grafu
absorbované energie podle hloubky v terči, který je na obr. 10 se pak objevuje několik
výrazných maxim. Tato maxima nemajı́ žádný fyzikálnı́ základ a mohou způsobovat v simulaci dalšı́ problémy, napřı́klad nadměrný ohřev a vysokou rychlost expanze některých buněk.
Dalšı́m problémem je, že transport neuvažuje žádné změny směru letu elektronů, tedy
všechny elektrony se pohybujı́ stále dovnitř terče. V Monte Carlo simulacı́ch se naopak
ukazuje, že za určitých podmı́nek se až 1/2 elektronů srážkami rozptýlı́ do směru opačného
k původnı́mu a tyto elektrony letı́ zpět směrem ven z terče. Bohužel nám nenı́ znám žádný
jednoduchý fyzikálnı́ model, pomocı́ kterého by bylo možné tuto chybu v transportu elektronů v hydrodynamických simulacı́ch odstranit. V některých článcı́ch [59], [55] se použı́vajı́
semiempirické vztahy, které vznikly analytickou aproximacı́ experimentálnı́ch hodnot nebo
hodnot vypočı́taných v Monte Carlo simulacı́ch. Tyto vztahy jsou založené na předpokladu
brzdné sı́ly pro elektrony tvaru
dE
= − B E− α ,
(78)
dx
kde B a α jsou empirické parametry, závisejı́cı́ na materiálu prostředı́, ve kterém se elektrony
pohybujı́. Do výsledných vztahů pro absorbovanou energii jsou započı́tány i přibližné opravy
kvůli zpětně rozptýleným elektronům. Použitelnost tohoto modelu je však omezená znalostı́
parametrů B a α a odvozené vztahy jsou platné pouze pro elektrony s energiı́ menšı́ než
100 keV.
Na správnost modelu transportu rychlých elektronů má také důležitý vliv použitý vztah
pro brzdnou sı́lu. V kódu Medusa je implementován pro brzdnou sı́lu vztah velmi zjednodušený (77), zahrnujı́cı́ pouze binárnı́ srážky elektronu s jinými elektrony. Naproti tomu existujı́
46
i vztahy velice přesné a komplexnı́ [60]
dE
=
dx
dE
dx
!
dE
dx
+
bound
!
+
free
dE
dx
!
dE
dx
+
waves
!
,
(79)
brems
kde ( dE
)
, ( dE
) , ( dE
)
, ( dE
)
jsou části brzdné sı́ly popisujı́cı́ interakce
dx bound
dx free
dx waves
dx brems
s vázanými a volnými elektrony, vznik plazmových vln a vznik brzdného zářenı́. Rovnice
pro jednotlivé části brzdné sı́ly jsou
dE
dx
!
= −
free
2 π ne e4
×
m v2
(80)
"
γ−1
γ
1
2γ−1
1
× ln
+ 1 − ln 2 − β 2 −
ln
2
+
2 τmin
γ2
8
dE
dx
!
= −
bound
τ 2 (γ + 1)
2γ−1
1
× ln
+ 1 − β2 −
ln 2 +
2
2
2I
γ
8
!
= −
waves
,
2 π ni (Z − Z ∗ ) e4
×
m v2
"
dE
dx
!#
γ−1
γ
4 π ne e4
v
q
ln
,
2
mv
ωp λD 3/2
(81)
!2 #
,
(82)
rovnice pro brzdnou sı́lu popisujı́cı́ vznik brzdného zářenı́ se neuvádı́, nebot’ tato brzdná sı́la
je při energiı́ch do řádu stovek keV velmi malá. V neionizovaném prostředı́ se přibližně dá
řı́ct, že platı́ [61]
!
!
dE
dE
ZE
'
.
(83)
dx brems
dx bound 800 MeV
V rovnicı́ch (80) ne znamená hustotu elektronů a τmin = (λdB /λD )2 , kde λdB je de
Broglieova vlnová délka elektronu a λD je Debeyova délka. Dále v rovnici (81) je ni hustota iontů, τ je poměr kinetické a klidové energie elektronu, Z ∗ je střednı́ náboj iontů a I je
střednı́ ionizačnı́ potenciál. V rovnici (82) pak ωp je plazmová frekvence. Prozatı́m nebyly
tyto vztahy kvůli své složitosti do kódu Medusa implementovány, o jejich použitı́ se do budoucna uvažuje.
5.3 Porovnánı́ absorpce energie rychlých elektronů s Monte Carlo
simulacı́, vylepšenı́ kódu Medusa
Jak bylo již dřı́ve řečeno, hlavnı́ problémem transportu rychlých elektronů v hydrodynamickém kódu Medusa je, že absorbovaná energie vykazuje několik významných maxim,
která nemajı́ fyzikálnı́ opodstatněnı́. Pro odstraněnı́ tohoto problému by bylo třeba v simulacı́ch počı́tat spektrum rychlých elektronů s mnohem většı́m rozlišenı́m, ne pouze s elektrony rozdělenými do deseti skupin. To by však bylo mnohem výpočetně náročnějšı́. Do kódu
byl tedy pouze implementován exponenciálnı́ úbytek toku rychlých elektronů. Výpočet tedy
probı́há takto:
47
• Vypočı́tá se brzdná sı́la, vynásobı́ se velikostı́ buňky a tato energie se v buňce absorbuje.
• Vypočı́tá se úbytek elektronů na dráze velikosti buňky a energie těchto elektronů se
v buňce absorbuje.
• Od energie a počtu elektronů se odečte energie vypočtená z brzdné sı́ly a počet absorbovaných elektronů, vypočtený z exponenciálnı́ho úbytku toku elektronů.
Zmı́něný vztah pro exponenciálnı́ úbytek toku elektronů je
N = N0 e−µ ρ x ,
(84)
kde ρ je hustota materiálu a µ lze přibližně spočı́tat z [61]
µ (m2 /kg) = 1.7 E −1.14 ,
(85)
kde E je energie elektronu v MeV na konci dráhy, pro nı́ž se faktor µ počı́tá. Tento vztah
platı́ spı́še pro elektrony s vysokou kinetickou energiı́. Na následujı́cı́m obr. 9 je energetické
spektrum rychlých elektronů, generované v jednom kroku simulace pomocı́ kódu Medusa.
Na dalšı́m obr. 10 jsou porovnány výsledky absorbované energie rychlých elektronů z tohoto
spektra v závislosti na hloubce v terči, napočı́tané pomocı́ původnı́ho kódu Medusa, pomocı́ kódu Medusa s přidánı́m exponenciálnı́ho úbytku toku elektronů, pomocı́ Monte Carlo
kódu s použitı́m Betheho vztahu pro brzdnou sı́lu a pomocı́ Monte Carlo kódu s nepružnými
srážkami a se započı́tánı́m vzniku a transportu sekundárnı́ch elektronů.
Obrázek 9:
Normalizované rozdělenı́ rychlých elektronů generované v simulaci pomocı́ hydrodynamického kódu
Medusa při intenzitě laserového zářenı́ 4 · 1016 W/cm2 v porovnánı́ s teoretickým rozdělenı́m
E ∗ e−E/Thot .
48
Obrázek 10:
Porovnánı́ absorpce energie rychlých elektronů v původnı́m a vylepšeném hydrodynamickém kódu
Medusa s výsledky Monte Carlo kódu s nepružnými srážkami a s aproximacı́ ztrát energie Betheho
brzdnou silou (rovnice 19).
49
6
Výsledky simulacı́ vybraných experimentů
Vyvinutý počı́tačový model byl použit k simulacı́m některých experimentů. Jednalo se
na jedné straně o simulace, které měly sloužit k ověřenı́ správnosti modelu, jako výpočet
zpětně rozptýlených monoenergetických elektronů nebo výpočet počtu K-α fotonů vyletujı́cı́ch z terče na jeden elektron. Výsledky těchto simulacı́ jsou v kapitolách 4.3, 4.4
porovnávány s experimentálnı́mi výsledky a výsledky jiných počı́tačových kódů. Na druhé
straně byl počı́tačový model použit i ke zı́skánı́ zcela nových výsledků pro podmı́nky
fyzikálnı́ch experimentů, které proběhly teprve v nedávné době. Těmito výsledky se zabývá
tato kapitola.
Vstupem Monte Carlo simulacı́ simulacı́ tentokrát nebyly monoenergetické elektrony,
ale elektronová spektra napočı́taná kolegou Vladislavem Bı́nou pomocı́ Particle-In-Cell
simulacı́ [2]. Pro výsledky simulacı́ nebyly důležité jenom energie rychlých elektronů,
ale také jejich směr a čas, ve kterém do terče vlétnou. Proto zde uvádı́m nejen výsledky
vypočtené pomocı́ mého počı́tačového modelu, ale také elektronová spektra, která vypočı́tal
kolega Bı́na a analýzu těchto spekter z hlediska směrů letu elektronů a z hlediska času,
o kterou jsem se pokusil.
6.1 Počátečnı́ parametry simulacı́
Výpočty PIC a Monte Carlo kódů byly použity k simulacı́m experimentů, které proběhly
v roce 1998 v Laboratoire d’Optique Appliquée v Palaiseau [62], [63] (některé výpočty byly
provedeny i podle experimentů v NTT Basic Research Laboratories v Japonsku [64], jejich
výsledky však nejsou v této práci uvedeny). Při experimentech byl použit pevnolátkový Ti:Sa
laser s vlnovou délkou 790 nm, energiı́ 60 mJ a opakovacı́ frekvencı́ 10 Hz k ostřelovánı́
pevného terče z SiO2 . P-polarizovaný, 120 fs dlouhý laserový puls byl rozdělen na dva pulsy
a prvnı́ z nich, předpuls, byl sfokusován na terč do kruhu o průměru přibližně 140 µm s intenzitou 4 · 1014 W/cm2 . Druhý puls byl sfokusován do elipsy 32 x 18 µm a na terč dopadal
s intenzitou 4 · 1016 W/cm2 pod úhlem 45◦ s různým časovým zpožděnı́m. Tı́mto časovým
zpožděnı́m bylo možné řı́dit charakteristickou délku hustotnı́ho profil plazmatu na hranici
terče s vakuem. Tato charakteristická délka je vyjádřena vztahem
d(ln n ) −1
e L = dx ,
(86)
x = xc
kde xc je poloha kritické plochy. Tento parametr se většinou udává v násobcı́ch vlnové délky
laseru a znamená rychlost exponenciálnı́ho nárůstu hustoty elektronů v mı́stě kritické hustoty. Předpoklad exponenciálnı́ho nárůstu elektronové hustoty je v podstatě ekvivalentnı́
předpokladu izotermálnı́ expanze plazmatu do vakua. Mimo parametrů laseru byly v PIC
simulacı́ch použity tyto dalšı́ parametry:
• počátečnı́ elektronová teplota - 100 nebo 600 eV
• počátečnı́ iontová teplota - 100 eV
50
• střednı́ ionizace - 5 až 10
• maximálnı́ elektronová hustota v násobcı́ch kritické hustoty - 5,10,30
V experimentu [62] byl použit terč z SiO2 , v experimentu [64] terč z Al. V našich simulacı́ch
byl jako materiál pro usnadněnı́ výpočtů rovněž zvolen hlinı́k. Protože jsou Al a Si sousednı́
prvky v periodické tabulce, jsou jejich vlastnosti z hlediska transportu rychlých elektronů
a z hlediska vzniku a transportu K-α zářenı́ velmi podobné a bylo tedy možné porovnávat
výsledky i s experimentem [62].
6.2
Vývoj termodynamických veličin pomocı́ kódu Medusa
S využitı́m jednodimenzionálnı́ho hydrodynamického kódu Medusa bylo možné simulovat vývoj termodynamických veličin v průběhu experimentu. Na základě výsledků těchto
simulacı́ si můžeme udělat představu o vývoji teploty elektronů, střednı́ ionizaci i dalšı́ch
veličinách. Počátečnı́ parametry simulacı́ byly:
• materiál terče - hlinı́k
• intenzita předpulsu - 4 · 1014 W/cm2
• intenzita hlavnı́ho pulsu - 4 · 1016 W/cm2
• doba mezi přı́chodem předpulsu a hlavnı́ho pulsu - 12 ps, což odpovı́dá L ' 0.5 λ
• koeficient absorpce laserového zářenı́ - 0.35
• absorbovaná energie předaná rychlým elektronům - 85% z absorbované energie
Koeficient absorpce a absorbovaná energie předaná rychlým elektronům byly zvoleny na
základě výsledků PIC simulacı́. Na obr. 11 a 12 jsou některé výsledky hydrodynamických
simulacı́. Na obr. 11 je teplota elektronů (eV) a na obr. 12 střednı́ ionizace, obojı́ v závislosti
na hloubce v terči (µm). Černou čárou je v hloubce asi 3.4 µm naznačena poloha kritické
plochy v době přı́chodu maxima hlavnı́ho laserového pulsu, přibližně v tomto mı́stě byla před
přı́chodem 1. pulsu (předpulsu) také hranice terče. V době přı́chodu maxima 2.(hlavnı́ho)
pulsu je hustota pevné fáze přibližně v hloubce 4.2 µm. Modrá čára na obr. 11 a 12 odpovı́dá
teplotě elektronů a střednı́ ionizaci 200 fs před přı́chodem maxima, zelená v době přı́chodu
maxima a červená 200 fs po přı́chodu maxima hlavnı́ho pulsu.
Z obr. 11 je patrné, že korona byla před přı́chodem hlavnı́ho pulsu předehřáta
předpulsem v hloubce 3 µm přibližně na teplotu 10 eV. Malé maximum na modré této křivce
(přibližně v hloubce 3.7 µm v terči) odpovı́dá mı́stu, kde se v té době předpulsu nacházela
kritická plocha. V době přı́chodu maxima hlavnı́ho pulsu potom roste teplota v okolı́ kritické
plochy až na několik keV. Zárověň dı́ky rychlým elektronům začı́ná růst elektronová teplota
v terči v hloubce 5 µm od kritické plochy až na 7 eV. Po přı́chodu maxima hlavnı́ho pulsu
je patrné vyrovnávánı́ teplot v okolı́ kritické plochy způsobené tepelnou vodivostı́ v koroně
a tepelnou vlnou, šı́řı́ se do terče asi do vzdálenosti 0.8 µm od kritické plochy. Dı́ky tomu
narůstá teplota v koroně i v ůzké oblasti za kritickou plochou až na stovky eV. Dı́ky rychlým
51
elektronům ještě dále vzrůstá elektronová teplota v terči v hloubce 5µm od kritické plochy
až na 15 eV.
Na obr. 12 je zobrazena střednı́ ionizace v terči. V koroně se střednı́ ionizace v průběhu
přı́chodu hlavnı́ho pulsu téměř neměnı́ a zůstává zhruba na hodnotě 6. To je částečně
způsobeno tı́m, že Medusa uvažuje pouze srážkovou ionizaci. Naopak v úzké vrstvě za kritickou plochou ionizace velmi roste a nabývá svého maxima 11 po konci hlavnı́ho pulsu.
To je způsobeno tı́m, že charakteristický čas ionizace je srovnatelný s délkou laserového
pulsu. Výsledky střednı́ ionizace a elektronové teploty by bylo možné použı́t jako vstupnı́
parametry pro PIC simulace.
Obrázek 11:
Teploty elektronů v časech 200 fs před přı́chodem maxima 2. pulsu, při přı́chodu maxima 2. pulsu a
200 fs po přı́chodu maxima 2. pulsu. Na ose x je hloubka v terči v µm. Černou čarou je naznačena
kritická plocha v době přı́chodu maxima pulsu.
52
Obrázek 12:
Střednı́ ionizace v časech 200 fs před přı́chodem maxima 2. pulsu, při přı́chodu maxima 2. pulsu a
200 fs po přı́chodu maxima 2. pulsu. Na ose x je hloubka v terči v µm. Černou čarou je naznačena
kritická plocha v době přı́chodu maxima pulsu.
6.3
Spektra rychlých elektronů z PIC simulacı́
Na následujı́cı́ch obr. 13, 14, 15 jsou zachycena spektra rychlých elektronů, která spočı́tal
kolega Vladislav Bı́na pomocı́ simulacı́ PIC v závislosti na parametru L a v jednom přı́padě
také v závislosti na počátečnı́ teplotě elektronů Te0 . Počátečnı́ teplota elektronů byla ve
většině simulacı́ zvolena přı́liš vysoká, Te0 = 600 eV, jejı́ použitı́ však usnadňuje a urychluje výpočty pomocı́ PIC kódu. Ostatnı́ parametry simulacı́ byly uvedeny na začátku této
kapitoly. Spektra rychlých elektronů jsme studovali i v závislosti na jiných počátečnı́ch
parametrech (maximálnı́ hustotě, střednı́ ionizaci), ale ve výsledcı́ch simulacı́ nenastala
žádná významná změna. V simulacı́ch, zde uvedených, se předpokládá exponenciálnı́ profil
hustoty s maximálnı́ hustotou elektronů ne = 10 nc (nc je kritická hustota), přičemž za
oblastı́ exponenciálnı́ho nárůstu je ještě 1 − 2 λ široká vrstva s konstantnı́ hustotou 10 nc .
Střednı́ ionizace je v celé oblasti simulace konstantnı́ a zde byla jejı́ hodnota 10. Ze spekter
je patrné, že maximálnı́ energie rychlých elektronů nejprve roste s rostoucı́ charakteristickou
délkou hustotnı́ho profilu L, v simulacı́ch s L = 0.2 λ nabývá maxima a pak opět klesá.
Rychlé elektrony zde vznikajı́ předevšı́m dı́ky rezonančnı́ absorpci a jejı́ účinnost závisı́ na
parametru q = (k0 L)2/3 sin2 θ, kde k0 = 2π/λ0 , přičemž λ0 je vlnová délka laserové vlny.
Úhel θ je zde úhel dopadu laserového pulsu. Maximum absorpce nastává, když q ' 1/2,
z čehož pro θ = 45◦ vyplývá L ' 0.16 λ0 . Integracı́ spekter rychlých elektronů se skutečně
potvrdilo, že k nejefektivnějšı́ transformaci energie laserového pulsu do energie těchto elektronů docházı́ v simulaci s L = 0.2 λ. Na druhé straně, jak je patrné z obr. 8, pro emisi
53
K-α zářenı́ z přednı́ strany hlinı́kového terče nejsou nejdůležitějšı́ velmi rychlé elektrony, ale
elektrony s energiemi okolo 60 keV. Těchto elektronů je nejvı́c u simulacı́ s velmi malou
charakteristickou délkou L, konkrétně u simulacı́ L = 0.001 λ a L = 0.05 λ, které jsou na
obr. 13 a 14. Z obr. 13 je patrné, že se snı́ženı́m počátečnı́ elektronové teploty výrazně ubylo
tepelných elektronů s energiı́ většı́ než 1.5 keV. Z porovnánı́ spekter rychlých elektronů ve
výsledcı́ch simulacı́ L = 0.001 λ a L = 0.01 λ vyplývá, že v simulaci L = 0.01 λ
znatelně ubylo rychlých elektronů s energiemi v intervalu 20-60 keV. Domnı́váme se, že
právě tyto rychlé elektrony vznikajı́ vakuovým ohřevem a ten je v přı́padě většı́ charakteristické délky L méně účinný. Na obr. 14 jsou spektra rychlých elektronů v přı́padech, kdy
docházı́ k velké rezonančnı́ absorpci a rychlé elektrony zde dosahujı́ energiı́ až 300 keV.
Na obr. 15 jsou spektra rzchlých elektronů pro přı́pady velkých charakteristických délek a
účinnost vakuového ohřevu i rezonančnı́ absorpce zde rychle klesá.
Obrázek 13:
Spektra rychlých elektronů vypočı́taná v PIC simulacı́ch se 120 fs dlouhým p-polarizovaným
laserovým pulsem o intenzitě 4 · 1016 W/cm2 dopadajı́cı́m na hlinı́kový terč pod úhlem 45◦ .
Počátečnı́ teplota iontů zde byla 100 eV a střednı́ ionizace 10. Parametry simulacı́ byly odvozeny
z experimentu [62].
54
Obrázek 14:
Spektra rychlých elektronů vypočı́taná v PIC simulacı́ch. Parametry simulace jsou stejné jako u obr.
14.
Obrázek 15:
Spektra rychlých elektronů vypočı́taná v PIC simulacı́ch. Parametry simulace jsou stejné jako u obr.
14.
55
6.4
Časová závislost vzniku rychlých elektronů
Na obr. 16, 17, 18 v této kapitole je vidět průchod rychlých elektronů zadnı́ hranicı́ PIC
simulacı́ s časovým rozlišenı́m. Zadnı́ hranice simulačnı́ oblasti PIC simulacı́ je ve všech
přı́padech vzdálena od kritické plochy 1 − 2 λ. Jedná se o stejné výsledky PIC simulacı́
jako v předchozı́ kapitole. Na obrázcı́ch jsou z hlediska časové a energetické závislosti
znázorněny rychlé elektrony, jak vylétajı́ směrem do terče z poslednı́ simulačnı́ buňky v PIC
kódu. Maximum laserového pulsu v těchto simulacı́ch dosáhne kritické plochy přibližně
v čase 200 fs. Na obr. 16 jsou výsledky simulace s L = 0.001 λ a počátečnı́ teplotou elektronů Te0 = 600 eV. V porovnánı́ s obr. 17, kde Te0 = 100 eV, je zde patrné, že elektrony
s malou energiı́ vyletujı́ ze simulačnı́ oblasti hned od začátku simulace. Jsou to elektrony
z konce teplotnı́ho rozdělenı́ a je jich značné množstvı́. Se snı́ženı́m počátečnı́ elektronové
teploty pak tyto elektrony ze simulacı́ vymizı́ a ve výsledcı́ch jsou patrné pouze elektrony,
urychlené při absorpci hlavnı́ho pulsu. Na obr. 18 je pak výsledek výpočtu pro L = 0.2 λ,
tedy při maximálnı́ rezonančnı́ absorpci. Špatné rozlišenı́ v tomto výsledku je způsobeno
poměrně malým počtem částic v jednotlivých simulačnı́ch buňkách. Z obrázků je také dobře
vidět, že většina rychlých elektronů vletı́ do studenějšı́ části terče v časovém intervalu ne
většı́m, než 250 fs. Tento výsledek je důležitý z hlediska délky pulsů K-α zářenı́, které při
transportu rychlých elektronů v terči vzniká.
Obrázek 16:
Závislost počtu rychlých elektronů procházejı́cı́ch zadnı́ hranicı́ v PIC simulacı́ch na čase a na jejich
kinetické energii. Jedná se o simulaci s počátečnı́mi parametry L = 0.001 λ, Te0 = 600 eV,
ostatnı́ parametry jsou stejné jako u simulacı́ na obr. 14.
56
Obrázek 17:
Závislost počtu rychlých elektronů procházejı́cı́ch zadnı́ hranicı́ v PIC simulacı́ch na čase a na jejich
kinetické energii. Jedná se o simulaci s počátečnı́mi parametry L = 0.001 λ, Te0 = 100 eV,
ostatnı́ parametry jsou stejné jako u simulacı́ na obr. 14.
Obrázek 18:
Závislost počtu rychlých elektronů procházejı́cı́ch zadnı́ hranicı́ v PIC simulacı́ch na čase a na jejich
kinetické energii. Jedná se o simulaci s počátečnı́mi parametry L = 0.2 λ, Te0 = 600 eV, ostatnı́
parametry jsou stejné jako u simulacı́ na obr. 14.
57
6.5
Úhlová rozdělenı́ rychlých elektronů
Z hlediska vzniku K-α zářenı́ je důležitou charakteristikou rychlých elektronů i jejich úhlové
rozdělenı́. Proto jsme se je pokusili z výsledků PIC simulacı́ zı́skat. Na obr. 19, 20 jsou
tato rozdělenı́ znázorněna barevně, přičemž jednotlivé barvy reprezentujı́ energii v keV
přenesenou rychlými elektrony v daném směru z 1 cm2 na 1 steradian. Výsledky jsou opět
pro PIC simulace s L = 0.001 λ a počátečnı́mi teplotami elektronů Te0 = 100 a 600 eV.
Ostatnı́ parametry jsou schodné se simulacemi v předchozı́ch kapitolách. V předchozı́ch
kapitolách již také bylo řečeno, že snı́ženı́m počátečnı́ elektronové teploty je v simulacı́ch možné částečně eliminovat elektrony z konce teplotnı́ho rozdělenı́. Ze srovnánı́ těchto
obrázků je navı́c patrné, že elektrony z konce teplotnı́ho rozdělenı́ vyletujı́ ze zadnı́ hranici
PIC simulacı́ do pevného terče ve všech směrech. U simulace s nižšı́ počátečnı́ teplotou 100 eV je množstvı́ tepelných elektronů s energiı́ většı́ než 1.5 keV zanedbatelné. Na
obou obrázcı́ch je dobře vidět, že nejrychlejšı́ elektrony letı́ téměř kolmo k rozhranı́ terče
s odchylkou pouze několika stupňů. Tato odchylka je pak způsobena šikmým dopadem
laserového paprsku vzhledem k ose y.
Obrázek 19:
Sumárnı́ energie elektronů (s energiı́ ≥ 1.5 keV) v keV vyletujı́cı́ch ze zadnı́ hranice PIC simulacı́
v daném směru (ve ◦ ) na 1 cm2 na steradian. Osy x a y jsou osy v rovině rovnoběžné s rozhranı́m
terče, úhel 90◦ s osou x i s osou y představuje tedy směr kolmý na rozhranı́. Parametry této PIC
simulace byly L = 0.001 λ a Te0 = 600 eV. Ostatnı́ parametry byly shodné jako u simulacı́ na
obr. 14.
58
Obrázek 20:
Sumárnı́ energie elektronů (s energiı́ ≥ 1.5 keV) v keV vyletujı́cı́ch ze zadnı́ hranice PIC simulacı́
v daném směru (ve ◦ ) na 1 cm2 na steradian. Osy x a y jsou osy v rovině rovnoběžné s rozhranı́m
terče, úhel 90◦ s osou x i s osou y představuje směr kolmý k rozhranı́. Parametry této PIC simulace
byly L = 0.001 λ a Te0 = 100 eV. Ostatnı́ parametry byly shodné jako u simulacı́ na obr. 14.
6.6
K-α pulsy vypočtené v Monte Carlo simulacı́ch
V této kapitole již výsledky Monte Carlo simulacı́ transportu rychlých elektronů a vzniku
K-α zářenı́. Vstupem pro tyto simulace jsou rychlé elektrony, vyletujı́cı́ ze zadnı́ hranice
PIC simulacı́, konkrétně kinetické energie těchto elektronů a směry a časy, ve kterých
z PIC simulacı́ vyletujı́. Proto se také těmito vlastnostmi rychlých elektronů zabývaly
předchozı́ tři kapitoly. Výstupy Monte Carlo simulacı́ jsou pulsy K-α fotonů emitovaných kolmo z přednı́ strany terče. Tyto pulsy jsou na obr. 21 a 22. Na obr. 21 jsou
časové průběhy pulsů K-α zářenı́ hlinı́ku, vypočtené z rychlých elektronů z PIC simulacı́
s L = 0.001 λ, 0.1 λ, 0.2 λ, 0.5 λ, 0.6 λ, λ. Energetická spektra těchto elektronů jsou
na obr. 13, 14, 15. Z obr. 21 je patrné, že v našich simulacı́ch vzniká největšı́ množstvı́
K-α fotonů při interakci laserového pulsu s plazmatem s velmi malou charakteristickou
délkou hustotnı́ho profilu L. Se zvětšujı́cı́m se L počet K-α fotonů postupně klesá. To je
způsobeno tı́m, že s rostoucı́m L ubývá rychlých elektronů s kinetickou energiı́ okolo 60
keV, které jsou pro vznik K-α zářenı́ nejúčinnějšı́. Z obr. 21 také vyplývá, že FWHM (šı́řka
v polovině maxima pulsů) je ve všech přı́padech téměř schodná a pohybuje se okolo 200 fs
s prodloženou zadnı́ hranicı́ s charakteristickou dobou poklesu přibližně 500 fs. V experimentech [65] se podařilo naměřit pulsy K-α zářenı́ kratšı́ než 650 fs. Lepšı́ časová rozlišenı́
zatı́m podle našich informacı́ nejsou v rentgenové oblasti spektra možná. Na obr. 22 jsou
59
potom porovnány výsledné pulsy K-α zářenı́ hlinı́ku, které vzniknou v simulacı́ch se spektry rychlých elektronů vypočtných pro L = 0.001 λ a L = 0.2 λ v hlinı́kovém terči
a v hlinı́kovém terči s 2 µm vrstvou polyethylenu na povrchu. V některých experimentech
je totiž vhodnějšı́ pokrýt terč tenkou vrstvou plastu, protože tı́m se zamezı́ ohřevu a ionizaci za plastikovou vrstvou a tedy i vzniku K-α zářenı́ z několikanásobně ionizovaných
atomů, které je patrné ve spektroskopických měřenı́ch. Monte Carlo simulace transportu
rychlých elektronů a vzniku K-α zářenı́ byly provedeny i pro rychlé elektrony z PIC simulacı́
s L = 0.001 λ a L = 0.2 λ s nižšı́ počátečnı́ elektronovou teplotou 100 eV, ve výsledcı́ch
však nenastala žádná podstatná změna. V simulacı́ch s 2 µm vrstvou plastu na povrchu terče
nebylo bráno do úvahy elektrické pole, generované rychlými elektrony. Protože je povrchovou vrstvou o izolant, mohlo by mı́t v tomto přı́padě by elektrické pole na transport
rychlých elektronů významnějšı́ vliv.
Obrázek 21:
Pulsy K-α fotonů vyletujı́cı́ch kolmo z přednı́ strany hlinı́kového terče. Počátečnı́ parametry rychlých
elektronů, při jejichž transportu v terči K-α fotony vznikajı́, jsou výsledky PIC simulacı́ s různou
charakteristickou délkou hustotnı́ho profilu L, viz. obr. 13, 14, 15.
60
Obrázek 22:
Pulsy K-α fotonů hlinı́ku vyletujı́cı́ch kolmo z přednı́ strany hlinı́kového terče, pokrytého 2 µm
plastu (polyethylenu). Vstupnı́mi daty byla jako u obr. 21 spektra rychlých elektronů, vypočı́taná
v simulacı́ch PIC, viz. obr. 13, 14, 15.
6.7
Časoprostorové rozloženı́ vzniku K-α fotonů v hlinı́kovém terči
Na obr. 23, 24, 25, 26 v této kapitole jsou zobrazeny výsledky Monte Carlo simulacı́ vzniku
K-α zářenı́, ještě před transportem K-α fotonů zpět k přednı́ straně terče. Na jedné ose je vynesena hloubka v terči v µm, na druhé čas ve fs. Z obrázků je dobře vidět, jak hluboko v terči
a v jakém čase vzniká nejvı́c K-α fotonů. Z Beerova zákona exponenciálnı́ho úbytku intenzity zářenı́ vyplývá pro hlinı́kový terč pro K-α zářenı́ hlinı́ku úbytek intenzity na 1/10 už při
transportu na dráze délky 20 µm. Tedy fotony, které vznikajı́ hlouběji v terči se ve výsledném
pulsu fotonů vyletujı́cı́ch kolmo z přednı́ strany terče téměř neprojevı́. Tyto výsledky ale mohou být velmi zajı́mavé pro měřenı́ pulsů K-α zářenı́ zboku terče. Z obr. 24 lze soudit, že
pulsy K-α zářenı́ pozorované zboku terče by mohly být delšı́, než pulsy pozorované zepředu.
Pomocı́ spektroskopických měřenı́ terče z boku s dobrým prostorovým rozlišenı́m je možné
zı́skat informace o spektru rychlých elektronů. Obr. 23 je pro PIC simulace s charakteristickou délkou L = 0.001 λ a většina K-α fotonů zde vzniká v hloubce do 20 µm. Naopak
pro L = 0.2 λ obr. 24, kdy vznikajı́ nejrychlejšı́ elektrony, je vznik K-α fotonů významný
až do hloubky 50 µm. Z obr. 25 a 26 je patrné, že se zvětšujı́cı́ se charakteristickou délkou L
rychle klesá maximálnı́ hloubka, ve které fotony vznikajı́.
61
Obrázek 23:
Časoprostorové rozloženı́ vzniku K-α fotonů v hlinı́kovém terči. Na vodorovné ose je čas ve fs, na
svislé ose hloubka v terči v µm a barvou je znázorněn počet vzniklých fotonů. Rychlé elektrony byly
převzaty z PIC simulace s L = 0.001 λ.
Obrázek 24:
Časoprostorové rozloženı́ vzniku K-α fotonů v hlinı́kovém terči. Na vodorovné ose je čas ve fs, na
svislé ose hloubka v terči v µm a barvou je znázorněn počet vzniklých fotonů. Rychlé elektrony byly
převzaty z PIC simulace s L = 0.2 λ.
62
Obrázek 25:
Časoprostorové rozloženı́ vzniku K-α fotonů v hlinı́kovém terči. Na vodorovné ose je čas ve fs, na
svislé ose hloubka v terči v µm a barvou je znázorněn počet vzniklých fotonů. Rychlé elektrony byly
převzaty z PIC simulace s L = 0.5 λ.
Obrázek 26:
Časoprostorové rozloženı́ vzniku K-α fotonů v hlinı́kovém terči. Na vodorovné ose je čas ve fs, na
svislé ose hloubka v terči v µm a barvou je znázorněn počet vzniklých fotonů. Rychlé elektrony byly
převzaty z PIC simulace s L = λ.
63
6.8 Transformace energie laserového pulsu do pulsu K-α zářenı́
V této kapitole jsou výsledky efektivity transformace laserové energie do energie K-α zářenı́.
Nejprve jsou na obr. 27 porovnány výsledky v závislosti na intenzitě laserového zářenı́.
Výpočty byly provedeny pro tři intenzity 4·1015 W/cm2 , 1.7·1016 W/cm2 a 4·1016 W/cm2 .
Z obrázku je patrné, že pro nižšı́ intenzity nastává nejefektivnějšı́ transformace pro charakteristickou délku L = 0.2 λ, tedy pro maximálnı́ rezonančnı́ absorpci. S klesajı́cı́ intenzitou
totiž klesá i energie rychlých elektronů a nejvı́c elektronů s dostatečnou energiı́ vzniká právě
v přı́padě maximálnı́ rezonančnı́ absorpce. Na obr. 28 jsou porovnány výsledky, kterých
jsme dosáhli pomocı́ PIC a Monte Carlo simulacı́ s experimentálnı́mi výsledky i výsledky
simulacı́, které byly publikovány v [62]. Jedná se opět o efektivitu transformace energie
laserového zářenı́ do energie zářenı́ K-α. Na obrázku jsou z názorněny výsledky našich simulacı́ pro terč z hlinı́ku a mědi v porovnánı́ s výsledky experimentu a simulace s terčem z SiO2 .
Výsledky našich simulacı́ pro hlinı́kový terč jsou v poměrně dobré shodě s výsledky simulacı́ [62]. Pro měd’ jsou pak výsledky poněkud odlišné. To je způsobeno tı́m, že u mědi jsou
z hlediska emise K-α zářenı́ nejefektivnějšı́ elektrony s energiı́ okolo 200 keV. Těch vzniká
nejvı́ce v PIC simulacı́ch s vysokou rezonančnı́ absorpcı́, tedy L = 0.2 λ a L = 0.1 λ.
Pokud uvážı́me, že K-α zářenı́ mědi má energii zhruba 5 x většı́ než K-α zářenı́ hlinı́ku, je
z obrázku patrné, že transformace energie laserového pulsu do energie pulsu K-α zářenı́ je
u mědi mnohem efektivnějšı́. Z výsledků simulacı́ i experimentu je také patrné, že při interakci laserového zářenı́ s terčem je možné dosáhnout spektrálnı́ho jasu emitovaného zářenı́
(peak brilliance), srovnatelného se spektrálnı́m jasem zářenı́ generovaného synchrotrony.
Výsledky našich simulacı́ pro hlinı́kový terč i simulacı́ [62] se výrazněji odlišujı́ od
experimentálnı́ch výsledků v oblasti malých charakteristických délek hustotnı́ho profilu L,
tedy v přı́padě, kdy hlavnı́ puls na terč dopadá téměř současně s předpulsem. Bohužel se
nám zatı́m i přes velkou snahu nepodařilo prokázat, čı́m je tato odchylka od experimentu
způsobena. Jednou z možnostı́ je většı́ vliv self-indukovaných elektrických polı́, nebot’ SiO2
je na rozdı́l od hlinı́ku izolant. Druhou možnostı́ je nepřesnost způsobená použitı́m konstantnı́
ionizace v průběhu PIC simulace. V souvislosti s ionizacı́ se uvažuje o možném doplněnı́
PIC kódu o procesy ionizace. Dalšı́ možnostı́ je vliv vı́cedimenzionálnı́ch efektů, a proto
uvažujeme do budoucna o použitı́ 2D PIC kódu.
64
Obrázek 27:
Závislost počtu K-α fotonů vyletujı́cı́ch z přednı́ strany terče (na steradian na J energie laserového
zářenı́) na intenzitě laserového pulsu.
Obrázek 28:
Transformace energie laserového pulsu do pulsu K-α zářenı́. Na obrázku jsou v závislosti na
charakteristické délce hustotnı́ho profilu L počty K-α fotonů, které vyletı́ kolmo z přednı́ strany terče
na steradian na J energie laserového zářenı́. Výsledky našich simulacı́ s terčem z hlinı́ku a s terčem
z mědi jsou porovnány s výsledky simulacı́ [62] s terčem z SiO2 a s výsledky experimentu [62]
rovněž s terčem z SiO2 . Na obrázku jsou také výsledky vypočtené z předpokladu gaussovského profil
laserového pulsu ve fokusu.
65
7
Závěr
Tato práce se zabývá transportem rychlých elektronů v seminekonečném terči z pevného
materiálu a s tı́m souvisejı́cı́m vznikem a transportem K-α zářenı́. Pro simulovánı́ transportu elektronů na počı́tači byla zvolena metoda Monte Carlo. Na základě studia několika
počı́tačových kódů Monte Carlo simulacı́ transportu elektronů byl navržen a implementován
kód vlastnı́, pro dané simulace co možná nejvhodnějšı́. Počı́tačový model zahrnuje pružné i
nepružné srážky, vznik a transport sekundárnı́ch elektronů i vznik brzdného zářenı́. Později
byl rozšı́řen o možnost simulovánı́ transportu rychlých elektronů v terči z vı́ce vrstev různých
materiálů a oproti jiný modelům i o časové rozlišenı́. Počı́tačový kód byl otestován na úloze
výpočtu množstvı́ zpětně rozptýlených elektronů a na úloze výpočtu K-α fotonů vyletujı́cı́ch
z přednı́ strany terče. U obou úloh byla nalezena poměrně dobrá shoda s experimentálnı́mi
výsledky i výsledky jiných simulačnı́ch kódů.
Počı́tačový model transportu elektronů a vzniku charakteristického zářenı́ byl vyvinut
zejména pro simulovánı́ transportu rychlých elektronů, vznikajı́cı́ch při interakci laserového
zářenı́ s pevným terčem. Rychlé elektrony pro tyto simulace byly zı́skány ze simulacı́
Particle-In-Cell, které se zabývajı́ absorpcı́ laserového zářenı́ v plazmatu a které prováděl
a ve své práci popsal kolega Vladislav Bı́na [2]. Výstupy těchto simulacı́ byly analyzovány
z hlediska času, energiı́ i směrů rychlých elektronů, nebot’ tyto parametry jsou pro výsledky
Monte Carlo simulacı́ velmi důležité. V souvislosti s transportem rychlých elektronů bylo
studováno i elektrické pole, které při tomto transportu v terči vzniká.
Pro simulovánı́ interakce laserového zářenı́ s pevným terčem byl také využit jednodimenzionálnı́ hydrodynamický kód Medusa. Pomocı́ tohoto kódu byly zı́skány informace
o elektronové teplotě a ionizaci v průběhu interakce laserového pulsu s terčem. Kód obsahuje rovněž zjednodušený model vzniku a transportu rychlých elektronů v terči. Tento
model transportu rychlých elektronů byl vylepšen tak, že jeho výsledky jsou v lepšı́ shodě
výsledky Monte Carlo simulacı́.
Pomocı́ Monte Carlo simulacı́ transportu rychlých elektronů a vzniku charakteristického
zářenı́ byl studován vznik K-α zářenı́ v hlinı́kovém terči z hlediska času a hloubky v terči.
Ve výpočtech se vstupnı́mi daty zı́skanými z PIC simulacı́ byla předpovězena délka pulsů
K-α zářenı́, tedy šı́řka pulsů v polovině výšky zhruba 200 fs. V experimentech [65] přitom
bylo předpovězeno, že pulsy K-α zářenı́ nebudou delšı́ než 650 fs. Parametry PIC simulacı́
byly zvoleny stejně jako v [62], a tak bylo možné naše výsledky porovnávat s výsledky jiné
simulace i experimentu.
Vznik K-α fotonů byl také implementován do Monte Carlo kódu MCSET, který se
rovněž zabývá transportem rychlých elektronů a nová verze kódu byla prezentována na 13th
International Conference on Microscopy of Semiconducting Materials [66].
Některé výsledky našich simulacı́ byly rovněž publikovány v [67] a prezentovány na
29th European Physical Society Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion [68]
a na konferenci ECLIM 2002 [69]. Nejnovějšı́ výsledky byly prezentovány v rámci zvaných
referátů na Workshop on Simulations of Ultra Intense Laser Beams Interaction with Matter
v Boreadux [70] a jsou připravovány pro publikvánı́ v časopise Laser and Particle Beams.
66
Reference
[1] More, R. M., Zinamon, Z., Warren, K. H., Falcone, R., Murnane, M.: Heating of solids
with ultra-short laser-pulses, Jounal de Physique C 49, 43-51 (1988).
[2] Bı́na, V.: PIC simulace ultrakrátkých laserových pulsů s terči, diplomová práce na
ČVUT, FJFI, KFE, Praha (2003).
[3] Davies, J. R.: How wrong is the collisional Monte Carlo modeling of fast electron
transport in high-intensity laser-solid interactions?, Physical Review E 65, 026407
(2002).
[4] Cavalleri, A., Siders, C. W., Rose-Petruck, C., Jimenez, R., Toth, C., Squier, J. A.,
Barty, C. P. J., Wilson, K. R., Sokolowski-Tinten, K., von Hoegen, M. H., von der
Linde, D.: Ultrafast X-ray measurement of laser heating in semiconductors: Parameters determining the melting threshold, Physical Review B 63, 3306 (2001).
[5] Siders, C. W., Cavalleri, A., Sokolowski-Tinten, K., Toth, C., Guo, T., Kammler, M.,
von Hoegen, M. H., Wilson, K. R., von der Linde, D., Barty, C. P. J.: Detection of
nonthermal molting by ultrafast X-ray diffraction, Science 286, 1340-1342 (1999).
[6] Rose-Petruck, C., Jimenez, R., Guo, T., Cavalleri, A., Siders, C. W., Raksi, F., Squier,
J. A., Walker, B. C., Wilson, K. R., Barty, C. P. J.: Picosecond milliangstrom lattice
dynamics measured by ultrafast X-ray diffraction, Nature 398, 310-312 (1999).
[7] Tabak, M., Hammer, J., Glinsky, M. E., Kruer, W. L., Wilks, S. C., Woodworth, J.,
Campbell, E. M., Perry, M.: Ignition and high-gain with ultrapowerful lasers, Physics
of Plasmas 1, 1626-1634 (1994).
[8] Joy, D. C.: Monte Carlo Modeling for Electron Microscopy and Microanalysis, Oxford
University Press, Oxford (1995).
[9] Umstadter, D.:Review of physics and applications of relativistic plasmas driven by
ultra-intense lasers, Physics of Plasmas 8, 1774-1785 (2001).
[10] Andreev, A. A., Vankov, A. K., Platonov, K. Y., et al.: Determination of the radiation
cross sections of low-energy transitions of isomeric nuclei from observation of laseriduced gamma fluorescence, Journal of Experimental and Theoretical Physics 94, 862868 (2002).
[11] McKenna, P., Ledingham, K. W. D., Spencer, I., McCanny, T., Singhal, R.
P., Galy, J., Magill, J., Rondinella, V., Rebizant, J., Schenkel, R., Beg, F. N.,
Krushelnick, K., Wei, M. S., Norreys, P. A., Lancaster, K. L., Clarke, R. J.,
Clark, E. L.: Experiments in laser-induced nuclear physics, [citováno 2003-5-1],
http://itumagill.fzk.de/ADS/Laser/ICENES McKenna.PDF.
[12] Batani, D.: Transport in dense matter of relativistic electrons produced in ultra-highintensity laser interactions, Laser and Particle Beams 20, 321-336 (2002).
67
[13] Christiansen, J. P., Ashby, D. E. T. F., Roberts, K. V.: Medusa a one-dimensional laser
fusion code, Computer Physics Communications 7, 271-287 (1974).
[14] Stopping power and range tables of electrons (ESTAR) [on-line databáze],
National Institute of Standards and Technology (2000) [citováno 2003-5-1],
http://physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/contents.html.
[15] Berger, M. J., Seltzer, S. M.: in Monte Carlo Transport of Electrons and Photons (kapitoly 7-9), Jenkins, T. M.ed. Plenum Press, New York (1988).
[16] Halbleib, J. A., Kensek, R. P., Mehlhorn, T. A., Valdez, G. D., Seltzer, S. M., Berger,
M. J.: ITS version 3.0: the integrated TIGER series of coupled electron/photon Monte
Carlo transport codes, Sandia National Laboratories, Albuaquerque, NM, Report
SAND91-1634 (1992).
[17] Nelson, W. R., Hirayama, H., Rogers, D. W. O.: The EGS4 Code System, Stanford
Linear Accelerator Center, Stanford, CA, Report SLAC-265 (1985).
[18] Kawrakow, I., Rogers, D. W. O.: The EGSnrc code system: Monte Carlo simulation of
electron and photon transport, National Research Council of Canada, Ottawa, Report
PIRS-701 (2000).
[19] Brun, R., Bruyant, F., Maire, M., McPherson, A. C., Zanarini, P.: GEANT3, CERN,
Geneva, Report DD/EE/84-1 (1986).
[20] Briesmeister, J. F.: MCNP - A general Monte Carlo N-particle transport code, Los
Alamos National Laboratory, Los Alamos, NM, Report LA-12625-M-Version 4B
(1997).
[21] Salvat, F., Fernández-Varea, J. M., Acosta, E., Sempau, J.: PENELOPE - A Code System
for Monte Carlo Simulation of Electron and Photon Transport, Nuclear Energy Agency,
Workshop Proceedings (2001).
[22] Kahn, H.: Random sampling Monte Carlo techniques in neutron attenuation problems
I., Nucleonics 6, 27-37 (1950).
[23] Hayward, E., Hubbell, J.: The albedo of various materials for 1-Mev photons, Physical
Review 93, 955-956 (1954).
[24] Press, W. H., Teukolsky, S. A.: Portable random number generators, Computers in
Physics 6, 522-524 (1992).
[25] Fog, A.: Pseudo random number generators, (2003) [citováno 2003-5-1],
http://www.agner.org/random.
[26] Virius, M.: Aplikace matematické statistiky - Metoda Monte Carlo, Vydavatelstvı́
ČVUT (1999).
68
[27] Acosta, E., Llovet, X., Coleoni, E., Riveros, J. A., Salvat, F.: Monte Carlo simulation
of x-ray emission by kilovolt electron bombardment, Journal of Applied Physics 83,
6038-6049 (1998).
[28] Berger, M. J., Seltzer, S. M.: Studies in Penetration of Charged Particles in Matter,
Nuclear Science Series Report No. 39, NAS-NRC Publication No. 1133, National
Academy of Science, Washington (1964).
[29] Newbury, D. E., Myklebust, R. L.: in Analytical Electron Microscopy, Geiss, R. H.ed.,
San Francisco Press, San Francisco, 91 (1981).
[30] Bishop, H. E.: in Use of Monte Carlo Calculations in Electron Probe Microanalysis
and Scanning Electron Microscopy, NBS Special Publication #460, 5 (1976).
[31] Reimer, L., Krefting, E. R.: in Use of Monte Carlo Calculations in Electron Probe
Microanalysis and Scanning Electron Microscopy, NBS Special Publication #460, 45
(1976).
[32] Browning, R., Li, T. Z., Chui, B., Jun Ye, Pease, R. F. W., Czyzewski, Z., Joy, D.
C.: Low-Energy Electron/Atom Elastic Scattering Cross Sections from 0.1-30 keV,
Scanning 17, 250-253 (1995).
[33] Bethe, H. A.: Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie, Annals of Physics 5, 325 (1930).
[34] Inokuti, M.: Inelastic collisions of fast charged particles with atoms and molecules-the
Bethe theory revised, Reviews of Modern Physics 43, 297-347 (1971).
[35] Mayol, R., Salvat, F: Cross sections for K-shell ionisation by electron impact, Journal
of Physics B 23, 2117-2130 (1990).
[36] Fano, U.: Penetration of protons, alpha particles and mesons, Annual Review of Nuclear Science 13, 1-66 (1963).
[37] Liljequist, D.: A simple calculation of inelastic mean free path and stopping power for
50 eV-50 keV electrons in solids, Journal of Physics D: Applied Physics 16, 1567-1582
(1983).
[38] Salvat, F., Fernández-Varea, J. M.: Semiempirical cross sections for the simulation of
the energy loss of electrons and positrons in matter, Nuclear Instruments & Methods in
Physics Research B 63, 255-269 (1992).
[39] Koch, H. W., Motz, J. W.: Bremsstrahlung Cross-Section Formulas and Related Data,
Reviews of Modern Physics 31, 920-955 (1959).
[40] Tsai, Y.: Pair production and bremsstrahlung of charged leptons, Revievs of Modern
Physics 46, 815-851 (1974).
69
[41] Ding, Z. J., Shimizu, R., Obori, K.: Monte Carlo simulation of x-ray spectra in electron
probe microanalysis: Comparison of continuum with experiment, Journal of Applied
Physics 76, 7180-7187 (1994).
[42] Cengiz, A.: Approximate inelastic scattering cross sectionc of electrons, Radiation
Physics and Chemistry 65, 33-44 (2002).
[43] Casnati, E., Tartari, A., Baraldi, C.: An empirical approach to K-shell ionisation cross
section by electrons, Journal of Physics B 15, 155-167 (1982).
[44] Gryzinski, M.: Two-particle collisions, Physical Review 138, A305-A358 (1965).
[45] Mantian, L., Zhu, A., Changhuang, T., Zhengming, L., Xiufeng, P., Xianguan, L.: Experimental electron-impact K-shell ionization cross section, Atomic Data and Nuclear
Data Tables 76, 213-234 (2000).
[46] Namito, Y., Hirayama, H.: Implementation of electron-impact ionization into the EGS4
code, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 423, 238-246 (1999).
[47] Perkins, S. T., Cullen, D. E.: Evaluated Atomic Data Library, Lawrence Livermore
National Laboratory, UCRL-ID-117796 (2002), http://www.llnl.gov/cullen1.
[48] Bambynek, W., Crasemann, B., Fink, R. W., Freund, H. U., Price, R. E., Rao, P. V.: XRay Fluorescence Yields, Auger, and Coster-Kronig Transition Probabilities, Reviews
of Modern Physics 44, 717-808 (1972).
[49] Davis , J., Clark, R., Giuliani, J.: Ultrashort pulse laser-produced Al/Si plasma, Laser
and Particle Beams 13, 3-18 (1995).
[50] Hubbel, J. H., Seltzer, S. M.: Tables of X-Ray Mass Attenuation Coefficients
and Mass Energy-Absorption Coefficients from 1 keV to 20 MeV for Elements Z = 1 to 92 and 48 Additional Substances of Dosimetric Interest,
National Institute for Standarts and Technology, (2001) [citováno 2003-5-1),
http://physics.nist.gov/PhysRefData/XrayMassCoef/cover.html.
[51] Batani, D., Antonicci, A., Pisani, F., Hall, T. A., Scott, D., Amiranoff, F., Koenig, M.,
Gremillet, L., Baton, S., Martinolli, E., Rousseaux, C., Nazarov, W.: Inhibition in the
propagation of fast electrons in plastic foams by resistive electric field, Physical Review
E 65, 066409 (2002).
[52] Napchan, E.: Experimental Electron Scattering Data, (2001) [citováno 2003-5-1],
http://www.napchan.com/bse/index.htm.
[53] Hunger, H. J., Küchler, L., Physica Status Solidi (a), 56:K45 (1979).
[54] Dick, C. E., Lucas, A. C., Motz, J. M., Placious, R. C., Sparrow, J. H.: Large-angle L
x-ray production by electrons, Journal of Applied Physics 44, 815-826 (1973).
[55] Slazmann, D.: Theory of energy deposition by suprathermal electrons in laserirradiated targets, Physical Review E 65, 056409 (2002).
70
[56] Djaoui, A., Rose, S. J.: Calculation of the time-dependent excitation and ionization in
a laser-produced plasma, Journal of Physics B 25, 2745-2762 (1992).
[57] Limpouch, J., Renner, O., Krouský, E., Uschmann, I., Föerster, E., Kalashnikov, M. P.,
Nickles, P. V: Line x-ray emission from Al targets irradiated by high-intensity, variablelength laser pulses, Laser and Particle Beams 20, 43-50 (2002).
[58] Key, M. H.: Energy transport in laser-produced plasmas in Handbook of Plasma
Physics 3, Rubenchik, A. M., Witkowski, S., Elsevier Science Publishers, 575-611
(1991).
[59] Harrach, R. J., Kidder, R. E.: Simple-model of energy deposition by suprathermal electrons in laser-irradiated targets, Physical Review A 23, 887-896 (1981).
[60] Valchuck, V. V., Volkov, N. B., Yalovets, A. P.: Energy-losses of fast electrons ina a
beam-plasma, Plasma Physics Reports 21, 159-164 (1995).
[61] Loveland, W., Morrissey, D. J., Seaborg, G. T.: Interaction of Radiation with Matter in
Modern Nuclear Chemistry, Wiley (2000).
[62] Schlegel, T., Bastiani, S., Grémillet, L., Geindre, J.-P., Audebert, P., Gauthier, J.-C.,
Lefebvre, E., Bonnaud, G., Delettrez, J.: Comparison of measured and calculated x-ray
and hot-electron production in short-pulse laser-solid interactions at moderate intensities, Physical Review E 60, 2209-2217 (1999).
[63] Bastiani, S., Rousse, A., Geindre, J. P., Audebert, P., Quoix, C., Hamoniaux, G., Antonetti, A., Gauthier, J. C.: Experimental study of the interaction of subpicosecond laser
pulses with solid targets of varying initial scale lengths, Physical Review E 56, 71797185 (1997).
[64] Nakano, H., Nishikawa, T., Uesugi, N.: Enhanced K-shell x-ray line emmisions from
aluminium plasma created by a pair of femtosecond laser pulses, Applied Physics Letters 79, 24-26 (2001).
[65] Feurer, T., Morak, A., Uschmann, I., Ziener, Ch., Schwoerer, H., Reich, Ch., Gibbon,
P., Förster, E., Sauerbrey, R., Ortner, K., Becker, C. R.: Femtosecond silicon K-α pulses
from laser-produced plasmas, Physicel Review E 65, 016412 (2001).
[66] Klimo, O., Napchan, E., Limpouch, J.: Monte Carlo Calculations of X-rays Generation
for Electron Beams with Energies up to 500 keV, 13th International Conference on
Microscopy of Semiconducting Materials, Cambridge 31 March - 3 April 2003, P4-14
(2003).
[67] Limpouch, J., Bı́na, V., Dytrych, T., Klimo, O.: Laser absorption, electron acceleration
and K-α emission in short-pulse laser-target interactions, Czech Journal of Physics 52,
(2002).
[68] Limpouch, J., Bı́na, V., Dytrych, T., Klimo, O.: Simulations of K−α Emission from
Short–Pulse–Irradiated Solid Targets, 29th EPS Conference on Plasma Phys. and
Contr. Fusion, Montreux 17-21 June 2002, ECA Vol. 26B, P-2017 (2002).
71
[69] Limpouch, J., Bina, V., Klimo, O., Andreev, A. A., Nakano, H.: Femtosecond K-α
emission from multilayer targets irradiated by short pulses, 13th European Conference
on Laser Interaction with Matter, Moscow 7-11 October 2002, book of abstracts page
90 (2002).
[70] Limpouch, J., Bina, V., Klimo, O.: Simulations of femtosecond K-α emission from
short-pulse interactions, Workshop on Simulation of ultra intense laser beams interaction with matter , Bordeaux 14-16 April 2003, invited talk (2003).
72