pdf, 7MB

Komplexní
pohonové
soustavy
Editoři:
prof. Ing. Ctirad Kratochvil, DrSc
Ing. Lubomír Houfek, Ph.D.
Autoři:
Ing. Pavel Heriban, VUT v Brně, FSI
Ing. Lubomír Houfek, PhD, ÚT AVČR v Praze, pobočka Brno
prof. Ing. Ctirad Kratochvíl, DrSc., ÚT AVČR v Praze, pobočka Brno
Ing. Martin Houfek, ÚT AVČR v Praze, pobočka Brno
doc. Ing. Jaroslav Kalous, CSc. Univerzita obrany v Brně, Fakulta vojenských technologií
Recenzenti:
Ing. Milan Hortel, DrSc., ÚT AVČR v Praze
doc. Ing. Jozef Mudrik, CSc., STU – MtF v Trnavě
Poděkování:
Tato práce byla vypracována s finanční podporou výzkumného záměru ÚT AVČR v Praze č.
AVO Z20760514 a projektu GAČR č. 101/06/0063
Vydavatel:
ÚT AVČR v Praze, pobočka Brno
Tisk: Tiskárna MLOK, s.r.o.
ISBN: 978-80-214-3508-7
Vydání první
Ústav termomechaniky AVČR v Praze
Centrum mechatroniky v Brně
KOMPLEXNÍ POHONOVÉ
SOUSTAVY
Editoři: Ctirad Kratochvíl
Lubomír Houfek
Brno 2007
OBSAH
Kap.
str.
1
Předmluva
Část I. – Modelování komplexních pohonových soustav
1
Úvod: Historické kořeny analýzy pohonových soustav a
současný stav problematiky
2
Matematické metody, prostředky a programové soubory,
použitelné pro analýzu modelů pohonových soustav
3
Základy modelování technických soustav
4
Komplexní pohonové soustavy
5
Řízení pohonových soustav
6
Bifurkace a chaos v pohonových soustavách
5
8
17
19
49
69
Část II. – Modelování elektromechanických pohonových soustav
7
Dynamika dvoumotorových elektromechanických pohonů
s motory za sebou
89
8
Dynamika dvoumotorových elektromechanických pohonů
s motory vedle sebe
113
Literatura
136
Autoři jednotlivých kapitol:
Kapitola 1:
Kapitola 2:
Kapitola 3:
Kapitola 4:
Kapitola 5:
Kapitola 6:
Kapitola 7:
Kapitola 8:
Pavel Heriban
Pavel Heriban
Ctirad Kratochvíl
Pavel Heriban
Pavel Heriban
Ctirad Kratochvíl
Lubomír Houfek
Martin Houfek
Pavel Heriban
Ctirad Kratochvíl
Jaroslav Kalous
Jaroslav Kalous
Předmluva
Nárůst poznání během minulého století a především na jeho konci výrazně ovlivnil vývoj
všech vědních oblastí, strojírenství nevyjímaje. V důsledku velkého rozvoje výpočetní techniky došlo k nebývalému rozvoji všech inženýrských disciplin, od aplikací nových výpočetních prostředků, přes výzkum a užití nových typů materiálů (často s inteligentními projevy
v chování) až po aplikace nových výrobních technologií.
Tato skutečnost samozřejmě ovlivnila i výzkum, vývoj a výrobu nových pohonových soustav, které dnes představují složité interaktivní dynamické soustavy s prvky či subsoustavami
různé fyzikální podstaty a především s řízením, často inteligentním. Tyto skutečnosti ovšem
výrazně posílily požadavky na provádění simulačních experimentů, které se dnes staly základním prostředkem pro výzkum, vývoj, výrobu a provoz nových pohonových soustav. A právě
do této oblasti, tj. do problematiky analýzy dynamických vlastností, vytváření počítačových
modelů a simulačního experimentování, se řadí i tato práce.
Část I.
Modelování komplexních pohonových soustav
1
Úvod: Historické kořeny analýzy pohonových soustav
a současný stav problematiky
Problematika analýzy pohonových soustav a modelování jejich dynamických vlastností je
od svého počátku bezprostředně vázána na jejich základní (a nejznámější) projevy – na analýzu a potlačování kmitů rotujících soustav. S touto problematikou se setkáváme již při
analýze chování rotujících hřídelů (W. J. Macquorn Rankie) a při stanovení jejich kritických
otáček. Výzkum intenzivně pokračoval a záhy byly získány poznatky o samovyvážení
(De Laval) a experimentálně byly zjištěny tzv. druhé kritické otáčky (W. Kerr). Existence
stabilních nadkritických oblastí byla potvrzena pracemi Henriho H. Jeffcoba, dodnes se model
rotoru, složený z tuhého kotouče na nehmotném poddajném hřídeli, označuje jako Jeffcobův
rotor. Stabilizace chodu rotorových soustav se stávala rozhodujícím aspektem, k jehož řešení
přispěli další významní badatelé, Newkirk, Taylor a především pak Aurel B. Stodola,
M. Prohl a N. O. Myklestad, kteří vytvořili obecnější metodiky, dnes známé jako metoda
přenosových matic.
Po druhé světové válce došlo k výraznému posunu znalostí, a to především v oblasti leteckých motorů a později také v oblasti vozidlových motorů. A právě od této doby můžeme
mluvit nejen o rotorech a jejich soustavách, ale o pohonových soustavách, které již začaly
představovat neobyčejně složité soustavy s prvky a subsoustavami různé fyzikální podstaty.
Požadavky na jejich řízení pak vedly (a vedou) na jejich modelování způsobem on-line,
praktické důvody již vylučují separátní modelování jejich dílčích projevů. A tak se začaly
objevovat vážné problémy; již základní dynamické úlohy, např. určení vlastních hodnot, které
se u fyzikálně odlišných subsoustav liší i o několik řádů, deklasovaly „klasické“ integrační
metody. Aby bylo možné provádět analýzy těchto soustav, musely vzniknout stiff-metody.
Samotné řízení, především výběr stále většího počtu řízených veličin, vedlo ke vzniku inteligentních řízených pohonů, pohonů mechatronických.
Současné poznatky ze studia analýz a modelování dynamických vlastností pohonových
soustav je možné rozdělit do tří skupin podle jejich charakteristických vlastností:
• Pohonové soustavy „klasického“ typu, neřízené i řízené, pracující v podmínkách rovnovážných stavů, přechodových stavů i stavů poruchových. Typickým znakem je
relativní homogenita struktury a stav hnacího motoru je vyjádřen redukovanou hmotou a statickou, resp. dynamickou charakteristikou.
• Pohonové soustavy interaktivní, řízené i neřízené, pracující převážně v podmínkách
přechodových a nerovnovážných stavů a s působením mechanických, elektrických
i jiných poruch. Obsahují obecně subsoustavy různé fyzikální podstaty (popsané růz-
nými typy pohybových rovnic), přičemž vlastnosti těchto subsoustav mohou výrazně
ovlivňovat vlastnosti globální soustavy.
• Pohonové soustavy mechatronického typu, které obsahují řídicí subsoustavy vykazující určitý stupeň inteligentního chování. S ohlédnutím na předchozí skupiny tyto
soustavy zahrnují především pohony přenášející středně velké a malé výkony a výhledově jde o mikropohony, případně i nanopohony.
Do prvé skupiny řadíme „klasické pohonové soustavy“ mechanické nebo elektromechanické s relativně homogenní strukturou. Například tehdy, kdy je rotor motoru nahrazen redukovaným momentem setrvačnosti a vlastnosti motoru jsou dány statickou charakteristikou.
Nebo naopak, když jsou vlastnosti motoru popsány soustavou rovnic (např. stejnosměrný
motor s cizím buzením a tyristorovým řízením) a mechanická část je modelována jako redukovaný moment setrvačnosti. Výpočty, i když ne zcela respektují požadavek úrovňové vyváženosti jednotlivých subsoustav (mechanické, elektrické, ...), velmi často dobře vystihují
základní vlastnosti, ale detailní analýzy již provádět nelze [1]–[5].
Do druhé skupiny můžeme zařadit pohonové soustavy, při jejichž modelování je nutné
plně respektovat požadavek úrovňové vyváženosti modelů dílčích subsoustav. Mechanická,
elektrická, elektronická, hydraulická či jiná subsoustava je popsána soustavami pohybových
(či řídicích) rovnic, doplněných algebraickými relacemi, které popisují vlastnosti a chování
pohonů na požadované úrovni rozlišitelnosti. Zde je jednoznačné doporučení – přenést dílčí
soustavy rovnic do stavového prostoru a vzniklou globální soustavu řešit pomocí stiff-metod,
viz například [6]–[9]. Obecně v těchto případech mluvíme o „komplexních pohonových soustavách“.
Třetí skupinu pohonových soustav reprezentují soustavy mechatronické [10]–[12], resp.
„mikromechatronické“.
Se zvyšujícími se nároky na přesné autonomní řízení a s rozvojem výpočetní techniky se
stále více dostávají do popředí inteligentní či adaptivní řídicí systémy, které jsou schopny reagovat na změny parametrů procesu, způsobené například změnami v provozních režimech, se
kterými si pevně seřízené regulátory nemohou vyrovnat, nebo jsou schopné se vyrovnat, na
rozdíl od klasických přístupů k řízení, se složitostí systémů, nelinearitami, variacemi parametrů a neurčitostí. Inteligentní řízení – řízení založené na metodách strojového učení – je
tedy robustní vůči změnám parametrů a vnějším i vnitřním poruchám. V posledních letech se
proto setkáváme v řízení a regulaci s principy, které jsou založeny na poměrně nové vědní
disciplíně, která je označována jako Soft Computing (SC). Zabývá se širokým spektrem
různých výpočetních postupů, jejich společným jmenovatelem je odklon od klasického modelování založeném na analytických modelech, booleovské logice, ostré klasifikaci a deterministickém prohledávání.
Inteligentní řízení využívá metod založených na metodách umělé inteligence. Mezi ně se
řadí například řízení pomocí umělých neuronových sítí, fuzzy řízení, neuro-fuzzy řízení,
bayesovské řízení, řízení s využitím expertních systémů, genetických algoritmů, inteligentních agentů a další.
Charakteristickým znakem fuzzy řízení je možnost bezprostředního použití empirických
znalostí člověka – operátora o řízeném procesu, které označujeme jako bázi znalostí. Bázi
znalostí tvoří jednak informace o stacionárních stavech, intervalech, ve kterých se pohybují
hodnoty vstupních a výstupních veličin, jejich mezní hodnoty, atd. Rozšíříme-li tato data
o funkce příslušnosti všech vstupních a výstupních veličin, pak všechny tyto informace o procesu se v bázi znalostí označují jako báze dat. Bázi znalostí mohou tvořit také kvantitativně
formulované zkušenosti včetně slovně definované strategie řízení, pomocí kterých je možno
realizovat řízení, tj. generovat akční veličinu. Takto zkušeností získané strategie řízení označujeme jako bázi pravidel.
Nedílnou součástí řízení je identifikace systémů, pro kterou mohou být metody umělé
inteligence úspěšně použity i v případech, kdy klasické metody selhávají. Můžeme tedy říci,
že v adaptivním řízení je úloha identifikace stejně důležitá jako role syntézy regulátoru.
Například dopředné vrstvené neuronové sítě pracují obecně jako univerzální aproximátory,
jednoduše využitelné pro identifikaci i v případě, že není znám popis soustavy. Pomocí genetického algoritmu či jeho rozšíření – genetického programování – je možné identifikovat parametry modelu i soustavy silně nelineární. Řízení pomocí metod opakovaně posilovaného
učení, například metodou Q-učení, dokonce nevyžaduje model soustavy.
Součástí skupin adaptivních regulátorů jsou i samočinně se nastavující regulátory, které
jsou založeny na průběžné identifikaci odhadů proměnlivých parametrů modelu procesu a následné syntéze regulátoru. Je proto třeba použít dostatečně přesné a spolehlivé rekurzivní
identifikační metody, které jsou schopny tyto parametry identifikovat v poměrně krátkém
čase.
Pokud jde o pohony extrémně malé, mluvíme o „mikropohonech“, případně i o „nanopohonech“. Zatímco u konvenčních mechatronických a mikromechatronických pohonů jsou
základními teoriemi stále ještě klasická mechanika a elektromagnetismus, u nanomechatronických pohonových soustav představují základní teorie již kvantová mechanika a nanomechatronika [13], [14].
2
Matematické metody, prostředky a programové soubory,
použitelné pro analýzu modelů pohonových soustav
V technických vědách a v inženýrské praxi je základním zdrojem poznatků o technických
systémech a zařízeních experiment. V určitém (omezeném) množství případů je možné takový experiment uskutečnit se skutečným technickým objektem, popř. s jeho fyzickým modelem. U elektromechanických pohonových soustav (dále jen EMPS) se jen zřídka podaří
experiment se skutečným pohonem, výstavba fyzického modelu je zpravidla velmi nákladná.
Proto se k získáni poznatků o EMPS často používá analýza, založená na matematickém
modelování, jejímž základním předpokladem je vytváření příslušných matematických modelů. Praktická použitelnost matematických modelů však byla až do nedávné doby omezena
pouze na získání analytického řešení, a to zejména u relativně jednoduchých EMPS nebo jeho
částí. Teprve mohutný rozvoj výpočetní techniky v posledních dvou desetiletích, včetně
příslušného programového vybavení, však umožnil podstatně rozšířit meze řešitelnosti matematických modelů a postupně automatizovat řešení rovnic matematického modelu.
Technickou realizaci matematického modelu EMPS je tzv. počítačový model, umožňující
sledovat a analyzovat chování EMPS za různých podmínek, odpovídajících jeho skutečnému
nebo předpokládanému provozování. To znamená, že při užití počítačového modelu se úloha
analytika redukuje na dvě základní činnosti, pomineme-li vlastní spuštění automatizovaného
výpočtu:
1) vkládání příslušných vstupů do počítačového modelu a
2) zpracování získaných výsledků a jejich analýza.
Pro činnosti spojené s napodobením reálných dějů v EMPS počítačovým modelem se
všeobecně používá označeni simulace. Pod tímto pojmem rozumíme všechny fáze procesu
získávání poznatků o EMPS, jehož výsledkem je ekvivalence mezi počítačovým modelem
a vyšetřovaným systémem jak z hlediska jeho vlastností, tak i z hlediska jeho podstatných
projevů. Zde je však třeba zdůraznit, že tato ekvivalence je omezena přesností postačující pro
daný účel, tedy výsledky simulací mají pouze omezenou vypovídací schopnost. Hlavními
fázemi simulací jsou následující činnosti:
• vymezení dynamického systému na zkoumané EMPS,
• sestavení matematického a následně počítačového modelu,
• ověření shody projevů počítačového modelu s projevy zkoumané EMPS,
• experimenty s počítačovým modelem,
• analýza a aplikace výsledků simulačních experimentů na zkoumanou EMPS.
Je zřejmé, že rozsah činností při simulacích je podstatně širší, než pouhé sestavení
matematického modelu a následné odladění modelu počítačového. Věnujme nyní pozornost
způsobům matematického modelováni a dostupným programovým prostředkům, jež lze
využít k simulacím dynamických dějů v EMPS. Pohybové rovnice modelovaného EMPS
mohou být odvozeny různými způsoby. Ve výzkumné a inženýrské praxi jsou nejrozšířenější
následující dva postupy:
1) užití fyzikálních principů a zákonitostí k matematickému popisu dějů, které se ve
zkoumané EMPS vyskytují. Pro mechanickou část EMPS lze využít především
D'Alambertův princip a Newtonův druhý zákon dynamiky, pro elektrickou část pak
Ohmův zákon, Kirchhoffovy zákony a Faradayův zákon elektromagnetické indukce,
2) užití Lagrangeových rovnic a Hamiltonova variačního principu pro obě části EMPS.
Takto získané pohybové rovnice EMPS mají obvykle tvar maticových nebo obecně
nelineárních rovnic pro vektory (matice) fyzikálních proměnných nebo pro vektory (matice)
tzv. zobecněných proměnných, přičemž jedním z velmi rozšířených způsobů popisu dynamických systémů je tzv. stavový popis, skládající se ze stavové rovnice a z rovnice odezvy
systému. K řešení uvedených typů rovnic lze použít různé postupy. Do nedávné doby bylo
obvyklé, že pomocí programovacích jazyků FORTRAN nebo PASCAL byl sestaven jednoúčelový počítačový model pro zkoumanou EMPS, jehož výpočtová část obsahovala některou
z dostupných a prakticky ověřených procedur pro řešení soustav diferenciálních rovnic nebo
algebro-diferenciálních rovnic (Newmark, Euler, Adams, Runge-Kutta apod.). Programátor
v takovém případě pouze sestavil příslušné procedury pro zadávání vstupů a pro zvolené
způsoby zpřístupnění výsledků výpočtů, včetně jejich vizualizace. Tento přístup k simulacím
velmi různorodých konfigurací EMPS byl časově značně náročný a především vyžadoval
zkušeného programátora. V současné době jsou k dispozici simulační programy, které lze
zařadit do dvou základních skupin. Jsou to:
1) obecné výpočtové, resp. simulační programy a
2) specializované simulační programy.
Většina obecných simulačních programů je založena na rovnicích, čili jejich vstupy musí
mít tvar soustavy diferenciálních nebo algebro-diferenciálních rovnic. Naproti tomu specializované simulační programy nabízejí k okamžitému použití různé knihovny připravených
modulů nebo šablon základních prvků pro příslušnou aplikaci nebo si uživatel může takové
moduly či šablony sám vytvořit, odladit a poté je přidat do již existující knihovny prvků. Je
samozřejmé, že tyto moduly mají zpravidla tvar soustavy rovnic, popisujících modelovaný
prvek. Z velkého množství všech dostupných programů se jeví pro potřebu simulací EMPS
jako nejvhodnější následující programy: MATLAB, Simulink, MathCAD a DYNAST a v zahraničí používaný program Simplorer.
2.1
Matematický program MATLAB
Matematický program MATLAB je obecný číslicový výpočtový program, určený pro vědecké a inženýrské výpočty. S jeho pomoci je možné řešit následující okruhy problémů:
1) matematické výpočty všeho druhu v numerické i symbolické podobě,
2) podpora měření, simulací, zpracování signálů, analýzy dat apod.,
3) vizualizace dat pomocí dvojrozměrné a trojrozměrné grafiky,
4) programování zvláštních uživatelských procedur.
Svou podstatou je MATLAB vyšší programovací jazyk, jehož základní datovou formou je
matice. Na rozdíl od typických vyšších programovacích jazyků nevyžaduje dimenzování datových struktur, kompilování a zřetězování (linkování) programů. Veškeré výpočty jsou v něm
realizovány pomocí aritmetiky komplexních čísel se zdvojenou přesností (double precision),
čímž je zaručena vysoká přesnost výsledků řešení. Integrální součástí programu MATLAB
jsou grafické procedury, zabezpečující jeho bohaté vykreslovací schopnosti. Protože z hlediska uživatele představuje MATLAB programovací prostředí, může uživatel rozšiřovat jeho
funkční schopnosti vytvářením vlastních procedur a pomocných nástrojů. Volitelnou součástí
programu MATLAB je rozsáhlá kolekce nástrojových prostředků (tzv. toolboxy). Jsou to
speciální aplikační programy pro různé oblasti užití, např.:
• řídící a regulační systémy,
• identifikace systémů,
• analýza signálů,
• zpracování obrazů,
• symbolická matematika a další.
Z hlediska simulací dynamických systémů a tedy i EMPS mají prvořadý význam metody
integrace lineárních a nelineárních obyčejných diferenciálních a algebro-diferenciálních rovnic, představujících matematický model dynamického systému. Typy těchto metod závisí na
verzi programu, zde uvedeme metody, které jsou součástí programu MATLAB 5:
a) explicitní jednokroková metoda Runge-Kutty pátého řádu,
b) explicitní jednokroková metoda Runge-Kutty třetího řádu,
c) vícekroková Adamsova-Bashforthova-Moultonova metoda typu prediktor-korektor
proměnného řádu s proměnným počtem kroků,
d) vícekroková Gearova metoda typu prediktor-korektor proměnného řádu s proměnným počtem kroků,
e) jednokroková Rosenbrockova metoda druhého řádu.
Zatímco první tři uvedené metody jsou určeny pro běžné dynamické systémy, jsou poslední dvě metody vhodné především pro dynamické systémy se silným tlumením (tzv. „tuhé“
systémy), resp. pro dynamické systémy s velkým rozptylem časových konstant.
Aby bylo možné jednotlivé numerické řešiče diferenciálních rovnic založené na výše
charakterizovaných matematických metodách použít, je třeba každou diferenciální rovnici
matematického modelu dynamického systému přeformulovat do tzv. normálního tvaru (tj.
soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu) a definovat počáteční hodnotu
každé proměnné. Je tedy zřejmé, že pro využití programu MATLAB k simulacím je velmi
výhodné, aby byl dynamický systém popsán pomocí stavového popisu, tj. stavovou rovnicí
a odezvou. To ovšem může vést v některých případech k poměrně složitým operacím, při
nichž nelze vyloučit možnost vzniku chyb. Navíc mnohé ze stavových proměnných nemají
fyzikální smysl. Proto byla snaha celý proces vytváření počítačového modelu v prostředí
programu MATLAB zjednodušit, popř. usnadnit jeho následnou kontrolu. Tomuto účelu
slouží simulační program Simulink.
2.2
Simulační program Simulink
Jedním z nejužívanějších prostředků, kterým lze znázornit strukturu dynamického systému,
je tzv. orientovaný graf, jímž rozumíme propojení množiny tzv. uzlů množinou orientovaných
spojnic. Orientované grafy mohou přitom mít dvě podoby. Jsou to:
1) signálové schéma (Masonův graf, signálový diagram), jehož podstata spočívá v tom,
že v uzlech grafu jsou soustředěny proměnné systému a orientované spojnice představuji relace mezi proměnnými,
2) blokové schéma, v němž uzly, častěji nazývané bloky, představují relace mezi proměnnými systému, reprezentovanými orientovanými spojnicemi, kdy každá ze spojnic směřuje od bloku, pro nějž je příslušná proměnná výstupem, k bloku, ve kterém
plní funkci vstupu.
Zatímco signálová schémata se výhodně používají ke znázornění struktury lineárních dynamických systémů (typické je jejich užití v teorii lineárních elektrických obvodů), jsou bloková
schémata naprosto univerzální, tedy mohou být užity jak pro lineární tak pro nelineární dynamické systémy.
Na principu modelování pomocí blokových schémat je založen simulační program Simulink, který je doplňkem programu MATLAB a který využívá jeho matematické, zobrazovací
a analytické procedury. Svou podstatou je Simulink interaktivním systémem, určeným pro
modelování, simulaci a analýzu spojitých, nespojitých a hybridních lineárních i nelineárních
dynamických systémů. Pro účely modelování je vybaven grafickým uživatelským prostředím,
které umožňuje sestavovat počítačové modely dynamických systémů ve tvaru blokových
schémat pouhou manipulaci s příslušnými bloky pomocí počítačové myši. Z toho vyplývá, že
v tomto prostředí je počítačový model sestavován obdobně jako při kreslení blokového
schématu pomocí šablon a tužky. Tím se výrazně liší od programu MATLAB, protože po
sestavení blokového schématu se automaticky generuje popis počítačového modelu ve formu-
lačním jazyce programu MATLAB. Knihovna grafických programovacích prostředků Simulinku zahrnuje následující funkční bloky:
1) generátory, vhodné zejména pro generování vstupů dynamického systému s nejčastěji se vyskytujícími časovými průběhy (konstanta, skok, harmonický průběh, impulsní průběh, série náhodných čísel, spektrálně omezený bílý šum apod.),
2) lineární spojité členy, jakými jsou např. proporcionální člen, derivační člen; integrační člen apod., tyto bloky jsou formulovány pomocí přenosů v Laplaceově transformaci,
3) nelineární spojité členy, jako jsou nasycení, pásmo necitlivosti, Coulombovo a viskózní tření, vůle, časové zpoždění apod.,
4) lineární nespojité (impulsní) členy, formulované pomocí přenosů v Z-transformaci,
5) speciální funkční bloky, zabezpečující např. spektrální a korelační analýzu, regresní
analýzu, transformaci souřadných systémů apod.,
6) datové bloky, umožňující např. průběžné zobrazování výsledků a řídících povelů,
7) propojovací členy, čili orientované spojnice mezi bloky.
K řešení soustav rovnic, počítačového modelu dynamického systému, jakož i k zobrazení
výsledků řešení Simulink využívá všechny základní nástroje obsažené v kmenovém programu
MATLAB.
Z metod řešení diferenciálních nebo algebro-diferenciálních rovnic je třeba vybrat tu metodu, která řešenému problému nejlépe vyhovuje a dává nejspolehlivější výsledky. V této souvislosti je třeba upozornit na to, že v počítačovém modelu, sestaveném buď v prostředí programu MATLAB nebo v prostředí programu Simulink, by měly být odstraněny všechny tzv.
algebraické smyčky, které mohou při aplikaci některé z metod řešení soustavy vést ke zhroucení celého výpočtu. K zobrazení výsledků řešení lze využit ty grafické nástroje kmenového
programu MATLAB, které mají největší vypovídací schopností (plošné grafy v časové oblasti, fázová rovina, trojrozměrné zobrazení apod.). Z uvedeného vyplývá, že program Simulink nemůže existovat samostatně, bez podpory programem MATLAB.
2.3
Simulační program DYNAST
Počítačový model dynamického systému lze sestavit nejen na základě matematického
modelu, tj. převedením soustavy rovnic do formulačního jazyka použitého simulačního programem, ale také pomocí tzv. metody mnohopólového modelování, jejíž použití je značně
rozšířeno zejména v oblasti elektrotechniky a elektroniky a nachází stále širší uplatnění i v jiných oblastech vědy a techniky. Její hlavní výhody lze spatřovat zejména v následujícím:
• vychází z podrobně propracovaných metod analýzy elektrických obvodů,
• poskytuje možnost modelovat, simulovat a analyzovat dynamické systémy různé fyzikální podstaty (elektromechanické systémy, elektrohydraulické systémy apod.).
Podstatou metody mnohopólového modelování je chápání dynamického systému jako modelu reálného objektu, v němž probíhá výměna energie (tzv. energetická interakce) mezi jeho
jednotlivými částmi v konečném počtu styčných míst, tzv. pólů. Aby bylo možné tyto energetické interakce modelovat a vyšetřovat, je třeba celý dynamický systém dekomponovat do
vhodného počtu subsystémů až prvků v závislosti na hloubce jeho předpokládané analýzy.
Poté se každý z těchto subsystémů či prvků pomyslně obklopí uzavřenou plochou, která prochází těmi místy, v nichž se daný subsystém či prvek stýká s ostatními subsystémy či prvky
a v nichž probíhají energetické interakce. Každému pólu subsystému či prvku se pak přiřadí
vždy dvě základní proměnné, a to:
1) příčná (spádová) proměnná, vztažená k referenčnímu pólu – v oblasti EMPS jsou
typickými příčnými (spádovými) proměnnými translační či úhlová rychlost nebo
elektrické napětí,
2) podélná (průtoková) proměnná, která příslušným pólem „protéká“ – takovými veličinami jsou pro případ EMPS síla či moment nebo elektrický proud.
V reálných dynamických systémech může v jediném místě styku, tedy v jediném pólu, probíhat vícenásobná energetická interakce různé fyzikální povahy (např. hřídel může přenášet
jak rotační, tak také translační pohyb). V takovém případě je samozřejmě třeba tyto různé
energetické interakce v počítačovém modelu od sebe oddělit, čili příslušnému pólu přiřadit
potřebný počet vzájemně různých příčných a podélných proměnných (v uvažovaném případě
translační a úhlovou rychlost jako příčné proměnné a sílu a moment jako podélné proměnné).
Z toho plyne, že rozměry vektorů příčných a podélných proměnných mohou být větší, než je
počet míst styku v počítačovém modelu.
Metoda mnohopólového modelování se používá při tvorbě počítačového modelu v prostředí simulačního programu DYNAST. Na rozdíl od simulačního programu Simulink má
v sobě zabudovány pouze základní prvky, z nichž lze vytvořit počítačové modely libovolně
složitých dynamických systémů. Jsou to následující prvky:
1) prvek typu R, resp. RI, představující nesetrvačný dynamický člen. Prvek může být
použit například k modelování proporcionálního tlumení nebo elektrického odporu,
2) prvek typu L, představující setrvačný dynamický člen. Prvek lze použít například pro
modelování tuhosti lineárních či torzních pružin nebo k modelování elektrické cívky,
3) prvek typu C, představuje další setrvačný dynamický člen. Tento typ prvku může být
použit k modelování hmotných setrvačných členů nebo k modelování elektrického
kondenzátoru,
4) prvek typu E, což je model ideálního zdroje příčné proměnné se zadanou závislostí
na čase či jiné veličině. Může být použit k modelování neřízeného nebo řízeného
zdroje rychlosti nebo elektrického napětí,
5) prvek typu J, což je model ideálního zdroje podélné proměnné se zadanou závislostí
na čase či jiné veličině. Může být použit k modelování neřízeného nebo řízeného
zdroje síly či momentu nebo elektrického proudu.
Z těchto prvků, jejichž schématické značky jsou v programu DYNAST k dispozici, se sestaví tzv. mnohopólové schéma. Protože v analyzovaných dynamických systémech se obvykle
vyskytují často se opakující díly a subsystémy, může si uživatel vytvořit vlastní knihovnu
makromodelů, které pak jednoduchým způsobem vkládá do mnohopólového schématu. Na
základě sestaveného mnohopólového schématu je automaticky vygenerováno jádro počítačového modelu. Protože DYNAST generuje všechny příkazy počítačového modelu současně,
odpadají potíže s tzv. algebraickými smyčkami.
K řešení soustavy popisujících rovnic se v programu používá implicitní vícekroková integrační Gearova metoda, modifikovaná Rübnerem a Petersonem. Řád metody (v rozsahu od 1
do 6), délka integračního kroku a příslušné koeficienty aproximačního polynomu se během
výpočtu automaticky optimalizují v závislosti na průběhu řešení tak, aby si výpočet vyžádal
co nejkratší dobu při respektování přípustné zbytkové chyby integrace. Navíc jsou koeficienty
aproximačního polynomu voleny vždy tak, aby řešení bylo numericky stabilní i pro případy
dynamických systémů s velkým rozptylem velikostí časových konstant čili s velkým rozptylem tlumení v jednotlivých subsystémech. Výsledky numerických výpočtů ukládá program
DYNAST do výstupních souborů ve formě tabulek, které lze po příslušné konverzi zpracovávat dalšími programy. Kromě toho je v něm zabudována možnost vytváření grafů zjištěných časových i jiných závislostí, k čemuž bohatě využívá schopností operačních systémů
řady MS Windows.
2.4
Matematický program MathCAD
Matematický program MathCAD je komplexní nástroj pro řešení různorodých matematických úloh i ryze technických výpočtů, který umožňuje zcela profesionální řešení problémů.
Velkou didaktickou a uživatelskou výhodou je způsob zápisu; veškeré výrazy, konstanty, proměnné, doprovodné texty či grafy jsou zapisovány a zobrazovány na volné ploše (a jejich jednotlivých listech), jako by byly zapisovány na tabuli nebo do sešitu. Zásadním přínosem je tak
nejen maximální přehlednost, ale také funkční návaznost. Vše, co je uvedeno a definováno
„výše“ (na předchozích stranách či výše na témže listě), je okamžitě použitelné v dalších vztazích. Z dokumentu je tak postupně jeden velký funkční celek, v jehož vztazích se díky přehlednému zobrazení neztrácí orientace, a použití grafického rozhraní se tím stává účelným
krokem. Zapsaná úloha je potom zároveň vhodná přímo pro tisk, takže bez potíží lze přímo
vyrobit „papírovou“ dokumentaci. MathCAD umožňuje prakticky veškeré běžné matematické
výpočty, jež jsou řešeny numericky. Lze jej tedy použít buď jako velmi zdatný kalkulátor,
nebo s ním řešit úlohy z vyšší matematiky či řešit velmi složité soustavy rovnic a matice.
Velmi důležité jsou možnosti „vizualizace“ výpočtů, proto jsou k dispozici grafy jak statické,
tak animované (reálné zobrazení funkcí proměnných s časem). Silný aparát je připraven pro
řešení jak samostatných soustav diferenciálních, algebraických či integrálních rovnic, tak také
pro smíšené soustavy algebro-diferenciálních, algebro-integrálních či integro-diferenciálních
rovnic. Velkou výhodou je také automatická práce s jednotkami, která je neocenitelná v případě fyzikálních či technických výpočtů, kdy MathCAD automaticky provádí rozměrovou
kontrolu všech vztahů a automaticky převádí zadané vstupní údaje v určitých jednotkách do
předem zvolené soustavy jednotek (např. soustava jednotek SI).
Opravdu silný nástroj činí z programu MathCAD schopnost pracovat symbolicky, tedy
řešit úlohy algebraicky. Jedná se např. o roznásobování závorek, rozvoj binomické věty či řešení soustavy lineárních rovnic. Aplikace však umí také derivovat, integrovat, rozvíjet řady či
počítat determinanty matic. Výsledky jsou samozřejmě opět zobrazovány symbolicky, a tím je
uživateli umožněno hledat principiálně přesné řešení, pokud takové ovšem existuje.
V případě vyčerpání možností interaktivního přístupu nabízí MathCAD možnost programovat. Tento přístup lze doporučit především v případech, kdy potřebujeme při výpočtech
používat cykly či větvení, a také při definování komplikovanějších funkcí. Zdrojový text programu se zapisuje přímo do listu dokumentu, a stává se tak naprosto přirozenou součástí řešené úlohy.
Pro tvorbu rozsáhlých dokumentů, jež pro výpočet využívají např. externí zdroje dat, je
určen modul MathConnex. Jeho úkolem je propojit dokumenty samotné aplikace navzájem,
případně s jinými zdroji (tabulky v programu Excel, výpočetní dokumenty systému MATLAB
apod.), a umožnit přehlednou správu takto složitého systému, přičemž velkou výhodou je, že
lze využít kvalitního grafického rozhraní.
Sám o sobě je programový soubor MathCAD velmi schopným nástrojem, jehož základy se
lze velmi rychle naučit. Aby bylo možné využít maximum možností tohoto programového
souboru, je kromě klasické nápovědy k dispozici „studijní“ pomůcka s odpovídajícím jménem
Resource Center (tedy „Centrum zdrojů“). Zde je možné nalézt řadu velmi užitečných informací a příkladů, takže se uživatel může seznámit s možnostmi použití aplikace v různých vědních oblastech. Ukázkové úlohy jsou velmi dobře zdokumentované a názorné (včetně grafů
a ilustrativních obrázků) a představují tak kvalitní studijní materiál. Komplexním zdrojem
znalostí se může stát The Mathcad Treasury, tedy „pokladnice“ matematických vědomostí.
Jelikož aplikace matematiky do různých vědních oblastí je prakticky bezbřehá, nabízí firma
řadu specializovaných elektronických příruček, jež zahrnují šíři témat od ryze matematického
výkladu až po komplikované konstrukční výpočty (stavebnictví, elektrotechnika, energetika
apod.).
Aplikační balík MathCAD Professional je velmi kvalitní a propracovaný nástroj určený
pro všechny uživatele, kteří narazí na řešení matematických problémů. Jeho koncepce umož-
ňuje nasazení jak v oblasti přírodních věd, tak v aplikační sféře. Je vhodný pro tvorbu vysoce
profesionálních vědeckých a technických řešení. K velkým přednostem patří především vysoký výpočetní výkon, kvalitní uživatelské rozhraní, možnost propojení s dalšími aplikacemi
a datovými zdroji a velké množství kvalitní dokumentace.
3
Základy modelování technických soustav
3.1
Úvodní poznámka
Modelování v mechanice se dnes stává základním problémem inženýrské práce. Výpočetní
technika dnes umožňuje pomocí matematického experimentování řešit - již ve stadiu projekce
nových technických soustav – problémy, které bylo dříve možné řešit jen na prototypech.
Otázkou zůstává jak vhodné modely vytvářet.
Vytvářet modely co nejpodrobnější reálným soustavám je zbytečný luxus. Vytvářet
modely „co nejjednodušší“ naopak nevede k cíly – žádané podstatné jevy nelze simulovat.
Ukazuje se, že vhodnou cestou je vytvářet modely částečně strukturované a účelové – o tom
pohovoříme podrobněji v další kapitole. Zatím uveďme jen to, že při jejich konstrukce
vycházíme z principů izomorfie a především homomorfie – respektujeme věcnou odlišnost
reálné soustavy a jejího modelu, ale vyžadujeme funkční totožnost. Vyžadujeme přitom u
reálné soustavy a jejího modelu:
vzájemně jednoznačné přiřazení počátečních stavů
vzájemně jednoznačné přiřazení vstupů a
vzájemně jednoznačné přiřazení výstupů.
Pokud se nám to podaří, tak jsme získali model reálné soustavy, který respektuje účel, pro
jehož řešení byl vytvořen, odpovídající strukturální složitost a úrovňovou vyváženost i přenos
energetického výkonu a informační kapacity. Že nejde o jednoduchý problém, ukážeme na
„modelování” základného strukturálního prvku technických soustav, na „tuhém tělese“.
3.2
Modelování tuhého tělesa, resp. tělesa
Je zřejmé, že tělesa představují základní strukturální prvky technických soustav, včetně
pohonových. Z experimentální zkušenosti víme, že za jistých podmínek se těleso chová:
jako tuhé
nebo jako pružné.
Z teorie víme, že nelze přenést zatížení na těleso bez jeho deformace, těleso nemůže
mít nekonečně velký modul pružnosti, tudíž absolutně tuhé těleso nemůže existovat. Různé
projevy těles souvisí se vzájemným porovnáním jeho vlastních frekvencí a spekter
zatěžovacích účinků (spektrem provozních frekvencí), ve kterých má těleso pracovat. Odtud
je známo, že:
těleso se chová jako tuhé, když nejvyšší frekvence zatěžujícího provozního spektra
leží hluboko pod prvou vlastní frekvencí
těleso se chová jako pružné, když se tato spektra prolínají.
Je-li technická soustava tvořena soustavou těles, vázaných tuhými a tlumícími vazbami,
bude až na výjimky pružnou a mluvíme o pružných (tlumených, reps. netlumených)
soustavách. Ty pak modelujeme jako:
pružné lineární kontinuum, charakterizované spojitostí geometrie i pružných, resp.
tlumících charakteristik,
diskretizované soustavy, pro které je charakteristické oddělení parametrů
hmotnostních, tuhostních resp. tlumících. Jejich spojení „nahrazují“ „nehmotné“
parametry tuhosti a tlumení. Typickým důsledkem takové diskretizace je absence
setrvačných vazeb a setkáváme se i s omezením pokud jde o Poissonovo číslo – pro
rovinnou napjatost vyhovuje „jen“
.
S rozvojem výpočetní techniky a aplikací MKP se setkáváme s řadou zajímavých
skutečností, plynoucí z této „diskretizace“:
existence setrvačných vazeb se projevuje dodatečnou parazitní tuhostí pružných
vazeb,
nejsou žádná omezení pokud jde o Poissonovo číslo,
tzv. dispersní účinky jsou ovlivněny hustotou dělení oblastí méně u statického a
podstatně u dynamického zatížení, kde má homogenita triangulace často rozhodující
vliv. Dále velikost prvků mění nejen dispersní vlastnosti, ale výrazně i vlastní
frekvence.
Při modelování tlumení je dobré si dále uvědomit, že:
materiálové tlumení (vnitřní) více tlumí vyšší frekvence, zatím co
absolutní (vnější) tlumení více tlumí nízké frekvence
3.3
Volba počtu stupňů volnosti diskretizovaného modelu technické
soustavy
Jde o zásadní problém, na který neexistuje jednoznačně přesná odpověď. Naštěstí se
ukazuje, že existuje velmi jednoduchá formule, která se v inženýrské praxi velmi osvědčila.
Počet stupňů volnosti n modelu diskretizované soustavy může být odhadnut podle vztahu
kde p je počet vlastních frekvencí, jejichž projevy mají být v modelu respektovány.
U komplexních modelů pohonových soustav může být ale tento odhad ovlivněn řadou
dalších faktorů, mezi které můžeme zařadit například
spektra otáčkových frekvencí
spektra zubových frekvencí (u soustav s ozubenými subsoustavami)
požadavky na úrovňovou vyváženost základní struktury a řídících (elektronických),
podpůrných (hydraulických, pneumatických, …) substruktur
požadavky vyplývající z modelování technologického procesu a dalších.
4
Komplexní pohonové soustavy
4.1
Úvodní poznámka
S pohonovými soustavami se v inženýrské praxi setkáváme prakticky na každém kroku.
Od miniaturních technických soustav, jakými jsou například pohony gyrokompasů, až k mnohatunovým rotorovým soustavám turbosoustrojí. Při technických návrzích takovýchto objektů
je nutné na jedné straně respektovat oborové zvyklosti, na straně druhé je vhodné hledat jednotící prvky, tedy to, co jednotlivé konstrukční prvky „spojuje“. Pro všechny objekty je
charakteristické, že je lze strukturovat a tyto struktury dále dekomponovat a hierarchicky
uspořádat, že existují vazby uvnitř i vně objektu (mezi jednotlivými substrukturami, mezi
objektem a jeho okolím, mezi více objekty, apod.), že objekt má konkrétní uspořádanost,
organizovanost a vykazuje účelové chování. Poznání těchto skutečností a jejich účelné využívání při konstrukci nových pohonových soustav či inovaci nebo rekonstrukci již existujících
pohonů nám usnadňuje systémová metodologie.
Dnešní požadavky na konstrukci pohonů i pohonových soustav se diametrálně odlišují od
požadavků běžných v minulých letech. V první řadě se objevují požadavky na zahrnutí provozních vlivů již v etapě konstrukčního návrhu. Masivní využívání nejrůznějších počítačových podpor umožnilo nebývalý rozvoj počítačového modelování, často bez odpovídajících
teoretických znalostí. Začíná se prosazovat tzv. „komplexní“ modelování, modelování „ve
variantách“ s důrazem na hodnocení jejich vlivu na okolí, pevnostní a dynamické analýzy i na
velmi solidní úrovni se stávají běžnými rutinami a prioritní roli nabývá zajištění provozní
spolehlivosti po předepsanou dobu technického života. V nejbližší době se dá očekávat:
• že vedle respektování fyziologických, ekologických, energetických a ekonomických
omezení dojde k sociálnímu hodnocení důsledků zavádění nových konstrukcí a technologií v oblasti techniky,
• růst humanizace inženýrského vzdělávání a respektování kulturních i etických principů při návrhu technických soustav, včetně pohonů,
• že stále s větší naléhavostí bude vystupovat do popředí uvědomování si rizik, která
platíme za inicializované technické změny (tzv. „prométheovský komplex soudobé
technologie“).
Z těchto hledisek se jako nejprogresivnější přístupy jeví různé typy modelování nejen technických soustav samotných, ale i jejich chování, dynamických vlastností a vlivu okolí.
Základním krokem při řešení dynamických úloh pomocí kteréhokoliv typu modelování je
vytvoření množiny tzv. podstatných veličin, obsahující jak veličiny popisující strukturu, stavy
a ovlivňování technických objektu, tak i veličiny charakterizující následky, tzn. jejich projevy
a chování. Metody pro vytváření výpočtového modelu pohonových soustav, obecně interaktivních, mohou využívat:
• aplikací známých fyzikálních principů k popisu jevů, objevujících se v pohonových
soustavách (např. II. Newtonova zákona nebo Kirchhoffových zákonů) nebo
• aplikací metod z oblasti mechatroniky, založených na algoritmech umělé inteligence
(např. genetické algoritmy, umělé neuronové sítě a další).
Rozvoj těchto metod výpočtového modelování vyvolává potřebu vytvoření metodiky kvalitativní analýzy výpočtových modelů, definovaných na bázi teorie systémů * , i vytvoření souborů
metod pro jejich kvantitativní zpracování. Zastavme se nyní krátce u pojmů „systém“, „systémový přístup“, „systémové myšlení“ apod., patřících v současné době k velmi frekventovaným pojmům nejen v technické oblasti, které jsou však užívány až příliš často bez uvážení
a pochopení jejich obsahového významu. Proto se jen krátce zmíníme o některých těchto pojmech s cílem zamezit případným nejasnostem a nedorozuměním:
• Pojem systém je základním pojmem tzv. systémových teorií a přístupů, a proto musíme mít vyjasněn jeho význam. Systém je definován jako abstraktní objekt vytvořený na reálném nebo abstraktním objektu z hlediska řešeného problému. Jeho
strukturu tvoří ty formalizované prvky, které jsou na určité rozlišovací úrovni řešení
podstatné. Připomeňme, že prvek objektu je ta část jeho struktury, kterou jsme
schopni na objektu na daných úrovních vymezit, považujeme jej z různých důvodů
již dále nestrukturovatelný a principiálně jej lze od struktury oddělit ** .
• Systémový přístup chápeme jako „nápovědu“, na jaké podstatné skutečnosti by
neměl řešitel při své činnosti zapomenout. Systémový přístup je obvykle chápán
v užším pojetí než je jeho skutečný obsah. Nejčastěji se redukuje jen na strukturované vyšetření objektů, na respektování vazeb mezi objekty navzájem, objekty
*
Přesné vymezení pojmu teorie systémů je dosud nejednotné a často i protichůdné. Jde o teorii, která má do
značné míry formální, logicko-matematickou a metodologickou povahu. Jádrem teorie systémů je soubor
abstraktních objektů, nazývaných obecnými systémy, které užíváme v systémové analýze, resp. syntéze, jako
stavebnicové prvky, ze kterých sestavujeme modely reálných technických objektů tak, že obecné systémy
vhodně modifikujeme, spojujeme a interpretujeme, přičemž tato interpretace musí vždy vycházet z kritického
hodnocení použitého obecného systému vzhledem k danému účelu.
**
Při používání pojmu systém, zejména v anglosaské literatuře, můžeme objevit dvě významové oblasti. První
oblast, kdy konstatujeme, že „objekt je systémem“, vyjadřuje skutečnost, že objekt má systémové vlastnosti
bez ohled na to, zda je reálný nebo abstraktní. Z tohoto hlediska se pak setkáváme s řadou různých typů
systémů, např. tlumících, hnacích, řídících, ale také třeba chladících či potrubních. Pro takové případy doporučujeme použít pojmu soustava, jako reálný či abstraktní objekt se systémovými vlastnostmi, který je
z určitých hledisek předmětem našeho zájmu. Pojem systém pak chápeme jako abstraktní, který nemůže existovat sám o sobě, ale je vždy jen ve vztahu k soustavě. Složitost struktury systému je vždy menší než složitost soustavy a k dané soustavě je možné obecně vytvořit větší počet systémů. Vytvoření systému tedy není
jednoznačné a závisí na mnoha okolnostech, především pak na účelu, pro který jej vytváříme, na znalostech
a zkušenostech řešitele a na možnostech jeho vybavení.
a jejich okolím a na formulování cílového chování. Někdy je za systémový přístup
považováno pouhé vytvoření soustavy relevantních veličin.
Kromě nezbytného chápání strukturovanosti objektů doporučujeme alespoň jejich účelové
posuzování, tzn. že při výběru prvků struktur, jejich vlastností a projevů, při výběru vazeb
a interakcí je zásadní posuzování jejich podstatností. Mezi další atributy systémového přístupu, které doporučujeme respektovat, patří požadavek vyšetřovat objekty jako otevřené
(neizolované) soustavy, u nichž existují vazby a interakce s okolím, jako komplexní a interdisciplinární problémy a jako hierarchicky uspořádané struktury. Rovněž orientované vyšetřování, respektující zachování tzv. podstatných relací typu vstup-výstup, příčina-následek či
nadřazené řešení-dílčí řešení a dynamické vyšetřování závislé na čase, stejně jako úrovňově
vyvážené vyšetřování považujeme za nezbytné, chceme-li pracovat na současné úrovni vědy
technicky.
O metodách systémové analýzy a syntézy již bylo pojednáno mnoha publikacích, stručný
přehled možností je patrný ze schématu na obr. 4.1.
Obr. 4.1: Přehled přístupů k řešení problémů
Zde se omezíme jen na modelování výpočtové, často označované jako matematické. Jeho
realizace vyžaduje:
• znalost matematické teorie popisující řešení problému,
• podmínky matematické řešitelnosti a znalost počátečních podmínek,
• výpočtový algoritmus vycházející z matematické teorie,
• počítačové vybavení,
• vstupní údaje.
Výsledkem výpočtového modelování je odpovídající model, na kterém lze provádět numerické experimenty již ve stádiu návrhu nových technických soustav za podmínek blízkých
skutečným provozním stavům.
Je samozřejmé, že modelování konkrétní technické soustavy musí respektovat výše uvedená obecná doporučení a současně musí brát zřetel na zvláštnosti vyplývající z požadavků
kladených na konkrétní soustavu a účel, pro který je vyvíjena. U pohonových soustav nutno
vycházet z toho, že tyto slouží k pohonu pracovních strojů, a že pohon jako samostatná strukturní subsoustava celé technické soustavy je propojen přinejmenším s řadou dalších subsoustav, které je nutné do odpovídajícího modelu zahrnout. To znamená, že naším cílem bude
sestavení řady submodelů:
• elektrické, hydraulické či jiné části motoru,
• mechanické části (motor, převody, spojky, ...),
• pracovního prostředí,
• technologických požadavků.
Prvé dva submodely tvoří submodel pohonové soustavy, do které vstupují, jako vnější vlivy,
požadavky řízení a poruch. Takto vytvořený model nazýváme komplexním modelem. To
ovšem znamená, že:
• musíme sestavit pohybové rovnice jednotlivých subsoustav pohonu podle jejich fyzikální podstaty, tj. pro část mechanickou, elektrickou, řídicí, apod.,
• modelovat záběrové podmínky a kinematické buzení u převodových soustav,
• modelovat vliv vnějšího prostředí,
• modelovat algoritmizovatelné požadavky technologie a řízení a integrovat je do submodelu řízení,
• formulovat a modelovat hnací, parazitní a poruchové účinky,
• modelovat subsoustavu informačních prvků.
Z formulace požadavků na vytvoření počítačových modelů pohonových soustav je samozřejmé, že ne všechny modely budou muset obsahovat všechny tyto části (submodely), protože modely chápeme ve smyslu předchozích úvah jako účelové a částečně strukturované.
Jinými slovy, podle účelu, pro který je model vytvářen, se může měnit jeho struktura a samozřejmě i jeho vlastnosti a použití. Snaha o určení vhodného stupně strukturální složitosti je
závislá na tom, jaké požadavky má model splňovat, jaké provozní stavy má modelovat, jaké je
rozložení přenášeného energetického výkonu a jaká má být jeho informační kapacita. Požadujeme tudíž současnou funkčnost a věcnou odlišnost zkoumaného technického objektu a jeho
modelové soustavy. Jedná se o jistý druh analogie, splňující podmínky izomorfie. Pro pohonové soustavy a jejich matematické modely to konkrétně znamená, že musí existovat
jednoznačná zobrazení mezi odpovídajícími definičními obory proměnných veličin, mezi
počátečními stavy a vstupními a výstupními funkcemi. V praxi se ale někdy setkáváme s tím,
že jednomu prvku množiny Θ může být přiřazeno více prvků z množiny Φ, tzn. že se nevyžaduje bezpodmínečná jednoznačnost. Jedná se tedy o vztahy volnější, charakteristické pro
homomorfizmus. Homomorfní soustavy tedy nemusí být shodné, postačí, mají-li shodné rysy.
Homomorfní soustavy se mohou shodovat, i když jednu z nich (abstraktní) zjednodušíme tak,
že její prvky a vazby, vstupy, stavy či výstupy nejsou dokonale rozlišeny, což je ve shodě
s pojetím účelového a částečně strukturovaného dynamického systému a jeho modelu.
Objevují se i další požadavky, řekněme soudobé, které nemusíme vždy plně respektovat,
ale které nelze v žádném případě pominout. Jaké jsou zdroje soudobých požadavků na vývoj
pohonových soustav? Uveďme alespoň tyto základní:
• stále složitější vývojový cyklus, odrážející nové technické, technologické, ekologické
a další požadavky,
• překrývání jednotlivých fází v průběhu konstrukce, přípravy a zavádění výroby s cílem maximálně zkrátit dobu vývoje nové soustavy,
• požadavky na vlastnosti a chování navrhované soustavy se často mění v průběhu vývojové etapy jako důsledek rychlých inovačních cyklů či jako důsledek rozvoje vědy
a techniky.
4.2
Modelování komplexních pohonových soustav
Pohonové soustavy jsou dnes chápány především jako interaktivní soustavy, obsahující
řadu podsoustav různé fyzikální podstaty: mechanických – základních, elektrických nebo
hydraulických, pneumatických a rovněž elektronických – řídicích. Modely těchto složitých
soustav pak můžeme charakterizovat jako tzv. „účelové a částečně strukturované“. Modely
dílčích podsoustav ovšem mají své typické projevy a vlastnosti, které mohou významně ovlivňovat vlastnosti a chování modelů globální soustavy. Cílem je zachování tzv. funkčního určení modelu – ve srovnání s reálnou soustavou, což neznamená, že model musí být vybaven
všemi funkcemi a projevy reálné soustavy. Předpokládá se naopak, že tyto funkce mají svého
nositele, kterým může být v limitním případě i černá skříňka. Řízení takových soustav pak
stále častěji vyžaduje využití inteligentních řídicích algoritmů, sestavených například na bázi
genetických algoritmů nebo umělých neuronových sítí.
Systémový přístup v tomto pojetí představuje vývojový proces obecně neukončený.
Proces, který dovoluje účelně využívat konkrétní báze znalostí v dané oblasti vědy a techniky,
ale také výsledků obecné teorie dynamických systémů [9] s její do jisté míry formální logicko-matematickou a metodologickou povahou. Současně zaručuje aplikovatelnost dosažených výsledků v širší oblasti strojírenství.
Předpokládejme, že máme vypracovat zásady pro návrh nového typu pohonových soustav
s ozubenými koly. Z hlediska systémového přístupu musí takový návrh splňovat tyto podmínky:
• musí obsahovat formulaci cílů, které má plnit, a pokud možno přesnou specifikaci
požadavků na konstrukci pohonu, jeho provoz, životnost atd.,
• musí obsahovat návrh struktury, hodnověrné odhady budících účinků včetně účinků
parazitních, návrhy zpětných vazeb i informačních soustav,
• navrhovatel musí mít přehled o možnostech modelování (modely matematické, počítačové, fyzikální) a o způsobech, jak tyto modely využívat při numerických (fyzikálních) experimentech,
• navrhovatel musí umět formulovat inženýrská zobecnění a definovat technicky realizovatelné závěry.
V dalších odstavcích této práce se pokusíme tyto zásady konkretizovat a na reálných příkladech ukázat na problémy, které proces tvorby vhodných modelových soustav doprovázejí.
Setkáváme se s řadou různých modelových schémat, z nichž nejčastěji používanými jsou:
• pohony modelované jako tuhé soustavy s jedním stupněm volnosti, zatížené hnacím
a zatěžujícím momentem, eventuálně i tlumícím vnějším momentem,
• pohony modelované jako tuhý rotor + mechanismus s tuhými členy,
• diskretizovaný model s nehmotnými pružnými a tlumícími vazbami,
• model pohonu, diskretizovaný s využitím MKP,
• pohonové soustavy se spojitě rozloženými charakteristikami hmotností (spojitě rozloženými momenty setrvačnosti), tuhostí a případně i tlumení,
• modely interaktivních řízených pohonů, obsahujících submodely soustav s různou
fyzikální podstatou (mechanickou, elektrickou, hydraulickou apod.), sem patří také
modely mechatronických soustav, vykazujících jistý stupeň inteligentního chování.
Ve výše uvedeném výčtu možných modelů pohonových soustav se objevují pojmy tuhé
těleso, soustava tuhých těles, diskretizované modelové soustavy apod. K jejich správnému
pochopení a určení je nutné respektovat další skutečnosti. Sám pojem tuhé těleso a jeho role
v dynamice je, mírně řečeno, rozporuplný. Podle definice tuhého tělesa musí být vzdálenost
nejméně dvou jeho bodů konstantní. Na druhé straně nelze přenést na těleso jakékoliv zatížení
bez jeho deformace – to by znamenalo, že modul pružnosti by musel být nekonečně velký.
Těleso, resp. soustav těles, se ale může chovat buď jako tuhé těleso (soustav tuhých těles)
nebo jako pružné těleso (soustava pružných těles). Tyto různé projevy přímo závisí na
vzájemném vztahu množiny vlastních frekvencí reálné soustavy a spektru zátěžných účinků.
U modelové soustavy budou vlastní frekvence záviset přímo na zvoleném strukturálním
rozložení, tj. na počtu stupňů volnosti modelové soustavy. Nevhodná volba modelové soustavy může vést k tomu, že její dynamické chování nekoresponduje s chováním reálné soustavy. Kdy se tedy těleso (soustava těles) chová jako tuhé? Jen tehdy, když nejvyšší frekvence
spektra zatížení je řádově menší než nejnižší (základní) frekvence modelové soustavy. Ve
všech ostatních případech se modelová soustava bude chovat jako soustava pružných těles.
Globální pohonovou soustavy (komplexní) si pak můžeme představit podle obr. 4.2.
Obr. 4.2: Komplexní model pohonové soustavy
V symbolickém tvaru je možné komplexní model formulovat následovně:
KM = {mRS , mMS , mPP, mTP, f v (t ), r (t ), v(t )} ,
(4.1)
kde mRS je model řídicí (regulační) soustavy, mMS je model mechanické části pohonu, mPP
je model pracovního prostoru, mTP je model technologického procesu, fv(t) reprezentuje
vazby mezi jednotlivými modely, r(t) reprezentuje řídicí funkce a v(t) reprezentuje nezávislé
poruchové funkce.
Matematicky lze komplexní model definovat ve stavovém prostoru pomocí maticové stavové rovnice
f [x(t ), x(t ), u(t ), t ] = 0 ; f :
w
→
w
(4.2)
doplněné maticovou rovnicí tzv. výstupních relací
y = g[ x(t ), t ] .
(4.3)
Vstupní veličiny jsou soustředěny do vektoru u(t ) = [u1 (t ), u2 (t ),..., um (t )]T . Výstupní relace
definují výstupní veličiny na množině stavových veličin, které vytvářejí stavový prostor. Stavové veličiny definují stavový vektor
⎡q(t ) ⎤
T
x≡⎢
= [ x1 (t ),..., xn (t ) ] .
⎥
⎣q(t ) ⎦
(4.4)
Jeho složky xi(t), i = 1, ..., n představují časové průběhy tzv. primárních veličin a vektor
x = [ x1 (t ),..., xn (t ) ]
T
(4.5)
obsahuje odpovídající časové derivace.
Nyní již můžeme uvést matematickou formulaci dynamického systému, definovaného na
reálné pohonové soustavě, zapsanou ve tvaru soustavy maticových rovnic
x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ] , f :
y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ] ,
w
→
w
,
x(t = 0) = x 0 .
resp. pro případ tzv. parametrického dynamického systému ve tvaru
(4.6)
x(t ) = f [ x(t ), u(t ), α, t ] , f :
y (t ) = g[x(t ), u(t ), α, t ] ,
w
→
w
,
x(t = 0) = x 0 ,
(4.7)
α (t = 0) = α 0 .
Je zřejmé, že definováním systému na reálné pohonové soustavě jsme získali nejobecnější
formulaci matematického modelu – abstraktní systém. Jeho vhodné určení je ale obecně velmi
složité a u zpětnovazebných složitých pohonových soustav často i problematické. K usnadnění této inženýrské činnosti můžeme s výhodou využít tzv. relací podobnosti.
Vyjdeme z podmínky, že určitý matematický systém – model SM – je homomorfní s reálným systémem SR tehdy, když existuje určitá transformace F, která systém SR převádí na
systém izomorfní s matematickým systémem SM. Pro dynamické systémy to konkrétně znamená, že musí existovat jednoznačné zobrazení mezi odpovídajícími si definičními obory
proměnných, mezi počátečními stavy, vstupními a výstupními proměnnými. Jde-li konkrétně
o matematický model reálné pohonové soustavy, můžeme jej definovat zápisem
ϕ : x(t ) = f [t , x(t ), u(t )] ,
y (t ) = g[t , x(t ), u(t )] ,
x(t = 0) = x 0 , x(t = 0) = x 0 ,
x = [ x1 , x2 ,..., xn ]T , x ∈ X ,
(4.8)
y = [ y1 , y2 ,..., yl ]T , y ∈ Y ,
u = [u1 , u2 ,..., um ]T , u ∈ U ,
kde f je vektorová funkce typu f [t , x(t ), u(t )] = [ f1 (t , x(t ), u(t )), f 2 (t , x(t ), u (t )),...]T , x(t) je
stavový vektor, u(t) je vstupní a y(t) je výstupní vektor.
Má-li nyní platit, že SR ≡ ϕ1 a SM ≡ ϕ2 , je zapotřebí definovat:
• vzájemně jednoznačné zobrazení F1 zobrazení mezi množinami stavů X1 a X2,
• vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinami vstupních hodnot U1 a U2,
• vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinami výstupních hodnot Y1 a Y2.
Uvedené transformace obecně platí pro izomorfní systémy ϕ1 a ϕ 2 . Homomorfismus je ale
vztah volnější – nevyžaduje se v něm bezpodmínečná vzájemná jednoznačnost – např. jednomu prvku yi z množiny Y může být přiřazeno více prvků xj z množiny X.
Homomorfní systémy tedy nemusí být shodné. Postačí, mají-li shodné rysy. Homomorfní
systémy se mohou shodovat, i když jeden z nich (abstraktní) zjednodušíme tak, že jeho prvky,
vazby, vstupy, stavy či výstupy nejsou dokonale rozlišeny – což je v souladu s předpoklady
o částečné (účelové) strukturovanosti dynamických systémů.
4.3
Formulace stavového prostoru
Pohonové soustavy budeme chápat jako účelové a částečně strukturované interaktivní
dynamické systémy, složené z podsystémů různé fyzikální podstaty. K jejich matematickému
popisu využíváme různých matematických prostředků. Tak například u mechanických podsystémů využíváme k sestavení pohybových rovnic Lagrangeovy rovnice druhého druhu,
u elektrických subsystémů (lineárních) využíváme nejčastěji přenosových funkcí získaných
aplikací Laplaceovy transformace, Z-transformace apod. Vytvořit konzistentní matematický
popis úplného pohonového systému je v prvé řadě víceznačný a ne jednoduchý proces. Na
základě našich zkušeností doporučujeme využít k sestavení globálního modelu pohonové soustavy i jejich strukturálních částí formulace pohybových rovnic ve stavovém prostoru [9].
Stavovou rovnici v implicitním tvaru, která je prakticky vždy nelineární, lze v maticové
formě napsat ve tvaru
h [ x(t ), x(t ), t ] = 0 , h :
n
→
n
,
(4.9)
s počátečními podmínkami
x(t = 0) = x(t0+ ) = x0 .
(4.10)
Tuto rovnici doplníme maticovou formulací tzv. výstupní relace
y (t ) = g[ x(t ), t ] ,
(4.11)
která definuje výstupní veličiny na množině stavových veličin. Stavový vektor
x(t ) = [ x1 (t ), x2 (t ), …, xN (t )]T , x ∈ X
(4.12)
obsahuje složky primárních veličin a X je množina přípustných stavů. Vektor
x(t ) =
dx(t ) d
= [ x1 (t ), x2 (t ),… , xN (t )]T
dt
dt
(4.13)
obsahuje derivace primárních veličin. Vektor
y (t ) = [ y1 (t ), y2 (t ), … , y N (t )]T , y ∈ Y
(4.14)
obsahuje výstupní veličiny a Y je množina přípustných výstupních veličin.
Pro čas t platí t ∈ T , kde T je časová množina. Prostor
n
je n-rozměrný stavový prostor.
Prvky stavového vektoru x(t) pak jsou řešením obecné Cauchyovy úlohy pro problém (4.9)
s počátečními podmínkami (4.10).
Popis dynamického systému ve standardním explicitním tvaru představuje soustava maticových rovnic
x(t ) = f [x(t ), t ] , x(t = 0) = x(t0+ ) = x 0 ,
y (t ) = g[ x(t ), t ] ,
kde f :
n
→
n
(4.15)
(4.16)
. Převedení rovnice (4.9) do tvaru (4.15) není obecně snadnou záležitostí
a v určitých případech není možné vůbec. Tuto skutečnost je vhodné uvážit již při počáteční
formulaci výpočtového modelu.
O množinách relací pojednáme později. Vstupní, resp. výstupní veličiny jsou obsaženy ve
vstupním vektoru u (t ) = u , u ∈U a výstupním vektoru y (t ) = y , y ∈ Y , kde U a Y jsou množiny přípustných vstupních, resp. výstupních veličin, splňujících relace
U R = {u : u : T → U }
(4.17)
YR = {y : y : T → Y } .
(4.18)
a
Stav systému v každém časovém okamžiku t ∈ T charakterizuje stavový vektor x(t ) = x ,
x ∈ X , přičemž platí :
x (t ) = f [ x 0 , u , t ] , x : T →
n
.
Výstupní relace obsahuje vektorovou funkci g[ x(t ), t ] , která je pro h : T × X × U →
(4.19)
n
a pro
t ∈ T , x(t ) ∈ X a u(t ) ∈ U definována maticovou rovnicí
y (t ) = g[x0 , u(t ), t ] .
(4.20)
Pokud jde o množinu zpětnovazebních funkcí, vycházíme ze skutečnosti, že pro většinu
dynamických systémů je charakteristická existence uzavřených smyček v tzv. orientovaném
grafu jejich struktury. Připomeňme, že tyto orientované relace jsou představovány transformací veličin vstupních na veličiny výstupní a respektují kauzální princip. Zpětnovazební
smyčky pak realizují vzájemné interakce mezi vstupy a výstupy, typické pro řízené dynamické systémy.
Mezi další relace, užívané ve specifikacích obecných systémů i v modelech konkrétních
technických soustav, patří také soustavy omezujících podmínek, které můžeme vyjádřit rovněž ve vektorovém tvaru :
Ω ( x, y , t ) ≥ 0 ,
(4.21)
kde Ω ( x, y , t ) je vektorová funkce proměnných vektorů x, y a t. V systémovém pojetí modelování popisují tyto podmínky například fyzikální omezení pohybu technických soustav.
Ve všech uvažovaných případech musíme výše uvedené rovnice doplnit vektory počátečních podmínek, musíme ověřit předpoklady řešení a pak teprve pohybové rovnice transformovat do stavového prostoru (vztahy (4.13) a (4.14)).
Při řešení konkrétních úloh se obvykle setkáváme také s nelinearitami, především ve
strukturálních vazbách. Nejčastěji se příslušné nelineární formulace linearizují, zpravidla
s využitím standardních linearizačních procedur. Alternativně se vyšetřují frekvenční přenosy
energií mezi jednotlivými strukturálními subsoustavami nebo prvky, včetně přenosů od/do
okolí. Velké pohonové soustavy, charakterizované matematickými modely o mnoha stupních
volnosti, se pak, pokud je to pro daný účel možné, nahrazují modely redukovanými na menší
rozměr (tzv. účelové a částečně strukturované modely).
4.3.1
Transformace pohybových rovnic pohonových soustav do stavového
prostoru
V dalším budeme předpokládat, že pohonové soustavy, se kterými budeme pracovat, budou tvořeny především mechanickými a elektrickými subsystémy, doplněnými algoritmizovanými množinami požadavků řízení a technologie. Obecně jsou tyto subsystémy modelovány
pomocí soustav diferenciálních rovnic (1. a 2. řádu), doplněných soustavami algebraických
relací. Až na výjimky je jejich analytické exaktní řešení nemožné.
Tak například mechanické subsystémy je možné (po vhodné diskretizaci) popsat soustavou
obyčejných diferenciálních rovnic typu
f (q, q, q) = Q (t ) ,
(4.22)
kde q = q (t ) je v případě pohonových soustav zpravidla vektor relativních úhlových výchylek
a Q = Q(t ) je vektor zobecněných budících momentů, který lze rozdělit na subvektor mechanických budících účinků Q m (t ) , na subvektor budících účinků elektrického subsystému
Q e (t ) a na poruchové složky Q p (t ) . Tedy
Q (t ) = Q m (t ) + Q e (t ) + Q p (t ) .
(4.23)
Při formulování lineárního, respektive linearizovaného matematického modelu pohonové soustavy lze využít formulace pohybové rovnice ve tvaru
M q(t ) + B q(t ) + K q(t ) = Q(t ) − fn (q, q, t ) ,
(4.24)
kde vektorová funkce f n (q, q, t ) obsahuje nelinearity závislé na řešení. V mnoha případech
lze tyto nelineární účinky považovat za aditivní šum.
Na rovnici (4.24) pak lze formálně snadno aplikovat Newmarkovu iterační metodu a získat
vektor odezev. Ovšem tuto rovnici je možné také transformovat do stavového prostoru, což
bude určitě výhodnější, pokud budeme řešit problematiku řízeného pohybu. Zavedeme-li
substituci
x(t ) = [q (t ), q(t ) ] ,
T
přejde rovnice (2.54) do tvaru
x(t ) = A x(t ) + b (x, t ) ,
(4.25)
kde jsou matice A a b (x, t ) definovány takto :
⎡ 0
A=⎢
−1
⎣ −M K
I ⎤
0
⎡
⎤
, b(x, t ) = ⎢ −1
⎥
⎥ .
−1
−M B ⎦
⎣M F(x, t ) ⎦
Funkci F (x, t ) získáme transformací vektorové funkce Q(t ) − fn (q, q, t ) po aplikaci substituce
(4.25). V případě lineárních modelů platí f n (q, q, t ) = 0 a další výpočty se podstatně zjednoduší.
Doplníme-li soustavu pohybových rovnic (4.25) o rovnici dynamické charakteristiky motoru, dostáváme již model elektromechanické soustavy, který může poskytnout překvapivě
dobré výsledky. S použitím dalších zpětnovazebních relací pak dostaneme matematické modely řízených interaktivních elektromechanických pohonových soustav.
4.3.2
Poznámka k výběru integračních metod.
Řešení soustavy rovnic (4.25), která popisuje chování pohonové soustavy ve stavovém
prostoru, je prakticky možné získat numerickou integrací. Nebude proto na škodu, charakteristické zvláštnosti numerických řešení stručně připomenout. Přitom musíme respektovat
podmínky, které vyplývají :
• z existence tzv. silných nelinearit, které se mohou objevit při modelování mechanického, elektrického i jiného subsystému,
• z existence stochastických složek v buzení, případně v parametrech, výrazných nespojitostí či rázů,
• z prioritního významu simulace přechodových dějů, provozních i poruchových a havarijních,
• z požadavků na komplexní řešení problémů, především s uvážením vzájemných interakcí mezi jednotlivými subsystémy různé fyzikální povahy i vnějších interakcí.
Potvrzuje se, že komplexní pojetí vede k řešení problémů s výrazně odlišnými časovými
konstantami u jednotlivých subsystémů, které se například u mechanického a elektrického
subsystému mohou lišit až o 6 řádů. Setkáváme se s tím, že standardní explicitní integrační
formule (Eulerova, Runge-Kutta, Adams-Moultonova a jiné) nejsou pro simulační výpočty
vhodné jak pro extrémní časové nároky, tak i s ohledem na jejich sklon k numerické nestabilitě, vyplývající z toho, že mají uzavřenou a omezenou oblast absolutní stability, Tyto
problémy lze obejít, aplikujeme-li při integraci pohybových rovnic tzv. stiff algoritmy (např.
Gearova metoda a její modifikace, Rosenbrockova metoda a další).
Základem numerické simulace na matematickém modelu dynamického systému je nalezení
numerického řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu, splňujícího
podmínky definované na začátku tohoto odstavce. Při aplikaci stiff algoritmů využíváme
velmi dobrých stabilitních vlastností těchto metod v kombinaci s vhodnou strategií řízení
délky integračního kroku. Nelineární systém
dx(t )
= f ( x, t ) , t ∈ I = t 0 , t f ,
dt
x(t = t0 ) = x(t0 ) = x 0 , I ∈ 1 , w ∈ ,
x(t ) ≡
( x, x 0 ) ∈
w
, f :I×
w
→
w
(4.26)
nazveme tuhým (stiff) na intervalu I, jestliže ∀t ∈ I vlastní čísla {Ωi (t ) Ω ∈ C , i = 1, 2,…, w}
Jakobiho matice
⎡ ∂f1
⎢ ∂x
⎢ 1
⎢ ∂f 2
⎡ ∂f ⎤ ⎢
J f = ⎢ ⎥ = ⎢ ∂x1
⎣ ∂x ⎦
⎢
⎢
⎢ ∂f w
⎢⎣ ∂x1
∂f1
∂x2
∂f 2
∂x2
∂f w
∂x2
∂f1 ⎤
∂xw ⎥
⎥
∂f 2 ⎥
∂xw ⎥ ,
⎥
⎥
⎥
∂f w ⎥
∂xw ⎥⎦
splňují následující podmínky :
• Re ( Ωi (t ) ) < 0, i = 1, 2,…, w ,
• S
1 , kde veličina S je dána výrazem S = max ⎡⎣ Re ( Ωi (t ) ) ⎤⎦ / min ⎡⎣ Re ( Ωi (t ) ) ⎤⎦ ,
i = 1, 2,…, w .
Jak vyplývá z definice, v případě nelineárního systému závisí vlastní čísla Ωi (t ) Jakobiho
matice J f na vektoru řešení x(t ) . Tuhost systému je tedy určena fyzikální podstatou modelu
i jeho řešením.
Pro nelineární systém (4.26) lze také vyjádřit hodnotu Lipschitzovy konstanty L
L = sup
∀t , N ∈D
∂f
≥ σ (J f )
∂x
1,
(4.27)
kde σ (J f ) reprezentuje spektrální poloměr Jakobiova matice J f . Ze vztahu (4.27) vyplývá,
že tuhost lze také interpretovat jako špatnou podmíněnost funkce f ( x, t ) . Podle vztahu (4.27)
je tuhý systém charakteristický vysokou hodnotou Lipschitzovy konstanty, tj. platí, že L
1.
Základní podmínku stability číslicové simulace na matematickém modelu dynamického
systému (4.25), resp. (4.26) pak můžeme vyjádřit pomocí relace
h ωi ∈ Ω , i = 1, 2,…, w ,
(4.28)
kde h je krok numerické simulace ( h > 0) , ωi je i-té vlastní číslo matice systému a Ω je oblast absolutní stability numerické metody.
Pro stiff-metody je charakteristické, že oblast absolutní stability zahrnuje velkou část
roviny komplexních čísel
C − = {h ω | Re(h ω ) < 0} .
Při výběru vhodných numerických metod se například osvědčil přístup, založený na
testování numerických algoritmů na konkrétních typech diferenciálních rovnic. Výsledkem
těchto testovacích studií je vzájemné porovnání vybraných numerických metod, stanovení
jejich efektivnosti a použitelnosti pro konkrétní specifické aplikace. Ukázalo se ale, že
zatímco pro řešení lineárních diferenciálních rovnic je uvedený postup vhodný, při řešení
soustav nelineárních diferenciálních rovnic tomu tak vždy není.
Nechť je r libovolné přirozené číslo z množiny přirozených čísel r ∈
. Pak můžeme de-
finovat obecný systém nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic řádu r , ( r > 2) , definovaný na intervalu I ≡ 〈t0 , tf 〉 pomocí formule
x( r ) = f (t , x, x, x,…, x ( r −1) ) ,
(4.29)
s vektory počátečních podmínek
x(t0 ) = x 0 , x(t0 ) = x 0 , x(t0 ) = x 0 , …, x ( r −1) (t0 ) = x 0( r −1) ,
(4.30)
kde t0 je počáteční a tf je koncový bod časového intervalu řešení. Z hlediska existence a jednoznačnosti řešení předpokládáme, že :
• funkce f (t , x, x, x,…, x ( r −1) ) je definována a je spojitá na intervalu I ≡ 〈t0 , tf 〉 pro
libovolné konečné hodnoty komponent vektorů x, x, x,…, x ( r −1) ,
• funkce f (t , x, x, x,…, x ( r −1) ) splňuje Lipschitzovu podmínku vzhledem k vektorovým
argumentům x, x, x,…, x ( r −1) .
Při numerickém řešení výše popsaných matematických modelů pohonových soustav a při
počátečních podmínkách (4.30) byly zkoumány lineární implicitní vícekrokové metody, které
splňovaly požadované stabilitní podmínky, a výsledky byly porovnány s výsledky získanými
pomocí standardní explicitní metody Runge-Kutta 4. řádu s automatickou změnou integračního kroku dle Richardsonovy strategie. Jednalo se o následující metody :
• skupina semi-implicitních metod řádu r = 3 ,
• Galahanova metoda,
• Michelsonova metoda,
• skupina implicitních metod
• A-stabilní Crank-Nicholsonova metoda 2. řádu (lichoběžníková),
• exponenciálně citovaná Brandonova metoda.
Výsledky, získané pomocí výše uvedených numerických metod, ne vždy splňovaly očekávání a vyskytly se obtíže, pokud analyzovaný problém měl větší počet stupňů volnosti. Dobrých výsledků bylo naopak dosaženo s programovými soubory SADYS/DYNAST, MATLAB
a Simulink nebo MathCAD Professional. Tyto metodiky nám umožňují počítat nejen základní
charakteristiky, jako jsou spektra vlastních frekvencí a tvarů vlastních kmitů, spektra vedlejších rezonancí nebo přenosové či impulsní funkce, ale umožňují řešit i tzv. „vnitřní dynamiku“ odezvových procesů, především nám pak umožňují sledovat průběhy přechodových
dějů ve fázových rovinách a vlivy parametrů regulace na průběhy odezev, umožňují identifikaci špičkových hodnot zatěžujících procesů nebo deformací, či detailně studovat působení
parazitních procesů. To vše je možné získat na modelech pohonových soustav již ve stadiu
jejich projektování a provádět paralelní výpočty – tím se naplňují požadavky simulací ve
variantách. Výsledkem pak je podstatné zrychlení vývojových prací.
4.4
Matematické modelování mechanických subsoustav a vazeb
komplexních pohonů
Modelování prvků, subsoustav a vazeb mezi nimi u technických objektů a technických
soustav patří mezi základní problémy, které musíme při projekci nových (inovovaných) technických objektů zvládnout. Právě zde, při nepochopení základních pravidel, mohou vznikat
chyby, které následně znehodnotí následné kroky. Důsledkem je, že vytvořený model neodpovídá požadavkům, které na něj byly kladeny.
V dalším se nejprve zaměříme na modelování rotujících částí pohonových soustav a pak na
vazby mezi jednotlivými subsoustavami rotorů, mezi rotory a skříní, případně okolním prostředím.
4.4.1
Modelování rotujících částí pohonových soustav (modelování rotorů)
Při modelování mechanických částí pohonů vycházíme z jejich diskretizace na konečný
počet stupňů volnosti. K matematickému popisu pak můžeme s výhodou použít Lagrangeových rovnic smíšeného typu, které lze vyjádřit ve tvaru
d ⎛ ∂Ek
⎜
dt ⎝ ∂q
∂E ∂E
⎞ ∂Ek
∂f
= Q p (t ) − p − d + λ T v ,
⎟−
∂q ∂q
∂q
⎠ ∂q
(4.31)
kde Ek , Ep , Ed jsou kinetická, potenciální a disipativní energie, Q p je vektor vnějšího silového působení, q je vektor zobecněných souřadnic, λ je vektor Lagrangeových multiplikátorů
a f v je vektorová funkce obsahující vazby mezi závislými souřadnicemi.
Pohybovou rovnici (4.31) lze upravit s ohledem na konkrétní problém do více tvarů. Zde
uvedeme některé z nich:
• Pro pohony s konstantním převodem
∂
( M q(t ) ) + B q(t ) + K q(t ) + f N (q, q, t ) = Q p ( t , ξ(t ) ) ,
∂t
(4.32)
kde M, B, K jsou matice momentů setrvačnosti, torzních tlumení a tuhostí, q je
vektor zobecněných souřadnic, fN je vektorová funkce, vyjadřující nelinearity
mechanické části pohonu, ξ je vektor náhodných složek buzení.
• Pro pohony s nekonstantním převodem
fm [q, q, q, t ] = Q p ( t , ξ (t ) ) ,
f v [q, q, t ] = 0 ,
(4.33)
kde fm je vektorová funkce popisující mechanickou část pohonu a fv je vektorová
funkce popisující vazební podmínky. Pohybové rovnice mohou být dále doplněny
soustavou rovnic popisující vztahy mezi závislými a nezávislými souřadnicemi.
• Při modelování elektrické části pohonů využíváme nejčastěji soustav diferenciálních
rovnic I. řádu, definovaných pro konkrétní typy elektromotorů a jejich řízení, viz
např. [15]. V symbolickém tvaru tyto soustavy můžeme vyjádřit následovně
fE [u e (t ), u e (t ), q(t ), q(t ), u(t ), w (t )] = 0 ,
(4.34)
kde fE je nelineární vektorová funkce, popisující elektrickou subsoustavu jako celek,
ue je vektor elektrických veličin, u je vektor veličin řízení pohonu, w je vektor
vnějších poruch elektrického subsystému (šumy).
• Při formulaci matematického modelu, reprezentujícího jak mechanickou tak elektrickou část pohonu, můžeme využít např. Lagrangeových-Maxwellových rovnic [2]:
⎡q ⎤
d ⎡ ∂L ⎤ ∂L
,
kde
−
=
=
Q
z
p
⎢κ ⎥ ,
dt ⎢⎣ ∂z ⎥⎦ ∂z
⎣ ⎦
(4.35)
L je tzv. Lagrangeova funkce, q je vektor zobecněných souřadnic a κ je vektor
zobecněných souřadnic elektrické subsoustavy pohonu.
Stejně tak můžeme při sestavování modelů elektromechanických soustav resp. heterogenních fyzikálních struktur složených z elektrických, mechanických, hydraulických a jiných
prvků použít Hamiltonova principu [2].
Je-li struktura pohonové soustavy homogenní, lze k sestavení pohybových rovnic použít
modely se spojitě rozloženými hmotovými a materiálovými parametry a s nelineárními okrajovými podmínkami. V těchto případech je možné k získání modelu použít také metodu
konečných prvků. Pokud k sestavení modelu postačí využití jednoduchých prvků, například
nosníkových (hřídele) a prstencových (disky a kotouče), je sestavení výpočtového modelu
poměrně jednoduché.
Obr. 4.3: Rotující hřídel s kotoučem
Situace se ale komplikuje, máme-li modelovat chování pohonových soustav s uvažováním
vlivu gyroskopického momentu, tj. za předpokladu ohybové deformace rotujících hřídelů
s kotouči, viz obr. 4.3. U hřídelového prvku uvažujeme ohybové deformace ve dvou na sebe
kolmých rovinách a natočení Β = −∂w / ∂s a Γ = −∂v / ∂s , kde s označuje pozici konečného
prvku v axiálním směru vzhledem k počátku globálního souřadnicového systému. Pak má
konečný prvek 8 stupňů volnosti a jeho pohybovou rovnici můžeme psát ve tvaru
[M T + M R ] q − Ω G q − [K A + K B ] q = Q(t ) ,
(4.36)
kde
l
M T = ∫ μ Ψ T Ψ ds ,
0
l
M R = ∫ ED Φ T Φ ds ,
0
G = N + NT
l
(antisymetrická) ,
(4.37)
N = ∫ EP Φ Γ Φ Β ds ,
T
0
l
K A = ∫ P Φ′T Φ′ ds ,
0
l
K B = ∫ E I Φ′′T Φ′′ ds .
0
Jednotlivé symboly představují: q vektor deformací (posuvy, natočení), Ω úlovou rychlost
hřídele, s pozici prvku vzhledem ke globálnímu souřadnicovému systému, l délku prutu,
P axiální sílu v ose prvku, E I ohybovou tuhost prvku, μ hmotnost na jednotku délky prvku
a Ψ, Φ, ΦΓ , ΦΒ matice tvarových funkcí prvku.
Potenciální a disipativní energie, užité ve vztazích (4.37) jsou definovány rovnicemi
dEP =
1
E I {q T Ψ′′T η Ψ′′ q} ds
2
(4.38)
a
1
dED = η V E I {q T Ψ′′T Ψ′′ q} ds ,
2
kde matice materiálového (vnitřního) tlumení je definována
1 + ηH
⎡
⎢
1 + η H2
⎢
η=⎢ ⎛
⎞
1 + ηH
⎢− ⎜
+ Ωη V ⎟
2
⎟
⎢ ⎜
⎠
⎣ ⎝ 1 + ηH
(4.39)
1 + ηH
⎤
+ Ωη V ⎥
1 +η
⎥
⎥
1 + ηH
⎥
2
⎥
1 + ηH
⎦
2
H
(4.40)
a η V je koeficient viskózního tlumení a ηH je součinitel hystereze.
Nesymetrický prvek matice η můžeme vyjádřit pomocí nekonzervativních zobecněných
sil, rovnice (4.36) můžeme upravit do tvaru
⎡ 1+η
H
⎤
⎛ 1+η
⎞
H
KB − KA + ⎜
+ Ωη V ⎟ K C ⎥ q = Q(t ) , (4.41)
⎜ 1 +η 2
⎟
⎢ 1 + η H2
⎥
H
⎝
⎠
⎣
⎦
[M T + M R ] q + [ηV K B − Ω G ] q + ⎢
kde KC je antisymetrická cirkulační matice.
Je patrné, že v tomto případě jsme postaveni před řešení mnohem obtížnější úlohy než
v případě nosníkového typu s axiálně-torzními deformacemi (4 stupně volnosti), případně
i ohybovými deformacemi (až 12 stupňů volnosti), a prstencových prvků s radiálními a tečnými deformacemi (4 stupně volnosti), případně i osovými deformacemi (8 stupňů volnosti).
Tuto metodiku nelze z praktických důvodů využít, sestavujeme-li modely pohonových
soustav se složitými převodovými strukturami (diferenciály, planetové převodovky).
Ve všech uvažovaných případech musíme výše uvedené rovnice doplnit vektory počátečních podmínek a musíme ověřit předpoklady řešení. Prakticky ve všech případech lze tyto
rovnice transformovat do stavového prostoru.
4.4.2
Modelování vnějšího prostředí pohonových soustav
Pohonové soustavy v mnoha případech již nelze chápat izolovaně od vnějšího prostředí.
Jde například o konečnou tuhost uložení či o přenos parazitních účinků od rotujících částí.
Z těchto důvodů byl zaveden pojem pracovní prostor chápaný v dalším jako část struktury
stroje, která se přímo nepodílí na přenosu energie v průběhu pracovního cyklu, avšak v důsledku pohybu soustavy v ní dochází k posuvům či deformacím, které mohou výrazně ovlivnit
chování systému. Při modelování pracovního prostoru opět vycházíme z diskretizace struktury
stroje, nejčastěji s využitím MKP. Zpravidla vzcházíme z lineárního přiblížení, které nám
umožní využít jednoduchou maticovou rovnici
M q(t ) + B q(t ) + K q (t ) = F (t ) ,
(4.42)
kde M, B, K jsou matice hmotností, tlumení a tuhostí, q(t), F(t) jsou vektory výchylek
a buzení, tečky označují derivace podle času.
Rovnici (4.42) můžeme upravit do známého tvaru zavedením spektrální matice Ω , ortonormální modální matice V a za předpokladu malého proporcionálního tlumení s využitím
relace q = V v
E v (t ) + 2 δ Ω v (t ) + Ω 2 v (t ) = f mod , f mod = V T f (t ) V ,
(4.43)
kde E je jednotková matice, δ je matice poměrného útlumu a v je vektor hlavních souřadnic.
Užitím Laplaceovy transformace pak lze získat relaci mezi vektory hlavních souřadnic
a vnějšího zatížení
v ( p ) = G ( p) f ( p) , kde G ( p ) =
VT V
,
p 2 E + 2 p δ Ω + Ω2
(4.44)
Matice G ( p ) představuje dynamické poddajnosti v Laplaceově obrazu a reprezentuje přenosové vlastnosti soustavy.
Uvažovaná metodika byla použita při modelování interakcí mechanické soustavy tvořené
jednostupňovou převodovkou a „pružnou“ skříní [16]. K modelování byl použit programový
soubor ANSYS a osmiuzlové isoparametrické objemové prvky (SOLID 45). Tyto prvky lze
redukovat do šestiuzlových, resp. čtyřuzlových tvarů, přičemž každému tvaru náležejí tři
stupně volnosti. Výsledky modální analýzy jsou uvedeny na obr. 4.4 (pro 1. a 8. tvar kmitu).
Uvedeného postupu může být použito mj. při modelování konstrukčních úprav pracovního
prostoru. Tzv. strukturální dynamická modifikace [15] pak spočívá v nalezení spektrální
a modální matice upravované konstrukce pouze s využitím matic V a Ω původní konstrukce
a známých matic hmotností a tuhostí připojovaných prvků, např. žeber, výztuh a podobně.
Obr. 4.4: Výsledky modální analýzy
Uvedená metodika je vhodná spíše k posouzení vlivu „vnitřní struktury“ pohonu na okolí,
například na převodovou skříň. Dovoluje však určení deformací v místech uložení rotujících
částí a jejich následné využití při analýze pohonu.
U pohonových soustav mobilních systémů (automobily, kolejová vozidla) se setkáváme
například s transformací účinků od vozovky (resp. kolejí) na pohonové soustavy „přes“ hnací
kola. Tato řešení byla ověřena pomocí experimentů.
Samostatnou oblast tvoří problematika vázaného kmitání rotorů a statorů. K dispozici je
řada metod, využívajících matic komplexních dynamických poddajností aplikovaných například na letecké motory [17], [18], ale i na převodová ústrojí v automobilovém průmyslu – viz
například využití metody modální syntézy pro modelování kmitajících soustav se silnými nelinearitami a poddajnými statory [20].
Poznámka
O vlivu pružného uložení hřídelů pohonových soustav a rotorů na jejich dynamické
vlastnosti bude pojednáno v následujících odstavcích.
4.4.3
Modelování ložiskových vazeb v pohonových soustavách
V mnoha případech se při modelování vlastností a chování pohonových soustav nevyhneme zahrnutí vlivu vazeb mezi subsoustavami pohonů nebo mezi pohony a jejich okolím
do globálního modelu. Při posuzování jednotlivých vazeb vycházíme nejprve z jejich geometrického popisu. Doposud se nejčastěji využívalo linearizovaných modelů vazeb. U pohonových soustav s převodovými ústrojími hrají dominantní roli ložiskové a zubové vazby. Setkáváme se také s jinými druhy vazeb, například s různými druhy spojek, řemenovými variátory či některými typy elektromechanických zařízení.
Typická vazba představuje spojení dvou subsoustav. Při modelování složitých pohonových
soustav, složených z N podsoustav, lze vektor popisující prostor zobecněných souřadnic definovat takto:
T
q ≡ ⎡⎣q1T , q T2 ,… , q TN ⎤⎦ ,
(4.45)
kde N = ∑ s =1 N s .
n
Vazby mezi rotujícími částmi pohonů a skříněmi (okolím), resp. mezi rotorovými a statorovými soustavami, se realizují zpravidla prostřednictvím ložisek. Nejčastějšími typy ložisek
jsou:
a) valivá ložiska,
b) kluzná ložiska,
c) elektromagnetická ložiska (zejména v poslední době).
Obr. 4.5: Schéma ložiskové vazby [20]
4.4.3.1
Valivá ložiska
Konstrukce valivých ložisek je známá. Valivá ložiska se skládají s valivých prvků (kuličky, válečky, ...) uložených v ložiskových klecích mezi vnitřními a vnějšími kroužky. Geometrie valivých ložisek je patrná z obr. 4.5 [20].
Pomineme nejjednodušší případ, kdy je hřídel uvažován v příčném směru jako tuhý a jeho
uložení v ložisku rovněž tuhé. Deformace v místě uložení hřídele pak mohou ovlivňovat frekvenční charakteristiku pohonu.
Je známou skutečností, že snížení tuhosti uložení vede ke snížení kritických rychlostí
rotoru. Působení pružného uložení v konstrukci pohonu a skříně je ekvivalentní snížení
tuhosti hřídele nebo rotoru. V případě pružného uložení se můžeme setkat s novými velmi
nízkými kritickými otáčkami, které jsou bez problému překonávány při rozběhu pohonové
soustavy v situaci, kdy je působení nerovnovážných silových účinků ještě malé. Hodnota
nových kritických otáček (druhých) pak bude mnohem vyšší než hodnota původních kritických otáček rotoru uloženého na tuhých podporách. To je první vážný důsledek vyplývající
z existence „pružných“ uložení hřídelů a rotorů.
Druhým důsledkem pružných uložení vysokorychlostních hřídelů a rotorů je známý efekt
odlehčení ložisek, silové odlehčení v styčných uzlech rotorů a základů (skříně) a v důsledku
toho izolování základů od zdrojů vibrací.
Skutečně, označíme-li R sílu působící na ložisku „tuhého rotoru“ (tj. rotoru pracujícího při
nižších otáčkách než jsou kritické), bude tato rovna výrazu [20]
R = λ m ( y + ε )ω2 ,
(4.46)
a pokud rotor pracuje ve frekvenční oblasti dostatečně vzdálené od
R ≈ λ mε ω2 .
(4.47)
Když rotory na pružných podporách, i když jsou samy o sobě tuhé, pracují daleko za prvními kritickými otáčkami (tj. jedná se o „pružné“ rotory), bude pohyb rotoru stabilní a bude
přibližně probíhat kolem jeho těžiště. Pak zatížení působící na pružnou podporu bude
R ≈ λ1 k1 ε .
(4.48)
V rovnicích (4.46)–(4.48) m označuje hmotnost rotující soustavy (rotoru, disku), y průhyb v místě těžiště, ε excentricitu těžiště, k1 celkovou tuhost hřídele (rotoru) a pružné podpory, λ , λ1 koeficienty závislé na strukturním uspořádání rotující subsoustavy. Například pro
hřídel se symetricky umístěným diskem je λ = 1/ 2 , pro disk umístěný na volném konci „za
ložiskem“ je λ = 1 .
Celkovou tuhost (lineární přiblížení) uložení k1 pak vypočteme ze známého vztahu
1
1
1
,
=
+
k1 kH kL
kde kH je ohybová tuhost hřídele v místě uložení a kL je tuhost ložiskové podpory.
(4.49)
Pro případ, kdy je disk umístěn na hřídeli v bezprostřední blízkosti ložiska platí:
R ≈ kL ε .
(4.50)
Zdůrazněme, že z výše uvedených vztahů vyplývá, že u pružných podpor (a pružných rotorů) velikost síly od rotoru působící na ložiska nezávisí na otáčkách.
Dále se zaměříme na využití nelineárního modelu pružné vazby, respektujícího vazební
vůle a proměnnou kontaktní tuhost elementů valivých ložisek v závislosti na jejich deformaci.
Model je popsán v práci [20], zde uvedeme jen nejpodstatnější skutečnosti. Na obr. 4.5 je
schématické znázornění ložiskové vazby. Silový přenos probíhá mezi čepem (hřídelem), který
je v radiálním směru uvažován jako tuhý, přes vnitřní kroužek a valivé elementy na vnější
kroužek, který je obecně považován za součást pružného rámu (statoru). Celková radiálně
přenášená síla nechť je označena jako Fij , případná axiální síla jako Fijax . Polohy těchto sil,
působících na konkrétní valivý element nechť označuje
δ ij . Radiální a axiální síly, přená-
šené jednotlivými valivými elementy, lze v souladu s Hertzovou teoríí kontaktních těles popsat vztahy
ni
⎛ Δ ij ⎞
Fij = ⎜
⎟ H ( Δ ij ) ,
⎝ Ci ⎠
Fijax
⎛ Δ ijax
=⎜
⎜C
⎝ i
⎞
⎟⎟
⎠
(4.51)
nijax
H (Δ ijax ) ,
kde Δ ij a Δijax představují radiální a axiální deformace prvků a parametry ni , Ci , niax , Ciax lze
určit podle typu ložiska, například [20]:
• pro kuličková ložiska s průměrem kuliček d platí: n = 3 / 2 , C = 4,37.10−7 d −1/ 3 .
• pro válečková ložiska s délkou válečku l platí n = 1/ 0,9 , C = 0, 77.10−7 l −0,8 .
Symboly H ( Δ ij ) a H (Δijax ) představují Heavisideovy funkce v kontaktních bodech H ij ,
resp. H ijax (viz obr. 4.5).
Linearizovaný model ložiskové vazby
Předpokládejme, že střed čepu hřídele Si v i-tém ložisku má malé výchylky vi , wi vzhledem ke statické rovnovážné poloze. V každém ložisku musí být kontaktní síly Fij v rovnováze
s výslednou statickou silou v ložisku Fi , tj. musí být splněny podmínky:
pi
Fi cos δ i = ∑ Fij cos δ ij ,
j =1
kde pi je počet valivých elementů.
pi
Fi sin δ i = ∑ Fij sin δ ij ,
j =1
(4.52)
Po dosazení výrazů (4.51) do (4.52) a po úpravě pro Δ ij = ( Δ ij )st lze získat linearizovanou
tuhost valivých elementů
kij =
dFij
dΔij
H [(Δij )st ] =
Δij ≡ ( Δij )st
ni
(Δij )stni −1 H [(Δij )st ] ,
ni
Ci
(4.53)
kde
( Δ ij )st = (vij )st cos δ ij + ( wij )st sin δ ij .
Podobně musí být v každém ložisku v rovnováze také axiální síly, tudíž musí platit
pi
Fi ax = ∑ Fijax
(4.54)
j =1
a obdobným způsobem jako výše pro Δijax = (Δijax )st dostaneme
kijax =
dFijax
dΔ
ax
ij Δ ax ≡ ( Δ ax )
ij
ij st
H [(Δijax )st ] =
nijax
ax
i
(C )
nax −1
nijax
(Δ ijax )stij
H [(Δijax )st ] ,
(4.55)
kde
(Δijax )st = (ui )st − (ψ i )st ri cos δ ij + (ϑi )st ri sin δ ij ,
(ui )st je celkový statický axiální posuv ložiska a souřadnice (ψ i )st a (ϑi )st popisují natočení
roviny kroužku ložiska kolem příčných os čepu ložiska.
Pro linearizované síly ve valivých prvcích platí
Fij = kij Δij
resp. Fijax = kijax Δijax .
(4.56)
Na základě vztahů (4.56) můžeme definovat globální vektor linearizovaných vazbových
ložiskových sil
f L (t ) = −K L q(t ) − B L q(t ) + fB (t ) .
4.4.3.2
(4.57)
Kluzná ložiska
Kluzná ložiska mají poměrně hojné využití v rotorových soustavách, především u leteckých motorů. Analýza jejich dynamických vlastností a jejich modelování jsou v důsledku
uvažování olejového mazacího filmu velmi obtížné a představují samostatný problém pro
řešení. Za vyšších teplot se v ložiscích mění i viskózní charakteristiky maziva, a proto je
nutné zohlednit také vliv pohybu mazacího filmu uvnitř ložiska.
4.4.3.3
Elektromagnetická ložiska
Aktivní magnetická ložiska zamezují kontaktu mezi rotorem a statorem, a proto je můžeme
využít tam, kde by byla „klasická ložiska“ nepoužitelná. Mezi výhody patří nízké tření, opotřebení a hlučnost, většinou není třeba mazání. Nevýhodou může být pořizovací cena subsou-
stavy řízeného magnetického pole. Protože se obecně jedná o nelineární, nestabilní a rychlou
soustavu, představuje její řízení složitý problém.
Obr. 4.6: Schéma rotoru aktivního magnetického ložiska
Model soustavy rotor + magnetické ložisko
Vyjdeme-li z obr. 4.6 [21], lze model rotoru popsat rovnicí
M q + Ω G q = B f + f g + Ω 2 Dn (Ω t ) ,
(4.58)
kde q je vektor zobecněných souřadnic
qT = [ x γ
y ϑ] .
(4.59)
M je matice hmotností
M = diag [ m J r
m Jr ] ,
(4.60)
kde m je hmotnost rotoru a J r je moment setrvačnosti rotoru k jeho ose rotace. G je matice
popisující vliv gyroskopického momentu
⎡0 0
⎢0 0
G=⎢
0 0
⎢
⎣⎢0 J a
0 0 ⎤
0 −Ja ⎥
,
0 0 ⎥
⎥
0 0 ⎦⎥
(4.61)
kde J a je moment setrvačnosti rotoru vzhledem k ose kolmé k ose rotace. Ω je rychlost otáčení rotoru, B je matice charakterizující magnetické síly
⎡ 1
⎢ −l
B = ⎢ bA
0
⎢
⎣⎢ 0
0
0
1
lbA
1
lbB
0
0
0 ⎤
0 ⎥
.
1 ⎥
⎥
−lbB ⎦⎥
(4.62)
Vektor f zahrnuje síly působící od magnetických ložisek
f = ⎡⎣ f xA
f yA
f xB
T
f yB ⎤⎦ ,
(4.63)
0] ,
(4.64)
vektor f g zahrnuje působení gravitačního pole
f = [0 0 −m g
T
a matice Dn (Ωt ) popisuje vliv nevyváženosti rotoru
D n (Ωt ) = [ K s cos(Ωt ) K d cos(Ωt + β ) K s sin(Ωt ) − K d sin(Ωt + β ) ] ,
T
(4.65)
kde Ks a K d jsou koeficienty statické a dynamické nevyváženosti a β je okamžitý úhel pootočení od počáteční polohy [22]. Parametry lbA a lbB jsou vzdálenosti elektromagnetů od těžiště rotoru, viz obr. 4.6.
Obr. 4.7: Rozložení elektromagnetů pro jednu osu magnetického ložiska
Model magnetické síly působící na rotor
Magnetické pole je generováno elektrickým proudem nebo permanentním magnetem.
Výsledná magnetická síla je vždy přitažlivá. Pro řízení polohy hřídele je zapotřebí, aby tato
síla mohla působit jak směrem k elektromagnetu, tak směrem od něj. Toho se dosáhne pomocí
dvou protilehlých elektromagnetů působících proti sobě, viz obr. 4.7. Výsledná magnetická
síla je pak dána rozdílem sil od jednotlivých elektromagnetů:
F=
K i22
⎛d
⎞
⎜ − x + a⎟
⎝2
⎠
2
−
K i12
⎛d
⎞
⎜ + x + a⎟
⎝2
⎠
2
,
(4.66)
kde K je koeficient závislý na parametrech cívky elektromagnetu a jeho hodnota je různá pro
různé typy magnetických ložisek [21], i1 , i2 jsou proudy v elektromagnetech, d je velikost
vzduchové mezery mezi rotorem a elektromagnety, x je velikost výchylky rotoru od rovnovážné polohy v příčném směru a a je korekční konstanta, která zajišťuje, že model odpovídá skutečnosti.
Pro praktické realizace se provádí přepočet magnetické síly na řídicí napětí, čímž dostaneme poměrně složité rovnice pro požadované síly Fp . Naštěstí lze při výpočtech napětí
zanedbávat vliv indukčnosti a požadované magnetické síly modelovat pomocí jednoduché
diferenciální rovnice [21]
Fp = F + K F ,
(4.67)
kde Fp je požadovaná síla a F je její skutečná hodnota. Výhodou naznačeného postupu je, že
výsledná magnetická síla modelu odpovídá realitě v celém pracovním prostoru. Nevýhodou je
nutnost provádět při každém akčním zásahu přepočet požadované síly na odpovídající napětí,
čímž se prodlužuje reakční doba regulátoru.
V současné době se do řídicích podsoustav magnetických ložisek zařazují algoritmy umělé
inteligence, které umožňují i při nepřesné znalosti chování a stavu řízené soustavy dosáhnout
kvalitního řízení, a navíc se dokáží při provozu přizpůsobit skutečnému chování. O těchto
problémech ještě pojednáme v kapitole o řízení pohonových soustav.
4.4.4
Modelování zubových vazeb
Analýza dynamických vlastností pohonových soustav prošla dlouhým vývojem. Nejsložitějším a stále ještě nedostatečně zvládnutým problémem všech dosud používaných metodik
zůstává ozubení se svojí velmi složitou problematikou vnitřního buzení a tlumení, které jsou
generovány přímo v záběrech spoluzabírajících párů zubů. Tyto velmi složité jevy – interakce
výrobních odchylek či opotřebení, výškové modifikace ozubení, poddajné deformace zubů
– jsou dosud v používaných výpočtových modelech zanedbávány. Vnitřní zdroje buzení jsou
vesměs zjednodušovány na funkce času, což reálným podmínkám odpovídá jen zčásti.
Některé složitosti modelování dynamických jevů v ozubení jsou studovány v práci [23].
Výpočtové metodiky jsou neustále zpřesňovány, objevují se nejen rovinné, ale také prostorové modely záběru ozubených kol vytvářené pomocí MKP. Zohledňují se také základní nelineární jevy v ozubení, způsobené:
• existencí bočních zubových vůlí,
• proměnlivou tuhostí ozubení v důsledku střídání počtu zubů v záběru,
• tlumením v ozubení a
• vznikem kinematického buzení.
Jednou z efektivních možností, jak modelovat vlivy ozubení na dynamické vlastnosti
pohonových soustav nabízí práce [25]. Zde se vychází z lineárního modelu čelního zubového
záběru se šikmým ozubením, ve kterém je zubový záběr uvažován jako bodový ve středu
šířky ozubení. V záběrovém bodě jsou pak sestaveny vektory zobecněných výchylek, závislé
na geometrických parametrech pastorku a kola. Jsou odvozeny matice tuhostí a tlumení
v zubových vazbách, jsou sestaveny pohybové rovnice a je přistoupeno k jejich řešení. Nutno
ovšem poznamenat, že přesnost výsledků, získaných řešením soustav pohybových rovnic,
významně závisí na přesnosti vstupních parametrů. Tyto složité vstupní parametry zahrnují
především: celkovou tuhost spoluzabírajícího ozubení, nerovnoměrnost převodu, relativní
poddajné deformace, relativní výškové korekce boků zubů a odhady tlumení. Součinitel
záběru zubů můžeme považovat za konstantní a je určen prostým geometrickým výpočtem.
Je zřejmé, že tyto vlivy lze jen těžko zachytit pomocí lineárních výpočtových modelů,
a proto se zohledňují alespoň základní nelinearity v zubových vazbách.
4.4.4.1
Boční vůle
Patrně nejdůležitějším nelineárním jevem, kterým se při modelování zubových vazeb
zabýváme, je boční vůle v ozubení. Velmi zhruba ji lze popsat následujícím způsobem. Označíme-li deformaci ozubení d z , lze sílu přenášenou v ozubení vyjádřit ve tvaru
Fz (t , d z , d z ) = kz d z + bz d z + f z (t , d z ) ,
(4.68)
kde kz a bz jsou koeficienty tuhosti a tlumení v ozubení. Je zřejmé, že první dva členy na
pravé straně rovnice (4.68) představují lineární část problému. Nelineární funkce f z (t , d z )
modifikuje průběh síly Fz ve fázích přerušení zubového záběru, viz obr. 4.8.
Obr. 4.8: Průběh elastické síly v záběru zubu
Označíme-li vůli v ozubení uz , můžeme nelineární funkci f z (t , d z ) vyjádřit rovnicí
f z (t , d z ) = −kz (t ) d z H (−d z ) + kz (t ) (d z + uz ) H (−d z − uz ) ,
(4.69)
kde za kz lze v prvním přiblížení dosadit „střední hodnotu“ tuhosti ozubení získanou např.
dle [23]. Symbol H ( ) představuje Heavisideovu funkci.
4.4.4.2
Proměnná tuhost ozubení
Proměnná tuhost ozubení zavádí do výpočtového modelu parametrický zdroj buzení. Tuhost jednoho páru zubů se v průběhu záběru výrazně mění a lze ji definovat jako periodickou
funkci s periodou rovnou času trvání záběru příslušného páru zubů. Tato tuhost je ale ovliv-
něna dalšími faktory: profilem zubu, součinitelem trvání záběru, korekcí boku zubů i hydrodynamickými ději v mazivu. Tyto jevy ani dnešní výpočtové modely plně nerespektují.
Byl již zmíněn možný vhodný způsob výpočtu tuhosti ozubení [23]. Jiný způsob předložili
Cai a Hayashi [24], kteří navrhli pro odhad tuhosti jednoho páru zubů šikmého ozubení analytický vztah
⎧ ⎡ 1,8
2
⎤
1,8
t − tp ) −
t − tp ) + 0,55⎥ pro t ∈ tp , tp + T
(
⎪km ⎢
2 (
εT
(ε T )
⎪
⎦
k (t ) = ⎨ ⎣
,
⎪0
jinak
⎪⎩
(4.70)
kde km představuje maximální hodnotu tuhosti jednoho páru zubů během jejich záběru, ε je
součinitel záběru zubů a T je perioda záběru zubů. Vztah (4.70) aproximuje tuhost zubů
v intervalu tp , tp + T , kde t = tp je čas, kdy zuby do záběru vstupují, a t = tp + T je čas, kdy
ze záběru vystupují. Pro periodu záběru přitom platí
T=
2π
,
pz ω
(4.71)
kde pz je počet zubů pastorku rotujícího úhlovou rychlostí omega.
Obr. 4.9: Průběhy tuhosti ozubení v závislosti na dráze záběru a součiniteli záběru
Průběhy tuhostí ozubení v závislosti na dráze bodu záběru a součiniteli záběru jsou znázorněny na obr. 4.9 [25]. Tyto průběhy byly získány pomocí rovnice (4.70). Slabě vykreslené
křivky odpovídají průběhům tuhosti jednotlivých párů zubů do záběru vstupujících a vystupujících, čárkovaně je znázorněna střední tuhost ozubení a tučně zobrazené křivky určují průběhy výsledné tuhosti ozubení.
Výslednou tuhost ozubení pak lze vyjádřit následovně
k (t ) = ∑ k p (t ) ,
p
kde index p je počet párů zubů, které jsou v čase t právě v záběru.
(4.72)
V technické literatuře se setkáváme i s vyjádřením tuhosti ve tvaru sudé periodické funkce
ve tvaru
∞
kz (t ) = kz0 + ∑ kzn cos n pz ω t ,
(4.73)
n =1
kde kz0 je střední tuhost ozubení (na obr. 4.9 znázorněna čárkovaně) a pz ω je zubová frekvence. Amplitudy kzn harmonických složek pak závisí na součiniteli záběru. Tato formulace
pomocí periodické funkce byla kriticky zhodnocena v úvodu odstavce.
Obr. 4.10
4.4.4.3
Dodatek
Přesnější dynamická analýza kinematických vazeb v ozubení vede k vyšetřování nelineárních soustav s časově proměnnými parametry a například u planetových převodovek i s větvenými toky výkonu. Boční vůle způsobují při dynamických deformacích (větších než jsou
staticko-elastické) odskoky, tj. oddělení profilů zubů v průběhu záběru. Mohou se objevit rázy
a dochází k porušování záběrových tribologických podmínek. Důsledkem je zvýšení hluku,
možnost vzniku samobuzeného kmitání, případně i chaosu. Tyto složité děje je obtížné modelovat pomocí klasických metod. Řešením může být využití simulačních programů, např. programu SADYS/DYNAST. Jeden z možných případů je znázorněn na obr. 4.10 [25]. Zde je
analyzováno chování řízené pohonové soustavy v místě rozvodovky (pozice 2), ve které byla
uvažována vůle a kinematické buzení. Při zvětšování vůle se ve stavovém prostoru setkáváme
s následujícími fázovými obrazy (obr. 4.10d):
• rovnoměrný stav periodický s postupně se rozšiřující „šířkou“ odezvy (pozice A),
• stav s přeskoky zubů na hranici vůle reprezentovaný parazitními limitními cykly
(pozice B),
• chaos (pozice C) a
• vznik relaxačních samobuzených kmitů (pozice D).
Záběrové podmínky mohou být ovlivňovány také deformacemi okolí, což je typické například u leteckých reduktorů. Další komplikace pak představují nedostatečně prozkoumané
zákonitosti tlumení. Těmto problémů se věnovali např. Hortel a Škuderová, viz [6].
Řízení pohonových soustav
5
V současné době představují řízené pohonové soustavy drtivou většinu všech nových konstrukcí pohonů. Přitom struktura řídicích podsoustav můţe být diametrálně odlišná.
Automatické řídicí subsoustavy vykonávají svoji činnost pomocí předem navrţených subsoustav servomechanismů či předem naprogramovaných řídicích algoritmů. V hierarchii řízení představují nejjednodušší řídicí subsoustavy.
Dynamické řídicí subsoustavy vyţadují k dosaţení cílů řízení nejen informace o poţadovaných výstupech, ale i informace o okamţitých stavech řízeného systému a působení jeho
okolí. Obecně lze rozlišovat řízení se zpětnou vazbou (resp. více zpětnými vazbami) a bez
zpětné vazby. V dalším se budeme zabývat především způsoby řízení se zpětnými vazbami.
5.1
Stavová teorie automatického řízení
Z obecné teorie dynamických systémů vyplývá, ţe stav systému určují informace o okamţitém chování systému a o minulém působení okolí na systém. Minimální, ale dostačující, počet těchto veličin pak determinuje stavový vektor x(t ) , který pak lze vyjádřit jako sjednocení
x(t0 ) [u( )]
( t0 ,t )
x(t ) ,
(5.1)
kde u(t ) je vektor vstupních veličin, x(t0 ) je vektor stavových veličin v počátečním čase t0
a t je okamţitý čas. Protoţe u fyzikálních soustav bude vztah (5.1) jednoznačný, lze stav
soustavy v čase t dt vyjádřit vztahem
x(t dt ) x(t ) dx(t ) x(t ) f [x(t ), u(t ), t ]dt ,
a odtud jiţ bezprostředně vyplývá stavová rovnice soustavy, která má být řízena
x (t )
dx(t )
dt
f [x(t ), u(t ), t ] ,
(5.2)
kde f [] je vektorová funkce okamţitých hodnot stavových veličin, vstupních veličin a času.
Pro časově invariantní soustavy lze derivace stavových a vstupních veličin rozdělit na nezávislé sloţky
x (t ) f1[x(t )] f 2 [u(t )] .
(5.3)
f1[0] f 2 [0] 0 .
(5.4)
Předpokládejme ţe platí
Rozvineme-li nyní funkce f1 a f 2 do Taylorovy řady a zanedbáme-li vyšší členy, dostaneme
s ohledem na (5.4) linearizovanou stavovou rovnici
x (t )
kde
A x(t ) h0 (t ) ,
(5.5)
A
f1[x(t )]
xT x
a
h0 (t )
0
f2 [u(t )]
u(t ) .
uT x 0
Obdobným způsobem lze upravit i výstupní rovnici (5.2)
y (t )
g1[x(t )] g 2 [u(t )] ,
(5.6)
kterou lze analogicky k předchozímu postupu opět linearizovat
y(t ) Cx(t ) G0 u(t ) ,
(5.7)
kde C je transformační výstupní matice a G0 se nazývá obecnou převodovou maticí.
Vzhledem k tomu, ţe k dosaţení cílů řešení zpravidla postačuje menší počet veličin, neţ je
počet prvků vektoru u(t ) , a navíc tyto redukované vstupní veličiny lze i lineárně kombinovat,
můţeme psát
v(t ) Tu(t ) d(t ) ,
(5.8)
kde v je vektor redukovaných vstupních veličin, tzv. „akčních“ veličin, u je vektor původních vstupních veličin, d je vektor poruchových veličin (konzistentní s vektorem v ) a T je
transformační matice.
5.2
Řízení se zpětnou vazbou
Akční veličiny (seřazené ve vektoru v ) jsou obecně závislé na výstupních veličinách u
a na vhodně zvolených parametrech. Tuto skutečnost lze matematicky zapsat ve tvaru
L( v, y, y p , pr ) 0 ,
(5.9)
kde L() je obecně nelineární vektorový diferenciální operátor, y je vektor výstupních
veličin, y p je vektor poţadovaných výstupních veličin a p r je vektor parametru operátoru L .
Vztah (5.9) se obecně nazývá zákonem řízení a parametry seřazené ve vektoru p r se nazývají parametry řízení.
Omezíme-li se na případy, kdy je moţné výstupní veličiny volit tak, aby závisely jen na
stavových a akčních veličinách, můţeme převodovou matici v rovnici (5.7) vyjádřit ve tvaru
G0
GT ,
(5.10)
kde T je transformační rovnice ze vztahu (5.8) a G je převodová matice.
Stavovou rovnici řízené soustavy můţeme nyní zapsat ve tvaru
x (t )
A x(t ) B ( v d) h(t ) ,
(5.11)
kde
h(t )
f2
uT
B T u(t )
u 0
a výstupní relaci
y (t ) C x(t ) G v ,
(5.12)
kde můţeme „upravit“ označení jednotlivých matic takto: A je matice řízené soustavy, B je
vstupní matice, C je výstupní matice, G je převodová matice, x je stavový vektor, y je
výstupní vektor, v je vektor akčních veličin, d je vektor poruchových veličin a h(t ) je vektor
vnějších účinků.
Blokové schéma řízené soustavy, sestavené s ohledem na rovnice (5.11) a (5.12), je na
obr. 5.1.
Obr. 5.1: Blokové schéma řízené soustavy
5.2.1
Závislost akčních veličin na regulační odchylce
Vektor regulačních odchylek e vyjadřuje vztah
e y yp ,
(5.13)
kde y je vektor skutečných a y p poţadovaných hodnot výstupních veličin. Zákon řízení (5.9)
pak lze přepsat do tvaru
L( v, e, p r )
0 .
(5.14)
Pro případ, kdy je diferenciální operátor L (.) lineární vzhledem k vektoru v , lze chování regulátoru popsat lineární diferenciální rovnicí analogickou k rovnici (5.5)
x r (t )
A r (p r ) x r (t ) h r (e, p r ) ,
(5.15)
kde x r je stavový vektor regulátoru, A je matice (soustavy) regulátoru, h r je vektorový diferenciální operátor závislý na parametrech řízení a reprezentující účinky regulační odchylky
na regulátor.
Podle charakteru činnosti lze regulátory dělit na:
proporcionální – h r závisí jen na regulační odchylce,
derivační – h r závisí na derivacích regulačních odchylek podle času,
integrační – h r závisí na časové integraci regulačních odchylek.
5.3
Lineární proporcionální regulátor
S ohledem na rozsah kapitoly (i celé práce) se omezíme pouze na analýzu chování a vlastností jednoduchých způsobů regulace pohonových soustav.
Stavovou rovnici regulátoru můţeme napsat ve tvaru
x r (t )
e y yp ,
Ar (pr ) xr (t ) Br (pr ) e ,
(5.16)
kde B r je vstupní matice regulátoru.
Výstupem z regulátoru je vektor akčních veličin v , který lze vyjádřit jako lineární kombinaci stavových veličin regulátoru x r (analogie s rovnicí (5.7)):
v
Cr (p r ) x r .
(5.17)
Matici C r nazýváme výstupní maticí regulátoru. Kombinací rovnic (5.11), (5.12), (5.15),
(5.16) a (5.18) a po úpravě lze získat stavové rovnice řízené soustavy ve tvaru [26]
x (t ) A x(t ) BCr x r (t ) Bd h(t ) ,
x r (t ) A r xr (t ) Br C x G Cr x r B r y p .
(5.18)
Zavedeme-li stavový vektor globální řízené soustavy
x
[x, xr ]T ,
(5.19)
můţeme zapsat stavovou reprezentaci globální řízené soustavy ve zjednodušeném tvaru
x (t ) A x (t ) B d h (t ) ,
y (t ) C x (t ) y(t ) viz (5.12) ,
(5.20)
kde matice globální řízené soustavy je
A
A
B Cr
,
B r C A r B r G Cr
vstupní matice globální řízené soustavy je
B
B
0
0
Br
,
výstupní matice globální řízené soustavy je
C
C G Cr ,
vektor veličin, ovlivňující činnost regulátoru (porucha řízení + poţadovaný výstup) je
d
d yp
T
a vektor vnějších účinků (které regulátor bezprostředně neovlivňují) je
h
h(t ) 0 .
Vektor výstupních veličin z globální řízené soustavy y je roven výstupnímu vektoru „řízení
se zpětnou vazbou“ – viz rovnice (5.12).
5.4
Lineární proporcionální regulátor bez zpoždění
Pro tento typ regulátoru je charakteristické, ţe akční veličiny jsou lineárními funkcemi
regulační odchylky. Tudíţ platí
v F (y y p ) Fe ,
(5.21)
kde F představuje matici výstupní zpětné vazby, jejíţ prvky odpovídají „zesílení“. Dosadíme-li za y z rovnice (5.12), dostaneme
v F (Cx G v) F y p ,
resp.
(I FG) v
F (Cx y p ) .
(5.22)
Za předpokladu, ţe matice (I F G ) je regulární, dostaneme po dosazení za v do rovnice
(5.11) a po úpravě stavovou reprezentaci globální řízené soustavy (s proporcionálním regulátorem bez zpoţdění) ve tvaru
x (t ) ARz x(t ) BRz dRz h(t ) ,
y(t ) Cx(t ) G v ,
(5.23)
kde matice řízené soustavy se zpětnou vazbou je
ARz
A B (I FG) 1 FC ,
(5.24a)
matice vstupů řízené soustavy se zpětnou vazbou je
B Rz
B I
(I F G ) 1 F
(5.24b)
a vektor veličin ovlivňujících regulátor (porucha řízení + poţadovaný výstup) je
d Rz
d yp
T
.
(5.24c)
Vektory h , x a y jsou definovány stejně jako v rovnicích (5.11) a (5.12).
Hlaví výhoda relací (5.20)–(5.24) spočívá v tom, ţe při návrhu řízení jsou vyuţity stejné
postupy jako při řešení pohybu lineární dynamické soustavy bez řízení. Této skutečnosti vyuţijeme hned v dalším, kdy budeme studovat podmínky pozorovatelnosti, řiditelnosti a stability řízených pohonových soustav.
5.5
Řiditelnost, pozorovatelnost a robustnost řízených pohonových
soustav
Při posuzování kvality navrhovaných řešení řízených pohonových soustav jsou dalšími sledovanými parametry pozorovatelnost, řiditelnost a robustnost. Ty dovolují formulovat vhodná
kriteria pro posuzování stavu a vlastností navrhovaných řídicích subsoustav.
Vyjdeme ze stavové rovnice řízené soustavy (5.11), kterou lze při zanedbání všech vnějších účinků upravit do tvaru
x (t )
A x(t ) .
(5.25)
Řešení této rovnice je známé ve tvaru
x(t ) Φ(t, t0 ) x(t0 ) .
(5.26)
kde x(t0 ) je stavový vektor v počátečním čase t
t0 a matice Φ(t , t0 ) je tzv. přechodová
matice, definovaná
Φ(t , t0 ) e A (t
1 n
A (t t0 ) n .
n
!
1
I
t0 )
n
(5.27)
Dynamické vlastnosti linearizované matice řízené soustavy
x (t )
A x(t ) h0 (t )
– viz rovnice (5.5) – reprezentují vlastní hodnoty
a vlastní vektory wk matice A , vyhovu-
k
jící rovnicím
(A
k
0 , k 1, 2,, n ,
I) w k
(5.28a)
resp.
det[A
Vlastní čísla
k
I] 0 ,
k
, k 1, 2,, n ,
(5.28b)
umoţňují sestavit diagonální spektrální matici λ , vlastní vektory wk umoţ-
ňují sestavit modální matici W
λ diag
W w1
1
2
w2
 n ,
 wn ,
(5.29)
splňující podmínky
W 1 A W λ , W 1 W WW
1
I .
(5.30)
Pomocí modální a spektrální matice lze řešení (5.26) převést na lineární kombinaci partikulárních řešení. Zavedeme-li substituci
x(t )
Wξ(t ) ,
(5.31)
kde ξ je vektor modálních souřadnic, a dosadíme-li (5.31) do rovnice (5.26), po vynásobení
maticí W
1
zleva dostaneme
W 1 W ξ (t )
W 1 Φ(t ) W ξ (t0 )
W
1
I
n
1 n n
A t W ξ (t0 ) ,
1 n!
odkud vyplývá
ξ (t )
I
n
1 n n
λ t ξ (t0 ) e λt ξ (t0 ) ,
n
!
1
a v případě, ţe všechny vlastní hodnoty jsou různé, lze řešení (5.26) upravit do tvaru
x(t )
W ξ (t )
W e λt ξ (t0 )
wk
k
(t 0 ) e
kt
,
(5.32)
k
kde
k
(t0 ) je hodnota k-té modální souřadnice v čase t
v rovnici (5.32).
t0 (a současně integrační konstanta
Poznámka I
V případě, ţe je některé z vlastních čísel spektrální matice (5.29) vícenásobné, budeme
muset hledat modální matice ve tvaru takové transformační matice, pro kterou bude mít spektrální matice tzv. kanonickou formu
λ
λ1

0

0
 0
 
 λi
 
 0
 0
 
 0 ,
 
 λr
k
λi
0

0
0
1
0 0
1 0
k
  
0 0
k
0 0 0
0
0

1
,
k
kde λ i jsou tzv. Jordanovy bloky a r je jejich největší moţný počet. V případě násobných
vlastních čísel platí pro odpovídající sloupce modální matice W vztah
(A
kde
k
k
I) j wij
j 1, 2,, m ,
0,
i
je k-té vlastní číslo, w j je sloupec modální matice W odpovídající i-tému Jordanovu
bloku a m je jeho rozměr.
Poznámka II
Bylo řečeno, ţe vlastní čísla a vlastní vektory kaţdé soustavy typu (5.5) reprezentují její
dynamické vlastnosti. Jedná-li se o řízenou soustavu s lineárním regulátorem (5.20), resp.
(5.23), jsou matice A , resp. A Rz , funkcemi parametrů řízení p r (viz (5.15)). Tedy i vlastní
čísla a vlastní vektory matic A , resp. A Rz , budou funkcemi parametrů řízení. Této skutečnosti lze efektivně vyuţít při návrhu řízení pomocí metod „root-locus“. Nejjednodušší typ této
metody vychází z numerického výpočtu vlastních čísel pro předem vybrané parametry řízení
a z následných konstrukcí parametrických „root-loci“ křivek [26].
Pojmy řiditelnost a pozorovatelnost řízených soustav se primárně vztahují na takové stavy
x(t ) , na které působí účinky z vnějšku globální soustavy.Vyjdeme tedy ze stavové formulace
soustavy (5.11) a (5.12) bez poruchy řízení:
x (t )
5.5.1
A x(t ) B v(t ) ,
(5.33a)
y (t ) C x(t ) G v(t ) .
(5.33b)
Podmínky řiditelnosti soustavy
Soustavu (5.33) povaţujeme za řiditelnou, pokud jsou řiditelné všechny její stavy. Konkrétní stav soustavy x(t ) pak je řiditelný, pokud existuje ohraničený vektor akčních veličin v
schopný v konečném čase přenést systém do libovolného jiného stavu. Matematicky je moţné
řiditelnost vyjádřit jako poţadavek plné hodnosti matce R , definované prostřednictvím matice soustavy A a vstupní matice B . Tedy:
h( R )
N, R
B
A B  AN 1 B ,
(5.34)
kde symbolem h( R ) označujeme hodnost matice R , a N je rozměr matice A , tj. počet stavových veličin. Splnění rovnice (5.34) představuje podmínku nutnou a postačující.
Z rovnice (5.34) vyplývá, ţe řiditelnost soustavy nezáleţí na volbě stavových veličin.
S podmínkou řiditelnosti (5.34) je rovnocenná podmínka tzv. modální řiditelnosti. Dospějeme
k ní tak, ţe rovnici (5.33a) vynásobíme modální matici W zleva a dosadíme substituci (5.31).
Dostaneme
ξ (t )
λ ξ(t ) Γ v(t ) , Γ
W 1B .
(5.35)
Zde je opět λ spektrální matice a symbol Γ označuje tzv. matici modálních vstupů. Výhodou
formulace (5.35) je, ţe uvaţujeme nejen kvalitativní, ale i kvantitativní posouzení řiditelnosti
analyzované soustavy. Vhodný výběr hodnot prvků matice Γ můţe být vyuţit jako kritérium
při hledání optimálního rozmístění akčních členů.
Pokud budou vlastní čísla matice A v rovnici (5.33a) navzájem různá, bude soustava
řiditelná tehdy a jen tehdy, bude-li kaţdý prvek matice Γ obsahovat aspoň jeden nenulový
prvek. To znamená, ţe kaţdá modální souřadnice je ovlivněna aspoň jednou akční veličinou.
Pokud budou vlastní čísla matice A ve stavové rovnici (5.33a) násobná, bude podmínka
řiditelnosti, která by byla rovnocenná podmínce (5.34), komplikovanější. V tomto případě
musí být minimálně počet k řízení nutných nezávislých vstupů vi roven počtu Jordanových
bloků spektrální matice λ (viz Poznámka I na str. 58).
5.5.2
Podmínky pozorovatelnosti řízené soustavy
Soustavu (5.33) nazveme pozorovatelnou, pokud budou pozorovatelné všechny stavy sou–
stavy. Stav x(t0 ) soustavy (5.33) bude pozorovatelný tehdy, kdyţ ho budeme moci určit po–
mocí výstupních veličin y (t ) v konečném časovém intervalu (t0 , t ) .
Nutnou a postačující podmínkou pozorovatelnosti je opět podmínka plné hodnosti matice
pozorovatelnosti P definované pomocí matice soustavy A a výstupní matice C
h(P)
N, P
CT
AT CT  (A N 1 )T CT
T
,
(5.36)
kde symbol h(P) označuje hodnost matice P a N je počet stavových veličin.
Analogicky k určení podmínky modální řiditelnosti můţeme stanovit podmínku modální
pozorovatelnosti. Dosadíme substituci (5.31) do výstupní rovnice soustavy (5.33b) a dostaneme
ξ (t ) Θξ(t ) G v(t ) , Θ C W ,
(5.37)
kde matice Θ se nazývá maticí modálních výstupů. Podmínku modální pozorovatelnosti můţeme nyní definovat jako poţadavek, aby kaţdá modální souřadnice měla vliv alespoň na
jednu výstupní veličinu, tzn. aby v kaţdém sloupci matice Θ byl alespoň jeden nenulový pr-
vek. Prvky matice Θ mohou být opět vyuţity při hledání optimálního rozmístění snímačů
prostřednictvím vhodně zvoleného funkčního kriteria.
5.5.3
Robustnost řízených pohonových soustav
Z pohledu automatického řízení jde o relativní pojem, který se můţe týkat jak řízené soustavy jako celku, tak samotného procesu řízení. Nelze ale definovat jednoznačné matematické
podmínky typu (5.34) a (5.36). Řízenou soustavu povaţujeme za robustní, pokud je málo
citlivá (případně necitlivá) na změny vybraných parametrů soustavy nebo parametrů řízení.
U lineárních soustav lze robustnost kvantifikovat pomocí vlastních čísel matice soustavy
závislých na parametrech řízení (nebo soustavy jako celku), přičemţ citlivost příslušného
vlastního čísla je úměrná jeho parciální derivaci podle vybraného parametru. Mluvíme-li
o robustním řízení, myslíme tím malou citlivost uzavřeného regulačního obvodu na změny
vybraných parametrů (řízení nebo soustavy) s ohledem na dosaţení cílů řízení. Za parametry
soustavy můţeme volit ty, které nejlépe reprezentují chyby vznikající při modelování,
případně i vlastní čísla matice soustavy leţící mimo frekvenční pásmo, které nás při řízení
zajímá.
5.6
Digitální řízení
Jsou-li zásahy do řízení pohonových soustav generovány jen v definovaných časových
okamţicích, povaţujeme takové řízení za digitální. Takový způsob řízení je typický pro řízení
pomocí počítačem řízených regulátorů (obr. 5.2). V dalším budeme předpokládat, ţe:
akční zásahy jsou synchronizované a intervaly mezi nimi jsou konstantní,
akční působení v rámci jednoho intervalu je konstantní a je realizováno pomocí A/D
převodníků.
Obr. 5.2. Zapojení digitálního regulátoru
Diskrétní řídicí veličiny v časové oblasti můţeme definovat jako postupné Diracovy impulzy a popsat rovnicí
u (k h) (t k h) ,
ud (t )
(5.71)
k 0
kde ud je diskrétní řídicí veličina, h je konstantní délka intervalu řízení, k je počet intervalů
od počátku a (.) je Diracova funkce.
Po Laplaceově transformaci vztahu (5.71) dostaneme
L ud (t )
U d ( s)
k hs
ud ( k h ) e
,
(5.72)
k 0
kde L[.] je Laplaceův operátor a s je komplexní proměnná.
Nyní zavedeme komplexní proměnnou z pomocí substituce
z
eh s ,
(5.73)
a dosadíme ji do rovnice (5.72). Dostaneme známou Z-transformaci digitálního signálu
Z ud (t )
U d ( z)
ud (k h) e
k
.
(5.74)
k 0
Zde symbol Z[.] je operátorem Z-transformace, která má obdobné vlastnosti jako Laplaceova
transformace (obr. 5.3), tj. je to lineární transformace, lze definovat větu o počáteční a konečné hodnotě, je moţné definovat vztah pro případ časového posunu atd. – viz [33].
Obr. 5.3. Konformní z
s zobrazení
Vyjděme nyní z definice dynamické soustavy (5.33) a definujme vektory diskrétních stavových a výstupních veličin podle (5.71) a neuvaţujme matici G . Můţeme psát:
x d (t )
x(k h) (t k h) ,
k 0
y d (t )
(5.75)
y (k h) (t k h) C x d .
k 0
Za předpokladu, ţe pro akční veličiny v d bude platit
v(t )
vd (k h)
konst. pro k h t
(k 1) h ,
(5.76)
můţeme zapsat soustavu (5.33) v diskrétní formě takto
xd [(k 1) h] A d (h) x d (k h) B d ( h) v d ( k h) ,
y d ( k h) C x d ( k h) ,
kde
(5.77)
Ad (h) eA h
I A Ψ(h) ,
(5.78a)
Ψ(h) B ,
(5.78a)
Bd (h) eA h
a
h
n
Ψ(h)
eA t dt n
n
0
1 n1 n
A h ,
1 n!
(5.78c)
kde Ad a Bd jsou matice soustavy a vstupní matice diskrétní soustavy.
Z rovnice (5.77) vyplývá, ţe diskrétní stavový popis lineární dynamické soustavy představuje lineární diferenciální rovnice s koeficienty závislými na velikosti kroku h. To znamená,
ţe i další vlastnosti řízené soustavy, jako jsou řiditelnost či pozorovatelnost, budou závislé na
hodnotě h. Stabilita řízené soustavy je na diskretizaci nezávislá, platí tedy stejná kriteria jako
v případě spojitého času. Transformací s
z (viz rovnice 5.73) se levá polorovina s-roviny
zobrazí v z-rovině na vnitřek jednotkové kruţnice se středem v počátku, jak je patrno z obrázku 5.4. Podmínkou asymptotické stability pak je, aby všechny póly diskrétního přenosu
měly velikost menší neţ 1. Budeme-li znát vlastní čísla matice soustavy A (spojitý čas), můţeme vlastní čísla matice Ad (diskrétní čas) získat přímo z rovnice (5.78a), tj.
Ad
kde
di
eA h
jsou vlastní čísla matice Ad a
di
i
e ih ,
(5.79)
jsou vlastní čísla matice A .
Stabilita uzavřené globální řízené soustavy bude, na rozdíl od stability řízené soustavy, na
velikosti kroku h závislá. K zajištění stability globální řízené soustavy s vyuţitím digitálního
regulátoru postupujeme následovně:
vypočítáme diskrétní přenos regulátoru vhodnou transformací spojitého přenosu,
zvolíme velikost kroku h.
Prakticky nejuţívanější transformací je Tustinova bilineární transformace, kdy
s
hz 1
,
2z 1
(5.80)
Která transformuje levou polorovinu komplexní s-roviny na vnitřek jednotkové kruţnice
v z-rovině, čímţ jsou dynamické vlastnosti regulátoru zachovány.
Velikost kroku h pak rozhodne o tom, bude-li zachována i stabilita uzavřené globální
soustavy.
Dolní hranici hodnoty h určuje technické vybavení řešitele. V případě, ţe v některé z větví
globální řízené soustavy dochází k výraznému časovému zpoţďování, můţe sniţování hodnoty h vést k destabilizaci regulace.
Horní hranice hodnoty h bývá určována z přípustného fázového zkreslení výstupů ze soustavy. Pokud jsme ochotni připustit maximální fázové zkreslení
vencí fmax , bude maximální délka intervalu
max
signálu s hraniční frek-
hmax
max
f max
.
(5.81)
Kdyţ dynamické vlastnosti globální řízené soustavy hodnotíme podle odezvy na jednotkový
skok akční veličiny, pouţíváme pro výpočet h vztah
h
(0,1 0, 25) Tn .
(5.82)
kde Tn je čas (doba) náběhu přechodové charakteristiky.
Poznámka
Aby nedocházelo k amplitudovým zkreslením vlivem zdánlivosti (aliasing), doporučujeme
odfiltrovat neţádoucí signály s frekvencí vyšší neţ polovina vzorkovací frekvence ještě v analogové formě.
5.7
5.7.1
Stabilita řízených soustav
Úvodní poznámka
Pro stabilitu řízených pohonových soustav je rozhodující pochopení zásad stabilitní
analýzy, přesněji Ljapunovské stability dynamických systémů, se kterými se nyní stručně
seznámíme.
Uvaţujeme model obecné (nelineární) dynamické soustavy definované rovnicí (5.3),
u které zanedbáme vnější účinky
x (t ) f (t , x) ,
kde x [ x1
(5.38)
x1  xn ]T je stavový vektor a f (t , x) maticová funkce.
Spolu se studiem stabilitních vlastností soustavy (5.38) budeme sledovat také Cauchyovu
úlohu pro tuto soustavu, kterou můţeme vyjádřit
x (t ) f (t , x) , x( ) ξ ,
kde veličinu
(5.39)
nazveme počátečním okamţikem, vektor ξ [
1
1

n
]T počáteční
hodnotou a rovnost x( ) ξ počáteční podmínkou Cauchyovy úlohy.
Budeme předpokládat, ţe soustava x (t ) f (t , x) má triviální řešení, které označíme O ,
takţe platí f (t , O) O .
5.7.2
Ljapunovská stabilita triviálního řešení
Nechť má diferenciální rovnice (5.38) následující vlastnosti:
Existuje reálné číslo
a oblast H
n
, kde prostor
vektorový prostor, obsahující počáteční stav O
n
.
n
chápeme jako normovaný
Maticová funkce f (.) je spojitá v oblasti ( , ) H a pro kaţdý bod ( , ξ ) v této
oblasti je Cauchyova úloha (5.39) řešitelná.
Předpokládáme, ţe f (t , O) O pro všechna t
pro ξ
, takţe Cauchyova úloha (5.39) má
O triviální řešení O(t ) O .
Nyní budeme formulovat následující tvrzení:
I. Můţeme říci, ţe triviální řešení O soustavy
x (t ) f (t , x)
(5.40)
je podle Ljapunova stabilní právě tehdy, kdyţ ke kaţdému času
číslu
ξ
0 existuje číslo
H s normou ξ
a kaţdému
( , ) 0 takové, ţe pro všechny počáteční hodnoty
a pro všechna t
splňuje řešení Cauchyovy úlohy (5.39)
nerovnost
x(t , , ξ)
.
(5.41)
Jinými slovy, triviální řešení soustavy (5.40) je stabilní, jestliţe po malém počátečním vychýlení z tohoto stavu zůstane trajektorie pohybu soustavy v -okolí triviálního řešení, viz obr. 5.4.
Obr. 5.4. Průběh trajektorie stabilní a nestabilní soustavy
II. Pro všechny autonomní soustavy
x f (x) ,
(5.42)
kde funkce f nezávisí na čase, platí, ţe kdyţ triviální řešení O soustavy (5.42) je
Ljapunovsky stabilní, pak je stejnoměrně Ljapunovsky stabilní.
III. Jsou-li splněny podmínky Ljapunovy stability triviálního řešení, bude triviální řešení
O soustavy (5.40) asymptoticky stabilní, kdyţ:
(i) je Ljapunovsky stabilní a
(ii) existuje číslo
0 takové, ţe pro kaţdé ξ H s normou ξ
a kaţdé
platí
lim x(t , , ξ)
t
5.7.3
O .
(5.43)
Ljapunova stabilita rovnovážných (klidových) stavů
Vyjdeme z definice autonomní soustavy (5.42) a budeme formulovat následující tvrzení:
I. Rovnováţný stav O soustavy x f (x) bude stabilní podle Ljapunova tehdy, kdyţ ke
kaţdému
0 existuje takové
( ) 0 , ţe kaţdá kladná polotrajektorie sou-
stavy (5.42), která vychází z libovolného bodu ξ leţícího v -okolí bodu O, leţí celá
v -okolí bodu O, obr. 5.5.
Obr. 5.5. Zobrazení rovnovážného stabilního (a) a nestabilního (b) stavu
II. Rovnováţný stav O soustavy x f (x) je asymptoticky stabilní podle Lajpunova,
kdyţ:
(i) je Ljapunovsky stabilní a
(ii) existuje číslo
0 takové, ţe kaţdá kladná polotrajektorie soustavy (5.42),
která vychází z libovolného bodu ξ leţícího v -okolí bodu O, konverguje pro
t
k bodu O, tj. platí
lim x(t )
t
O .
(5.44)
III. Nechť je rovnováţný stav O autonomní soustavy x f (x) asymptoticky stabilní.
Mnoţinu všech bodů ξ  n , pro které je
lim x(t )
t
O ,
nazveme oblastí přitaţlivosti rovnováţného stavu O. Pak můţeme říci, ţe rovnováţný (klidový) stav O soustavy (5.42) je globálně asymptoticky stabilní ve smyslu
Ljapunova.
5.7.4
Stabilita lineárních soustav podle Ljapunova
Nejprve uvedeme věty (tvrzení), pomocí kterých můţeme vyšetřovat stabilitu lineárních
soustav i bez znalostí jejich konkrétního řešení. Lineární soustavy uvaţujeme ve tvaru rovnice
x
A(t ) x ,
(5.45)
ve které předpokládáme, ţe A(t ) je matice typu (n n) spojitá pro všechna t
0.
I. Za výše uvedených předpokladů můţeme říci, ţe triviální řešení homogenní lineární
soustavy (5.45) je stabilní ve smyslu Ljapunova tehdy, kdyţ pro kaţdý bod
( , ξ) (0, )  n je řešení c(t , , ξ) Cauchyho úlohy
x
omezené pro všechna t
x( ) ξ
A(t ) x ,
(5.46)
.
II. Nechť je matice A(t ) v rovnici (5.45) spojitá pro všechna t
soustavy x
0 . Pak triviální řešení
A(t ) x je asymptoticky stabilní podle Ljapunova právě tehdy, kdyţ pro
kaţdý bod ( , ξ) (0, )
n
splňuje řešení c(t , , ξ) Cauchyho úlohy (5.46) pod-
mínku
lim c(t , , ξ)
t
O .
(5.47)
III. Nechť je A čtvercová matice s konstantními prvky. Pak triviální řešení (rovnováţný
klidový stav) autonomní lineární soustavy
x
Ax
(5.48)
bude:
(i) stejnoměrně stabilní ve smyslu Ljapunova tehdy, kdyţ všechny charakteristické hodnoty matice A mají nekladné reálné části, přičemţ charakteristickým
hodnotám s nulovými reálnými částmi přísluší vesměs jednoduché řetězce
zobecněných charakteristických vektorů,
(ii) stejnoměrně asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova právě tehdy, kdyţ
všechny charakteristické hodnoty matice A mají záporné reálné části.
IV. Nechť je A konstantní čtvercová matice s reálnými prvky typu (n n) a B (t ) je
čtvercová matice s reálnými prvky spojitá v otevřeném intervalu t
( , ) . Pak
platí:
(i) je-li triviální řešení autonomní soustavy x
A x stabilní ve smyslu Ljapunova
a platí-li
B(t ) dt
,
pak také triviální řešení neautonomní soustavy
(5.49)
x [ A B(t )] x
(5.50)
bude stabilní ve smyslu Ljapunova;
(ii) je-li triviální řešení autonomní soustavy x
A x asymptoticky stabilní ve smy-
slu Ljapunova a platí-li
lim B(t )
0,
t
(5.51)
bude triviální řešení neautonomní soustavy (5.50) asymptoticky stabilní ve
smyslu Ljapunova.
V. Nechť jsou A0 , A1,, Am konstantní matice typu (n n) s reálnými prvky a nechť
všechny charakteristické hodnoty matice A m mají záporné reálné části. Pak bude
triviální řešení lineární soustavy s polynomiálními koeficienty
x [A0
A0 t  A m t m ] x
(5.52)
asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova.
VI. Nechť je A(t ) čtvercová matice typu (n n) s reálnými prvky, spojitá na celé časové
ose a periodická s periodou T . Pak bude triviální řešení soustavy
x A(t T ) x
(i) stabilní ve smyslu Ljapunova tehdy, kdyţ pro všechny multiplikátory
tice A(t ) platí
ma-
1,
(ii) asymptoticky stabilní právě tehdy, kdyţ pro všechny multiplikátory
A(t ) platí
(5.53)
matice
1.
Předchozí tvrzení umoţnila přenést vyšetřování stability triviálního řešení autonomní i neautonomní soustavy lineárních rovnic na vyšetřování znaménka reálných částí kořenů charakteristické rovnice polynomu
det[A
I] a0 a1
a2
2
 an
n
,
(5.54)
resp. na určování podmínek, pro které budou reálné části vlastních čísel matice soustavy
záporné, tj. řešíme problém vlastních čísel matice soustavy
(A
Řešení triviálního řešení rovnice x
I) 0 .
(5.55)
A(t ) x bude stabilní, bude-li platit ţe všechna vlastní
čísla matice soustavy mají reálné části záporné, tj.
Re{ i } 0 , i 1, 2,, n .
Řešení problémů (5.54) resp. (5.55) pak umoţňují známá kriteria stability.
(5.56)
5.7.5
Vybraná kritéria stability lineárních soustav
V zhledem k tomu, ţe tato kritéria jsou v analýzách dynamických vlastností technických
soustav obecně známa, uvedeme pouze základní informace o dvou kritériích, Hurwitzově
kritériu a Michajlovově kritériu.
5.7.5.1
Hurwitzovo kritérium stability
Toto kritérium patří mezi algebraická kritéria a je moţné ho vyuţít pouze pro dynamické
systémy, jejichţ charakteristická rovnice je algebraická. Nelze s ním například řešit otázky
stability u dynamických soustav s dopravním zpoţděním (charakteristická rovnice je v těchto
případech transcendentní), coţ je v případě analýzy vlastností řízených soustav váţné omezení.
Při pouţití Hurwitzova kritéria na analýzu kořenů polynomu (5.54) nejprve sestavíme
Hurwitzovu matici
H
a1
a0
a3
a2


a2 n 1 a2 n 2
0
a1

a2 n
3
 0
 0
.
 
 an
0
a0

a2 n 4
(5.57)
Všechny kořeny polynomu (5.54) budou mít záporné reálné části. Tzv. triviální řešení autonomní soustavy x
A x bude stejnosměrně asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova,
budou li splněny následující podmínky:
a0 0 ,
a1 0 ,
a a0
det 1
0,
a3 a2
.
a1 a0 0
det a3 a2 a1
0,
a5 a4 a3

det H 0 .
(5.58)
Nutnou (nikoliv však postačující) podmínkou stability soustavy je, aby všechny koeficienty
charakteristického polynomu byly kladné.
5.7.5.2
Michajlovovo kritérium stability
Toto kritérium patří mezi frekvenční kritéria stability. Z hlediska jeho aplikace na analýzu
dynamických vlastností řízených soustav je jeho hlavní výhodou to, ţe je moţné kritérium
pouţít i pro dynamické soustavy s dopravním zpoţděním, kdy charakteristická rovnice (5.54)
není algebraická, ale např. transcendentní.
Michajlovovo kritérium stability vyuţívá rozloţení nulových bodů polynomu
f ( z)
a0 a1 z  an 1 z n
1
an z n
(5.59)
v komplexní rovině. Dosadíme li do této rovnice a proměnnou z
, přejde
i , kde 0
polynom do tvaru
 an 1 (i )n
f (i ) a0 a1 i
Budeme-li dosazovat za
1
hodnoty od 0 do
an (i )n .
(5.60)
a zobrazíme-li hodnoty funkce f (i )
v komplexní rovině, dostaneme tzv. hodograf funkce f (i ) .
Platí přitom následující věty:
I. Všechny kořeny polynomu (5.59) budou mít záporné reálné části tehdy, kdyţ se vek
tor f (i ) při změně
od 0 do
bude otáčet v kladném smyslu o úhel n / 2 ,
kde n je stupeň charakteristického polynomu (5.59).
II. Všechny kořeny polynomu (5.59) budou mít reálné části záporné (tj. triviální řešení
autonomní soustavy x
A x bude stejnosměrně stabilní ve smyslu Ljapunova)
tehdy, kdyţ hodograf funkce f (i ) pro
měnící se od 0 do
bude začínat na
reálné ose a projde postupně v kladném smyslu n kvadrantů komplexní roviny.
Kritéria stability nelineárních soustav
5.7.6
V tomto odstavci budeme analyzovat stabilitu triviálního řešení nelineárních rovnic
x (t ) f (t , x)
(5.61a)
a stabilitu rovnováţného stavu autonomní soustavy
x (t ) f (x) .
(5.61b)
Stabilitu budeme chápat ve smyslu Ljapunova a budeme předpokládat, ţe se jedná o slabě
nelineární soustavy, pro které lze vyuţít kritéria definovaná v předchozím textu.
Analyzujeme tedy soustavu
x
A x g(t , x) ,
g(t , O) O ,
(5.62)
kde A je konstantní čtvercová matice typu (n n) s reálnými prvky a g (t , x) je reálná vektorová funkce (spojitá v oblasti G
( , ) H , kde
1
,O H
n
), která splňuje pod-
mínku
lim
x
pro všechna t
0
g(t , x)
x
0 ,
(5.63)
.
Pro tyto podmínky platí následující tvrzení:
I. Mají-li všechna vlastní čísla matice A záporné reálné části, je triviální řešení soustavy (5.62) asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova.
II. Má-li alespoň jedno vlastní číslo matice A reálnou část kladnou, je triviální řešení
soustavy (5.62) nestabilní.
Podmínka (5.63) je splněna tehdy, kdyţ pro všechna t
a všechna x z libovolně malého
okolí bodu O platí nerovnost
g (t , x )
K x
r 1
,
(5.64a)
kde K a r jsou kladné reálné konstanty. Tuto podmínku lze nahradit dalšími podmínkami:
I. Existuje číslo k
0 takové, ţe pro všechna t
a pro všechna x H blízká bodu
O platí
g(t , x)
k x
(5.64b)
nebo
II. ke kaţdému
a x
0 existuje
takové, ţe pro všechna t T , x H
0 a T
platí
g(t , x)
x .
(5.64c)
Tyto podmínky splňují např. rovnice popisující řízenou soustavu:
x
A x B(t ) x h(t , x) ,
(5.65)
kde funkce B (t ) konverguje k nulové matici pro t
a h (t , x) splňuje podmínku (5.63).
Analyzujme nyní nelineární autonomní soustavu
x f (x)
(5.66)
a předpokládejme, ţe funkce f ( x) je spojitá v oblasti H
n
obsahující nulové řešení 0 a je
současně v tomto bodě diferencovatelná. To znamená , ţe platí
f (x) f (0) f (0) x r (x)
(5.67)
pro všechna x H a dále platí
r(x)
x
lim
x
0
0 .
(5.68)
Konstantní matice f (0) je Jacobiho matice funkce f ( x) v bodě 0, tj.
A f ( 0)
f1 (x)
x1
f 2 ( x)
x1

f n ( x)
x1
f1 (x)
x2
f 2 ( x)
x2

f n ( x)
x2




f1 (x)
xn
f 2 ( x)
xn

f n ( x)
xn
.
(5.69)
Je-li stav 0 rovnováţným stavem, přejde soustava (5.66) do tvaru
x
A x r ( x) ,
kde matice A je definovaná rovnicí (5.69).
(5.70)
Nyní můţeme vyslovit následující tvrzení: Mají-li všechna vlastní čísla Jakobiho matice
f (0) funkce f ( x) v bodě 0 všechny reálné části záporné, je rovnováţný stav 0 soustavy
(5.66) asymptoticky stabilní. Má-li alespoň jedno číslo reálnou část v bodě 0 kladnou, je rovnováţný stav soustavy (5.66) nestabilní.
U nelineárních soustav můţeme kromě zjištění stability rovnováţného (klidového) stavu
určovat i tvary trajektorie v blízkém okolí těchto rovnováţných stavů. Vyuţíváme k tomu
náhradní soustavu, kterou získáme linearizací původní soustavy.
6
Bifurkace a chaos v pohonových soustavách
6.1
Úvodní poznámka
S chaosem se můžeme setkat v pohonových soustavách se silnými nelinearitami. Typickým příkladem jsou převodové skříně, představující jednu ze základních strukturálních částí
pohonových soustav vozidel. Převodové skříně lze z hlediska dynamiky charakterizovat jako
soustavy tuhých těles (ozubených kol) s poddajnými nelineárními vazbami (vůlemi v ozubeních či drážkových spojích, spojky s nelineárními charakteristikami). Tímto způsobem
máme definovánu strukturu soustavy. Pro sestavení účelového, částečně strukturovaného
modelu, musíme dále definovat vnější účinky. Při řešení konkrétních inženýrských problémů
se setkáváme s velmi různorodými podmínkami. Například u elektromechanických pohonů se
stejnosměrnými motory s nezávislým buzením (otáčky jsou řízeny tyristorovým měničem
v obvodu kotvy) a s impulsním čidlem otáček (příp. s číslicovou korekcí nadřazenou analogovému regulátoru) má dosažitelná přesnost úhlové rychlosti vyhovovat podmínce
Δω
ωM
⋅100 < 0,1[%]
(6.1)
a poměr maximální odchylky úhlové rychlosti Δωmax k nominální hodnotě úhlové rychlosti
ω N představuje řádově procenta. Na rozdíl od tohoto případu je úhlová rychlost na vstupním
hřídeli převodovky u pohonových soustav vozidel výrazně proměnná.
Problematiku si ukážeme na konkrétním problému modelování dynamických vlastností
převodové skříně osobního automobilu, řešeném v rámci projektu SPZV č. III-4-1/0503, [25].
Schéma převodové skříně je zobrazeno na obr. 6.1a. Otáčky vstupního hřídele se mění od volnoběžných otáček nv = 850 min −1 do maximálních provozních nmax = 5000 min −1 při výrazném kolísání nastavených úrovní otáček. Uvažovanými nelinearitami jsou vůle v ozubení
a v drážkovém spojení lamely spojky a vstupního hřídele. V uvedeném příkladu se omezíme
jen na některé s dosažených výsledků – na analýzu dynamických vlastností převodovky při
volnoběhu.
K vytvoření počítačového modelu převodovky byl použit programový soubor DYNAST,
který umožňuje pomocí tzv. makromodelů známých mechanických, elektrických, elektronických, regulačních aj. substruktur vytvořit globální model soustavy – obr. 6.1b.
Vstupním (budícím) účinkem byla porucha úhlové rychlosti ϕ1P (t ) na vstupním hřídeli
převodovky, superponovaná na otáčky volnoběžného provozního stavu, viz obr. 6.1c. Na
témže obrázku jsou znázorněny také časové průběhy relativních úhlových výchylek ϕ2R (t )
a ϕ3R (t ) , odpovídajícím uzlům 2 a 3 na obr. 6.1a. Znázorníme-li průběhy těchto odezev ve fázové rovině, vidíme typické projevy chaosu – zdvojení periody a přechod k chaosu (obr. 6.1d)
a typický chaotický stav, charakterizovaný neuzavřenou trajektorií (obr. 6.1e). Experimenty,
simulační i reálné, provedené v rámci výše zmíněného projektu ukázaly, že „plochy“ fázových portrétů přímo odpovídaly hlukovým hladinám převodovky – čím byly větší (rozsáhlejší), tím vyšší hladiny hluku nastaly.
Obr. 6.1: Převodová skříň
Uvedený příklad byl jedním z prvních případů, kdy jsme se setkali (neplánovaně) s projevy
chaosu, a jedním z důvodů, proč jsme se problematikou chaosu dále zabývali.
6.2
Chaos a jeho možný vznik
Pro chaotické chování dynamické soustavy je charakteristické, že musí jít o nelineární deterministickou soustavu, u které již malá změna některého ze vstupů (počáteční podmínky,
parametry soustavy, metodika řešení) může vést k výrazně odlišným výsledkům. Chaotické
řešení je tedy odrazem nestabilního pohybu v omezené oblasti fázového prostoru. Původně
blízké trajektorie pohybu se lokálně exponenciálně vzdalují a zároveň globálně, z hlediska
tzv. chaotických atraktorů (podivných limitních množin), zůstávají stále v určité blízkosti díky
efektu, známému jako folding (přehýbání). To znamená, že nepřítomností určitého řádu tyto
struktury netrpí. Naopak se zdá, že forma uspořádání chaotických atraktorů je v jistém smyslu
formou určitého řádu [19].
S ohledem na skutečnost, že chaotické chování dynamických soustav (nejen technických)
je silně nestabilní, je „jednoduché“ rozhodování o stabilitě numerických metod, použitelných
pro řešení odezev modelů technických soustav, často problematické i přes současný rozvoj
počítačové techniky. Zvláštní chování analyzovaných modelů, simulované na počítačích, sice
umožňuje jejich zkoumání, avšak paradoxně se setkáváme s tím, že i vysoce výkonné počítače
nedokáží s dostatečnou přesností simulovat děje, které probíhají v některých, na první pohled
jednoduchých, modelech technických soustav. Naštěstí mají chaotické soustavy jistou vlastnost, kterou lze nazvat „soběpodobnost“ – některé typické projevy a vlastnosti se v nich zachovávají nezávisle na měřítku. Ve zdánlivém chaosu se tak objevuje překvapující řád, jehož
grafickým znázorněním jsou fraktály. Tyto ve fázovém prostoru tvoří atraktory, které jsou
extrémně závislé na počátečních podmínkách a jsou nepředvídatelné. Typickým příznakem
„blížícího se chaosu“ je opakované zdvojování period řešení – projevy extremní nestability,
kdy jedna situace má dvě a více vzdalujících se řešení. Fázové trajektorie ale zůstávají uzavřené. Pro chaos je naopak typické, že fázové trajektorie nejsou uzavřené a zdánlivě nahodile
vymezují ve fázovém prostoru ohraničenou oblast.
6.3
Atraktory dynamických systémů
Atraktor dynamického systému chápeme jako množinu stavů, do kterých systém směřuje
s časem t > t0 . Jinak řečeno, jedná se o množinu hodnot odezev, kterých bude stavový vektor
nabývat v průběhu dostatečně dlouhého časového úseku (od chvíle inicializace, označené t0 ).
U linearizovaných soustav, obsahujících nějakou disipativní subsoustavu, dojde po odeznění
přechodové odezvy k ustálenému stavu. Mohou nastat následující základní případy:
• Je-li buzení konstantní, reprezentuje ustálený stav pevný bod ve stavovém prostoru
(singulární bod), obr. 6.2a.
• Je-li buzení harmonické nebo periodické, reprezentuje ustálený stav ve fázovém prostoru uzavřená křivka, obr. 6.2b.
• Stav chaosu reprezentuje chaotický atraktor, což je velmi složitá limitní množina
bodů, zpravidla nekompaktní, která se vyznačuje nestabilním chováním, obr. 6.2c.
• Můžeme se setkat také s tzv. „podivným atraktorem“ (strange attractor), např. známý
Lorenzův* atraktor, reprezentovaný složitým útvarem rozloženým „symetricky“
podle fiktivní osy, obr. 6.2d.
Obr. 6.2:Možné typy atraktorů dynamických soustav
6.4
Tzv. bazény přitažlivosti
Množina všech bodů ve fázovém prostoru, pro které platí, že trajektorie jimi procházející
jsou „zachyceny“ danou limitní množinou, se nazývají bazény přitažlivosti dané množiny.
Tyto bazény představují oblasti možných počátečních stavů soustavy (počátečních podmínek), nutných pro dosažení zvolené limitní množiny odezev.
6.5
Deterministický chaos a bifurkační analýza dynamických soustav
Termínem deterministický chaos můžeme označit takový stav dynamické soustavy, při kterém nelze vypočítat jeho budoucí stav. Bylo již řečeno, že chaotické stavy lze očekávat u takových dynamických soustav, které vykazují extrémně velkou citlivost na změny počátečních
podmínek nebo některého z parametrů soustavy. Zde se dva „nekonečně“ blízké počáteční
stavy exponenciálně rozcházejí – odezva má více řešení – a budoucí stav nelze předpovědět.
Termínem bifurkace označujeme jev, při kterém dochází ke změnám stavu soustavy při
nepatrných změnách počátečních podmínek. Bifurkaci lze také chápat jako náhlou změnu sta*
E. Lorenz použil soustavu 3 rovnic, popisujících zvláštní druh proudění (konvenci), při simulaci vývoje
počasí (1693).
bility, která bezprostředně souvisí s chaosem – předchází mu. Jinými slovy, chaos nastává
v případě, kdy v soustavě začíná docházet k velkému množství na sebe navazujících bifurkací.
Proto je studium podmínek, za kterých se bifurkace mohou objevit, důležitou součástí analýzy
nelineárních jevů v dynamických soustavách.
Obr. 6.3: Typy bifurkací
6.6
Typy bifurkací [20]
Při spojité změně vybraného parametru, který původně odpovídal rovnovážnému stav,
může dojít ke ztrátě stability, která se může v mechanických soustavách projevit jako:
• bifurkace statického stavu (obr. 6.3a),
• bifurkace dynamického stavu,
• Hopfova bifurkace (obr. 6.3b),
• bifurkace zdvojením periody (obr. 6.3c),
• superkritická (vidličková) bifurkace (obr. 6.3d),
• hysterezní smyčka (obr. 6.3e),
• kaskády bifurkací (obr. 6.3f).
6.7
Feigenbaumova konstanta
M. Feigenbaum objevil (v 70. letech minulého století) konstantu, která ukazuje na univerzálnost chaosu a není závislá ne generující soustavě. Zjistil, že délka intervalu mezi po sobě
následujícími bifurkačními body kaskády bifurkací tvoří konvergující posloupnost. Podíl délek dvou po sobě následujících intervalů je roven číslu
ai − ai −1
= 4, 66292 ≡ δ .
t →∞ a
i +1 − ai
lim
(6.2)
Toto číslo se nazývá Feigenbaumovo číslo. Protože kaskáda bifurkací předchází vzniku
chaosu, lze jeho existenci předvídat již po zjištění tohoto poměru.
6.8
Bifurkace a chaos v mechatronických pohonových soustavách
Mechatronické pohonové soustavy jsou charakteristické svými malými rozměry, až extrémně malými přenášenými výkony a tím, že jsou interdisciplinární – zpravidla elektronickonebo elektricko-mechanické. Jejich malé rozměry a hmotnosti spolu s elektronickými prvky
vedou k tomu, že jsou až na výjimky nelineární. To vede k následujícím skutečnostem:
• neplatí princip superpozice,
• proto je nutné sestavit frekvenční přenosy, definovaných a základě vstupních a výstupních harmonických kmitů,
• odezva nelineárního obvodu (který je součástí řídicích struktur pohonové soustavy)
na skokovou změnu je necharakterizuje, neboť není nezávislá na velikosti skoku,
• u některých nelineárních obvodů může změna velikosti vstupního skoku zapříčinit
přechod do nestabilní oblasti jejich chování.
Tyto skutečnosti výrazně komplikují klasické metody řešení odezev a příčinné analýzy dynamických vlastností a chování zkoumaných soustav. Proto se využívají simulační systémy,
v našich podmínkách především MATLAB+Simulink, které obsahují vhodné knihovny (toolboxy) z mnoha oborů. Zkoumaný problém pak představuje globální soustavu, reprezentovanou blokovým schématem sestavené z prvků těchto toolboxů.
Nečekaně užitečnými se v případě analýzy bifurkací možnosti vzniku chaosu stávají grafické metody – především znázornění chování soustav ve fázové rovině. Znázornění chování
dynamických soustav pomocí bifurkačního diagramu se stává jednou z efektivních možností,
jak možnost vzniku bifurkačních jevů a chaosu sledovat.
Pro ilustraci výše uvedených tvrzení využijeme toho, že mezi soustavy, vykazující „klasické chaotické chování“, patří i typické „pohonové soustavy“, např. stejnosměrný motor napájený z jednokvadrantního pulsního měniče [34]. K analýze chování stejnosměrného motoru
s permanentními magnety lze využít matematický model [35], sestavený v programovém systému MATLAB, jehož blokové schéma je znázorněno na obr. 6.4.
Obr. 6.4: Schematické znázornění řízeného stejnosměrného motoru
Celá soustava je složena z modelu stejnosměrného motoru, regulačních smyček a výkonových prvků s napájením. Řídicí část soustavy obsahuje podřízenou smyčku proudu (blok A2
se zesílením gi ) a nadřízenou smyčku otáček (blok A1, zesílení gω ). Rychlostní a proudový
signál pak může být definován vztahy
vω (t ) = gω [ωref − ω (t )] ,
vi (t ) = gi i (t ) ,
(6.3)
kde i (t ) je proud na kotvě stejnosměrného motoru, ω (t ) je úhlová rychlost rotoru a ωref je
referenční hodnota úhlové rychlosti stejnosměrného motoru.
Oba signály jsou přivedeny na komparátor K, jehož výstup je veden do členu R-S, který je
nastavován hodinovými impulsy o periodě T. Výstupní signál R-S členu řídí přepínání snímače S. Parametry modelu stejnosměrného motoru byly nastaveny podle [35]. Pro ilustraci
chování pohonu se stejnosměrným motorem byly využity jak průběhy otáček a proudu tak
trajektorie ve stavovém prostoru [34]. Časové průběhy otáček jsou znázorněny pro stabilní
stav na obr. 6.5a, stav s dvojnásobnou periodou obr. 6.5b a chaos obr. 6.5c. Časové průběhy
proudu jsou obdobné, mají jen ostřejší špičky.
Názornější představu o chování analyzované soustavy ve výše zmíněných stavech nám dají
trajektorie ve fázové rovině (ω , I ) , viz obr. 6.6.
Obr. 6.5: Časové průběhy otáček
Obr. 6.6: Fázové trajektorie analyzované soustavy
Nejlepší představu o chování analyzované soustavy ale získáme pomocí výše zmíněného
bifurkačního diagramu.
6.9
Konstrukce bifurkačního diagramu
Bifurkační diagram je často využíván k vyjasnění vlivu změn určitého parametru soustavy
na její chování. Nejjednodušším způsobem, jak tyto změny zobrazovat, je využití osciloskopu
s pamětí. Pro zobrazení bifurkačního diagramu musíme sestavit obvod, který bude generovat
potřebné signály pro osciloskop [34].
Typický bifurkační diagram obsahuje horizontální osu, na kterou vynášíme malé změny
vybraného parametru, a vertikální osu, na kterou vynášíme navzorkované ustálené hodnoty
proměnné zkoumaného modelu soustavy. K zobrazení bifurkačního diagramu je nutné přivést
potřebné signály na vstupy osciloskopu X a Y. K jejich získání musíme:
• realizovat změnu parametru zkoumané soustavy odpovídající pomalé změně napěťové pily přivedené na vstup X osciloskopu,
• vzorkovat zvolený signál zkoumané soustavy a zasílat získané vzorky na vstup Y
osciloskopu.
Tyto činnosti musí být dobře sladěny a přírůstek napěťové pily musí být relativně malý.
Systém realizující konstrukci bifurkačního diagramu je zobrazen na obr. 6.7.
Uvedeným způsobem byl sestaven bifurkační diagram pro úlohu popsanou v předchozím
odstavci. Na bifurkačním diagramu (obr. 6.8) jsou jasně patrny stabilní oblast, oblast s dvojnásobnou a čtyřnásobnou periodou a oblast chaosu.
Obr. 6.7: Blokový diagram pro získání bifurkačního diagramu pomocí osciloskopu
Obr. 6.8: Bifurkační diagram
Další možnosti konstrukcí bifurkačního diagramu nabízí výpočetní technika. Z nich zejména metoda využívající tzv. CHAOS-MODUL [36] je velmi efektivní.
6.10 Příklad analýzy globálního chování modelu disipativní soustavy
Při výzkumu dynamických vlastností řízených pohonových soustav nemůžeme opomenout
stabilitní analýzy. V případě nelineárních soustav a jejich modelů můžeme navíc očekávat i
vznik chaotických pohybů. Přístup k analýze možností jejich vzniku ale bude odlišný,
analyzujeme-li modely s jedním nebo málo stupni volnosti a modely reálných technických
soustav.
6.10.1 Vznik chaosu v disipativních soustavách a jeho modelování
Disipativní dynamické soustavy lze stručně charakterizovat jako soustavy, jejichž chování
se s rostoucím časem asymptoticky blíží k rovnovážným stavům, pokud není z vnějšku
dodávána energie. Jejich popis je možný pomocí relativně jednoduchých pohybových
nelineárních rovnic. Pro určité hodnoty parametrů těchto rovnic jejich řešení nekonvergují
vždy k očekávaným hodnotám, ale chaoticky oscilují. Objevuje se také silná závislost na
malých změnách počátečních podmínek. V případě analýzy takových jevů může být jejich
matematická podstata spojována s existencí tzv. „podivného atraktoru“ ve fázové rovině.
Možný vznik chaosu pak lze spatřovat v opakovaných bifurkacích řešení. S tzv. bodem
kumulace, za kterým se podivný atraktor generuje. Fázový obraz řešení soustavy pak přechází
od stabilní množiny trajektorií k nové nestabilní, chaotické množině. Zásadní význam zde má
sestavení globálních obrazů trajektorií. Pokud se to podaří, je popsáno asymptotické chování
modelu soustavy.
6.10.2 Globální chování pohonové soustavy
Problémy analýzy pohonových soustav patří k velice často diskutovaným problémům v
inženýrské praxi. Je zde celá řada koncepčních a metodických otázek, které vyžadují hlubší
porozumění a vysvětlení. Jednou z nich je existence deterministického chaosu.
Tyto soustavy s nelinearitami mohou být extrémně citlivé na malé změny počátečních
podmínek nebo vybraných konstrukčních parametrů. Typickým příkladem mohou být
soustavy s vůlemi. V případě chaotického chování se soustava nachází v nestabilním stavu a
přechází do nového stavu, který je také nestabilní a diametrálně odlišný. V případě
předložených numerických výsledků ve fázové rovině se vyskytuje přechod ze stabilní
množiny trajektorií do zcela nového stavu, nestabilní množiny chaotických trajektorií. Je
zřejmé, že je extrémně důležité poznat parametry, za kterých chaotické chování může nastat,
obzvláště v řízených soustavách a v soustavách, které zahrnují subsoustavy s rozdílným
fyzikálním popisem.
6.10.3
Model pohonové soustavy
Byla vybrána jednoduchá pohonová soustava pro verifikaci teoretických závěrů uvedených
v předchozí kapitole. Model soustavy je vyobrazen na obrázku 6.9 tato soustava reprezentuje
pohonovou soustavu, která se skládá z pohonového stroje a pracovního stroje navzájem
spojených pomocí spojky. Charakteristika spojky je nelineární a je uvedena na obrázku 6.9.
Obr. 6.9. Model pohonové soustavy
Systém pohybových rovnic, které popisují dynamické chování může být popsán
následujícím způsobem:
I M ⋅ ϕ1 + k M ⋅ ϕ1 + f (ϕ1 , ϕ2 ) + bM ⋅ ϕ1 + bp ⋅ (ϕ1 − ϕ2 ) = M M + M 1M ⋅ cos(ω ⋅ t )
I P ⋅ ϕ2 − f (ϕ1 , ϕ 2 ) + bP ⋅ (ϕ1 − ϕ2 ) = M P − M 1P ⋅ cos(ω ⋅ t −ν )
(6.4)
Kde nelineární funkce f (ϕ1 , ϕ2 ) je popsána následujícím předpisem
f (ϕ1 , ϕ2 ) = k ⋅ (ϕ1 − ϕ2 )
(ϕ1 − ϕ2 ) < a
f (ϕ1 , ϕ2 ) = 0 pro a < (ϕ1 − ϕ2 ) < b
f (ϕ1 , ϕ2 ) = k ⋅ (ϕ1 − ϕ2 ) pro (ϕ1 − ϕ2 ) > b
pro
(6.5)
Analyzujme případ symetrické vůle, kdy a = b = a
Pak pro ϕ1 − ϕ2 ≤ a je soustava popsána následujícími rovnicemi
I M ⋅ ϕ1 + k1 ⋅ ϕ1 + bM ⋅ ϕ1 + bp ⋅ (ϕ1 − ϕ2 ) = M M + M 1M ⋅ cos(ω ⋅ t )
I P ⋅ ϕ2 + bP ⋅ (ϕ1 − ϕ2 ) = M P − M 1P ⋅ cos(ω ⋅ t −ν )
(6.6)
A pro ϕ1 − ϕ2 > a je popsána těmito rovnicemi
I M ⋅ ϕ1 + k1ϕ1 + k ⋅ (ϕ1 − ϕ2 ) + bM ⋅ ϕ1 + bp ⋅ (ϕ1 − ϕ2 ) = M M + M 1M ⋅ cos(ω ⋅ t )
I P ⋅ ϕ2 + k ⋅ (ϕ1 − ϕ2 ) + bP ⋅ (ϕ1 − ϕ2 ) = M P − M 1P ⋅ cos(ω ⋅ t −ν )
(6.7)
Pro tuto soustavu jsem provedli řadu výpočtových simulací. Hlavním cílem těchto simulací
bylo ověřit možnost výskytu chaotického chování nebo najít bifurkační stavy, tak jak jsou
popsány v kapitole 6.10.3. Pro řešení byl vybrán výpočetní systém MATLAB – Simulink,
protože implementace rovnic (6.1) - (6.4) je v něm poměrně jednoduchá a algoritmy
používané pro simulaci dynamických soustav v Matlabu jsou robustní a sofistikované.
Dlouholetá a dobrá zkušenost s používáním tohoto výpočetního systému byl další důvod pro
jeho využití.
6.10.4 Výsledky
Pro soustavu uvedenou na obrázku 6.1 a popsanou rovnicemi (6.4) – (6.7) byly vybrány
následující parametry – viz. tabulka 6.1.
Veličina
Hodnota
Popis
IM
1,5
kgm2
Moment setrvačnosti pohonové části
IP
1,25
kgm2
Moment setrvačnosti pracovní části
M 1M
25
Nm
Dynamický moment na pohonové části
M 1P
55
Nm
Dynamický moment na pracovní části
MM
1519
Nm
Statický moment na pohonové části
MP
565
Nm
Statický moment na pracovní části
bP
1,73
N/ms
Tlumení v pohonové části
bM
1,43
N/ms
Tlumení v pracovní části
kP
15000
N/m
Tuhost v pohonové části
kM
1000
N/m
Tuhost v pracovní části
ν
45
°
Fáze mezi budícími složkami působícími na
pohonovou a pracovní část
Tab. 6.1: Parametry pohonové soustavy
Tyto parametry byly získány z katalogů MAXON MOTOR. DC motory reprezentují jako
pohonovou část, tak i pracovní část. Numerické simulace byly provedeny s těmito hodnotami.
Úhlová rychlost buzení byla vybrána jako parametr, který byl měněn i intervalu od 1 rad/s do
200 rad/s. Natočení a úhlová rychlost soustavy byly vypočítávány pro vykreslování ve fázové
rovině a pro kreslení atraktorů. Pro kreslení atraktorů muselo být vypočítáváno i zatížení ve
spojce.
Pro natočení i relativní natočení bylo vykresleno pro zobrazení ve fázové rovině.
Poincarreho mapy a atraktory pro relativní pohyb byly také propočítané. Další z možností
analýzy je převedení vypočítaného natočení do frekvenční domény a provedení analýzy zde,
jak je opět popsáno v kapitole 6.10.3. FFT pro relativní natočení byla vypočítaná a
analyzovaná.
Následující obrázky ukazují všechny výše uvedené analýzy pro úhlovou rychlost buzení ω
= 18.93 rad/s, ω = 110 rad/s a ω = 140 rad/s. Tyto úhlové rychlosti byly vybrány jako
reprezentativní hodnoty. Změny, kterými prochází dynamická soustavy závisí na vybraném
parametru, který je variován. Je to velice dobře viditelné na spektru relativního natočení.
Ačkoliv se nemění struktura soustavy a úhlová frekvence buzení je jediný měnící se parametr,
ve spektru je možno vidět mnoho vlastních frekvencí. Tyto vlastní frekvence vznikají a
zanikají se změnami úhlové frekvence ω. Ve fázové rovině také dochází ke změnám tvarů.
Poincarreho mapy jsou velice zajímavé pro analýzu. Můžeme zde nalézt typické diagramy
známé z teoretických studii, jako např. stabilní jádro pro ω = 110 rad/s. Soustava se blíží
chaotickému chování pro ω = 18.93 rad/s. Vysoké tlumení zabraňuje, aby soustava přešla do
plně chaotického stavu a projeví se pouze relaxační kmity.
Obr. 6.10: Fázová rovina pro natočení φ1 pro
Obr. 6.11: Fázová rovina pro natočení φ2 pro
ω = 18,93 rad/s
ω = 18,93 rad/s
Obr. 6.12: Fázová rovina pro relativní
Obr. 6.13: Poincareho mapa relativní
natočení pro ω = 18,93 rad/s
natočení pro ω = 18,93 rad/s
Obr. 6.14: Spectrum relativního natočení pro
Obr. 6.15: Atraktor pro relativní natočení pro
ω = 18,93 rad/s
ω = 18,93 rad/s
Obr. 6.16: Fázová rovina pro natočení φ1 pro
Obr. 6.17: Fázová rovina pro natočení φ2 pro
ω = 110 rad/s
ω = 110 rad/s
Obr. 6.18: Fázová rovina pro relativní
Obr. 6.19: Poincareho mapa relativní
natočení pro ω = 110 rad/s
natočení pro ω = 110 rad/s
Obr. 6.20: Spectrum relativního natočení pro
Obr. 6.21: Atraktor pro relativní natočení pro
ω = 110 rad/s
ω = 110 rad/s
Obr. 6.22: Fázová rovina pro natočení φ1 pro
Obr. 6.23: Fázová rovina pro natočení φ2 pro
ω = 140 rad/s
ω = 140 rad/s
Obr. 6.24: Fázová rovina pro relativní
Obr. 6.25: Poincareho mapa relativní
natočení pro ω = 140 rad/s
natočení pro ω = 140 rad/s
Obr. 6.26 Spectrum relativního natočení pro
Obr. 6.27: Atraktor pro relativní natočení pro
ω = 140 rad/s
ω = 140 rad/s
6.10.5 Závěry
Chaos se v posledních letech stal fenoménem řady inženýrských problémů. Proto jsme se
na jeho sledování zaměřili i při analýzách pohybových soustav. Na základě provedených
rozborů si dovolíme stanovit následující doporučení:
• při hodnocení vlastností a chování dynamických soustav definovat takové parametry
modelů, které mohou ovlivňovat výskyt parazitních pohybů včetně chaosu (kolísání
počátečních podmínek, vůle ve vazbách, parametry řízení),
• sledovat evoluce odezev ve fázových rovinách v závislosti na změnách vybraných
parametrů a identifikovat typické projevy chaosu,
• objeví-li se tyto projevy, vyhodnotit Fourierovská spektra odezev. Chaotickým
pohybům odpovídají širokopásmová spektra, i když budící spektra jsou
úzkopásmová.
Respektováním uvedených doporučení lze identifikovat oblasti možných výskytů chaosu
v technických soustavám s využitím matematického modelování poměrně snadno. Výše
popsaným alternativním přístupem ale nechceme znehodnocovat analytické přístupy.
6.11 Závěrečná poznámka
Je zřejmé, že bifurkace rovnovážných stavů dynamických soustav bezprostředně navazují
na ztrátu jejich stability. K vyšetřování stability rovnovážného stavu lze v zásadě použít dvou
přístupů:
• nalezení tzv. Ljapunovovy funkce soustavy, která je pozitivně definitní a současně
její derivace podle času je negativně definitní, nebo
• využití tzv. charakteristických exponentů.
První z možností má výhodu v tom, že je obecná, a podaří-li se nám tuto funkci pro zkoumanou soustavu (resp. její matematický model) sestavit, bude rovnovážný stav dané soustavy
asymptoticky stabilní. Nevýhodou této metody je, že neexistuje obecný návod k sestavení
Ljapunovovy funkce. Z hlediska praktické použitelnosti je důležité vědět, že podmínky stability určené podle přímé Ljapunovovy metody jsou pouze postačujícími podmínkami, nikoliv
nutnými a postačujícími. To znamená, že meze parametrů určené na základě Ljapunovovy
funkce zaručují stabilitu rovnovážného stavu. Neznamená to, že budou-li tyto meze překročeny, bude rovnovážný stav nestabilní.
Druhý přístup, metoda charakteristických exponentů, je často využívaný v technické praxi.
Je použitelný prakticky pro všechny soustavy s analytickými nelinearitami, vyhovujícími podmínce
lim
x →0
g (t , x)
=0 ,
x
(5.86)
kde x je stavový vektor a g (t , x) je vektor nelineárních funkcí soustavy. Pro určení charakteristických (Ljapunovovských) exponentů existuje několik metodik a výpočtových programů [37]. Ovšem ani tato metoda nemusí vést k úspěšnému určení podmínek, za kterých
dojde k chaosu.
V takovém případě je nezbytné využít bifurkační teorie, naznačené v předchozích odstavcích. Aplikace této teorie je sice náročná, především na čas, umožňuje ale vymezit oblasti
parametrů, které vedou k nestabilním projevům. Vyžaduje průběžné sledování odezev při
změnách vybraných parametrů ve fázové rovině. Tak je možné odhalit počátky bifurkací,
zdvojování period následně chaotický stav, vyznačující se složitou a neuzavřenou trajektorií.
Provedeme-li pro časové průběhy frekvenční rozklad, zjistíme, že získaná spektra jsou velmi
bohatá a vizuálně blízká náhodným dějům.
Stručně shrnuto, vyjdeme-li z bifurkační analýzy modelu dynamické soustavy, budou pro
chaotický pohyb charakteristické tyto skutečnosti:
• citlivost odezvy na změny vybraných parametrů nebo počátečních podmínek
• narůstající komplexnost pohybu když měníme vybraný parametr (včetně pohybu
známého jako „zdvojování period“
• širokopásmové Fourierovo spektrum odezvy soustavy při buzení jednou nebo
několika frekvencemi, když se soustava nachází v chaotickém stavu.
Část II.
Modelování elektromechanických pohonových
soustav
7
Dynamika dvoumotorových elektromechanických pohonů s
motory za sebou
7.1
Úvod
Dvoumotorové pohony strojů a mechanismů se vyskytují v těch případech, kdy použití
jediného hnacího motoru vyššího výkonu není z hlediska konstrukčního řešení celého
soustrojí „hnací jednotka – stroj“ možné, popř. při požadavku vyšší dynamiky celého pohonu.
Jednou z variant takového řešení je dvoumotorový pohon, v němž jsou motory konstrukčně
řazeny za sebou (v tandemu) čili hřídele obou motorů jsou spolu bezprostředně spojeny a
poháněný stroj je spojen buď přímo nebo přes převodovku s motorem 2 (obr. 7.1).
PRACOVNÍ
STROJ
MOTOR 1
MOTOR 2
PŘEVODOVKA
Obr.7.1. Řazení motorů za sebou
Motory je možné napájet třemi různými způsoby (obr. 7.2). Na obr. 7.2a je zobrazeno
individuální napájení motorů ze dvou výkonových zdrojů napětími Ua1 a Ua2. Na obr. 7.2b
jsou motory napájeny paralelně z jednoho výkonového zdroje napětím Ua, přičemž
jednotlivými motory protékají proudy Ia1 a Ia2. Konečně na obr. 7.2c je uvedeno sériové
napájení motorů z jediného výkonového zdroje napětím Ua, které je rovno součtu napětí na
jednotlivých motorech Ua1 a Ua2. Při tomto způsobu napájení protéká oběma motory společný
proud Ia. Určitou nevýhodou sériového napájení je, že napájecí zdroj musí mít dvojnásobně
vyšší napětí ve srovnání s individuálním a s paralelním napájením..
Zapojení řídících a regulačních částí výkonových zdrojů, používaná v regulovaných
dvoumotorových elektromechanických pohonech, jsou velmi různorodá v závislosti na
požadavcích, kladených na cílové statické a dynamické vlastnosti pohonů. Z toho důvodu je
tato stať věnována pouze neregulovaným dvoumotorovým stejnosměrným pohonům s motory
za sebou, osazenými dvojicí stejnosměrných motorů malého výkonu s cizím konstantním
buzením.
M
U a1
M
U a2
M1
a)
Ia1
M
Ua
M
M2
M
M1
U a1
M1
Ua
Ia2
Ia
M
U a2
M2
M2
b)
c)
Obr.7.2. Napájení dvoumotorového stejnosměrného pohonu a) individuální napájení b)
paralelní napájení c) sériové napájení
Pro účely zkoumání dynamiky uvažovaného typu pohonu byl vybrán stejnosměrný motor s
permanentními magnety MAXON A-max22 typ 110 164 s následujícími štítkovými
hodnotami a parametry: výkon 6 W, napájecí napětí 24 V, jmenovitá rychlost 7430 min-1,
jmenovitý moment 6,97.10-3 Nm, hmotný moment setrvačnosti rotoru 4,11 gcm2, odpor vinutí
kotvy 21 Ω, indukčnost vinutí kotvy 1,37 mH, činitel magnetického pole 21,2.10-3 NmA-1,
resp. 21,2.10-3 Vsrad-1. Z těchto údajů je možné zjistit, že elektromagnetická časová konstanta
La 1,37.10−3
motoru Ta =
=
= 65, 2 μ s je výrazně menší než jeho elektromechanická časová
21
Ra
konstanta Tm = J
Ra
( cΦ )
2
= 4,11.10−7
21
( 21, 2.10 )
−3 2
= 19, 2 ms čili při vyšetřování dynamiky
pohonů je v daném případě možné zanedbat elektromagnetické děje, probíhající v obou
motorech. Z toho vyplývá, že každý z motorů je pro dané účely dostatečně popsán svou
statickou momentovou charakteristikou.
Mechanické vazby mezi jednotlivými částmi pohonu jsou alternativně tuhé a pružné.
Poháněný stroj je reprezentován jediným setrvačníkem s odpovídajícím hmotným momentem
setrvačnosti. Všechny parametry mechanické části pohonu jsou přepočítány na hřídel
výstupního motoru dvojice (motor 2).
Dynamika dvoumotorových pohonů s motory za sebou je v dalším vyjadřována
prostřednictvím následujících charakteristik:
• rozložení pólů a nul operátorových přenosů vstupů v komplexní rovině,
• amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích (Bodeho
diagramy) a
• odezvy výstupní rychlosti a pružných momentů ve spojovacích hřídelích na
jednotkové skoky vstupů (přechodové charakteristiky).
Zatímco dynamika pohonu při individuálním napájení bude prezentována samostatně,
dynamika pohonu při paralelním a sériovém napájení bude prezentována tak, aby bylo možné
výsledky snadno vzájemně srovnat.
K numerickému zkoumání dynamiky uvažovaného soustrojí bylo využito programové
prostředí systému MATLAB/SIMULINK,
v němž
byly na základě popisujících
diferenciálních rovnic vytvořeny příslušné stavové modely ve tvaru
x = Ax + Bu,
y = Cx,
kde x je vektor fyzikálních stavových proměnných, u je vektor vstupů, y je vektor
výstupních proměnných, A a B jsou časově invariantní matice koeficientů, C je výstupní
matice soustavy. Tento přístup vychází z předpokladu, že uvažované pohony jsou považovány
za lineární dynamické soustavy. Dalšími nástroji uvedeného programového systému pak byly
zjištěny výše uvedené charakteristiky dynamických vlastností pohonů.
7.2
Pružné vazby mezi motory i se strojem
Na obr. 7.3 je uveden model mechanické části dvoumotorového pohonu s motory za sebou,
v němž všechny vazby jsou pružné. Setrvačníky J1 = J2 = 0,411.10-6 kgm2 přísluší rotorům
motorů, setrvačník J3 = 1,5.10-6 kgm2 představuje poháněný stroj. Pružný hřídel mezi
setrvačníky J1 a J2 má torzní tuhost k12 = 0,483 Nmrad-1 a nulové proporcionální tlumení –
b12 = 0. Pružný hřídel mezi setrvačníky J2 a J3 má torzní tuhost k23 = 0,96 Nmrad-1 a rovněž
nulové proporcionální tlumení – b23 = 0. Na setrvačníky J1 a J2 působí hnací momenty motorů
M1 a M2, setrvačník J3 je zatěžován pracovním momentem ML. Úhlové rychlosti setrvačníků
jsou ω1, ω2, ω3.
J1
J2
J3
k12 b12
k23 b23
ω1
ω2
ω3
Obr.7.3. Dvoumotorová soustava s pružnými vazbami
7.2.1
Individuální napájení motorů
Při individuálním napájení motorů jsou hnací momenty motorů dány následujícími vztahy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M 1 = 1 U a1 −
1
Ra1
Ra1
2
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 Ua2 −
2
Ra 2
Ra 2
2
(7.1)
M
Modelující
diferenciálníí rovnice maají v tomto případě
p
tvarr
( cΦ1 ) ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b12 (ω1 − ω2 ) + M 12 +
1
a1
dt
Ra1
Ra1
2
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U ,
d ω2
J2
− b12 (ω1 − ω2 ) − M 12 + b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
2
a2
dt
Ra 2
Ra 2
2
J3
d ω3
− b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 = − M L ,
dt
7.2)
(7
dM 12
− k12 (ω1 − ω2 ) = 0,
dt
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0.
dt
N obr. 7.4 jsou
Na
j
zobrazzena rozložeení pólů (x)) a nul (o) operátorovýých přenosů
ů vstupníchh
napětí Ua1 (Ua2) a pracovníhho momenttu ML do úh
hlové rychloosti stroje ω3 a pružnýcch momentůů
M12 a M23.
Obr.7.4. Rozložžení pólů a nul
n v kompllexní roviněě
Jee zřejmé, žee všechny póly
p
mají zááporné reáln
né části (ležží v levé čáásti komplex
xní roviny),,
takžee soustava splňuje
s
nutnnou podmínkku stability.
N obr. 7.5 jsou
Na
j
zobrazzeny logarittmické amp
plitudové frrekvenční charakteristiky přenosůů
vstuppních napětíí Ua1 a Ua2 do
d úhlové ryychlosti ω3.
Obr.77.5. Amplituudové frekveenční charaakteristiky přenosů vstup
upních napěětí Ua1 a Ua22
Zobrazeené charakteeristiky se vzájemně
v
liiší, obě však
k mají výraaznější maxiima čili sou
ustava
může kmittat.
Odezvaa úhlové rycchlosti ω3 naa jednotkovvý skok vstu
upního napěětí Ua1 je zobrazena naa obr.
7.6 a je zřeejmé, že neppatrně kmittá. Odezva úhlové
ú
rych
hlosti ω3 na jednotkovýý skok vstup
pního
napětí Ua1 je
j tvarově shodná,
s
kmiitání není paatrné.
Obr.7.66. Odezva úhhlové rychloosti ω3 na skkok vstupníího napětí Ua1
Odezvyy pružných momentů
m
M12 a M23 na
n jednotkov
vý skok praacovního m
momentu ML jsou
zobrazeny na obr. 7.7 a 7.8.
Obr.77.7. Odezva pružného
p
m
momentu
M12
p
m
momentu ML
1 na skok pracovního
Obr.77.8. Odezva pružného
p
m
momentu
M23
p
m
momentu ML
2 na skok pracovního
O
Odezvy
pružnných momeentů M12 a M23 kmitajíí tlumeným
mi kmity, dannými superp
pozicí dvouu
kmitání s rozdílnnými kmitoočty.
7.2.22
Paraleelní a sérioové napájeení motorů
ů
Přři paralelním
m napájení motorů
m
jsouu hnací mom
menty dány vztahy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M1 = 1 U a −
1
Ra1
Ra1
2
(7.3)
( cΦ 2 ) ω
cΦ
M 2 = 2 Ua −
2
Ra 2
Ra 2
2
a modelující diferenciální rovnice mají tvar
( cΦ1 ) ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b12 (ω1 − ω2 ) + M 12 +
a
1
dt
Ra1
Ra1
2
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U ,
d ω2
− b12 (ω1 − ω2 ) − M 12 + b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
J2
a
2
dt
Ra 2
Ra 2
2
J3
d ω3
− b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 = − M L ,
dt
(7.4)
dM 12
− k12 (ω1 − ω2 ) = 0,
dt
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0.
dt
Při sériovém napájení motorů jsou hnací momenty dány vztahy
( cΦ1 ) ω − cΦ1 cΦ 2 ω ,
cΦ1
M1 =
Ua −
1
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
(7.5)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ 2
cΦ1 cΦ 2
M2 =
Ua −
ω1 −
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
a modelující diferenciální rovnice mají tvar
( cΦ1 ) ω + cΦ1 cΦ 2 ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b12 (ω1 − ω2 ) + M 12 +
a
1
2
dt
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
J2
d ω2
− b12 (ω1 − ω2 ) − M 12 +
dt
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U ,
cΦ1 cΦ 2
ω1 +
b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
a
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
J3
d ω3
− b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 = − M L ,
dt
(7.6)
dM 12
− k12 (ω1 − ω2 ) = 0,
dt
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0.
dt
Na obr. 7.9 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupního
napětí Ua a pracovního momentu ML do úhlové rychlosti stroje ω3 a pružných momentů M12 a
M23 pro oba typpy napájeníí. Je zřejméé, že rozložení pólů a nul jsou výýrazně odliššná. Reálnýý
záporný pól je shodný pro oba
o typy naapájení.
Obr.7.9. Rozložžení pólů a nul
n v kompllexní roviněě
Prrotože všakk všechny póly mají zááporné reáln
né části (ležží v levé části komplex
xní roviny),,
splňuuje soustavaa nutnou poodmínku stabbility.
N obr. 7.10 jsou zobraazeny logariitmické amp
Na
plitudové frrekvenční ccharakteristiiky přenosůů
vstuppního napěttí Ua do úhlové
ú
rychhlosti ω3 pro
o zkoumanné typy nappájení, vykaazující dvěě
výrazzná maximaa, takže pohhon může km
mitat.
Obbr.7.10. Ampplitudová chharakteristiika přenosuu vstupního nnapětí Ua
ú
rychllosti ω3 na jednotkový skok vstupnního napětí Ua jsou uveedeny
Příslušnné odezvy úhlové
na obr. 7.111. Ustálenáá rychlost při
p sériovém
m napájení je
j polovičníí vůči ustállené rychlosstí při
paralelním
m napájení, což
c je způsoobeno tím, že
ž při sériov
vém napájenní je skok nnapětí na kaaždém
z motorů poloviční.
p
O odezvy vykazují
Obě
v
neepatrné kmittání.
O
Obr.7.11.
Oddezva úhlovvé rychlosti ω3 na skok napájecíhoo napětí mottorů Ua
Odezvyy pružného momentu M12 na jednotkový
j
skok praccovního momentu ML při
paralelním
m a sériovém
m napájení jssou na obr. 7.12 a 7.13.
Obr.7.122. Odezva prružného moomentu M12 na skok pra
acovního moomentu ML ppři paraleln
ním
naapájení
O
Obr.7.13.
Oddezva pružného momenntu M12 na skok pracovnního momenntu ML při sériovém
s
napájeení
O
Odezvy
pružžného mom
mentu M23 na jednottkový skokk pracovníhho momenttu ML proo
parallelní a sérioové napájeníí jsou na obr. 7.14 a 7.1
15.
Obbr.7.14. Odeezva pružnéého momentuu M23 na skkok pracovnního momentu ML při pa
aralelním
napájeení
Obr.7.155. Odezva pružného
p
moomentu M233 na skok prracovního momentu
m
ML při sériovvém
naapájení
Odezvyy obou pružnných momeentů M12 a M23 na jedn
notkový skook pracovního momenttu ML
při obou tyypech napájjení v přechhodných dějjích výrazně kmitají slložitými km
mity (superp
pozice
dvou kmitáání s rozdílnnými kmitočty), přičem
mž jejich tvaary závisí naa typu napáj
ájení.
7.3
Tu
uhá vazbaa mezi mootory, pru
užná vazba se strojem
Na obr.. 7.16 je uveden moddel mechaniické části dvoumotoro
d
ového pohoonu s motory za
sebou, v němž
n
vazbaa mezi motoory je tuhá a vazba see strojem jee pružná. C
Celá mechaanická
soustava se tedy reduukuje na sooustavu se dvěma
d
setrv
vačníky (J1 + J2) = 0,822.10-6 kg
gm2 a
t
k23 = 0.96 Nmraad-1 a nulovvé proporcio
onální
J3 = 1,5.100-6 kgm2, pruužný hřídel má torzní tuhost
tlumení – b23 = 0. Na setrvačník (J1 + J2) půůsobí hnací momenty motorů
m
M1 a M2, setrv
vačník
J3 je zatěžoován pracovvním momentem ML. Úhlové
Ú
rych
hlosti setrvaččníků jsou ω2 a ω3.
J1+J2
J3
k23 b23
ω2
ω3
Obr. 7.16.
7
Dvoum
motorová souustava s tuh
hou vazbou mezi motorry
7.3.1
In
ndividuáln
ní napájen
ní motorů
I když se takový způsob
z
nappájení v praaxi nepoužíívá, je zde uveden z ddůvodů úplnosti.
Hnací mom
menty motorů jsou dányy vztahy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M 1 = 1 U a1 −
2
Ra1
Ra1
2
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 Ua2 −
2
Ra 2
Ra 2
2
(7
7.7)
M
Modelující
diferenciálníí rovnice maají v tomto případě
p
tvarr
⎡ ( cΦ1 )2 ( cΦ 2 )2 ⎤
cΦ
cΦ
d ω2
+ b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 + ⎢
+
⎥ ω2 = 1 U a1 + 2 U a 2 ,
( J1 + J 2 )
Ra1
Ra 2
dt
Ra 2 ⎥⎦
⎢⎣ Ra1
J3
d ω3
− b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 = − M L ,
dt
(7
7.8)
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0.
dt
N obr. 7.17 jsou zobrazena rozložžení pólů (x
Na
x) a nul (o) operátorovýých přenosů
ů vstupníchh
napětí Ua1 a Ua2
vního momeentu ML do
o úhlové ryychlosti strooje ω3 a do
o pružnéhoo
a a pracov
mom
mentu M23.
Obr.77.17. Rozložžení pólů a nul v kompllexní roviněě
Prrotože všecchny póly mají
m zápornnou reálnou
u část (leží v levé čássti komplex
xní roviny),,
splňuuje soustavaa nutnou poodmínku stabbility.
N obr. 7.18 jsou zobraazeny logariitmické amp
Na
plitudové frrekvenční ccharakteristiiky přenosůů
vstuppního napěttí Ua1 (Ua2) do úhlovéé rychlosti ω3, které jsou naprostto shodné. Přítomnostt
výrazzného maxiima nasvědččuje, že pohhon může km
mitat.
Obr.7..18. Amplituudová frekvvenční charaakteristika přenosů
p
vstuupních napěětí Ua1 (Ua22)
Na obr.. 7.19 jsou zobrazeny odezvy úhhlové rychlo
osti ω3 na jednotkový
j
ý skok vstup
pního
napětí Ua1 (Ua2). Obě odezvy jsouu naprosto shodné.
s
O
Obr.7.19.
O
Odezvy
úhloové rychlostii ω3 na skokky vstupníchh napětí Ua11 (Ua2)
Na obr. 7.20 je zobbrazena odeezva pružnéého momenttu M23 na jeednotkový skok pracov
vního
momentu ML.
Obr.7.20. Odezvaa pružného momentu
m
M23 na skok pracovního
p
momentu ML
O
Odezva
úhloové rychlostti ω3 na jeddnotkový skok napájeecích napětíí motorů vy
ykazuje jenn
nepaatrné kmitánní, zatímco u odezvy pružného
p
momentu
m
M23
mitání výraznější. Oběě
2 je toto km
kmitání jsou tlum
mená.
7.3.22
Paraleelní a sérioové napájeení motorů
ů
Paaralelní nappájení motoorů se u toohoto typu dvoumotorrového pohonu použív
vá ve zcelaa
výjim
mečných příípadech. Hnnací momennty motorů jsou
j
rovny
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M1 = 1 U a −
2
Ra1
Ra1
2
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 Ua −
2
Ra 2
Ra 2
2
(7
7.9)
m tvar
a modelující diferenciálnní rovnice mají
⎡ ( cΦ1 )2 ( cΦ 2 )2 ⎤
⎛ cΦ cΦ ⎞
d ω2
+ b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 + ⎢
+
⎥ ω2 = ⎜ 1 + 2 ⎟ U a ,
( J1 + J 2 )
dt
Ra 2 ⎥⎦
⎢⎣ Ra1
⎝ Ra1 Ra 2 ⎠
J3
d ω3
− b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 = − M L ,
dt
(7
7.10)
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0.
dt
d
Séériové napáájení motorrů se u tohhoto typu dvoumotoro
vého pohonnu používáá nejčastěji..
Hnaccí momentyy motorů jsoou dány vztaahy
( cΦ1 ) ω − cΦ1 cΦ 2 ω ,
cΦ1
M1 =
Ua −
2
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
(7.11)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ 2
cΦ1 cΦ 2
M2 =
Ua −
ω2 −
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
a modellující difereenciální rovnnice mají tvvar
( cΦ1 + cΦ 2 ) ω = cΦ1 + cΦ 2 U ,
dω
(J1 + J 2 ) 2 + b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
2
a
dt
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
J3
d ω3
− b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 = − M L ,
dt
(7.12)
dM
M 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0.
d
dt
z
r
rozložení
póólů (x) a nu
ul (o) operáttorových přřenosů vstup
pního
Na obr. 7.21 jsou zobrazena
napětí Ua a pracovníhho momentuu ML do úhllové rychlosti ω3 a do pružného m
momentu M23 při
paralelním
m napájení, stejné
s
je rozzložení pólůů a nul i při napájení
n
sérriovém.
Obr.7.21. Rozložení
R
póólů a nul v komplexní
k
r
rovině
Protože všechny póly
p
mají záporné
z
reáálné části (leží
(
v levéé části kom
mplexní rov
viny),
splňuje souustava nutnoou podmínkku stability.
Na obr. 7.22 jsou zobrazeny
z
l
logaritmick
ké amplitudo
ové frekvennční charaktteristiky přeenosů
vstupního napětí Ua do
d úhlové rychlosti
r
ω3 pro paraleelní a sériovvé napájení,, které majíí opět
b
kmitatt. Obě charaakteristiky jsou tvarověě podobné, liší
l se
výrazné maximum čilli soustava bude
svou polohhou. To je způsobeno
z
r
rozdílným
z
zesílením
op
perátorovýcch přenosů vstupního napětí
n
Ua do úhloové rychlostti ω3.
Obr.7.222. Amplituddová frekvennční charakkteristika přeenosu vstuppního napětíí Ua
N obr. 7.23 je zobrazenna odezva úhlové
Na
ú
rychllosti ω3 na jednotkový
j
skok vstup
pního napětíí
Ua. Ustálená
U
rycchlost při séériovém nappájení je poloviční vůči ustálené ryychlostí při paralelním
m
napáj
ájení, což jee způsobenoo tím, že přii sériovém napájení je skok napěttí na každém
m z motorůů
polovviční.
O
Obr.7.23.
Oddezva úhlovéé rychlosti ω3 na skok vstupního
v
nnapětí Ua
N obr. 7.24 je zobrazenna odezva pružného
Na
p
momentu
m
M23
o
2 na jednottkový skok pracovního
mom
mentu ML při
p paralelnním napájenní, odezva při napájenní sériovém
m je s toutto odezvouu
shoddná.
O
Obr.7.24.
Oddezva pružnného momenntu M23 na skok
s
pracovvního momeentu ML
Odezvaa úhlové rycchlosti ω3 na
n jednotkoový skok napájecích
n
n
napětí
motoorů vykazujje jen
nepatrné kmitání,
k
zatíímco u odezvy pružnéého momenttu M23 je tooto kmitání výraznější. Obě
kmitání jsoou tlumená.
7.4
Pru
užná vazb
ba mezi motory,
m
tu
uhá vazba
a se strojeem
Na obr.. 7.25 je uveden moddel mechaniické části dvoumotoro
d
ového pohoonu s motory za
sebou, v němž vazba mezi motorry je pružnáá, zatímco vazba
v
se strrojem je tuhhá. To znam
mená,
že celá meechanická soustava
s
se redukuje na
n soustavu se dvěma setrvačníkyy J1 = 0,411.10-6
kgm2 a (J2 + J3) = 1,911.10-6 kggm2, pružnýý hřídel máá torzní tuhhost k12 = 00.486 Nmraad-1 a
nulové prooporcionálníí tlumení – b12 = 0. Naa setrvačník
k J1 působí hnací mom
ment M1, zattímco
na setrvačnník (J2 + J3) působí jednak hnaccí moment M2 a jednaak je zatěžžován praco
ovním
momentem
m ML. Úhlovvé rychlostii setrvačníkůů jsou ω1 a ω2.
J2+J
+ 3
J1
k122 b12
ω2
ω2
Obr.77.25. Dvoum
motorová sooustava s tu
uhou vazbouu se strojem
7.4.1
In
ndividuáln
ní napájen
ní motorů
Při indivviduálním napájení
n
mootorů jsou jeejich hnací momenty
m
dáány vztahy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M 1 = 1 U a1 −
1
Ra1
Ra1
2
(7
7.13)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 Ua2 −
2
Ra 2
Ra 2
2
M
Modelující
diferenciálníí rovnice maají v tomto případě
p
tvarr
( cΦ1 ) ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b12 (ω1 − ω2 ) + M 12 +
1
a1
dt
Ra1
Ra1
2
( cΦ )
dω
cΦ
( J 2 + J 3 ) 2 − b12 (ω1 − ω2 ) − M 12 + 2 ω2 = 2 U a 2 − M L ,
dt
Ra 2
Ra 2
2
(7
7.14)
dM 12
− k12 (ω1 − ω2 ) = 0.
dt
N obr. 7.26 jsou zobrazena rozložžení pólů (x
Na
x) a nul (o) operátorovýých přenosů
ů vstupníchh
napětí Ua1, Ua2 a pracovníhho momentuu ML do úhllové rychlossti ω2 a pružžného mom
mentu M12.
Obr.77.26. Rozložžení pólů a nul v kompllexní roviněě
Prrotože všecchny póly mají
m
záporrné reálné části
č
(leží v levé části komplex
xní roviny),,
splňuuje soustavaa nutnou poodmínku stabbility.
N obr. 7.27 jsou zobraazeny logariitmické amp
Na
plitudové frrekvenční ccharakteristiiky přenosůů
vstuppních napěttí Ua1 a Ua2 do úhlové rychlosti ω2. Je zřejméé, že se svýým tvarem od
o sebe liší..
Prvnní z nich máá výrazné maximum,
m
zaatímco druh
há má nejenn výrazné m
maximum, alle i výraznéé
minim
mum. Přítomnost výraznějších maaxim nasvěd
dčuje, že poohon může kkmitat.
Obr.7..27. Amplituudové frekvvenční charaakteristiky přenosů
p
vstuupních napěětí Ua1 a Ua2
a
Na obr. 7.28 je zobbrazena odeezva úhlové rychlosti ω2 na jednottkový skok vstupního napětí
n
Ua1, na nížž je vidět nepatrné
n
km
mitání. Odezzva na jedn
notkový skook napětí Ua2 má prak
kticky
stejný průbběh, kmitání je nepozorrovatelné.
ú
rychllosti ω2 na skok
s
vstupního napětí Ua1
Obr.7.288. Odezva úhlové
Na obr. 7.29 je zobbrazena odeezva pružnéého momenttu M12 na jeednotkový skok pracov
vního
momentu ML, vykazujjící očekávaané tlumenéé kmitání.
Obr. 7..29. Odezvaa pružného momentu
m
M12 na skok pracovního
p
momentu ML
7.4.22
Paraleelní a sérioové napájeení motorů
ů
Přři paralelním
m napájení motorů
m
jsouu hnací mom
menty rovnyy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M1 = 1 U a −
1
Ra1
Ra1
2
(7
7.15)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 Ua −
2
Ra 2
Ra 2
2
a modelující diferenciálnní rovnice mají
m tvar
( cΦ1 ) ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b12 (ω1 − ω2 ) + M 12 +
1
a
Ra1
dt
Ra1
2
( cΦ )
dω
cΦ
( J 2 + J 3 ) 2 − b12 (ω1 − ω2 ) − M 12 + 2 ω2 = 2 U a − M L ,
dt
Ra 2
Ra 2
2
(7
7.16)
dM 12
− k12 (ω1 − ω2 ) = 0.
dt
Séériové napáájení motorůů se u tohotto typu dvo
oumotorového pohonu nepoužívá příliš častoo
vzhleedem k oddlišným eleektromechaanickým vlastnostem obou motoorů (celkov
vý hmotnýý
mom
ment setrvaččnosti rotorru druhého motoru jee díky tuhéé vazbě se strojem věětší). Hnacíí
mom
menty motorrů jsou dányy vztahy
( cΦ1 ) ω − cΦ1 cΦ 2 ω ,
cΦ1
M1 =
Ua −
1
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
( cΦ 2 ) ω .
cΦ 2
cΦ1 cΦ 2
M2 =
Ua −
ω1 −
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
(7
7.17)
a modellující difereenciální rovnnice mají tvvar
( cΦ1 ) ω + cΦ1 cΦ 2 ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b12 (ω1 − ω2 ) + M 12 +
1
2
a
dt
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
( J 2 + J3 )
d ω2
− b12 (ω1 − ω2 ) − M 12 +
dt
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U − M ,
cΦ1 cΦ 2
ω1 +
a
L
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
(7.18)
dM
M 12
− k12 (ω1 − ω2 ) = 0.
d
dt
Na obr. 7.30 jsou zobrazena
z
r
rozložení
póólů (x) a nu
ul (o) operáttorových přřenosů vstup
pního
momentu M12 při
napětí Ua a pracovníhho momentuu ML do úhllové rychlosti ω2 a do pružného m
paralelním
m a sériovém
m napájení. Je
J zřejmé, že
ž obě rozlo
ožení se vzájjemně liší.
Obr.7.30. Rozložení
R
póólů a nul v komplexní
k
r
rovině
Protože všechny póly
p
mají záporné
z
reáálné části (leží
(
v levéé části kom
mplexní rov
viny),
splňuje soustava nutnnou podmínnku stabilitty. Reálný záporný póól je shodnný pro oba typy
napájení.
Na obr. 7.31 jsou zobrazeny
z
l
logaritmick
ké amplitudo
ové frekvennční charaktteristiky přeenosů
vstupního napětí Ua do úhlovéé rychlosti ω2 při paralelním a sériovém
m napájení. Obě
charakterisstiky mají jedno výraazné maxim
mum a jed
dno výrazné minimum
m (při sériovém
napájení jee velmi výraazné), pohonn může kmiitat.
Obr.7.311. Amplituddové frekvennční charakkteristiky přeenosů vstuppního napětíí Ua
N obr. 7.32 je zobrazenna odezva úhlové
Na
ú
rychllosti ω2 na jednotkový
j
skok vstup
pního napětíí
Ua. Kmitání
K
úhlové rychlossti ω2 je neppozorovateln
né.
O
Obr.7.32.
Oddezva úhlovéé rychlosti ω2 na skok vstupního
v
nnapětí Ua
N obr. 7.33 je zobrazenna odezva pružného
Na
p
momentu
m
M12
o
1 na jednottkový skok pracovního
mom
mentu ML při
p paralelnním napájenní, na obr. 7.34 je zoobrazena oddezva téhožž pružnéhoo
mom
mentu na jeddnotkový skkok pracovního momeentu ML přii sériovém napájení, přičemž
p
oběě
odezzvy kmitají tlumenými
t
k
kmity.
Obr.7.333. Odezva prružného moomentu M12 na skok pra
acovního moomentu ML ppři paraleln
ním
naapájení
Obr.7.34. Odezva pružného
p
momentu M122 na skok prracovního momentu
m
ML při sériovéém
naapájení
Je zcelaa evidentní, že uvedenéé odezvy see od sebe zn
načně liší zeejména tím,, že při sériovém
napájení see objevuje překmit
p
obáálky kmitů vůči
v ustálenému stavu.
7.5
Záávěr
Tato
kapitola
byla
zam
měřena
n
na
vyšetřo
ování
dynnamiky
ddvoumotoro
ových
elektromecchanických pohonů s motory maalého výkon
nu v uspořáádání za sebou při růzzných
mechanických vazbách jednak mezi motory a jednak mezi hnací jednotkou a strojem.
Zkoumán byl v této souvislosti zejména vliv možných způsobů napájení motorů nejen na
dynamiku samotného pohonu, ale i na kmitání pružných momentů ve spojovacích hřídelích
mezi jednotlivými částmi soustrojí. Na rozdíl od dvoumotorových pohonů s motory vedle
sebe má způsob napájení hnacích motorů u pohonů s motory za sebou výraznější vliv na
dynamiku celého pohonu zejména v případě pružné vazby mezi motory. Z toho důvodu je
třeba volbu typu napájení při projektování uvedeného typu dvoumotorových pohonů s motory
za sebou velmi pečlivě zvažovat a to v závislosti na jejich konkrétním užití Podobným
způsobem získané výsledky pro konkrétní pohon mohou tedy sloužit jako podklad jak pro
volbu typu napájení, tak i pro návrh řídících a regulačních obvodů.
8
Dynamika dvoumotorových elektromechanických pohonů s
motory vedle sebe
8.1
Úvod
Dvoumotorové pohony strojů a mechanismů se vyskytují v těch případech, kdy použití
jediného hnacího motoru vyššího výkonu není z hlediska konstrukčního řešení celého
soustrojí „hnací jednotka – stroj“ možné, popř. při požadavku vyšší dynamiky celého pohonu.
Jednou z variant takového řešení je dvoumotorový pohon, v němž jsou motory konstrukčně
řazeny vedle sebe čili hřídele obou motorů jsou spojeny se sdružovací převodovkou a teprve
její výstupní hřídel je spojen s poháněným strojem (obr. 8.1).
MOTOR 1
PORACOVNÍ
STROJ
MOTOR 2
SDRUŽOVACÍ
PŘEVODOVKA
Obr.8.1. Řazení motorů vedle sebe
Motory je možné napájet třemi různými způsoby, jak naznačuje obr. 8.2. Na obr. 8.2a je
uvedeno individuální napájení motorů ze dvou výkonových zdrojů napětími Ua1 a Ua2. Na
obr. 8.2b jsou motory napájeny paralelně z jednoho výkonového zdroje napětím Ua, přičemž
jednotlivými motory protékají proudy Ia1 a Ia2. Konečně na obr. 8.2c je uvedeno sériové
napájení motorů z jediného výkonového zdroje napětím Ua, které je rovno součtu napětí na
jednotlivých motorech Ua1 a Ua2. Při tomto způsobu napájení protéká oběma motory společný
proud Ia. Nevýhodou sériového napájení je, že napájecí zdroj musí mít dvojnásobně vyšší
napětí ve srovnání s individuálním a s paralelním napájením.
Zapojení řídících a regulačních částí výkonových zdrojů, používaná v regulovaných
dvoumotorových elektromechanických pohonech, jsou velmi různorodá. Závisí to především
na požadavcích, kladených na cílové statické a dynamické vlastnosti pohonů. Z toho důvodu
je tato stať věnována pouze neregulovaným dvoumotorovým stejnosměrným pohonům s
motory vedle sebe, osazenými dvojicí stejnosměrných motorů malého výkonu s cizím
konstantním buzením.
M
U a1
M
U a2
M1
a)
Ia1
M
Ua
M
M2
M
M1
U a1
M1
Ua
Ia2
Ia
M
U a2
M2
M2
b)
c)
Obr. 8.2. Napájení dvoumotorového stejnosměrného pohonu a) individuální napájení b)
paralelní napájení c) sériové napájení
Pro účely zkoumání dynamiky uvažovaného typu pohonu byl vybrán stejnosměrný motor s
permanentními magnety MAXON A-max22 typ 110 164 s následujícími štítkovými
hodnotami a parametry: výkon 6 W, napájecí napětí 24 V, jmenovitá rychlost 7430 min-1,
jmenovitý moment 6,97.10-3 Nm, hmotný moment setrvačnosti rotoru 4,11 gcm2, odpor vinutí
kotvy 21 Ω, indukčnost vinutí kotvy 1,37 mH, činitel magnetického pole 21,2.10-3 NmA-1,
resp. 21,2.10-3 Vsrad-1. Z těchto údajů je možné zjistit, že elektromagnetická časová konstanta
La 1,37.10−3
=
= 65, 2 μ s je výrazně menší než jeho elektromechanická časová
motoru Ta =
21
Ra
konstanta Tm = J
Ra
( cΦ )
2
= 4,11.10−7
21
( 21, 2.10 )
−3 2
= 19, 2 ms čili při vyšetřování dynamiky
pohonů je v daném případě možné zanedbat elektromagnetické děje, probíhající v obou
motorech. Z toho vyplývá, že každý z motorů je pro dané účely dostatečně popsán svou
statickou momentovou charakteristikou.
Mechanické vazby mezi jednotlivými částmi pohonu jsou alternativně tuhé a pružné.
Poháněný stroj je reprezentován buď dvěma setrvačníky s pružnou vazbou mezi nimi,
reprezentujícími sdružovací převodovku a stroj, nebo jediným setrvačníkem (tuhá vazba mezi
sdružovací převodovkou a strojem). Všechny parametry mechanické části pohonu jsou
přepočítány na hřídele motorů.
Dynamika dvoumotorového pohonu s motory vedle sebe je v dalším vyjadřována
prostřednictvím následujících nástrojů:
• rozložení pólů a nul operátorových přenosů v komplexní rovině,
• amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích (Bodeho
diagramy) a
• odezvy výstupní rychlosti a pružných momentů ve spojovacích hřídelích na
jednotkové skoky vstupních veličin (přechodové charakteristiky).
Zatímco dynamika pohonu při individuálním napájení bude prezentována samostatně,
dynamika pohonu při paralelním a sériovém napájení bude prezentována tak, aby bylo možné
výsledky snadno vzájemně srovnat.
K numerickému zkoumání dynamiky uvažovaného soustrojí bylo využito programové
prostředí systému MATLAB/SIMULINK,
v němž
byly na základě popisujících
diferenciálních rovnic vytvořeny příslušné stavové modely ve tvaru
x = Ax + Bu,
y = Cx,
kde x je vektor fyzikálních stavových proměnných, u je vektor vstupů, y je vektor
výstupních proměnných, A a B jsou časově invariantní matice koeficientů, C je výstupní
matice soustavy. Tento přístup vychází z předpokladu, že uvažované pohony jsou považovány
za lineární dynamické soustavy. Dalšími nástroji uvedeného programového systému pak byly
zjištěny výše uvedené charakteristiky dynamických vlastností pohonů.
8.2
Pružné vazby mezi motory i se strojem
Na obr. 8.3 je uveden model mechanické části dvoumotorového pohonu s motory vedle
sebe, v němž všechny vazby jsou pružné. Setrvačníky J1 = J2 = 0,411.10-6 kgm2 přísluší
rotorům motorů, setrvačník J3 = 0,18 kgm2 reprezentuje sdružovací převodovku a setrvačník
J4 = 1,5.10-6 kgm2 představuje poháněný stroj. Pružné hřídele mezi setrvačníky J1 a J3 a mezi
setrvačníky J2 a J3 mají torzní tuhosti k13 = k23 = 0,483 Nmrad-1 a nulová proporcionální
tlumení – b13 = b23 = 0. Pružný hřídel mezi setrvačníky J3 a J4 má torzní tuhost
k34 = 0,96 Nmrad-1 a rovněž nulové proporcionální tlumení – b34 = 0. Na setrvačníky J1 a J2
působí hnací momenty motorů M1 a M2, setrvačník J4 je zatěžován pracovním momentem ML.
Úhlové rychlosti setrvačníků jsou ω1, ω2, ω3, ω4.
J1
k1
ω1
3
b
13
J3
J4
k34 b34
J2
k 23
b 23
ω3
ω4
ω2
Obr.8.3. Dvoumotorová soustava s pružnými vazbami
8.2.11
Individuální nap
pájení motorů
Přři individuáálním napájeení motorů jsou
j
hnací momenty
m
m
motorů
dány následujícíími vztahy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M 1 = 1 U a1 −
1
Ra1
Ra1
2
(8
8.1)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 Ua2 −
2
Ra 2
Ra 2
2
M
Modelující
diferenciálníí rovnice maají v tomto případě
p
tvarr
( cΦ1 ) ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b13 (ω1 − ω3 ) + M 13 +
1
a1
dt
Ra1
Ra1
2
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U ,
d ω2
J2
+ b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
2
a2
dt
Ra 2
Ra 2
2
J3
dω3
− b13 (ω1 − ω3 ) − M 13 − b23
2 ( ω2 − ω3 ) − M 23 + b34 ( ω3 − ω4 ) + M 34 = 0,
dt
J4
d ω4
− b34 (ω3 − ω4 ) − M 34 = − M L ,
dt
(8
8.2)
dM 13
− k13 (ω1 − ω3 ) = 0,
dt
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0,
dt
dM 34
− k34 (ω3 − ω4 ) = 0.
dt
N obr. 8.4 jsou
Na
j
zobrazzena rozložeení pólů (x)) a nul (o) operátorovýých přenosů
ů vstupníchh
napětí Ua1 a Ua2
vního momeentu ML do
o úhlové ryychlosti strooje ω4 a do
o pružnýchh
a a pracov
mom
mentů M13, M23 a M34.
n v kompllexní roviněě
Obr.8.4. Rozložžení pólů a nul
Všechnyy póly operátorových přenosů mají
m zápornéé reálné čássti (leží v llevé části ro
oviny
komplexníí proměnné)), splňuje sooustava nutnnou podmín
nku stabilityy.
Na obr. 8.5 je zoobrazena logaritmická amplitudov
vá frekvenčční charaktteristika přeenosu
vstupního napětí
n
Ua1 (U
( a2) do úhllové rychlossti ω4.
Obr.88.5. Amplituudová frekveenční charaakteristika přenosu
p
vstuupního napěětí Ua1 (Ua2)
Protože charakterisstika má dvěě výraznějšíí maxima, může
m
soustaava kmitat.
upního napěětí Ua1 (Ua2) je zobrazeena na
Odezvaa úhlové rycchlosti ω4 naa jednotkovvý skok vstu
obr. 8.6 z níž
n je patrnéé, že kmitánní úhlové ryychlosti ω4 je zanedbateelně malé.
Obr. 8.6. Odezva
O
úhloové rychlostti ω4 na skokk vstupního napětí Ua1 (Ua2)
O
Odezvy
pružžných momeentů M13 a M23 na jedn
notkový skook pracovního momen
ntu ML majíí
shoddný tvar dle obr. 8.7, na
n obr. 8.8 je
j zobrazen
na odezva pružného
p
m
momentu M34
ž
3 na tentýž
skokk.
mentu M13 (M
M23) na skook pracovníh
ího momentu
u ML
Obr.8.7. Odezva pruužného mom
p
m
momentu
M34
p
m
momentu ML
Obr.88.8. Odezva pružného
3 na skok pracovního
O
Odezvy
všech pružnýchh momentů M13, M23 a M34 na začátku přechoodného dějee intenzivněě
kmitají tlumenýými kmity, které jsou superpoziccí dvou km
mitání s rozzdílnými km
mitočty. Poo
doznnění tohoto kmitání pruužné momeenty nadále kmitají máálo tlumenýými kmity na
n kmitočtuu
výrazzně nižším.. Na možnoost vzniku takových
t
km
mitů v dvouumotorovýcch pohonecch s motoryy
vedlee sebe bylo upozorněnoo v předchoozí kapitole.
8.2.2
Paralelní a sériové napájení motorů
Při paralelním napájení motorů jsou hnací momenty dány následujícími vztahy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M1 = 1 U a −
1
Ra1
Ra1
2
(8.3)
( cΦ 2 ) ω
cΦ
M 2 = 2 Ua −
2
2
Ra 2
Ra 2
a modelující diferenciální rovnice mají tvar
( cΦ1 ) ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b13 (ω1 − ω3 ) + M 13 +
a
1
dt
Ra1
Ra1
2
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U ,
d ω2
+ b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
J2
a
2
dt
Ra 2
Ra 2
2
J3
d ω3
− b13 (ω1 − ω3 ) − M 13 − b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 + b34 (ω3 − ω4 ) + M 34 = 0,
dt
J4
d ω4
− b34 (ω3 − ω4 ) − M 34 = − M L ,
dt
(8.4)
dM 13
− k13 (ω1 − ω3 ) = 0,
dt
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0,
dt
dM 34
− k34 (ω3 − ω4 ) = 0.
dt
Při sériovém napájení motorů jsou hnací momenty dány následujícími vztahy
( cΦ1 ) ω − cΦ1 cΦ 2 ω ,
cΦ1
M1 =
Ua −
1
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
(8.5)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ 2
cΦ1 cΦ 2
ω1 −
M2 =
Ua −
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
a modelující diferenciální rovnice mají tvar
( cΦ1 ) ω + cΦ1 cΦ 2 ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b13 (ω1 − ω3 ) + M 13 +
1
2
a
dt
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U ,
d ω2
cΦ1 cΦ 2
+ b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
J2
ω1 +
a
2
dt
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
J3
d ω3
− b13 (ω1 − ω3 ) − M 13 − b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 + b34 (ω3 − ω4 ) + M 34 = 0,
dt
J4
d ω4
− b34 (ω3 − ω4 ) − M 34 = − M L ,
dt
(8.6)
dM 13
− k13 (ω1 − ω3 ) = 0,
dt
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0,
dt
dM 34
− k34 (ω3 − ω4 ) = 0.
dt
N obr.8.9 jssou zobrazeena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorový
Na
o
ých přenosů
ů vstupníhoo
napětí Ua a praccovního moomentu ML do úhlové rychlosti stroje ω4 a ddo pružných
h momentůů
M13, M23 a M34
ou shodná jak
j pro paaralelní, takk i pro sériové napájení. Protožee
3 , která jso
m tedy záápornou reáálnou část (lleží v levé části
č
rovinyy
všechhny póly opperátorovýcch přenosů mají
kompplexní prom
měnné), splňňuje soustavva nutnou po
odmínku staability.
Obr.8.9. Rozložžení pólů a nul
n v kompllexní roviněě
N obr. 8.10 jsou zobraazeny logariitmické amp
Na
plitudové frrekvenční ccharakteristiiky přenosůů
vstuppního napěttí Ua do úhloové rychlossti ω4 pro ob
ba vyšetřovvané typy naapájení, vyk
kazující dvěě
výrazznější maxiima čili pohhon může kmitat.
k
Tyto
o charakteriistiky jsou ttvarově sho
odné, liší see
pouzze svou poloohou. To jee způsobenoo rozdílným
m zesílením operátorovýých přenosů
ů vstupníhoo
napětí Ua do úhllové rychlossti ω4.
Obbr.8.10. Ampplitudové frrekvenční chharakteristikky přenosu vstupního nnapětí Ua
Odezvyy úhlové ryychlosti ω4 na skok vstupního
v
napětí
n
Ua jssou uvedenny na obr. 8.11,
kmitání tééto rychlostti je zaneddbatelně maalé. Ustálen
ná rychlostt při sériovvém napájeení je
poloviční vůči ustáleené rychlosstí při paraalelním nap
pájení, což je způsobeno tím, že
ž při
n
je skok
s
napětí na každém z motorů poloviční.
p
sériovém napájení
Obr.8.11. Odezva úhlové
ú
rychlosti ω4 na skok vstupnního napětí Ua
Odezvyy pružných momentů
m
M13 a M23 na
n jednotkov
vý skok praacovního momentu ML mají
shodný tvaar dle obr. 8.12
8
pro obaa zkoumanéé typy napáj
ájení. Na obbr. 8.13 je zoobrazena od
dezva
pružného momentu
m
M34 na jednootkový skokk pracovního
o momentu ML, která je rovněž tvarově
shodná proo oba typy napájení.
n
mentu M13 (M23) na skook pracovníího momenttu ML
Obr.8.12. Odezva pruužného mom
momentu ML
m
M34 na skok pracovního
p
Obr.8.13. Odezvaa pružného momentu
O
Odezvy
všechh pružných momentů M13, M23 a M34 mají prrakticky stejjný tvar jak
ko v případěě
indivviduálního napájení
n
(obbr. 8.7 a obbr. 8.8). To znamená, že
ž po odeznnění přecho
odného dějee
pružnné momentyy nadále km
mitají málo tlumenými
t
kmity.
k
8.3
Tuhá vazba
v
meezi motoryy, pružná vazba se strojem
N obr. 8.14 je uveden model mecchanické čáásti dvoumootorového ppohonu s mo
Na
otory vedlee
sebe,, v němž vazba
v
mezi motory je tuhá a vazzba se strojem je pružžná. To znaamená, celáá
mechhanická
s
soustava
se
redukkuje
na
soustavu
se
dvěma
setrvačníkyy
(J1 + J2 + J3) = 1,002.10-6 kgm2 a J4 = 1,5.10-6 kgm2, pružný hřídel má torzní tuhost
k34 = 0.96 Nmrad-1 a nulové proporcionální tlumení – b34 = 0. Na setrvačník (J1 + J2 + J3)
působí hnací momenty motorů M1 a M2, setrvačník J4 je zatěžován pracovním momentem ML.
Úhlové rychlosti setrvačníků jsou ω3 a ω4.
J1+J2+J3
J4
k34 b34
ω3
ω4
Obr.8.14. Dvoumotorová soustava s tuhou vazbou mezi motory
8.3.1
Individuální napájení motorů
Při individuálním napájení motorů jsou hnací momenty dány následujícími vztahy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M 1 = 1 U a1 −
3
Ra1
Ra1
2
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 Ua2 −
3
Ra 2
Ra 2
2
(8.7)
Modelující rovnice mají v tomto případě tvar
⎡ ( cΦ1 )2 ( cΦ 2 )2 ⎤
dω3
cΦ
cΦ
+ b34 (ω3 − ω4 ) + M 34 + ⎢
+
⎥ ω3 = 1 U a1 + 2 U a 2 ,
( J1 + J 2 + J 3 )
dt
Ra 2 ⎥⎦
Ra1
Ra 2
⎢⎣ Ra1
J4
d ω4
− b34 (ω3 − ω4 ) − M 34 = − M L ,
dt
(8.8)
dM 34
− k34 (ω3 − ω4 ) = 0.
dt
Na obr. 8.15 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupních
napětí Ua1 a Ua2 do úhlové rychlosti stroje ω4 a pracovního momentu ML pružných momentů
M13, M23 a M34.
Obr.88.15. Rozložžení pólů a nul v kompllexní roviněě
m zápornnou reálnou
u část (leží v levé čássti komplex
xní roviny),,
Prrotože všecchny póly mají
splňuuje soustavaa nutnou podmínku stabbility.
N obr. 8.166 je zobrazena logaritm
Na
mická amp
plitudová frekvenční charakteristika přenosuu
vstuppního napěttí Ua1 (Ua2) do úhlové rychlosti ω4. Charakteeristika má vvýrazné maaximum čilii
sousttava může kmitat.
k
O
Obr.8.16.
A
Amplitudová
á frekvenčníí charakteriistika přenosu vstupníhho napětí Ua1
a (Ua2)
N obr. 8.17 je zobrazenna odezva úhlové
Na
ú
rych
hlosti ω4 naa skok vstuppního napěttí Ua1 (Ua2),,
na obbr. 8.18 je zobrazena
z
odezva pružnného momeentu M34 na skok pracovního mom
mentu ML.
Obr.8.17. Odezva
O
úhloové rychlostti ω4 na sko
ok vstupníhoo napětí Ua11 (Ua2)
O
Obr.8.18.
Oddezva pružnného momenntu M34 na skok
s
pracovvního momeentu ML
Odezvaa úhlové ryychlosti ω4 na skok napájecích
n
napětí
n
motorů vykazuuje zanedbaatelné
kmitání, zaatímco u oddezvy pružnného momenntu M34 je toto
t
kmitáníí výrazné. O
Obě kmitáníí jsou
tlumená.
8.3.2
Paralelní a sériové naapájení mootorů
Při paraalelním napáájení motorůů jsou jejichh hnací mom
menty vyjáddřeny vztahhy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M1 = 1 U a −
3
Ra1
Ra1
2
(8.9)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 Ua −
3
Ra 2
Ra 2
2
a modelující rovnice mají tvar
⎡ ( cΦ1 )2 ( cΦ 2 )2 ⎤
⎛ cΦ cΦ ⎞
dω3
+ b34 (ω3 − ω4 ) + M 34 + ⎢
+
⎥ ω3 = ⎜ 1 + 2 ⎟ U a ,
( J1 + J 2 + J 3 )
dt
Ra 2 ⎦⎥
⎝ Ra1 Ra 2 ⎠
⎣⎢ Ra1
J4
d ω4
− b34 (ω3 − ω4 ) − M 34 = − M L ,
dt
(8.10)
dM 34
− k34 (ω3 − ω4 ) = 0.
dt
Při sériovém napájení motorů jsou hnací momenty dány vztahy
( cΦ1 ) ω − cΦ1 cΦ 2 ω ,
cΦ1
M1 =
Ua −
3
3
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
(8.11)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ 2
cΦ1 cΦ 2
ω3 −
M2 =
Ua −
3
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
a modelující diferenciální rovnice mají tvar
( cΦ + cΦ 2 ) ω = cΦ1 + cΦ 2 U ,
dω
( J1 + J 2 + J 3 ) 3 + b34 (ω3 − ω4 ) + M 34 + 1
a
3
dt
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
J4
d ω4
− b34 (ω3 − ω4 ) − M 34 = − M L ,
dt
(8.12)
dM 34
− k34 (ω3 − ω4 ) = 0.
dt
Na obr. 8.19 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupního
napětí Ua a pracovního momentu ML do úhlové rychlosti ω4 a pružného momentu M34, která
jsou shodná pro oba uvedené typy napájení.
Obr.8.19. Rozložení
R
póólů a nul v komplexní
k
r
rovině
Protože všechny póly
p
mají zápornou
z
reeálnou část (leží v levvé části kom
mplexní rov
viny),
splňuje souustava nutnoou podmínkku stability.
Na obr. 8.20 jsou zobrazeny
z
l
logaritmick
ké amplitudo
ová frekvennční charaktteristiky přeenosu
d úhlové rychlosti
r
ω4 pro oba zkoumané
z
t
typy
napájeení, mající jedno
j
vstupního napětí Ua do
m
kmitaat. Obě charrakteristiky jsou tvarovvě podobné a liší
výraznější maximum čili pohon může
ým zesíleníím operátoorových přeenosů
se pouze svou polohou. To jee způsobenno rozdílný
n
Ua doo úhlové ryychlosti ω4.
vstupního napětí
Obbr.8.20. Ampplitudová frrekvenční chharakteristikka přenosu vstupního nnapětí Ua
N obr. 8.21 jsou zobrazzeny odezvyy úhlové rycchlosti ω4 na
Na
n skok vstuupního napětí Ua.
v
nnapětí Ua
Obr.8.21. Oddezva úhlovéé rychlosti ω4 na skok vstupního
U
Ustálená
rychhlost při sérriovém napájení je polloviční vůčii ustálené ryychlostí při paralelním
m
napáj
ájení, což jee způsobenoo tím, že přii sériovém napájení je skok napěttí na každém
m z motorůů
polovviční.
N obr. 8.22 je odezva pružného
Na
p
moomentu M344 na skok prracovního m
momentu ML.
momentu ML
m
M34 na skok pracovního
p
Obr.8.22. Odezvaa pružného momentu
O
Odezva
úhloové rychlossti ω4 na skok napájeecích napěttí motorů vvykazuje zaanedbatelnéé
kmitání, zatímcoo u odezvy pružného momentu
m
M34 je toto kmitání
k
výraazné. Obě kmitání
k
jsouu
tlumená.
8.4
Pružná vazba mezi motory, tuhá vazba se strojem
Na obr. 8.23 je uveden model mechanické části dvoumotorového pohonu s motory vedle
sebe, v němž vazba mezi motory je pružná a vazba se strojem je tuhá. To znamená, že celá
mechanická soustava se redukuje na soustavu se třemi setrvačníky J1 = J2 = 0,411.10-6 kgm2 a
(J3 + J4) = 1,68.10-6 kgm2, pružné hřídele mezi motory a strojem mají torzní tuhosti
k13 = k23 = 0,486 Nmrad-1 a nulová proporcionální tlumení – b13 = b23 = 0. Na setrvačník J1
působí hnací moment M1, na setrvačník J2 působí hnací moment M2, setrvačník (J3 + J4) je
zatěžován pracovním momentem ML. Úhlové rychlosti setrvačníků jsou ω1, ω2, ω3.
J1
J3+J4
k13 b13
J2
k23 b23
ω3
ω1
ω2
Obr.8.23. Dvoumotorová soustava s pružnou vazbou mezi motory
8.4.1
Individuální napájení motorů
Při individuálním napájení motorů jsou jejich hnací momenty dány vztahy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M 1 = 1 U a1 −
1
Ra1
Ra1
2
(8.13)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 U a2 −
2
Ra 2
Ra 2
2
Modelující diferenciální rovnice mají v tomto případě tvar
( cΦ1 ) ω = cΦ1 U ,
dω1
+ b13 (ω1 − ω3 ) + M 13 +
1
a1
dt
Ra1
Ra1
2
J1
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U ,
d ω2
+ b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
J2
a2
2
dt
Ra 2
Ra 2
2
( J3 + J4 )
dω3
− b13 (ω1 − ω3 ) − M 13 − b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 = − M L ,
dt
(8.14)
dM 13
− k13 (ω1 − ω3 ) = 0,
dt
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0.
dt
Na obr. 8.24 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupních
napětí Ua1 a Ua2 a pracovního momentu ML do úhlové rychlosti ω3 a pružných momentů M13 a
M23.
Obr.88.24. Rozložžení pólů a nul v kompllexní roviněě
o
ch přenosů mají záporrné reálné ččásti (leží v levé částii
Prrotože všecchny póly operátorový
rovinny komplexxní proměnnné), splňuje soustava nu
utnou podm
mínku stabiliity.
N obr. 8.255 je zobrazena logaritm
Na
mická amp
plitudová frekvenční charakteristika přenosuu
vstuppního napěttí Ua1 (Ua2) do
d úhlové rychlosti
r
ω3.
Obr.8.255. Amplitudoová frekvenční charaktteristika přeenosu vstupnního napětíí Ua1
Chharakteristika má výrazzné maximuum, takže pohon
p
může kmitat.
N obr. 8.26 je zobrazenna odezva úhlové
Na
ú
rychllosti ω3 na skok napájecího napěttí Ua1 (Ua2),,
na obbr. 8.27 je odezva
o
pružžného momeentu M13 (M
M23) na skokk pracovníhoo momentu ML.
Obr.8.26. Odezva
O
úhloové rychlostti ω3 na sko
ok vstupníhoo napětí Ua11 (Ua2)
Obr.8.27. Odezzva pružného momentu M13 (M23) na
n skok praacovního moomentu ML
Oba pruužné momeenty kmitají tlumenýmii kmity, ve srovnání s případem ttuhé vazby mezi
motory je však
v
jejich amplituda
a
m
menší.
8.4.2
Paralelní a sériové naapájení mootorů
Při paraalelním napáájení motorůů jsou jejichh hnací mom
menty vyjáddřeny vztahhy
( cΦ1 ) ω ,
cΦ
M1 = 1 U a −
1
Ra1
Ra1
2
(8.15)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ
M 2 = 2 Ua −
2
Ra 2
Ra 2
2
a modelující diferenciální rovnice mají tvar
( cΦ1 ) ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b13 (ω1 − ω3 ) + M 13 +
a
1
dt
Ra1
Ra1
2
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U ,
d ω2
+ b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
J2
a
2
dt
Ra 2
Ra 2
2
( J3 + J4 )
dω3
− b13 (ω1 − ω3 ) − M 13 − b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 = − M L ,
dt
(8.16)
dM 13
− k13 (ω1 − ω3 ) = 0,
dt
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0.
dt
Při sériovém napájení motorů jsou jejich hnací momenty dány vztahy
( cΦ1 ) ω − cΦ1 cΦ 2 ω ,
cΦ1
M1 =
Ua −
1
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
(8.17)
( cΦ 2 ) ω .
cΦ 2
cΦ1 cΦ 2
ω1 −
M2 =
Ua −
2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
a modelující diferenciální rovnice mají v tomto případě tvar
( cΦ1 ) ω + cΦ1 cΦ 2 ω = cΦ1 U ,
dω
J1 1 + b13 (ω1 − ω3 ) + M 13 +
1
2
a
dt
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
( cΦ 2 ) ω = cΦ 2 U ,
d ω2
cΦ1 cΦ 2
+ b23 (ω2 − ω3 ) + M 23 +
J2
ω1 +
a
2
dt
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
Ra1 + Ra 2
2
( J3 + J4 )
dω3
− b13 (ω1 − ω3 ) − M 13 − b23 (ω2 − ω3 ) − M 23 = − M L ,
dt
(8.18)
dM 13
− k13 (ω1 − ω3 ) = 0,
dt
dM 23
− k23 (ω2 − ω3 ) = 0.
dt
Na obr. 8.28 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupního
napětí Ua a pracovního momentu ML do úhlové rychlosti ω3 a do pružných momentů M13 a
M23. Rozložení pólů a nul jsou stejná pro oba zkoumané typy napájení.
Obr.8.28. Rozložení
R
póólů a nul v komplexní
k
r
rovině
Všechnyy póly majjí zápornouu reálnou část
č
(leží v levé částii komplexnní roviny), takže
soustava spplňuje nutnoou podmínkku stability.
Na obrr. 8.29 jsoou zobrazeeny logarittmické am
mplitudové frekvenční charakteristiky
operátorovvých přenossů vstupníhoo napětí Ua do úhlovéé rychlosti ω3 pro obaa zkoumanéé typy
napájení.
Obbr.8.29. Ampplitudová frrekvenční chharakteristikka přenosu vstupního nnapětí Ua
Charaktteristiky maají výrazné maximum,
m
p
pohon
může při obou typech
t
napáájení kmitatt. Obě
charakterisstiky jsou tvvarově shoddné, liší se pouze svou
u polohou. To
T je způsoobeno rozdíílným
zesílením operátorový
o
ých přenosůů vstupního napětí Ua do
d úhlové ryychlosti ω4.
N obr. 8.30 je zobrazenna odezva úhlové
Na
ú
rychllosti ω3 na jednotkový
j
skok vstup
pního napětíí
Ua.
v
nnapětí Ua
Obr.8.30. Oddezva úhlovéé rychlosti ω3 na skok vstupního
U
Ustálená
rychhlost při sérriovém napájení je polloviční vůčii ustálené ryychlostí při paralelním
m
napáj
ájení, což jee způsobenoo tím, že přii sériovém napájení je skok napěttí na každém
m z motorůů
polovviční.
N obr. 8.311 je zobrazzena odezva pružného
Na
o momentu M13 (M23) na jednottkový skokk
pracoovního mom
mentu ML
Obr.8.31. Odezva prružného mom
mentu M13 (M
( 23) na skook pracovníího momenttu ML
Oba pružné momenty kmitají tlumenými kmity, ve srovnání s případem tuhé vazby mezi
motory je však jejich amplituda menší.
8.5
Závěr
Tato
kapitola
byla
zaměřena
na
vyšetřování
dynamiky
dvoumotorových
elektromechanických pohonů s motory malého výkonu v uspořádání vedle sebe při různých
mechanických vazbách jednak mezi motory a jednak mezi hnací jednotkou a strojem.
Zkoumán byl v této souvislosti zejména vliv možných způsobů napájení motorů nejen na
dynamiku samotného pohonu, ale i na kmitání pružných momentů ve spojovacích hřídelích
mezi jednotlivými částmi soustrojí. Prezentované výsledky ukázaly, že na rozdíl od
dvoumotorových pohonů s motory za sebou není vliv typu napájení na dynamiku
dvoumotorových pohonů s motory vedle sebe příliš výrazný. Přesto je třeba volbu typu
napájení zvažovat a to v závislosti na konkrétním užití takových pohonů. Podobným
způsobem získané výsledky pro konkrétní pohon mohou tedy především sloužit jako podklad
pro návrh řídících a regulačních obvodů.
Literatura
[1] Stradiot, J. a kol.: Dynamika strojov, ALFA Bratislava, ISBN 80-05-00756-6, Bratislava, 1961
[2] Szklarski, L.; Jaracz, K.; Horodecki, A.: Electric Drive Systems Dynamics, Elsevier
Amsterdam, ISBN 83-01-08584-3, Warszawa, 1990
[3] Čemus, J.; Hamata, V.: Obecné řešení dynamiky synchronních motorů, Academia
Praha, 1994
[4] Switoński, E. a kol.: Modelovanie mechatronicznych ukladów napedovych, vyd. Polit.
Slaskej, Gliwice, 2004
[5] Jegrov, V.N.; Šestakov, V.M.: Dinamika sistěm elektroprivoda, vyd. Eněrgoatomiydat,
Leningrad, 1983
[6] Kratochvíl, C.; Pulkrábek, J.; Půst, L.; Hortel, M.: Analysis of Complex Drive Systems,
ISBN 80-216-3286-3, Brno 2006
[7] Kubík, S.; Kotek, Z.; Strejc, V.; Štecha, J.: Teorie automatického řízení I., SNTL-TKI
Praha, 1982
[8] Kubík, S.; Kotek, Z.; Razím, M.; Hrušák, J.; Branžovský, J.: Teorie automatického
řízení II., SNTL-TKI Praha, 1982
[9] Kalous, J.; Kratochvíl, C.; Heriban P.: Dynamika rotačních elektromechanických
pohonů, ISBN 80-214-3340-X, Brno, 2007
[10] Kratochvíl, C.; Houfek, M.; Procházka, F.; Houfek, L.: Mechatronické pohonové
soustavy, ISBN 80-214-3319-1, Brno, 2006
[11] De Silva, C.W.: Mechatronics – An Integrated Approach, CRC Press, New York,
Woshington D.C., 2005
[12] Onwubolu, G.C.: Mechatronics – Principles and Applications, Elsevier, Amsterdam,
2005
[13] Giurgiutiu, V.; Lishevski, S.E.: Micromechatronics, CRC Press, London, New York,
2004
[14] Lishevski, S.E.: Nano- and Microelectromechanical Systems: Fundamental of Nanoand Microengineering, CRC Press LLC, Boca Raton, Florida, 2000
[15] Kratochvíl C. a kol.: Některé problémy dynamiky řízených systémů pohonů, Závěrečná
zpráva SPZV č. M-9/90, Brno, 1990
[16] Šácha P.: Výpočtové modelování vyzařování hluku z jednostupňové mechanické převodovky MKP, diplomová práce, ÚMT FS VUT v Brně, 1994
[17] Skubačevskij, G.S.: Izgibnyje kolebanija dětalej gazoturbinnych avidvigatělej, GIOP,
Moskva 1959
[18] Prigorjev, N.V.: Nelinejnyje kolebanija elemetov mašin i sodružij, GNTIML, Moskva
1961
[19] Franík P.: Nelineární projevy mechanických konstrukcí, Disertační práce, FAST VUT
v Brně, 2004
[20] Byrtus, M.: Kmitání převodových ústrojí se silnými nelinearitami ve vazbách. Disertační práce, ZČU v Plzni, FAV, 2006
[21] Turek, M.: Inteligentní řídicí člen aktivního magnetického ložiska, Disertační práce, FSI
VUT v Brně, 2006
[22] Krämmer, E.: Dynamics of Rotors and Foundations, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1993
[23] Doležal, Z.: Vztahy pro výpočty a kreslení progresivních tvarů čelních zubů a ozubení.
Zpráva VZLÚ Praha, 1992
[24] Cai, Y., Hayashi T.: The linear approximated equation of vibration of a pair of spur
gears (theory and experiment), Transactions of the ASME, Journal of Mechanical
Design, Vol. 116, pp. 558–564, 1994
[25] Kratochvíl, C. a kol.: Výpočtové modelování řízených pohonových soustav. Výzkumná
zpráva Katedry mechaniky FS VUT v Brně, č. 1583/91-1 v rámci SPZV č. III-4-1/0503,
Brno, 1991
[26] Fenin, Š.: Využitie piezoelektrického materiálu v potláčaní kmitania, Disertační práce,
STU Bratislava, 2006
[27] Děmidovič, B.P.: Lekcii po matěmatičeskoj těorii ustojčivosti, NAUKA Moskva, 1967
[28] Ioss, G., Joseph,D.D.: Elementary stability and bifurcation theory, Springer-Verlag,
New York, 1980
[29] Merkin, D.R., Uvedenie v těoriju ustojčivosti dviženija, NAUKA Moskva, 1971
[30] Robinson, C.: Dynamical systems, stability, simbolic dynamics and chaos, CRC Press
LLC, Boca Raton, Florida, 1990
[31] Khalil, H.K.: Nonlinear systems, 3rd edition, Prentice Hall, New Jersey, 2002
[32] Procházka, F.: Úvod do Ljapunovské teorie stability rovnovážných stavů, Výzkumná
zpráva ÚMTMB FSI VUT v Brně, Brno, 2005
[33] Kuo, B.C.: Automatic Control Systems, Prentice Hall, 1982
[34] Nykodým P.: Electric drive as nonlinear complex dynamic system, M.Sc. Thesis, BUT
Brno, 2004
[35] Chen, J.H.; Chau, K.T.: Analysis of Chaos in Current-Mode-Controled DC Drive
Systems, IEEE Trans. And Indust. Electronics, vol. 47, No. 1, Feb. 2000
[36] Honzák, A.: Komplexní nelineární dynamický systém se změnou parametrů, Diplomová
práce FEKT VUT v Brně, Brno, 2001
[37] Moon, F.C.: Chaotic Vibration, J. Willey & Sons, New York, 1987
[38] Žalud, Z.: Příspěvek k řešení spolehlivosti poháněcí soustavy bojových vozidel, Disertační práce, VA Brno, 1986
[39] Kratochvíl a kol.: Analýza dynamických vlastností mobilních technických soustav III,
Výzkumná zpráva z řešení projektu GAČR č.101/96/1652, Brno, 1998
[40] Havlíček, J.; Štyl, P.: Seznam makromodelů pro program SADYS, Zpráva ŽĎAS,
č.4-T29561–29576, Žďár nad Sázavou, 1990
[41] Mann, H.: Teorie strojních soustav II, skripta FS VUT v Brně, 1990
[42] Kratochvíl, C.; Heriban, P.; Kotek, V.: Simulation of Drive Systems using Multipole
Modelling, Zeszyty naukove polytechniky Slazskej, seria Mechanika, Nr. 1266,
pp. 159–164, Gliwice, 1995
[43] Mann, H.: Modifikovaná metoda uzlových napětí, Slaboproudý obzor č. 41, 1989
[44] Kratochvíl a kol.: Analýza dynamických vlastností mobilních technických soustav II,
Výzkumná zpráva z řešení projektu GAČR č.101/96/1652, Brno, 1997
[45] Ogorkiewicz, R.M.: Technology of Tanks, Janes Information Group Limited, 1991
[46] Žalud Z.: Příspěvek k analýze kmitání pásových vozidel, Sborník konference Inženýrská mechanika 97, 1997
[47] Kratochvíl, C.; Kotek, V.; Heriban, P.: Analýza dynamických vlastnosti planetové
převodovky, Výzkumná zpráva ÚMT FS VUT v Brně, 1992
[48] Heriban, P.; Kotek, V.; Kratochvíl, C.: Modelování interaktivních pohonových soustav,
Výzkumná zpráva projektu GAČR č. 101/93/0297, Brno, 1993