Elektromagnetické pole mikrotubulárn´ıho systému bunky

Elektromagnetické pole mikrotubulárn´ıho systému bunky

České Vysoké Učenı́ Technické v Praze
Fakulta Elektrotechnická
Katedra Elektromagnetického Pole
Elektromagnetické pole
mikrotubulárnı́ho systému buňky
Diplomová práce
Daniel Havelka
Praha, květen 2010
Ing. program: Telekomunikace a radiotechnika
Studijnı́ plán: Vysokofrekvenčnı́ a mikrovlnná technika
Vedoucı́ diplomové práce: Prof. Ing. Jan Vrba, CSc.
Konzultant specialista: Ing. Michal Cifra, PhD.
II
Prohlášenı́
Prohlašuji, že jsem zadanou diplomovou práci zpracoval sám s přispěnı́m vedoucı́ho
práce a použı́val jsem pouze literaturu v práci uvedenou.
Prohlášenı́ o souhlasu:
Prohlašuji, že souhlası́m s použitı́m tohoto školnı́ho dı́la fakultou ve smyslu § 60
Zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejı́cı́ch s právem autorským a o změně některých zákonů - autorský zákon.
III
Abstract
This diploma thesis is concerned with the electromagnetic field of cellular biological systems. The first chapter includes a brief depiction of a eukaryotic cell, its
structures and some cellular actions that might probably have something to do with
a generation of the electromagnetic field. Some types of cellular structures such as
cytoskeleton and mainly microtubules are treated in detail as they seem to be generators of the electromagnetic field. In the following chapter I write about Fröhlich
theory and experiments which are trying to confirm or oppose its validity. Following
this, a major part of this work is introduced; a script for the calculation of the
intensity of the electric and magnetic field generated by simple models of both symmetrical and asymmetrical microtubular net was made. Then the Poynting vector
and consecutively radiation power was calculated. Lastly, I present obtained results
and compare them with those gained by experiments.
Keywords:
cellular electromagnetic field, cytoskeleton, microtubules, Matlab
IV
Anotace
Tato práce se zabývá problematikou buněčného elektromagnetického pole. V úvodnı́
kapitole se zabýváme popisem eukaryotické buňky a jejı́mi základnı́mi strukturami,
které by mohli generovat elektromagnetické pole. Mikrotubuly, jako část cytoskeltu
eukaryotnı́ buňky, splňujı́ všechny podmı́nky pro generaci elektromagnetického pole.
V následujı́cı́ kapitole se zabýváme Fröhlichovou teoriı́ a experimenty, které se snažı́
tuto teorii potvrdit. Po této kapitole následuje stěžejnı́ část celé práce, a to vytvořenı́
skriptu pro výpočet intenzity elektrického a magnetického pole generované jednoduchým modelem symetrické a nesymetrické mikrotubulárnı́ sı́tě. Z těchto veličin
pak počı́táme Poyntingův vektor a následně i vyzářený výkon. Následujı́cı́ kapitola
se zabývá zı́skanými výsledky a diskutuje je s problematikou měřenı́.
Klı́čová slova
buněčné elektromagnetické pole, cytoskeleton, mikrotubuly, Matlab
V
Symboly a zkratky
Konstanty a zkratky použité v textu jsou shrnuty v následujı́cı́ tabulce. Některé
symboly mohou označovat vı́ce proměnných. V tomto přı́padě je význam v textu
upřesněn.
Symboly
p
(C m)
dipólový moment (1 D (debye) = 3,33564.10−7 C m)
Z
(Ω)
impedance
−1
k
(m )
konstanta šı́řenı́
I
(A)
proud
H
(A m−1 )
−1
intenzita magnetického pole
E
(V m )
intenzita elektrického pole
S
(W m−2 ) Poyntingův vektor
π
(−)
pı́ (3.141592653589793)
r
(m)
vzdálenost
x
(m)
složka souřadného systému, vzdálenost ve směru
y
(m)
složka souřadného systému, vzdálenost ve směru
z
(m)
složka souřadného systému, vzdálenost ve směru
−1
ε0
(F m )
permitivita vakua (8.854 .10−12 F m−1 )
εr
(-)
relativnı́ permitivita
µ0
(H m−1 )
permeabilita vakua (4π .10−7 H m−1 )
µr
(-)
relativnı́ permeabilita
σ
(S/m)
vodivost
ω
(rad s−1 )
úhlová frekvence
λ
(m)
vlnové délka
c
(m s−1 )
rychlost světla (3 .108 m s−1 )
f
(Hz)
frekvence
VI
ϑ
(rad)
úhel
ϑp
(rad)
úhel
φ
(rad)
úhel
η
(rad)
úhel
ηr
(rad)
úhel
ds
(rad)
úhel
ξ
(rad)
úhel
α
(rad)
úhel
Zkratky
EED
-
Elementárnı́ elektrický dipól
DM
-
Dipólový moment
LSS
-
Lokálnı́ soustava souřadná
GSS
- Globálnı́ soustava souřadná
EMP -
Elektromagnetické pole
IEP
- Intenzita elektrického pole
IMP
-
Intenzita magnetického pole
DEP
-
Dielektroforéza 3.1
PRR
-
Hϕ
Funkce posun rotace - rotace“
”
- Složka ve smyslu úhlu ϕ IMP EED (rovnice A.1)
Er
-
Radiálnı́ složka IEP EED (rovnice A.2)
Eϑ
-
Thetova složka IEP EED (rovnice A.3)
VII
To the Truth
VIII
Poděkovánı́
V prvnı́ řadě bych chtěl poděkovat vedoucı́mu diplomové práce Prof. Ing. Janu Vrbovi, CSc. a Ing. Michalu Cifrovi, PhD. za vytvořenı́ ideálnı́ch pracovnı́ch podmı́nek,
dále za hodnotné a věcné rady a připomı́nky k tématu a také za dobré nasměrovánı́
mé životnı́ cesty.
Dále patřı́ můj vděk celé skupině doktorandů profesora Jana Vrby, kteřı́ mi
umožnili využı́t jejich výpočetnı́ aparát.
Taktéž děkuji Ing. Ondřeji Kučerovi za jeho podnětné připomı́nky a syntaxi
sazebnı́ho programu Tex.
V neposlednı́ řadě bych chtěl poděkovat svým rodičům, své přı́telkyni Daně
Sládkové a jejı́ rodině, kteřı́ mi vytvořili podmı́nky pro napsánı́ této práce a umožnili
mi studium na Českém vysokém učenı́ technickém v Praze.
IX
Seznam obrázků
2.1
Bakterie [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Rostlinná buňka [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3
Živočišná buňka [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Struktura mitochondrie [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.5
Morfologický vztah mezi a) mitochondriemi a b) mikrotubuly. Imunofluorescenčnı́ snı́mky [1]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Trojrozměrný průřez plazmatickou membránou
. . . . . . . . . . . .
2.7
Buněčná membrána se zjednodušeným ekvivalentnı́m náhradnı́m ob-
6
7
vodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.8
Cytoskeleton [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.9
Mikrofilamentum [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.10 Mikrotubulus a jeho součásti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.11 Tubulin heterodimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
~ kde d je vzdálenost mezi náboji s opačnými
2.12 Dipólový moment p~ = q.d,
znaménky a q je velikost náboje
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.13 Tubulin heterodimer dipole moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.14 a) Mikrotubulus složený z 13 protofilament s mřı́žkou A b) Plášt’
rozvinutého mikrotubulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.15 Centrozom
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.16 Růst mikrotubulu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.17 Princip rozpadu mikrotubulu. a) Změna konformace protofilamenta
hydrolýzou GTP, b) Ztráta GTP - capu vede k rozpadu mikrotubulu
16
2.18 a) Typy motorových proteinů a jejich směr pohybu b) Struktura motorového proteinu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.19 Buněčný cyklus. Vnitřnı́ kruh je rozdělen do G1, G0, S, G a mitózy
a prostřednı́ kruh je rozdělen na I (interfáze) a M (M-fáze) . . . . . . 19
2.20 Buněčné dělenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.21 Mitotické vřeténko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
X
3.1
a) Dielektroforetický efekt řasy Monoraphidium griffithii, b) demonstruje dielektroforetický efekt řasy Netrium digitus
. . . . . . . . . . 27
3.2
Struktura vázané a volné vody
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1
Módy a) 0, b) 8 a c) 26 na prvnı́m protofilamentu s 50 heterodiméry.
Každý heterodimér je reprezentován kolečkem . . . . . . . . . . . . . 32
4.2
Módy a) 40, b) 50 na prvnı́m protofilamentu s 50 heterodiméry. Každý
heterodimér je reprezentován kolečkem . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3
Intenzita elektrického pole v logaritmickém měřı́tku 1 nm nad stěnou
mikrotubulu. a) mód 25 a b) mód 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4
Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 0. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr
4.5
Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 8. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr
4.6
. . 34
. . 35
Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 26. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr . . 36
4.7
Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 40. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr . . 37
4.8
Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 50. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr . . 38
4.9
Zobrazenı́ řezů, ve kterých jsou porovnávány módy 0, 8, 26, 40 a 50.
Modré čáry značı́ vzdálenosti podél osy mikrotubulu a černé (čárkovaná)
značı́ radiálnı́ vzdálenosti od středu a od konce mikrotubulu . . . . . 39
4.10 Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 90 nm 40
4.11 Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 50 nm 41
4.12 Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 23 nm 42
4.13 Veličiny a) E, b) H a c) S v závislosti na vzdálenosti radiálně od konce
mikrotubulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.14 Veličiny a) E, b) H a c) S v závislosti na vzdálenosti radiálně od
středu mikrotubulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.15 a) Zobrazenı́ mikrotubulu v soustavě souřadné b) Umı́stěnı́ elementárnı́ho
elektrického dipólu v soustavě souřadné
. . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.16 Mikrotubul s posunutými protofilamenty a zobrazenı́ dipólového momentu heterodimerů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.17 Struktura funkce posun rotace-rotace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.18 Plášt’ mikrotubulu s posunem protofilament v mřı́žce A . . . . . . . . 50
XI
4.19 Natočenı́ mikrotubulu ve smyslu úhlů ζ, ds a χ . . . . . . . . . . . . . 51
4.20 Výpočet natočenı́ dipólového momentu - úhly η a ξ . . . . . . . . . . 51
4.21 Vyjádřenı́ úhlu alfa mezi směrem Sstr a Sr . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1
Rovnoměrné rozloženı́ mikrotubulů na sférické ploše o průměru 200
nm. Mikrotubuly znázorněny červeně . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2
Nerovnoměrné rozloženı́ mikrotubulů na sférické ploše o průměru 200
nm. Mikrotubuly znázorněny červeně . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3
Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány
pro frekvenci oscilacı́ 1 kHz pro módy 0, 10, 50, 100 a 150. a) ztrátové
prostředı́ b) bezeztrátové prostředı́ (symetrický model) . . . . . . . . 58
5.4
Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány
pro frekvenci oscilacı́ 42 GHz pro módy 0, 10, 50, 100 a 150. a) ztrátové
prostředı́ b) bezeztrátové prostředı́ (symetrický model) . . . . . . . . 58
5.5
Výkony v jednotlivých frekvencı́ch pro mod 0. a) ztrátové prostředı́
b) bezeztrátové prostředı́ (symetrický model) . . . . . . . . . . . . . . 59
5.6
Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány
pro frekvenci oscilacı́ 1 kHz a mod 0. a) ztrátové prostředı́ b) bezeztrátové prostředı́ (nesymetrický model) . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.7
Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány
pro frekvenci oscilacı́ 42 GHz a mod 0. a) ztrátové prostředı́ b) bezeztrátové prostředı́ (nesymetrický model) . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.8
Výkony v jednotlivých frekvencı́ch pro mod 0. a) ztrátové prostředı́
b) bezeztrátové prostředı́ (nesymetrický model) . . . . . . . . . . . . 60
5.9
Vzájemné porovnánı́ obou modelů ve ztrátovém prostředı́ pro všechny
frekvence při buzenı́ mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. N - nesymetrické rozloženı́ mikrotubulů, S - symetrické rozloženı́ mikrotubulů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.10 Vzájemné porovnánı́ obou modelů v bezeztrátovém prostředı́ pro všechny
frekvence při buzenı́ mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. N - nesymetrické rozloženı́ mikrotubulů, S - symetrické rozloženı́ mikrotubulů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.11 Intenzita elektrického pole počı́taná v závislosti na vzdálenosti od
pólu“ nebo rovnı́ku“ buňky. N - nesymetrické rozloženı́ mikrotu”
”
bulů, S - symetrické rozloženı́ mikrotubulů . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.1 Umı́stěnı́ elementárnı́ho elektrického zářiče v soustavě souřadné . . . 67
XII
B.1 Lokálnı́ soustava souřadná a tubulinový heterodimer
. . . . . . . . . 73
B.2 Posun z globálnı́ soustavy souřadné do soustavy s jednou čárkou
. . 75
B.3 Natočenı́ ve směru úhlu ηr , přechod soustavy s jednou čárkou do
soustavy se dvěma čárkami
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B.4 Natočenı́ ve smyslu úhlu ξr , přechod soustavy se dvěma čárkami do
soustavy se třemi čárkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
B.5 Dipól v lokálnı́ soustavě souřadné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
C.1 Lineárnı́ dvouhmotnostnı́ řetěz hmotných bodů . . . . . . . . . . . . 79
C.2 Kladná (modrá) - optická větev a záporná (zelená) - akustická větev
81
D.1 Radiálnı́ (Sr ) a tečná (St ) část střednı́ hodnoty Poyntingova vektoru . 83
XIII
Seznam tabulek
2.1
Komponenty dipólových momentů |~pαβ | v karteziánské soustavě souřadné.
Osa MT se shoduje s osou X. Osa Y je orientována radiálně k ose
MT a osa Z je tečná povrchu MT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1
Frekvence detekované Hölzelem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2
Částečky použité v µ-DEP experimentech . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1
Parametry ztrátového prostředı́ pro jednotlivé frekvence
4.2
Parametry bezeztrátového prostředı́ pro jednotlivé frekvence . . . . . 45
4.3
Podélné posunutı́ protofilament v mřı́žce A
4.4
Rozloženı́ členů složky Eϑ do jednotlivých podlažı́ 3D matice. Čı́sla
. . . . . . . 45
. . . . . . . . . . . . . . 49
v indexu znamenajı́ mocninu členu jkr . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5
Rozloženı́ členů složky Er do jednotlivých podlažı́ 3D matice. Čı́sla v
indexu znamenajı́ mocninu členu jkr
4.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Rozloženı́ členů složky Hϕ do jednotlivých podlažı́ 3D matice. Čı́sla
v indexu znamenajı́ mocninu členu jkr . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7
Kombinace členů složek Eϑ , Er a Hϕ pro výpočet Poyntingova vektoru. Čı́sla v indexu znamenajı́ mocninu členu jkr . . . . . . . . . . . 53
D.1 Kombinace členů složek Eϑ , Er a Hϕ pro výpočet Poyntingova vektoru 85
XIV
Obsah
Prohlášenı́
III
Abstract
IV
Symboly a zkratky
VI
Poděkovánı́
IX
1 Úvod
1
2 Buňka
2
2.1
Krátce o eukaryotické buňce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Mitochondrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
Elektrické pole okolo mitochondriı́ . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Plazmatická membrána . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.1
Plazmatická membrána jako kapacitor . . . . . . . . . . . . .
7
Cytoskelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4.1
Intermediálnı́ filamenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4.2
Mikrofilamenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
2.4
2.5
Mikrotubuly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1
Tubulin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.2
Typy mikrotubulárnı́ch mřı́žek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.3
Růst mikrotubulů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.4
Dynamická nestabilita mikrotubulů . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.5
Mikrotubuly organizujı́ vnitřek buňky pomocı́ motorových proteinů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6
Fáze buněčného života . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.1
Popis jednotlivých etap M-fáze . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.2
Změny cytoskeletu při M-fázi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
XV
3 Fröhlichova teorie, experimenty a buněčné elektromagnetické pole 24
3.1
3.2
Fröhlichova teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1
Měřenı́ vibracı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2
Přı́má měřenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3
Nepřı́má měřenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Generace buněčného elektromagnetického pole . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1
Zdroj energie pro mechanické vibrace mikrotubulů . . . . . . . 28
3.2.2
Transformace energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Jednoduchá mikrotubulárnı́ sı́t’ - star model
4.1
30
Buzenı́ mikrotubulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1
Podélná vlna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2
Parametry prostředı́, frekvence, dipólový moment a ϑ . . . . . . . . . 39
4.3
Popis skriptu pro výpočet celkového vyzářeného výkonu z buněčné
sı́tě mikrotubulů
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4
Hlavnı́ zdrojový kód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5
Funkce PRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6
4.5.1
Funkce rotaceMTaDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.2
Funkce rotace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Výpočet Poyntingova vektoru a výkonu . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Výsledky z programu Matlab a diskuse
56
5.1
Výsledky z programu Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2
Diskuse výsledků k měřı́cı́ metodice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 Závěr
65
A Složky elektrického a magnetického pole elementárnı́ho elektrického
dipólového zářiče
67
A.1 Úprava složek elementárnı́ho elektrického dipólu pro program Matlab
69
B Odvozenı́ funkce PRR (posun-rotace-rotace)
73
C Aproximace longitudinálnı́ch vibracı́ tubulinových heterodimérů
79
D Analýza přı́spěvků do radiálnı́ části Poyntingova vektoru v blı́zké
82
zóně Hertzova dipólu
D.1 Přı́spěvky složek IEP a IMP v bezeztrátovém prostředı́ . . . . . . . . 85
XVI
E Nepřesnosti v Matlabu
86
List of Publications
88
References
88
XVII
Kapitola 1
Úvod
Tato práce se předevšı́m zabývá výpočtem elektromagnetického pole z jednoduchého
modelu mikrotubulárnı́ sı́tě eukaryotické buňky. V úvodu práce je popsána základnı́
buněčná biologie, která souvisı́ z daným tématem. Stěžejnı́ částı́ této kapitoly je popis
mikrotubulů a jeho podjednotek tubulinových heterodimérů, jako pravděpodobných
zdrojů buněčného elektromagnetického pole. Tyto podjednotky jsou vysoce polárnı́
struktury, které svojı́ mechanickou oscilacı́ mohou generovat elektromagnetické pole
ve svém okolı́. Toto buněčné elektromagnetické pole může mı́t dalekosáhlý dosah a
může způsobovat interakce mezi vzájemně oddělenými systémy. Nejen o principu
vzájemných dalekosáhlých interakcı́ vypovı́dá následujı́cı́ kapitola, ve které jsou
nastı́něny základy Fröhlichovy teorie a uvádı́me jen několik přı́mých i nepřı́mých
důkazů o platnosti této teorie. Následujı́cı́ část, která je jádrem celé práce, se zabývá
aproximacı́ mechanických vibracı́ mikrotubulu, které generujı́ elektromagnetického
pole. Jako aproximaci elektrických vlastnostı́ základnı́ stavebnı́ jednotky mikrotubulů - tubulinových heterodimérů jsme zvolili elementárnı́ elektrický dipól. S touto
aproximacı́ dále pracujeme a výsledkem této části je soubor skriptů, které popisujı́ jednoduchý model symetrické a nesymetrické mikrotubulárnı́ sı́tě. Pomocı́ tohoto modelu jsme schopni počı́tat jak vektor intenzity elektrického a vektor magnetického pole tak i výkon vyzářený jednoduchou mikrotubulárnı́ sı́tı́. V závěru práce
porovnáváme a vypočı́tané výsledky s experimentálně zı́skanými daty a hodnotı́me
relevantnost modelu.
1
Kapitola 2
Buňka
Všechno živé na Zemi je složeno z buněk. Tyto malé membránou ohraničené útvary
jsou vyplněny koncentrovaným chemickým roztokem a majı́ jedinečnou schopnost se
dělit. Buňky jsou složité neustále se měnı́cı́ systémy. Obsahujı́ velké množstvı́ makromolekulárnı́ch struktur a majı́ schopnost reprodukce a výměnu hmoty a energie s
okolı́m. S přı́chodem mikroskopu v 17. stoletı́ bylo možné poprvé buňky spatřit.
Termı́n
buňka“ zavedl Robert Hooke, který v roce 1665 informoval královskou
”
společnost v Londýně o objevu malých komůrek uvnitř korkové struktury, které
nazval buňky. O buňkách bylo již napsáno mnoho publikacı́, a proto se v této
práci nebudeme zabývat podrobnostmi, které nemajı́ ještě doposud zřejmý vztah
k řešené problematice. Pro důkladnějšı́ pochopenı́ odkazujeme čtenáře na práci Albertse [1] a dalšı́ publikace. Buňky dělı́me podle toho, jestli majı́ nebo nemajı́ jádro,
1 mm
cytosolové
ribosomy
buněčná plazmatická
stěna
membrána
bičík
DNA
Obrázek 2.1: Bakterie [1]
do dvou skupin: prokaryota a eukaryota. Prokaryota jsou vývojově staršı́m typem jednobuněčných organismů, je o řád menšı́ než eukaryotická buňka, vyznačuje
se jednoduššı́ stavbou, nikdy netvořı́ složitějšı́ struktury (funkčně a morfologicky
diferencované tkáně), nemá diferencované jádro a rozmnožuje se přı́mým dělenı́m
(amitózou). Typickým zástupcem jsou bakterie (obrázek 2.1). Eukaryotické buňky
2
2.1. KRÁTCE O EUKARYOTICKÉ BUŇCE
3
jsou ve srovnánı́ s prokaryotickými složitějšı́, většı́, majı́ diferencované jádro, velké
množstvı́ organel s membránou, převážně tvořı́ mnohobuněčné organismy ale také
jednobuněčné (kvasinky a jednobuněčné řasy). Všechny rostliny, houby a živočichové
jsou složeny z tohoto typu buněk.
2.1
Krátce o eukaryotické buňce
mikrotubulus jaderný
kapalinou
pór
cytosolové
naplněná
peroxisom
ribosomy
vakuola
buněčná
chromatin
aktinová
chloroplast
stěna
(DNA)
vlákna
plazmatická
membrána
Golgiho
aparát
jádro
membrána
vakuoly
(tonoplast)
jadérko
endoplazmatické
retikulum
lyzosom
mitochondrie
5 mm
Obrázek 2.2: Rostlinná buňka [1]
Eukaryotické buňky majı́ svůj vnitřnı́ obsah (protoplast) ohraničeny dvouvrstevnou plazmatickou polopropustnou membránou. U rostlinných buněk (obrázek 2.2)
je ještě nad touto membránou buněčná stěna. Hlavnı́mi funkcemi těchto povrchů je
předevšı́m ochrana buňky, transport látek do a z buňky a výměna informacı́. Již
zmı́něný buněčný obsah, protoplast obsahuje cytoplazmu a v nı́ plovoucı́ organely,
jádro a buněčné inkluze. Jádro (nucleus) je většinou považováno za nejdůležitějšı́
organelu, má jako jediné sférický tvar, je uzavřeno do dvou soustředných membrán,
řı́dı́ činnost buňky, obsahuje dlouhé polymery RNA a přenášı́ dědičnou informaci.
Ostatnı́ buněčné organely jsou zpravidla děleny do dvou skupin. Do prvnı́ sku-
2.2. MITOCHONDRIE
4
piny patřı́ nadmolekulárnı́ komplexy (ribozomy) a do druhé patřı́ organely s jednou
buněčnou membránou (endoplazmatické retikulum, Goldgiho aparát, vakuoly aj.)
nebo se dvěma membránami (plastidy, mitochondrie). Mitochondrie jsou malé továrny“
”
mikrotubulus
centrozóm
s dvojicí centriol
chromatin
(DNA)
jaderný
pór
extracelulární matrix
jaderný obal
váčky
lyzosom
aktinová
vlákna
jadérko
peroxisom
cytosolové
ribosomy
Golgiho
aparát
intermediální
filamenta
plazmatická
membrána
jádro
endoplazmatické
retikulum
mitochondrie
5 mm
Obrázek 2.3: Živočišná buňka [1]
na energii v podobě ATP (adenosintrifosfát), umožňujı́ buněčné dýchánı́ a podle poslednı́ch vědeckých výzkumů jsou mitochondrie jedny z možných dodavatelů energie
pro mechanické vibrace mikrotubulů. Celá buňka je prostoupena cytoskeletem,
který vytvářı́ opěrný systém buňky, držı́ jejı́ tvar, chránı́ ji a umožňuje jejı́ pohyb.
Je to dynamický systém složený ze třı́ typů vláken: mikrotubulů, intermediálnı́ch
filament a mikrofilament. Plazmatická membrána je polopropustná vrstva, která se
skládá z lipidové dvouvrstvy a bı́lkovin vnı́ ukotvených. Cytoskelet umožňuje propojenı́ mezi vnitřnı́m prostředı́m a plazmatickou membránou. Obě zmı́něné struktury,
cytoskelet a plazmatická membrána, jsou pravděpodobnými původci buněčného
elektromagnetického pole, a proto jim budeme dále věnovat vı́ce pozornosti.
2.2
Mitochondrie
Mitochondrie transformujı́ energii z molekul jı́dla“ (tuky, karbohydráty, bı́lkoviny)
”
na ATP (adenosin-tri-fosfát), prakticky se vyskytujı́ skoro ve všech eukaryotnı́ch
2.2. MITOCHONDRIE
5
buňkách a patřı́ mezi nejnápadnějšı́ organely v cytoplazmě. Tyto dynamické a plastické organely majı́ na svém povrchu membránu a obsahujı́ vlastnı́ DNA. Mitochondrie
strana cytosolu
krista
matrix
vnitřní
membrána
vnější
membrána
mezimembránový
prostor
Obrázek 2.4: Struktura mitochondrie [2]
majı́ většinou tvar podlouhlých válců s průměrem 0, 5 − 1µm. Mitochondrie majı́
vnějšı́ a vnitřnı́ membránu, přičemž každá má svoji specifickou funkci. Tyto dvě
membrány vymezujı́ v mitochondrii prostory známé jako matrix a mezimembránový
prostor. Vnějšı́ membrána obsahuje mnoho porinových molekul, což jsou typy
transportnı́ch molekul, které tvořı́ velké vodnı́ kanály skrz lipidovou dvojvrstvou.
Tato membrána připomı́ná sı́to prostupné pro molekuly menšı́ než 5000 Daltonů1 .
Tak malé molekuly mohou vstupovat do mezimembránového prostoru, čı́mž vytvořı́
chemický obsah podobný chemickému obsahu cytosolu. Hlavnı́ pracujı́cı́ část mitochondrie je matrix ohraničená vnitřnı́ membránou, která vytvářı́ kristy (jednotné
čı́slo krista), pro zvýšenı́ povrchu. Vnitřnı́ membrána je odlišná od té vnějšı́.
Tato membrána nepropouštı́ ionty a obsahuje různorodé proteiny určené k transportu složek, které jsou metabolizovány nebo vyžadovány mnoha mitochondriálnı́mi
enzymy koncentrovanými v matrix. Majı́ sklon se formovat do vláken podél mikrotubulů, které určujı́ orientaci a rozloženı́ mitochondriı́ v buňce.
2.2.1
Elektrické pole okolo mitochondriı́
Je známo, že v okolı́ mitochondriı́ je nižšı́ pH, což je doprovázeno vysokou koncentracı́ protonů v okolı́ mitochondriı́. S rostoucı́ vzdálenostı́ od mitochondriı́ klesá
koncentrace protonů. Vzhledem k tomu, že každý proton má náboj, je zde i gradient
potenciálu, který vytvářı́ elektrické pole. Tyner a kol. [3] zjistili použitı́m nano 1
1 Dalton je váha jednoho atomu vodı́ku.
2.3. PLAZMATICKÁ MEMBRÁNA
6
micelek2 , které obsahovaly na elektrickém poli závislé fluorescenci barvivo, že elektrické pole z mitochondrii proniká až do hloubky několika µm do cytosolu, což je
překvapivě hluboko. Toto statické elektrické pole pocházı́ pravděpodobně z difúze
protonů z mitochondriı́. Intenzita elektrického pole v cytosolu dosahuje hodnoty
až 106 V /m. Je dobře známo, že sı́t’ mitochondriı́ kopı́ruje mikrotubulárnı́ sı́t’ (viz.
[1] a obrázek 2.5). Prostorová rozloženı́ mitochondriı́ s mikrotubuly spolu s velkým
statickým elektrickým polem okolo mitochondriı́ může způsobovat nelineárnı́ transformaci náhodné vibračnı́ energie do kvazi-koherentnı́ formy (podrobněji v 3.1).
Obrázek 2.5: Morfologický vztah mezi a) mitochondriemi a b) mikrotubuly. Imunofluorescenčnı́ snı́mky [1]
Mitochondrie jsou zdrojem fotonové emise v rozsahu od vzdáleného IR, blı́zkého
IR [4, 5] přes viditelné spektrum k UV [6]. Blı́zké IR zářenı́ je napojeno na produkci tepla v mitochondriı́ch. Ačkoliv blı́zké IR, viditelné a UV zářenı́ vyžaduje
elektronovou excitaci. Tento efekt je zajištěn pomocı́ dýchacı́ho řetězce, kde elektrony mohou proniknout předčasně do kyslı́ku, aby vytvořily reactive oxygen species
(ROS - reaktivnı́ formy kyslı́ku). Reakce ROS mohou zvednou fotonovou emisi.
2.3
Plazmatická membrána
Plazmatická membrána, také někdy nazývána buněčná membrána nebo plazmalema,
je 7 nm široká semipermeabilnı́ dvouvrstva fosfolipidů obsahujı́cı́ různé bı́lkoviny,
které jsou vedeny napřı́č touto dvojvrstvou nebo paralelně s nı́ jako vlákna (obrázek
2.6). Lipidová dvouvrstva se obecně chová jako dvoudimenzionálnı́ roztok, ve směru
2
Micely jsou shluky povrchově aktivnı́ch molekul rozptýlených v tekutém koloidu. Typické mi-
cely ve vodném roztoku vytvářı́ agregáty s hydrofilnı́ částı́ molekuly orientovanou do vodného
prostředı́ a hydrofóbnı́ částı́ skrytou uvnitř. Tvar majı́ micely nejčastěji kulovitý, ale mohou
vytvářet i válce, elipsoidy a dvojvrstvy.
2.3. PLAZMATICKÁ MEMBRÁNA
7
Obrázek 2.6: Trojrozměrný průřez plazmatickou membránou
kolmém na dvouvrstvu má vlastnosti jako měkká pevná látka. Membránové proteiny
kvasinek se dělı́ do několika třı́d: cytoskeletárnı́ kotvy, enzymy pro syntézu buněčné
stěny, proteiny pro transmembránovou signálovou transdukci (přeměna jednoho stimulu na druhý), proteiny pro přenos rozpuštěných látek (permease, kanály, ATP).
Membránové proteiny majı́ následujı́cı́ funkce: určujı́ propustnost přes membránu,
regulujı́ výživu kvasinek a vylučujı́ nežádoucı́ molekuly ven. Fröhlich se domnı́val, že
membránové proteiny hrajı́ důležitou roli v generaci buněčného elektromagnetického
pole (viz. 3.1). Lipidové dvouvrstvy bez proteinu jsou vysoce nepropustné pro ionty.
Plazmatická membrána kvasinek se může vchlı́pit do cytosolu.
2.3.1
Plazmatická membrána jako kapacitor
Nevodivá buněčná membrána obklopená mimobuněčným a vnitrobuněčným, lehce
vodivým, prostředı́m se chová efektivně jako kapacitor (kapacitance Cm ) s paralelnı́m
odporem (Rm ), viz. obrázek 2.7. Impedance ekvivalentnı́ho náhradnı́ho obvodu z
obrázku 2.7 je dána rovnicı́ 2.1 a 2.2.
Rm + jXm
Rm .jXm
1
= −
ωCm
Zm =
(2.1)
Xm
(2.2)
2.4. CYTOSKELET
8
+ + + + + + +
~
-
-
-
-
-
-
Cm
Rm
-
Obrázek 2.7: Buněčná membrána se zjednodušeným ekvivalentnı́m náhradnı́m obvodem
1
= Gm + jBm
Zm
1
=
Rm
= ωCm
Ym =
(2.3)
Gm
(2.4)
Bm
(2.5)
X je reaktance (imaginárnı́ část impedance) membrány, ω je 2πf , f frekvence aplikovaného pole. Vyjádřeme elektrické chovánı́ membrány pomocı́ jejı́ admitance:
Gm je konduktance (reálná část admitance) membrány a Bm je susceptance (imaginárnı́ část admitance). Odpor membrány Rm je poměrně velký 3 a z toho plyne, že
membránová vodivost Gm =
1
Rm
je poměrně malá. Susceptance Bm je velmi malá pro
nı́zké frekvence. Toto je důvod, proč buněčná membrána působı́ jako jakási zed’“ pro
”
statické a nı́zkofrekvenčnı́ pole, které se nemůže dostat do buňky. Nicméně, statické
a nı́zkofrekvenčnı́ pole může mı́t vliv na funkci membrány a membránové receptory
pomocı́ redistribuce iontů na membráně. Pro vysoké frekvence je membránový odpor zkratován přes paralelnı́ kapacitor. To znamená, že vysokofrekvenčnı́ elektrické
pole se může dostat z prostoru vně buňky do vnitrobuněčného prostoru a vysokofrekvenčnı́ pole vygenerované uvnitř buňky může proniknout do prostředı́ mimo
buňku.
2.4
Cytoskelet
Cytoskelet je složitý systém proteinových vláken a tubulů (mikrotubulů, intermediálnı́ch
filament a mikrofilament), které jsou vzájemně provázány a tvořı́ dohromady vnitřnı́
kostru eukaryotické buňky (obrázek 2.8) Tento systém vláken je velmi pevná, ale
zároveň tvárná a přizpůsobivá dynamická struktura umožňujı́cı́ buňce měnit tvar,
3
Odpor objemového vodiče může být vyjádřen vztahem R ∼
l
σS ,
vodiče cesty, l délka objemového vodiče a σ měrná vodivost vodiče
kde S je průřez objemového
2.4. CYTOSKELET
9
mikrofilamenta
mikrotubuly
střední filamenta
Obrázek 2.8: Cytoskeleton [2]
pohybovat se a reagovat na okolnı́ změny prostředı́. Vlákna, jejichž délka je srovnatelná s velikostı́ buňky, umožňujı́ transport látek a buněčných organel a také se
podı́lejı́ na oddělovánı́ chromozómů při mitóze. Následuje popis jednotlivých typů
vláken cytoskeletu.
2.4.1
Intermediálnı́ filamenta
Intermediálnı́ filamenta (InFi), též střednı́ filamenta, jsou vlákna o průměru 10nm,
která jsou tvořena z různých druhů proteinů (např. laminem a keratinem) jsou
považována za nejpevnějšı́ a nejodolnějšı́ typ cytoskeletárnı́ch vláken. InFi se skládajı́
z protáhlých dimerů fibrilárnı́ch proteinů s globulárnı́mi hlavicemi na obou koncı́ch.
InFi vznikajı́ stočenı́m několika vláken (tetrameru), vytvořených napojenı́m již zmı́něných
fibrilárnı́ch proteinů s globulárnı́mi hlavicemi. Vytvářejı́ dvourozměrné dynamické
sı́tě kolem jádra (jaderná intermediálnı́ filamenta) a odtud v podobě lineárnı́ch,
méně dynamických, struktur zasahujı́ až k periferiı́m buňky (cytoplazmatická intermediálnı́ filamenta), kde jsou často zakotvena v mı́stech mezibuněčných spojů.
Jejich hlavnı́ úlohou je zpevňovat buňku a hrajı́ také roli v buněčné signalizaci [7].
2.4.2
Mikrofilamenta
Mikrofilamenta, neboli aktinová vlákna, jsou polárnı́ vlákna, která se skládajı́ z
molekul aktinu a jsou formována do dvou spirálovitě stočených vláken o průměru
5 - 9 nm. Tyto vlákna jsou nejvı́ce koncentrována pod plazmatickou membránou.
Molekuly aktinu jsou globulárnı́ch proteiny (G-aktin - zhruba 42-kDa proteinů),
které polymerizujı́ do formy vláken (F-actins), které jsou vzájemně stočeny o 166◦
(obrázek 2.9). U aktinových vláken je možné určit kladný a záporný konec vlákna.
2.5. MIKROTUBULY
10
G-actin
F-actin
Obrázek 2.9: Mikrofilamentum [2]
S mikrofilamentem jsou spojeny molekulové motory myosiny. Nejběžnějšı́ jsou tyto
dva typy: myosin I a II. Myosin I je složen z globulárnı́ hlavičky a krátké fibrilárnı́
části a specificky interaguje s určitými typy buněčných struktur (membránové váčky,
cytoplazmatická membrána). Myosin II se nejvı́ce vyskytuje ve svalových buňkách.
Molekuly myosinu II, tvořené globulárnı́ hlavičkou a delšı́ fibrilárnı́ částı́, se pomocı́ fibrilárnı́ch částı́ antiparalelně navazujı́ a takto vytvořené dimery se spojujı́ s
opačnou orientacı́ a vzniká kontraktilnı́ svazek. Mezi jejich hlavnı́ funkce patřı́ stabilizace tvaru membrán, pohyb buňky, transport organel a membránových váčků.
2.5
Mikrotubuly
Mikrotubuly (MTs) jsou vysoce polárnı́ (chemicky i elektricky) tvarovatelné a dynamické struktury. Připomı́najı́ duté trubky s vnitřnı́m a vnějšı́m průměrem 17nm
a 25nm [8] (obrázek 2.10). MTs jsou většinou složeny z 13 protofilament, jejichž stamikrotubulus
- konec
+ konec
25nm
17nm
tubulinový
heterodimer
a - tubulin
b - tubulin
protofilamentum
Obrázek 2.10: Mikrotubulus a jeho součásti
vebnı́ jednotkou je protein tubulin. Jednotlivá protofilamenta vznikajı́ vzájemným
spojenı́m tubulinových heterodimerů, jak je vidět na obrázku 2.10. V protofilamentu
se vzájemně střı́dajı́ α-tubulin a β-tubulin, a proto je každé protofilamentum strukturně polárnı́, s α-tubulinem na jednom konci a s β-tubulinem na konci druhém.
Konec mikrotubulu s vyčnı́vajı́cı́m β-tubulinem se nazývá plus konec a druhý zakončený α-tubulinem se nazývá minus konec.
2.5. MIKROTUBULY
2.5.1
11
Tubulin
Protein tubulin je základnı́ jednotka mikrotubulů, která se shromažd’uje do protofilament. Tubulin je heterodimér4 skládajı́cı́ se z α-tubulinu a β-tubulinu (obrázek 2.10).
Každý tubulinový heterodimer má objem okolo 55 kDa a skládá se z 440 amino ky-
Obrázek 2.11: Stužkou reprezentovaný tubulinový heterodimer zı́skaný pomocı́ elektronové krystalografie. Viditelné molekuly GTP (v α-tubulinu, napravo) a GDP
(v β-tubulinu, nalevo) . β-tubulin obsahuje vázaný taxol. Zobrazenı́ neobsahuje Ctermini domény
selin, cca. 7000 atomů [9]. Monomer je složen ze dvou β-skládaných listů, které jsou
obklopeny α-spirálami. Struktura monomeru může být rozdělena do třı́ domén:
• amino-terminalová doména je vazebnı́ mı́sto pro nukleotidy (GTP or GDP)
• prostřednı́ doména je vazebnı́ mı́sto pro taxol5
• a carboxyl terminal doména (C-terminus)
Stužkou reprezentovaný tubulinový heterodimer (obrázek 2.11) byl zı́skán z Protein
Data Bank (struktura ID: 1TUB), originálnı́ zdroj je [10].
Tubulinový heterodimér má velikost 8 nm × 6.5 nm × 4.5 nm [10] bez C-termini
domén. My se zvláště zajı́máme o elektrické vlastnosti tubulinu. Izoelektrický bod6
tubulinu se podle literatury pohybuje mezi 4.9 [9] to 5.6 [11]. Rozloženı́ náboje na
tubulinu může být zı́skáno bud’ z molekulárnı́ch výpočtů nebo z měřenı́. Rozloženı́
4
Dimér je molekula, která se skládá z dvou podjednotek. Když jsou tyto podjednotky rozdı́lné
použı́vá se termı́nu heterodimer.
5
Taxol je látka, která zvětšuje stabilitu mikrotubulů vazbou k β-tubulinu.
6
Je taková hodnota pH roztoku, němž se amfion (elektroneutrálnı́ částice nesoucı́ kladný i
záporný elektrický náboj) nepohybuje v elektrickém poli.
2.5. MIKROTUBULY
12
náboje na proteinu má obecně multipolárnı́ charakter [12–14]. Na druhou stranu
nejvı́ce vypovı́dajı́cı́ a užitečná hodnota o rozloženı́ náboje je velikost a směr elektrického dipólového momentu p~ (viz. obrázek 2.12).
+ q
d
q
~ kde d je vzdálenost mezi náboji s opačnými
Obrázek 2.12: Dipólový moment p~ = q.d,
znaménky a q je velikost náboje
Prvnı́ výpočty dipólových momentů komplexnı́ch molekul7 pomocı́ elektronové
krystalografie prováděl Nogales [10]. Mershin a kol. [15] spočı́tali dipólový moment
zvlášt α- a β-monomeru jako |~pα | = 552 D a |~pβ | = 1193 D. Vzhledem k tomu,
že dipólové momenty jednotlivých monomerů nejsou zcela rovnoběžné, tak jejich
superpozicı́ celkový dipólový moment dává |~pαβ | = 1740.
Podobnou hodnotu dipólového momentu při svých výpočtech zı́skal Tuszynski a
kol. [9] (1714 D). Poskytl výsledky komponent |~pα β| shrnuté v tabulce 2.1 a obrázek
2.13. Vidı́me, že skutečná hodnota dipólového momentu je primárně orientována
px
337 D
py
-1669 D
pz
198 D
Tabulka 2.1: Komponenty dipólových momentů |~pαβ | v karteziánské soustavě
souřadné. Osa MT se shoduje s osou X. Osa Y je orientována radiálně k ose MT a
osa Z je tečná povrchu MT
radiálně k ose MT (obrázek 2.13). Nicméně, malý přı́spěvek je orientován ve směru
osy X. Tuto hodnotu jsme použili pro naše výpočty.
7
Molekulárnı́ dipólový moment je obvykle vyjádřen v jednotkách D (Debye). 1 D = 3.33564
−30
.10
C.m.
2.5. MIKROTUBULY
13
x
b - tubulin
y
x
z
.
.
.
px
pz
py
a - tubulin
-y
x
y
y
Obrázek 2.13: Orientace skutečného dipólového momentu tubulinu počı́taná z krystalografických dat, nejsou započı́tány C-terminus.
2.5.2
Typy mikrotubulárnı́ch mřı́žek
Vazba tubulı́nu v protofilamentu je tvořena výhradně ze dvou různých druhů (mezi
α - a β - podjednotkami rozdı́lných tubulinových dimérů). Narozdı́l od vazeb mezi
sousednı́mi protofilamenty, může být vazba bud’ mezi stejnými podjednotkami (α −
α, β − β, tento typ je označován jako B - mřı́žka) nebo mezi rozdı́lnými podjednotkami (α - a β, tento typ je označován jako A-mřı́žka). Mnoho mikrotubulů pozorovaných in vitro a in vivo ukazovalo, že jsou složeny z kombinace obou typů
mřı́žek [16–19]. U obou typů mřı́žek je podélný posun mezi sousednı́mi protofila4,92nm
4,92nm
4,92nm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
10 1213
8nm
..
.
a)
b)
Obrázek 2.14: a) Mikrotubulus složený z 13 protofilament s mřı́žkou A b) Plášt’
rozvinutého mikrotubulu
menty. V přı́padě A - mřižky je tento posun 4,92 nm (2.14) a v přı́padě B - mřı́žky
je posun 0,92 nm. Posun v A - mřı́žce způsobuje spirálovitou symetrii, naopak v
druhém typu mřı́žky se objevuje diskontinuita, často nazývaná jako seam“. Mik”
2.5. MIKROTUBULY
14
rotubulus složený z 13 protofilament s mřı́žkou A je zobrazen na obrázku 2.14 a) a
jeho rozvinutý plášt’ můžete vidět na obrázku 2.14 b).
2.5.3
Růst mikrotubulů
Mikrotubuly vznikajı́ ve specializovaném centru, které kontroluje jejich počet, umı́stěnı́
a orientaci. V živočišných buňkách je jı́m centrozom (obrázek 2.15). Tato organela
se většinou nacházı́ v blı́zkosti buněčného jádra, (v přı́padě) když se buňka nedělı́.
Během buněčného dělenı́ zajišt’uje navázánı́ chromozomů na mikrotubuly, čı́mž je
nezbytná pro buněčnou reprodukci. Centrozom je tvořen dvěma válcovitými centri-
centrozom
+
centrioly
+
+
g-tubulin
mikrotubuly
+
Obrázek 2.15: Centrozom
olami, které jsou složeny převážně z tubulinu a jsou vzájemně orientovány v pravém
úhlu. Okolo obou centriol se nacházı́ sı́t’ jemných vláken nazývaná matrice centrozomu, která je složena ze speciálnı́ch centrozomálnı́ch proteinů a γ − tubulinu.
γ − tubulin vytvářı́ na povrchu centrozomu prstenčité útvary, které vytvářejı́ mı́sto
pro růst mikrotubulů. Jak již bylo po psáno výše, mikrotubuly jsou polárnı́ útvary a
nahlı́žı́me-li na ně, samostatně, pozorujeme u nich kladný a záporný konec. Záporný
konec je vázán na nukleačnı́ centrum a roste pomaleji nežli konec kladný. Nově
vyrůstajı́cı́ mikrotubuly spolu s centrozomem jsou označovány jako aster.
Při vzniku nových mikrotubulů procházejı́ tyto dynamické struktury třemi stádii
vývoje nukleacı́, elongacı́ a stabilnı́m stavem, kterého dosáhnou po vyrovnánı́ obou
předešlých procesů (obrázek 2.16). Nukleace je charakteristická pomalou polymerizacı́ samostatných podjednotek heterodimerů do složitějšı́ch a nestabilnı́ch oli-
2.5. MIKROTUBULY
15
gomerů. Po vytvořenı́ základnı́ struktury mikrotubulu dojde k urychlenı́ růstu a
mikrotubulus přecházı́ do fáze elongace. Proces elongace je urychlován velkou
koncentracı́ volných tubulinových molekul, které způsobujı́, že proces polymerizace
několikanásobně převyšuje proces depolymerizace, mikrotubulus roste. Při vstupu do
třetı́ fáze se oba procesy vyrovnajı́ a nastane stabilnı́ stav. Tento stav je důsledkem
snižujı́cı́ se koncentrace volných molekul tubulinu (rychlost polymerizace s časem
klesá).
elongace
nukleace
stabilní stav
% tubulinových podjednotek
v mikrotubulu
k MT se připojují
a odpojují
heterodimery
100
rostoucí
mikrotubul
oligomery
samostatné
podjednotky
0
čas t, při 37°C
Obrázek 2.16: Růst mikrotubulu
Mikrotubulárnı́ sı́t’ se neustále obměňuje. Mikrotubulus po nějakou dobu roste
zhruba konstantnı́ rychlostı́ a ve chvı́li, kdy ztratı́ tzv. cap (viz. dalšı́ část), docházı́
k rychlému rozpadu směrem k centrozomu. Mikrotubulus se může rozpadnout celý,
pak může být nahrazen novým, nebo se rozpad zastavı́ znovu vytvořenı́m capu a
mikrotubulus dále roste. Doba růstu a rozpadu mikrotubulu se pohybuje kolem 20
minut, přičemž tubulinové molekuly mohou existovat až 20 hodin. Je tedy patrné,
že jedna molekula tubulinu se tak za svůj život účastnı́ mnoha růstů a rozpadů
mikrotubulů.
2.5.4
Dynamická nestabilita mikrotubulů
V každém tubulinovém heterodiméru se nalézá pevně navázaná molekula GTP. GTP
(guanosin-tri-fosfát) obsažené v β-tubulinu hydrolyzuje
8
na GDP (guanosin-di-
fosfát, pevně vázaný) krátce poté co je tubulinový heterodimér přidán na konec mikrotubulu. Tato hydrolýza způsobı́ změnu konformace podjednotek a zeslabı́ vazby
8
α-tubulin obsahuje také GTP, ale to hydrolýzou neprocházı́ a neúčastnı́ se tedy ani energetické
výměny.
2.5. MIKROTUBULY
16
v polymeru, dojde tedy k zakřivenı́ protofilamenta. V důsledku tohoto zeslabenı́
postrannı́ch vazeb mezi molekulami tubulinu je zajištěna možnost depolymerizace
mikrotubulu. Je-li rychlost polymerizace většı́ nežli hydrolýza GTP, tak na konci mikrotubulu vzniká cap, někdy nazýván GTP-čepička, která zabraňuje mikrotubulu
v depolymerizaci. Mikrotubulus roste až do doby, kdy GTP v heterodiméru zhydrolyzuje dřı́ve něž se připojı́ dalšı́ podjednotka tubulinu, což souvisı́ s koncentracı́
tubulı́nu v oblasti růstu mikrotubulu. Dojde ke vzniku konce mikrotubulu složeného
z podjednotek GTP-tubulinu, což vede k depolymerizaci a rozptýlenı́ GTP-tubulinu
v cytosolu. V tomto rozptýleném GTP-tubulinu dojde k výměně za GTP za GDP
a heterodiméry se mohou zúčastnit nového růstu. Růst mikrotubulu nemusı́ hned
končit svým rozpadem. Může se, za pomocı́ speciálnı́ch proteinů, stabilizovat, ukotvenı́m k nějaké jiné molekule nebo struktuře a vytvořit tak relativně stabilnı́ spojenı́.
tubulinový heterodimer
b
a
GTP
hydrolizovatelný GTP
GTP
GTP
GTP
zeslabení vazeb
a změna konformace podjednotek
v polymeru hydrolýzou GTP
rovné protofilamentum
GDP
GDP
GTP
CAP,
b - tubulin
obsahuje GTP
GDP
GDP
zakřivené protofilamentum
depolymerizace
GDP
GDP
GDP
GDP
méně stabilní část
mikrotubulu,
b - tubulin GDP
změna GDP na GTP
GTP
a)
b)
rostoucí
mikrotubulus
rozpadající se
mikrotubulus
Obrázek 2.17: Princip rozpadu mikrotubulu. a) Změna konformace protofilamenta
hydrolýzou GTP, b) Ztráta GTP - capu vede k rozpadu mikrotubulu
2.5. MIKROTUBULY
2.5.5
17
Mikrotubuly organizujı́ vnitřek buňky pomocı́ motorových proteinů
Buňky jsou schopné si přizpůsobovat dynamickou nestabilitu svých mikrotubulů
podle potřeby. Na jednu stranu je mikrotubulárnı́ sı́t’ při vstupu do mitózy (viz.
kapitola 2.6) velmi dynamická v porovnánı́ s buňkami, které se nedělı́. To umožňuje
rychlé přeskupenı́ a vytvořenı́ mitotického vřeténka během dělenı́ buňky (obrázek
2.21). Na druhou stranu, jsou-li buňky již diferencované a stabilnı́ v určitém stavu,
je buněčná dynamická nestabilita mikrotubulů buňkou potlačena pomocı́ speciálnı́ch
proteinů. Takto potlačené stabilizované mikrotubuly pak fixujı́ vnitrobuněčné uspořádánı́.
Mikrotubuly nepracujı́ na tomto uspořádánı́ osamoceně, ale s pomocı́ proteinů, které
majı́ nejrůznějšı́ funkce. Některé proteiny stabilizujı́ mikrotubuly proti jejich rozpadu jiné pomáhajı́ v napojenı́ k dalšı́m buněčným strukturám. V důsledku toho
to jevu všechny části cytoskeletu spolu interagujı́ a jejich funkce mohou být koordinovány. Mikrotubuly jsou také zodpovědné za rozmı́stěnı́ membrán, a to za pomoci
motorových proteinů.
Motorové proteiny zajišt’ujı́ transport organel a vážou se jak na mikrotubuly
tak i na aktinová vlákna. Tyto proteiny se pohybujı́ dodávkou energie z ATP. Byly
objeveny desı́tky takovýchto motorových proteinů. Lišı́ se podle toho k jakému typu
vlákna se mohou vázat, směrem, kterým se šı́řı́ a podle typu nákladu, který mohou přenášet. Prvnı́m objeveným motorovým proteinem byl myosin. Jak je uvedeno
výše, myosin se váže na aktinová vlákna. Tento protein se vyskytuje ve svalových
buňkách, kde tvořı́ hlavnı́ část kontrakčnı́ho systému. Pohyb buněčných organel a
struktur podél mikrotubulů zajišt’ujı́ dva typy proteinů: kinesiny a cytoplazmatické
dyneiny. Kinesiny se pohybujı́ od centrozomu směrem k periferii buňky, tedy ke
kladnému konci mikrotubulu a dyneiny v opačném směru. Oba motorové proteiny
majı́ podobnou strukturu. Skládajı́ se ze dvou silnějšı́ch a několika slabšı́ch řetězců
molekul. Tyto dva silnějšı́ řetězce (heavy chain) jsou tvořeny globulárnı́ strukturou:
tzv. ”hlavicı́”(globural head) a strunovitými provazci (stem), které z nich vycházı́
(obrázek 2.18 b)). Motorové proteiny jsou vázané na mikrotubuly pomocı́ stopky
(stalk) a tvořı́ jakýsi motor. Slabšı́ řetězce spojené se strunovitými provazci na sebe
vážı́ buněčné komponenty tzv. ”náklad”(cargo) a určujı́ tak co se bude převážet.
Představa pohybu motorový proteinů je taková, jako by kráčeli podél mikrotubulu.
Tento mechanický pohyb je jednı́m z možných způsobů dodávky mechanické energie
mikrotubulům a jejich následné generace elektromagnetického pole [20].
2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA
kinesiny
18
směr
pohybu
- konec
náklad
+ konec
směr
pohybu
a)
motor dyneiny
adaptér
náklad
stopka
lehké řetězce
strunovité
provazce
silnější řetězce
b)
Obrázek 2.18: a) Typy motorových proteinů a jejich směr pohybu b) Struktura
motorového proteinu
2.6
Fáze buněčného života
Tam, kde vzniká buňka, tam před tı́m musela nějaká buňka existovat, stejně jako
”
živočichové mohou vznikat jen z živočichů a rostliny pouze z rostlin.“ Tuto buněčnou
doktrı́nu vyslovil patolog Rudolf Virchow v roce 1858 a ukazuje na hlubokou myšlenku
kontinuity života. Buňky vznikajı́ z buněk, a to jediným možným způsobem buněčným
dělenı́m. Eukaryotická buňka procházı́ za dobu své existence různými fázemi, které
majı́ připravit buňku na buněčné dělenı́. Dělenı́ buněk je základnı́ podmı́nkou růstu
živé hmoty, patřı́ tak mezi stěžejnı́ projevy života. Dělenı́ je proces, při kterém
vznikajı́ z jedné mateřské buňky dvě buňky dceřiné. Tento proces probı́há ve dvou
fázı́ch, dělenı́ jádra (karyokineze) a dělenı́ cytoplazmy a organel (cytokineze).
Rozeznáváme tři druhy dělenı́, dělenı́ přı́mé (amitózu), nepřı́mé (mitózu) a redukčnı́
(meiózu). Délka reprodukčnı́ho cyklu, doba která uplyne od jednoho rozdělenı́ buňky
k dalšı́mu, se pohybuje od několika minut (bakterie) až po několik hodin, výjimečně i
desı́tek hodin (mnohobuněčné organismy). Délka života jednotlivé buňky, od rozdělenı́
po zánik nebo dalšı́ dělenı́, se lišı́ podle typu buňky a vnějšı́ch podmı́nek. Buňka tak
může žı́t několik desı́tek minut až několik let. Během buněčného cyklu můžeme
sledovat čtyři fáze života buňky: G1-fáze, S-fáze, G2-fáze a M-fáze“, které jsou
”
schématicky znázorněny na obrázku 2.19 a popsány v následujı́cı́m textu. G1-fáze
(prvnı́ generačnı́ fáze) nastává po rozdělenı́ mateřské buňky na dvě dceřiné. Buňka
roste, doplňuje objem cytoplazmy, tvořı́ a uspořádává organely. Tato fáze je nejdelšı́.
Po nı́ následuje S-fáze (syntetická), která je charakteristická zdvojenı́m obsahu DNA
v jádře, přepisem informacı́ do RNA a hromaděnı́m zásobnı́ch látek potřebných k
dalšı́mu dělenı́. Následuje G2-fáze (druhá generačnı́ fáze), při nı́ž se buňka připravuje
na dělenı́. Buněčný cyklus je zakončen M-fázı́, která sestává ze dvou částı́: dělenı́
2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA
19
cytokinese
start
telofáze
G1
anafáze
G0
S
M
metafáze
I
interfáze
M
G2
prometafáze
profáze
Obrázek 2.19: Buněčný cyklus. Vnitřnı́ kruh je rozdělen do G1, G0, S, G a mitózy
a prostřednı́ kruh je rozdělen na I (interfáze) a M (M-fáze)
jádra (karyokineze) a vlastnı́ dělenı́ buňky (cytokineze). Po dokončenı́ této fáze
vzniknou dvě dceřiné buňky se stejným počtem chromozomů a organel. Za určitých
okolnostı́ buňka projde ještě fázı́ G0, jež je fázı́ naprostého klidu. Z pohledu syntézy
DNA se tento proces jevı́ následovně. Fáze G1 (presyntetická fáze) je z pohledu
syntézy DNA klidovým obdobı́m. Fáze S (syntetická) je charakteristická syntézou
DNA a jejı́ replikacı́. Pak následuje G2-fáze (postsyntetická fáze), která je pro DNA
opět klidová a ve které se syntetizuje RNA a proteiny potřebné pro nastávajı́cı́
mitózu (např. tubulin). V M-fázi je syntéza DNA zastavena nejen v jádře, ale i v
mitochondriı́ch, kde jinak probı́há syntéza nezávisle na syntéze DNA v jádře.
Pro nás je fáze dělenı́ buňky důležitá z toho důvodu, že se při nı́ v buňce
odehrávajı́ bouřlivé změny v cytoskeletárnı́ sı́ti (mikrotubulech), které jsou doprovázeny zvýšenı́m elektromagnetického pole v okolı́ buňky.
2.6.1
Popis jednotlivých etap M-fáze
M-fáze začı́ná, jak již bylo řečeno v úvodu kapitoly, karyokinezı́, která se dělı́ na
profázi, prometafázi, metafázi, anafázi a telofázi a končı́ cytokinezı́. Během S-fáze
docházı́ ke zdvojenı́ chromatinu a na počátku karyokineze kondenzuje a spiralizuje
chromatin a dělá tak chromozom mnohem kratšı́ a tlustšı́. Chromozom je tyčinkovitý
útvar, který bývá zaškrcenı́m rozdělen na dvě ramena. Toto zaškrcenı́ se nazývá
2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA
20
formování mitotického vřeténka
jadérko
chromatin
jaderná
membrána
profáze
2 dceřiné buňky
prometafáze
chromozóm
metafáze
telofáze + cytokineze
anafáze
ekvatitoriální rovina
kontrakční prstenec
Obrázek 2.20: Buněčné dělenı́
centromera, která hraje důležitou roli při dělenı́ jádra.
Profáze je doprovázena zánikem jadérka a docházı́ při nı́ ke kondenzaci a spiralizaci chromatinu v chromozómy. Centriol se rozdělı́ na dvě části, které putujı́ k
opačným pólům buňky a spolu s mikrotubuly dávajı́ základ mitotického aparátu
(mitotické vřeténko, obrázek 2.21)
Prometafáze začı́ná rozpadem se jaderné membrány. V oblasti centromery se
objevuje speciálnı́ proteinová struktura zvaná kinetochor, která je na každém chromatidu jedna. Mikrotubuly začı́najı́ prorůstat do oblasti jádra, kde se pomocı́ kinetochornı́ch mikrotubulů na tyto kinetochory napojujı́, a začı́najı́ se přemist’ovat do
ekvatoriálnı́ roviny. Dalšı́mi mikrotubuly vyrůstajı́cı́mi z pólů mitotického vřeténka
jsou polárnı́ a astrálnı́ mikrotubuly. Polárnı́ mikrotubuly vyrůstajı́cı́ z obou centrozomů se v metafázové rovině překřı́žı́ a vlivem jejich prodlužovánı́ dojde k oddalovánı́ pólů mitotického vřeténka. Astrálnı́ mikrotubuly, které v cytoplazmě směřujı́
do všech směrů, přispı́vajı́ k ukotvenı́, orientaci a oddalovánı́ pólů mitotického vřeténka.
2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA
21
V metafázi se za pomoci kinetochornı́ch mikrotubulů seřadı́ chromozomy v jedné
rovině (ekvatoriálnı́ rovině) uprostřed mitotického vřeténka (obrázek 2.21). Kinetochornı́ chromozomy spojujı́cı́ chromozom s jednı́m z pólů mitotického aparátu
vytvářejı́ v chromozomu určité napětı́, které se je snažı́ od sebe odtrhnout. Po
překročenı́ určité meze jsou napětı́m rozdělena na dvě identické části. Dokud nejsou
všechny chromozomy navázané na kinetochornı́ mikrotubuly, nenavázané kinetochory vysı́lajı́ jistý druh signálu, který zaručı́, že nemůže začı́t dalšı́ fáze.
Anafáze je nejkratšı́ částı́ mitózy a začı́ná rozdělenı́m párových kinetochorů na
jednotlivých chromosomech. Vlivem zkracovánı́ kinetochornı́ch mikrotubulů se chromozómy rozcházejı́ k pólům dělı́cı́ho vřeténka rychlostı́ 1µm/min (anafáze A) a
zároveň se celá buňka protahuje v důsledku růstu polárnı́ch mikrotubulů (anafáze B).
Na konci této fáze jsou na opačných pólech dvě ekvivalentnı́ skupiny chromozómů.
Během telofáze jsou chromozomy soustředěny na pólech buňky a jsou centromérami orientovány směrem k centriolům. Dále docházı́ k jejich dekondenzaci
a despiralizaci. Polárnı́ mikrotubuly se protahujı́ ještě vı́ce a na opačných pólech
buňky vznikajı́ dceřiná jádra a jadérka. Takto vzniklá jádra majı́ stejný počet chromozómů, ale obsah DNA je polovičnı́ než u mateřského jádra. Během telofáze začı́ná
cytokineze.
Cytokineze začı́ná přibližně v polovině anafáze a rozdělı́ buňku na dvě buňky
dceřiné. Při dostatečném rozestupu chromozomů docházı́ k prouděnı́ cytoplazmy
a organel do ještě nerozdělených dceřiných buněk. Vytvářı́ se rýha (cleavage) na
obvodu a od nı́ ke středu buňky se tvořı́ přepážka (kontrakčnı́ prstenec) zaškrcujı́cı́
buňku. U živočichů se buňka zaškrcuje dı́ky aktinovým vláknům mikrofilament, které
jsou uspořádány do kruhu. Setkánı́m kontrakčnı́ho prstence se zbytky mitotického
vřeténka vzniká tenký kanál (midbody). Po jeho uzavřenı́ vznikajı́ dvě dceřiné buňky
a z centrozomů vyrůstá nová sı́t’ mikrotubulů.
2.6.2
Změny cytoskeletu při M-fázi
Během M-fáze vznikajı́ v cytoskeletu specifické struktury, které majı́ zajistit seřazenı́
chromosomů, jejich odtaženı́ a následné rozdělenı́ buňky (obrázek 2.20). Tyto složité
struktury se objevujı́ jen během M-fáze. Jako prvnı́ se zformuje mitotické vřeténko,
které je tvořené z mikrotubulů, centrozomů a dalšı́ch proteinů. Dalšı́ strukturou
vzniklou z cytoskeletu v M-fázi je kontrakčnı́ prstenec (jakési kruhové nůžky“),
”
2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA
22
ekvatoriální rovina
kinetochorní mikrotubuly
astrální
mikrotubuly
centrioly
centrozom
kinetochor
chromosom
chromosom
polární mikrotubuly
křížový spoj
Obrázek 2.21: Mitotické vřeténko
který se vyskytuje jen v živočišných buňkách a je tvořen z aktinových vláken a myosinu II. Během stahovánı́ prstence docházı́ k vychlipovánı́ plazmatické membrány
dovnitř buňky v rovině kolmé na mitotické vřeténko a docházı́ k zaškrcovánı́ buňky.
Výsledkem činnosti kontrakčnı́ho prstence je rozdělenı́ buňky na dvě buňky dceřiné.
Mikrotubuly v M-fázi
Mikrotubuly majı́ při dělenı́ buňky nezastupitelnou úlohu. Jsou základnı́m stavebnı́m kamenem mitotického vřeténka, které sloužı́ k seřazenı́ duplikovaných chromosomů do ekvatoriálnı́ roviny, jejich rozdělenı́ na přesnou polovinu, odtaženı́ k
pólům a k oddalovánı́ pólu od sebe navzájem. Při vzniku mitotického vřeténka
vyrůstajı́ z obou centrozomů (pólů mitotického vřeténka) tři typy mikrotubulů:
astrálnı́, kinetochornı́ a polárnı́ mikrotubuly (obrázek 2.21). Polárnı́ mikrotubuly
rostou směrem k ekvatoriálnı́ rovině, kde se spojı́ do tzv. přepojenı́ (cross-links).
Tyto spoje nejenže, že bránı́ rozpadu mikrotubulů, ale také umožňujı́ prodlužovánı́
polárnı́ch mikrotubulů. V mı́stech překrytı́ se nacházejı́ motorové proteiny, které
umožňujı́ posun mikrotubulů v podélném, směru a tak se mikrotubuly prodlužujı́
a póly se od sebe vzdalujı́. Oblast překrytı́ zůstává přibližně stejná. Dalšı́m typem
mikrotubulů, které se podı́lı́ na oddalovánı́ pólů, jsou astrálnı́ mikrotubuly, které
tvořı́ jakousi paprsčitou sı́t’ navázanou na plazmatickou membránu. Tato sı́t’ ukotvuje
póly mitotického vřeténka v prostoru buňky a pomocı́ motorových proteinů, které
jsou zachyceny v plazmatické membráně, odtahuje póly mitotického vřeténka od
ekvatoriálnı́ roviny. Poslednı́m typem mikrotubulů mitotického vřeténka jsou kine-
2.6. FÁZE BUNĚČNÉHO ŽIVOTA
23
tochornı́ mikrotubuly. Jejich růst směřuje do oblasti, kde se po rozpadu jaderné
membrány nacházı́ chromozomy, aby se tu navázaly na kinetochory chromozomů.
Když se mikrotubuly připojı́ ke kinetochoru, začnou si celý chromozom přitahovat ke
svému pólu. Tento pohyb je ovšem vyrovnán mikrotubuly z opačného centrozomu,
které činı́ totéž. Následuje přetahovánı́ o chromosom pohybujı́cı́ se sem a tam, dokud
se neusadı́ v ekvatoriálnı́ rovině. Metafáze končı́ s usazenı́m poslednı́ho chromozomu
v této rovině. Princip přetahovánı́ je vysvětlován tı́m, že na chromozomy působı́ sı́ly
závislé na vzdálenosti od pólů. Předpokládá se, že čı́m je chromozom vı́ce vzdálen
od pólu, tı́m je sı́la, která ho přitahuje k pólu většı́. V přı́padě, že by nedošlo k
navázánı́ chromozomu na mitotické vřeténko, nebo se chromozom napojı́ oběma kinetochory na jeden pól vřeténka a nebo se v anafázi nepodařı́ chromatidy správně od
separovat, výsledkem celého dělenı́ budou dvě defektnı́ buňky s rozdı́lným počtem
chromozomů. V průběhu mitózy jsou mikrotubuly pod vlivem polymerizace a depolymerizace, kde tyto děje jsou během pozdnı́ profáze několikanásobně zrychleny (z
5 minut na 15 s). Z toho vyplývá, že M-fáze je charakteristická rozsáhlou změnu v
mikrotubulárnı́ sı́ti, která je doprovázena zvýšenı́m spotřeby energie [1].
Kapitola 3
Fröhlichova teorie, experimenty a
buněčné elektromagnetické pole
Tato část se mimo jiné zabývá Fröhlichovou teoriı́, experimenty a buněčným elektromagnetickým polem. Experimenty se na jednu stranu zaměřujı́ na měřenı́ oscilacı́
buněčné membrány a na stranu druhou na měřenı́ elektromagnetického pole v okolı́
buněk a to přı́mým i nepřı́mým způsobem.
3.1
Fröhlichova teorie
Jednı́m z nejvýznamnějšı́ch vědců, zkoumajı́cı́ch tématiku mechanismů kooperativnı́ch jevů, organizaci a samoorganizaci biologických systémů, byl teoretický fyzik
Herbert Fröhlich (1905 - 1991). Fröhlich se narodil v Německu, ale život strávil
ve Velké Británii, kde patřil ke královské společnosti. Tento velký muž postuloval
ucelenou fyzikálnı́ teorii, která se snažı́ vysvětlit mechanismy vzniku a působenı́ elektromagnetického pole v biologických systémech. Během svého života přišel na to, že
koherentnı́ vibračnı́ systémy v buňkách jsou lokalizovány v buněčných membránách.
V řadě svých pracı́ pı́še, že koherentnı́ vibračnı́ systémy jsou v molekulách bı́lkovin,
nebo s těmito molekulami úzce provázány. Tyto molekuly jsou vysoce polárnı́ a svou
mechanickou vibracı́ mohou tedy generovat elektromagnetické pole, které by mohlo
na velkou vzdálenost umožňovat vzájemnou interakci s prostorově a možná i funkčně
oddělenými systémy.
Fröhlich postuloval v biologických systémech elektricky polárnı́ longitudinálnı́
vibrace, dále transformaci energie v nelineárnı́ch systémech do určitých, kvazi-nejnižšı́ch,
vibračnı́ch módů, které mohou být koherentnı́ v přı́padě, že jsou dostatečně vybuzeny. Jinak řečeno, tepelná energie se nerozprostře rovnoměrně do všech frekvencı́,
24
3.1. FRÖHLICHOVA TEORIE
25
ale vlivem nelinearity může zkondenzovat v některém, systému vlastnı́m, módu.
Jako poslednı́ předeslal existenci koherentnı́ch vibračnı́ch stavů. Fröhlichova teorie
popisuje pouze základnı́ principy kondenzace energie. Skutečné mechanismy budou
mnohem složitějšı́. Podrobnějšı́ vysvětlenı́ této teorie naleznete v pracı́ch Fröhlicha
[21–24].
Tuto teorii se v minulosti pokoušela ověřit nebo vyvrátit celá řada vědců. Zde
uvedeme jen některé z nich.
3.1.1
Měřenı́ vibracı́
K měřenı́ společných mechanických vibracı́ buněčných struktur byly použity různorodé metody měřenı́. Od speciálnı́ bezkontaktnı́ mikroskopie založené na optické
metodě, přes metodu měřenı́ pomocı́ mikroskopu na bázi atomových sil (AFM)
pro detekci mechanických vibracı́ nı́zkých frekvencı́, po speciálnı́ typ Brillouinovy
spectroskopie 1 nebo Ramanovy spektroskopie pro měřenı́ buněčných a molekulárnı́ch
vibracı́ v řádu GHz až THz. Prostorové rozloženı́ vibracı́ od minima po maximum
může být v řádu stovek nm. Proto musı́ použitá měřı́cı́ metoda mı́t rozlišenı́ menšı́
nežli mikron, aby mohla detekovat vibrace, které majı́ také komplexnı́ rozloženı́ pole.
He a kol. [25] informovali o periodickém pohybu lidských rakovinotvorných buněk
měřených pomocı́ rozptylu laseru na 1550 nm. Naměřená frekvence byla pod 0.1 Hz
a ztratila se v šumu, poté co buňka umřela.
Piga a kol. [26] použili rozptyl blı́zkého pole optického mikroskopu, který je
schopný detekovat maličký vertikálnı́ moment na buněčné membráně v rozsahu
1 nm a je o tři řády lepšı́ nežli běžný optický mikroskop. Objevili oscilace buněčné
membrány krysı́ho nádoru dřeně nadledvin nad 30 Hz, zı́skané Fourierovou analýzou
měřeného signálu.
Lokálnı́ nanomechanický pohyb buněčné stěny kvasinkových buněk ( Saccharomyces
cerevisiae) byl měřen Pellingem a kol. [27, 28] pomocı́ mikroskopu na bázi atomových sil (AFM). Autoři použili Fourierovu transformaci na měřenı́ výškového
profilu signálu z fixovaných vzorků - konzola horizontálnı́ pozice. Našli vibrace s
amplitudou v řádu nm ve frekvenčnı́m rozsahu okolo 2 kHz. Vibrace měly rozdı́lné
frekvence a byly závislé na teplotě. Šumové pozadı́ AFM systému bylo v řádu 10−2
nm.
1
Fenomén neelastického rozptylu světla na akustických fononech byl prvně popsán Leonem
Brillouinem (1889 -1969) v roce 1922 a o 4 roky později nezávisle Leonidem Mandelstamem. Tento
jev tedy bývá označován jako Brillouin-Mandelstam rozptyl (BMS)
3.1. FRÖHLICHOVA TEORIE
3.1.2
26
Přı́má měřenı́
Byly prováděny přı́mé experimenty ve frekvenčnı́m rozsahu od KHz po MHz. Tabulka 3.1.2 ukazuje frekvence, na kterých pánové Hölzel a Lamprecht detekovali
elektrické RF oscilace [29].
Druh
detekovaná frekvence (MHz)
Saccharomyces cervisiae RXII
1.5, 2.6, 5.7, 17.8, 52
Schizosaccharomyces pombe
3.1, 3.7, 4.8
Monoraphidium griffithii
2.8, 8.5, 15.8, 16.5, 34.8
Tabulka 3.1: Frekvence detekované Hölzelem
Pokorný a kol. [30] měřili elektromagnetickou aktivitu v blı́zkosti kvasinkových
buněk, které právě procházely mitózou (viz. část 2.6). Zjistili, že během mitózy, která
je doprovázena intenzivnějšı́ aktivitou v cytoskeletárnı́ sı́ti (převážně mikrotubulárnı́
části), je v okolı́ kvasinkových buněk zvýšená hodnota elektromagnetického pole. Na
frekvenci 8,055 MHz naměřili hodnotu výkonu nad šumem.
Jelı́nek a kol. [31] měřili mechanické a elektrické vibrace buněčné membrány
kvasinkových buněk (Saccharomyces cervisiae). Bylo zjištěno, že synchronizované
buňky vykazujı́ vyššı́ elektrickou aktivitu nežli buňky nesynchronizované měřené ve
frekvenčnı́m pásu 0,4 – 1,6 kHz. Dále bylo zjištěno, že ve zmı́něném frekvenčnı́m
pásmu frekvence mechanických oscilacı́ odpovı́dá oscilacı́m elektrickým.
3.1.3
Nepřı́má měřenı́
Dielektroforéza
Mnoho nepřı́mých měřenı́ buněčného EMP na principu dielektroforézy (DEP) prováděl
Pohl, Hölzel s Lamprechtem, Rivera a dalšı́. Dielektroforéza je jev, při kterém neuniformnı́ elektrické pole působı́ na neutrálnı́ částečku polarizačnı́m efektem. Elektrické
pole vyvolává v částečce dipólový moment a sı́la působı́cı́ na částečku je odvozena
od sı́ly působı́cı́ na dipólový moment v elektrickém poli. Sı́la působı́cı́ na částečku
je dána vztahem:
~ 2
F~ ' V (εp − εs )∇E
F~ je sı́la působı́cı́ na dielektrickou částečku
V je objem částečky
εp je permitivita částečky (particle)
(3.1)
3.1. FRÖHLICHOVA TEORIE
27
εs je permitivita okolnı́ho prostředı́ (surroundings)
~ označuje gradient
∇
E je elektrické pole
Pohl k měřenı́ buněčného pole použı́val částečky s velikostı́ řádově několik µm (µ DEP) a s rozdı́lnou permitivitou. Částečky byly odpuzovány nebo přitahovány k
Částečka Relativnı́ permitivita na 1 kHz
BaTiO3
2000
SrTiO3
5000
NaNbO3
50
BaSO4
11.5
SiO2
2.8
Al2 O3
7.5
Tabulka 3.2: Částečky použité v µ-DEP experimentech
povrchu buňky, když měli nižšı́ nebo vyššı́ relativnı́ permitivitu, v tomto pořadı́,
v porovnánı́ s relativnı́ dielektrickou konstantou okolnı́ho prostředı́. Pohl přišel na
to, že všechny testované buňky vykazujı́ tento efekt (bakterie (B. Cereus), fungi
(S. cervisiae), řasy, ptačı́ (kuřecı́ erytrocyty), savčı́ (myšı́ fibroblasty)). Dále ověřil,
že tento efekt je přı́tomen jenom u metabolicky aktivnı́ch buněk a je nejvýraznějšı́
při mitóze (viz. část 2.6), podle počtu přitažených částic. Také odhadl frekvence
buněčných elektrických oscilacı́ v pásmu od kHz po MHz [32, 33].
částečky
buňka
a)
b)
Obrázek 3.1: a) Dielektroforetický efekt řasy Monoraphidium griffithii, b) demonstruje dielektroforetický efekt řasy Netrium digitus
Na obrázku 3.1 je vidět, jak metabolicky aktivnı́ buňky přitahujı́, nebo odpuzujı́ µm dielektrické částečky. Obrázek 3.1a) ukazuje dielektroforetický efekt řasy
3.2. GENERACE BUNĚČNÉHO ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE
Monoraphidium griffithii [34], kde εp
>
28
εs . Částečky jsou přitahovány do maxima
intenzity elektrického pole (k buňce). Druhý obrázek 3.1b) demonstruje dielektroforetický efekt řasy Netrium digitus [35], kde εp
<
εs . Částečky jsou vtaženy do minima
elektrického pole (od buňky).
Grundler a kol. [36] zkoumali vliv vysokofrekvenčnı́ho zářenı́ na růst kvasinkových buněk. Použı́vali frekvenčnı́ rozsah od 41,83 - 41,96 GHz. Zjistili, že v blı́zkém
okolı́ tohoto rozsahu nejsou žádné významné reakce. Oproti tomu uvnitř tohoto rozsahu byly měřeny změny v rychlosti růstu. Reprodukovatelná výchylka měřenı́ rychlosti růstu byla ±3%. Změřili, že na určitých frekvencı́ch ve zmı́něném rozsahu, byla
změna rychlosti růstu o 15% při zrychlenı́ růstu a o 29% při utlumenı́ růstu, což je
daleko nad limitem reprodukovatelnosti.
3.2
Generace buněčného elektromagnetického pole
Cytoskeleton (zejména mikrotubuly) je pravděpodobným zdrojem generace elektromagnetického pole v buňce. Jsou to právě jeho podjednotky, tubulinové heterodiméry, které oscilacı́ svého dipólového momentu generujı́ ve svém okolı́ elektromagnetické pole. V této části se budeme zabývat podmı́nkami pro vznik elektromagnetického pole, stejně jako mechanickými vibracemi mikrotubulu a také se zabýváme
tlumenı́m těchto vibracı́.
3.2.1
Zdroj energie pro mechanické vibrace mikrotubulů
Mechanické vibrace v mikrotubulech, které jsou polárnı́mi strukturami, mohou generovat elektrické pole v jejich okolı́. Zdroje energie pro mechanické vibrace mikrotubulů byly analyzovány v pracı́ch [2, 37]. Zde bylo odhadnuto, že energie může být
dodávána při transformaci GTP na GDP, když mikrotubul roste a rozpadá se, za
druhé z energie, kterou mitochondrie (viz. část 2.2) nevyužijı́ na výrobu ATP, ale
je vyzářena jako infračervené zářenı́ do okolı́, a za třetı́ z pohybu motorových (viz.
část 2.5.5) proteinů dyneinů a kinesinů, kteřı́ se pohybujı́ podél mikrotubulu.
Tlumenı́ vibracı́
Mitochondrie ve svém okolı́ vytvářı́ silné statické pole (viz. část 2.2.1). Mikrotubulárnı́
a mitochondriálnı́ sı́tě jsou v těsné blı́zkosti (obrázek 2.5), a proto jsou mikrotubuly
vystaveny tomuto poli. Voda v okolı́ mikrotubulů se při splněnı́ určitých podmı́nek
3.2. GENERACE BUNĚČNÉHO ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE
29
volná
voda
vázaná
voda
0,942 A
o
H
H
106
molekula
vody
stěna mikrotubulu
Obrázek 3.2: Struktura vázané a volné vody
seskupuje do struktury, která se často označuje jako voda vázaná, nebo také organizovaná. Tato struktura vody (obrázek 3.2) má nižšı́ emisivitu a braunovský pohyb,
ale dı́ky své struktuře většı́ hustotu nežli voda volná. Organizovaná voda, což je
pro nás nejdůležitějšı́, snižuje tlumenı́ longitudinálnı́ch vibracı́ v porovnánı́ s vodou
volnou, jako by struktura vody podél mikrotubulu vytvářela kluznou plochu. IR z
mitochondriı́ se v této vodě neměnı́ na teplo, nezvyšuje entropii, ale zvyšuje jejı́
uspořádánı́. Tloušt’ka vrstvy organizované vody může být až několik µm. Struktura
vázané vody uvedená na obrázku je jen triviálnı́ ukázkou jednoduchého geometrického uspořádanı́. Ve složité mikrotubulárnı́ sı́ti uvnitř buňky je geometrická situace mnohem komplikovanějšı́, a proto struktura vázané vody nebude pravděpodobně
ve většı́ vzdálenosti od mikrotubulu tak pravidelná a jejı́ tloušt’ka bude mnohem
menšı́.
3.2.2
Transformace energie
Intenzita elektrického pole kolem mitochondriı́ závisı́ na koncentraci vodı́kových
iontů (protonů) v mezimembránovém prostoru a na jejich difúzi skrz vnějšı́ membránu.
Statické elektrické pole mitochondriı́ může hrát důležitou roli v posı́lenı́ nelineárnı́ch
podmı́nek v mikrotubulech a dalšı́ch cytoskeletárnı́ch strukturách. Mikrotubuly majı́
orthotropické mechanické vlastnosti. Z obecného pohledu silné statické pole a mechanická anisotropie vytvářı́ nelinearitu pro elasto-mechanické a polarizačnı́ vlny v
mikrotubulech. Je dobře známo, že transmembránový potenciál tvořı́ silné statické
pole (v řádu 106 − 107 V /m) v membránách tvořených z proteinů a lipidové dvouvrstvy. Membrána má také anisotropické elasto-mechanické vlastnosti a je vázána na
cytoskelet a také přı́mo na mikrotubuly, které mohou přenášet vibrace k membráně.
Kapitola 4
Jednoduchá mikrotubulárnı́ sı́t’ star model
V této části se budeme zabývat nejen aproximacı́ elektrických vlastnostı́ tubulinového heterodiméru, ale také podélnými vibracemi heterodiméru v mikrotubulu
a jejich aproximacı́. Nastı́nı́me myšlenku výpočtu elektromagnetického pole v okolı́
mikrotubulárnı́ sı́tě a uvedeme jak jsme počı́tali celkový vyzářený výkon z buněčné
sı́tě mikrotubulů.
Aproximace elektrických vlastnostı́ tubulinového heterodiméru
Jak je uvedeno v části 2.5.1 tubulinový heterodimér je polárnı́ struktura, která
má dipólový moment podle tabulky 2.1. Jako aproximaci elektrických vlastnostı́
tubulinu jsme zvolili elementárnı́ elektrický dipól, který je popsán rovnicemi 4.9
- 4.11 a obrázkem 4.15. Podrobnějšı́ odvozenı́ rovnic naleznete v přı́loze A. Jako
hodnotu dipólového momentu budeme uvažovat px = 337 D z tabulky 2.1. Hodnota
337 D je hodnota dipólového momentu tubulinového heterodiméru ve směru osy
X (směr osy mikrotubulu). Aktivnı́ část dipólového momentu, která se podı́lı́ na
generaci elektromagnetického pole, bude několikrát menšı́ a budeme ji nazývat pA
aktivnı́ část (viz. část 4.2 )
4.1
Buzenı́ mikrotubulu
Buzenı́ mikrotubulu znamená jak mohou mechanicky oscilovat tubulinové heterodiméry v mikrotubulu. My jsme předpokládali, že mikrotubul by mohl být buzen ve
fázi, náhodně, nebo podélnou vlnou.
30
4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU
31
Buzenı́ ve fázi znamená, že všechny heterodiméry oscilujı́ se stejnou amlitudou
a fázı́, tedy že pA všech EEDs majı́ stejnou velikost. Rozloženı́ elektromagnetického
pole okolo mikrotubulu buzeného ve fázi (mód 0) se chová jako pole jednoho dipólu
(obrázek 4.4).
Náhodné buzenı́ představuje tepelné kmity mikrotubulárnı́ mřı́žky. Tyto nekoheretnı́ vibrace byly modelovány pomocı́ náhodně orientované aktivnı́ části dipólového
momentu. Náhodná orientace byla řešena pomocı́ funkce:
pn = pA sin(mat)
(4.1)
kde pn je náhodně orientovaný dipólový moment, pA je aktivnı́ část dipólového
momentu a mat je matice náhodných čı́sel od 0 do 1 (s normálnı́m rozloženı́m)
vynásobená hodnotou 2π. Tento typ buzenı́ spolu s buzenı́m ve fázi byl důkladněji
řešen v práci [38]. Proto se těmito typy buzenı́ nebudeme již vı́ce zabývat. Poslednı́m
ze zmı́něných typů buzenı́ je buzenı́ podélnou vlnou.
4.1.1
Podélná vlna
Longitudinálnı́ vibrace tubulinových heterodimérů v jednotlivých protofilamentech
jsme aproximovali jako oscilace lineárnı́ho dvouhmotnostnı́ho řetězce tvrdých částic.
K odvozenı́ jsme využili teorie fyziky pevných látek. Odvozenı́ podle [39] naleznete v
přı́loze C. Zvolili jsme optickou větev kmitánı́ (sousednı́ částice kmitajı́ proti sobě).
Pohyb částeček a jim odpovı́dajı́cı́ oscilace dipólových momentů popisuje prostorová
modulačnı́ funkce daná rovnicı́.
pm = pA · sin(mw)
(4.2)
kde pm označuje modulovaný dipólový moment, pA je aktivnı́ část dipólového momentu a mw je vzdálenost podél mikrotubulu definovaná jako start:krok:konec.
mw = cs +
sw
sw
: sw : 4 · mod · π − cs −
2
2
cs =
sw · s(npt)
lh
(4.3)
(4.4)
4 · mod · π
(4.5)
ah
kde sw je krok na vlně, mod je mód buzenı́, ah je počet heterodimérů v protofilasw =
mentu, cs je korekčnı́ posun, lh je délka heterodiméru a s(npt) je posun protofilament
4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU
32
(mřı́žka A, Tab. 2.14). Funkce reprezentuje módy od módu 0“ (všechny dipóly os”
cilujı́ ve fázi, obrázek 4.1 a)) až po max mód“ (sousednı́ dipóly oscilujı́ v protifázi,
”
obrázek 4.2 b)). Mód 1 představuje polovinu vlnové délky na mikrotubulu. Maximálnı́ mód koresponduje s počtem heterodimérů v protofilamentu. Matematicky
by sice mohl být ještě vyššı́ mód nežli maximálnı́ mód, ale fyzikálně se módy jen opakujı́ v rozsahu 0 až max. Vyššı́ módy1 vypadajı́ jako longitudinálnı́ vlny, které majı́
v řezu kolmém k ose mikrotubulu stejnou fázi. Byly řešeny celočı́selné módy, které
odpovı́dajı́ okrajovým podmı́nkám nulového rozkmitu na koncı́ch protofilamenta.
a)
b)
vzdálenost
vzdálenost
c)
vzdálenost
Obrázek 4.1: Módy a) 0, b) 8 a c) 26 na prvnı́m protofilamentu s 50 heterodiméry.
Každý heterodimér je reprezentován kolečkem
a)
vzdálenost
b)
vzdálenost
Obrázek 4.2: Módy a) 40, b) 50 na prvnı́m protofilamentu s 50 heterodiméry. Každý
heterodimér je reprezentován kolečkem
1
Považujeme za módy s většı́ hodnotou, nežli je polovina maximálnı́ho módu
4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU
33
Obrázky 4.1 a 4.2 zobrazujı́ módy 0, 8, 26, 40 a 50, které jsou na prvnı́m protofilamentu (protofilamento, které se neposouvá). Každý EEDs je označen kolečkem.
Velikost funkce odpovı́dá podélnému rozkmitu sousednı́ch EEDs. Protofilamenta
majı́ mezi sebou vzájemný posun 4,92 nm (tabulka 4.3), a proto bylo nutné také
posunout modulačnı́ funkci speciálně pro každé protofilamento, abychom zajistili
stejnou fázi modulačnı́ funkce v řezu kolmé na osu mikrotubulu (zajišt’uje člen cs
z rovnice 4.4). U vyššı́ch módů (většı́ch nežli mód max/2) se projevuje efekt, který
připomı́ná známý fenomén z teorie amplitudové modulace. Když se smı́sı́ dvě blı́zké
frekvence, tak se ve spektru objevı́ nejen spektrálnı́ čáry obou frekvencı́, ale také
se tam objevı́ spektrálnı́ čáry na frekvenci dané rozdı́lem obou frekvencı́. Nicméně,
toto nenı́ náš přı́pad. V našem přı́padě se jedná pouze o efekt vzorkovánı́ modulačnı́
vlny mikrotubulárnı́ mřı́žkou a jako produkt vzniká obálka“ (na obrázcı́ch 4.1c a
”
4.2b zobrazena modře). Při posunutı́ modulačnı́ funkce se také posouvá obálka a na
povrchu mikrotubulu vytvářı́ spirálovitou symetrii jak je vidět na obrázku 4.3.
a)
b)
Obrázek 4.3: Intenzita elektrického pole v logaritmickém měřı́tku 1 nm nad stěnou
mikrotubulu. a) mód 25 a b) mód 40
Obrázky 4.4 - 4.8 zobrazujı́ rozloženı́ veličin E, H a S v okolı́ jednoho mikrotubulu, který byl buzen podélnou vlnou s módy 0, 8, 26, 40 a 50. Každé protofilamento
je složeno z 50 heterodimérů, frekvence oscilacı́ heterodimérů byla nastavena na 42
GHz a prostředı́ bylo ztrátové podle tabulky 4.1. Barva zobrazuje velikost dané
veličiny a šipka jejı́ směr. Barva hrotu šipky je pro E červená, pro H modrá a pro
S zelená. Zobrazenı́ módu 0 ukazuje, že charakter tohoto rozloženı́ pole je stejné
jako rozloženı́ pole elementárnı́ho elektrického dipólu. U dalšı́ch módů je patrná vysoká nehomogenita rozloženı́ pole, která je zvláště u vysokých módu doprovázena
lokálnı́mi minimy. Tyto minima jsou také dobře zřejmá z obrázků 4.10 - 4.12, které
následujı́ na několika dalšı́ch stránkách.
4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU
34
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.4: Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 0. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr
4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU
35
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.5: Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 8. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr
4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU
36
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.6: Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 26. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr
4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU
37
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.7: Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 40. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr
4.1. BUZENÍ MIKROTUBULU
38
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.8: Rozloženı́ a) E, b) H a zobrazenı́ c) S, při buzenı́ mikrotubulu podélnou
vlnou s módem 50. Barva udává velikost veličiny a šipky jejı́ směr
4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ39
osa MT
konec
mikrotubulu
střed
mikrotubulu
23 nm
50 nm
90 nm
Obrázek 4.9: Zobrazenı́ řezů, ve kterých jsou porovnávány módy 0, 8, 26, 40 a
50. Modré čáry značı́ vzdálenosti podél osy mikrotubulu a černé (čárkovaná) značı́
radiálnı́ vzdálenosti od středu a od konce mikrotubulu
Obrázky 4.10 - 4.12 popisujı́ závislost intenzity elektrického a magnetického pole
a Poyntingova vektoru na vzdálenosti podél osy mikrotubulu ve vzdálenostech 90nm,
50nm a 23nm od stěny mikrotubulu. Závislost E, H a S na radiálnı́ vzdálenosti od
konce a středu mikrotubulu zobrazujı́ obrázky 4.13 a 4.14, v tomto pořadı́. Obrázek
4.9 zobrazuje v jakých mı́stech jsou veličiny E, H a S vyhodnocovány. Při porovnánı́
jednotlivých módů docházı́me k závěru, že hodnoty intenzity magnetického klesajı́
rychleji u vyššı́ch módů nežli u nižšı́ch módů. V přı́padě intenzity elektrického pole
je tento trend obdobný, ale jen pro radiálnı́ vzdálenost od konce mikrotubulu. V
přı́padě radiálnı́ vzdálenosti od středu mikrotubulu se mód 0 vyznačuje tı́m, že v
malých vzdálenostech od středu mikrotoubulu dosahuje nižšı́ hodnoty, nežli módy
vyššı́ (obrázek 4.14). Je to způsobeno tı́m, že mód 0 má rozloženı́ pole jako pole
elementárnı́ho elektrického dipólu. Mezi póly dipólu s módem 0 je velmi malá hodnota intenzity elektrického pole. Naproti tomu, vyššı́ módy se vyznačujı́ tı́m, že v
okolı́ středu mikrotubulu dosahujı́ vyššı́ch hodnot intenzit elektrického pole, která
je způsobena tı́m, že tyto módy majı́ multipolárnı́ charakter. Multipóly jsou charakteristické svým nižšı́m vyzařovánı́m v porovnánı́ s dipóly.
4.2
Parametry prostředı́, frekvence, dipólový moment a ϑ
Prostředı́, ve kterém počı́táme E, H a S, jsme rozdělili na ztrátové a bezeztrátové.
Ztrátové prostředı́ odpovı́dá fyziologickému roztoku [40] a bezeztrátové [41, 42]
4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ40
Intenzita elektrického pole podél osy mikrotubulu
ve vzdálenosti 90 nm od MT
3
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
E [log(V/m)]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−1
0
1
2
vzdálenost [m]
3
4
5
−7
x 10
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
Intenzita magnetického pole podél osy mikrotubulu
ve vzdálenosti 90 nm od MT
−2
H [log(A/m)]
−3
−4
−5
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
−6
−7
−8
−1
0
1
2
vzdálenost [m]
3
4
5
−7
x 10
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
Velikost Poyntingova vektoru podél osy mikrotubulu
ve vzdálenosti 90 nm od MT
0
mod 0
mod 4
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
S [log(w/m2)]
−2
−4
−6
−8
−1
0
1
2
vzdálenost [m]
3
4
5
−7
x 10
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.10: Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 90
nm
4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ41
Intenzita elektrického pole podél osy mikrotubulu
ve vzdálenosti 50 nm od MT
3.5
3
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
E [log(V/m)]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−1
0
1
2
vzdálenost [m]
3
4
5
−7
x 10
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
Intenzita magnetického pole podél osy mikrotubulu
ve vzdálenosti 50 nm od MT
−1
−2
H [log(A/m)]
−3
−4
−5
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
−6
−7
−8
−1
0
1
2
vzdálenost [m]
3
4
5
−7
x 10
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
Velikost Poyntingova vektoru podél osy mikrotubulu
ve vzdálenosti 50 nm od MT
2
S [log(w/m2)]
0
−2
−4
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
−6
−8
−10
−1
0
1
2
vzdálenost [m]
3
4
5
−7
x 10
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.11: Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 50
nm
4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ42
Intenzita elektrického pole podél osy mikrotubulu
ve vzdálenosti 23 nm od MT
4.5
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
E [log(V/m)]
4
3.5
3
2.5
2
1.5
−1
0
1
2
vzdálenost [m]
3
4
5
−7
x 10
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
Intenzita magnetického pole podél osy mikrotubulu
ve vzdálenosti 23 nm od MT
−1
H [log(A/m)]
−2
−3
−4
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
−5
−6
−7
−1
0
1
2
vzdálenost [m]
3
4
5
−7
x 10
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
Velikost Poyntingova vektoru podél osy mikrotubulu
ve vzdálenosti 23 nm od MT
2
mod 0
mod 4
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
S [log(w/m2)]
1
0
−1
−2
−3
−4
−1
0
1
2
vzdálenost [m]
3
4
5
−7
x 10
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.12: Veličiny a) E, b) H a c) S podél osy mikrotubulu ve vzdálenosti 23
nm
4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ43
Intenzita elektrického pole v závislosti na vzdálenosti
radiálnì od konce MT
6
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
E [log(V/m)]
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
vzdálenost [m]
7
8
9
10
−8
x 10
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
Intenzita magnetického pole v závislosti na vzdálenosti
radiálnì od konce MT
−1
−1.5
H [log(A/m)]
−2
−2.5
−3
−3.5
−4
−4.5
1
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
2
3
4
5
6
vzdálenost [m]
7
8
9
10
−8
x 10
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
Velikost Poyntingova vektoru v závislosti na vzdálenosti
radiálnì od konce MT
4
mod 0
mod 8
mod 26
mod 40
mod 50
S [log(w/m2)]
2
0
−2
−4
1
2
3
4
5
6
vzdálenost [m]
7
8
9
10
−8
x 10
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.13: Veličiny a) E, b) H a c) S v závislosti na vzdálenosti radiálně od konce
mikrotubulu
4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ44
(a) Intenzita elektrického pole E [log(V /m)]
(b) Intenzita magnetického pole H [log(A/m)]
(c) Poyntingův vektor S [log(W/m2 )]
Obrázek 4.14: Veličiny a) E, b) H a c) S v závislosti na vzdálenosti radiálně od
středu mikrotubulu
4.2. PARAMETRY PROSTŘEDÍ, FREKVENCE, DIPÓLOVÝ MOMENT A ϑ45
prostředı́ jsme uvažovali jako destilovaná voda2 . Výpočet výkonu z jednoduché mikrotubulárnı́ sı́tě jsme počı́tali pro frekvence, které většinou korespondujı́ s experimenty. Zvolené frekvence a parametry ztrátového a bezeztrátového prostředı́ jsou v
tabulkách 4.1 a 4.2, v tomto pořadı́.
f
1 kHz
1 MHz
10 MHz
100 MHz
1 GHz
10 GHz
42 GHz
100 GHz
εr [−]
81
81
81
81
81
71
20
10
σ[S/m]
1
1
1
1
1,33
17,22
39,67
68,50
Tabulka 4.1: Parametry ztrátového prostředı́ pro jednotlivé frekvence
f
1 kHz
1 MHz
10 MHz
100 MHz
1 GHz
10 GHz
42 GHz
100 GHz
εr [−]
81
81
81
81
81
71
20
10
σ[S/m]
0
0
0
0
0
0
0
0
Tabulka 4.2: Parametry bezeztrátového prostředı́ pro jednotlivé frekvence
Dipólový moment heterodiméru a osa mikrotubulu svı́rajı́ úhel ϑ (obrázek 4.16).
Nastavenı́ ϑ = 0 reprezentuje longitudinálnı́ axiálnı́ kmity.
Jak je psáno výše, dipólový moment do směru osy X je px = 337D (viz. tabulka 2.1). Celkový dipólový moment můžeme vyjádřit rovnicı́.
pcelkove = pA + px
(4.6)
kde pA je aktivnı́ část dipólového momentu (část, která se aktivně podı́lı́ na generaci
elektromagnetického pole) a px je statická část dipólového momentu (vytvářı́ statické
elektrické pole, které je ale odstı́něno ionty na velice krátké vzdálenosti). Pro kHz
frekvence jsme ve smyslu článku [27, 28] popsané v části 3.1.1 odhadli velikost oscilacı́
na 1 nm. Z toho vyplývá velikost aktivnı́ části dipólového momentu.
pA = px
1 nm
1
1 nm
= px
= px ⇒ 12, 5% z px
délka heterodiméru
8 nm
8
(4.7)
Pro vyššı́ frekvence předpokládáme menšı́ velikost vibracı́ jen 1 Å a tedy velikost
aktivnı́ části dipólového momentu vycházı́.
pA = px
2
Å
0, 1 nm
1
= px
= px ⇒ 1, 25% z px
délka heterodiméru
8 nm
80
(4.8)
Destilovaná voda je reálně ztrátová na vyššı́ch frekvencı́ch (dielektrické ztráty), ale jako model
kde se ukáže celkový vyzářený výkon jsme použili médium se stejnou permitivitou jako destilovaná
voda, ale úplně bezeztrát.
4.3. POPIS SKRIPTU PRO VÝPOČET CELKOVÉHO VYZÁŘENÉHO
VÝKONU Z BUNĚČNÉ SÍTĚ MIKROTUBULŮ
4.3
46
Popis skriptu pro výpočet celkového vyzářeného
výkonu z buněčné sı́tě mikrotubulů
Skript pro výpočet elektromagnetického pole buněčné sı́tě je napsán v programu
Matlab. Je složen z hlavnı́ho zdrojového kódu a z několika funkcı́, které jsou z
hlavnı́ho kódu volány. Základnı́ myšlenka výpočtu je spočı́tat pro zadané body vyhodnocenı́ pole, jednotlivé přı́spěvky IEP a IEP od všech heterodimérů aproximovaných EEDs (obrázek 4.15 a rovnice 4.9 - 4.11). Skripty pro výpočet IEP od jednoho
MT s DM pevně natočeným do kladné části osy Z, již byly řešeny v práci [43]. V
práci [44] vznikl skript, který navı́c umožňoval natáčet směr DM heterodimérů ve
smyslu úhlu ϑ (obrázek 4.16).
osa mikrotubulu
z
z
Jp
p
r
y
a)
y
x
b)
x
f
Obrázek 4.15: a) Zobrazenı́ mikrotubulu v soustavě souřadné b) Umı́stěnı́ elementárnı́ho elektrického dipólu v soustavě souřadné
µ
¶
1
1
Idl 2
~
k sin(ϑp )
+
e−jkr · ϕ
~0
Hϕ = −
4π
jkr (jkr)2
µ
¶
Idl 2
1
1
~
Er = −
Zk cos(ϑp )
+
e−jkr · ~r0
2π
(jkr)2 (jkr)3
µ
¶
Idl 2
1
1
1
~0
~
Eϑ = −
Zk sin(ϑp )
+
+
e−jkr · ϑ
4π
jkr (jkr)2 (jkr)3
H je intenzita magnetického pole
E je intenzita elektrického pole,
I je harmonický proud,
p je dipólový moment,
(4.9)
(4.10)
(4.11)
4.4. HLAVNÍ ZDROJOVÝ KÓD
47
k je konstanta šı́řenı́,
Z je vlnová impedance,
j je imaginárnı́ jednotka (j 2 = −1) a dalšı́ symboly jsou patrné z obrázku 4.15.
V této práci se budeme zabývat natočenı́m celého MT a DM jednotlivých heterodimérů, dopočı́tánı́m magnetické složky pole a vytvořenı́m skriptu pro výpočet
elektromagnetického pole od jednoduché sı́tě MT. Dále budeme počı́tat velikost
Poyntingova vektoru a celkový vyzářený výkon z jednoduché buněčné sı́tě mikrotubulů. A na závěr budeme porovnávat výsledky z modelu s experimentálně zı́skanými
daty.
osa
mikrotubulu
dipólový
moment
heterodimeru
z
úhel
theta
J
pA
pA
pA
pA
pA
y
x
f
úhel fí
Obrázek 4.16: Mikrotubul s posunutými protofilamenty a zobrazenı́ dipólového momentu heterodimerů
4.4
Hlavnı́ zdrojový kód
Hlavnı́ zdrojový kód se skládá z několika částı́. Prvnı́ je deklarace proměnných a
parametrů pro nastavenı́ prostředı́, frekvence a geometrie. Druhá obsahuje samotný
výpočet veličin a v poslednı́ části se nacházı́ vykreslenı́. Ještě před samotnou inicializacı́ proměnných, se nastavuje rozloženı́ MTs v prostoru. Rozmı́stěnı́ MTs je možné
provést dvěma způsoby:
• Pro přı́pad rovnoměrného rozloženı́ můžeme použı́t funkci
fceRRmin e“,
”
4.5. FUNKCE PRR
48
která je napsána v Matlabu, nebo načı́st souřadnice z předem spočteného souboru. Soubor nám spočte program napsaný v C++, který se jmenuje rov”
noměrné rozloženı́“ na sférické ploše s minimálnı́ potenciálnı́ energiı́ [45].
• V přı́padě, že si chceme rozmı́stit MTs do libovolných směrů, můžeme zadat
přı́mo jednotlivé úhly ds“ a ζ“.
”
”
Dále pokračuje nastavenı́ bodů vyhodnocenı́ pole. Vyhodnocovat pole je možné
bud’ v rovině YZ procházejı́cı́ kolmo na osu X, nebo na sférické ploše. Pro zobrazenı́
rozloženı́ velikosti a směru jednotlivých veličin je použito nerovnoměrného rozloženı́
zajištěného funkcı́ sphere“. Pro výpočet celkového vyzářeného výkonu je použito
”
rovnoměrné rozloženı́.
Po inicializaci proměnných následuje vlastnı́ výpočet. Ten je zahájen třemi forcykly. Prvnı́ dva sloužı́ k průchodu přes všechny body vyhodnocenı́ pole a třetı́, je pro
úhel φ“, který určuje umı́stěnı́ PTs v rovině XY. Uvnitř for-cyklů se nacházı́ funkce
”
PRR“ (posun rotace-rotace), která (viz. přı́loha B) je jádrem celého skriptu a
”
skládá se z několika funkcı́ (obrázek 4.17), ve kterých se řešı́ jednotlivé části výpočtu.
vstup z hlavního zdrojového kódu
(souřadnice budu vyhodnocení pole, číslo PT a konstanty)
3. funkce: rotace
zdrojový kód: rotaceMTaDM
zdrojový kód: PRR
výstup do hlavního zdrojového kódu
(příspěvky IEP a IMP do směrů os X, Y a Z
z jednoho protofilamenta )
Obrázek 4.17: Struktura funkce posun rotace-rotace
4.5
Funkce PRR
Funkce PRR počı́tá přı́spěvky elektrické a magnetické složky pole od jednotlivých
heterodimérů v PT. Začátek funkce PRR obsahuje dalšı́ funkci rotaceMTaDM a jejı́
zdrojový kód. Vstupnı́ data pro zdrojový kód funkce PRR předpřipravuje funkce
rotaceMTaDM.
4.5. FUNKCE PRR
4.5.1
49
Funkce rotaceMTaDM
Tato funkce nejprve nastavı́ velikost DM jednotlivých heterodimérů, podle toho,
jestli počı́táme s podélnou vlnou (viz. část 4.1.1), bez podélné vlny, nebo máme
náhodné buzenı́. Dále se nastavı́ hodnota posunu PT a to bud’ na přı́slušný posun
podle tabulky 4.3 (obrázek 4.18), nebo na nulu (bez posunu). Poté se vypočı́tajı́
čı́slo PT
posun vůči 1. PT [nm]
čı́slo PT
posun vůči 1. PT [nm]
2
3
4
5
6
7
-4.92
-1.84
-6.76
-3.68
-0.6
2.48
8
9
10
11
12
13
-2.44
0.64
-4.28
-1.2
-6.12 -3.04
Tabulka 4.3: Podélné posunutı́ protofilament v mřı́žce A
souřadnice aproximovaných heterodimérů pomocı́ rovnic 4.12 - 4.14.
xHet = (D/2) cos(ϕ)
(4.12)
yHet = (D/2) sin(ϕ)
(4.13)
zHet = (0 : 8 · 10−9 : Lp) − posun
(4.14)
Kde D je střednı́ průměr MT (21 nm), Lp je délka a posun je posun PTs podle
tabulky 4.3. Z úhlu ϑ“ se spočtou koncové body DMs pomocı́ rovnic 4.15 - 4.17,
”
které po natočenı́ sloužı́ k určenı́ směru DM natočeného dipólu.
xDM = xHet + (5nm) sin(ϑ) cos(ϕ)
(4.15)
yDM = yHet + (5nm) sin(ϑ) sin(ϕ)
(4.16)
zDM = zHet + (5nm) cos(ϑ)
(4.17)
Význam úhlů ϑ a ϕ je patrný z obrázku 4.16.
4.5.2
Funkce rotace
Na body vypočtené v rovnicı́ch 4.12 - 4.17 se uplatnı́ funkce rotace, která realizuje
natáčenı́ MTs. Myšlenka natočenı́ MTs, DMs a zjištěnı́ směru DMs jednotlivých
heterodimérů je řešena následujı́cı́m způsobem. Souřadnice vložené do funkce rotace
se nejprve vyzvednou nad nulu konstantou zdvih“ (rovnice 4.18). Poté se pomocı́
”
4.5. FUNKCE PRR
50
7
1
4,92nm
4,92nm
4,92nm
2
3
4
5
6
8
9
11
10 1213
8nm
...
Obrázek 4.18: Plášt’ mikrotubulu s posunem protofilament v mřı́žce A
rovnic 4.19 - 4.21 natočı́ ve smyslu úhlů χ“ a ζ“ (obrázek 4.19).
”
”
z00 = z00 + zdvih
(4.18)
x3 = −x00 sin(χ) − y00 cos(χ)
(4.19)
y3 = x00 cos(ζ) cos(χ) − y00 cos(ζ) sin(χ) + z00 sin(ζ)
(4.20)
zz0 = −x00 sin(ζ) cos(χ) + y00 sin(ζ) sin(χ) + z00 cos(ζ)
(4.21)
Úhel χ natáčı́ PTs kolem aktuálnı́ osy MT. Poté se zjišt’uje vzdálenost bodů od
osy Z, čı́mž zı́skáme poloměr kružnice R“, po které budeme body natáčet o úhel
”
ds“ (obrázek 4.19). Pomocı́ rovnic 4.21, 4.23 a 4.24 zı́skáme souřadnice natočených
”
EEDs - xx0, yy0 a zz0.
uhelP om = arctan 2(x3 , y3 )
xx0
yy0
π
= R sin(−ds + uhelP om + )
2
π
= R cos(−ds + uhelP om + )
2
(4.22)
(4.23)
(4.24)
Stejný způsob natočenı́ se uplatnı́ na koncové body DM a zı́skáme souřadnice
xk , yk a zk . Z vrácených souřadnic je pomocı́ směrových vektorů vypočten úhel ξ“
”
a pomocı́ souřadnic x0 a y0 je vypočten úhel η“ (obrázek 4.20). Úhly eta a ksi
”
a souřadnice heterodimerů jsou vstupnı́mi daty pro zdrojový kód ve funkci PRR
(odvozenı́ zdrojového kódu pro funkci PRR je v přı́loze B). Funkce PRR počı́tá
jak elektrickou, tak i magnetickou složku pole. Uvažuje ztrátové, nebo bezeztrátové
prostředı́ a fázi. Výsledkem funkce PRR je spočtený přı́spěvek elektrické a magnetické složky od jednoho PT rozdělen do směrů os X, Y a Z. Tyto přı́spěvky jsou dále
4.5. FUNKCE PRR
51
z
c
úhel
chi
protofilamentum
úhel
zeta
z
c
zdvih
D/2
D/2
ds
c
x
úhel
ds
úhel
chi
Obrázek 4.19: Natočenı́ mikrotubulu ve smyslu úhlů ζ, ds a χ
Obrázek 4.20: Výpočet natočenı́ dipólového momentu - úhly η a ξ
ukládány do 3D matic3 intenzit elektrického a magnetického pole,4 , které když obsa3
4
3D matici chápeme jako 3D tenzor.
Řádek matice udává čı́slo protofilamenta, sloupec vyjadřuje čı́slo heterodiméru a podlažı́ch je
10 (3. rozměr matice).
4.5. FUNKCE PRR
52
hujı́ přı́spěvky od všech EED z 1 MT (tedy jsou spočtena všechna protofilamenta),
se bud’ všechny sečtou na jednu hodnotu a uložı́ do jiné 3Dp matice5 na přı́slušné
mı́sto v přı́padě veličin E a H, nebo se z nich spočte Poyntingův vektor a uložı́ se
také do jiné 3Dp (SxxPT, ...) matice na přı́slušné mı́sto dané souřadnicemi bodů
vyhodnocenı́ pole. 3Dp matic je tolik, kolik je mikrotubulů v počı́tané struktuře a
všechny 3Dp matice se postupně sčı́tajı́ do finálnı́ matice. Finálnı́ matice pro E jsou
EEEx3D, EEEy3D a EEEz3D, pro H to jsou HHHx3D, HHHy3D a HHHz3D a pro
S to jsou SxxMT, SyyMT a SzzMT. U těchto matic čı́slo řádku a sloupce odpovı́dá
čı́slu řádku a sloupce v maticı́ch pro souřadnice os X, Y a Z. Ve třetı́m rozměru
3D matice jsou v podlažı́ch pouze přı́spěvky od jednotlivých členů složek EED6 .
Nakonec jsou matice bud’ sečteny po podlažı́ch (dostáváme 2D matici s výslednou
hodnotou E, H nebo S v závislosti na souřadnicı́ch os X, Y a Z) a vykresleny nebo
jsou vykreslena přı́mo jednotlivá podlažı́ neboli jednotlivé přı́spěvky členů složek
EED. Členy složek EED jsou do podlažı́ rozděleny podle tabulek 4.4, 4.5 a 4.6 ),
kde čı́slo indexu znamená mocninu členu jkr. Dále jsou tyto matice využity v části
počı́tánı́ Poyntingova vektoru, vykreslovánı́ modulu a směru EEP, EMP a S.
čı́slo podlažı́ v 3D mat.
1
2
3
4
5
6
Eϑ1
Eϑ2
Eϑ3
Eϑ1
Eϑ2
Eϑ3
čı́slo podlažı́
7
8
9
10
člen složky Eϑ
0
0
0
0
člen složky Eϑ
Tabulka 4.4: Rozloženı́ členů složky Eϑ do jednotlivých podlažı́ 3D matice. Čı́sla v
indexu znamenajı́ mocninu členu jkr
čı́slo podlažı́ 3D mat.
1
2
3
4
5
6
člen složky Er
0
0
0
0
0
0
čı́slo podlažı́
7
8
9
10
Er2
Er3
Er2
Er3
člen složky Er
Tabulka 4.5: Rozloženı́ členů složky Er do jednotlivých podlažı́ 3D matice. Čı́sla v
indexu znamenajı́ mocninu členu jkr
Při vzniku tohoto skriptu jsme nerozdělovali výpočet do výpočtu jednotlivých
složek, ale počı́tali jsme přı́mo, tak jak jsou rovnice 4.9 - 4.11 pro EED napsány
5
Jsou to matice v Matlabu EEx, ..., HHx, ... .Řádek - souřadnice na ose X, sloupec - čı́slo
souřadnice na ose Y, podlažı́ určuje čı́slo protofilamenta, p znamená pomocná.
1
6
Napřı́klad složka Eϑ má tři členy, dané jednotlivými mocninami výrazu jkr
.
4.5. FUNKCE PRR
53
čı́slo podlažı́ 3D mat.
člen složky Hϕ
1
2
3
4
5
6
Hϕ1
Hϕ1
Hϕ1
Hϕ2
Hϕ2
Hϕ2
7
8
9
10
Hϕ1
Hϕ1
Hϕ2
Hϕ2
čı́slo podlažı́
člen složky Hϕ
Tabulka 4.6: Rozloženı́ členů složky Hϕ do jednotlivých podlažı́ 3D matice. Čı́sla v
indexu znamenajı́ mocninu členu jkr
(v komplexnı́m oboru). Při výpočtech v bezeztrátovém prostředı́ jsme však narazili
na problém, se sčı́tánı́m jednotlivých členů rovnic (EED), které jsou reprezentovány
přı́slušnou mocninou členu jkr ve výrazu
1
.
jkr
Problém byl odhalen v přı́padě výpočtu
v bezeztrátovém prostředı́, kde výsledkem spočteného výkonu v blı́zké zóně (viz. A)
nebyla pouze hodnota z pole vzdáleného, ale ještě nějaká dalšı́. Jak ukazuje přı́loha
D.1 v bezeztrátovém prostředı́ se na přenosu energie podı́lı́ pouze členy popisujı́cı́
vzdálenou zónu. Při hlubšı́m zkoumánı́ dı́lčı́ch výpočtů jsme zjistili, že problém je
ve (známém) jevu sčı́tánı́ a odečı́tánı́ malých a velkých čı́sel a také ve způsobu jak
Matlab počı́tá s radiány. Podrobnějšı́ popis vzniklých problémů můžete nalézt v
části E. Tento vzniklý problém nás vedl k rozdělenı́ výpočtu na jednotlivé členy
s přı́slušnou mocninou jkr. Ve výpočtu za výstupem funkce PRR vzniká šest 3D
matic (2x3, 2 - IMP a IEP a 3 - osy X, Y a Z), ve kterých se v průběhu výpočtu
nashromáždı́ data o přı́spěvcı́ch elektrického a magnetického pole do směrů os X, Y
a Z od všech EED z jednoho mikrotubulu. Struktura matic je následujı́cı́ (řádek x
sloupec x podlažı́).
3DM AT ICE = pP T s × pHet × 10
(4.25)
kde pPTs je počet protofilament (13), pHet je počet heterodimérů v protofilamentu
(záležı́ na nastavenı́, ve výpočtech použito 150) a 10 je počet kombinacı́ členů rovnic
EED při výpočtu Poyntingova vektoru (tabulka 4.7)
Čı́slo kombinace
Kombinace
Čı́slo kombinace
Kombinace
1
2
3
4
5
6
Eϑ1 H1ϕ
Eϑ2 H1ϕ
Eϑ3 H1ϕ
Eϑ1 H2ϕ
Eϑ2 H2ϕ
Eϑ3 H2ϕ
7
8
9
10
Er2 H1ϕ
Er3 H1ϕ
Er2 H2ϕ
Er3 H2ϕ
Tabulka 4.7: Kombinace členů složek Eϑ , Er a Hϕ pro výpočet Poyntingova vektoru.
Čı́sla v indexu znamenajı́ mocninu členu jkr
Předtı́m nežli se vytvořı́ těchto šest 3D matic, tedy ještě předtı́m nežli se uplatnı́
část funkce PRR (posun-rotace-rotace a přepočet do kartézské soustavy souřadné)
4.6. VÝPOČET POYNTINGOVA VEKTORU A VÝKONU
54
se spočı́tajı́ tři jiné 3D f-matice (jeden řádek x sloupců podle počtu heterodiméru
v protofilamentu x 10). Tyto tři f-matice jsou naplněny podle tabulek 4.4, 4.5 a
4.6 tak, aby při výpočtu Poyntingova vektoru vznikly kombinace na jednotlivých
podlažı́ch podle tabulky 4.7.
Tento způsob výpočtu na jednu stranu dává přesnějšı́ výsledky a umožňuje sledovat, jak se která kombinace chová, ale na druhou stranu několikanásobně zvýšil
výpočetnı́ náročnost. Nabı́zela se zde ještě jedna varianta řešenı́ těchto problémů, a
to počı́tat v Matlabu s většı́ přesnostı́ nežli jen na 16 mı́st + exponent. Tato varianta
by určitě zvýšila výpočetnı́ náročnost, a to i v částech kódu, kde nenı́ potřeba. Dále
by se muselo zkoumat, jak velká má být přesnost, aby nedocházelo k výše popsaným
problémům. Dalšı́m možným vylepšenı́m by mohlo být výpočet zefektivnit tı́m, že
bychom vytvořit velkou 3D matici souřadnic všech dipólu najednou a snı́ pracovat.
Jestli by tato metoda ušetřila významný čas by se muselo prozkoumat (možná bude
tématem dalšı́ práce).
4.6
Výpočet Poyntingova vektoru a výkonu
Poyntingův vektor je počı́tán, jak je psáno výše, po jednotlivých členech složek EED.
Kombinace členů složek jsou v jednotlivých podlažı́ch 3D matic uspořádány podle
tabulky 4.7. K výpočtu jsme využili následujı́cı́ rovnice pro výpočet Poyntingova
vektoru ze složek rozdělených do směrů kartézské soustavy souřadné.
Složky intenzity elektrického a magnetického pole rozepsané do směrů os kartézské
soustavy souřadné.
~ = Ex ejϕx ~x0 + Ey ejϕy ~y0 + Ez ejϕz ~z0
E
(4.26)
~ = Hx e
H
(4.27)
jϕ0x
jϕ0y
~x0 + Hy e
jϕ0z
~y0 + Hz e
~z0
~ ∗ = Hx e−jϕ0x ~x0 + Hy e−jϕ0y ~y0 + Hz e−jϕ0z ~z0
H
(4.28)
Složky Poyntingova vektoru rozepsané do směrů os kartézské soustavy souřadné
jsou vyjádřeny rovnicemi 4.29 - 4.31. Tyto složky se počı́tajı́ ve skriptu s 3D maticemi
s 10ti podlažı́mi.
~x = (Ey Hz ej(ϕy −ϕ0z ) − Ez Hy ej(ϕz −ϕ0y ) )~x0
S
(4.29)
~y = (Ez Hx e
S
)~y0
(4.30)
~z = (Ex Hy ej(ϕx −ϕ0y ) − Ey Hx ej(ϕy −ϕ0x ) )~z0
S
(4.31)
j(ϕz −ϕ0x )
− Ex Hz e
j(ϕx −ϕ0z )
Výslednou hodnotu Poyntingova vektoru zı́skáme podle vztahu 4.32.
o
1 n~
∗
~
~
Sstr = Re E × H = S~x + S~y + S~z
2
(4.32)
4.6. VÝPOČET POYNTINGOVA VEKTORU A VÝKONU
55
Výpočet výkonu
Výslednou hodnotu ze vztahu 4.32 vynásobı́me cos(α), kde α je úhel (obrázek 4.21),
který svı́rá výsledná hodnota Sstr a Sr . Takto zı́skáme radiálnı́ část Sr . Pro výpočet
Obrázek 4.21: Vyjádřenı́ úhlu alfa mezi směrem Sstr a Sr
výkonu potřebujeme ještě vědět, přes jakou plošku Sm2 teče Sr . To zjistı́me velmi jednoduše, protože body na sférické ploše jsou rozděleny rovnoměrně, spočte se ploška
Sm2 z následujı́cı́ho výrazu.
Sm2 =
4πr2
pb
(4.33)
Kde r je poloměr sférické plochy a pb je počet bodů na sférické ploše. Pak je výsledný
výkon dán vztahem.
P = Sm2 · Sr
(4.34)
Kapitola 5
Výsledky z programu Matlab a
diskuse
5.1
Výsledky z programu Matlab
Obrázek 5.1: Rovnoměrné rozloženı́ mikrotubulů na sférické ploše o průměru 200
nm. Mikrotubuly znázorněny červeně
Vytvořili jsme dva jednoduché modely mikrotubulárnı́ sı́tě. Prvnı́ model reprezentuje mikrotubulárnı́ sı́t’ nedělı́cı́ se buňky (obrázek 2.20). U tohoto modelu jsou
mikrotubuly rozloženy symetricky1 na sférické ploše o poloměru 200 nm2 (obrázek
5.1). Druhý model je model nesymetrického rozloženı́ mikrotubulů na sférické ploše,
který reprezentuje mikrotubulárnı́ sı́t’ v jiné fázy buněčného cyklu, napřı́klad při
buněčném dělenı́ (obrázek 5.2). U obou modelů je použitý stejný počet mikrotubulů
(100 MT) a stejné typy okolnı́ho prostředı́ (ztrátové - tabulka 4.1 a bezeztrátové 1
2
S minimálnı́ potenciálnı́ energiı́.
Kulová plocha s poloměrem 200 nm představuje jednoduchou aproximaci povrchu centrozomu.
56
5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB
57
Obrázek 5.2: Nerovnoměrné rozloženı́ mikrotubulů na sférické ploše o průměru 200
nm. Mikrotubuly znázorněny červeně
tabulka 4.2). Pro oba modely jsme počı́tali vyzářený výkon v několika vzdálenostech
od hranice mikrotubulárnı́ sı́tě, která je ve skutečnosti navázána na buněčnou stěnu3 .
Vzhledem k velké výpočetnı́ náročnosti jsme počı́tali výkon jen v šesti bodech od
buněčné stěny a pro nesymetrické rozloženı́ jsme uvažovali jen mód 0. V části o
podélné vlně 4.1.1 jsme analyzovali mikrotubulus s 50 heterodiméry v jednom protofilamentu, který byl buzen podélnou vlnou s módy 0, 8, 26, 40 a 50. Při výpočtech
výkonu od jednoduché mikrotubulárnı́ sı́tě jsme použili mikrotubulus se 150 heterodiméry v jednom protofilamentu a budili jsme ho podélnou vlnou s módy 0, 10, 50,
100 a 150. V této práci přı́mo neuvádı́me rozloženı́ módů 0, 10, 50, 100 a 150, ale
můžete je nalézt na přiloženém CD.
Následujı́cı́ obrázky4 5.3 - 5.8 zobrazujı́ závislost výkonu vyzářeného symetrickým a nesymetrickým uspořádánı́m mikrotubulů v závislosti na vzdálenosti od
buněčné stěny pro frekvence 1 kHz a 42 GHz. Obrázky 5.9 a 5.10 zobrazujı́ porovnánı́
obou modelů ve všech frekvencı́ch (tabulka 4.1) pro nultý mód podélné vlny. Dalšı́
výsledky naleznete na přiloženém CD. Obrázky 5.3 a 5.5 popisujı́ vyzářený výkon za
použitı́ symetrického modelu. Z hodnot výkonů pro bezeztrátové i ztrátové prostředı́
se dá usoudit, že model se chová tak, že největšı́ hodnoty výkonu jsou při buzenı́
podélnou vlnou s módem 0. U ostatnı́ch módů jsou průběhy téměř totožné. Z porovnánı́ závislostı́ frekvencı́ na velikosti výkonu (obrázek 5.5) vyplývá, že čı́m je
frekvence vyššı́, tı́m je většı́ hodnota výkonu.
Výsledky z nesymetrického modelu znázorňujı́ obrázky 5.6 - 5.8. Na těchto obrázcı́ch
3
4
V modelu neuvažujeme vliv buněčné stěny.
Poznámka autora: Výpočetnı́ čas jednoho obrázku obsahujı́cı́ho závislost vyzářeného výkonu
na vzdálenosti pro 5 módů na jedné frekvenci v 7 bodech od buněčné membrány se na počı́tači s
2,5 GHz procesorem počı́tal okolo 20 hodin (obrázek 5.4 a)).
5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB
58
Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, symetricke rozlozeni MT
f = 1.0e+003 Hz; prostredi − ztratove
−30
Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, symetricke rozlozeni MT
f = 1.0e+003 Hz; prostredi − bezeztratove
−52.15
−52.2
mod 0
mod 10
mod 50
−40
mod 100
mod 150
vykon [log(W)]
vykon [log(W)]
−35
mod 0
−52.25
mod 10
−52.3
mod 50
−52.35
mod 100
−52.4
mod 150
−45
−52.45
−50
−6
−52.55
−6
−52.5
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
1
−5
(a)
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
1
(b)
Obrázek 5.3: Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány
pro frekvenci oscilacı́ 1 kHz pro módy 0, 10, 50, 100 a 150. a) ztrátové prostředı́ b)
bezeztrátové prostředı́ (symetrický model)
Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, symetricke rozlozeni MT
f = 4.2e+010 Hz; prostredi − ztratove
−10
−20
−22
mod 0
−30
mod 10
−40
mod 50
−50
mod 100
−60
mod 150
vykon [log(W)]
vykon [log(W)]
Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, symetricke rozlozeni MT
f = 4.2e+010 Hz; prostredi − bezeztratove
−21.95
mod 10
−22.1
mod 50
−22.15
mod 100
−22.2
mod 150
−70
−22.25
−80
−22.3
−90
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
1
(a)
mod 0
−22.05
−22.35
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
1
(b)
Obrázek 5.4: Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro
frekvenci oscilacı́ 42 GHz pro módy 0, 10, 50, 100 a 150. a) ztrátové prostředı́ b)
bezeztrátové prostředı́ (symetrický model)
můžete vidět jedenáct průběhů výkonů v závislosti na vzdálenosti. Prvnı́ch deset
průběhů představuje výkony jednotlivých členů složek elementárnı́ho elektrického
dipólu a poslednı́ (čárkovaný) průběh je celkový součet prvnı́ch deseti průběhů. V
přı́padě bezeztrátového prostředı́ je zobrazeno méně průběhů, protože nezobrazené
průběhy jsou nulové (viz. přı́loha D.1).
Na poslednı́ch dvou obrázcı́ch 5.9 a 5.10 je znázorněno porovnánı́ hodnot výkonů
z obou modelů. Při porovnánı́ módu 0 z obou modelů vycházı́, že symetrický model ve ztrátovém prostředı́ zářı́ méně nežli nesymetrický model (obrázek 5.9). U
5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB
59
Porovnani frekvenci, symetricke rozlozeni MT, mod 0
prostredi − bezeztratove
Porovnani frekvenci, symetricke rozlozeni MT, mod 0
prostredi − ztratove
−20
0
−60
−30
vykon [log(W)]
vykon [log(W)]
−40
1 kHz
1 MHz
10 MHz
100 MHz
1 GHz
10 GHz
42 GHz
100 GHz
−25
1 kHz
1 MHz
10 MHz
100 MHz
1 GHz
10 GHz
42 GHz
100 GHz
−20
−35
−40
−45
−80
−100
−6
−50
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
−55
−6
1
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
(a)
1
(b)
Obrázek 5.5: Výkony v jednotlivých frekvencı́ch pro mod 0. a) ztrátové prostředı́ b)
bezeztrátové prostředı́ (symetrický model)
−60
−65
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, nesymetricke rozlozeni MT
f = 1.0e+003 Hz; prostredi − bezeztratove
−30
H1Ed1
H1Ed2 0
−35
H1Ed3
H2Ed1 0
H2Ed2
−40
H2Ed3 0
H1Er2 0
−45
H1Er3
H2Er2
−50
H2Er3 0
soucet
−55
vykon [log(W)]
vykon [log(W)]
Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, nesymetricke rozlozeni MT
f = 1.0e+003 Hz; prostredi − ztratove
−25
H1Ed1
H1Ed2
−30
H1Ed3
H2Ed1
−35
H2Ed2
−40
H2Ed3
H1Er2
−45
H1Er3
H2Er2
−50
H2Er3
−55
soucet
1
−60
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
(a)
1
(b)
Obrázek 5.6: Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány
pro frekvenci oscilacı́ 1 kHz a mod 0. a) ztrátové prostředı́ b) bezeztrátové prostředı́
(nesymetrický model)
ostatnı́ch módů vycházı́ hodnota stejná. Tato stále vysoká symetrie může být způsobena
typem rozloženı́ mikrotubulů na pólech nesymetrického modelu.
Na obrázku 5.115 vidı́te intenzitu elektrického pole v závislosti na vzdálenosti od
pólu“, nebo rovnı́ku“ buňky. Pro oba dva modely platı́, že intenzita elektrického
”
”
pole s rostoucı́ vzdálenostı́ klesá a u symetrického modelu klesá rychleji nežli u nesymetrického modelu. Několikařádový rozdı́l mezi průběhy symetrického a nesymetrického modelu je způsoben blı́zkopólovými složkami, které se nepodı́lı́ na přenosu
5
Bylo použito ztrátové prostředı́ a frekvence 42 GHz.
5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB
−120
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, nesymetricke rozlozeni MT
f = 4.2e+010 Hz; prostredi − bezeztratove
−15
H1Ed1
H1Ed2 0
−20
H1Ed3
H2Ed1 0
H2Ed2
−25
H2Ed3 0
H1Er2 0
−30
H1Er3
H2Er2
−35
H2Er3 0
soucet
−40
vykon [log(W)]
vykon [log(W)]
Zavislost vyzareneho vykonu na vzdalenosti, nesymetricke rozlozeni MT
f = 4.2e+010 Hz; prostredi − ztratove
0
H1Ed1
H1Ed2
−20
H1Ed3
H2Ed1
H2Ed2
−40
H2Ed3
H1Er2
−60
H1Er3
H2Er2
−80
H2Er3
soucet
−100
60
−45
−6
1
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
(a)
1
(b)
Obrázek 5.7: Závislost vyzářeného výkonu na vzdálenosti od buněčné membrány pro
frekvenci oscilacı́ 42 GHz a mod 0. a) ztrátové prostředı́ b) bezeztrátové prostředı́
(nesymetrický model)
Porovnani frekvenci, nesymetricke rozlozeni MT, mod 0
prostredi − bezeztratove
Porovnani frekvenci, nesymetricke rozlozeni MT, mod 0
prostredi − ztratove
−20
1 kHz
1 MHz
10 MHz
100 MHz
1 GHz
10 GHz
42 GHz
100 GHz
−50
−100
1 kHz
1 MHz
10 MHz
100 MHz
1 GHz
10 GHz
42 GHz
100 GHz
−25
−30
vykon [log(W)]
vykon [log(W)]
0
−35
−40
−45
−50
−150
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
1
(a)
−55
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
vzdalenost od membrany r [log(m)]
(b)
Obrázek 5.8: Výkony v jednotlivých frekvencı́ch pro mod 0. a) ztrátové prostředı́ b)
bezeztrátové prostředı́ (nesymetrický model)
energie od zdroje, tedy se ani neprojevı́ na spočı́taném výkonu. Výkon v blı́zkosti
mikrotubulárnı́ sı́tě vycházı́ pro oba modely téměř stejný, ale intenzita elektrického
pole je vyššı́ pro nesymetrický model. Tato zvýšená intenzita elektrického pole v
blı́zkém poli by se dala využı́t na měřenı́ pomocı́ hrotové měřı́cı́ techniky.
Ze spočtených hodnot v bezeztrátovém prostředı́ vycházı́, že vyzářený výkon je
malý a závislý na frekvenci se 4. mocninou a na velikosti dipólového momentu s
2. mocninou6 . Pole nelze měřit makroskopickými metodami z následujı́cı́ch důvodů.
6
P =
ω4
2
10πε0 c3 |p| ,
kde w je úhlová frekvence, ε0 permitivita vakua, c je rychlost světla a p je
1
5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB
k
61
k
m
Obrázek 5.9: Vzájemné porovnánı́ obou modelů ve ztrátovém prostředı́ pro všechny
frekvence při buzenı́ mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. N - nesymetrické
rozloženı́ mikrotubulů, S - symetrické rozloženı́ mikrotubulů
k
k
m
Obrázek 5.10: Vzájemné porovnánı́ obou modelů v bezeztrátovém prostředı́ pro
všechny frekvence při buzenı́ mikrotubulu podélnou vlnou s módem 0. N - nesymetrické rozloženı́ mikrotubulů, S - symetrické rozloženı́ mikrotubulů
Zaprvé hodnoty spočteného výkonu jsou velmi malé, zadruhé bylo by nutné měřit ve
velmi malých vzdálenostech (řádově µm) a zatřetı́ na povrchu buněčné membrány
má intenzita elektrického pole prostorové rozloženı́, které by v přı́padě nevhodně
tlusté měřicı́ sondy mohlo způsobit vyprůměrovánı́ měřené veličiny.
Vyššı́ módy na mikrotubulu zářı́ méně nežli módy nižšı́. Ve vyššı́ch módech
dipólový moment.
5.1. VÝSLEDKY Z PROGRAMU MATLAB
62
od “pólu”
od “rovníku”
Obrázek 5.11: Intenzita elektrického pole počı́taná v závislosti na vzdálenosti od
pólu“ nebo rovnı́ku“ buňky. N - nesymetrické rozloženı́ mikrotubulů, S - symet”
”
rické rozloženı́ mikrotubulů
vibračnı́ch se kompenzujı́ sousednı́ elementárnı́ elektrické dipóly.
Symetrické rozloženı́ je jednoduchý model, který modeluje symetrii v buňce.
V buňce je rozloženı́ mikrotubulárnı́ sı́tě mnohem složitějšı́, nenı́ tam geometrická
symetrie, ale může tam být symetrie obecnějšı́ (fázová).
Skutečná hodnota dipólového momentu může být jiná v rozsahu jednotek řádů.
Pro frekvence v okolı́ kHz jsme vycházeli z experimentálně zjištěné hodnoty oscilacı́
buněčné membrány Pellingem [27, 28] 1 - 10 nm a okolo GHz jsme odhadli rozkmit
podle amplitudy tepelných kmitů. Na rozdı́l od amplitudy tepelných kmitů, které
jsou náhodné, námi uvažované oscilace jsou koherentnı́, což je také důvod , proč naše
modely v kombinaci s geometrickou symetriı́ tak málo zářı́. Hodnota 0,1 nm je spodnı́
hranice mechanických kmitů, které jsme mohli nastavit. Kdybychom chtěli simulovat
většı́ amplitudu kmitů, způsobenou třeba kondenzacı́ energiı́ v uvažovaném módu
(jak napřı́klad popisuje Fröhlichova teorie), tak bychom mohli dát většı́ amplitudu
kmitů napřı́klad na 1 GHz mı́sto 0,1 nm, nastavit rozkmit na 1 nm a výkon by se měl
100x zvětšit, protože výkon je závislý s druhou mocninou na dipólovém momentu.
Model, který jsme uvažovali při mechanické oscilaci heterodimérů v protofilamentu, nenı́ úplně přesný, protože se na heterodiméry dı́váme jako na tvrdé částice
v jednom řetězci. Ve skutečnosti nejsou vibrace v mikrotubulu přenášeny pouze v
tomto řetezci, tedy v protofilamentu, ale také vzájemně mezi jednotlivými protofilamenty. Vlivem interakcı́ mezi protofilamenty vznikajı́ dalšı́ vibračnı́ módy (radiálnı́,
točivý, dýchavý, ... ), které do našich výpočtů nezahrnujeme. Pro aproximaci longitudinálnı́ch vibracı́ jsme zvolili optickou větev disperznı́ charakteristiky (obrázek
C.2). Tato aproximace se vyznačuje tı́m, že všechny módy majı́ skoro tu samou frek-
5.2. DISKUSE VÝSLEDKŮ K MĚŘÍCÍ METODICE
63
venci, což je důvod, proč jsme mohli pro jednu frekvenci spočı́tat všechny módy7 .
Optická větev disperznı́ charakteristiky popisuje část kmitů sousednı́ch částic, které
majı́ efektivně opačný náboj a jsou nejefektivnějšı́ pro generaci elektromagnetického
pole. A to byl důvod, proč jsme neuvažovali akustickou větev (obrázek C.2), protože
ta popisuje kmity částic v jednom směru.
5.2
Diskuse výsledků k měřı́cı́ metodice
Ve ztrátovém prostředı́ je narušena fázová symetrie mezi složkami intenzity elektrického a magnetického pole. Tento jev způsobuje zvýšenı́ hodnoty energie v blı́zké
zóně ztrátového prostředı́ v porovnánı́ s vyzařovánı́m v blı́zké zóně bezeztrátového
prostředı́ (přı́loha C). Možná by se tohoto jevu dalo využı́t při měřenı́. V přı́padě
experimentálnı́ měřicı́ metodiky je tomu tak, že většina buněk je alespoň 1 mm od
povrchu suspenze. Pro makroskopické měřenı́ to žádné využitı́ nemá, ale pro sondu,
která by byla velmi blı́zko, by to mohlo mı́t využitı́. Takovýto detektor musı́ splňovat
jistá kritéria. K tomu, aby se sonda navázala přes kapacitnı́ vazbu do oblasti blı́zkého
pole a vytvořila jakési vedenı́ pro přenos energie z měřeného vzorku k zesilovači, je
nutné, aby délka a vstupnı́ kapacita tohoto vedenı́ byla vhodně navržena. Také je
velmi důležité, aby byla sonda dostatečně ostrá. Tloušt’ka sondy je obecný problém,
protože velikost hrotu by optimálně měla být řádově kolem nm. Na buněčné stěně,
která je spojena s cytoskeletem, je prostorové rozloženı́ intenzity elektrického pole.
Bude-li špička detektoru široká přes celou prostorovou periodu intenzity elektrického
pole, dojde k vyprůměrovánı́ a dojde k efektivnı́mu zmizenı́ měřeného signálu. Pro
měřenı́ v blı́zkosti buněk hraje roli vı́ce intenzita elektrického pole nežli vyzářený
výkon. Náš spočtený výkon je dán předevšı́m intenzitou elektrického pole, protože
elementárnı́ elektrický dipól má v blı́zké zóně dominantnı́ elektrickou složku (člen
1
(jkr)3
ve složce Eϑ ). Poměry mezi elektrickou a magnetickou složkou se vyrovnajı́ až
ve vzdálené zóně.
Z měřenı́ [31] v oblasti 1 kHz vycházı́, že měřené výkony jsou na úrovni šumu.
Nicméně měřicı́ soustava nesplňovala požadavky na měřenı́. problémem byl nejen
málo špičatý hrot sondy, ale také přı́liš dlouhé přı́vodnı́ vedenı́, tedy velká vstupnı́
kapacita, což jsou parametry, které při měřenı́ hrajı́ velkou roli. Výkony na některých
frekvencı́ch se podařilo naměřit nad úrovnı́ šumu. Naměřil se peak v oblasti kolem 800 Hz, který může odpovı́dat některému vibračnı́mu módu. Měřı́cı́ aparatura
7
Všechny módy je myšleno od módu 0 po max mód.
5.2. DISKUSE VÝSLEDKŮ K MĚŘÍCÍ METODICE
64
umožňovala skenovat jen malý frekvenčnı́ rozsah, protože RBW8 byla nastavena na
1 Hz. Dı́ky této hodnotě bylo možné měřit až do hodnoty 10−20 W.
8
Rozlišovacı́ šı́řka pásma.
Kapitola 6
Závěr
V této práci jsme se zabývali buněčným elektromagnetickým polem. Zaměřili jsme se
konkrétněji na mikrotubulárnı́ systém buňky, který je pravděpodobným původcem
buněčného elektromagnetického pole. Popisujeme zde základy Fröhlichovy teorie a
uvádı́me několik experimentů, které se snažı́ tuto teorii potvrdit. Ve stěžejnı́ části
vznikly skripty, které umožňujı́ vytvořenı́ jednoduché mikrotubulárnı́ sı́tě se symetrickým i nesymetrickým rozloženı́m mikrotubulů a spočtenı́ vyzářeného výkonu z
této struktury. V následujı́cı́ kapitole jsou výsledky výpočtů a diskuze nad nimi
vztažena k problematice měřenı́.
I když je vyzářený výkon z buňky malý, může mı́t v buňce vliv na vnitrobuněčné
procesy, jako je transport reakčnı́ch komponent nebo časová a prostorová organizace struktur a molekul. Dále může docházet k interakci s okolı́m jako je napřı́klad
adherence buněk, silové působenı́ na dielekrické částečky na dálku a nebo k mezibuněčným interakcı́m. Všechny tyto zmı́něné významy endogennı́ho elektromagnetického pole již byly zkoumány v mnohých pracı́ch, ale ucelený pohled na problematiku pořád nenı́ dostupný. To je důvod, proč bychom měli i nadále hledat
přesnějšı́ a reálnějšı́ modely, které by utvořili obecnou představu o procesech jak
v buňce tak mimo a mezi buňkami. Proto navrhujeme jako dalšı́ postup pro vylepšenı́ našeho modelu zahrnout do výpočtů nehomogennı́ okolnı́ prostředı́, které
je doprovázeno odrazy na rozhranı́. Dále navrhujeme vytvořenı́ reálnějšı́ho geometrického rozloženı́ struktur, které vznikajı́ při buněčném dělenı́ (mitotické vřeténko).
Do přesnějšı́ho modelu by také bylo vhodné zahrnout vazbu mezi mikrotubuly a
buněčnou membránou, protože na buněčné membráně je komplexnı́ rozloženı́ náboje,
které se také může podı́let na generaci elektromagnetického pole. Ale všechny tyto
teorie a modely budou přı́nosem jen tehdy, podařı́-li se experimentálně pokrýt a
podpořit rozvoj dané problematiky a jejı́ aplikace, protože praxe bez teorie je slepá,
65
66
ale teorie bez praxe neplodná.
Přı́loha A
Složky elektrického a
magnetického pole elementárnı́ho
elektrického dipólového zářiče
Na obrázku A.1 je vidět umı́stěnı́ dipólového momentu v soustavě souřadné. Za pomocı́ sférických souřadnic, vektorového potenciálu a několika vztahů byly v [46] odvozeny následujı́cı́ rovnice. Pole v okolı́ elementárnı́ho elektrického dipólu je určeno
pouze rovnicemi A.1 - A.3. Ani jedna rovnice nenı́ závislá na úhlu ϕ a ve všech
rovnicı́ch se vyskytuje:
Obrázek A.1: Umı́stěnı́ elementárnı́ho elektrického zářiče v soustavě souřadné
67
68
H~ϕ
E~r
E~ϑ
H je intenzita
¶
µ
Idl 2
1
1
= −
k sin(ϑp )
+
e−jkr · ϕ
~0
4π
jkr (jkr)2
µ
¶
Idl 2
1
1
= −
Zk cos(ϑp )
+
e−jkr · ~r0
2
3
2π
(jkr)
(jkr)
µ
¶
1
1
1
Idl 2
~0
Zk sin(ϑp )
+
+
e−jkr · ϑ
= −
2
3
4π
jkr (jkr)
(jkr)
magnetického pole,
(A.1)
(A.2)
(A.3)
E je intenzita elektrického pole,
I je harmonický proud,
p je dipólový moment,
k je konstanta šı́řenı́,
Z je vlnová impedance,
j je imaginárnı́ jednotka (j 2 = −1) a dalšı́ symboly jsou patrné z obrázku A.1.
jwp̂ = Id~l
(A.4)
V každém bodě prostoru jsou na sebe intenzity elektrického a magnetického pole
kolmé (Ê ⊥ Ĥ). Komplikovaná závislost intenzit s proměnnou r, vyjadřuje, že pole
má v různých vzdálenostech různé vlastnosti. Podle toho jaká mocnina součinu jkr
se ve vztazı́ch uplatňuje, dělı́me pole do třı́ částı́: Nezářivá zóna, zářivá zóna a
přechodová zóna.
Nezářivá zóna
Je také někdy nazývána blı́zkou zónou. Pro jejı́ určenı́ se většinou použı́vá kritérium
kr < 0, 1“, kde k = 2π/λ a r je vzdálenost. Rovnice A.5 - A.7 ukazujı́, že mezi
”
složkami elektrického a magnetického pole je fázový posun π/2 (j). Poyntingův vektor tvořený ze složkami blı́zkého pole je rovný nule. Tato část pole se nepodı́lı́ na
přenosu energie od zdroje - nevyzařuje. Složky pole pro tuto oblast jsou:
Idl
Hϕ =
sin(ϑp ) · e−jkr
4πr2
jIdl Z
Er = −
cos(ϑp ) · e−jkr
2πr3 k
jIdl Z
Eϑ = −
sin(ϑp ) · e−jkr
4πr3 k
(A.5)
(A.6)
(A.7)
Zářivá zóna
Je také někdy označována jako vzdálená zóna. Pro jejı́ určenı́ se většinou použı́vá
kritérium kr > 10“, kde k = 2π/λ a r je vzdálenost. V této oblasti docházı́ k šı́řenı́
”
A.1. ÚPRAVA SLOŽEK ELEMENTÁRNÍHO ELEKTRICKÉHO DIPÓLU PRO
PROGRAM MATLAB
69
energie (vlna TEM) od zdroje. Poyntingův vektor má směr radiusvektoru. Vztahy
pro vzdálenou zónu jsou:
jIdl
sin(ϑp ) · e−jkr
(A.8)
4πr
jIdl
Eϑ = −
kZsin(ϑp ) · e−jkr
(A.9)
4πr
Střednı́ hodnota Poyntingova vektoru je.
½
¾2
1
1 Idl
∗
~
Sstr = Re{Êϑ × Ĥϕ } =
k sin ϑp Z r~0
(A.10)
2
2 4πr
Kde Z je vlnová impedance udávajı́cı́ poměr intenzit elektrického a magnetického
Hϕ = −
pole. Tento poměr nenı́ závislı́ na vzdálenosti stejně jako u rovinné vlny.
Eϑ
=Z
Hϕ
(A.11)
Přechodová zóna
Ležı́ mezi blı́zkou a vzdálenou zónou.
Jiným kritériem pro určenı́ hranice mezi vzdálenou a blı́zkou zónou je poměr
rovnic A.1 a A.3, který vyjadřuje impedanci vyzařovaného pole. Tato hranice je
mı́stem odkud je hodnota impedance neměnná.
r = λ/2π
A.1
(A.12)
Úprava složek elementárnı́ho elektrického dipólu
pro program Matlab
Vzorce A.1 - A.3 byly upraveny pro výpočet modulu vektoru IEP a IMP ve ztrátovém
prostředı́. Pro výpočet v bezeztrátovém prostředı́ stačı́ nastavit parametr σ = 0
(v matlabu: sigma = 0).
Bezeztrátové prostředı́
Ve ztrátovém prostředı́ je konstanta šı́řenı́ a vlnová impedance komplexnı́ čı́slo, pak
platı́:
k=
p
−jwµ(jwε + σ) = w2 µε − jwµσ = β − jα = |k|ejϕ
p
|k| = β 2 + α2 ⇒ |k|2 = β 2 + α2
wµ
|Z| =
|k|
√
−jkr
|e
| = e−j(β−jα)r ej(β+jα)r = e−αr
p
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
A.1. ÚPRAVA SLOŽEK ELEMENTÁRNÍHO ELEKTRICKÉHO DIPÓLU PRO
PROGRAM MATLAB
70
Složka pole Hϕ
Určenı́ modulu intenzity elektrického pole (složka Hϕ ).
1
1
1
1
+
= −j −
2
jkr (jkr)
kr (kr)2
1 −j π −jϕ
1
=
e 2e
−
e−2jϕ
2
|k|r
(|k|r)
(A.17)
1
|k|r
(A.18)
1
(|k|r)2
(A.19)
AAHϕ =
Et1 =
Et2 = −
π
AAHϕ = Et1 cos(− − ϕ) + Et2 cos(−2ϕ)
2
´
³
π
+ j Et1 sin(− − ϕ) + Et2 sin(−2ϕ)
2
AAHϕ = AA1 + jAA2
p
|AAHϕ | = (AA1 )2 + (jAA2 )2
(A.20)
(A.21)
(A.22)
AA2
(A.23)
AA1
Vyjádřenı́ modulů dalšı́ch členů rovnice A.1 definujı́ rovnice A.14, A.15 a A.16.
ψHϕ = arctan
Vyjádřenı́ fáze složky Hϕ .
člen rovnice ⇒ f áze
k 2 ⇒ ej2ϕ
e−jkr = e−j(β−jα)r = e−jβr e−αr
(A.24)
⇒ e−jβr
CCHϕ ⇒ ψHϕ
Celková fáze složky Hϕ .
fHϕ = ej(2ϕ+ψHϕ −βr+ϕtime )
(A.25)
Člen ϕtime představuje závislost na čase a je roven nule. Rovnice pro výpočet
složky Hϕ :
Hϕ =
Idl 2
|k| sin(ϑ)|AAHϕ |e−αr ej(2ϕ+ψHϕ −βr+ϕtime )
4π
(A.26)
A.1. ÚPRAVA SLOŽEK ELEMENTÁRNÍHO ELEKTRICKÉHO DIPÓLU PRO
PROGRAM MATLAB
71
Složka pole Er
Určenı́ modulu intenzity elektrického pole (složka Er ).
1
1
1
1
+
=−
+j
2
3
2
(jkr)
(jkr)
(kr)
(kr)3
π
1
1
=−
e−2jϕ +
ej 2 e−3jϕ
2
3
(|k|r)
(|k|r)
(A.27)
1
(|k|r)3
(A.28)
BBEr =
Et3 =
π
BBEr = Et2 cos(−2ϕ) + Et3 cos( − 3ϕ)
2
´
³
π
+ j Et2 sin(−2ϕ) + Et3 sin( − 3ϕ)
2
BBEr = BB1 + jBB2
p
|BBEr | = (BB1 )2 + (jBB2 )2
(A.29)
(A.30)
(A.31)
BB2
(A.32)
BB1
Vyjádřenı́ modulů dalšı́ch členů rovnice A.2 definujı́ rovnice A.14, A.15 a A.16.
ψEr = arctan
Vyjádřenı́ fáze složky Er .
člen rovnice ⇒ f áze
k 2 ⇒ ej2ϕ
Z ⇒ ejγ = e−jϕ
e−jkr = e−j(β−jα)r = e−jβr e−αr
(A.33)
⇒ e−jβr
BBEr ⇒ ψEr
Celková fáze složky Er .
fEr = ej(ϕ+ψEr −βr+ϕtime )
(A.34)
Člen ϕtime představuje závislost na čase a je roven nule. Rovnice pro výpočet
složky Er :
Er =
Idl
|Z||k|2 2 cos(ϑ)|BBEr |e−αr ej(ϕ+ψEr −βr+ϕtime )
4π
(A.35)
A.1. ÚPRAVA SLOŽEK ELEMENTÁRNÍHO ELEKTRICKÉHO DIPÓLU PRO
PROGRAM MATLAB
72
Složka pole Eϑ
Určenı́ modulu intenzity elektrického pole (složka Eϑ).
1
1
1
1
1
1
+
+
= −j −
+j
2
3
2
jkr (jkr)
(jkr)
kr (kr)
(kr)3
π
1 −j π −jϕ
1
1
=
e 2e
−
e−2jϕ +
ej 2 e−3jϕ
2
3
|k|r
(|k|r)
(|k|r)
CCEϑ =
π
π
CCEϑ = Et1 cos(− − ϕ) + Et2 cos(−2ϕ) + Et3 cos( − 3ϕ)
2
2
³
´
π
π
+ j Et1 sin(− − ϕ) + Et2 sin(−2ϕ) + Et3 sin( − 3ϕ)
2
2
CCEϑ = CC1 + jCC2
p
|CCEϑ | = (CC1 )2 + (jCC2 )2
(A.36)
(A.37)
(A.38)
(A.39)
CC2
(A.40)
CC1
Vyjádřenı́ modulů dalšı́ch členů rovnice A.3 definujı́ rovnice A.14, A.15 a A.16.
ψEϑ = arctan
Vyjádřenı́ fáze složky Eϑ:
člen rovnice ⇒ f áze
k 2 ⇒ ej2ϕ
Z ⇒ ejγ = e−jϕ
e−jkr = e−j(β−jα)r = e−jβr e−αr
(A.41)
⇒ e−jβr
CCEϑ ⇒ ψEϑ
Celková fáze složky Eϑ .
fEϑ = ej(ϕ+ψEϑ −βr+ϕtime )
(A.42)
Člen ϕtime představuje závislost na čase a je roven nule. Rovnice pro výpočet
složky Eϑ :
Eϑ =
Idl
|Z||k|2 sin(ϑ)|CCEϑ |e−αr ej(ϕ+ψEϑ −βr+ϕtime )
4π
(A.43)
Přı́loha B
Odvozenı́ funkce PRR
(posun-rotace-rotace)
Funkce PRR počı́tá v lokálnı́ soustavě souřadné (LSS) pro jeden bod vyhodnocenı́
pole přı́spěvky elektrického a magnetického pole od dipólů v jednom PT. Potom hodnoty z LSS přepočı́tá do globálnı́ soustavy souřadné (GSS). LSS je vždy orientována
tak, aby v nı́ platily rovnice B.1 - B.3. Ve středu LSS je umı́stěno těžiště tubulinoveho
heterodiméru, který je aproximován elementárnı́m elektrickým dipólem (rovnice B.1
- B.3).
z’’’
Jp
r0’’’
f0’’’
tubulinový heterodimer
4 nm
p
r ’’’ J0’’’
y’’’
těžiště
8 nm
a-tubulin
b-tubulin
x’’’ f
Obrázek B.1: Lokálnı́ soustava souřadná a tubulinový heterodimer
µ
¶
wp 2
1
1
000
~
Hϕ = − k sin(ϑp )
+
e−jkr · ϕ
~ 000
0
000
000
2
4π
jkr
(jkr )
µ
¶
wp 2
1
1
000
~
Er = − Zk cos(ϑp )
+
e−jkr · ~r0000
000
2
000
3
2π
(jkr )
(jkr )
73
(B.1)
(B.2)
74
wp
E~ϑ = − Zk 2 sin(ϑp )
4π
µ
1
1
1
+
+
000
000
2
jkr
(jkr )
(jkr000 )3
¶
~ 000
e−jkr · ϑ
0
000
(B.3)
Pro přehlednějšı́ orientaci v odvozenı́ jsou zavedeny tyto proměnné:
pZk 2 −jkr000
KK = −
e
4π
µ
¶
1
1
KKEr =
+
(jkr000 )2 (jkr000 )3
µ
¶
1
1
1
KKEϑ =
+
+
(jkr000 ) (jkr000 )2 (jkr000 )3
µ
¶
1
1
KKEϕ =
+
(jkr000 ) (jkr000 )2
~x000 + ~y 000 + ~z000
r000
z 000
cos ϑp = 000
r
Vektory ~x000 , ~y 000 a ~z000 můžeme vyjádřit jako součin velikosti a směru.
r0 000 =
(B.4)
(B.5)
(B.6)
(B.7)
(B.8)
(B.9)
~x000 = x000 · x~0 000
~y 000 = y 000 · y~0 000
(B.10)
~z000 = z 000 · z~0 000
Vyjádřenı́ směrových vektorů LSS.
r~0
000
ϕ~0 000
000
ϑ~0
~r000
x000 x~0 000 + y 000 y~0 000 + z 000 z~0 000
= 000 =
r
r000
000
000
z~0 × r~0
1 x000 y~0 000 − y 000 x~0 000
=
=
sin ϕ
sin ϕ
r000
x~0 000 x000 z 000 + y~0 000 y 000 z 000 − z~0 000 (x0002 + y 0002 )
= ϕ~0 000 × r~0 000 =
r0002 sin (ϑp )
(B.11)
(B.12)
(B.13)
Složky EED vyjádřeného ve sférické LSS.
z 000
E~r = 2KK · KEr 0002 (x000 x~0 000 + y 000 y~0 000 + z 000 z~0 000 )
r
1
E~ϑ = KK · KEϑ 0002 (x~0 000 x000 z 000 + y~0 000 y 000 z 000 − z~0 000 (x0002 + y 0002 ))
r
1
E~ϕ = KK · KEϕ 000 (x000 y~0 000 − y 000 x~0 000 )
Zr
(B.14)
(B.15)
(B.16)
Posun (x0 , y0 a z0 ) je vzdálenost mezi středem GSS a LSS (těžištěm heterodiméru). Posun v kartézském systému neměnı́ směr vektoru.
x0 = x − x0
(B.17)
75
z
z’
z0
p y’
p
x0
f
x’
y0
y
x
Obrázek B.2: Posun z globálnı́ soustavy souřadné do soustavy s jednou čárkou
y 0 = y − y0
(B.18)
z 0 = z − z0
(B.19)
x~0 = x~0 0
(B.20)
y~0 = y~0 0
(B.21)
z~0 = z~0 0
(B.22)
z’= z’’
y’
hr
x’
x’’
c
Rz
y’’
Obrázek B.3: Natočenı́ ve směru úhlu ηr , přechod soustavy s jednou čárkou do
soustavy se dvěma čárkami
Matice (RzC (ηr )) umožňuje natáčet body kolem osy z po směru hodinových
76
ručiček (clockwise).

RC
z (ηr )
cos ηr sin ηr

=
− sin ηr cos ηr
0
0

0

0

1
(B.23)
Matice (RxC (ηr )) umožňuje natáčet body kolem osy x po směru hodinových ručiček
(clockwise).
c
z’’
p
Rx
z’’’
x
y’’
y’’’
x’’= x’’’
Obrázek B.4: Natočenı́ ve smyslu úhlu ξr , přechod soustavy se dvěma čárkami do
soustavy se třemi čárkami


1
0
0




RC
x (ξ) = 0 cos ξ − sin ξ 
cos ξ
 
 
~x0
~x000


 
C
0

~y 000  = RC
(ξ)
×
R
(ξ)
×
~
y
x
z
 
 
000
~z0
~z
(B.24)
0 sin ξ
Výsledný zápis matic pro převod z GSS do LSS.
  
 
  
000
~x0
cos ηr sin ηr 0
1
0
0
~x
  
 
  
~y 000  = 0 cos ξ − sin ξ  × − sin ηr cos ηr 0 × ~y 0 
  
 
  
000
~z0
0
0
1
0 sin ξ cos ξ
~z
(B.25)
(B.26)
Dále následuje rozepsánı́ matice B.26. Rovnice B.10 ukazujı́, jak vektor rozložit
na jeho velikost a směr. Transformovat budeme každou z jeho částı́ samostatně.
77
z’’’
p
y’’’
x’’’
Obrázek B.5: Dipól v lokálnı́ soustavě souřadné
Transformaci směru popisujı́ rovnice B.27 a transformace velikosti rovnice B.28.
~x000
x00 cos ηr − ~y00 sin ηr
0 =~
~y0000 = ~x00 cos ξ sin ηr + ~y00 cos ξ cos ηr − ~z00 sin ξ
(B.27)
~z0000 = ~x00 sin ξ sin ηr + ~y00 sin ξ cos ηr + ~z00 cos ξ
x000 = x0 cos ηr − y 0 sin ηr
y 000 = x0 cos ξ sin ηr + y 0 cos ξ cos ηr − z 0 sin ξ
(B.28)
z 000 = x0 sin ξ sin ηr + y 0 sin ξ cos ηr + z 0 cos ξ
p
r000 = x0002 + y 0002 + z 0002
(B.29)
~ ϕ = KHϕ KK 1 (x000 ~y0000 − y 000~x000
H
(B.30)
0)
Zr000
Dále následuje vyjádřenı́ složek pro intenzitu magnetického pole. Přı́spěvky do
směrů os X, Y a Z popisujı́ rovnice B.32 - B.34.
"
1
~ ϕ = KHϕ KK
x000 (cos ξ sin ηr · ~x0 + cos ξ cos ηr · ~y0 − sin ξ · ~z0 )
H
Zr000
#
(B.31)
− y 000 (cos ηr · ~x0 − sin ηr · ~y0 )
~ x = KHϕ KK 1 (x000 cos ξ sin ηr − y 000 cos ηr )~x0
H
Zr000
~ y = KHϕ KK 1 (x000 cos ξ cos ηr + y 000 sin ηr )~y0
H
Zr000
~ z = KHϕ KK 1 (−x000 sin ξ)~z0
H
Zr000
(B.32)
(B.33)
(B.34)
78
Dále následuje vyjádřenı́ složek pro intenzitu elektrického pole. Přı́spěvky do
směrů os x,y a z popisujı́ rovnice B.39 - B.41.
000
000 000
~ r = 2KEr KK z (x000~x000
E
y0 + z 000~z0000 )
0 +y ~
r0002
¡
¢
000 000 000
~ ϑ = KEϑ KK 1 x000 z 000~x000
E
y0 − (x0002 + y 0002 )~z0000
0 +y z ~
0002
r
000 h
~ r = 2KEr KK z x000 (cos ηr · ~x0 − sin ηr · ~x0 )
E
r0002
+ y 000 (cos ξ sin ηr · ~x0 + cos ξ cos ηr · ~y0 − sin ξ · ~z0 )
i
+ z 000 (sin ξ sin ηr · ~x0 + sin ξ cos ηr · ~y0 + cos ξ · ~z0 )
1 h 000 000
~
Eϑ = KEϑ KK 0002 x z (cos ηr · ~x000
x000
0 + sin ηr · ~
0)
r
+ y 000 (cos ξ sin ηr · ~x000
y0000 − sin ξ · ~z0 )
0 + cos ξ cos ηr · ~
i
000
+ z 000 (sin ξ sin ηr · ~x000
+
sin
ξ
cos
η
·
~
y
+
cos
ξ
·
~
z
)
r
0
0
0
(B.35)
(B.36)
(B.37)
(B.38)
"
z 000 000
~
Ex = 2KEr KK 0002 (x cos ηr + y 000 cos ξ sin ηr + z 000 sin ξ sin ηr )
r
#
¢
KEϑ KK ¡ 000 000
+
x z cos ηr + y 000 z 000 cos ξ sin ηr − (x0002 + y 0002 ) sin ξ sin ηr ~x0
0002
r
(B.39)
"
000
~ y = 2KEr KK z (−x000 sin ηr + y 000 cos ξ cos ηr + z 000 sin ξ cos ηr )
E
r0002
#
¢
KEϑ KK ¡ 000 000
+
−x z sin ηr + y 000 z 000 cos ξ cos ηr − (x0002 + y 0002 ) sin ξ cos ηr ~y0
r0002
(B.40)
"
000
~ z = 2KEr KK z (−y 000 sin ξ + z 000 cos ηr )
E
r0002
#
¢
KEϑ KK ¡ 000 000
+
−y z sin ξ − (x0002 + y 0002 ) cos ηr ~z0
r0002
(B.41)
Přı́loha C
Aproximace longitudinálnı́ch
vibracı́ tubulinových heterodimérů
Mechanické vibrace tubulinových heterodimérů jsme aproximovali jako dvoučásticový
řetězec. K popisu vibracı́ těchto tvrdých částic využijeme teorii fyziky pevných látek
[39]. Máme dvouhmotnostnı́ lineárnı́ řetězec. Vzdálenost mezi sousednı́mi částicemi
v rovnovážném stavu je a“. Jak je vidět na obrázku C.1, tak prvnı́ a dalšı́ liché
”
částice majı́ hmotu M a druhá a dalšı́ sudé částice majı́ hmotu m. Výchylky z rovnovážné polohy budeme značit x0 , x1 , ..., xn−1 , xn , xn+1 , ...
a
2n
2n+1
M
m
Obrázek C.1: Lineárnı́ dvouhmotnostnı́ řetěz hmotných bodů
Za předpokladu, že ke vzájemnému působenı́ docházı́ jen mezi nejbližšı́mi sousedy, dostáváme následujı́cı́ pohybové rovnice.
M ẍ2n = f (x2n−1 + x2n+1 − x2n )
(C.1)
mẍ2n+1 = f (x2n + x2n+2 − x2n+1 )
(C.2)
Kde f je silová konstanta charakteristická pro interakci sousednı́ch částic. Dále řešı́me
tyto rovnice postupnými vlnami typu
x2n = Ae−j(wt−2nqa)
x2n+1 = Be−j(wt−(2n+1)qa)
79
(C.3)
(C.4)
80
kde q = w/c je vlnový vektor pro určitý kmitový stav, A a B jsou amplitudy odpovı́dajı́cı́ částicı́m o hmotě M a m, v tomto pořadı́. Dosazenı́m do vztahů C.1, C.2
dostáváme rovnice
M (−jw)(−jw)Ae−j(wt−2nqa) =
= f (Be−j(wt−(2n−1)qa) + Be−j(wt−(2n+1)qa) − 2Ae−j(wt−2nqa) )
M (−jw)(−jw)Be−j(wt−(2n+1)qa) =
= f (Ae−j(wt−2nqa) + Ae−j(wt−(2n+2)qa) − 2Be−j(wt−(2n+1)qa) )
(C.5)
(C.6)
Tyto rovnice dále upravı́me a zı́skáme následujı́cı́ rovnice
M j 2 w2 A = f (Be−j(qa) + Bej(qa)−2A ) = −2Af + 2Bf cos(qa)
(C.7)
mj 2 w2 B = f (Ae−j(qa) + Aej(qa)−2B ) = −2Bf + 2Af cos(qa)
(C.8)
které můžeme ještě dále upravit do tvaru
(M w2 − 2f )A + 2Bf cos(ga) = 0
(C.9)
(mw2 − 2f )B + 2Af cos(ga) = 0
(C.10)
Tato soustava má nenulové řešenı́ pro A a B jen tehdy, když je jejı́ determinant
nulový.
¯
¯ (M w2 − 2f ) 2f cos(qa)
¯
¯
¯ 2f cos(qa) (mw2 − 2f )
¯
¯
¯
¯=0
¯
Z toho plynou pro čtverec frekvence následujı́cı́ dvě možnosti.
sµ
µ
¶
¶2
1
1
1
1
4 sin2 (qa)
2
w =f
+
±f
+
−
m M
m M
mn
(C.11)
Úhlová frekvence w má z fyzikálnı́ho pohledu kladný charakter, tedy hodnota w2
vede k jedné hodnotě w. Oproti jednočásticovému řetězci zde máme dvě úhlové
frekvence w+ a w− , které odpovı́dajı́ hodnotě vlnového vektoru q. Tento důsledek
vede ke vzniku dvou větvı́, jak je vidět na obrázku C.2. Větev, která odpovı́dá
hodnotě w− , se nazývá akustická a větev w+ se nazývá optická. Dále se budeme
zabývat těmito větvemi. Za předpokladu, že M >m a pro q = 0 dostáváme
s µ
¶
1
1
+
w+ =
2f
m M
w− = 0
(C.12)
(C.13)
81
w
+
(2f/m)½
-
-p/2a
(2f/M)½
0
p/2a
q
Obrázek C.2: Kladná (modrá) - optická větev a záporná (zelená) - akustická větev
Ze vztahu C.11 je vidět, že frekvence je periodickou funkcı́ vlnového vektoru. Čı́m
většı́ je poměr mezi M/m, tı́m je frekvenčnı́ mezera mezi akustickou a optickou větvı́
většı́. Při vyšetřovánı́ fyzikálnı́ch rozdı́lnostı́ obou větvı́ docházı́me k závěru, že pro
větve platı́: A = B pro akustickou větev a -MA = mB pro optickou větev. Z čehož
vyplývá, že u akustické větve se všechny částice pohybujı́ v témž směru a u optické
větve proti sobě. Pro aproximaci podélných vibracı́ v mikrotubulu zvolı́me optickou
větev, protože akustická větev nenı́ efektivnı́ pro generaci elektromagnetického pole
pro malé vlnové vektory (velké vlnové délky).
Přı́loha D
Analýza přı́spěvků do radiálnı́
části Poyntingova vektoru v blı́zké
zóně Hertzova dipólu
Přı́loha A popisuje pole kolem EED pomocı́ rovnic A.1 - A.3. Pole v okolı́ EED
má vlivem komplikované závislosti na r v různých vzdálenostech různé vlastnosti.
Podle toho, jaká mocnina součinu
jkr“ převažuje, je pole rozděleno na blı́zkou
”
(nezářivou), přechodovou a vzdálenou (zářivou) zónu. Rovnice popisujı́cı́ pole blı́zké
zóny A.5 - A.7 majı́ mezi sebou fázový posun π2 (j), tedy střednı́ hodnota Poyntingova
vektoru počı́taná právě z těchto složek je nulová. Toto vše platı́ za předpokladu, že
σ = 0 a tedy impedance prostředı́ je:
r
µ
.
ε
(D.1)
wµ
jwµ
=
= |Z|e−jϕk
jwε + σ
k
(D.2)
Z=
Obecnějšı́ definice Z:
s
Z=
k = β − jα = |k|ejϕk
(D.3)
V prostředı́, kde platı́, že σ > 0 nenastává mezi blı́zkopólovými složkami EEP a EED
přesně π2 , ale
π
2
+ 2ϕk (viz. rovnice D.7 a D.8). Tedy střednı́ hodnota Poyntingova
vektoru počı́taná z těchto složek je nenulová a jejı́ velikost závisı́ na sin(ϕk ) a modulu
blı́zkopólových složek.
82
83
Střednı́ hodnota Poyntingova vektoru vypočtená z blı́zkopólových
složek pro ztrátové a bezeztrátové prostředı́
Rovnice D.4 - D.6 popisujı́ pole EED v blı́zké zóně.
Idl
sin(ϑp ) · e−jkr
2
4πr
jIdl Z
= −
cos(ϑp ) · e−jkr
3
2πr k
jIdl Z
= −
sin(ϑp ) · e−jkr
4πr3 k
Hϕ =
(D.4)
Er
(D.5)
Eϑ
(D.6)
Blı́zkopólová složka Er nepřispı́vá do radiálnı́ složky Sr , protože je tečná k plošce,
kterou protéká radiálnı́ část S (obrázek D.1). Následujı́cı́ rovnice ukazujı́cı́ jak vypadá vztah pro výpočet Sr ze složek pole Eϑ a Hϕ . Pomocı́ rovnic D.2 a D.3 upravı́me
rovnice D.4 a D.6 a zı́skáváme:
z Jp
St
p
f0
r
r0
x f
Sr
y
J0
Obrázek D.1: Radiálnı́ (Sr ) a tečná (St ) část střednı́ hodnoty Poyntingova vektoru
Idl
sin(ϑp ) · e−jkr = |Hϕ |e−jβr e−αr
4πr2
jIdl Z
−jkr
−j(2ϕk + π2 +βr) −αr
Eϑ = −
sin(ϑ
)
·
e
=
|E
|e
e
p
ϑ
4πr3 k
Hϕ = −
(D.7)
Střednı́ hodnota Poyntingova vektoru:
Sstr = |Eϑ ||Hϕ | cos(2ϕk +
π
)~sr
2
(D.8)
84
Pro bezeztrátové prostředı́ je ϕk = 0 a rovnice D.8 je také rovna nule. Ve ztrátovém
prostředı́ se ϕk 6= 0 a spočte se podle rovnice D.9.
s µ
¶
vµ
q
¶
q
u
µε
σ2
u
σ2
w 2 −1 + 1 + w2 ε2
u −1 + 1 + w2 ε2
−α
u
¶
tan ϕk =
=− s µ
= −u µ
q
¶
q
t
β
2
σ
2
1 + 1 + w2 ε2
w µε
1 + 1 + wσ2 ε2
2
=
q
1+
σ2
w2 ε2
1+
σ2
w2 ε2
−1
(D.9)
2
− wσ2 ε2
q
=
2
1 + wσ2 ε2
Zkusme spočı́tat hodnotu pro konkrétnı́ ztrátové prostředı́ ϕk a Sstr . Máme
ztrátové prostředı́ s jednı́m EED a parametry: σ = 1Sm−1 , f = 42 GHz, εr = 20,
r = 1µm a ϑp = ϕ = π2 . Hodnoty Eϑ a Hϕ byli spočteny pomocı́ skriptů přiložených
na CD.


ϕk = arctan 
2
− wσ2 ε2
q
1+
σ2
w2 ε2
 = −0.0107 rad
π
cos(ϕk + ) = 0.0214
2
Sstr = 3, 996 · 10−11 W m−2
(D.10)
V blı́zké zóně EED dosahujı́ IEP velkých hodnot a tedy i malá odchylka (-0,0107 rad)
od
π
2
může způsobit nemalý přı́spěvek do radiálnı́ části S.
D.1. PŘÍSPĚVKY SLOŽEK IEP A IMP V BEZEZTRÁTOVÉM PROSTŘEDÍ85
D.1
Přı́spěvky složek IEP a IMP v bezeztrátovém
prostředı́
V bezeztrátovém prostředı́ je fáze konstanty šı́řenı́ k“ nulová. Rovnice D.11 jsou
”
složky EED rozepsané po jednotlivých členech mocnin jkr. Tabulka D.1, použitá v
části 4.5.2, popisuje kombinace členů složek EED, které vznikajı́ při výpočtu Poyntingova vektoru. Chceme zde ukázat, že v bezeztrátovém prostředı́ se na šı́řenı́ energie podı́lı́ pouze složky pro vzdálenou zónu (viz. A).
~ 1ϕ = − Idl k 2 sin(ϑp ) 1 e−jkr
H
4π
jkr
~ 2ϕ = − Idl k 2 sin(ϑp ) 1 e−jkr
H
4π
(jkr)2
~ 1ϑ = − Idl k 2 sin(ϑp ) 1 e−jkr
E
4π
jkr
Idl
1
~ 2ϑ = −
E
k 2 sin(ϑp )
e−jkr
4π
(jkr)2
~ 3ϑ = − Idl k 2 sin(ϑp ) 1 e−jkr
E
4π
(jkr)3
~ 2r = − Idl k 2 cos(ϑp ) 1 e−jkr
E
2π
(jkr)2
~ 3r = − Idl k 2 cos(ϑp ) 1 e−jkr
E
2π
(jkr)3
Čı́slo kombinace
Kombinace
Čı́slo kombinace
Kombinace
Idl k
sin(ϑp )e−jkr
4π r
Idl 1
=
sin(ϑp )e−jkr
2
4π r
Idl kZ
= j
sin(ϑp )e−jkr
4π r
Idl Z
=
sin(ϑp )e−jkr
4π r2
Idl Z
=−j
sin(ϑp )e−jkr
4π kr3
Idl Z
=
sin(ϑp )e−jkr
4π r2
Idl Z
=−j
sin(ϑp )e−jkr
4π kr3
=
j
(D.11)
1
2
3
4
5
6
Eϑ1 H1ϕ
Eϑ2 H1ϕ
Eϑ3 H1ϕ
Eϑ1 H2ϕ
Eϑ2 H2ϕ
Eϑ3 H2ϕ
7
8
9
10
Er2 H1ϕ
Er3 H1ϕ
Er2 H2ϕ
Er3 H2ϕ
Tabulka D.1: Kombinace členů složek Eϑ , Er a Hϕ pro výpočet Poyntingova vektoru
Kombinace 2, 4, 6, 7 a 10 jsou nulové, protože majı́ mezi sebou fázový posun
π
2
(j). Kombinace 3 a 5 se vzájemně odečtou stejně tak jako kombinace 8 a 10.
Eϑ3 je imaginárnı́ se znaménkem minus a H1ϕ je také imaginárnı́, ale se znaménkem
plus. Při výpočtu Poyntingova vektoru se počı́tá H komplexně sdružené. Tedy součin
Eϑ3 H1ϕ je celkově záporný. Jediná kombinace, která zůstane, je kombinace H1ϕ Eϑ1 .
Přı́loha E
Nepřesnosti v Matlabu
V této části bych chtěl poukázat na některé neduhy, které má, jinak velmi uživatelsky
přı́jemný program Matlab. Největšı́m problém pro naše výpočty je počı́tánı́ s radiány.
Konkrétně má Matlab problém s vyčı́slenı́m cos( π2 ) a sin(π) a jejich násobky (vyjma
sin(0)). Dosadı́m-li uvedené hodnoty do přı́kazové řádky a odentrujeme, pak se na
obrazovce neobjevı́ očekávaná nula, ale čı́slo jı́ podobné“ cos(π/2) = 6, 123233995736766·
”
10−17 , sin(π) = 1, 224646799147353 · 10−16 . Tento jev je pravděpodobně způsoben
tı́m, že je nejdřı́ve spočı́tána hodnota π nebo
π
,
2
která je pak následně vložena do
goniometrické funkce.
Matlab použı́vá toleranci pro své výpočty ukryté v nesmazatelné proměnné EPS
(Floating-point relative accuracy). Velikost této konstanty je pro výpočty s IEEE
aritmetikou nastavena tato hodnota na eps = 2−25 ≈ 2, 220446049250313 · 10−16 .
Uvedená čı́sla zobrazuje Matlab v plné početnı́ velikosti po zadánı́ přı́kazu format
”
long“.
Matlab tedy počı́tá s 16ti mı́stnými čı́sly s plovoucı́ desetinou čárkou. Proto je
důležité při výpočtech pamatovat na to, že když se sčı́tajı́ nebo odečı́tajı́ dvě čı́sla
která majı́ rozdı́l hodnot většı́ nežli je eps, tak dojde k potlačenı́ menšı́ho čı́sla.
Ve spoustě aplikacı́ by tyto nastı́něné problémy nemusely být tak závažné, ale v
prostředı́ velkých čı́sel (vysokých intenzit) to být problém může. Budeme-li napřı́klad
násobit čı́slo 1·1025 s hodnotou sin(π) nedostaneme nulu, ale čı́slo 1, 224646799147353·
109 , což nám může ve výpočtu způsobit nemalé problémy.
Uvedené problémy se dajı́ řešit pomocı́ počı́tánı́ ve stupnı́ch mı́sto v radiánech.
Matlab počı́tánı́ ve stupnı́ch podporuje a obsahuje funkce: sind(), cosd(), tand() a
dalšı́. V přı́padě počı́tánı́ s komplexnı́mi čı́sly provádı́ Matlab všechny operace v
radiánech. Proto je vhodné, potřebujeme-li počı́tat přesně, napsat si vlastnı́ funkci
pro exp().
86
87
Funkce exp()
Podle vztahu
ex+i·y = ex (cosd(y) + i · sind(y))
(E.1)
jsme nadefinovali nı́že uvedenou funkci.
function [faze] = expD(kompexniCislo)
presnost = 1e12;
faze = exp(real(kompexniCislo)).*...
(cosd(imag(round((kompexniCislo*180/pi)*presnost)/presnost))...
+1j*sind(imag(round((kompexniCislo*180/pi)*presnost)/presnost)));
V této funkci jsme zavedli parametr přesnost, který zaokrouhluje na stanovený
počet desetinných mı́st. Toto opatřenı́ bylo nezbytné provést a implementovat do
výpočtu bezeztrátového prostředı́. Při výpočtu IEP v bezeztrátovém prostředı́ pouze
z blı́zkopólových složek, které majı́ mezi sebou fázový posun
π
2
(přı́loha A), je Poyn-
tingův vektor (S) rovný nule. Z členu e−jkr , kde k je konstanta šı́řenı́ a r vzdálenost,
vyjde velmi malá fáze. Tato fáze při součtu se dvěma o se lišı́cı́mi čı́sly způsobı́ chybu
na 14. a 15. desetinném mı́stě. V důsledku této chyby nevyjde Poyntingův vektor
rovný nule.
√
Napřı́klad pro r = 10nm, εr = 81, f = 1kHz, k = w εr ε0 µ0 = 1.884955592153876·
10−4 vycházı́ fáze z členu angle(e−jkr ) = −5.313005418570647·10−10 ◦ . Takto zı́skaná
fáze se sčı́tá s fázı́ členu
1
(jkr)2
tedy 180◦ v přı́padě Hϕ a s fázı́ členu
1
(jkr)3
tedy 90◦
v přı́padě Eϑ nebo Er (Er nepřispı́vá do radiálnı́ části S (přı́loha D)).
angle(Hϕ ) = 180◦ − angle(e−jkr ) = 89.999999999468699◦
angle(Eϑ ) = 90◦ − angle(e−jkr ) = 1.799999999994687 · 102
(E.2)
◦
(E.3)
Dále se hodnoty přepočı́tajı́ ve funkci PRR (přı́loha B) do kartézského souřadného
systému a při výpočtu jednotlivých složek S se angle(Hϕ ) a angle(Hϕ ) odečı́tajı́ a
zde nastává chyba.
rHaE = angle(Hϕ ) − angle(Eϑ ) = 90.000000000000014◦ 6= 90◦
(E.4)
Chyba se na prvnı́ pohled může zdát zanedbatelnou, ale je-li tento rozdı́l argumentem cosinu a ten je násoben velkým čı́slem, může být chyba značná.
cos(rHaE ) = −2.480262043028360 · 10−16
(E.5)
Seznam publikacı́
Journal Papers
• D. Havelka and M. Cifra, “Calculation of the electromagnetic field around microtubule,”
Acta Polytechnica, 2009.
• M. Cifra, J. Pokorný, D. Havelka, O. Kučera, “Electric field generated by axial longitudinal
vibration modes of microtubule,”BioSystems, vol. 100, n. 2, p. 122-131, 2010
Conference Papers
• D. Havelka and M. Cifra, “Calculation of the electromagnetic field around microtubule,”
POSTER, Praha, 2009.
• O. Kučera, M. Cifra, J. Vaniš, J. Pokorný, J. Hašek, F. Jelı́nek, D. Havelka, J. Šaroch,
“Nanoelectromechanics of Yeast Cells.” In Proc. of the 8th International Symposium on
SPM in Life Sciences, JPK Instruments AG, Berlin 2009, p. P8.
• M. Cifra, D. Havelka, J. Pokorný, O. Kučera, “Electric field generated by higher vibration
modes of microtubule,” Proc. of the 15th Conference Microwave Techniques, Brno, p. 205208, 2010
• D. Havelka and O. Kučera, “Higher vibration modes of microtubule: On how the lattice
samples the field,” POSTER, Praha, 2010.
88
Literatura
[1] ALBERTS, B., BRAY, D., LEWIS, J., RAFF, M., ROBERTS, K., WATSON, J. D. Molecular Biology of the
Cell. Garland, 3rd edn., 1994.
[2] CIFRA, M. Study of electromagnetic oscillations of yeast cells in kHz and GHz region. Ph.D. thesis, Czech
Technical University in Prague, 2009.
[3] TYNER, K. M., KOPELMAN, R., PHILBERT, M. A. ”Nano-sized voltmeter”enables cellular-wide electric
field mapping. Biophysical Journal, 2007. vol. 93, pp. 1163–1174.
[4] TUSZYŃSKI, J. A., DIXON, J. M. Quantitative analysis of the frequency spectrum of the radiation emitted
by cytochrome oxidase enzymes. Phys. Rev. E, 2001. vol. 64(5), p. 051915.
[5] ALBRECHT-BUEHLER, G. Reversible excitation light-induced enhancement of fluorescence of live mammalian mitochondria. FASEB Journal, 2000.
[6] BATYANOV, A. P. Distant optical interaction of mitochondria. Bulletin of experimental biology and medicine,
1984. vol. 97(6), pp. 740–742.
[7] KIM, S., COULOMBE, P. A. Intermediate filament scaffolds fulfill mechanical, organizational, and signaling
functions in the cytoplasm. Genes & Development, 2007. vol. 21(13), pp. 1581–1597.
[8] DUSTIN, P. Microtubules. Springer Verlag - Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984.
[9] TUSZYŃSKI, J. A., BROWN, J. A., CARPENTER, E. J., CRAWFORD, E., NIP, M. N. A. Electrostatic
properties of tubulin and microtubules. In Proceedings of ESA Conference. 2002 .
[10] NOGALES, E., WOLF, S. G., DOWNING, K. Structure of the alpha beta tubulin dimer by electron crystallography. Nature, 1998. vol. 391, pp. 199–203.
[11] STEBBINGS, H., HUNT, C. The nature of the clear zone around microtubules. Cell and Tissue Research,
1982. vol. 227(3), pp. 609–617.
[12] WADA, A., NAKAMURA, H. Nature of the charge distribution in proteins. Nature, 1981. vol. 293, pp.
757–758.
[13] WADA, A., NAKAMURA, H., SAKAMOTO, T. Nature of the charge distribution in proteins II. Effect of
atomic partial charges on ionic charges. Journal of the Physical Society of Japan, 1985. vol. 54(10), pp.
4042–4046.
[14] NAKAMURA, H., WADA, A. Nature of the charge distribution in proteins III. Electric multipole structures.
Journal of the Physical Society of Japan, 1985. vol. 54(10), pp. 4047–4052.
[15] MERSHIN, A., KOLOMENSKI, A. A., SCHUESSLER, H. A., NANOPOULOS, D. V. Tubulin dipole moment, dielectric constant and quantum behavior: computer simulations, experimental results and suggestions.
Biosystems, 2004. vol. 77(1-3), pp. 73 – 85.
[16] SONG, Y. H., MANDELKOW, E. Recombinant kinesin motor domain binds to beta-tubulin and decorates
microtubules with a B surface lattice. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States
of America, 1993. vol. 90(5), pp. 1671–1675.
[17] SONG, Y., MANDELKOW, E. The anatomy of flagellar microtubules: polarity, seam, junctions, and lattice.
J. Cell Biol., 1995. vol. 128(1), pp. 81–94.
[18] KIKKAWA, M., ISHIKAWA, T., NAKATA, T., WAKABAYASHI, T., HIROKAWA, N. Direct visualization
of the microtubule lattice seam both in vitro and in vivo. J. Cell Biol., 1994. vol. 127(6), pp. 1965–1971.
[19] AMOS, L. A. The microtubule lattice – 20 years on. Trends in Cell Biology, 1995. vol. 5(2), pp. 48 – 51.
[20] CIFRA, M., VANIŠ, J., KUČERA, O., HAŠEK, J., FRÝDLOVÁ, I., JELÍNEK, F., ŠAROCH, J., POKORNÝ,
89
LITERATURA
90
J. Electrical vibrations of yeast cell membrane. In Progress In Electromagnetic Research Symposium 2007,
Prague, 1. 2007 pp. 215–219.
[21] FRÖHLICH, H. Bose condensation of strongly excited longitudinal electric modes. Physical Letters A, 1968.
vol. 26, pp. 402–203.
[22] FRÖHLICH, H. Long-range coherence and energy storage in biological systems. International Journal of
Quantum Chemistry, 1968. vol. 2, pp. 641–649.
[23] FRÖHLICH, H. Evidence for coherent excitation in biological systems. International Journal of Quantum
Chemistry, 1983. vol. 23, pp. 1589–1595.
[24] FRÖHLICH, H. Long-range coherence in biological systems. Rivista del Nuovo Cimento, 1977. vol. 7(3), pp.
399–418.
[25] HE, H., KONG, S., CHAN, K. First optical observation of periodic motion of native human cancer cells. In
Quantum Electronics and Laser Science Conference, 2008. QELS 2008. 2008 pp. 1–2.
[26] PIGA, R., MICHELETTO, R., KAWAKAMI, Y. Acoustical nanometre-scale vibrations of live cells detected
by a near-field optical setup. Opt. Express, 2007. vol. 15(9), pp. 5589–5594.
[27] PELLING, A. E., SEHATI, S., GRALLA, E. B., VALENTINE, J. S., GIMZEWSKI, J. K. Local nanomechanical
motion of the cell wall of saccharomyces cerevisiae. Science, 2004. vol. 305, pp. 1147–1150.
[28] PELLING, A. E., SEHATI, S., GRALLA, E. B., GIMZEWSKI, J. K. Time dependence of the frequency and
amplitude of the local nanomechanical motion of yeast. Nanomedicine: Nanotechnol. Biol. Med., 2005. vol. 1,
pp. 178–183.
[29] HÖLZEL, R. Electric activity of non-excitable biological cells at radiofrequencies. Electro- and magnetobiology,
2001. vol. 20(1), pp. 1–13.
[30] POKORNÝ, J., HAŠEK, J., JELÍNEK, F., ŠAROCH, J., PALÁN, B. Electromagnetic activity of yeast cells
in the M phase. Electro- and Magnetobiology, 2001. vol. 20(1), pp. 371–396.
[31] JELÍNEK, F., CIFRA, M., POKORNÝ, J., HAŠEK, J., VANIš, J., ŠIMšA, J., FRÝDLOVÁ, I. Measurement
of electrical oscillations and mechanical vibrations of yeast cells membrane around 1 kHz. Electromagnetic
Biology and Medicine, 2009. vol. 28(2), pp. 223 – 232.
[32] POHL, H. A. Coherent Excitations in Biological Systems, chap. Natural oscillationg fields of cells, pp. 199–210.
Springer, Berlin – Heidelberg - New York, 1983.
[33] POHL, H. A., BRADEN, T., ROBINSON, S., PICLARDI, J., POHL, D. G. Life cycle alterations of the
micro-dielectrophoretic effects of cells. Journal of Biological Physics, 1981. vol. 9, p. 1981.
[34] HÖLZEL, R., LAMPRECHT, I. Electromagnetic fields around biological cells. Neural Network World, 1994.
vol. 3, pp. 327–337.
[35] RIVERA, H., POLLOCK, J. K., POHL, H. A. The ac field patterns about living cells. Cell Biophysics, 1985.
vol. 7, pp. 43–55.
[36] GRUNDLER, W., KEILMANN, F., FRÖHLICH, H. Resonant growth rate response of yeast cells irradiated
by weak microwaves. Physics Letters A, 1977. vol. 62(6), pp. 463 – 466.
[37] POKORNÝ, J. Biophysical cancer transformation pathway. Electromagnetic Biology and Medicine, 2009.
vol. 28(2), p. 105 – 123.
[38] HAVELKA, D. Electromagnetic field of microtubule, in Czech, Elektromagnetické pole mikrotubulu. Bachelor
thesis, 2008.
[39] KITTEL, C. Úvod do fyziky pevných látek. Academia v Praze, 1985.
[40] KIM, J., OH, D., PARK, J., CHO, J., KWON, Y., CHEON, C., KIM, Y. Permittivity measurements up to 30
GHz using micromachined probe. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2005. vol. 15, p. 543.
[41] LIEBE, H. J., HUFFORD, G. A., MANABE, T. A model for the complex permittivity of water at frequencies
below 1 THz. International Journal of Infrared and Millimeter Waves, 1991. vol. 12, pp. 659–675.
[42] KAATZE, U., FELDMAN, Y. Broadband dielectric spectrometry of liquids and biosystems. Measurement
Science and Technology, 2006. vol. 17, p. R17.
[43] HAVELKA, D. Elektromagnetické pole mikrotubulu. Bakalářská práce, CVUT v Praze, 2008.
[44] BĚHUNEK, M., FAJSTAVR, A., HAVELKA, D., JANČA, R. Měřenı́ elektromagnetického pole živých buněk
v kHz oblasti). Projekt v týmu - X17PMT, CVUT v Praze, 2010.
LITERATURA
[45] BULATOV,
V.
91
Distributing
points
on
the
sphere
by
electrostatic
repulsion.
http://www.math.niu.edu/ rusin/known-math/96/repulsion.
[46] NOVOTNÝ, K. Elektromagnetické pole a vlny: Teorie elektromagnetického pole II. CTU in Prague, 2rd edn.,
2001, in Czech.