Modelování v NŽP

Transkript

Modelování v NŽP

Pojistná matematika 2
KMA/POM2E
RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D.
pracovna 5.052
tel. 585 63 4027
e-mail: [email protected]
web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové
materiály)
Konzultační hodiny (LS 2016):
Středa 13:30 – 15:00
Čtvrtek 9:15 – 10:45
Doporučuji domluvit se dopředu přes e-mail.
Matematické modelování v NŽP
Matematické modelování v NŽP
Jde o součást teorie rizika (zahrnuje rovněž
problematiku finančního rizika).
Motivace pro tvorbu matematických modelů:
– model může nahradit nedostatečný počet dat,
– často lze pomocí jednoduchých mat. vztahů
popsat chování rozsáhlých pojistných kmenů,
– lze tak statisticky testovat vlastnosti pojistných
kmenů, aj.
1. Modely počtu škod (poj. nároků)
Modely počtu škod (poj. nároků)
Modely vycházející z pravděpodobnostního
rozdělení náhodné veličiny n, která označuje
počet pojistných nároků (PU, škod) obvykle na
jednu pojistnou smlouvu během jednoho
roku.
Náhodná veličina n může nabývat hodnot
0,1,2,… s určitými p-stmi.
Binomické rozdělení
K přirozené, 0 < p < 1.
n … počet zdarů v K nezávislých pokusech,
p … p-st zdaru, 1-p … p-st nezdaru,
Poissonovo rozdělení, ,,,,,,,,,,,,
l>0
limitní případ binomického rozdělení
n … počet zdarů ve velkém počtu nezávislých
pokusů s malou p-stí zdaru
Negativní binomické rozdělení (Pólyovo)
a > 0,
pro přirozené a:
n … počet nezdarů před a-tým zdarem
v nezávislých pokusech s p-stí zdaru p
Smíšené Poissonovo rozdělení
parametr l je náhodný s f-cí hustoty f(l):
Použití: u poj. kmenů s heterogenními riziky,
např. v pojištění proti lesnímu požáru, kde
riziko vzniku požáru (a tedy počet škod) závisí
na typu počasí.
Příklad na tabuli + MS Excel.
Smíšené Poissonovo rozdělení
Rozdělení
Vlastnost
binomické
E(n) > var (n)
Poissonovo
E(n) = var (n)
negativní binomické
E(n) < var (n)
Počet škod na 1
smlouvu za 1 rok
Skutečný počet
smluv
Modelovaný počet
smluv:
Poissonovým rozd.
Modelovaný počet
smluv: negat.
binom. rozd.
0
88 585
88411
88597
1
10 577
10 890
10544
2
779
671
612
3
54
27
35
4
4
1
2
5
1
0
0
6 a více
0
0
0
Celkem
100 000
Nechť NV n: počet škod za 1 rok v N nezávislých
poj. smlouvách, tj. n = n1 + n2 + … + nN :
Jsou-li pojistné smlouvy homogenní se stejnou
škodní frekvencí q1:
Příklad na tabuli
Je-li N „hodně velké“, tj. jde-li o rozsáhlejší
pojistný kmen, lze Poissonovo rozdělení
asymptoticky aproximovat normálním
rozdělením:
Příklady
I. V pojištění domácnosti byly pozorovány hodnoty:
Riziko
Počet smluv
Doba pozorování
Počet škod
Živelní události
1 250
1 rok
12
Odcizení
2 500
1 rok
250
Odpovědnost
2 000
4 roky
35
a) P-st, že v poj. kmeni s 2 178 pojistkami
nevznikne během 1 roku více než 300 škod?
b) Jaký rozsah poj. nároků (počet škod) může
pojišťovna během 1 roku očekávat se
spolehlivostí 95% ?
II. Vypočtěte:
1. průměrný počet odcizených aut v tarifní skupině
o 10 000 smlouvách během 1 roku, jestliže
škodní frekvence činí q1 = 0,004 453 1, počet
krádeží na každou pojistnou smlouvu je NV s
Poissonovým rozdělením s parametrem q1 , NV
jsou vzájemně nezávislé;
2. Pravděpodobnost, že počet krádeží bude během
následujících 2 po sobě jdoucích letech za
předchozích předpokladů vyšší než 110.
2. Modely výše škod
Modely výše škod
Modely vycházející z pravděpodobnostního
rozdělení náhodné veličiny X, která označuje
výši škody.
Většinou X  0 nebo 0  X  H (či 0  X  M).
Rozdělení náhodné veličiny X je popsáno
hustotou f(x).
Modely výše škod
Logaritmicko-normální rozdělení, s >0, R
Použití: v pojištění úrazovém, havarijním,
požárním zděných budov, proti vichřicím, aj.
Modely výše škod
Gama rozdělení
a>0, b>0
Modely výše škod
Speciální případ Gama rozdělení (a=, b=1):
Exponenciální rozdělení Exp(l), l >0
Použití Exp(l): modelování doby mezi pojistnými
nároky.
Modely výše škod
Beta rozdělení
a>0, b>0, c>0
Funkce hustoty má v případě a<1, b<1 tvar
písmene “U”, čehož se využívá k modelování
výše škod v požárním pojištění (velmi malé
nebo velmi velké škody).
Modely výše škod
Paretovo rozdělení
fX(x) = bab/x(b+1), x ≥ a
E(X) = ab/(b-1), b>1
var (X) = a2b/[(b-1)2(b-2)], b>2
a>0, b>0
Tzv. rozdělení s „těžkými konci“.
http://www.eistat.cz/teorie/rozdeleni/spojita/pareto/index.htm
Použití: např. v pojištění nemocenském, požárním
dřevěných budov, kde lze čekat odlehlé extrémní
hodnoty počtu škod.
Příklady
1. Určete střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku
a pravděpodobnost, že výše škody (v i-té smlouvě)
překročí 4 mil. Kč. Rozdělení výše škody bylo odhadnuto
Počet škod
na log-normální: Výše škody (v tis. Kč)
Celkem
0 - 400
2
400 - 800
24
800 - 1 200
32
1 200 - 1 600
21
1 600 - 2 000
10
2 000 - 2 400
6
2 400 - 2 800
3
2 800 - 3 200
1
3 200 - 3 600
1
nad 3 600
0
100
2. Nechť X je náhodná veličina popisující výši
škody u 1 smlouvy během 1 roku s rozdělením
logN(5; 1,44). Určete pravděpodobnost, že výše
škody leží v intervalu 50$, 5 000 $ .
3. Nechť průměrná výše škody u 1 smlouvy je
310$ a směrodatná odchylka činí 420$. Během
1 roku bylo pozorováno 520 škod. Určete
pravděpodobnost, že celková škoda převýší 180
000 $.
4. Výše pojistného nároku v portfoliu pojistných
smluv je uváděna ve stovkách dolarů a lze ji
popsat Paretovým rozdělením s parametry b =
3, a = 2. Určete pravděpodobnost, že výše
nároku přesáhne 500 $. Určete průměrnou
výši nároku přesahujícího 500 $.
3. Složené pojistné modely
Složené pojistné modely
O náhodné veličině
S = X1 + X2 + … + X n
označující celkovou výši škody v rámci n
pojistných nároků (tj. „součet náhodného
počtu náhodných veličin“) se říká, že má
složené pravděpodobnostní rozdělení
(compound distribution).
Vzniká složením rozdělení náhodné veličiny n a
rozdělení náhodných veličin X1,X2,…,Xn.
Platí: Jsou-li náhodné veličiny X1,X2,…,Xn iid, tj.
nezávislé a stejně rozdělené (Xi = X, i=1,2,…,n)
a n a X jsou nezávislé s konečnými momenty
E(n), var(n), E(X) a var(X), pak
E(S) = E(n)*E(X),
var(S) = E(n)*var(X) + var(n)*[E(X)]2.
Složené Poissonovo rozdělení: CP(l, F),
kde
a p-stní rozdělení výše škod X je
dáno distribuční funkcí F:
E(S) = E(n)*E(X) = l* E(X),
var(S) = E(n)*var(X) + var(n)*[E(X)]2 =
= l*var(X) + l* [E(Xi)]2 = l* E(X2).
Příklad
V souboru 19 412 pojistných smluv 1 tarifní skupiny byly
pozorovány následující počty škod:
Počet škod (na 1 smlouvu)
Celkem
Počet smluv
0
17 353
1
1 414
2
620
3
25
19 412
Distribuční funkce pro výši škody je dána předpisem F(x) =
1 – e-0,001*x, x ≥ 0.
Odhadněte očekávané (průměrné) náklady na krytí škod
pro 100 smluv platných během 1 roku a směrodatnou
odchylku těchto nákladů.
4. Pojistné modely v čase
Pojistné modely v čase
Proces rizika:
{T1,X1,T2,X2,…}
Ti … délka doby mezi uplatněním i-tého a (i-1)ního nároku,
Xi … výše škody jako i-té v čase, tj. v čase
Wi = T1 + T2 +…+ Ti
Obvyklý předpoklad:
Ti, Xi … vzájemně nezávislé NV
Proces počtu pojistných nároků: {nt, t  0} ,
nt … NV popisující počet poj. nároků do času t,
Proces celkové výše pojistných nároků: {St, t  0}
St … NV popisující celkovou výši poj. nároků do
času t, St = X1 + X2 +…+ Xn .
t
Poissonův proces s intenzitou l:
{T1,X1,T2,X2,…},
s tím, že délky dob Ti mají exponenciální
rozdělení Exp(l), střední hodnota 1/l.
Potom počet poj. nároků do času t (NV nt) má
Poissonovo rozdělení P(lt)
• výše celkového poj. nároku do času t
St = X1 + X2 +…+ Xn ,
t
Xi, i=1,..., nt, jsou nezávislé NV se stejným
rozdělením (daným distribuční funkcí F),
nt je NV s Poissonovým rozdělením P(lt)
St je NV se složeným Poissonovým rozdělením
CP(l,F):
Příklad
Během 1 roku bylo u 1 000 smluv uplatňováno
140 pojistných nároků. Jaká je
pravděpodobnost, že nedojde ke škodě u žádné
smlouvy
a) během následujících 2 let,
b) během následujících 9 měsíců,
při zachování škodní frekvence?
5. Pravděpodobnost ruinování
Pravděpodobnost ruinování
Pravděpodobnost toho, že stav rezervy pojišťovny
klesne pod nulu (na zápornou hodnotu).
Ti - doba mezi 2 poj. nároky, Wi - čas uplatnění nároku ve
výši Xi
Rt
rezerva v čase t
X1
X2
výše škody v čase 2
R0
X3
T1
W3
W2
W1
T2
pravděpodobnost ruinování
Y = P{min Rt < 0, t  0}
T3
t
6. Systémy bonus-malus
Systémy bonus - malus
Bonus – smluvně zaručená sleva ze základního
pojistného podle počtu předchozích
bezškodních roků,
Malus – přirážka k pojistnému podle počtu a
výše pojistných nároků uplatněných
v minulých letech pojištění.
Bonusová náročnost systému:
(1-P´/P)*100 (%)
celk. pojistné
s použitím bonusů
celk. pojistné při
hypotetickém vyloučení
bonusů
Hlad po bonusu – situace, kdy klient raději
nepřizná pojišťovně škodu z důvodu poklesu
v bonusové stupnici.
Bonusový systém se obvykle stupňuje, např.
slevy ve výši. 0 %, 20 %, 40 % a 50 % ze
základního pojistného.
Bonusový stupeň se řídí rozhodnou dobou =
dobou nepřerušeného trvání pojištění, po
kterou nebyl uplatněn pojistný nárok.
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
t (roky)
20%
40%
bonus v % základního pojistného
Matematické modely systémů bonus-malus jsou
založeny především na pravděpodobnostní
teorii markovských řetězců, takže při jejich
praktickém použití je nutné nejprve
odhadnout pravděpodobnosti přechodů mezi
jednotlivými stupni systému.
Příklad na tabuli

Modelování v NŽP

Transkript

Podobné dokumenty

prohlá−ení dovozce k certifikátu to3 - AC