Modelování elektromagnetických polí (MMEM)

Transkript

Modelování elektromagnetických polí
(MMEM)
Přednášky
Počítačová cvičení
prof. Ing. Jarmila Dědková, CSc.
Ing. Tomáš Kříž
ÚSTAV TEORETICKÉ A EXPERIMENTÁLNÍ ELEKTROTECHNIKY
Tato publikace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
© Jarmila Dědková, Tomáš Kříž 2012
ISBN 978-80-214-4401-0
3
Obsah
ÚVOD................................................................................................................................. 5
2
FYZIKÁLNÍ POLE.......................................................................................................... 7
2.1
Základní pojmy ............................................................................................................. 7
2.2
Integrály a derivace časoprostorových skalárních a vektorových funkcí ............... 8
2.3
Základní veličiny pole a rovnice pro analýzu polí ................................................... 14
2.4
Shrnutí ......................................................................................................................... 18
3
METODY PRO VÝPOČET POLÍ ............................................................................... 19
3.1
Formulace úlohy – matematický model ................................................................... 19
3.1.1 Formulace elektrostatické úlohy integrálními rovnicemi ......................................... 21
3.2
Přehled metod ............................................................................................................. 23
3.3
Metoda hraničních prvků a metoda konečných diferencí ...................................... 24
3.3.1 Metoda hraničních prvků .......................................................................................... 25
3.3.2 Metoda konečných diferencí (MKD) ....................................................................... 25
3.4
4
Shrnutí ......................................................................................................................... 29
METODA KONEČNÝCH PRVKŮ ............................................................................. 31
4.1
Princip MKP ............................................................................................................... 31
4.2
Generace sítě prvků .................................................................................................... 32
4.3
Aproximace potenciálu na prvcích ........................................................................... 32
4.3.1 Princip aproximace potenciálu na prvcích v 1D úloze ............................................. 32
4.3.2 Aproximace potenciálu ve 2D úloze ........................................................................ 34
4.4
Sestavení soustavy rovnic........................................................................................... 36
4.5
Řešení soustavy rovnic ............................................................................................... 40
4.6
Výpočet dalších veličin - postprocesing .................................................................... 40
4.7
Shrnutí ......................................................................................................................... 41
5
5.1
6
MODELOVÁNÍ POLÍ ................................................................................................... 42
Rozbor řešení reálného problému ............................................................................. 42
ANALÝZA STATICKÝCH A STACIONÁRNÍCH POLÍ ........................................ 43
4
FEKT Vysokého učení technického v Brně
6.1
Elektrostatické pole.................................................................................................... 43
6.1.1 Pole dvou dlouhých válcových vodičů nad vodivou rovinou .................................. 45
6.2
Pole ustálených proudů ............................................................................................. 47
6.3
Magnetické pole stacionární ..................................................................................... 48
6.4
Podobnost fyzikálních modelů .................................................................................. 51
6.5
Shrnutí......................................................................................................................... 51
7
7.1
PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE ..................................................... 52
Vírové elektrické pole a důsledky jeho existence .................................................... 52
7.2
Vysokofrekvenční pole ve vlnovodech a rezonátorech ........................................... 54
7.2.1 Harmonická analýza pole v obdélníkovém vlnovodu .............................................. 55
7.3
Radiace a difrakce elektromagnetických vln........................................................... 56
7.4
Shrnutí......................................................................................................................... 57
8
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY V PROSTŘEDÍ ANSYS ......................................................... 58
8.1
Analýza elektrického pole rovinného kondenzátoru .............................................. 58
8.2
Analýza stíněného mikropáskového vedení ............................................................. 61
8.3
Obvod se ztrátovým dielektrikem ............................................................................ 63
8.4
Analýza pole ustáleného proudu ve vodivém disku ................................................ 67
8.5
Oteplení vodiče průchodem elektrického proudu ................................................... 69
8.6
Analýza statického pole skalárním magnetickým potenciálem ............................. 71
8.7
Stínící efekt krytu tvaru trubky pro magnetické proměnné a statické pole......... 74
8.8
Modelování skinefektu v prostoru masivního vodiče ............................................. 79
8.9
Indukované proudy ve vodičích ................................................................................ 82
8.10
Harmonická analýza pole v obdélníkovém vlnovodu ............................................. 86
8.11 Stanovení rozptylových koeficientů dolní propusti realizované mikropáskovým
vedením ................................................................................................................................... 90
8.12
Simulace difrakce na kovové kouli pokryté vrstvou ztrátového dielektrika ........ 94
SEZNAM POUŽITÉ A DOPORUČENÉ LITERATURY................................................. 98
5
Úvod
Studijní text „Modelování elektromagnetických polí“ představuje studijní materiál k přednáškám
stejnojmenného předmětu a je určen především studentům navazujícího magisterského studia na
FEKT VUT v Brně. Vychází z dobrých základů a znalostí, získaných v bakalářském studiu
v předmětech matematiky a fyziky.
Numerické modelování se s rozvojem výpočetní techniky a neustále rostoucí výkonností počítačů stalo
spolu s optimalizačními technikami nepostradatelnou složkou návrhu konstrukcí nových
elektrotechnických a elektronických zařízení i zařízení z ostatních oblastí technické praxe. Numerické
modelování je také bezesporu nedílnou součástí komplexních analýz chování časoprostorových polí,
které jsou důležité pro posouzení nových požadavků na kvalitu zařízení, jako je požadavek na
elektromagnetickou kompatibilitu. Složité problémy řešené v současné technické praxi nelze
zvládnout ve většině případů jinými prostředky než pomocí vhodných numerických metod za použití
výkonných počítačů.
Absolvováním předmětu „Modelování elektromagnetických polí“ získají studenti základní
inženýrskou představu o současných možnostech výpočtu elektromagnetických polí numerickými
metodami. Budou zde seznámeni s výhodami a nedostatky těchto metod při jejich aplikaci na řešení
konkrétních úloh. Zvláštní pozornost pak bude věnována principu a praktickému použití metody
konečných prvků (MKP), která je z hlediska použitelnosti při řešení problémů elektrotechniky velmi
účinným nástrojem. Aplikace MKP bude demonstrována na konkrétních příkladech z elektrotechnické
praxe včetně správné interpretace získaných výsledků. Budou rovněž diskutovány možnosti
následného zpracování získaných výsledků. Rozbor řešení jednotlivých problémů až po sestavení
numerického modelu bude sloužit studentům jako nezbytná příprava pro počítačová cvičení, kde bude
každý student samostatně realizovat konkrétní numerický model zadané úlohy v prostředí programu
ANSYS. Tento program patří ke špičkovým software určených pro komplexní analýzu a simulaci
širokého spektra problémů inženýrské praxe metodou konečných prvků. ANSYS umožňuje realizovat
nejen kontrolní výpočty, ale umožňuje také na jejich základě provádět citlivostní a pravděpodobnostní
analýzu, která spolu s numerickou optimalizací dává k dispozici velmi účinný nástroj ke zvýšení
kvality a konkurenceschopnosti výrobků. Výhodou je, že podporuje obousměrnou komunikaci s CAD
systémy v rámci přenosu dat definujících geometrii řešených problémů.
6
Tab. 0.1: Seznam použitých znaků a symbolů
Symbol
A
B
co
C
D
E
f
F
G
H
I
J
k
l
L
Pz
Q
R
Rm
S
t
U
Um
ui
v
V
w
W
Zv
Y
F
l
g
e
er
m
mr
w
r
s
t
Veličina
vektorový potenciál
magnetická indukce
rychlost elektromagnetických vln ve vakuu
kapacita
elektrická indukce
intenzita elektrického pole
kmitočet, frekvence
síla
elektrická vodivost
intenzita magnetického pole
elektrický proud
hustota elektrického proudu
vlnový vektor
délka
indukčnost
jouleovy ztráty
elektrický náboj
elektrický odpor
magnetický odpor
plocha
čas
elektrické napětí
magnetické napětí
indukované napětí, okamžitá hodnota
rychlost
objem
hustota energie
energie
vlnová impedance
elektrický indukční tok
magnetický indukční tok
vlnová délka
konduktivita
permitivita
relativní permitivita
permeabilita
relativní permeabilita
úhlový kmitočet
objemová hustota náboje
plošná hustota náboje
liniová (délková) hustota náboje
Jednotka
Wb/m
T
m/s
F
C/m2
V/m
Hz
N
S
A/m
A
A/m2
m-1
m
H
W
C
W
H-1
m2
s
V
A
V
m/s
m3
J/m3
J
W
C
Wb
m
S/m
F/m
1
H/m
1
rad/s
C/m3
C/m2
C/m
V Tab. 0.1 je uveden přehled znaků a symbolů použitých v následujícím textu. Vektory a vektorové
funkce jsou značeny tučně kurzívou, modul vektoru obyčejnou kurzívou podobně jako skaláry
a skalární funkce.
7
2 Fyzikální pole
Cíle kapitoly: Definovat základní pojmy, fyzikální veličiny, matematické operace a základní
fyzikální zákony, jejichž znalost je nutná ke studiu praktické aplikace numerických metod.
2.1 Základní pojmy
Studium matematických operací se skalárními a vektorovými funkcemi, zejména operátorů derivací
a integrálů, patří do vektorové analýzy. Předpokládá se, že čtenář získal potřebné znalosti
v matematice a prohloubil si je ve fyzice. Přehled základních vztahů uvedený v této podkapitole
představuje výchozí minimum, jehož znalost se dále předpokládá. Pečlivé prostudování dá dobrý
základ pro pozdější pochopení významu jednotlivých fyzikálních principů.
Polem rozumíme obecnou funkci, která popisuje danou fyzikální veličinu v prostoru a čase. Je-li daná
fyzikální veličina skalár, je její velikost v závislosti na prostoru a čase popsána skalárním polem.
Příkladem skalárního pole může být pole elektrického potenciálu f (x, y, z, t), teplotní pole, rozložení
hustoty náboje nebo energie. Skalární pole se většinou zobrazuje ekvipotenciálami (hladinami
s konstantní hodnotou fyzikální veličiny), tj. plochami, na kterých je v daném čase f (x, y, z, t)
konstantní. Trojrozměrná skalární pole se zobrazují vhodně volenými řezy v rovinách rovnoběžných
např. s osami.
Příklad 2.1: Zobrazte funkci f =100(1– ln(x2+y2)/ln16), 1£ x2+y2£16.
Obr. 2.1:
Znázornění dvourozměrného potenciálního pole
Řešení: Zadaná funkce představuje elektrický potenciál mezi souosými vodiči kabelu s potenciály
100 V a 0 V na poloměrech 1 a 4 cm. Ekvipotenciály s krokem 25 V jsou na obr. 2.1a). Plocha f = f
(x,y) je zobrazena na obr. 2.1b).
Vektorové pole definuje v závislosti na prostoru a čase kromě velikosti také směr dané vektorové
fyzikální veličiny. Jako příklad vektorového pole můžeme uvést pole vektorového potenciálu A (x, y,
z, t) , pole intenzity a indukce elektrického nebo magnetického pole.
Vektorové pole zobrazujeme pomocí siločar nebo pomocí vektorů zobrazených ve vybraných bodech
prostoru.
Siločára daného vektoru je křivka, jejíž tečný vektor je v každém bodě oblasti s daným vektorem
rovnoběžný. Siločára vektoru A je popsaná diferenciální rovnicí
dx
dy
dz
=
=
.
Ax ( x, y, z , t ) Ay ( x, y, z , t ) Az ( x, y, z , t )
(2.1)
Zobrazení se zpravidla provádí v rovině; trojrozměrné pole se zobrazí řezy v navzájem kolmých
rovinách.
8
Příklad 2.2: Zobrazte pole A = x uy – y ux, 0 £ x2+y2 £ 5, představující vektor intenzity magnetického
pole uvnitř dlouhého válcového vodiče, protékaného proudem ve směru osy.
Obr. 2.2:
Znázornění dvourozměrného vektorového pole
Na obr. 2.2a) jsou znázorněny siločáry pole. Zobrazení vektorů ve vybraných bodech na obr. 2.2b)
ukazuje i velikost vektoru. Další příklady siločar jsou uvedeny na obr. 2.3.
a)
b)
Obr. 2.3:
Siločáry magnetického pole
Obr. 2.3a) ukazuje siločáry magnetického pole permanentního magnetu levitujícího nad dokonale
vodivým diskem (nulový elektrický odpor). Na obr. 2.3b) vidíme siločáry magnetického pole
magneticky zavěšeného magnetu pod dokonale vodivým prstencem.
2.2 Integrály a derivace časoprostorových skalárních a vektorových funkcí
Dále budeme předpokládat, že pokud funkce derivujeme, jsou diferencovatelné, integrované funkce
jsou integrovatelné, není-li uvedeno jinak.
Integrály skalárních funkcí přes objem V, plochu S, nebo křivku l zapisujeme ve tvaru
C (t ) = ò f ( P, t )dV
V
ò f ( P, t )dS
ò f ( P, t )dl
S
l
(2.2a, b, c)
a zobrazí příslušnou časoprostorovou funkci na funkci časovou, není-li skalární funkce závislá na čase,
tak na konstantu.
Integrály vektorových funkcí – integrovat vektorové funkce můžeme po křivce, ploše či přes objem.
Zvláštní význam má integrál po uzavřené orientované křivce
Ñò A × dl = Ñò A dl
l
l
nazývaný cirkulace vektoru A viz obrázek 2.4a).
t
(2.3)
Obr. 2.4:
9
K integraci vektoru
Tok vektoru A orientovanou plochou viz. Obr. 2.4b) udává plošný integrál podle
Ñò A × dS
ò A × dS
S
S
(2.4a, b)
Příkladem je tok vektoru indukce, výkonu nebo proudu z proudové hustoty. Význam elementárního
toku dF = A . dS = An dS je patrný z obr. 2.4b). Znaménko hodnoty toku F vektorového
pole A plochou S závisí na orientaci této plochy. Proto veličinám typu toku přiřazujeme čítací šipku ve
směru kladné strany plochy, abychom věděli, ve kterém směru byl tok vypočten. Při integraci přes
uzavřenou plochu, obklopující určitý objem, směřuje podle dohody element dS a tudíž i tok F ven
z objemu. Máme-li při vyčíslení plošných integrálů možnost volit plochu S, volíme ji podle tvaru
integrované funkce A vždy tak, aby výpočet byl co nejjednodušší.
Derivovat funkce můžeme podle souřadnic nebo podle času.
Časová derivace skalární funkce se aplikuje např. na funkci rozložení teploty, hustoty náboje nebo
energie - ¶w(t ) / ¶t .
Derivace vektorové funkce A(x, y, z, t) podle času je opět vektorová funkce, např.
B=
¶A
A (t + Dt ) - A( t )
.
= lim
D
t
®
0
¶t
Dt
(2.5)
Derivace skalární funkce podle souřadnic - grad
Tato derivace vyjadřuje přírůstek df skalární funkce f (x, y, z) v daném směru dl. V kartézských
souřadnicích je přírůstek funkce df dán výrazem
df =
æ ¶f
¶f
¶f
¶f
¶f
¶f ö
dx +
dy +
dz = ç ux +
uy +
uz ÷g( dx ux + dy uy + dz uz ) ,
¶x
¶y
¶z
¶y
¶z ø
è ¶x
(2.6)
který je roven skalárnímu součinu vektorové funkce A a elementu délky dl
A( x , y , z ) = gradf =
¶f
¶f
¶f
ux +
uy +
uz ,
¶x
¶y
¶z
dl = dx ux + dy u y + dz uz .
(2.7)
Diferenciální operátor grad je derivací skalární funkce podle souřadnic a zobrazí skalární pole na
vektorové. Gradient je vždy kolmý k ekvipotenciálním hladinám a určuje velikost a směr maximální
změny skalárního pole.
Derivace vektorové funkce podle prostorových souřadnic - div, rot
Podle tvaru siločar lze každé vektorové pole klasifikovat jako pole zřídlové nebo vírové. Zřídlové pole
je např. pole elektrostatické, gravitační nebo ustálené pole teplotní. Siločáry v něm vycházejí ze
zdroje - zřídla typu skalární funkce a stejně i končí. Zdrojem siločar elektrostatického pole jsou kladné
a záporné náboje bodové nebo rozložené v prostoru s hustotou objemovou, plošnou nebo délkovou. Na
obr. 2.5 jsou siločáry elektrostatického pole od náboje spojitě rozloženého v objemu DV.
10
Obr. 2.5: Příklad zřídlového pole
Obr. 2.6: Příklad vírového pole
Vírové pole je např. pole vektoru intenzity magnetického pole podle obr. 2.6, jehož zdrojem je
vektorové pole proudové hustoty. Siločáry vírového pole jsou vždy uzavřené křivky.
Zdrojem zřídlového vektorového pole D na obr. 2.5 je náboj hustoty r(x, y, z). Test na zjištění
přítomnosti zdroje typu objemové hustoty přímo z vektoru D nabízí Gaussova věta elektrostatiky
Ñò
S
D × dS = Q = ò r dV .
V
(2.8)
Ve výrazu je S plocha obklopující objem V. Omezíme-li se na objem DV, vytéká z plochy S, která ho
uzavírá, indukční tok
Ñò
S
D × dS » rDV .
(2.9)
Je-li hustota náboje r v objemu DV nulová, je i výtok nulový. Jinak je zde zdroj typu objemové
hustoty náboje
r (x, y, z ) = lim
DV ® 0
Ñò
S
D × dS
= divD
DV
(2.10)
Výraz na pravé straně je divergence vektoru D, značený div D. Výraz testuje zdroje typu objemové
hustoty. Záměnou obecného pole A za pole D a pole f za r lze definovat divergenci A
j (x, y, z ) = div A = lim
DV ® 0
Ñò
A × dS
S
DV
(2.11)
Operátor divergence tak zobrazuje vektorové pole A na skalární pole f. Z limitního výrazu je patrné,
že divergence vektorové funkce představuje objemovou hustotu toku vektoru v daném bodě.
ì= 0
div A í
î¹ 0
nezřídlové, solenoidální pole
zřídlové pole
Nenulová hodnota divergence udává „vydatnost“ zřídla jednotkového objemu.
ì> 0
div A í
î< 0
zřídlo
nora
Test na přítomnost zdroje vírového pole, jakým je např. pole přímého nekonečně dlouhého válcového
vodiče podle obr. 2.7a), nabízí Ampérův zákon celkového proudu
Ñò H × dl = I = ò J × dS
l
S
(2.12)
11
Obr. 2.7: K Ampérovu zákonu
Připomeňme si, že l je křivka ohraničující plochu S s orientací danou pravidlem pravé ruky podle
obr. 2.7a), H a J jsou vektory intenzity magnetického pole a proudové hustoty. Zvolíme-li
v Ampérově zákoně namísto S malou plošku DS podle obr. 2.7b), lze psát
Ñò H × dl » J DS .
(2.13)
n
l
Dráha l je po obvodu DS v kladném smyslu, Jn je průmět J do směru jednotkové normály un vektoru
DS. Odtud definujeme funkci
J n = rot n H = lim
DS ® 0
Ñò H × dl
l
DS
(2.14)
,
která poli H přiřadí složku vektoru J ve směru normály, tj. obecně složku zdroje ve směru un. Volímeli podle obr. 2.6 za DS plošku DS0 mimo vodič, je zdroj Jn nulový při libovolné orientaci plošky. Jiná
situace je ve vodiči. Zvolíme-li v něm systém tří ortogonálních plošek DS1,2,3 s jednotkovými vektory
u1,2,3, je zřejmě J1 =J2 =0, kdežto J = J3 u3. Natočíme-li tento systém zcela libovolně, je obecně
J = J1 u1+J2 u2+J3 u3. Záměnou obecného vírového pole A za H a jeho zdroje B za J se nabízí test pole
A na přítomnost složky Bn zdroje B v daném směru un
Bn = rot n A = lim
DS n ® 0
Ñò A × dl .
(2.15)
l
DSn
Výraz rotn A je nazýván rotace vektoru A v daném směru a představuje plošnou hustotu cirkulace
vektoru A. Výslednou hustotu zdroje B dostaneme jako vektorový součet tří kolmých složek rotn A
B = rot A = rot1 A u1 + rot 2 A u2 + rot 3 A u3 .
(2.16)
Operátor rotace zobrazí vektorové pole na jiné vektorové pole. Rotace vektorové funkce je vektor
kolmý k rovině maximálního víru (ve smyslu pravotočivé soustavy).
ì= 0
rot A í
î¹ 0
nevírové, potenciální pole
vírové pole
Přehled operátorů grad, div a rot
Dále jsou souhrnně uvedeny operátory grad, div, rot pro jednotlivé dále používané souřadnicové
systémy.
Kartézské souřadnice [x, y, z]
grad f =
¶f
¶f
¶f
ux +
uy +
uz
¶x
¶y
¶z
¶A ¶A ¶A
div A = x + y + z
¶x
¶y
¶z
,
rot A =
ux
uy
uz
¶
¶x
¶
¶y
¶
¶z
Ax
Ay
Az
(2.17a, b, c)
Výrazy v kartézských souřadnicích lze zkráceně zapsat definováním Hamiltonova nebo též operátoru
“nabla“
Ñ =
¶
¶
¶
ux + u y + uz
¶x
¶y
¶z
12
ve tvaru
grad f = Ñ f
div A = Ñ × A
rot A = Ñ Á.
První výraz znamená formální přiřazení f, druhý a třetí výraz přiřazení spojené se skalárním nebo
vektorovým součinem.
Cylindrické souřadnice [r, j, z]
¶f
1 ¶f
¶f
ur +
uj +
uz
r ¶j
¶r
¶z
1 ¶rAr 1 ¶Aj ¶Az
divA =
+
+
r ¶r
r ¶j
¶z
grad f =
1
rot A =
r
ur
r uj
uz
¶
¶r
¶
¶j
¶
¶z
Ar
rAj
Az
(2.18a, b, c)
Sférické souřadnice [r, q, j]
grad f =
divA =
¶f
1 ¶f
1 ¶f
ur +
uq +
uj
r ¶q
rsinq ¶j
¶r
1 æ ¶r 2sinq Ar ¶rsinq Aq ¶rAj ö
+
+
ç
÷
r 2sinq è
¶r
¶q
¶j ø
1
rot A = 2
r sinq
ur
r uq
rsinq uj
¶
¶r
¶
¶q
¶
¶j
Ar
rAq
rsinq Aj
(2.19a, b, c)
Je patrné, že v cylindrických ani sférických souřadnicích nelze operátory grad, div, rot vyjádřit
jediným operátorem Ñ, jak je tomu v souřadnicích kartézských.
Transformační vztahy mezi souřadnými soustavami
mezi kartézskými a cylindrickými souřadnicemi
r = (x2+y2)1/2
j = arctg y/x
z=z
(2.20a, b ,c)
x = r cos j
y = r sinj
z=z
(2.21a, b ,c)
mezi kartézskými a sférickými souřadnicemi
r = (x2+y2+z2)1/2
q = arctg [(x2+y2)1/2 /z]
j = arctg y/x
(2.22a, b ,c)
x = r sinq cos j
y = r sinq sin j
z = r cosq.
(2.23a, b ,c)
Operátory druhého řádu
Operátor grad zobrazí skalární funkci na vektorovou, div vektorovou na skalární a rot vektorovou na
vektorovou. Na novou skalární funkci lze aplikovat opět operátor grad, na vektorovou div a rot.
Dostaneme tak celkem 5 operátorů s derivacemi 2. řádu. Některé z nich jsou identicky nulové, jak se
lze přesvědčit dosazením. Operátory mají tvar
(2.24)
div gradf = D f
D - Laplaceův operátor,
(2.25)
rot gradf º 0,
grad div A,
(2.26)
div rot A º 0,
(2.27)
rot rot A = grad div A – Ñ 2A, kde operátor Ñ 2A = grad div A – rot rot A.
(2.28)
Aplikace operátorů grad, div, rot na složené funkce
13
Při aplikaci operátorů grad, div, rot na složené funkce respektujeme jejich dvě základní vlastnosti operaci derivace i vektorový charakter. Jsou-li f, y skalární funkce a A, B vektorové funkce, pak platí
(2.29)
grad (f +y) = gradf +grady,
grad (fy) = f grady +y gradf ,
(2.30)
div (A+B) = div A +div B
(2.31)
div (fA) = f div A +gradf × A ,
(2.32)
div (A´B) = B × rot A – A × rot B,
(2.33)
rot (fA) = gradf ´ A + f rot A .
(2.34)
Gaussova, Stokesova a Greenova věta
Gaussova, Stokesova a Greenova jsou z pohledu řešení elektromagnetických polí důležité integrální
věty, protože mohou vést v řadě případů ke zjednodušení hledaného řešení.
Gaussova věta
Objemový integrál divergence vektoru A je roven toku vektoru A přes plochu S, která tento objem
V uzavírá.
ò div A dV = Ñò A× d S .
V
(2.35)
S
Objem V je tedy ohraničen plochou S, element dS směřuje ven z objemu viz obr. 2.8.
Obr. 2.8: Ke Gaussově větě
Obr. 2.9: Ke Stokesově větě
Stokesova věta
Plošný integrál rotace vektoru A je roven cirkulaci A po křivce l, která tuto plochu S obepíná
ò rotA × d S = Ñò A × d l
S
l
(2.36)
Plocha S je ohraničená orientovanou křivkou l viz obr. 2.9, směry dS a dl jsou spojeny pravidlem
pravé ruky.
Greenova věta
K získání obecného řešení pole v daném objemu V, ohraničeném plochou S podle obr. 2.8, je vhodné
použít Greenovu větu. K jejímu odvození uvažujme dvojici skalárních funkcí polohy f, y. Podle výše
uvedených pravidel je
div(f grady) = f div grady +gradf × grady = f Dy +gradf × grady ,
(2.37)
Záměnou pořadí funkcí dostaneme
div(y gradf) = y Df +grady × gradf
(2.38)
Integrujeme-li rozdíl obou výrazů přes objem V, je
ò div(j grady
V
- y gradj ) dV = ò (j Dy - y Dj ) dV
V
(2.39)
14
Použitím Gaussovy věty na levou stranu rovnice dostaneme Greenovu větu ve tvaru
ò (j Dy
V
- y Dj ) dV = Ñò (j grady - y gradj ) × dS
(2.40)
S
Výrazy grady × dS, gradf × dS se často zapisují ve tvaru (¶y/¶n)dS, (¶f/¶n)dS, avšak k praktickému
vyčíslení je vhodnější tvar použitý v poslední uvedené rovnici, zde je element plochy dS orientovaný
ven z objemu V.
2.3 Základní veličiny pole a rovnice pro analýzu polí
Se základními veličinami pole jste se již seznámili v předmětu fyzika. Veškeré poznatky a objevy
v oblasti elektrotechniky, ke kterým se až do současnosti dospělo, vedly k zavedení veličin jako je
náboj, napětí, magnetické napětí, proud, tok elektrické a magnetické indukce. Skalární a vektorové
funkce popisující pole nebo zdroje pole, musí mít v každém bodě konečnou velikost, avšak nemusí být
všude v prostoru spojité a diferencovatelné. Dále je uveden stručný přehled těchto experimentálně
měřených veličin spolu s odpovídajícími integrálními veličinami a vazebními vztahy.
Základní fyzikální veličiny
diferenciální (lokální)
integrální (globální)
r [C/m3]
objemová hustota náboje
Q = ò r dV
[C]
náboj
J [A/m2]
hustota vodivého proudu
I = ò J × dS
[A]
el. proud
D [C/m2]
elektrická indukce
Y = ò D × dS
[C]
el. indukční tok
B [T, Wb/m2]
magnetická indukce
F = ò B × dS
[Wb] mg. indukční tok
E [V/m]
intenzita elektrického pole
U = ò E × dl
[V]
H [A/m]
intenzita magnetického pole
U m = ò H × dl
[A] magnetické napětí
V
S
S
S
l
l
elektrické napětí
Fyzikální konstanty charakterizující vlastnosti prostředí
Každé prostředí může vykazovat magnetické nebo elektrické vlastnosti, tj. ovlivňuje nebo je
ovlivňováno vnějším magnetickým nebo elektrickým polem. Pomocí konstant, které charakterizují
fyzikální vlastnosti daného materiálu, prostředí, můžeme vyjádřit vztahy mezi vektory pole v tomto
prostředí. Prostředí, které vykazuje interakci s vnějším magnetickým polem, označujeme jako
magnetikum a jeho vlastnosti charakterizuje permeabilita
m = mr m0 ,
(2.41)
kde mr je relativní permeabilita a m0 = 4p 10 H/m permeabilita vakua.
Prostředí, jehož vlastnosti se mění vložením do vnějšího elektrického pole a zpětně toto pole
ovlivňuje, označujeme jako dielektrikum a jeho vlastnosti popisuje permitivita
-7
e = er e0 ,
(2.42)
kde er je relativní permitivita a e0 = 1/4p 10-12 F/m permitivita vakua.
Prostředí, v němž dochází v důsledku průchodu elektrického proudu ke vzniku tepelných Jouleových
ztrát, označujeme jako vodivé prostředí (vodiče), vlastnosti takového prostředí udává nenulová kladná
konstanta - konduktivita (měrná vodivost) g.
15
Tab. 2.1: Fyzikální konstanty charakterizující prostředí
magnetikum
m.[H/m]
permeabilita
dielektrikum
e [F/m]
permitivita
vodiče
g [S/m]
konduktivita
n = 1/m
reluktivita
1/g [Wm]
rezistivita
Pomocí fyzikálních konstant můžeme vyjádřit vztahy mezi vektory pole
B = mH
D =e E
J =gE,
(2.43a, b, c)
jejichž platnost je omezena pouze na lineární prostředí!!!
Základní rovnice pole
Zákony elektromagnetického pole, objevené do poloviny minulého století, a to Coulombův zákon,
Gaussova věta elektrostatiky, Ampérův zákon celkového proudu, Biot-Savartův zákon, zákon
zachování náboje a Ohmův zákon shrnul James Clark Maxwell do vzájemných obecných souvislostí
v soustavu rovnic, které nazval Maxwellovy rovnice a jsou dále uvedeny v integrálním
i diferenciálním tvaru.
1. rovnice - Ampérův zákon celkového proudu, zákon magnetoelektrické indukce
Cirkulace vektoru H po orientované křivce l je rovna celkovému vodivému proudu I a posuvnému
proudu dY/dt, který prochází v kladném směru plochy S, ohraničené křivkou l. Vzájemná orientace
křivky a plochy je podle obr. 2.10a). Lze je stanovit několika pravidly. Nejjednodušší je pravidlo
pravé ruky: Je-li palec ve směru kladné normály plochy S (ukazuje směr čítací šipky magnetického
toku), ukazují prsty směr orientace křivky l
Ñò H × dl = I +
l
dY
dt
rot H = J +
¶D
¶t
(2.44)
Obr. 2.10: K výkladu 1. a 2. Maxwellovy rovnice
2. rovnice - Faradayův indukční zákon, zákon elektromagnetické indukce
Cirkulace vektoru E po orientované křivce l je rovna záporně vzaté časové změně magnetického toku,
který prochází plochou S, ohraničenou křivkou l. Vzájemná orientace křivky a plochy je určena
stejným pravidlem pravé ruky, jako v předchozí rovnici a nezávisí na směru vektorů E nebo B. Pravé
strany stanovíme tak, že nejprve vypočteme magnetický tok ve směru kladné normály, který je pouze
funkcí času, tj. F(t), tuto funkci derivujeme podle času a pak změníme znaménko derivace
dF
Ñò E × dl = - dt
l
rot E =
¶B
¶t
(2.45a, b)
3. rovnice - Gaussova věta elektrostatiky
Výtok vektoru indukce D je roven celkovému náboji Q v objemu V, který je uzavřený plochou S, viz
obr. 2.11a)
16
Ñò D × dS = Q
div D = r
S
(2.46a, b)
4. rovnice – zákon kontinuity magnetické indukce
Výtok vektoru magnetické indukce z uzavřené plochy je vždy nulový, viz obr. 2.11b)
Ñò B × dS = 0
div B = 0
S
(2.47a, b)
Obr. 2.11: K výkladu 3. a 4. Maxwellovy rovnice
Podmínky na rozhraní
Diferenciální rovnice neplatí na plochách, kde se materiálové konstanty e, m a g mění skokem.
Normálová nebo tečná složka vektorů pole se mění skokem a derivace podle souřadnic zde neexistují.
Diferenciální tvar Maxwellových rovnic je pak třeba nahradit podmínkami spojitosti vektorů pole E,
H, D, B, J. Při průchodu rozhraním, ve kterém se neakumuluje náboj, se mění spojitě
· tečná složka vektorů intenzity E a H,
· normálová složka vektorů spojených s toky - D, B, J
Obr. 2.12: Podmínky na rozhraní
Příklad změny vektorů E a B při průchodu rozhraním je na obr. 2.12. Vektory v prostředí 1, 2 mají
odpovídající index, tečná složka je doplněna indexem t, normálová n. Jednotková normála k rozhraní
un směřuje do prostředí 2. V rozhraní bez plošného náboje nebo plošného proudu splňují tečné složky
obou intenzit E a H
Et1 - Et2 = 0
H t1 - H t2 = 0
(2.48)
a normálové složky vektorů vyjadřující hustoty toků D, B, J
Dn1 - Dn2 = 0
Bn1 - Bn2 = 0
J n1 - J n2 = 0
(2.49)
17
Z těchto vzorců dostaneme s použitím materiálových vztahů také známé výrazy pro lom siločar
v rozhraní.
Pro obecnější případ ploch s plošnými náboji hustoty s nebo a proudy plošné hustoty K podle
obr. 2.13 je nutno tyto vzorce doplnit
Et1 - Et2 = s
H t1 - H t2 = K
(2.50a, b)
Obr. 2.13: Rozhraní s plošnými náboji a proudy
Výpočet se výrazně zjednoduší, jestliže je možné některou ze souřadnic nebo závislost pole na čase
zanedbat. Rozlišujeme tak samostatné skupiny úloh. Například pokud závisí pole jen na jedné
prostorové souřadnici a nezávisí na čase, soustava se rozpadne na obyčejné diferenciální rovnice, které
lze snadno integrovat. Podle počtu proměnných rozlišujeme úlohy jedno-, dvou- a trojrozměrné,
zkráceně 1D, 2D, 3D (D - dimenze). Podle časové závislosti lze obecný nestacionární problém
elektromagnetického pole zjednodušit na problém statický, stacionární, kvazistatický
a kvazistacionární.
Analytické řešení konkrétní úlohy dokážeme nalézt jen pro některé 1D a 2D úlohy. Složitější
problémy se řeší výhradně numericky. Avšak ani s použitím nejmodernější výpočetní techniky
nedokážeme dosud nalézt dostatečně přesné řešení většiny problémů inženýrské praxe. Všechny
metody řešení jsou závislé na zjednodušení obecné soustavy, a proto si zjednodušené skupiny rovnic
uveďme.
Diferenciální rovnice pro speciální případy elektromagnetických polí
nestacionární (časově proměnné pole)
rot H = J +
¶D
¶t
kvazistacionární pole
rot H = J
- obecný případ
¶B
¶t
div D = r
(2.51a-d)
¶B
¶t
div D = r
(2.52a-d)
¶
= 0 , zdroje pole jsou v klidu a konstantní
¶t
div B = 0
rot E = 0
div D = r
(2.53a-d)
div B = 0
předpoklad:
div B = 0
rot E = ¶D
= J
¶t
rot E = -
statické, stacionární pole předpoklad:
rot H = J
Lze ukázat, že např. rovnice elektrostatického pole jsou formálně shodné s rovnicemi jiných polí.
V elektrotechnice je to pole ustálených proudů ve vodičích a polovodičích, dvourozměrné magnetické
pole a magnetické pole permanentních magnetů. Stejné rovnice ale popisují i jiná pole inženýrské
praxe, jako stacionární pole tepelné, (ochlazování elektronických součástek nebo elektrických strojů)
nebo pole ustáleného proudění kapaliny.
18
2.4 Shrnutí
Skalární a vektorové funkce používáme při popisu vlastností fyzikálních veličin v prostoru a čase.
Předpokládáme, že uvedené funkce jsou integrovatelné nebo diferencovatelné podle prostorových
souřadnic nebo podle času. Integrální větu Gaussovu, Stokesovu nebo Greenovu je možné využít ke
zjednodušení matematického popisu. Diferenciální (lokální) fyzikální veličiny definují fyzikální
vlastnosti prostředí nebo pole v daném místě a mohou proto záviset na prostorových souřadnicích i na
čase. Integrální (globální) veličiny, jako např. toky vektorů vymezenou plochou určují celkové
množství a mohou záviset pouze na čase. Pokud je veličina popisující fyzikální vlastnosti prostředí
(konduktivita, permitivita, permeabilita) konstantou, označujeme dané prostředí jako lineární. Výchozí
rovnice pro popis elektromagnetických polí jsou založeny na platnosti základních zákonů, jako je
Ampérův zákon celkového proudu, Gaussova věta elektrostatiky, Faradayův indukční zákon (zákon
elektromagnetické indukce), zákon kontinuity magnetické indukce. Pro řešení polí v prostoru, kde se
vyskytují prostředí s různými materiálovými vlastnostmi, musí být diferenciální rovnice doplněny
podmínkami spojitosti tečné složky vektorů intenzit a normálových složek indukcí elektrického
a magnetického pole. Zjednodušení rovnic je možné při popisu statických a stacionárních polí
nezávislých na čase nebo kvazistacionárních, kde můžeme některé časové závislosti zanedbat.
19
3 Metody pro výpočet polí
Cíle kapitoly: Seznámit se současnými metodami výpočtu polí, speciálně pak s metodami
numerickými, uvést jejich přehled a použití v praxi.
Maxwellovy rovnice představují soustavu osmi parciálních diferenciálních rovnic. Že je tato soustava
formálně řešitelná, se podařilo dokázat matematikům již v minulém století. Avšak jejich průmyslová
aplikace byla po dlouhou dobu založena ne na jejich rigorózním matematickém řešení, ale na
fyzikálních představách, spojených s konstrukcemi modelů experimentálních. Důvodem byla a je
neobyčejná matematická náročnost přímého řešení těchto rovnic. Různá zjednodušení nevedla
zpravidla k optimálnímu návrhu. Velikost pole se ověřovala většinou až na hotovém prototypu
zařízení a následující konstrukce pak vycházely z předchozích zkušeností. Prototypy velkých
a nákladných elektrických zařízení, které s ohledem na svoji cenu musely být funkční, se ukázaly
v provozu zpravidla předimenzované a tím i drahé. Nový prvek přineslo do návrhu elektrotechnických
zařízení v celém jejich rozsahu od nízkofrekvenčních zařízení silnoproudých po techniku optických
vlnovodů až zavedení výpočetní techniky. Ta umožňuje ve spojení s rostoucí výkonností počítačů stále
přesnější návrh zařízení, které se blíží optimálním hodnotám. Přes obrovský rozvoj numerických
metod má pro složitost problematiky elektromagnetismu stále své nezastupitelné místo experiment.
Většinu experimentů prováděných v laboratoři nelze nahradit např. počítačovým modelováním.
3.1 Formulace úlohy – matematický model
V této části bude uvedena formulace parciálních diferenciálních a integrálních rovnic, tj. matematický
model potřebný pro rigorózní numerický výpočet pole.
Obecná úloha (omezeno na dvě elektrody a dvě dielektrika) je naznačena na obr. 3.1a). Geometrie
elektrod je daná povrchy Se1, Se2 se známými potenciály fe1, fe2 a oblasti W1, W2 s permitivitami e1, e2.
Vyskytují-li se v dielektriku volné náboje, známe jejich objemovou hustotu r(x, y, z) nebo plošnou
hustoty s na příslušných plochách. Problém analýzy pole lze pak formulovat dvěma způsoby.
· Je třeba nalézt potenciální funkci f(x, y, z), která splní Poissonovu nebo Laplaceovu rovnici v celé
oblasti a dále okrajové podmínky: potenciál na elektrodách fe bude fe1, fe2 a na rozhraní mezi
dielektriky bude splněna podmínka spojitosti normálové složky indukce Dn2 - Dn1 = s, nebo na
siločáře Dn = 0 a ¶f/¶n= 0. Potenciál na rozhraní dielektrik bude vždy spojitý.
· Je třeba nalézt takové rozložení hustoty volného a vázaného náboje na elektrodách a na rozhraní
mezi dielektriky s + s’, které zajistí výše uvedené okrajové podmínky. Problém se převede na
problém vakua a pole uvnitř oblasti se vypočte z Coulombova zákona.
Obr. 3.1: Obecný elektrostatický problém a příklad okrajové podmínky
První postup vede na řešení parciálních diferenciálních rovnic, druhý na integrální rovnice.
Úlohy se mohou významně zjednodušit, vykazují-li geometrickou symetrii. Tak je tomu v případě
rovinné nebo rotační symetrie, kdy se sníží počet proměnných. Podle počtu souřadnic rozeznáváme
20
úlohy jedno-, dvou- a trojrozměrné. Zkráceně je budeme značit úlohy 1D, 2D a 3D. Např. potenciální
pole dvouvodičového vedení je rovinná, tj. 2D úloha. Rozměr úlohy lze ovlivnit i vhodnou volbou
souřadnic. Např. pole bodového náboje nebo vodivé nabité koule je 1D úloha ve sférických
souřadnicích, ale 3D v kartézských.
Symetrickou úlohu lze někdy zjednodušit využitím platných okrajových podmínek. Jako příklad je na
obr. 3.1b) symetrický koaxiální kabel, jehož 2D pole je třeba nalézt. Vzhledem k symetrii problému
postačí počítat pole v jednom kvadrantu podle obr. 3.1c). Okrajovou podmínkou je zde f = 0 na
hranici S1, S2, f = – fe na S4. Na S3 a S5 je intenzita tečná k ploše, proto je zde ¶f /¶n = 0. Tento postup
je zřejmě opačný k použití principu zrcadlení, kde je plocha s předepsanou hodnotou f = 0 odstraněna
zavedením zrcadlového obrazu.
Vnitřní a vnější úloha
Při výpočtu pole uvnitř oblasti, na jejíž hranici jsou zadané okrajové podmínky, např. v úloze podle
obr. 3.1b), mluvíme o vnitřní úloze; počítáme-li pole v neomezené oblasti, jak je tomu na obr. 3.1a),
mluvíme o vnější úloze. Toto třídění je důležité zejména v numerických úlohách, z nichž některé jsou
vhodné pro řešení vnitřních i vnějších úloh, jiné pouze k řešení úloh vnitřních.
Poznamenejme ještě, že pokud je v úloze zadán pouze potenciál hranice, nazývá se úloha Dirichletova,
při zadání ¶f /¶n tj. intenzity na hranici, úloha se nazývá Neumannova. V úloze Neumannově je
jednoznačně určen potenciál uvnitř oblasti jen tehdy, jestliže na části hranice je zadán i potenciál.
Vystupují-li obě podmínky, mluvíme o smíšené úloze. Toto třídění se zavádí v matematické fyzice,
není však dostačující pro inženýrské výpočty. Skutečné okrajové podmínky mohou být obecně
složitější, neboť mohou zahrnovat i kombinace potenciálu, normálové derivace potenciálu, ale i jejich
integrály, jak uvidíme dále.
Formulace elektrostatické úlohy diferenciální rovnicí
Jako příklad elektrostatického problému uvažujme úlohu podle obr. 3.1a). Když vyloučíme bodové
náboje, musí hledaná potenciálová funkce splňovat podmínky, které na základě dosavadních poznatků
můžeme formulovat takto:
1. Ve vnitřních bodech obecně nehomogenní oblasti splňuje potenciálová funkce Poissonovu nebo
Laplaceovu rovnici
div e grad f = - r
(3.1)
2. Na elektrodě bude mít potenciál předepsanou hodnotu fe.
3.
4.
5.
6.
Na známé hraniční siločáře E × un = – gradf × un = – ¶f /¶n = 0.
Na rozhraní Sd dvou dielektrik mezi oblastmi W1, W2 se potenciál mění spojitě, tj. f1 = f2
Tento požadavek je ekvivalentní podmínce spojitosti tečné složky vektoru E.
Požadavek spojitosti normálové složky indukce Dn2 – Dn1 = s na rozhraní Sd dvou dielektrik je
ekvivalentní podmínce (normála směřuje do prostředí 2 podle obr. 3.1a), s je známé:
e1
¶f1
¶f
- e2 2 = s
¶n
¶n
(3.2)
Správnost plyne z rovnosti Dn = D . un =e E . un = e (– grad f ). un, kde grad f × un=¶f /¶n.
7. Není-li potenciál elektrody zadán (tzv. elektroda s plovoucím potenciálem), musí být známý
celkový náboj Qe elektrody a potenciál musí vyhovovat podmínce
Qe =
Ñò s dS = Ñò D × dS = - Ñò e grad f
S pe
S pe
S pe
× un dS = - Ñò e
S pe
¶f
dS
¶n
(3.3)
Ve výrazu je un normála směřující z elektrody ven, Spe je povrch elektrody s plovoucím
potenciálem, –e ¶f /¶n = s je hustota volného náboje na povrchu elektrody.
21
8. U vnější úlohy je potenciál v nekonečnu nulový, jsou-li rozměry zdrojů konečné
f (¥ ) = 0 .
3.1.1
Formulace elektrostatické úlohy integrálními rovnicemi
Nyní si uvedeme jednu z několika možných formulací elektrostatické úlohy dvojicí integrálních
rovnic. Vyjdeme z uspořádání podle obr. 3.2. Na něm je znázorněna dvojice elektrod se dvěma
dielektriky. Známe potenciály elektrod a permitivity prostředí a máme stanovit potenciál.
Obr. 3.2: K odvození integrální rovnice pro rozhraní dvou dielektrik
Budeme uvažovat jak volné, tak i vázané náboje o celkové hustotě sc v prostředí s permitivitou e0. Na
rozhraní mezi dielektriky neuvažujeme volný, ale vázaný náboj sc =s´. Známý potenciál v koncovém
bodě P vektoru r na elektrodách je určen integrální rovnicí pro neznámou hustotu náboje
je ( r ) =
1
4pe 0
s c ( r ')
Ñò R (r , r ') dS ,
SS = Se1 + Se2 + Sd
(3.4)
SS
Ve výrazu je SS celková plocha elektrod Sei a rozhraní mezi dielektriky Sd, sc je hledaná hustota.
Přemístíme-li koncový bod P z elektrody na rozhraní mezi dielektriky Sd, ztrácí uvedená rovnice
význam, neboť potenciál zde neznáme. Namísto ní zde vyjádříme spojitost normálové složky indukce
Dn1 ( r ) = Dn2 ( r )
nebo e1En1 ( r ) = e 2 En2 ( r )
(3.5)
Intenzita na rozhraní dielektrik podle obr. 3.2 je potom dána vztahem
En1,2 ( r ) = - un × grad j ( r ) =
-1
4pe 0
1
1
ò u × grad R ( r,r' ) s ( r ' ) dS = 4pe ò
n
S± Σ
c
0 S± S
un × uR
R 2 ( r,r' )
s c ( r ' ) dS
(3.6)
Zde S±S označuje, že integrál má singularitu v R = 0, přičemž nabývá dvou různých hodnot podle toho,
ze které strany se r blíží do bodu P na Sd. Na obr. 3.3a) je znovu zjednodušeně znázorněna celková
plocha SS, vzniklá sjednocením SS – Sd podle obr. 3.3b) a Sd podle obr. 3.3c). Zde Sd je malá ploška
v okolí bodu P na Sd.
Obr. 3.3: K rovnici pro rozhraní mezi dielektriky
22
Integrace přes SS – Sd obr. 3.3b) vytvoří v rozhraní normálovou složku En’ stejnou pro obě prostředí.
(Uvažujeme náboj hustoty sc ve vakuu!!) Platí pro ni
En¢ =
1
4p e 0
ò
SS - S d
un × uR
1
s c ( r ¢ ) dS =
2
R ( r , r¢)
4p e 0
ò
S S - Sd
un × R
s c ( r ¢ ) dS
R3 ( r , r ¢)
(3.7)
Přitom R ¹ 0 a integrál proto nemá singularitu. Tu způsobí integrace přes plošku Sd podle obr. 3.3c).
Plošku Sd, lze za předpokladu, že plocha je hladká (nemá hranu), považovat v dostatečném zvětšení za
nabitou rovinu. Náboj hustoty sc způsobí nespojitost v normálové složce intenzity.
¢¢ = +
En1
sc (r )
2e0
¢¢ = En2
sc (r )
2e0
(3.8a, b)
Výsledná hodnota normálové složky intenzity je potom
¢¢ + En¢ =
En1 = En1
sc (r )
1
+
2e0
4p e 0
¢¢ + En¢ = En2 = En2
ò
SS - Sd
s c (r )
1
+
2e0
4p e 0
ò
un × R ( r , r ¢ )
s c ( r ¢ ) dS ,
R3 ( r , r ¢ )
SS - Sd
un × R ( r , r ¢ )
s c ( r ¢ ) dS ,
R3 ( r , r ¢)
(3.9)
(3.10)
dosazením obou výrazů do vztahu pro spojitost normálové složky indukce a úpravou dostaneme
konečně integrální rovnici platnou pro r na Sd
s c ( r ) e r1 - e r2 1
+
2e0
e r1 + e r2 4p e 0
ò
SS
un × R ( r , r ¢ )
s c ( r ¢ ) dS = 0 .
R3 ( r , r ¢)
(3.11)
Poznamenejme, že singularita typu dS/R2 a její odstranění vytvořilo člen sc (r)/2e0. Vyčíslení integrálu
již nečiní problém, protože pro R® 0 je R ^ un a R × un® 0.
Pro zjednodušení zápisu jsme již vynechali plošku Sd. Odvozené rovnice se obvykle píší
s modifikovanou hustotou náboje q
q=
sc
,
e0
(3.12)
která je přímo rovna intenzitě elektrického pole na elektrodě anebo skokové změně normálové složky
intenzity na rozhraní dielektrik. Dvojice integrálních rovnic má konečný tvar
fE ( r ) =
q (r )
2
+
e r1 - e r2 1
e r1 + e r2 4p
ò
SS
1
4p
q ( r ')
Ñò R (r , r ') dS ( r ¢) ,
r na elektrodě,
(3.13)
SS
un × R ( r , r ¢ )
q ( r ¢ ) dS ( r ¢ ) = 0 , r na rozhraní dielektrik.
R3 ( r , r ¢)
(3.14)
Vzájemným řešením této dvojice se nalezne hustota q(r’) na SS a zpětně z Coulombova zákona
potenciál a intenzita v libovolném bodě prostoru na konci vektoru r
f (r) =
1
4p
q ( r ')
Ñò R (r , r ') dS ( r¢)
SS
E=
1
4p
ò
SS
un × R ( r , r ¢ )
q ( r ¢ ) dS .
R3 ( r , r¢)
(3.15a, b)
Odvozená dvojice rovnic je jednou z několika variant integrálních rovnic popisujících laplaceovské
pole. Je známá pod názvem metoda povrchových nábojů. Další varianty založené na využití Greenovy
věty lze nalézt v knize [2].
23
3.2 Přehled metod
S elementárními metodami výpočtu polí jste již byli seznámeni v předmětu fyzika. Jejich použití je
sice matematicky velmi jednoduché a snadné, ale omezené pouze na jednoduchá uspořádání elektrod
tvaru koulí nebo válců. Analytické řešení Laplaceovy nebo Poissonovy diferenciální rovnice je
nesnadný úkol a jeho použití je velmi omezené podobně jako elementární metody výpočtu polí.
Výpočet pole je ale možné formulovat i na základě integrálních rovnic. Zatímco analytické řešení
diferenciálních a integrálních rovnic pole je velmi obtížné v řadě problémů technické praxe prakticky
nemožné, jejich numerické řešení je snadné s rozvojem možností výpočetní techniky. Přesto mají
elementární a analytické metody svůj nezastupitelný význam, především při testování a kontrole
výstupů z programů založených na numerickém řešení. I když se jimi dále podrobně zabývat
nebudeme, je zde pro úplnost uveden jejich přehled, podrobnější výklad lze nalézt např. [1].
Elementární metody
·
Gaussova věta elektrostatiky,
·
princip zrcadlení, superpozice,
·
výpočet pole pomocí Coulombova zákona,
·
ztotožnění ekvipotenciál, získaných ze známého rozložení náboje, s elektrodami.
Analytické metody
·
přímá integrace, pouze pro 1D problém,
·
separace proměnných, použití teoreticky neomezené, prakticky je však řešení pro libovolné
uspořádání elektrod velmi složité a pro obecný tvar elektrod prakticky nemožné,
·
konformní zobrazení, omezení na 2D výpočty polí elektrod s homogenním dielektrikem,
popsaných Laplaceovou rovnicí.
Numerické metody
·
momentová metoda, řešení diferenciální, integrální, integro-diferenciální rovnice,
·
metoda hraničních prvků, řešení integrální rovnice,
·
metoda indukovaných nábojů, řešení integrální rovnice,
·
metoda konečných objemů, řešení diferenciální rovnice,
·
metoda konečných diferencí (Finite Difference Method), řešení diferenciální rovnice,
·
metoda konečných prvků (Finite Element Method), řešení diferenciální rovnice.
Inverzní a optimalizační metody
V poslední době se, zvláště díky numerickým metodám, dále rozvíjejí úlohy inverzní a optimalizační.
Cílem inverzních metod je
· nalézt k předepsanému rozložení pole v omezené oblasti rozložení zdrojů mimo tuto oblast.
· nalézt k naměřeným hodnotám pole možné rozložení zdrojů, nebo materiálové vlastnosti
zkoumaného prostředí.
Cílem optimalizačních metod je dosáhnout např. aby maximální intenzita v izolaci byla co nejmenší,
aby rozměry zařízení, váha nebo cena byla co nejmenší. Jak již bylo uvedeno analyticky lze řešit jen
velmi jednoduché úlohy, u většiny problémů je rozložení pole a požadované parametry nalezeno
použitím vhodné numerické metody.
24
3.3 Metoda hraničních prvků a metoda konečných diferencí
Jak bylo dříve uvedeno analytické metody výpočtu jsou omezeny na 1D a 2D úlohy s jednoduchými
okrajovými podmínkami. Praktické úlohy byly donedávna modelovány pomocí různých modelů,
zpravidla proudových polí, které jsou popsány formálně stejnými rovnicemi. S rozvojem výpočetní
techniky jsou v posledních dvaceti letech vyvíjeny účinné numerické metody, které umožňují
modelovat reálná 2D i 3D pole. Numerická matematika se zabývá řešením problémů pomocí
aritmetických procesů a jde o to vybrat z nabízených možností tu nejlepší a nejefektivnější. Princip
numerických metod spočívá v sestavení diskrétního modelu odpovídajícího řešenému problému
a nalezení přesného řešení náhradního problému, který tento model popisuje. Numerické metody se
používají v případech, kdy klasické řešení nelze získat (řešení diferenciální rovnice), není známé
(výpočet integrálů) anebo je příliš složité. Dále se postupně zmíníme o třech nejrozšířenějších
numerických metodách modelování, a to o metodě hraničních prvků, metodě konečných diferencí
a metodě konečných prvků.
Při vývoji každého nového zařízení je potřeba nejdříve stanovit, kdy použijeme počítačové modely
a kdy dáme přednost výrobě reálného modelu. Hlavním hlediskem při rozhodování by mělo být
hledisko ekonomické. Cena počítačového modelu je dána položkami: nákup a rychlé odpisy výpočetní
techniky, zakoupení software včetně instalace a údržby, lidská kvalifikovaná práce - vytvoření a
výpočet jednoduchého 2D modelu trvá včetně zprávy méně než týden, složitý model vytváří skupina
pracovníků i 1 až 2 měsíce.
Typickým příkladem využití počítačového modelování v elektromagnetismu jsou drahá a složitá
zařízení, jejichž prototypy musí být po absolvování příslušných zkoušek funkční. Příkladem je
alternátor o výkonu 1000 MW pro jadernou elektrárnu v Temelíně z plzeňské Škodovky, a ze
zahraničí výkonné urychlovače částic nebo satelitní vysílače. Patří sem i optimalizace drobných
zařízení, vyráběných ve velkých sériích, např. velké série motorků pro automobily, do praček apod.
Společným rysem numerických metod je náhrada přesného řešení diferenciální nebo integrální rovnice
řešením přibližným. Přibližné řešení nalezne např. v elektrostatické úloze potenciál nebo hustotu
náboje ve vybraných bodech prostorové sítě, nazývaných uzly. Pole mezi uzly pak nalezneme
vhodnou aproximací. Přesnost řešení záleží na přesnosti vstupních dat, na hustotě sítě, tj. na počtu uzlů
(chyba diskretizace) a také na způsobu zaokrouhlování při sestavování počítačového modelu.
Každá úloha je zadána:
·
Geometrií popisující tvar a rozměry daného uspořádání. Oblast, ve které se hledá řešení, se
rozdělí na podoblasti a ty se dělí na elementy, určené uzly a jejich souřadnicemi.
· Popisem materiálových vlastností prostředí jednotlivých podoblastí.
· Popisem rozložení zdrojů pole a jejich vlastností v podoblastech a na plochách.
· Diferenciální nebo integrální rovnicí pole.
· Popisem okrajových podmínek na hranicích podoblasti.
· Dalšími vztahy, odvozenými pro výpočet sekundárních veličin (vztah pro kapacitu, celkovou
energii, síly, intenzitu, trajektorie částic aj.).
Principy dále popsaných metod jsou zcela obecné a jsou použitelné i na jiné pole (magnetické,
proměnné, vyzařování antén, vlnovody, optická vlákna). Podrobněji bude popsána pouze metoda
konečných prvků a její aplikace na řešení elektrostatického pole.
Jednodušší programy založené na numerických metodách jsou v současnosti běžnou součástí
programů pro počítačové projektování, jako je AUTOCAD. V těchto programech je zajištěna výměna
dat mezi hlavním programem a programem pro numerické řešení pole. Bez nutné minimální znalosti
teorie numerických metod nelze příslušné podprogramy využít. Je zde zcela namístě poznamenat, že
v České republice je znalost a využití numerických metod v elektrotechnice bohužel na velmi nízké
úrovni. Pro porovnání např. ve Velké Británii jsou kurzy numerických metod součástí všeobecného
vzdělání elektroinženýra. Podstatně většího rozšíření dosáhlo využití těchto metod ve strojírenství
a stavebnictví. Cílem následujícího textu je seznámit studenty s nezbytnou teorií nutnou k pochopení
dané problematiky.
25
Metody pro řešení integrálních rovnic
K nejpoužívanějším metodám, které jsou založeny na numerickém řešení integrálních rovnic, patří
metoda povrchových nábojů (Surface Charge Method), momentová metoda a metoda hraničních prvků
(Boundary Element Method). Principy a použití těchto metod jsou podrobně popsány např. ve [3],
a proto se zde omezíme pouze na stručný princip metody hraničních prvků.
3.3.1
Metoda hraničních prvků
Princip metody spočívá v diskretizaci ploch, vystupujících v integrálních rovnicích, na prvky
a aproximaci hledané hustoty tvarovými funkcemi na prvcích a aproximačními funkcemi uzlů.
Hledáme rozložení q = sc/e0 na ploše SS, představující povrch elektrod a rozhraní mezi dielektriky.
Plochu SS rozdělíme na plošné prvky (trojúhelníky, čtyřúhelníky) s plochou S(e) a na prvcích zavedeme
tvarové funkce. S výhodou můžeme použít i konstantní aproximační funkce - tyto funkce se pouze
integrují. Postupem podrobně popsaným v [1] dostaneme systém rovnic ve tvaru
K q=f,
(3.16)
kde prvky matice K jsou dány
kij =
1
4p
ò
SS
N j ( r ¢)
dS ( r ¢ )
R ( ri , r ¢ )
pro
i = 1,..., NUE uzlů na elektrodách,
1
1 e r1 - e r2 N j ( r ¢ ) R ( ri , r ¢ ) × un
dS ( r ¢ ) pro i = NUE + 1,..., NU
kij = d ij +
2
4p e r2 + e r1 SòS
R 3 ( ri , r ¢ )
(3.17)
(3.18)
na.rozhraních.
Při použití jiných než konstantních aproximačních funkcí se určí prvky kij integrací přes prvky
s příspěvky kij =
å k ( ) . Některé z výše uvedených integrálů lze vyjádřit analytickými funkcemi,
e
ij
zpravidla se ale určují numerickou integrací.
Nevýhodou metody je, že matice soustavy K je hustá a špatně podmíněná. Na druhé straně je dimenze
úlohy snížena o 1, tj. ve 3D úloze se hledá neznámá na ploše, ve 2D na křivce. Pro stejnou přesnost
pak vystačíme s podstatně menším počtem rovnic. Výhodou je také skutečnost, že úloha nemusí mít
uzavřenou hranici a je vhodná k řešení prostorově neomezených polí. Další výhodou je i to, že
vypočtená veličina q je rovna intenzitě pole na elektrodě.
Metody pro řešení diferenciálních rovnic
K nejznámějším a v inženýrské praxi nejrozšířenějším a běžně používaným metodám
založeným na řešení diferenciální rovnice bezesporu patří metoda konečných diferencí a metoda
konečných prvků.
3.3.2
Metoda konečných diferencí (MKD)
Metoda konečných diferencí nebo též sítí je nejstarší ze tří uvedených metod a lze ji aplikovat na
libovolný typ rovnic. Princip metody je velmi jednoduchý. Obecný postup můžeme popsat
následujícími kroky:
· Oblast, ve které nás zajímá rozložení potenciálu, pokryjeme sítí. Pro 2D úlohu volíme síť
čtvercovou, obdélníkovou, polární, pro 3D úlohu její prostorový ekvivalent, který dostaneme
tažením 2D sítě ve směru osy z. V uzlech sítě zavedeme hledané potenciály.
· V každém uzlu nahradíme parciální derivace v Poissonově rovnici numerickými derivacemi,
vyjádřenými z hodnot potenciálu v uzlu a v okolních uzlech.
· Postup opakujeme pro všechny uzly s neznámými potenciály, čímž obdržíme soustavu
algebraických rovnic pro uzlové potenciály.
· Soustavu vyřešíme vhodnou metodou (eliminační a iterační metody).
26
· Z vypočtených potenciálů stanovíme aproximací intenzitu a další hledané veličiny.
Postup odvození si demonstrujme na příkladě 2D čtvercové sítě. Na obr. 3.4a) je část pravidelné sítě,
ve které jsou vyznačeny uzly s čísly 0, 1, 2, 3, 4 s hledanými potenciály f0, f1, f2, f3, f4. Na obr. 3.4b)
je vybraná skupina uzlů s hledanými potenciály. Potenciálové derivace v Poissonově rovnici
nahradíme přibližnými hodnotami numerické derivace. První derivaci podle x v bodech A, B lze
vyjádřit vztahy
¶f ( A) f1 - f0
»
¶x
h
¶f ( B) f0 - f2
»
¶x
h
(3.19)
Obr. 3.4: Příklad 2D sítě pro metodu konečných diferencí
Z těchto hodnot je druhá derivace podle x v uzlu 0
¶f ( A) ¶f ( B ) f1 - f0 f0 - f2
¶ 2f
f + f - 2f0
¶x » h
h
¶x
»
= 1 22
2
¶x
h
¶x
h
Analogicky vyjádříme druhou derivaci podle y výrazem
f3 - f0 f0 - f4
2
f + f - 2f0
¶f
h
h
»
= 3 42
2
h
¶y
h
(3.20)
(3.21)
Dosazením do Poissonovy rovnice dostaneme aproximaci pro uzel 0
r
¶ 2 f ¶ 2 f f1 + f2 - 2f0 f3 + f4 - 2f0
+ 2 »
+
=- 0
2
2
2
e0
¶x
¶y
h
h
(3.22)
Zde je r0 hustota náboje v uzlu 0 a e0 permitivita ve stejném bodě. Rovnici upravíme na konečný tvar
4j0 - j1 - j2 - j3 - j4 =
r0 h2
e0
(3.23)
Většinou řešíme Laplaceovu rovnici, která je aproximována na rovinné čtvercové síti vztahem
4j0 - j1 - j2 - j3 - j4 = 0
(3.24)
Pro každý uzel tak postačí sestavit rovnici podle pravidla 4 x potenciál uzlu - součet potenciálů
sousedních uzlů = 0. Tuto rovnici aplikujeme na všechny uzly, jejichž potenciál neznáme. Sousedí-li
takový uzel s uzlem na elektrodě, jejíž potenciál známe, převede se známá hodnota na pravou stranu
rovnice. Postup při sestavení rovnic si ukážeme na příkladě.
Příklad 3.1: Vypočtěte přibližně rozložení potenciálu mezi dvěma souosými elektrodami čtvercového
průřezu. Vnitřní elektroda má rozměry 4 x 4 cm, vnější 10 x 10 cm. Potenciál vnitřní elektrody je
100 V, vnější elektrody 0 V. Objemová hustota náboje mezi elektrodami je nulová.
27
Řešení: V prostoru mezi elektrodami vytvoříme čtvercovou síť o straně h = 1 cm podle obr. 3.5a).
K elektrodám připíšeme hodnotu potenciálu. Vzhledem k symetrii problému podle rovin x = 0, y = 0
a x = ± y postačí určit uzlové potenciály v jednom oktantu roviny xy.
Obr. 3.5: Souosé čtvercové elektrody
Vybraná část sítě je na obr. 3.5b) zvětšena a doplněna o uzly se symetrickým potenciálem vzhledem
k rovinám x = – y a y = 0. Pro uzel 1 platí podle výše uvedeného rovnice
4f1 - f 2 - 0 - 0 - f 2 = 0 nebo 4f1 - 2f 2 = 0
(3.25)
Podobně sestavíme rovnice pro uzly 2 až 9. Pro uzly na elektrodách č. 10 až 18 rovnice
nesestavujeme, protože jejich potenciál je známý. Pokud sousední uzel má potenciál 100 V,
převedeme tuto hodnotu na druhou stranu. Např. rovnici pro uzel 8 lze napsat ve tvaru
4f 8 - f 9 - f 7 - f 4 - 100 = 0 nebo 4f 8 - f 9 - f 7 - f 4 = 100
(3.26)
Všechny sestavené rovnice uspořádáme do přehledného maticového zápisu
0
0 0
0
0
0 ù éf1 ù é 0 ù
é 4 -2 0
ê ú
ê- 1 4 - 1 0
0 -1 0
0
0 úú êf 2 ú êê 0 úú
ê
ê 0 -1 4 -1 0 0 -1 0
0 ú êf 3 ú ê 0 ú
ê
úê ú ê ú
0 -1 4 -1 0
0 - 1 0 ú êf 4 ú ê 0 ú
ê0
ê0
0
0 -2 4 0
0
0 - 1ú êf 5 ú = ê 0 ú .
ê
úê ú ê ú
0
0 4 -2 0
0 ú êf 6 ú ê 0 ú
ê 0 -2 0
ê0
0 -1 0
0 - 1 4 - 1 0 ú êf 7 ú ê100ú
ê
úê ú ê ú
0
0 - 1 0 0 - 1 4 - 1ú êf 8 ú ê100ú
ê0
ê
úê ú ê ú
0
0
0 -1 0
0 - 2 4 û ëf 9 û ë100û
ë0
Soustavu řešíme některou z numerických metod. Hledaný vektor potenciálů je po vyřešení
f = [9,1 18,1 26,2 29,9 31,0 37,3 56,5 62,6 64,1]T.
Je vidět, že matice koeficientů získaná aplikací MKD je řídká; na jednom řádku je nejvýše
5 nenulových koeficientů při libovolném počtu rovnic. Koeficient na diagonále je větší nebo roven
součtu absolutních hodnot koeficientů mimo diagonálu, soustava je tedy diagonálně dominantní
a pozitivně definitní. Soustavy s uvedenými vlastnostmi jsou dobře řešitelné některou z moderních
iteračních metod, např. metodou konjugovaných gradientů. Výhodou těchto metod je malý nárok na
paměť počítače, neboť se uschovávají jen pole s nenulovými koeficienty a dále vysoká stabilita řešení.
Proto lze spolehlivě řešit na současných PC do 500 000 rovnic a na výkonných počítačích až několik
milionů rovnic tohoto typu.
28
Po nalezení uzlových potenciálů lze stanovit i další veličiny, např. intenzitu mezi uzly 17 a 4 ve směru
osy +y. Pro tento úsek platí
f4 - f17 » E y Dl4 -17 , odkud E y »
f4 - f17 29.9
=
= 2990 V/m
0.01
Dl4 -17
(3.27)
Z okrajové podmínky na elektrodě Dn = s = e En lze stanovit hustotu náboje a její numerickou
integrací celkový náboj. Z něj pak lze určit kapacitu elektrod.
Metodu lze snadno rozšířit i na 3D úlohy viz [1]. Hledané řešení získáme vždy v uzlech sítě,
v ostatních bodech prostoru interpolací. Metodu lze použít pouze pro řešení úloh s uzavřenou hranicí
(známá Dirichletova nebo Neumannova podmínka). Jednou z nevýhod MKD je, že způsobuje vážné
komplikace na rozhraních se složitou geometrií a na rozhraních se skokovou změnou permitivity.
Podrobný postup je popsán např. v instruktivní učebnici [4]. Při výpočtu statických polí je dnes MKD
pro uvedené komplikace téměř vytlačena metodou konečných prvků, se kterou se seznámíme
podrobně v následujícím textu.
Metoda konečných diferencí v časové oblasti (Finite Difference Time Domain - FDTD)
Metoda FDTD se používá, jestliže hledáme řešení v čase, např. při řešení rovnic
rot E = -
¶ B (t )
¶t
rot H = J +
¶ D( t )
,
¶t
kdy ze známého rozložení pole B(t) v čase t určíme hodnotu v čase t+Dt
B( t + Dt ) = B( t ) - Dt rot E .
(3.28a, b)
(3.29)
Princip metody FDTD spočívá v tom, že se diferencemi nahrazují derivace podle prostorových
souřadnic i podle času, přitom se používá diferencí dopředných nebo centrálních
¶ F (t ) F (t + D t ) - F (t )
»
¶t
Dt
,
¶F (t ) F (t + Dt / 2) - F (t - Dt / 2)
.
»
¶t
Dt
(3.30)
Podrobnosti jsou uvedeny např. ve [3]. Použití dopředných diferencí vede sice ke stabilnímu řešení,
ale neumožňuje zvýšení jeho přesnost. Stabilita numerického výpočtu je dána kritickou (mezní)
hodnotou časového kroku Dt, který splňuje Courantovu podmínku vyjádřenou pro kartézské
souřadnice vztahem
Dt £
1
1
.
c ( Dx ) -2 + ( Dy ) -2 + ( Dz ) -2
(3.31)
Použití časového kroku na mezi stability minimalizuje numerickou disperzi řešení. K zajištění stability
a požadované přesnosti numerického řešení se při diskretizaci používá obvykle kombinace
dopředných a centrálních diferencí – výpočet se provádí s posunutými časovými řezy tzv. leapfrog
metodou. Například složky intenzity elektrického pole jsou diskretizovány v časech nDt (dopředné
diference) a složky intenzity magnetického pole v časech (0.5 + n)Dt (centrální diference).
Diskretizace rovnic pro všechny složky pole se provede v řezech podle obr. 3.6. Pro velikosti složek
pole ve dvou po sobě následujících časech platí vztahy
é H n +1/ 2
- H zn,+i ,1/j -21/ 2,k H yn,+i1/, j ,2k +1/ 2 - H yn,+i 1/, j ,2k -1/ 2 ù
Exn,+i ,1j ,k = C1E Exn,i , j ,k + C2 E ê z ,i , j +1/ 2,k
ú,
Dy
Dz
êë
úû
(3.32)
n
y ,i , j , k
é H xn,+i ,1/j ,2k +1/ 2 - H xn,+i ,1/j ,2k -1/ 2 H zn,+i +1/1/22, j ,k - H zn,+i -1/1/22, j , k ù
+ C2 E ê
ú,
Dz
Dx
ëê
ûú
(3.33)
n
z ,i , j , k
é H yn,+i 1/+1/22, j ,k - H yn,+i 1/-1/22, j ,k H xn,+i ,1/j +21/ 2,k - H xn,+i ,1/j -21/ 2, k ù
+ C2 E ê
ú,
Dx
Dy
ëê
ûú
(3.34)
E
n +1
y ,i , j , k
= C1E E
E
n +1
z ,i , j , k
= C1E E
29
Obr. 3.6: Prvek prostorové diskretizační sítě pro FDTD
é En
- E yn,i , j ,k -1/ 2 Ezn,i , j +1/ 2,k - Ezn,i , j -1/ 2,k ù
H xn,+i ,1/j ,2k = C1H H xn,-i ,1/j ,2k + C2 H ê y ,i , j , k +1/ 2
ú,
Dz
Dy
êë
úû
(3.35)
+ C2 H
é Ezn,i +1/ 2, j ,k - Ezn,i -1/ 2, j ,k Exn,i , j ,k +1/ 2 - Exn,i , j ,k -1/ 2 ù
ê
ú,
Dx
Dz
ëê
ûú
(3.36)
+ C2 H
é Exn,i , j +1/ 2,k - Exn,i , j -1/ 2,k E yn,i +1/ 2, j , k - E yn,i -1/ 2, j ,k ù
ê
ú,
Dy
Dx
ëê
ûú
(3.37)
H
n +1/ 2
y ,i , j , k
H
n +1/ 2
z ,i , j , k
= C1H H
n -1/ 2
y ,i , j , k
= C1H H
n -1/ 2
z ,i , j , k
sDt
2e ,
C1E =
sDt
1+
2e
1-
C2 E
Dt
= e ,
sDt
1+
2e
Dt
2 ms ´
,
=
Dt
1+
2ms ´
1-
C1H
C2 H
Dt
m
.
=
Dt
1+
2ms ´
(3.38)
Počáteční podmínky se většinou volí nulové, to znamená, že složky veličin pole E a H budou mít
v počátečním čase nulovou hodnotu.
Okrajové podmínky jsou definovány na elektricky nebo magneticky vodivých stěnách, kde je tečná
složka elektrické i magnetické intenzity nulová. Pokud není struktura takto vodivě uzavřena, je
potřeba zajistit na hranici oblasti, ve které pole počítáme, její bezodrazové zakončení například
použitím absorpční podmínky (ABC – Absorbing Boundary Condition). Další a přesnější způsob
bezodrazového zakončení je využití dokonale přizpůsobené vrstvy (PML - Perfectly Matched Layer).
PML tvoří oblast s absorpčním materiálem, jehož ztráty jsou způsobeny dielektrickým i magnetickým
ohřevem. Vhodně navrženou PML je možné zajistit požadovaný útlum signálu díky vzniku dostatečně
velkých ztrát ve vrstvě.
3.4 Shrnutí
Diferenciální nebo integrální rovnice, které mohou být doplněné podmínkami na rozhraní prostředí,
okrajovými a případně počátečními podmínkami, definují matematický model řešené úlohy. Jestliže je
oblast, ve které hledáme rozložení pole, omezena hranicí s definovanou Dirichletovou nebo
Neumannovou podmínkou, mluvíme o vnitřní úloze. V případě, že úloha omezena takto není, jedná se
o vnější úlohu. Podle zvoleného matematické popisu a postupu členíme metody pro řešení polí na
elementární, analytické, numerické, inverzní a optimalizační. Metoda hraničních prvků je metoda pro
30
numerické řešení polí v neomezené oblasti popsaných integrální rovnicí. Metodou konečných
diferencí můžeme numericky řešit časoprostorové rozložení pole v uzavřené oblasti (vnitřní úloha)
popsané diferenciální rovnicí s příslušnými okrajovými a počátečními podmínkami.
31
4 Metoda konečných prvků
Cíle kapitoly: V kapitole bude podrobně vysvětlen princip metody konečných prvků a její
použití při řešení Poissonovy parciální diferenciální rovnice.
4.1 Princip MKP
Metoda konečných prvků je účinná metoda k řešení všech okrajových úloh inženýrské praxe,
popsaných diferenciálními rovnicemi. Metoda byla vyvinuta s nástupem digitálních počítačů ke konci
padesátých let k řešení úloh z pružnosti a pevnosti v leteckém průmyslu. V krátké době byla zavedena
v řadě oblastí ve strojírenství, stavebnictví a v elektrotechnice. Podobně jako v MKD zavádějí se
v oblasti, kde se počítá pole, uzly a uzlové potenciály. Uzly však mohou být rozloženy v oblasti
nerovnoměrně a mohou tak sledovat tvar hraničních ploch. V místech, kde se očekává prudká změna
pole, se zavede větší hustota sítě. Příklad sítě uzlů a prvků je na obr. 4.1.
Obr. 4.1: Uzly na síti konečných prvků
Podobně jako v MKD se sestaví soustava rovnic pro neznámé uzlové potenciály. Koeficienty matice
soustavy a pravých stran se nepočítají z diferencí nahrazujících derivace, ale jako integrály přes
elementární plošky nebo objemy, v jejichž vrcholech jsou uzly. Tyto elementární útvary jsou
nazývány konečné prvky. V obr. 4.2a) je naznačen konečný prvek tvaru trojúhelníka a čtyřúhelníka
a další základní rovinné prvky - lineární a parabolický trojúhelník a čtyřúhelník. Parabolický prvek má
zakřivené hrany s dalším uzlem na hraně. Prostorové elementární prvky jsou na obr. 4.2b). Prostorové
konečné prvky mají tvar čtyřstěnu, pětistěnu a šestistěnu. Mohou mít rovněž další uzly ve středu hran.
Pokud nebude uvedeno jinak, budeme metodu demonstrovat na rovinných úlohách s lineárními
trojúhelníkovými prvky. Popis ostatních prvků lze nalézt v odborné literatuře, např. v [1], [3] a [5].
Obr. 4.2: Elementární rovinné a prostorové prvky
32
Postup při aplikaci MKP sestává z těchto kroků:
· Generace sítě prvků s uzly.
· Aproximace potenciálu na jednotlivých prvcích z uzlových hodnot.
· Sestavení soustavy rovnic pro neznámé uzlové hodnoty.
· Vyřešení soustavy.
· Zpracování dodatečných požadavků - výpočet dalších veličin a zobrazení výsledků.
Dále si probereme jednotlivé body výpočtu.
4.2 Generace sítě prvků
Generace sítě prvků je zejména pro 3D úlohy náročná na čas i zkušenosti s konkrétním programem.
Jednodušší je generace sítí na dvourozměrných oblastech. Je známa řada algoritmů, které na libovolně
složité hranici zajistí generaci prvků předepsaného tvaru. Příkladem je trojúhelníková síť z obr. 4.1.
Část programu vytvářející síť prvků se nazývá generátor sítě. Generátory 2D sítí jsou poměrně
jednoduché a robustní, tj. zřídka dojde během generace k jejich zhroucení. Naproti tomu generátory
3D sítí jsou velmi dlouhé a komplikované programy, s jejichž vlastnostmi a možnostmi je třeba se
nejprve dobře seznámit. Principiálně se 3D sítě generují v jednodušším případě tažením nebo rotací
2D sítí podél některé z os. V obecné 3D oblasti se generuje nejprve trojúhelníková síť na plochách,
které oblast uzavírají a vlastní generace probíhá z hraničních prvků směrem do oblasti.
4.3 Aproximace potenciálu na prvcích
4.3.1
Princip aproximace potenciálu na prvcích v 1D úloze
Metoda konečných prvků využívá velmi jednoduchý, avšak ne zcela obvyklý princip aproximace
hledané funkce. Z matematiky známe rozvoj funkce v Taylorovu řadu, z odborných předmětů i rozvoj
ve Fourierovu řadu. Nevýhoda těchto aproximací je, že při zvyšování stupně tyto aproximace oscilují.
Je-li hledaná funkce, např. potenciál, tak intenzita, jako jeho derivace, osciluje více a chyba řešení se
prudce zvyšuje. Metoda konečných prvků je založena na myšlence využít co nejnižší stupeň
aproximačního polynomu. Co nejnižší znamená vybrat takový stupeň polynomu, který po dosazení do
příslušné diferenciální rovnice představuje ještě netriviální řešení. Např. aproximace stupňovitou po
částech konstantní funkcí nelze použít pro řešení diferenciálních rovnic vůbec, neboť po dosazení
konstantních hodnot jsou derivace nulové. Zdálo by se, že rovnice druhého řádu budou vyžadovat
alespoň kvadratickou aproximaci. Víme však, že integrací per partes lze snížit řád rovnice o jeden.
Tento princip platí i pro parciální diferenciální rovnice. Proto vystačíme pro rovnici 2. řádu s lineární
aproximací. MKP tedy nevyužívají aproximaci polynomy vyšších řádů na dlouhém intervalu, ale
naopak na mnoha malých intervalech lineární nebo nejvýše kvadratickou aproximaci. Pro ilustraci
ukážeme na následujícím příkladě odvození aproximační funkce.
Obr. 4.3: K aproximaci potenciálu
Příklad 4.1: Aproximujte potenciál v prostoru mezi rovinnými elektrodami obě s potenciálem 2 V, jeli jeho průběh mezi elektrodami dán výrazem f(x) = –12 x2 + 12 x +2, viz obr. 4.3a). Elektrody jsou
umístěny v x = 0 a x = 1. Mezi elektrodami je náboj o hustotě r = 24 e0 C/m3. Řešení aproximované
lineární funkcí fa je na obr. 4.3a) naznačeno lomenou čarou. Z obr. 4.3b) a obr. 4.3c) je patrno
33
sestavení aproximace. Oblast je rozdělena na dva prvky (elementy) e1, e2 se třemi uzly u1, u2, u3
o souřadnicích x1 = [0,0]; x2 = [0,5]; x3 = [1,0]. Aproximované řešení lze zapsat
fa = f1N1 ( x ) + f2 N 2 ( x ) + f3 N 3 ( x )
(4.1)
Uzlové hodnoty potenciálu jsou f1, f2, f3; N1, N2, N3 jsou aproximační funkce. Ke splnění okrajových
podmínek je třeba položit f1 = f3 = 2 V, neznámá je hodnota f2, pro kterou je třeba sestavit rovnici.
Aproximační funkci uzlu 1 na prvku (1) označíme N1(1) ( x) . Ta je na prvku určena rovnicí přímky,
která je rovna 1 v uzlu 1 a 0 v sousedním uzlu 2. Dále je nulová mimo prvek e1.
N1(1) ( x) = 1 - 2 x pro x Î< 0; 0,5 >
(4.2)
Podobně N 3( 2) ( x) je nenulová na prvku (2) a nulová mimo tento interval
N3( 2) ( x) = 2 x - 1 pro x Î< 0,5; 1,0 >
(4.3)
Platí N1 ( x ) = N1( 1 ) ( x ), N 3 ( x ) = N 3( 2 ) ( x ). Aproximační funkce N2 je vyjádřena na každém z
prvků jinou, tzv. tvarovou funkcí a mimo prvek je nulová
N 2(1) ( x) = 2 x pro x Î< 0; 0,5 >
N 2( 2) ( x) = 2 - 2 x pro x Î< 0,5; 1,0 >
(4.4a, b)
Výsledná aproximační funkce.
N 2 ( x ) = N 2( 1 ) ( x ) + N 2( 2 ) ( x )
(4.5)
Obě dílčí funkce na jednotlivých prvcích se nazývají funkce tvarové, protože určují tvar aproximace
(lineární, parabolická). Aproximační funkce je tedy součtem funkcí tvarových. Funkce na prvku 1 a 3
jsou současně aproximační i tvarové. Tvarovým funkcím přisoudíme jako horní index číslo prvku, na
kterém jsou definovány.
Přesnější řešení dosáhneme
·
záměnou lineární aproximace za kvadratickou,
· hustším dělením sítě prvků.
Kubické a vyšší stupně tvarových funkcí se nepoužívají, neboť řešení má tendenci oscilovat.
Obecně platí, že každá z aproximačních funkcí se sestaví ze dvou tvarových funkcí na sousedních
prvcích se společným uzlem j
N j ( x) = N (j j -1) ( x) + N (j j ) ( x) ,
(4.6)
pro tvarové funkce viz obr. 4.4a) lze odvodit vztahy
N (j j -1) =
x - x j -1
N (j j ) =
x j - x j -1
x - x j +1
x j - x j +1
.
(4.7a, b)
Lokální aproximace potenciálu na e-tém prvku z tvarových funkcí krajních uzlů j a j+1 je znázorněna
na obr. 4.4b). Pro tuto tzv. lokální aproximaci platí
(e)
( e)
f (e) ( x) = f j N j ( x) + f j +1 N j +1 ( x)
Obr. 4.4: Aproximace na 1D prvku
(4.8)
34
4.3.2
Aproximace potenciálu ve 2D úloze
Aproximaci demonstrujme na příkladě obvykle používaného prvku tvaru lineárního trojúhelníku. Na
obr. 4.5 a obr. 4.6 je znázorněn princip lokální aproximace potenciálu na prvku pomocí lineárních
tvarových funkcí. Na trojúhelníku s uzly u1(x1, y1), u2(x2, y2) a u3(x3, y3) aproximujeme potenciál
lineární funkcí
f = Ax + By + C
(4.9)
Obr. 4.5: Aproximace potenciálu na prvku lineárními tvarovými funkcemi
Zavedeme tvarové funkce N1(e)(x, y), N2(e)(x, y), N3(e) (x, y) podle obr. 4.6. Každá z funkcí je rovna
jedné v příslušném uzlu a nule v sousedních dvou uzlech. Nulová je i mimo prvek (e). Potenciál na
prvku pak definujeme z uzlových potenciálů podle obr. 4.5b)
f (e ) = f1 N 1(e ) ( x, y ) + f 2 N 2(e ) ( x, y ) + f 3 N 3(e ) ( x, y )
(4.10)
Odvoďme si rovnici pro tvarovou funkci N1(e) (x, y). Je to rovnice roviny
N
(e )
1
= ax + by + c
(4.11)
procházející body (x1, y1,1), (x2, y2,0), (x3, y3,0). Po dosazení souřadnic dostaneme soustavu
a x1 + b y1 + c = 1
a x2 + b y 2 + c = 0
a x3 + b y 3 + c = 0
nebo
é x1
êx
ê 2
êë x3
1ù éa ù é1 ù
y 2 1úú êêb úú = êê0úú
y 3 1úû êë c úû êë0úû
y1
(4.12)
Determinant soustavy je roven dvojnásobku plochy trojúhelníkového prvku SD, tedy
D = 2 SD. Kladnou hodnotu determinantu dosáhneme číslováním uzlů v kladném smyslu, jak je tomu
na obr. 4.6. Ze soustavy vypočteme konstanty a, b, c a dosadíme je do výrazu pro tvarovou funkci N1(e)
trojúhelníkového prvku s vrcholy 1, 2, 3
(e)
N1
=
1
2 SD
[( y 2 - y3 ) x + (x3 - x 2 ) y + x 2 y 3 - x3 y 2 ]
(4.13)
Funkce N2(e)(x, y), N3(e) (x, y) dostaneme jednoduchou cyklickou záměnou indexů 1-2-3-1 na prvku.
Obr. 4.6: Tvarové funkce na lineárním trojúhelníku
Ze všech tvarových funkcí uzlu j lze sestrojit analogicky s 1D úlohou aproximační funkci tohoto uzlu
jako součet všech tvarových funkcí uzlu j. Princip je patrný z obr. 4.7a). Je to jehlan jednotkové výšky
s vrcholem v uzlu j a s hranami spojujícími uzly sousedící s uzlem j.
35
N j = å N (je )
Pj
(4.14)
kde Pj je počet prvků se společným uzlem j.
Obr. 4.7: Aproximační funkce a aproximace potenciálu nad oblastí
Sestavíme-li takovouto aproximační funkci pro každý uzel sítě j = 1 až NU, kde NU je počet uzlů viz
obr. 4.7b), dostaneme globální aproximaci potenciálu v celé oblasti
fa =
NU
åf j
j =1
N j ( x, y )
(4.15)
Trojice souřadnic vrcholů trojúhelníku umožnila definovat tři konstanty určující rovinu. Čtveřice
souřadnic čtyřúhelníkového prvku vyžaduje tvarovou funkci se čtyřmi konstantami. Použitá
aproximace má tvar
f (e) = f1 N 1(e ) ( x, y ) + f 2 N 2(e) ( x, y ) + f 3 N 3(e) ( x, y ) + f 4 N 4(e) ( x, y )
(4.16)
(e)
kde např. funkce N1 už není lineární jako předchozí, ale tzv. bilineární funkce
N
(e )
1
= axy + bx + cy + d
(4.17)
Výrazy pro koeficienty a až d lze odvodit postupem stejným jako pro trojúhelník. Analogicky pro
parabolický trojúhelník určený 6 body je třeba použít aproximaci polynomem se 6 konstantami
( )
N 1 e = a x 2 + b y 2 + c xy + d x + e y + f
(4.18)
Obvykle se pro všechny typy prvků používají vhodně normované souřadnice.
Aproximace potenciálu ve 3D úloze
Základní prvky - čtyřstěn, pětistěn a šestistěn jsou na obr. 4.2b). Nejjednodušší - lineární
čtyřstěn - je určen čtyřmi vrcholy. Lze na něm zavést lineární tvarovou funkci se čtyřmi konstantami
(e)
Nj
= ax + b y + cz + d
(4.19)
Tvarová funkce N1(e) vrcholu 1 na prvku e je rovna 1 v tomto vrcholu a nulová ve třech zbývajících
uzlech a na celé protější základně. Nulová je i mimo prvek (e). Postupem stejným jako u lineárního
trojúhelníku odvodíme, že konstanty a, b, c, d jsou řešením soustavy rovnic
é x1
êx
ê 2
ê x3
ê
ëx4
y1
y2
y3
y4
z1 1ù é a ù é1ù
z 2 1úú êê b úú êê0úú
=
z 3 1ú ê c ú ê0ú
úê ú ê ú
z 4 1û ëd û ë0û
(4.20)
Determinant soustavy D je roven šestinásobku objemu čtyřstěnu. Hledaná funkce má tvar
N1( e ) =
1
( a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) , kde
Δ
(4.21)
36
é y2
a1 = êê y 3
êë y 4
z 2 1ù
z 3 1úú
z 4 1úû
éx2
b1 = - êê x 3
êë x 4
z 2 1ù
z 3 1úú
z 4 1úû
é x2
c1 = êê x3
êë x 4
y 2 1ù
y 3 1úú
y 4 1úû
éx2
d1 = - êê x3
êë x 4
y2
y3
y4
z2 ù
z 3 úú
z 4 úû
Funkce N2(e) až N4(e) dostaneme cyklickou záměnou indexů. Potenciál na prvku se aproximuje
z tvarových funkcí prvku (e) a uzlových hodnot potenciálu
f (e ) = f1 N 1(e ) ( x, y , z ) + f 2 N 2( e) ( x, y , z ) + f 3 N 3(e) ( x, y , z ) + f 4 N 4(e ) ( x, y , z )
(4.22)
Aproximační funkce uzlu j je rovna součtu všech tvarových funkcí uzlu j, tj. součtu tvarových funkcí
Nj(e) všech prvků se společným vrcholem j
N j ( x, y, z ) = å N (j e ) ( x, y, z )
(4.23)
Potenciál v celé oblasti W se vyjádří pomocí takto sestavených aproximačních funkcí a uzlových
hodnot ze vztahu
f a = å f j N j ( x, y , z )
(4.24)
4.4 Sestavení soustavy rovnic
Po seznámení se způsoby diskretizace a aproximace se věnujme sestavení rovnic pro neznámé uzlové
potenciály fj. Protože dimenze úlohy může být různá, oblast W může být 1D (úsečka), 2D (rovina)
nebo 3D (objem). Oblast je uzavřena hranicí G, kterou jsou krajní body úsečky u 1D úlohy, uzavřená
křivka u 2D a uzavřená plocha u 3D. Hranici lze v jednodušším případě rozdělit na dvě části
G = Ge + Gn
(4.25)
Za Ge považujeme elektrody se zadaným potenciálem. Na části Gn s jednotkovou vnější normálou un
pro jednoduchost předpokládáme, že ji tvoří siločáry E, tudíž E má jen tečnou složku ke hranici,
tj. platí zde
E × un = 0 na G = G n
tj. En = - gradj × un = -
¶j
= 0.
¶n
(4.26)
Význam na 2D oblasti je naznačený na obr. 4.8. V něm je oblastí část mezikruží v koaxiálním kabelu.
Pole není potřeba počítat v celé oblasti, neboť s ohledem na symetrii známe tvar siločar E. Plochy ve
směru siločar tvoří hranici Gn. Proto postačí počítat pole v libovolné výseči mezikruží.
MKP je vhodná k výpočtu polí v uzavřených oblastech. Výpočet otevřených úloh (pole venkovních
zařízení, pole antén) vyžaduje doplňující matematický aparát, zajišťující expanzi pole do neomezené
oblasti. Podrobnosti lze nalézt v monografiích o MKP.
Oblast rozdělíme na NE prvků s NU uzly.
Potenciál aproximujeme
NU
f » fa = å f j N j ( x, y , z )
j =1
(4.27)
z uzlových hodnot fj aproximačními funkcemi Nj.
V Poissonově rovnici, napsané ve tvaru
div D = div e E = div e ( -grad j ) = r
(4.28)
aproximujeme indukci
NU
NU
j =1
j =1
D » -e grad å j j N j ( x, y, ( z ) ) = -å j je grad N j ( x, y, ( z ) )
(4.29)
37
Obr. 4.8: K okrajovým podmínkám
Operátor derivace grad se aplikuje na známou funkci Nj, a derivace je tak z rovnice odstraněna.
Protože každá aproximační funkce je součtem tvarových funkcí a derivace součtu je rovna součtu
derivací, derivují se tyto tvarové funkce. O permitivitě předpokládáme, že je na prvku konstantní
a nezávisí na intenzitě pole. Dosazením aproximace do rovnice pro indukci nebude tato pro libovolné
fj splněna přesně, ale vykazuje zbytek res(x, y, z, fj) (reziduum), který je funkcí souřadnic a uzlových
potenciálů
NU
div D - r = -divå j j e grad N j ( x, y, ( z ) ) - r = res ( x, y,z,j1 ,...j NU )
(4.30)
j =1
Je třeba nalézt takové hodnoty fj, j = 1, … NU, které dají minimální zbytek. Různé způsoby
minimalizace zbytku dají soustavy NU rovnic pro hledané uzlové potenciály. Uveďme stručně některé
metody.
Metoda nejmenších čtverců
integruje kvadrát zbytku přes celou oblast. Integrují se známé funkce Ni a jejich derivace podle
souřadnic. Po integraci dostaneme výraz, který již neobsahuje souřadnice ani derivace podle nich
I (j1 , j2 , ...j NU ) = ò res 2 ( x, y,z,j1 ,...j NU ) dW ,
W
(4.31)
kde I je kvadratickou formou uzlových potenciálů tvaru
I = c11f12 + c 22f 22 + ... + c12f1f 2 + c13f 3 + ...c1f1 + c 2f 2 + ... + c 0
(4.32)
Koeficienty cij jsou integrály aproximačních funkcí a jejich derivací přes oblast W, minimalizací,
tj. volbou
¶I
i = 1, ..., NU
=0
(4.33)
¶f i
dostaneme systém NU lineárních rovnic pro uzlové potenciály.
Metoda vážených reziduí
minimalizuje zbytek res vzhledem k množině vybraných nezávislých funkcí wi(x,y,z), i = 1,…, NU
vztahem
ò res ( x, y, z, j ,...,j ) w
1
NU
i
dW = 0
i = 1, ¼, NU
W
(4.34)
Metoda je obecně použitelná jak na diferenciální, tak na integrální rovnice.
Volbou wi = d(|r–ri|), kde ri je polohový vektor uzlu a d(|r–ri|) je Diracova funkce, dostaneme tzv.
metodu kolokační, používanou zejména při řešení integrálních rovnic statických polí a vyzařování
z antén. V této metodě se nastavuje zbytek nulový ve vybraných NU bodech sítě.
Metoda Galerkinova
Největšího rozšíření v MKP dosáhla metoda Galerkinova, ve které se zbytek minimalizuje v okolí itého uzlu jeho aproximační funkcí, tj.volí se wi = Ni
ò res ( x, y, z, j ,...,j ) N ( x, y, z ) dW = 0
1
W
NU
i
i = 1, ¼, NU
(4.35)
38
NU je počet uzlů, jejichž potenciál neznáme. Použijeme-li tuto metodu na sestavení rovnic
(podrobnosti jsou uvedeny v [1]), dostaneme pro NU uzlů sítě soustavu
Kf = F
(4.36)
Zde K je čtvercová matice koeficientů rozměru NU x NU. Při řešení úlohy, kde známe potenciál
v uzlech na hranici Ge, je uvedená soustava rovnic přeurčená a matice K singulární. Označme počet
uzlů s neznámým potenciálem NUI a celkový počet NU. Vektor uzlových potenciálů obsahuje nejprve
neznámé potenciály vnitřních uzlů a potom známé potenciály uzlů na elektrodách, tedy
[j1 ,..., j NUI , j NUI +1 ,..., j NU ]T = [φ x
φe ]
T
(4.37)
V subvektoru fx jsou zahrnuty neznámé potenciály a v subvektoru fe potenciály uzlů na elektrodách.
Soustavu rovnic rozdělíme na submatice ve tvaru
K xe ù éj x ù é Fx ù
=
K ee úû êë je úû êë Fe úû
éK xx
êK
ë ex
(4.38)
Protože fe známe, řešíme redukovanou soustavu, která již není singulární
K xx j x = Fx - K xe je
(4.39)
Zde první vektor vpravo je od zdrojů hustoty r, druhý od známých potenciálů elektrod fe.
Výpočet koeficientů matice soustavy K a vektoru pravé strany F
Příslušné koeficienty jsou dány součtem příspěvků jednotlivých prvků
kij = å kij( e )
fi = å f ij( e )
p
p
(4.40a, b)
Příspěvky jednotlivých prvků jsou
kij( e ) = k (jie ) =
òe
grad N i( e ) × grad N (j e ) dW
(4.41)
ò
(4.42)
(e)
W( e )
fi (e ) =
N i( e ) r dW
W( e )
Aproximační funkce Ni, Nj jsou nulové mimo prvky, které obsahují současně i-tý a j-tý uzel (viz
obr. 4.7a); stejně tak i jejich derivace. Proto je součin grad Ni × grad Nj nenulový jen tehdy, patří-li uzly
i, j témuž prvku. Důsledkem toho je, že většina koeficientů je nulová, matice K je řídká a symetrická
podle diagonály. Protože Nj je vyjádřena na jednotlivých prvcích tvarovými funkcemi Nj(e), je třeba při
numerickém vyčíslení počítat integrály na každém prvku samostatně. Na pravidelné čtvercové síti,
která rozděluje čtverec na trojúhelníky (obr. 4.7b), se koeficienty matice K neliší od matice pro MKD.
Sestavení matic K a F lze provést v jednoduchém cyklu.
Příklad 4.2: Uveďte výrazy pro koeficienty od trojúhelníkového prvku s vrcholy 1, 2, 3 viz obr. 4.9a),
na kterém je rozložení permitivity a objemové hustoty náboje konstantní a potenciál je aproximován
lineární funkcí.
Obr. 4.9: K odvození koeficientů od trojúhelníkového elementu
39
Řešení:
Postup při výpočtu koeficientů ve 2D úloze se v případě lineární aproximace neliší od
předchozího. Pro tvarovou funkci N1(e) bylo odvozeno
N1( e ) =
1
é( y2 - y3 ) x + ( x3 - x2 ) y + x2 y3 - x3 y2 ùû
2 SD ë
(4.43)
gradient N1(e)
(e)
grad N1
¶N ( )
¶N ( )
1
é( y2 - y3 ) ux + ( x3 - x2 ) uy ùû .
= 1 ux + 1 uy =
¶x
¶y
2 SD ë
e
e
(4.44)
Cyklickou záměnou indexů získáme výrazy pro N2(e), N3(e), gradN2(e), gradN3(e).
Gradient je opět konstantní na prvku, a proto je příspěvek ke koeficientu k11 od prvku (e)
k11( ) = e ( e )grad 2 N1(
e
e)
ò dW =
SD
e(e) é
2
2
( y2 - y3 ) + ( x3 - x2 ) ùû
ë
4 SD
(4.45)
a je pouze funkcí souřadnic vrcholů. Podobně odvodíme pro k12 od prvku (e) výraz
k12( e) = e ( e ) grad N1( e ) × grad 2 N 2( e ) ò dΩ = e ( e )
SD
1
é( y2 - y3 )( y3 - y1 ) + ( x3 - x2 )( x1 - x3 ) ùû
4 SD ë
(4.46)
Ostatní příspěvky dostaneme opět cyklickou záměnou indexů, výrazy jsou pouze funkcí souřadnic
vrcholů, pro element tvaru pravoúhlého trojúhelníka podle obr. 4.9a) jsou,
( e)
k22
e (e) é
e (e)
2
2
2
ù
= e grad N 2 ò dW =
( y3 - y1 ) + ( x1 - x3 ) û =
( y3 - y1 ) ,
ë
4SD
4SD
SD
(4.47)
e (e) é
e (e)
2
2
2
y1 - y2 ) + ( x2 - x1 ) ù =
x2 - x1 ) ,
(
(
û 4S
4SD ë
D
(4.48)
(e)
2
( e)
k33( ) = e ( e ) grad 2 N3(
e
e)
ò dW =
SD
k13( e ) = e ( e ) grad N1( e ) × grad 2 N 3( e ) ò dW =
SD
=e
(e)
1
1
éë( y2 - y3 )( y1 - y2 ) + ( x3 - x2 )( x2 - x1 ) ùû = e ( e )
( x3 - x2 )( x2 - x1 ) ,
4 SD
4 SD
( )
k23
= e ( e ) grad N 2( ) × grad 2 N 3(
e
e
e)
ò dW =
SD
=e
(e)
(4.49)
1
é( y3 - y1 )( y1 - y2 ) + ( x1 - x3 )( x2 - x1 ) ùû = 0
4 SD ë
(4. 50)
Výpočet příspěvku fi(e) ke koeficientu pravé strany
fi ( e) =
òN
(e)
i
r dW
SD
(4.51)
je možné za předpokladu konstantního rozložení r a lineární aproximace potenciálu výrazně
zjednodušit, postačí si uvědomit, že příslušný integrál představuje objem čtyřstěnu s výškou rovnou 1,
viz obr. 4.9b). Potom
1
f1( e ) = r ( e ) ò N1( e ) dW = r ( e ) S D
3
SD
Je zřejmé, že příspěvky f2(e), f3(e) budou dány stejným výrazem.
(4.52)
40
4.5 Řešení soustavy rovnic
Jak bylo uvedeno výše, soustava rovnic je řídká a dobře podmíněná, což znamená, že i při velkém
počtu rovnic je řešení stabilní. Klasické eliminační metody (Gaussova, aj.) jsou používané pro
soustavy nepřevyšující desítky tisíc rovnic. Přednost se dává metodám iteračním, jejichž výhodou je,
že uchovávají jenom pole nenulových koeficientů. V současné době je nejpoužívanější metoda
konjugovaných gradientů a její varianty, která umožňuje efektivně a přesně řešit soustavy několika
milionů rovnic.
4.6 Výpočet dalších veličin - postprocesing
Z uzlových potenciálů vypočteme potenciál na jednotlivých prvcích a z něho se stanoví intenzita na
každém prvku
E ( ) = - grad f ( ) = -å f j grad N (j
e
e
e)
(4.53)
Známe-li intenzitu, je možné vypočítat hustotu energie na prvku
1
w( e) = e ( e ) E ( e ) 2
2
(4.54)
dále celkovou energii na prvku a součtem přes všechny prvky celkovou energii.
W (e) =
ò
NE
We = å W ( e )
w ( e ) dS ,
(4.55)
1
S (e)
Z energie lze stanovit např. kapacitu
C=
2We
Df 2
(4.56)
V soustavách s více elektrodami (vícevodičové systémy) je vhodnější počítat kapacitu z toku indukce
elektrodou. Postup si vysvětleme pro uspořádání podle obr. 4.10.
f2 = – 1 V
Q21
++ ++
C21
C23
+
+
+
+
Q23
f3= 0 V
C31
f1= 0 V
Obr. 4.10: K výpočtu kapacity
V soustavě tří elektrod máme tři vzájemné kapacity. Označme f1, f2 potenciály elektrod a f3 potenciál
pláště. Zvolíme-li např. f2 = –1 V, f1 = f3 = 0 V ,
je kapacita C31 zkratovaná a mezi pláštěm a elektrodou 3 se neváže žádný náboj.
Náboj Q32 vázaný elektrodou 3 je tudíž jen na kapacitě C23
C23 =
Q32
= Q32
f3 - f2
Podobně je C31 rovna toku elektrodou 1 při f3 = –1 V a zbývajících elektrodách uzemněných.
(4.57)
41
–1 V
0V
er = 1
0V
0V
er = 10
er = 1
Obr. 4.11: Výpočet pole a kapacit mikropáskového vedení
Přímý výpočet náboje integrací indukce toku přes povrch elektrody
Q = Ñò D × dS
Se
(4.58)
dává rozdílné hodnoty při numerické integraci přes konvexní a konkávní elektrodu, v důsledku toho
Cij ¹ Cji, a proto bývá plošný integrál nahrazen objemovým.
Jako příklad 2D úlohy je na obr. 4.11 výpočet pole a měrných kapacit mezi vodiči mikropáskového
mikrovlnného vedení. Dva rovnoběžné ploché vodiče jsou naneseny na keramické destičce
o permitivitě er = 10. Destička je umístěna ve vodivém krytu 10 x 6 mm, její šířka je 10 mm, tloušťka
1,5 mm. Výpočet je proveden programem MEP [5]. Na obrázku vlevo je na síti prvků patrno zhuštění
prvků kolem hran pásků. Počet prvků je 884, uzlů 476. Na obrázku vpravo jsou ekvipotenciály při
potenciálu levé vnitřní elektrody –1 V a ostatních uzemněných. Postprocesorem programu byly
vypočteny měrné kapacity C21 = 84,7 pF/m, C23 = 53,3 pF/m, C31 = 71,8 pF/m v souladu s obr. 4.10.
4.7 Shrnutí
Metoda konečných prvků je v současné době nejrozšířenější metoda pro numerické řešení polí
popsaných diferenciálními rovnicemi. Oblast, ve které se řeší pole, se pokryje sítí prvků, na kterých se
pak aproximuje hledaná veličina pomocí hodnot definovaných v uzlech sítě s použitím vhodně
zvolené aproximační funkce. Přesnost získaného řešení závisí na hustotě a tvaru prvků sítě a na volbě
aproximační funkce (po částech konstantní, lineární, kvadratická funkce, splajny, polynomy vyšších
řádů). Diskretizace rovnic vede na soustavu rovnic pro neznámé uzlové hodnoty. Po vyřešení soustavy
rovnic se vyhodnotí další požadované veličiny.
42
5 Modelování polí
Cíle kapitoly: Seznámit s principem modelování tj. s postupem řešení reálných problémů
použitím numerických metod.
Při řešení každého reálného problému inženýrské praxe s využitím numerických metod je potřeba
postupovat systematicky a posuzovat všechny zadané parametry komplexně. Součástí každého
postupu je analýza pole v daném prostorovém uspořádání zdrojů a materiálů. Cílem této analýzy je
najít přesné řešení náhradního problému (diskretizovaný numerický model), který odpovídá
přibližnému řešení původního problému (spojitý model). Postup budeme nazývat modelování polí
a můžeme jej shrnout do následujících bodů.
5.1 Rozbor řešení reálného problému
Abychom mohli rozbor provést, je nutné nejdříve sestavit úplné zadání problému, které definuje
geometrický a fyzikální model.
Geometrický model je daný geometrií konstrukčního uspořádání materiálu, popisuje tvar a rozměry
jednotlivých částí, případně jejich prostorovou symetrii.
Fyzikální model problému je dán typem zdroje pole, jímž může být například náboj, proudová hustota,
potenciál na elektrodách, časová změna fyzikální velečiny atd. a jeho kvalitativními parametry (časově
proměnný, statický, stacionární), dále fyzikálními parametry prostředí - permitivita, permeabilita nebo
konduktivita materiálu, dále linearita nebo izotropie prostředí.
Na základě vlastností fyzikálního modelu je potom možné sestavit pro hledané veličiny popisující pole
odpovídající diferenciální nebo integrální rovnice, které spolu s podmínkami určujícími zda se jedná o
vnitřní úlohu nebo vnější úlohu, vytváří matematický model. V případě vnitřní úlohy musí být na
hranici oblasti zadaná Dirichletova nebo Neumannova podmínka.
K řešení rovnic je nutno zvolit takový matematický aparát, který umožní získat co nejpřesnější
výsledky – což je v mnoha případech obrovské umění. Ideální je řešení analytické, lze je však použít
jen velmi omezeně. Další a v současné době velmi rozšířenou metodou je numerické řešení rovnic
pole, spočívající v jejich diskretizaci v soustavu rovnic a řešení vhodnou matematickou metodou.
Numerický model zahrnuje síť konečných prvků vhodně zvolenou pro zadanou geometrii problému
a soustavu rovnic pro hledanou veličinu v uzlech sítě, kterou je aproximováno přesné řešení. Přesnost
řešení náhradního problému závisí na chybě vstupních dat, chybě diskretizační (chyba metody)
a chybě zaokrouhlovací podle obr. 5.1, které se mohou v různé míře podílet na chybě celkové. Získané
výsledky se vyhodnotí a stanoví se požadované parametry (postprocesorové veličiny).
Obr. 5.1: Výskyt chyb při modelování
43
6 Analýza statických a stacionárních polí
Cíle kapitoly: Objasnit na konkrétních úlohách postup při modelování statických
a stacionárních polí.
6.1 Elektrostatické pole
V této části se budeme zabývat modelováním polí, které vytváří náboje umístěné na povrchu elektrod
připojených na konstantní zdroj napětí nebo náboje vázané v objemu dielektrika. Elektrody jsou
umístěny v bezeztrátovém nemagnetickém prostředí s permitivitou e. Připomeňme si výchozí
diferenciální rovnice pro elektrostatický model pole
rot E = 0 Þ E = -grad f ,
(6.1)
protože E je vektor nevírového pole a lze jej vyjádřit jako gradient skalárního pole,
div D = r ,
(6.2)
kde D je vektor zřídlového pole, v lineárním prostředí platí D = e E .
Postupným dosazením za D a E dostaneme namísto 7 diferenciálních rovnic 1. řádu pouze 1 rovnici
2. řádu pro potenciál f uvnitř dielektrik s objemovou hustotou náboje r
div (e grad f ) = - r .
(6.3)
Na rozhraní dielektrik s permitivitou e1, e2 musí pole splňovat podmínku
f1 = f2
e1
¶f1
¶f
= e2 2 .
¶n
¶n
(6.4a, b)
U vnitřní úlohy musí být na hranici oblasti, ve které hledáme řešení, zadaná hodnota potenciálu –
hranice je elektrodou
f = f0 ,
(6.5)
¶f
= 0.
¶n
(6.6)
nebo je hranice totožná se siločarou pole
U vnější úlohy musí mít potenciál v nekonečnu konečnou hodnotu. Modře označené vztahy
představují matematický model elektrostatické úlohy. Po sestavení a vyřešení numerického modelu
získáme v uzlech sítě hledané hodnoty skalárního potenciálu.
Ostatní veličiny - postprocesorové - jako je např. intenzita a indukce elektrického pole se vyhodnotí
podle přibližných vztahů
E ( e ) = - grad ( e ) f = -
¶f
¶f
¶f
Df
Df
Df
ux uy uz » ux uy uz ,
¶x
¶y
¶z
Dx
Dy
Dz
(6.7)
D =eE .
(6.8)
Indukční tok plochou S stanovíme přibližně jako součet toků na elementech patřících k této ploše
Y = ò D × dS » å D ( e ) S ( e ) .
S
(6.9)
S
Jak již bylo uvedeno, kapacitu můžeme stanovit pomocí toku elektrodou
C=
Q Y
=
Df Df
kde Df je rozdíl potenciálů elektrod s nábojem ,
Y = ò D × dS » å D ( e ) S ( e ) ,
S
S
(6.10a, b)
44
nebo z celkové energie W v elektrostatickém poli dané soustavy.
C=
2W
Df
1
W = ò we dV = ò D × E dV
2
V
V
(6.11a, b)
Ze změny energie soustavy můžeme stanovit složky síly elektrostatického pole v daném směru
F=
¶W
¶W
¶W
DW
DW
DW
ux +
uy +
uz »
ux +
uy +
uz ,
¶x
¶y
¶z
Dx
Dy
Dz
(6.12)
kde DW je změna celkové energie soustavy odpovídající posunu elektrod s konstantními potenciály
v daném směru.
Výpočet vlastních a vzájemných kapacit v soustavě elektrod
V soustavě více elektrod nebo dvou elektrod s nábojem Q1 ¹ Q2 (viz Obr. 6.1) je náboj libovolné
elektrody v různé míře vázán s odpovídajícím nábojem na zbývajících elektrodách. Velikost této
vazby je daná tvarem a uspořádáním elektrod v prostoru a udává vlastní (vazba části celkového náboje
s uzemněnou elektrodou) kapacitu a vzájemné kapacity (vazba části celkového náboje s ostatními
elektrodami) elektrod.
Obr. 6.1: Vlastní a vzájemné kapacity
Celkový náboj na elektrodách můžeme vyjádřit pomocí konstant Cij a potenciálů elektrod
Q1 = Q11 + Q12 = C11 f1 + C12 (f1 - f2 ) ,
(6.13)
Q2 = Q21 + Q22 = C21 (f2 - f1 ) + C22 f2 .
(6.14)
Výrazy pro uvedené konstanty odvodíme následujícím postupem. Potenciál na elektrodách
(s respektováním principu superpozice) je dán součinem náboje a potenciálových koeficientů a
f1 = Q1a11 + Q2a12 ,
(6.15)
f2 = Q1a 21 + Q2a 22 .
(6.16)
Výrazy pro potenciálové koeficienty závisí na tvaru a rozměrech elektrod, jejich vzájemném
uspořádání a na fyzikálních parametrech prostředí.
Maticový zápis uvedené soustavy rovnic je
f= α Q ,
(6.17)
odtud dostaneme
Q = α -1f = b f ,
(6.18)
kde b je matice kapacitních koeficientů. Rozpisem, úpravou rovnic a porovnáním koeficientů
Q1 = b11 f1 + b12 f2 = b11 f1 + b12 f1 -b12 f1 + b12 f2 = ( b11 + b12 ) f1 - b12 (f2 - f1 ) ,
(6.19)
Q2 = b 21 f1 + b 22 f2 = -b 21 f2 + b 21 f1 + b 21 f2 +b 22 f2 = - b 21 (f2 - f1 ) + ( b 21 +b 22 ) f2 .
(6.20)
45
dostaneme hledané obecné výrazy pro vlastní kapacitu (6.21) a pro vzájemnou (6.22) kapacitu
elektrod.
Cii =Ci 0 =
å
b ij
elektrody
Cij = - b ij
6.1.1
(6.21)
(6.22)
Pole dvou dlouhých válcových vodičů nad vodivou rovinou
Proveďte analýzu pole dvou velmi dlouhých válcových vodičů umístěných ve volném prostoru nad
nekonečnou vodivou rovinou podle obr. 6.2a), a = 0,1 m je poloměr vodičů, h = 0,2 m jejich výška
nad zemí, w = 0,4 m vzdálenost os vodičů. Vypočtěte měrné hodnoty vlastní a vzájemné kapacity
vodičů. Stanovte velikost měrné síly F (N/m), kterou na sebe vodiče působí.
Fyzikální model
Na povrchu válcových elektrod s potenciály fa, -fa je rozložený náboj, který je elektrostaticky vázán
s nábojem indukovaným na uzemněné vodivé ploše. Tato vazba v různé míře závisí na rozměrech
uspořádání. Vzhledem k zadanému tvaru vodičů, které jsou umístěny v neomezeném prostoru (uvažuje
se pouze permitivita vakua), se jedná o elektrostatickou 2D vnější úlohu. Vliv vodivé roviny zahrneme
do výsledného řešení použitím principu zrcadlení tak, jak naznačeno na obr. 6.2b).
Obr. 6.2: Dvouvodičové vedení
Matematický model
Podobně jako v předchozí úloze rozložení potenciálu vyhovuje Laplaceově diferenciální rovnici pro
2D elektrostatickou úlohu ve tvaru
div (e grad f ) = 0
Þ
é ¶ 2f ¶ 2f ù
e div ( grad f ) = e ê 2 + 2 ú = 0 ,
ë ¶x ¶y û
(6.23)
S respektováním symetrie uspořádání a principu zrcadlení postačí řešit pole pouze v jednom kvadrantu
viz. obr. 6.2c).
Okrajové podmínky na hranici oblasti jsou dány Dirichletovou podmínkou na vodiči f = fa a na
uzemněné vodivé rovině f = 0V, Neumannovou podmínkou ¶f ¶n = 0 na ose symetrie (siločára)
a regulární hodnotou potenciálu fµ v nekonečnu.
Numerický model
Zadáme základní geometrii problému, okrajové podmínky, materiálové konstanty jednotlivých oblastí
(relativní permitivity), zvolí se stupeň aproximace potenciálu. Provede se volba vhodných prvků pro
2D úlohu s rovinnou symetrií, nekonečnou oblast danou podle obr. 6.2c) plochou mezikruží
o poloměru d a d0 modelujeme zavedením tzv. infinite (nekonečných) elementů, nastaví se hustota sítě.
Vygeneruje se síť konečných prvků, zvolí odpovídající typ analýzy a sestaví se soustava rovnic, jejímž
řešením dostaneme hledané rozložení potenciálu f. Hledané vlastní a vzájemné kapacity zjistíme
pomocí matice kapacitních koeficientů.
46
Obr. 6.3: Princip zrcadlení
Vyhodnocení
Analytické řešení
K odvození analytického řešení využijeme dříve odvozených výrazů popisujících intenzitu a potenciál
pole osamoceného tenkého nabitého vlákna
E( r ) =
t
t
Q
ur =
ur , f ( r ) = ln r + C .
e Sv
2pe r
2pe
(6.24)
Jak je naznačeno na obr. 6.3 použijeme princip zrcadlení. Pro jednoduchost zápisu budeme
předpokládat, že a = h, a = w . Náboj t vytvoří na povrchu vodičů potenciál zadané hodnoty
t
1
t
1
t
1
t
1
ln
+
ln
ln ln 2
2pe a 2pe w 2pe 2h 2pe
w + 4h 2
t
w 2h
fa
t
fa =
ln
, odtud
.
=
2
2
w 2h
2pe a w + 4h
2pe ln
a w 2 + 4h 2
f ( r = a ) = fa =
(6.25)
(6.26)
Výrazy pro potenciál a intenzitu v libovolném místě prostoru stanovíme dosazením odvozené
konstanty t 2pe do obecných vztahů a použitím principu superpozice.
Výpočet vlastních a vzájemných kapacit v soustavě elektrod
K odvození uvažujme v prostoru vodičů obecné hodnoty potenciálů f1, f2 a jim odpovídající náboj
t1, t2 viz. obr. 6.4a). Rovnice pro potenciál vodičů
Obr. 6.4: Dvouvodičové vedení
1
2h
1
W
ln
+t 2
ln
2pe
a
2pe w
1
W
1
2h
f2 = t 1
ln +t 2
ln
2pe w
2pe
a
f1 = t 1
(6.27)
(6.28)
47
Matice potenciálových koeficientů
é 2h
ln
1 ê a
a=
ê
2pe l ê W
ln
êë w
Wù
wú
ú.
2h ú
ln
a úû
ln
(6.29)
Matice kapacitních koeficientů
2p e l
β = α -1 =
2h
ln 2
- ln 2 W
a
w
é 2h
ê ln a
×ê
ê - ln W
w
ë
ù
- ln W ú
w
ú.
2h ú
ln
a û
(6.30)
Jak je vidět z obr. 6.4b), v důsledku symetrie vedení jsou vlastní kapacity obou vodičů stejné a
vzájemnou kapacitu je možné vyjádřit jako násobek kapacity vlastní
C11 = C22 =
ln W
w
.
C12 = C11
2h w
ln
aW
2p e l
,
2hW
ln
aw
(6.31a, b)
Pro vedení délky 1m umístěné ve vzduchu jsou hodnoty vlastní a vzájemné kapacity
0,5657
2 p 8,854.10
0, 4
C11 = C22 =
= 32,1pF/m , C12 = 32,1.10-12
= 10, 7 pF/m .
2.0, 2.0,5657
0, 4.0, 4
ln
ln
0,1.0, 4
0,1.0,5657
ln
-12
Numerické řešení
Hodnoty vlastní a vzájemné kapacity získáme z matice kapacitních koeficientů (Ground Capacitance
Matrix). Pro zadanou úlohu dostaneme hodnoty prvků
é 45, 42 -10, 05ù
C g = β = 10 -12 ê
ú F/m .
ë -10, 05 45, 42 û
(6.32)
2
Vlastní kapacita je potom C10 =C20 =
vzájemná kapacita je
åb
j =1
1j
=35,37pF/m ,
C12 = - b12 =10,05 pF/m .
6.2 Pole ustálených proudů
Výchozí diferenciální rovnice popisující pole ustálených proudů ve vodivém prostředí
rot E = 0 Þ E = -grad f , protože E je vektor nevírového pole a lze jej vyjádřit jako gradient
skalárního pole, div J = 0 Þ J je vektor nezřídlového pole tj. celkový proud I v řešené oblasti musí
být nulový, v lineárním prostředí s nenulovou konduktivitou platí J = g E .
Postupným dosazením za J a E dostaneme diferenciální rovnici pro potenciál f ve vodivém prostředí
div (g grad f ) = 0 .
Na rozhraní prostředí s různou konduktivitou g1, g2 musí pole splňovat podmínku
f1 = f2 ,
g1
¶f1
¶f
= g2 2 .
¶n
¶n
(6.33)
48
U vnitřní úlohy musí být na hranici oblasti, ve které hledáme řešení, zadaná hodnota proudu
(respektive proudové hustoty), který do oblasti vtéká a z oblasti vytéká
I = I0 ,
(6.34)
nebo je hranice totožná se siločarou pole (vektoru J nebo E)
¶f
= 0.
¶n
(6.35)
U vnější úlohy musí mít potenciál v nekonečnu konečnou hodnotu.
Po výpočtu pole můžeme stanovit např. Jouleovy ztráty ve vodivém prostředí
Pz = ò pz dV = ò J × E dV = ò g E 2 dV .
V
V
V
(6.36)
Příklad numerické analýzy ustáleného stavu proudového pole viz kapitola 8.4 Analýza pole ustálených
proudů ve vodivém disku a 8.5 Oteplení vodiče průchodem elektrického proudu.
6.3 Magnetické pole stacionární
V okolí vodičů protékaných ustáleným elektrickým proudem hustoty J vzniká stacionární magnetické
pole popsané dvojicí diferenciálních rovnic
vírové pole,
rot H = J
(6.37)
div B = 0
nezřídlové pole.
(6.38)
V lineárním magneticky vodivém prostředí dále platí B = m H , nebo H = n B .
Z důvodu jednoduššího matematického popisu řešení řady úloh zavádíme pomocnou veličinu –
vektorový potenciál A (vektor, jehož směr je rovnoběžný se směrem proudu)
B = rot A .
(6.39)
Postupným dosazením a úpravou uvedených diferenciálních rovnic dostaneme
rot n rot A = J ,
kde
(6.40)
rot n rot A = gradn div A-nÑ 2 A ,
zvolíme kalibraci divA = 0 a dostaneme diferenciální rovnici pro 3 složky vektorového potenciálu
Ax, Ay, Az
n Ñ2 A = -J ,
(6.41)
n Ñ 2 Az uz = - J z uz ,
(6.42)
např. pro z-ovou složku je
pro souřadnici Az vektoru stacionárního magnetického pole lze sestavit rovnici
div (n grad Az ) = - J z
(6.43)
Na rozhraní prostředí s různou reluktivitou n1, n2 musí pole splňovat podmínku spojitosti tečné složky
intenzit a normálové složky indukcí
A1 = A2 , n 1
¶A1
¶A
=n 2 2 .
¶n
¶n
(6.44)
U vnitřní úlohy musí být na hranici oblasti, ve které hledáme řešení, zadaná hodnota vektorového
potenciálu A = A0 ,
nebo je hranice totožná se siločarou pole (vektoru H nebo B), na siločáře platí A = konst. .
V polích bez volných proudů, např. v poli permanentních magnetů (magnetostatické pole) nebo
v prostoru mimo vodiče, platí
49
rot H = 0
div B = 0
(6.45a, b)
a proto můžeme zavést skalární magnetický potenciál fm vztahem H = -gradfm , potom
div ( m gradfm ) = 0 .
(6.46)
V lineárním prostředí vyhovuje potenciál fm Laplaceově rovnici
div gradfm = Dfm = 0 .
(6.47)
Na rozhraní prostředí s různou permeabilitou m1, m2 musí pole splňovat podmínku spojitosti tečné
složky intenzit a normálové složky indukcí
fm1 = fm2 .
m1
¶fm1
¶f
= m 2 m2
¶n
¶n
(6.48a,b)
Na hranici oblasti, ve které hledáme řešení, je zadaná hodnota skalárního magnetického potenciálu
fm = fm0 ,
(6.49)
nebo je hranice totožná se siločarou pole (vektoru H nebo B), kde platí
¶f m
= 0.
¶n
(6.50)
Výpočet indukčních toků, indukčnosti, energie, síly v magnetickém poli
Obr. 6.5: Vlastní indukčnost jednoho závitu a cívky
Magnetický indukční tok procházející plochou závitu na obr. 6.6a)
Fe = ò B × dS
S
(6.51)
Vlastní indukčnost jednozávitové cívky
L=
Fe
i
(6.52)
Magnetický indukční tok vázaný závitem 1 podle obr. 6.6b) je dán
F1 = ò B× dS = Ñò A1 × dl
S1
l1
(6.53)
Vlastní indukčnost cívky s více závity je rovna podílu toku spřaženého se všemi závity a proudu
L=
Y NF
=
i
i
(6.54)
Vzájemná indukčnost mezi smyčkami 1, 2 je podle obr. 6.7 daná podílem vazebního toku Y21, který
prochází smyčkou 2 a proudu i1 v cívce 1
Y
M = L21 = 21 .
(6.55)
i1
Energie akumulovaná v magnetickém poli cívky vyjádřená pomocí indukčního toku je
50
i
1 2 1
Li = Y i ,
2
2
Wm = L ò i di =
0
(6.56)
Obr. 6.6: Vzájemná indukčnost
analogicky je energie v soustavě n cívek daná
Wm = 12
n
åY j i j
.
(6.57)
j =1
Energie akumulovaná v prostoru vodičů je daná vektory pole
Wm =
1
2
ò A × J dV
nebo Wm =
1
2
V
ò H × B dV
,
V
v lineárním prostředí je tedy energie rozložena s hustotou
(6.58)
wm = 12 H × B .
Ze známé energie Wm v určitém objemu, která je svázána s proudem I, určíme indukčnost vodiče
L=
2Wm
.
(6.59)
I2
Známe-li indukci v místě proudovodiče, je síla na element vodiče dána jedním ze známých vztahů
dF = I d l ´ B ,
d F = K ´ B dS ,
d F = J ´ B dV .
(6.60a, b, c)
V prostoru s magnetikem je sice obtížné stanovit indukci, ale je možné vyjádřit energii v závislosti na
prostorových souřadnicích dané soustavy. Sílu v daném směru vypočteme za předpokladu, že
magnetický tok je konstantní
F =-
¶Wm
¶Wm
¶Wm
ux uy uz
¶x
¶y
¶z
(6.61)
F= konst .
nebo při konstantním proudu
F=
¶Wm
¶Wm
¶Wm
ux +
uy +
uz
¶x
¶y
¶z
(6.62)
I = konst .
Příklad numerické analýzy magnetostatického pole viz kapitola 8.6 Analýza statického pole skalárním
magnetickým potenciálem a harmonicky proměnného pole viz kapitola 8.7 Stínící efekt krytu tvaru
trubky pro magneticky proměnné a statické pole.
51
6.4 Podobnost fyzikálních modelů
Některé kvalitativně odlišné případy polí je možné popsat z matematického hlediska formálně
shodnou diferenciální rovnicí, např. Poissonovou nebo Laplaceovou rovnicí je možné popsat
Elektrostatické pole
div (e grad f ) = - r
(6.63)
f je elektrický potenciál, e permitivita, r objemová hustota náboje
Proudové pole
div (g grad f ) = 0
(6.64)
f je elektrický potenciál, g konduktivita
Teplotní pole
div ( k grad T ) = - Q
(6.65)
3
T je teplota, k tepelná vodivost, Q teplo v m
3D stacionární magnetické pole permanentních magnetů
div ( m grad fm ) = 0
(6.66)
fm je magnetický skalární potenciál, m permeabilita
2D stacionární magnetické pole s proudem
div (n grad Az ) = - J z
(6.67)
Az je z-ová složka vektorového potenciálu, n reluktivita, Jz z-ová složka proudové hustoty.
Tato skutečnost umožňuje využití všech metod analytických i numerických a vztahů odvozených např.
pro veličiny popisující pole elektrostatické k analýze pole teplotního, proudového apod.
6.5 Shrnutí
Elektrostatické pole, elektrické pole ustálených proudů ve vodičích, teplotní pole, magnetické pole
permanentních magnetů, magnetické pole od ustálených proudů klasifikujeme jako statická nebo
stacionární pole a můžeme je popsat formálně shodnou diferenciální rovnicí Poissonovou nebo
Laplaceovou.
52
7 Proměnné elektromagnetické pole
Cíle kapitoly: Objasnit numerickou analýzu časově proměnných elektromagnetických polí
a aplikovat ji na modelování konkrétních vybraných úloh.
V této kapitole se budeme zabývat modelováním časově proměnných elektromagnetických polí
s omezením na pole harmonická. Z Maxwellových rovnic je zřejmé, že proměnné elektromagnetické
pole vytváří časová změna magnetického nebo elektrického pole
¶D
¶t
¶B
rot E = ¶t
rot H = J +
div B = 0
(7.1a, b)
div D = r
(7.2a, b)
které doplníme pro úplnost rovnicí kontinuity (div rot H = 0)
div J +
¶r
=0
¶t
(7.3)
a materiálovými vztahy platnými v lineárním a izotropním prostředí
B=m H
D=εE
J =g E
(7.4a, b, c)
Na rozhraní se mění vektory pole nespojitě. Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru zde proto
neplatí a nahradíme je podmínkami spojitosti tečné a normálové složky vektorů pole.
Vztahy pro
- vektory elektrického pole
u n ´ ( E2 - E1 ) = 0
u n × ( D2 - D1 ) = s
u n × ( J 2 - J1 ) = -
¶s
¶t
- vektory magnetického pole
u n ´ ( H 2 - H1 ) = K
u n × ( B2 - B1 ) = 0
Obr. 7.1:
K podmínkám na rozhraní
7.1 Vírové elektrické pole a důsledky jeho existence
Mění-li se magnetické pole v čase, vzniká v prostoru vírové pole elektrické, v souladu s Faradayovým
zákonem elektromagnetické indukce, který říká, že časová změna magnetického pole vytvoří vírové
elektrické pole.
Ñò E × dl = l
dF
,
dt
rot E = -
¶B
.
¶t
(7.5a, b)
53
Obr. 7.2: Vznik vírového pole a vířivých proudů
Uvedené rovnice lze vysvětlit např. tak, že cirkulace E je rovna “magnetickému proudu“ -dF / dt
o hustotě -¶B / ¶t. Odtud můžeme odvodit tvar siločar E pro zadané magnetické pole. Např. na
obr. 7.2 vpravo prochází jádrem střídavý magnetický tok F (t ) a vytváří elektrické pole zobrazené
siločarami E. Je-li F (t ) obecnou funkcí času, je i vektor E časově proměnný. Záporné znaménko
u členu dF / dt znamená, že vztah siločar E a toku F je určen pravidlem levé ruky pro dF / dt > 0.
Tvoří-li smyčku l tenký vodič konstantního průřezu a konduktivity, protéká jím proud I, který určíme
ze vztahu
J
lI
Ñò E × d l = Ñò g × d l = g S = R I
l
tj.
l
R I =-
dF
.
dt
(7.6)
Proud I prochází uzavřeným vodičem bez přítomnosti vnějšího zdroje a nazývá se indukovaný proud,
napětí na pravé straně zastupuje zdroj, a proto se nazývá indukované elektromotorické napětí.
Příčiny vzniku časově proměnného magnetického toku
F = ò B × dS = ò B cos a dS
S
S
(7.7)
který prochází zadanou plochou S, mohou souviset
· s časovou změnou indukce magnetického pole B(t), S a a jsou konstantní,
· se změnou velikosti plochy S(t) , a a indukce B magnetického pole se v čase nemění,
· se změnou vzájemné polohy vektoru indukce B a dS orientované plochy, tj. úhlu a(t),
B a velikost plochy S se v čase nemění.
Umístíme-li dutý válec z vodivého materiálu do homogenního magnetického časově proměnného pole
indukce B, bude jím procházet proud I, který vytvoří magnetické pole indukce Bi.
Jestliže bude elektrický odpor R vodivého válce
velký, můžeme vířivé proudy zanedbat včetně
pole Bi. Je-li tento odpor zanedbatelný, je
výsledné magnetické pole v prostoru dáno
součtem pole B a indukovaného Bi. V prostoru
válce mají oba vektory opačnou orientaci a
původní pole bude proto zeslabeno. Vně válce
mají vektory B a Bi stejnou orientaci, a proto
bude původní pole zesíleno. Příklad analýzy
magnetického pole vektorovým potenciálem viz
kapitola 8.8 Modelování skinefektu v prostoru
masivního vodiče a 8.9 Indukované proudy ve
vodiči.
Obr. 7.3: Ke stínícímu efektu
54
7.2 Vysokofrekvenční pole ve vlnovodech a rezonátorech
Vedené elektromagnetické vlny vznikají při totálním odrazu a šíří se podél rovinného rozhraní, tohoto
jevu se využívá ke konstrukci různých typů vedení. Vlnovod je vedení, jehož příčný rozměr je
srovnatelný s délkou vlny, podle materiálu je dělíme na dielektrické a kovové. Podle přítomnosti
podélné složky pole (Ez, Hz) klasifikujeme vlny na příčně elektromagnetické (TEM - Transversal
ElectroMagnetic) s Ez = 0, H z = 0. Jestliže platí E z = 0, H z ¹ 0, pak má vektor E pouze složky
kolmé na směr šíření, vlna je příčně elektrická TEmn (Transversal Electric). Naopak jestliže platí
E z ¹ 0, H z = 0, pak má příčné složky pouze vektor H a vlna je příčně magnetická TMmn
(Transversal Magnetic). Indexy m a n jsou vidová čísla, která udávají např. pro vlnu TM v příčných
souřadnicích x a y počet půlvln m podélné složky elektrické intenzity Ez ve směru x a počet půlvln m
ve směru y. Obecné řešení je superpozicí TE a TM vln, jak postupných, tak zpětných. Z podmínky pro
totální odraz vyplývá, že pravoúhlým vlnovodem neohraničeným ve směru osy z a s průřezem a ´ b se
mohou šířit vedené vlny, jejichž kmitočet je vyšší než kmitočet kritický
fK =
2
1
2p m e
2
æ mp ö æ np ö
ç
÷ +ç
÷ .
è a ø è b ø
(7.8)
Kritická (mezní) délka vlny
lK =
vf
2
=
2
2
fK
æmö ænö
ç ÷ +ç ÷
è a ø èbø
(7.9)
je největší délka rovinné vlny téhož kmitočtu f, měřená ve volném prostoru s parametry m , e , která se
může šířit vlnovodem pro vid uvedený čísly m,n. Vidy s větší vlnovou délkou jsou utlumeny. Dále
budeme pro jednoduchost předpokládat, že stěny vlnovodu jsou nekonečně vodivé. V dutině je pak
bezztrátové prostředí, pole zde vyhovuje vlnovým rovnicím, které upravíme
rot H = jw e E
rot E = - jw m H
(7.10a,b)
Pro složky vektorů pole tak dostaneme soustavu
¶H z
+ j k z H y = jw e E x ,
¶y
-
¶H y ¶H x
¶H z
- j k z H x = jw e E y ,
= jw e E z ,
¶x
¶x
¶y
¶E y ¶Ex
¶Ez
¶Ez
+ j k z E y = - jw m H x ,
+ j k z E x = jw m H y ,
= - jw m H z ,
¶y
¶x
¶x
¶y
kde
kz = k 2 - (
mp 2 np 2
) -( ) ,
a
b
2
2
Poměr příčných složek E t = E x + E y
s vedením vlnová impedance
(7.11)
(7.12)
k =w me .
2
2
a Ht = Hx +Hy
Zv =
Et
Ht
.
je konstanta, nazývaná analogicky
(7.13)
Výkon přenesený vlnovodem je potom
a b
P = ò ò E t × H t dx dy
(7.14)
0 0
.
Jak již bylo uvedeno, při dokonalém odrazu vznikne superpozicí netlumené postupné a zpětné vlny
vlna stojatá. Dokonalý odraz lze vytvořit přepažením vlnovodu dobře vodivou stěnou z = konst., na
55
které jsou příčné složky E x a E y nulové. Rezonanční kmitočty uzavřené vodivé dutiny tvaru hranolu
o rozměrech a ´ b ´ l jsou dány vztahem
v
fr = f
2
2
2
2
æmö ænö æ pö
ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ,
è a ø èbø è l ø
(7.15)
kde p je počet půlvln ve směru osy z.
Vlnovodem se mohou šířit také vlny, které vznikly interferencí elementárních vln různých kmitočtů.
Důsledkem při šíření je, že dochází k dispersi těchto vln (rozptyl), každá složka se šíří jinou rychlostí
a výstupní signál bude odlišný od vstupního, bude zkreslený.
7.2.1
Harmonická analýza pole v obdélníkovém vlnovodu
Na vstupu obdélníkového vlnovodu s rozměry a = 3 cm, b = 1 cm je vybuzeno příčně elektrické pole
s videm TE10 a siločarami podle obr. 7.4. Vlnovod je na výstupu impedančně přizpůsoben. Délka
vlnovodu l =4,8 cm je rovna délce vlny. Stanovte parametry rozptylu tzv. s-parametry, které určují
poměr vlny incidenční a odražené (respektive postupující), dále vstupní výkon a rozložení pole ve
vlnovodu.
Obr. 7.4: Siločáry vektorů E a H příčně elektrického pole TE10 ve vlnovodu
Fyzikální model
Dielektrikem ve vlnovodu je vzduch. Kmitočet vlny TE10 je 8 GHz a y-ová složka intenzity
elektrického pole na vstupu je Ey = 1 V/m. Vedení je na konci zatíženo charakteristickou (vlnovou)
impedancí, a proto zde nedochází při přenosu energie k odrazům a existuje pouze vlna postupná.
Matematický model
Pro postupnou vlnu (bez odrazů) TE10 jsou výchozí diferenciální rovnice popisující příčně elektrické
pole ve vlnovodu, kde platí , následující
Ex = 0, Ez = 0, H y = 0, H z ¹ 0
Ey =
jw m ¶ H z
jk ¶H z
, H x = - 2z
,
2
kt ¶ x
kt ¶ x
k t2 = k x2 + k y2 = k 2 - k z2 .
Okrajové podmínky jsou patrné z obr. 7.5.
Obr. 7.5: K okrajovým podmínkám
Numerický model
56
Pole modelujeme v celém prostoru vlnovodu, souřadnice z je omezena délkou vlnovodu, neznámou
veličinou je tečná složka intenzity elektrického pole definovaná ve středu hran konečných prvků. Po
vyřešení pole se použitím příkazu SPARM stanoví rozptylové s-parametry a vstupní výkon.
7.3 Radiace a difrakce elektromagnetických vln
Příkladem elementárního zářiče může být proudové vlákno zanedbatelného průřezu a malé délky
l podle obr. 7.6, kterým protéká harmonický proud I, konstantní po celé délce vodiče. Na koncích
vzniká harmonický náboj, který je s proudem spojen rovnicí kontinuity
Obr. 7.6: Elementární dipól
I = ± jw Q .
(7.16)
Magnetické pole má pouze složku Hj
Hj =
Il 2é j
1 ù - jkr
k ê
+
e sin q , H r = H q = 0.
2ú
4p
êë kr ( kr ) úû
(7.17)
Elektrické pole E má složku Ej = 0 a
é 1
Il
j ù - jkr
w mê
cos q ,
úe
2
l
(kr )3 ûú
ëê (kr )
(7.18)
é j
Il
1
j ù - jkr
w mê
+
sin q .
úe
2l
(kr )2 (kr )3 úû
êë kr
(7.19)
Er =
Eq =
V uvedených výrazech je k = w me , l = 2p / k . V blízkém okolí dipólu je r << l, kr << 1 a projeví
se členy s nejvyšší mocninou, tzv. „kvazistacionární“ složky pole. Ve vzdálené oblasti je r >> l, kr >>
1 a projeví se naopak složky v první mocnině tzv. „zářivé“ složky pole.
Pole v blízkosti dipólu
V nejbližším okolí je kr << 1, e– jkr » 1 a pole zde ztrácí vlnový charakter. S použitím Q = I / jw
dostaneme po malé úpravě ze členů v nejvyšší třetí mocnině pro složky elektrického pole výrazy
odpovídající poli elektrického dipólu, v magnetickém poli převažují v blízké oblasti složky kr ve
druhé mocnině
Q l cos q
2p e r3
Zářivé pole
Er =
Eq =
Q l sin q
4p e r3
Hj =
I l sin q
.
4p r 2
(7.20a, b, c)
57
Ve vzdálenosti několika vlnových délek zůstanou pouze zářivé složky pole s amplitudou proměnnou
s 1/(kr)
E q = jZ v
Il
2l
æ e - jkr
ç
ç r
è
ö
÷ sin q
÷
ø
E
Hj = q
Zv
Zv =
wm
k
(7.21a, b, c)
Obr. 7.7: Složky zářivého pole dipólu
Vektory E a H jsou na sebe kolmé a kmitají ve fázi, jejich podíl je roven vlnové impedanci Zv.
Z prostorové závislosti na obr. 7.7 je zřejmé, že pokud sledujeme pole v relativně malé oblasti V,
dostatečně vzdálené od zdroje, jeví se nám zde vlna jako rovinná. Amplituda zářivé složky Eq na
kulové ploše, vynesená v závislosti na směru q se nazývá směrová charakteristika.
Difrakce vln
Při šíření elektromagnetického pole vyzařováním (radiací) do volného prostoru s různými
nehomogenitami ve tvaru přepážek, dochází v okolí těchto přepážek k difrakci, ohybu vlny.
Dopadající vlnu, která ozařuje těleso, označíme jako vlnu incidenční a ve větší vzdálenosti od zdroje
můžeme předpokládat, že se jedná o vlnu rovinnou, postupující např. ve směru osy z
E zi = E 0i e- jkz
(7.22)
Působením incidenční vlny se těleso polarizuje (u elektricky vodivých materiálů se mohou indukovat
vířivé proudy) a stane se tak zdrojem indukovaného pole, intenzita Ein tohoto pole musí vyhovovat
Helmholtzově rovnici
2
div grad E in + k E in = 0 ,
(7.23)
kde k 2 = - jw m (g + jw e ) .
Výsledné pole je dáno součtem obou polí
E tot = E zi + E in .
(7.24)
7.4 Shrnutí
Časově proměnné elektromagnetické pole je popsáno obecně soustavou Maxwellových rovnic. Jejich
tvar se volí podle toho, zda popisujeme elektromagnetické pole ve vodivém prostředí nebo pole ve
volném prostoru, případně vlastnosti pole vedeného pomocí odrazů.
58
8 Řešené příklady v prostředí ANSYS
8.1 Analýza elektrického pole rovinného kondenzátoru
Proveďte numerickou analýzu elektrostatického pole rovinného
kondenzátoru se dvěma dielektriky. Určete počet uzlů a prvků sítě
konečných prvků. Vyhodnoťte intenzitu E a indukci D elektrického
pole v kondenzátoru v obou dielektrikách, určete plošnou hustotu
elektrického náboje s na elektrodách, náboj Q na elektrodách, energii
elektrostatického pole W mezi elektrodami a kapacitu kondenzátoru C.
Parametry kondenzátoru jsou εr1 = 2,2, εr2 = 5,5, f1 = 6 kV, f0 = 0 V,
a = 0,05 m, b = 0,05 m, l1 = 0,006 m, l2 = 0,01 m.
Obr. 8.1: Uspořádání dielektrik
U modelu lze použít zjednodušení geometrie z 3D na 2D řez kondenzátorem. Při vyhodnocení
požadovaných veličin však musíte respektovat původní rozměry kondenzátoru.
Preprocesor
Vhodný prvek (element) pro vytvoření sítě konečných prvků pro modelování 2D elektrostatické úlohy
je PLANE121. Definujeme tento 8-mi uzlový prvek pro plochu s εr1 a εr2. Pro více informací o prvku
PLANE 121 napište do příkazového řádku: help,121.
Element Type, Add, v Library of Element Types zvolit Electrostatic a z nabídky vybrat PLANE 121,
Element Type, Add, v Library of Element Types zvolit Electrostatic a z nabídky vybrat PLANE 121.
Materiál dielektrika je popsán jeho relativní permitivitou, zadává se
Material Props, Material models, electromagnetics, (zadat konstantu pro každý nový materiál tj. New
Model),
Relative permitivity, Constant, zadat hodnotu 5,5 (porcelán),
Relative permitivity, Constant, zadat hodnotu 2,2 (transformátorový olej),
Zadání geometrie modelovaného problému - plochu mezi elektrodami vymezíme dvěma obdélníky
s rozměry l1 ´ a , l2 ´ a,
Modeling, Create, Areas, Rectangle, By dimension, zadat -l1, 0 ; 0, a
Modeling, Create, Areas, Rectangle, By dimension, zadat 0, l2; 0, a
Takto vytvořené plochy je nutno spojit a zrušit duplicitní (společnou) čáru, lze použít techniku
„lepení“ – Glue,
Operate, Booleans, Glue, Areas myší označte plochy, na které chcete použít operaci Glue.
Pro vytvoření sítě konečných prvků se přiřadí jednotlivým plochám parametry - materiál, typ prvku,
hustota sítě, požadavek na mapped (pravidelnou) nebo free (volnou) síť. Ke každé ploše nastavíme
zadané parametry a vygenerujeme síť prvků následujícím postupem:
59
Pro lepší orientaci v modelu je vhodné zapnout číslování ploch.
PlotCtrls, Numbering..., zaškrtnout AREA.
Meshing
Mesh Attributes, Picked Areas, vybrat plochu a nastavit Materiál (číslo materiálu), Type Element
(číslo prvku, který chcete použít na vytvoření sítě vybrané plochy).
Ověření zadaných materiálových vlastností a typů prvků lze provést zapnutím číslování podle čísla
materiálu nebo čísla typu prvku. PlotCtrls, Numbering..., v nabídce Elem/Attrib numbering vybrat
Material numbers (Element type num).
Hustotu sítě můžeme definovat různým způsobem. Je možné ji řídit počtem prvků, počtem prvků na
křivce nebo maximální velikostí prvků (na křivce, ploše, v objemu). Použijeme třetí způsob a
maximální velikost prvků sítě nastavíme na hodnotu 0,002 m, dále zvolíme generaci pravidelné sítě.
Mesh Tool, Size Control , Global Set, esize = 0,002,
nastavit aktivní parametr pro Shape (tvar sítě) Quad (čtyřúhelník), Mapped, Mesh a vybrat plochy.
Zadání Dirichletovy a Neumanovy okrajové podmínky lze provést v preprocesoru nebo procesoru.
Neumannova (přirozená) okrajová podmínka se nastaví na všech hranicích oblasti automaticky.
Dirichletovy okrajové podmínky (zadaný potenciál na plochách elektrod) se nastaví postupem:
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Voltage, On Lines, vybrat křivku, 6 000 V,
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Voltage, On Areas, vybrat křivku, 0 V.
Před spuštěním výpočtu je třeba zajistit, aby všechny vygenerované prvky a uzly byly aktivní, provede
se v menu volbou - Select, Everything.
Solution - řešení
Pro řešení úlohy je třeba nastavit typ analýzy na steady state (statická), statická analýza je nastavena
automaticky, výpočet spustíme příkazem
Solution, Solve, Current LS
Postprocesor - vyhodnocení
Výsledky zobrazíme v General Postproces pomocí ekvipotenciálních hladin
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, DOF Solution, Electric Potential, obr. 8.2a).
Obr. 8.2: a) Rozložení el. potenciálu v kondenzátoru, b) průběh el. potenciálu na hraně kondenzátoru
nebo Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, Electric Field.
60
Po výpočtu intenzity elektrického pole E je možné zobrazit pole vektorů ve vybraných bodech
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit postupně Electric Flux Density D a Electric Field EF.
Postprocesor umožňuje vykreslit veličiny na předem definované cestě. Pro zobrazení průběhu
elektrického potenciálu na spodní straně kondenzátoru nejprve definujeme cestu pomocí uzlů sítě.
Path Operations, Define Path, By Nodes, klikneme na krajní levý a krajní pravý uzel na spodní hraně
kondenzátoru, zadáme název cesty, nSets = 30, nDiv = 100.
Definované cestě přiřaďte elektrický potenciál,
Path Operations, Map onto Path, DOFsolution, El. potencial VOLT.
Průběh elektrického potenciálu zobrazte v grafu,
Path Operations, Plot Path Item, On Graph, VOLT, obr. 8.2b).
Určení energie elektrostatického pole na jednotlivých prvcích a celkové energie W
Element Table, Define Table, Add, vybrat Energie (označení tabulky je SENE),
Sum of Each Item, sečte dílčí energie na prvcích z tabulky a zobrazí se hodnota
SENE = 0,175E-02 J/m.
Pro výpočet energie pro původní zadání je třeba získanou energii vynásobit délkou kondenzátoru b.
W = b*SENE = 0,05*0,175*10-02 = 0,876546E-04 J.
(8.1)
Určení náboje na elektrodě
Výběr uzlů elektrody provedeme následovně
Select, Entities, Nodes,By Location, x-coordinates, l2.
Pro kontrolu správného výběru uzlů elektrody zadáme
Plot, Nodes, vykreslí se pouze uzly elektrody
Velikost náboje Q pak zjistíme pomocí výpisu
List Results, Reaction Solu, nastavit CHRG, ve výpisu je uvedena hodnota náboje každého
vybraného uzlu elektrody. Celkový náboj na elektrodě je uveden na posledním řádku
TOTAL VALUES = 0.58436E-06 C.
Pro výpočet celkového náboje pro původní zadání je třeba získaný náboj vynásobit délkou elektrody
kondenzátoru b. Celkový náboj na elektrodě je
Q = b* TOTAL VALUES = 0,05*0.58436E-06= 29,21 nC.
Určení plošné hustoty náboje na elektrodě s
Q Q 29, 21*10 -9
s = =
=
= 11, 68μC
S ab 0, 05 * 0, 05
(8.2)
(8.3)
Kapacitu kondenzátoru lze určit z celkové energie elektrostatického pole W. Kapacita je dána vztahem,
C=
2W
( Df )
2
=
2 * 0,8765*10 -4
( 6000 - 0 )
2
= 4,86pF,
W = ò w dV =
V
1
D × E dV
2 Vò
(8.4)
Nebo je možné stanovit kapacitu kondenzátoru z náboje Q umístěného v uzlech sítě na jedné vybrané
elektrodě.
C=
Q
29, 21*10-9
=
= 4,86pF
f1 - f0
6000 - 0
(8.5)
61
8.2 Analýza stíněného mikropáskového vedení
Proveďte analýzu elektrostatického pole stíněného mikropáskového vedení. Soustava je znázorněna na
Obr. 8.3. Soustavu tvoří mikropáskový vodič šířky c = 0,01m, stínící kryt čtvercového průřezu o straně
a = 0,1m, dané vedení má omezenou délku c. Vodič je uložen na substrátu tloušťky b = 0,01m,
substrát je z dielektrika s relativní permitivitou er =10. Potenciál vodiče f1 = 1,5 V a potenciál
stínícího krytu f0 = 0,5 V. Stanovte kapacitu přenosové linky.
Obr. 8.3:
Stíněné mikropáskové vedení 3D a 2D uspořádání
Pro vytvoření modelu je možné využít rovinné symetrie a symetrie podél osy y. Potom je možné řešit
úlohu jako 2D a jen v polovině modelu obr. 1b).
Preprocesor
Vhodný prvek (element) pro modelování 2D elektrostatické úlohy je PLANE121
Element Type, Add, v Library of Element Types zvolit Electrostatic a z nabídky vybrat 2D Quad 121.
Materiál dielektrika a vzduchového okolí je popsán relativní permitivitou, zadává se,
Material Props, Material models, electromagnetics, (zadat pro každý materiál tj. New model),
Relative permitivity, Constant, zadat hodnotu 1 (vzduch),
Relative permitivity, Constant, zadat hodnotu 10 (substrát).
Zadání geometrie modelovaného problému se provede pomocí keypoints (geometrických bodů)
definujících hrany a plochy.
Modeling
Create, Keypoints, In active CS (Coordinate System), zadá se číslo keypointu a souřadnice (z = 0)
K1 [0; 0]
K2 [0,05; 0]
K3 [0; 0,01]
K4 [0,005; 0,01]
K5 [0,05; 0,01]
K6 [0; 0,1]
K7 [0,05; 0,1]
Pomocí keypointů definujeme plochy (areas),
Create, Areas, Arbitrary, Through KPs,
A1 zadají se keypointy definující plochu 1, 2, 5, 4, 3, 1,
A2 zadají se keypointy definující plochu 3, 4, 5, 7, 6, 3.
62
Pro vytvoření sítě konečných prvků se přiřadí jednotlivým plochám parametry - materiál, typ prvku,
hustota sítě, požadavek na nepravidelnou (free) síť. Ke každé ploše nastavíme zadané parametry
a vygenerujeme síť prvků následujícím postupem.
Meshing
Mesh Attributes, Picked Areas, vybrat oblast a nastavit Materiál 2 (substrát), Type Element, 1.
Mesh Tool, Size Control, Global Set, nastavit esize = 0,001,
nastaví se aktivní parametry pro Shape Tri (trojúhelníky), free (volná síť),
Mesh, zvolíme plochu s dielektrikem.
Mesh Attributes, Picked Areas, vybrat oblast a nastavit Materiál 1, Type Element, 1.
Mesh Tool, Size Control, Global Set, nastavit esize = 0,003,
nastaví se aktivní parametry pro Shape Tri (trojúhelníky), free (volná síť),
Mesh zvolíme plochu se vzduchem.
Zadání Dirichletovy okrajové podmínky
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Voltage, On Lines (vybrat mikropásek), 1,5 V,
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Voltage, On Lines (vybrat stínící kryt), 0,5 V.
Na ose symetrie (osa y) je Neumannova (přirozená) okrajová podmínka zadána automaticky.
Před spuštěním výpočtu je třeba zajistit, aby všechny vygenerované prvky a uzly byly aktivní.
Select, Everything.
Pro řešení úlohy je třeba nastavit typ analýzy - statická je nastavena automaticky, spustíme výpočet,
Solve, Current LS.
Výsledky zobrazíme v General Postproces pomocí ekvipotenciálních hladin,
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, DOF Solution, Electric Potential, obr. 8.4 .
Obr. 8.4: Rozložení el. potenciálu v řezu modelu mikropáskového vedení
Můžeme zobrazit rozložení modulu intenzity elektrického pole E, obr. 8.4b).
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, Electric Field nebo pole vektorů E ve vybraných bodech,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit Electric Field EF.
Pro výpočet kapacity je nutné vyčíslit energii na jednotlivých prvcích a celkovou energii W
v elektrostatickém poli soustavy (s respektováním symetrie)
W = ò w dV =
V
63
1
D × E dV
2 Vò
(8.6)
Element Table, Define Table, Add, vybrat Energie (označení tabulky je SENE),
Sum of Each Item, zobrazíse hodnota SENE = 0,44722 E-10 J, W = 2*SENE (polovina modelu).
W = 89,44 pJ.
Kapacita je dána vztahem
C=
2W
( Df )
2
=
2 *89, 44 *10 -12
(1,5 - 0,5 )
2
= 17, 76pF/m
(8.7)
8.3 Obvod se ztrátovým dielektrikem
Proveďte časovou analýzu kondenzátoru se ztrátovým dielektrikem připojeného k obvodu při zapnutí
spínače pro čas 0 - 30 ns. Kondenzátor má rozměry a = 0,03 m, b = 0,01 m, tloušťka d = 0,005 m.
Ztrátové dielektrikum je popsáno relativní permitivitou er = 12 a rezistivitou r = 150 W.m. Ke
kondenzátoru vytvořeného z konečných prvků je připojen rezistor R = 1 kW a zdroj stejnosměrného
napětí U = 12 V. Tyto obvodové prvky jsou prvky se soustředěnými parametry. Vazba FE modelu
s obvodovými prvky je znázorněna na obr. 8.5a) a rozměry kondenzátoru jsou na ob. 8.5b).
Zjistěte tyto časové závislosti:
· Průběh intenzity elektrického pole.
· Průběh proudové hustoty vodivých proudů.
· Průběh proudové hustoty dielektrických proudů.
Obr. 8.5: Uspořádání obvodu se ztrátovým dielektrikem a rozměry dielektrika
Kondenzátor bude vytvořen jako model z konečných prvků, napěťový zdroj a rezistor budou
vytvořeny jako obvodové prvky se soustředěnými parametry.
Preprocesor
Element Type,
Add, Elec Conduction, 3D Brick 231, (kondenzátor),
Add, Circuit, CIRCU124, Ok, Options…, K1: Resistor,
Add, Circuit, CIRCU124, Ok, Options…, K1: Ind Vltg Src, K2: DC or AC Harmonic load.
Materiál kondenzátoru bude popsán rezistivitou a relativní permitivitou (ztrátové prostředí),
64
Materiál Props, Materiál Models, Electromagnetics, Relative Permittivity, Konstant, PERX=12,
Material Props, Material Models, Electromagnetics, Resistivity, RSVX = 150.
Geometrie kondenzátoru bude tvořena jedním kvádrem,
Modeling, Create, Volumes, Block, By Dimensions, X1 = 0, X2 = 0,03, Y1 = 0, Y2 = 0,01, Z1 = 0, Z2
= 0,005
Vytvoření sítě
Přidělíme typ prvku a materiálové vlastnosti ke geometrickému modelu,
Meshing, Mesh Attributs, Picked Volumes, vybereme kvádr myší, MAT = 1, TYPE = 1.
Velikost elementů nastavíme na 1 mm,
Meshing, Mesh Tool, GLOBAL, SET, ESIZE = 0,001.
Dále vybereme HEX a zvolíme MAPPED. Tímto jsme zvolili, že síť bude vytvořena z pravidelných
šestistěnných prvků. Síťování zahájíme tlačítkem MESH, objeví se nám okno na výběr geometrie, na
které chceme vytvořit síť, vybereme kvádr tvořící kondenzátor.
Vytvoření rezistoru
Hodnota rezistoru se zadává jako „reálná konstanta“,
Preprocesor, Real Constant, Add, Add, vybereme TYPE 2, Ok, No. 2, RES = 1000.
Pro vytvoření prvku, který tvoří rezistor, musíme definovat dva uzly a mezi nimi vytvořit prvek.
Protože máme již vytvořenou síť pro kondenzátor, musíme zjistit číslo posledního uzlu – menu / List /
nlist, na posledním řádku je číslo posledního uzlu (7591). Nyní vytvoříme uzel s číslem 7592 na
souřadnicích [0; 0; -0,005], Preprocesor, Modeling, Create, Nodes, In Active CS, NODE: 7592, x, y,
z = 0, 0, -0,005, stejně vytvoříme uzel s číslem 7593, Preprocesor, Modeling, Create, Nodes, In Active
CS, NODE: 7593, x, y, z = 0, 0, -0,015.
Přepneme typ prvku a reálnou konstantu na 2, do příkazového řádku napište REAL,2 a TYPE,2 ve
stavovém řádku okna ANSYS se změní tyto hodnoty z 1 na 2.
Mezi definovanými uzly vytvoříme prvek tvořící rezistor příkazem e,7592,7593.
Vytvoření napěťového zdroje
Hodnota napětí se zadává jako reálná konstanta,
Preprocesor, Real Constant, Add – Edit – Delete, Add, vybereme TYPE 3, Ok, No. 3, AMP = 12.
Pro vytvoření napěťového zdroje musíme vytvořit tři uzly. První uzel je společný s rezistorem (7593).
Vytvoříme druhý uzel, Preprocesor, Modeling, Create, Nodes, In Active CS, NODE: 7594, x, y, z = 0,
0, -0,02 a třetí uzel Preprocesor, Modeling, Create, Nodes, In Active CS, NODE: 7595, x, y, z = 0, 0, 0,025.
Přepneme typ prvku a reálnou konstantu na 3, do příkazového řádku napište REAL,3 a TYPE,3 ve
stavovém řádku okna ANSYS se změní tyto hodnoty z 2 na 3.
Mezi definovanými uzly vytvoříme prvek tvořící napěťový zdroj příkazem e,7593,7595,7594.
Obvodové prvky lze vytvořit také přes menu – Preprocessor, Modeling, Create, Elements, Auto
Numbered, Thru Nodes kliknutím myši, u napěťového zdroje je dané pořadí uzlů „+“, „-“ a střední
uzel zdroje.
Vytvoření vazby mezi elektrickými prvky a FE modelem
Vybereme uzly na elektrodě, která leží v rovině xy, menu Select, Select entities, Nodes, By Location,
z coordinates, from full, do pole napíšeme 0, Apply, Select /Select entities, Nodes, By Num/Pick, Also
Select, Ok a do pole napíšeme číslo uzlu 7592. Kontrolu vybraných uzlů můžeme provést príkazem
nplot.
Nyní vytvoříme vazební rovnici, která nám zaručí, že na všech uzlech bude stejné napětí,
Preprocesor, Coupling, Couple DOFs, Pick All, NEXT, volt, ok.
65
Zadání okrajových podmínek
Nyní vybereme druhou elektrodu a uzel, který tvoří zem zdroje (7593), menu Select, Select entities,
Nodes, By Location, z coordinates, from full, do pole napíšeme 0,005, Apply,
Nodes, By Num/Pick, Also Select, Ok a do pole napíšeme číslo uzlu 7595.
Nyní na vybrané uzly zadáme nulový elektrický potenciál Preprocesor, Loads, Define Loads, Apply,
Electric, Boundary, Volt, On Nodes, Pick All a zadáme 0.
Nyní je FE model spojen s obvodovými prvky a jsou zadány okrajové podmínky.
Budeme používat časovou analýzu a počáteční podmínku pro t(0) = 0 V.
Solution, Analysis Type, New Analysis, Transient.
Nastavení času analýzy a časového kroku,
Solution, Load Step Opts, Time – Frequenc, Time – Time Step, Time = 3e-8 , DelTim = 3e-10,
Stepped.
Uložení všech mezivýsledků,
Solution, Load Step Opts, Output Ctrls, DB-Results File, Every SubStep, Ok.
Nastavení počáteční podmínky v čase t(0) = 0 V (sepnutí spínače),
Define Loads, Apply, Initial Condit’n, Define, Pick All, Lab = VOLT , VALUE = 0.
Solve, Current LS.
Post procesor - vyhodnoceni
Po úspěšném dokončení výpočtu jsou uloženy výsledky pro každý časový krok výpočtu. Pokud
chceme zobrazit vypočtené veličiny v některém z těchto časových kroků, musíme výsledky pro daný
časový interval načíst.
Read results, By Pick, vybrat čas řešení.
Zobrazení vektorů intenzity elektrického pole,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, Flux & Gradient, Electric Field EF, obr. 8.6a).
Zobrazení vektorů proudové hustoty celkových proudů,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, Current Density, Cpl’d Source JS, obr. 8.6b).
Zobrazení vektorů proudové hustoty vodivých proudů,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, Current Density, Conduction TC JT.
Obr. 8.6: a) Vektory intenzita el. pole b) vektory celkové proudové hustoty v čase t = 12 ns
Pro výpočet dielektrických proudů musíme definovat tabulku prvků pro proudovou hustotu celkových
a vodivých proudů,
66
Element Table, Define Table, Add, Current Density, JTZ.
Element Table, Define Table, Add, Current Density, JSZ.
Výpočet dielektrických (posuvných) proudů,
Element Table, Add Items, LabR – JDZ, Lab1 – JSZ, FACT2 – (-1), Lab2 – JTZ.
Tabulky prvků je možné zobrazit na síti,
Element Table, Plot Table, vybrat tabulku, kterou chcete zobrazit.
Pro zobrazení a práci s časovými analýzami je v ANSYSu menu TimeHist Postpro. Po vybrání tohoto
menu se objeví okno pro práci s časovými průběhy.
Průběh přidáte kliknutím na tlačítko [+] Add Data,
Element Solution, Current Density, JSZ, Ok. Vyberte krajní prvek (v rohu kondenzátoru), Ok, vyberte
uzel ve vybraném prvku na hraně kondenzátoru (vzdálenější od elektrody).
Element Solution, Current Density, JTZ, Ok. Vyberte krajní prvek (v rohu kondenzátoru), Ok, vyberte
uzel ve vybraném prvku na hraně kondenzátoru (vzdálenější od elektrody).
Časový průběh pro posuvné proudy musíme dopočítat.
Calculator: JDZ = {JSZ}-{JTZ}
Časovou závislost definovaných proudových hustot lze zobrazit v grafu tlačítkem Graph Data.
Časovou závislost definovaných proudových hustot lze zobrazit v tabulce tlačítkem List Data.
Obr. 8.7: Průběh celkové, vodivé a dielektrické proudové hustoty
67
8.4 Analýza pole ustáleného proudu ve vodivém disku
Proveďte analýzu ustáleného stavu proudového pole ve vodivém plochém disku. Poloměr disku je a =
0,2 m, jeho tloušťka je zanedbatelná, rezistivita disku je ρ = 100 Ωm. Do disku vtéká a vytéká dvěma
bodovými elektrodami umístěnými symetricky ve vzdálenosti b = 0,1 m od středu disku konstantní
proud I = 1 mA, jak je naznačeno na obr 8.8a). Najděte rozložení potenciálu a proudové hustoty ve
vodivém disku. Zobrazte elektrický potenciál a proudovou hustotu na ose x.
Obr.8.8: Uspořádání vodivého disku
Vzhledem k symetrickému umístění zdrojů bude na ose y hodnota potenciálu f = 0V.
Preprocesor
Vhodný prvek (element) pro modelování 2D pole ustálených proudů ve vodivém prostředí je
PLANE230. Nastaví se,
Element Type, Add, Library of Element Types zvolit Elec. Conduction, 2D Quad 230.
Materiál charakterizující vodivé prostředí je popsán rezistivitou
Material Props, Material models, electromagnetics, Resistivity, Constant, zadat hodnotu 100.
Definujeme konstanty pro vytvoření geometrie pro poloměr disku a = 0,2 a vzdálenost vodiče
s proudem od středu b = 0,1.
Zadání geometrie modelovaného problému
Modeling,
Create, Areas, Circle, By Dimensions, RAD1 = a, THETA2 = 360,
dále budou vytvořeny dva pevné geometrické body (keypoints), které budou představovat bodové
elektrody a jeden se souřadnicemi [0,0] pro zadání nulového elektrického potenciálu.
Create, Keypoints, Hard PT on area, Hard PT by cordinates, 1, Apply, zadat souřadnice b, 0
Create, Keypoints, Hard PT on area, Hard PT by cordinates, 2, Apply, zadat souřadnice -b, 0
Create, Keypoints, Hard PT on area, Hard PT by cordinates, 3, Apply, zadat souřadnice 0, 0
Pro vytvoření sítě konečných prvků se přiřadí ploše parametry - materiál, typ prvku, hustota sítě,
požadavek na nepravidelnou (free) sítˇ.
Meshing
Mesh Attributes, Picked Areas, vybrat oblast a nastavit Materiál 1, Type Element.
Hustotu sítě řídíme omezením počtu prvků v modelu.
Mesh Tool, Size Control, Global Set, ndiv = 64, Shape aktivní parametr Tri (trojúhelníky), Free
(volná síť), Mesh.
68
Zadání Dirichletovy okrajové podmínky provedeme ve válcových souřadnicích,
souřadnicového systému z kartézského na cylindrický (válcový),
Workplane, Change Active CS to Global Cylindrical
Ve středu disku je v důsledku symetrie pole potenciál nulový
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Voltage, On Nodes,
zadat číslo uzlu v počátku pomocí funkce node(0, 0, 0), nastavíme hodnotu 0 V.
Kontrola je možná pomocí příkazu dlist.
změna
Dále zadáme proudové buzení
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Excitation, Current,
On Nodes zadat číslo uzlu (pomocí souřadnic) levého vodiče node(b, 180, 0), hodnotu I,
On Nodes zadat číslo uzlu (pomocí souřadnic) pravého vodiče node(b, 0, 0), hodnotu –I.
Kontrola zadání je možná pomocí příkazu flist.
Neumanova (přirozená) okrajová podmínka je zadána automaticky na obvodovou kružnici.
Před spuštěním výpočtu je potřeba zajistit, aby všechny vygenerované prvky a uzly byly aktivní,
provede se příkazem,
Select, Everything.
Pro řešení úlohy je potřeba nastavit typ analýzy - statická je nastavena automaticky, výpočet spustíme
příkazem
Solution, Solve, Current LS.
Postprocesor – vyhodnocení
Výsledky výpočtu potenciálu zobrazíme pomocí ekvipotenciálních hladin,
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, zvolit DOF Solution – Electric potential, obr. 8.9.
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, zvolit Conduction Current density.
Zobrazení elektrického potenciálu na ose x pomocí definované cesty podle souřadnic, změníme
globální souřadný systém zpět na kartézská, CSYS, 0 (pokud bychom nechali válcový souřadný systém,
definovaná cesta by byla na horní obvodové půlkružnici), Path Operations, Define Path, By Location,
zadejte název cesty, nPts = 2 (počet bodů, kterými bude definovaná cesta), nSets = 30, nDiv = 100,
Ok, NPT = 1 (číslo bodu), x = -a, y = 0, Ok, NPT = 2 (číslo bodu), x = a, y = 0, Ok, Cancel.
Elektrický potenciál přiřadíme na definovanou cestu a zobrazíme v grafu,
Map onto Path, VOLT,
Plot Path, On Graph.
Obr. 8.9: Rozložení elektrického potenciálu na vodivém disku
69
8.5 Oteplení vodiče průchodem elektrického proudu
Proveďte
termoelektrickou
analýzu
pole
neizolovaného ocelového vodiče délky a = 0,05 m a
poloměru r = 0,01 m. Vodič má rezistivitu r = 200
nWm, tepelnou vodivost l = 13 Wm-1K-1 a prochází
jím proud I = 100 A. Povrchový součinitel přestupu
tepla mezi vodičem a vzduchem je h = 25 Wm-2K-1
a teplota okolí T0 = 20 °C. Určete tepelné ztráty tepla
q a vypočtené pole zobrazte. Určete maximální a
minimální teplotu ve vodiči a zobrazte průběh teploty
ve vodiči na ose x.
Obr. 8.10: Rozměry proudovodiče
Vzhledem k symetrii proudového i teplotního pole postačí modelovat pouze část zadané geometrie
v 1. kvadrantu. Vhodný element pro modelování sdružené úlohy je SOLID5, který umožňuje současně
řešit elektrické a teplotní pole.
Preprocesor
Definujeme konstanty pro poloměr vodiče r = 0,01 m, délku vodiče d = 0,05 m.
Element Type, Add, v Library of Element Types, Coupled Field a z nabídky vybrat Scalar Brick5.
Materiál vodiče bude popsán rezistivitou a tepelnou vodivostí,
Material Props, Material models,
Electromagnetics, Resistivity Constant, zadat hodnotu 2e-7,
Thermal, Conductivity, Isotropic, zadat hodnotu 13.
Modeling
Pro zadání geometrie modelovaného problému vygenerujeme jednu čtvrtinu válce,
Create, Volumes, Cylinder, By dimensions, rad1 = a, rad2 = 0, d, theta1 = 0, theta2 = 90.
Pro vytvoření sítě konečných prvků se dále stanoví hustota sítě a požadavek na tvar sítě. Hustotu sítě
řídíme omezením velikosti prvku ESIZE v celém prostoru a síť zjemníme v okolí obvodové kružnice
(křivka 9) počtem prvků na křivce LESIZE.
Mesh Tool, Size Control, Global Set, ESIZE = 0,001.
Zjemnění sítě na vybrané křivce
Mesh Tool, Size Control, Lines Set, zadat obvodovou kružnici, ndiv = 15.
Nastavení tvaru sítě
Shape, Hex, Sweep, vygenerovat síť příkazem Sweep (generuje se pravidelná síť vytažením do
prostoru vodiče).
Pro stanovení požadovaných veličin provedeme výpočet velikostí ploch podstavy a pláště. Postupně
plochy vybereme a vypočteme jejich velikost
Select, Entities, Areas, By pick/num, zadáme 1 (podstava).
Modeling, Operate, Calc Geom Items, Of Areas,
Parameters, Get Scalar Data, Model Data, Areas,
Name = Podstava1, 1, Areas, Areas.
Velikost plochy získáme příkazem
*STATUS, Postava1 (7,85398 e-5)
Select, Entities, Areas, By pick/num, zadáme 3 (plášť).
70
Modeling, Operate, Calc Geom Items, Of Areas,
Parameters, Get Scalar Data, Model Data – Areas,
Name = Plast1, 1, Areas, Areas.
*STATUS, Plast1 (7,85398 e-5)
Select, Everything.
Pro řešení úlohy je třeba nastavit Dirichletovu okrajovou podmínku na hranici oblasti pro elektrické
pole,
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Voltage, On Areas, zadat plochu 1 (podstava z = 0),
hodnotu 0.
Select, Entities, Areas, By pick/num, zadat 2 (podstava z = d), Select, Entities, Nodes, Attached to Areas.
Parameters, Get Scalar Data, Model Data – Nodes, Name = Nmin, 0, Node, Next highest node.
Preprocesor, Coupling, Ceqn, Couple DOFs, Pick All, NEXT, VOLT.
Solution, Loads, Define Loads, Apply, Electric, Excitation, Current, On Nodes - Nmin, 25.
Select Everything.
Na plášti a rovinách řezu je Neumanova (přirozená) okrajová podmínka zadána automaticky.
Define Loads, Apply, Thermal, Convection, On Areas zadat 3 (plášť), Film coeficient = 25 (koeficient
přestupu tepla), Bulk temperature = 20 (teplota okolí), 1.
Solve, Current LS.
Výsledky výpočtu zobrazíme pomocí ekvipotenciálních hladin, které získáme postupem
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu,
postupně se zvolí DOF Solution – Electric potential, Nodal Temperature, obr. 8.11.
Výpočet Jouleových ztrát pomocí objemové hustoty energie,
Element Table, Define Table, Add, vybrat Joule heat – Joule heat (označení tabulky je JHEA),
Element Table, Define Table, Add, vybrat Geometry – Element volume (označení tabulky je VOLU),
Multiply nastavit LabR = výkon, lab1 = JHEA, lab2 = VOLU,
Obr. 8.11: a) Rozložení elektrického potenciálu ve vodiči, b) rozložení teploty ve vodiči
Sum of each item, zobrazí se celkový ztrátový výkon (0,0797054 W).
Výpočet ztrátového výkonu pomocí napětí a proudu vodiče,
Parameters, Get Scalar Data, Results Data – Nodal Results,
Name = U, N_min, DOF solution – el. Potential VOLT, Ok.
P1 = U*I = 0.31889E-02*25 = 0,079705 W
71
(8.8)
Výpočet ztrátového výkonu pomocí odporu a proudu vodiče,
R = rezistivita*a/Podstava 1, P2 = R*I^2 = 0,079577 W.
R=
ra
S Podstava1
=
200 *10 -9 * 0, 05
= 127,3μW /m
7,8539 *10 -5
P2 = R*I2 = 0.079577*25 = 0,07956 W
(8.9)
(8.10)
8.6 Analýza statického pole skalárním magnetickým potenciálem
Za předpokladu, že rozptylový tok je zanedbatelný, určete intenzitu H a indukci B magnetického pole
v permanentním magnetu a ve vzduchové mezeře. Rozměry podle obrázku jsou a = 0,01 m, b =
0,03 m, c = 0,03 m, d = 0,001 m. Koercitivní síla a remanentní indukce permanentního magnetu, který
magnetické pole vytváří, jsou Hc = 150 kA/m Br = 1 T, úhel polarizace je -30°. Předpokládáme, že
relativní permeabilita železa mrz = 105 je konstantní a permeabilita magnetu je mrm = 5,30504.
Obr. 8.12: Obvod s permanentním magnetem
Pro řešení úlohy, kde zdrojem pole je pouze permanentní magnet, zvolíme metodu redukovaného
skalárního potenciálu (RSP). Vzhledem ke geometrické symetrii zadaného magnetického obvodu
postačí modelovat ve 3D prostoru pouze jeho polovinu.
Preprocesor
Definujeme konstanty pro vytvoření geometrie: a = 0,01, b = 0,03, c = 0,03, d = 0,001.
Vhodný element pro modelování 3D magnetostatické úlohy pomocí skalárního magnetického
potenciálu je SOLID98,
Element Type, Add, Library of Element Types zvolit Magnetic Scalar, Scalar tet 98.
Materiál charakterizující magneticky vodivé prostředí je popsán relativní permeabilitou, definujeme
tři materiály.
Material Props, Material models, Relative Permeability, 1 (vzduch),
Material Props, Material models, Relative Permeability, 100 000 (magnetický obvod),
Material Props, Material models, Relative Permeability, 5,30504 (permanentní magnet),
Material Props, Material models, Coercive Force, Orthotropic, Hx = 129 900, Hz = -75 000.
72
Zadání geometrie modelovaného problému se provede pomocí keypoints (klíčových bodů)
definujících hrany tvaru přímých úseků.
Modeling
Create, Keypoints, In active CS (coordinate system) – zadá se číslo keypointu a souřadnice (z = 0)
K1 [0; 0]
K2 [b/2; 0]
K3 [a+b/2; 0]
Ostatní keypointy vytvoříme kopírováním, kde se zadá seznam kopírovaných keypoints, Apply, dále
počet kopií – včetně originálu, offset (posun bodu ve směru osy) dx, dz, dy,
Copy, Keypoints, list of items 1, 2, 3 Apply, Number of copies 2, dy = b, Keypoints only, Ok,
Copy, Keypoints, list of items 4, 5, 6 Apply, Number of copies 2, dy = (c – b), Keypoints only, Ok,
Copy, Keypoints, list of items 7, 8, 9 Apply, Number of copies 2, dy = d, Keypoints only, Ok,
Copy, Keypoints, list of items 10, 11, 12 Apply, Number of copies 2, dy = a, Keypoints only, Ok.
Pomocí keypoints definujeme plochy (areas),
Create, Areas, Arbitrary, Through Keypoints
A1
1, 2, 5, 4
A2
2, 3, 6, 5
A3
5, 6, 9, 8
A4
10, 11, 14, 13
A5
11, 12, 15, 14
A6
8, 9, 12, 11
Pro vytvoření objemu definujeme poslední keypoint,
Create, Keypoints, In active CS (coordinate system) – zadá se číslo keypointu a souřadnice (z= 0)
K16, 0, 0, a .
Dále definujeme křivku, Create, Lines, Lines, In active CS, zadají se čísla uzlů – L20 1, 16.
Objem vytvoříme tažením vytvořených ploch do prostoru podél této křivky,
Operate, Extrude, Areas, Along Line, zadají se čísla ploch - 1,2,3,4,5,6, Apply, zadá se číslo křivky,
podél které se má vytvořit výsledný objem - 20, Ok.
Pro vytvoření sítě konečných prvků se přiřadí jednotlivým objemům parametry - materiál, typ prvku,
hustota sítě a tvar sítě.
Meshing
Postupně vybereme objem pro permanentní magnet, železo, vzduchovou mezeru a nastavíme Materiál
a Element Type,
Mesh Attributes, Picked Volumes,
vybereme objem permanentního magnetu (V1) a nastavíme Materiál 3 a Type Element 1,
vybereme objem vzduchu (V6) a nastavíme Materiál 1 a Type Element 1,
vybereme objemy magnetického obvodu (V2, V3, V4, V5) a nastavíme Materiál 2 a Type Element 1.
Mesh Tool, Size Control, Global Set, esize = 0,0005 pro nastavení Shape aktivní parametr Tet
(čtyřstěny ve 3D), Free (volná síť), vyberte objem tvořící vzduch.
Mesh Tool, Size Control, Global Set, esize = 0,002 pro nastavení Shape aktivní parametr Tet
(čtyřstěny ve 3D), Free (volná síť), vyberte objemy tvořící magnet a magnetický obvod.
Pro zadání Dirichletovy okrajové podmínky – nulový skalární magnetický potenciál na hranici tvořící
rovinu symetrie – vybereme uzly této roviny,
Select, Entities, Nodes, By Location, x = 0,
73
Loads, Define Loads, Apply, Magnetic, Boundary, Scalar Poten, On Nodes, Pick All, 0.
Pro výpočet sil mezi kotvou a magnetem je potřeba vytvořit předem komponenty z prvků.
Vybereme prvky kotvy,
Select, Entities, Volumes, By pick, Vybereme objem tvořící kotvu, Apply, Select, Entities, Elements,
Attached to Volumes, Ok.
Select, Comp/Assembly, Create component, zadat název KOTVA, vybrat entitu Elements.
Stejným postupem vybereme prvky obvodu s magnetem,
Select, Comp/Assembly, Create component, zadat název MAGNET, vybrat entitu Elements.
Zadáme požadavek na vyhodnocení sil,
Define Loads, Apply, Magnetic, Flag – Comp. Force/Torque (KOTVA, MAGNET).
Select, Everything.
Setřídíme prvky ve směru osy y
Numbering Ctrls, Element Reorder, Reorder by XYZ, zvolit Y direction only.
Pro řešení úlohy je potřeba nastavit typ analýzy Redukovaný Skalární Potenciál (RSP),
Solution, Solve, Elektromagnet, Static Analysis, Opt&Sol, parametr Option Formulation Option
nastavit na RSP.
Solve, Current LS.
Velikost sil lze stanovit z virtuální práce nebo pomocí Maxwellova tenzoru pnutí.
Provede se příkazem, Elec&Mag Calc, Component Based, Force (DISK, CIVKA).
Tab. 8.1: Vypočtené síly
Virtuální práce
Maxwellův tenzor pnutí
Komponenta
Fx [N]
Fy [N]
Fz [N]
Fx [N]
Fy [N]
Fz [N]
KOTVA
0,432E-04 -0,155E+02 -0,550E-02 0,214E-03 -0,162E+02 -0,523E-08
MAGNET
0,540E-04 0,156E+02 0,535E-02
0,835E-06 0,162E+02 0,120E-06
Zobrazení vektorů pole,
PlotCtrls, View Settings, Viewing direction, Window 1, XV = 0,06, YV = 0,05, ZV = 0,06, Coord axis
direction – Y-axis-up.
Obr. 8.13: a) Vektory mag. indukce B, b) vektory intenzity mag. pole H
74
PlotCtrls, Style, Edge Options, Window 1, Edge only, Edge torance angle 45,
PlotCtrls, Device Options, Vector mode – nastavit On.
Plot Results, Vector Plot, Predefined. zvolíme flux density (magnetická indukce B) a nastavit Vector
mode, Windows 1, VRATIO 1. Plot Results, Vector Plot, Predefined. zvolit magnetic field (intenzita
magnetického pole H) obr. 13.
Výsledky výpočtu zobrazíme pomocí ekvipotenciálních hladin, které získáme postupem
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, DOF Solution – Electric potential, Nodal Temperature,
Magnetic flux density, Magnetic flux density vector sum, obr. 8.14a).
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, DOF Solution – Electric potential, Nodal Temperature,
Magnetic flux density, Magnetic field intensity, Magnetic field intensity vector sum, obr. 8.14b).
Obr. 8.14: a) Rozložení mag. indukce B, b) rozložení intenzity mag. pole H
8.7 Stínící efekt krytu tvaru trubky pro magnetické proměnné a statické
pole
a)
b)
Dlouhý hliníkový vodič tvaru trubky na Obr. 1a) je umístěn v homogenním magnetickém poli
s magnetickou indukcí B = 0,1cos(120p t)uy T. Siločáry harmonicky proměnného pole jsou kolmé
na podélnou osu vodiče (osa x). Vnitřní poloměr trubky ri = 0,057 m, vnější poloměr r0 = 0,07 m,
konduktivita hliníku g = 25,38 MS/m. Uvažujeme, že původní pole je homogenní ve vzdálenosti
b = 10 ro . Stanovte indukci magnetického pole na ose vodiče, koeficient stínění a střední ztráty ve
vodiči.
Numerický model upravte pro statické magnetické pole B = 0,1 T. Stínící kryt tvaru trubky má
mr = 1 000. Stanovte indukci magnetického pole na ose vodiče, koeficient stínění.
Ad a)
Předpokládáme, že vodič je velmi dlouhý vzhledem k jeho průměru a pole tudíž nebude záviset na zové souřadnici, řešíme tedy 2D úlohu s rovinnou symetrií. S využitím symetrie postačí modelovat pole
pouze v jednom kvadrantu, jak je naznačeno na Obr. 1b). Vhodný element pro modelování 2D
stacionárního magnetického pole pomocí vektorového magnetického potenciálu je PLANE13.
Preprocesor
Definujeme konstanty ri = 0,057 m, a = 0,03 m, ro = 0,07 m, b = 10*ro, amplituda indukce Bo = 0,1,
kmitočet f = 60.
Element Type, Add, v Library of Element Types zvolit Magnetic Vector a z nabídky vybrat
PLANE13, Az.
75
Obr. 8.15: Válcový vodič tvaru trubky
Materiál charakterizující vzduch a prostor trubky bude popsán relativní permeabilitou a rezistivitou.
Material Props, Material models, electromagnetics,
Relative permeability, Constant, zadat hodnotu 1 (vzduch),
Relative permeability, Constant, zadat hodnotu 1 (vodivý válec),
Resistivity Constant, zadat hodnotu 1/(2,538e07).
Zadání geometrie modelovaného problému pomocí keypointů definujících hrany,
Modeling, Create, Keypoints, In active CS – zadá se číslo keypointu a souřadnice (z = 0),
K1 [0; 0]
K2 [a; 0]
K3 [a; a]
K4 [0; a]
změnit souřadný systém na válcové souřadnice,
WorkPlane, Change Active CS to Global Cylindrical
K5 [ri; 0]
K6 [ri; 45]
K7 [ri; 90]
Copy, Keypoints, list of items 5, 6, 7 Apply, Number of copies 2, dx= (ro - ri), Keypoints only.
Pomocí keypointů (počáteční a koncový bod) definujeme křivky (rovné úseky),
Create, Lines, Lines, In Active CS, list of items - zadá se 2, 5, Ok.
Následující příkaz lze použít k opakování předchozí operace, opakujeme vytvoření 2 nových křivek
(celkem 3), zvýšení indexu keypointů definujících křivku je vždy o 1,
*REPEAT, 3, 1, 1
Create, Lines, Lines, In Active CS, list of items - zadá se 5, 8, Ok.
*REPEAT, 3, 1, 1
WorkPlane, Change Active CS to Global Cartesian
Pomocí keypointů definujeme první plochu, keypointy zadáváme vždy ve směru oběhu kolem plochy
Create, Areas, Arbitrary, Through Kps, list of items - zadá se 1, 2, 3, 4, Ok.
76
Create, Areas, Arbitrary, Through Kps, list of items - zadá se
Vytvoříme vzduchové okolí,
WorkPlane, Change Active CS to Global Cartesian,
K11 [b; 0]
K12 [b; b]
K13 [0; b]
5, 8, 9, 4, Ok.
6, 9, 10, 7, Ok.
11, 12, 9, 8, Ok,
12, 13, 10, 9, Ok.
Před vytvořením sítě konečných prvků se přiřadí jednotlivým objemům parametry - materiál, typ
prvku, hustota 2D sítě, požadavek na mapped (pravidelnou) síť. K vybrané ploše nastavíme
požadované parametry a vygenerujeme síť prvků následujícím postupem.
Meshing, Mesh Attributes, Picked Areas
oblasti válce nastavit Plane 13 (Az) Materiál 2,
ostatním oblastem nastavit Plane 13 (Az) Materiál 1 – vzduch.
Hustotu sítě řídíme omezením počtu dělení na křivkách,
Mesh Tool, Size Control, Lines Set, zadat číslo křivky 1, 3, NDIV = 5,
Mesh Tool, Size Control, Lines Set, zadat číslo křivky 4, 5, 6, NDIV = 5,
Mesh Tool, Size Control, Lines Set, zadat číslo křivky 17, NDIV = 16, SPACE = 10 (koeficient pro
zvětšení délky úseku),
Mesh Tool, Size Control, Lines Set, zadat číslo křivky 16, 19, NDIV = 16, SPACE = 1/10 (koeficient
pro zvětšení délky úseku),
Mesh Tool, Size Control, Lines Set, zadat číslo křivky 15, 18, NDIV = 16,
nastavit aktivní parametr pro Shape (tvar sítě) Quad, Mapped, Mesh a vybrat všechny plochy.
Zadání Dirichletovy a Neumanovy okrajové podmínky lze provést v preprocesoru nebo procesoru.
Neumannova (přirozená) okrajová podmínka se nastaví na vnější křivky okolí rovnoběžné s osou x
automaticky. Zadání Dirichletovy okrajové podmínky - zadáváme nenulový vektorový potenciál na
vnější hranici oblasti.
Pro nastavení podmínky symetrie pro x = 0 je nutné změnit systém na kartézské souřadnice,
WorkPlane, Change Active CS to Global Cartesian,
vybrat všechny uzly s x = 0, nastavit Az = 0,
Select, Entities, Nodes, by location X = 0,
Loads, Define Loads, Apply, Magnetic, Boundary, Vector poten On Nodes, 0.
Nastavíme vektorový magnetický potenciál x = b,
vybrat všechny uzly s x = b, nastavit Az = 0,07,
Select, Entities, Nodes, by location X = b,
Loads, Define Loads, Apply, Magnetic, Boundary, Vector poten On Nodes, -0,07.
Select everything.
Pro řešení úlohy je potřeba nastavit typ analýzy,
Analysis type, Solń Controls, Solń Options, Frontal Direct. příkaz: eqslv, front
Analysis type, New Analysis – harmonic, nastavíme kmitočet 60 Hz a rovnoměrné změny zátěže ve
všech krocích Load Step Optn, Time/Frequency, fmax = f a parametr KBC = stepped.
Solve, Current LS.
77
Postproces – vyhodnocení
Načíst reálnou část řešení,
Read Reasults, By Time/Freq, Real Part (KIMG=0).
Zobrazení siločar magnetického pole provedeme pomocí,
Plot Results, Contour Plot, 2D Flux Lines, zadat parametry 27, 0, 10, 1, obr. 8.16.
Zobrazení vektorů magnetické indukce B,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit mag. flux density (magnetická indukce B),
Zobrazení Az složky vektorového potenciálu,
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, zvolí se DOF Solution – Az.
Obr. 8.16: Siločáry mag. pole a) reálná část, b) imaginární část řešení
Obr. 8.17: Rozložení mag. Indukce a) reálná část, b) imaginární část řešení
Pro výpočet koeficientu stínění je třeba vybrat uzel č. 1 na ose trubky (uzel v počátku souřadného
systému) a stanovit komplexní hodnotu magnetické indukce B.
Select, Entities, Nodes, By num/Pick, zadat 1.
Načteme reálnou část řešení,
Read Results, By Time/Freq, Real Part (KING=0).
List, Results, Nodal solution, Magnetic Flux Density, Y component, Bry1 = -2,3053 mT.
Podobně zjistíme imaginární složku By v uzlu 1,
Read Results, By Time/Freq, Imaginary Part (KING=1).
78
List, Results, Nodal solution, Magnetic Flux Density, Y component, Biy1 = -20,785 mT.
Modul indukce ve středu trubky je
2
B1 = Bre2 y1 + Bim
y1 =
( -2,3053.10 ) + ( -20, 785.10 )
-3 2
-3 2
= 20.91 mT .
(8.11)
Vně trubky je modul indukce roven hodnotě Bo = 0.1 T. Koeficient stínění je
B1 20,91.10 -3
s=
=
= 0, 209 .
B0
0,1
(8.12)
Pro výpočet Jouleových ztrát vybereme prvky patřící materiálu válce,
Select, Entities, Elements, By Attributes, material num = 2.
Elec&MagCalc, Element based, Power Loss,
Časově střední ztráty v prostoru 1m trubky jsou 2303,8325 J
Ad b)
Preprocesor
Pro stínění statického magnetického pole definujeme materiál 3 s relativní permeabilitou mr = 1000,
Material Props, Material Models, Material, New Model..., ID = 3, Electromagnetics, Relative
Permeability, Constant, MURX = 1000.
V modelu je vytvořena síť, proto nelze přiřadit materiálové vlastnosti plochám. Lze změnit
materiálové vlastnosti přímo u prvků.
Pro přiřazení materiálu 3 prvkům stínícího krytu vybereme prvky stínícího krytu podle čísla materiálu,
Select, Entities..., Elements, By Attributes, Material num, 2.
Pro kontrolu zobrazíme vybrané prvky, Plot, Elements.
Přidělení materiálu 3 vybraným prvkům,
Modeling, Move/Modify, Elements, Modify Attrib, Pick All, STLOC = MAT, I1 = 3.
Select, Everything.
Kontrola zadání materiálu,
PlotCtrls, Numbering..., Elem/Attrib numbering: Material numbers.
Nastavení analýzy na statickou, Analysis Type, Static.
Solve, Current LS.
Plot Results, Contour Plot, 2D Flux Lines, zadat parametry 27, 0, 10, 1.
Obr. 8.18: a) Siločáry statického mag. pole, b) rozložení mag. indukce
79
Zobrazení vektorů magnetické indukce B,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit mag. flux density,
Zobrazení Az složky vektorového potenciálu,
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, zvolí se DOF Solution – Az.
Pro výpočet koeficientu stínění je třeba vybrat uzel č. 1 na ose trubky a zjistit hodnotu B.
Select, Entities, Nodes, By num/Pick, zadat 1.
List, Results, Nodal solution, Magnetic Flux Density, Y component, By1 = 1,1643mT
Vně trubky je modul indukce roven hodnotě Bo = 0,1 T. Koeficient stínění
s = By1/Bo = 1,1643*10-3/0,1=0,01164.
(8.13)
8.8 Modelování skinefektu v prostoru masivního vodiče
Masivní vodič čtvercového průřezu rozměru a = 0,01 m je
umístěn ve volném prostoru v počátku souřadného systému.
Vodičem protéká harmonický proud s amplitudou 100 A
a kmitočtem 10 Hz, 500 Hz a 3000 Hz. Relativní permeabilita
vodiče je mr = 1, jeho rezistivita je r = 1,7e-8 W/m. Rozměry
vzdáleného okolí jsou ri = 0,03 m a ro = 0,05 m.
Pomocí numerického modelování vypočtěte pole a zobrazte:
a) Siločáry magnetického pole.
b) Rozložení vektorů proudové hustoty vyhodnoťte, kdy
nastane výrazný skinefekt.
c) Jouleovy ztráty v prostoru vodiče.
Velikost proudu ve vodiči.
Obr.8.19: Model masivního vodiče
Při sestavení numerického modelu se využije geometrická symetrie úlohy a magnetické pole se
modeluje pouze v jedné čtvrtině modelu jako 2D úloha s rovinnou symetrií. Vhodný element pro
modelování 2D stacionárního magnetického pole pomocí vektorového magnetického potenciálu je
PLANE53. Otevřená hranice se modeluje použitím prvků INFIN110.
Preprocesor
Element Type, Add, v Library of Element Types,
zvolit Magnetic Vector a z nabídky vybrat Vect Quad 8nod53 (vzduch),
zvolit Magnetic Vector a z nabídky vybrat Vect Quad 8nod53 (vodič), Ok, Options, Element behavior
(K1) Az, VOLT – neznámou bude také napětí,
zvolit Infinite Boundary a z nabídky vybrat 2D Inf Quad110 (vzdálené okolí), Ok, Options, (K2) 8Nodes Quad.
Definujeme materiálové vlastnosti pro každou část modelu (Material, New model …),
Material Props, Materiál Models, Electromagnetics,
Mat 1:
Relative Permeability, 1 (vzduch),
Mat 2:
Relative Permeability, 1 (vodič),
Resistivity, 1,7e-8,
Mat 3:
Relative permeability, 1 (vzdálené okolí).
Zadání geometrie modelovaného problému pomocí geometrických bodů (keypointů) definujících
hrany a plochy. Definujeme konstanty pro vytvoření geometrie a pro proud a kmitočet: a = 0,01, ri =
0,03 a ro = 0,05, f = 10, I = 100.
Modeling
80
Create, Keypoints, In active CS (Coordinate System) – zadá se číslo keypointu a souřadnice (z= 0)
K1 [0; 0]
K2 [a/2; 0]
K3 [ri; 0]
K4 [ro; 0]
K5 [0; a/2]
K6 [a/2; a/2]
K7 [0; ri]
K8 [0; ro]
Pomocí keypointů (počáteční a koncový bod) definujeme křivky (oblouky, rovné úseky),
WorkPlane, Change Active CS to Global Cylindrical.
Create, Lines, Lines, In Active CS, list of items - zadá se 3, 7,
Create, Lines, Lines, In Active CS, list of items - zadá se 4, 8.
WorkPlane, Change Active CS to Global Cartesian.
Create, Areas, Arbitrary, Through Kps, list of items - zadá se 1, 2, 6, 5 (vodič),
Create, Areas, Arbitrary, Through Kps, list of items - zadá se 2, 3, 7, 5, 6 (okolí vodiče),
Create, Areas, Arbitrary, Through Kps, list of items - zadá se 3, 4, 8, 7 (vzdálené okolí).
Nyní spojíme vytvořenou geometrii, aby následně na sebe navazovala síť konečných prvků. Pro
spojení použileme příkaz „Glue“
Operate, Booleans, Glue, Areas, Pick All.
Meshing
Pro vytvoření sítě konečných prvků se dále přiřadí jednotlivým plochám parametry - hustota sítě
a požadavek na tvar sítě. K ploše nastavíme požadované parametry a vygenerujeme síť prvků
následujícím postupem,
Mesh Attributes, Picked Areas,
oblast okolí vodiče nastavit prvek 1- Plane 53 (Az) Materiál 1,
oblast vodiče nastavit prvek 2 - Plane 53 (Az, VOLT) Materiál 2,
oblast modelující nekonečnou hranici nastavit prvek 3 - INFIN110, Materiál 3.
Nastavíme velikost sítě. Na hranách vodiče nastavíme dělení na křivkách na 10 prvků, na vnější
čtvrtkružnici nastavíme dělení na 15 prvků a ostatním prvkům nastavíme velikost 1 mm. Abychom
mohli použít prvek, který představuje vzdálené okolí, musíme nastavit dělením sítě na křivkách tak,
aby na tloušťku plochy vzdáleného okolí byl pouze jeden prvek,
Mesh Tool, Lines Set, vybereme křivky tvořící vodič, NDIV = 10,
Mesh Tool, Lines Set, vybereme vnější čtvrtkružnici, NDIV = 15,
Mesh Tool, Lines Set, vybereme úsečky na ose x a y vzdáleného okolí, NDIV = 1,
Mesh Tool, Global Set, ESIZE = 0,001.
Typ sítě nastavíme na čtyřstěny (Quad) a volnou síť (Free).
Select, Everything.
Zadání proudu vodiče
Vytvoříme vazební rovnice (coupling VOLT) pro uzly vodiče a do řídícího uzlu (uzel s nejmenším
číslem) zadáme amplitudu proudu. Tyto uzly vybereme tak, že nejprve vybereme plochu s přiřazeným
materiálem Mat 2, následně vybereme uzly ležící na této ploše,
Select, Entities, Areas, By Attributes, Material num, 2, Apply, Nodes, Attached to, Areas All, Ok.
Vazební rovnice pro uzly se stejným potenciálem,
Coupling/Ceqn, Couple DOFs, Pick All, NEXT, VOLT.
81
Číslo řídícího uzlu zjistíme z výpisu vybraných uzlů, příkaz nlist. Číslo řídícího uzlu je na prvním
řádku v prvním sloupci.
Dále zadáme proudové buzení,
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Excitation, Impressed Current, On Nodes , zadat číslo řídícího
uzlu, hodnotu proudu I/4.
Vybereme cely model a zobraziíme křivky
Select, Everithing
Plot, Lines
Dirichletova okrajová podmínka na hranici pro simulaci nekonečna,
Loads, Define Loads, Apply, Magnetic, Flag, Infinite Surf, On Lines (vnější kružnice).
Solution
Analysis type, New Analysis – harmonic, nastavení kmitočtu f a rovnoměrné změny zátěže ve všech
krocích, Load Step Optn, Time/Frequency, Fmax = f a parametr KBC: stepped.
Solve, Current LS.
Postprocesor
Pozor - Nelze vyhodnotit současně Re i Im část řešení. Vždy musíme načíst výsledky pro složku,
kterou budeme vyhodnocovat.
Načtení reálné části řešení: Read Reasults, By Time/Freq, Real Part.
Načtení imaginární části řešení: Read Reasults, By Time/Freq, Imaginary Part.
Read Reasults, By Time/Freq, Real Part (KING=0).
Plot Results, Contour Plot, 2D Flux Lines, zadat parametry 27, 0, 10, 1.
Rozložení vektorů proudové hustoty,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit current density.
Stanovení střední hodnoty Jouleových ztrát ve vodiči (hodnota je nezávislá na volbě reálné nebo
imaginární složky řešení).
Vybrat prvky pro materiál vodiče (Mat 2),
Select, Entities, Elements, By Attributes, Material num, 2.
Elec&Mag Calc, Element Based, Power Loss,
zobrazí se střední (časová) hodnota ztrátového výkonu ve W/m.
Reálnou složku proudu vodičem Ir zjistíme,
Elec&Mag Calc, Element Based, Current.
Select Everything.
82
Obr. 8.20: Siločáry magnetického pole a) pro f = 500 Hz, b) pro f = 3 kHz
Načteme Imaginární část řešení,
Read Results, By Time/Freq, Imaginary Part (KING=1).
Plot Results, Contour Plot, 2D Flux Lines, zadat parametry 27, 0, 10, 1, obr. 8.20.
Rozložení vektorů proudové hustoty,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit current density.
Imaginární složku proudu vodičem Iim zjistíme,
vybrat elementy pro materiál vodiče (Mat 2),
Select, Entities, Elements, By Attributes, Material num, 2.
Obr. 8.21: Rozložení proudové hustoty ve vodiči a) pro f = 500 Hz, b) pro f = 3 kHz
8.9 Indukované proudy ve vodičích
Dva vodiče čtvercového průřezu s délkou hrany a = 0,01 m jsou
umístěny ve vzdálenosti b = 0,01 m od sebe ve volném prostoru.
Vzdálené okolí má rozměry ri = 0,03 m, a ro = 0,05 m. Horním
vodičem protéká harmonický proud s amplitudou 100 A,
kmitočtem 2500 Hz. Dolní vodič je spojen vodivě nakrátko.
Relativní permeabilita vodičů je µr = 1, jejich rezistivita je 1,7e8 Wm.
Pomocí numerického modelování vypočtěte pole a zobrazte:
a) siločáry magnetického pole,
b) rozložení vektorů proudové hustoty,
c) Lorentzovy síly,
d) Jouleovy ztráty v prostoru vodiče,
e) velikost proudu indukovaného ve spodním vodiči.
Obr.8.22: Pole dvou vodičů
83
Při sestavení numerického modelu se využije geometrická symetrie úlohy podle osy y a magnetické
pole se modeluje jako 2D úloha s rovinnou symetrií.
Preprocesor
Definujeme prvky pro každou část modelu a nastavíme u nich různé stupně volnosti. Otevřená hranice
se modeluje použitím nekonečných prvků INFIN110.
Add, Element Type, Library of Element Types zvolit Magnetic Vector, Quad 8 Node 53,
K1 = Az (vzduch),
K1 = Az, VOLT (horní vodič),
K1 = Az (spodní vodič),
Add, Element Type, Library of Element Types zvolit InfiniteBoundary, 2D Inf Quad 110,
K1 = Az (vzdálené okolí).
Ok, Option,
Ok, Option,
Ok, Option,
Ok, Option,
Definujeme materiálové vlastnosti pro každou část modelu (Material, New model …).
Material Props, Materiál Models, Electromagnetics,
Mat 1:
Mat 2:
Relative Permeability, 1 (horní vodič),
Mat 3:
Relative Permeability, 1 (spodní vodič),
Mat 4:
Relative permeability 1 (vzdálené okolí).
Geometrie
Pro vytvoření geometrie definujeme konstanty s rozměry: a = 0,01, b = 0,01, ri = 0,03 a ro = 0,05.
Geometrie bude vytvořena jako nezávislé plochy z obdélníku tvořící polovinu horního vodiče,
pomocného obdélníku a dvou čtvrtkruhů tvořící vzdálené okolí. Budou odstraněny nezávislé
překrývající se plochy. Tyto plochy budou zrcadleny do čtvrtého kvadrantu a spojeny s původními.
Modeling, Create, Areas, Rectangle, By Dimensions, 0, a/2; 0, b/2,
Modeling, Create, Areas, Rectangle, By Dimensions, 0, a/2; 0, (b/2 + a),
Modeling, Create, Areas, Circle, By Dimensions, ri, 0, 0, 90,
Modeling, Create, Areas, Circle, By Dimensions, ro, 0, 0, 90.
Operate, Booleans, Partition, Areas, Pick All.
Modeling, Reflect, Area, Pick All, xz plane, areas only, Copied.
Numbering Ctrls, Merge Items, Keypoints.
Meshing
Před vytvořením sítě z konečných prvků přiřadíme definované prvky a materiály jednotlivým
plochám, které tvoří vodiče a vzduchové okolí blízké i vzdálené.
Mesh Attributes, Picked areas (postupně přiřadit vlastnosti plochám).
Nastavíme velikost sítě. Na pomocné obdélníky a vodičích nastavíme velikost prvku 0,5 mm.
Mesh Tool, Areas Set, vybereme pomocné plochy a plochy vodičů, 0,0005.
Abychom mohli použít prvek, který představuje vzdálené okolí, musíme nastavit dělení sítě na
křivkách tak, aby na tloušťku plochy vzdáleného okolí byl pouze jeden prvek,
Mesh Tool, Lines Set, vybereme úsečky na ose x a y vzdáleného okolí, NDIV = 1.
84
Nakonec nastavíme maximální velikost prvků pro ostatní části modelu na 2 mm,
Mesh Tool, Global Set, ESIZE = 0,002.
Typ sítě nastavíme na čtyřstěny (Quad) a volnou síť (Free).
Zadání proudu na horní vodič
Vytvoříme vazební rovnice (coupling s VOLT) pro uzly horního vodiče a do řídícího uzlu (uzel
s nejmenším číslem) zadáme amplitudu proudu. Tyto uzly vybereme tak, že nejprve vybereme plochu
s přiřazeným materiálem Mat 2, následně vybereme uzly ležící na této ploše,
Select, Entities, Areas, By Attributes, Material num, 2, Apply, Nodes, Attached to, Areas All, Ok.
Coupling/Ceqn, Couple DOFs, Pick All, 1, VOLT.
Číslo řídícího uzlu zjistíme z výpisu vybraných uzlů, příkaz nplot. Číslo řídícího uzlu je na prvním
řádku v prvním sloupci.
Define Loads, Apply, Magnetic, Other, Curr Segment, On Nodes, zadat číslo řídícího uzlu, AMPS, 50.
Okrajová podmínka pro nekonečno
Magnetic, Flag, Infinite Surf, On Lines (vnější kružnice).
Select, Everything.
Pro výpočet sil mezi oběma vodiči je třeba vytvořit komponenty z prvků tvořících vodiče a nastavit
požadavek na výpočet sil. Prvky pro komponenty vybereme podle čísla materiálu,
Select, Entities, Elements, By Attributes, Material num, 2 (horní vodič).
Select, Component Manager, Create Component, Elements, vodic1.
Select, Entities, Elements, By Attributes, Material num, 3 (spodní vodič).
Select, Component Manager, Create Component, Elements, vodic2.
Požadavek na výpočet sil
Loads, Define Loads, Apply, Magnetic, Flag, - Comp.Force/Torgue (vybrat obě komponenty).
Select, Everything.
Analysis type, New Analysis, Harmonic,
nastavení kmitočtu 2500 Hz a rovnoměrné změny zátěže ve všech krocích,
Load Step Optn, Time/Frequency, Fmax =2500 Hz a parametr KBC = stepped.
Solve, Current LS.
Pozor - Nelze vyhodnotit současně Re i Im část řešení. Vždy musíme načíst výsledky pro složku,
kterou budeme vyhodnocovat.
Načtení reálné části řešení: Read Reasults, By Time/Freq, Real Part.
Načtení imaginární části řešení: Read Reasults, By Time/Freq, Imaginary Part.
Zobrazení siločar magnetického pole pro reálnou část řešení,
Plot Results, Contour Plot, 2D Flux Lines (obr. 8.23).
Zobrazení vektorů proudové hustoty,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, Current Density, Total JT.
Výpočet sil.
Elec&Mag Calc, Component Based, Force, vodic1, vodic2
85
Tab 8.2: Vypočtené síly
Komponenta
Vodič 1
Vodič 2
Virtuální práce
Fx [N/m]
Fy [N/m]
-0,223E-1
0,20096E-1
-0,1037E-1
-0,20112E-1
Maxwellův tenzor pnutí
Fx [N/m]
Fy [N/m]
-0,2067E-1
0,1874E-1
0,957E-2
0,1879E-1
Obr. 8.23: Siločáry magnetického pole a) realná část řešení, b) imaginární část řešení
Zjištění střední hodnoty Jouleových ztrát ve vodičích.
Výběr prvků horního vodiče,
Select, Component Manager, vodic1, Select Component, Display Component.
Elec&Mag Calc, Element Based, Power Loss. Střední (časová) hodnota (1,10825 J).
Obr. 8.24: Rozložení mag. Indukce a) reálná část, b) imaginární část řešení
86
Výběr prvků spodního vodiče,
Elec&Mag Calc, Element Based, Power Loss. Střední (časová) hodnota (0,697017W/m).
Celkový proud vodičem.
Pro zjištění Re i Im složky proudu ve vodiči je třeba nejprve načíst Re a pak Im část řesení.
Výběr prvků horního vodiče,
Výběr prvků spodního vodiče,
Tab. 8.3: Proudy ve vodičích
Komponenta
Ire [A]
Iim[A]
Imod [A]
Vodič 1
50
~0
50
Vodič 2
-35
-1,2769
35,067
Obr. 8.25: Vektory proudové hustota ve vodičích
8.10 Harmonická analýza pole v obdélníkovém vlnovodu
Na vstupu obdélníkového vlnovodu s rozměry
a = 0,03 m a b = 0,01 m je vybuzeno příčně
elektrické pole s videm TE10 a siločarami podle
Obr. 1. Vlnovod je na výstupu impedančně
přizpůsoben. Délka vlnovodu c = 0,192 m,
v prostoru vlnovodu pro 0 < z < c/2 je vzduch,
v prostoru pro c/2 <z < c je dielektrikum s relativní
permitivitou εr = 2,1, vstupní výkon P = 10 W.
Stanovte parametry rozptylu tzv. s-parametry, které
určují poměr vlny incidenční (postupující) a
odražené, dále odražený výkon, přenášený výkon,
rozložení pole ve vlnovodu, poměr stojatých vln a
velikost koeficientu odrazu.
Obr. 8.26: Uspořádání obdélníkového vlnovodu
87
Elektromagnetické pole modelujeme v celém prostoru vlnovodu jako 3D úlohu, souřadnice z je
omezena délkou vlnovodu. Neznámou veličinou je tečná složka intenzity elektrického pole definovaná
ve středu hran konečných prvků, vhodný prvek je prvek pro vysokofrekvenční elektromagnetické pole
HF120.
Preprocesor
Definujeme konstanty pro kmitočet vlny f = 8, P = 10 W, rozměry vlnovodu šířka a = 0,03 m, výška
b = 0,01 m, délka c = 0,192 m.
Element Typ, Add, v Library of Element Types zvolit HF Electromagnet a z nabídky vybrat 3D
brick120.
Materiál charakterizující bezeztrátové prostředí uvnitř vlnovodu bude popsán relativní permitivitou
a permeabilitou,
Mat 1:
Relative Permitivity, 1,
Mat 2:
Relative Permeability, 1 (dielektrikum),
Relative Permitivity, 2,1.
Zadání geometrie modelovaného problému,
Modeling, Create, Volumes, Block, By dimension, zadat –a/2, a/2 ; 0, b ; 0, c.
Pro vytvoření sítě konečných prvků se přiřadí objemu materiál, typ prvku a hustota sítě,
Meshing, Mesh Attributes, Picked Volumes, vybrat objem a nastavit Materiál, Type Element.
Hustotu sítě řídíme globálně maximální velikostí prvků ESIZE=0,003, dále zvolíme generaci
pravidelné sítě – mapované síťování.
Meshing, Mesh Tool, Size Control, Global Set, ESIZE = 0,003.
nastavit aktivní parametr pro Shape Hex (šestistěn), Sweep, Sweep (prostorová síť) a vybrat objem.
Zadání Dirichletovy a Neumanovy okrajové podmínky. Vybereme uzly pro zadání nulové okrajové
podmínky,
Select, Entities, Areas, By Location, x = –a/2, from full, Apply, Replot,
Select, Entities, Areas, By Location, x = a/2, also select, Apply, Replot,
Select, Entities, Areas, By Location, y = 0, also select, Apply, Replot,
Select, Entities, Areas, By Location, y = b, also select, Replot, Ok.
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Electric Wall, On Areas, Pick All.
Select, Everything.
Předefinování materiálových vlastností pro vybrané prvky prostoru ve vlnovodu,
Select, Entities, Nodes, By Location, z = c/2–1e–4 , c, from full, Apply,
Select, Entities, Elements, Attached to Nodes, from full, Ok.
Modeling, Move/Modify, Elements, Modify Attrib, Pick All, Material MAT, 2.
Select, Everything.
Buzení videm TE10 - nastavení portů (vstupní a výstupní brány),
Definujeme lokální systém souřadnic s referenčním číslem 11 (musí být větší než 10),
WorkPlane, Local Coordinate System, Create Local CS, At WP origin, KCN =11.
Select, Entities, Areas, By Location, z = 0, from full, Ok.
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Excitation,
Port, Exterior Port, On Areas, Pick All, 1,
a zadat hodnoty Rectangular, 11, TE10, , , a, b, 10,0,0, Ok.
Select, Everything.
88
Select, Entities, Areas, By Location, z = c, from full, Ok.
Port, Exterior Port, On Areas, Pick All, 2,
a zadat hodnoty Rectangular, 11, TE10, , , a, b, 0,0,0, Ok.
Select, Everything.
volba typu analýzy a kmitočet
Analysis type, New Analysis – harmonic,
Load Step Optn, Time/Frequency nastavit Fmax = f,
Analysis option nastavit Full, Ok, Inc Cholesky CG, Ok.
Solve, Current LS.
Načte se Reálná část řešení,
Read Reasults, By Time/Freq, Real Part (KING=0).
Stanovení s-parametrů, které určují poměr vlny incidenční (postupující) a odražené,
Elec&Mag Calc, Port, S-Parameters, 1, 2,
S11 = 0,2474 (-12.1346328 dB) Ð-120°
S12 = 0,9355 (-0.57595383 dB) Ð-112°
Odražený a přenášený výkon
Elec&Mag Calc, Element Based, Power, 1, 2,
Odražený výkon je Pr = 0,15698 W
Přenesený výkon je Pt = 8,7519 W
Parametry pro zobrazení,
PlotCtrls, View Settings, Viewing Direction, 1, 0,49989, 0,68503, 0,52995,
PlotCtrls, View Settings, Focus Point, 1, 0,12083e-01, 0,22573e-01, 0,11117,
PlotCtrls, View Settings, Magnification,1, 0,10492,
PlotCtrls, View Settings, Angle of Rotation, 1, -5,0658 ,ZS.
Rozložení reálné složky modulu intenzity E,
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, zvolit Elec field, Sum, obr. 8.27a).
Nastavení grafiky - průhlednost
PlotCtrls, Style, Hidden-Line Options, (HBC) Hidden Line are – Displayed nebo /type,,0
Rozložení vektorů intenzity magnetického a elektrického pole,
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit Elec. field (Vscale 0,6),
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit, Magnetic field, (Vscale 0,4),
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit, Current density, (Vscale 0,4),
Plot Results, Vector Plot, Predefined, zvolit, Poyntingův vector P (Vscale 0,4).
Nastavení grafiky - neprůhlednost
PlotCtrls, Style, Hidden-Line Options, Hidden Line are – Not displayed nebo /type,,6
Rozložení amplitudy (koef. 360) harmonicky proměnné veličiny – pouze příkazový řádek
hrcplx, , , 360
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solu, zvolit Elec field, Sum.
Určení poměru stojatých vln (PSV) a koeficient odrazu
Select, Entities, Elements, By Attributes, Material, 1, Ok,
Select, Entities, Nodes, Attached to, Elements, from full, Ok,
PlotCtrls, Style, Edge Options, Display common lines between all element faces. (Edge only/All).
Path Operations, Define Path, By location, Name = c1, nPts = 2, nSets = 30, nDiv = 500, Ok.
1. bod [ 0; 0; 0] CS 11, Ok,
2. bod [ 0; 0; c/2] CS 11, Ok, Cancel.
89
Obr. 8.27: a) Modul intenzity el. pole, b) modul mag. indukce
Přiřazení intenzity elektrického pole na definovanou cestu,
Map onto Path, FE results, Flux&gradient, EFY, parameter Average (střední hodnoty).
Průběh y-ové složky intenzity elektrického pole Ey zobrazíme grafem,
Plot path Item, EFY, On graph.
Obr. 8.28: a) Amplituda intenzity el. pole, b) průběh stojaté vlny Ey na stěně vlnovodu
Činitel odrazu – z grafu odečteme maximum a minimum
ρ = Eymax/Eymin = 1014,364/610,249 = 1,662.
(8.14)
Poměr stojatých vln pak určíme ze vztahu
PSV =( 1+ρ)/(1- ρ) = (1+1,662)/(1-1,662) = 4,021.
(8.15)
90
8.11 Stanovení rozptylových
mikropáskovým vedením
koeficientů
dolní
propusti
realizované
Ve frekvenčním rozsahu 10 až 20 GHz vypočtěte rozptylové koeficienty dolní propusti realizované
mikropáskovým vedením. Vedení je z jedné strany na uzemněném dielektrickém substrátu. Výška
substrátu je c = 0,794 mm a permitivita εr = 2,2. Šířka vstupní a výstupní části mikropásku je w1 =
2,413 mm, šířka pahýlu w2 = 2,54 mm. Další rozměry jsou (mm): s1=5,65, s2=4,194, w0=13,84, IO =
31,62.
Obr. 8.29: Rozměry modelu
Numerický model se bude skládat z dielektrika, dokonale vodivého mikropásku s nulovou tloušťkou
a vzduchového okolí.
Preprocesor
Pro vytvoření sítě použijeme 2D 8-mi uzlový prvek MESH200 (prvek bez stupně volnosti) a prvek
HF120,
Element Typ , Add, Library of Element Types, HF Electromagnet a z nabídky vybrat 3D brick 120,
Element Typ , Add, v Library of Element Types zvolit Not Solved a z nabídky vybrat Mesh Facet 200,
Mesh200 nastavíme na 2D 8-mi uzlový: Options, K1 = QUAD 8-NODE.
Definujeme konstanty s rozměry: w1 = 2,413, w2 = 2,54, s1 = 5,65, s2 = 4,194, c = 0,79. Definujeme
konstanty pro dělení sítě: nz1 = 4, nz2 = 3.
Materiál prvek HF120 vyžaduje zadat relativní premitivitu a permeabilitu. Budou definovány dva
materiály,
Mat 1:
Mat 2:
Relative Permeability, 1 (substrát),
Relative Permitivity, 2,3.
Zadání geometrie
Pro 3D geometrii nejprve vytvoříme plochy, na kterých vygenerujeme 2D síť pomocí prvku
MESH200 a následně použijeme funkci na vytažení sítě ve směru osy z.
Vytvoříme dva pomocné vektory a a b. Vektor a bude obsahovat x-ové souřadnice a vektor b y-ové
souřadnice podle obrázku.
Definujeme vektory a, b: Parameters, Array Parametres, Define/Edit, Add...
Par: a/b, Array, i = pro vektor a 8, pro vektor b 4, j = 1,k = 1, Ok. Hodnoty vyplníme podle obrázku.
File, apply, quit.
91
*dim,a,array,8
*dim,b,array,4
a(1)=0
a(2)=a(1)+s1
a(3)=a(2)+s1
a(4)=a(3)+w1
a(5)=a(4)+s2
a(6)=a(5)+w1
a(7)=a(6)+s1
a(8)=a(7)+s1
b(1)=0
b(2)=b(1)+s1
b(3)=b(2)+w2
b(4)=b(3)+s1
Pro hromadné vytvoření ploch použijeme dva cykly *DO
*do,i,1,7
*do,j,1,3
rect,a(i),a(i+1),b(j),b(j+1)
*enddo
*enddo
Vytvořené plochy slepíme: Modeling, Operate, Booleans, Glue, Areas, Pick All.
Meshing
Nastavíme počet prvků na křivky MeshTool, lines set, NDIV. Na křivky o délce w1, w2 a s2 nastavíme
dělení prvků NDIV = 4, na ostatní křivky nastavíme počet prvků NDIV = 5.
Přepneme typ prvku na MESH200, type,2.
Nastavíme druh sítě Quad a Mapped a vybereme plochy, na které chceme vytvořit síť (Pick All).
Pro vytvoření 3D sítě přepneme typ prvku na HF120 a materiál 1, type,1 a mat,1.
Vytvoříme objem tažením ploch o -c (substrát). Vybereme plochy, které leží v rovině xy,
Select, Entities... , Areas, By Location, Z coordinates, Min,Max = 0, From Full, Ok.
Nastavíme dělení prvku pro vytažení sítě: Meshing, MeshTool,Global, Set, NDIV = nz1,
Modeling, Operate, Extrude, Areas, By XYZ Offset, Pick All, 0,0,-c.
Přepneme typ prvku na HF120 a materiál 1, type,1 a mat,2.
Vytvoříme objem tažením ploch o 3c (vzduchové okolí). Vybereme plochy, které leží v rovině xy.
Select, Entities... , Areas, By Location, Z coordinates, Min,Max = 0, From Full, Ok.
Nastavíme dělení prvků pro vytažení sítě: Meshing, MeshTool,Global, Set, NDIV = 3*nz2,
Modeling, Operate, Extrude, Areas, By XYZ Offset, Pick All, 0,0,3*c.
Select, Everything.
Smažeme pomocnou síť z ploch v rovině xy. Vybereme plochy ležící na rovině xy: Select, Entities... ,
Areas, By Location, Z coordinates, Min, Max = 0.
Vybereme prvky přiřazené k těmto plochám: Select, Entities... , Elements, Attached to, Areas.
Smažeme prvky na vybraných plochách: Meshing, MeshTool, Areas, Clear, Pick All.
Sjednotíme zdvojené entity: Numbering Ctrls, Merge Items, Label: All, Ok. Příkaz: nummrg,all.
Definujeme lokální souřadný systém, který použijeme při zadání buzení,
WorkPlane, Local Coordinate Systems, Create Local CS, At Specified Loc, vyberte počátek
souřadného systému, Ok, KCN = 11, KSC = Cartesian, XC = 0, YC = 0, ZC = 0, THXY = 0, THYZ =
90 a THZX = 0.
Přepneme zpět na globální pravoúhlý souřadný systém,
WorkPlane, Change Active CS to, Global Cartesian.
92
Zadáme okrajovou podmínku dokonalý elektrický vodič (PEC) na mikropásek a vnější plochy.
Pro jednodušší zadání okrajové podmínky na mikropásek vybereme plochy v rovině xy, Select,
Entities... , Areas, By Location, Z coordinates, Min,Max = 0. Zobrazíme vybrané plochy: Plot, Areas.
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Electric Wall, On Areas, Vybereme plochy
mikropásku (Obr. 1 modré plochy), Ok.
Select, Everything.
Select, Entities... , Areas, By Location, X coordinates, Min, Max = a(1), From Full, Apply - Areas, By
Location, X coordinates, Min, Max = a(8), Also Select, Apply - Areas, By Location, Z coordinates,
Min, Max = -c, Also Select, Apply - Areas, By Location, Z coordinates, Min, Max =3*c, Also Select,
Apply, Replot, Ok.
Loads, Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Electric Wall, On Areas, Pick All.
Select, Everything.
Zadání buzení
Vybereme plochy, které tvoří vstupní port,
Select, Entities... , Areas, By Location, Y coordinates, Min, Max = b(1), From Full, Ok.
Define Loads, Apply, Eletric, Excitation, Port, Exterior Port, On Areas, Pick All, Value: 1, Ok, Port
Type: Modal, Local: 11, Mode Type: impd, Value3: 1, Ok.
Vybereme plochy, které tvoří výstupní port,
Select, Entities... , Areas, By Location, Y coordinates, Min, Max = b(4), From Full, Ok.
Define Loads, Apply, Eletric, Excitation, Port, Exterior Port, On Areas, Pick All, Value: 2, Ok, Port
Type: Modal, Local: 11, Mode Type: impd, Value3: 0, Ok.
Select, Everything.
Dosud byly rozměry zadávané v metrech. Změníme měřítko modelu na milimetry:
Modeling, Operate, Scale, Volume, Pick All, RX=1e-3, RY=1e-3, RZ=1e-3, Volumes and Mash,
Moved.
Solution – řešení
Solve, S-Par Sweep, FreqB=10e9, FreqE = 20e9, FrqInc = 0.5e9, Full at last freq, Magn(dB), Ok.
Obr. 8.30: Amplituda intenzity el. pole a) pro f = 11GHz , b) pro f = 19GHz
93
Zobrazení s-parametrů,
Plot Results, S, Y, Z Parameters, Fname: jméno projektu (product luncer), Fext: s2p, Scattering
Parameter (S), Magnitude [Magnitude in dB unit], Plot 1, VAL_I1 = 1, VAL_J1 = 1 (s11); Plot 2,
VAL_I2 = 2, VAL_J2 = 1 (s21), Ok.
Zobrazení s11 ve Smithově diagramu:
Plot Results, Smith Chart, Fname: jméno projektu (product luncher), Fext: s2p, Scattering Parameter
(S), Port = 1.
Obr. 8.31: S-parametry a) s11, b) s21
Obr. 8.32: S11parametr ve Smithově diagramu
94
8.12 Simulace difrakce na kovové kouli pokryté vrstvou ztrátového
dielektrika
Proveďte simulaci difrakce rovinné elektromagnetické vlny na kovové
kouli pokryté vrstvou ztrátového dielektrika. Vlna je lineárně polarizovaná
(+x), šíří se ve směru osy z (φ=0°, θ=180°) a její kmitočet je 15 GHz.
Poloměr kovové koule je ri = 0,8 cm, tloušťka dielektrika je 0,2 cm a její
relativní komplexní permitivita je εr=4-i. Kovovou část koule považujte za
dokonale vodivou.
Zobrazte:
a) Sekundární (difrakční) elektromagnetické pole v okolí koule.
b) Výsledné elektromagnetické pole v okolí koule.
c) Radiolokační odraznou plochu (RCS) koule v rovině E a H.
d) Normovanou radiolokační odraznou plochu (RCSN) koule v rovině E a H.
Výsledky porovnejte s případem kovové koule bez vrstvy ztrátového dielektrika.
Obr. 8.33: Rozměry modelu
Numerický model se bude skládat z dielektrika umístěného na povrchu dokonale vodivé koule
a vzduchového okolí. Vzhledem k symetrii úlohy budeme modelovat pouze polovinu modelu.
Preprocesor
Vhodný prvek pro vysokofrekvenční elektromagnetické pole je HF119,
Element Typ, Add, Library of Element Types zvolit HF Electromagnet a z nabídky vybrat 3D tet 119,
Element Typ, Add, Library of Element Types zvolit HF Electromagnet a z nabídky vybrat 3D tet 119,
druhý prvek nastavíme jako absorpční vrstvu: Options, K4 = PML.
Definujeme pomocné konstanty: cv = 3e8, epsr = 4, tgdelta = 1/epsr, f = 15e9, lambda = cv/f
a lambdaeps = cv/(sqrt(epsr)*f).
Definujeme konstanty s rozměry a pro nastavení velikosti prvků: ri = 0,008, ro = 0,01, a =
ro+lambda/2, b = a+lambda/2, c = b+(2*lambda)/3, n1 = 0,002, n2 = 0,004, n3 = 0,005.
Materiál prvek HF120 vyžaduje zadat relativní premitivitu a permeabilitu. Budou definovány dva
materiály:
Ztrátové dielektrikum je popsáno komplexní permitivitou ε.
e = e RE - je IM , kde e RE = e r a tgd =
95
e IM
.
e RE
(8.14)
Mat 1:
Relative Permeability, 1 (substrát),
Loss Tangent, 0,25,
Mat 2:
Relative Permitivity, 1.
Zadání geometrie
Modeling, Create, Volumes, Sphere, By Dimenzions, RAD1 = ro, RAD2 = ri, THETA1 = 0, THETA2
= 180.
Modeling, Create, Volumes, Block, By Dimenzions, -a, a; 0, a; -a, a, Apply,
Modeling, Create, Volumes, Block, By Dimenzions, -b, b; 0, b; -b, b, Apply,
Modeling, Create, Volumes, Block, By Dimenzions, -c, c; 0, c; -c, c, Ok.
Vytvoříme nezávislé objemy: Modeling, Operate, Booleans, Partitions, Volumes, Pick All.
Vymažeme vnitřek vodivé koule: Modeling, Delete, Volumes and Below, Vybereme objem.
Meshing
Přiřadíme typ prvku a materiály objemům,
Pro případ vodivé koule bez dielektrika přiřaďte v následujícím řádku MAT = 2.
Meshing, Mesh Attributes, Picked Volumes, Vybereme dielektrikum, MAT = 1, TYPE = 1,
Meshing, Mesh Attributes, Picked Volumes, Vybereme vnitřní kvádry, MAT = 2, TYPE = 1,
Meshing, Mesh Attributes, Picked Volumes, Vybereme vnější kvádr, MAT = 2, TYPE = 2.
Mesh Tool, Global Set, SIZE = n1, Tet, Free, Mesh, Vybrat objem tvořící dielektrikum,
Mesh Tool, Global Set, SIZE = n2, Tet, Free, Mesh, Vybrat vnitřní kvádr,
Mesh Tool, Global Set, SIZE = n3, Tet, Free, Mesh, Vybrat střední kvádr,
Mesh Tool, Global Set, SIZE = n3, Tet, Free, Mesh, Vybrat vnější kvádr.
Zadání ekvivalentního plošného zdroje
Select, Enntities... , Volumes, By Pick, From Full, Ok, Vybereme vnitřní kvádr,
Select, Enntities... , Elements, Attached to, Volumes, From Full, Apply, Vybereme vnitřní kvádr,
Select, Enntities... , Nodes, By Location, X coordinates, Min,Max = a, From Full, Apply,
Select, Enntities... , Nodes, By Location, Y coordinates, Min,Max = a, Also Select, Apply,
Select, Enntities... , Nodes, By Location, Z coordinates, Min,Max = a, Also Select, Apply,
Select, Enntities... , Nodes, By Location, X coordinates, Min,Max = -a, Also Select, Apply,
Select, Enntities... , Nodes, By Location, Z coordinates, Min,Max = -a, Also Select, Ok.
Define Loads, Apply, Electric, Flag, Maxwell Surf, On Nodes, Pick All.
Select, Everything.
Zadáme okrajovou podmínku dokonalý elektrický vodič (PEC) na povrch vodivé koule a vnější stěny
absorpční vrstvy,
Select, Entities... , Areas, By Location, X coordinates, Min,Max = c, From Full, Apply,
Select, Entities... , Areas, By Location, Y coordinates, Min,Max = c, Also Select, Apply,
Select, Entities... , Areas, By Location, Z coordinates, Min,Max = c, Also Select, Apply,
Select, Entities... , Areas, By Location, X coordinates, Min,Max = -c, Also Select, Apply,
Select, Entities... , Areas, By Location, Z coordinates, Min,Max = -c, Also Select, Ok.
Změníme souřadný systém na sférický, WorkPlane, Change active SC to, Global Spherical.
Select, Entities... , Areas, By Location, X coordinates, Min,Max = ri, Also Select, Ok.
96
Define Loads, Apply, Electric, Boundary, Eletric Wall, On Areas, Pick All.
Nastavíme zpět pravoúhlý souřadný systém: csys, 0.
Select, Everything.
Zadání rovinné vlny
Define Loads, Apply, Eletric, Excitation, Plane Wave, EFX = 1, EFY = 0, EFZ = 0, AngX = 0, AngZ
= 180.
Nastavení analýzy: Analyzis Type, New Analysis, Harmonic.
a) výpočet celkového pole
Analysis Type, Analysis Options, HROPT = Full, HROUT = Real+Imaginary, HFSCAT = Total field,
HFPA = Off, Ok, EQSLV = Sparse solver, Tolerance = 1e-8.
b) výpočet rozptylového pole (pouze rozdíl přímé a odražené vlny)
Analysis Type, Analysis Options, HROPT = Full, HROUT = Real+Imaginary, HFSCAT = Scattering
field, HFPA = Off, Ok, EQSLV = Sparse solver, Tolerance = 1e-8.
Nastavení kmitočtu: LoadStepOpts, Time/Frequenc, Freq and Substep, HARFREQ = 15e9, 15e9.
Select, Everything.
Solve, Current LS.
add a)
Načteme reálnou část řešení: Read Results, By Time/Freq, KIMG = Real part.
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solution, Electric Field, Esum.
add b)
Načteme reálnou část řešení: Read Results, By Time/Freq, KIMG = Real part.
Plot Results, Contour Plot, Nodal Solution, Electric Field, Esum.
Obr. 8.34: Intenzita elektrického pole E a) celkové pole, b) rozptylové pole
Zobrazení radiolokační odrazné plochy v rovině E:
Plot Results, Field Extension, RSC, Lab = None, KCN = 0, XKey = None, YKey = None, ZKey =
None, OK, Theta2 = 180, Ntheta = 180, OK, obr. 8.35a).
Zobrazení radiolokační odrazné plochy v rovině H:
None, OK, Ph1 = 90, Ph2 = 90, Theta2 = 180, Ntheta = 180, OK, obr. 8.35b).
Zobrazení radiolokační odrazné plochy v rovině E a H:
None, OK, Ph2 = 90, NPhi = 1, Theta2 = 180, Ntheta = 180, OK.
97
Zobrazení normované radiolokační odrazné plochy v rovině E a H:
Plot Results, Field Extension, RSC Normalized, Lab = None, KCN = 0, XKey = None, YKey = None,
ZKey = None, OK, Ph2 = 90, NPhi = 1, Theta2 = 180, Ntheta = 180, OK.
Zobrazení normované radiolokační odrazné plochy mezi rovinami E a H:
Plot Results, Field Extension, RSC Normalized, Lab = None, KCN = 0, XKey = None, YKey = None,
ZKey = None, OK, Ph2 = 90, NPhi = 6, Theta2 = 180, Ntheta = 180, OK, obr. 8.36.
Obr. 8.35: Radiolokační odrazná plocha a) v rovině E, b) v rovině B
Obr. 8.36: Radiolokační odrazná plocha mezi rovinami E a B
98
Seznam použité a doporučené literatury
[1]
Dědek, L., Dědková, J.: Elektromagnetismus, skripta VUT, VUTIUM, Brno, 2000.
[2]
Polák, J.: Variační principy a metody – teorie elektromagnetického pole. Academia,
Praha, 1988.
[3]
Macháč, J., Novotný, K., Škvor, Z., Vokurka, J. : Numerické metody
v elektromagnetickém poli, skripta ČVUT, Praha, 2003.
[4]
Černohorský, D., Nováček, Z., Raida, Z.: Elektromagnetické vlny a vedení, skripta
VUT, VUTIUM, Brno, 1999.
[5]
Mayer, D., Ulrych, B.: Základy numerického řešení elektrických a magnetických polí,
Praha, SNTL, 1988.
[6]
Vitásek, E. : Numerické metody, Praha, SNTL, 1987.
[7]
Ansys User´s Manual. Huston (USA): SVANSON ANALYSYS SYSTEM, Inc., 2003.
Autoři
prof. Ing. Jarmila Dědková, CSc.
Ing. Tomáš Kříž
Název
Modelování elektromagnetických polí (MMEM)
Přednášky, počítačová cvičení
Studijní texty - Modelování elektromagnetických polí
Vydavatel
Vysoké učení technické v Brně
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií
Ústav teoretické a experimentální elektrotechniky
Kolejní 2906/4, 612 00 Brno
Vydání
první
Rok vydání 2012
Náklad
600
Tisk
Entity Production, s.r.o., Soběšická 97/483, 638 00 Brno
ISBN
978-80-214-4401-0
Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou.

Modelování elektromagnetických polí (MMEM)

Transkript

Podobné dokumenty

Úloha 2.26 - Ústav teoretické fyziky a astrofyziky

MATLAB ver. 5

stáhnout

Tippner, Konas: Model rezonancni desky koncertniho klaviru

Kompilovany HyperFun - Západočeská univerzita

MOC Kč s DPH SYSTÉMY PRO DOMÁCÍ KINO

呻田 :棚鮒器轟鞘継脚騨 i難駆環描鮮i尭認ゴ - Chrlice

kapitola 2 - tranzistor.webnode.sk

1MJ7 - Elektromotory

Jednoduchá modelová úlohu pro kontakt se třením

gacrux eco - OMS lighting

G570 - PT KOVO