výpočet - Petr Šlechta (Piitr)

Transkript

Setrvačnı́k
Petr Šlechta
9. února 2011
2
Obsah
1 Úvod
1.1 Značenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Operace s vektory a maticemi
2.1 Násobenı́ vektoru skalárem .
2.2 Skalárnı́ součin vektorů . . .
2.3 Vektorový součin vektorů . .
2.4 Smı́šený součin . . . . . . . .
2.5 Dvojitý vektorový součin . .
2.6 Součin matic . . . . . . . . .
2.7 Součin matice a vektoru . . .
2.8 Součin třı́ matic . . . . . . . .
5
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
9
9
10
10
10
3 Veličiny pro popis otáčivého pohybu
3.1 Úhel otočenı́ . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Úhlová rychlost . . . . . . . . . . . .
3.3 Úhlové zrychlenı́ . . . . . . . . . . .
3.4 Moment sı́ly . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Moment hybnosti . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
11
12
12
14
4 Otáčivý pohyb
4.1 Těžiště . . . . . . . . . . . .
4.2 Otáčenı́ vektoru . . . . . . .
4.3 Otáčenı́ tenzoru . . . . . . .
4.4 Skládánı́ úhlových rychlostı́
4.5 Skládánı́ úhlových zrychlenı́
4.6 Tenzor setrvačnosti . . . . .
4.7 Steinerova věta . . . . . . .
4.8 Energie otáčivého pohybu .
4.9 Výkon dodávaný při otáčenı́
4.10 Pohybové rovnice . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
16
19
20
20
22
24
25
25
26
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
31
31
32
33
34
34
35
35
38
5 Přı́klady
5.1 Válec . . . . . . . . . .
5.2 Tyč . . . . . . . . . .
5.3 Kruhová deska . . . .
5.4 Elipsoid . . . . . . . .
5.5 Koule . . . . . . . . .
5.6 Rotačnı́ elipsoid . . . .
5.7 Stabilizace . . . . . . .
5.8 Gyroskopický moment
5.9 Regulárnı́ precese . . .
5.10 Volný setrvačnı́k . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
Regulárnı́ precese
Rotujı́cı́ talı́ř . .
Těžký setrvačnı́k
Káča . . . . . . .
Obecná precese .
Powerball . . . .
Numerické řešenı́
Země
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
40
40
42
43
49
50
Kapitola 1
Úvod
Tento text si klade za cı́l přiblı́žit chovánı́ setrvačnı́ku. Budeme popisovat otáčivý pohyb tuhého
tělesa ve třı́rozměrném prostoru kolem počátku souřadnic. Předpokladem je, že posuvný pohyb je
jasný.
Je snaha vystačit zde s co nejjednoduššı́m matematickým aparátem (ten složitý totiž neznám),
přesto je někde třeba znát i Taylorovy řady ve vı́ce rozměrech, vı́cerozměrné integrály, práci s vektory
a maticemi apod., protože jsem jednoduššı́ cestu nenašel (což samozřejmě nemusı́ znamenat, že
neexistuje).
Poměrně velký důraz byl kladen na to, aby každé tvrzenı́ bylo co nejlépe zdůvodněné mı́sto
jednoduchého odkazu na literaturu a tvrzenı́, že to tak prostě je. Prvnı́m důvodem k tomuto postupu
je, že si myslı́m, že dobrá učebnice by takto měla vypadat (pokud by snad někdo chtěl tento materiál
použı́t jako učebnici). Druhý důvod je ten, že odkazy na literaturu ani nejsem schopen podat prakticky žádnou totiž nemám a neznám. Jsem v tomto oboru laik a vı́m jen to, co jsem náhodou
našel na internetu. Toho by si měl být přı́padný čtenář vědom a měl by vše posuzovat kriticky (to
platı́ ostatně v životě obecně). Klidně se totiž může nakonec ukázat, že celý tento text je jeden veliký
omyl. Samozřejmě by mě to mrzelo, protože mi sepsánı́ dalo docela dost práce, ale život je někdy i
zlomyslný.
1.1
Značenı́
V textu bude použito následujı́cı́ značenı́:
a — Skalár.
~a = (a1 , a2 , a3 ) = (ax , ay , az ) — Vektor.
~r = (x, y, z) — Polohový vektor. Určuje polohu bodu v prostoru.


A11 A12 A13


Â =  A21 A22 A23  — Matice.
A31 A32 A33


1 0 0


Ê =  0 1 0  — Jednotková matice.
0 0 1
a = |~a| — Velikost vektoru ~a budeme značit zkráceně odebránı́m šipky.
ai — i-tá složka vektoru ~a. Proměnná i může nabývat hodnot 1 (pro souřadnici x), 2 (pro y) nebo
3 (pro z).
Aij — Prvek matice Â na i-té řádce a v j-tém sloupci. Proměnné i a j mohou nabývat hodnot 1
(pro x), 2 (pro y) nebo 3 (pro z).
5
δij — Kroneckerovo delta. Platı́ δii = 1, δij = 0 jinak.
εijk — Levi Civitův symbol. Platı́ ε123 = ε231 = ε312 = 1, ε321 = ε213 = ε132 = −1, εijk = 0 jinak.
ÂT — Transponovaná matice. Matice se překlopı́ podle hlavnı́ úhlopřı́čky, takže ATij = Aji .
~c = Â~b — Součin matice a vektoru. Vektor budeme chápat jako sloupcovou matici, aby šlo přehledně
zapisovat součin matice a vektoru.
ci = Aij bj — Tentýž součin matice a vektoru zapsaný tenzorově, po složkách. Rovnice vyjadřuje
hodnotu i-té složky vektoru ~c. Součin na pravé straně je potřeba spočı́tat pro všechny možné
hodnoty (1, 2 a 3) proměnné j a výsledky sečı́st. Toto sčı́tánı́ se provádı́ vždy pro všechny
P
proměnné, které se v součinu vyskytujı́ dvakrát. Znak 3j=1 pro součet se však nepı́še. Tomuto
postupu se řı́ká Einsteinovo sumačnı́ pravidlo.
{ai }ni=1 — Posloupnost a1 , a2 , . . . , an .
6
Kapitola 2
Operace s vektory a maticemi
V textu bude použito převážně složkového zápisu. Neškodı́ tedy menšı́ ukázka, jak v tomto zápisu
vypadajı́ operace s vektory a maticemi.
2.1
Násobenı́ vektoru skalárem
Pokud se vektor ~b násobı́ skalárem a, výsledkem je opět vektor. Označme jej ~c. Složky vektoru ~c
dostaneme tak, že násobı́me přı́slušné složky vektoru ~b skalárem a. Vektorový zápis vypadá takto:
~c = a~b
Složkový zápis vypadá takto:
ci = abi
2.2
Skalárnı́ součin vektorů
Dva vektory ~a a ~b lze spolu skalárně vynásobit. Výsledkem je skalár (jak už napovı́dá název skalárnı́
”
součin“) c. Vektorový zápis vypadá takto:
c = ~a~b
Hodnota se počı́tá takto:
c = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 =
3
X
ai bi
i=1
Vynecháme-li znak součtu přes všechna i (viz kapitolu 1.1), vypadá složkový zápis takto:
c = ai bi
2.3
Vektorový součin vektorů
Dva vektory ~a a ~b lze spolu vektorově vynásobit. Výsledkem je vektor ~c. Vektorový zápis vypadá
takto:
~c = ~a × ~b
Vektorový součin se počı́tá takto:
c1 = a2 b3 − a3 b2
(2.1)
c2 = a3 b1 − a1 b3
(2.2)
7
c3 = a1 b2 − a2 b1
(2.3)
Je vidět, že pro výpočet vektorového součinu potřebujeme znát různé součiny složek obou vektorů.
Např. pro výpočet c1 jsou třeba součiny a2 b3 a a3 b2 . Přitom jedna násobená složka je vždy z vektoru ~a a druhá je vždy z vektoru ~b. Zápis lze zjednodušit tak, že budeme uvažovat součet všech
takových kombinacı́, každou však vynásobı́me určitou konstantou. Kombinace, které při výpočtu
nepotřebujeme, budeme násobit nulou, takže se v součtu vůbec neprojevı́. Kombinace, které máme
započı́tat s kladným znaménkem, budeme násobit jedničkou. Kombinace, které máme započı́tat
se záporným znaménkem, budeme násobit mı́nus jedničkou. Znak součtu přes všechna j a k opět
vynecháme (viz kapitolu 1.1). Složkový zápis pak vypadá takto:
ci = εijk aj bk
Aby vyšla správně rovnice (2.1), musı́ platit:
ε123 = 1
ε132 = −1
ε1jk = 0
jinak
Z rovnic (2.2) a (2.3) odvodı́me zbytek hodnot a dostaneme:
ε123 = ε231 = ε312 = 1
ε321 = ε213 = ε132 = −1
εijk = 0
jinak
Symbol εijk se nazývá Levi Civitův symbol. Dosazenı́m pro všechna j, k, l a m lze ověřit, že platı́
rovnost:
εijk εilm = δjl δkm − δjm δkl
(2.4)
Symbol δij je takzvané Kroneckerovo delta, viz kapitolu 1.1. Někdy se lze setkat s výrazem, který je
trošku podobný vektorovému součinu:
Aij = ai bj − bi aj
Chceme-li tyto dva členy spojit do jednoho, lze využı́t (2.4) a postupovat následovně:
Aij = δil δjm al bm − δim δjl al bm
Aij = (δil δjm − δim δjl )al bm
Aij = εkij εklm al bm
Aij = εijk εklm al bm
Nacházı́me tedy zajı́mavou identitu:
ai bj − bi aj = εijk εklm al bm
(2.5)
8
2.4
Smı́šený součin
Smı́šeným součinem se rozumı́ výraz:
d = ~a · (~b × ~c)
Hodnota tohoto výrazu představuje objem rovnoběžnostěnu určeného vektory ~a, ~b a ~c. Složkový
zápis vypadá takto:
d = ai (εijk bj ck )
d = εijk ai bj ck
Z tohoto zápisu je ihned vidět, že platı́:
~a · (~b × ~c) = ~c · (~a × ~b) = ~b · (~c × ~a)
2.5
(2.6)
Dvojitý vektorový součin
Dvojitým vektorovým součinem se rozumı́ tento výraz:
d~ = ~a × (~b × ~c)
Ve složkovém zápisu:
di = εijk aj (εklm bl cm )
di = εkij εklm aj bl cm
To lze pomocı́ (2.4) upravit:
di = (δil δjm − δim δjl )aj bl cm
di = δil δjm aj bl cm − δim δjl aj bl cm
di = aj cj bi − aj bj ci
To lze zapsat vektorově pomocı́ skalárnı́ho součinu:
d~ = (~a~c)~b − (~a~b)~c
Platı́ tedy identita:
~a × (~b × ~c) = (~a~c)~b − (~a~b)~c
(2.7)
Pomocı́ této identity lze napřı́klad najı́t jinou identitu, která se občas vyskytne.
~a × [~b × (~a × ~b)] = [~a · (~a × ~b)]~b − (~a · ~b)(~a × ~b)
Použijeme (2.6) a pokračujeme:
~a × [~b × (~a × ~b)] = [~b · (~a × ~a)]~b − (~a · ~b)(~a × ~b) = −(~a · ~b)(~a × ~b)
Platı́ tedy identita:
~a × [~b × (~a × ~b)] = −(~a · ~b)(~a × ~b)
(2.8)
9
2.6
Součin matic
Dvě matice Â a B̂ lze spolu vynásobit. Výsledkem je matice Ĉ. Maticový zápis vypadá takto:
Ĉ = ÂB̂
Hodnota prvku matice Ĉ na i-tém řádku a v k-tém sloupci je rovna skalárnı́mu součinu (viz kapitolu
2.2) i-té řádky matice Â a k-tého sloupce matice B̂. Složkový zápis vypadá takto:
Cik = Aij Bjk
2.7
Součin matice a vektoru
Součin matice Â a vektoru ~b je speciálnı́ přı́pad součinu matic (kapitola 2.6), kde druhý operand má
pouze jeden sloupec. Vektor budeme chápat jako sloupcovou matici s jednı́m sloupcem, aby se nám
zjednodušil zápis.1 Maticový zápis vypadá takto:
~c = Â~b
ci = Aij bj
2.8
Součin třı́ matic
Součin třı́ matic vypadá v maticovém zápisu takto:
D̂ = ÂB̂ Ĉ
Jedná se vlastně o dva součiny dvou matic:
Ê = ÂB̂
D̂ = Ê Ĉ
Složkový zápis vypadá takto (viz kapitolu 2.6):
Eik = Aij Bjk
Dil = Eik Ckl
To lze opět spojit do jedné rovnice:
Dil = Aij Bjk Ckl
1
Pokud bychom vektor chápali jako řádkovou matici, museli bychom jej před a po násobenı́ maticı́ transponovat a
vzniklý zápis by byl méně přehledný.
10
Kapitola 3
Veličiny pro popis otáčivého pohybu
Pro popis otáčivého pohybu použı́váme podobnou sadu veličin jako pro popis pohybu posuvného.
Mı́sto dráhy s použı́váme úhel ϕ, mı́sto rychlosti v použı́váme úhlovou rychlost ω atd. Jelikož je
třeba určit i směr pohybu v prostoru, stávajı́ se tyto veličiny vektory ϕ
~ , ~ω atd. Přestože znalost
těchto veličin předpokládáme, neškodı́ malé opakovánı́.
3.1
Úhel otočenı́
Úhel otočenı́ je otáčivá obdoba dráhy. Zavedeme jej jako vektor ϕ
~ . Velikost ϕ určuje, o kolik radiánů
se něco (např. těleso) otočilo. Směr vektoru určuje orientaci osy otáčenı́ a stranu, na kterou se těleso
točı́. Osa otáčenı́ je rovnoběžná s vektorem ϕ
~ . Pro směr otáčenı́ platı́ takzvané pravidlo pravé ruky
— pokud palec pravé ruky namı́řı́me ve směru vektoru ϕ
~ , pak ostatnı́ prsty ukazujı́ směr otáčenı́.
Na obrázku 3.1 se vektor ~u otočenı́m změnil na ~u′ . Rozdı́l obou vektorů je ∆~u = ~u′ − ~u. Koncový
bod vektoru ~u opsal oblouk délky l. Velikost úhlu v radiánech je definována jako podı́l délky opsaného
oblouku a poloměru otáčenı́, tedy platı́:
ϕ=
l
u sin α
l = ϕu sin α
Pokud je úhel otočenı́ velice malý (blı́žı́ se nule), označujeme jej d~
ϕ. Rozdı́l ~u′ − ~u je potom také
velice malý a značı́ se d~u. Zakřivenı́ opsaného oblouku se stane zanedbatelným, takže velikost |d~u|
se bude blı́žit k délce oblouku l. Pak lze psát:
|d~u| = |d~
ϕ|u sin α
Vektor d~u je přitom kolmý na vektory d~
ϕ a ~u, proto lze použı́t vektorový součin a s ohledem na
orientaci vektorů psát:
d~u = d~
ϕ × ~u
3.2
(3.1)
Úhlová rychlost
Pokud se těleso otáčı́ tak, že se během velmi krátkého času dt pootočı́ o velmi malý úhel d~
ϕ, lze
definovat veličinu ~
ω takto:
~ω =
d~
ϕ
dt
(3.2)
Tato veličina se nazývá úhlová rychlost a je otáčivou obdobou rychlosti ~v . Pokud se touto rychlostı́
otáčı́ nějaký vektor ~u, je časová změna tohoto vektoru (viz (3.1)):
d~
ϕ × ~u
d~
ϕ
d~u
=
=
× ~u
dt
dt
dt
11
ϕ
ϕ
∆u
l
u’
α
u
Obrázek 3.1: Úhel otočenı́.
S uváženı́m (3.2) tedy lze psát:
d~u
=ω
~ × ~u
dt
(3.3)
Pokud jako vektor ~u použijeme polohový vektor ~r, jehož časová derivace je rychlost ~v , dostaneme:
~v = ~ω × ~r
(3.4)
vi = εijk ωj rk
3.3
(3.5)
Úhlové zrychlenı́
V posuvném pohybu se časová změna rychlosti nazývá zrychlenı́. Časová změna úhlové rychlosti se
nazývá úhlové zrychlenı́ a značı́ se ~ε. Platı́:
~ε =
3.4
d~ω
dt
(3.6)
Moment sı́ly
Je empiricky zjištěno (a vzhledem k symetrii to snad jinak ani nelze očekávat), že pokud sı́la mı́řı́
přı́mo směrem k ose otáčenı́ nebo od této osy, nemá otáčivý účinek. Na obrázku 3.2 jsou znázorněny
~1 a F
~2 , jejichž součet F~ mı́řı́ přı́mo k ose otáčenı́ o. Výsledná sı́la F
~ tedy nezpůsobuje
dvě sı́ly F
otáčenı́. Je vidět, že platı́ tyto vztahy:
F1 sin α1 = F2 sin α2
l2
l1
=
sin α1
sin α2
Vynásobenı́m obou rovnic dostaneme:
F1 l1 = F2 l2
To znamená, že abychom vyrovnali otáčivý účinek nějak pevně dané sı́ly F~1 , musı́me sı́lu F~2 zvolit
tak, aby součin F2 l2 měl určitou danou hodnotu. Tento součin tedy vyjadřuje mı́ru otáčivého účinku
12
o
l2
l1
F
α2
α1
F2
F1
Obrázek 3.2: Sı́ly, které nepůsobı́ otáčenı́.
~ kolmá na rovinu otáčenı́. Směr je
sı́ly a řı́ká se mu moment sı́ly. Zavádı́ se jako vektorová veličina M
určen pravidlem pravé ruky — palec mı́řı́ ve směru momentu sı́ly a ostatnı́ prsty ukazujı́ směr sı́ly.
To vše lze shrnout do jedné rovnice:
~ = ~r × F~
M
(3.7)
Přitom F~ je sı́la a ~r je polohový vektor jejı́ho působiště.
Lze ukázat, že momenty se sčı́tajı́ — pokud dvě sı́ly působı́ ve stejném bodě, pak moment
výsledné sı́ly je roven součtu momentů jednotlivých sil:
~ = ~r × F~ = ~r × (F
~1 + F~2 ) = ~r × F~1 + ~r × F~2 = M
~1 + M
~2
M
To platı́ i tehdy, majı́-li sı́ly různá působiště. Pak se lze totiž sı́ly F~1 a F~2 přesunout z jejich působišt’
~r1 a ~r2 do společného působiště ~r. (Platı́ pro různoběžné sı́ly. Pro mimoběžné sı́ly by byl postup
ještě složitějšı́ a nebudu ho uvádět.) Sı́lu lze přesouvat pouze ve směru sı́ly, pro ~r tedy musı́ platit:
~1
~r − ~r1 k F
(3.8)
~2
~r − ~r2 k F
(3.9)
Potom je výsledný moment:
~ = ~r × F~ = ~r × (F
~1 + F~2 ) = ~r × F~1 + ~r × F~2
M
~ = (~r − ~r1 + ~r1 ) × F~1 + (~r − ~r2 + ~r2 ) × F~2
M
~ = (~r − ~r1 ) × F
~1 + ~r1 × F
~1 + (~r − ~r2 ) × F~2 + ~r2 × F~2
M
Při uváženı́ (3.8) a (3.9) dostaneme:
~ = ~r1 × F
~1 + ~r2 × F~2 = M
~1 + M
~2
M
Momenty se tedy opět sečetly. To je velice důležitá vlastnost, která nám ušetřı́ hodně práce. Dı́ky
tomuto faktu nemusı́me skládat všechny sı́ly působı́cı́ na těleso a pak počı́tat moment výsledné sı́ly,
ale spočı́táme moment každé z působı́cı́ch sil a sečteme tyto momenty. To je mnohem jednoduššı́.
Tuhé těleso se skládá z různých pevně spojených částı́. Na tyto části mohou působit různé vnějšı́
sı́ly, jednotlivé části však působı́ silami i jedna na druhou. Těmto silám se řı́ká vnitřnı́ sı́ly. Je
13
empiricky ověřeno, že tyto vnitřnı́ sı́ly nezpůsobujı́ žádný pohyb tělesa (ani posuvný ani otáčivý),
což znamená, že součet momentů všech vnitřnı́ch sil je roven nule. Toto je poměrně jasné pro sı́ly
působı́cı́ ve směru spojnice mezi působı́cı́mi body (jako jsou např. elektrostatická sı́la, gravitačnı́ sı́la,
natažený provázek apod.), protože obě sı́ly majı́ stejné rameno. Pravda je ale taková, že neznáme
ani žádnou jinou sı́lu, která by dokázala roztočit izolované těleso.
3.5
Moment hybnosti
Otáčivou obdobou hybnosti p~ je tzv. moment hybnosti ~b. Pro hmotný bod se definuje takto:
~b = ~r × ~p
(3.10)
Přitom ~r je polohový vektor hmotného bodu a p~ je jeho hybnost. Pokud se těleso skládá z n
pi }ni=1 , je celkový moment hybnosti:
takovýchto hmotných bodů s polohami {~ri }ni=1 a hybnostmi {~
~b =
n
X
~bi =
n
X
~ri × ~
pi
i=1
i=1
V přı́padě spojitého rozloženı́ hmoty se použije integrál:
~b =
ZZZ
̺ ~r × ~v dV
V
Spočı́tejme časovou změnu momentu hybnosti hmotného bodu daného vztahem (3.10):
d
d~r
d~
p
d~b
=
(~r × ~
p) =
× p~ + ~r ×
= ~v × p~ + ~r × F~
dt
dt
dt
dt
Prvnı́ člen je nula a vypadne, protože vektory ~v a p~ jsou rovnoběžné, a druhý člen je podle (3.7)
moment sı́ly. Pokud tento výpočet provedeme pro všechny body tělesa a uděláme součet (resp.
integrál), dostaneme na levé straně moment hybnosti tělesa a na pravé straně součet momentů
všech sil. Z těchto sil je dále možné uvažovat pouze vnějšı́ sı́ly, protože součet momentů vnitřnı́ch
sil je nulový (viz kapitolu 3.4). Lze tedy tvrdit:
~
~ = db
M
dt
(3.11)
~ je moment vnějšı́ch sil a ~b je moment hybnosti tělesa. Tento vztah se nazývá 2. impulsová
Přitom M
věta.
14
Kapitola 4
Otáčivý pohyb
Nadefinovali jsme si základnı́ veličiny pro popis otáčivého pohybu. Nynı́ si všimneme některých
zajı́mavých vlastnostı́ tohoto pohybu.
4.1
Těžiště
Mějme těleso o hmotnosti m uchycené tak, že se může otáčet kolem bodu v počátku soustavy
souřadnic. Necht’ na každý bod tělesa o hmotnosti dm působı́ sı́la dF~ :
~ = ~a dm
dF
(4.1)
Přitom ~a je nějaký vektor stejný pro všechny body. Může to být třeba intenzita homogennı́ho
gravitačnı́ho pole. Také lze stejného efektu dosáhnout např. tı́m, že celá soustava nenı́ inerciálnı́, ale
rovnoměrně zrychluje. Zkusı́me zjistit, zda má těleso tendenci se otáčet. Spočı́táme si tedy výsledný
~ podle vztahu (3.7) a (4.1):
moment sı́ly M
~ =
M
Z
~r × dF~ =
Z
~r × ~a dm
m
Za předpokladu, že vektor ~a má pouze složku z, tedy ~a = (0, 0, a), vycházı́:
~ =
M
Z
Z
Z
(ay, −ax, 0) dm = (a y dm, −a x dm, 0)
m
m
m
Těleso se tedy nebude otáčet, pokud platı́:
Z
x dm = 0
Z
y dm = 0
m
m
Budeme-li předpokládat, že směr vektoru ~a je ve směru osy x (přı́padně y), tedy že platı́ ~a = (a, 0, 0)
(přı́padně ~a = (0, a, 0)), dostáváme navı́c podmı́nku:
Z
z dm = 0
m
Splněnı́ těchto třı́ podmı́nek je navı́c postačujı́cı́ pro jakýkoliv vektor ~a, nebot’ jej vždy lze složit
ze třı́ vektorů takto:
~a = (ax , ay , az ) = (ax , 0, 0) + (0, ay , 0) + (0, 0, az )
Pro každý z nich vyjde moment sı́ly nulový a výsledný moment sı́ly je jejich součet, tedy rovněž
nula. Chceme-li tedy, aby se těleso netočilo v žádném homogennı́m poli, musı́ platit:
Z
~r dm = ~0
(4.2)
m
15
Zapsáno složkově:
Z
m
ri dm = 0
(4.3)
Každé těleso má jeden bod, ve kterém když se uchytı́, nebude se v homogennı́m gravitačnı́m poli
otáčet. Tomuto bodu se řı́ká těžiště. Zkusı́me najı́t jeho polohu a označme ji ~s. Pro hledánı́ využijeme
fakt, že posuneme-li těleso tak, že těžiště bude v počátku, musı́ platit rovnice (4.2), tedy:
Z
(~r − ~s) dm = ~0
m
Z
~r dm − ~s
Z
~r dm − ~sm = ~0
m
Z
dm = ~0
m
m
Pro polohu těžiště tedy platı́:
1
~s =
m
4.2
Z
~r dm
(4.4)
m
Otáčenı́ vektoru
Mějme vektor ~u, popisujı́cı́ nějakou vlastnost tělesa. Zajı́má nás, jak se bude tento vektor měnit,
bude-li se těleso otáčet.
Nejprve zjistı́me, jak se vektor ~u změnı́, pootočı́-li se těleso o malý úhel d~
ϕ. Tento pootočený
vektor označı́me ~u′ . S využitı́m (3.1) lze psát:
~u′ = ~u + d~u = ~u + d~
ϕ × ~u
Zapı́šeme tento vztah po složkách a trochu upravı́me:
u′i = ui + εikj dϕk uj
u′i = δij uj + εikj dϕk uj
u′i = (δij + εikj dϕk )uj
u′i = (δij − εijk dϕk )uj
Je vidět, že se jedná o násobenı́ matice a vektoru:
u′i = R(d~
ϕ)ij uj
(4.5)
Složky matice jsou:
R(d~
ϕ)ij = δij − εijk dϕk
(4.6)
V maticovém zápisu vypadá vztah (4.5) takto:
~u′ = R̂(d~
ϕ)~u
(4.7)
Složenı́ dvou pootočenı́ o dva malé úhly lze popsat takovouto maticı́:
~
Ŝ = R̂(d~
ϕ)R̂(dψ)
Složkově:
~ jk
Sik = R(d~
ϕ)ij R(dψ)
Sik = (δij − εijl dϕl )(δjk − εjkm dψm )
16
Sik = δij δjk − δij εjkm dψm − δjk εijl dϕl + εijl dϕl εjkm dψm
Zanedbáme diferenciály druhého řádu dϕl dψm :
Sik = δij δjk − δij εjkm dψm − δjk εijl dϕl
Sik = δik − εikm dψm − εikl dϕl
Sik = δik − εikl dψl − εikl dϕl
Sik = δik − εikl (dψl + dϕl )
~ ik
Sik = R(d~
ϕ + dψ)
Zapsáno maticově:
~
Ŝ = R̂(d~
ϕ + dψ)
Tedy platı́:
~ = R̂(d~
~
R̂(d~
ϕ)R̂(dψ)
ϕ + dψ)
(4.8)
Pro dva opačné úhly lze psát:
R̂(d~
ϕ)R̂(−d~
ϕ) = R̂(d~
ϕ − d~
ϕ) = R̂(~0)
R̂(d~
ϕ)R̂(−d~
ϕ) = Ê
(4.9)
Toto přiblı́ženı́ prvnı́ho řádu ve většině přı́padů dostačuje, někdy však může být potřeba použı́t
rozvoj druhého řádu. Zkusı́me ho nynı́ nalézt. Úhel otočenı́ budeme značit pouze ϕ
~ (mı́sto d~
ϕ),
přestože ho předpokládáme velice malý, abychom při zápisu jeho vyššı́ch mocnin nemuseli stále psát
závorky. Nejprve zkusı́me problém popsat ve speciálnı́ souřadné soustavě a potom se od této soustavy
odpoutáme a najdeme obecný zápis. Zvolı́me si takovou soustavu souřadnic, ve které vektor ϕ
~ mı́řı́
ve směru osy z a vektor ~u je v rovině xz. Pak lze psát:
ϕ
~ = (0, 0, ϕz )
~u = (ux , 0, uz )
Vektor ~u′ dostaneme pootočenı́m:
~u′ = (ux cos ϕz , ux sin ϕz , uz )
Goniometrické funkce nahradı́me Taylorovým rozvojem druhého řádu:
1
~u′ = (ux − ux ϕ2z , ux ϕz , uz )
2
Nynı́ se zkusı́me oprostit od zvolené souřadné soustavy a zapı́šeme tento vztah pomocı́ vektorových
operacı́, které jsou na zvolené soustavě nezávislé. Když uvážı́me směry jednotlivých derivacı́, vidı́me,
že se nám budou hodit tyto výrazy:
ϕ
~ × ~u = (0, ux ϕz , 0)
ϕ
~ × (~
ϕ × ~u) = (−ux ϕ2z , 0, 0)
Otočený vektor lze tedy zapsat jako:
1
~ × (~
ϕ × ~u)
~u′ = ~u + ϕ
~ × ~u + ϕ
2
17
Prvnı́ dva členy jsou jen zopakovánı́m lineárnı́ho přiblı́ženı́ výše, třetı́ člen je nový. Pomocı́ (2.7) lze
ze třetı́ho členu odstranit nepřı́jemný vektorový součin:
1
1
~ (~
ϕ~u) − ϕ2 ~u
(4.10)
~u′ = ~u + ϕ
~ × ~u + ϕ
2
2
1
1
u′i = ui + εijk ϕj uk + ϕi ϕj uj − ui ϕj ϕj
2
2
1
1
u′i = δij uj − εijk ϕk uj + ϕi ϕj uj − δij uj ϕk ϕk
2
2
1
1
u′i = (δij − εijk ϕk + ϕi ϕj − δij ϕk ϕk )uj
2
2
Otočenı́ opět popı́šeme jako násobenı́ maticı́ R̂(~
ϕ).
ϕ)ij uj
u′i = R(~
(4.11)
Přitom prvky matice R̂(~
ϕ) jsou:
1
1
R(~
ϕ)ij = δij − εijk ϕk + ϕi ϕj − δij ϕk ϕk
(4.12)
2
2
Zkusı́me nynı́ prověřit, jak je to se skládánı́m otočenı́ v přiblı́ženı́ druhého řádu. Uvažujme otočenı́
~ následované otočenı́m o malý úhel ϕ
o malý úhel ψ
~ . Výsledné otočenı́ bude opět dáno maticı́ Ŝ:
~
Ŝ = R̂(~
ϕ)R̂(ψ)
~ kj
Sij = R(~
ϕ)ik R(ψ)
1
1
1
1
Sij = (δik − εikl ϕl + ϕi ϕk − δik ϕl ϕl )(δkj − εkjm ψm + ψk ψj − δkj ψm ψm )
2
2
2
2
Roznásobı́me a ponecháme pouze členy do druhého řádu:
Sij = δik δkj − δkj εikl ϕl − δik εkjm ψm + εikl εkjmϕl ψm +
1
1
1
1
+ δkj ϕi ϕk − δkj δik ϕl ϕl + δik ψk ψj − δik δkj ψm ψm
2
2
2
2
Sij = δij − εijk ϕk − εijk ψk + (δlj δim − δlm δij )ϕl ψm +
1
1
1
1
+ ϕi ϕj − δij ϕk ϕk + ψi ψj − δij ψk ψk
2
2
2
2
Sij = δij − εijk (ϕk + ψk ) + ψi ϕj − δij ϕk ψk +
1
1
1
1
+ ϕi ϕj + ψi ψj − δij ϕk ϕk − δij ψk ψk
2
2
2
2
Využijeme vztahů:
1
1
1
1
1
(ϕi + ψi )(ϕj + ψj ) = ϕi ϕj + ψi ψj + ϕi ψj + ψi ϕj
2
2
2
2
2
1
1
1
δij (ϕk + ψk )(ϕk + ψk ) = δij ϕk ϕk + δij ψk ψk + δij ϕk ψk
2
2
2
a upravı́me:
1
1
1
1
Sij = δij − εijk (ϕk + ψk ) + (ϕi + ψi )(ϕj + ψj ) − δij (ϕk + ψk )(ϕk + ψk ) − ϕi ψj + ψi ϕj
2
2
2
2
Prvnı́ čtyři členy přitom odpovı́dajı́ vztahu (4.12), lze tedy psát:
~ ij − 1 (ϕi ψj − ψi ϕj )
Sij = R(~
ϕ + ψ)
2
S využitı́m (2.5) lze dojı́t ke vztahu:
~ kj = R(~
~ ij − 1 εijk εklm ϕl ψm
(4.13)
R(~
ϕ)ik R(ψ)
ϕ + ψ)
2
Je tedy vidět, že skládánı́ otáčenı́ podle (4.8) platı́ pouze při lineárnı́m přiblı́ženı́. Při přiblı́ženı́
druhého řádu tento vztah již použı́t nelze.
18
4.3
Otáčenı́ tenzoru
Řekněme, že v nějakém tělese platı́ pro nějaké vektory ~a a ~b vztah:
~b = Â~a
Složkový zápis téhož je:
bi = Aij aj
Matice Â představuje tzv. tenzor druhého řádu a popisuje nějakou vlastnost tělesa. Nás nynı́ zajı́má,
jak se bude měnit tento tenzor, bude-li se těleso otáčet.
Pro začátek zjistı́me, jak se tenzor Â změnı́, když se těleso pootočı́ o velice malý úhel d~
ϕ.
′
Pootočený tenzor označı́me Â . Pro nějaké vektory ~u a ~v bude platit:
~v = Â′ ~u
(4.14)
Složkově:
vi = A′ij uj
Využijeme toho, že pokud se pootočı́me spolu s tělesem, uvidı́me těleso s původnı́m tenzorem Â,
zatı́mco vektory ~u a ~v uvidı́me pootočené o úhel −d~
ϕ, tedy platı́:
R̂(−d~
ϕ)~v = ÂR̂(−d~
ϕ)~u
Využijeme (4.9) a výraz upravı́me:
~v = R̂(d~
ϕ)ÂR̂(−d~
ϕ)~u
Srovnánı́m s (4.14) dostaneme:
Â′ = R̂(d~
ϕ)ÂR̂(−d~
ϕ)
Složkový zápis je:
A′il = R(d~
ϕ)ij Ajk R(−d~
ϕ)kl
S využitı́m (4.6) dostaneme:
A′il = (δij − εijm dϕm )Ajk (δkl + εkln dϕn )
Roznásobı́me a zanedbáme diferenciály vyššı́ch řádů:
A′il = (δij δkl + δij εkln dϕn − δkl εijm dϕm )Ajk
A′il = δij δkl Ajk + (δij εklm dϕm − δkl εijm dϕm )Ajk
A′il = Ail + (δij εklm − δkl εijm )Ajk dϕm
Změna tenzoru je:
dAil = A′il − Ail = (δij εklm − δkl εijm )Ajk dϕm
Přejmenujeme indexy pro lepšı́ čitelnost:
dAij = (δil εkjm − δkj εilm )Alk dϕm
dAij = (δik εljm − δlj εikm )Akl dϕm
dAij = (δik εjml − δjl εikm )Akl dϕm
(4.15)
Bude-li se tenzor otáčet úhlovou rychlostı́ ~ω , bude rychlost změny tenzoru:
dϕm
dAij
= (δik εjml − δjl εikm )Akl
dt
dt
S využitı́m (3.2) lze psát:
dAij
= (δik εjml − δjl εikm )Akl ωm
dt
(4.16)
19
4.4
Skládánı́ úhlových rychlostı́
V posuvném pohybu je skládánı́ rychlostı́ jednoduché a známé — rychlosti se sečtou. Uvedu přı́klad.
Procházı́me uličkou ve vagónu rychlostı́ ~v1 (měřeno vzhledem k vagónu) a vagón jede po kolejı́ch
rychlostı́ ~v2 . Naše rychlost vzhledem ke kolejı́m je potom ~v , přičemž platı́:
~v = ~v1 + ~v2
(4.17)
Nás však zajı́má otáčenı́, proto si přı́klad trochu upravı́me. Sedı́me ve vagónu a otáčı́me se úhlovou
rychlostı́ ~ω1 (opět měřeno vzhledem k vagónu). Vagón se přitom vzhledem ke kolejı́m otáčı́ úhlovou
rychlostı́ ~ω2 . Chceme popsat náš pohyb vzhledem ke kolejı́m. Uvažujme libovolný bod našeho těla —
jeho polohu označı́me ~r. Rychlost pohybu tohoto bodu vzhledem k vagónu označı́me ~v1 a spočı́táme
podle (3.4) takto:
~v1 = ω
~ 1 × ~r
(4.18)
Celý vagón se však otáčı́ také, což v tomto mı́stě znamená posuvný pohyb vagónu vzhledem ke
kolejı́m rychlostı́ ~v2 . Opět využijeme (3.4) a vidı́me, že platı́:
~v2 = ω
~ 2 × ~r
(4.19)
Rychlost pohybu vybraného bodu vzhledem ke kolejı́m označı́me opět ~v a spočı́táme podle (4.17).
S využitı́m (4.18) a (4.19) vidı́me:
~v = ~v1 + ~v2 = ~
ω1 × ~r + ω
~ 2 × ~r = (~
ω1 + ω
~ 2 ) × ~r
Je tedy vidět, že naše tělo koná vzhledem ke kolejı́m otáčivý pohyb úhlovou rychlostı́:
~ω = ~ω1 + ~ω2
(4.20)
To znamená, že úhlové rychlosti lze skládat stejně jako posuvné — prostě se sečtou. Jiný způsob
důkazu tohoto tvrzenı́ lze provést s využitı́m vztahu (4.8), jde však vlastně pouze o jiný zápis téže
myšlenky.
4.5
Skládánı́ úhlových zrychlenı́
Mějme podobnou situaci jako v kapitole 4.4, budeme se však zajı́mat nejen o úhlovou rychlost
složeného pohybu, ale také o úhlové zrychlenı́. To může být potřeba při popisu nějakého složitějšı́ho
pohybu. Situace je tedy následujı́cı́: Vykonáváme vzhledem k vagónu otáčivý pohyb popsaný úhlovou
rychlostı́ ~ω ′ a úhlovým zrychlenı́m ~ε′ , zatı́mco celý vagón vykonává otáčivý pohyb vzhledem ke
kolejı́m popsaný úhlovou rychlostı́ ~
ω ′′ a úhlovým zrychlenı́m ~ε′′ (pro označenı́ zde použijeme čárky
mı́sto spodnı́ch indexů, protože budeme použı́vat složkový zápis a indexy by se nám pletly dohromady). Zajı́má nás úhlová rychlost ~
ω a úhlové zrychlenı́ ~ε pohybu, který vykonáváme vzhledem ke
kolejı́m.
Popı́šeme pohyb v blı́zkosti času t = 0. Čas budeme uvažovat velice malý, takže pro popis otočenı́
si vystačı́me pouze s několika prvnı́mi členy Taylorova rozvoje. Toto řešenı́ je zvoleno proto, že přesný
popis by byl velice obtı́žný. Aby bylo možné popsat i zrychlenı́ pohybu, budeme pro přibližný popis
využı́vat rozvoj druhého řádu.
Prvnı́ věc, kterou je třeba nějak vyřešit, je najı́t nějaký popis pohybu, známe-li ω
~ a ~ε v čase
t = 0. Nabı́zı́ se použı́t nějaký takovýto vztah:
1
ϕ
~ (t) = ~ω t + ~εt2
2
(4.21)
Je však otázka, zda by to bylo korektnı́ v přı́padě, kdy jsou vektory ω
~ a ~ε různoběžné. Úhlové
zrychlenı́ ~ε(t) je totiž definováno jako časová derivace úhlové rychlosti ~ω(t), tedy popisuje, jakým
20
A
B C
O
Obrázek 4.1: Pohyb bodu při otočenı́.
způsobem se měnı́ vektor ~
ω (t) v čase t > 0. Musı́me být tedy schopni vyjádřit úhlovou rychlost sice
blı́zko, ale přesto mimo čas t = 0. A to je právě problém. Správně by se to mělo udělat nějak takto:
ϕ
~ (t + ∆t) − ϕ
~ (t)
∆t→0
∆t
~ω (t) = lim
Přitom výraz ϕ
~ (t + ∆t) − ϕ
~ (t) by měl vyjadřovat, o jaký úhel se těleso otočilo mezi časy t a t + ∆t,
jenže takto jednoduše různoběžné úhly sčı́tat a odečı́tat nelze. Když se nad tı́m zamyslı́me hlouběji,
zjistı́me, že chybu jsme udělali už dřı́ve — totiž když jsme zavedli ϕ
~ (t) jako popis orientace tělesa
v čase t. U takto obecného pohybu totiž tuto orientaci ani nenı́ možné popsat jednı́m vektorem,
nebot’ pro dosaženı́ obecné orientace vůbec nemusı́ stačit jedno pootočenı́. Tı́m se samozřejmě celá
věc komplikuje. Jednoduchého popisu pomocı́ jednoho úhlu se tedy zatı́m musı́me vzdát a zkusı́me
se na věc podı́vat trochu jinak.
Trochu si zjednodušı́me situaci tı́m, že budeme uvažovat pouze tak malý čas t, že 21 εt2 ≪ ωt. Nynı́
budeme zkoumat pohyb libovolně zvoleného bodu. Na obrázku 4.1 je zobrazena situace pro nejhoršı́
přı́pad, kdy je ~
ω ⊥ ~ε. Pokud provedeme nejprve pootočenı́ o 21 ~εt2 a teprve pak o ~ωt, dostaneme se do
bodu A. Pokud naopak provedeme nejprve pootočenı́ o ~ω t a potom o 12 ~εt2 , dostaneme se do bodu C.
Budeme-li pohyby průběžně prokládat, dostaneme správné řešenı́, tedy bod B. Je vidět, že bod B
se od obou bodů A a C lišı́ méně, než body A a C od sebe navzájem. Vzdálenost bodů A a C nám
tedy určuje jakýsi hornı́ odhad chyby, které se dopustı́me, uvažujeme-li mı́sto jednoho pohybu s ω
~ a
~ t. Jelikož vše řešı́me v přiblı́ženı́
~ε pohyb složený ze dvou pohybů — nejprve otáčenı́ o 12 ~εt2 , pak o ω
druhého řádu, použijeme pro popis otáčenı́ vztahy (4.11) a (4.12). Podle vztahu (4.13) pak složı́me
jednotlivé pohyby v obou možných pořadı́ch. Rozdı́l mezi oběma výsledky nám pak určı́ zmiňovanou
velikost chyby.
1
1
1
[R̂(~ω t)R̂( ~εt2 )]ij = R(~
ω t + ~εt2 )ij − εijk εklm ωl εm t3
2
2
4
1
1
1
ω t)]ij = R(~
ω t + ~εt2 )ij + εijk εklm ωl εm t3
[R̂( ~εt2 )R̂(~
2
2
4
Rozdı́l mezi oběma výrazy je:
1
εijk εklm ωl εm t3
2
To je chyba, které jsme se dopustili. Je vidět, že tato chyba je již třetı́ho řádu. V námi uvažovaném
přiblı́ženı́ druhého řádu tedy můžeme klidně použı́vat původnı́ intuitivnı́ popis pomocı́ rovnice (4.21).
Nynı́ se již můžeme vrátit k původnı́mu problému, tj. k popisu pohybu složeného ze dvou pohybů
s úhlovými rychlostmi ~
ω′ a ~
ω ′′ a s úhlovými zrychlenı́mi ~ε′ a ~ε′′ . S pomocı́ (4.12) vyjádřı́me matici
Ŝ popisujı́cı́ výsledný otáčivý pohyb:
1
Sij = R(~
ω t + ~εt2 )ij
2
(4.22)
1
1
1
1
1
1
1
Sij = δij − εijk (ωk t + εk t2 ) + (ωi t + εi t2 )(ωj t + εj t2 ) − δij (ωk t + εk t2 )(ωk t + εk t2 )
2
2
2
2
2
2
2
Roznásobı́me a zanedbáme členy třetı́ho a vyššı́ch řádů:
1
1
1
Sij = δij − εijk ωk t − εijk εk t2 + ωi ωj t2 − δij ωk ωk t2
2
2
2
21
Toto lze provést pro libovolné ~
ω a ~ε, můžeme tedy i obecně psát:
1
1
1
1
R(~ω ∗ t + ~ε∗ t2 )ij = δij − εijk ωk∗ t − εijk ε∗k t2 + ωi∗ ωj∗ t2 − δij ωk∗ ωk∗ t2
2
2
2
2
(4.23)
Nynı́ matici Ŝ vyjádřı́me jako složený pohyb:
1
1
ω ′ t + ~ε′ t2 )kj
Sij = R(~ω ′′ t + ~ε′′ t2 )ik R(~
2
2
Použijeme (4.13):
1
1
1
1
1
′
Sij = R(~ω ′′ t + ~ε′′ t2 + ~
ω ′ t + ε~′ t2 )ij − εijk εklm (ωl′′ t + ε′′l t2 )(ωm
t + ε′m t2 )
2
2
2
2
2
Upravı́me, roznásobı́me poslednı́ člen a zanedbáme vyššı́ řády:
1
Sij = R (~ω + ~
ω )t + (~ε′′ + ~ε′ )t2
2
′′
′
ij
1
′ 2
− εijk εklm ωl′′ ωm
t
2
Využijeme-li (4.23), dostaneme:
1
′
)t2 +
Sij = δij − εijk (ωk′′ + ωk′ )t − εijk (ε′′k + ε′k + εklm ωl′′ ωm
2
1
1
+ (ωi′′ + ωi′ )(ωj′′ + ωj′ )t2 − δij (ωk′′ + ωk′ )(ωk′′ + ωk′ )t2
2
2
Vidı́me, že nynı́ lze (4.23) použı́t na celý výraz, a opět jej zjednodušı́me:
1
Sij = R (~ω + ~
ω )t + (~ε′′ + ~ε′ + ~
ω ′′ × ~ω ′ )t2
2
′′
′
ij
Srovnánı́m s (4.22) dostáváme:
~ω = ~ω ′′ + ~ω ′
(4.24)
~ε = ~ε′′ + ~ε′ + ~
ω ′′ × ω
~′
(4.25)
Vidı́me tedy, že při skládánı́ otáčivého pohybu se úhlové rychlosti sčı́tajı́. To je však pouze opakovánı́
kapitoly 4.4. Nově se ale dozvı́dáme, že úhlová zrychlenı́ se sčı́tajı́ též, je však nutné k nim ještě
přičı́st člen ~ω ′′ × ~ω ′ , kterému se řı́ká Résalovo úhlové zrychlenı́.
4.6
Tenzor setrvačnosti
Uvažujme jeden bod tělesa na mı́stě ~r s hmotnostı́ m. Těleso se otáčı́ úhlovou rychlostı́ ω
~ . Spočı́táme
moment hybnosti tohoto bodu. Podle (3.10) lze psát:
~b = ~r × ~p = ~r × (m~v ) = m~r × ~v
Ve složkovém tvaru vypadá zápis takto:
bi = mεijk rj vk
Rychlost ~v je přitom dána vztahem (3.5). Dosadı́me a dostaneme:
bi = mεijk rj εklm ωl rm
bi = mεkij εklm rj rm ωl
Použijeme (2.4):
bi = m(δil δjm − δim δjl )rj rm ωl
22
Přejmenujeme pro přehlednost indexy:
bi = m(δij δkl − δik δjl )rk rl ωj
To lze psát jako:
bi = Jij ωj
(4.26)
~b = J~
ˆω
(4.27)
Matice Jˆ se nazývá tenzor setrvačnosti a jejı́ prvky jsou:
Jij = m(δij δkl − δik δjl )rk rl
Jij = m(δij δkl rk rl − δik δjl rk rl )
Jij = m(δij rk rk − ri rj )
(4.28)
V maticovém zápisu:


y2 + z2
−xy
−xz


2
2
ˆ
x +z
−yz 
J = m  −xy
−xz
−yz
x2 + y 2


Jx
−Dxy −Dxz


Jy
−Dyz 
Jˆ =  −Dxy
−Dxz −Dyz
Jz
(4.29)
Přitom veličiny Jx , Jy a Jz se nazývajı́ moment setrvačnosti k ose x, y a z:
Jx = m(y 2 + z 2 )
(4.30)
Jy = m(x2 + z 2 )
(4.31)
Jz = m(x2 + y 2 )
(4.32)
Veličiny Dxy , Dxy a Dx z se nazývajı́ deviačnı́ momenty:
Dxy = mxy
(4.33)
Dyz = myz
(4.34)
Dxz = mxz
(4.35)
Chceme-li spočı́tat tenzor setrvačnosti celého tělesa, stačı́ spočı́tat tenzor setrvačnosti všech jeho
bodů a výsledky sečı́st, popřı́padě zintegrovat:


y2 + z2
−xy
−xz


2
2
ˆ
x +z
−yz  dm
J=
 −xy
m
−xz
−yz
x2 + y 2
Z
(4.36)
Lze ukázat, že pro každé těleso existuje soustava souřadnic, ve které jsou deviačnı́ momenty nulové.
Tenzor setrvačnosti má tedy nenulové pouze prvky na hlavnı́ diagonále. Souřadné osy takové soustavy souřadnic se potom nazývajı́ hlavnı́ osy tělesa.
23
4.7
Steinerova věta
Mějme těleso o hmotnosti m. Poloha jeho těžiště je určena vektorem ~s. Chceme určit tenzor
ˆ pokud známe tenzor setrvačnosti Jˆ′ v posunuté čárkované soustavě, jejı́ž počátek
setrvačnosti J,
je v těžišti tělesa.
Transformace souřadnic mezi soustavami se děje podle tohoto vztahu:
~r = ~r′ + ~s
(4.37)
ri = ri′ + si
(4.38)
Jelikož je v čárkované soustavě těžiště v počátku, lze podle (4.3) psát:
Z
m
ri′ dm = 0
(4.39)
Tenzor setrvačnosti je podle vztahu (4.28) definován takto:
Jij =
Z
(δij rk rk − ri rj ) dm
(4.40)
Jij′ =
Z
(δij rk′ rk′ − ri′ rj′ ) dm
(4.41)
m
m
Ve vztahu (4.40) dosadı́me za polohový vektor ~r ze vztahu (4.38):
Jij =
Z
[δij (rk′ + sk )(rk′ + sk ) − (ri′ + si )(rj′ + sj )] dm
Jij =
Z
[δij (rk′ rk′ + sk sk + 2rk′ sk ) − (ri′ rj′ + ri′ sj + si rj′ + si sj )] dm
Jij =
Z
(δij rk′ rk′ − ri′ rj′ + δij sk sk − si sj + 2δij rk′ sk − ri′ sj − si rj′ ) dm
Jij =
Z
(δij rk′ rk′ − ri′ rj′ ) dm + m(δij sk sk − si sj ) + 2δij sk rk′ dm − sj ri′ dm − si rj′ dm
m
m
m
m
Z
m
Z
m
Z
m
Využijeme vztahu (4.41) a (4.39) a dostaneme:
Jij = Jij′ + m(δij sk sk − si sj )

(4.42)

s2y + s2z −sx sy −sx sz


Jˆ = Jˆ′ + m  −sx sy s2x + s2z −sy sz 
−sx sz −sy sz s2x + s2y
(4.43)
Tento vztah se nazývá Steinerova věta. Jinými slovy řı́ká, že pokud známe tenzor setrvačnosti tělesa
v soustavě s těžištěm v počátku, lze z něho spočı́tat tenzor setrvačnosti posunutého tělesa přičtenı́m
tenzoru setrvačnosti hmotného bodu o hmotnosti tělesa umı́stěného v těžišti tělesa.
Jednoduššı́ formulace této věty řı́ká, že moment setrvačnosti tělesa J se spočı́tá jako:
J = JT + mrT2
(4.44)
Přitom JT je moment setrvačnosti podle rovnoběžné osy procházejı́cı́ těžištěm a rT je vzdálenost
těžiště od osy rotace.
24
4.8
Energie otáčivého pohybu
Kinetická energie obsažená v otáčivém pohybu tělesa je pro každý bod tělesa o hmotnosti m a poloze
~r dána vztahem:
1
E = mv 2
2
Přitom rychlost ~v je dána vztahem (3.4). Ve složkovém zápisu bychom použili vztah (3.5) a energii
vyjádřili takto:
1
E = mvi vi
2
E=
1
mεijk ωj rk εilm ωl rm
2
To lze s využitı́m (2.4) upravit na:
E=
1
m(δjl δkm − δjm δkl )ωj ωl rk rm
2
E=
1
m(ωj ωj rk rk − ωj ωk rj rk )
2
E=
1
m(δij ωi ωj rk rk − ωi ωj ri rj )
2
E=
1
m(δij rk rk − ri rj )ωi ωj
2
Uvážı́me-li (4.28), lze psát:
1
Jij ωi ωj
(4.45)
2
Tento vztah zároveň platı́ i pro celé těleso, protože součet energiı́ E všech bodů dá celkovou energii
tělesa, součet tenzorů setrvačnosti Jij všech bodů dá celkový tenzor setrvačnosti tělesa a úhlové
rychlosti ωi ωj lze vytknout, protože jsou stejné pro všechny body. Vztah lze s pomocı́ (4.26) zapsat
také takto:
1
(4.46)
E = bi ω i
2
E=
1
E = ~b ω
~
2
4.9
(4.47)
Výkon dodávaný při otáčenı́
Při posuvném pohybu koná působı́cı́ sı́la práci, kterou lze charaterizovat výkonem:
~ ~v
P =F
(4.48)
Chceme najı́t otáčivou obdobu tohoto vztahu. Budeme uvažovat jeden bod tělesa otáčejı́cı́ho se
úhlovou rychlostı́ ~
ω . Podle (3.4) je rychlost pohybu tohoto bodu:
~v = ω
~ × ~r
Dosadı́me do (4.48).
~ · (~
P =F
ω × ~r)
Využijeme (2.6) a dostaneme:
P =~
ω · (~r × F~ )
To upravı́me s pomocı́ (3.7) na:
~~
P =M
ω
(4.49)
25
4.10
Pohybové rovnice
Mějme těleso s tenzorem setrvačnosti Jˆ otáčejı́cı́ se úhlovou rychlostı́ ~ω . Vyjádřı́me moment sı́ly
působı́cı́ na těleso. Vyjdeme přitom ze vztahu (3.11). Ten vypadá ve složkovém tvaru takto:
Mi =
dbi
dt
Moment hybnosti ~b je přitom dán vztahem (4.26), takže platı́:
Mi =
d
(Jij ωj )
dt
Mi =
dJij
dωj
ωj + Jij
dt
dt
Časová změna tenzoru setrvačnosti je přitom dána vztahem (4.16), tedy:
Mi = (δik εjml − δjl εikm )Jkl ωj ωm + Jij εj
Mi = δik εjml Jkl ωj ωm − δjl εikm Jkl ωj ωm + Jij εj
Všimneme si prvnı́ho členu. Vyskytujı́ se v něm indexy j a m. Tyto indexy se v tomto členu vyskytujı́
jen u symbolu εjml a u úhlové rychlosti ωj a ωm . Je vidět, že pokud spolu zaměnı́me hodnoty indexů
j a m v prvnı́m členu, hodnota členu zůstane stejná, ale změnı́ se znaménko. To znamená, že
ve výsledném součtu (přes indexy j a m se sčı́tá) je ke každému členu přı́tomen jiný s hodnotou
právě opačnou. Součet tedy bude vždy nulový a prvnı́ člen výrazu lze vypustit.
Mi = Jij εj − δjl εikm Jkl ωj ωm
Zbavı́me se δjl a přejmenujeme indexy, abychom nepřeskakovali pı́smenka.
Mi = Jij εj − εikm Jkj ωj ωm
Mi = Jij εj − εijl Jjk ωk ωl
(4.50)
Tento vztah je trochu problém zapsat vektorově. Lze si ale pomoci vztahem (4.26). Pak pı́šeme:
Mi = Jij εj − εijl bj ωl
Mi = Jij εj − εijk bj ωk
Mi = Jij εj + εijk ωj bk
(4.51)
To lze již snadno zapsat vektorově:
~ = J~
ˆε + ~ω × ~b
M
(4.52)
Pokud napřı́klad chceme modelovat pohyb tělesa, lze to udělat takto. Polohu a orientaci tělesa
v prostoru známe. Rovněž známe jeho úhlovou rychlost ~ω . Z toho jsme většinou schopni určit, jaké
~ . Nynı́ chceme zjistit, jak se bude stav vyvı́jet dále.
na těleso působı́ sı́ly, tj. v našem přı́padě M
Nejprve vyjádřı́me z rovnice (4.52) veličinu ~ε:
~ + ~b × ω
~ε = Jˆ−1 (M
~)
(4.53)
Dosadı́me (pro výpočet ~b využijeme vztahu (4.27)) a máme hotovo, protože z hodnoty úhlového
zrychlenı́ ~ε lze určit vývoj úhlové rychlosti ω
~ (viz (3.6)) a z úhlové rychlosti ω
~ lze zase určit vývoj
orientace tělesa v prostoru.
Často volı́me pro popis tělesa takovou souřadnou soustavu, ve které jsou deviačnı́ momenty
nulové (viz kapitolu 4.6). V této soustavě se uplatnı́ pouze momenty setrvačnosti Jx , Jy a Jz , tedy
26
prvky na hlavnı́ úhlopřı́čce tenzoru setrvačnosti. To jsou ty, které majı́ oba indexy stejné. Na chvı́li
opustı́me Einsteinovo sumačnı́ pravidlo a zjednodušı́me za této podmı́nky vztah (4.50):
Mi = Ji εi −
3 X
3
X
εijk Jj ωj ωk
j=1 k=1
Přı́tomnost symbolu εijk ve druhém členu způsobı́, že při sčı́tánı́ stačı́ dosazovat pouze j a k různé
od i a přitom ještě různé od sebe navzájem. Ostatnı́ členy budou nulové. Tedy pro i = 1 sečteme
pouze dva členy — jeden pro j = 2 a k = 3, druhý pro j = 3 a k = 2. Pro ostatnı́ složky to bude
obdobné. Dostaneme:
Mx = Jx εx + (Jz − Jy )ωy ωz
(4.54)
My = Jy εy + (Jx − Jz )ωx ωz
(4.55)
Mz = Jz εz + (Jy − Jx )ωx ωy
(4.56)
Tyto vztahy se nazývajı́ Eulerovy dynamické rovnice. Vyjádřenı́ úhlového zrychlenı́ ~ε je v tomto
speciálnı́m přı́padě obzvláště jednoduché:
εx =
Mx Jy − Jz
+
ωy ωz
Jx
Jx
(4.57)
εy =
Jz − Jx
My
+
ωx ωz
Jy
Jy
(4.58)
εz =
Mz
Jx − Jy
+
ωx ωy
Jz
Jz
(4.59)
27
28
Kapitola 5
Přı́klady
Pro ilustraci je vždy dobré uvést přı́klad. Zkusı́me si tedy spočı́tat některé jednoduché (a některé
složitějšı́) úlohy.
5.1
Válec
Spočı́táme momenty setrvačnosti homogennı́ho válce. Budeme uvažovat válec zobrazený na obrázku
5.1. Osa válce je orientována ve směru osy z. Hmotnost válce je m. Hustota válce potom je:
̺=
m
m
=
V
πR2 h
Pro snazšı́ popis použijeme válcové souřadnice:
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z=z
Body uvnitř válce jsou dány následujı́cı́mi intervaly hodnot:
r ∈ h0, Ri
ϕ ∈ h−π, πi
h h
z ∈ h− , i
2 2
Jacobiho determinant je:
∂x
∂r
∂y
∂r
∂z
∂r
D=
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
∂ϕ
∂x
∂z
∂y
∂z
∂z
∂z
cos ϕ −r sin ϕ 0 = sin ϕ r cos ϕ 0 = r cos2 ϕ + r sin2 ϕ = r
0
0
1 Podle (4.30) a (4.36) spočı́táme moment setrvačnosti podle osy x takto:
h
Jx =
ZZZ
̺(y 2 + z 2 ) dV = ̺
V
Z2 Zπ ZR
(r 2 sin2 ϕ + z 2 )r dr dϕ dz
−π 0
−h
2
h
Jx = ̺
Z2 Zπ ZR
− h2
h
(r 3 sin2 ϕ + rz 2 ) dr dϕ dz = ̺
−π 0
Z2 Zπ
−h
2
29
−π
R2 2
R4
sin2 ϕ +
z
4
2
!
dϕ dz
z
R
h
x
Obrázek 5.1: Válec.
h
Jx = ̺
Z2
πR4
+ πR2 z 2
4
− h2
Jx =
!
dz = ̺
πR4 h πR2 h3
+
4
12
!
=
1
̺ πR2 h(3R2 + h2 )
12
1
m(3R2 + h2 )
12
Moment setrvačnosti podle osy y vyjde z důvodu symetrie stejně. Oba tyto momenty označı́me J⊥ ,
protože osa rotace je kolmá na osu válce.
Jx = Jy = J⊥ =
1
m(3R2 + h2 )
12
(5.1)
Obdobně spočı́táme moment setrvačnosti podle osy z, tedy podle osy válce:
h
Jz =
ZZZ
̺(x2 + y 2 ) dV = ̺
V
Z2 Zπ ZR
(r 2 cos2 ϕ + r 2 sin2 ϕ)r dr dϕ dz
− h2 −π 0
h
h
Jz = ̺
Z2 Zπ ZR
r 3 dr dϕ dz = ̺
− h2 −π 0
Z2 Zπ
−π
−h
2
h
1 4
R dϕ dz = ̺
4
Z2
−h
2
1 4
1
πR dz = π̺R4 h
2
2
1
Jz = Jk = mR2
2
(5.2)
Ověřı́me, že deviačnı́ momenty jsou nulové. Spočı́táme pouze Dxy a Dxz , nebot’ Dyz vyjde z důvodu
symetrie stejně jako Dxz .
h
Dxy =
ZZZ
̺xy dV = ̺
V
Z2 Zπ ZR
3
r cos ϕ sin ϕ dr dϕ dz = ̺ · h ·
−π 0
−h
2
Dxz =
V
̺xz dV = ̺
Z2 Zπ ZR
cos ϕ sin ϕ dϕ ·
−π
h
h
ZZZ
Zπ
2
r z cos ϕ dr dϕ dz = ̺ ·
−π 0
−h
2
Z2
− h2
30
z dz ·
Zπ
−π
ZR
r 3 dr = 0
0
cos ϕ dϕ ·
ZR
r 2 dr = 0
0
z
l
x
Obrázek 5.2: Tyč.
z
R
x
Obrázek 5.3: Kruhová deska.
5.2
Tyč
Spočı́táme momenty setrvačnosti nekonečně tenké homogennı́ tyče. Tyč je zobrazena na obrázku 5.2
a má hmotnost m. Jde o limitnı́ přı́pad válce, kdy R → 0 a h = l. Lze tedy využı́t vzorce (5.1) a
(5.2) a psát:
J⊥ =
1
ml2
12
(5.3)
Jk = 0
5.3
(5.4)
Kruhová deska
Spočı́táme momenty setrvačnosti nekonečně tenké homogennı́ kruhové desky. Situace je zobrazena
na obrázku 5.3. Hmotnost desky je m. Jde opět o limitnı́ přı́pad válce, tentokrát pro h → 0. Opět
tedy využijeme vzorce (5.1) a (5.2) a pı́šeme:
1
J⊥ = mR2
4
(5.5)
1
Jk = mR2
2
(5.6)
31
z
c
0
a
x
Obrázek 5.4: Elipsoid.
5.4
Elipsoid
Spočı́táme momenty setrvačnosti homogennı́ho elipsoidu. Situace je zobrazena na obrázku 5.4. Elipsoid má hmotnost m a délky poloos a, b a c. Objem elipsoidu je:
4
V = πabc
3
Hustota elipsoidu je:
̺=
3m
m
=
V
4πabc
Použijeme následujı́cı́ soustavu souřadnic:
x = ar cos ϕ cos ϑ
y = br sin ϕ cos ϑ
z = cr sin ϑ
Body uvnitř elipsoidu jsou dány následujı́cı́mi intervaly hodnot:
r ∈ h0, 1i
ϕ ∈ h−π, πi
π π
ϑ ∈ h− , i
2 2
Jacobiho determinant je:
D=
∂x
∂r
∂y
∂r
∂z
∂r
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
∂ϕ
∂x
∂ϑ
∂y
∂ϑ
∂z
∂ϑ
a cos ϕ cos ϑ
= b sin ϕ cos ϑ
c sin ϑ
cos ϕ cos ϑ
2
D = abcr sin ϕ cos ϑ
sin ϑ
−ar sin ϕ cos ϑ −ar cos ϕ sin ϑ
br cos ϕ cos ϑ −br sin ϕ sin ϑ
0
cr cos ϑ
− sin ϕ cos ϑ − cos ϕ sin ϑ
cos ϕ cos ϑ − sin ϕ sin ϑ
0
cos ϑ
D = abcr 2 (cos2 ϕ cos3 ϑ + sin2 ϕ cos3 ϑ + sin2 ϕ sin2 ϑ cos ϑ + cos2 ϕ sin2 ϑ cos ϑ)
32
D = abcr 2 (cos3 ϑ + sin2 ϑ cos ϑ) = abcr 2 cos ϑ
Podle (4.32) a (4.36) spočı́táme moment setrvačnosti podle osy z takto:
Jz =
ZZZ
̺(x2 + y 2 ) dV
V
π
Jz = ̺
Z2 Zπ Z1
(a2 r 2 cos2 ϕ cos2 ϑ + b2 r 2 sin2 ϕ cos2 ϑ)abcr 2 cos ϑ dr dϕ dϑ
− π2 −π 0
π
Jz = abc̺
Z2 Zπ Z1
(a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ)r 4 cos3 ϑ dr dϕ dϑ
− π2 −π 0
π
1
Jz = abc̺
5
Z2 Zπ
1
Jz = abc̺
5
Z2
(a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ) cos3 ϑ dϕ dϑ
− π2 −π
π
− π2
Jz =
π
1
(a2 π + b2 π) cos3 ϑ dϑ = π(a2 + b2 )abc̺
5
Z2
cos3 ϑ dϑ
− π2
4
4
3m
1
π(a2 + b2 )abc̺ = π(a2 + b2 )abc ·
= m(a2 + b2 )
15
15
4πabc
5
Jelikož orientaci elipsoidu si můžeme zvolit jakkoliv, máme vlastně spočı́tané všechny tři momenty:
1
m(b2 + c2 )
5
(5.7)
1
Jy = m(a2 + c2 )
5
(5.8)
1
m(a2 + b2 )
5
(5.9)
Jx =
Jz =
Ověřı́me, že deviačnı́ momenty jsou nulové. Opět stačı́ spočı́tat pouze jeden, protože ostatnı́ lze
zı́skat záměnou os.
π
Dxy =
ZZZ
̺xy dV = ̺
V
Z2 Zπ Z1
ar cos ϕ cos ϑ · br sin ϕ cos ϑ · abcr 2 cos ϑ dr dϕ dϑ
− π2 −π 0
π
Dxy = a2 b2 c̺
Z2 Zπ Z1
r 4 sin ϕ cos ϕ cos3 ϑ dr dϕ dϑ
− π2 −π 0
π
Dxy =
1 2 2
a b c̺
5
Z2 Zπ
sin ϕ cos ϕ cos3 ϑ dϕ dϑ = 0
− π2 −π
5.5
Koule
Spočı́táme moment setrvačnosti koule o poloměru R. Koule je speciálnı́ přı́pad elipsoidu, kdy platı́
a = b = c = R. Moment setrvačnosti podle jakékoliv osy potom je:
J=
2
mR2
5
(5.10)
33
5.6
Rotačnı́ elipsoid
Spočı́táme momenty setrvačnosti rotačnı́ho elipsoidu. Rovnı́kový poloměr elipsoidu označı́me R.
Polárnı́ poloměr označı́me r. Zploštěnı́ elipsoidu označı́me i a definujeme jako:
i=
R−r
R
Polárnı́ poloměr lze pak vypočı́tat z rovnı́kového poloměru a zploštěnı́ takto:
r = R(1 − i)
S využitı́m (5.7), (5.8) a (5.9) lze rovnou psát:
2
Jk = mR2
5
J⊥ =
(5.11)
1
1
1
m[R2 + R2 (1 − i)2 ] = mR2 [1 + (1 − i)2 ] = mR2 (2 − 2i + i2 )
5
5
5
2
i2
J⊥ = mR2 1 − i +
5
2
!
(5.12)
Pro malá zploštěnı́ lze člen s i2 zanedbat a psát:
J⊥ =
5.7
2
mR2 (1 − i)
5
(5.13)
Stabilizace
Setrvačnı́k lze použı́t ke stabilizaci orientace lodı́, družic apod. Takovému setrvačnı́ku se řı́ká gyrostat. Stačı́ k lodi pevně přichytit velký setrvačnı́k a pořádně ho roztočit. Celý systém (lod’ i se
setrvačnı́kem) pak bude mı́t veliký moment hybnosti ~b. Abychom systém pootočili o malý úhel ∆~
ϕ,
~
je třeba změnit moment hybnosti soustavy o ∆b. Přitom podle (3.1) platı́:
∆~b ≈ ∆~
ϕ × ~b
Pokud má toto pootočenı́ proběhnout během doby ∆t, bude podle (3.11) střednı́ hodnota momentu
sı́ly (tzv. gyroskopického momentu):
~
ϕ ~
~ ≈ ∆b ≈ ∆~
×b
M
∆t
∆t
(5.14)
~ = 0 a stabilizačnı́ efekt se nedostavı́. Pokud však je ∆~
Pokud je ∆~
ϕ k ~b, vyjde M
ϕ ⊥ ~b, je moment
sı́ly přı́mo úměrný momentu hybnosti soustavy:
M≈
∆ϕ
·b
∆t
Je vidět, že zvyšovánı́m momentu hybnosti soustavy b můžeme libovolně zvyšovat moment sı́ly M
potřebný k pootočenı́ systému. Pokud máme naopak určen moment sı́ly a dobu jeho působenı́ (např.
u lodi toto vyplývá z tvaru a délky vln), můžeme zvyšovánı́m momentu hybnosti b libovolně snižovat
výchylku ∆ϕ (tedy např. kymácenı́ lodi).
Stabilizace setrvačnı́kem však funguje pouze ve směrech kolmých na moment hybnosti. To nejde
nijak obejı́t, např. přidávánı́m dalšı́ch setrvačnı́ků.1 Vždy jde totiž o celkový moment hybnosti soustavy a je zcela vedlejšı́, jak byl vytvořen. Pokud na lod’ umı́stı́me vı́ce setrvačnı́ků, jejich momenty
hybnosti se vektorově sečtou a pouze tento výsledný moment hybnosti určı́, v jakých směrech a jak
silně bude lod’ stabilizována.
1
Autoři [3] (konec kapitoly 4) majı́ na toto jiný názor. Podle nich lze pomocı́ třı́ setrvačnı́ků docı́lit stabilizace
lodi ve všech směrech. Podrobnosti bohužel neuvádějı́. Já si myslı́m, že jde o poměrně rozšı́řený omyl, a proto na něj
výslovně upozorňuji.
34
1
z
3
x
2
Obrázek 5.5: Gyroskopický moment.
5.8
Gyroskopický moment
~ musı́ působit na setrvačnı́k, aby se jeho osa
V kapitole 5.7 jsme rozebı́rali, jaký moment sı́ly M
stočila o úhel ϕ
~ . Ohledně stabilizace nás zajı́mala hlavně velikost tohoto gyroskopického momentu,
~ je kolmý na
nynı́ si povšimneme spı́še jeho směru. Ze vzorce (5.14) je vidět, že moment sı́ly M
směr pootočenı́ osy ϕ
~ . To si ostatně můžeme snadno ověřit pomocı́ kola z bicyklu. Tato vlastnost
působı́ na prvnı́ pohled poněkud záhadně. Pokusme se nynı́ tuto záhadu rozkrýt. Rovnice jsou prima
věc, intuitivnı́mu pochopenı́ však někdy úplně nepřejı́ (ale dojdeme k nim v kapitole 5.9). Proto se
pokusı́me původ gyroskopického momentu ilustrovat obrázkem.
Na obrázku 5.5 je zobrazen otáčejı́cı́ se setrvačnı́k. Osa setrvačnı́ku se stáčı́ ve směru šipky 1.
Podı́váme se na to, jakou trajektorii opisujı́ body na obvodu setrvačnı́ku.
Nejprve si všimneme bodu vpravo — jeho trajektorie je popsána šipkou 3. Jak se setrvačnı́k
otáčı́ kolem své osy, bod opisuje oblouk. Stáčenı́ osy navı́c způsobı́, že pravá část setrvačnı́ku klesá,
a oblouk tedy nevede vodorovně, ale mı́řı́ mı́rně dolů. Nicméně střed otáčenı́ zůstává stále uprostřed
setrvačnı́ku, proto je výsledná sı́la dostředivá a vně setrvačnı́ku se neprojevı́ (poradı́ si s nı́ tuhost
tělesa setrvačnı́ku).
Zajı́mavějšı́ situace nastane v přednı́ části setrvačnı́ku — trajektorie bodu je popsána šipkou
2. Otáčenı́ setrvačnı́ku opět způsobı́, že bod se pohybuje směrem doprava po oblouku se středem
uprostřed setrvačnı́ku. Přidáme-li však k tomuto ještě stáčenı́ osy setrvačnı́ku, trajektorie bodu se
prohne, jak je zobrazeno na obrázku. To je proto, že jak se časem osa setrvačnı́ku sklonı́, rychlost
bodu nebude mı́řit přı́mo doprava, ale pootočı́ se mı́rně dolů. Zrychlenı́ bodu má tedy určitou složku
ve směru dolů a na přednı́ bod setrvačnı́ku musı́ působit vnějšı́ sı́la směrem dolů. Na zadnı́ straně
setrvačnı́ku je situace obdobná a sı́la zde musı́ působit směrem nahoru. Tyto dvě sı́ly spolu vytvářı́
dvojici sil. Výsledkem je, že na setrvačnı́k musı́ působit vnějšı́ gyroskopický moment sı́ly ve směru
osy x, tedy kolmém na směr stáčenı́ osy.
5.9
Regulárnı́ precese
Zajı́mavým druhem pohybu setrvačnı́ku je tzv. regulárnı́ precese. Situace je zobrazena na obrázku
5.6. Rotačně symetrický setrvačnı́k se otáčı́ podle své osy úhlovou rychlostı́ ~ω . Velikost této rychlosti
ω je konstantnı́, měnı́ se však jejı́ směr. Osa setrvačnı́ku i vektor ~ω se totiž navı́c otáčı́ konstantnı́
úhlovou rychlostı́ ~
ωp . Vektory ~
ω a ~
ωp spolu svı́rajı́ úhel α. Zkusı́me si tento druh pohybu trochu
přiblı́žit.
Zavedeme si souřadnou soustavu. Aby byl popis co nejjednoduššı́, zvolı́me soustavu tak, že v
čase t = 0 budou souřadné osy zároveň hlavnı́mi osami setrvačnı́ku. Popis systému budeme provádět
právě pro čas t = 0. Pak můžeme využı́t toho, že deviačnı́ momenty jsou nulové a stačı́ počı́tat pouze
s momenty setrvačnosti. Shodnosti souřadných os s hlavnı́mi osami setrvačnı́ku bohužel nelze docı́lit
trvale, protože osa setrvačnı́ku se stáčı́, zatı́mco souřadná soustava musı́ být inerciálnı́ a stáčet se
35
ωp
α
ω
Obrázek 5.6: Regulárnı́ precese.
nesmı́.2 Naštěstı́ se nám některé vztahy podařı́ formulovat pouze pomocı́ vektorových operacı́ (např.
skalárnı́ a vektorový součin), takže budou na souřadné soustavě nezávislé a budou platit obecně
(tedy i v libovolném čase).
Volba souřadných os je zobrazena na obrázku 5.7. Osa z je totožná s osou setrvačnı́ku. Osa x
je vybrána tak, aby vektor ~
ωp ležel v rovině xz. Osa y je pak jednoznačně určena, aby byly osy na
sebe kolmé a tvořily pravotočivý systém. Vektory ~ω a ω
~ p pak majı́ tyto složky:
~ω = (0, 0, ω)
~ωp = (ωp sin α, 0, ωp cos α)
Tenzor setrvačnosti má složky:


J⊥ 0
0


Jˆ =  0 J⊥ 0 
0
0 Jk
~ se spočı́tá podle vzorce (4.20), tedy platı́:
Celková úhlová rychlost otáčenı́ setrvačnı́ku Ω
~ = ~ω + ω
Ω
~p
(5.15)
~ = (ωp sin α, 0, ω + ωp cos α)
Ω
(5.16)
~ se stejně jako ~
Vektor Ω
ω otáčı́ úhlovou rychlostı́ ω
~ p . Pomocı́ (3.3) vyjádřı́me jeho časovou změnu:
~ε =
~
dΩ
~ =~
= ~ωp × Ω
ωp × (~
ω+ω
~ p) = ω
~ p × ~ω + ~ωp × ~ωp = ω
~ p × ~ω + ~0
dt
~ε = ~ωp × ~ω
(5.17)
~ε = (0, −ωωp sin α, 0)
(5.18)
Moment hybnosti spočı́táme podle (4.26) a (5.16) takto:
bi = Jij Ωj
2
Neinerciálnı́m soustavám se pokud možno vyhneme, abychom zamezili zmatenı́. Např. v [2] je někdy obtı́žné
sledovat, kdy jde o derivaci vzhledem k tělesu a kdy vzhledem k prostoru. Při odvozenı́ Eulerových dynamických
~ Ono to nakonec nevadı́, protože obě derivace se lišı́
rovnic (16) se toto třeba vůbec nerozlišuje u derivace vektoru Ω.
~
~
o Ω × Ω, což je nula, ale mělo by se na to alespoň upozornit.
36
z
b
Ω
ω
α
ωp
x
Obrázek 5.7: Soustava souřadnic pro popis regulárnı́ precese.
~b = (J⊥ ωp sin α, 0, Jk (ω + ωp cos α))
(5.19)
Pokud si s tı́mto vztahem budeme chvilku hrát, podařı́ se nám ho přepsat do tvaru nezávislého na
volbě soustavy souřadnic. Jeden způsob může vypadat třeba takto:
~b = (Jk ωp sin α + (J⊥ − Jk )ωp sin α, 0, Jk ω + Jk ωp cos α)
~b = Jk ~
ωp + Jk ~
ω + (J⊥ − Jk )(ωp sin α, 0, 0)
~b = Jk (~
ωp + ~
ω) +
J⊥ − Jk
ω
~ × (~ωp × ~ω )
ω2
(5.20)
Energii otáčivého pohybu spočı́táme podle (4.47) a (5.16) takto:
1 ~
E = ~b Ω
2
E=
1
[J⊥ ωp2 sin2 α + Jk (ω + ωp cos α)2 ]
2
(5.21)
Moment sı́ly spočı́táme pomocı́ rovnic (4.54), (4.55) a (4.56):
Mx = J⊥ εx + (Jk − J⊥ )Ωy Ωz
My = J⊥ εy + (J⊥ − Jk )Ωx Ωz
Mz = Jk εz + (J⊥ − J⊥ )Ωx Ωy
~ dosadı́me z (5.18) a (5.16) a vyjde:
Za složky vektorů ~ε a Ω
Mx = Mz = 0
(5.22)
My = −Jk ωωp sin α − (Jk − J⊥ )ωp2 sin α cos α
(5.23)
37
Moment sı́ly bychom mohli spočı́tat ještě jiným způsobem. Stačı́ si uvědomit, že i vektor momentu
hybnosti ~b se otáčı́ rychlostı́ ~
ωp . Pak podle (3.11) a (3.3) musı́ platit:
~
~ = db = ~ωp × ~b
M
dt
Po dosazenı́ za ~ωp a ~b vyjde moment sı́ly stejně jako v (5.22) a (5.23). Nedostali jsme tedy nic nového.
Toto vyjádřenı́ momentu sı́ly se nám však hodı́ k něčemu jinému. Umožnı́ nám vyjádřit moment sı́ly
nezávisle na volbě soustavy souřadnic. Stačı́ jen za moment hybnosti ~b dosadit ze vztahu (5.20).
~ = Jk ~ωp × (~
M
ωp + ~
ω) +
J⊥ − Jk
ωp × (~ω × (~ωp × ~ω ))
~
ω2
Pomocı́ (2.8) lze toto poněkud zjednodušit:
~ = Jk +
M
Jk − J⊥
ωp · ω
~
~ ~
ωp × ~
ω
ω2
(5.24)
Tomuto momentu sı́ly se řı́ká gyroskopický moment. Stojı́ za to upozornit, že ačkoliv vektor ~ω se
v čase měnı́, hodnota výrazu ~
ωp · ~
ω (a tedy i celé závorky) je konstantnı́. Mı́sto členu v závorce se za
určitých okolnostı́ dá uvažovat pouze Jk . To je možné, pokud Jk = J⊥ nebo ~ωp ⊥ ~ω a nebo ωp ≪ ω.
Jinak je třeba tento člen uvažovat celý.3
5.10
Volný setrvačnı́k
Mějme rotačně symetrický setrvačnı́k. Zajı́má nás, jaký pohyb může setrvačnı́k vykonávat, nepůsobı́li na něj žádný vnějšı́ moment sı́ly.
~ Tato rychlost může
Setrvačnı́k se otáčı́. Jeho celkovou okamžitou úhlovou rychlost označı́me Ω.
~
být libovolná. Soustavu souřadnic zavedeme tak, že osa z je ve směru osy setrvačnı́ku a vektor Ω
je v rovině xz. Tento způsob jsme použili již v kapitole 5.9 a je zobrazen na obrázku 5.7. Na tomto
obrázku jsou zobrazeny také vektory ~
ωaω
~ p , které nynı́ budeme ignorovat. Výhodou této volby je,
že deviačnı́ momenty jsou nulové, a tenzor setrvačnosti má tedy jednoduchý tvar:


J⊥ 0
0


ˆ
J =  0 J⊥ 0 
0
0 Jk
Dosadı́me-li do (4.26), zjistı́me, že vektor momentu hybnosti ~b také ležı́ v rovině xz. Úhlové zrychlenı́
~ = ~0):
lze podle (4.53) spočı́tat takto (pro volný setrvačnı́k je M
~
~ε = Jˆ−1 (~b × Ω)
~ jsou v rovině xz, je jejich vektorový součin ~b × Ω
~ rovnoběžný s osou y. To se
Jelikož vektory ~b a Ω
−1
ˆ
násobenı́m diagonálnı́ maticı́ J nezměnı́, proto i úhlové zrychlenı́ ~ε je rovnoběžné s osou y. Jelikož
moment sı́ly je nulový, lze podle (3.11) psát:
d~b ~
=0
dt
Vı́me tedy, že vektor momentu hybnosti ~b se v čase neměnı́. Dále vı́me, že vektor úhlového zrychlenı́
~ A nakonec vı́me, že toto platı́ v každém časovém okamžiku (odvozenı́ jsme
~ε je kolmý na ~b i na Ω.
sice dělali v čase t = 0, tento čas ale nenı́ ničı́m vyjı́mečný). Je vidět, že jediný pohyb, který splňuje
~ se rovnoměrně otáčı́ kolem vektoru ~b ve směru vektoru ~ε. Jedná
výše uvedené, je takový, že vektor Ω
se tedy o regulárnı́ precesi, popsanou v kapitole 5.9.
3
V [3] se sice tvrdı́, že na tomto mı́stě vystupuje hodnota I0 , což je moment setrvačnosti k okamžité ose otáčenı́,
to však bohužel nenı́ pravda. Stačı́ na mı́stě setrvačnı́ku uvažovat dvě různá tělesa se stejným I0 — kouli a kruhovou
~ vyjde v obou přı́padech stejný (I0 Ω), avšak u koule je ~b k Ω,
~ zatı́mco u desky toto neplatı́.
desku. Průmět ~b do směru Ω
~
Proto vyjde u obou těles ω
~ p × b (gyroskopický moment) obecně jinak, ač majı́ I0 shodné.
38
Nynı́ máme pohyb volného setrvačnı́ku popsán kvalitativně, nikoliv však kvantitativně. Úhlové
rychlosti ~ω a ~
ωp totiž nemohou být zcela libovolné. Jsou spolu svázané určitým vztahem, protože
pouze pro některé hodnoty vycházı́ výsledný moment sı́ly nulový, což bylo zadáno. Pro nalezenı́
tohoto vztahu vyjdeme z rovnice (5.23) s tı́m, že My = 0:
Jk ωωp sin α + (Jk − J⊥ )ωp2 sin α cos α = 0
Jk ω + (Jk − J⊥ )ωp cos α = 0
Dostáváme vztah mezi úhlovými rychlostmi:
!
J⊥
− 1 ωp cos α
Jk
ω=
5.11
(5.25)
Regulárnı́ precese Země
Mějme volný setrvačnı́k z kapitoly 5.10. Zajı́mavý je přı́pad, kdy tělesem je rotačnı́ elipsoid blı́zký
kouli (nebo jiné těleso s podobnými hodnotami Jk a J⊥ ). Pak totiž platı́ ω ≪ ωp , což je poněkud
nezvyklé. Výraznějšı́m pohybem je v tomto přı́padě rotace rychlostı́ ωp kolem osy rotace různoběžné
s osou setrvačnı́ku. K tomuto pohybu se pak přidává pomalé otáčenı́ setrvačnı́ku rychlostı́ ω kolem
své osy, takže osa rotace opisuje na povrchu setrvačnı́ku kruh se středem na ose setrvačnı́ku. Pro
snadnějšı́ výpočet se dopustı́me ještě jednoho zjednodušenı́, a to že α → 0 (přı́padně α → π, ale pak
budeme brát ω jako záporné). Potom lze zanedbat člen cos α a také snadněji sčı́tat úhlové rychlosti
jako Ω = ω + ωp . Vztah (5.25) lze pak upravit:
!
ω=
J⊥
− 1 (Ω − ω)
Jk
ω=
J⊥
J⊥
−1 Ω+ 1−
Jk
Jk
!
!
ω
!
J⊥
ω=
Jk
J⊥
−1 Ω
Jk
ω = 1−
Jk
Ω
J⊥
(5.26)
Osa rotace tedy obı́há osu tělesa zdánlivou rychlostı́ ωr = −ω, pro kterou platı́:
ωr =
Jk
−1 Ω
J⊥
(5.27)
Pro přı́pad rotačnı́ho elipsoidu blı́zkého kouli využijeme vztahy (5.11) a (5.13) a dostaneme:
ωr =
1
−1 Ω
1−i
Jelikož i ≪ 1, lze psát:
ωr = iΩ
(5.28)
Takovým setrvačnı́kem je i naše Země. Země také vykonává regulárnı́ precesi. Průsečı́k osy rotace
s povrchem Země nenı́ stále na stejném mı́stě, ale opisuje nepravidelnou kružnici s poloměrem
maximálně asi 5 metrů (viz [2]). Pokud za Ω dosadı́me rychlost otáčenı́ Země kolem své osy (Ω =
2π/(23, 934 h), viz [1]) a za i dosadı́me zploštěnı́ Země (i = 0, 003 352 861, viz [1]), vyjde nám
ωr = 244, 50 · 10−9 s−1 . Perioda regulárnı́ precese tedy vycházı́ asi 297 dnı́. Naměřená hodnota
přitom je 427 dnı́ (viz [2]). Jde tedy o řádový souhlas a odchylka se podle [2] vysvětluje elasticitou
Země.
39
5.12
Rotujı́cı́ talı́ř
Pěkným přı́kladem volného setrvačnı́ku z kapitoly 5.10 je rotujı́cı́ talı́ř na tyči. Ze zkušenosti vı́me,
že talı́ř se neotáčı́ pouze kolem své osy, ale všelijak se kvedlá. Talı́ř pro nás bude kruhovou deskou.
Dosadı́me tedy do (5.25) vztahy (5.5) a (5.6) a dostaneme:
1
ω = − ωp cos α
2
Úhel α přitom bývá malý (resp. blı́zký π), takže člen cos α lze zanedbat (je-li α → π, bereme opět
ω jako záporné). Potom dostáváme vztah:
ω=−
ωp
2
(5.29)
Jako rychlost kvedlánı́ talı́ře přitom vnı́máme ωp . Jako rychlost otáčenı́ talı́ře vnı́máme celkovou
rychlost Ω:
Ω = ωp + ω
Dosadı́me za ω ze vztahu (5.29):
Ω = ωp −
Ω=
ωp
2
ωp
2
(5.30)
Závěr tedy je, že úhlová rychlost kvedlánı́ talı́ře je dvojnásobkem rychlosti jeho otáčenı́.
5.13
Těžký setrvačnı́k
Mějme rotačně symetrický setrvačnı́k otáčejı́cı́ se úhlovou rychlostı́ ~ω , na který působı́ vnějšı́ moment
~ daný vztahem:
sı́ly M
~
~ = ~a × ω
M
ω
(5.31)
Přitom ~a je nějaký v čase neměnný vektor.
Typickým přı́kladem těžkého setrvačnı́ku je dětská káča, předpokládáme-li že jejı́ uchycenı́ ve
vrcholu je odolné proti posunutı́. Hmotnost káči označı́me m. Intenzitu gravitačnı́ho pole označı́me
~g . Vzdálenost těžiště od mı́sta uchycenı́ označı́me l. Tı́ha působı́cı́ v těžišti je:
~ = m~g
G
Rameno je dáno vektorem:
~l = l ~ω
ω
Podle (3.7) je moment sı́ly působı́cı́ na káču:
~ = ~l × G
~
M
~ = ml ω
~ × ~g
M
ω
~
~ = −ml~g × ω
M
ω
Je tedy vidět, že i dětskou káču je možné popsat rovnicı́ (5.31). Za vektor ~a je pak třeba dosadit:
~a = −ml~g
(5.32)
40
Lze však najı́t vı́ce soustav chovajı́cı́ch se podobně (např. elektrický dipól v elektrickém poli,
proudová smyčka v magnetickém poli), proto nadále zůstaneme pouze u obecného popisu daného
rovnicı́ (5.31).
Začneme tı́m, že nebudeme hledat všechna řešenı́, ale spokojı́me se pouze s jednı́m. K nalezenı́
toho řešenı́ lze využı́t podobnosti vztahu (5.31) se vztahem (5.24). Okamžitě lze tvrdit, že regulárnı́
precese je řešenı́m. Zbývá pouze najı́t hodnotu vektoru ~ωp . Srovnáme obě rovnice a dostaneme:
Jk − J⊥
~a
= Jk +
ω
~p · ~
ω ω
~p
ω
ω2
Vektor ω
~ p je tedy rovnoběžný s vektorem ~a. Určı́me nynı́ jeho velikost a orientaci. Symbolem ωp
zde budeme rozumět průmět vektoru ~ωp do směru vektoru ~a mı́sto jeho velikosti. Umožnı́ nám to
zahrnout do popisu i směr otáčenı́. Symbolem α označı́me úhel mezi vektory ~a a ~ω .
Jk − J⊥
a
= Jk +
ωp cos α ωp
ω
ω
(Jk − J⊥ ) cos α ωp2 + Jk ωωp − a = 0
Platı́-li Jk = J⊥ nebo α = π/2, jde o lineárnı́ rovnici a řešenı́ je:
ωp =
a
Jk ω
(5.33)
V opačném přı́padě řešı́me kvadratickou rovnici:
ωp =
−Jk ω ±
q
Jk2 ω 2 + 4a(Jk − J⊥ ) cos α
2(Jk − J⊥ ) cos α
r
± 1+
ωp = ω
4a
Jk ω 2
2 1−
1−
J⊥
Jk
J⊥
Jk
cos α − 1
cos α
Záporný kořen (a někdy i kladný) dává velikost ωp srovnatelnou s ω. Jde tedy o jakousi obdobu
~ má jen zanedbatelný vliv. Zajı́mavějšı́
chovánı́ volného setrvačnı́ku z kapitoly 5.10, kde moment M
je kladný kořen:
r
1+
ωp = ω
4a
Jk ω 2
1−
2 1−
J⊥
Jk
J⊥
Jk
cos α − 1
(5.34)
cos α
Vzorec lze poněkud zjednodušit, je-li splněno:
4a
Jk ω 2
J⊥
1−
Jk
!
cos α ≪ 1
Tuto podmı́nku lze typicky splnit tak, že a je malé, takže a ≪ Jk ω 2 . Setrvačnı́k by přitom měl
mı́t nějaký rozumný tvar, aby J⊥ nebylo výrazně většı́ než Jk . Za těchto podmı́nek lze odmocninu
nahradit Taylorovým polynomem např. druhého řádu.
1+
ωp = ω
1
2
·
4a
Jk ω 2
a
a2
ωp =
− 2 3
Jk ω Jk ω
1−
J⊥
Jk
J⊥
1−
Jk
cos α −
2 1−
!
1
8
J⊥
Jk
h
4a
Jk ω 2
cos α
cos α
1−
J⊥
Jk
i2
cos α
−1
(5.35)
Vycházı́ nám tedy přibližně totéž jako v (5.33), druhý člen pouze ukazuje na mı́rnou závislost ωp na
úhlu α. Tu lze však většinou zanedbat.
41
d
α
h
l
Obrázek 5.8: Káča.
5.14
Káča
Mějme káču tvořenou setrvačnı́kem z autı́čka, zobrazenou na obrázku 5.8. Káča nejezdı́, jejı́ vrchol
je upevněn. Chceme spočı́tat periodu stáčenı́ osy setrvačnı́ku. Budeme předpokládat, že hmotnost
osy je zanedbatelná. Hmotnost setrvačnı́ku označı́me m. Frekvence otáčenı́ setrvačnı́ku kolem své
osy f je 50 Hz. Průměr setrvačnı́ku d je 3 cm. Tloušt’ka setrvačnı́ku h je 5 mm. Délka spodnı́ stopky
l je 1 cm. Sklon osy α je 5◦ .
Spočı́táme si momenty setrvačnosti setrvačnı́ku vzhledem k jeho těžišti (deviačnı́ momenty jsou
nulové). K tomu nám posloužı́ vzorce (5.1) a (5.2).
2
Jk′
d
1
= m
2
2
′
J⊥
d
1
= m 3
12
2
=
1
md2
8
" 2
2
+h
#
=
1
m(3d2 + 4h2 )
48
Spočı́táme momenty setrvačnosti podle skutečného středu otáčenı́, ale těleso nahradı́me pouze
hmotným bodem v těžišti (deviačnı́ momenty jsou opět nulové).
Jk′′ = 0
′′
J⊥
h
=m l+
2
2
1
= m(2l + h)2
4
Pomocı́ (4.43) vypočteme momenty setrvačnosti podle skutečného středu otáčenı́.
1
Jk = Jk′ + Jk′′ = md2
8
′
′′
J⊥ = J⊥
+ J⊥
=
J⊥ =
1
1
m[3d2 + 4h2 + 12(2l + h)2 ] = m[3d2 + 4h2 + 12(4l2 + 4lh + h2 )]
48
48
1
m(3d2 + 16h2 + 48l2 + 48lh)
48
Vyjádřı́me úhlovou rychlost otáčenı́ setrvačnı́ku:
ω = 2πf
Dosadı́me do rovnice (5.32):
a = m(l +
2l + h
mg
h
)g = mg ·
=
(2l + h)
2
2
2
42
Dosadı́me do vzorce (5.35). Spočı́táme zvlášt’ prvnı́ i druhý člen, abychom viděli, jaké chyby se
dopouštı́me zanedbánı́m druhého členu. Prvnı́ člen bude:
ωp′
mg
(2l + h)
2g
a
=
= 12 2
(2l + h)
=
Jk ω
πf
d2
8 md · 2πf
Druhý člen bude:
ωp′′
ωp′′
a2
=− 2 3
Jk ω
=−
J⊥
1−
Jk
!
m2 g 2
2
4 (2l + h)
1
2 4
3 3
64 m d · 8π f
cos α
1−
1
2
48 m(3d
+ 16h2 + 48l2 + 48lh)
1
2
8 md
2g2
3d2 + 16h2 + 48l2 + 48lh
ωp′′ = − 3 3 4 (2l + h)2 1 −
π f d
6d2
ωp′′ = −
ωp′′ =
!
!
cos α
cos α
2
2
2
2g2
2 3d − 16h − 48l − 48lh
(2l
+
h)
·
· cos α
π 3 f 3 d4
6d2
g2
3π 3 f 3 d6
(2l + h)2 (16h2 + 48l2 + 48lh − 3d2 ) cos α
Vyčı́slı́me ωp′ i ωp′′ a dostaneme:
ωp′ = 3, 4684 s−1
ωp′′ = 34, 614 · 10−3 s−1
ωp = ωp′ + ωp′′ = 3, 5030 s−1
Perioda stáčenı́ osy setrvačnı́ku potom vycházı́:
Tp =
2π
= 1, 7937 s
ωp
Je vidět, že zanedbánı́m členu ωp′′ bychom se dopustili chyby asi 1%.
5.15
Obecná precese
Mějme těžký setrvačnı́k z kapitoly 5.13. Viděli jsme, že jednı́m z možných řešenı́ je regulárnı́ precese.
Při takovém pohybu se osa setrvačnı́ku rovnoměrně stáčı́ a vzniklý gyroskopický moment právě
odpovı́dá momentu způsobenému tı́hou setrvačnı́ku. Co se však stane, nebudou-li tyto momenty
v rovnováze? K tomu přitom dojde velice snadno. Pokud např. roztočı́me dětskou káču, postavı́me
ji šikmo a pustı́me, nebude se ze začátku osa vůbec stáčet, gyroskopický moment bude nulový a
káča začne padat. Při pádu však začne gyroskopický moment působit a káču dostane do precesnı́ho
pohybu. Ten však nebude regulárnı́ — káča se bude jakoby houpat. Obecný precesnı́ pohyb tedy
vypadá tak, že se osa setrvačnı́ku stáčı́ stále dokola a přitom se ještě kýve nahoru a dolů. Tomuto
kývánı́ se řı́ka nutace. Nynı́ si zkusı́me takový obecný precesnı́ pohyb popsat. Tato úloha se většinou
řešı́ pomocı́ Lagrangeových rovnic, protože se zde ale snažı́me s matematikou držet při zemi, tento
aparát nepoužijeme. Řešenı́ je tak sice obtı́žnějšı́, nám však nynı́ posloužı́ lépe.
Polohu osy setrvačnı́ku budeme popisovat pomocı́ dvou úhlů. Úhel ϕ určuje otočenı́ osy kolem
svislice, zatı́mco úhel ϑ udává výšku osy nad vodorovnou rovinou. Vektor ~a mı́řı́ přı́mo nahoru. Vše
je zobrazeno na obrázku 5.9.
Soustavu souřadnic zavedeme opět tak, abychom se vyhnuli deviačnı́m momentům. Osa z bude
v čase t = 0 shodná s osou setrvačnı́ku a vektor ~a bude ležet v rovině xz. (Toto opět platı́ pouze
43
a
ω
ϑ
ϕ
Obrázek 5.9: Úhly popisujı́cı́ sklon osy.
x
z
a, ωϕ, εϕ
ϑ
ω, ε
y, ωϑ, εϑ
Obrázek 5.10: Soustava souřadnic.
44
v čase t = 0, protože soustava musı́ být inerciálnı́. Počátek času lze však zvolit libovolně, výpočet
lze tedy aplikovat pro libovolný okamžik pohybu a odvozené vzorce majı́ opět obecnou platnost.)
Zavedenı́ soustavy souřadnic je zobrazeno na obrázku 5.10. V této soustavě platı́:
~a = (a cos ϑ, 0, a sin ϑ)

(5.36)

J⊥ 0
0


ˆ
J =  0 J⊥ 0 
0
0 Jk
(5.37)
Pohyb setrvačnı́ku je poměrně složitý a je složen ze třech jednoduchých pohybů. Prvnı́m pohybem
je otáčenı́ setrvačnı́ku kolem své osy úhlovou rychlostı́ ~ω . Přı́padné změny této rychlosti lze popsat
úhlovým zrychlenı́m ~
ε. Tento otáčejı́cı́ se setrvačnı́k pak vykonává druhý pohyb — kývánı́ nahoru
dolů podle úhlu ϑ úhlovou rychlostı́ ω
~ ϑ a s úhlovým zrychlenı́m ~εϑ . Nakonec tento kývajı́cı́ se
setrvačnı́k vykonává třetı́ pohyb — otáčenı́ kolem svislice podle úhlu ϕ úhlovou rychlostı́ ~
ωϕ a
s úhlovým zrychlenı́m ~εϕ . Rozepı́šeme uvedené úhlové rychlosti a zrychlenı́ do složek:
~ω = (0, 0, ω)
(5.38)
~ε = (0, 0,
dω
)
dt
(5.39)
~ωϑ = (0,
dϑ
, 0)
dt
(5.40)
~εϑ = (0,
d2 ϑ
, 0)
dt2
(5.41)
dϕ
dϕ
cos ϑ, 0,
sin ϑ)
dt
dt
(5.42)
d2 ϕ
d2 ϕ
cos ϑ, 0, 2 sin ϑ)
2
dt
dt
(5.43)
~ωϕ = (
~εϕ = (
~ výsledného složeného pohybu využijeme vzorec (4.24):
K výpočtu úhlové rychlosti Ω
~ =~
Ω
ωϕ + (~
ωϑ + ~
ω) = ~
ωϕ + ~
ωϑ + ~ω
Dosadı́me hodnoty ze vztahů (5.38), (5.40) a (5.42):
Ωx =
dϕ
cos ϑ
dt
(5.44)
Ωy =
dϑ
dt
(5.45)
Ωz = ω +
dϕ
sin ϑ
dt
(5.46)
~ výsledného složeného pohybu vypočı́táme pomocı́ vzorce (4.25):
Úhlové zrychlenı́ E
~ = ~εϕ + (~εϑ + ~ε + ~
E
ωϑ × ~
ω) + ~
ωϕ × (~ωϑ + ~ω )
~ = ~εϕ + ~εϑ + ~ε + ~
E
ωϕ × ~
ωϑ + ω
~ ϕ × ~ω + ~ωϑ × ~ω
Pomocı́ (5.38), (5.40) a (5.42) si nejprve vyjádřı́me použité vektorové součiny:
~ωϕ × ~
ωϑ = (−
dϕ dϑ
dϕ dϑ
sin ϑ, 0,
cos ϑ)
dt dt
dt dt
45
~ωϕ × ω
~ = (0, −ω
~ωϑ × ω
~ = (ω
dϕ
cos ϑ, 0)
dt
dϑ
, 0, 0)
dt
Dosadı́me (5.39), (5.41), (5.43) a vektorové součiny a dostaneme:
Ex =
dϑ dϕ dϑ
d2 ϕ
−
sin ϑ
cos ϑ + ω
dt2
dt
dt dt
(5.47)
Ey =
d2 ϑ
dϕ
−ω
cos ϑ
dt2
dt
(5.48)
Ez =
d2 ϕ
dω
dϕ dϑ
cos ϑ +
sin ϑ +
2
dt
dt dt
dt
(5.49)
~ působı́cı́
Dosadı́me do (4.54), (4.55) a (4.56) a s užitı́m (5.37) dostaneme výsledný moment sı́ly M
na setrvačnı́k:
Mx = J⊥ Ex + (Jk − J⊥ )Ωy Ωz
My = J⊥ Ey + (J⊥ − Jk )Ωx Ωz
Mz = Jk Ez
~ aE
~ ze vztahů (5.44), (5.45), (5.46), (5.47), (5.48) a (5.49) a dostaneme
Použijeme složky vektorů Ω
pro x-ovou složku momentu sı́ly:
!
Mx = J⊥
dϑ
dϑ dϕ dϑ
d2 ϕ
dϕ
−
sin ϑ + (Jk − J⊥ )
sin ϑ
cos ϑ + ω
ω+
dt2
dt
dt dt
dt
dt
Mx = J⊥
dϕ dϑ
dϑ
dϕ
d2 ϕ
cos ϑ − 2
sin ϑ + Jk
sin ϑ
ω+
2
dt
dt dt
dt
dt
!
(5.50)
Pro y-ovou složku:
!
d2 ϑ
dϕ
dϕ
dϕ
−ω
cos ϑ + (J⊥ − Jk )
cos ϑ ω +
sin ϑ
2
dt
dt
dt
dt
My = J⊥
My = J⊥
"
d2 ϑ
+
dt2
dϕ
dt
2
#
sin ϑ cos ϑ − Jk
dϕ
dϕ
cos ϑ ω +
sin ϑ
dt
dt
(5.51)
Pro z-ovou složku:
Mz = Jk
d2 ϕ
dω
dϕ dϑ
cos ϑ +
sin ϑ +
dt2
dt dt
dt
!
(5.52)
Budeme-li mı́t popsán pohyb setrvačnı́ku pomocı́ časového průběhu úhlů ϕ a ϑ a úhlové rychlosti
ω, můžeme nynı́ pomocı́ vztahů (5.50), (5.51) a (5.52) snadno spočı́tat časový průběh momentu sı́ly
~ , který na setrvačnı́k působı́. Naše úloha je však opačná — chceme určit časový průběh ϕ, ϑ a ω,
M
zatı́mco působı́cı́ moment sı́ly známe. Je určen rovnicı́ (5.31):
~
~ = ~a × ω
M
ω
Dosadı́me za ~a a ~ω ze vztahů (5.36) a (5.38) a dostaneme:
~ = (0, −a cos ϑ, 0)
M
46
~ do (5.50), (5.51) a (5.52), zı́skáme soustavu třech diferenciálnı́ch
Dosadı́me-li tento vztah pro M
rovnic pro tři neznámé ϕ, ϑ a ω:
!
dϑ
dϕ dϑ
dϕ
d2 ϕ
sin ϑ + Jk
sin ϑ = 0
cos ϑ − 2
ω+
2
dt
dt dt
dt
dt
J⊥
J⊥
"
d2 ϑ
+
dt2
dϕ
dt
2
#
dϕ
dϕ
cos ϑ ω +
sin ϑ + a cos ϑ = 0
sin ϑ cos ϑ − Jk
dt
dt
dω
dϕ dϑ
d2 ϕ
cos ϑ +
sin ϑ +
2
dt
dt dt
dt
Jk
!
=0
(5.53)
(5.54)
(5.55)
Nynı́ zbývá tuto soustavu vyřešit. To lze samozřejmě udělat numericky, ale v tomto přı́padě existuje
i analytické řešenı́. Nejprve si všimneme, že rovnice (5.55) se dá poměrně snadno integrovat:
Jk
dϕ
sin ϑ + ω = konst.
dt
Našli jsme tedy veličinu, jejı́ž hodnota se během pohybu neměnı́. Označı́me ji A a definujeme jako:
A = Jk
dϕ
ω+
sin ϑ
dt
(5.56)
Tento výraz se v rovnicı́ch (5.53) a (5.54) vyskytuje, lze je tedy poněkud zjednodušit:
!
dϑ
dϕ dϑ
d2 ϕ
sin ϑ + A
=0
cos ϑ − 2
2
dt
dt dt
dt
J⊥
J⊥
"
d2 ϑ
+
dt2
dϕ
dt
2
#
sin ϑ cos ϑ − A
dϕ
cos ϑ + a cos ϑ = 0
dt
(5.57)
(5.58)
Rovnice (5.57) by šla také pěkně integrovat, překážı́ nám v nı́ však ta dvojka. Pomůžeme si tı́m, že
ji nejprve rozšı́řı́me výrazem cos ϑ:
!
dϑ
dϕ dϑ
d2 ϕ
sin ϑ cos ϑ + A
cos ϑ = 0
cos2 ϑ − 2
dt2
dt dt
dt
J⊥
Nynı́ již lze snadno integrovat:
J⊥
dϕ
cos2 ϑ + A sin ϑ = konst.
dt
Opět jsme našli konstantnı́ veličinu. Označı́me ji B a definujeme jako:
B = J⊥
dϕ
cos2 ϑ + A sin ϑ
dt
(5.59)
Z rovnice (5.59) lze vyjádřit časovou změnu úhlu ϕ:
dϕ
B − A sin ϑ
=
dt
J⊥ cos2 ϑ
(5.60)
Z rovnice (5.56) můžeme vyjádřit úhlovou rychlost ω:
ω=
dϕ
A
sin ϑ
−
Jk
dt
Dosadı́me za
ω=
dϕ
dt
ze vzorce (5.60):
B − A sin ϑ
A
−
sin ϑ
Jk
J⊥ cos2 ϑ
47
ω=
A
A sin2 ϑ − B sin ϑ
+
Jk
J⊥ cos2 ϑ
(5.61)
Podle rovnice (5.60) můžeme také dosadit do rovnice (5.58). Dostáváme tak pouze jednu diferenciálnı́
rovnici s jednou neznámou ϑ. Najdeme-li jejı́ řešenı́, ostatnı́ neznámé z něj vypočı́táme pomocı́ vztahů
(5.60) a (5.61). Rovnice pro ϑ tedy vypadá takto:
#
J⊥
"
J⊥
d2 ϑ (B − A sin ϑ)2
B − A sin ϑ
+
sin ϑ − A
cos2 ϑ + a cos ϑ = 0
2
3
dt
J⊥ cos ϑ
J⊥ cos3 ϑ
J⊥
d2 ϑ B − A sin ϑ
+
[(B − A sin ϑ) sin ϑ − A cos2 ϑ] + a cos ϑ = 0
dt2
J⊥ cos3 ϑ
J⊥
d2 ϑ (B − A sin ϑ)(B sin ϑ − A)
+ a cos ϑ = 0
+
dt2
J⊥ cos3 ϑ
d2 ϑ
+
dt2
B − A sin ϑ
J⊥ cos2 ϑ
2
sin ϑ cos ϑ − A
B − A sin ϑ
cos ϑ + a cos ϑ = 0
J⊥ cos2 ϑ
d2 ϑ (A sin ϑ − B)(A − B sin ϑ)
a
+
cos ϑ = 0
+
2
2
3
dt
J⊥
J⊥ cos ϑ
(5.62)
Nynı́ tedy stačı́ řešit pouze tuto jednu diferenciálnı́ rovnici o jedné neznámé.4 Tato rovnice je však
druhého řádu, což někdy nemusı́ být přı́jemné. Zkusı́me ji tedy nynı́ upravit na rovnici prvnı́ho řádu.
Pro zkrácenı́ zápisu si zavedeme funkci f takto:
f (ϑ) =
(A sin ϑ − B)(A − B sin ϑ)
a
+
cos ϑ
2 cos3 ϑ
J⊥
J⊥
(5.63)
Rovnici (5.62) pak lze zapsat jako:
d2 ϑ
+ f (ϑ) = 0
dt2
Nynı́ rovnici rozšı́řı́me výrazem
dϑ
dt
a zintegrujeme:
d2 ϑ dϑ dϑ
+
f (ϑ) = 0
dt2 dt
dt
1
2
dϑ
dt
2
+ F (ϑ) = konst.
Konstantu označı́me C a najdeme funkci F , která je primitivnı́ funkcı́ k f :
F (ϑ) =
Z
F (ϑ) =
(A sin ϑ − B)2
a
+
sin ϑ
2 cos2 ϑ
2J⊥
J⊥
f (ϑ) dϑ
(5.64)
Dostáváme tedy diferenciálnı́ rovnici prvnı́ho řádu pro neznámou ϑ:5
1
2
dϑ
dt
2
+
a
(A sin ϑ − B)2
+
sin ϑ = C
2
2
J⊥
2J⊥ cos ϑ
(5.65)
4
Je zvláštnı́, že ačkoliv rovnice (5.53), (5.54) a (5.55) se shodujı́ s [4] a byly prováděny stejné úpravy, výsledná
rovnice (5.62) vycházı́ jinak. Snažil jsem se věc ověřit tak, že jsem rovnice (5.53), (5.54) a (5.55) vyřešil numericky a
výslednou funkci dosadil do rovnice (5.62) i jejı́ho ekvivalentu v [4]. Numerický výpočet je samozřejmě zatı́žen chybami,
takže kontrola nenı́ 100%-nı́, něco z nı́ však usoudit lze. U rovnice (5.62) se obě strany lišily o asi padesátinu hodnoty
prvnı́ho členu, zatı́mco u rovnice z [4] byla chyba asi desetinásobkem tohoto členu. Zdá se tedy, že chyba bude v [4],
což je poněkud zvláštnı́, nebot’ jim vyšla zkouška, kdy tutéž rovnici odvodili jiným způsobem.
5
K této rovnici bychom se také dostali, kdybychom vycházeli ze zákona zachovánı́ mechanické energie. Tak se to
dělá např. v [2].
48
a)
b)
c)
Obrázek 5.11: Obecná precese. a) Houpánı́. b) Setrvačnı́k se právě zastavı́. c) Setrvačnı́k se vracı́.
Tato rovnice je řešitelná analyticky6 (viz [2]), což zde však dělat nebudeme. Jednak to neumı́m a
jsem lı́ný se to učit, jednak to pro pochopenı́ chovánı́ setrvačnı́ku nenı́ důležité. Spı́še si povı́me, jak
asi takové řešenı́ vypadá.
Existuje např. řešenı́, kdy je úhel ϑ konstantnı́. Z rovnic (5.60) a (5.61) je pak zřejmé, že úhel ϕ
roste rovnoměrně s časem a úhlová rychlost ω je konstantnı́. Jde tedy o regulárnı́ precesi popsanou
v kapitole 5.13.
Jinak úhel ϑ typicky osciluje mezi dvěma hodnotami ϑmin a ϑmax . Úhel ϕ přitom postupně roste,
takže osa setrvačnı́ku se pozvolna stáčı́ kolem svislé osy a přitom se houpe nahoru a dolů. Rychlost
stáčenı́ osy dϕ
dt je dána vztahem (5.60), nenı́ tedy stále stejná. Měnı́ se v závislosti na výšce ϑ, tedy
také osciluje. Rozkmit může být i tak velký, že zasahuje až do záporných hodnot. Osa setrvačnı́ku
se pak chvı́lemi i vracı́ a opisuje tak smyčky (viz obr. 5.11).
Z rovnice (5.61) plyne zajı́mavý poznatek: U obecné precese nenı́ rychlost otáčenı́ setrvačnı́ku
kolem své osy ω v čase neměnná, ale měnı́ se spolu s výškou ϑ. To je na prvnı́ pohled překvapivé,
~ působı́cı́ na setrvačnı́k je v každém okamžiku kolmý na jeho osu, což je zřejmé
nebot’ moment sı́ly M
ze vztahu (5.31). Dalo by se tedy očekávat, že bude způsobovat pouze stáčenı́ této osy a rychlost
otáčenı́ setrvačnı́ku neovlivnı́. V kapitole 5.16 se tohoto tématu dotkneme trochu vı́ce.
5.16
Powerball
V kapitole 5.15 jsme rozebı́rali pohyb tzv. těžkého setrvačnı́ku. Přitom jsme si všimli zvláštnı́ věci —
~
velikost úhlové rychlosti otáčenı́ setrvačnı́ku kolem své osy ω se v čase měnı́, ačkoliv moment sı́ly M
působı́cı́ na setrvačnı́k je vždy kolmý k jeho ose. Na prvnı́ pohled by se tedy zdálo, že je snad možné
setrvačnı́k roztočit pouhým kývánı́m jeho osy. Dokonce se prodává hračka s názvem powerball“,
”
o které si mnoho lidı́ myslı́, že právě takového chovánı́ využı́vá. Zkusı́me situaci prozkoumat.
Pohyb setrvačnı́ku budeme popisovat stejně jako v kapitole 5.15, tedy pomocı́ časového průběhu
~ působı́cı́ na setrvačnı́k určujı́ rovnice (5.50), (5.51) a
dvou úhlů ϕ a ϑ a rychlosti ω. Moment sı́ly M
(5.52). V kapitole 5.15 byl působı́cı́ moment přesně znám, zde však budeme předpokládat, že může
být libovolný. Klademe na něj pouze jednu podmı́nku — musı́ být kolmý na osu setrvačnı́ku, nebot’
ten je uložen volně (např. v ložisku). Vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic lze tuto podmı́nku
zapsat jako:
Mz = 0
Využijeme (5.52) a pı́šeme:
dϕ dϑ
dω
d2 ϕ
sin ϑ +
cos ϑ +
=0
dt2
dt dt
dt
6
Naopak pro numerické řešenı́ je vhodnějšı́ rovnice (5.62). U rovnice (5.65) dělajı́ problém body, kdy
49
dϑ
dt
= 0.
Zopakujeme postup z kapitoly 5.15 a rovnici zintegrujeme:
dϕ
sin ϑ + ω = konst.
dt
ω=−
dϕ
sin ϑ + konst.
dt
Vidı́me tedy, že rychlost ω je stavová veličina“ — známe-li stav setrvačnı́ku (rychlost dϕ
dt a úhel
”
ϑ), spočı́táme si rychlost ω a vůbec přitom nepotřebujeme vědět, jaký pohyb vykonával setrvačnı́k
předtı́m a jakou cestou se do tohoto stavu dostal. To však znamená, že setrvačnı́k nenı́ možné
nějakým stáčenı́m osy roztočit. Ostatně i onen zmiňovaný powerball se pravděpodobně roztáčı́ jinak
— jeho osička jezdı́ ve žlábku uvnitř pouzdra, odvaluje se po stěnách žlábku a tı́m se roztáčı́ (viz
[5]).
5.17
Numerické řešenı́
~ , který umı́me spočı́tat,
Mějme těleso, které se může volně otáčet. Na těleso působı́ moment sı́ly M
známe-li orientaci tělesa. Našı́m úkolem je zjistit časový vývoj orientace tělesa.
Chceme-li popsat otáčenı́ nějakého skutečného tělesa, je pro nás většinou analytické řešenı́ rovnic
přı́liš obtı́žné až nemožné. V takovém přı́padě si musı́me vystačit s numerickým řešenı́m. Bylo by
samozřejmě možné postupovat podobně jako v kapitole 5.15 a orientaci tělesa popisovat pomocı́
dvou úhlů, v praxi však můžeme narazit na tyto komplikace:
• V námi preferované souřadné soustavě těleso má deviačnı́ momenty. Museli bychom tedy najı́t
jeho hlavnı́ osy, zavést dalšı́ souřadnou soustavu a mezi těmito soustavami stále přepočı́távat.
• Popis orientace pomocı́ dvou úhlů má dvě problematická mı́sta — póly. Pokud se dostaneme do
blı́zkosti pólů, můžeme očekávat nepřesnosti a jiné problémy při řešenı́. Nemůžeme-li zaručit,
že se řešenı́ těmto bodům nepřiblı́žı́, nastává problém.
Chceme-li se těmto komplikacı́m vyhnout, lze užı́t následujı́cı́ přı́stup.
Těleso budeme popisovat v jedné inerciálnı́ souřadné soustavě, která nám bude vyhovovat. Pak
však musı́me počı́tat s tı́m, že tenzor setrvačnosti Jˆ je proměnná veličina a stane se tak neznámou
(přesněji devı́ti neznámými, protože jde o matici) našich diferenciálnı́ch rovnic. Druhou neznámou
bude úhlová rychlost otáčenı́ ~
ω . Jako výstup výpočtu očekáváme časový vývoj orientace tělesa,
kterou musı́me být schopni nějak popsat. Proto si vybereme nějaké typické body tělesa nebo směry
a popı́šeme je několika vektory {~ui }ni=1 , které se budou otáčet spolu s tělesem. Těchto vektorů si
můžeme zvolit libovolný počet, ale typicky stačı́ tři — každý pro jednu osu tělesa.
ˆ
Výpočet tedy spočı́vá v numerickém řešenı́ soustavy diferenciálnı́ch rovnic pro neznámé J(t),
n
ˆ
ω
~ (t) a {~ui (t)}i=1 . Počátečnı́ hodnotu J(0) určı́me podle vztahu (4.36). Počátečnı́ hodnoty ~ω (0) a
{~ui (0)}ni=1 známe. Soustavu složı́me z následujı́cı́ch rovnic — pro časovou změnu Jˆ použijeme vztah
(4.16) a dostaneme:
dJij
= (δik εjml − δjl εikm )Jkl ωm
dt
Pro vyčı́slovánı́ bude lepšı́ rovnici trochu upravit:
dJij
= εjml Jil ωm − εikm Jkj ωm
dt
dJij
= εjml Jil ωm − εikl Jkj ωl
dt
dJij
= εjkl Jil ωk + εikl Jlj ωk
dt
50
Tato rovnice vlastně představuje devět rovnic. Pro lepšı́ představu je rozepı́šeme:
dJ11
= J13 ω2 − J12 ω3 + J31 ω2 − J21 ω3
dt
dJ12
= J11 ω3 − J13 ω1 + J32 ω2 − J22 ω3
dt
dJ13
= J12 ω1 − J11 ω2 + J33 ω2 − J23 ω3
dt
dJ21
= J23 ω2 − J22 ω3 + J11 ω3 − J31 ω1
dt
dJ22
= J21 ω3 − J23 ω1 + J12 ω3 − J32 ω1
dt
dJ23
= J22 ω1 − J21 ω2 + J13 ω3 − J33 ω1
dt
dJ31
= J33 ω2 − J32 ω3 + J21 ω1 − J11 ω2
dt
dJ32
= J31 ω3 − J33 ω1 + J22 ω1 − J12 ω2
dt
dJ33
= J32 ω1 − J31 ω2 + J23 ω1 − J13 ω2
dt
Pro časovou změnu ω
~ použijeme vztah (4.53) a (4.27) a dostaneme rovnici, která však představuje
tři rovnice:
d~ω
~ + (Jˆ~
= Jˆ−1 [M
ω) × ~
ω]
dt
~ může být funkcı́ času a vektorů {~ui }n . Pro zrychlenı́ výpočtu inverznı́
Přitom moment sı́ly M
i=1
−1
ˆ
ˆ se neměnı́, a spočı́tat ji pouze jednou
matice J
lze předpokládat, že hodnota determinantu |J|
na začátku. Pro časovou změnu vektorů {~ui }ni=1 použijeme (3.3) a dostaneme rovnice (pro každé
i ∈ {1, 2, . . . , n}):
d~ui
=~
ω × ~ui
dt
51
52
Literatura
[1] Webové stránky http://www.wikipedia.org/
[2] Langer J., Podolský J., Teoretická mechanika, vybrané části přednášky OFY003, Ústav teoretické
fyziky MFF UK, 2000, http://www.scribd.com/doc/7203684/tuheteleso
[3] Houfek L., Krejčı́ P., webové stránky Studijnı́ opory z dynamiky, Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky, 2006,
http://www.umt.fme.vutbr.cz/~pkrejci/opory/dynamika/kapitola_4.html
[4] Peraire J., Widnall S., Lecture L30 — 3D Rigid Body Dynamics: Tops and Gyroscopes, 2008,
http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/
16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec30.pdf
[5] Přı́spěvek v diskusi vysvětlujı́cı́ funkci powerballu,
http://www.ball.cz/web_redir?aparameters=aid_nast:953&aParameters=aKod_r:
forum_tema&aParameters=RP_VLAKNO:285&aParameters=RP_DISKUZE_PRODUKTU:0&
aParameters=RP_DISKUZE_CLANKU:0&aParameters=RP_ID_FORA:2
53

výpočet - Petr Šlechta (Piitr)

Transkript

Podobné dokumenty