Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od

Transkript

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta dopravní
Ústav řídicí techniky a telematiky
Bakalářská práce
Určení přesnosti transformace souřadnic pro
výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla
Praha 2008
JIŘÍ BARNET
1
Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedených
literárních pramenů.
Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu §60 Zákona č.
121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o
změně některých zákonů (autorský zákon).
Praha, srpen 2008
Jiří Barnet .............................................
2
Abstrakt
Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální
trajektorie vozidla
Teoretická část práce se zabývá definicí základních geodetických pojmů, prostředky
kosmické geodézie a definicí použitých souřadnicových systémů. Dvě kapitoly jsou
věnovány podrobnému odvození lokálního transformačního klíče pomocí Helmertovy
transformace a matematickým základům Křovákova zobrazení.
Praktická část práce porovnává přesnost získaných výsledků pomocí globální
transformace a vypočtené lokální transformace na několika úrovních a snaží se
získat na definovaném testovacím okruhu co nejpřesnějších výsledků. V příloze je
uveden popis programu, který byl vytvořen pro potřeby této práce.
Summary
Spatial transformation accuracy for research of car trajectory
The theoretical part of this thesis deals about the basic geodetic definitions, the
cosmic geodesy resources and the definitions of used coordinate systems. Two of
the chapters are dedicated to detailed deduction of the local transformation key by
Helmert’s transformation and mathematic basis of the Křovák’s projection.
The practical part of the thesis matches accuracy of acquired results by global and
local transformation on several levels and try to get on the proving ground the most
accurate results as possible. In the appendix is introduced description of the program
created with correspondence of the requirements of coordinate transformation
accuracy.
Klíčová slova:
Geodézie, Křovákovo zobrazení, Helmertova transformace, souřadnicový systém,
kartografie, S-JTSK, WGS-84, ITRF-05, ETRS-89, lokální transformační klíč
Keywords:
Geodesy,
Křovák‘s
projection,
Helmert‘s
transformation,
coordinate
system,
cartography, S-JTSK, WGS-84, ITRF-05, ETRS-89, local transformation key
3
Obsah:
Seznam zkratek: ......................................................................................................... 6 1. Úvod .................................................................................................................... 8 2. Geodetické a kartografické základy ................................................................... 11 2.1. Základní geodetické pojmy: ......................................................................... 12 2.2. Kartografické zobrazovací metody .............................................................. 16 2.3. Prostředky kosmické geodézie .................................................................... 18 3. WGS-84 a další souřadnicové systémy ............................................................. 20 3.1. WGS-84 ....................................................................................................... 20 3.2. ETRS-89 ...................................................................................................... 21 3.2.1. Konvenční referenční systémy ...............................................................21 4. S-JTSK .............................................................................................................. 23 5. Helmertova transformace .................................................................................. 27 5.1. Základní Helmertova metoda ...................................................................... 27 5.2. Výpočet lokálního transformačního klíče ..................................................... 30 5.3. Metoda nejmenších čtverců ......................................................................... 33 5.4. Redukce souřadnic k těžišti ......................................................................... 34 6. Převod souřadnic mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK ........................................ 36 6.1. Přepočet geodetických souřadnic ETRS-89 do pravoúhlých ....................... 36 6.2. Sedmiprvková transformace souřadnic ....................................................... 36 6.3. Převod pravoúhlých souřadnic S-JTSK do geodetických ............................ 36 6.4. Převod geodetických souřadnic S-JTSK do rovinných ................................ 38 6.4.1. Konformní Gaussovo zobrazení Besselova elipsoidu na referenční kouli
38 6.4.2. Transformace souřadnic na Gaussově kouli s posunutým pólem .......... 39 6.4.3. Konformní kuželové zobrazení s tečným kuželem k základní rovnoběžce
a vrcholem kužele Q...........................................................................................39 4
6.4.4. Převod polárních souřadnic na pravoúhlé.............................................. 40 7. Převod souřadnic mezi systémy WGS-84 a ETRS-89....................................... 41 8. Globální transformace ....................................................................................... 43 9. Lokální transformace ......................................................................................... 49 10. Porovnání přesnosti použitých transformací ................................................... 51 10.1. Vyhodnocení globální a lokální transformace........................................... 51 10.2. Možnosti zvýšení přesnosti transformovaných souřadnic ........................ 62 10.3. S-JTSK/95 ................................................................................................ 64 11. Závěr .............................................................................................................. 66 Seznam obrázků a tabulek: ...................................................................................... 69 Použitá literatura....................................................................................................... 71 Seznam příloh: ......................................................................................................... 75 5
Seznam zkratek:
ADAS
Advanced Driving Assist Systems
AGS
astronomicko-geodetická síť
BIH
Bureau International de I’Heure
Bpv
výškový systém Balt po vyrovnání
CEP
Celestin Ephemeris Pole
CIO
Conventional International Origin
CTP
Conventional Terrestrial Pole
CZEPOS
česká polohová síť
DOPNUL
kampaň „doplnění sítě nultého řádu“ napojení polohy bodů na
EUREF
DORIS
Doppler Obitography and Radiopositioning Integrated by Satellite
EGM 96
Earth Gravity Model 1996
ETRF-89
European Terrestrial Reference Frame 1989
EUREF
European Reference Frame
GIS
Geografické informační systémy
GLONASS
ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система – Globální
navigační satelitní systém (Rusko)
GNSS
Global Navigation Satellite System
GPS
Global Position System
GRS-80
Geodetic Reference System 1980
IAT
International Atomique Temps
ICRS(F)
International Celestial Reference System (Frame)
IERS
International Earth Rotation and Reference Systems Service
ITRS(F)
International Terrestrial Reference System (Frame)
LLR
Lunar Laser Ranging
MNČ
Metoda nejmenších čtverců
6
NATO
North Atlantic Treaty Organisation
PRARE
Precise Range And Range-rate Equipment
S-42/83
Souřadnicový systém 1942/1983
S-JTSK(/95)
Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (zdokonalený)
SLR
Satellite Laser Ranging
TB
trigonometrický bod
TL
triangulační list
UTC
Coordinated Universal Time
UTM
Universal Transverse Mercator
VLBI
Very Long Baseline Interferometry
VÚGTK
Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický
WGS-84
World Geodetic System 1984
ZÚ
Zeměměřičský úřad
7
1. Úvod
V rámci výzkumu pozornosti řidiče a jeho vlivu na řízení lze zkoumat odchylku od
zamýšlené ideální trajektorie. Tyto odchylky mohou být způsobeny únavou řidiče
(mikrospánky) nebo ovládáním různých zařízení na palubní desce (radiopřijímač,
navigace) a mohou vést k vážným zdravotním následkům posádky. Takovéto jevy je
nutné zkoumat, aby jim bylo možno předcházet.
Odchylku od trajektorie silničního vozidla lze v zásadě zkoumat dvěma metodami.
První vhodnou metodou je použití simulace. Na silničním simulátoru je stanovena
dráha, kterou projíždí vybraný proband a vyhodnocuje se reálná poloha vozidla.
Prostředí simulátoru může používat vlastní souřadnicový systém, nebo systém
převzatý například z GIS (Geografické informační systémy). Odchylka polohy vozidla
od ideálního stavu je následně vyhodnocena sestaveným programem. Jedná se o
bezpečnou laboratorní metodu, při které lze zkoumat i nebezpečné jevy
(mikrospánky). Výhodou je snadná změna promítaného prostředí, které působí na
chování řidiče (monotónní krajina, hustá zástavba), náročné je však vymodelování
tohoto prostředí.
Druhou metodou je měření v reálné situaci. Proband projíždí vybraný okruh a měří se
jeho poloha metodou GPS (Global Position System). V této situaci vstupují do měření
parametry, které lze na simulátoru snadno odstranit (hustý provoz, chodci), v reálné
situaci je však nutné s těmito vlivy počítat. Do naměřené odchylky vozidla navíc
vstupuje najednou několik poruchových veličin (např. nepřesnost v určení ideální
jízdní dráhy, nepřesnost určení polohy GPS, ztráty přesnosti při transformaci
souřadnic). Přestože lze polohu vozidla měřit i pomocí jiných metod, GPS se v tomto
ohledu nabízí jako velice výhodné řešení. Není nutno dělat žádné zásahy do
infrastruktury ani omezovat provoz na pozemních komunikacích. Instalace přijímače
do měřeného vozidla je rovněž velice snadná.
Do současné doby bylo měření prováděno výhradně pomocí silničního simulátoru.
Snahou je však měření přiblížit co nejvíce realitě, proto společnost Škoda Auto a.s.
nyní zavádí měření v reálné situaci. Měření je prováděno pomocí diferenciální GPS,
která výrazně zpřesňuje určení pozice vozidla. Referenční stanice s přesně známou
polohou byla umístěna přibližně ve středu silničního okruhu, na kterém probíhalo
8
měření a získávala korekční signál ze sítě CZEPOS (Česká polohová síť). Přijímač
GPS byl umístěn na střeše vozidla společně s kamerou, která snímala krajní jízdní
pruh a zaznamenávala změny polohy vozidla vůči tomuto vodícímu pruhu. Data
z přijímače
GPS
byly
zaznamenávány
v intervalu
menším,
než
1
s.
a
zaznamenávána byla zeměpisná šířka (přesnost na 8 desetinných míst), zeměpisná
délka (přesnost na 8 desetinných míst) a elipsoidická výška (přesnost na 3 desetinná
místa) na elipsoidu WGS-84. Měření prováděla Škoda Auto a.s., určení přesnosti
naměřené polohy je proto v kompetenci společnosti Škoda Auto a.s. (podrobnosti
např. v [39]).
Prostorové
vyjádření
polohy
v zeměpisných souřadnicích
není
vhodné
pro
vyhodnocování odchylek od ideální trajektorie vozidla. Proto je nutné prostorové
souřadnice převádět do souřadnic rovinných. V rovinných souřadnicích lze snadno
matematicky i graficky vyjádřit možnou odchylku od ideální polohy. Při transformaci
souřadnic za použití některé z kartografických projekcí však dochází ke ztrátám
přesnosti.
Transformací prostorových souřadnic, které používá GPS, do souřadnic rovinných,
které jsou využívány na území ČR, se zabývá tato práce. Vyhodnocení GPS se
provádí na referenčním elipsoidu značeném WGS-84 (World Geodetic System 1984).
Naproti tomu terestrický systém, ve kterém je většina českých map je tzv.
souřadnicový systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). S-JTSK je
založen na jiném elipsoidu a vyznačuje se lokálními odchylkami, které komplikují
transformaci [8], [21]. Hlavním úkolem této práce je nalezení vhodné transformační
metody s přijatelnou chybou a určení poruchových veličin, které mohou mít vliv na
přesnost transformace mezi uvedenými systémy.
Postupy popsané v této práci nejsou vázány k zadanému projektu, ale mohou být
použity i v jiných aplikacích, a to nejen dopravního charakteru.
Přesnost určení polohy bodu v rovině po transformaci souřadnic lze vyjádřit kružnicí,
při určování maximální odchylky od ideální trajektorie pak obálkou těchto kružnic (viz.
Obrázek 1). Při následujících transformačních postupech, kdy bude popisována
přesnost polohy vozidla, je myšlena přesnost naměřeného bodu ve vozidle. Bod je
určen umístěním přijímače GPS v prostoru vozidla. Pro zjištění celkové odchylky je
nutné k transformační odchylce započítat odchylku v určení polohy pomocí GPS.
9
Obrázek 1 – rovinné a prostorové odchylky polohy vozidla
Zadaný problém zjištění přesnosti převodu dat z moderní GPS aparatury do
terestrického systému českých map je nutné řešit ve 2 hlavních fázích. První fáze
spočívá ve vymezení území měření, určení transformační metody, odchylek hlavního
transformačního klíče v pevných bodech a zkreslení vzdáleností. V následující fázi je
třeba najít takový lokální klíč, který by pro měřenou splňoval stanovená kritéria
přesnosti.
Tato práce je rozdělena do 11 hlavních kapitol. První čtyři kapitoly seznamují se
základními skutečnostmi, které vedou k transformačnímu postupu, podrobně
popsaného v následujících kapitolách 5, 6 a 7.
V kapitolách 8 a 9 jsou uvedeny výsledky provedených transformací a v následující
kapitole jsou tyto výsledky porovnány.
10
2. Geodetické a kartografické základy
Měření polohy souřadnic bodů na Zemi je problém geodetický. Následný převod
naměřených veličin do roviny pak problém kartografický. Oba problémy vstupují do
procesu zpracování a vyhodnocování polohy vozidla a její přesnosti v aplikacích
asistenčních systémů (ADAS).
S vývojem technických prostředků jsou nám k dispozici stále přesnější údaje a je
zřejmé, že některá měření provedená v minulosti nebyla zcela věrohodná 1. Při
zjišťování polohy bodů (či trajektorie pomocí bodů) na mapě je nutné mít na paměti,
že jejich přesnost nikdy není absolutní a vlivem přírodních jevů dochází ke drobným
změnám jejich vzájemné polohy v čase.
Nepřesnosti nastávají především při:
1. měření samotném
Jedná se především o nepřesnost měřící soustavy nebo různé fyzikální jevy,
které do výsledné polohy vysílače a přijímače není možno započítat.
2. převodu geodetických dat do roviny
Při použití jakékoli kartografické metody lze zachovat pouze některé vlastnosti
zobrazení – úhly (konformní zobrazení), délky v určitém směru (ekvidistantní
zobrazení) nebo obsahy ploch (ekvivalentní zobrazení).
3. transformaci různých kartografických děl
Pro některé lokální mapy jsou zobrazení natolik složitá, že při jejich
transformacích platí pouze omezené klíče.
4. nepřesnosti vyplývající z použitých metod
Jedná se o špatně lokalizovatelné chyby, např. nepřesně ležící elipsoid WGS84 v těžišti Země.
Tato práce se dále nebude zabývat přesností měření samotného, protože to je
natolik složitá záležitost, že jí lze věnovat samostatnou práci. Při transformaci
souřadnic tak naměřená poloha vstupuje do výpočtu jako absolutní hodnota.
Předmětem této práce jsou především prostřední dvě kategorie nepřesností uvedené
výše.
1
bez prostředků kosmické geodézie (kapitola 2.3), jedná se např. o systém S-JTSK
11
2.1.
Základní geodetické pojmy:
Poloha každého objektu je vyjádřena hodnotami souřadnic v definovaném
souřadnicovém systému. Určováním vzájemné polohy bodů na Zemi, zkoumáním
tvaru a fyzikálních vlastností zemského tělesa se zabývá obor Geodézie 2.
Geoid je základním modelem zemského tělesa. Vychází ze skutečnosti, že ideální
zemský povrch lze definovat jako plochu, na kterém má tíhová síla v každém místě
stejnou hodnotu. Tuto plochu pokládáme na úroveň klidné střední hladiny moří (tzv.
nulová hladinová plocha). Jedná se o myšlenou nulovou ekvipotenciální plochu,
kolmou v každém bodě na směr zemské tíže. Nadmořská výška je pak výškou nad
geoidem (nadmořská výška hladin jednotlivých moří je různá 3).
Modelování plochy geoidu je značně obtížné, proto je většinou nahrazován modelem
rotačního elipsoidu. Modelů rotačních elipsoidů (referenční elipsoidy) je několik, a
jsou určovány na základě aproximace daného území, pro které jsou určeny.
Referenční elipsoidy jsou určeny primárními a sekundárními parametry. Jedná se
především o rozměry hlavní a vedlejší poloosy, zploštění a excentricitu.
S referenčním elipsoidem je spjat používaný souřadnicový systém. To je mnohdy
problém, protože těžiště používaných elipsoidů neleží ve stejném bodě. Při převodu
zobrazení na různých referenčních elipsoidech je proto nutné přistoupit k prostorové
transformaci souřadnic.
Výhodné je zavedení světového elipsoidu, který má těžiště v těžišti Země a jeho
použití je univerzální kdekoli na Zemi. Po dlouhém vývoji se ustálilo používání
světového geodetického systému WGS-84.
Na rotačním zemském elipsoidu je určena soustava geodetických zeměpisných
souřadnic (viz Obrázek 2).
2
z řeckého geo – Země a daiomai – dělím
na území ČR se používá výškový systém baltský po vyrovnání (Bpv), kdy je za nulovou výšku
považována hladina Baltského moře ve městě Kronštandt
3
12
Obrázek 2 – soustava geodetických zeměpisných souřadnic [8]
Vedlejší osa spojuje severní a jižní pól (Ps, Pj). Řez roviny procházející středem
elipsoidu, kolmý k této ose, s plochou elipsoidu je rovník. Řezy rovin rovnoběžných
s rovinou rovníku jsou rovnoběžky. Svazek rovin, procházejících osou rotace, seče
povrch elipsoidů v polednících (meridiánech). Rovnoběžky a poledníky vytvářejí
ortogonální soustavu čar – zeměpisnou síť [34].
Zeměpisná geodetická šířka φ je úhel, který svírá rovina rovníku s normálou k ploše
elipsoidu (kladná na sever).
Zeměpisná geodetická délka λ je úhel, který svírá rovina místního poledníku
s rovinou základního poledníku (základním „nultým“ poledníkem je nejčastěji volen
poledník, procházející astronomickou laboratoří v Greenwich v Londýně. Některá
zobrazení používají základní poledníkem Ferro, který prochází stejnojmenným
ostrovem v Kanárských ostrovech). Kladné hodnoty poledníků jsou směrem na
východ.
Elipsoidická výška H je vzdálenost od elipsoidu měřená po normále. Kladné hodnoty
jsou vně elipsoidu. Elipsoidická a nadmořská výška se zásadně liší, viz. Obrázek 3.
13
Obrázek 3 – vztah mezi elipsoidickou a nadmořskou výškou [8]
Pro vyjádření polohy na povrchu Země jsou zeměpisné geodetické souřadnice φ, λ,
H používané nejčastěji. Poloha elipsoidu může být ale vyjádřena i v pravoúhlých
prostorových souřadnicích x, y, z (viz. Obrázek 4).
Obrázek 4 – prostorový souřadnicový systém [20]
Prostorový souřadnicový systém má počátek ve středu elipsoidu. Osa x je vložena
do průsečíku rovníku a roviny základního (nultého) poledníku, osa z spojuje střed
elipsoidu a severní pól a osa y leží v rovině rovníku otočena o 90º proti směru
hodinových ručiček od osy x (geodetická orientace os) [17].
Mezi geodetickými souřadnicemi (φ, λ, H) a prostorovými souřadnicemi (x, y ,z) platí
následující vztahy [21]:
1
cos
cos
cos
sin
sin
(2.1)
14
kde je excentricita elipsoidu
(2.2)
1
a příčný poloměr křivosti
.
(2.3)
Matematické výpočty na ploše referenčního elipsoidu lze za určitých skutečností
(území do 250 km) dále zjednodušit použitím referenční koule o daném poloměru R.
Vztahy (2.1) se zjednoduší na:
R sin
cos
R cos
sin
cos .
(2.4)
Na územích do 700 km2 lze zakřivení zemského povrchu zanedbat a výpočty ještě
zjednodušit použitím referenční roviny.
Pro určení polohy v rovině se využívá kartézské soustavy souřadnic. Jedná se o
ortogonální souřadný systém, kdy počátek souřadnic a natočení souřadnicových os
může být v rovině při kartografických aplikacích různé polohy. Je nutno pečlivě
rozlišovat zda zadaný systém má „matematickou“ orientaci os, tj. kladná osa X se s
kladnou osou Y ztotožní pootočením o 90º proti směru pohybu hodinových ručiček,
nebo „geodetickou“ orientaci os, kdy se osy ztotožní pootočením po směru
hodinových ručiček [17].
Pojmem souřadnicový systém se v oboru zeměměřictví míní soubor těchto údajů
[17]:
•
geodetické datum (elipsoid, jeho referenční bod, datum určení)
•
souřadnicový systém geografických souřadnic φ, λ (včetně volby základního
poledníku)
•
zobrazovací rovnice (včetně voleb v nich použitých konstant)
•
souřadnicový systém rovinných souřadnic X, Y (včetně umístění počátku
systému X, Y do obrazu geografické sítě, orientace os a matematických úprav
souřadnic X, Y v rovině zobrazení, posuny počátku, násobení konstantou
redukující délkové zkreslení aj.)
15
V souřadnicových systémech se udržuje síť geodetických bodů (geodetická síť).
Geodetický bod je trvale označený bod stanovený měřičskými značkami. Rozlišují se
bodová pole tíhová, výšková a polohová. Bodová pole jsou základní jednotky
mapování povrchu Země a jejich změn [6]. Bodovým polem je např. S-JTSK nebo síť
AGS zmíněné v kapitole 4.
2.2.
Kartografické zobrazovací metody
Teorií zobrazování referenční plochy zemského povrchu do roviny se zabývá vědní
obor matematická kartografie 4. Obor kartografie úzce souvisí s geodézií a
geografií, a nelze je oddělit. Všechny tyto obory společně s teorií informačních
systémů a dalšími obory spoluvytvářejí Geografické informační systémy (GIS),
který jsou mocným nástrojem využívaným v mnoha odvětvích (dopravu nevyjímaje).
Transformační a zobrazovací postupy zde uvedené jsou nedílnou součástí software
GIS.
Při tvorbě mapy je důležité, aby referenční plocha, na kterou zobrazujeme, co nejlépe
přimykala referenční ploše v dané oblasti. Tím se stane, že osa zobrazovací plochy
není totožná se zemskou osou. Definuje se proto kartografický souřadnicový
systém.
Kartografické
souřadnice
jsou
definovány
stejně
jako
souřadnice
zeměpisné, ale jsou vztaženy ke vhodně zvolenému kartografickému pólu K [3].
Přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách označujeme
kartografickým
zobrazením.
To
je
jednoznačně
matematicky
definováno
zobrazovacími rovnicemi.
Převod dat do roviny se provádí několika metodami. Většinou se geoid převádí na
referenční elipsoid (sféroid), na kterém se měření provádí. Elipsoid se často dále
zobrazuje na Gaussovu kouli a ta se zobrazí do referenční roviny.
Při procesu převodu referenčních ploch dochází ke kartografickým zkreslením.
Zpravidla se jedná o tři druhy – zkreslení délkové, plošné a úhlové (směrníkové).
Křivky konstantního zkreslení nazýváme ekvideformáty. Délkové ekvideformáty
systému S-JTSK jsou uvedeny v příloze A na obrázku A.1.
4
Nejstarší nalezená mapa (Pavlovské vrchy) uložena v AV ČR v Brně je stará až 25000 let.
16
Z hlediska zkreslení lze hovořit o těchto zobrazeních [3]:
•
ekvidistantní – nezkreslují se délky v určitých směrech
•
ekvivalentní – nezkreslují se plochy
•
konformní – nezkreslují se úhly
•
kompenzační – vše je zkresleno trochu
Z pohledu užité zobrazovací plochy lze hovořit o těchto zobrazeních:
•
zobrazení na kulovou plochu – zobrazení elipsoidu na kouli
•
jednoduchá zobrazení – zobrazení do rozvinutelné plochy (kuželová, válcová,
azimutální)
•
nepravá zobrazení (pseudokonická, pseudocylindrická, pseudoazimutální)
•
mnohokuželová zobrazení
•
zobrazení po vymezených částech
•
obecná
Nejčastěji používaná jsou jednoduchá zobrazení kuželová, válcová a azimutální.
Jejich přehled spolu s polohou zobrazovací plochy je na Obrázek 5.
Obrázek 5 – jednoduchá kartografická zobrazení a poloha zobrazovací plochy [8]
17
Azimutální projekce lze dále dělit dle druhu promítání:
•
gnómonická – ze středu osy Země (velké zkreslení při větších vzdálenostech
od středu mapy)
•
stereografická – z opačného pólu, než je položena zobrazovací plocha
(konformní zobrazení)
•
ortografická – kolmo na zobrazovací plochu (ekvidistantní v rovnoběžkách)
Kartografických zobrazovacích metod je samozřejmě mnohem více, ale jejich popis
není cílem této práce. Nástin uvedených metod jistě postačí k pochopení dále
používaných postupů.
2.3.
Prostředky kosmické geodézie
Hodnoty souřadnic v geodetických souřadnicových systémech jsou v současné době
zjišťovány pomocí kosmické geodézie. Následuje přehled hlavních používaných
metod kosmické geodézie [5], [29].
‐
VLBI (Very Long Baseline Interferometry) je technologie zaměřování velmi
vzdálených kvasarů, používá se především při definici polohy referenčních
soustav (ICRF) a určování přesného univerzálního času (UT). Podstata spočívá
v určování časového posunu a změny tohoto časového posunu v čase příchodu
stejné vlny rádiového záření pocházejícího z mimogalaktických zdrojů na alespoň
dva radioteleskopy. Přesnost je v řádu mikrosekund.
‐
SLR (Satellite Laser Ranging) je technologie zaměřování vzdálenosti mezi
pozemní stanicí a družicí pulsním laserem. Střední kvadratická chyba se
pohybuje mezi 2 až 3 cm.
‐
LLR (Lunar Laser Ranging) měří vzdálenost mezi Zemí a Měsícem se střední
kvadratickou chybou 1-5 cm.
‐
GPS (Global Positioning System) je rádiový dálkoměrný systém, kdy pomocí
známé polohy družic a časovému zpoždění rádiové vlny mezi vysílačem
(družice) a přijímačem lze určit polohu přijímače. Přesnost určení polohy se
uvádí několik centimetrů u diferenciální GPS.
18
‐
DORIS (Doppler Obitography and Radiopositioning Integrated by Satellite) je
systém založený na měření změn radiální vzdálenosti mezi pozemní stanicí a
družicí na základě dopplerovského jevu. Přesnost změny vzdálenosti je
charakterizována střední kvadratickou chybou 0,4 mm/s.
‐
PRARE (Precise Range And Range-rate Equipment) je založený na radiovém
měření vzdáleností a změn vzdáleností s časem mezi stanicí a družicí.
19
3. WGS-84 a další souřadnicové systémy
Následující kapitola definuje světové (evropské) souřadnicové systémy (včetně
referenčních elipsoidů) používané v ČR. Zobrazením a souřadnicovým systémům
určeným výhradně pro ČR (resp. Československo) se věnuje kapitola 4.
3.1.
WGS-84
Souřadnicový systém (rovněž referenční elipsoid), na kterém probíhá měření GPS je
označován jako WGS-84 (World Geodetic System 1984).
WGS-84 byl původně vyvinut armádou USA, nyní je standardizovaným globálním
geodetickým geocentrickým systémem armád NATO (North Atlantic Treaty
Organisation). Počátek leží v těžišti Země. Osa x je průsečnice referenčního
poledníku WGS-84 (nultý poledník definovaný BIH) a roviny rovníku vztaženého ke
konvenčnímu terestrickému pólu CTP (Conventional Terrestrial Pole). Osa y vytváří
pravoúhlý pravotočivý systém a osa z má směr ke konvenčnímu terestrickému pólu
definovaného BIH na základě souřadnic stanic definující BIH [8]. Systém WGS-84 je
pevně spojený se zemí a je definován primárními a sekundárními parametry.
Primární parametry definují rozměry referenčního elipsoidu, úhlovou rychlost rotace
vůči nebeskému referenčnímu systému a součin gravitační konstanty a hmoty Země,
soustředěné v referenčním elipsoidu.
Sekundární parametry definují model zemského gravitačního pole pomocí rozvoje
geopotenciálu do sférických harmonických funkcí. Model gravitačního pole EMG-96
je možno využít pro výpočet průběhu plochy geoidu WGS-84.
Přesnost geocentrických souřadnic bodů přímo určených v systému WGS-84 na
základě technologie GPS, je charakterizována středními kvadratickými chybami
v zeměpisné šířce (B) a zeměpisné délce (L) mB = mL < 0,4 m a geodetické výšce (H)
mH < 0,5 m. Do této chyby je započítána odchylka určení počátku souřadnicového
systému (asi 0,1 m v každé ose), určení rozměru sítě a měřické chyby [8].
Systém WGS-84 je definován jako pravoúhlý a zároveň geodetický systém. Mezi
pravoúhlými a geodetickými souřadnicemi platí vztahy (2.1) až (2.3).
20
3.2.
ETRS-89
WGS-84 zdaleka není jediný systém používaný při geodetických měřeních. V ČR
jsou pro civilní sféru bodová pole pro systém S-JTSK navázána na systém ETRS-89
(European Terrestrial Reference System 1989), který byl použit při lokální
transformaci popsané níže. ETRS-89 je odvozen z dále popsaných konvenčních
referenčních systémů.
3.2.1. Konvenční referenční systémy
Referenční systém je určen souborem konstant, algoritmů a technologií a
referenčním rámcem. Referenční rámec je soubor objektů (hvězd, bodů), kterým
jsou přiřazeny souřadnice a změny těchto souřadnic v čase.
Lze rozlišit dva základní konvenční systémy [29]. Jedná se o mezinárodní nebeský
referenční systém ICRS (International Celestial Reference System) a mezinárodní
terestrický referenční systém ITRS-YY (International Terrestrial Reference System),
kde YY je dvojčíslí roku realizace.
Systém ICRS má počátek v barycentru sluneční soustavy, osa z je totožná
s konvenčním efemeridovým pólem CEP (celestin ephemeris pole) v epoše J2000.0
a osa x směřuje do jarního bodu této epochy. Osa y dělá systém pravotočivým.
Referenční rámec ICRF (International Celestial Reference Frame) je realizován 212
rádiovými zdroji výhradně pomocí nejpřesnější technologie VLBI.
Systém ITRS má počátek ve hmotném středu Země, osa z je totožná s konvenčním
mezinárodním počátkem CIO (conventional International Origin), osa x leží v rovině
greenwichského poledníku a osa y doplňuje systém na pravotočivý. Referenční
rámec ITRF (International Terrestrial Reference Frame) je realizován pomocí bodů
ležících na povrchu Země. Tyto body mají souřadnice definované jako funkce času.
Vlivem tektonických pohybů, variací geocentra a dalšími vlivy se jejich hodnoty mění.
Systém ITRS je definován pomocí prostředků kosmické geodézie popsaných
v kapitole 2.3 (jedná se o SLR a VLBI pro ITRF-2005).
Mezi systémy ICRS a ITRS platí převodní vztah. Oba systémy jsou časově
proměnné. ITRS díky jevům precese, nutace, pohybům pólů, pohybům kontinentů
nebo vlivem variace v rotaci země, ICRS nestálostí vzdálených kosmických objektů a
dalšími vlivy. Z tohoto pohledu je systém ICRS přesnějším systémem.
21
Systém ETRS-89, který byl použit při transformaci, je odvozen od systému ITRS a
spojen s euroasijskou kontinentální deskou, takže roční časové změny jsou max.
v řádu milimetrů. Referenční rámec ETRF-89 je realizován technologiemi SLR a
VLBI. Systém ETRS-89 není zastaralý systém, ale z praktických důvodů nemá
konstantní polohu souřadnicových os (souřadnicové osy se natáčejí dle pohybu
euroasijské kontinentální desky). Novější měření mohou být transformována do
ETRS-89.
Systém ITRS používá elipsoidu GRS-80 (Geodetic Reference System 1980). Ten je
svými parametry velice podobný elipsoidu WGS-84, proto je možno tyto elipsoidy při
výpočtech zaměnit [21]. Od roku 1994 je systém WGS-84 ztotožněn se systémem
ITRS [32]. Přesnost statických bodů je tedy nezávislá na tom, zda se použije systém
ETRS-89 nebo WGS-84. To však platí jen do určité přesnosti, ve skutečnosti se
souřadnice ve WGS-84 a ETRS-89 v roce 2005 lišila až o 0,3 m [4]. Při přesných
výpočtech je proto nutné provést i transformaci mezi systémy WGS-84 a ETRS-89
v patřičné epoše (viz. kapitola 7).
Porovnání obou elipsoidů (WGS-84 a GRS-80) a přehled dalších používaných
elipsoidů s jejich hodnotami uvádí Tabulka 1.
Tabulka 1 – některé používané elipsoidy
Elipsoid:
Používané
soustavy:
Parametry elipsoidu:
a – velká poloosa [m]: b- vedlejší poloosa [m]:
6378137,0
6356752,31425
f-1 – 1/zploštění:
298,257223563
WGS-84
UTM
GRS-80
ITRF, ETRS
6378137,0
6356752,31414
298,257222101
Hayfordův 1909
Mezinárodní
mapy
S-JTSK
6378137,0
6356911,94613
297,0
6377397,15508
6356078,96290
299,152812853
S-42
6378245,0
6356863,01877
298,3
Besselův 1841
Krakovského
1940
Aktualizace údajů bodových sítí v systému ETRS-89 včetně rozvoje geodetických
základů ČR pomocí družic GNSS je prováděna pomocí permanentních stanic sítě
CZEPOS (Česká polohová síť). Jedná se o 26 stanic rozmístěných rovnoměrně na
celém území ČR [31].
22
4. S-JTSK
V České Republice se v současné době používají dvě základní zobrazení. Systém SJTSK určený pro civilní sféru a systém S-42 určený pro vojenské použití. Vojenské
mapy po vstupu do NATO přecházejí na zobrazení UTM (Universal Transverse
Mercator). V civilní oblasti se asi ještě nějakou dobu bude používat S-JTSK, případně
novější S-JTSK/95. Následující text, stejně jako následná transformace se věnuje
souřadnicovému systému S-JTSK.
Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK) vznikal mezi lety 19201958. Po vzniku republiky v roce 1918 bylo třeba co nejdříve vytvořit samostatný
geodetický základ a vymyslet vhodnou kartografickou projekci. Již v roce 1919 byla
založena Triangulační kancelář (zřizovatel ministerstvo financí ČSR), jejímž
předsedou se stal Ing. Josef Křovák [5].
Josef Křovák navrhl zobrazení, které bylo vhodné pro potřeby ČSR a mělo vhodné
minimální deformace. Ve svém návrhu transformace zvolil konformní zobrazení
Besselova elipsoidu na zmenšenou kouli a následně konformní kuželové zobrazení
v obecné poloze.
Pól kužele Q má zeměpisné souřadnice jQ= 59°42'42,7'' s.š. a lQ= 42°31'31,4'' v.d. od
Ferra. Plášť kužele se dotýká referenční koule v horizontální kružnici S0, která
prochází bodem A (lA= 42°31'31,4'', jA= 48°12'42,7'') na území Podkarpatské Rusi.
Tato kružnice je ve výchozím bodě A kolmá na základní poledník (lA= 42°31'31,4''),
prochází středem území a její kartografická šířka je 78°30' [10] (viz. Obrázek 6).
Obrázek 6 – Křovákovo zobrazení [20]
23
Kartografické poledníky se v tomto zobrazení zpodobňují jako svazek paprsků
vybíhajících z vrcholu kužele. Kartografické rovnoběžky se zobrazují jako
soustředěné kružnice o poloměrech R. Rovinné souřadnice S-JTSK se zapisují (Y,
X)S-JTSK, osa X je orientovaná k jihu a osa Y na západ.
Tomuto zobrazení se často říká Křovákovo zobrazení po jeho tvůrci. V S-JTSK se
tohoto zobrazení používá dodnes. Obrázek tohoto zobrazení je v příloze A.2.
Práce na trigonometrické síti I. řádu byly ukončeny roku 1927 a všech 268
naměřených bodů bylo vyrovnáno. Při měření bylo rozhodnuto, že se převezmou
osnovy měřených směrů z rakouské vojenské triangulace (1862-1898). S touto
vojenskou sítí měla nově vznikající S-JTSK společných 107 bodů. Pomocí
Helmertovy transformace byla určena kvalita vojenské triangulace, z nichž jen 42
bodů v Čechách posloužilo pro určení rozměru, orientace a polohy S-JTSK na
Besselově elipsoidu (v Podkarpatské Rusi se jednalo o 22 bodů).
V následujícím období se síť zhušťovala body II. až V. řádu, kdy po každém zhuštění
bylo provedeno vyrovnání. Tak bylo nakonec naměřeno přes 47000 bodů, jejichž
průměrná vzdálenost je kolem 2 km.
Kvůli finančním i časovým důvodům se za celou dobu budování S-JTSK neprovedlo
žádné astronomické měření ani měření nových základen. Právě z těchto důvodů
vzniku byla poloha celé sítě špatně nakloněná, ohnutá a v jednotlivých bodech
nastaly různé odchylky.
Po první světové válce se započalo s budováním astronomicko-geodetické sítě
(AGS) na tehdejší dobu přesnými měřícími prostředky (viz. příloha A.3). Do roku
1955 bylo astronomicky zaměřeno 53 bodů a 6 základen. Nový systém označený S42 byl vyrovnán a body S-JTSK byly do něj postupně transformovány. S-42 používá
Krakovského elipsoid a Gaussovo zobrazení. Tento systém je přesnější a celkově
lépe orientován. Následně byl ještě poopraven na systém S-42/83.
Přehled nejdůležitějších souřadnicových systémů používaných v ČR uvádí tabulka 2
(podrobněji v [10], [16]).
24
Tabulka 2 – přehled souřadnicových systémů používaných v ČR
Systém souřadnic:
Zkratka:
Druh zobrazení:
Přesnost zobrazení:
Souřadnicový systém
Jednotné trigonometrické
sítě katastrální
S-JTSK
Křovákovo dvojité
konformní zobrazení (na
kouli a následně na kužel)
Technickými prostředky konce
19.století a přístroji 1.pol.
20.stol.
Souřadnicový systém 1942
S-42
Gaus-Kruegerovo
cylindrické zobrazení
v transverzální poloze
Technickými prostředky
poválečného období a
astronomickým měřením
Universal Transverse
Mercator
UTM
Transverzní Mercatorovo
zobrazení
Stále se zdokonalující mřížkový
systém pro celosvětové použití
určený prostředky GPS
European Terrestrial
Reference System
ETRS89
cylindrické zobrazení
v transverzální poloze
Stále se zdokonalující systém
definovaný pro evropský
kontinent, určený VLBI
Po druhé světové válce byla snaha začlenit geodetické základy ČSR do soustavy
astronomicko-geodetické
sítě
SSSR.
To
se
nejprve
provedlo
předběžnou
transformací bodů S-JTSK do nového systému S-52. Tento systém však nepřinášel
nic nového a měl stejné lokální deformace jako systém S-JTSK.
Koncem 90. let 20. stol. se začala v Evropě mohutně budovat celoevropská
referenční síť (EUREF), do které se ČR zapojila v roce 1991 kampaní EUREF-CS/H
91. Při této kampani bylo měřeno na 6 bodech a následně napojeno na evropskou
síť. Následovali kampaně CS-NULRAD-92 a DOPNUL, které vytvořili národní
referenční síť napojenou na EUREF. Pro body této sítě jsou tak určeny zpřesněné
souřadnice v S-JTSK i v ETRS-89. Tím bylo umožněno aplikovat měření GPS na
území ČR a následnou transformaci do S-JTSK. Přehled důležitých kampaní uvádí
Tabulka 3 (podrobněji např. v [5], [6], [19]).
25
Tabulka 3 – přehled důležitých kampaní tvořících geodetické základy
Kampaň:
Realizace:
Důvod:
Lokalizace:
Počet
měřených
bodů:
Měření jednotné
trigonometrické sítě
I. řádu
1920-1927
Tvorba geodetického
systému pro nově vzniklé
Československo
Bývalé
Československo
268 bodů
Měření jednotné
II.-V. řádu
1928-1957
Zhušťování jednotné
Bývalé
Československo
přes 29000
bodů
Tvorba vojenské sítě S42
Bývalé
Československo (a
státy východního
bloku)
asi 40000
bodů
První realizace ETRS-89
v ČR
Bývalé
Československo
6 bodů
ČR a SR
19 bodů
ČR, SR, Německo
-
ČR
celkem 176
bodů
Měření
astronomickogeodetické sítě
(AGS)
měření
1950-1955
stabilizace
1956-1958
EUREF-CS/H-91
1991
CS-NULRAD-92
1992
CS-BRD-93
1993
DOPNUL
1993-1994
Vytvoření sítě nultého
řádu
Spojení české a
slovenské sítě
s obdobnou sítí v
Německu
Doplnění sítě nultého
řádu
26
5. Helmertova transformace
Jak bylo stručně uvedeno v předchozí kapitole, Křovákovo zobrazení v S-JTSK má
lokální
odchylky
[21].
Z toho
vyplývá,
že
neexistuje
přesný
matematický
transformační klíč pro celé území ČR. Lze najít přibližnou transformaci pomocí bodů,
pro které jsou známy souřadnice v ETRS-89 i S-JTSK. Pomocí těchto „upevněných“
bodů lze vytvořit transformační klíč, který bude aproximovat dané území. Po převodu
souřadnic za použití zjištěného klíče nastanou na pevných bodech odchylky. Je třeba
však mít na paměti, že v dané lokalitě nemusí být maximální odchylka rovná
nalezené odchylce na porovnávaných bodech. Z uvedených bodů můžeme najít
pouze hodnotu lokálního maxima.
Transformovat
souřadnice
lze
několika
způsoby.
Mezi
používanější
patří
Moloděnského transformace, Helmerova transformace a transformace interpolační
mřížkou. Výběr vhodného typu transformace závisí na požadované přesnosti
vypočteného transformačního klíče.
Porovnání transformace Moloděnského a Helmertovy jednoznačně hovoří pro použití
Helmertovy transformace. Transformací interpolační mřížkou lze získat přesné
výsledky (uvedené např. v [12]), vykoupené ale vyšší technickou náročností. K volbě
Helmertovy
transformace
vede
především
možnost
získání
jednoznačného
transformačního klíče, který lze zjistit pro jakékoli souřadnicové systémy. Helmertova
transformace je nejpoužívanější transformací pro převod mezi systémy ETRS-89 a
S-JTSK. Běžně se používá v geodézii a dalších oborech. Touto transformací je navíc
určen nový zpřesněný systém S-JTSK/95, který odstraňuje lokální odchylky (viz
kapitola 10.3) a využívá jí většina produktů GIS.
5.1.
Základní Helmertova metoda
Helmertova 7-prvková transformace je lineární konformní podobnostní transformace
s vyrovnáním koeficientů podle metody nejmenších čtverců.
Následující vztahy jsou podrobně popsány např. v [23], [24], [25] a [26].
Vztah dvou souřadnicových systémů lze popsat pomocí polohového vektoru r’.
Uvažujme dvě prostorové pravoúhlé pravotočivé soustavy (viz. Obrázek 7), kde
27
počátek vektoru r‘ je umístěn v počátku soustavy I. (ETRS-89) a konec v počátku
soustavy II. (S-JTSK).
Obrázek 7 – vztah polohy dvou elipsoidů [16]
Translační vektor jednoznačně určí posun počátku, označme tyto složky jako složky
translace
,
,
(5.1)
Natočení souřadnicových soustav v prostoru může být různé. Vzájemný vztah
natočení je vyjádřen maticí rotace R. Postupným otáčením os proti směru
hodinových ručiček při pohledu proti směru kladné osy nejprve o úhly
,
,
dle
Obrázek 7 získáme tyto matice:
1
0
0
0
cos sin cos 0
sin cos sin 0
0
sin cos 0
1
0
sin 0
cos sin cos 0
0
0
1
(5.2)
Složky rotace vypočteme podle
,
,
(5.3)
Po roznásobení matic dostáváme
28
,
,
(5.4)
cos cos
cos sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
cos
sin
cos
cos
cos
V referenčních systémech používaných v geodézii jsou zpravidla úhly otočení velmi
malé (v řádu obloukových vteřin), proto lze goniometrické funkce linearizovat.
sin
sin
cos
sin
cos
cos
(5.5)
1
(5.6)
Po dosazení do rovnice (5.4) dostáváme
1
,
1
,
(5.7)
1
Položíme-li ještě
0, lze matici R upravit na
1
,
1
,
1
(5.8)
Tento výsledný tvar již nezávisí na pořadí otáčení os souřadnic.
V geodetických aplikacích se v transformaci uplatňuje změna měřítka. Pokud je
v každé ose jiná, jedná se o afinní transformaci. V tomto případě lze počítat
s měřítkem, které je ve všech osách stejné (konformní transformace). Změna měřítka
se označuje
1
(5.9)
Pokud je r vektor souřadnic bodů v souřadnicovém systému I. (ETRS-89),
′
′
(5.10)
′
můžeme psát výsledný vztah pro polohový vektor lineární konformní podobnostní
prostorové transformace.
29
1
·
·
1
1
1
1
1
1
(5.11)
Z rovnice (5.11) je patrné, že pro převod souřadnic mezi dvěma soustavami
potřebujeme znát 7 parametrů.
•
translační složky os x, y, z (pro zjištění vektoru posunu počátku)
•
rotační složky os ωx, ωy, ωz, (pro zjištění pootočení jednotlivých os)
•
poměr měřítek
Parametry transformace mezi ETRS-89 a S-JTSK lze snadno najít v některé
literatuře (např. [21]). Většinou se jedná o globální transformační klíče počítané
z bodů kampaně DOPNUL, platné pro celou ČR. Jelikož S-JTSK vykazuje lokální
transformace, lze tyto klíče použít jen do určité přesnosti.
Pokud je požadována maximální přesnost transformace, lze pomocí identických bodů
určit lokální transformační parametry. Identické body by měli být rovnoměrně
rozprostřeny kolem zkoumané lokality, aby nedocházelo k extrapolaci dat, což
negativně ovlivňuje výsledek pokusu. Uvnitř území by měli být body rovněž
rozprostřeny rovnoměrně tak, aby se postihly všechny směrové deformace.
5.2.
Výpočet lokálního transformačního klíče
Jelikož se jedná se o transformaci s nadbytečným počtem identických bodů, je nutné
zvolit kritérium minimalizace charakteristiky chyby. Obvykle se používá minimalizace
efektivní hodnoty chyby nebo minimalizace maximální radiální chyby.
Při volbě vhodné charakteristiky chyby byly uvažovány výsledky aplikace globální
transformace. Při vyhodnocování přesnosti globální transformace byla použita
minimalizace maximální radiální chyby, dle doporučení v [21]. Tato metoda má však
vyšší statistické odchylky, proto byla pro výpočet lokálního klíče zvolena metoda
nejmenších čtverců (MNČ - minimalizace efektivní hodnoty chyby).
Výpočet transformačního klíče vychází ze vztahu (5.11). Po aplikaci transformačního
klíče, získaného pomocí MNČ, na identické body se hodnoty souřadnic v systému II.
(S-JTSK) budou lišit od původních hodnot.
30
Platí tak rovnice oprav:
°
°
°
°
(5.12)
- souřadnice S-JTSK získané transformací
– známé souřadnice v systému S-JTSK
Dosazením rovnice oprav (5.12) do (5.11) získáváme
1
1
(5.13)
1
Tento vztah lze snadno vyjádřit rovnicemi
(5.14)
Protože se v rovnicích (5.14) vyskytují násobky hledaných hodnot, je nutné zavést
substituci
(5.15)
Rovnice (5.14) lze pak upravit na tvar
(5.16)
Pro vyjádření transformačního klíče je nutné převést soustavu na
3 ,1
kde
3 ,7
7,1
3 ,1
(5.17)
3 (pro prostorovou transformaci) a platí
31
(5.18)
3 ,1
7,1
(5.19)
3 ,1
(5.20)
Matice A tak vyplyne z rovnice (5.17), resp. (5.16):
1 0 0 0
1 0 0 0
3 ,7
1 0 0 0
0 1 0
0 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
0
0
0
0 0 1
Výsledný vztah
(5.21)
0
0
0
lze vyjádřit jako
32
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0
0 1 0
0
0
(5.22)
0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
0
0
0
0 0 1
Na rovnici (5.22) lze nyní snadno aplikovat metodu nejmenších čtverců.
5.3.
Metoda nejmenších čtverců
Tato často používaná metoda je vhodná pro lineární transformace. Je všeobecně
známo, že požadavkem MNČ je, aby
∑
.
(5.23)
Chceme tedy, aby byli minimální i jednotlivé složky vektoru (např.
jedná se tedy o minimalizaci skalárního součinu. Platí
složky
a
.
. ,
. a stejně i pro
.
Transpozicí rovnice (3.17) dostáváme:
(5.24)
Pro minimum skalárního součinu platí:
.
(5.25)
Lokální extrém lze najít položením první derivace rovno nule.
2
2
0
(5.26)
Vyjde soustava normálních rovnic, které mají tvar:
0
(5.27)
Vyjádřením vektoru h (transformační klíč) dostáváme výsledný vztah
33
(5.28)
Pro zjištění transformačního klíče lze postupovat takto:
1. souřadnice identických bodů vyjádříme v souřadnicích x’, y’, z’ systému I.
(ETRS-89) a x ,y, z systému II. (S-JTSK)
2. hodnoty souřadnic dosadíme do (5.22)
3. vypočítáme transformační klíč dle (5.28)
Pro výpočet klíče bylo použito prostředí Matlab. Při výpočtu inverze složitějších matic
však dochází ke ztrátě přesnosti. Prostředí MATLAB, přestože je vytvořeno pro
operace s maticemi, může hlásit takovouto chybu:
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate.
V horším případě pak Warning: Matrix is singular to working precision.
Částečně lze tento numerický problém vyřešit zvýšením přesnosti ze standardního
short (4 desetinná místa) na long (14 desetinných míst) příkazem format long.
Obecně však problém zůstává a je ho třeba řešit obejitím výpočtu inverzní matice.
Řešením normálních rovnic je vyrovnaný transformační klíč, který souřadnicové
systémy I. a II. neztotožní v žádném z identických bodů, ale splňuje podmínku
minimální efektivní hodnoty na všech identických bodech. To způsobí, že oba
souřadnicové systémy se ztotožní v těžišti identických bodů, a kolem tohoto bodu se
.
natočí tak, že je splněna podmínka
Tato skutečnost přivádí na upravené řešení Helmertovy transformace, které obchází
výpočet inverzní matice. Výpočet modifikovaného řešení spočívá v redukci souřadnic
k těžišti [24].
5.4.
Redukce souřadnic k těžišti
Nejprve je nutné zjistit souřadnice těžiště identických bodů v systému ETRS-89
,
,
∑
,
∑
,
∑
(5.29)
34
A následně zavést redukované souřadnice k těžišti identických bodů v systému
ETRS-89
,
,
.
′, ′, ′
′ ′
′
,
,
′
(5.30)
′
′
Kontrolu redukovaných souřadnic lze provést podle
∑
∑
∑
0
(5.31)
Původní souřadnice nahradíme v matici A souřadnicemi redukovanými. Sestavíme
opět rovnici (3.17). Vzhledem k zavedení redukovaných souřadnic přejde matice
normálních rovnic
na diagonální tvar. Inverzní matici pak jednoduše zjistíme dle
0
0
(5.32)
0
0
A dále řešíme dle metody nejmenších čtverců popsané v kapitole 5.3.
Při dosazení konkrétních hodnot lze vidět, že hledané hodnoty
jsou souřadnice
těžiště soustavy v systému II. (S-JTSK). Tím se potvrzuje, že se oba souřadnicové
systémy
ztotožní
v těžišti.
Výpočtem
těžiště
v systému
II.
a
porovnáním
s vypočtenými hodnotami translace lze snadno ověřit správnost výpočtu.
Na závěr výpočtu transformačního klíče se obvykle provádí výpočet míry ztotožnění
obou systému pomocí středních rozdílů
∑
,
∑
a
.
∑
(5.33)
35
6. Převod souřadnic mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK
Pokud je znám transformační klíč, lze přistoupit k samotnému převodu souřadnic ze
systému ETRS-89 do systému S-JTSK. Postup převodu je uveden na následujícím
schématu.
, ,
, ,
, ,
, ,
,
Celý postup se skládá ze čtyř postupných převodů souřadnic, které jsou uvedeny
v kapitolách 6.1 až 6.4 [3], [13], [16], [21], [29].
6.1.
Přepočet
geodetických
souřadnic
ETRS-89
do
pravoúhlých
, ,
, ,
Jednoduchým dosazením do (2.1) až (2.3) lze vyjádřit pravoúhlé prostorové
souřadnice.
6.2.
Sedmiprvková transformace souřadnic
, ,
, ,
Použijeme vztah (5.11).
Pro zjištění lokálního klíče je nutné souřadnice S-JTSK taktéž vyjádřit v pravoúhlých
prostorových
souřadnicích.
Jedná
, ,
se
o
inverzní
postup
postupu
,
popsaného v kapitole 6.4 a následného použití vztahu (2.1).
6.3.
Převod pravoúhlých souřadnic S-JTSK do geodetických
, ,
, ,
Pokud označíme p vzdálenost bodu od počátku promítnutou do roviny geodetického
rovníku, platí
(6.1)
Z toho plynou vztahy
cos
sin
,
(6.2)
36
dostáváme
tan
(6.3)
Pro geodetickou délku platí
2 arctan
(6.4)
a pro výšku a šířku platí
cos
(6.5)
sin
1
(6.6)
Eliminací výšky z (2.1) dostáváme rovnici pro zeměpisnou šířku
tan
(6.7)
Tuto rovnici lze řešit například prostou iterací. Platí
1,2, … ,
(6.8)
při počáteční hodnotě
,
(6.9)
což odpovídá řešení pro nulovou elipsoidickou výšku.
Poté určíme geodetickou šířku
arctan (6.10)
a elipsoidickou výšku.
√1
(6.11)
37
6.4.
Převod geodetických souřadnic S-JTSK do rovinných
,
, ,
Postup převodu do rovinných souřadnic Křovákova zobrazení je uveden na
následujícím schématu:
,
,
Š,
,
,
– geodetické souřadnice na Besselově elipsoidu
,
– sférické souřadnice na referenční kouli
Š,
,
- kartografické souřadnice na referenční kouli s posunutým pólem Q
,
- polární souřadnice na kuželu s vrcholem Q
,
- pravoúhle rovinné souřadnice S-JTSK
6.4.1. Konformní Gaussovo zobrazení Besselova elipsoidu na referenční
kouli
,
,
Sférická šířka U je dána vztahem
tan
tan
,
(6.12)
z kterého lze získat
2 arctan k tan
(6.13)
Pro sférickou délku V platí
(6.14)
Konstanty α a k jsou určeny zvolenou střední zeměpisnou šířkou
49°30′
1
cos
1,000597498371542 ,
(6.15)
(6.16)
38
tomu odpovídá střední kulová šířka
arcsin
tan
49°2′35.84625′′
tan
(6.17)
1,003419163966575
(6.18)
6.4.2. Transformace souřadnic na Gaussově kouli s posunutým pólem
,
Š,
Souřadnice posunutého pólu Q jsou
48°15′ 42°30′
(6.19)
Kartografická šířka Š
sin Š
sin
sin
cos
cos
cos Δ
(6.20)
a kartografická délka D
∆
sin
kde
,
Š
(6.21)
je sférická šířka pólu Q posunutá o 11°30′
,
2 arctan k tan
59°42 42.69689
(6.22)
a ∆ je rozdíl mezi poledníkem Q a poledníkem transformovaného bodu
42°31′31.41725
∆
(6.23)
(6.24)
6.4.3. Konformní kuželové zobrazení s tečným kuželem k základní
rovnoběžce a vrcholem kužele Q
Š,
,
Souřadnice šířky základní nezkreslené rovnoběžky je
78°30′ ,
(6.25)
z toho lze vypočítat polární souřadnice pomocí
39
(6.26)
Š
(6.27)
sin
0,97992470462083
(6.28)
Délkové zkreslení by v tomto případě bylo nulové jen na této základní rovnoběžce.
Na okrajích pásu vzniká zkreslení až m = 1,0002. Proto se zavádí multiplikační
konstanta k.
Poloměr referenční koule je kvůli redukci délkového zkreslení zmenšen v poměru k =
0,9999.
0,9999 cot
0,9999
1298039,004638987
(6.29)
Tím se vytvoří kužel mírně sečný, který má nezkreslené 2 rovnoběžky. Vliv
délkového zkreslení je asi |
1|
10; 14 /
.
6.4.4. Převod polárních souřadnic na pravoúhlé
,
,
Souřadnice S-JTSK lze snadno získat použitím známých vztahů
sin cos
(6.30)
40
7. Převod souřadnic mezi systémy WGS-84 a ETRS-89
Definice souřadnicových systémů WGS-84 a ETRS-89 je popsána v kapitole 3. Při
transformacích s metrovou přesností lze oba systémy zaměnit, při snaze o dosáhnutí
maximální přesnosti je však nutné provést transformaci i mezi těmito systémy. Podle
[32] je systém WGS-84 (G873 5) totožný s ITRS-2000 s centimetrovou přesností.
Mezi oběma systémy neexistuje přesný transformační klíč, proto se pro drtivou
většinu aplikací uvažuje jejich totožnost. Obecně platí, že systémy ITRS-YY jsou
přesnější než WGS-84.
Systém
ETRS-89
vznikl
ze
systému
ITRS-89
zakonzervováním
souřadnic
Evropských stanic, souřadnice se proto pohybují s celým Evropským kontinentem a
jejich posun na území ČR je zcela zanedbatelný. ETRS-89 se však pohybuje vůči
ITRS a tedy i WGS-84, přibližně se jedná o posun 2,7 cm SV. Při transformaci
souřadnic je proto nutné kromě transformace mezi jednotlivými systémy zohledňovat
i posun souřadnic v čase (tzv. epocha). Při obecném převodu mezi systémy i
epochami je nutné aplikovat následující tři kroky [37].
a) převést všechny souřadnice stanic do ITRS-YY v epoše tc pomocí:
(7.1)
kde tc je aktuální epocha (např. 2007) a t0 epocha ze které je nutné souřadnice stanic
převést (např. 1989).
je rychlost posunu souřadnic, pro kterou platí:
0
3
0
1
3
2
2
1
0
.
(7.2)
Kde proměnné 1, 2 a 3 jsou rychlosti rotace souřadnicového systému v jednotlivých
osách.
Pro převod souřadnic např. v systému ITRF-2005 mezi epochami t0 a tc proto platí:
0
3
2
3
0
1
2
1
0
.
(7.3)
5
Znamená epochu systému WGS-84, tj. 873 týden ke standardní epoše GPS (6.1.1980), což
odpovídá 29.9.1996 a je počítáno již do epochy 1997.0 [32].
41
b) provést transformace mezi souřadnicovými systémy ITRS-YY a ETRS-89
v aktuální epoše podle:
0
3
2
kde
2
1
0
3
0
1
1989.0
.
(7.4)
jsou rychlosti rotace souřadnicového systému (tj. posun do roku 1989) a T je
posun souřadnic (tj. převod mezi ETRS-89 a ITRS-YY).
c) převést souřadnice ETRS-89 do epochy 1989:
. 1989.0
89
kde pro stabilní části lze považovat
,
(7.5)
0.
Pro převod ze systému WGS-84 v epoše 2007 (tj. ITRS-2005 epocha 2007) do
systému ETRS-89 v epoše 1989 stačí provést:
0
3
2
3
0
1
2
1
0
.
. 2007
1989.0
(7.6)
S parametry v Tabulka 4 [37].
Tabulka 4 – transformační koeficienty pro převod ITRF-2005 do ETRS-1989
T1
T2
T3
R1
R2
R3
5,6 cm
4,8 cm
-3,7 cm
0,054 mas/rok
0,518 mas/rok
-0,781 mas/rok
Hodnota mas/rok uvádí rychlost rotace souřadnicového systému ITRF-YY v tisícin
sekundách/rok. Pro potřeby transformace je nutné tuto hodnotu převést na radiány
za rok podle:
/
/
,
(7.7)
Jelikož jsou hodnoty získané měřením Škoda Auto a.s. všechny ve stejné epoše,
není nutné provádět krok a). V kroku c) se provádí převod do epochy 1989 pomocí
rychlosti souřadnic stanic. Pohyby souřadnic v rámci ČR v ETRS-89 jsou velmi malé,
a proto je možné tento krok vynechat. Získané souřadnice lze proto uplatnit pro
převod z ETRS-89 do S-JTSK v epoše 1989 (to odpovídá bodům kampaně
DOPNUL, z kterých jsou sestaveny transformační klíče).
42
8. Globální transformace
Pro převod mezi prostorovými pravoúhlými soustavami ETRS-89 a S-JTSK byla na
základě uvedené literatury vybrána Helmertova prostorová transformace blíže
popsaná v kapitole 5.
Pro výpočet transformačního klíče je nutné znát pevné body v obou systémech. Za
použití vhodného kritéria přesnosti (jedná se o transformaci s nadbytečným počtem
bodů) lze zjistit parametry prostorové transformace.
Globální transformací je myšlena transformace za použití transformačního klíče
platného pro celé území České Republiky. Pro určení globálního klíče je proto nutné
najít takové pevné body, které zahrnují celý prostor ČR. Jedinými takovými body jsou
body kampaně DOPNUL (viz. kapitola 4). Ze 175 bodů kampaně DOPNUL, za
použití kritéria minimalizace maximální chyby, byl převzat globální transformační klíč
uvedený v [21]. Rozmístění bodů kampaně DOPNUL je uvedeno v příloze A.4.
Zjištěný globální transformační klíč má tyto parametry:
Tabulka 5 – globální transformační klíč
Hodnoty
globální
transformace:
m [10-6m]:
x0 [m]:
y0 [m]:
z0 [m]:
ωx [´´]:
ωy [´´]:
ωz [´´]:
-3,543
-570,69
-85,69
-462,84
4,99821
1,58676
5,2611
Zjišťovat přesnost transformace lze na bodech, pro které lze srovnat hodnoty
souřadnic po transformaci s hodnotami měřenými. Těmito body jsou opět pouze body
kampaně DOPNUL. Odchylka jednotlivých bodů se liší v různých částech republiky,
proto bylo vybráno 14 bodů, které pokrývají rozsah území, kde se uskutečňuje
výzkum polohy vozidla Škoda Auto a.s.. Zjištěním odchylky na těchto bodech (4
uvnitř měřeného okruhu a 10 vně) lze přibližně zjistit odchylku na měřeném území.
Obrázek 8 ukazuje měřený okruh (označen červeně) a použité body DOPNUL
(označené modře).
43
Obrázek 8 – měřený okruh a použité body kampaně DOPNUL
Údaje o použitých bodech lze najít např. v [4]. Hodnoty bodů DOPNUL jsou přesně
zaměřeny v geodetických souřadnicích systému ETRS-89 a v rovinných souřadnicích
systému S-JTSK. V následujících vyhodnoceních přesnosti transformace jsou
hodnoty uvedené v Tabulka 6 brány jako nejpřesnější.
44
Tabulka 6 – vybrané pevné body kampaně DOPNUL
Souřadnice ETRS-89
Číslo Číslo
Název bodu:
TL : TB:
B (geodetická
šířka - North):
Souřadnice S-JTSK
825
32
V Lipinech
50°32´13,0377 14°59´18,6027
289,96
H
(nadmořská
Y [m]:
X [m]:
výška Bpv)
[m]:
696136,19 998814,30
246,22
1401
15
U vodojemu 50°28´44,7218 14°53´46,0298
337,66
703467,17 1004348,96
293,79
1401
23
50°27´36,4199 14°51´47,1890
340,72
706065,68 1006136,15
296,78
1402
2
50°25´13,0293 14°52´39,5963
313,14
705617,93 1010663,69
269,15
1402
12
50°23´15,4709 14°53´41,7316
267,59
704874,08 1014424,78
223,58
1516
25
50°28´41,6705 15°06´40,5540
362,10
688335,06 1006406,19
318,28
1517
3
Vrše
U
Houžvičkovy
hrušky
Na příčkách
Za
Dobšinem
V končinách
50°25´45,5418 15°07´39,0669
299,75
687881,70 1011950,91
255,89
1521
9
Nad Holou
50°29´54,9360 14°57´09,0733
272,08
699217,23 1002716,60
228,28
1521
26
Vrchy
50°29´00,9479 15°01´35,2908
286,73
694228,19 1005046,73
242,90
1521
33
Na vaze
50°27´37,9687 14°57´59,1073
284,89
698785,81 1007040,75
241,03
1521
41
50°27´08,7243 15°03´22,8972
288,91
692567,78 1008757,49
245,05
1522
1
50°25´42,4798 14°57´59,6444
276,81
699235,89 1010580,69
232,90
1522
17
Na kopci
Na
království
U rybníka
50°24´12,9101 15°03´49,0080
281,06
692751,25 1014211,23
237,16
1522
20
U Zádušky
50°23´05,7832 15°00´15,5742
359,57
697198,00 1015727,75
315,63
Vyhodnocení
globální
Helips
L (geodetická
(elipsoidická
délka - East):
výška) [m]:
transformace
i
lokální
transformace
bylo
prováděno
následujícím způsobem:
i.
Porovnání rovinných odchylek na vybraných pevných bodech
ii.
Porovnání odchylek ve výšce na vybraných pevných bodech
iii.
Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných pevných bodech
(v S-JTSK)
iv.
Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati
(výchozí vzdálenost určena ve WGS-84)
v.
Porovnání vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati od vybraného
pevného bodu (výchozí vzdálenost určena ve WGS-84)
Za účelem výpočtu transformace většího množství bodů více transformačními klíči
byl vytvořen pomocí vzorců uvedených v kapitolách 5, 6 a 7 jednoduchý konzolový
program v jazyce C spustitelný z příkazového řádku. Vstupem programu je textový
45
soubor s hodnotami bodů v geodetických souřadnicích systému WGS-84 nebo
ETRS-89 a výstupem textový soubor s hodnotami vypočtených souřadnic S-JTSK
včetně všech mezikroků. Zdrojový kód programu a stručný popis jeho funkcí je
uveden v příloze C.1.
Následuje stručný úvod k použitým metodám vyhodnocení transformace:
i.
ii.
Výsledky globální transformace jsou uvedeny v Tabulka 7. Úplné statistické
vyhodnocení je popsáno v kapitole 10.
Tabulka 7 – rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po globální transformaci
Souřadnice S-JTSK po globální
transformaci
Y [m]:
iii.
X [m]:
Odchylky souřadnic S-JTSK po globální
transformaci
H
∆H
celková
(nadmořská
(nadmořská
∆Y [m]: ∆X [m]:
odchylka v
výška Bpv)
výška Bpv)
rovině [m]:
[m]:
[m]:
696136,34 998814,44
245,904
0,15
0,14
0,32
0,205
703467,32 1004349,06
293,455
0,15
0,10
0,34
0,180
706065,77 1006136,29
296,465
0,09
0,14
0,31
0,166
705618,05 1010663,78
268,838
0,12
0,09
0,31
0,150
704874,24 1014424,87
223,253
0,16
0,09
0,33
0,184
688335,29 1006406,32
318,047
0,23
0,13
0,23
0,264
687881,88 1011951,02
255,639
0,18
0,11
0,25
0,211
699217,38 1002716,74
227,943
0,15
0,14
0,34
0,205
694228,39 1005046,80
242,624
0,20
0,07
0,28
0,212
698785,87 1007040,81
240,708
0,06
0,06
0,32
0,085
692567,95 1008757,62
244,781
0,17
0,13
0,27
0,214
699236,01 1010580,73
232,582
0,12
0,04
0,32
0,126
692751,36 1014211,29
236,866
0,11
0,06
0,29
0,125
697198,09 1015727,80
315,307
0,09
0,05
0,32
0,103
Bylo porovnáváno 91 vzdáleností (každý bod s každým). Nejprve byly zjištěny
vzdálenosti bodů s původními souřadnicemi a následně se souřadnicemi po
globální transformaci. Výsledky byly porovnávány bez započítání nadmořské
46
výšky a se započítáním vlivu nadmořské výšky. Tabulka s výsledky je v příloze
B.1.
iv.
Ze souboru „vysledky_zmax_20070619151839_okruh2_gsm_02.xls“ obdrženého od
Škoda Auto a.s. bylo vybráno 24 bodů přímo na okruhu. Tyto body jsou rovnoměrně
rozprostřeny na okruhu, aby jejich vyhodnocování bylo co nejpřesnější. Na těchto
bodech byly vyhodnocovány relativní vzdálenostní odchylky (není vybrán pevný bod).
Hodnoty vybraných nepevných bodů jsou v Tabulka 8 a jejich poloha vůči bodům
DOPNUL je graficky vyjádřena na Obrázek 9.
Tabulka 8 – 24 vybraných nepevných bodů na měřeném okruhu
Vybrané body na okruhu pro vyhodnocení přesnosti transformace (24 bodů)
Čas
měření
UTC [s]:
1274547
ID bodu:
1
Počet satelitů
Zeměpisná
Zeměpisná Elipsoidická
v době
šířka (N):
délka (E):
výška H [m]:
měření:
4
50,50436258 15,02263487
334,045
1346953
2
5
50,49445602 15,03369240
312,685
1443547
3
5
50,48570310 15,04300722
296,630
1743547
4
7
50,47275338 15,06561968
301,254
2041750
5
7
50,46546015 15,08693873
335,799
2138750
6
7
50,46205750 15,10525228
354,652
2237141
7
4
50,45269057 15,08573168
327,010
2339141
8
7
50,44349830 15,06401615
292,154
2438547
9
5
50,43307817 15,04413788
283,298
2536938
10
7
50,42554097 15,02677667
279,249
2640938
11
5
50,41709275 15,00508575
277,822
2736141
12
6
50,41091512 14,99057677
274,383
2843344
13
6
50,41052847 14,97402552
272,408
2938547
14
5
50,40883305 14,95386990
271,825
3222750
15
6
50,41128990 14,93982087
263,827
3291735
16
7
50,42240657 14,94289635
271,146
3369750
17
7
50,43653508 14,94332892
282,107
3444438
18
6
50,44817383 14,93894360
307,590
3523641
19
7
50,46061648 14,93657185
295,741
3595047
20
5
50,46826238 14,94681708
285,599
3669750
21
8
50,47945338 14,96289912
286,895
3733344
22
6
50,48988022 14,97156913
289,432
3826031
23
6
50,50381070 14,97780420
297,321
3969750
24
4
50,51306043 14,99615143
297,556
47
Obrázek 9 – poloha vybraných bodů na okruhu
Měření vzájemných vzdáleností bylo uskutečněno pro všechny možnosti (tj. každý
s každým), celkem 276 vzdáleností. Byla sledována především změna vzdálenostní
odchylky v závislosti na různých parametrech (vzdálenost bodů, kvalita transformace,
velikost výšky, atd.). Vyhodnocení je uvedeno v příloze B.2.
v.
V těchto výpočtech byl vybrán jako pevný bod DOPNUL č.33 (viz. Obrázek 9), který
leží uvnitř okruhu a vybraných 24 bodů je kolem něj rozprostřeno v bezprostřední
blízkosti i v dostatečné vzdálenosti. To je výhodné pro znázornění velikosti odchylky
v závislosti na vzdálenosti měřeného bodu. Vyhodnocení tohoto bodu je v příloze
B.3.
48
9. Lokální transformace
Výpočet lokální transformace je celkem podrobně popsán v kapitole 5.2. Na základě
poznatků v uvedené kapitole byl vypočítán lokální transformační klíč platný pro území
vymezené na Obrázek 8. Výpočet byl prováděn pomocí 14 bodů kampaně DOPNUL
uvedených v Tabulka 6 za použití metody nejmenších čtverců (viz. kapitola 5.3).
Pro výpočet lokálního transformačního klíče byl vytvořen program v jazyce C, který
dokáže provést globální i lokální transformaci, zpětnou transformaci Křovákova
zobrazení i výpočet samotného lokálního transformačního klíče.
Za použití uvedeného programu byly zjištěny pravoúhlé prostorové souřadnice
v systému ETRS-89 a S-JTSK pro 14 pevných bodů DOPNUL. Lokální transformační
klíč byl z prostorových souřadnic vypočten požitím vzorce (5.22). Výpočet byl
prováděn pomocí programu MATLAB. Pro obejití výpočtu inverzní matice bylo rovněž
použito metody redukce souřadnic k těžišti uvedené v kapitole 5.4.
Souřadnice těžiště množiny identických bodů v obou systémech jsou shrnuty
v Tabulka 9.
Tabulka 9 – těžiště množiny identických bodu v systému I. i systému II.
Těžiště 14 identických bodů v systému I (ETRS89)
x't [m]:
y't [m]:
z't [m]:
Těžiště 14 identických bodů v systému II (S-JTSK)
xt [m]:
yt [m]:
zt [m]:
3931160,79900 1052276,49200 4895065,40700 3930565,43140 1052205,57201 4894590,27249
Dle kontroly uvedené v (5.31) je patrné, že se systémy ztotožnily v těžišti a ověřila se
tak správnost výpočtu.
Výpočet transformačního klíče přes přímý výpočet inverzní matice poskytuje přesný
klíč. Kódy použité pro výpočet v MATLABu jsou uvedeny v přílohách C.3 a C.4.
Zpětným dosazením
,
,
,
,
,
,
do rovnic substituce (5.15) a (5.9) lze zjistit hodnoty
. Tím je vypočten lokální transformační klíč (viz. Tabulka 10).
49
Tabulka 10 – lokální transformační klíč
Hodnoty lokální
transformace:
m [10-6]:
x0 [m]:
578,828639686107
ωx [´´]:
y0 [m] :
-116,722220838069
ωy [´´]:
z0 [m]:
483,681244164705
ωz [´´]:
0,6173953999156 5,75806287086999 1,8311718428793400 4,80080398657140
Vyhodnocení lokální transformace bylo prováděno stejným způsobem, který je
uveden pro globální transformaci (viz. kapitola 8). Vyhodnocení transformace podle
bodů iii., iv. a v. jsou uvedeny v přílohách B.4, B.5 a B.6.
Výsledky lokální transformace na pevných bodech jsou v Tabulka 11.
Tabulka 11 - rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po lokální transformaci
Souřadnice S-JTSK po lokální
transformaci
Odchylky souřadnic S-JTSK po lokální
transformaci
H
∆H
celková
(nadmořská
(nadmořská
∆Y [m]: ∆X [m]:
odchylka v
výška Bpv)
výška Bpv)
rovině [m]:
[m]:
[m]:
Y [m]:
X [m]:
696136,18
998814,31
246,204
0,14
0,32
696136,13
0,346
703467,20 1004348,94
293,785
0,10
0,34
703467,14
0,350
706065,66 1006136,18
296,805
0,14
0,31
706065,60
0,345
705617,94 1010663,69
269,175
0,09
0,31
705617,90
0,325
704874,14 1014424,79
223,585
0,09
0,33
704874,06
0,339
688335,11 1006406,22
318,310
0,13
0,23
688335,03
0,267
687881,70 1011950,94
255,898
0,11
0,25
687881,67
0,274
699217,24 1002716,61
228,255
0,14
0,34
699217,17
0,365
694228,23 1005046,69
242,913
0,07
0,28
694228,18
0,285
698785,74 1007040,71
241,016
0,06
0,32
698785,79
0,328
692567,78 1008757,53
245,061
0,13
0,27
692567,74
0,299
699235,88 1010580,65
232,891
0,04
0,32
699235,88
0,321
692751,21 1014211,22
237,145
0,06
0,29
692751,23
0,300
697197,95 1015727,74
315,605
0,05
0,32
697197,99
0,327
50
10. Porovnání přesnosti použitých transformací
10.1.
Vyhodnocení globální a lokální transformace
Základním krokem po provedení transformace je určení míry ztotožnění prostorových
souřadnic systému I. (ETRS-89) a systému II. (S-JTSK) dle (5.33). To je uvedené
v následující Tabulka 12.
Tabulka 12 – míra ztotožnění soustav
* (hodnoty uváděny v
metrech) *
Hodnoty původních
souřadnic:
Hodnoty souřadnic po
globální transformaci:
Rozdíl hodnot souřadnic:
lokální transformaci:
Míra ztotožnění souřadnic x, y, z v S-JTSK
mx:
my:
mz:
mv(xyz):
3930567,309375 1052220,851456 4894591,186004 6365025,606537
3930567,241993 1052220,700348 4894590,880352 6365025,304907
0,067382
0,151108
0,305652
0,301631
3930567,309903 1052220,851691 4894591,186290 6365025,607122
-0,000528
-0,000235
-0,000286
-0,000585
Zlepšení výsledku lokální
transformace (v %
výsledku globální
transformace):
99,22
99,84
99,91
99,81
metrech) *
Hodnoty původních
souřadnic:
globální transformaci:
lokální transformaci:
Míra ztotožnění souřadnic Y, X, h v S-JTSK
mY:
mh:
mv(YXh):
697621,486947 1008355,678856
262,351116
1226155,366566
697621,628174 1008355,775186
262,052062
1226155,526073
0,299054
-0,159507
262,352391
1226155,366568
-0,141228
mX:
-0,096330
697621,486954 1008355,678852
-0,000007
0,000003
-0,001275
-0,000002
Zlepšení výsledku lokální
transformace (v %
transformace):
99,99
100,00
99,57
100,00
Z výsledků míry ztotožnění soustav je jasně patrné, jak výrazně je lokální
transformace přesnější. Zlepšení se ve všech souřadnicích blíží maximální možné
hodnotě. Jedná se však o zlepšení průměrné hodnoty souřadnic, v jednotlivých
bodech se odchylky mohou lišit.
51
i.
Nejdůležitějším parametrem pro určení přesnosti souřadnic v S-JTSK jsou odchylky
na pevných bodech. Vyhodnocením tabulek Tabulka 7 a Tabulka 11 byly získány tyto
výsledky:
Tabulka 13 – vyhodnocení rovinných odchylek na pevných bodech
Popisná statistika
rovinné odchylky na
pevných bodech
(globální
transformace):
Popisná statistika
rovinné odchylky na
pevných bodech
(lokální
transformace):
Zlepšení výsledků
lokální transformace
(v % výsledku
globální
transformace):
Průměr:
0,1737
0,0407
76,55
Chyba průměru:
0,0134
0,0053
60,31
Medián (střední hodnota):
0,1819
0,0406
77,67
Směrodatná odchylka:
0,0503
0,0200
60,31
Rozptyl výběru:
0,0025
0,0004
84,24
Minimum:
0,0849
0,0100
88,21
Maximum:
0,2642
0,0806
69,48
14
14
0,0290
0,0115
metrech) *
Počet bodů:
Hladina spolehlivosti (95,0%):
Lokální transformace je výrazně přesnější ve všech zjišťovaných parametrech.
Hodnota maximální odchylky je oproti ostatním „pouze“ 69,5%, což je způsobeno
především použitým kritériem přesnosti při výpočtu globálního klíče (kritérium
minimální maximální chyby). Směrodatná odchylka se z původních 5 cm platných pro
globální transformaci snížila pod 2 cm. Kvalita lokálního transformačního klíče je
vidět na Obrázek 10.
8
Rozdělení četnosti radiálních odchylek polohy na identických bodech
Globální transformace
Lokální transformace
7
četnosti
6
5
4
3
2
1
0
0 ‐ 0,03
0,031 ‐ 0,05 0,051 ‐ 0,08 0,081 ‐ 0,1
0,11‐ 0,2
odchylka polohy v rovině S‐JTSK [m]
0,21 ‐ 0,3
52
Obrázek 10 – rozdělení četnosti radiálních odchylek polohy na identických bodech
ii.
Měření nadmořské výšky je problém, kterému se věnují úvodní kapitoly. Hodnoty
výšky geoidu nad elipsoidem GRS-80 (WGS-84) se na území ČR pohybují okolo 45
m [11]. Pro Besselův elipsoid je výška nad geoidem přibližně rovna nule. Pro zvýšení
přesnosti určení nadmořské výšky lze dle [29] využít model kvazigeoidu VÚGTK
2000, který je řešen formou rastru. Pro vnitřní body gridů je nutno provést
kvadratickou interpolaci ze čtyř nejbližších bodů.
Tabulka 14 – vyhodnocení výškových odchylek na pevných bodech
Popisná statistika
výškové odchylky na
pevných bodech
(globální
transformace):
Popisná statistika
výškové odchylky na
pevných bodech
(lokální
transformace):
lokální transformace
(v % výsledku
globální
transformace):
Průměr:
0,3020
0,0161
94,65
Chyba průměru:
0,0087
0,0022
74,17
0,3155
0,0145
95,40
0,0325
0,0084
74,17
Rozptyl výběru:
0,0011
0,0001
93,33
Minimum:
0,2330
0,0050
97,85
Maximum:
0,3370
0,0300
91,10
14
14
0,0187
0,0048
metrech) *
Počet bodů:
Ještě výraznější zpřesnění určení nadmořské výšky lokální transformací, než u
určení polohy v rovině, je způsobeno především malými změnami nadmořské výšky
na daném území. Maximální rozdíl nadmořských výšek pevných bodů je 94,7 m.
Kvalita určení nadmořské výšky je důležitá především při výpočtu vzdálenosti dvou
bodů, kde již výškovou souřadnici polohy bodů nelze zanedbat.
Grafické
vyhodnocení
výškových
odchylek
je
reprezentováno
následujícím
histogramem.
53
10
Rozdělení četnosti radiálních odchylek nadmořské výšky na identických bodech
Globální transformace
Lokální transformace
četnosti
8
6
4
2
0
0 ‐ 0,01
0,011 ‐ 0,03
0,031 ‐ 0,3
0,31 ‐ 0,4
odchylka v nadmořské výšce v rovině S‐JTSK [m]
Obrázek 11 – rozdělení četnosti radiálních odchylek nadmořské výšky na identických bodech
iii.
(v S-JTSK)
Vzdálenost určená pevnými body v S-JTSK byla porovnávána se vzdálenostmi
určenými po transformacích. Vyhodnocení shrnuje Tabulka 15.
Tabulka 15 – vyhodnocení relativních vzdálenostních odchylek na pevných bodech
Popisná statistika
Popisná statistika
vzdálenostní odchylky vzdálenostní odchylky
v rovině S-JTSK na
v rovině S-JTSK na
* (hodnoty uváděny v metrech) *
pevných bodech
pevných bodech
(globální
(lokální
transformace):
transformace):
lokální
transformace (v %
transformace):
Průměr:
0,0564
0,0377
33,16
Chyba průměru:
0,0040
0,0032
20,97
0,0553
0,0335
39,43
0,0382
0,0302
20,97
Rozptyl výběru:
0,0015
0,0009
37,54
Minimum:
0,0001
0,0003
-357,97
Maximum:
0,1733
0,1237
28,61
91
91
0,0080
0,0063
Počet hodnocených vzdáleností:
Poměrně nevýrazné zlepšení hodnot po lokální transformaci oproti předchozím
vyhodnocením je možná překvapením. Vysvětlení lze hledat v rozložení rovinných
odchylek pevných bodů po lokální a globální transformaci. Směrovost odchylek
54
v osách Y a X je znázorněna na Obrázek 12. Hodnoty souřadnic Y, X byly pro lepší
názornost zmenšeny v poměru 1:10000 a hodnoty odchylek zachovány.
Vektory rovinných odchylek po globální transformaci mají velice podobnou orientaci.
Protože nebyl určen žádný pevný bod, tak posunem všech bodů stejným směrem se
nemění jejich vzájemná vzdálenost. Po globální transformaci jsou proto vzájemné
vzdálenosti bodů určeny poměrně přesně. To je dáno lokálními odchylkami S-JTSK,
které mají při globální transformaci v malých oblastech stejný směr. Po lokální
transformaci je směr odchylek různý, proto nedochází k takovému zlepšení.
Zvláštní případ, který nastal u zhoršení určení minima vzdálenostní odchylky je spíše
náhodný. Hodnota minima po globální transformaci je výrazně nižší, než u ostatních
hodnot. To je způsobeno velice podobným směrem rovinné odchylky (např. u bodů
32 a 09).
Obrázek 12 – směrovost rovinných odchylek na pevných bodech
55
iv.
Při vyhodnocování vzdálenostních odchylek je nutné nejprve stanovit správné
vzdálenosti, podle kterých bude vyhodnocení probíhat. V kapitole 8 bylo zmíněno, že
stanovení polohy na elipsoidu WGS-84 pomocí GPS je bráno jako zcela přesné.
Z tohoto ohledu je zcela přesné i stanovení vzdálenosti bodů ve WGS-84, podle
kterého byly vzdálenostní odchylky vyhodnocovány.
Pro vybrané body (viz. Tabulka 8) byla určena jejich vzájemná vzdálenost ve WGS84 a poté vzdálenost v S-JTSK po globální a lokální transformaci. Vyhodnocení bylo
prováděno v prostorových souřadnicích S-JTSK a v rovinných souřadnicích S-JTSK
se započítáním vlivu nadmořské výšky (viz. Tabulka 16 a Tabulka 17).
Tabulka 16 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v prostoru S-JTSK
Popisná statistika
Popisná statistika
vzdálenostní odchylky vzdálenostní odchylky
na vybraných bodech na vybraných bodech
na trati v prostoru Sna trati v prostoru SJTSK (globální
JTSK (lokální
transformace):
transformace):
Průměr:
0,0244
0,0043
lokální
transformace (v %
transformace):
82,55
Chyba průměru:
0,0007
0,0001
82,55
0,0257
0,0045
82,55
0,0109
0,0019
82,55
Rozptyl výběru:
0,0001
0,0000
96,96
Minimum:
0,0037
0,0006
82,54
Maximum:
0,0462
0,0081
82,55
276
276
0,0013
0,0002
56
Tabulka 17 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v rovině S-JTSK
metrech) * * (započítán vliv
nadmořské výšky) *
Popisná statistika
Popisná statistika
vzdálenostní odchylky na vzdálenostní odchylky
lokální
vybraných bodech na
na vybraných bodech transformace (v %
trati v rovině S-JTSK
na trati v rovině S-JTSK výsledku globální
(globální transformace): (lokální transformace):
transformace):
Průměr:
0,5245
0,4942
5,78
Chyba průměru:
0,0143
0,0135
5,82
0,5508
0,5217
5,28
0,2373
0,2235
5,82
Rozptyl výběru:
0,0563
0,0500
11,29
Minimum:
0,0834
0,0785
5,95
Maximum:
Počet hodnocených
vzdáleností:
1,0529
0,9900
5,97
276
276
0,0281
0,0265
V prostorových souřadnicích x, y, z na Besselově elipsoidu je lokální transformace
mnohem přesnější. Po převodu do roviny S-JTSK se zlepšení pohybuje kolem 5%.
To může být způsobeno již zmíněnou směrovostí deformací v rovině S-JTSK a
především vlivem samotného konformního Křovákova zobrazení.
Při vyhodnocování vzdálenostních odchylek byly dále sledovány závislosti rozdílu
vzdáleností na různých parametrech vyjádřených na obrázcích Obrázek 15 - Obrázek
16. Uvedené grafy jsou platné pro globální transformaci, pro porovnání jsou na nich
uvedeny i hodnoty lineární regrese pro lokální transformaci.
57
Linearita Helmertovy transformace je uvedena na Obrázek 13 a osa y z tohoto grafu
Rozdíl vzdáleností v rovině S-JTSK [m]
je
přenesena
na
x
do
následující
grafu
Graf závislosti velikosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na
reálné prostorové vzdálenosti zjištěné ve WGS-84 na vybraných
bodech na okruhu - globální transformace
1,2
1,0
0,8
y = 8E-05x - 0,0041
R² = 0,9908
0,6
0,4
lokální transformace:
y = 7E-05x - 0,0036
R² = 0,9905
0,2
0,0
0
2000
4000
6000
8000
10000
Vzdálenost porovnávaných bodů ve WGS-84 [m]
12000
14000
Obrázek 15 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS84
), kde je uvedena závislost rozdílu vzdáleností po Křovákově zobrazení. Celková
závislost odvozená z uvedených dvou grafů je vyjádřena na Obrázek 15. Poslední
z grafů vyjadřuje relativní nezávislost rozdílu vzdáleností v rovině na nadmořské
výšce.
58
Graf závislosti rozdílu prostorových souřadnic (mezi elipsoidy WGS84 a Bessel) po Helmertově transformaci na reálné prostorové
vzdálenosti zjištěné ve WGS-84 na vybraných bodech na okruhu globální transformace
Rozdíl vzdáleností v prostoru S-JTSK [m]
0,050
0,045
0,040
0,035
0,030
0,025
y = 4E-06x + 6E-08
R² = 1
0,020
0,015
y = 6E-07x - 3E-08
R² = 1
0,010
0,005
0,000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Obrázek 13 – závislost vzdálenostní odchylky v prostoru S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS84
1,2
rozdílu prostorových souřadnic (mezi elipsoidy WGS-84 a Bessel) na
vybraných bodech na okruhu po Helmertově transformaci - globální
transformace
1,0
0,8
y = 21,695x - 0,0041
R² = 0,9908
0,6
y = 117,1x - 0,0036
R² = 0,9905
0,4
0,2
0,0
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,04
0,05
0,05
Rozdíl vzdáleností v prostoru S-JTSK [m]
Obrázek 14 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na vzdálenostní odchylce v prostoru SJTSK
59
reálné prostorové vzdálenosti zjištěné ve WGS-84 na vybraných
bodech na okruhu - globální transformace
1,2
1,0
0,8
y = 8E-05x - 0,0041
R² = 0,9908
0,6
0,4
y = 7E-05x - 0,0036
R² = 0,9905
0,2
0,0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Obrázek 15 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS-84
Graf závislosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu
nadmořských výšek na vybraných bodech na okruhu - globální
transformace
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
y = 0,0059x + 0,3715
R² = 0,2624
0,2
0,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Rozdíl nadmořských výšek [m]
Obrázek 16 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu nadmořských výšek
Mezi rozdílem nadmořských výšek a vzdálenostní odchylkou nebyla nalezena žádná
závislost. Lineární závislost je jednoznačně mezi vzdáleností bodů a jejich
vzdálenostní odchylkou. Pro přesnější lokální transformaci platí přibližně, že na 100
m vzdálenosti vznikne odchylka 7 mm. Závislost vzdálenostní odchylky na reálné
vzdálenosti v prostoru je způsobena zakřivením zemského povrchu.
60
v.
Po získání výsledků v předchozích bodech bylo nutné ještě do vyhodnocení
přesnosti zahrnout vzdálenostní odchylku od pevného bodu. Důvodem bylo potvrzení
či vyvrácení teorie vlivu směrovosti odchylek globální transformace.
Tabulka 18 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek nepevných bodů od pevného bodu č.33
Popisná statistika
Popisná statistika
vzdálenostní odchylky vzdálenostní odchylky Zlepšení výsledků
vybraných bodů na
vybraných bodů na
lokální
trati od vybraného
trati od vybraného
transformace (v %
pevného bodu v rovině
pevného bodu v
S-JTSK (globální
rovině S-JTSK (lokální
transformace):
transformace):
transformace):
Průměr:
0,422250746
0,378563412
10,35
Chyba průměru:
0,039950744
0,027334057
31,58
0,416823648
0,402423194
3,45
0,195717877
0,133908983
31,58
Rozptyl výběru:
0,038305487
0,017931616
53,19
Minimum:
0,110908507
0,108583929
2,10
Maximum:
0,822974729
0,652229165
20,75
24
24
0,082644411
0,056544804
Průměrné zlepšení lokální transformace, které je mírně nad 10% v porovnání
s hodnotami vzdálenostních odchylek v prostorových souřadnicích S-JSTK (viz.
příloha B.3 a B.6) vypovídá o vlivu Křovákova zobrazení na vzdálenostní odchylku.
Protože S-JTSK nezachovává vzdálenosti, ale jedná se o dvojité konformní
zobrazení, není příliš vhodné pro měření vzdáleností.
Vliv vzdálenosti na vzdálenostní odchylku je zachycen na Obrázek 17. Hodnoty
souřadnic jsou zmenšeny v poměru 1:10000 a odchylky v poměru 1:10, celkově je
tedy poměr vzdálenosti souřadnic a odchylek 1:1000. V grafu jsou zaneseny hodnoty
po lokální i globální transformaci. V tomto měřítku je však jejich rozdíl nepatrný, proto
jsou zdánlivě odchylky po lokální transformaci v grafu vynášeny z hodnot bodů po
globální transformaci (ve skutečnosti jsou v grafu vyneseny i souřadnice bodů po
lokální transformaci).
61
Obrázek 17 – vzdálenostní odchylky od pevného bodu DOPNUL
10.2.
Možnosti zvýšení přesnosti transformovaných souřadnic
V případech, kdy je vyžadována naprostá přesnost transformace souřadnic, je třeba
počítat i s dalšími vlivy působícími na přesnost transformace. Výsledek transformace
lze vylepšit několika dalšími výpočty.
Použitá bodová pole nejsou zcela přesná. Je to způsobeno především nestálostí
zemského povrchu. Absolutní poloha bodu se v čase mění a to způsobuje
dlouhodobou změnu polohy vzhledem k ITRS.
62
•
pohyb tektonických desek - 2,7 cm/rok severovýchodním směrem [29]
•
odlednění (tzv. „Skandinávský uplift“) 2-3 mm/rok a 1 cm/rok ve výšce
•
vliv variace vektoru rotace způsobený pohybem pólů a změnou rychlosti
rotace země - posun v řádu milimetrů.
•
Vliv změny tlaku vzduchu – 1 mm v poloze a 10 mm ve výšce
Hlavní
zaznamenatelné
změny
v pohybu
kontinentů
se
redukují
správnou
transformací do systému ETRS-89 v epoše 1989.
Zaznamenat lze i krátkodobé změny polohy bodů
•
Slapové variace elasticity Země (polodenní a celodenní slapová vlna) – posun
2-4 cm v poloze a až 20 cm ve výšce u pobřeží, uvnitř kontinentů v řádech
milimetrů
Další možností „zpřesnění“ je použití Jungovy transformace. Lze ji použít jako
„dotransformaci“ po Helmertově transformaci. Způsobí, že se odchylky na identických
bodech rozdělí mezi body neidentické. Tím získáme přesné hodnoty identických
bodů. Jedná se o nereziduální transformaci a nelze proto počítat střední chyby [20].
Nejprve bychom zjistili rozdíly odpovídajících souřadnic u identických bodů
, ,
,
,
ů
í ř
é ř
ý
ů íč á í
(10.1)
A následně vypočetli souřadnice transformovaných neidentických bodů
,
,
- ř
ý
ý
∑
∑
ů á í
∑
∑
íč (10.2)
∑
∑
(10.3)
(10.4)
(10.5)
63
10.3.
S-JTSK/95
Systém S-JTSK/95 je zpřesněný systém S-JTSK, který odstraňuje chybné měřítko
stávajícího systému S-JTSK a lokální deformace S-JTSK.
Myšlenka zdokonalení S-JTSK vychází především ze dvou hlavních bodů. Prvním
z nich je, že Česká Republika má velice přesnou astronomicko-geodetickou síť
reprezentovanou systémem S-42/83. Tento systém je bohužel používán pouze pro
vojenské mapování. Druhou je nutnost zavedení geocentrického souřadnicového
systému, který by umožňoval přímé nasazení techniky GPS.
S-JTSK/95 v praxi zatím není zaveden (2008). To je také hlavní důvod, proč nebylo
pracováno s těmito zpřesněnými souřadnicemi.
Transformaci souřadnic mezi ETRS-89 a S-JTSK/95 lze provést pomocí globálního
transformačního klíče uvedeného v Tabulka 19 postupem popsaným v této zprávě.
Druhou možností je modifikovat Křovákovo zobrazení dodatečnými členy [29].
Tabulka 19 – globální transformační klíč do S-JTSK/95
Hodnoty
transformace ETRS89 → S-JTSK/95:
x0 [m]:
m [10 ]:
ωx [´´]:
-3,5623099
z0 [m]:
-570,828498 -85,6768886 -462,842016
-6
Modifikace se provádí ve fázi
y0 [m] :
ωy [´´]:
ωz [´´]:
4,998403683 1,586716391 5,261077898
,
,
.
Postup je stejný jako u transformace do S-JTSK, avšak souřadnice Y, X jsou
dotransformovány následující formulí
′
∆
∆ ′
∆
(10.6)
2
∆
2
(10.7)
654000
1089000
(10.8)
Koeficienty A1 až A6 jsou uvedeny v Tabulka 20.
64
Tabulka 20 – koeficienty dotransformace do S-JTSK/95
A3 [10-7]
A2
A1
0,05839284707
-6
0,04718658410
-11
0,82276069250
A4 [10 ]
A5 [10 ]
A6 [10-11]
-0,33377637090
0,88509844420
0,14445478180
65
11. Závěr
Mezi systémy WGS-84 a S-JTSK neexistuje obecný transformační převod. To je
způsobeno lokálními deformacemi S-JTSK, které vznikly při budování tohoto systému
počátkem 20. století. Pro dosažení přesných výsledků je proto nutné provést lokální
transformaci.
Transformace souřadnic z prostoru do roviny probíhá v několika krocích. Pro výpočty
v těchto krocích je nutné znát tzv. transformační klíč, který udává vztah dvou
prostorových souřadnicových soustav. Jedná se o 7 parametrů (3 složky rotace os, 3
složky posunu počátku a změnu měřítka), které lze získat pomocí identických bodů
(body s přesnými souřadnicemi v obou systémech).
Na základě nastudovaných materiálů byl převzat globální transformační klíč pro
převod mezi systémy ETRS-89 (evropský systém odvozený z globálního ITRS-89
velice podobného WGS-84) a S-JTSK vypočtený pomocí 175 pevných bodů
DOPNUL z [21]. Následně byl vypočten lokální transformační klíč pomocí 14 bodů
DOPNUL rozložených rovnoměrně v okolí testovacího okruhu. Výsledky výpočtů při
použití obou klíčů byly porovnávány, přičemž při výpočtech byla brána v úvahu i
transformace mezi systémy WGS-84 a ETRS-89.
Odchylky vypočtené Helmertovou transformací souřadnic pomocí vypočtených klíčů
byly porovnávány na 14 vybraných identických bodech kampaně DOPNUL v rovině
S-JTSK a v nadmořské výšce. Dále pak byly vyhodnoceny odchylky vzdálenosti 14
identických
bodů
a
odchylky
vzdálenosti
24
rovnoměrně
rozprostřených
neidentických bodů ležících na definovaném okruhu. Nakonec byly zjišťovány
vzdálenostní odchylky 24 neidentických bodů od vybraného pevného bodu DOPNUL.
Nejprve bylo zjištěno ztotožnění soustav, kde lokální transformace dosahuje
extrémně dobrých výsledků (zlepšení přes 99% z hodnoty globální transformace).
Statistickým vyhodnocením obou transformací bylo zjištěno, že lokální klíč průměrně
o 75% přesněji vystihuje polohu transformovaných bodů v rovině oproti globální
transformaci a o více, než 94% ve výšce.
Při
vyhodnocování
vzdálenostní
odchylky
bylo
zjištěno,
že
odchylky
na
transformovaných bodech po globální transformaci mají velice podobný směr, proto
66
zpřesněním polohy všech bodů nebylo získáno odpovídající zpřesnění ve
vzdálenostní odchylce.
Lokální klíč zpřesňuje vzdálenostní odchylky mezi 14 pevnými body průměrně o 33%
oproti globální transformaci a mezi 24 nepevnými body pouze o 5%. Zpřesnění
vzdálenostní odchylky 24 vybraných bodů od pevného bodu DOPNUL se za použití
lokálního
transformačního
klíče
pohybuje
kolem
10%
(z
hodnot
globální
transformace).
Provedené experimenty s parametry transformačních klíčů prokázaly, že průměrná
chyba na pevných bodech v rovině S-JTSK po lokální transformaci je 0,040727 m a
přibližně 0,173665 m po globální transformaci. Použitím lokální transformace tak lze
dosáhnout výrazně lepších výsledků.
Při
vyhodnocování
vzdálenostních
odchylek
bylo
pozorováno,
že
velikost
vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK lineárně roste se vzdáleností bodů ve WGS84 přibližně podle vzorce
0,00007
0,00008
0,0041 pro globální transformaci a podle
0,0036 po lokální transformaci. Při vzdálenosti bodů 100 m, tak
vznikne přibližně odchylka 7 mm po lokální transformaci (při zanedbání druhého
členu rovnice).
Při provádění experimentu lze transformovat souřadnice za použití globálního
transformačního klíče se směrodatnou odchylkou 5,050283 cm v rovinných
souřadnicích Y, X a 3,2454 cm ve výšce. Směrodatná odchylka lokálního klíče je
1,9959 cm v rovině S-JTSK a 0,8384 cm ve výšce. Ze zjištěných hodnot vyplývá, že
lokální transformace je výrazně přesnější s maximální zjištěnou chybou v poloze 8
cm (oproti 26 cm globální transformace).
Zkušenost ukazuje, že při měření pozice bodů v jakémkoli souřadnicovém systému je
u nich nutné uvádět čas pořízení. Souřadnice bodů se mění v čase a bez údajů o
datu měření by nebylo možné jejich polohu aktualizovat.
Pro transformaci souřadnic nutnou pro potřeby této práce byl vytvořen konzolový
program v jazyce C. Program dokáže vypočítat transformační klíč ze zadaného počtu
pevných identických bodů a tento klíč aplikovat pro lokální transformaci ze systémů
WGS-84 nebo ETRS-89 v aktuální epoše do systému S-JTSK. Globální transformace
je samozřejmostí. Vstupem programu je textový soubor s libovolným počtem bodů.
67
Výstupem je rovněž textový soubor se souřadnicemi v systému S-JTSK a všemi
mezikroky výpočtu (pro další práci se souřadnicemi).
Po provedených pokusech při vyhodnocování výzkumu pozornosti řidičů v rovině SJTSK lze jednoznačně doporučit použití přesnějšího lokálního transformačního klíče.
Pro takto malá území lze rovněž zanedbat zakřivení zemského povrchu a
vyhodnocení výzkumu provádět přímo na elipsoidu WGS-84 (v uvedené výzkumné
aplikaci je nutné mít vytvořené prostředí pro simulaci ve stejném souřadnicovém
systému).
Výsledky transformace souřadnic mezi systémy WGS-84 a S-JTSK lze využít
v mnoha dopravně zaměřených aplikacích využívající systému GPS. Ať už se jedná
o inteligentní dopravní systémy (ITS), velmi přesnou navigaci nebo např. určování
polohy v jízdním pruhu. Výhodou transformace do roviny S-JTSK je možnost
porovnání polohy transformovaných souřadnic v souboru českých map. Přesnost
map samotných (většinou digitalizovaných z papírových map) je však pro podobné
účely nedostačující. Pro určování polohy v jízdním pruhu by proto musela být použita
speciální mapa s malým měřítkem. Vhodnější je však provést přesné zaměření trati a
polohu vyhodnocovat na základě tohoto měření. Souřadnice GPS lze pak
transformovat do roviny S-JTSK, UTM nebo vyhodnocení např. provádět přímo na
elipsoidu WGS-84.
68
Seznam obrázků a tabulek:
Obrázek 1 – rovinné a prostorové odchylky polohy vozidla ...................................... 10 Obrázek 2 – soustava geodetických zeměpisných souřadnic [8].............................. 13 Obrázek 3 – vztah mezi elipsoidickou a nadmořskou výškou [8] .............................. 14 Obrázek 4 – prostorový souřadnicový systém [20] ................................................... 14 Obrázek 5 – jednoduchá kartografická zobrazení a poloha zobrazovací plochy [8] . 17 Obrázek 6 – Křovákovo zobrazení [20] .................................................................... 23 Obrázek 7 – vztah polohy dvou elipsoidů [16] .......................................................... 28 Obrázek 8 – měřený okruh a použité body kampaně DOPNUL ............................... 44 Obrázek 9 – poloha vybraných bodů na okruhu ....................................................... 48 Obrázek 10 – rozdělení četnosti radiálních odchylek polohy na identických bodech 53 Obrázek 11 – rozdělení četnosti radiálních odchylek nadmořské výšky na identických
bodech ...................................................................................................................... 54 Obrázek 12 – směrovost rovinných odchylek na pevných bodech ........................... 55 Obrázek 13 – závislost vzdálenostní odchylky v prostoru S-JTSK na prostorové
vzdálenosti ve WGS-84 ............................................................................................ 59 Obrázek 14 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na vzdálenostní
odchylce v prostoru S-JTSK ..................................................................................... 59 Obrázek 15 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na prostorové
vzdálenosti ve WGS-84 ............................................................................................ 60 Obrázek 16 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu
nadmořských výšek .................................................................................................. 60 Obrázek 17 – vzdálenostní odchylky od pevného bodu DOPNUL............................ 62 69
Tabulka 1 – některé používané elipsoidy ................................................................. 22 Tabulka 2 – přehled souřadnicových systémů používaných v ČR ............................ 25 Tabulka 3 – přehled důležitých kampaní tvořících geodetické základy .................... 26 Tabulka 4 – transformační koeficienty pro převod ITRF-2005 do ETRS-1989 ......... 42 Tabulka 5 – globální transformační klíč .................................................................... 43 Tabulka 6 – vybrané pevné body kampaně DOPNUL .............................................. 45 Tabulka 7 – rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po globální transformaci .......... 46 Tabulka 8 – 24 vybraných nepevných bodů na měřeném okruhu ............................ 47 Tabulka 9 – těžiště množiny identických bodu v systému I. i systému II. ................. 49 Tabulka 10 – lokální transformační klíč .................................................................... 50 Tabulka 11 - rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po lokální transformaci ........... 50 Tabulka 12 – míra ztotožnění soustav ...................................................................... 51 Tabulka 13 – vyhodnocení rovinných odchylek na pevných bodech ........................ 52 Tabulka 14 – vyhodnocení výškových odchylek na pevných bodech ....................... 53 Tabulka 15 – vyhodnocení relativních vzdálenostních odchylek na pevných bodech
................................................................................................................................. 54 Tabulka 16 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v prostoru
S-JTSK ..................................................................................................................... 56 Tabulka 17 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v rovině
S-JTSK ..................................................................................................................... 57 Tabulka 18 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek nepevných bodů od pevného
bodu č.33 .................................................................................................................. 61 Tabulka 19 – globální transformační klíč do S-JTSK/95 ........................................... 64 Tabulka 20 – koeficienty dotransformace do S-JTSK/95 .......................................... 65 70
Použitá literatura
[1] Zdeněk Hrdina, Petr Pánek, František Vejražka: Rádiové určování polohy,
ČVUT, Praha 1995
[2] Jan Kolář: Geografické informační systémy 10, ČVUT, Praha 2003
[3] Petr Buchar: Matematická kartografie, ČVUT, Praha 2007
[4] Internetové stránky českého zeměměřičského ústavu
http://bodovapole.cuzk.cz/
[5] Miloš Cimbálík: Vyšší geodézie: souřadnicové soustavy, ČVUT, 1995
[6] Jan Schenk: Geodetické sítě: Bodová pole, VŠB, Ostrava 2004, dostupné z
http://igdm.vsb.cz/igdm/materialy/geosite.pdf (22.10.2007)
[7] Jaromír Fajt: Geometrické transformace v GIS, ZČU, dostupné z
http://gis.zcu.cz/studium/ugi/referaty/05/GeometrickeTransformace/index.htm
l (22.10.2007)
[8] Markéta Hanzlová: Program pro transformaci souřadnic mezi souřadnicovými
systémy platnými na území ČR, Diplomová práce VŠB, 2006, dostupné z
http://gis.vsb.cz/GISacek/GISacek_2001/sbornik/Hanzlova/Hanzlova.htm
(22.10.2007)
[9] Pavla Vobořilová: Volné geodetické sítě v E3, ČVUT, 2000, dostupné z
http://slon.fsv.cvut.cz/~pavla/site/site.html (22.10.2007)
[10] Petr Šíma: Křovákovo zobrazení, online, 2007, dostupné
z http://krovak.webpark.cz/ (10.10.2007)
[11] Zdeněk Hrdina: Přepočet z WGS-84 do S-JTSK, 2001, dostupné z
http://www.gpsweb.cz/JTSK-WGS.htm (22.10.2007) a přepočet z S-JTSK do
WGS-84, 2001, dostupné z http://www.gpsweb.cz/WGStoJTSK.html
(22.10.2007)
[12] Vlastimil Kratochvíl: K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK
na území ČR, Univerzita obrany, dostupné z
http://fvt.unob.cz/fvtdata/k210/K_metodam_prevodu_v2.pdf (22.10.2007)
[13] Magdaléna Baranová: Kartografické vztahy systému JTSK, ZČU, dostupné z
http://home.zcu.cz/~baranov/KMA/articles/Plochy_zkresleni.pdf (22.10.2007)
[14] Kateřina Kaslová: Posouzení vlastností různých metod transformace
vlastnických hranic parcel ve zjednodušené evidenci do digitální katastrální
mapy na příkladě k. ú. Velká Veleň, bakalářská práce, ZČU, 2004, dostupné
71
z
http://gis.zcu.cz/studium/dp/2004/Kaslova__Posouzeni_vlastnosti_ruznych_
metod_transformace_vlastnickych_hranic_parcel_ve_zjednodusene_evidenc
i_do_digitalni_katastralni_mapy_na_priklade_k.u._Velka_Velen__BP.pdf
(22.10.2007)
[15] Jan Kostelecký: Geocentrický systém a trigonometrická síť České Republiky,
VÚGTK, 1997, dostupné z http://www.vugtk.cz/odis/sborniky/sb96/kostel.htm
(22.10.2007)
[16] Romana Kubátová: Systém JTSK a WGS-84, jejich charakteristika a
vzájemná transformace, bakalářská práce, ZČU, 2007, dostupné z
http://gis.zcu.cz/studium/dp/2007/Kubatova__System_JTSK_a_WGS84_a_vzajemna_transformace__BP.pdf (22.10.2007)
[17] Bohuslav Veverka: Souřadnicové transformace v geoinformatice, ČVUT,
2006, dostupné z http://projekty.geolab.cz/gacr/a/files/vev_geos_06.pdf
(22.10.2007)
[18] Jan Ježek, Radek Sklenička: Transformace souřadnicových systémů ve
vybraných GIS produktech, ČVUT, 2006, dostupné z
http://gist.fsv.cvut.cz/~sklenicka/sklena/transf.pdf (22.10.2007)
[19] Vojenský geografický obzor, 1/2005, vydáno 30.4.2005, dostupné z
http://www.army.cz/images/id_7001_8000/7162/VGO_1_2005.pdf
(22.10.2007)
[20] Jan Ježek: vývoj programového modulu pro převod souřadnic mezi
kartografickými zobrazeními, diplomová práce, ČVUT, 2003, dostupné z
http://josef.fsv.cvut.cz/~jezek/doc/dip.pdf (22.10.2007)
[21] Zdeněk Hrdina: Transformace souřadnic ze systému WGS-84 do systému SJTSK, ČVUT, 1997, dostupné z
http://www.geospeleos.com/Mapovani/WGS84toSJTSK/WGS_JTSK.pdf
(11.9.2007)
[22] Petr Doubrava: Zpracování rastrových mapových podkladů pro využití
v oblasti GIS a katastru nemovitostí, doktorská disertační práce, ČVUT,
2005, dostupné z http://projekty.geolab.cz/gacr/a/files/dis_doubrava.pdf
(20.10.2007)
[23] Josef Kabeláč: Geodetické metody vyrovnání – metoda nejmenších čtverců,
ZČU, 2003
72
[24] Jan Jandourek, Jan Ratiborský: Geodézie VI – Způsoby vyrovnání účelových
geodetických sítí v E2 a v E3, ČVUT, 1995
[25] Miloslav Ingeduld, Jan Jandourek, Jan Ratiborský, Radim Blažek: Geodézie
– Metody výpočtu a vyrovnání geodetických sítí, ČVUT, 1993
[26] Jan Jandourek: Geodézie 50 – Vyrovnání účelových geodetických sítí v E2 a
v E3, ČVUT, 2000
[27] Miroslav Hampacher, Vladimír Radouch: Teorie chyb a vyrovnávací počet
10, ČVUT, 1997
[28] Miroslav Hampacher, Vladimír Radouch: Teorie chyb a vyrovnávací počet
20, ČVUT, 1997
[29] Miloš Cimbálník, Antonín Zeman, Jan Kostelecký: Základy vyšší a fyzikální
geodézie, ČVUT, 2007
[30] Norma ISO/FDIS 19111:2002 - Geographic information — Spatial
referencing by coordinates, za poplatek dostupné z
http://www.iso.org/iso/iso_catalogue/catalogue_ics/catalogue_detail_ics.htm?
csnumber=26016 (27.7.2008)
[31] Miluše Vilímková: Testování sítě CZEPOS, diplomová práce, ČVUT, 2006,
dostupné z http://czepos.cuzk.cz/diplomka.pdf (09.12.2007)
[32] NIMA: World Geodetic System 1984 – Its definition and Relationships with
Local Geodetic System, technická zpráva, 2000, dostupné z http://earthinfo.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf (27.7.2008)
[33] Jan Kostelecký: Souřadnicový systém S-JTSK/95, současný stav a možnosti
jeho zpřesnění, ČVUT, dostupné z
http://gama.fsv.cvut.cz/gk/k152/navody/VG21/VG21-S-JTSK95.pdf
(09.12.2007)
[34] David Vojtěch: Budování polohového bodového pole u rozsáhlé liniové
stavby, diplomová práce, ZČU, 2006, dostupné z
http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vojtech__Budovani_polohov
eho_bodoveho_pole_u_rozsahle_liniove_stavby__DP.pdf (27.7.2008)
[35] Martin Vacek: Možnosti využití GPS v katastru nemovitostí, diplomová práce,
ZČU, 2004, dostupné z
http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vacek__Moznosti_vyuziti_G
PS_v_katastru_nemovitosti__DP.pdf (27.7.2008)
73
[36] Pavel Mátl: Využití systému WGS 84 pro katastrální mapování, diplomová
práce, ZČU, 2006, dostupné z
http://gis.zcu.cz/studium/dp/2006/Matl__Vyuziti_systemu_WGS_84_pro_kata
stralni_mapovani__DP.pdf (27.7.2008)
[37] Claude Boucher, Zuheir Altamimi: Specifications for reference frame fixing in
the analysis of a EUREF GPS campaign, dostupné z
http://etrs89.ensg.ign.fr/memo2007.pdf (27.7.2008)
[38] Internetové stránky pro systémy ITRF, dostupné z http://itrf.ensg.ign.fr/
(27.7.2008)
[39] Jaroslav Machan, Pavel Nedoma, Ján Vasil’, Zdeněk Franc: Srovnání
provozních a laboratorních simulací HMI s využitím systémů přesného
určování polohy, prezentace pro konferenci NavAge 2008
[40] Internetové stránky systému EUREF, dostupné z http://www.euref-iag.net/
(27.7.2008)
[41] Zuheir Altamimi, Juliette Legrand: Dense European velocity Field and
ETRS89 positions and velocities of the EPN stations, dostupné z
http://www.epncb.oma.be/_newsmails/papers/eurefsymposium2004/dense_e
uropean_velocity_field_and_etrs89_positions_and_velocities_of_the_epn_st
ations.pdf (27.7.2008)
[42] Lotti Jivall, Jānis Kaminskis, Eimuntas Paršeliūnas: Improvement and
extension of ETRS 89 in Latvia and Lithuania based on the NKG 2003 GPS
campaign, 2006, dostupné z http://www.gc.vgtu.lt/upload/geod_zurn/p1320.pdf (27.7.2008)
[43] Torbjørn Nørbech, Halfdan P. Kierulf: An Approximate Transformation from
ITRF2005 Current Epoch to EUREF89(ETRF89) in Norway for Offshore use,
2007, dostupné z
http://www.statkart.no/filestore/Sjkartverket/gratisprogram/Transform_ITRF20
05_EUREF89_offshore_i.pdf (27.7.2008)
74
Seznam příloh:
(Všechny přílohy a průvodní zpráva jsou umístěny na přiloženém CD.)
Příloha A:
Cesta k souboru:
E:/Prilohy/A/Priloha_A.pdf
Obsah přílohy:
Obrázek A.1 – délková zkreslení v S-JTSK
Obrázek A.2 – Křovákovo dvojité konformní zobrazení použité
v S-JTSK
Obrázek A.3 – rozmístění bodů trigonometrické sítě 1. řádu a
sítě AGS
Obrázek A.4 – rozmístění bodů kampaní zajišťující napojení na
EUREF (ETRS-89)
Obrázek A.5 – roční rychlosti a směr pohybu kontinentů dle
měření v systému ITRF-2005
Příloha B:
Cesta k souboru:
E:/Prilohy/B/Priloha_B.xlsx
Obsah přílohy:
B.1 – Vzdálenostní odchylky na pevných bodech DOPNUL globální transformace
B.2 – Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na
vybraných bodech na trati - globální transformace
B.3 – Vzdálenostní odchylky vybraných bodů na okruhu od
pevného bodu DOPNUL č.33 - globální transformace
B.4 – Vzdálenostní odchylky na pevných bodech DOPLNUL lokální transformace
B.5 – Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na
vybraných bodech na trati - lokální transformace
B.6 – Vzdálenostní odchylky vybraných bodů na okruhu od
pevného bodu DOPNUL č.33 - lokální transformace
Příloha C:
Cesta k souboru:
E:/Prilohy/C/
Obsah přílohy:
C.1 – Návod k programu TRANSTOS v1.0
C.2 – zdrojový kód + spustitelný soubor programu TRANSTOS
v1.0
C.3 – Zdrojový kód pro výpočet lokálního klíče pomocí MATLABu
C.4 – Zdrojový kód pro výpočet lokálního klíče přes redukci
souřadnic k těžišti pomocí MATLABu
75

Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od

Transkript

Podobné dokumenty

vzájemné porovnání algoritmů pro transformaci souřadnic mezi

Miluše Vilímková - CZEPOS je

Xín Yín Zín

-Navara D40

NM Mellomdistanse Senior Haltdalen Stadion 11.09 - O

mjr. Ing. Petr Janus - Vojenský geografický obzor