doc124MTIB Kopecký - Katedra technických zařízení budov K11125
download 
Stížnost Transkript
124MTIB Kopecký - Katedra technických zařízení budov K11125
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Materiál a konstrukce Šíření tepla, vzduchu a vlhkosti v budovách a stavebních prvcích Pavel Kopecký Praha 2014 Evropský sociální fond Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti OBSAH Značení a jednotky .............................................................. vi 1 Úvod .............................................................................. 10 1.1 Motivace ........................................................................................ 10 1.2 Zákony zachování .......................................................................... 12 1.2.1 Bilance kontrolního objemu.............................................................................. 13 1.2.2 Bilance na rozhraní vrstev ................................................................................ 15 1.3 Rovnice kontinuity......................................................................... 15 2 Šíření tepla .................................................................... 18 2.1 Úvod.............................................................................................. 18 2.2 Šíření tepla vedením ...................................................................... 18 2.2.1 Základní vztahy ................................................................................................ 18 2.2.2 Jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu ................................................ 20 Jednovrstvá stěna bez zdroje tepla ................................................................ 20 Vícevrstvá stěna bez zdroje tepla ................................................................... 22 Vícevrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla na rozhraní vrstev.................. 24 Jednovrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla působícím v celé tloušťce .... 26 Jednovrstvé mezikruží .................................................................................. 28 Vícevrstvé mezikruží ..................................................................................... 29 2.2.3 Jednorozměrné vedení tepla v neustáleném stavu ............................................ 29 Princip superpozice ....................................................................................... 29 Skoková změna povrchové teploty na polonekonečné desce........................... 33 Teplota na rozhraní dvou polonekonečných desek ......................................... 35 Periodicky kmitající povrchová teplota na polonekonečné desce .................... 36 Numerické metody řešení.............................................................................. 40 2.3 Šíření tepla prouděním .................................................................. 46 2.3.1 Základní vztahy ................................................................................................ 46 2.3.2 Větraná dutina ................................................................................................. 47 2.3.3 Konvektivně difuzní rovnice .............................................................................. 49 2.4 Šíření tepla sáláním ....................................................................... 51 2.4.1 Základní vztahy ................................................................................................ 51 Úvod ............................................................................................................. 51 Záření černého tělesa .................................................................................... 52 Vlastnosti reálných těles ............................................................................... 54 2.4.2 Solární záření ................................................................................................... 56 2.4.3 Dlouhovlnné záření mezi povrchy ..................................................................... 58 - ii - 2.5 Kombinovaný přenos tepla ............................................................. 60 2.5.1 Přestup tepla na vnitřním povrchu konstrukce ................................................. 60 2.5.2 Přestup tepla na vnějším povrchu konstrukce .................................................. 62 2.5.3 Šíření tepla v uzavřené dutině .......................................................................... 64 2.5.4 Šíření tepla ve větrané vzduchové dutině .......................................................... 65 2.5.5 Šíření tepla v nehomogenní vrstvě .................................................................... 66 2.5.6 Šíření tepla v obvodové stěně ............................................................................ 68 2.5.7 Šíření tepla přes nevytápěný prostor................................................................. 70 2.5.8 Šíření tepla obálkou budovy ............................................................................. 71 2.5.9 Energetická propustnost stavebních prvků ....................................................... 76 Jednosklo ..................................................................................................... 77 Neprůsvitná stěna......................................................................................... 78 Dvojsklo........................................................................................................ 79 2.6 Úlohy k procvičení ......................................................................... 80 3 Šíření vzduchu .............................................................. 83 3.1 Úvod.............................................................................................. 83 3.2 Tlakový rozdíl ................................................................................ 84 3.2.1 Tlakový rozdíl od rozdílu teplot ......................................................................... 84 3.2.2 Tlakový rozdíl od účinku větru ......................................................................... 86 3.2.3 Tlakový rozdíl od systému mechanického větrání ............................................. 88 3.3 Modelování výměny vzduchu ......................................................... 88 4 Šíření vlhkosti ............................................................... 89 4.1 Úvod.............................................................................................. 89 4.2 Vlhkost ve vzduchu ....................................................................... 90 4.3 Vlhkost v pórovitých materiálech ................................................... 94 4.3.1 Struktura pórovitého materiálu ........................................................................ 94 4.3.2 Vyjadřování vlhkosti ......................................................................................... 96 4.3.3 Zadržování vlhkosti v materiálu ........................................................................ 97 Hygroskopická oblast .................................................................................... 97 Nadhygroskopická oblast ............................................................................ 101 4.4 Difuze vodní páry......................................................................... 106 4.4.1 Základní vztahy .............................................................................................. 106 4.4.2 Jednorozměrná difuze vodní páry v ustáleném stavu ve stěně ........................ 112 Jednovrstvá stěna bez zdroje vodní páry ..................................................... 112 Vícevrstvá stěna bez zdroje vodní páry ........................................................ 114 Kondenzace vodní páry uvnitř konstrukce .................................................. 115 4.4.3 Jednorozměrná difuze vodní páry v neustáleném stavu .................................. 116 - iii - Skoková změna hustoty vodní páry na povrchu polonekonečné desky......... 116 Periodicky kmitající hustota vodní páry na povrchu polonekonečné desky .. 117 4.5 Kapilární přenos .......................................................................... 118 4.5.1 Úvod .............................................................................................................. 118 4.5.2 Proudění vody v kapiláře ................................................................................ 119 Vodorovná kapilára ..................................................................................... 120 Svislá kapilára ............................................................................................ 121 4.5.3 Kapilární přenos v matematických modelech .................................................. 122 4.6 Proudění vzduchu........................................................................ 123 4.7 Úlohy k procvičení ....................................................................... 125 5 Tepelná a vlhkostní bilance budov ............................... 128 5.1 Tepelná bilance budovy v ustáleném stavu .................................. 128 5.1.1 Úvod .............................................................................................................. 128 5.1.2 Model podle ČSN EN ISO 13790 ..................................................................... 133 5.1.3 Solární tepelné zisky do budovy...................................................................... 137 5.1.4 Vnitřní tepelné zisky....................................................................................... 137 5.2 Tepelná bilance budovy v neustáleném stavu ............................... 138 5.2.1 Úvod .............................................................................................................. 138 5.2.2 Modely se sdruženými parametry ................................................................... 143 5.2.3 Solární tepelné zisky do budovy...................................................................... 147 5.3 Vlhkostní bilance budovy v ustáleném stavu ................................ 149 5.4 Vlhkostní bilance budovy v neustáleném stavu ............................ 150 5.5 Úlohy k procvičení ....................................................................... 153 Příloha: Elektrická analogie .............................................. 156 Vodivosti v sérii........................................................................................... 159 Vodivosti paralelně ..................................................................................... 159 Předepsaná hodnota teploty s vodivostí a předepsaný tok do uzlu ............... 160 Předepsané hodnoty teploty s vodivostmi do uzlu ........................................ 160 Literatura ......................................................................... 161 Rejstřík ............................................................................ 163 Summary .......................................................................... 165 - iv - Předmluva Tato kniha je určena všem zájemcům o šíření tepla, vzduchu a vlhkosti v budovách a jejich prvcích. Text knihy stručně představuje základní fyzikální principy, některé numerické metody a ukázky praktických aplikací teoretických vztahů se zaměřením na aplikace v oblasti stavební tepelné techniky. Cílem knihy je být dobře strukturovanou česky psanou učebnicí stavební tepelné techniky. Další informace je možné hledat v kvalitních učebnicích, jakými například jsou [1], [2], [3]. Někdy je velmi vhodné začít od úplných základů s učebnicí středoškolské fyziky. Kniha je sestavena tak, aby čtenář četl její obsah popořadě. Teorie šíření tepla je využita jako základ pro navazující studium šíření vlhkosti. V textu se klade zvláštní důraz na odvození rovnic, vyjadřování modelů v podobě grafických schémat (analogie s elektrickými obvody) a ilustraci analogie šíření tepla a vlhkosti. Část z textů této knihy vznikala pro potřeby předmětů „Matematické modelování ve stavební fyzice“, základního kurzu „Stavební fyziky“ a předmětu „Materiál a konstrukce“ vyučovanými na Katedře konstrukcí pozemních staveb. I přes velkou péči věnovanou přípravě, je téměř jisté, že text není zcela prostý chyb. Autor proto bude velmi vděčný, když ho čtenář na případné chyby či nedostatky upozorní. V Praze 8.8.2014 Pavel Kopecký -v- Značení a jednotky symbol vysvětlení anglický termín a Teplotní vodivost Thermal diffusivity m2/s av Vlhkostní vodivost Moisture diffusivity m2/s b Tepelná jímavost Thermal effusivity Ws0,5/m2K bv Vlhkostní jímavost Moisture effusivity (m/s0,5) c Měrná tepelná kapacita Specific heat capacity J/(kg·K) dp Periodická hloubka tepelné penetrace Periodic thermal penetration depth m dpv Periodická hloubka vlhkostní penetrace Periodic moisture penetration depth m ga Hustota toku vzduchu Density of air flow kg/(m2s) gv Hustota difuzního toku vodní páry Density of vapor flow kg/(m2s) m Hmotnost Mass kg N Teplotní difuzní funkce Diffusion constant 1/s pv Částečný tlak vodní páry Partial pressure of water vapor Pa q Hustota tepelného toku Density of heat flow W/m2 sQ Objemový zdroj tepla Volumetric heat source W/m3, sm Objemový zdroj vlhkosti Volumetric moisture source kg/(m3s) sd Ekvivalentní difuzní tloušťka Equivalent diffusion thickness m u Hmotnostní vlhkost Moisture content by mass kg/kg w Objemová vlhkost Moisture content by volume kg/m3 t Čas Time s tp Perioda Period s A Plocha Area m2 Aw Součinitel nasákavosti Water absorption coefficient kg/m2√s G Hmotnostní tok Mass flow kg/s Gv Tok vodní páry Vapor flow kg/s GG Intenzita globálního Irradiance W/m2 - vi - jednotka solárního záření K Vodivost Conductance různé Q Teplo Heat J R Tepelný odpor Thermal resistance m2K/W T Teplota Temperature °C, K Zp Difuzní odpor (v případě, že se počítá s rozdílem částečných tlaků vodní páry) Diffusion resistance m/s Z Difuzní odpor (v případě, že se počítá s rozdílem hustot vodní páry) Diffusion resistance s/m x,y,z Osy souřadného systému Řecká písmena c Součinitel přestupu tepla prouděním Convective heat transfer coefficient W/(m2K) r Součinitel přestupu tepla sáláním Radiative heat transfer coefficient W/(m2K) Součinitel přestupu vodní páry prouděním (v případě, že se počítá s rozdílem hustot vodní páry) Convective vapor transfer coefficient m/s Součinitel difuze (v případě, že se počítá s rozdílem hustot vodní páry) Vapor permeability m2/s p Součinitel difuze v případě, že se počítá s rozdílem částečných tlaků vodní páry Vapor permeability kg/(m·s·Pa) Emisivita Emissivity - Tepelný tok Heat flow W Relativní vlhkost Relative humidity - Součinitel tepelné vodivosti Thermal conductivity W/(m·K) d Objemová hmotnost v suchém stavu Density kg/m3 v Hustota vodní páry Vapor concentration kg/m3 Vlhkostní kapacita (sklon Moisture capacity - - vii - sorpční křivky) Faktor difuzního odporu Vapor resistance factor - C Časová konstanta Time constant s Úhlová frekvence Angular frequency rad/s Indexy spodní a Vzduch Air A Amplituda Amplitude ai Vzduch, vnitřní Air, internal ae Vzduch, vnější Air, external B Přímé Beam c Proudění Convection cav Dutina Cavity cd Vedení Conduction d Difuze Diffusion D Difuzní Diffuse dp Rosný bod Dew point e Vnější External ekv Ekvivalentní Equivalent g Zisk Gain G Globální Global h Horizontální Horizontal i Vnitřní Internal in Dovnitř In M Průměrná Mean out Ven Out p Povrch Surface r Sálání Radiation s Solární anebo zdroj Solar, or source sat Nasycený Saturated t Skloněný Tilted tot Celkový Total - viii - T Prostup tepla Transmission v Vodní pára Vapor V Větrání Ventilation Indexy horní old Hodnota veličiny v čase t -1 new Hodnota veličiny v čase t - ix - 1 Úvod 1.1 Motivace Budovy jsou odděleny od venkovního prostředí stavebními prvky (stěnami, střechou, podlahou na zemině), které jsou vystaveny proměnlivým klimatickým podmínkám, jako například jsou solární záření, déšť, vítr a teplota venkovního vzduchu. V obálce budovy proto stále probíhají různé fyzikální procesy, jako například jsou přenos tepla, vlhkosti a vzduchu. Stavební tepelná technika je obor, který se zabývá šířením tepla, vzduchu a vlhkosti v budovách, stavebních prvcích, či samotných materiálech (viz Obrázek 1). Budova a okolí Stavební prvky Materiály zoom zoom Kapalná fáze Pevná fáze (skelet) Plynná fáze (vlhký vzduch) Obrázek 1: Různé úrovně zkoumání. V minulosti se budovy navrhovaly na základě předchozí zkušenosti. V dnešní době je vývoj nových materiálů a stavebních prvků příliš rychlý na to, aby se taková zkušenost stačila vybudovat. Chybné použití materiálů a stavebních prvků může vyústit v nekvalitní vnitřní prostředí budov, zbytečnou spotřebu energie při jejich provozování, ba dokonce ve vážné poškození obálky budovy. Jelikož se životnost nových staveb navrhuje v řádu několika desítek let, je každá chyba v návrhu trestána dlouhodobě. Dříve nebo později se jedná o finanční zátěž provozovatele, či obyvatele budov. Chceme-li navrhovat kvalitní budovy, je bezesporu potřeba dobře porozumět fyzikálním procesům, kterými jsou budovy ovlivňovány. Očekávané chování budovy musí být známo ještě předtím, než padnou rozhodnutí, která lze potom jen velmi těžko v průběhu návrhu měnit. Problematika šíření tepla a hmoty je naneštěstí velmi komplexní. Obrázek 2 se snaží naznačit fyzikální procesy, které v rámci nějakého stavebního prvku mohou probíhat. - 10 - ŠÍŘENÍ TEPLA Krátkovlnné záření Povrchy venkovní - Ostatní budovy - Povrch země - Obloha… Přestup tepla dlouhovlnným zářením (sáláním) Přestup tepla prouděním vzduchu Vedení tepla a proudění Skupenské teplo kondenzace nebo vypařování Proudění vzduchu Sálání Vedení Vzduchová dutina Povrchy v místnosti - Stěny - Strop - Podlaha - Okna - Otopná tělesa… Přestup tepla dlouhovlnným zářením (sáláním) Přestup tepla prouděním vzduchu interiér exteriér ŠÍŘENÍ VLHKOSTI Větrem hnaný déšť Difuze a šíření kapalné fáze Voda stékající po povrchu Přestup vodní páry prouděním vzduchu Kondenzace nebo vypařování na/z vnějšího povrchu exteriér Zabudovaná vlhkost Kondenzace nebo vypařování uvnitř konstrukce Přestup vodní páry prouděním vzduchu Proudění vzduchu Vzduchová dutina Vzlínající voda Kondenzace nebo vypařování na/z vnitřního povrchu interiér Obrázek 2: Šíření tepla a vlhkosti probíhající uvnitř stavebního prvku, na jeho povrchu či mezi jeho povrchem a obklopujícími povrchy. Reálný experiment a teoretický výpočet představují dva možné způsoby jak zkoumat nějaký problém. Experiment poskytuje reálnou informaci o problému, a to i přes nejistoty měření. Měření je ale drahé, zdlouhavé a poskytuje nekompletní informaci. Počet čidel k dispozici je vždy omezený. Měření nicméně má svou nezastupitelnou úlohu ve výzkumu pro lepší pochopení reality a při vývoji lepších matematických modelů. Výpočet je - 11 - druhou možností, jak zkoumat nějaký problém. Na rozdíl od měření jsou výpočty levnější, rychlejší a poskytují podrobné informace. Stejně jako měření jsou však výpočtové modely zatíženy nejistotami. Může se například jednat o nejistoty vstupních údajů a nejistoty ve formulaci samotného modelu. Vhodně zjednodušený a dostatečně ověřený výpočtový model má svou nezastupitelnou úlohu při inženýrském návrhu budov a stavebních prvků. Fyzikální procesy jsou matematicky často popsány obyčejnými nebo parciálními diferenciálními rovnicemi. Výstupem z modelu je informace o rozložení nějakých vlastností reálného objektu v prostoru a čase. Sledujemeli pouze prostorové rozložení vlastností, hovoříme o ustáleném (stacionárním) stavu. Jsou-li vlastnosti proměnné i v čase, hovoříme o neustáleném (nestacionárním) stavu. Modely v ustáleném stavu nabízejí jednodušší matematickou formulaci, větší možnosti analytických řešení a základní vhled do problému. Jsou proto důležité pro inženýrskou praxi. Modely v neustáleném stavu jsou složitější, ale lépe popisují realitu. Je potřeba upozornit, že využití velmi podrobných modelů bohužel automaticky neznamená kvalitnější výsledky a kvalifikovanější rozhodnutí uživatele. Počet vstupních údajů do modelu a počet prvků v modelu nepochybně souvisí se schopností uživatele zadat správné vstupní údaje, pochopit model a kvalitně vyhodnotit výsledky. Vyřešit diferenciální rovnice analyticky ve většině případů není možné. Proto se dnes běžně využívají numerické metody řešení a s nimi související počítačové aplikace. Numerickou metodou se obvykle nazývá na počítači naprogramovaný postup, který řeší nějaký matematický problém. Počítač je potřeba, protože počet prováděných operací je příliš veliký na to, aby je bylo možné provádět ručně. 1.2 Zákony zachování Zákon zachování energie a zákon zachování hmoty jsou dva základní fyzikální principy. Oba v podstatě říkají, že energie ani hmota se nemůžou ze zkoumaného systému ztratit. Množství (např. energie ve formě tepla, vodní páry, vody v kapalné fázi, vzduchu,…) vstupující za časovou jednotku do kontrolního objemu mínus množství z kontrolního objemu vystupující se rovná množství v kontrolním objemu uloženému. Tyto dva principy tvoří základní pilíř matematické analýzy. - 12 - 1.2.1 Bilance kontrolního objemu Φin (W) Q (J) Φout (W) m (kg) Gin (kg/s) Φs (W) Gout (kg/s) Gs (kg/s) Obrázek 3: Bilance kontrolního objemu. Tepelná bilance (Obrázek 3, vlevo) je: dQ in out s dt (J/s = W) (1.1) kde Q (J) je teplo akumulované v kontrolním objemu, Φin (W) je tepelný tok vstupující do kontrolního objemu přes jeho povrch, Φout (W) je tepelný tok vystupující z kontrolního objemu přes jeho povrch, a Φs (W) je tepelný tok od zdroje tepla působícího uvnitř kontrolního objemu. Vzájemný vztah veličin nazývaných teplo a tepelný tok objasňuje Obrázek 4. Základní jednotkou pro teplo je 1 Joule = 1N·1m = kg m2 s-2 = 1 Ws. V technické praxi se hojně využívá jednotky Wh (1 Wh = 3,6 kJ). Někdy bývají používané i jiné jednotky, jako například jsou m3 zemního plynu, litry topného oleje, kalorie. V praxi je důležité obě veličiny nezaměňovat mezi sebou. Φ (W) Q t2 dt t1 t1 t t2 Obrázek 4: Teplo vs. výkon. Pokud ohříváme/ochlazujeme látku a nedochází ke změně jejího skupenství, můžeme k vyjádření změny akumulovaného tepla použít rovnici: dQ mcdT (1.2) Příklad 1. Dokonale izolovaný zásobník s vodou o objemu 150 litrů jsme ohřáli z 15 °C na 60 °C. Kolik tepla bylo potřeba dodat? Kolik by bylo potřeba dodat tepla, pokud by v nádrži byl pouze vzduch? - 13 - Voda: dQ = 1000 kg/m3 × 0,15 m3 × 4200 J/(kg∙K) × (60 - 15)K = 28,35×106 J = 7,88×103 Wh Vzduch: dQ = 1,2 kg/m3 × 0,15 m3 × 1010 J/(kg∙K) × (60 - 15)K = 8,18×103 J = 2,27 Wh Do zásobníku s vodou jsme museli dodat přibližně 3500× více tepla než do zásobníku se vzduchem. Po dosazení rovnice (1.2) do (1.1) dostaneme: mc dT in out s dt (1.3) Po dosazení za hmotnost kontrolního objemu dostaneme: cV dT in out s dt (1.4) kde c tepelná kapacita vztažená na jednotku objemu (J/(m3·K)) a V je objem (m3). Hmotnostní bilance (Obrázek 3, vpravo) je: dm Gin Gout Gs dt (kg/s) (1.5) kde m (kg) je hmotnost bilancované veličiny v kontrolním objemu, Gin (kg/s) je hmotnostní tok vstupující do kontrolního objemu přes jeho povrch, Gout (kg/s) je hmotnostní tok vystupující z kontrolního objemu přes jeho povrch, a Gs (kg/s) je hmotnostní tok od zdroje bilancované veličiny, který působí uvnitř kontrolního objemu. Po dosazení za hmotnost dostaneme: d V G in G out Gs dt (1.6) V případě, že můžeme považovat objemovou hmotnost za konstantu, a v čase se mění objem (např. zásobník s vodou), můžeme psát: dV G in G out G s dt (1.7) Také může nastat případ, že se mění hustota zachovávající se veličiny uvnitř konstatního objemu (např. hustota vodní páry v místnosti), potom máme: V d G in G out G s dt (1.8) Bilanční rovnice se někdy nazývají rovnicemi kontinuity. Společně s rovnicemi pro vyjádření jednotlivých toků (např. Fourierův zákon v případě vedení tepla, Fickův zákon v případě difuze vodní páry) vedou k odvození základních vztahů. - 14 - 1.2.2 Bilance na rozhraní vrstev Častým problémem jsou bilance na rozhraní dvou vrstev. Může se například jednat o rozhraní mezi vzduchem a pevným materiálem. Kontrolní objem se v tomto případě redukuje na povrch, který má nulový objem. Teplo ani hmota v něm tedy nemohou být uloženy. Levé strany rovnic (1.1) a (1.5) proto jsou nulové a rovnice se redukují: in out 0 (J/s = W) (1.9) (kg/s) (1.10) Gin Gout 0 Φin (W) Φout (W) Gin (kg/s) Gout (kg/s) Obrázek 5: Tepelná a hmotnostní bilance na rozhraní vrstev. 1.3 Rovnice kontinuity Uvažujme veškeré přítoky a odtoky v rámci kontrolního objemu ve tvaru kvádru (viz Obrázek 6). Hustota nějaké obecné tokové veličiny je označena jako j. Jedná se o vektor se třemi složkami jx, jy, jz. z jy (x,y+y,z) jz (x,y,z+z) y x z jx (x+x,y,z) jx (x,y,z) jy (x,y,z) x y jz (x,y,z) Obrázek 6: Přítoky a odtoky přes stěny kontrolního objemu. Celkový přítok do kontrolního objemu přes různé povrchy je: J in j x (x , y, z )y z jy (x , y, z )x z j z (x , y, z )x y Celkový odtok z kontrolního objemu přes různé povrchy je: - 15 - (1.11) J out j x (x x , y, z )y z jy (x , y y, z )x z j z (x , y, z z )x y (1.12) Hustotu tokové veličiny vycházející z kontrolního objemu lze aproximovat jako její lineární přírůstek ke vstupujícímu množství podél příslušné délky kontrolního objemu (viz Obrázek 7). Pro jednotlivé složky máme: j x x , y, z x x (1.13) jy x , y y, z jy x , y, z jy x , y, z y y (1.14) j z x , y , z z j z x , y , z j z x , y, z z z (1.15) jx(x+x) chyba jx(x+x) - jx(x) j x x x , y, z j x x , y, z možný skutečný průběh jx jx(x) jx ( x x) jx ( x) djx x x dx djx dx x x x+x Obrázek 7: Vysvětlení k rovnici (1.13). Rozdíl mezi přítokem a odtokem tedy můžeme vyjádřit jako: j x x , y , z x y z J in J out j x (x , y , z )y z j x x , y , z y z x j y x , y , z j y (x , y , z )x z j y x , y , z x z y x z y (1.16) j z x , y , z j z (x , y , z )x y j z x , y , z x y z x y z Po algebraické úpravě dostaneme: j x x , y, z jy x, y, z j z x , y, z J in J out j x y z x y z (1.17) kde divergence je operátor vyjadřující skalární součin: div , , x y z (1.18) - 16 - Tečka za nabla ( ) je důležitá, protože zdůrazňuje, že se jedná o skalární součin. V našem případě je divergence vektoru hustoty tokové veličiny: jy j z j div j j , , j x , jy , j z x x y z x y z Důležitou vlastností výrazu (1.19) ( j) je, že vyjadřuje rozdíl mezi toky vstupujícími do kontrolního objemu a toky vystupujícími z kontrolního objemu. Rovnice kontinuity je obecné vyjádření pro zákon zachování nějaké veličiny: j s t (1.20) kde je hustota zachovávající se veličiny a s je zdrojový člen, který vyjadřuje rychlost přibývání zachovávající se veličiny v jednotce objemu. Pro šíření tepla máme: u q sQ t (1.21) kde u (J/m3) je hustota vnitřní energie (tj. vnitřní energie vztažená na jednotku objemu), q (W/m2 = J/(m2s)) je hustota tepelného toku a sQ (W/m3) je vnitřní zdroj tepla. Takovým vnitřním zdrojem může být teplo z chemické reakce (například hydratace betonu). Pro šíření vlhkosti máme: w g sm t (1.22) kde w (kg/m3) je vlhkost vztažená na jednotku objemu (viz kapitola 4.3), g (kg/(m2s)) je hustota vlhkostního toku a sm (kg/m3s) je vnitřní zdroj vlhkosti. Takovým vnitřním zdrojem může například být kondenzace vodní páry. - 17 - 2 Šíření tepla 2.1 Úvod Druhý termodynamický zákon říká: „Teplo nemůže při styku dvou těles různých teplot samovolně přecházet z tělesa chladnějšího na těleso teplejší“. Podmínkou šíření tepla tedy je existence rozdílu teplot. Teplo se může šířit následujícími třemi způsoby (viz Obrázek 8): vedením; prouděním; sáláním. Vedení tepla je důležité v pevných látkách, proudění a sálání je v nich méně významné. Proudění a sálání jsou naopak důležité v kapalinách a plynech, např. ve vzduchové dutině uzavřené v pevném materiálu. T1 > T 2 T1 qcd T2 T1 pohyb tekutiny qc Tp2 Tp > T 1 qr Tp Tp1 > Tp2 Tp1 Obrázek 8: Šíření tepla vedením, prouděním, sáláním. 2.2 Šíření tepla vedením 2.2.1 Základní vztahy Předpis pro hustotu tepelného toku qcd (W/m2) v homogenním materiálu se nazývá 1. Fourierův zákon. Hustota tepelného toku je úměrná teplotnímu gradientu a má opačný směr než vektor teplotního gradientu: q cd dT dx (W/m2) (2.1) kde je součinitel tepelné vodivosti (W/(m·K)), T je teplota (K), x je souřadnice (m). Součinitel tepelné vodivosti se často zjednodušeně uvažuje konstantní hodnotou. Ve skutečnosti jeho hodnota závisí na teplotě a vlhkosti materiálu. Hodnota také může být různá ve směru souřadnicových - 18 - os. Například dřevo ve směru rovnoběžně s vlákny vykazuje přibližně dvakrát až třikrát vyšší součinitel tepelné vodivosti, než ve směru kolmo na vlákna. Nyní uvažujme tenký kontrolní objem s vnitřním zdrojem tepla (viz Obrázek 9). SQ qcd,x A qcd,x qcd,x x dx T dx Obrázek 9: Jednorozměrný kontrolní objem. Tepelná bilance kontrolního objemu je vyjádřena rovnicí: dQ q qcd,x q cd,x cd,x dx A SQ dt x (W) (2.2) V případě, že materiál nemění své skupenství, můžeme časovou změnu akumulovaného tepla vyjádřit jako (viz Obrázek 10): dQ T T T mc Vc cAdx dt t t t (2.3) kde t(s) je čas, (kg/m3) je objemová hmotnost, c (J/(kg·K) je měrná tepelná kapacita). Součin c (J/(m3K)) se nazývá objemová tepelná kapacita. Q Q mc tání Obrázek 10: Závislost dodaného tepla na teplotě materiálu. Vlevo – materiál nemění skupenství. Vpravo – materiál mění skupenství. Po dosazení rovnice (2.3) do rovnice (2.2) dostaneme: cAdx T q cd,x Adx SQ t x (2.4) Po eliminaci objemu Adx z rovnice (2.4) a dosazení rovnice (2.1) dostaneme: - 19 - c T t x T sQ x (2.5) V případě uvažování konstantních hodnot materiálových vlastností , c a a nulového vnitřního zdroje tepla sQ (W/m3) dostaneme: T 2T t c x 2 (2.6) kde teplotní vodivost (m2/s) se nazývá poměr: a c (m2/s) (2.7) Čím vyšší je hodnota teplotní vodivosti materiálu, tím rychleji se po změně teploty okolí dostane teplota materiálu do rovnovážného stavu s teplotou okolí. Většina stavebních materiálů má podobnou hodnotu teplotní vodivosti (a ≈ 10-6 m2/s). Neexistuje totiž lehký materiál, který by současně měl vysoký součinitel tepelné vodivosti, ani těžký materiál, který by měl nízký součinitel tepelné vodivosti. Jistou výjimku představují kovy a také vzduch, které dosahují a ≈ 10 -5 m2/s. Rovnice (2.6) se nazývá rovnice jednorozměrného vedení tepla v neustáleném stavu nebo někdy také 2. Fourierův zákon. 2.2.2 Jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu Jednovrstvá stěna bez zdroje tepla Uvažujme jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu ve stěně vytvořené z jedné vrstvy materiálu s tloušťkou L (viz Obrázek 11). Teplota na levé straně stěny je T(x = 0) = T1. Teplota na pravé straně je T(x = L) = T2. L T1 T(x) T2 qcd x Obrázek 11: Jednovrstvá stěna. Uvažujeme-li konstantní hodnotu součinitele tepelné vodivosti ( = konst.) a žádný zdroj tepla v rámci stěny, rovnice (2.6) se zredukuje na: d2T 0 dx 2 (2.8) - 20 - Řešení získáme integrací (2.8). Po první integraci máme: dT C1 0 dx (2.9) Po druhé integraci dostáváme obecné řešení: T x C1x C2 (2.10) kde C1 a C2 jsou integrační konstanty. Pro hustotu tepelného toku máme: q cd dT C1 dx (2.11) Po dosazení okrajových podmínek do rovnice (2.10) získáme: C2 T1 C1 (2.12) T2 T1 L (2.13) Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je: T x T1 T2 T1 x L (2.14) V ustáleném stavu je tedy průběh teploty v homogenní stěně z jednoho materiálu přímka spojující teploty T1 a T2. Hustota tepelného toku je konstantní hodnota, viz rovnice (2.11): q cd T2 T1 T1 T2 L R (2.15) kde R se nazývá tepelný odpor (m2K/W). R L (2.16) K rovnici (2.15) se lze dostat i snadněji. Je potřeba si uvědomit, že hustota tepelného toku je v ustáleném stavu konstantní hodnota nezávislá na x, proto: q cd x2 T2 x1 T1 dx dT (2.17) Po úpravě rovnice (2.17) dostaneme rovnici (2.15). - 21 - Vícevrstvá stěna bez zdroje tepla Nyní se zabýváme případem stěny vytvořené z více vrstev. Teplota na levé straně stěny je T(x = 0) = T1. Teplota na pravé straně je T(x = L) = T2. T(x) T1 q T2 1→x qx→2 qcd T1 R(x) T(x) R – R(x) T2 T1 R T2 x Obrázek 12: Vícevrstvá stěna a grafické schéma problému. Využijeme předchozí závěr, že v ustáleném stavu je hustota tepelného toku v jakémkoliv místě stěny konstantní hodnota. Hustota tepelného toku přitékajícího zleva do uzlu T(x) musí být tedy stejná jako hustota tepelného toku odtékajícího z uzlu T(x) doprava. Situaci je výhodné si představit grafickým schématem (viz Obrázek 12, vpravo). q1x qx 2 qcd (2.18) Po dosazení rovnice (2.15) do rovnice (2.18) dostaneme: T1 T x T x T2 T1 T2 R x R R x R (2.19) kde R(x) je tepelný odpor od levé strany stěny až do x a R je tepelný odpor celé stěny. Po úpravě dostaneme vztah pro T(x): T x T1 R x T2 T1 R (2.20) Pro N materiálových vrstev, které mají tloušťku Li a součinitel tepelné vodivosti i, platí: N R i 1 Li (2.21) i Příklad 2. Vypočítejte průběh teplot ve stěně, která se skládá z vrstvy betonu tloušťky 0,25 m a vrstvy tepelné izolace tloušťky 0,15 m. Součinitel tepelné vodivosti betonu uvažujte hodnotou 1,5 W/(m·K) a tepelné izolace 0,04 W/(m·K). Mezi povrchy stěny dlouhodobě působí rozdíl teplot T1 - T2 = 20 - (-15) = 35 K. Uvažujte dvě varianty umístění tepelné izolace - na chladnější straně stěny, na teplejší straně stěny. Pro teplotu mezi oběma vrstvami máme: (T1-T12)/R1=(T1-T2)/R: T12=18,5°C (tepelná izolace ze strany exteriéru), resp. (T1-T12)/R2=(T1-T2)/R: T12=-13,5°C (tepelná izolace ze strany interiéru) - 22 - Obrázek 13: Vlevo - průběh teplot ve stěně v případě tepelné izolace umístěné ze strany exteriéru. Vpravo - průběh teplot ve stěně v případě tepelné izolace umístěné ze strany interiéru. Případů, kdy můžeme přímo zadat povrchové teploty, je velmi málo. Obvykle jsou známy teploty obklopujících prostředí. Z prostředí do povrchu stěny, případně z povrchu stěny do prostředí, se teplo šíří prouděním a sáláním. Komplexní vliv tohoto působení lze nahradit odpory při přestupu tepla na vnitřní Rsi (viz kapitola 2.5.1) a vnější straně stěny Rse (viz kapitola 2.5.2). Odpory při přestupu tepla si lze představit jako další vrstvu nějakého materiálu přilepenou na vnitřní a vnější stranu stěny. Rovnici (2.20) lze zapsat jako: T x T1 R si R x T2 T1 R si R R se (2.22) Teplota vnitřního povrchu stěny tedy je: Tpi T1 Rsi T2 T1 Rsi R Rse (2.23) Rovnici (2.23) lze také zapsat jako: T1 Tpi Rsi Rsi R Rse T1 T2 (2.24) Podíl (T1 – Tpi)/(T1 – T2) vyjadřuje kvalitu konstrukce a nezávisí na hodnotách teplot prostředí. Hodnota doplňující tento podíl do jedničky se nazývá teplotní faktor vnitřního povrchu, který se v praxi používá pro posuzování rizika kondenzace vodní páry na povrchu konstrukcí a rizika růstu plísní, viz [18]. Příklad 3. Vypočítejte průběh teplot v jednovrstvé stěně. Uvažujte stěnu vytvořenou z betonu a z tepelné izolace. Výpočet proveďte pro případ zadaných povrchových teplot (1), a - 23 - pro zadané teploty prostředí s odpory při přestupu tepla (2). Odpory při přestupu tepla uvažujte hodnotami 0,13 (m2K)/W resp. 0,04 (m2K)/W. Obrázek 14: Vlevo - průběh teplot v jednovrstvé betonové stěně. Vpravo - průběh teplot v jednovrstvé stěně z tepelné izolace. V případě neizolované betonové stěny jsou odpory při přestupu tepla srovnatelné s tepelným odporem stěny, což vede k velkému rozdílu mezi povrchovými teplotami a teplotami prostředí (viz Obrázek 14, vlevo). Příklad 4. Uvažujte stěnu tloušťky 0,3 m vytvořenou z jedné vrstvy homogenního materiálu. Mezi povrchy stěny dlouhodobě působí rozdíl teplot T1 - T2 = 20 - 4 = 16 K. Vypočtěte hustotu tepelného toku procházejícího přes stěnu a množství tepla, které stěnou projde za jedno otopné období (uvažujte 240 dnů). Uvažujte tyto materiály: tepelná izolace ( = 0,04 W/(m·K)), cihla ( = 0,8 W/(m·K)), beton ( = 1,3 W/(m·K))). Odpory při přestupu tepla uvažujte hodnotami 0,13 (m2K)/W resp. 0,04 (m2K)/W. Izolace: (T1-T2)/(Rsi+0,3/0,04+Rse)=2,1 W/m2, Q = 2,1 W/m2 × 240 × 24 h = 12 kWh/m2. Cihla: (T1-T2)/(Rsi+0,3/0,8+Rse)=29,4 W/m2, Q = 29,4 W/m2 × 240 × 24 h = 169 kWh/m2. Beton: (T1-T2)/(Rsi+0,3/1,5+Rse)=39,9 W/m2, Q = 39,9 W/m2 × 240 × 24 h = 230 kWh/m2. U starší cihelné zástavby lze přibližně předpokládat, že potřebu tepla na vytápění určují pouze tepelné ztráty, tj. vliv tepelných zisků v tepelné bilanci budovy je zanedbatelný. Pokud uvažujeme současnou cenu energie 2 ÷ 5 Kč/kWh (podle druhu paliva), tak dostáváme, že každým metrem čtverečním nezateplené cihelné stěny proteče nezanedbatelných 340 ÷ 850 Kč/(m2rok). Zateplením stěny 20 cm tepelné izolace lze snížit množství procházejícího tepla přibližně na jednu desetinu. Vícevrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla na rozhraní vrstev Ve vícevrstvé stěně působí konstantní zdroj tepla umístěný na rozhraní vrstev (viz Obrázek 15). Prakticky se například může jednat o stěnové vytápění či chlazení zabudované do stěny. Působící zdroj tepla je označený sQ a jednotkou je v tomto případě W/m2. Tepelný odpor vrstev nalevo od zdroje je označený R1 a tepelný odpor vrstev napravo od zdroje je označený R2. - 24 - sQ sQ T2 T1 T1 0 x L R1 R2 T(x) T2 Obrázek 15: Vícevrstvá stěna se zdrojem tepla a grafické schéma problému. Tepelná bilance v uzlu T(x): T1 T x T x T2 sQ R1 R2 (2.25) Odtud: T x R 2T1 R1T2 sQ R1R 2 R (2.26) kde R = R1 + R2.Tepelný tok mezi levým povrchem stěny a místem, kde působí zdroj, je: q cd,1 T1 T x T1 T2 sQ R 2 R1 R R (2.27) q cd,2 T x T2 T1 T2 sQ R1 R2 R R (2.28) Příklad 5. Vypočtěte průběh teplot ve stěně z příkladu 3. Z vnitřní strany stěny je navíc umístěna cementová omítka, pod kterou je umístěno stěnové vytápění o tepelném výkonu 100 W/m2. Vypočtený průběh teplot porovnejte s průběhem, jaký by nastal bez působení zdroje tepla. Odpory při přestupu tepla uvažujte hodnotami 0,13 (m2K)/W resp. 0,04 (m2K)/W. Obrázek 16: Vlevo - průběh teplot v rámci stěny s tepelnou izolací umístěnou ze strany exteriéru. Vpravo - průběh teplot v rámci stěny s tepelnou izolací umístěnou ze strany interiéru. - 25 - Teploty na rozhraní mezi cementovou omítkou a betonovou stěnou jsou v obou případech stejné. U obou variant nicméně existuje velký rozdíl tepelného chování v neustáleném stavu, které je způsobeno rozdílným rozložením tepelné kapacity v rámci stěny. Jednovrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla působícím v celé tloušťce Uvažujeme jednovrstvou stěnu, viz Obrázek 11. Po celé tloušťce stěny však působí objemový zdroj tepla označený jako sQ. Prakticky se například může jednat o uvolňování hydratačního tepla. Zjednodušeně se předpokládá, že velikost zdroje se nemění v čase ani v rámci tloušťky stěny. Rovnice (2.5) se zredukuje do tvaru: d2T sQ 0 dx 2 (2.29) Řešení získáme integrací (2.29). Po první integraci máme: s dT Q x C1 dx (2.30) Po druhé integraci dostáváme obecné řešení: T x C1x C 2 sQ 2 x 2 (2.31) což představuje parabolický průběh. Pro hustotu tepelného toku máme: q cd x dT C1 sQ x dx což představuje podmínek: přímku. (2.32) Integrační konstanty určíme C2 T1 C1 z okrajových (2.33) T2 T1 sQ L L 2 (2.34) Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je: T x T1 s T2 T1 x Q x L x L 2 (2.35) První dva členy rovnice (2.35) jsou identické s již známým řešením pro stěnu bez zdroje tepla (rovnice (2.14)). Třetí člen představuje vliv zdroje tepla. Člen nabývá nulové hodnoty na obou stranách stěny. Pro hustotu tepelného toku máme: - 26 - q cd x T1 T2 sQ 2x L R 2 (2.36) kde R je tepelný odpor podle rovnice (2.16). Hustota tepelného toku v tomto případě v rámci stěny není konstantní. Příklad 6. Uvažujte betonový deskový prvek dostatečně tenký a velký, aby se na něm dalo považovat vedení tepla za jednorozměrné. Panel byl vyrobený v hale temperované na teplotu 15°C. Vypočtěte a vykreslete průběh teploty v rámci panelu, který by mohl nastat na konci prvního dne po betonáži. Výpočty proveďte pro dvě různé tloušťky panelu (10 cm a 50 cm). Předpokládejte, že za první den po betonáži se na 1 kg cementu uvolní 200 kJ tepla. V 1 m3 betonové směsi je zamícháno 350 kg cementu. Součinitel tepelné vodivosti betonu uvažujte hodnotou 1,5 W/(m·K). Průměrný výkon první den po betonáži: (200×1000) J/kg/(24×3600 s)= 2,31 W/kg sQ = 2,31 W/kg × 350 kg/m3 = 810 W/m3 Využijeme řešení podle rovnice (2.35). Zároveň je ale potřeba si uvědomit některá zjednodušení. Průběh teplot odpovídá ustálenému stavu. Množství uvolňovaného hydratačního tepla samozřejmě není v čase konstantní a v čase se rychle se snižuje. Panel se tedy nemůže nacházet v ustáleném stavu. Dalším zjednodušením modelu je, že v modelu se neuvažují odpory při přestupu tepla. Odvádění tepla ve skutečnosti není tak rychlé, jak se předpokládá ztotožněním povrchové teploty panelu s vnitřní teplotou v hale. Obrázek 17: Vlevo - průběh teplot v rámci panelu. Vpravo - průběh hustot tepelných toků v rámci panelu. Na čtenáři zůstává, aby sám dopočítal průběh teplot numericky a porovnal takto vypočtený průběh s analytickým řešením. Návod: Rozdělte panel na přiměřený počet kontrolních objemů. Pro každý kontrolní objem sestavte jeho tepelnou bilanci. Za předpokladu ustáleného stavu pro i-tý kontrolní objem máme: K i Ti -1 Ti K i +1 Ti +1 Ti sQdi 0 (2.37) kde di je tloušťka i-tého kontrolního objemu, Ti je teplota i-tého kontrolního objemu, a K je vodivost mezi sousedními teplotními uzly (ve W/m2K, K = /d). Vznikne soustava lineárních rovnic, kterou vyřešíte ve vhodném softwaru. Dejte si pozor na tepelnou bilanci krajních kontrolních objemů, v kterých je nutné zahrnout změnu velikosti krajní vodivosti (K1 = /d/2), či vliv odporů při přestupu tepla, pokud je uvažujete (K1 = 1/(Rsi+d/2/)). - 27 - Jednovrstvé mezikruží Zabýváme se mezikružím s vnitřním poloměrem r1 a venkovním poloměrem r2. Teplota na vnitřní straně je T(r = r1) = T1. Teplota na venkovní straně je T(r = r2) = T2. Φcd r1 dr T1 r r2 l T2 Obrázek 18: Jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu v mezikruží. Pro tepelný tok Φcd v místě r přes mezikruží délky l máme: cd r 2 rl dT dr (2.38) Z předcházejícího případu jednovrstvé stěny víme, že v ustáleném stavu je tepelný tok konstantní. Můžeme proto psát: r2 cd r1 T 2 dr 2 l dT r T1 (2.39) Po vyjádření obou integrálů máme: cd 2 l T1 T2 T1 T2 R r2 ln r1 (2.40) kde tepelný odpor v (K/W) je: r ln 2 r R 1 2 l (2.41) Tepelný odpor mezikruží neroste při zvyšování tloušťky lineárně jako v případě stěny, ale logaritmicky. Teplota T(r) se vypočte z analogického vztahu k rovnici (2.20). Tepelný tok bývá někdy výhodné vztahovat k jednomu metru délky mezikruží. Potom máme: cd 2 T1 T2 T1 T2 l R r2 ln r1 (2.42) - 28 - kde tepelný odpor R’ má rozměr (m·K/W). Vícevrstvé mezikruží Řešení pro vícevrstvé mezikruží je analogické vícevrstvé stěně. Celkový tepelný odpor mezikruží vytvořeného z N materiálových vrstev tedy je: r ln i 1 r R i 2i i 1 N (2.43) Stejně jako u stěny mohou hrát roli odpory při přestupu tepla. Uvnitř potrubí lze velmi často tento odpor zanedbat. Pro venkovní stranu potrubí s povrchovou teplotou Tpe a odporem při přestupu tepla Rse (m2K/W) máme: cd 2 r2l Tpe T2 (2.44) Rse Po vztažení tepelného toku na jeden metr délky: cd Tpe T2 Tpe T2 Rse l Rse 2 r2 (2.45) kde R’se je odpor při přestupu tepla v (m·K/W). Tento odpor je nepřímo úměrný venkovnímu poloměru potrubí. 2.2.3 Jednorozměrné vedení tepla v neustáleném stavu Princip superpozice Mějme tenký plech tloušťky d a ploše A (viz Obrázek 19). V rámci uvažovaného objemu plechu působí zdroj tepla Φs(t). Na obou površích působí teplota T1(t). Výpočtem máme určit časový průběh teploty plechu T(t). V Φs T1 T Φs A K T1 T1 T K C d x Obrázek 19: Tenký plech se zdrojem tepla. - 29 - T1 Ze zákona zachování energie máme: C dT s 2K T T1 dt (W) (2.46) kde K (W/K) je vodivost mezi středem plechu a jeho povrchem, a kterou je možné vypočítat jako: K d 2 A (2.47) Tepelná kapacita C (J/K) uvažovaného objemu plechu se vypočítá jako: C cV (2.48) Rovnici (2.46) vyřešíme analyticky pro situaci, kdy dojde ke skokové změně velikosti zdroje tepla (Φs(t = 0) = 0, Φs(t > 0) = Φs), a zároveň dojde ke skokové změně povrchové teploty (T1(t = 0) = T0, T1(t > 0) = T1). K řešení využijeme superpozici, která sčítá výsledné řešení komplexního problému z řešení jednotlivých dílčích problémů. Toto sečtení lze provést pouze v případě lineárního dynamického systému, a proto se často superpozice používá pro řešení úloh z oblasti vedení tepla. V našem případě problém rozdělíme na dva dílčí problémy (viz Obrázek 20). Φs(t) T1(t) Φs(t) 0 T1(t) T(t) T(t)=T0 T1(t) T1(t) T1(t) = + T1(t)=T0 0 0 T2(t) T2(t)=0 Obrázek 20: Princip superpozice. Nejprve tedy řešíme první dílčí problém, kdy je zdroj tepla nulový a dojde ke skokové změně povrchové teploty (T1(t = 0) = T0, T1(t > 0) = T1). Rovnici (2.46) přepíšeme do tvaru: dT 2K 2K T T1 dt C C (2.49) Řešení je možné hledat jako: T TH TP (2.50) kde TH je řešení rovnice (2.49) bez pravé strany (homogenní diferenciální rovnice) a TP je jedno partikulární řešení rovnice (2.49) s pravou stranou. Nejprve tedy řešíme rovnici: - 30 - dT 2K T 0 C dt (2.51) Separujeme proměnné a integrujeme: 1 T dT 2K C dt (2.52) Po úpravě dostaneme řešení: TH C1e 2K t C (2.53) Rovnice (2.53) je vlastně řešení pro situaci, kdy na pravé straně rovnice (2.49) vystupuje nulová hodnota teploty T1. Řešení rovnice bez pravé strany samozřejmě musí splňovat i rovnici (2.49). Integrační konstantu však uvažujeme jako funkci C1(t): TP C1 t e 2K t C (2.54) dTp dC1 2CK t 2K e C1 dt dt C e 2K t C (2.55) Po dosazení rovnic (2.54) a (2.55) do rovnice (2.49) dostaneme: 2K 2K t t dC1 2CK t 2K 2K 2K C e C1e C1 e C T1 dt C C C (2.56) Po algebraické úpravě dostaneme: 2K t dC1 2K T1e C dt C (2.57) Po integraci posléze máme: 2K C1 t T1e C t (2.58) Dosadíme (2.58) do (2.54) a dostaneme: 2K t TP T1e C e 2K t C T1 (2.59) Výsledným řešením rovnice (2.49) je: T t C1e 2K t C T1 (2.60) kde integrační konstantu C1 určíme z počáteční podmínky T(t = 0) = T0. - 31 - C1 T0 T1 (2.61) Po dosazení (2.61) do (2.60) dostáváme: T t T1 T0 T1 e 2K t C (2.62) Druhým dílčím problémem je skoková změna velikosti zdroje tepla. Teplota na venkovní straně stěny se uvažuje nulovou hodnotou (viz Obrázek 20). Rovnice (2.46) upravíme do tvaru: dT 2K T s C C dt (2.63) Obdobným postupem jako v předchozím případě bychom dospěli k řešení: T t C1e 2K t C s 2K (2.64) kde integrační konstantu C1 určíme z počáteční podmínky T(t = 0) = 0. C1 s 2K (2.65) Po dosazení (2.65) do (2.64) tedy dostáváme: T t 2K t s C 1 e 2K (2.66) Nyní z rovnic (2.62) a (2.66) složíme výsledné řešení: T t T 1 t T 2 t T1 s 2K t T0 T1 s e C 2K 2K (2.67) S různými obdobami rovnice (2.67) se setkáme ještě několikrát. Funkce e-x se zvyšujícím x se rychle přibližuje nule (e-1 ≈ 0,37, e-2 ≈ 0,14, e-3 ≈ 0,05). Poměr C/2K se nazývá časová konstanta a má rozměr (s). V čase, který je větší, než trojnásobek časové konstanty je tedy vliv exponenciálního členu zanedbatelný, tj. systém se v tomto čase téměř nachází v novém ustáleném stavu. - 32 - Skoková změna povrchové teploty na polonekonečné desce Polonekonečná deska s konstantní počáteční teplotou T0 je vystavena skokové změně povrchové teploty (viz Obrázek 21). Teplota se v čase t0 změní z T0 na Tp. T(z = 0,t > t0) = Tp T(z,t = t0)=T0 z Obrázek 21: Skoková změna povrchové teploty na polonekonečné desce. Ačkoliv polonekonečné desky v reálném světě neexistují, poskytují analytická řešení jednorozměrného vedení tepla v neustáleném stavu v polonekonečné desce významný vhled do problematiky. Analytická řešení zde nejsou odvozována. Teplotu uvnitř polonekonečné desky můžeme vypočítat z analytického řešení rovnice (2.6): z T z , t T0 Tp T0 erfc 4at (2.68) kde erfc() je doplňková chybová funkce. Hustota tepelného toku procházejícího dovnitř desky (z = 0) je: q z 0, t Tp T0 at (W/m2) (2.69) (Ws0,5/(m2K)) (2.70) kde tepelná jímavost je poměr: b a c Hodnota tepelné jímavosti ovlivňuje velikost tepelného toku procházejícího dovnitř materiálu po skokové změně teploty na jeho povrchu. Teplo, které 1m2 polonekonečné desky přijme za čas t1, se získá integrací (2.69): Tp T0 t 1 Tp T0 2 Q q t dt b Tp T0 t1 dt 2 t1 at 0 t a 0 t1 1 - 33 - (2.71) Příklad 7. Polonekonečná deska je vystavena skokové změně povrchové teploty. Uvažujte materiály, viz Tabulka 1. Teplota se v čase t0 změní z 0 °C na 1 °C. Tabulka 1: Materiálové parametry materiál c a b Poznámka (W/m∙K) (J/m K) (m /s) Ws /(m K) Beton 1,30 2300×840 0,67∙10-6 1584 Tepelná izolace (PPS) 0,04 20×1300 1,50∙10-6 32 a největší, b nejmenší Tepelná izolace (dřevovlákno) 0,04 150×2100 0,13∙10-6 112 a nejmenší 3 2 0,5 2 b největší Čím vyšší je hodnota teplotní vodivosti materiálu, tím rychleji se po změně teploty okolí dostane teplota materiálu do rovnovážného stavu s teplotou okolí. Nejrychleji reaguje na změnu teploty okolí pěnový polystyren, nejpomaleji dřevovlákno (viz Obrázek 22). Výsledek je poměrně překvapivý, protože člověk by intuitivně předpokládal, že se nejrychleji ohřeje beton. Nejvíce tepla přijme beton a oba druhy tepelné izolace řádově méně (viz Obrázek 23). Obrázek 22: Teplota uvnitř polonekonečné desky (vlevo - po jedné hodině, vpravo – po dvanácti hodinách). Obrázek 23: Hustota tepelného toku na povrchu polonekonečné desky v čase. - 34 - Teplota na rozhraní dvou polonekonečných desek Teoretickým případem jsou dvě polonekočné desky, každá na počátku o jiné teplotě, které jsou dány do vzájemného dokonalého dotyku (viz Obrázek 24). T(z,t = t0)=T1 q1 Tp q2 T(z,t = t0)=T2 z z=0 Obrázek 24: Dvě polonekonečné desky ve vzájemném kontaktu. Pro teploty v obou materiálech máme: z ≥ 0: z T z , t T2 Tp T2 erfc 4a 2t (2.72) z ≤ 0: z T z , t T1 Tp T1 erfc 4a1t (2.73) Na rozhraní obou desek musí platit tepelná bilance: q1 q2 0 (2.74) Po dosazení (2.69) do (2.74) dostaneme: Tp b1T1 b2T2 b1 b2 (2.75) Z rovnice (2.75) vyplývá, že teplota na rozhraní dvou polonekonečných desek je konstantní (nezávislá na čase) a závisí pouze na tepelných jímavostech materiálů obou desek a počátečních teplotách obou materiálů. Tento závěr si můžeme dát do souvislosti s lidským vnímáním teploty materiálu při dotyku bosou nohou. Materiály s vysokou hodnotou tepelné jímavosti (např. kovy, beton) se nám zdají výrazně studené. Teplota na rozhraní se totiž kvůli vysoké hodnotě tepelné jímavosti materiálu nastaví na hodnotu blízkou teplotě materiálu. Materiály s nízkou hodnotou tepelné jímavosti (např. dřevo) se nám naopak zdají příjemně vlažné. Tepelná jímavost je proto důležitou vlastností nášlapné vrstvy podlah. - 35 - Periodicky kmitající povrchová teplota na polonekonečné desce Polonekonečná deska je vystavena periodickému kolísání povrchové teploty: Tp(t ) TM TA sint (2.76) kde TM je průměrná povrchová teplota, TA je amplituda povrchové teploty, tje čas a ω je úhlová frekvence: 2 tp (2.77) kdetp je perioda kmitu. Průběh teploty v čase uvnitř polonekonečné desky (v hloubce z) můžeme spočítat z analytického řešení rovnice (2.6) pro okrajovou podmínku (2.76): z dp T (z , t ) TM TAe z sin t dp (2.78) kde dp (m) je periodická hloubka tepelné penetrace. dp at p (2.79) Z rovnice (2.78) je zřejmé, že amplituda TA je exponenciálně tlumena faktorem e z dp a celý výsledný signál je zpožděn o z dp oproti průběhu povrchové teploty. Amplituda teploty v hloubce z = dp je utlumena na 37 % (e-1 = 0,368). Hustota tepelného toku je: z q cd (z , t ) 2 z TAe dp sin t dp dp 4 (W/m2) (2.80) Hustota tepelného toku procházející dovnitř desky (z = 0) je: q cd (z 0, t ) 2 dp TA sin t 4 (W/m2) (2.81) I když to není na první pohled z rovnice (2.81) patrné, je tepelný tok procházející dovnitř desky opět ovlivněn hodnotou tepelné jímavosti: 2 dp 2 at p a 2 2 b tp tp (2.82) - 36 - Teplo, které 1m2 polonekonečné desky přijme za polovinu délky periody tp/2 se získá integrací rovnice (2.81): t p /2 Q q t dt 2bT A 0 tp 2 (2.83) Pro některé látky a základní stavební hmoty jsou uvedeny materiálové parametry (viz Tabulka 2), s kterými jsme se seznámili v předchozím textu. Tabulka 2: Materiálové parametry ovlivňující vedení tepla c (J/m3K) a (m2/s) b (Ws0,5/m2K) dp (m/den) materiál (W/m∙K) Voda 0,60 1000×4200 0,14∙10-6 1587 0,06 Led 2,23 917×2200 1,11∙10-6 2121 0,17 Vzduch 0,026 1,2×1010 2,15∙10-5 6 0,77 Dřevo 0,15 450×2500 0,13∙10-6 411 0,06 OSB deska 0,13 650×1700 0,12∙10-6 379 0,06 Sádrokarton 0,22 750×1060 0,28∙10-6 418 0,09 Sklo 0,81 2600×840 0,37∙10-6 1330 0,10 Beton 1,30 2300×840 0,67∙10-6 1585 0,14 Zdivo 0,86 1800×900 0,53∙10-6 1180 0,12 Hliník 200 2700×870 8,51∙10-5 21675 1,53 Ocel 60 7800×500 1,54∙10-5 15297 0,65 Omítka z nepálené hlíny 1,0 1800×1000 0,56∙10-6 1342 0,12 Minerální vlákna 0,04 40 0,17 50×800 - 37 - 1,00∙10-6 Příklad 8. Vypočtěte teplotu v zemině během roku. Povrchovou teplotu zeminy uvažujte jako Tp = 8,78 + 11,29·sin(·t + 4,51), což odpovídá údajům pro Prahu. Výpočet proveďte pro dvě různé zeminy, které se liší hodnotou součinitele tepelné vodivosti (zemina A: = 2,0 W/(m·K), zemina B: = 0,6 W/(m·K)). Objemovou tepelnou kapacitu uvažujte pro obě zeminy stejnou hodnotou 2×106 J/(m3K). Obrázek 25: Vlevo - časový průběh teploty v zemině během jednoho roku pro dvě různé hloubky pod povrchem země. Vpravo - časový průběh hustoty tepelného toku vstupujícího do zeminy. Příklad 9. Vypočtěte časový průběh teploty v zemině. Povrchovou teplotu země uvažujte harmonicky kmitající. Na začátku roku se navíc došlo ke třem týdnům velmi chladného období. Teplota je v tomto velmi chladném období o 10°C nižší než je běžná hodnota. Průběh povrchové teploty lze rozložit na periodickou část a obdélníkový puls (viz Obrázek 26): t1 = t0 0 t0 + t1 -10 Obrázek 26: Rozklad průběhu venkovní povrchové teploty. Obdélníkový puls lze složit ze dvou skokových změn (viz Obrázek 27). 0 -10 t0 t1 = 0 +10 t0 + 0 t1 -10 Obrázek 27: Rozklad obdélníkového pulsu na dvě skokové změny. Pro oba dílčí signály, z kterých se skládá výsledný průběh povrchové teploty (harmonické kolísání povrchové teploty, skoková změna povrchové teploty) známe analytické řešení rovnice vedení tepla. Výsledný průběh teploty v zemině se vypočítá superpozicí řešení dílčích problémů. - 38 - Příklad 10. Střed potrubí tepelného výměníku leží pod povrchem země v (x,z) = (0,D). Tepelný tok q je vztažený na metr délky potrubí, jeho rozměr tedy je W/m. Záporná hodnota tepelného toku se uvažuje tak, že teplo teče z potrubí směrem do okolní zeminy. x T=0 D q z Obrázek 28: Jedno potrubí v hloubce D pod povrchem země. Teplota ve vzdálenosti r od zdroje tepla q, který se v čase nemění, a působí na nekonečně velké oblasti homogenního materiálu je: T r q ln r 2 (2.84) Řešení pro zdroj na polonekonečné oblasti je superpozicí řešení pro zdroj v nekonečné oblasti a zrcadlového obrazu zdroje s opačným znaménkem tepelného toku (viz Obrázek 29): D -q T=0 z-D D z +D x q z T(x,z) Obrázek 29: Polonekonečná oblast s konstantním zdrojem tepla. T x, z q ln 2 x 2 z D 2 2q ln x 2 z D 2 (2.85) Po úpravě dostaneme: x 2 z D 2 q T x, z ln 2 x 2 z D 2 (2.86) - 39 - Numerické metody řešení Principy numerických metod jsou vysvětleny na případu jednorozměrného neustáleného vedení tepla. Pro jednoduchost se zabývejme pouze stěnou z homogenního materiálu, ve které probíhá jednorozměrné neustálené vedení tepla. Stěnu rozdělíme na kontrolní objemy stejných tlouštěk (viz Obrázek 30). A = 1 m2 Ti-1 T1 T2 … Ti … qout,i qin,i x Tn-1 Tn Ti+1 x x Obrázek 30: Tepelná bilance i-tého kontrolního objemu. Při odvozování rovnice vedení tepla jsme bilancovali tepelné toky na elementárním objemu. Nyní uděláme totéž pro i-tý kontrolní objem. Plocha kolmá na směr tepelného toku je 1 m2. dQi q in,i q out,i 1m 2 dt (W) (2.87) Změna uloženého (akumulovaného) tepla v kontrolním objemu za čas dt se rovná rozdílu přicházejícího a odcházejícího tepelného toku. Při odvozování rovnice vedení tepla jsme ukázali, že změnu uloženého tepla můžeme vyjádřit jako: dQi mc dTi (J) (2.88) kde m je hmotnost kontrolního objemu v kg, c je měrná tepelná kapacita v J/(kg·K) a dTi je změna teploty i-tého kontrolního objemu. Hmotnost kontrolního objemu můžeme vyjádřit jako: m x 1m 2 (2.89) Po dosazení (2.88) do (2.87) dostaneme: x 1m c ddTt q 2 i in,i q out,i 1m 2 (2.90) Zbývá dosadit za přitékající a odtékající tepelný tok do i-tého kontrolního objemu: - 40 - q in,i Ti 1 Ti T Ti 1 q out,i i x x (W/m2) (2.91) Po dosazení rovnic (2.91) do rovnice (2.90) dostaneme: xc dTi Ti 1 Ti T Ti 1 i dt x x (W/m2) (2.92) (J/(m2K)) (2.93) (W/m2K) (2.94) Zavedeme označení: C c x K x Potom dostaneme: C dTi K Ti 1 Ti K Ti Ti 1 dt (2.95) Ti-1 K Ti K Ti+1 C Obrázek 31: Schéma tepelné bilance i-tého kontrolního objemu. Rovnice (2.95) lze zkráceně zapsat jako: x f (x , u , t ) , s počáteční podmínkou x(t0 ) x0 (2.96) kde x je vektor stavů (v našem případě se jedná o neznámé teploty), u je vektor vstupů (v našem případě se jedná o známé teploty na krajích stěny), a t je čas. Hledáme řešení rovnice (2.96) o krok h v čase dále. Aproximovat funkci v jejím okolí lze pomocí Taylorova rozvoje: x t 0 h x t 0 h h2 h3 x t0 x t 0 x t0 1! 2! 3! x(t) Numerické řešení x(t0+h) Exaktní řešení x(t0) t h Obrázek 32: Aproximace funkce x(t) v okolí x(t0). Po dosazení rovnice (2.96) do rovnice (2.97) dostaneme: - 41 - (2.97) h h 2 df x , u , t x t 0 h x t 0 f x , u , t t 0 1! 2! dt t0 (2.98) Pokud není krok h příliš dlouhý, tak se nabízí aproximovat exaktní řešení tečnou: x t 0 h x t 0 h f x , u , t t (2.99) 0 Neboli: x t 0 h x t 0 f x , u, t t 0 h (2.100) Numerické řešení je tedy založeno na nahrazení časových derivací přibližným vyjádřením (diskretizace v čase). Numerické řešení zobrazují dynamický systém popsaný diferenciálními rovnicemi na dynamický diskrétní systém popsaný algebraickými rovnicemi (diferenciální rovnice se nahrazují rovnicemi algebraickými). V případě rovnice (2.95) máme: C Ti new Ti old K Ti 1 Ti K Ti Ti 1 t (W/m2) (2.101) kde t je časový krok výpočtu. Index „new“ označuje hodnotu na konci výpočtového kroku, tj. hodnotu, která se počítá, index „old“ označuje hodnotu, která už je známa, (hodnota na počátku výpočtového kroku). Z diferenciální rovnice (2.95) tak dostáváme rovnici algebraickou. Po úpravě dostaneme: Ti new Ti old Ti 1 2Ti Ti 1 K t C (2.102) kde činitel násobící závorku s teplotami se nazývá Fourierovo číslo: Fo K a t t 2 C x (-) (2.103) kde a je teplotní vodivost (a = /c). Pro krajní uzly je potřeba rovnici (2.102) upravit s ohledem na uvažované okrajové podmínky (viz dále). Teploty na pravé straně rovnice (2.102) označíme jako T . Tuto teplotu vyjádříme jako: Ti Ti new 1 Ti old (2.104) kde je číslo od nuly do jedné. Následující hodnoty faktoru k různým numerickým metodám: - 42 - vedou old = 0 → explicitní metoda (Forward Euler), Ti Ti ; new = 1 → implicitní metoda (Backward Euler), Ti Ti ; = 0,5→ metoda Crank-Nicolson, Ti 0,5 Ti new Ti old . Existují mnohé další numerické metody řešení diferenciálních rovnic. Výše zmíněné dávají dobrý vhled do problému. Explicitní metoda. old Ti new Ti old Fo Ti old Ti old 1 2Ti 1 (2.105) Po úpravě dostaneme rovnici: old Ti new FoTi old FoTi old 1 1 2Fo Ti 1 (2.106) Nevýhodou explicitní metody je, že není vždy numericky stabilní. Řešení může začít vykazovat oscilace, které nejsou fyzikálně možné a jsou vytvořeny numericky. K vyloučení takových oscilací je potřeba zajistit, aby váhy násobící jednotlivé teploty v rovnici (2.106), byly kladnými hodnotami. Podmínka pro stabilní časový krok výpočtu se tedy odvodí z: 1 2Fo 0 (2.107) To vede ke vztahu: x t 2 (2.108) 2a Stabilní krok výpočtu je velmi ovlivněn tloušťkou kontrolního objemu a vlastnostmi materiálu. Implicitní metoda. new Ti new Ti old Fo Ti new Ti new 1 2Ti 1 (2.109) Po úpravě: new old FoTi new FoTi new 1 1 2Fo Ti 1 Ti Maticový zápis rovnice (2.110): - 43 - (2.110) 0 0 0 Ti new 1 Fo 0 Ti new Ti old Ti new 1 0 0 Fo 1 2Fo 0 0 0 0 0 0 (2.111) Výhodou implicitní metody je, že metoda je vždy numericky stabilní. Nevýhodou je, že je nutné řešit soustavu rovnic. Matice koeficientů v rovnici (2.111) je však třídiagonální a pro takové existují efektivní numerické algoritmy řešení. Pro vyřešení konkrétního problému je nutné správně zahrnout okrajové podmínky. Rozlišují se následující typy okrajových podmínek: Dirichletova, Neumannova, Newtonova. Dirichletova podmínka předepisuje hodnotu veličiny na hranici, například předepsaná hodnota teploty na povrchu stěny (viz Obrázek 33). Tp Tp 2K T1 K T1 T2 T2 C Obrázek 33: Předepsaná povrchová teplota. Tepelná bilance 1. kontrolního objemu: T1new T1old C 2K Tp T1 K T1 T2 t (2.112) Neumannova podmínka předepisuje hodnotu toku na hranici. Velmi často se jedná o tzv. adiabatickou okrajovou podmínku, kdy je hodnota tepelného toku přes hranici předepsána nulovou hodnotou (viz Obrázek 34). dokonalá tepelná izolace T1 K T1 T2 T2 C Obrázek 34: Adiabatická okrajová podmínka. Tepelná bilance 1. kontrolního objemu: - 44 - C T1new T1old 0 K T1 T2 t (2.113) Newtonova podmínka předepisuje tok na hranici rovnicí tok = součinitel přestupu × rozdíl potenciálů, například tepelný tok prouděním = součinitel přestupu tepla prouděním × rozdíl teplot. Častým případem může být přestup tepla společně s předepsaným tokem (viz Obrázek 35). solGGt Te Tp T1 T2 K0 Tp K T1 K T2 C Te Obrázek 35: Přestup tepla a solární záření dopadající na venkovní povrch stěny. Tepelná bilance v povrchovém uzlu: K0 Te Tp solGGt K1 Tp T1 0 (2.114) Jinak zapsáno: K0 Tekv Tp K Tp T1 0 , kde Tekv Te solG Gt K0 (2.115) Tepelnou bilanci prvního kontrolního objemu je potom možné vyjádřit jako: C T1new T1old K 0K Tekv T1 K T1 T2 0 K0 K t - 45 - (2.116) 2.3 Šíření tepla prouděním 2.3.1 Základní vztahy Přenos tepla prouděním (konvekcí) je vyvolán tokem tekutiny. Proudící tekutina s sebou unáší v ní uloženou energii (teplo) a přemisťuje ji například v potrubí nebo ve stavebním prvku. Proudění vyvolané čerpadlem nebo ventilátorem se nazývá vynucené. Proudění vyvolané rozdílem hustot kapaliny (rozdílem teplot) se nazývá přirozené. Přenos tepla prouděním nastává, pokud tekutina proudí podél povrchu a existuje rozdíl mezi teplotou tekutiny a teplotou povrchu (viz Obrázek 36). Tento proces se označuje jako přestup tepla prouděním. pohyb tekutiny qc T1 Tp > T 1 mezní vrstva Tp Obrázek 36: Přestup tepla prouděním. Hustota tepelného toku se vyjadřuje součinem součinitele přestupu tepla prouděním c (W/(m2K)) a rozdílu teploty povrchu Tp a teploty kapaliny T (Newtonův zákon): qc c T Tp (W/m2) (2.117) Výpočtu součinitele přestupu tepla prouděním se v literatuře věnuje rozsáhlá teorie, viz např. [5], [7]. K výpočtu se používají bezrozměrná podobnostní čísla: Nu – Nusseltovo číslo, Re – Reynoldsovo číslo, Pr – Prandtlovo číslo, Gr – Grashofovo číslo, Ra – Rayleighovo číslo. Součinitel přestupu tepla prouděním se počítá z Nusseltova čísla Nu: c Dchar Nu (W/(m2K)) (2.118) kde je tepelná vodivost tekutiny (W/(m·K)), Dchar je charakteristický rozměr (m). Nusseltovo číslo vyjadřuje poměr mezi tepelným tokem vyvolaným prouděním a tepelným tokem bez vlivu proudění (pouze vedení). Vztahy pro Nu je možné nalézt v literatuře pro definované geometrické konfigurace a omezující podmínky platnosti. - 46 - Součinitel přestupu tepla prouděním můžeme orientačně vypočítat z rychlosti proudění v blízkosti svislého povrchu (proudění rovnoběžné s povrchem, rychlost proudění v ≤ 5 m/s), viz [1]: c 6 4v (2.119) Součinitel přestupu tepla prouděním vzduchu v potrubí o kruhovém průřezu (průměry 150 – 400 mm, v < 10 m/s) můžeme orientačně vypočítat z: c 3v 3 (2.120) kde v je průměrná rychlost vzduchu v potrubí dosazovaná v m/s. U vnitřních povrchů v místnosti se typicky jedná o přirozené proudění. Součinitel přestupu tepla prouděním můžeme orientačně vypočítat z, viz [1]: c 2 Tp Ta 0,25 (2.121) kde Tp - Ta je rozdíl mezi teplotou vnitřního vzduchu a vnitřní povrchovou teplotou. Obvyklé hodnoty se pohybují v rozmezí 1 ÷ 3 W/(m2K), viz Obrázek 37. Obrázek 37: Součinitel přestupu tepla prouděním. Další informace k součiniteli přestupu tepla prouděním jsou uvedeny například v [7], [32]. 2.3.2 Větraná dutina Častým případem technické praxe je proudění tekutiny potrubím, kanálem, či dutinou (viz Obrázek 38). T1 G T2 c Obrázek 38: Přenos tepla prouděním v potrubí. - 47 - Tepelný tok odevzdaný či přijatý do/z stěny potrubí, kanálu, či dutiny se spočte: c G c T1 T2 (W) (2.122) kde G je hmotnostní tok tekutiny ny v kg/s, c je měrná tepelná kapacita tekutiny v J/(kg·K), (voda 4200 J/(kg·K), vzduch 1010 J/(kg·K)), T1 je teplota tekutiny na vstupu do potrubí a T2 je teplota tekutiny na výstupu z potrubí. Teplota tekutiny na výstupu je ovšem často neznámá. Teplotu na výstupu je možné vypočítat rozdělením potrubí, kanálu, či dutiny na několik kontrolních objemů tloušťky x, na kterých sestavíme jejich tepelnou bilanci (viz Obrázek 39). Tp G T T dT x dx x Obrázek 39: Dutina s proudící kapalinou. Tepelná bilance kontrolního objemu: dT x c P x T Tp 0 GcT Gc T dx (W) (2.123) kde P je obvod potrubí či kanálu v m, výraz (Px) je tedy přestupová plocha kontrolního objemu v m2. V rovnici (2.123) se zanedbává akumulace tepla v kontrolním objemu. Po úpravě: dT c P P T c Tp Gc Gc dx (2.124) Rovnice (2.124) je typově stejná jako rovnice (2.49). Její analytické řešení již tedy bylo odvozeno: Tout cP x Tp Tin Tp e Gc (2.125) kde Tout je teplota tekutiny na výstupu z kontrolního objemu, Tin je teplota tekutiny na vstupu do kontrolního objemu. Pro potrubí kruhového průřezu máme: - 48 - P 2r (2.126) kde r je poloměr potrubí v m. Pro dutinu se dvěma rovnoběžnými povrchy máme: P 2B (2.127) kde B je šířka dutiny v m. 2.3.3 Konvektivně difuzní rovnice Uvažujme homogenní stěnu s tloušťkou L, viz Obrázek 40. Průtok vzduchu přes stěnu je označený jako ga (kg/(m2s)). Teplota na levé straně stěny je T(x = 0) = T1. Teplota na pravé straně je T(x = L) = T2. L T1 T(x) T2 ga qcd+qc x Obrázek 40: Jednorozměrné vedení a proudění v homogenní stěně. Odvození rovnice popisující kombinované šíření tepla vedením a prouděním vychází z obdobné bilance kontrolního objemu jako v případě pouhého vedení. q cd q c c T t (2.128) V ustáleném stavu je teplota nezávislá na čase, rovnice (2.128) se proto zredukuje na: qcd qc 0 (2.129) Po dosazení výrazů za jednotlivé hustoty tepelného toku dostaneme: d dT g ac aT 0 dx dx (2.130) Jelikož uvažujeme konstantní součinitel tepelné vodivosti ( = konst.), hustotu hmotnostního toku vzduchu (ga = konst.) a měrnou tepelnou kapacitu vzduchu (ca = konst.), můžeme rovnici (2.130) přepsat do tvaru. - 49 - d2T dT g ac a 0 2 dx dx (2.131) Neboli: d 2T 1 dT 0 dx 2 l dx (2.132) kde l (m) je délka definovaná jako: l (2.133) gac a Obecným řešení rovnice (2.132) je: x l T x C1 l e C2 (2.134) kde C1 a C2 jsou integrační konstanty. Hustota tepelného toku vedením je: q cd x dT 1 x C1l e l C1e l dx l (2.135) Hustota tepelného toku prouděním je: x x l q c g ac aT g ac a C1le C 2 g ac aC1 e l g ac aC 2 g c a a x l (2.136) C1e g ac aC 2 Hustota tepelného toku vedením a prouděním je: x l x l qcd qc C1e C1e gac aC2 gac aC2 (2.137) Po dosazení okrajových podmínek do rovnice (2.134) získáme hodnoty integračních konstant: L C1 T2 T1 L l e l 1 C2 T1e l T2 (2.138) L l e 1 Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je: xl e 1 T x T1 L T T1 2 e l 1 (2.139) - 50 - Pro hodnotu hustoty tepelného toku máme: L qcd qc gac a T1e l T2 (2.140) L l e 1 2.4 Šíření tepla sáláním 2.4.1 Základní vztahy Úvod Přenos tepla sáláním je přenos energie mezi dvěma tělesy o různé teplotě šířením elektromagnetických vln. Přenos tepla vedením a prouděním vyžaduje rozdíl teplot v určité formě hmoty (pevná látka nebo kapalina). Přenos tepla sáláním naproti tomu hmotu ke své existenci nepotřebuje. Důkazem je naše každodenní osobní zkušenost s teplem od Slunce, které k nám dorazí i přesto, že vzdálenost mezi Sluncem a Zemí je 150 milionů kilometrů. Dalším rozdílem je, že tepelný tok sáláním není úměrný rozdílu teplot, ale rozdílu čtvrtých mocnin absolutních teplot. rentgenové sálání viditelné gama záření ultrafialové Jako sálání se označuje určitý interval vlnových délek elektromagnetického vlnění (přibližně mezi 0,1 – 100 m), viz Obrázek 41. Malou část vlnových délek z tohoto intervalu (0,4 – 0,76 m) označujeme jako světelné záření (tj. záření viditelné lidskému oku), viz Tabulka 3. infra červené mikrovlny 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106 (m) Obrázek 41: Elektromagnetické spektrum. Tabulka 3: Rozsahy vlnových délek pro jednotlivé barvy Barva (m) Fialová 0,40 - 0,45 Modrá 0,44 - 0,49 Zelená 0,49 - 0,57 - 51 - rádiové vlny Žlutá 0,57 - 0,59 Oranžová 0,59 - 0,62 Červená 0,62 - 0,76 Ve stavební tepelné technice se sálání rozlišuje na krátkovlnné a dlouhovlnné. Toto rozlišování souvisí s jednou ze základních vlastností sálání – rozložením vyzářené energie přes spektrum vlnových délek, viz rovnice (2.141) a Obrázek 43. U sálání z povrchu o velmi vysoké teplotě převažují krátké vlnové délky. Za krátkovlnné záření se ve stavební fyzice obvykle označuje solární záření. U sálání z povrchu o nízké teplotě převažují dlouhé vlnové délky. Za dlouhovlnné záření se ve stavební fyzice obvykle označuje záření vydávané vnějšími či vnitřními povrchy budovy. Záření černého tělesa Černé těleso je fyzikální abstrakce (ideální těleso). Pohlcuje veškerou na něj dopadající energii. Můžeme si ho představit například jako dutinu kulového tvaru s malým otvorem (Obrázek 42, vlevo). Černé těleso má také tu vlastnost, že vyzařuje záření difuzně, tj. rovnoměrně do všech směrů (Obrázek 42, vpravo). černé těleso reálné těleso Obrázek 42: Vlevo - model černého tělesa. Vpravo - směrové rozložení záření. Tepelné záření černého tělesa je charakterizováno spektrálním rozložením vyzařované výkonu (spektrální hustotou intenzity vyzařování), viz Obrázek 43: E b C1 (W/(m2m)) C2 e T 1 5 (2.141) kde C1 = 2hc02 = 3,742·108 Wm4/m2, C2 = hc0/k = 1,439·104 m·K (h je Planckova konstanta, k je Boltzmannova konstanta, c0 je rychlost světla ve vakuu). Rovnice (2.141) bývá označována jako Planckův zákon. - 52 - Obrázek 43: Spektrální hustota intenzity vyzařování černého tělesa při dané teplotě. Poloha maxima na křivce spektrální hustoty intenzity vyzařování nastává pro danou teplotu tělesa T při určité vlnové délce max: max 2898 T (m) (2.142) Rovnice (2.142) bývá označována jako Wienův zákon. Povrchová teplota slunce dosahuje přibližně 5800 K. Maximum vyzářené energie tedy odpovídá vlnové délce 0,5 m, která leží uvnitř viditelné oblasti. Teplota povrchů v našem okolí, případně teplota lidského těla je přibližně 300 K. Maximum vyzářené energie připadá na 9,7 m. Oblast vlnových délek tedy nezasahuje do viditelné oblasti a dlouhé vlny proto nevidíme (viz Obrázek 43). Integrací vztahu (2.141) přes všechny vlnové délky dostáváme StefanůvBoltzmannův zákon pro celkovou intenzitu vyzařování černého tělesa (plocha pod průběhem funkce E,b): E b T E b d 0 4C1 15C 4 2 T 4 (W/m2) (2.143) kde je Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67·10-8 W/m2·K4) a T je absolutní teplota (teplota v Kelvinech). Příklad 11. Teplota vlákna standardní žárovky je přibližně 3000 K. Intenzita vyzařování vlákna Eb ≈ T4 = 4,59·106 W/m2. Spektrální hustota intenzity vyzařování je rozložena zejména do infračervené oblasti (max = 1 m). Velmi malá část záření připadá na viditelnou oblast. Pouze malá část elektrické energie (≈ 5 %) se tedy přemění na světelné záření. Zbývající větší část je infračervené záření. - 53 - Vlastnosti reálných těles Reálná tělesa nevyzařují stejné množství energie jako černé těleso. Emisivita (zářivost) je poměr mezi zářením vyzařovaným z povrchu reálného tělesa a zářením vyzařovaným z povrchu černého tělesa o stejné teplotě jako je teplota reálného tělesa. Z definice je zřejmé, že emisivita reálných těles je vždy menší než 1. Emisivita povrchu reálného tělesa není konstantou, závisí na teplotě povrchu, vlnové délce a směru záření. V praxi se používá tzv. hemisférická emisivita zprůměrovaná přes všechny směry. Pokud se emisivita definuje pomocí spektrální hustoty intenzity vyzařování, tak se emisivita označuje jako spektrální hemisférická emisivita: , T E ,T E b ,T (-) (2.144) (-) (2.145) Obdobně celková hemisférická emisivita je: E T Eb T Průměrná emisivita (zářivost) povrchu reálného tělesa je poměr mezi celkovou intenzitou vyzařování reálného tělesa o teplotě T a celkovou intenzitou vyzařování černého tělesa o stejné teplotě jako je teplota reálného tělesa. Kvůli zjednodušení výpočtů se zavádí tzv. šedý povrch, resp. šedé těleso (viz Obrázek 44). Emisivita povrchu šedého tělesa je nezávislá na vlnové délce ( = konst.). E ) černé těleso o dané teplotě Eb reálné těleso o dané teplotě E = Eb šedé těleso o dané teplotě E = Eb Obrázek 44: Šedé těleso. Celková hemisférická emisivita tak stačí k vyjádření intenzity vyzařování šedého tělesa: E Eb T 4 (W/m2) - 54 - (2.146) Záření není povrchy jen vyzařováno. Dopadající záření na nějaký povrch (ozáření G) je povrchem odráženo, pohlcováno, případně část záření prochází skrz (pokud se jedná o polopropustný materiál např. sklo). G q q q Obrázek 45: Pohltivost, odrazivost, propustnost. Platí zákon zachování energie: G q q q (W/m2) (2.147) kde jednotlivé členy rovnice vyjadřují tepelný tok tělesem odražený, pohlcený a procházející skrz. Po úpravě: q q q 1 G G G (-) (2.148) (-) (2.149) Neboli: 1 kde jednotlivé členy jsou odrazivost , pohltivost , propustnost . Pro nepropustné materiály ( = 0) platí: 1 (-) (2.150) Pohltivost nezávisí na teplotě povrchu tělesa. Pohltivost ale velmi závisí na teplotě zdroje, který záření vyzařuje (viz Tabulka 4). Tabulka 4: Pohltivost různých povrchů. Teplota zdroje 5800 K (krátkovlnné) 300 K (dlouhovlnné) sol = Světlé povrchy < 0,1 ≈ 0,8 Tmavé povrchy > 0,9 ≈ 0,8 Sklo ≈ 0,1 ≈ 0,8 Leštěné kovy ≈ 0,1 < 0,1 - 55 - Sníh 0,28 0,97 Selektivní vrstvy ≈ 0,9 ≈ 0,05 Povrchy současně vyzařují energii směrem k jiným povrchům a zároveň pohlcují vyzařovanou energii z okolních povrchů. Uvažujme zvláštní případ, kdy je velmi malý povrch o ploše A a teplotě T uzavřený uvnitř velké obálky (tj. černého tělesa), která má teplotu Tp (viz Obrázek 46). Tp ATp4 AT4 T A Obrázek 46: Velmi malý povrch uzavřený uvnitř velké obálky. Tepelná bilance na povrchu tělesa: ATp4 AT 4 0 (W) Tp4 T 4 (2.151) (2.152) Ve stavebně-fyzikálních problémech můžeme často přibližně uvažovat, že hodnota T i Tp se pohybuje ve stejném řádu. Pokud je teplota malého povrchu v rovnováze s teplotou obálky (T = Tp), potom tedy platí: (-) (2.153) Rovnice (2.153) bývá označována jako Kirchhoffův zákon. „Celková hemisférická emisivita povrchu o teplotě T se rovná celkové hemisférické pohltivosti pro záření, které je vysíláno černým tělesem o stejné teplotě“. Energie pohlcená tělesem s vysokou pohltivostí musí být zase vyzářena. Materiály s nízkou pohltivostí (např. leštěné kovy) proto mají nízkou emisivitu. Povrchy běžných stavebních materiálů naopak mají vysokou pohltivost, a tedy i emisivitu. Emisivita závisí na struktuře povrchu (oxidace, drsnost, prach). Zoxidované kovy mnohem dosahují mnohem vyšší emisivity než kovy s vyleštěným povrchem. 2.4.2 Solární záření Zářivý výkon slunce a vzdálenost Země od Slunce se téměř nemění. Díky tomu se také příliš nemění ozáření na vnější hranici atmosféry, které se - 56 - nazývá solární konstanta (Gsc = 1367 W/m2). V atmosféře dochází k pohlcování, odrazu a rozptylu záření. Výsledkem je, že ozáření povrchu Země je nižší, než je hodnota solární konstanty. Za jasného dne to může na plochu kolmou k paprskům být až 1000 W/m2. Solární záření dopadající na povrch se dělí na přímé záření a difuzní záření. Difuzní z oblohy Přímé Přímé odražené Difuzní od země odražené od země Obrázek 47: Vlevo - různé složky slunečního záření. Vpravo - solární geometrie (obrázek je převzatý z [8]). Přímé a difuzní ozáření na vodorovnou plochu se měří na některých meteorologických stanicích. Z těchto hodnot lze přepočítat globální ozáření skloněné a orientované plochy GGt. Izotropický model přepočtu je založený na následující rovnici, viz [4]: G Gt G Bh cos 1 cos 1 cos G Dh G G Bh G Dh cos z 2 2 (2.154) kde GBh (W/m2) je přímé ozáření na vodorovnou rovinu, GDh (W/m2) je difuzní ozáření na vodorovnou rovinu, G je odrazivost terénu a okolních ploch (albedo) a je sklon plochy od vodorovné roviny. Podíl kosinů úhlu dopadu a zenitového úhlu z (definice úhlů viz Obrázek 47) zajišťuje přepočet přímé složky záření z vodorovné na skloněnou rovinu. Izotropický model zjednodušeně předpokládá, že veškeré difuzní záření je rovnoměrně rozloženo po obloze. Tepelný tok pohlcený povrchem při dopadu slunečních paprsků se spočte jako: q solGGt (W/m2) (2.155) kde sol (-) je pohltivost povrchu pro sluneční záření. Výpočet ozáření na skloněnou a orientovanou rovinu je jedním z velmi důležitých výpočtů při simulaci budov. Kromě isotropického modelu (rovnice - 57 - (2.154)) existuje řada dalších modelů pro přepočet. Podrobné informace lze nalézt v [4], nebo česky v [8], [9]. 2.4.3 Dlouhovlnné záření mezi povrchy V aplikacích stavební tepelné techniky jsou důležité následující dva zvláštní případy sálání mezi dvěma tělesy tvořícími obálku. T1 r T2 A1 A2 Obrázek 48: Obálka s dvěma povrchy o různé teplotě. Malá plocha obklopená plochou velkou může například představovat oblohu a povrch budovy, o otopné těleso a vnitřní povrchy místnosti, anebo například o povrch teplotního čidla umístěného v místnosti. Velkou plochu je možné považovat za černé těleso (2 ≈ 1). Tepelný tok sáláním je: r 1A1 T14 T24 (W) (2.156) Dva veliké rovnoběžné povrchy mohou například představovat dvě tabule skla v okně, dva povrchy vzduchové dutiny v konstrukci, nebo absorbér a zasklení solárního kolektoru. Pokud jsou obě plochy černými tělesy, tak nedochází ke zpětnému odrazu a pro tepelný tok sáláním máme: r A E b1 E b2 A T14 T24 (W) (2.157) Pokud jsou obě plochy šedými tělesy, tak pro tepelný tok sáláním máme: A T14 T24 r 1 1 1 1 (W) (2.158) 2 Hustotu tepelného toku sáláním je výhodné vyjadřovat jako součin součinitele přestupu tepla sáláním a rozdílu teplot (analogicky k rovnici (2.117)): qr r T1 T2 (W/m2) V případě malé plochy obklopené plochou velkou tedy dostáváme: - 58 - (2.159) T T r 1 T T T1 T2 1 4 1 2 2 2 1 3 2 2 (W/(m2K)) (2.160) V druhém případě dvou velikých rovnoběžných povrchů dostáváme: r T12 T22 T1 T2 1 1 1 2 1 T T2 4 1 2 1 1 1 1 3 W/(m2K)) (2.161) 2 Obvyklé hodnoty součinitele přestupu tepla sáláním se pohybují v rozmezí 3,5 ÷ 6 W/(m2K), viz Obrázek 49. Pokud by jeden z povrchů měl nízkou emisivitu, tak se součinitel přestupu tepla sáláním redukuje pod hodnotu 1 W/(m2K). Obrázek 49: Součinitel přestupu tepla sáláním, vlevo pro malou plochu obklopenou plochou velkou, vpravo pro dva rovnoběžné povrchy. Příklad 12. Vypočítejte hustotu tepelného toku sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy. Teplota povrchu na levé straně je T1 = 20 °C (293 K), teplota povrchu na pravé straně je T2 = -15 °C (258 K). 1 T1 r 2 T2 Obrázek 50: Sálání mezi dvěma rovnoběžnými povrchy. 8 4 4 r1 5,67 10 293 258 4,3 W/m2 q r1 1 1 A 1 0,05 0,05 q r2 4 4 8 r2 5,67 10 293 258 111,5 W/m2 1 1 A 1 0,8 0,8 Z předchozího porovnání vyplývá, že emisivita povrchů hraje významnou roli. - 59 - Příklad 13. Vnitřní povrch jedné obvodové stěny sdílí s ostatními povrchy místnosti teplo sáláním. Vypočtěte součinitel přestupu tepla sáláním. Střední teplotu povrchů lze přibližně uvažovat rovnou obvyklé teplotě vzduchu v místnosti (15 - 25°C]. Tabulka 5: Součinitel přestupu tepla sáláním na vnitřním povrchu konstrukce. ri (W/(m2K)) (T1+T2)/2 = 0,1 = 0,8 = 0,9 288 K (15 °C) 0,54 4,35 4,89 293 K (20 °C) 0,57 4,58 5,15 298 K (25 °C) 0,60 4,82 5,42 2.5 Kombinovaný přenos tepla 2.5.1 Přestup tepla na vnitřním povrchu konstrukce Uvažujeme vnitřní povrch obvodové konstrukce (viz Obrázek 51). Při jejím povrchu dochází k přestupu tepla prouděním, který je důsledkem rozdílu mezi teplotou povrchu konstrukce Tpi a teploty vnitřního vzduchu Tai. Dochází také k přestupu tepla sáláním, který je důsledkem rozdílu mezi teplotou povrchu konstrukce a střední teplotou okolních povrchů Tri. Dlouhovlnné Tpi záření Vedení tepla Tri qtot Tai Proudění Tri ri Tpi ci Vnitřní povrchy ci +ri qtot Tpi Ti Tai Obrázek 51: Tepelná bilance vnitřního povrchu konstrukce. Tepelná bilance na povrchu stěny: qci qri qtot 0 (W/m2) (2.162) Jednotlivé členy rovnice je možné vyjádřit jako: ci Tai Tpi ri Tri Tp qtot (2.163) Postupnými úpravami se dostaneme k: ci ri Ti Tpi qtot (2.164) kde Ti je ekvivalentní vnitřní teplota: - 60 - Ti ciTai riTri 0,5 Tai Tri ci ri (2.165) Teplota Tri se často aproximuje jako vážený průměr teplot povrchů stavebních prvků přes jejich plochy: Tri A1Tp1 A2Tp2 ... A1 A2 ... (2.166) Výraz (ci + ri) bývá v harmonizovaných technických normách označován jako hidřívei). Převrácená hodnota Rsi = 1/(ci + ri) se nazývá odpor při přestupu tepla na vnitřní straně. V inženýrských výpočtech se často používají normové (smluvní) hodnoty. Typické hodnoty shrnuje Tabulka 6. Tabulka 6: Typické hodnoty součinitele přestupu tepla na vnitřním povrchu konstrukce. ci ci + ri ri 2 (W/(m K)) Svislá stěna 1,3 – 2,5 Vodorovný povrch, tepelný tok nahoru 1,5 – 2,9 Vodorovný povrch, tepelný tok dolů 0,6 – 1,0 2 (W/(m K)) 2 Rsi* 2 (W/(m K)) (m K)/W) 8 0,13 10 0,10 6 0,17 4,3 – 5,4 *Hodnoty dle [17]. Ve velmi dobře tepelně izolovaných budovách lze předpokládat, že teploty povrchů jsou blízké teplotě vnitřního vzduchu. Potom se vztah (2.165) zjednoduší na: Ti Tai (2.167) Vnitřní teplota definovaná rovnicí (2.165) se někdy nazývá operativní teplota. Povrch lidského těla také sdílí teplo prouděním a sáláním, a proto je operativní teplota blízká teplotě, kterou vnímá člověk při svém pobytu v místnosti. Operativní teplota se proto používá pro hodnocení tepelné pohody člověka. Příklad 14. Vypočítejte vnitřní povrchovou teplotu trojskla o součiniteli prostupu tepla Ug = 0,7 W/m2K. Teplota venkovního prostředí je -15 °C, teplota vnitřního vzduchu je 21 °C a teplota ostatních vnitřních povrchů v místnosti je 20 °C resp. 28 °C ve variantě se stropním a stěnovým sálavým vytápěním. - 61 - ci K -15 21 K = 1/(1/Ug – Rsi) = 1/(1/0,7 – 0,13) = 0,77 W/m2K Tpi ri 20 Odhad součinitelů přestupu tepla: ci = 2,8 W/m2K, ri = 5 W/m2K. Povrchová teplota se určí z tepelné bilance uzlu Tpi: ci Tai Tpi ri Tri Tpi K Te Tpi 0 Tpi riTri ciTai K Te 5 20 2,8 21 0,77 (15) 17,2 C ri ci K 5 2,8 0,77 Teplota vnitřního povrchu zasklení je 17,2 °C. V případě sálavého vytápění by teplota vnitřního povrchu zasklení byla 21,8 °C. 2.5.2 Přestup tepla na vnějším povrchu konstrukce Uvažujeme vnější povrch konstrukce (viz Obrázek 52). Při jejím povrchu dochází k přestupu tepla prouděním, který je důsledkem rozdílu mezi teplotou povrchu Tpe a teploty venkovního vzduchu Tae. Dochází také k přestupu tepla sáláním, který je důsledkem rozdílu mezi teplotou povrchu a střední teplotou okolních povrchů Tre, jakými například jsou okolní budovy a obloha. Na povrch s pohltivostí sol navíc dopadá sluneční záření. solGGt Krátkovlnné záření Tre Dlouhovlnné záření Okolní povrchy Tae Vedení tepla Tae ce re Tpe Proudění Tpe qtot ce+re Tpe qtot Te Tre Obrázek 52: Tepelná bilance vnějšího povrchu konstrukce. Tepelná bilance na povrchu stěny: solGGt qce qre qtot 0 (W/m2) (2.168) Jednotlivé členy rovnice je možné vyjádřit jako: solGGt ce Tae Tpe re Tre Tpe qtot (2.169) Postupnými úpravami se dostaneme k: ce re Te Tpe qtot (2.170) - 62 - kde Te je ekvivalentní venkovní teplota: Te solGGt cTae reTre ce re (2.171) Výraz (ce + re) bývá v harmonizovaných technických normách označován jako hedřívee). Součinitel přestupu tepla sáláním a prouděním se sdružuje do jediné hodnoty. Převrácená hodnota Rse = 1/(ce + re) se nazývá odpor při přestupu tepla na venkovní straně. Tabulka 7: Typické hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnějším povrchu konstrukce re re+ce ce 2 2 2 Rse* 2 (W/(m K)) (W/(m K)) (W/(m K)) (m K)/W) 4-5 6 - 25 10 - 30 0,04 *Hodnota dle [17]. Významným faktorem v tepelné bilanci vnějšího povrchu může někdy být sálání vůči obloze. Problémem je reálné stanovení teploty Tre, v tomto případě pojmenovávané jako Tsky. Zjednodušené vztahy pro výpočet zdánlivé teploty oblohy, viz Tabulka 8. Tabulka 8: Zjednodušené vztahy pro výpočet zdánlivé teploty oblohy [1] Vodorovný povrch, jasná obloha Tsky 1,2Tae 14 (2.172) Svislý povrch, jasná obloha Tsky 1,1 Tae 5 (2.173) Zatažená obloha Tsky Tae (2.174) Obloha je ve skutečnosti velmi zřídka zcela bez oblačnosti. Teploty jsou ve °C. Při výpočtech tepelných ztrát přes konstrukci, například kvůli výpočtu potřeby tepla na vytápění budovy, se často zanedbává vliv solárního záření a předpokládá se zatažená obloha (Tre = Tae). V takovém případě se vztah (2.171) zjednoduší na: Te Tae (2.175) Při výpočtech nesilových účinků na konstrukce (např. deformace vyvolané vlivem teplotní roztažností materiálů), se často pracuje s případem, kdy na povrch konstrukce slunce svítí, ale uvažuje se zatažená obloha Tre = Tae (nepůsobí ochlazující vliv oblohy). V takovém případě se vztah (2.171) zjednoduší na: - 63 - Te Tae solG Gt ce re (2.176) Příklad 15. Vypočítejte vnější povrchovou teplotu trojskla o součiniteli prostupu tepla Ug = 0,7 W/m2K. Teplota venkovního vzduchu je 0 °C, teplota oblohy je -5 °C a vnitřní teplota je 20 °C. 0 K = 1/(1/Ug – Rse) = 1/(1/0,7 – 0,04) = 0,72 W/m2K ce K re 20 Tpe -5 Odhad součinitelů přestupu tepla: re = 4 W/(m2K), ce = 3 W/(m2K), téměř bezvětří. Povrchová teplota se určí z tepelné bilance uzlu Tpe: ce Tae Tpe re Tsky Tpe K Ti Tpe 0 Tpe reTsky ceTae K Ti 4 5 3 0 0,72 20 0,7 C re ce K 4 3 0,72 Teplota venkovního povrchu zasklení je -0,7 °C. Podchlazení povrchové teploty pod teplotu venkovního vzduchu znamená nebezpečí kondenzace vodní páry a následného vytvoření námrazy. Sami vyzkoušejte, co by se stalo, pokud a) zasklení je tvořeno dvojsklem, b) vnitřní teplota je vyšší než 20 °C, c) není jasná obloha, d) více fouká vítr, e) emisivita venkovního povrchu by byla snížená? V čem by se lišil případ střešního okna? Dopočtěte příklad pro kontaktní zateplovací systém. 2.5.3 Šíření tepla v uzavřené dutině Dutina je vrstva plynu, jejíž tloušťka je v porovnání s ostatními jejími rozměry malá. Může se například jednat o vzduch, nebo o vzácný plyn v případě dutiny mezi skly okna. V dutině s plynem dochází ke všem třem druhům šíření tepla (viz Obrázek 54). T1 > T2 sálání T1 Tag T2 proudění vedení rA T1 T2 Tag d Obrázek 54: Šíření tepla v uzavřené dutině. - 64 - T1 c+cdA T2 Φtot Součinitel přestupu tepla sáláním se vypočítá z rovnice (2.161). Součinitel přestupu tepla prouděním a vedením c se vypočítá z rovnice (2.118). Za charakteristický rozměr se považuje tloušťka dutiny d. Případ, kdy je Nu = 1 vyjadřuje situaci bez proudění. Dochází k přenosu tepla pouhým vedením tepla. Proudění je zanedbatelné ve velmi úzkých dutinách (d < 15 mm). Tepelná bilance v uzlu T2: r A T1 T2 c+cdA T1 T2 tot (2.177) V inženýrských výpočtech se pro vzduchové dutiny často využívají orientační hodnoty jejich tepelného odporu. Hodnoty lze například hledat v [17]. Přenosem tepla prouděním ve svislých a skloněných vzduchových vrstvách se zabývá publikace [10]. 2.5.4 Šíření tepla ve větrané vzduchové dutině Stavební prvky často obsahují větrané dutiny. Takové konstrukce se někdy nazývají jako dvojplášťové. Větraná vzduchová dutina je napojená na venkovní prostředí vstupním a výstupním otvorem. Dutina má délku x a šířku B (viz Obrázek 55). Přestupová plocha tedy je A = xB. Průtok vzduchu dutinou je označený jako Ga (kg/s) a předpokládá se, že jeho hodnota je známa. Průtok vzduchu dutinou v reálné situaci závisí na mnoha okolnostech. Hnacími silami jsou rozdíl tlaků kvůli rozdílu teplot vzduchu v dutině a teploty venkovního vzduchu a rozdíl tlaků kvůli působení větru. Jaký se nastaví průtok je zároveň ovlivněno hydraulickými odpory (vstupní otvor, tření o stěny dutiny, výstupní otvor). Ta,out B Φ1 x sálání T1 T T2 ag proudění rA T1 c1A Φout T2 Φ 2 c2A Tag Φin Ta,in Obrázek 55: Šíření tepla ve větrané vzduchové dutině. Tepelná bilance v uzlu T1: 1 r A Tl T2 c1A T1 Tag 0 (2.178) Tepelná bilance v uzlu T2: - 65 - r A Tl T2 c2A Tag T2 2 0 (2.179) Tepelná bilance v uzlu Tag: in out c1A T1 Tag c2A Tag T2 0 (2.180) kde in G ac aTa,in , resp. out G ac aTa,out (2.181) kde Ga (kg/s) je průtok vzduchu v dutině, ca (1010 J/(kg·K)) je měrná tepelná kapacita vzduchu a Ta,out je teplota vzduchu na výstupu z dutiny. Pokud uvažujeme dokonalé větrání dutiny, tak: Tag Tae (2.182) Pokud uvažujeme uzavřenou dutinu, tak máme: in out 0 (2.183) Za předpokladu lineárního vzestupu teploty vzduchu v dutině můžeme psát: Tag Ta,in Ta,out T 2Tag Ta,in resp. a,out 2 (2.184) Po dosazení zjednodušujícího předpokladu (2.184) do rovnice (2.181) dostaneme: 2GacaTa,in 2GacaTag c1A T1 Tag c2A Tag T2 0 (2.185) 2.5.5 Šíření tepla v nehomogenní vrstvě V rámci nějaké vrstvy v obvodové konstrukci mohou být přítomny pravidelně se opakující prvky s vyšším součinitelem tepelné vodivosti, než má převažující materiál (viz Obrázek 56). Tyto prvky, tzv. systematické tepelné mosty, zvyšují tepelný tok přes vrstvu. Tepelný tok přes nehomogenní vrstvu v ustáleném stavu lze zjednodušeně odhadnout jako, kdyby vedení tepla bylo pouze jednorozměrné. Za tohoto předpokladu můžeme psát: cd K1 T1 T2 K2 T1 T2 (2.186) - 66 - Charakteristický výsek A1* 2 d 1 T2 Φcd řez A2* T1 t W K1 A1 T1 H A2 T2 Φcd K2 T1 Kekv T2 pohled Obrázek 56: Nehomogenní vrstva se systematicky se opakujícími prvky. Po dosazení vodivostí do rovnice (2.186) máme: cd A1 1 d T1 T2 A2 2 d T1 T2 H W t 1 d H t 2 T1 T2 d (2.187) Pro hustotu tepelného toku máme: qcd H W t 1 H t 2 d d cd T1 T2 U ekv T1 T2 A H W (2.188) kde Uekv je ekvivalentní součinitel prostupu tepla nehomogenní vrstvy: U ekv 1 2 H W t H t t t d d 1 1 2 H W d Wd Wd (2.189) Zavedeme-li: ft t W (2.190) můžeme vztah (2.189) přepsat na: U ekv 1 d 1 f t 2 d f t U 1 1 f t U 2 f t (2.191) Alternativně také můžeme zavést ekvivalentní hodnotou součinitele tepelné vodivosti nehomogenní vrstvy ekv: - 67 - ekv U ekvd 1 1 f t 2 f t 1 A1* A2* 2 A* A* (2.192) kde A* je celková plocha charakteristického výseku a A1*, A2* jsou dílčí plochy charakteristického výseku. Velikost chyby závisí zejména na velikosti rozdílu hodnot součinitelů tepelné vodivosti obou materiálů. Lze očekávat, že pro kovové prostupující prvky bude chyba vyšší než například pro prostupující prvky ze dřeva. Pro složitější situace je vhodnější vypočítat tok přes nehomogenní vrstvu řešením dvojrozměrného vedení tepla. Norma [17] obsahuje inženýrské výpočtové metody, jak započítat vliv dalších druhů systematických tepelných mostů. Příklad 16. Vypočtěte ekvivalentní hodnotu součinitele tepelné vodivosti vrstvy tepelné izolace umístěné mezi krokvemi. Šířka krokve je 0,10 m a osová rozteč krokví 1,0 m. Součinitel tepelné vodivosti tepelné izolace uvažujte 0,04 W/(m∙K), resp. 0,15 W/(m∙K) pro dřevo. t/W = 0,1: ekv = (1 - 0,1)×0,04 + 0,1×0,15 = 0,051 W/(m∙K). 2.5.6 Šíření tepla v obvodové stěně Uvažujeme neprůsvitnou obvodovou stěnu (viz Obrázek 57). Vnější povrch stěny je ovlivněn okolní teplotou vzduchu, teplotou okolních ploch, sluneční zářením a rychlostí větru. Vnější povrch je dále ovlivněn srážkami, povrchovou kondenzací a vypařováním. Vnitřní povrch je ovlivněn teplotou vnitřního vzduchu a povrchovou teplotou okolních stavebních prvků. Kromě toho i vnitřní povrch může být ovlivněn povrchovou kondenzací nebo vypařováním. Uvažuje se lineární model, tj. vlhkostní vlivy jsou zanedbány a materiálové vlastnosti jsou považovány za konstantní. Princip superpozice je tedy možné použít. Krátkovlnné záření solG Gt Dlouhovlnné záření Tre Dlouhovlnné záření Tae Vnější povrchy Tpe Proudění Vedení tepla Tpi Tai Proudění ce Tae Tri re Tre R0 Tpe Tai ci Tpi ri Tri Vnitřní povrchy Obrázek 57: Přenos tepla v obvodové stěně Schéma (viz Obrázek 58, vlevo) je ekvivalentní schématu (viz Obrázek 58, vpravo). - 68 - solGGt ce Tae re R0 Tpi Tpe solG Gt Tai ci ri Tri Tre R0 Rse Te Tpe Rsi Ti Tpi Obrázek 58: Tepelný model stavebního prvku - první zjednodušení. Teplota Te je ekvivalentní venkovní teplota, do které nebyl zahrnutý vliv pohlcovaného solárního záření. Hustota tepelného toku z vnitřního prostředí do venkovního prostředí může být vyjádřena jako superpozice dvou složek (viz Obrázek 59). solG Gt solG Gt Te Rse Tpe Rsi R0 Tpi Ti = Te Rse Rsi R0 (1) pi T (1) pe T Ti + 0 Rse Rsi R0 (2) pe T (2) pi T 0 Obrázek 59: Superpozice dvou složek. První tepelný obvod vyjadřuje vliv teplot na obou stranách stěny: q (1) Ti Te T Te i U Ti Te R si R 0 R se RT (2.193) kde RT se nazývá tepelný odpor při prostupu tepla (m2K/W) a U se nazývá součinitel prostupu tepla. Čím nižší je hodnota součinitele prostupu tepla, tím nižší je tepelný tok přes konstrukci. Aby se omezila energetická náročnost budov, jsou hodnoty součinitele prostupu tepla standardizovány. České požadavky na hodnoty součinitele prostupu tepla lze nalézt v [18]. Druhý tepelný obvod vyjadřuje příspěvek solárního záření dopadajícího na venkovní povrch prvku: q (2) 0 sol R seG Gt sol R seUG Gt gG Gt R si R 0 R se (2.194) kde g (-) se nazývá propustnosti solárního záření pro neprůsvitný prvek. Celková hustota tepelného toku přes obvodovou stěnu tedy je: q q (1) q (2 ) U T i T e g G G t (2.195) Prvek může být stíněn, takže na něj dopadne jen zlomek slunečního záření. Můžeme zavést celkový faktor stínění Fsh: q U T i T e g F shG G t (2.196) - 69 - Pro klimatické podmínky České republiky je vnitřní teplota vyšší než venkovní teplota téměř celý rok. Takže je přirozené nazvat první člen v rovnici (2.196) tepelná ztráta a druhý člen solární tepelný zisk. Hustota tepelného toku přes obvodovou stěnu by mohla být vyjádřena i jako: q U T i T e (2.197) kde venkovní ekvivalentní teplota je: Te Te solFshRseGGt (2.198) Vzorec (2.198) je jiným způsobem zapsaný vzorec (2.171), příspěvek solárního záření je zde započten ve zvýšení venkovní teploty. Hustota tepelného toku přes obvodovou stěnu by mohla být vyjádřena i jako: q U ekv T i T e (2.199) kde Uekv je ekvivalentní hodnota součinitele prostupu tepla: U ekv U gFsh G Gt Ti Te (2.200) Příspěvek solárního záření je zde započten ve snížení součinitele prostupu tepla. 2.5.7 Šíření tepla přes nevytápěný prostor Zajímá nás tepelný tok v ustáleném stavu z prostoru vytápěného na teplotu Ti přes obvodovou konstrukci, která sousedí s nevytápěným prostorem, do venkovního prostředí o teplotě Te (viz Obrázek 60). Teplota v nevytápěném prostoru je označena jako T1. K1 je vodivost konstrukce mezi vytápěným a nevytápěným prostorem a K2 je vodivost mezi nevytápěným prostorem a venkovním prostředím ve W/K. Ti Vytápěný prostor 1 T1 Nevytápěný prostor Te Ti K2 K1 T1 Te Venkovní prostředí Obrázek 60: Tepelná ztráta přes nevytápěný prostor. Pro tepelný tok z vytápěného do nevytápěného prostoru máme: - 70 - 1 K1 Ti T1 (2.201) Tepelný tok z vytápěného prostoru do venkovního prostředí v případě, že bychom neuvažovali s vlivem nevytápěného prostoru, je: K1 Ti Te (2.202) Z tepelné bilance v uzlu T1 můžeme odvodit vztah pro teplotu v nevytápěném prostoru: T1 K 1Ti K 2Te K1 K 2 (2.203) Pokud se vodivost K1 bude blížit nule, bude se teplota nevytápěného prostoru blížit venkovní teplotě. A naopak, pokud vodivost K1 bude vysoká, bude se teplota nevytápěného prostoru blížit teplotě vytápěného prostoru. Poměr tepelných toků nám vyjádří, na kolik procent se tepelná ztráta přes konstrukci sousedící s nevytápěným prostorem sníží v porovnání se situací, kdy by nevytápěný prostor nebyl přítomný. b 1 (2.204) Po dosazení rovnic (2.201), (2.202) a (2.203) do (2.204) dostaneme: b K2 K1 K 2 (2.205) Faktor b nabývá nulové hodnoty, když K1→∞ (velmi špatně tepelně izolovaná konstrukce mezi vytápěným a nevytápěným prostorem. Opačným extrém je, když K1→0, potom se hodnota b blíží jedné. Rovnici (2.204) můžeme také přepsat do tvaru: 1 b K1 Ti Te (2.206) Rovnice (2.206) je odlišným způsobem zapsaný vztah (P.1). 2.5.8 Šíření tepla obálkou budovy Celkový tepelný tok prostupem obálkou budovy T (W) se skládá z dílčích tepelných toků – například přes střechu, podlahu, stěny, okna a tepelné mosty (viz Obrázek 61): T bsU s As bpU pAp U st Ast U w Aw UA Ti Te - 71 - (2.207) kde Us je součinitel prostupu tepla střechy, Up je součinitel prostupu tepla podlahy, Ust je součinitel prostupu tepla stěn, Uw je součinitel prostupu tepla oken, U je přirážka na tepelné mosty, As je plocha střechy, Ap je plocha podlahy, Ast je plocha stěn (plocha oken je odečtena od plochy fasád), Aw je plocha oken. Veličiny označené jako b (-) jsou redukční činitele vyjadřující například zlepšující vliv zeminy nebo nevytápěného suterénu (bp), nebo nevytápěné půdy (bs). Us, As (střecha) bs·UsAs A Ust, Ast (stěny) bp·UpAp Ti UstAst UwAw Te Ti HT Te U·A Aw, Uw (okna) Up, Ap (podlaha) Obrázek 61: Schéma jednoduché budovy a znázornění dílčích tepelných toků. Vydělením rovnice (2.207) celkovou ochlazovanou plochou A se dostaneme ke vztahu: qT U em Ti Te (W/m2) (2.208) kde Uem je průměrný součinitel prostupu tepla obálky budovy ve W/(m2K): U em HT A (2.209) Průměrný součinitel prostupu tepla obálky budovy je tedy váženým průměrem jednotlivých součinitelů prostupu tepla dílčích obvodových konstrukcí přes jejich plochy: U em bsU s A As A A bpU p p U st st U w w U A A A A (2.210) Plocha střechy může být vyjádřena jako: As 1 Ap cos (2.211) kde je sklon střechy. U nízkých sklonů střechy tedy přibližně platí As ≈ Ap. Potom můžeme psát: U em bsU s bpU p Ap A 2 Ap A w A U st U w w U A A A - 72 - (2.212) V rovnici (2.212) se předpokládá, že okna jsou umístěna pouze ve fasádách. Fasáda je definována jako celková plocha obálky budovy mínus plocha střechy a podlahy. Tímto způsobem může být zahrnuta i členitost fasády, pokud faktor Ap/A v sobě tuto korekci obsahuje. Faktor Ap/A vyjadřuje, jakou část z ochlazované plochy tvoří plocha podlahy budovy. Vyšší hodnoty představují přízemní rozsáhlé budovy. Nižší hodnoty naopak mohou představovat bodové bytové domy s malou plochou podlahy vzhledem k ochlazované ploše (a tedy velkou plochou fasád). Faktor Ap/A lze snadno odhadovat z informací o budově, které jsou dnes běžně dostupné z elektronických mapových podkladů – zastavěné plochy, obvodu zastavěné plochy a výšky budovy (viz Obrázek 62). h Ap Op Obrázek 62: Běžně dostupné informace o budově. Tabulka 9: Faktor Ap/A Koncová sekce Samostatně stojící Plochá střecha h O p 2 a b b a Fp h Op 2a b b a - 73 - 1 2h Op Ap Střední sekce O p 2a h b a Samostatně stojící Šikmá střecha h1 h O p 2 a b Ap 1 A Op b 1 1 cos h A h1 A p p b a Koncová sekce h1 h Op 2a b Ap 1 A O p h1 b 1 1 cos h A 2 A p p b Střední sekce a h h1 O p 2a b Ap 1 A Op 1 1 cos h A p a Rovnici (2.212) lze dále rozepsat: U em bsU s bpU p Ap A A A A 2A U st 1 p w fas U w w fas U A A Afas A Afas A (2.213) kde Afas je celková plocha fasády včetně plochy oken. Zavedeme následující značení: Fw Aw A A 2 Ap A Fp p , Ffas fas 1 2Fp , Afas A A A - 74 - (2.214) Faktor Fw vyjadřuje, jakou část tvoří z celkové plochy fasády plocha oken (hovorově též nazývaný celkové procento prosklení). Po dosazení faktorů (2.214), do rovnice (2.213) dostaneme: U em Fp bsU s bpU p 1 Fw 1 2Fp U st Fw 1 2Fp U w U (2.215) Průměrný součinitel prostupu tepla obálky je funkcí součinitelů prostupu tepla jednotlivých stavebních prvků a dvou geometrických faktorů. Po aplikaci korekce na sklon střechy dostaneme obecnější vyjádření: bU 1 U em Fp s s bpU p 1 Fw 1 1 cos cos 1 ... Fw 1 1 cos Fp U st ... (2.216) Fp U w U kde je sklon střechy. Příklad 17. Vypočítejte průměrný součinitel prostupu tepla pro pravděpodobná rozmezí faktorů Fw a Fp a obvodové konstrukce v různé tepelně izolační úrovni (Tabulka 10). Tabulka 10: Součinitel prostupu tepla obvodových konstrukcí Úroveň tepelné izolace Ust Us Up Uw U bs bp (W/(m2K)) Fw Fp (-) ČSN 730540-2 (2007) 0,38 0,24 0,45 1,7 0,05 1,0 0,50 Doporučené hodnoty pro pasivní domy 0,12 0,10 0,15 0,8 0 1,0 0,90 0,05 – 0,5 0,09 – 0,36 Součinitele prostupu tepla obálky budovy jsou zobrazeny, viz Obrázek 61. Pokud faktor Fp vzrůstá, tak součinitel prostupu tepla obálky budovy klesá, což je důsledek menšího zastoupení plochy fasády v celkové ochlazované ploše. Dosažitelné hodnoty součinitele prostupu tepla obálky budovy se pohybují mezi 0,15 – 0,20 W/(m2K). K tomuto výsledku jsou potřeba součinitele prostupu tepla obvodových konstrukcí na úrovni doporučených hodnot pro pasivní domy a přiměřené procento prosklení. - 75 - 2 2 0.35 0. 4 0.30 0.10 0.10 0.20 5 0. 2 0.25 3 0. 0.20 0.15 0. 7 0.15 0. 2 0.30 Fw (-) 8 0. 0.40 9 0. 0.50 0. 35 0.20 Fp (-) 0. 6 0.25 0. 5 Fp (-) 5 0.35 0. 3 0.30 UT (W/(m K)) 0. 1 5 UT (W/(m K)) 0.10 0.10 0.20 0.30 Fw (-) 0.40 0.50 2 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 UT (W/(m K)) 2 UT (W/(m K)) Obrázek 63: Součinitel prostupu tepla obálky budovy jako funkce parametrů Fp a Fw. Vlevo – pro budovy podle požadavků ČSN730540-2 (2007). Vpravo – pro budovy v pasivním standardu. Czech code (2007) Passive houses 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 Fp (-) 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Czech code (2007) Passive houses 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 Fw (-) Obrázek 64: Součinitel prostupu tepla obálky budovy jako funkce parametrů Fp a Fw. Vlevo – jako funkce parametru Fp. Vpravo – jako funkce parametru Fw. 2.5.9 Energetická propustnost stavebních prvků Hustotu tepelného toku od solárního záření procházejícího přes stavební prvek lze vyjádřit jako: q in gG Gt q in,dir q in,indir (2.217) kde g je energetická propustnost a GGt je intenzita globálního solárního záření dopadajícího na prvek (viz Obrázek 65). GGt qin - 76 - Obrázek 65: Energetická propustnost stavebního prvku. Solární záření může přes prvek procházet přímo (průsvitné prvky), ale i nepřímo, tj. vedením tepla přes prvek a následným přestupem tepla mezi povrchem a vnitřním prostředím (sálání a proudění). Jednosklo Hustotu tepelného toku od solárních zisků procházejících přímo přes jednu tabuli skla je možné vyjádřit jako: q in,dir G Gt (2.218) kde je propustnost zasklení pro krátkovlnné (solární) záření. Pro vyjádření nepřímých zisků je účelné využít principu superpozice a problém rozdělit na dvě dílčí části. Zjednodušeně se předpokládá, že teplotní gradient je v rámci tloušťky skla zanedbatelný a sklo je tedy možné nahradit jedním teplotním uzlem. solGGt solGGt Rsi Te Rse Tg Ti = Rsi 0 Rse Tg(1) 0 + Rsi Te Rse Ti Tg(2) Obrázek 66: Jednosklo - schéma modelu a princip superpozice. Hustotu tepelného toku z povrchu zasklení do vnitřního prostoru vyjádříme jako: qi q (1) i q (2) i Tg(1) 0 Tg(2) Ti Rsi R si (2.219) kde Tg je teplota zasklení, Ti je vnitřní teplota a Rsi je odpor při přestupu tepla na vnitřní straně zasklení. První člen vyjadřuje hustotu tepelného toku, která je výsledkem působení solárního záření pohlceného zasklením (bez působení teplotního rozdílu). Jedná se tedy o vyjádření nepřímých zisků přes zasklení. Druhý člen vyjadřuje hustotu tepelného toku, která je výsledkem působení vnitřní a vnější teploty (bez působení solárního záření). Teplotu zasklení je možné vyjádřit z tepelné bilance: solG Gt Tg(1) 0 Tg(1) 0 0 Rsi R se (2.220) kde sol je pohltivost zasklení pro krátkovlnné záření. Po úpravě dostaneme: - 77 - Tg(1) RsiRse solG G Rsi Rse (2.221) Pro hustotu tepelného toku od nepřímých zisků tedy dostaneme: q i(1) q in,indir Rse solG Gt Rsi Rse (2.222) Dosazením rovnic (2.218) a (2.222) do rovnice (2.217) lze získat vztah pro energetickou propustnost jednoduchého zasklení: g Rse sol Rse Rsi (2.223) Z rovnice (2.223) je zřejmé, že zvýšení solárních zisků lze dosáhnout zvýšením propustnosti a pohltivosti sol, případně zvýšením odporu při přestupu tepla na vnější straně. Neprůsvitná stěna Stěna nepropouští solární záření přímo, proto qin,dir = 0. solGG solGG Rsi R0 Te Rse Tse Tsi Ti 0 Rse = Rsi R0 Tse(1) Tsi(1) R0 0 Te Rse + Tse(2) Rsi Ti Tsi(2) Obrázek 67: Stěna - schéma modelu a princip superpozice. Hustotu tepelného toku z povrchu zasklení do vnitřního prostoru vyjádříme jako: q i q i(1) q i(2) Tsi(1) 0 Tsi(2) Ti Rsi R si (2.224) kde qi(1) = qin,indir. Pro hustotu tepelného toku od nepřímých zisků dostaneme: q in,indir Rse solG Gt Rse R0 Rsi (2.225) Energetická propustnost neprůsvitné stěny tedy je: g solRse Rse R0 Rsi solRseU (2.226) - 78 - kde U je součinitel prostupu tepla stěny. Z rovnice (2.226) je zřejmé, že dnešní velmi dobře tepelně izolované neprůsvitné stavební prvky mají zanedbatelnou energetickou propustnost. Dvojsklo Oproti zasklení s jedním sklem je situace složitější, protože v dutině mezi skly dochází k opakovanému odrazu (viz Obrázek 68). GGt 21GGt exteriér 121GGt 12GGt sol21GGt sol1GGt 1GGt interiér 1212GGt 2 1 Obrázek 68: Energetická propustnost dvojskla. Hustotu tepelného toku od solárních zisků procházejících přímo přes jednoduché zasklení je možné vyjádřit jako: q in,dir 1 2 1 1 2 12 22 ... G Gt 1 2 G Gt 1 2G Gt 1 1 2 (2.227) kde je propustnost tabule 1 a tabule 2 pro krátkovlnné záření, je odrazivost tabule 1 a tabule 2 pro krátkovlnné záření. Pro vyjádření nepřímých zisků opět využijeme princip superpozice, kdy nás zajímá pouze část tepelného toku, která je příspěvkem působení solárního záření. qs1 qs2 Rsi R0 Te Rse Ti Tg2 Tg1 Obrázek 69: Dvojsklo - schéma modelu. Vyjádření solárních zisků v jednotlivých uzlech: q s1 sol,1G Gt 1 1 2 1 22 12 23 ... sol,1 - 79 - 1 1 2 21 G Gt 1 1 2 (2.228) q s2 sol,21G Gt 1 1 2 12 22 ... sol,2 1 G Gt 1 1 2 (2.229) Tepelná bilance v jednotlivých uzlech: sol,1 0 Tg1(1) Tg1(1) Tg2(1) 1 12 21 GG 0 1 12 Rse R0 Tg1(1) Tg2(1) Tg2(1) 0 1 GG 0 sol,2 1 12 R0 Rsi (2.230) (2.231) Po úpravě: sol,1 1 12 21 1 (1) 1 (1) 1 GG Tg1 R Tg2 0 1 12 0 Rse R0 (2.232) sol,2 1 1 (1) 1 1 (1) GG Tg1 Tg2 0 1 12 R0 Rsi R0 (2.233) Řěšení soustavy rovnic vzhledem k Tg2: sol,1 (1) Tg2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 GG sol,2 GG 1 1 2 1 1 2 R0 R se R 0 1 1 1 1 1 R R R R R2 0 si 0 0 se (2.234) Pro energetickou propustnost dvojskla tedy dostaneme: g 1 2 1 1 1 2 R si sol,1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 sol,2 1 1 2 R0 1 1 2 R se R 0 1 1 1 1 1 R R R R R2 0 si 0 0 se (2.235) Z prvního členu předchozího vzorce je zřejmé, že dominantní vliv na hodnotu energetické propustnosti mají propustnosti obou skel pro krátkovlnné záření. Druhý člen je násoben faktorem 1/Rsi, což ukazuje na logický závěr, že se zvyšujícím se odporem při přestupu tepla na vnitřní straně se zmenšuje nepřímý zisk do interiéru. 2.6 Úlohy k procvičení Ú1. Vypočítejte, za jakou dobu se u elektromobilu vybije elektrická baterie o kapacitě 20 kWh při průměrném výkonu elektromotoru 30×103 J/s? Ú2. Uvažujte potrubí čtvercového průřezu o délce strany 0,3 m, přes které proudí vzduch. Průměrná rychlost proudění vzduchu v potrubí je 5 m/s. - 80 - Hustotu vzduchu uvažujte hodnotou 1,2 kg/m3. Vypočtěte průtok vzduchu v potrubí v m3/s a v kg/s. Ú3. Uvažujte potrubí čtvercového průřezu o délce strany 0,15 m, přes které proudí vzduch. Průměrná rychlost proudění vzduchu v potrubí je 1 m/s. Teplota vzduchu na vstupu do potrubí je 10 °C. Teplota vzduchu na výstupu z potrubí je 0 °C. Kolik tepla projde přes stěnu potrubí do okolí za 24 hodin? Hustotu vzduchu uvažujte hodnotou 1,2 kg/m3. Měrnou tepelnou kapacitu vzduchu uvažujte hodnotou 1010 J/(kg·K). Ú4. Jaký teoretický tepelný výkon musí mít karma, aby dokázala ohřát vodu pro jedno vysprchování. Uvažujte, že spotřeba teplé vody na jedno vysprchování je 35 litrů za 5 minut. Teplotu vody na vstupu do karmy uvažujte hodnotou 10 °C. Teplotu vody na výstupu z karmy uvažujte hodnotou 45 °C. Měrná tepelná kapacita vody je 4200 J/(kg·K). Ú5. Uvažujte 0,5 m3 materiálu obaleného v dokonalé tepelné izolaci. Objemová hmotnost materiálu je 2500 kg/m3. Měrná tepelná kapacita materiálu je 1000 J/(kg·K). Počáteční teplota je 10 °C. Jaké teploty materiál dosáhne, budeme-li působit 500 Wattovým zdrojem tepla po dobu 24 hodin. Ú6. Uvažujte průběh teplot v masivní stěně (viz obrázek). Kdy může dojít k takovému průběhu teplot? Ti a) V zimě během noci. b) V létě během deště. exteriér interiér c) V létě za silného solárního záření. d) V zimě během jasného dne Te Ti a) V zimě během jasné noci. b) V létě během deště. exteriér interiér c) V létě za silného solárního záření. d) V zimě během jasného dne Tae Ú7. Ovlivňuje barva šálku rychlost chladnutí kávy? Odpověď vysvětlete. - 81 - Ú8. V zimě přijedete do vymrzlé chaty a najdete v ní dvě stejně veliké nádoby s ledem. Jedna nádoba je z kovu, zatímco druhá nádoba je z plastu. V chatě po příjezdu začnete topit. V které nádobě led rozmrzne rychleji. Uveďte proč! Ú9. Uvažujte venkovní stěnu, která se skládá z vrstvy betonu (součinitel tepelné vodivosti 2,0 W/(m·K)) a transparentní tepelné izolace (součinitel tepelné vodivosti 0,10 W/(m·K)). Transparentní tepelná izolace je umístěna na venkovní straně stěny (viz obrázek). Předpokládejte, že na levém povrchu stěny dlouhodobě působí teplota 20 °C, na pravém povrchu stěny dlouhodobě působí teplota -15 °C, a že se tyto teploty v čase nemění. a) Vypočtěte teplotu na rozhraní mezi betonem a transparentní tepelnou izolací za předpokladu, že na stěnu nedopadá žádné solární záření. b) Vypočtěte teplotu na rozhraní mezi betonem a transparentní tepelnou izolací za předpokladu, že na stěnu dopadá solární záření o konstantní intenzitě 500 W/m2. Uvažujte 50% propustnost transparentní izolace pro solární záření. c) Pro oba dva případy vypočtěte hustotu tepelného toku procházejícího přes vrstvu betonu a vypočtené hodnoty porovnejte. T1 T2 Transparentní tepelná izolace 20 cm 20 cm Ú10. Jakou materiálovou vlastnost budete sledovat, pokud chcete vybrat materiál tvořící vnitřní povrchy v místnosti, a kterým chcete přispět ke zvýšení tepelné stability místnosti? Ú11. Proč je v parném letním dnu blízké okolí fontány s vodou chladnější než okolní zástavba. Ú12. Proč poklička na hrnci omezí rychlost chladnutí vody v hrnci? - 82 - 3 Šíření vzduchu 3.1 Úvod Aby došlo k šíření vzduchu mezi dvěma body, musí mezi těmito body existovat rozdíl tlaků a cesta, která oba body spojuje. Vnitřní a vnější prostředí budov je propojeno přes obálku budovy. Ta představuje složitý soubor netěsností, spár, prostupů, napojení stavebních prvků, ale i průvzdušností prvků v jejich ploše. Rozdíl tlaků vzduchu mezi vnitřním a vnějším prostředím může být vyvolaný účinky větru, rozdílem teplot mezi interiérem a exteriérem, nebo větracím či spalovacím zařízením, resp. kombinací všech předchozích mechanizmů dohromady: P Ps Pw PV (Pa) (3.1) kde Ps je tlakový rozdíl vyvolaný rozdílem teplot, Pw je tlakový rozdíl vyvolaný účinky větru, PV je tlakový rozdíl od systému mechanického větrání. Záporný rozdíl tlaků znamená, že je vzduch vytahován zevnitř budovy směrem ven. Kladný rozdíl tlaků znamená, že je vzduch tlačen z venkovního prostředí dovnitř budovy. Závislost objemového průtoku vzduchu na působícím tlakovém rozdílu se popisuje rovnicí: Va C P n (m3/h) (3.2) kde P (Pa) je tlakový rozdíl, C (m3/(h·Pa)) je součinitel proudění a n (-) je exponent proudění. Součinitel proudění je průtok vzduchu při tlakovém rozdílu 1 Pa. Rovnici (3.2) lze také zapsat jako: log Va log C n log P (3.3) což v grafu s logaritmickým měřítkem na obou osách představuje přímku, jejíž sklon je exponent proudění a průsečík s osou y součinitel proudění. Měříme-li průtok přes netěsnosti v obálce budovy a rozdíl tlaků, můžeme z měření určit parametry C a n, které charakterizují vzduchotěsnost obálky budovy. Schopnost obálky budovy propouštět vzduch, se v praxi nicméně hodnotí pomocí jediného parametru, intenzity výměny vzduchu při tlakovém rozdílu 50 Pa (n50): n50 Va,50 Vai (1/h) - 83 - (3.4) kde Va,50 (m3/h) je objemový průtok vzduchu při tlakovém rozdílu 50 Pa a Vai (m3) je objem vnitřního vzduchu v budově. Veličina se stanovuje experimentálním měřením na budově (tzv. Blower door test, viz [26]). Požadavky na vzduchotěsnost obálky budovy i jejích částí jsou uvedeny v normě [18]. Mimo celkovou úroveň vzduchotěsnosti obvodového pláště je také důležité rozložení netěsností v rámci obálky budovy. Proudění vzduchu přes obálku budovy má velký význam pro tepelnou a vlhkostní bilanci budovy a pro kvalitu vnitřního prostředí. Proudění vzduchu přes netěsnosti například může vést k značnému zvýšení tepelných ztrát budovy a ke zvýšení rizika kondenzace vodní páry v okolí netěsností. Z výše uvedených důvodů by obvodové konstrukce v ploše a jejich napojení měly být vzduchotěsné. K tomu slouží systém vzduchotěsnících opatření. Jeho spojitost by měla být zachována u všech plošných prvků, prostupujících prvků a napojení. Systém vzduchotěsnících opatření by měl být jasně vyznačený ve výkresech, včetně detailů, u kterých lze očekávat těžkosti v dosažení kontinuity. Zvyšování vzduchotěsnosti obálky budovy může vyvolat potřebu instalovat mechanický nebo jiný systém větrání, protože přirozené větrání přes netěsnosti již nemusí dostačovat přívodu čerstvého vzduchu. 3.2 Tlakový rozdíl 3.2.1 Tlakový rozdíl od rozdílu teplot Budovy jsou v našich podmínkách v zimě vytápěné. Teplý vzduch uvnitř budovy je obklopený chladnějším venkovním vzduchem. Hustota vzduchu závisí na teplotě. Pokud je obálka budovy netěsná, tak teplý vnitřní vzduch má tendenci odcházet netěsnostmi v horní části budovy směrem ven a na jeho místo přichází přes netěsnosti ve spodní části budovy chladný vzduch. Budovu lze přirovnat k horkovzdušnému balónu, resp. k bublině vzduchu stoupající ke hladině moře. Uvedený princip se někdy nazývá komínový efekt. Během léta může nastat situace, kdy je teplota vzduchu uvnitř budovy nižší než teplota venkovního vzduchu a směr proudění je tedy opačný. Teplotní rozdíl ale nebývá tak velký jako v zimě. Ve výšce takzvané neutrální roviny je tlak v budově a tlak v exteriéru stejný. Rozdíl tlaků závisí na rozdílu hustot vnitřního a vnějšího vzduchu a vzdálenosti od neutrální roviny: Ps z ae ai g (Pa) - 84 - (3.5) kde ae (kg/m3) je hustota venkovního vzduchu, ai (kg/m3) je hustota vnitřního vzduchu, g (m2/s) je gravitační zrychlení, z (m) je vzdálenost od neutrální roviny směrem dolů. Vztah (3.5) je možné vyjádřit pomocí absolutních teplot. Po dosazení stavové rovnice ideálního plynu dostaneme: 1 1 Ps z 3456 Tae Tai (Pa) (3.6) Pokud si například představíme válec s otvorem pouze na jeho spodní straně (viz Obrázek 70), v kterém je vzduchem o teplotě 20 °C, a v okolí válce je teplota vzduchu -10 °C, tak tlak vzduchu se snaží válec nadzvednout, resp. roztáhnout jeho stěny. Pokud bychom stejný válec chvíli nechali venku, teploty se vyrovnají, a rozdíl tlaků přestane existovat. Pokud posléze vezmeme válec dovnitř vytopené budovy, bude na jeho dno resp. stěny tlačit studený vzduch. Ps neutrální rovina z -10° C 20° C 20° C -10° C Ps neutrální rovina z Obrázek 70: Přetlak ve válci s jedním otevřeným koncem. Příklad 18. Budova ČVUT, FSv má za svým hlavním vstupem atrium. Rovina zasklení atria je přibližně 10 m nad úrovní podlahy. Vypočtěte přetlak vzduchu v úrovni zasklení, pokud je teplota venkovního vzduchu -10 °C a teplota vzduchu uvnitř atria 20 °C. Atrium je napojené na venkovní prostředí přes hlavní vchod do budovy, takže poloha neutrální roviny je v pozici z = 0. Poloha zasklení odpovídá z = -10 m. Ps = -10×3456 ×((1/263)-(1/293)) = -13,4 Pa. Pokud si představíme stejný válec s otvorem na obou stranách (viz Obrázek 71), tak rozdíl teplot mezi vnitřkem válce a venkovním prostředím vyvolá tok vzduchu skrz válec. Pro udržení toku vzduchu je samozřejmě potřeba vnitřní vzduch stále ohřívat, protože, pokud by se to nedělo, vnitřní vzduch by nahradil venkovní studený vzduch a rozdíl tlaků se neudržel. - 85 - T i < Te T i > Te Ps neutrální rovina Ti Ps Ti Te Te z z Obrázek 71: Komínový efekt. Neutrální rovina se nemusí vždy nacházet ve středu výšky budovy. Pokud je vrchní část budovy děravější než spodní část budovy, tak se neutrální rovina bude nacházet ve vrchní části budovy. Pokud je naopak vrchní část těsnější v porovnání se spodní částí, tak se pozice neutrální roviny bude nacházet ve spodní části budovy. Pokud je rozložení netěsností rovnoměrné, tak se neutrální rovina bude nacházet ve středu výšky budovy. neutrální rovina neutrální rovina neutrální rovina Vrchní část děravější než spodek Vrchní část těsnější než spodek Obrázek 72: Poloha neutrální roviny. 3.2.2 Tlakový rozdíl od účinku větru Rychlost i směr větru se v čase velmi mění a jsou ovlivněny drsností povrchu. Rychlost i směr větru se v místě meteorologické stanice měří ve výšce 10 m nad povrchem terénu. Lokální rychlost větru může být v místě budovy značně odlišná od rychlosti větru naměřené na meteorologické stanici. Dynamický tvar větru je daný jako kinetická energie vztažená na jednotku objemu: Pw 1 aw2 2 (Pa) - 86 - (3.7) kde a (kg/m3) je hustota venkovního vzduchu a w (m/s) je rychlost větru. Lokální dynamický tlak větru na libovolné místo povrchu budovy se vyjadřuje jako: Pw Cp 1 aw2 2 (Pa) (3.8) kde Cp (-) je aerodynamický součinitel tlaku větru v daném místě na povrchu budovy. Kladné hodnoty součinitele tlaku větru znamenají tlak větru na fasádu. Záporné hodnoty součinitele tlaku větru znamenají sání. Síla větru typicky vytváří na návětrné straně budovy přetlak, resp. na závětrné straně podtlak. Na návětrné straně je tedy venkovní vzduch tlačen přes netěsnosti v obálce do budovy (infiltrace). Na závětrné straně je vnitřní vzduch vytahován ven (exfiltrace). Směr větru Obrázek 73: Přetlak vzduchu vyvolaný větrem. Rozdíl tlaků mezi dvěma místy obvodového pláště můžeme vyjádřit jako: 1 Pw Pw1 Pw2 Cp1 Cp2 aw2 2 (Pa) -0,3 Směr větru 0,4 -0,6 -0,2 -0,3 Obrázek 74: Typické hodnoty aerodynamického součinitel tlaku větru (průměrné hodnoty pro dané plochy). - 87 - (3.9) 3.2.3 Tlakový rozdíl od systému mechanického větrání Systémy mechanického větrání většinou mohou zároveň přivádět a odvádět vzduch z budovy. To znamená, že vlivem nerovnováhy mezi přiváděným množstvím vzduchu, může nastat záporný i kladný tlakový rozdíl. Pokud je přiváděno stejné množství vzduchu, jako je odváděno, tak se jedná o rovnotlaké větrání. Pokud je do budovy přiváděno více vzduchu, než je odváděno, tak se jedná o přetlakové větrání. V budově je tak vyšší tlak vzduchu než ve venkovním prostředí, a zbývající vzduch je tlačen přes netěsnosti obvodového pláště do venkovního prostředí, například funkční spáry oken nebo záměrně navržené otvory. To může v dostatečně chladném období vést ke kondenzaci vodní páry. Pokud je do budovy přiváděno méně vzduchu, než je systémem větrání odváděno, tak se jedná o podtlakové větrání. 3.3 Modelování výměny vzduchu Intenzita větrání budovy je určena působením tlakových rozdílů vyvolaných rozdílem teplot, větrem anebo systémem mechanického větrání a je velmi proměnlivá v čase. Z tohoto důvodu, ale také vlivem nejistoty popisu netěsností je modelování proudění vzduchu v budovách spojené se značnými nejistotami. Proto se ve standardních výpočtech potřeby tepla na vytápění či chlazení intenzita větrání velmi často předpokládá nějakou konstantní hodnotou odvozenou například z doporučeného množství čerstvého vzduchu pro člověka (≈ 30 m3/(h·os)). Intenzita větrání budovy se vypočte podělením objemem vnitřního vzduchu: n Va Vai z objemového (1/s) průtoku vzduchu (3.10) Intenzita větrání 1 h-1 znamená, že se objem vnitřního vzduchu každou hodinu jedenkrát vymění za venkovní vzduch. Pro odhad průměrné intenzity větrání přes netěsnosti se používá vztah: n n50 20 (3.11) - 88 - 4 Šíření vlhkosti 4.1 Úvod Voda a vzduch jsou bezesporu nejdůležitější látky na Zemi. Voda se vyskytuje ve třech skupenstvích: zmrzlá (led), jako kapalina a jako plyn. Plynné skupenství nazýváme vodní parou. Vodní pára je tvořena jednotlivými velmi malými molekulami H2O (průměr přibližně 0,28 × 10-9 m). Voda v kapalné fázi je kvůli vodíkovým můstkům tvořena svazky jednotlivých molekul, které tedy mají mnohem větší průměr. Některé materiály proto mohou být propustné pro vodní páru, ale nepropustné pro vodu (Goretex). Budova je vystavena působení řady zdrojů vlhkosti. Může se jednat o vlhkost obsaženou ve venkovním vzduchu, zdroje vlhkosti pocházející z činnosti člověka (vaření, sušení, sprchování), větrem hnaný déšť, zabudovanou vlhkost z období výstavby, vlhkost zeminy, či netěsnost nějakého potrubí. Na stavební prvky voda působí značně destruktivně. Šíření vlhkosti je proces, při kterém je přenášena vlhkost, tj. vodní pára nebo voda v kapalném stavu. Šíření vlhkosti může nastat pouze v materiálech, které mají otevřený pórový systém. Vlhkost se může v pórovitém materiálu šířit zejména následujícími třemi způsoby: difuzí vodní páry, prouděním vlhkého vzduchu, kapilárním přenosem. Šíření vlhkosti lze do určité míry chápat analogicky k šíření tepla. V kontrolním objemu se namísto energie bilancuje hmota. Vlhkostní toky se taktéž uvažují úměrné rozdílu potenciálů, často částečných tlaků vodní páry anebo hustot vodní páry. Oproti šíření tepla ale existují podstatné odlišnosti. Zejména se jedná o to, že vlhkost materiálu ani vlhkost vzduchu nemohou růst do nekonečna, a že transportní součinitele jsou velmi závislé na vlhkosti materiálu. Procesy šíření tepla a šíření vlhkosti se vzájemně ovlivňují. Modelování reálného kombinovaného přenosu tepla a vlhkosti je proto kvůli těmto zpětným vazbám obtížnou úlohou. Některými zpětnými vazbami jsou: latentní teplo skupenských změn (kondenzace – vypařování, mrznutí rozmrzání) - kondenzace znamená vývin tepla, které může zvýšit teplotu v místě, kde dochází ke kondenzaci a omezit tak kondenzující - 89 - množství, vypařování naopak může snížit teplotu v místě, kde dochází k vypařování a omezit tak vypařující množství. závislost vlastností na teplotě – částečný tlak vodní páry na mezi nasycení je nelineárně závislý na teplotě, sorpční křivky jsou teplotně závislé; závislost vlastností materiálu na vlhkosti – tepelná vodivost vlhkého nebo zmrzlého materiálu je vyšší, tepelná kapacita vlhkého materiálu je vyšší. 4.2 Vlhkost ve vzduchu Vodní pára je jedním z několika plynů, ze kterých se sestává vzduch. Každý milovník pěnivého moku ví, že pokud je pivo dobře vychlazené, povrch sklenice se orosí. Voda, která se na chladném povrchu náhle objeví, je důsledkem kondenzace vodní páry. V budovách kondenzát často pozorujeme v místech, kde je dostatečně nízká povrchová teplota. Obvykle se například jedná o povrch skleněných tabulí v oknech (viz Obrázek 75), či místa se zhoršenou tepelnou izolací. Obrázek 75: Kondenzace vodní páry na vnitřním povrchu zasklení okna. Vzduch za obvyklých hodnot teploty a tlaku, které nastávají v budovách, je možné uvažovat jako směs dvou ideálních plynů: suchého vzduchu a vodní páry. Pro ideální plyn platí stavová rovnice: pV nRT (4.1) kde p (Pa) je tlak plynu, V (m3) je objem soustavy, n (mol) je látkové množství (vyjadřuje počet částic plynu obsažených v objemu soustavy, T (K) je termodynamická teplota a R (J/mol·K) je univerzální plynová konstanta (8,314 J/(mol·K)). Rovnice (4.1) vyjadřuje, že tlak plynu v soustavě je - 90 - nepřímo úměrný objemu soustavy, a přímo úměrný teplotě, počtu částic a plynové konstantě. Látkové množství je možné vyjádřit jako poměr mezi hmotností všech částic v objemu plynu m (kg) a jejich molární hmotností M (kg/mol): pV m RT M (4.2) kde poměr R/M je konstanta v J/(kg·K) a její hodnota se pro různé plyny liší. Celkový tlak směsi suchého vzduchu (index d) a vodní páry (index v) se v ideálním plynu řídí Daltonovým zákonem: Pa pd pv (4.3) kde Pa je atmosférický tlak vzduchu (≈ 101 325 Pa na hladině moře), pd je částečný tlak suchého vzduchu a pv je částečný tlak vodní páry. Suchý vzduch se sestává z dusíku N2, kyslíku O2, a dalších plynů (Ar, další vzácné plyny, CO2, …), viz Tabulka 11. Tabulka 11: Složení suchého vzduchu. látka Chemická značka Objemový podíl (%) ve vzduchu Molární hmotnost (g/mol) Dusík N 78,09 28,01 Kyslík O 20,95 32 Argon Ar 0,93 39,95 Oxid uhličitý CO 0,03 44 2 2 2 Částečný tlak suchého vzduchu můžeme vyjádřit jako součet částečných tlaků jeho jednotlivých složek: pd pN2 pO2 pAr ... (4.4) Pro částečný tlak suchého vzduchu z rovnice (4.2) máme: pdV mdRdT (4.5) kde Rd je plynová konstanta pro suchý vzduch, Rd = 287,04 J/(kg·K). Obdobně pro částečný tlak vodní páry: pvV mvRvT (4.6) - 91 - kde Rv je plynová konstanta pro vodní páru, Rv = 461,5 J/(kg·K). Zavedemeli hustotu (koncentraci) vodní páry jako: mv V v (4.7) dostaneme převodní vztah mezi částečným tlakem vodní páry a hustotou vodní páry: pv R vT v (4.8) Rozmezí obvyklých hodnot pro v resp. pv je 0 ÷ 30 g/m3, resp. 0 ÷ 4000 Pa. Vlhkost vzduchu se také někdy vyjadřuje jako hmotnost vodní páry vztažená k hmotnosti suchého vzduchu (měrná vlhkost vzduchu): x m v vV Rd pv pv 0,622 md dV R v pd Pa pv (4.9) Měrná entalpie vlhkého vzduchu a měrná vlhkost slouží při projektování klimatizace k zobrazování úprav vlhkého vzduchu v takzvaném hx diagramu. Vzduch při dané teplotě může pojmout jen určité množství vodní páry. Toto maximální množství se nazývá částečný tlak nasycené vodní páry pv,sat, hustota vodní páry na mezi nasycení v,sat , případně měrná vlhkost na mezi nasycení xsat, a je nelineární funkcí teploty vzduchu (viz Obrázek 76). 30 4000 3500 20 3000 pv,sat (Pa) v,sat (g/m3) 25 15 10 2500 2000 1500 1000 5 500 0 -20 -15 -10 -5 0 5 10 T (°C) 15 20 25 30 -20 -15 -10 -5 0 5 10 T (°C) 15 20 25 30 Obrázek 76: Hustota vodní páry na mezi nasycení (vlevo) a částečný tlak vodní páry na mezi nasycení (vpravo). V literatuře existuje řada vztahů pro výpočet pv,sat, viz například [1]: n pv,sat T a b 100 (4.10) kde T je teplota ve stupních Celsia a parametry a,b, n nabývají hodnot: - 92 - 0 T 30 °C a = 288.68 Pa, b = 1.098, n = 8.02 20 T 0 °C a = 4.689 Pa, b = 1.486, n = 12.3 Alternativní vztahy pro výpočet pv,sat nabízí [20]: pv ,sat 610,5 e pv ,sat 610,5 e 17,269T 237,3T 21,875T 265,5T pro T ≥ 0 °C (4.11) pro T < 0 °C (4.12) Relativní vlhkost vzduchu (-) je definována jako skutečná hodnota hustoty vodní páry vydělená hustotou vodní páry na mezi nasycení: v pv v,sat pv,sat (4.13) Relativní vlhkost tedy vyjadřuje míru nasycení vzduchu vodní parou při dané teplotě. V praxi se také používá vyjadřování relativní vlhkosti v %. Příklad 19. Vypočtěte částečný tlak vodní páry a hustotu vodní páry pro venkovní vzduch o teplotě -15 °C a relativní vlhkosti 85 % (mrazivý zimní den). Výpočet zopakujte pro teplý letní den, kdy teplota vzduchu je 30 °C a relativní vlhkost 40 %. Ze vzorce (4.10) máme: pv,sat(-15 °C) = 165 Pa a pv,sat(30 °C) = 4240 Pa. Z rovnice (4.8) dostaneme hodnoty: v,sat(-15 °C) = 0,0014 kg/m3 a v,sat(30 °C) = 0,03 kg/m3. Z rovnice (4.13) vypočítáme částečný tlak vodní páry nebo hustotu vodní páry. Pro mrazivý zimní den máme: pv = 0,85 × 165 Pa ≈ 140 Pa, resp. v = 0,85 × 0,0014 kg/m3 = 0,0012 kg/ m3. Pro teplý letní den máme: pv = 0,40 × 4242 Pa ≈ 1696 Pa, resp. v = 0,40 × 0,03 kg/m3 = 0,012 kg/ m3. Z výsledků je zřejmé, že vzduch má v létě mnohem vyšší vlhkost než v zimě (viz Obrázek 77). 25 3 ve (g/m ) 20 15 10 5 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 t (dny) Obrázek 77: Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu během roku (údaje pro Prahu) Pro vyjádření vlhkosti vzduchu se někdy používá termín teplota rosného bodu. Jde o teplotu, na kterou by se musel vzduch o dané teplotě a relativní vlhkosti izobaricky ochladit, aby dosáhl relativní vlhkosti 100 %. Obrázek 78 - 93 - ukazuje příklad grafického určení teploty rosného bodu (Tdp) pro vzduch o teplotě 10 °C a relativní vlhkosti 60 %. A Tdp Obrázek 78: Grafické určení teploty rosného bodu. Z bodu A je možné dosáhnout křivku na mezi nasycení mnoha způsoby. Pokud se pouze dodá vodní pára a nezmění teplota, jedná se o izotermický děj (z bodu A svisle nahoru). Křivku je také možné dosáhnout pouhým snížením teploty (z bodu A vodorovně vlevo), jak již bylo ukázáno (viz Obrázek 78). 4.3 Vlhkost v pórovitých materiálech 4.3.1 Struktura pórovitého materiálu Stavební materiály (s výjimkou kovů) jsou typické svojí pórovitou strukturou, která je tvořena pevným skeletem a systémem pórů (viz Obrázek 79). U některých materiálů jsou póry viditelné pouhým okem (pórobeton). U některých materiálů se jedná o mikropóry viditelné pouze výkonným mikroskopem. Póry rozdělujeme podle jejich velikosti na: Submikroskopické póry (< 10-9 m) Kapilární póry (10-9 – 10-3 m) Makropóry (> 10-3 m) - 94 - Reprezentativní kontrolní objem V V = Vmat + Vpore Kapalná fáze Pevná fáze (Vmat) Plynná fáze (směs suchého vzduchu a vodní páry) Obrázek 79: Struktura pórovitého materiálu. Objemová hmotnost v suchém stavu je definována jako poměr hmotnosti vzorku ve vysušeném stavu md (kg) a celkového objemu vzorku V (m3): d md V (4.14) Hustota pevné fáze (skeletu) je definována jako poměr hmotnosti pevné fáze mmat (kg) a objemu pevné fáze Vmat (m3): mat m mat V mat (4.15) Hustota skeletu se pohybuje u organických materiálů v rozmezí 1450 ÷ 1650 kg/m3, u silikátových materiálů v rozmezí 2400 ÷ 3000 kg/m3 a u plastových materiálů 900 ÷ 1300 kg/m3. Otevřená pórovitost o (-) je definována jako poměr objemu otevřených pórů Vpore,o (m3), tj. pórů spojených se vzduchem v okolí vzorku, a celkovému objemu vzorku V (m3): o V pore,o V (4.16) Celková pórovitost (-) je součtem otevřené pórovitosti o (-) a uzavřené pórovitosti u (-): o u (4.17) Uzavřené póry neumožňují přijímat do svého objemu vlhkost. Celkovou pórovitost lze zjednodušeně odhadovat na základě znalosti objemové hmotnosti materiálu a hustoty pevné fáze. Platí, že: V mat V mat V pore 1 1 , neboli V V V (4.18) m mat 1 V mat mat 1 m mat m pore V (4.19) d - 95 - Jelikož platí, že mmat >> mpore, dostaneme: 1 d mat (4.20) Příklad 20. Odhadněte pórovitost smrkového dřeva (d = 500 kg/m3) a dubového dřeva (d = 750 kg/m3). Hustotu skeletu uvažujte jednotně hodnotou 1500 kg/m3. Po dosazení hodnot do vzorce (4.20) dostaneme pro smrkové dřevo = 1 – (500/1500) = 0,70 a pro bukové dřevo = 1 – (750/1500) = 0,50. Pórovitost sama o sobě nestačí k výstižnému popisu pórového systému. Dva materiály o stejné pórovitosti ji mohou dosáhnout každý jiným způsobem. Jeden může mít velké množství malých pórů, a druhý naopak menší množství velkých pórů. Proto nás zajímá i zastoupení velikosti pórů v kontrolním objemu materiálu. 4.3.2 Vyjadřování vlhkosti Vlhkost pórovitého materiálu se obvykle vyjadřuje buď jako poměr hmotnosti vlhkosti (vodní pára – index v, kapalné fáze – index l) a hmotnosti vzorku ve vysušeném stavu, značeno u (kg/kg): u mv ml uv ul md (4.21) nebo jako poměr hmotnosti vlhkosti a objemu vzorku, značeno w (kg/m3): w mv ml w v wl V (4.22) Veličiny u a w jsou analogické veličinám x a v používaným pro vyjadřování vlhkosti samotného vzduchu. Z rovnic (4.21) a (4.22) vyplývá převodní vztah: w du (4.23) kde d je objemová hmotnost v suchém stavu, viz rovnice (4.14). Příklad 21. Typická hmotnostní vlhkost dřeva používaného pro stavební účely je 12 %. Vypočtěte kolik vlhkosti je obsaženo v 1 m3 dřeva o objemové hmotnosti 500 kg/m3. Z rovnice (4.23) dostaneme: w = 500 kg/m3 × 0,12 = 60 kg/m3. Pórobeton o stejné objemové hmotnosti má při relativní vlhkosti 50 % (viz Obrázek 85) hmotnostní vlhkost 3 %, a tedy w = 500 kg/m3 × 0,03 = 15 kg/m3. Tepelná izolace ze skleněných vláken o objemové hmotnosti 18 kg/m3 má při relativní vlhkosti 50 % (viz Obrázek 85) hmotnostní vlhkost 1,5 %, a tedy w = 18 kg/m3 × 0,015 = 0,27 kg/m3. - 96 - 4.3.3 Zadržování vlhkosti v materiálu Hygroskopická oblast Nyní si představme pórovitý materiál o celkovém objemu V, v jehož pórech by se vyskytoval pouze vlhký vzduch a žádná kapalná fáze (objem vzduchu v pórovém systému =0V). Použijeme stavovou rovnici pro vodní páru a dostáváme: pv0V m v R vT (4.24) Neboli: wv mv p p v,sat0 v 0 V R vT R vT (4.25) Objemová vlhkost materiálu by tedy měla být při konstantní teplotě lineárně závislá na relativní vlhkosti. Příklad 22. Smrkové dřevo s pórovitostí 70 %, při teplotě 20 °C a relativní vlhkosti 50 %. Ze vzorce (4.25) máme: w = (0,5 × 2337 × 0,70) / (461,5 × 293) = 0,006 kg/m3. Uvážíme-li objemovou hmotnost 500 kg/m3, tak rovnovážná vlhkost pro relativní vlhkost 50 % je 0,10 kg/kg, tedy 0,10 × 500 = 50 kg/m3, viz Obrázek 85. Materiály jsou reálně schopny pojmout mnohem více vlhkosti, než ukazuje rovnice (4.25). Stěny pórů v kontaktu s vodní parou obsaženou v obklopujícím vzduchu mají totiž kvůli existujícímu silovému poli tendenci shromažďovat molekuly H2O na svém povrchu. Tento jev se nazývá adsorpce. Při adsorpci dochází k hromadění molekul tekutiny (adsorbátu) na rozhraní s pevnou fází nazývanou adsorbent (viz Obrázek 80). kapilární kondenzát adsorbát adsorbent vlhký vzduch Obrázek 80: Adsorpce a kapilární kondenzace. Uvažujme nyní malý objem pórovitého materiálu, který je obklopen vzduchem o určité relativní vlhkosti (viz Obrázek 81). - 97 - exsikátor T = konst. w Nasycený roztok soli Obrázek 81: Vzorek materiálu v prostředí o stálé teplotě a relativní vlhkosti. Pokud bychom relativní vlhkost vzduchu v okolí vzorku postupně skokově navyšovali, tak pro každou hodnotu relativní vlhkosti obklopujícího vzduchu dosáhne materiál po určité době jisté rovnovážné vlhkosti. Křivka, která charakterizuje rovnovážný stav mezi relativní vlhkostí vzduchu a vlhkostí materiálu se nazývá sorpční křivka. Sorpční křivka většiny stavebních materiálů má charakteristický esovitě prohnutý tvar (viz Obrázek 82). u (kg/kg) usat Voda volná (přemístitelná) ucap ucrit Voda vázaná 0 (-) 0,98 1 Hygroskopická oblast Nadhygroskopická oblast Obrázek 82: Sorpční křivka. Výstižnější název je sorpční izoterma, protože existuje i malý vliv teploty na polohu křivky. S rostoucí teplotou je pro molekuly vody obtížnější udržet se na stěnách pórů, a proto rovnovážná vlhkost klesá (sorpční křivka se posunuje směrem dolů). Za konstantní teploty se z okolního vlhkého vzduchu může do pórovitého materiálu uložit jen omezené množství vlhkosti (označena jako ucrit). Jako hygroskopická oblast se obvykle nazývá interval mezi 0 % až do 98 % relativní vlhkosti. - 98 - Při nízké relativní vlhkosti vzduchu (≈ 20 %) se na stěnách pórů vytváří jedna vrstva molekul vody (monomolekulární adsorpce). Při vyšší relativní vlhkosti vzduchu (≈ 20 - 40 %) se ukládají další vrstvy molekul vody (polymolekulární adsorpce). Při ještě vyšší hodnotě relativní vlhkosti (> 40 %) může dokonce dojít až k propojení protilehlých vrstev adsorbátu a vytvoření menisku volné kapaliny. Tento jev se nazývá kapilární kondenzace. Ke kapilární kondenzaci dochází nejdříve ve velmi tenkých pórech. pevná fáze pevná fáze plyn pevná fáze pevná fáze plyn pevná fáze pevná fáze plyn plyn Voda (1000 kg/m3) Adsorbát (≈ 1500 ÷ 1800 kg/m3) Obrázek 83: Monomolekulární adsorpce (vlevo), polymolekulární adsorpce (uprostřed) a kapilární kondenzace uvnitř póru (vpravo). Jestliže dochází ke kapilární kondenzaci, znatelně se zvyšuje kapacita ukládání vody v pórovité struktuře materiálu. To je patrné z postupně se zvyšujícího se sklonu sorpční křivky pro vyšší relativní vlhkosti. Sklon je posléze tak strmý, že pro relativní vlhkosti blízké 100 % je obtížné jednoznačně odečíst odpovídající hodnotu vlhkosti. Hodnoty relativní vlhkosti vzduchu blízko stavu nasycení navíc neumíme přesně měřit. V nadhygroskopické oblasti (0,98 < < 1) je proto nutné měřit jiným způsobem, než je exsikátorová metoda. Proces, kdy je materiál postupně zpětně vysušován (relativní vlhkost obklopujícího vzduchu se postupně snižuje) se nazývá desorpce. Hodnoty rovnovážné vlhkosti při desorpci jsou vyšší než při sorpci. Tento fenomén se nazývá hysterze. Pro některé materiály je hysterze důležitá (například pro dřevo) a pro některé materiály zanedbatelná. - 99 - u ucap 0 1 Obrázek 84: Hysterze sorpční křivky. V literatuře lze nalézt různá parametrická vyjádření pro průběh sorpční křivky. Například literatura [24] pro rozmezí 0,2 < < 0,98 uvádí rovnici: ln u ucrit 1 b 1 c (4.26) kde a b, c jsou parametry. Obrázek 85 ukazuje sorpční křivky pro pórobeton, dřevo a tepelnou izolaci ze skleněných vláken. 35 30 u (%) 25 20 2 15 1 10 5 0 0.1 3 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 (-) 0.7 0.8 0.9 1 Obrázek 85: Sorpční křivky pro pórobeton (1), dřevo (2) a tepelnou izolaci ze skleněných vláken (3), údaje převzaty z [24]. Sklon sorpční křivky se nazývá vlhkostní kapacita (), Obrázek 86. Tato materiálová vlastnost je analogická měrné tepelné kapacitě. Sklon sorpční křivky se mění, takže i vlhkostní kapacita se mění. Prakticky u všech stavebních materiálů lze nicméně nalézt téměř lineární průběh sorpční křivky v oblasti mezi 20 % a 70 % relativní vlhkosti. - 100 - du d (4.27) u (kg/kg) = du/d 0 (-) Obrázek 86: Definice vlhkostní kapacity. Nadhygroskopická oblast Další značné množství vody se do materiálu nasaje, pokud materiál bude s vodou v přímém kontaktu (viz Obrázek 87). Vlhkost, kterou materiál ve styku s kapalnou vodou po jisté době dosáhne, je označena jako ucap. Stále ještě nepůjde o stav, kdy dojde k úplnému naplnění všech pórů vodou. Tohoto stavu je velmi obtížné dosáhnout a experimentálně se mu lze přiblížit ve vakuu. Vlhkost ve stavu úplného nasycení pórů vodou se označuje jako usat. Obrázek 87: Pórovitý materiál ve styku s vodou. Nejprve je potřeba odpovědět na otázku proč dojde k nasávání vody do materiálu. Kvůli působení napětí v povrchové vrstvě na styku voda - vzduch a adhezních sil mezi vodou a stěnou kapiláry se voda ve styku se stavebními materiály chová jako smáčivá kapalina. Zda kapalina smáčí nebo nesmáčí, je možné určit pomocí smáčivého úhlu (viz Obrázek 88): smáčivé 0 < < 90° (ostrý úhel) → v dostatečně tenké kapiláře je vytahována i střední část hladiny vzhůru (např. voda); - 101 - nesmáčivé > 90° (tupý úhel) → kapalina v kapiláře sestoupí níže (např. rtuť). Hydrofilní povrch Hydrofobní povrch Obrázek 88: Smáčivý úhel. Smáčivost není jenom vlastností samotné kapaliny. Například pro rozhraní parafín/voda/vzduch se voda chová nesmáčivě (mazání běžeckých lyží skluznými vosky). Obrázek 89 ukazuje tenkou kapiláru vloženou do vody. Pokud je smáčivý úhel ostrý, tak voda smáčí stěnu kapiláry a kvůli povrchovému napětí je v dostatečně tenké kapiláře vytahována i střední část hladiny vzhůru. Vytváří se konkávně zakřivený meniskus kapaliny. Sání působí na rozhraní mezi vzduchem, vodou a pevnou fází a vytvoří se v dostatečně tenkých kapilárách (< 10-3 m). Kvůli zakřivení menisku je tlak vody pod hladinou v kapiláře (Pl2) mnohem nižší, než je tlak vzduchu (Pa). Voda se pohybuje z místa vyššího tlaku do místa nižšího tlaku (Pl2 << Pl1). Pohyb ustane ve výšce, ve které se vyrovná tíha sloupce vody (lgh) s kapilární tahovou sílou (2rcos()). h max 2 cos l gr (4.28) kde hmax je maximální výška, do které kapalina vystoupá (viz Tabulka 12). Výška vzlinutí je nepřímo úměrná poloměru kapiláry. Tabulka 12: Výška vzlinutí pro různé poloměry kapiláry. r (m) 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 hmax (m) 148,8 14,9 1,49 0,15 0,015 Rozdíl tlaků na rozhraní mezi vzduchem a vodou se nazývá kapilární tlak (Pc = Pa - Pl). Pro případ válcové kapiláry máme vztah (Youngova-Laplaceova rovnice): Pc Pa Pl 2 cos 2 r r (4.29) - 102 - kde Pa (Pa) je tlak vzduchu nad meniskem kapaliny (atmosférický tlak), Pl (Pa) je tlak kapaliny pod meniskem, je povrchové napětí vody vůči stěně kapiláry (0,073 N/m při 20 °C), r je poloměr kapiláry. Voda se pohybuje z místa nižšího kapilárního tlaku do místa vyššího kapilárního tlaku. Pa Pa >> Pl2 Pc2 = Pa - Pl2 Pl2 Pohyb vody Pl2 << Pl1 Pa Pa = Pl1 Pc1 = Pa - Pl1 = 0 Pl1 Obrázek 89: Válcová kapilára se smáčivou kapalinou. Ze vzorce je zřejmé, že kapilární tlak vzrůstá, když průměr kapiláry klesá (viz Obrázek 90). 300 Pc (MPa) 250 200 150 100 50 0 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 d (m) -5 10 -4 10 Obrázek 90: Závislost kapilárního tlaku na průměru kapiláry. Z termodynamiky máme vztah mezi relativní vlhkostí vzduchu nad meniskem kapaliny a kapilárním tlakem (Kelvinova rovnice), viz Obrázek 91: Pc w R vT exp (4.30) kde w je hustota vody (≈ 1000 kg/m3), Rv je plynová konstanta pro vodní páru a T je termodynamická teplota. - 103 - (-) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -1 10 0 10 1 2 10 Pc (MPa) 10 Obrázek 91: Závislost relativní vlhkosti vzduchu nad meniskem kapaliny na kapilárním tlaku. Po dosazení rovnice (4.29) do (4.30) máme: 2 1 r w RvT exp (4.31) (-) Relativní vlhkost tedy můžeme zobrazit jako závislost na průměru kapiláry (viz Obrázek 91). 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 d (m) -5 10 -4 10 Obrázek 92: Závislost relativní vlhkosti vzduchu nad meniskem kapaliny na průměru kapiláry. Obrázek 92 například ukazuje, že póry o průměru nižším než 10-8 m jsou zaplněny vodou již při relativní vlhkosti 80 % (resp. při kapilárním tlaku 30 MPa). Všechny póry o vyšším průměru jsou při relativní vlhkosti 80 % ještě prázdné. Pokud bychom znali četnost výskytu pórů v kontrolním objemu podle jejich průměru, mohli bychom dopočítat vlhkost materiálu. - 104 - Četnost výskytu pórů ale neznáme, protože struktura reálných materiálů je velmi složitá. Materiál není složený z dokonale válcových kapilár a povrch kapilár není dokonale hladký. Závislost vlhkosti materiálu na kapilárním tlaku lze experimentálně měřit. Jedna z možných metod nejprve uvede vzorek do stavu volného nasycení, tj. vzorek zkoušeného materiálu má na počátku zkoušky vlhkost wcap. Potom se vzorek umístí do tlakové nádoby, v které se skokově zvyšuje tlak. Tím se z materiálu vytlačuje voda, která se jímá v samostatné nádobce. Rovnováha nastává, pokud se při nastavené tlakové úrovni v nádobce neobjevuje další voda. Po dosažení rovnovážného stavu se tlak zvýší na vyšší úroveň a zkouška pokračuje. Výsledkem je závislost w = f(Pc). Příklad měřených dat pomocí výše popsané metody ukazuje Obrázek 93. Konec křivky (Pc ≥ 2.65 MPa) odpovídá hygroskopické oblasti. 250 (1) (2) 3 w (kg/m ) 200 hygroskopická oblast 150 100 calcium silikát cihla 50 3 4 5 6 log10(Pc) 7 8 9 Obrázek 93: Retenční křivka vlhkosti (w = f(Pc)), body (1) pocházejí z měření pomocí exsikátorů (hygroskopická oblast), body (2) pocházejí z měření pomocí tlakových zkoušek (nadhygroskopická oblast), údaje převzaty z [28]. Změna sklonu retenční křivky souvisí s vyprazdňováním pórů. Pokud má materiál velké zastoupení pórů podobné velikosti, tak se kapilární tlak nebude příliš měnit, dokud se tyto póry nevyprázdní. Takové chování je viditelné u cihly, kdy náhlý pokles retenční křivky nastává v rozmezí log10(Pc) = 4,5 ÷ 5, což odpovídá průměrům pórů 10-6 m. Analogicky k rovnici (4.27) můžeme definovat vlhkostní kapacitu materiálu, tentokrát v nadhygroskopické oblasti: du dPc (4.32) Praktickým důsledkem rovnice (4.30) je, že retenční křivku vlhkosti můžeme převést na závislost w = f(), viz Obrázek 94. - 105 - 250 3 w (kg/m ) 200 (1) (2) 150 100 cihla calcium silikát 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 (-) 1 Obrázek 94: Sorpční křivka, (1) údaje z exsikátorů, (2) údaje z tlakových zkoušek. 4.4 Difuze vodní páry Difuze je obecný termín. Jde o proces, kdy látka přechází z prostředí, kde je koncentrace látky vyšší, do prostředí s nižší koncentrací. 4.4.1 Základní vztahy Předpis pro hustotu difuzního toku vodní páry ve vzduchu gva (kg/m2s) se nazývá 1. Fickův zákon. Difuzní tok je úměrný gradientu částečných tlaků vodní páry a „teče“ ve směru opačném než vektor gradientu částečných tlaků vodní páry: g va pa pv1 vzduch gva pv2 dx Obrázek 95: Difuze vodní páry skrz vrstvu samotného vzduchu. dp v dx (kg/(m2s)) (4.33) kde pv je částečný tlak vodní páry v Pa a pa (kg/(m·s·Pa) = s) je součinitel difuze vodní páry v samotném vzduchu, který můžeme vypočítat jako: pa 2,306 10 5 Pa0 R v T Pa 1,81 T 273,15 (kg/(m·s·Pa)) (4.34) kde Pa0 je referenční tlak vzduchu a Pa je aktuální tlak vzduchu. Hodnota součinitele difuze vodní páry v samotném vzduchu je tedy závislá na tlaku a - 106 - teplotě. Pro 20 °C je to přibližně 1,9 × 10-10 kg/(m·s·Pa). Závislost na celkovém tlaku vzduchu lze pro inženýrské výpočty zanedbat (Pa0/Pa = 1). -10 pa(kg/(msPa)) 2 x 10 1.9 1.8 1.7 -20 -15 -10 -5 0 5 10 T (°C) 15 20 25 30 Obrázek 96: Součinitel difuze vodní páry v samotném vzduchu. Hustota difuzního toku vodní páry přes pórovitý materiál gv v kg/(m2s) se vyjadřuje jako: gv pa dpv dx (kg/(m2s)) kde se nazývá faktor difuzního odporu. Jedná se o bezrozměrnou veličinu nabývající hodnot v rozmezí (1,∞). Difuze přes pórovitý materiál se tedy považuje za difuzi v samotném vzduchu zmenšenou faktorem difuzního odporu, který má vyjadřovat vliv pórové struktury materiálu. Vztah (4.35) bývá také zapisován jako: gv pv1 (4.35) pórovitý materiál pv2 gv dx Obrázek 97: Difuze vodní páry skrz vrstvu pórovitého materiálu. 1 dp v N dx (kg/(m2s)) (4.36) kde N se nazývá teplotní difuzní funkce (s-1), N = 1/dpa. Jelikož hodnota N je velmi vysoká, je hustota difuzního toku velmi malá. Za předpokladu konstantní teploty je možné z rovnice (4.8) vyjádřit derivaci dpv/dx jako: dp v d v R vT dx dx (4.37) Pro hustotu difuzního toku dostaneme: - 107 - gv pa dpv d v dv pa R vT a dx dx dx (kg/(m2s)) (4.38) (kg/(m2s)) (4.39) Rovnici (4.38) lze také zapsat jako: g v p dp v d v dx dx kde je součinitel difuze v m2/s a p je součinitel difuze v kg/(m·s·Pa) = s. Vztah mezi oběma součiniteli difuze je viditelný z rovnice (4.38): p R vT (4.40) Z rovnic (4.38) a (4.39) je zřejmé, že: pa a p (-) (4.41) Faktor difuzního odporu tedy vyjadřuje, kolikrát nepropustnější je materiál vůči samotnému vzduchu. Čím vyšší je hodnota tohoto faktoru, tím je materiál nepropustnější pro vodní páru (viz Tabulka 13). Faktor difuzního odporu se měří miskovou metodou (metoda mokré nebo suché misky, viz [21] a Obrázek 98). Tabulka 13: Typické hodnoty faktoru difuzního odporu Materiál Faktor difuzního odporu (-) Vzduch 1 Minerální vlna 2÷5 Pěnový polystyrén 40 ÷ 70 Extrudovaný polystyrén 100 ÷ 200 Dřevo rovnoběžně/kolmo k vláknům 5/150 OSB desky 50 ÷ 300 SDK desky 10 Hydroizolační pás na bázi PVC 10000 ÷ 20000 Asfaltový hydroizolační pás 25000 ÷ 50000 Zdivo z plných cihel 9 Železobeton 23 ÷ 32 Hodnota faktoru difuzního odporu materiálu závisí na otevřené pórovitosti materiálu. Intuitivně lze odhadnout že, čím vyšší otevřená pórovitost, tím - 108 - více bude materiál otevřený difuzi vodní páry ( ~ 1/0). Hodnota faktoru difuzního odporu materiálu ale také závisí na klikatosti pórů . Opět lze odhadnout že, čím delší cestu musí molekula vodní páry urazit, tím vyšší bude faktor difuzního odporu ( ~ ). Obrázek 98: Misková metoda („wetcup“) pro měření faktoru difuzního odporu Zejména u hygroskopických materiálů (např. dřevo a materiály na jeho bázi) se výrazně vyšší hodnoty faktoru difuzního odporu naměří za nižších relativních vlhkostí než za vyšších relativních vlhkostí (viz Obrázek 99). 400 350 300 (-) 250 tangential radial 200 150 100 50 0 0.2 0.3 0.4 0.5 (-) 0.6 0.7 0.8 Obrázek 99: Faktor difuzního odporu dřeva jako funkce relativní vlhkosti, údaje podle [27]. Hlavní důvod pro takové chování je, že za vysokých hodnot relativní vlhkosti dochází k vytvoření ostrůvků kapaliny v tenčích pórech, a tedy k sériovému propojení vlhký vzduchu – kapalina – vlhký vzduch. Ostrůvky kapaliny zkracují cestu, kterou molekuly vodní páry musí urazit. Nyní uvažujme tenký (viz Obrázek 100). kontrolní objem - 109 - s vnitřním zdrojem vlhkosti Sm g v,x A g v,x g v,x x dx w dx Obrázek 100: Jednorozměrný kontrolní objem. Vlhkostní bilance kontrolního objemu je vyjádřena rovnicí: dm g g v,x g v,x v,x dx A Sm x dt (kg/s) (4.42) kde m (kg) je hmotnost vlhkosti v kontrolním objemu a gv (kg/m2s) je hustota difuzního toku. Pro jednoduchost předpokládáme, že do kontrolního objemu přitéká vlhkost pouze difuzí vodní páry. Po úpravě dostaneme: Adx dw g v,x Adx Sm dt x (kg/s) (4.43) Po eliminaci objemu Adx z rovnice (4.43) a zanedbání zdroje vlhkosti dostaneme: w u g d v,x t t x (kg/m3s) (4.44) Vyjádření pomocí částečných tlaků vodní páry. Po dosazení transportní rovnice (4.35)do rovnice (4.44) dostáváme: d u pa pv t x x (kg/m3s) (4.45) Rovnici (4.45) bychom chtěli úpravami převést do analogického vyjádření jako v případě vedení tepla (tj. za neznámou mít v rovnici částečný tlak vodní páry). Vlhkost materiálu lze chápat jako složenou funkci u((t)), a proto: du du d d dt d dt dt (4.46) Z předchozího textu víme, že derivace du/d vyjadřuje vlhkostní kapacitu materiálu. Po dosazení rovnice (4.46) do rovnice (4.45) dostaneme: d pa pv t x x (kg/m3s) Po dosazení za relativní vlhkost máme: - 110 - (4.47) pv pv,sat T pa pv d t x x (4.48) Abychom rovnici (4.48) upravili do zcela analogické formy k rovnici vedení tepla, musíme zavést řadu zjednodušujících předpokladů. Budeme uvažovat, že: teplota se nemění (izotermický případ), potom se také nemění částečný tlak vodní páry na mezi nasycení pv,sat(T) = pv,sat a součinitel difuze vodní páry ve vzduchu pa(T) = pa; faktor difuzního odporu je nezávislý na hodnotě relativní vlhkosti; sklon sorpční křivky je konstantní () = . Za těchto předpokladů dostaneme rovnici zcela analogickou rovnici vedení tepla: pv,sat pa 2 pv pv t d x 2 (4.49) Označíme: av p v,sat pa d p v,sat p (m2/s) d (4.50) kde av je součinitel vlhkostní vodivosti. Jedná se o veličinu analogickou teplotní vodivosti. Vyjádření pomocí hustot vodní páry. Obdobným způsobem jako v předchozím případě lze odvodit rovnici: v v,sat a 2 v t d x 2 (4.51) Vyjádření pomocí objemové vlhkosti. Vyjdeme z rovnice (4.45). Derivaci dpv/dx vyjádříme jako: dp v,sat T dp v d d p v,sat T p v,sat T dx dx dx dx (4.52) Při uvažování izotermického případu (T = konst.) se rovnice (4.52) zjednoduší na: dp v d p v,sat dx dx (4.53) Opět si pomůžeme řetězovým pravidlem o derivaci: - 111 - dp v d dw pv,sat dw pv,sat dx dw d x d dx (4.54) Dosadíme rovnici (4.54) do rovnice (4.44). Při uvažování konstantní hodnoty součinitele difuze vodní páry ve vzduchu a faktoru difuzního odporu dostaneme: w pv,sat pa 2w t d x 2 (4.55) Vyjádření pomocí relativní vlhkosti. Vyjdeme z rovnice (4.47) a posléze dostaneme: d pa pv,sat t x x (4.56) Poznámka: V reálných případech ovšem teplota není konstantní, sklon sorpční křivky není konstantní a i faktor difuzního odporu není konstantní. Zároveň předchozí odvození zanedbávalo transport vody v kapalném skupenství. Rovnice nabízí pouze základní vhled do problematiky. 4.4.2 Jednorozměrná difuze vodní páry v ustáleném stavu ve stěně Jednovrstvá stěna bez zdroje vodní páry Problém je analogický vedení tepla. Uvažujme jednorozměrnou difuzi vodní páry v ustáleném stavu ve stěně vytvořené z jedné vrstvy materiálu s tloušťkou L (viz Obrázek 101). Částečný tlak vodní páry na levé straně stěny je pv(x = 0) = pv1. Částečný tlak vodní páry na pravé straně je pv(x = L) = pv2. L pv1 pv(x) pv2 gv x Obrázek 101: Jednorozměrná difuze vodní páry v ustáleném stavu ve stěně. V ustáleném stavu je levá strana rovnice (4.48) nulová. Pro jednorozměrný případ bez zdroje vodní páry v rámci stěny (předpokládáme, že v rámci stěny nedochází ke kondenzaci) z rovnice (4.48) máme: - 112 - d pa dpv 0 dx dx (4.57) Uvažujeme-li konstantní hodnotu faktoru difuzního odporu a konstantní hodnotu součinitele difuze vodní páry ve vzduchu (T = konst.), rovnice (4.57) se zredukuje na: d 2 pv 0 dx 2 (4.58) Řešení již známe (viz rovnice (2.10)): p v x C1x C 2 (4.59) kde C1 a C2 jsou integrační konstanty. Pro hustotu difuzního toku máme: gv pa dpv pa C1 dx (4.60) Po dosazení okrajových podmínek do rovnice (4.59) získáme: C2 pv1 a C1 p v2 p v1 L (4.61) Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je: p v x p v1 x pv2 pv1 L (4.62) V ustáleném stavu je tedy průběh částečného tlaku vodní páry úsečka spojující tlaky pv1 a pv2. Hustota difuzního toku je konstantní hodnota: gv pa pv2 pv1 pv1 pv2 pv1 pv2 L L Zp pa (4.63) kde Zp (m/s) se nazývá difuzní odpor a výraz L se nazývá ekvivalentní difuzní tloušťka, která se obvykle značí jako sd (m). Ekvivalentní difuzní tloušťka se používá pro vyjádření difuzních vlastností tenkých vrstev, u kterých se nedá přesně změřit jejich tloušťka (např. fólie, nátěry). Analogicky k rovnici (2.16) můžeme psát: Zp L (m/s) p (4.64) V případě, že bychom k vyjádření hustoty difuzního toku používali gradient hustot vodní páry, dostaneme alternativní vyjádření k (4.63): - 113 - gv a v2 v1 v1 v 2 v1 v2 L L Z a (4.65) kde Z (s/m) je difuzní odpor: Z L (s/m) (4.66) Příklad 23. Uvažujte trubičku délky 0,1 m s průměrem 0,01 m. V interiéru budovy uvažujte hustotu vodní páry v1 = 0,008 kg/m3, v exteriéru v2 = 0,004 kg/m3. V trubičce je vzduch buď v klidu, anebo proudí rychlostí 0,01 m/s. Pokud je vzduch v klidu probíhá pouze difuze vodní páry: Gv = (v1 – v2/Zv) × A = 7,85 × 10-11 kg/s. V případě proudění vzduchu směrem do exteriéru: Gc = v1 × průtok vzduchu = 0,008 kg/m3 × (0,01 m/s × A) = 6,28 × 10-9 kg/s. Poměr Gc/Gv ≈ 80 (tj. rozdíl několika řádů!). Proudění vzduchu může být mnohem silnější proces než samotná difuze. Neznamená to ovšem, že difuze je nevýznamná. Prakticky po celý rok je kvůli vnitřním zdrojům vlhkost vzduchu uvnitř budov vyšší než ve venkovním prostředí → vodní pára většinu roku cestuje přes obálku budovy směrem do venkovního prostředí. Vrstvení obvodové konstrukce a okrajové podmínky potom určují, zda bude či nebude docházet ke kondenzaci vodní páry uvnitř konstrukce. Tradiční řešení je zabránit vstupu vodní páry do konstrukce (parozábrana) - pozor ale na havarijní stavy či zabudovanou vlhkost. U některých konstrukcí je parozábrana nutnost (například jednoplášťové ploché střechy). Druhý možný přístup: dostatečně difuzně otevřený venkovní plášť, který zachová možnost vysychání směrem ven. Ideální řešení je, aby difuzní odpor vrstev od interiéru k exteriéru klesal. Vícevrstvá stěna bez zdroje vodní páry Řešení je opět analogické již známému řešení jednorozměrného vedení tepla v ustáleném stavu ve vícevrstvé stěně. Pro vyjádření částečného tlaku vodní páry v místě vzdáleném x od levého kraje stěny platí analogický vztah k (2.20): pv x pv1 Z p x pv2 pv1 Zp (4.67) kde Zp(x) je difuzní odpor od levé strany stěny až do vzdálenosti x a Zp je celkový difuzní odpor stěny. Pro N materiálových vrstev platí: Zp N sd ,i i 1 (4.68) pa Situaci je výhodné si představit grafickým schématem (viz Obrázek 102). pv1 Zp(x) pv(x) Zp – Zp(x) pv2 pv1 Zp pv2 - 114 - Obrázek 102: Vlhkostní bilance uzlu pv(x) vyjádřená grafickým schématem. V ustáleném stavu je hustota difuzního toku vodní páry konstantní hodnota: gv pv1 pv2 Zp (4.69) Kondenzace vodní páry uvnitř konstrukce K vyšetření rizika kondenzace vodní páry uvnitř konstrukce se v inženýrských výpočtech používá metodika z normy [20], která vychází z literatury [22]. Zjednodušující předpoklady metody (ustálený stav, jednorozměrné šíření vodní páry, zanedbání hygroskopické povahy materiálů, zanedbání kapilárního transportu) mohou zásadně ovlivnit spolehlivost výsledků. Metoda se sestává z několika po sobě jdoucích kroků. Nejprve se vypočítá průběh teplot v konstrukci v ustáleném stavu pro uvažované teploty na krajích konstrukce. Z průběhu teplot v konstrukci se potom dopočte průběh částečného tlaku vodní páry na mezi nasycení pv,sat(x), viz vzorec (4.10). Následně vypočítá teoretický průběh částečných tlaků vodní páry pv,teor(x), viz vzorec (4.67). Průběh pv,sat a pv,teor se vynese v souřadnicové soustavě x = Zp, y = pv (viz Obrázek 103). Pokud pv,teor(x) < pv,sat(x), tak nedochází ke kondenzaci vodní páry uvnitř konstrukce. Množství vodní páry, které konstrukcí prochází, se vypočte z: gv pvi p ve Zp (4.70) Pokud pv,teor(x) ≥ pv,sat(x), tak dochází ke kondenzaci vodní páry uvnitř konstrukce. Hranice kondenzační oblasti se vymezí pomocí dotykových bodů tečen vedených z pvi a pve k průběhu pv,sat (viz Obrázek 103). Kondenzující množství se vypočte z hmotnostní bilance kondenzační oblasti: g v,cond g vA g vB (kg/m2s) (4.71) kde g vA pvi pvA p pve g vB vB a Z pA Z pB (4.72) - 115 - pv pv,sat,i Oblast kondenzace pv,sat pvi Nejvyšší možný částečný tlak vodní páry, aby nedošlo ke kondenzaci pv,teor Zp parozábrany Skutečný průběh částečného tlaku vodní páry pvA pvB gvA gvB ZpA ZpB pv,sat,e pve Zp Zp Obrázek 103: Vyšetření kondenzace vodní páry uvnitř konstrukce. V praxi se na konstrukci obvykle kladou dva požadavky. Prvním z požadavků je, aby během roku došlo ke zpětnému odpaření kondenzátu, a nedošlo tedy k postupnému zvyšování vlhkosti v průběhu životnosti konstrukce. Druhým z požadavků je, aby množství kondenzátu, který se v průběhu roku může v konstrukci nahromadit, bylo přiměřeně nízké. Maximální množství souvisí s druhem materiálů vyskytujících se v kondenzační oblasti. Pro materiály na bázi dřeva bývá za bezpečnou hodnotu považováno 0,1 kg/m2rok, pro silikátové materiály 0,5 kg/m2rok. České požadavky lze nalézt v normě [18]. 4.4.3 Jednorozměrná difuze vodní páry v neustáleném stavu Vyjdeme z rovnice (4.51). Rovnice je zcela analogická rovnici vedení tepla. Záměnou T → v, a → av dostaneme řešení. Skoková změna hustoty vodní páry na povrchu polonekonečné desky Polonekonečná deska s konstantní počáteční hustotou vodní páry v0 je vystavena skokové změně hustoty vodní páry na povrchu desky. Hustota vodní páry se v čase t0 změní z v0 na vp. - 116 - Hustotu vodní páry z analytického řešení: uvnitř polonekonečné desky můžeme z 4a vt spočítat v z , t v0 vp v0 erfc (4.73) Difuzní tok vodní páry procházející dovnitř desky (z = 0) je: g v z 0, t vp v0 a vt (kg/(m2s)) (4.74) (m/s0,5) (4.75) kde: bv av d v,sat je vlhkostní jímavost (veličina analogická tepelné jímavosti). Hodnota vlhkostní vodivosti ovlivňuje rozložení hustoty vodní páry. Hodnota vlhkostní jímavosti ovlivňuje velikost difuzního toku procházejícího dovnitř materiálu po skokové změně hustoty vodní páry na jeho povrchu. Periodicky kmitající hustota vodní páry na povrchu polonekonečné desky Polonekonečná deska je vystavena periodickému kolísání povrchové hustoty vodní páry: vp (t ) vM vA sin t (4.76) kde vM je průměrná povrchová hustota vodní páry, vA je amplituda povrchové hustoty vodní páry, t je čas. Průběh hustoty vodní páry v čase uvnitř polonekonečné desky můžeme spočítat z analytického řešení: v (z , t ) vM z dpv v Ae z sin t dpv (4.77) kde dpv (m) je periodická hloubka vlhkostní penetrace. dpv a vt p (4.78) Difuzní tok procházející dovnitř polonekonečné desky (z = 0): g v z 0, t 2 dpv 2 t vA sin tp 4 (kg/m2s) - 117 - (4.79) Příklad 24. Uvažujte stěnu omítnutou třemi centimetry hliněné omítky ( = 10, d = 1600 kg/m3, = 0,08. Uvažujte denní kolísání hustoty vodní páry na povrchu omítky. Nejprve vypočteme hloubku vlhkostní penetrace – 3 mm. Z výsledku je zřejmé, že pouze několik milimetrů z vrstvy omítky bude přispívat k ukládání vlhkosti. Hlubší vrstvy se nezúčastní denní akumulace. -3 11 x 10 v (kg/m3) 10 9 8 7 6 5 0 0.01 x (m) 0.02 0.03 Obrázek 104: Průběh hustoty vodní páry ve vrstvě omítky. Průběhy pro 2,4,…24 h. 4.5 Kapilární přenos 4.5.1 Úvod Pokud materiál při styku s vodou do své struktury vodu přijímá, tak se nazývá kapilárně aktivní, nebo někdy také hydrofilní. Opakem hydrofilního materiálu je materiál hydrofobní, tj. kapilárně neaktivní. Hydrofobizace je často provedena uměle nějakou úpravou materiálu, která zajistí tupý úhel smáčení. Příkladem mohou být hydrofobní upravené povrchové vrstvy kontaktních zateplovacích systémů. Styk stavebního materiálu s vodou v kapalné fázi může například nastat v důsledku působení větrem hnaného deště nebo působení zdroje spodní vody. Přímý styk s vodou může také být způsoben nedbalým uskladněním materiálu na stavbě nebo v důsledku netěsnosti ve vedení potrubí s vodou. Při experimentálním sledování průběhu vzlínaní kapaliny v materiálu je možné sledovat pozici rozhraní mezi kapilárně nasyceným materiálem a materiálem s vlhkostí odpovídající rovnovážnému stavu s relativní vlhkostí okolí (viz Obrázek 105). - 118 - wcap x w() Obrázek 105: Vzorek materiálu částečně ponořený do vody. U homogenních kapilárně aktivních materiálů lze pozici rozhraní v čase vyjádřit jako: x t B t (4.80) kde B (m/s0.5) se nazývá sorptivita. Pokud bychom sledovali přírůstek hmotnosti vzorku, tak u homogenních kapilárně aktivních materiálů platí: m t m t0 Aw t Ap (kg/m2) (4.81) kde Aw (kg/m2s0,5) se nazývá součinitel nasákavosti, m(t) (kg) je hmotnost vzorku v čase t, m(t) (kg) je hmotnost vzorku na počátku zkoušky a Ap (m2) je plocha vzorku, která je v kontaktu s vodou. Vztah mezi součinitelem nasákavosti Aw a sorptivitou B lze odvodit z následující úvahy. Přírůstek hmotnosti vzorku lze vyjádřit jako: m t m t 0 wcap Ap x t (kg) (4.82) Po vydělení rovnice (4.82) kontaktní plochou vzorku a dosazení rovnic (4.80) a (4.81) máme: Aw B wcap (4.83) 4.5.2 Proudění vody v kapiláře Laminární proudění kapaliny ve válcové kapiláře o poloměru r popisuje Hagen-Poisseuilleho zákon: Gl r 4 l dPl 8l dx (kg/s) - 119 - (4.84) kde l (kg/m3) je hustota kapaliny, l (kg/(m·s)) je dynamická viskozita kapaliny (index l jako liquid). Pro hustotu toku prouděním ve válcové kapiláře máme: gl Gl r 2 l dPl r 2 8l dx (kg/m2s) (4.85) Rovnici (4.85) také lze zapsat v analogické formě k rovnici (4.33): gl kl dPl dx (4.86) kde kl (kg/(m·s)) je permeabilita. Rovnici (4.86) lze pro element tloušťky x zapsat jako (viz Obrázek 106): gl Pl1 Pl 2 Pl x x kl kl (4.87) gl Pl1 x Pl2 dPl Pl 2 Pl1 x dx x Obrázek 106: Proudění tekutiny v kapiláře. Hustotu toku kapaliny zároveň lze vyjádřit jako: gl lv (kg/(m2s)) (4.88) kde v je střední rychlost proudění kapaliny v kapiláře. Dosazením rovnice (4.88) do rovnice (4.87) a následující algebraickou úpravou získáme vyjádření pro pokles tlaku v tekutině (tlakovou ztrátu) na elementu délky x: Pl 8l v x r2 (Pa) (4.89) Vodorovná kapilára Na vodu ve vodorovné kapiláře působí kapilární síla, která „táhne“ vodu směrem ven z kapiláry: Fk 2r cos (N) (4.90) Pohybující se voda je zároveň brzděna třecí silou o stěnu kapiláry: Ff r 2Pl 8l xv (N) - 120 - (4.91) Gravitační síla směřuje kolmo na směr pohybu a v rovnováze sil se tedy neuplatní. Z rovnosti Fk = Ff dostaneme: dx 2 r cos v dt 8l x (4.92) Řešení rovnice(4.92) lze získat separací proměnných: xdx x 2 r cos dt 8l (4.93) r cos t 2l (4.94) což je obdoba rovnice (4.80). Z rovnice plyne, že vodorovná kapilára může být jakkoliv dlouhá, ale pohyb nikdy neskončí (viz průběh funkce √t). Pohyb skončí jedině v případě, že kapalina dosáhne konce kapiláry a přestane tím působit kapilární síla. Svislá kapilára Uvažujme kapiláru zobrazenou (viz Obrázek 107). 2r Ff x Fg Obrázek 107: Rovnováha sil působící na kapalinu ve svislé kapiláře. Mimo kapilární síly a třecí síly působí směrem dolů tíha vody v kapiláře: Fg r 2x l g (N) (4.95) Na kapalinu v kapiláře dále může působit síla od vnějšího tlaku (např. injektáž) a třecí síla vzduchu nad meniskem kapaliny. Tyto síly nejsou v následující analýze uvažovány. Rovnováha sil (kladný směr uvažován ve směru pohybu kapaliny): Fk F f Fg 0 (4.96) Po dosazení vyjádření jednotlivých sil (rovnice (4.90) až (4.95)) a následné úpravě dostaneme: - 121 - dx 2 r cos r 2 l g v dt 8l x 8l (4.97) Obrázek 108 ukazuje průběh vzestupu kapaliny v čase vypočtený řešením rovnice (4.97). Z obrázku je zřejmé, že u silnějších kapilár kapalina vystoupá rychleji do maximální možné výšky. To je způsobeno nižším třením v takových kapilárách. U tenkých kapilár je tření významnější a brzdí proces vzlinutí. Výška vzlinutí nicméně je u tenkých kapilár mnohem vyšší. 0.15 0.15 r=10-4m r=10-4m r=10-5m r=10-5m x (m) 0.1 x (m) 0.1 0.05 0.05 r=10-6m r=10-3m 0 0 10 20 r=10-7m 30 (s) r=10-6m r=10-3m 40 50 0 0 60 1 2 3 4 (s0.5) r=10-7m 5 6 7 8 Obrázek 108: Vzestup hladiny v kapiláře o různých poloměrech v čase. 4.5.3 Kapilární přenos v matematických modelech Kapilární přenos je v numerických modelech řešen různými způsoby. Hustotu toku lze vyjádřit i pomocí kapilárního tlaku. Jelikož atmosférický tlak vzduchu uvažujeme konstantní, platí: Pc Pl (Pa) (4.98) (kg/m2s) (4.99) Lze tedy psát: g l kl dPc dx Kapalina se tedy přesunuje z místa nízkého kapilárního tlaku do místa vyššího kapilárního tlaku. Kapilární tlak je také možné vyjádřit pomocí relativní vlhkosti, viz rovnice (4.30): Pc ln w R vT (4.100) Dosazením rovnice (4.100) do rovnice (4.99) dostaneme: gl kl d ln w R vT dx kl w R v d ln T dx - 122 - (4.101) Po rozepsání derivace v rovnici (4.101) dostaneme: d ln dT gl kl w R v T ln dx dx (4.102) Po uplatnění pravidla o derivaci složené funkce dostaneme: 1 d dT gl kl w Rv T ln dx dx (4.103) Jelikož se pohybujeme v nadhygroskopické oblasti, je přirozený logaritmus relativní vlhkosti téměř nula. Druhý člen v rovnici (4.103) tedy je možné zanedbat. Posléze dostáváme: gl kl w R vT d dx (4.104) 4.6 Proudění vzduchu Přenos vodní páry může také být důsledkem proudění vzduchu. Proudící vzduch s sebou unáší v něm obsaženou vodní páru a přemisťuje ji například v potrubí nebo ve stavební konstrukci. Tok vodní páry je dán objemovým tokem vzduchu vynásobeným hustotou vodní páry: Gv Va v (kg/s) (4.105) (m3/s) (4.106) kde Va je objemový průtok vzduchu: G Va a a Pokud vzduch proudí podél povrchu a existuje rozdíl mezi hustotou vodní páry v proudícím vzduchu a hustotou vodní páry v těsné blízkosti povrchu, nastane přenos vodní páry prouděním. Mechanismus se označuje jako přestup vodní páry prouděním a je analogický přestupu tepla prouděním. Tok vodní páry gv v kg/(m2s) je dán jako součin součinitele přestupu vodní páry (m/s) a rozdílu hustot vodní páry: g v v vp (4.107) Součinitel přestupu vodní páry závisí na rychlosti proudění v blízkosti povrchu a lze ho vypočítat ze součinitele přestupu tepla prouděním: - 123 - c ac a (4.108) kde a je hustota vzduchu a ca je měrná tepelná kapacita vzduchu. Analogicky k definici odporu při přestupu tepla můžeme zavést odpor při přestupu vodní páry: Z s 1 (4.109) Orientační hodnoty odporů při přestupu vodní páry používané ve stavební fyzice: 360 s/m (vnitřní povrch), 60 s/m (vnější povrch). Hodnoty jsou v porovnání s difuzními odpory vrstev v konstrukci o několik řádů nižší, a proto se často zanedbávají. Zásadní význam naopak mají při kvantifikaci odparu z volné hladiny anebo vysychání materiálu. Vzduch v těsné blízkosti povrchu konstrukce má přibližně stejnou teplotu jako je teplota jejího povrchu. Maximální množství vodní páry, které je vzduch v těsné blízkosti povrchu schopen pojmout, tedy je v,sat(Tp). Vzduch v okolí povrchu má hustotu vodní páry označenou jako v. Ke kondenzaci vodní páry na povrchu konstrukce dojde, pokud: v v,sat Tp (4.110) Kondenzující množství je dáno jako: g v,cond v v,sat Tp (4.111) Pokud bude povrch mokrý po předchozí kondenzaci a hustota vodní páry v okolí povrchu klesne pod hustotu vodní páry na mezi nasycení, dojde k vypařování vodní páry z povrchu do obklopujícího vzduchu. Vypařující množství se taktéž vypočítá podle (4.111). Růst plísní na vnitřním povrchu konstrukce souvisí s hodnotou relativní vlhkosti vzduchu při povrchu. Udává se, že pokud je dlouhodobě překročena 80% relativní vlhkost vzduchu při povrchu, je vysoká pravděpodobnost růstu plísní na povrchu. Aby se růst plísní na povrchu vyloučil, musí teplota vnitřního povrchu nabývat hodnoty takové, aby byla splněna podmínka: v 0, 8 v,sat Tp (4.112) Nejnižší vnitřní povrchové teploty obvodového pláště jsou dosahovány v místech tzv. tepelných mostů. Vhodným konstrukčním řešením je možné tyto slabá místa úplně eliminovat, nebo alespoň omezit do té míry, že - 124 - hodnota povrchové teploty bude dostatečně vysoká ke splnění podmínky (4.112). 4.7 Úlohy k procvičení Ú1. Jaká může být maximální relativní vlhkost vnitřního vzduchu, při které by ještě nedocházelo ke kondenzaci vodní páry na vnitřním povrhu stěny před zateplením (viz obr. b))? Tepelné odpory při přestupu tepla uvažujte hodnotami 0,13 m2K/W na vnitřní straně a 0,04 m2K/W na vnější straně. Vnitřní teplota je 20 °C, venkovní -12 °C. Jaká může být maximální relativní vlhkost vnitřního vzduchu, aby nedocházelo ke kondenzaci vodní páry na vnitřním povrchu stěny zateplené polystyrenem (viz obr. a))? Odhadněte, o kolik by se zvedla přípustná relativní vlhkost vnitřního vzduchu z části b), kdyby bylo zateplení provedeno minerální vlnou namísto polystyrenem? Odpověď zdůvodněte. Ú2. Jakou tloušťku by musela mít tepelná izolace, viz obrázek, aby povrchová teplota na vnitřní straně konstrukce byla 17,5 °C? Teplota v interiéru je 21 °C, v exteriéru -10 °C. Tepelná izolace je umístěna na exteriérové straně konstrukce. Tepelné odpory při přestupu tepla uvažujte hodnotami 0,13 m2K/W na vnitřní straně, resp. 0,04 m2K/W na venkovní straně. Odhadněte, jaká by musela být relativní vlhkost v interiéru, aby tato povrchová teplota byla zároveň rosným bodem. Postup odhadu zakreslete do grafu a okomentujte. - 125 - Ú3. Uvažujte budovu, v které trvale působí zdroj vlhkosti o velikosti 10 kg/den. Větrací jednotka přivádí do budovy vzduch o koncentraci vodní páry 4 g/m3. Vypočtěte, kolik vzduchu musí být přivedeno, aby koncentrace vodní páry uvnitř budovy nepřesáhla 6 g/m3. Ú4. Uvažujte budovu vytápěnou na konstantní teplotu 20 °C. Uvnitř budovy trvale působí zdroj vlhkosti o velikosti 10 kg/den. Větrací jednotka přivádí do budovy za hodinu 100 m3 vzduchu o koncentraci vodní páry 4 g/m3. Vypočtěte koncentraci vodní páry uvnitř budovy. Ú5. Uvažujte sklenici, na jejíž dno nalejete trochu horké vody. Dojde posléze někde na povrchu sklenice ke kondenzaci vodní páry? Pokud odpovíte ano, nakreslete, v kterém místě sklenice by se objevily kapičky vody. Svoji odpověď zdůvodněte. Ú6. Teplota uvnitř nevětrané uzavřené místnosti je 20 °C a koncentrace vodní páry je 10 g/m3. Které z následujících tvrzení platí, jestliže ohřejeme vzduch v místnosti na 30 °C? a) b) c) d) Relativní vlhkost zůstane konstantní. Absolutní vlhkost se zvýší. Relativní vlhkost se sníží. Teplota rosného bodu zůstane stejná. Ú7. Jakým způsobem snížíte riziko kondenzace vodní páry na vnitřním povrchu obvodové stěny? a) b) c) d) e) f) Zvětšením tloušťky tepelné izolace ve skladbě stěny. Snížením vlhkosti vzduchu v okolí stěny. Umístěním parozábrany ve skladbě stěny. Zvýšením teploty vzduchu v okolí stěny. Umístěním vzduchotěsné vrstvy ve skladbě stěny. Ofukováním vnitřního povrchu stěny teplým vzduchem. Ú8. Na zrcadle se v koupelně při sprchování vytvoří kapičky vody. V jaké z místností by se kapičky objevily dříve a ve větší míře? Uveďte proč! - 126 - a) V chladné místnosti. b) V teplé místnosti. Ú9. U odebraného vzorku dřeva jste zjistili hmotnostní vlhkost 10 %. Vypočtěte kolik vlhkosti je obsaženo v 1 m3 daného vzorku (uvažujte objemovou hmotnost v suchém stavu hodnotou 450 kg/m3). Ú10. Vypočtěte maximální objemovou hmotnost keramzitbetonu. Předpokládejte, že se póry zaplní vodou o hustotě 1000 kg/m3. Znáte následující parametry: Objemová hmotnost v suchém stavu = 1300 kg/m3, Hustota pevné fáze = 2600 kg/m3, Poměr otevřené pórovitosti k celkové pórovitosti = 0,65. - 127 - 5 Tepelná a vlhkostní bilance budov 5.1 Tepelná bilance budovy v ustáleném stavu 5.1.1 Úvod Tepelná bilance budovy zahrnuje následující tepelné toky (viz Obrázek 109): tepelné zisky ‐ od slunce Φs; ‐ od vnitřních zisků Φi (teplo od obyvatel a elektrického vybavení); ‐ od soustavy vytápění a chlazení Φp (teoretický výkon zdroje tepla); akumulaci tepla Φacu; tepelné ztráty ‐ tepelný tok prostupem tepla přes obvodové konstrukce ΦT; ‐ tepelný tok větráním ΦV. s i p Ti T V acu Te Tacu Obrázek 109: Tepelná bilance budovy. Tepelná bilance budovy může být zapsána jako: s i p T V acu 0 (5.1) Změna teploty akumulační hmoty uvnitř budovy znamená změnu akumulovaného tepla. Tepelný tok do akumulační hmoty lze vyjádřit jako: acu C dTacu dt (5.2) kde C (J/K) je účinná tepelná kapacita budovy. Ukládání tepla v budovách obvykle probíhá s periodou jednoho dne. Během dne se akumulační hmota ohřívá, zatímco v noci se akumulované teplo uvolňuje zpět. Pokud zvolíme časový krok výpočtu dostatečně dlouhý, tak se střední hodnota tepelného toku do akumulační hmoty blíží nule, a proto: - 128 - s i p T V 0 (5.3) Všechny tepelné toky v rovnici (5.3) jsou uvažovány jako průměrné hodnoty za dostatečně dlouhé časové období. V technické praxi se obvykle používá časový krok jednoho měsíce. Tepelné ztráty můžeme zapsat jako: T V H T H V T i T e H T i T e (5.4) kde Te je venkovní teplota, Ti je vnitřní teplota a H (W/K) je celkový měrný tepelný tok budovy (prostup + větrání). Jeho velikost souvisí s tloušťkou tepelné izolace v obvodových konstrukcích, intenzitou větrání, účinností zpětného získávání tepla, ale také s procentuálním zastoupením oken v obvodovém plášti zóny. Měrný tepelný tok H lze vyjádřit jako: H U em A 1 r nV ai ac a U tot A 3600 (5.5) kde Uem (W/(m2K)) je průměrný součinitel prostupu tepla obálky budovy (viz kapitola 2.5.8), A je teplosměnná plocha obálky v m2, n je intenzita větrání v h-1, Vai je objem vzduchu v budově v m3, r (-) je účinnost zpětného získávání tepla, a je hustota vzduchu, ca je měrná tepelná kapacita vzduchu. Literatura [16] definuje normové metody výpočtu měrného tepelného toku prostupem i větráním. Φs Φi HT Ti HV Φp Te Te Obrázek 110: Schéma tepelné bilance budovy v ustáleném stavu. Nejprve nás zajímá situace, která neuvažuje zisky od systému vytápění a chlazení (Φp = 0). Režim bude označovaný jako tzv. free-floating. Za tohoto předpokladu se průměrná vnitřní teplota zóny za zkoumané období vypočítá jako: i TiFF Te s H (5.6) V případě, že uvažujeme se zisky od soustavy vytápění a chlazení (Φp ≠ 0), dostaneme: i p Ti Te s H H (5.7) - 129 - Z porovnání rovnic (5.6) a (5.7) plyne, že výsledná vnitřní teplota je součtem teploty ve free-floating režimu a příspěvku od systému vytápění a chlazení (viz Obrázek 111): Ti TiFF p H (5.8) T Ti,min Požadovaná teplota Skutečný průběh p H Ti FF s i H Te Skutečný průběh t t t t Obrázek 111: Grafické znázornění rovnice (5.8). Tepelný tok, který musí být dodaný, aby se udržela návrhová vnitřní teplota Ti,min je: p H Ti,min TiFF (5.9) Po dosazení rovnice (5.6) do rovnice (5.9) dostaneme: p H Ti,min Te s i (5.10) Rovnice (5.10) vyjadřuje přímku se sklonem daným hodnotou měrného tepelného toku a s průsečíkem definujícím hodnotu solárních a vnitřních zisků (viz Obrázek 112). p vysoké H nízké H H Ti,min Te s i Obrázek 112: Grafické vyjádření rovnice (5.10). - 130 - Potřeba tepla na vytápění se vypočte jako: t2 t2 t1 t1 Qp pdt H Ti,min TiFF dt H Ti,min TiFF t H H (5.11) kde H (K·s) je povrch mezi teplotou ve free-floating a návrhovou vnitřní teplotou (viz Obrázek 113). T Ti,min Návrhová vnitřní teplota p H H Ti FF s i H Te t t t t Obrázek 113: Definice povrchu H. Některé situace, které mohou nastat, je vhodné zdůraznit: 1) Tepelná ztráta je dominantním členem v bilanční rovnici: H Ti,min Te s i p H Ti,min Te (5.12) Potřeba tepla na vytápění je přímo úměrná celkovému měrnému tepelnému toku. Budovy v chladném klimatu, zejména staré ještě nezateplené budovy, by mohly být dobře popsány rovnicí (5.12). 2) Tepelná ztráta větráním je vyrovnána tepelnými zisky. H V Ti,min Te s i p H T Ti,min Te (5.13) Potřeba tepla na vytápění je přímo úměrná měrnému tepelnému toku prostupem tepla. 3) Hodnoty tepelných ztrát a tepelných zisků si jsou podobné, a tedy tepelné zisky nemohou být zanedbány. Všechny nové budovy splňující nynější požadavky (a to i v chladném podnebí) patrně budou v této skupině. V praxi musí být kvůli účinnosti zdroje tepla dodáno do budovy více tepla, než je teoretická potřeba tepla na vytápění, a proto: - 131 - p,real p (W) SYS (5.14) kde sys (-) je celková účinnost systému vytápění a Φp,real je skutečný tepelný výkon zdroje tepla. Systémová účinnost v sobě zahrnuje například ztráty při spalování, distribuci, ukládání tepla, atd. Přesnou hodnotu není v praxi jednoduché stanovit. V deklarativních výpočtech se používají dohodnuté hodnoty účinností (viz Tabulka 14). Tabulka 14: Účinnost několika systémů vytápění (podle [31]) Systém vytápění sys Plynové vytápění (standard) 0,84 Plynové vytápění (nízkoteplotní) 0,90 Plynové vytápění (kondenzační) 0,95 Tepelné čerpadlo COP×0,95 Elektrické vytápění 0,93 Kotel na dřevo se zásobníkem tepla 0,70 Kotel na peletky se zásobníkem tepla 0,80 Po dosazení rovnice (5.14) do rovnice (5.10) a následném přeskupení dostaneme: p,real k1 k 2Te (5.15) kde průsečík k1 je: k1 HTi,min s i sys a konstanta k2 je sklon: Φp,real k1 k2 Te Te0 Obrázek 114: Grafické vyjádření rovnice (5.15). - 132 - k2 H sys (5.16) Teplota Te0 (viz Obrázek 114) označuje venkovní teplotu, při které se začíná budova vytápět. Průsečík hodnoty teploty Te0 a průběhu teploty venkovního prostředí definuje délku období vytápění (viz Obrázek 116). Spotřeba tepla na vytápění může být snížena (viz Obrázek 115): snížením celkového měrného tepelného toku (1), což představuje zateplení či zavedení systému mechanického větrání, snížením požadované vnitřní teploty, anebo zvýšením tepelných zisků (2), zvýšením systémové účinnosti (3), což představuje výměnu zdroje tepla či otopné soustavy za zdroj či soustavu s vyšší účinností. (2) (3) Φp,real Před zavedením úsporných opatření (1) Te Obrázek 115: Spotřeba tepla na vytápění po zavedení úsporných opatření. T Te0 období bez vytápění t Te 1 rok Obrázek 116: Délka období vytápění. 5.1.2 Model podle ČSN EN ISO 13790 Evropské země používají normu [19] k výpočtu potřeby tepla na vytápění. Tepelná bilance budovy (viz Obrázek 117) je zde vyjádřena jako: Q p Q T Q V Qs Q i (J) (5.17) kde QT + QV (J) je potřeba tepla na krytí tepelných ztrát, Qs (J) jsou solární tepelné zisky, Qi (J) jsou vnitřní tepelné zisky, a Qp (J) je potřeba tepla na vytápění. Rovnice (5.17) je analogická rovnici (5.10) s jednou výjimkou, která - 133 - se nazývá faktor využitelnosti tepelných zisků (-).Faktor využitelnosti tepelných zisků zahrnuje skutečnost, že pouze část vnitřních a solárních tepelných zisků je využita ke snížení potřeby tepla na vytápění, zbytek vede k nechtěnému zvyšování vnitřní teploty nad požadovanou teplotu Ti,min. Solární Nevyužitelná část tepelných zisků zisky Qs (Qi + Qs) Tepelné ztráty QV větráním Potřeba tepla na vytápění Qp Spotřeba tepla na vytápění Qp/sys Celková spotřeba energie na vytápění Vnitřní zisky Ztráty systému vytápění (např. ztráty Qi při spalování, ztráty potrubí mimo budovu,…) Tepelné ztráty QT prostupem Pomocná energie Oběhová čerpadla Ventilátory Měření a regulace Obrázek 117: Tepelná bilance budovy podle [19]. Rovnice (5.17) může být zapsána ve tvaru: p t T V t s i t (J) (5.18) kde t (s) je časový krok výpočtu a (W) jsou jednotlivé tepelné toky (průměrné hodnoty za časový krok výpočtu). Tepelné ztráty jsou vypočteny pro požadovanou vnitřní teplotu: T V H Ti,min Te (5.19) Solární zisky do budovy lze vyjádřit jako: s AGh,totG Gh (W) (5.20) kde GGh (W/m2) je globální ozáření na vodorovnou rovinu, AGh,tot (m2) je účinná plocha solární apertury celé budovy (další informace viz kapitola 5.1.3). Po dosazení rovnic (5.19) a (5.20) do rovnice (5.18): sys p,real U tot A T i,m in T e A G h,totG G h i - 134 - (W) (5.21) Celkový součinitel prostupu tepla a účinná plocha solární apertury závisí na ploše oken, takže tyto parametry nejsou zcela nezávislé. Kvůli porovnání mezi budovami se celková spotřeba vztahuje k nějaké geometrické charakteristice budovy. Pokud se rovnice (5.21) vydělí vytápěným objemem budovy, dostaneme: sys p,real V U tot A A Ti,min Te Gh,tot G Gh i (W/m3) V V V (5.22) Součin UtotA/V vyjadřuje tepelnou ztrátu budovy při teplotním rozdílu 1 K vztaženou na 1m3 vytápěného objemu (rozměr W/(m3K)). Poměr A/V (1/m) se nazývá faktor tvaru budovy a vyjadřuje skutečnost, že měrné tepelné ztráty je možné snížit zmenšením ochlazované plochy při zachování vytápěného objemu (zvýšení kompaktnosti, resp. snížení členitosti). Zvýšení kompaktnosti využívají například tučňáci v koloniích, či právě narozená mláďata choulící se k sobě. Faktor tvaru je také jedním z důvodů, proč jsou novorozenci velmi náchylní k podchlazení. 6/a 5/a 4,67/a 4,5/a 4/a 3,67/a 3,5/a Obrázek 118: Faktor tvaru A/V. V inženýrské praxi se potřeba tepla na vytápění vztahuje k vytápěné podlahové ploše. Toto není příliš šťastné, protože definice vytápěné plochy bohužel není vždy jednoznačná, na rozdíl od definice vytápěného objemu. Rovnici (5.22) lze zapsat jako: p,real k1 Ti,min Te k2G Gh k3 V (5.23) kde Φp,real/V (W/m3) je skutečný výkon systému vytápění vztažený na 1m3 vytápěného prostoru. Konstanty k1, k2 and k3 jsou definovány: k1 AGh,tot i U tot A ; k2 ; k3 sys V sys V sys V (5.24) Rovnice (5.23) vyjadřuje rovinu, viz Obrázek 119. Z rovnice (5.23) je zřejmé, že pro minimalizaci spotřeby tepla na vytápění by se měly minimalizovat parametr k1, resp. maximalizovat parametry k2 a k3. Parametr k1 zejména závisí na tepelně izolační kvalitě obvodového pláště. Protože větrání závisí na uživateli, je nicméně tento parametr také závislý na uživatelském chování. Parametr k2 závisí na celkovém architektonickém návrhu budovy, ale někdy - 135 - také na uživatelském chování (pokud je přítomné ovladatelné stínění). Parametr k3 závisí zejména na uživatelském chování. Všechny tři parametry zároveň závisí na účinnosti systému vytápění. Nulový měrný výkon (Φp,real/V = 0) je daný jako: GGh k1 k Ti,min Te 3 k2 k2 (5.25) k2 k3/k2 Φp,real/V k3/k1 k3 k1 G Gh Ti,min Te Φp,real/V = 0 Obrázek 119: Měrný výkon systému vytápění. Rovnici (5.23) lze také zapsat jako: p,real k 0 k1Te k 2G Gh V (5.26) kde parametr k0 je definovaný jako: k0 k1Ti,min k3 (5.27) Rovnice opět vyjadřuje rovinu, viz Obrázek 120. Φp,real/V k0 k0/k1 Te k2 k0/k2 Φp,real/V = 0 k1 G Gh Obrázek 120: Měrný výkon vytápění. - 136 - 5.1.3 Solární tepelné zisky do budovy Solární zisky prostupují do dobře tepelně izolované budovy zejména přes zasklení oken. Solární zisk přes okno (průměrná hodnota během výpočtového kroku) může být vyjádřený jako: s 0,9g 0Fsh AwG Gt AGtG Gt (5.28) kde g0 (-) je energetická propustnost zasklení pro kolmý úhel dopadu, Aw (m2) je celková plocha okna. Faktor stínění Fsh (-) vyjadřuje souhrnný vliv stínění rámem okna, ostěním, nadpražím, horizontem s venkovními překážkami, a případnými vodorovnými markýzami a vertikálními žebry. Faktor 0,9 snižuje energetickou propustnost kvůli šikmému úhlu dopadu. V obvodovém plášti budovy je zabudováno N oken. Každé okno má svoji vlastní plochu, energetickou propustnost a faktor stínění. Celkový solární zisk do budovy se vypočte jako: s,tot AGt,1G Gt,1 AGt,2G Gt,2 ... AGt,N G Gt,N (5.29) Rovnici (5.29) lze zapsat jako: s,tot Aw,Gt,1 GGt,1 G G GGh Aw,Gt,2 Gt,2 GGh ... Aw,Gt,N Gt,N GGh GGh GGh GGh (5.30) Neboli: s,tot AGh,totG Gh (5.31) kde Agh,tot (m2) je účinná plocha solární apertury celé budovy. AGh,tot AGt,1 GGt,1 G G AGt,2 Gt,2 ... AGt,M Gt,N GGh GGh GGh (5.32) 5.1.4 Vnitřní tepelné zisky Vnitřní tepelné zisky se sestávají z tepelných zisků od obyvatel budovy a tepelných zisků od umělého osvětlení a elektrických zařízení. Průměrné vnitřní zisky se často vztahují k vytápěné ploše budovy. V literatuře lze nalézt hodnoty od 2 W/m2 do 6 W/m2. Vyšší hodnoty odpovídají menším bytům, zatímco nižší hodnoty odpovídají velkým bytům či rodinným domům (viz Tabulka 15). Tabulka 15: Hodnoty vnitřních zisků v bytových domech Počet obyvatel Podlahová Spotřeba - 137 - Φos** Φel qos qel qi plocha (m2) elektrické energie (osvětlení+ vybavení) (kWh/year)* (W) (W) (W/m2) (W/m2) (W/m2) 1 dospělý 30 1250 42 143 1,40 4,76 6,16 2 dospělí 45 2000 84 228 1,87 5,10 6,97 2 dospělí+ 1 dítě 60 2500 112 285 1,87 4,75 6,62 2 dospělí + 2 děti 75 3000 140 342 1,87 4,56 6,43 2 dospělí + 2 děti 150 3000 140 342 0,93 2,28 3,21 2 dospělí + 2 děti 250 3000 140 342 0,56 1,37 1,93 *Pravděpodobné hodnoty pro podmínky ČR. Okolo průměrné hodnoty lze nicméně očekávat veliký rozptyl, kvůli rozdílným uživatelským zvyklostem. **Průměrná přítomnost osob se předpokládala 70 %. Uvažujme jednoduchou budovu, viz Obrázek 62. Budova má N podlaží. Vnitřní zisky lze vyjádřit jako: i q i f i A pN (5.33) kde faktor fi (-) redukuje celkovou zastavěnou plochy o plochu obvodových stěn a příček a qi (W/m2) jsou vnitřní zisky vztažené k vytápěné ploše budovy. Vnitřní zisky vztažené k vytápěnému objemu lze vyjádřit jako: qi i q i f i Ap N 1 V hAp h0 fi (5.34) kde h0 je konstrukční výška (h0 = h/N). Protože parametry h0 a fi vykazují malou variabilitu, lze používat následující přibližný vztah: i q i V 3,3 (5.35) 5.2 Tepelná bilance budovy v neustáleném stavu 5.2.1 Úvod Nevýhodou metod s dlouhým krokem výpočtu je jejich malá rozlišovací schopnost. Simulační modely, které pracují s krátkým krokem výpočtu - 138 - (obvykle jedna hodina), nabízejí podstatné výhody: možnost jednoznačnějšího zadání rychle se měnících vstupních údajů a možnost předpovědi okamžité hodnoty teploty uvnitř zóny. Model s krátkým krokem výpočtu musí zahrnout vliv akumulace tepla v konstrukci budovy. Základní analýzu problému provedeme na jednouzlovém modelu budovy (viz Obrázek 121). Model lze matematicky zapsat jako: C d Ti g H Ti Te dt (5.36) kde C (J/K) je účinná tepelná kapacita budovy. Výraz na levé straně rovnice (5.36) je zjednodušeným modelem akumulace tepla v budově. Zjednodušeně se předpokládá, že akumulační hmota uvnitř budovy je okamžitě dostupná k akumulaci tepla (tj., že platí Ti = Tacu). Φg = Φs + Φi + Φp Ti H Te C Obrázek 121: Schéma jednouzlového simulačního modelu. Účinná tepelná kapacita budovy ovlivňuje množství akumulovaného tepla v budově. Její velikost zejména souvisí s materiály, z kterých jsou vytvořeny vnitřní povrchy v budově. Účinnou tepelnou kapacitu lze chápat jako: C Cext Cint Cfur (5.37) kde Cext je účinná tepelná kapacita ve stavebních prvcích napojených na venkovní prostředí (stěny, střecha), Cint je účinná tepelná kapacita ve stavebních prvcích uvnitř budovy (příčky, strop, podlaha na terénu), Cfur je tepelná kapacita nábytku uvnitř budovy. Cext Cint A j j (5.38) j kde index j značí stavební prvek, A je plocha prvku, je plošná tepelná kapacita v J/(m2K), kterou je možné vypočítat postupem z [15]. Místnost s oknem na jediné fasádě je důležitým jednoduchým případem. Pro takovou místnost bez zisků od otopné soustavy a vnitřních zisků (freefloating režim) lze jednouzlový simulační model podle rovnice (5.36) přepsat do následujícího tvaru: C dTiFF AGtG Gt H TiFF Te dt (5.39) - 139 - kde TiFF je teplota uvnitř zóny ve free-floating režimu, GGt (W/m2) je globální ozáření fasády, Te je venkovní teplota a AGt (m2) je účinná sběrná plocha okna. Za zjednodušujícího předpokladu, že se účinná tepelná kapacita, účinná plocha zasklení a měrný tepelný tok uvažují jako konstanty, lze rovnici (5.39) přepsat do následujícího tvaru, viz [13]: TiFF Te G Gt C dTiFF dt (5.40) kde parametry C (s) a (m2K/W) jsou poměry: C C H (5.41) AGt H (5.42) Teplotu uvnitř zóny ve free-floating režimu (Obrázek 122) tedy ovlivňují dva parametry C a , které můžeme ovlivnit stavebním řešením. Dále teplotu uvnitř zóny ve free-floating režimu ovlivňuje klimatická lokalita – v čase se měnící Te, GGt. Intenzita solárního záření je dále ovlivňována natočením místnosti ke světovým stranám. Pokud se teplota uvnitř zóny ve free-floating režimu pohybuje v definovaném pásu komfortu (např. 20 až 27 °C), tak je dosaženo stavu, kdy zónu není potřeba vytápět ani chladit, a zároveň je pravděpodobně dosaženo tepelné pohody. Ti Ti,max Pásmo komfortu TiFF(t) Ti,min t t t Obrázek 122: Teplota uvnitř místnosti ve free-floating režimu. Nyní se zabývejme stejnou místností (místnost s okny na jediné fasádě), ale s vlivem systému vytápění a chlazení (Φp ≠ 0). Rovnici (5.36) upravíme na: dTi p Ti Te G Gt C dt H (5.43) Výsledná vnitřní teplota je tedy součtem teploty ve free-floating režimu a příspěvku od systému vytápění a chlazení: - 140 - Ti TiFF p H (5.44) Nyní mohou nastat tyto možnosti: 1. Vnitřní teplota ve free-floating režimu TiFF se nachází mezi teplotami Ti,min a Ti,max, potom není potřeba zásahu systému vytápění a chlazení (p = 0); 2. TiFF < Ti,min, okamžitý výkon dodávaný systémem vytápění je: Hp H Ti,min TiFF (5.45) Potřeba tepla na vytápění se vypočte: Q pH t2 t2 t2 t1 t1 t1 H p dt FF FF H Ti,min Ti dt H Ti,min Ti dt H H (5.46) 3. TiFF > Ti,max, okamžitý výkon dodávaný systémem chlazení je: Cp H Ti,max TiFF (5.47) Potřeba tepla na chlazení se vypočte: Q pC t2 t2 t2 t1 t1 t1 C p dt FF FF H Ti,max Ti dt H Ti,max Ti dt H C (5.48) C(C,) Ti Ti,max Pásmo komfortu TiFF(t) Ti,min H(C,) t t t Obrázek 123: Vysvětlení ploch H a C. Potřeby tepla jsou tedy závislé na: hodnotě teploty, na kterou chceme vytápět či chladit; průběhu vnitřní teploty ve free-floating režimu, který závisí na parametrech C; a také na měrném tepelném toku H, který v rovnicích (5.46) a (5.48) vystupuje jako násobitel. - 141 - Z analýzy je též zřejmé, že několik konstrukčně různých zón může mít identický průběh vnitřní teploty ve free-floating režimu, ale rozdílné potřeby tepla na vytápění a chlazení kvůli rozdílné hodnotě měrného tepelného toku H. Rovnici (5.36) je možné pro některé situace řešit analyticky. První situací, kterou je možné prostředky matematické analýzy vyřešit, je skoková změna okrajových podmínek. Počáteční vnitřní teplota je označena jako Ti(t) = Ti0. V čase t t0 působí konstantní zisk Φg a konstantní teplota Te. Řešením rovnice (5.36) pro tuto situaci je: 1 Ti (t ) Te t t 0 g (Ti0 Te g )e C H H (5.49) kde c je časová konstanta budovy, viz rovnice (5.41). V čase, který je větší, než trojnásobek časové konstanty je vliv exponenciálního členu v rovnici (5.49) zanedbatelný. Budova se v tomto čase téměř nachází v novém ustáleném stavu. Běžná hodnota časové konstanty u budov je delší než 24 h. V ustáleném stavu (e-∞ → 0): Ti Te g H (5.50) Druhou situací, kterou lze analyticky vyřešit je periodická změna okrajových podmínek. Venkovní teplota Te v tomto případě harmonicky kmitá okolo průměrné teploty Te s úhlovou frekvencí a amplitudou Te. Te (t ) Te Te sin t (5.51) Tepelné zisky Φg do zóny jsou definovány podobnou periodickou funkcí. g (t ) g g sin t (5.52) Řešením rovnice (5.41) pro tyto okrajové podmínky je: 1 t g g 1 c sin cos Ti t Te T t t C e e C 1 1 2 2 (5.53) H H C kde konstanta C1 je: C1 Ti0 Te g C g Te 2 2 H 1 C H - 142 - (5.54) Kvazistacionární stav Ti Ti Ti Ti0 t Obrázek 124: Kvazistacionární stav. V čase t= ∞ se e limitně blíží nule. Řešení v kvazistacionárním stavu (viz Obrázek 124) proto neobsahuje exponenciální člen. Další zjednodušení je možné, protože: sin t C cos t C cos t (5.55) A následně: C 1 2 2 C 1 C (5.56) Vnitřní teplotu lze tedy přibližně vyjádřit jako: Ti (t ) Ti Ti cos t Ti Ti sin t 2 (5.57) kde: T i Te Ti g H (5.58) g 1 Te C H (5.59) Průměrná vnitřní teplota v kvazistacionárním stavu je teplota v ustáleném stavu (dlouhodobě působící průměrné okrajové podmínky) a nezávisí na akumulačních schopnostech budovy, ale pouze na poměru mezi průměrnými zisky a měrným tepelným tokem (tepelně izolační schopností budovy). Tlumení kolísání vnitřní teploty závisí na časové konstantě budovy. 5.2.2 Modely se sdruženými parametry Matematická analýza jednouzlového modelu budovy (model prvního řádu) poskytla důležitý základní vhled do problematiky dynamického tepelného chování budov. Jednouzlový model je však příliš zjednodušený na to, aby byl použitelný pro praktické výpočty. Tepelná kapacita ve skutečnosti není - 143 - okamžitě dostupná a je nějakým způsobem rozmístěna ve stavebních prvcích. V této kapitole chceme odvodit zjednodušené modely se združenými parametry, které umožní přesnější výpočty než model 1.řádu. Cílem je vytvoření inženýrského simulačního modelu s redukovaným množstvím vstupních údajů a jednoduchou strukturou. Model by měl umožnit přiměřeně přesnou předpověď okamžitých hodnot potřeb tepla na vytápění, chlazení a průběhu vnitřní teploty. Logickým přáním uživatele je zachovat obdobnou strukturu vstupních údajů jako má měsíční metoda. Budovy se obvykle skládají z těchto stavebních prvků: Konstrukce ve styku s venkovním prostředím (Ext) - obvodové stěny (We) a střecha (R); Okna (W); Vnitřní konstrukce (Int) – vnitřní nosné stěny (Wi), příčky (P), stropy (C); Konstrukce ve styku se zeminou – (F); Je zřejmé, že struktura modelu bude vycházet z této topologie. Pro jednoduchost se budeme zabývat konkrétní místností, viz Obrázek 125. We1 W 5 1 Wi Tae 2 Tai 3 4 We2 P Obrázek 125: Modelová místnost. Podrobný model přenosu tepla v modelové místnosti může být poměrně rozsáhlý (viz Obrázek 126). Je zřejmé, že takový model obsahuje větší počet uzlů, a že se jedná se o strukturu s několika podobnými paralelními větvemi. - 144 - Φc Tae Větrání Tae Tai We1 1 Tr1 Tae Φr,1 We2 2 Tr2 Wi 3 P 4 Φr,4 vedení Tae 5 Tr5 proudění sálání W Obrázek 126: Podrobný model místnosti. Redukci podrobného modelu provedeme v několika postupných krocích. V prvním zjednodušení provedeme tyto kroky: Působení venkovních ekvivalentní teplotou. okrajových podmínek nahradíme venkovní Vzájemné sálání mezi povrchy nahradíme jednodušším modelem (transformace trojúhelník hvězda - viz kapitola 6.5 v [6]). Posléze provedeme další transformaci (sériově paralelní transformace – viz kapitola 4.4.3 v [6]). Zanedbá se akumulační schopnost okenních tabulí. Po prvním zjednodušení dostaneme model, viz Obrázek 127. Vodivost K0 je produktem sériově paralelní transformace a nemá fyzikální význam. Φc - (ci/ri)Φr Φr + (ci/ri)Φr K0 Tai W Tra větrání Tp1 Tp2 Tp3 Tp4 … We1 … We2 … Wi … P Obrázek 127: Model místnosti po prvním zjednodušení. - 145 - Ext Int V druhém zjednodušení ponecháme ve stavebních prvcích pouze jeden uzel s tepelnou kapacitou. Zároveň ztotožníme teplotu vzduchu a teplotu Tra do jediné výsledné teploty Ti. větrání Φc + Φr Ti W We1 Ext We2 Wi Int P Obrázek 128: Model místnosti po druhém zjednodušení. Pro další zjednodušení sdružíme paralelní cesty s podobnou dynamikou (stěny a střecha, vnitřní konstrukce), viz Obrázek 129. Φc + Φr Ti Větrání+W We+R Wi+P+C F Obrázek 129: Zjednodušený model budovy 1. Pokud zahrneme podlahu k ostatním obvodovým konstrukcím, anebo pokud je podlaha adiabatická, tak máme: - 146 - Φc + Φr Ti Větrání+W Φc + Φr We+R Wi+P+C Obrázek 130: Zjednodušený model budovy 2. Pro místnost s lehkým obvodovým pláštěm máme: Φc + Φr Ti Větrání+W Větrání+W Wi+P+C Obrázek 131: Zjednodušený model budovy 3. Pro budovu bez vnitřních konstrukcí naopak máme: Φc + Φr Ti Větrání+W We+R Obrázek 132: Zjednodušený model budovy 4. 5.2.3 Solární tepelné zisky do budovy Vyjdeme z modelu popsaném rovnicí (2.154). Budeme předpokládat, že okna jsou umístěna ve vertikální pozici, takže cos(/2) = 0. Ozáření vertikální plochy lze zapsat jako: G Gt cos G Bh 0,5G Dh G 0,5 G Bh G Dh cos z (5.60) Solární zisky prostupují do dobře tepelně izolované budovy zejména přes zasklení oken. Odrazivost, pohltivost a prostupnost zasklení jsou veličiny závislé na úhlu dopadu, proto i výsledná energetická propustnost zasklení je veličina závislá na úhlu dopadu. Pro praktické výpočty lze použít jednoduchý model, viz [29]: - 147 - g g0 1 tana 2 (5.61) kde g0 je energetická propustnost pro kolmý úhel dopadu, a je parametr závisející na typu zasklení a je úhel dopadu. Dalším používaným modelem je polynomický model publikovaný v [30]. Přímá složka solárního záření dopadá pod úhlem dopadu . Úhel dopadu difuzního záření lze pro svislé plochy zjednodušeně uvažovat hodnotou 60°. Stejný úhel dopadu lze zjednodušeně uvažovat pro odražené záření. Dále je potřeba započítat možné stínění. Tepelný tok od solárního záření prostupujícího přes zasklení jednoho okna lze s využitím energetické propustnosti zasklení vypočítat jako: s FBg Ag cos GBh FSg60 Ag 0,5GDh FGg60 Ag G 0,5 GBh GDh cos z (5.62) kde Ag (m2) je plocha zasklení, g (-) je energetická propustnost zasklení, která zohledňuje různý úhel dopadu jednotlivých složek záření, FB (-) je faktor stínění pro přímou složku, FS (-) je faktor stínění pro difuzní složku z oblohy a FG (-) je faktor stínění pro složky odražené od země. Solární zisk podle rovnice (5.62) zahrnuje součet přímé a nepřímé složky. Faktory stínění budeme zjednodušeně uvažovat jedinou hodnotou. Rovnice (5.62) se potom zjednoduší na: cos GBh g60 Ag 0,5GDh g60 Ag 0,5G GBh GDh s Fsh g Ag cos z (5.63) Rovnici (5.63) lze zapsat jako: s ADir G Bt ASkyG Dh ARefG Gh (5.64) kde ADir( (m2) je účinná plocha zasklení pro přímou složku ozáření (závisí na úhlu dopadu), ADir Fshg Ag (5.65) ASky (m2) je účinná plocha zasklení pro difuzní složku ozáření, ASky Fshg60 Ag 0,5 (5.66) a ARef (m2) je účinná plocha zasklení pro odraženou složku ozáření, ARef Fshg60 Ag 0,5G ASky G (5.67) Po dosazení rovnice (5.67) do rovnice (5.64) dostaneme: - 148 - s ADir G Bt ASky G Dh GG Gh (5.68) V případě nedostatku vstupních údajů lze využít zjednodušený model, který zanedbává závislost energetické propustnosti zasklení na úhlu dopadu. s A GtGGt (5.69) 5.3 Vlhkostní bilance budovy v ustáleném stavu Problém je analogický tepelné bilanci budovy. Vlhkostní bilance budovy zahrnuje zdroje vlhkosti Gi, tok vodní páry větráním GV = GV,in – GV,out, tok vodní páry prostupem přes obvodové konstrukce GT, akumulaci vlhkosti ve stavebních prvcích Gacu a akumulaci vodní páry ve vzduchu v zóně Ga (viz Obrázek 133). Významnými zdroji vlhkosti například jsou vaření, praní, sprchování, sušení, lidské dýchání. Vzduch v budově se považuje za dokonale promíchaný, takže jeho vlhkost vyjadřuje jediná hodnota koncentrace vodní páry. GV,out Ga v,i GT v,e Gi Gacu GV,in Obrázek 133: Vlhkostní bilance budovy. Ze zákona zachování hmotnosti plyne, že veškeré působící hmotnostní toky musí být v rovnováze: Gi GV,in GV,out GT Gacu Ga 0 (kg/s) (5.70) Prostup vodní páry přes obvodové konstrukce (difuze vodní páry) je v porovnání s vlivem větrání zanedbatelný (GT ≈ 0). Ukládání vlhkosti a její následný výdej je cyklický proces s periodou jednoho dne. Pokud zvolíme časový krok výpočtu dostatečně dlouhý, tak se střední hodnota vlhkostního toku do akumulační hmoty blíží nule, a proto lze psát: Gi GV,in GV,out 0 (5.71) Všechny vlhkostní toky jsou v rovnici (5.71) uvažovány jako průměrné hodnoty za dostatečně dlouhé časové období. V technické praxi se obvykle používá časový krok jednoho měsíce. - 149 - Přiváděné resp. odváděné množství vlhkosti lze stanovit jako: GV,in Va V,e , GV,out Va V,i (5.72) kde Va (m3/s) je objemový průtok vzduchu. Po dosazení rovnice (5.72) do rovnice (5.71) dostaneme: Gi Va (V,i V,e ) 0 (5.73) Koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu tedy je: G V,i V,e i Va (kg/m3) (5.74) Vztah (5.74) je analogie rovnice (5.50). Poměr velikosti zdroje a objemového průtoku vzduchu v obytných budovách obvykle dosahuje hodnot 2 ÷ 4 g/m3. Gi v,i Va v,e Obrázek 134: Schéma vlhkostní bilance budovy v ustáleném stavu. 5.4 Vlhkostní bilance budovy v neustáleném stavu Nejprve se zabývejme budovou, jejíž vnitřní povrchy tvoří materiál, který znemožňuje akumulaci vlhkosti v povrchové vrstvě (hliníková fólie nalepená na vnitřních površích). Pro takovou budovu máme: dmv Gi Va v,i v,e dt (kg/s) (5.75) (kg/s) (5.76) kde hmotnost vodní páry uvnitř budovy je: mv viVai kde Vai (m3) je objem vzduchu v budově. Objem vzduchu v budově je konstantní, takže: Vai dvi Gi Va v,i v,e dt (kg/s) (5.77) Rovnice (5.77) je obdobná rovnici (5.36), takže můžeme využít již známá analytická řešení pro skokovou změnu či pro periodické okrajové podmínky. - 150 - Gi v,i Va Va v,e Obrázek 135: Schéma jednouzlového simulačního modelu. Ve skutečnosti k akumulaci vlhkosti také dochází v hygroskopických materiálech obklopujících vzduch v budově. Může se jednat o ukládání vlhkosti v nábytku, povrchových vrstvách stavebních prvků (obvodových konstrukcí, příček, vnitřních nosných stěn, stropů), anebo například v papíru. U většiny stavebních materiálů je aktivní vrstva pro denní akumulaci vlhkosti tenká pouze několik milimetrů. Tloušťku této vrstvy je možné přibližně ztotožnit s periodickou hloubkou vlhkostní penetrace, viz rovnice (4.78). A w v,i Gacu v,p v,acu dpv w…průměrná vlhkost v povrchové vrstvě parotěsná vrstva Obrázek 136: Aktivní vrstva pro akumulaci vlhkosti. Po dosazení za jednotlivé členy v rovnici (5.70) dostaneme: d Gi Va v,i v,e A v,i v,p Vai v,i 0 dt (kg/s) (5.78) kde (m/s) je součinitel přestupu vodní páry prouděním v blízkosti povrchu akumulačního materiálu, A je plocha povrchu akumulační vrstvy a v,p (kg/m3) je hustota vodní páry v těsné blízkosti povrchu akumulačního materiálu. Vlhkostní bilance povrchové vrstvy je: Vacu dw du v,p v,acu A Vacud Z ,acu dt dt (kg/s) (5.79) Aby se zachovala analogie s modelem pro přenos tepla, potřebujeme na levou stranu předchozí rovnice dostat v,acu. Vlhkost materiálu lze chápat jako složenou funkci u((t)), a proto: du du d d dt d dt dt (5.80) - 151 - Relativní vlhkost vzduchu v obytných budovách se obvykle pohybuje v rozmezí 20 – 80 %, takže sklon sorpční křivky lze uvažovat konstantní ( , viz kapitola 4.3.3). Dosadíme rovnici (5.80) do rovnice (5.79) a nahradíme relativní vlhkost: v,acu d v,sat Tacu v,p v,acu Vacud A dt Z ,acu (5.81) kde Tacu označuje teplotu v uzlu v,acu. Poněvadž je aktivní akumulační vrstva velmi tenká, je možné tuto teplotu nahradit povrchovou teplotou Tp. V období, kdy je budova vytápěna se teplota vnitřních povrchů příliš nemění, takže je možné zjednodušeně uvažovat hustotu vodní páry na mezi nasycení konstantní hodnotou vypočtenou z průměrné vnitřní teploty budovy. Za tohoto předpokladu můžeme psát: Vacud dv,acu v,p v,acu A v,sat Z ,acu dt (5.82) Model je možné zobrazit v následujícím schématu (viz Obrázek 137). Gi Va v,i K1 v,p K2 Va K1 = ·A Gi v,e v,acu v,i Va K Va Vacud/v,sat v,e v,acu K K1K2 K1 K2 Vacud/v,sat K2 = A/Z =A/(µdpv/2a) Obrázek 137: Schéma dvojuzlového simulačního modelu. Dvojuzlový model je možné dále zjednodušit, pokud budeme předpokládat, že platí: v,i v,acu (5.83) Za tohoto předpokladu dostaneme jedinou rovnici: Vacud dv,i Gi Va v,i v,e Va d t v,sat Gi v,i v,e Va + Vacud/v,sat Obrázek 138: Schéma jednouzlového simulačního modelu. - 152 - (5.84) 5.5 Úlohy k procvičení Ú1. Dřevěný srub je objekt o venkovních rozměrech 6 × 6 × 2,5 m. Podlahu srubu tvoří dřevěné trámy s dřevěnými fošnami tloušťky 3 cm. Podlahové trámy jsou položené na podélných kamenných pasech, takže prostor pod podlahou domu je provětrávaný. Venkovní stěna je sestavená z dřevěných hranolů tloušťky 25 cm. Střechu tvoří dřevěné trámy s tepelnou izolací umístěné mezi trámy, dřevěné fošny a hydroizolace. Uvažujte, že objekt nemá žádná okna, a že tepelné ztráty větráním jsou stejně veliké jako ztráty prostupem. Teplotu venkovního prostředí uvažujte hodnotou -10 °C. Kolik kg dřeva o výhřevnosti 14 MJ/kg je nutné za jeden den nanosit do srubu a posléze spálit, aby se dala uvnitř udržovat teplota 20 °C? Účinnost krbových kamen uvažujte 50 %. Budou stačit k vytopení srubu kamna o jmenovitém výkonu 10 kW? Ú2. Uvažujte rohovou kancelář posledního podlaží administrativní budovy podle obrázku. Strop místnosti a dvě stěny (z nichž jedna je prosklená) jsou v kontaktu s venkovním prostředím, ostatní stěny a podlaha přiléhají k prostorům o stejné vnitřní teplotě, jaká je v kanceláři. Venkovní teplotu uvažujte -12 °C. Součinitel prostupu tepla prosklené stěny je 1,0 W/(m2K). a) Vypočítejte, jaký musí být součinitel prostupu tepla stěny a střechy (uvažujte stejný pro obě konstrukce), aby zdroj o výkonu 0,8 kW při dané venkovní teplotě vytopil místnost na 20 °C. Vliv tepelných mostů zanedbejte. Předpokládejte, že nesvítí slunce, uvnitř nejsou žádné osoby ani spotřebiče a místnost se nevětrá. b) Vypočítejte, jak se změní vnitřní teplota za předpokladu, že začne svítit slunce. Uvažujte intenzitu dopadajícího slunečního záření na rovinu prosklené stěny 50 W/m2 a energetickou propustnost slunečního záření zasklením hodnotou 0,5. Předpokládejte, že paprsky dopadají kolmo na rovinu okna. Je vnitřní teplota za těchto podmínek pro uživatele komfortní? c) Navrhněte alespoň 2 opatření ke snížení vnitřní teploty z části b. Uveďte jejich výhody případně nevýhody. - 153 - Ú3. Je uvažována venkovním vzduchem větraná půda. Plocha podlahy je 10 m x 10 m, sklon střešní roviny 45 °. Tepelný odpor štítových stěn a střechy (včetně přestupových odporů) je 1,0 (m2K)/W, tepelný odpor podlahy je 3,0 (m2K)/W. Teplota ve vytápěné zóně („pod půdou“) je 20 °C, teplota venkovního vzduchu je -10 °C. Polovina střechy je vystavena solárnímu záření o intenzitě 200 W/m2. Pohltivost vnějšího povrchu střechy uvažujte hodnotou 0,8. Vypočtěte výslednou teplotu v prostoru půdy při intenzitě výměny vzduchu 1,5 h-1 pro případ a) bez solárního záření a b) se solárním zářením. Ú4. Je uvažována místnost o objemu 50 m3 a intenzitou výměny vzduchu 0,5 1/h. Plocha venkovních stěn je 20 m2, plocha oken 5 m2. Součinitelé prostupu tepla jsou 0,2 W/(m2K) pro stěny a 1,5 W/(m2K) pro okno. Denní průměrný solární zisk je 100 W. a) Jaký výkon musí být otopnou soustavou vyvinut pro udržení denní průměrné teploty vnitřního vzduchu 20 °C během zimního období s teplotou venkovního vzduchu -10 °C? b) Jaký výkon musí být vyvinut otopnou soustavou v případě, že větrací zařízení bude obsahovat zpětné získávání tepla z odpadního vzduchu s účinností 75 %? c) Jaký výkon bude potřeba pro udržení teploty vnitřního vzduchu 20 °C, při teplotě venkovního vzduchu 25 °C a průměrném denním solárním zisku 300 W? Ú5. Budova se během víkendu vytápí na sníženou hodnotu požadované teploty. Cílem přerušovaného vytápění je úspora energie na vytápění. Odvoďte, zda k vyšší úspoře potřeby tepla při přerušovaném vytápění povede těžká nebo lehká stavba. Ú6. Základové stěny průlezného prostoru pod budovou jsou postaveny z betonových tvárnic tloušťky 250 mm. Ve stěnách jsou otvory pro zajištění větrání prostoru venkovním vzduchem. Plocha zeminy uvnitř prostoru je 10 m x 10 m, průměrná výška prostoru je 0,9 m. Podlaha budovy má tepelný odpor 2,0 (m2K)/W včetně přestupových odporů na obou stranách. Tepelná vodivost betonové tvárnice je 1,3 W/(m·K). Teplota uvnitř budovy je 20 °C, teplota venkovního vzduchu je -5 °C. Vypočtěte teplotu uvnitř průlezného prostoru za předpokladu intenzity výměny vzduchu 0,05 a 5 1/h. Ú7. Obytný prostor má podlahovou plochu 125 m2. Výška místnosti je 2,4 m. Produkce vlhkosti je 10 kg/den. Teplota venkovního vzduchu je -2 °C během zimy a 16 °C během léta. Průměrná vnitřní teplota je 21 °C. Relativní vlhkost venkovního vzduchu je 85 % během zimy a 50 % během léta. - 154 - Výměna vzduchu je 0,5 1/h během zimy a 1 1/h během léta. Vypočtěte koncentraci vodní páry a relativní vlhkost vzduchu uvnitř budovy během léta a zimy. Ú8. V ložnici o objemu vzduchu 30 m3 spí dvě osoby. Intenzita výměny vzduchu je 0,2 1/h, teplota vnitřního vzduchu je 20 °C. Předtím, než šly osoby spát, byla ložnice dokonale vyvětrána, takže koncentrace vodní páry vnitřního vzduchu byla totožná s koncentrací vodní páry venkovního vzduchu. Jak dlouho potrvá, než se začne objevovat kondenzát na dvojitém respektive trojitém zasklení okna? Teplota vnějšího vzduchu je 2 °C a relativní vlhkost je 90 %. Součinitel prostupu tepla okna je 2,9 W/(m2K) a 1,9 W/(m2K). Součinitel přestupu tepla na vnitřní straně je 8 W/(m2K). Produkce vlhkosti na jednu spící osobu je přibližně 40 g/h. - 155 - Příloha: Elektrická analogie Zobrazení modelu do určitého grafického schématu je výhodné. Chceme zobrazit strukturu modelu a ze struktury modelu hned odvodit matematický popis modelu. Grafická schémata používaná v této knize vycházejí z analogie s elektrickým proudem. Elektrický proud a další tokové veličiny (např. tepelný tok) je možné považovat za analogické, viz Tabulka 16. Tabulka 16: Elektrická analogie Tepelný tok Elektrický proud I T1 T2 R I 1 2 Rel U Rel T1 – T2 je rozdíl teplot 1 - 2 je rozdíl elektrických potenciálů R je tepelný odpor (napětí) Rel je elektrický odpor Φ I T1 1 Rel R 2 T2 Neznámé veličiny (například teploty) jsou zobrazeny jako uzly. Uzel může mít nějakou akumulační schopnost (například tepelnou kapacitu). „Kvalita cesty“ mezi uzly bude ohodnocena (například velikostí tepelného odporu mezi uzly). Základní prvky, z kterých se dají vytvářet grafická schémata modelů, jsou představeny na příkladu šíření tepla (viz Tabulka 17). Typově obdobné prvky je možné použít i pro šíření vlhkosti a šíření vzduchu. - 156 - Tabulka 17: Základní prvky Přenos tepla Prvek Popis Grafické vyjádření Uzel (neznámá ve výpočtech), např. teplota Protože uzel nemá žádnou akumulační schopnost, musí být součet všech toků směřujících do uzlu roven nule. V elektrických obvodech se toto tvrzení nazývá prvním Kirchhoffovým zákonem. Uzel mající kapacitu, např. tepelnou kapacitu Jelikož uzel má akumulační schopnost, součet všech toků směřujících do uzlu musí být roven akumulovanému množství za nějaký časový krok. Vodivost (conductance) Předepsaná hodnota (např. teplota) Ti Ci 0 dTi m dt m Ci Ti +1 K Ti Ti Ti 1 R K Ti Ti 1 Ti +1 T0 Předepsaný tok (např. tepelný tok) m m Φ1 Ti Φ2 Ti Platí tedy K=1/R. Zápis pomocí vodivosti se často používá z praktických důvodů (vodivost není ve jmenovateli). Φ3 R Odpor (resistance), např. tepelný odpor Matematický vztah 0 Tboundary T0 boundary 0 Složitější schémata je možné zjednodušovat (viz Tabulka 18). Theveninův teorém z teorie elektrických obvodů říká, že libovolně složitý elektrický obvod bez kondenzátorů, ale s mnoha různě zapojenými odpory, lze nahradit obvodem s jediným odporem. Postupným „zjednodušováním“ lze složitě vypadající model zapsat jednodušeji, nicméně plně ekvivalentně. - 157 - Tabulka 18: Ekvivalence v obvodech Prvek Popis Ekvivalentní vyjádření Odpory v sérii Vodivosti v sérii T1 K1 T12 K2 T1 T2 T2 R = R1+R2 T2 K 1K 2 K1 K 2 Odpory paralelně R1 T1 R T1 T1 R1 T12 R2 T2 T1 R R T2 1 2 R1 R2 T2 R2 Vodivosti paralelně K1 T1 T1 T2 K K = K1+K2 T2 K2 T1 K1 T T2 Dvě předepsané hodnoty (T1, T2) s vodivostmi (K1, K2); K1+K2 Tekv Tekv K2 Několik toků do uzlu Φ1 T K 1T1 K 2T2 K1 K 2 Φ1 + Φ2 Φ2 K0 T T0 Předepsaná hodnota (T0) s vodivostí (K0) a předepsaný tok (Φ0) Φ0 Tekv Tekv K0 T 0 T0 K0 Φ je tok, K vodivost, R odpor, mezi vodivostí a odporem platí inverzní vztah K = 1/R. - 158 - Vodivosti v sérii T1 K1 T12 K2 T2 T1 K K T2 1 2 K1 K 2 Obrázek 139: Vodivosti v sérii. Jelikož jde o ustálený stav, můžeme psát: 112 122 tot K 1 T1 T12 tot K 2 T12 T2 tot T1 T12 tot K1 T12 T2 tot K2 Po sečtení rovnic: T1 T2 tot tot K1 K2 K 1K 2 K K T1 T2 tot 2 1 (P.1) Vodivosti paralelně K1 T1 K2 Φtot T2 T1 K1+K2 T2 Obrázek 140: Vodivosti paralelně. Bilance v uzlu T2: K 1 T1 T2 K 2 T1 T2 tot K 1 K 2 T1 T2 tot (P.2) - 159 - Předepsaná hodnota teploty s vodivostí a předepsaný tok do uzlu K0 T0 Φ0 Φtot Tekv T K0 T Obrázek 141: Předepsaná hodnota teploty s vodivostí a předepsaný tok do uzlu Bilance v uzlu T: K 0 T0 T 0 tot K 0T0 K 0T 0 tot T0 0 T tot K0 K0 K 0 T0 0 T tot K0 kde výraz T0 0 je ekvivalentní teplota Tekv. K0 K 0 Tekv T tot (P.3) Předepsané hodnoty teploty s vodivostmi do uzlu T1 T2 K1 Φtot T Tekv K2 K1+K2 T Obrázek 142: Dvě předepsané hodnoty s vodivostmi do uzlu. K 1 T1 T K 2 T2 T tot K 1T1 K 2T2 K 1 K 2 T tot K1T1 K 2T2 tot K1T1 K 2T2 T , označíme Tekv K1 K 2 K1 K 2 K1 K 2 K 1 K 2 Tekv T tot (P.4) - 160 - Literatura [1] Hagentoft, C., E., Introduction to Building Physics, Studentliteratur, 2001. ISBN: 91-44-01896-7. [2] Hens, H., Building Physics – Heat, Air and Moisture. Fundamentals and Engineeering methods with Examples and Exercises. Ernst & Sohn Verlag, 2007. ISBN: 978-3-433-01841-5. [3] Hens, H., Applied Building Physics: Boundary Conditions, Building Performance and Material Properties. Ernst & Sohn Verlag, 2010. ISBN: 978-3-433-02962-6. [4] Duffie J., A., Beckmann, W., A., Solar engineering of thermal processes, Wiley, 2006. ISBN: 978-0-471-69867-8. [5] Incropera, de Witt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Wiley, 2006. ISBN: 978-0-471-45728-2. [6] Davies, M., G., Building Heat Transfer, Wiley, 2004. ISBN: 978-0-47084731-2. [7] ASHRAE, Handbook of Fundamentals, American Society of Heating, Refrigerating, and Air-Conditioning Engineers, 2001. ISBN: 1883413885. [8] Ženka, M., Disertační práce [9] Staněk, K., Fotovoltaika pro budovy, Grada, 2012. ISBN: 978-80-2474278-6. [10] ElSherbiny, S., M., Raithby, G., D., Hollands, K., G., T., Heat Transfer by Natural Convection Across Vertical and Inclined Air Layers, Journal of Heat Transfer, 1982. [11] Navara, M., Němeček, A., Numerické metody. Vydavatelství ČVUT. Praha 2003. ISBN 80-01-02689-2. [12] Gerald, C., G., Wheatley, P., O., Applied Numerical Analysis, ISBN 0201-59290-8. [13] Keller, B., Klimagerechtes Bauen (Grundlagen – Dimensionierung Beispiele), B.G. Teubner Stuttgart, 1997. [14] Burmeister, H., Keller, B., Climate surfaces: a quantitative buildingspecific representation of climates, Energy and Buildings 28, 1998. [15] ČSN EN ISO 13786, Tepelné chování stavebních dílců - Dynamické tepelné charakteristiky - Výpočtové metody. [16] ČSN EN ISO 13789, Tepelné chování budov - Měrné tepelné toky prostupem tepla a větráním - Výpočtová metoda. [17] ČSN EN ISO 6946, Stavební prvky a stavební konstrukce - Tepelný odpor a součinitel prostupu tepla - Výpočtová metoda. - 161 - [18] ČSN 730540-2, Tepelná ochrana budov - Část 2: Požadavky [19] ČSN EN ISO 13790, Energetická náročnost budov - Výpočet spotřeby energie na vytápění a chlazení, 2009. [20] ČSN EN ISO 13788, Tepelně vlhkostní chování stavebních dílců a stavebních prvků - Vnitřní povrchová teplota pro vyloučení kritické povrchové vlhkosti a kondenzace uvnitř konstrukce - Výpočtové metody. [21] ČSN EN ISO 12572, Tepelně vlhkostní chování stavebních materiálů a výrobků – Stanovení prostupu vodní páry. [22] Glaser, H., ‘‘Waermeleitung und Feuchtigkeitsdurchgang Kuehlraumisolierungen, Kaltetechnik, Vol. 3, 1958. durch [23] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I., Matematické vzorce a metody, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2001. ISBN 80-01-01643-9. [24] Hansen, K., K., Sorption isotherms: A catalogue, Technical report 162/86, Building materials laboratory, Technical University of Denmark, 1986. [25] Kuenzel, H., dissertation thesis. [26] Novák, J., Vzduchotěsnost obvodových plášťů budov, Grada, Praha, 2008. ISBN: 978-80-247-1953-5. [27] Zillig, S., dissertation thesis. [28] Carmeliet, J., Determination of the Moisture Capacity of Porous Building Materials, Journal of Thermal Envelope and Building Science 25(3): 209237, 2002 [29] Montecchi, M., Polato, P., Simple equations to predict the daylightingbehaviour of glazing by normal incidence spectrophotometry, Rivista della Staz. Sper. [30] Karlsson, J., Roos, A., Modelling the angular behaviour of the total solar energy transmitance of windows, Solar Energy 69, 2000. [31] TNI 730330, Zjednodušené výpočtové hodnocení a klasifikace obytných budov s velmi nízkou potřebou tepla na vytápění - Bytové domy, 2010. [32] Zmrhal, V., Sálavé chladicí systémy, Vydavatelství ČVUT, 2009. - 162 - Rejstřík 1 Hmotnostní bilance, 16 Hustota pevné fáze, 97 Hustota tepelného toku, 20 Hustota vodní páry na mezi nasycení, 94 Hydrofilní, 103 Hydrofilní materiál, 120 Hydrofobní, 103 Hydrofobní materiál, 120 Hygroskopická oblast, 100 Hysterze, 101 1. Fickův zákon, 108 A Adsorbát, 99 Adsorbent, 99 Adsorpce, 99 C I Celková pórovitost, 97 Intenzita výměny vzduchu při tlakovém rozdílu 50 Pa, 85 Č K Částečný tlak nasycené vodní páry, 94 Částečný tlak suchého vzduchu, 93 Částečný tlak vodní páry, 93 Černé těleso, 54 Kapilární kondenzace, 100 Kelvinova rovnice, 105 Komínový efekt, 86 Kondenzace uvnitř konstrukce, 116 Kontrolní objem, 15 Kvazistacionární stav, 144 D Daltonův zákon, 93 Difuzní odpor, 115 Divergence, 18 L Látkové množství, 93 E M Ekvivalentní difuzní tloušťka, 115 Elektrická analogie, 157 Emisivita, 56 Energetická propustnost, 78 Měrná vlhkost vzduchu, 94 Monomolekulární adsorpce, 100 N F Nadhygroskopická oblast, 101 Nehomogenní vrstva, 68 Neustálený stav, 14 Neutrální rovina, 86 Nevytápěný prostor, 72 Newtonův zákon, 48 Nusseltovo číslo, 48 Faktor difuzního odporu, 109 Faktor tvaru budovy, 136 Fourierův zákon, 20 Free‐floating, 130 G Grashofovo číslo, 48 O H Objemová hmotnost v suchém stavu, 97 Odpor, 158 Odpor při přestupu vodní páry, 125 Hagen‐Poisseuilleho zákon, 121 - 163 - Stefanův‐Boltzmannův zákon, 55 Systematické tepelné mosty, 68 Odrazivost, 57 Operativní teplota, 63 Otevřená pórovitost, 97 T P Tepelná bilance, 15 Tepelná bilance budovy v neustáleném stavu, 140 Tepelná bilance budovy v ustáleném stavu, 129 Tepelná jímavost, 35 Tepelný odpor, 23 Tepelný tok, 157 Teplota rosného bodu, 95 Teplotní faktor vnitřního povrchu, 25 Teplotní vodivost, 22 Periodická hloubka vlhkostní penetrace, 119 Planckův zákon, 55 Plynová konstanta pro suchý vzdu, 93 Plynová konstanta pro vodní páru, 93 Podtlakové větrání, 90 Pohltivost, 57 Pohltivost pro sluneční záření, 60 Polymolekulární adsorpce, 100 Prandtlovo číslo, 48 Propustnost, 57 Přestup vodní páry, 125 Přetlakové větrání, 90 Přirozené proudění, 48 U R Rayleighovo číslo, 48 Relativní vlhkost vzduchu, 95 Reynoldsovo číslo, 48 Rovnice kontinuity, 16 Rovnotlaké větrání, 90 Rovnovážná vlhkost, 100 Rozdíl tlaků vyvolaný mechanickým větracím zařízením, 90 Rozdíl tlaků vyvolaný rozdílem teplot, 86 Rozdíl tlaků vyvolaný účinkem větru, 88 Růst plísní, 126 S Účinná tepelná kapacita budovy, 140 Univerzální plynová konstanta, 92 Ustálený stav, 14 Uzavřená dutina, 66 Uzavřená pórovitost, 97 Uzel, 158 V Větraná vzduchová dutina, 67 Vlhkost materiálu, 98 Vlhkostní bilance budovy v neustáleném stavu, 151 Vlhkostní bilance budovy v ustáleném stavu, 150 Vlhkostní jímavost, 118 Vlhkostní kapacita, 102 Vodivost, 158 Vynucené proudění, 48 W Smáčivost, 103 Smáčivý úhel, 103 Sorpční izoterma, 100 Sorpční křivka, 100 Sorptivita, 120 Součinitel difuze, 109 Součinitel nasákavosti, 121 Součinitel prostupu tepla, 71 Součinitel přestupu tepla sáláním, 60 Součinitel přestupu vodní páry, 125 Součinitel tepelné vodivosti, 20 Stefanova‐Boltzmannova konstanta, 55 Wienův posunovací zákon, 55, 58 Y Youngova‐Laplaceova rovnice, 104 Z zdroje vlhkosti, 91 - 164 - Summary This book briefly presents the basic physical principles of heat, air and moisture transfer in buildings and building components, solution methods, and some numerical examples. The text is written so that the reader should read its contents from beginning to the end. The theory of heat transfer is used as a basis for theory of air and moisture transfer. The text put special emphasis on the derivation of formulae, illustration of the analogy between heat and moisture transfer, and symbolic representation of the models in the form of networks and basic physical insight. - 165 -
Podobné dokumenty
Výpočtové modely lineární lomové mechaniky heterogenních
predikovat jejich následné chování v průběhu zatěžování. Většina dosud publikovaných prací
byla zaměřena na popis obecných koncentrátorů v isotropních prostředích. Tato oblast byla
tedy již poměrně...
document [] - Vysoké učení technické v Brně
![document [] - Vysoké učení technické v Brně](http://s1cz.doczz.net/store/data/000173490_1-cf3abd41be12e4b0d1d8d343fc8c9ca5-70x70.png "document [] - Vysoké učení technické v Brně")
fullereny a uhlíkové nanotrubičky jsou jeho modifikací (obrázek 2.5). Rozlišujeme tři
druhy grafenu podle počtu vrstev. Monovrstva a dvojvrstva grafenu má jednoduchá
elektronová spektra, díky nimž ...
DOPROVODNÝ TEXT K III. VÝUKOVÉMU KURZU
Inovace Ph.D. studia
pro biotechnologické aplikace
Reg. č.: CZ.1.07/2.2.00/15.0272
Door hinges - Zeleziarstvo.sk
dostává se Vám do rukou katalog produktů TKZ Polná, spol. s r.o.,
společnosti s více než stoletou tradicí výroby kovového sortimentu.
Z malé továrny se stal podnik moderního charakteru, kde
s rozši...
Ceník je platný od 1. 7. 2014 do 30. 6. 2015
Energie v udržitelném územním plánování
• Energetické požadavky na nové budovy jsou stále
přísnější, od roku 2020 musí být budovy v souladu s
požadavkem na (téměř) nulovou spotřebou energie;
• Požadavek na energetickou náročnost i pro
