Klasická mechanika

Klasická mechanika
křivočaré pohyby
*Pohyb bodu v prostoru je dán rovnicemi: x  a sin t y  b cos t z  c , kde a, b, c jsou konstanty.
Najděte rovnici trajektorie.
2. *Úsečka konstantní délky se pohybuje tak, že její koncové body X a Y kloužou podél x-ové, resp. y-ové osy.
Určete, trajektorii libovolně zvoleného bodu A na úsečce při tomto pohybu.
1.
3.
***Pohyb bodu je určený rovnicemi x  a  e kt  e  kt  , y  a  e kt  e  kt  , přičemž a a k jsou konstanty.
Určete rovnici trajektorie. Vyjádřete rychlost, zrychlení a poloměr křivosti jako funkci polární souřadnice r.
4.
**Pohyb bodu je v polárních souřadnicích dán rovnicemi r  At ,   Bt , kde A a B jsou konstanty
(Archimédova spirála). Najděte rovnici trajektorie a vyjádřete závislost rychlosti a zrychlení na čase!
**Pohyb bodu je v polárních souřadnicích dán rovnicemi r  Ae kt ,   kt , kde A a k jsou konstanty
(logaritmická spirála). Najděte rovnici trajektorie a vyjádřete rychlost, zrychlení a poloměr křivosti jako
funkci polární souřadnice r.
6. Na obvodu kladky s poloměrem R = 20cm, která se otáčí kolem vodorovné osy, je omotané lanko, na němž
je zavěšené závaží. Určete časovou závislost zrychlení bodu A ležícího na obvodu kladky, víte-li, že závaží
se pohybuje rovnoměrně zrychleně se zrychlením a.
5.
7.
**Bod se pohybuje po ose x tak, že závislost jeho dráhy na čase je dána vztahem x 
k kt
 e  ekt  , kde
2
k a  jsou konstanty. Vyjádřete jeho rychlost a zrychlení jako funkci souřadnice x.
***Určete vztahy pro volný pád z věže výšky v = 100m v zeměpisné šířce 50º, vezmeme-li v úvahu rotaci
Země kolem své osy úhlovou rychlostí  = 7,27·10-5 rad·s-1 (tj. uvažujte vliv Coriolisovy síly). Vypočtěte, o
kolik se odchýlí bod dopadu od svislice. Odpor prostředí zanedbejte.
9. **Bod M se pohybuje z vrcholu kužele rovnoměrně přímočaře rychlostí c po jeho povrchové přímce. Kužel
se otáčí kolem své osy stálou úhlovou rychlostí velikosti . Vypočítejte absolutní zrychlení bodu M v čase t
od začátku pohybu, je-li úhel mezi osou kužele a povrchovou přímkou .
10. **Vodorovná kruhová deska se otáčí kolem svislé osy tak, že za minutu vykoná 120 otáček. V desce je
přímá drážka procházející středem desky (podél průměru), po níž se pohybuje kulička zanedbatelného
poloměru rychlostí 5cm·s-1. Určete rychlost a zrychlení v laboratorní soustavě (vzhledem k okolí) v čase
t = 20s za předpokladu, že v čase 0 s procházela kulička středem desky.
8.
11. **Po tyči rotující konstantní úhlovou rychlostí  kolem osy kolmé k tyči a procházející jedním jejím
krajním bodem se pohybuje bod M konstantní rychlostí v  vzhledem k tyči. Určete jeho absolutní zrychlení.
12. *Kolo o poloměru R se otáčí ve směru hodinových ručiček konstantní úhlovou rychlostí kolem osy kolmé na
jeho rovinu a procházející jeho středem. Vykoná n1 otáček za minutu. Určete absolutní zrychlení bodu, který
se pohybuje po jeho obvodu v opačném smyslu tak, že vykoná kolem obvodu kola n2 otáček za minutu.
27. 7,389krát
-1
13.
320,8
ms
28. 5,012·10-6 W·m-2
Výsledky:
-1
14. 546,5 ms
29. 4,6·10-13 W·m-2
1. elipsa
30. 136 km·h-1
4R
2. elipsa
15.
;0
31. 88,1 km·h-1
3
3. hyperbola;kr;k2r;
32. 63 km·h-1
A
20 20
2
2 2
2 2
4. r   ; A (1  B t ) ; AB 4  B t
16.
;
B
 
33. 11,386.10-31 kg;127,9 keV
-1
2
17.
0,037rad·s
;60J
34. 19790m
5. kr 2 ;2k r; r 2
18. 102,5 km·h-1;
35. 1,37·10-25 kg;0,9999254c
a
2
2 4
-1
6.
R a t
91,3 km·h ;157,4m
36. 0,866c
R
2
37. 0,14c
mr
19.
7.  x 2  k 2 ;  2 x
38. 3,042 MeV;5,94
2
8. 1,4 cm
39. 0,44s
2
ma
2
40. 260 m
20.
9. c sin   4  t 
6
41. 2,88·10 8 m·s-1
10. 158 ms-1
21. 2,2·10-3 kg.m2
42. 1,78·10 –36·U kg
2
22. –3m· s-1
43. 0,312 m3
11. v 16  t 
23. 14Hz
44. 5let; 3roky
24. 0,11kg
2
2
45. 0,866c; 2krát
r  n1  n2 
12.
25.
5,625m
46. 255kV;0,745c
900
26. 1,733 s-1; 0,781s
Bodové ohodnocení:
= 1b;
* = 2b
** = 3b; *** = 4b
Klasická mechanika
tuhé těleso (13-21)
mechanické kmitání (22-27)
mechanické vlnění (28-32)
13. *Střela hmotnosti 5 g byla vypálena vodorovně na dřevěnou kostku hmotnosti 2 kg ležící na vodorovné
podložce. Střela se zarazila do kostky a zůstala v ní, kostka se posunula o 16 cm. Jaká byla rychlost střely,
je-li součinitel smykového tření mezi kostkou a podložkou 0,2?
14. *Do tělesa tvaru koule, zavěšeného na nehmotném vlákně (balistické kyvadlo), narazí vodorovně letící
náboj hmotnosti 1000krát menší než hmotnost tělesa a uvázne v tomto tělese. Určete rychlost náboje při
nárazu, víte-li, že se těleso po nárazu vychýlilo ze své rovnovážné polohy tak, že závěs svíral se svislým
směrem úhel 10°? Délka závěsu od místa upevnění po střed koule je l = 1 m.
15. *Najděte polohu těžiště homogenní polokruhové desky.
16. *Najděte polohu těžiště drátu ohnutého do tvaru čtvrtkruhu s poloměrem R = 10 cm!
17. Homogenní kruhová deska s poloměrem r = 0,3m a hmotností m = 60kg je při své rotaci kolem osy kolmé
k rovině desky a procházející středem desky vystavena působení sil, jejichž moment má konstantní složku ve
směru osy otáčení hodnoty M = 0,1 N·m. Vypočítejte úhlové zrychlení otáčení desky a práci, kterou
vykonají vnější síly za první tři minuty otáčivého pohybu desky, byla-li v čase t = 0 v klidu!
18. ***Určete, jaké maximální rychlosti může dosáhnout lyžař o hmotnosti m = 100kg na svahu o sklonu
 = 30º, jestliže se pohybuje přímočaře dolů ze svahu, koeficient smykového tření lyží na sněhu je f = 0,1
a odpor vzduchu je úměrný čtverci rychlosti, tj. Fo = kv2, kde koeficient k = 0,5 N·m-2 s2. Vypočtěte dráhu s,
kterou ujede lyžař za dobu t = 20 s, a určete, jaké rychlosti v za tento čas dosáhne.
19. *Určete moment setrvačnosti půlkružnice hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose procházející jejími
krajními body.
20. **Určete moment setrvačnosti homogenní desky tvaru rovnoramenného trojúhelníka se základnou 2a
rameny b a vzhledem k ose kolmé k základně a procházející protilehlým vrcholem, je-li hmotnost desky m!
21. Homogenní železná tyč s hmotností m = 3 kg má při teplotě 8°C délku 1 metr. Vypočítejte, jak se změní
moment setrvačnosti této tyče vzhledem k ose kolmé k tyči a procházející jejím koncovým bodem, když ji
zahřejeme na teplotu 100 °C.
22. *V kabině výtahu visí kyvadlo kmitající s periodou 1s. Pohybuje-li se kabina se stálým zrychlením, kyvadlo
kmitá s periodou 1,2s. Určete velikost zrychlení a směr pohybu kabiny.
23. Vibrační síto pro rudu koná svislé harmonické kmity s amplitudou Y0  5cm . Určete nejmenší kruhovou
frekvenci kmitů, při které se kusy rudy ležící na sítu roztřídí (vyhodí nahoru).
24. Pružina, jejíž hmotnost lze zanedbat, se přívažkem m1  20g prodlouží o l  4cm . Jaké závaží je nutno
na pružinu pověsit, aby při kmitavém pohybu s amplitudou Y0  15cm procházelo rovnovážnou polohou
rychlostí v  1m.s 1 ?
25. Položíme-li na pružinu, nacházející se ve svislém pouzdře, kuličku o hmotnosti m = 0,1kg, stlačí se pružina
o Δs = 2mm. Do jaké výšky vyletí kulička, stlačíme-li pružinu o s1 = 15cm a náhle ji uvolníme?
26. *Vypočítejte koeficient útlumu tlumených harmonických kmitů hmotného bodu, je-li podíl dvou
následujících maximálních výchylek hmotného bodu na stejnou stranu roven čtyřem a perioda tlumených
kmitů je T = 0,8 s? Určete periodu netlumených kmitů za stejných podmínek.
27. *Logaritmický dekrement kmitů kyvadla je roven δ = 0,02. Kolikrát se zmenší amplituda kmitů po
100 kmitech kyvadla?
28. *Vypočtěte intenzitu zvuku, které odpovídá hladina intenzity L = 67 dB, je-li prahová intenzita zvuku
I0 = 10-12 W·m-2.
29. *Vypočtěte nejnižší slyšitelnou intenzitu zvukové vlny dopadající kolmo na plochu ucha S = 4 cm2, znáte-li
amplitudu tlaku zvukové vlny ∆p, hustotu vzduchu ρ = 1,3 kg/m3 a rychlost zvuku ve vzduchu v = 334 m/s.
30. *Jakou rychlostí se pohyboval závodní motocykl, jestliže poměr blížícího se a vzdalujícího se vozidla byl
pro stojícího pozorovatele 5/4(velká tercie)? Rychlost zvuku je 340 m/s.
31. *Jakou rychlostí v0 se pohybuje houkající automobil k pozorovateli, který se k automobilu blíží rychlostí
v1  12m.s 1 , slyší-li pozorovatel tón houkačky o frekvenci f = 518 Hz, přičemž víme, že houkačka vysílá
tón frekvence f0  499Hz ? Rychlost zvuku je v  340m.s 1 .
32. ***Dvě ponorky se pohybují proti sobě v přibližně stejné hloubce. První se pohybuje rychlostí v1 = 10 m/s a
vysílá ultrazvukový signál s frekvencí f2 = 50 kH. Po odrazu od druhé ponorky detekuje odražený signál
s frekvencí f2 = 52 kH. Určete rychlost v2 druhé ponorky. Stlačitelnost vody při daném tlaku a teplotě vody
je  = 4,9·10-6 cm2·N-1 a hustota vody  = 1030 kg·m-3.
Bodové ohodnocení:
= 1b;
* = 2b
** = 3b; *** = 4b
Relativistická mechanika
33. Vypočtěte hmotnost a kinetickou energii elektronu, který má rychlost v = 0,6c, kde c je rychlost světla ve
vakuu.
34. **Energie relativistických mionů je E = 3 GeV. Určete dráhu L, kterou urazí za dobu své existence, jestliže
klidová energie mionu je E0 = 100 MeV a doba života mionu je t0 = 2,2·10-6 s.
35. *V urychlovači mají protony kinetickou energii E k = 76 GeV. Určete hmotnost m a rychlost v
urychlovaných částic. Předpokládejte klidovou hmotnost protonu m0 = 1,6726·10-27 kg a rychlost světla
c = 3·108 m·s-1.
36. Vypočtěte, při jaké rychlosti v je kinetická energie Ek částice rovna její klidové energii E0.
37. Při jaké rychlosti je relativistická hmotnost částice o 1% větší než její klidová hmotnost?
38. Jaká je celková energie E elektronu s kinetickou energií Ek = 2,53MeV? Jaký je jeho Lorenzův faktor?
39. **Určete rychlost elektronu s kinetickou energií 20 GeV a vypočítejte, o kolik se zpozdí při letu na nejbližší
hvězdu (Proxima Centauri, vzdálenost 4,3 světelné roky) za světelným pulzem, který vyletí s ním současně
ze Slunce.
40. Elementární částice kladný kaon (K+) má v klidu průměrnou dobu života 0,1237 s. Jak daleko doletí tyto
částice během své doby života v laboratorní soustavě, pohybují-li se rychlostí 0,990c.
41. *Dvě částice se pohybují proti sobě rychlostmi v1 = v2 = 0,75c, kde c = 3108 m/s je rychlost světla. Určete,
jakou výslednou rychlostí v se k sobě obě částice vzájemně přibližují.
42. *Určete, o kolik se zvýší hmotnost částice s klidovou hmotností m0 a nábojem Q, která bude urychlena v
homogenním elektrickém poli s rozdílem potenciálů U.
43. Těleso, které má v klidové soustavě tvar krychle o délce hrany 1 m se pohybuje ve směru osy rovnoměrně
přímočaře rychlostí v = 0,95c kolmou na stěnu krychle. Určete objem tělesa v laboratorní vztažné soustavě.
44. *Kosmická loď letí ke hvězdě vzdálené 4 světelné roky stálou rychlostí 0,8c vzhledem k Zemi. Jak dlouho
bude trvat cesta na hvězdu pro pozorovatele na Zemi a pro pozorovatele na lodi?
45. Pozorovatel zjistil, že délka kosmické lodě je přesně rovna polovině její klidové délky.
A) Jaká je rychlost lodě v jeho soustavě?
B) Kolikrát pomaleji jdou hodiny v lodi v porovnání s hodinami pozorovatele?
46. *Jaké napětí urychlí elektron na rychlost c podle klasické fyziky? Jakou rychlost získá při tomto napětí
elektron ve skutečnosti?
Bodové ohodnocení:
= 1b;
* = 2b
** = 3b; *** = 4b