2.5. Maticové řešení soustav lineárních rovnic

2.5. Maticové řešení soustav lineárních rovnic

2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH
ROVNIC
V této kapitole se dozvíte:
•
jak lze obecnou so ustavu lin eárníc h ro vnic zap sat po mo cí matico vého počtu ;
•
přesnou fo rmu laci pod mín ek řešite lnosti sou stavy lineárn ích rov nic
v maticovém tvaru (Frobeniova věta);
•
že jedno značné řešení soustav y lin eárn ích rovn ic lze v yjád řit e legantně pomocí
maticového počtu, a to buď pomocí inverzní matice nebo pomocí d etermin antů
(Cramerovo p ravidlo );
•
maticov ou fo rmu laci eliminační metody.
Klíčová slova této kapitoly: maticový zápis soustavy lineárních rovnic,
matice soustavy, sloupec (vektor) neznámých, sloupec (vektor)
pravých stran, rozšířená matice soustavy, Frobeniova věta, maticový
zápis řešení soustavy lineárních rovnic, Cramerovo pravidlo,
eliminační metoda, zpětná substituce.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly:
0,5 + 1,5 hodiny (teorie + řešení příkladů )
Maticový zápis soustavy lineárních rovnic.
Definice.
Nechť je dána soustava m lineárních rovnic o n neznámých:
a11 x1 + a12 x2 +
a21 x1 + a22 x2 +
............. .............
am1 x1 + am 2 x2 +
... + a1n xn = b1
... + a2 n xn = b2
.
... ............. .....
... + amn xn = bm
 a11 a12 ..... a1n 
a) Matici A ≡ ( aik ) =  a21 a22 ..... a2 n  typu ( m, n ) nazýváme maticí soustavy.
..... ..... 
 ..... .....

 am1 am 2 ..... amn 
 a11 a12 ..... a1n b1 


b) Matici A′ ≡ ( aik ; bk ) =  a21 a22 ..... a2 n b2  typu ( m, n + 1) nazýváme rozšířenou maticí
 ..... ..... ..... ..... ..... 
 am1 am 2 ..... amn bm 
soustavy.
 x1 
T
c) Sloupcovou matici x ≡  x2  = ( x1 , x2 ,..., xn ) nazýváme vektorem (sloupcem) neznámých.
 : 
 xn 
 b1 
 
T
d) Sloupcovou matici b ≡  b2  = ( b1 , b2 ,..., bm ) nazýváme vektorem (sloupcem) pravých
 : 
 bm 
stran.
Věta.
Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých, uvedenou v předchozí definici, můžeme
zapsat v maticovém tvaru
Ax = b .
Poznámka.
Na pravé straně rovnice se jedná o maticové násobení. Ověřte sami, že typově je vše
v pořádku.
Frobeniova věta.
Věta.
Soustava lineárních rovnic je řešitelná právě tehdy, má-li matice soustavy A a rozšířená
matice soustavy A′ stejnou hodnost h . Pak pro h = n existuje právě jedno řešení, pro h < n
existuje řešení nekonečně mnoho.
Poznámka.
a) Pro homogenní soustavu rovnic, tj. soustavu, jejíž vektor pravých stran b je nulovým
vektorem, z uvedené věty plyne, že má vždy aspoň jedno řešení (protože matice rozšířená
se od matice soustavy liší přidáním nulového sloupce a tato operace nemění hodnost).
b) Uvážíme-li platnost relace h ( A ) ≤ min ( m, n ) , platí v případě, kdy soustava má řešení, tj.
kdy h ( A ) = h ( A′ ) = h , nerovnost h ≤ m . Jestliže je tato nerovnost v konkrétním případě
ostrá, tj. h < m , znamená to, že soustava obsahuje pouze h signifikantních rovnic a
zbytek ( m − h ) jsou rovnice, které z těchto rovnic vyplývají a můžeme je jako nadbytečné
vypustit.
c) Případ, kdy soustava nemá žádné řešení, tj. kdy h ( A ) ≠ h ( A′ ) , nastává právě tehdy, když
se v soustavě vyskytuje aspoň jedna rovnice, která je nekompatibilní s ostatními (rovnice
se navzájem vylučují).
Poznámka.
V praxi nejčastějším případem je jednoznačně řešitelná soustava, ve které žádná rovnice
nechybí ani nepřebývá. Tehdy (a jen tehdy) platí m = n = h , nebo-li matice soustavy je
čtvercová řádu n a regulární. Na tento případ se nyní zaměříme.
Maticový zápis řešení soustavy lineárních rovnic.
Věta.
Je-li matice A soustavy n lineárních rovnic o n neznámých Ax = b regulární, je jejím
řešením vektor (sloupec) proměnných
x = A −1b .
Důkaz.
Důkaz je triviální: Ax = b ⇒ A −1Ax = A −1b ⇒ Ex = A −1b ⇒ x = A −1b , cbd. Využívá se faktu,
že matice soustavy je regulární, tudíž k ní existuje matice inverzní.
Poznámka.
Uvedené řešení je formulováno pro celý vektor (sloupec) neznámých najednou. Můžeme ale
jít ještě dále a pomocí maticového počtu (přesněji determinantů) elegantně vyjádřit libovolnou
neznámou xi .
Cramerovo pravidlo.
Věta.
Je-li matice A soustavy n lineárních rovnic o n neznámých Ax = b regulární, pak i -tá
neznámá se dá vyjádřit ve tvaru
xi =
∆i
,
∆
kde ∆ ≡ det A a ∆ i je determinant matice, která vznikne z matice soustavy A tak, že v ní i-tý
sloupec nahradíme vektorem pravých stran b .
Eliminační metoda.
V praxi soustavy rovnic řešíme nejčastěji eliminační metodou. Vyjdeme z rozšířené matice
soustavy a promyšleným přičítáním a odečítáním vhodných násobků jednotlivých řádků
převádíme tuto matici na horní trojúhelníkovou. Máme-li vynulovány všechny prvky pod
hlavní diagonálou, pak z posledního ( n -tého) řádku vypočteme přímo n -tou neznámou xn a
tzv. zpětnou substitucí postupně dopočteme ostatní proměnné od xn −1 až k x1 .
Shrnutí kapitoly:
Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých můžeme zapsat
v maticovém tvaru Ax = b , kde tzv. matice soustavy A je matice
koeficientů u jednotlivých neznámých, sloupcová matice x je vektor
(sloupec) neznámých a b je vektor (sloupec) pravých stran. Zavádí se dále
rozšířená matice soustavy A′ jako matice soustavy A , ke které je zprava
připsán sloupec b pravých stran.
Soustava lineárních rovnic může mít, jak známo, žádné řešení, právě
jedno řešení nebo nekonečně mnoho řešení. O řešitelnosti soustavy
lineárních rovnic pojednává důležitá Frobeniova věta. Ukazuje se, že
řešitelnost soustavy závisí na hodnosti matice soustavy A a hodnosti
rozšířené matice soustavy A′ .
V praxi je nejčastěji třeba řešit soustavu, kdy počet neznámých odpovídá
počtu rovnic a jejíž matice A je regulární. Řešení této soustavy se dá
formulovat maticovým počtem dvěma způsoby. Pro vektor (sloupec)
neznámých platí x = A −1b , a i -tou neznámou lze podle Cramerova pravidla
∆
explicitně vyjádřit ve tvaru xi = i , kde ∆ a ∆ i jsou jisté determinanty.
∆
V praxi se pro řešení soustav lineárních rovnic vyšších řádů používá
nejčastěji eliminační metoda, vycházející z rozšířené matice soustavy.
Otázky:
•
Jak lze ob ecnou sou stavu lineární ch rovn ic zap sat po mo cí matico vého počtu?
Definujte matici sou stav y, sloupe c nezn ámý ch, sloup ec p ravých stran,
rozšířenou matici sou stavy. Jak á maticová operace vystupuje v p ožadovaném
zápisu?
•
Čeho se tý k á a jak p řesně zní Frobeniova věta?
•
Kolika způsoby můžeme maticově zapsat řešení soustavy lineárníc h rovnic
v případě, že počet rovnic je roven počtu neznámých a matice so ustavy je
regulárn í? Čím se tyto způsob y liší?
•
Fo rmu lujte přesně řeše ní soustav y lineárních rovnic po mo cí inv e rzn í matice
soustavy. Kdy lze tento způ sob použít?
•
Fo rmu lujte přesně řeše ní soustavy lineární ch rovnic po mo cí Cramerova
pravidla. Za jakých podmínek lze toto „pravid lo“ použít?
•
Jaká je základní idea elimin ační metody?
Příklad 1.
Vyřešte soustavu lineárních rovnic (je-li to možné) Cramerovým
pravidlem, pomocí inverzní matice soustavy a eliminační metodou ,
případně jinak:
a)
x + 2y =
6
x + 2y = 1
; b)
;
y = −3
−x +
−2 x − 4 y = − 2
x + 3y + 2z = 1
x + 2y = 1
c)
; d) 2 x + 2 y +
z = −1 ;
−2 x − 4 y = − 1
3x +
y +
z= 2
2x +
e) 2 x −
−3 x +
3 y − 2 z = −1
3x −
2y
= 4 ; f) 2 x +
y −
z= 2
y − 2z =
3
2y −
z = −3 .
− y − 2z =
0
Řešení příkladů.
 4
1a) Právě jedno řešení   ; 1b) Nekonečně mnoho řešení
1
0
1c) Žádné řešení; 1d) Právě jedno řešení  −3  ;
5
 
1 − 2 y 
 y , y∈R;


1
 1  
1e) Právě jedno řešení  −   7  ; 1f) Právě jedno řešení
 3  
 10 
1
 2 .
− 
1
 
Další zdroje:
1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997.
2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996.
3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996.
4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus,
1995.
ZÁVĚR:
[Tady klepněte a pište]