Počítače a fyzika

Transkript

Počítače a fyzika

1/99
Počı́tače a fyzika
Počítače a fyzika
Stanislav Hledík
Přednáška pro U3V FPF SU v Opavě 30. března 2006
Abstrakt
Počítače a fyzika? Proč ne Fyzika a počítače? A co
tak Lidé, počítače a fyzika? Subjektivní pohled očima
fyzika, který se s počítači důvěrněji seznámil až poté,
co se trochu vyznal ve fyzice.
•Prvnı́ •Předchozı́ •Dalšı́ •Poslednı́ •Zpět •Vpřed •Obsah •Najdi •Celá obr. •Zavři •Konec
2/99
Obsah
1 Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kalkulační pomůcky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Počátek 19. století . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konec 19. a začátek 20. století . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
První půle 20. století . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poválečný rozmach počítačů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vznik počítačového průmyslu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boom mikroprocesorů a personálních počítačů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pár historických výroků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
9
15
15
28
38
40
47
2 Jak a co počítače počítají ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reprezentace čísel v počítači . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proč a nač se ve fyzice počítače používají? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Příklad na vytvoření počítačové simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Některé další metody používané v numerických simulacích . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Další příklad počítačové simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
48
49
50
57
70
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3/99
1. Historie
❖
Počítače jsou nespolehlivé, lidé také. Avšak počítače jsou v tom
mnohem důkladnější. —Murphy
Fyzika a matematika nejbohatší zdroj podnětů pro rozvoj počítačové technologie; nedávný příklad (1989): CERN – Timothy
Berners-Lee vynalezl WEB
Numerické výpočty byly a jsou potřebné ve fyzice, astronomii, technice, vojenství, . . . dnes ve všech odvětvích vědy
Symbolické manipulace (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 důležité v matematice a teoretické fyzice
Počítačová grafika, multimédia moderní odvětví computer science
Komunikace, zábava Internet, Email, počítačové hry, video, . . .
Fyzika
Počı́tače
4/99
Orientace v čase Počítání dnů, období, kalendář (Stonehenge v Anglii cca 2800 př. n. l.)
Orientace v prostoru Délky, kusy, . . .
Číselné soustavy Desítková, dvanáctková, šedesátková (v anglosaském světě dodnes), dvacítková
5/99
Kalkulační pomůcky
Čína: abakus (ruská verze)
6/99
Pascalina z r. 1642 francouzského matematika Blaise Pascala
(1623–1662)
7/99
Další kalkulační strojky; vpravo nahoře Leibnizův, v zámku Raduň
mechanický kalkulátor pro výpočet daní
8/99
. . . a donedávna používané logaritmické pravítko
9/99
Počátek 19. století
Charles Babbage, 1791–1871, Anglie:
matematik, posedlost kvantifikací čehokoliv, obdivovatel železnice, tunely, žaludeční výplachové pumpy, studoval odolnost lidského těla vůči vysokým teplotám. Nenáviděl pouliční hudebníky, pokoušel se matematicky předpovídat dostihové výsledky.
V oblasti výstavby počítačů předběhl
dobu o cca 100 let.
1823–1854: stavba Difference Engine, řízen pevným programem, pohon parním strojem, rozloha fotbalového hřiště, pro výpočty matematických tabulek, zůstal nedokončen
10/99
1854: děrnými štítky řízený Analytical Engine – idea děrných štítků
převzata od tkalce a průmyslníka J. M. Jacquarda a mechanika J. de
Vausancona.
Idea podmíněného skoku – připisována Babbageově dlouholeté přítelkyni lady Lovelace
11/99
Ada Byron, Lady Lovelace (1815–1852) – matematička, první programátor na světě, autorka myšlenky podmíněného skoku v programu,
popularizátorka díla Charlese Babbage. V r. 1944 překlad Babbageova článku o Difference machine, doplněn o její vlastní poznámky.
12/99
Podmíněný skok:
if (k > 0)
... pro kladné k udělá program toto ...
else
... a pro záporné nebo nulové k zase tohle
Větvení programu (skok) podle splnění či nesplnění podmínky.
Na její počest nazván programovací jazyk Ada vyvinutý v roce 1979
pro potřeby US ministerstva obrany.
13/99
Příklad na podmíněný skok: Gaussův algoritmus pro výpočet data
Velikonoční neděle (první neděle po prvním jarním úplňku). Vstupem
je rok (proměnná year), výstupem měsíc březen (4) nebo duben (3) a
den (proměnná day):
day=(19*(year%19)+24)%30;
day=day+22+((5+2*(year%4)+4*(year%7)+6*day)%7);
if (day>=57) day = day-7;
if (day>31)
printf("%s%2d\n"," 4 ",day-31);
else
printf("%s%2d\n"," 3 ",day);
14/99
15/99
Konec 19. a začátek 20. století
Řízení mechanickým záznamem děrné štítky, válce s výstupky, mechanické automaty, hrací strojky, . . .
Herman Hollerith navrhl tabulátor – třídil děrné štítky podle kódu
ve formě perforovaných otvorů, použito pro sčítání obyvatel
r. 1890 v USA. Značně omezené použití, ale velmi rozšířené.
Zakladatel International Business Machines.
Začátek 20. stol. ve znamení Hollerithových kalkulátorů
První půle 20. století
Období mezi světovými válkami Konrad Zuse a Alan Turing.
2. svět. válka hlavně vojenské využití
Poválečný rozvoj Vývojový trend přesměrován do komerčních aplikací, USA získávají světovou dominanci v poč. technologiích
16/99
Konrad Zuse (1910–1995)
Německý letecký inženýr u Henschel
Flugzeugwerke, statické výpočty letadel
jej r. 1934 přivedly k myšlence konstrukce výpočetního stroje. Neznal dílo
Ch. Babbage.
R. 1938 první stroj Z1 s elektromag. relé.
R. 1939 opět reléový počítač Z3 (2400
relé) řízený děrnou páskou, 50 operací/s, první počítač využívající binární
číselné soustavy.
R. 1942 Z4 s větším výkonem, na konci války putoval složitě až na
curyšskou polytechniku, zde až do r. 1955.
Zuse Institut Berlin: http://www.zib.de/, http://amira.zib.de/
17/99
Detail Z1, 1938
18/99
Rekonstruovaný Z3, poprvé použita binární soustava, 1939
19/99
Z4, 1942
20/99
Detail Z4
21/99
K. Zuse u repliky svého počítače
22/99
Binárnı́ čı́sla
Dekadická soustava – báze (basis) 10, deset číslic (digits) 0, . . . , 9:
109.375 = 1 × 102 + 0 × 101 + 9 × 100
+ 3 × 10−1 + 7 × 10−2 + 5 × 10−3
22/99
Binárnı́ čı́sla
Dekadická soustava – báze (basis) 10, deset číslic (digits) 0, . . . , 9:
109.375 = 1 × 102 + 0 × 101 + 9 × 100
+ 3 × 10−1 + 7 × 10−2 + 5 × 10−3
Dvojková soustava (binary system) – báze 2, dvě číslice (bit = binary
digit) 0, 1:
109.375 = 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
+ 0 × 2−1 + 1 × 2−2 + 1 × 2−3
= 1101101.011
1
MSB
1 0
1
1
0
1
0
LSB
MSB
1
1
LSB
LSB = least signif. bit
MSB = most signif. bit
23/99
Aritmetické operace s binárnı́mi čı́sly
Analogicky jako v dekadické soustavě:
1 + 0 = 1, 1 + 1 = (10)2 = (2)10 , (10)2 + 1 = (11)2 = (3)10 , atd.
1
+
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
×
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
24/99
Konverze z dekadické do dvojkové soustavy
Celočíselná část:
109 Kvocient
: 2 Zbytek
54
1
27
0
13 6 3 1 0
1 1 0 1 1
LSB
MSB
Pozor! Opačné pořadí: LSB → MSB.
Zlomková část:
0.375
×2
Zlomek
Celé č.
0.75
0
MSB
0.5
1
0
1
LSB
25/99
Alan Mathison Turing (1912–1954)
Britský matematik zabývající se vztahem
stroje a přírody ⇒ umělá inteligence
(AI). V r. 1936 článek On Computable
Numbers, v němž popsal hypotetické zařízení zvané dnes Turingův stroj: teoretický základ programovatelných počítacích strojů.
V r. 1950 článek popisující možnost testování inteligence stroje – Turingův test.
Ve válečných letech práce pro armádu – rozluštění kódu německého šifrovacího stroje Enigma. Od r. 1945 na univerzitě v Manchesteru: vývoj počítacího
stroje MADAM (Manchester Digital Automatic Machine).
26/99
Turing byl vynikající běžec (maratón pod 3 hodiny).
27/99
Příklad jednoduchého Turingova stroje
Čtecı́/záznamová hlava
0
1
1 0
1
1
1
0
1
Děrná páska
0
Start
Stav 3
0
0
0
1
Stav 2
Stav 1
0
28/99
Poválečný rozmach počítačů
Howard H. Aiken (1900–1973) r. 1944 na Harvardu reléový Mark I,
23 dekadických míst, log, cos, sin, tg, papírová děrná páska bez
zpětného chodu, později Mark II (1947).
John W. Mauchly, J. Presper Eckert v r. 1946 na pensylvánské univerzitě ENIAC (Electrical Numerical Integrator and Calculator)
– 10 dekadických míst, 18000 elektronek, 30 tun (rozměry
30 m × 3 m × 1 m). Používán armádou do r. 1955 pro balistickou laboratoř.
Na vývoji ENIACu se podílel John von Neumann.
29/99
Mark I
30/99
ENIAC
31/99
ENIAC
32/99
John von Neumann (1903–1957)
Americký matematik maďarského původu, působil na univerzitě v Princetonu
v USA. Během 2. světové války působil
jako expert a konzultant několika vládních komisí a byl ve styku s vědci, kteří
byli z důvodu utajení od sebe izolováni.
Díky tomu měl obrovský přehled v trendech vývoje počítačů.
Přivedl k sobě skupinu vědců z Los Alamos (atomová bomba) a skupinu připravující ENIAC.
V r. 1945 publikoval závěry, podle nichž může pčítač mít pevnou fyzickou strukturu a přesto může provádět jakékoliv výpočty řízené programem: von Neumannova koncepce.
33/99
John von Neumann
34/99
J. R. Oppenheimer a John von Neumann
35/99
36/99
Výsledkem von Neumannových prací: flexibilnější a účinnější programování s možností knihovních subrutin.
EDVAC Electronic Discrete Variable Automatic Computer, John W.
Mauchly, J. Presper Eckert
UNIVAC použit při odhadu volebních výsledků v US prezidentské
kampani r. 1952. Předpověď Eisehowerova vítězství, ačkoli novináři nevěřili a uveřejnili opak. Nakonec se předpověď potvrdila a média oslavovala novou techniku.
Ferranti Mark I v Anglii na univerzitě v Manchesteru r. 1949, paměťová elektronka F. C. Williamse a T. Kilburna. První demo
programy napsány A. Turingem.
EDSAC Electronic Delay Storage Automatic Calculator r. 1949 pod
vedením M. V. Wilkese
37/99
UNIVAC
38/99
Vznik počítačového průmyslu
•
Pionýrská doba: na univerzitách, v armádě; ojedinělé exempláře
•
Průmyslová výroba: počítačoví nadšenci z univerzitního vývoje,
obvykle se dostali do finančních problémů a skončili u zavedených firem
•
Tyto obchodně zdatné firmy si uvědomily možnost nového trhu
•
IBM měla počáteční kapitál z prodeje Hollerithových tabulátorů, dosud jeden z největších dodavatelů počítačů na světě
Počítače založené na elektronkách:
39/99
Přelomový model IBM 360 z roku 1964, založený na monolitických a
hybridních obvodech, stavebnicová struktura používaná v podstatě
dodnes.
40/99
Boom mikroprocesorů a personálních počítačů
Altair 8800 v roce 1975 – stavebnice fy MITS za 400 USD, paměť
256 Byte, uživatel si musel psát programy sám ve strojovém
kódu, neboť na trhu žádné nebyly.
Apple II Steve Wozniak a Steve Jobs se zabudovaným interpretem
BASICu, barevnou grafikou a 4.1 kB paměti, cena 1300 USD
IBM malý počítač Acorn, později známý pod názvem IBM PC. 16 kB
operační paměti, klávesnici z el. psacího stroje IBM a připojení
ke kazetovému magnetofonu, cena 1300 USD. IBM uvolnilo
zdrojový kód tzv. BIOSu a vznikla řada klonů – IBM PC kompatibilních počítačů.
Apple Macintosh r. 1984, s GUI (grafické rozhraní)
IBM 286-AT s aplikací Lotus 1-2-3 a Microsoft Word
Intel dodavatel mikroprocesorů
Microsoft a fenomén Bill Gates
41/99
Apple I
42/99
Apple II
43/99
Apple Macintosh (1984)
44/99
Velký superpočítač Cray I ze 70. let
45/99
IBM PC
46/99
Sinclair ZX80 a ZX 81
47/99
Pár historických výroků
❖
Vypadá to že jsme narazili na hranici toho, čeho je možné dosáhnout s počítačovými technologiemi.
Člověk by si ale měl dávat pozor na takováto tvrzení, protože do 5 let se obvykle ukáží jako pěkná
pitomost. —John von Neumann, 1949
❖
Počítače by v budoucnu mohly vážit i méně než 1,5 tuny. —Časopis Popular Mechanics, 1949
❖
Ale . . . k čemu by to mohlo být dobré? —IBM, 1968
❖
Nemyslím si, že by na světovém trhu byla poptávka po více než pěti počítačích.
—Thomas J. Watson, 1943
❖
Pro pokrytí celosvětových potřeb by mělo stačit asi deset počítačů. —Thomas J. Watson, 1946
❖
Není žádný důvod, proč by lidé měli mít počítače doma. —Ken Olsen, 1977
❖
Jednoho dne budeme mít osobní počítače a budeme žít normálněji . . . —Donald E. Knuth, 1978
❖
Počítače jsou k ničemu. Dokáží pouze poskytovat odpovědi.
—Pablo Picasso
❖
640 KB paměti by mělo každému stačit. —Bill Gates, 1981
48/99
2. Jak a co počítače počítají ve fyzice
Reprezentace čísel v počítači
•
Binární čísla, aritmetika s binárními čísly
•
Různé typy dat: znaky, celá čísla, desetinná čísla, řetězce, složitější datové typy
Pro fyzikální výpočty mají zásadní význam reálná čísla:
•
IEEE standard pro reálná čísla
•
Operace s reálnými čísly
48/99
2. Jak a co počítače počítají ve fyzice
Reprezentace čísel v počítači
•
Binární čísla, aritmetika s binárními čísly
•
Různé typy dat: znaky, celá čísla, desetinná čísla, řetězce, složitější datové typy
Pro fyzikální výpočty mají zásadní význam reálná čísla:
•
IEEE standard pro reálná čísla
•
Operace s reálnými čísly
Pojďme si s nimi na chvíli pohrát . . .
49/99
Proč a nač se ve fyzice počítače používají?
Počítačová fyzika – fyzika, jejíž hlavní výsledky jsou získány s podstatnou podporou počítačů (nejen např. na vykreslení grafů, nebo na
výpočet z analytických formulí apod.)
Počítačové simulace: vytvoření matematického modelu založeného na známých fyzikálních zákonech. Model může být „ručnímu“ řešení zcela
nepřístupný. Úkolem počítače je provést nesmírně rychle obrovské
množství aritmetických operací spojených s řešením rovnic matematického modelu.
49/99
Zpracování experimentálních dat: počítač dokáže velmi efektivně filtrovat
data z gigantických experimentů, jejichž výsledky vedou k novým fyzikálním objevům. Velké urychlovače, CERN, atd. Minulá přednáška
Mgr. Gabriela Töröka – zpracování experimentálních dat z rentgenových družic.
49/99
Zpracování experimentálních dat: počítač dokáže velmi efektivně filtrovat
data z gigantických experimentů, jejichž výsledky vedou k novým fyzikálním objevům. Velké urychlovače, CERN, atd. Minulá přednáška
Mgr. Gabriela Töröka – zpracování experimentálních dat z rentgenových družic.
Řízení experimentu: Urychlovače, Hubbleův vesmírný teleskop, ale v podstatě každý novější laboratorní přístroj je do jisté míry řízen počítačem. Mobily, elektronické systémy aut, . . .
50/99
Příklad na vytvoření počítačové simulace
(síla na míč) = (tíhová)
50/99
(síla na míč) = (tíhová) + (odpor vzduchu)
50/99
(síla na míč) = (tíhová) + (odpor vzduchu) + (Magnusova)
51/99
Započtení jen tíhy: snadné, řeší se na střední škole (šikmý vrh)
51/99
Připočtení odporu vzduchu: obtížnější, balistická křivka
51/99
Připočtení odporu vzduchu: obtížnější, balistická křivka
Připočtení rotace (faleš): kulatý míč se začne chovat podobně jako
křídlo letadla, vzniká vztlak, který jej vychyluje z dráhy
Magnusova sı́la
proudnice
vztlak
proudnice
rychlost
odpor
rotace
odpor
rychlost
52/99
Výsledkem je soustava tří ODR (tzv. pohybových rovnic) pro tři souřadnice středu míče x, y, z:
m
d2 x
dt 2
=
dz
1
dx
dy − C(v)Sρv +CM ρΩv n y − n z
2
dt
dt
dt
m
d2 y
=
dt 2
dx
1
dy
dz − C(v)Sρv +CM ρΩv n z
− nx
2
dt
dt
dt
dy
1
dz
dx d2 z
m 2 = −mg− C(v)Sρv +CM ρΩv n x
− ny
dt
2
dt
dt
dt
q dy 2
dz 2
dx 2
přičemž ještě v =
+
+
dt
dt
dt .
Kromě pohybových rovnic musíme znát počáteční podmínky: odkud a
jakou rychlostí fotbalista míč vykopl v čase, který si označíme 0.
53/99
Jak s těmito rovnicemi počítač (podle našich instrukcí – programu)
naloží?
1.
Za základ se vezme počáteční poloha a rychlost:
53/99
naloží?
1.
2.
Ze znalosti pohybových rovnic spočte polohu a rychlost, kterou
míč bude mít po uplynutí krátkého (ale konečného) časového
intervalu:
53/99
naloží?
1.
2.
intervalu:
3.
Pak spočte polohu a rychlost po dalším časovém intervalu:
53/99
naloží?
1.
2.
intervalu:
3.
Pak spočte polohu a rychlost po dalším časovém intervalu:
4.
. . . atd. atd. Pozor – musíme mít odhad chyby:
54/99
Co od nás počítač bude vyžadovat?
Algoritmus: postup, který vede k vyřešení všech úloh daného typu
v konečném počtu kroků. Např. jeden z algoritmů pro řešení
ODR se jmenuje po svých objevitelích Runge–Kutta, další pak
Bulirsch–Stoer
Vstupní data: v naší ukázce jde o počáteční hodnoty polohy a rychlosti míče. Demonstrace na Gaussově algoritmu.
54/99
Co od nás počítač bude vyžadovat?
Algoritmus: postup, který vede k vyřešení všech úloh daného typu
v konečném počtu kroků. Např. jeden z algoritmů pro řešení
ODR se jmenuje po svých objevitelích Runge–Kutta, další pak
Bulirsch–Stoer
Vstupní data: v naší ukázce jde o počáteční hodnoty polohy a rychlosti míče. Demonstrace na Gaussově algoritmu.
Jak tyto údaje počítači sdělíme?
Pomocí programu. V začátcích počítačů se instrukce programu i data
vkládaly pomocí strojového kódu – extrémně nepřehledné a špatně
modifikovatelné, navíc závislé na hardwaru. Dnes: pomocí určitého
programovacího jazyka.
Algoritmus = myšlenka, program = její vyjádření v konkrétním jazyce
55/99
Programovací jazyky používané pro numerické simulace ve fyzice:
Nízkoúrovňové jazyky: C, C++, Fortran
#include <stdio.h>
int main(void)
{
float x=1.0/3.0;
putchar(’\n’);
if (3.0*x==1.0)
printf("%s\n","Correct");
else
printf("%s\n","Incorrect");
return 0;
}
PROGRAM quiz_inc
IMPLICIT NONE
REAL :: x=1.0/3.0
PRINT*
IF ((3.0*x) .EQ. 1.0) THEN
PRINT*, ’Correct’
ELSE
PRINT*, ’Incorrect’
END IF
STOP
END PROGRAM quiz_inc
Vysokoúrovňové jazyky: Mathematica, Maple, IMSL, . . . Obvykle
integrují i grafiku a animaci.
N[(1.0/3.0)*3.0]
56/99
Ukázka řešení ODR – simulace pádu do černé díry. Na rozdíl od míče
musíme spočítat dráhu fotonu pro každý obrazový bod – pixel!
57/99
Některé další metody používané v numerických simulacích
Řešenı́ lineárnı́ch algebraických rovnic
Dvě algebraické rovnice pro dvě neznámé x, y:
4.76x + 104.2y = 54.1
15.06x − 2.2y = −17.5
57/99
4.76x + 104.2y = 54.1
15.06x − 2.2y = −17.5
Tři algebraické rovnice pro tři neznámé x, y, z:
4.76x + 104.2y − 67.0z = 54.1
15.06x − 2.2y + 1.28z = −17.5
5.67x − 2.1y − 91.6z = 7.12
57/99
4.76x + 104.2y = 54.1
15.06x − 2.2y = −17.5
Tři algebraické rovnice pro tři neznámé x, y, z:
4.76x + 104.2y − 67.0z = 54.1
15.06x − 2.2y + 1.28z = −17.5
5.67x − 2.1y − 91.6z = 7.12
Co když máme 1000 rovnic pro 1000 neznámých? Tehdy je Cramerovo pravidlo, které se učí děti na středních školách, k ničemu. Existují
metody pro numerické řešení: Gaussova–Jordanova eliminace, trojúhelníková faktorizace, . . .
58/99
Interpolace a extrapolace
10
26
9
24
22
1
8
2
4
20
y
7
3
6
18
5
16
14
12
10
3.1
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
x
Interpolace polynomiální, racionální, kubickými splajny, . . .
59/99
Numerická integrace (kvadratura)
Trapezoidální pravidlo, Simpsonovo pravidlo, Rombergova kvadratura, Gaussova kvadratura, . . .
60/99
Hledánı́ kořene a nelineárnı́ rovnice
y
y = f (x)
x
kořeny rovnice f (x) = 0
Metoda sečen, Newtonova–Raphsonova, . . .
61/99
Hledánı́ maxim a minim funkcı́
y
maximum
maximum
x
minimum
62/99
Parciálnı́ diferenciálnı́ rovnice
Hyperbolické, parabolické (evoluční); eliptické
Vizualizace numerické simulace přílivových sil působících na akreční
disk okolo černé díry. Numerická data: John Blondin, North Carolina
State University’s Physics Department. Vizualizace: program Amira.
63/99
Kvantová chemie: simulace hustoty pravděpodobnosti výskytu protonu v argonovém klastru. Vizualizace pomocí Amiry: J. SchmidtEhrenberg
64/99
Obrázek znázorňuje elektrostatický potenciál ribonukleázy T1. Vizualizace pomocí Amiry.
65/99
Simulace proudění vzduchu kolem křídla. Vizualizováno pomocí modulu Amiry pro zobrazení silokřivek.
66/99
Animace splynutí neutronových hvězd obíhajících okolo sebe. Vizualizace hustoty energie W. Benger, simulace AEI Potsdam.
67/99
Obecně relativistická simulace gravitační energie. Vizualizace hustoty
energie W. Benger, simulace AEI Potsdam.
68/99
Rychlá Fourierova transformace a spektrálnı́ metody
Efektivní výpočet Fourierovských spekter je umožněn rychlým algoritmem Fourierovy transformace, jenž redukuje počet operací z O(N 2 )
na O(N log N ). Pro počet vzorků N ≈ 1000000 to znamená urychlení výpočtu 10000–100000×. Jinými slovy: výpočtu, který by trval
bez rychlého algoritmu 1 den, postačí s rychlým algoritmem okolo 1 s.
Spektrální aplikace mají široké využití téměř všude:
•
•
•
•
•
•
Radioastronomie
Zobrazování v medicíně
Seismologie
Spektroskopie
Zpracování obrazu a multimédia
Komunikace . . . a spousty dalších
68/99
Rychlá Fourierova transformace a spektrálnı́ metody
Efektivní výpočet Fourierovských spekter je umožněn rychlým algoritmem Fourierovy transformace, jenž redukuje počet operací z O(N 2 )
na O(N log N ). Pro počet vzorků N ≈ 1000000 to znamená urychlení výpočtu 10000–100000×. Jinými slovy: výpočtu, který by trval
bez rychlého algoritmu 1 den, postačí s rychlým algoritmem okolo 1 s.
Spektrální aplikace mají široké využití téměř všude:
•
•
•
•
•
•
Radioastronomie
Zobrazování v medicíně
Seismologie
Spektroskopie
Zpracování obrazu a multimédia
Komunikace . . . a spousty dalších
Co je vlastně ta Fourierova transformace?
69/99
Počı́tačová grafika
70/99
Další příklad počítačové simulace
71/99
72/99
73/99
74/99
75/99
76/99
77/99
Glorie
78/99
Čím jsou způsobeny tyto jevy, včetně všech detailů?
•
•
Nejjednodušší vysvětlení: geometrická optika. Je schopna přibližně vysvětlit barvy duhy, ale ne nadpočetné proužky a Alexandrův tmavý pás. Glorii neumí vysvětlit vůbec.
Všechny tyto jevy vysvětluje exaktní teorie rozptylu elektromagnetických vln na dielektrické kouli – náročná na výpočetní výkon.
79/99
80/99
81/99
82/99
83/99
Mieova teorie
Era
Hra = 0,
=
E ϑa
=
E ϕa
=
Hϑa
=
Hϕa
=
(2.1)
E 0 cos ϕ e−ikr ∞
Σl=1 (cl Sl + bl Q l ), ,
k
r
0
−ikr
−E sin ϕ e
∞ (c Q + b S ),
Σl=1
l l
l l
k
r
0
−ikr
E sin ϕ e
∞ (c Q + b S ), ,
Σl=1
l l
l l
k
r
E 0 cos ϕ e−ikr ∞
Σl=1 (cl Sl + bl Q l ).
k
r
0
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
0
cl
=
2l + 1 ψl (γ )ψl (γ m) − mψl (γ )ψl (γ m)
,
l(l + 1) χl (γ )ψ 0 (γ m) − mχ 0 (γ )ψl (γ m)
l
l
bl
=
2l + 1 ψl (γ )ψ 0 l (γ m) − mψl (γ )ψl (γ m)
,
l(l + 1) χ 0 (γ )ψl (γ m) − mχl (γ )ψ 0 (γ m)
l
l
0
(2.6)
0
(2.7)
kde
ψl (x) =
r
πx
J 1 (x),
2 l+ 2
χl (x) =
r
πx (2)
(x).
H
2 l+ 12
(2.8)
84/99
Počet členů v nekonečné sumě parciálních vln, jenž je nutné pro danou
vlnovou délku λ vzít v úvahu, je
2πa
N=
+ 1,
λ
(2.9)
Číslo N nabývá hodnot řádově 102 (pro a ∼ 0.01 mm) až 104 (pro
a ∼ 1 mm), přičemž s klesající hodnotou λ roste a maxima Nmax nabývá pro λ = λmin . Jsou-li proměnné λ, θ rozděleny po řadě do Nλ a Nθ
hodnot, musíme volat rutiny pro výpočet Besselových funkcí a asociovaných Legendreových polynomů obsažených ve výrazech pro koeficienty cl , bl , Q l , Sl – řádově Nmax Nλ Nθ krát, což může dosáhnout 108
až 1010 volání. To způsobuje pomalost kódu. Například simulace duhy
pro a = 1 mm trvá na sériovém stroji s procesorem Pentium 4/1800
cca 1 den.
85/99
Poloměr kapky 0.01 mm, plošné Slunce
přirozená
horizontální polarizace
vertikální polarizace
86/99
Poloměr kapky 0.01 mm, bodové Slunce
přirozená
87/99
přirozená
88/99
přirozená
89/99
přirozená
90/99
přirozená
91/99
přirozená
92/99
přirozená
93/99
přirozená
94/99
přirozená
95/99
přirozená
96/99
přirozená
97/99
přirozená
98/99
přirozená
99/99
Reference
[Jirovský, 2000] Jirovský, V. (2000).
Principy počítačů.
Matfyzpress, Praha.
[Press et al., 1997] Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., a Flannery, B. P. (1997).
Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing.
Cambridge University Press, Cambridge, 2nd vydání.
[Práger a Sýkorová, 2004] Práger, M. a Sýkorová, I. (2004).
Jak počítače počítají.
Pokroky Mat. Fyz. Astronom., 49(1):32–45.

Počítače a fyzika

Transkript

Podobné dokumenty

Cˇ eská Lípa Linka Zastávka : Okrešice Smeˇr : Hlavní nádraží Linka

2. Tematický celek: Počítačové sítě

2. Historie výpočetní techniky. Počátky, vznik počítačů, vývoj

systémy přednemocniční péče versus urgentní medicína

Aerosolový slovník

Termoreflexní navrhování se stavebními fóliemi Sunflex

ceník - PROWORK

Sběratelské zprávy HK - ČNS v Hradci Králové

Aerodynamický tunel

ABSOLVENTSKÁ PRÁCE Historie počítačů