Pseudospektra v kvantové mechanice

Pseudospektra v kvantové mechanice
školitel: David Krejčiřík
typ práce: bakalářská/diplomová
popis tématu:
Koncept kvantové mechaniky je dobře chápán mimo jiné díky existenci spektrálního
rozkladu pro samosdružené operátory: každý takovýto operátor lze diagonalizovat a jeho
spektrum je čistě reálné. V poslední době však došlo k nevídanému zájmu o fyzikální
teorie s nehermitovskými operátory, a to především díky pozorování, že existuje obrovská
třída operátorů, jejichž spektrum je reálné (tedy v principu měřitelné) jako důsledek
jistých (fyzikálních) symetrií namísto (matematické) samosdruženosti. Předmětem úkolu
je formulace a řešení takovýchto spektrálních úloh při absenci standardního spektrálního
rozkladu.
10
d2
− 2 + x2
dx
5
0
−5
−10
10
−e−iθ
d2
dx2
+ eiθ x2
5
0
−5
−10
10
−
d2
+ (x + i)2
dx2
5
0
−5
−10
0
5
10
15
20
25
30
35
Ukazuje se, že v nesamosdruženém případě lze výhodně pojem spektra nahradit tzv. pseudospektrem, jež lépe popisuje nesamosdružené efekty. Tento obrázek ukazuje pseudospektrum standardního (samosdruženého) harmonického oscilátoru a jeho rotované a
posunuté nesamosdružené ekvivalenty. Možným předmětem úkolu je studovat analytické
(případně numerické, podle vkusu) aspekty pseudospekter diferenciálních operátorů.
doporučená literatura: D. Krejčiřík and P. Siegl. Elements of spectral theory without
the spectral theorem, Wiley-Interscience, 2015.