Pravděpodobnost a statistika - Student na prahu 21. století

Transkript

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově
Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia
Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve
vyučování matematiky na gymnáziu
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2010
2
Pravděpodobnost a statistika
Úvod
Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách
a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny
střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické
vybavení a zázemí.
Cílová skupina:
Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových
materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se
nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů
částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového
studia.
3
Obsah
Pokusy, jevy ............................................................................................................................... 5
Základní pojmy ...................................................................................................................... 5
Operace s jevy ........................................................................................................................ 6
Operace s jevy Varianta A.................................................................................................. 7
Operace s jevy Varianta B ................................................................................................ 10
Operace s jevy Varianta C ................................................................................................ 14
Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................... 16
Klasická pravděpodobnost ....................................................................................................... 18
Klasická pravděpodobnost Varianta A ............................................................................. 19
Klasická pravděpodobnost Varianta B ............................................................................. 22
Klasická pravděpodobnost Varianta C ............................................................................. 25
Věty o pravděpodobnostech ................................................................................................. 31
Věty o pravděpodobnostech Varianta A .......................................................................... 33
Věty o pravděpodobnostech Varianta B........................................................................... 35
Věty o pravděpodobnostech Varianta C ........................................................................... 40
Statistika ................................................................................................................................... 44
Důležité pojmy ..................................................................................................................... 44
Rozdělení četností a jeho grafické znázornění ..................................................................... 45
Statistické diagramy ............................................................................................................. 46
Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta A .............................................. 49
Výsledky varianta A ......................................................................................................... 55
Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta B............................................... 61
Výsledky varianta B ......................................................................................................... 64
Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění Varianta C............................................... 66
4
Výsledky varianta C ......................................................................................................... 69
Charakteristiky polohy a variability ..................................................................................... 71
Charakteristiky polohy a variability Varianta A .............................................................. 73
Charakteristiky polohy a variability Varianta B .............................................................. 76
Charakteristiky polohy a variability Varianta C .............................................................. 80
Souhrnné příklady k procvičení - výsledky...................................................................... 85
5
Pokusy, jevy
Základní pojmy
náhodné pokusy
- procesy, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit.
Závisí jednak na daných podmínkách, při kterých je prováděn, jednak na náhodě
množina všech možných výsledků pokusů (značíme
, její libovolný prvek písmenem
)
předpokládá se, že u každého náhodného pokusu je možno předem určit všechny možné
výsledky, a to tak, že se navzájem vylučují a že jeden z nich nastane vždy
jev
- podmnožina množiny všech možných výsledků
jistý jev
- jev, který při daném pokusu určitě nastane (celá množina
nemožný jev
- jev, který nemůže nastat (prázdná množina
)
)
6
Operace s jevy
Nechť A
,B
. Pro jevy A, B platí:
A
B
A je podjevem jevu B
A
B
sjednocení jevů A a B nastává právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů
AaB
A
průnik jevů A a B nastává právě tehdy, nastanou-li oba jevy A a B současně
B
opačný jev k jevu A nastává právě tehdy, když nenastává jev A
A´
A
Je-li A
Příklad:
B
A´
,A
A´
, nazýváme jevy A a B disjunktní (navzájem se vylučují)
Závodu v lukostřelbě se účastní 3 děti (Iva, Jana a Tomáš). Určete množinu
všech možných výsledků závodu příznivých jevu A. Jev A značí, že Tomáš
nebude poslední. Interpretujte A´ .
Řešení:
Možných výsledků je 3! 2! 4 , lze je popsat uspořádaným čtveřicemi. Z
hlediska kombinatoriky budeme tvořit uspořádané čtveřice bez opakování ze tří
písmen (počáteční písmena jmen dětí).
I ,T , J , J ,T , I , T , I , J , T , J , I
Jev A´ je opačný jev, takže značí, že Tomáš bude poslední.
7
Operace s jevy
Varianta A
Příklady:
Pan Tupa hází třemi mincemi. Určete množinu všech možných výsledků, které mohou nastat,
jestliže:
a) se jedná o tři stejné mince.
b) se jedná o mince různých měn.
Řešení:
a) Může padnout panna nebo orel (označme písmeny p a o). Mince od sebe nelze rozlišit,
takže budeme tvořit neuspořádané trojice ze dvou prvků (trojčlenné kombinace
s opakováním ze dvou prvků). Možných výsledků je
2 3 1
3
4.
b) Může padnout panna nebo orel (označme písmeny p a o). Mince lze rozlišit, budeme tvořit
uspořádané trojice s opakováním ze dvou prvků. (čtyřčlenné variace s opakováním ze
dvou prvků). Možných výsledků je 8.
Příklad:
Výsledky řešení:
Varianta A
a) (p, p, p), (p, p, o), (p, o, o), (o, o, o)
Varianta B
Varianta C
b)
p, p, p
o, o, p
p, p, o
p, o, p
p, o, o
o, o, o
o, p, o
o, p, p
8
Příklady k procvičení:
1) Házíme klasickou hrací kostkou. Jev X znamená, že na kostce padlo číslo větší než dva.
Jev Y znamená, že na kostce padlo liché číslo menší než šest.
Určete množinu možných výsledků a množiny X a Y.
1, 2, 3, 4, 5, 6 , X
3,4,5 , Y
1,3,5
2) Házíme dvěma různě barevnými klasickými hracími kostkami.
Určete množiny W, X, Y, Z, jestliže:
jev W vyjadřuje, že na obou kostkách padne liché číslo.
W
1,1 , 1, 3 , 1, 5 , 3,1 , 3, 3 , 3, 5 , 5,1 , 5, 3 , 5, 5
jev X vyjadřuje, že součet, který padl na kostkách, bude roven čtyřem.
X
1, 3 , 2, 2 , 3,1
jev Y vyjadřuje, že součet, který padl na kostkách, bude menší než šest.
Y
1, 4 , 4,1 , 2, 2 , 2, 3 , 3, 2
jev Z vyjadřuje, že součet, který padl na kostkách, bude dělitelný pěti.
Z
1, 4 , 4,1 , 2, 3 , 3, 2 , 4, 6 , 6, 4 , 5, 5
3) Fenka čeká tři štěňata. Vyjmenujte množinu všech možných výsledků, jestliže záleží na
pořadí narození a pohlaví štěněte.
F , F , F , F , F , P , F , P, F , F , P, P , P, P, P ,
P , P , F , P, F , P , P, F , F
4) Ve vesnici jsou u příležitosti mezinárodního dne dětí pořádány různé soutěže. Jednou
z nich je skákání v pytli, kterého se letos v kategorii dětí mladších deseti let účastní čtyři
dětí (děti označme písmeny A až D). Vyjmenujte všechny možné výsledky závodu
z hlediska pořadí prvních dvou dětí v cíli.
C, A , C, B , C, D , D, A , D, B , D, C ,
A, B , A, C , A, D , B, A , B, D , B, C
5) V pytlíku jsou čtyři kuličky (modrá, bílá, žlutá, černá). Vytáhneme najednou dvě kuličky.
Určete výsledky příznivé jevům A a B.
a) Jev A vyjadřuje, že není vytažena modrá kulička.
A
b, ž , b, č , ž , č
b) Jev B vyjadřuje, že je vytažena bílá kulička.
B
b, ž , b, č , b, m
6) Máme tři různé pytle (1., 2., 3.) s míčky. V prvním pytli jsou červené míčky, v druhém
pytli jsou modré míčky a ve třetím pytli jsou modré i červené míčky. Míčky téže barvy
jsou nerozlišitelné. Volíme jeden pytel a z něj vytáhneme jeden míček. Určete všechny
9
možné výsledky, jestliže nás zajímá jak barva vytaženého míčku, tak pytel, ze které byl
č ,1 , m,2 , č ,3 , m,3
míček vytažen.
7) Tři různé kusy oblečení (triko, mikina, svetr) se mají umístit do tří poliček ve skříni. Do
každé poličky jeden kus oblečení. Sestavte množinu všech možných výsledků pokusu.
t , m, s , t , s, m , m, t , s , m, s, t , s, t , m , s, m, t
8) Dítě má v krabici dvě modré dvě červené a jednu zelenou kostku. Kostky téže barvy jsou
nerozlišitelné. Dítě vytáhne náhodně dvě kostky, jednu po druhé, přičemž první kostku do
krabice nevrátí. Sestavte množinu všech možných výsledků s ohledem na barvu kostky
a pořadí, ve kterém byla vytažena.
m, m , m, č , m, z , č , č , č , m , č , z , z, č , z, m
9) V botníku na zámku zbývají dva modré, dva žluté a dva červené páry přezůvek. Přezůvky
téže barvy jsou nerozlišitelné. Tři příchozí lidé vytáhnou jeden po druhém náhodně
přezůvky a nazují si je. Určete množiny A, B, C, které vyjadřují jevy:
a) A- lidé si vytáhli přezůvky stejné barvy.
A
b) B-třetí příchozí si vytáhl červený pár přezůvek.
B
m, m, č , m, ž , č , m, č , č , ž , ž , č ,
ž , m, č , ž , č , č , č , m, č , č , ž , č
c) C-alespoň dva příchozí si vytáhli modré přezůvky.
C
m, m, č , m, m, ž , m, ž , č , m, č , m , ž , m, m , č , m, m
10
Operace s jevy
Varianta B
Příklady:
1) Vysvětlete, co znamenají jevy A´ , A
B, A
B , když
jev A znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je menší než 10,
a jev B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné dvěma.
2) Do třídy 2. B chodí 12 chlapců a 16 děvčat. Do školního představení náhodně vybereme
skupinu 5 dětí. Určete počet všech výsledků příznivých jevům B´ , A
B, A
B´ , kde
jev A spočívá v tom, že ve vybrané skupině jsou 3 chlapci a 2 dívky,
a jev B spočívá v tom, že ve vybrané skupině je alespoň jedna dívka.
Jevy B´ , A
B, A
B´ interpretujte.
Řešení:
1) Jev A´ znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je větší nebo rovno deseti.
Jev A
B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je buď menší než deset nebo
dělitelné dvěma.
Jev A
B znamená, že náhodně vybrané přirozené číslo je menší než deset a zároveň
dělitelné dvěma.
2) Jev B´ znamená, že ve výběru nebude žádná dívka. Počet všech výsledků příznivých jevu
B´ je:
Jev A
12
5
12!
7! 5!
792. Z hlediska kombinatoriky jde o kombinace bez opakování.
B znamená, že ve výběru budou 2 dívky a 3 chlapci. Počet všech výsledků
příznivých jevu A
B je:
12
3
6
2
12! 6!
9! 3! 4! 2!
300. Z hlediska kombinatoriky jde
o kombinace bez opakování.
Jev A
B´ znamená, že ve výběru budou buď tři chlapci a dvě dívky nebo samí chlapci.
Počet výsledků příznivých jevu A
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
B´ je:
12
3
6
2
12
5
792 300 1092.
11
1) Z výrobního pásu sjede za hodinu deset hotových aut. Dvě auta z těchto deseti mají
nějakou výrobní vadu. Vysvětlete, co znamenají jevy, A` , B` , A
B , A
B` , A
B` `,
jestliže jev A znamená, že při náhodném výběru tří aut, bude alespoň jedno vadné a jev B
znamená, že při náhodném výběru tří aut, nebude žádné vadné.
A` B, B` A, A
2) Vysvětlete, co znamenají jevy, A´ , A
B,A
B,A
B
, A
B` A, A
B` ` B
B` , když jev A znamená,
B`, A
že náhodně vybrané přirozené číslo je sudé, a jev B znamená, že náhodně vybrané
přirozené číslo je menší než 38.
[ A` -náhodně vybrané přirozené číslo je liché,
A
B -náhodně vybrané přirozené číslo je sudé nebo menší než 38,
B -náhodně vybrané přirozené číslo menší než 38 je sudé,
A
A
A
B` -náhodně vybrané přirozené číslo menší než 38 je liché,
B` -náhodně vybrané přirozené číslo je větší nebo rovno 38 nebo liché]
3) Výtvarně dramaticky kroužek navštěvuje 15 dětí, z toho je deset dívek a pět chlapců.
Náhodně vybereme 4 děti. Označme jevy:
A -mezi vybranými dětmi je právě jedna dívka,
B-mezi vybranými dětmi je alespoň jedna dívka,
C-mezi vybranými dětmi je nejvýše jeden chlapec.
Interpretujte následující jevy:
B`, C`, A
B ,C
B, A
B,A
C, A
B
B
C`, C
B ` A, A
C
B`.
[ B`-mezi vybranými dětmi není žádná dívka,
C`-mezi vybranými dětmi jsou alespoň dva chlapci,
A
A
B
B, A
B
C
,
C`-mezi vybranými dětmi jsou právě čtyři chlapci,
B
C
A,
B - mezi vybranými dětmi jsou alespoň čtyři dívky,
C
A
B
B ` A -mezi vybranými dětmi jsou nejvýše tři dívky,
A
C
B`mezi vybranými dětmi není žádná dívka]
4) Zaměstnanec každé kanceláře musí na konci pracovní doby odevzdat klíč od své
kanceláře do krabičky na vrátnici. Klíče jsou očíslovány očíslovaných čísly 1, 2, …, 49,
50. Vybereme z krabičky náhodně dva klíče. Nechť A označuje jev, kdy vybereme dva
12
klíče se sudými čísly, B označuje jev, kdy alespoň na jednom vybraném klíči je liché
číslo, C označuje jev, kdy liché číslo je nejvýše na jednom vybraném klíči. Určete význam
jevů A`, B`, C`, A
C ,A
B` , A` C` , A
B
C.
A`= B, B`= A, C`-na obou vybra ných kl. je liché číslo,
A C A, A B` A, A` C` A`, A B C C
5) Na první poličce v knihovně je 18 různých knih. Autorem osmi z nich je Karel Čapek,
deset knih napsala Agatha Christie. Šárka si vybere 5 knih. Určete počet všech výsledků
příznivých jevům A, B, A`, B` kde jev A znamená, že alespoň tři vybrané knihy napsal
Karel Čapek, a jev B znamená, že nejvýše tři vybrané knihy jsou od Agathy Christie.
Jevy A`, B` interpretujte.
3276, 6636,
A`-nejvýše dvě z vybraných knih napsal Karel Čapek, 5292
B`-alespoň čtyři vybrané knihy jsou od Agathy Christie,1932
6) Štěpán Hází třemi různě barevnými hracími kostkami. Jev A značí, že na kostkách padla
sudá čísla, Jev B značí, že součet, který padl na kostkách, je větší než čtrnáct, jev C značí,
že na kostkách padla prvočísla. Určete počet všech výsledků příznivých jevům:
a) A
B
a) A
B
b)
B
C
[4]
[0]
C
[28]
A
c) A` C
d)
C
B`
e)
A
C
[27]
[215]
[205]
B
7) Házíme čtyřikrát po sobě jednoeurovou mincí. Jev A značí, že panna padne alespoň
jednou, jev B značí, že panna padne víckrát než orel, Jev C značí, že orel padne právě
dvakrát, jev D značí, že výsledek všech hodů bude stejný. Určete počet všech výsledků
příznivých jevům:
a) A
B
[5; panna padne alespoň 3krát]
b) A
C
[6; orel padne právě 2krát]
c) A
B
d) A` D
e)
B
C`
D
[1; panna padne právě 4krát]
[2; výsledek všech hodů bude stejný]
[5; orel padne alespoň 3krát]
f)
A
B
g)
A
B
D
C
A`
D`
13
[4; panna padne právě 3krát]
16;
Jevy interpretujte.
8) Pytlík obsahuje tři zelené a pět bílých kuliček. Vytáhneme čtyři kuličky-jednu po druhé,
přičemž již vytažené kuličky nevracíme zpět do pytlíku. Kuličky téže barvy nelze rozlišit.
Jev A znamená, že byly vytaženy kuličky stejné barvy, jev B znamená, že alespoň dvě
vytažené kuličky jsou zelené, jev C znamená, že nejvýše tři vytažené kuličky jsou zelené.
Určete počet všech výsledků příznivých jevům:
a) A
B
b)
C
A
c) C
d)
[0]
A` B `
[5]
A
[14]
C` A `
[14]
14
Operace s jevy
Varianta C
Příklad:
Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Jev X znamená, že právě na jedné kostce padne
čtyřka. Jev Y znamená, že na kostkách padne součet větší než osm. Pomocí množinové
symboliky vyjádřete, že
a) nastane právě jeden z jevů X, Y.
b) nastane alespoň jeden z jevů X, Y.
c) nastane nejvýše jeden z jevů X, Y.
Řešení:
a) X 4,1 , 4, 2 , 4, 3 , 1, 4 , 2, 4 , 3, 4 , 4, 5 , 5, 4 , 4, 6 , 6, 4
Y 3, 6 , 6, 3 , 5, 5 , 6, 6 , 5, 6 , 6, 5 4, 5 , 5, 4 , 4, 6 , 6, 4
X
X`
Y`
X
Y
Y`  4,1 , 4, 2 , 4, 3 , 1, 4 , 2, 4 , 3, 4
X` Y  3, 6 , 6, 3 , 5, 5 , 6, 6 , 5, 6 , 6, 5
Průnik jevů X
Y´ a X` Y je prázdná množina. Proto, jestliže nastane jeden z nich,
druhý z jevů nenastane, takže to, že nastane právě jeden z nich lze vyjádřit pomocí
sjednocení.
b) To, že nastane alespoň jeden z jevů X a Y lze vyjádřit pomocí sjednocení těchto jevů.
c) Od množiny všech možných výsledků pokusu hodu dvěma kostkami odečteme ty pokusy,
kde nastanou oba jevy X a Y zároveň. To, že nastanou oba jevy X a Y zároveň lze vyjádřit
pomocí průnik těchto jevů: X
Y .
Příklad:
Výsledek řešení:
Varianta A
a)
Varianta B
b) X
Y
Varianta C
c)
X
X
Y´
X´ Y
Y
15
1) Na soutěž v kreslení jsou ze skupiny 28 dětí vybrány 4 děti. Jev a znamená, že právě dvě
z vybraných dětí jsou dívky. Jev B znamená, že nejvýše dvě z vybraných dětí jsou dívky.
Pro jevy A, B pomocí množinové symboliky vyjádřete, že
a) nastaly oba jevy.
A
b) nenastal žádný jev.
A` B`
c) nastal nejvýše jeden z těchto jevů.
X
B
Y
2) Ondra dostal od babičky k narozeninám 2000 Kč a rozhodl si za ně koupit nová DVD do
své sbírky filmů. Peníze mu stačí na čtyři DVD. Jev A znamená, že všechna koupená
DVD jsou z americké produkce, jev B znamená, že alespoň dvě DVD jsou z odlišné
produkce, než je americká, jev C znamená, že právě dvě DVD jsou z americké produkce.
Pro jevy A, B, C pomocí množinové symboliky vyjádřete, že
a) nastal jen jev B.
A` B
C`
b) nastaly všechny tři jevy.
A
C
c) nastaly alespoň dva jevy.
A
B
B
d) nastaly jevy B a C a jev A nenastal.
B
C
B
e) nenastal žádný z jevů.
A
C
C
A`
A` B` C`
3) Banka rozesílá druhou upomínku k hypotéce třem klientům K, L, M. Každou z upomínek
náhodně vložíme do jedné ze tří obálek nadepsaných jejich adresami. Nechť jev A
znamená, že žádná upomínka není ve správné obálce, jev B znamená, že ve správné
obálce je jen upomínka pro klienta K, jev C znamená, že ve správné obálce je nejvýše
jedna upomínka. Pro jevy A, B, C pomocí množinové symboliky vyjádřete, že
a) nastal alespoň jeden jev.
A
b) nastal jen jev C.
A` B` C
B
C
a) nastal nejvýše jeden jev.
A
b) nastaly nejvýše dva jevy.
B
A
C
B
C
A
A
B
B
C
C
16
Souhrnné příklady k procvičení
1) Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Označme jako jev A situaci, kdy na obou
kostkách padne číslo větší než čtyři, a jako jev B situaci, kdy na kostkách padne sudé
číslo. Určete počet všech možných výsledků příznivých jevům:
a) A
B
b)
B`
A
0
126
c) A
B
12
d) A
B`
210
e)
A
B
A`
213
Sestavte výčet všech možných výsledků příznivých jevu A
A
B.
5, 5 , 5, 6 , 2, 2 , 2, 4 , 2, 6 , 4, 2 , 4, 4 ,
B
4, 6 , 6, 5 , 6, 2 , 6, 4 , 6, 6
2) Házíme třemi korunovými mincemi. Jev A značí, že panna padla víc než jednou. Jev B
značí, že orel padl právě třikrát. Určete počet a sestavte výčet všech možných výsledků
a) A
B`
b) A
B
4,
5,
c)
A
B
d)
A
B ` B`
A`
A
B
4,
A
A
B`
p, p, o , p, o, p , o, p, p , p, p, p
p, p, o , p, o, p , o, p, p , p, p, p , o, o, o
B
A`
o, o, p , o, p, o , p, o, o , o, o, o
1,
A
B ` B`
o, o, o
3) Ve skříni jsou uskladněny hokejky na florbal. 3 jsou bílé 2 modré a 3 červené. Vytáhneme
ze skříně najednou tři hokejky. Jev A značí, že vytažené hokejky měly stejnou barvy, jev
B značí, že alespoň jedna vytažená hokejka byla modrá, jev C značí, že právě dvě
vytažené hokejky byly modré. Určete počet a sestavte výčet všech možných výsledků
a) A
b)
B` C`
B` B
C
c) A` C`
d)
A` C
e)
A
C
2,
2,
5,
B`
B`
A` C`
A
B` C`
B` B
b, b, b , č , č , č
m, m, b , m, m, č
C
m, č , č , b, č , č , m, b, b , b, m, č , b, b, č
2,
2,
A` C
A
C
B`
b, č , č , b, b, č
B`
b, b, b , č , č , č
17
4) Do vědomostní soutěže jsou ze skupiny 25 dětí vybrány tři děti. Jev A znamená, že byli
vybráni samí chlapci, jev B znamená, že byly vybrány samé dívky, jev C znamená, že
byly vybrány dvě dívky a jeden chlapec. Zapište v množinové symbolice následující jevy:
a) nebyl vybraný žádný chlapec
B
b) byl vybrán alespoň jeden chlapec
A`
c) byly vybrány nejvýše dvě dívky
B`
d) byli vybráni dva chlapci a jedna dívka
A
B
C`
5) Sandra si v levných knihách nakoupila 4 knížky. Jev A znamená, že právě dvě mají
tiskovou chybu, jev B znamená, že žádná nemá tiskovou chybu, jev C znamená, že
alespoň dvě mají tiskovou chybu. Zapište v množinové symbolice následující jevy:
a) nejvýše jedna kniha má tiskovou chybu
C`
b) alespoň tři knihy mají tiskovou chybu
C A
c) právě jedna kniha má tiskovou chybu
B` C`
d) právě tři knihy mají tiskovou chybu
e) alespoň dvě nemají tiskovou chybu
A
C`
C
C`
A
6) Dobrodružného extrémního závodu se účastní deset družstev. Závod dokončí čtyři
družstva. Jev A znamená, že členem alespoň jednoho družstva, které dokončilo závod, je
žena, jev B znamená, že družstva, která dokončila závod, jsou čistě mužská, jev C
znamená, že dvě družstva, která dokončila závod, obsahují ženy.
a) družstva, která dokončila závod, mohou mít jakékoli složení z hlediska zastoupení
mužů a žen.
A
A`
b) z družstev, která dokončila závod, obsahují ženu alespoň tři družstva nebo právě jedno
družstvo.
A
C`
18
Klasická pravděpodobnost
Pravděpodobnost P A jevu A v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků,
které jsou stejně možné, je rovna podílu počtu m A výsledků příznivých jevu A a počtu m
všech možných výsledků pokusu:
mA
.
m
PA
Platí:
i)
pravděpodobnost P
nemožného jevu je rovna nule
P
0
ii)
pravděpodobnost P
jistého jevu je rovna jedné
P
1
iii) pravděpodobnost P A libovolného jevu A je nezáporné číslo
nejvýše rovno jedné
iv)
pravděpodobnost P A` jevu opačného je
Příklad:
0
PA
1
1 PA
Divadelní kroužek navštěvuje osm děvčat a deset chlapců, ze kterých náhodně
vybereme skupinu tří osob. Jak je pravděpodobnost, že ve skupině budou dva
chlapci a jedna dívka?
Řešení:
Jev A znamená, že ve výběru budou dva chlapci a jedna dívka.
8
1
mA
m
P A
18
3
10
2
18!
15! 3!
mA
m
8! 10!
7! 2! 8!
360
816
360
816
0,4412
44,12%
Pravděpodobnost, že ve skupině budou dva chlapci a jedna dívka je 44,12%.
19
Varianta A
Příklady:
1) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu stříbrným dolarem padne orel?
2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různě barevnými hracími kostkami padne
součet větší než jedenáct?
3) V malé rodinné firmě se za den vyrobí 252 výrobků, z nichž je 5 vadných. Jaká je
pravděpodobnost, že vybraný výrobek, který byl vyroben v úterý, je vadný?
Řešení:
1) Jev A znamená, že padl orel.
mA
m
1
2
mA
m
PA
1
2
0,5
50%
2) Jev A znamená, že na kostkách padl součet větší než jedenáct.
1,1 , 1, 2 , 1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 , 2,1 , 2, 2 ,......... .., 6,1 , 6, 2 , 6, 3 ........., , 6, 6
A
6, 6
m 62
36
mA
1
PA
mA
m
1
36
2,78%
3) jev A znamená, že vybraný výrobek je vadný.
mA
m
5
252
PA
Příklad:
mA
m
5
252
0,0198
1,98%
Varianta A
1) Pravděpodobnost, že padne orel, je 50%.
Varianta B
2) Pravděpodobnost, že padne více než jedenáct, je
Varianta C
2,78%.
3) Výrobek je vadný s pravděpodobností 1,98%.
20
1
6
1) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo 6?
2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne číslo větší než
a) jedna
5
6
b) dva
2
3
c) pět
1
6
d) šest
0
5
6
3) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou nepadne číslo šest?
4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou nepadne číslo menší než
a) tři
2
3
b) pět
1
3
5) Martina si na zábavě koupí 5 lístků do tomboly. Jakou má pravděpodobnost hlavní výhry,
jestliže v tombole je 168 lístků?
2,98%
6) David si v obchodě koupil fotoaparát. V obchodě mají na skladě šest fotoaparátů, z nichž
je jeden vadný. S jakou pravděpodobností si David vybere vadný fotoaparát?
17%
7) V okresní soutěži se koná soutěž ve střelbě. Vítěz zasáhl z 250 výstřelů 225-krát. Jakou
měl pravděpodobnost zásahu?
90%
8) Eva strávila celý víkend na oslavě u kamarádky a nestihla se naučit na pondělní test.
Pravděpodobnost, že test nezvládne je proto 0,83. Jaká je pravděpodobnost, že test
zvládne?
0,17
9) Pravděpodobnost správného tipu výsledku v testu je 25%. Jaká je pravděpodobnost, že tip
bude špatný?
75%
21
10) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různými hracími kostkami padne součet
a) sedm?
b) pět?
0,17
0,111
11) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různými hracími kostkami padne součet
menší než
a) pět?
0,167
b) čtyři?
0,083
12) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma různými hracími kostkami padne součet větší
než
a) deset?
0,083
b) dvanáct?
0,027
13) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne sudé číslo?
14) Jaká je pravděpodobnost, že při hrací hodu kostkou padne číslo dělitelné dvěma?
1
2
1
2
15) Z dvaceti dresů označených čísly 1 až 20 vybereme náhodně jeden. Jaká je
pravděpodobnost, že jsme vybrali
a) dres označený sudým číslem?
b) dres označený prvočíslem?
c) dres označený číslem dělitelným čtyřmi?
1
2
0,45
1
4
16) V sáčku je šest černých a osm bílých hliněných kuliček. Namátkou vybereme jednu
kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá?
0,571
22
Varianta B
Příklady:
1) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi Dolarem, Eurem a Koruně padne alespoň na
jedné z těchto mincí panna?
2) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu šesti různými hracími kostkami padnou samá sudá
čísla?
3) V šesté třídě na druhém stupni základní školy je 28 žáků, z nichž budou dva zkoušeni.
Připraveno na zkoušení je 16 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že budou oba zkoušení
připraveni?
Řešení:
1) Jev A znamená, že alespoň na jedné minci padla panna.
mA
23
PA
mA
m
13
m
7
7
8
0,875
23
8
87,5%
2) Jev A znamená, že na kostkách padla samá sudá čísla.
m 66
PA
46656
mA
m
mA
36
66
0,015
36
729
1,5%
3) Jev A znamená, že oba zkoušení žáci jsou připraveni.
mA
PA
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
16
2
mA
m
m
16
2
28
2
16!
14! 2!
28!
26! 2!
240
756
28
2
0,317
31,7%
1) Pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi padne alespoň na jedné
z nich panna, je 87,5%
2) Pravděpodobnost, že padnou samá sudá čísla je 1,5%.
3) Pravděpodobnost, že budou oba připraveni je 31,7%.
23
1) Ve třídě soukromého gymnázia je 26 dětí. Vybereme namátkou čtveřici žáků. Jaká je
pravděpodobnost, že vybereme
a) jen chlapce?
0,067
b) jen dívky?
0,033
2) Ve 3. B jsou žáci na začátku pondělní hodiny zkoušeni 4 žáci. Děti o víkendu slavily
osmnáctiny jednoho z nich, a tak je na zkoušení připraveno jen 18 žáků z 32 žáků. Jaká je
pravděpodobnost, že budou všichni čtyři zkoušení nepřipraveni?
0,085
3) V sáčku je šest černých korálků a osm růžových korálků. Namátkou vybereme 3 korálky.
Jaká je pravděpodobnost,
a) že budou všechny bílé?
0,154
b) že nebudou všechny bílé?
0,846
4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu modrou, zelenou, oranžovou, žlutou a modrou hrací
kostkou padne/ou
a) na všech kostkách pětka?
0,000129
b) samá lichá čísla?
0,03125
c) čísla větší než tři?
0,03125
d) čísla menší než tři?
e) alespoň jednou šestka?
f) pět stejných čísel?
0,0041
0,598
0,00077
5) Na fotbalový turnaj se přihlásilo deset mužstev. K dispozici je jediné hřiště, na kterém se
za první den turnaje stihlo odehrát 5 zápasů. Na začátku každého zápasu se losuje právo
výběru strany hodem mincí. Jaká je pravděpodobnost, že během prvního dne turnaje
a) byl výsledek všech hodů mincí stejný.
1
16
b) panna padla právě třikrát.
5
16
c) orel padl alespoň jednou.
31
32
24
6) V pouzdře je 9 černých a 6 modrých propisek. Náhodně vybereme dvě z nich. Jaká je
1
7
pravděpodobnost, že vybereme dvě modré?
7) V misce je deset 20 švestek, z nichž je v pěti červ. Dušan si z misky vezme 4 švestky.
Jaká je pravděpodobnost, že si vybral
a) všechny dobré?
0,194
b) alespoň jednu červavou?
0,806
8) V obchodě je výprodej. Na hromadě triček je 8 triček velikosti M, 2 trička velikosti S a 5
triček velikosti L. jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru triček vyberu jen
trička velikosti S.
0
9) Správnou odpověď zaslalo během prvních deseti minut po zadání otázky 5 mužů a 7 žen.
Z nich budou vylosováni tři výherci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi nebude žena?
1
22
25
Varianta C
Příklady:
1) Házíme šesti různými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu těmito
kostkami padne postupka (tj. 1, 2, 3, 4, 5, 6)?
2) V krabici jsou 4 červené a 6 bílých kostek. Vytáhneme jednu a dáme ji bokem. Jaká je
pravděpodobnost, že druhá vytažená kostka je bílá?
3) V košíku na ovoce se nachází je 7 červených jablek a 5 žlutých jablek. Dítě si náhodně
vybere 4 kusy ovoce. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou právě 2 žlutá jablka?
Řešení:
1) Jev A znamená, že padla postupka.
mA
6! 720
PA
mA
m
m
720
46656
0,0154
66
46656
1,54%
2) Jev A znamená, že druhá vytažená kostka je bílá.
mA
PA
9
1
6
1
9
1
10
1
mA
m
6
1
9
1
m
10
1
9
1
9 6
10 9
54
90
0,6
60%
3) Jev A znamená, že mezi vybranými kusy budou právě dvě žlutá jablka.
mA
PA
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
7
2
mA
m
5
2
m
7
2
5
2
12
4
7! 5!
5! 2! 3! 2!
12!
8! 4!
12
4
14
33
0,424
42,4%
1) Pravděpodobnost, že padne postupka je 1,54%.
2) Pravděpodobnost, že druhá tažená kostka je bílá, je 60%.
3) Pravděpodobnost, že mezi vybranými jablky budou dvě žlutá je 42,4%.
26
1) Házíme šesti různými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou
a) alespoň tři šestky
b) alespoň čtyři šestky
0,062
0,0087
2) Házíme pěti různými kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na kostkách padne postupka?
3) (to znamená sestava 1, 2, 3, 4, 5 nebo 2, 3, 4, 5, 6)
0,0308
4) Házíme třemi různými kostkami, jaká je pravděpodobnost, že na kostkách nepadne
postupka? (tj. 1, 2, 3 nebo 2, 3, 4 nebo 3, 4, 5 nebo 4, 5, 6)
0,889
5) Sbor navštěvuje 15 dětí, z toho 10 děvčat. Dirigent vybere osm, které budou zpívat první
sloku písně. Jaká je pravděpodobnost, že vybere 4 chlapce a 4 děvčata.
0,163
6) V pytlíku je šest černých a osm bílých hliněných kuliček. Namátkou vybereme 3 kuličky.
Jaká je pravděpodobnost, že vybereme 2 černé a jednu bílou.
0,33
7) Tereza dostala sáček, v němž bylo 5 červených a 5 žlutých bonbonů. Nabídla kamarádce,
která náhodně si ze sáčku vzala 4 bonbony. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou
právě dva žluté.
0,476
8) Majitel obchodu s oblečením dostává každý týden dodávku nového zboží. Dodávku
přijme, jestliže po namátkové kontrole pěti kusů oblečení nemá ani jeden kus vadu. Jaká
je pravděpodobnost, že dodávku přijme, jestliže má odebrat 35 kusů oblečení, mezi nimiž
jsou tři vadné kusy.
0,62
9) Do křížovkářské soutěže poslalo správnou odpověď sedm mužů a deset žen. Budou
vylosováni čtyři výherci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou právě dvě ženy.
0,397
10) Házíme třemi rozlišitelnými kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet devět?
0,1157
11) Student se na zkoušku stihl naučit pouze 42 z 60 otázek. Na zkoušce si bude tahat 3
otázky. Jaká je pravděpodobnost, že bude umět odpovědět právě na jednu otázku.
0,188
12) Pan Vokatý si koupil náhradní díl do svého auta na vrakovišti. Neměl čas náhradní díl
vyzkoušet, ale protože je stálý zákazník, tak se s majitelem vrakoviště dohodnul, že si
vezme tři kusy, zkusí, který funguje, a zbývající mu další den přiveze nazpět. Jaká je
27
pravděpodobnost, že mezi třemi díly, které pan Vokatý dostal, jsou právě dva funkční,
když je na vrakovišti k dispozici deset těchto náhradních dílů, z toho tři vadné?
0,525
13) V druhé třídě základní školy je 26 dětí. Čtyři z nich zapomněly vypracovat domácí úkol.
Paní učitelka si náhodně vybere pět dětí, kterým domácí úkol zkontroluje. Jaká je
pravděpodobnost, že dvě z vybraných dětí nebudou mít domácí úkol?
0,14
14) V pytlíku je 5 bílých kuliček a 6 zelených hliněných kuliček. Vytáhneme jednu a dáme ji
bokem, vytáhneme druhou a dáme ji bokem. Jaká je pravděpodobnost, že třetí tažená
kulička bude bílá?
0,45
15) V krabici je 5 modrých, 3 červené a 6 zelených kostek. Třikrát po sobě vytáhneme jednu
kostku. Kostky nevracíme. Jaká je pravděpodobnost, že první tažená kostka je modrá
a poslední tažená kostka je zelená?
0,165
16) Marie po příchodu do obchodu zjistila, že mají 6 souprav modrého povlečení, 4 soupravy
červeného povlečení a 4 soupravy povlečení se vzorem. Náhodně vybrala tři soupravy.
Jaká je pravděpodobnost, že jsou každá jiné barvy?
0,263
28
1) Klára jede na závody a balí si zavazadla. K ukrácení volného času si zabalí 10 DVD
s filmy. Vybírat může ze 42 DVD. Jaká je pravděpodobnost, že mezi DVD, která si
vybrala
a) bude film Boogie Woogie
0,238
b) nebude film Boogie Woogie a bude film Temný rytíř.
0,186
2) Zámek na kolo je možné otevřít trojmístným numerickým kódem. Určete
pravděpodobnost, že se zámek v případě neznalosti kódu podaří otevřít
a) jedním náhodně zvoleným trojciferným číslem.
b) 25 náhodně zvolenými trojcifernými čísly.
10
3
0,025
3) V klobouku je 120 očíslovaných papírků (čísly 1 až 120). Jaká je pravděpodobnost, že
bude vylosován papírek, na kterém je číslo dělitelné
4) jedenácti
5) pěti
1
12
1
5
6) Náhodně vybereme libovolné přirozené trojciferné číslo, ve kterém se žádná číslice nesmí
opakovat. Jaká je pravděpodobnost, že je vybrané číslo dělitelné
a) dvěma
1
2
b) pěti
1
5
7) Jaká je pravděpodobnost, že libovolné přirozené čtyřciferné číslo, ve kterém se neopakuje
žádná cifra, má na místě jednotek
a) nulu
b) osmičku
8) Jaká je pravděpodobnost výhry první ceny ve sportce?
1
9
8
81
7,15 10
8
9) Je při hodu třemi různými kostkami pravděpodobnější součet 14 nebo 13?
1
, 0,0972,14
9
29
10) Na hřišti se sejde 18 dětí, které se rozhodnou zahrát si volejbal, rozdělí se proto do tří
skupin po šesti lidech. Jaká je pravděpodobnost, že Tomáš a Michal budou hrát ve stejné
5
17
skupině?
11) První maturitní den si studenti první čtyřčlenné skupiny, která skládá maturitu, vylosují
v češtině otázky. První student losuje jednu otázku z plného počtu 30 možných, druhý
student losuje jednu otázku z 29 možných, třetí student losuje jednu otázku z 28 možných
a poslední student této skupiny losuje jednu otázku z 27 možných. Jaká je
pravděpodobnost, že druhý maturitní den si jiná čtyřčlenná skupina vylosuje
a) tytéž otázky v tomtéž pořadí?
1,52 10
b) jiné otázky?
6
0,546
12) V ošatce jsou dva druhy ovoce (jahody a švestky). Jahod je 10 Vytáhneme dva kusy
ovoce. Kolik může být v ošatce švestek, jestliže je pravděpodobnost, že byla vytažena
právě jedna jahoda a právě jedna švestka je
10
.
21
5 18
13) V obchodě jsou tři stejné poličky s triky. V první poličce jsou 3 hnědá a 4 zelená trika
s dlouhým rukávem, v druhé poličce jsou 4 hnědá a 5 zelených trik s krátkým rukávem
a v poslední poličce je 6 hnědých a 3 zelená trika bez rukávu. Z náhodně zvolené poličky
si vezmeme jedno triko. Jaká je pravděpodobnost, že bude zelené?
0,487
14) Učitel tělocviku si vede statistiku o výkonech dětí, které navštěvují jeho hodiny tělocviku,
v běhu na 100 metrů. Jaká je pravděpodobnost, že dítě navštěvující jeho hodinu
a) bude mít čas do 13 vteřin?
0,114
b) bude starší deseti let?
0,468
stáří dítěte
počet dětí s časem do
počet dětí s časem nad
13 vteřin
13 vteřin
do 10 let
5
168
nad 10 let
32
120
15) Hodíme třikrát po sobě hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že ve druhém a ve třetím
hodu hodíme větší číslo než v prvním hodu?
0,255
16) Závodu v lyžování se účastní i dva největší rivalové Lukáš a Jindřich. Pravděpodobnost,
že zvítězí Lukáš, je 42%, pravděpodobnost, že zvítězí Jindřich, je 46%
30
a pravděpodobnost, že zvítězí někdo jiný, je 15%. Jiný výsledek nastat nemůže. Je to
možné?
ne
17) Všech 37 zaměstnanců nadnárodní firmy mluví alespoň jedním cizím jazykem (anglicky
nebo francouzsky). Anglicky hovoří 30 zaměstnanců, francouzsky se domluví 15
zaměstnanců. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný pracovník mluví
a) jen anglicky
0,595
b) jen francouzsky
0,189
c) oběma jazyky
0,216
18) Hráč dostane 16 karet z balíčku kanastových karet (balíček čítá 104 karet). Jaká je
pravděpodobnost, že mezi nimi je všech osm desítek?
4,997 10
8
19) Do osmipatrové budovy vešlo naráz pět lidí. Výtah z důvodu zatopení nefunguje, takže
všichni musí jít po schodech. Jaká je pravděpodobnost, že každý jde do jiného patra.
0,205
20) Z balíčku kanastových karet (balíček čítá 104 karet), vybereme jednu kartu, podíváme se
na ni a vrátíme ji zpět. Pak vytáhneme druhou kartu. Určete pravděpodobnost, že obě
karty
a) jsou stejné barvy
b) jsou stejného druhu (např. dvě desítky, dvě esa atd.)
0,25
0,077
31
Věty o pravděpodobnostech
1) Pravděpodobnost, že nastane jeden ze dvou navzájem se vylučujících jevů A, B
(tj. A
B
), je rovna součtu jejich pravděpodobností:
P A
B
P A
PB
2) Pravděpodobnost, že nastane jeden z jevů A, B, je
P A
B
P A
PB
PA
B
3) Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí
P A
B
P A PB
4) Řekneme, že jevy A, B, C jsou nezávislé, jestliže
P A
B
P A PB ,
P A
C
P A PC ,
PB
C
PB PC
a navíc
P A
B
C
P A PB PC
5) Mějme n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí buď zdarem s pravděpodobností p ,
nebo nezdarem s pravděpodobností q .
Potom pravděpodobnost jevu, Ak , že právě k pokusů bude zdařilých, je
P Ak
Příklad:
n
k
pk qn k , k
0,1, 2,, n.
Na táboře je v družstvu Rychlých šneků 15 dětí. Z toho je 8 dívek a 7 chlapců.
Vybereme z nich namátkou trojčlennou hlídku. Jaká je pravděpodobnost, že v hlídce
budou alespoň dva chlapci?
Řešení:
Jev A znamená, že v hlídce jsou právě dva chlapci, P A
Jev B znamená, že v hlídce jsou právě tři chlapci, P B
7
2
8
1
15
3
7
3
15
3
Chceme vypočítat, že nastane jeden z jevů A a B. Jevy A a B se navzájem vylučují,
takže použijeme vzorec z věty 1).
32
P A
B
P A
PB
7
2
8
1
15
3
7
3
203
455
0,446
44,6%
Pravděpodobnost, že v hlídce budou alespoň dva chlapci, je 44,6%.
33
Varianta A
Příklad:
Házíme zelenou a žlutou kostkou. Najděte P A
B , jestliže jev A značí, že na kostkách padl
součet čtyři, a jev B značí, že na žluté kostce padla pětka?
Řešení:
3
62
1
12
A
2, 2 , 1, 3 , 3,1
B
1, 5 , 2, 5 , 3, 5 , 4, 5 , 5, 5 , 6, 5
PA
PB
6
62
P A
B
Ř , Jevy A a B se navzájem vylučují.
P A
B
P A
Jev P A
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
PB
1
12
1
6
13
4
0,25
1
6
25%
B nastane s pravděpodobností 25%.
Jev P A
B nastane s pravděpodobností 25%.
34
1) Házíme dvěma různě zbarvenými kostkami. Najděte P A
B , jestliže
a) A znamená, že na první kostce padlo sudé číslo, Jev B znamená, že na druhé kostce
padlo liché číslo.
[1]
b) A značí, že na první kostce padlo číslo větší než čtyři, a jev B značí, že na kostkách
5
12
padl součet čtyři.
c) A znamená, že na první kostce padlo číslo menší než dva, a B znamená, že na druhé
kostce padlo liché číslo větší než dva.
[0,5]
2) Při hodu kostkou můžou nastat následující jevy:
A- padlo sudé číslo,
B- Padlo liché číslo větší nebo rovno než třem,
C- Padlo liché číslo menší než tři. Vypočítejte
a) P A
B
5
6
b) P A
C
2
3
c) P C
B
1
2
3) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi různými kostkami padnou samá prvočísla
nebo samé šestky?
[0,301]
35
Varianta B
Příklady:
1) V obchodě mají na skladě 24 notebooků stejného druhu a značky, z nichž je pět vadných.
Za jeden den byly prodány tři notebooky z této řady. Jaká je pravděpodobnost, že byl
prodán alespoň jeden vadný?
2) Házíme třemi kostkami, jaká je pravděpodobnost, že padnou samá lichá čísla nebo samá
čísla menší než 4?
3) Házíme třemi kostkami. Jev A značí, že na první kostce padne trojka. Jev B značí, že na
druhé kostce padne liché číslo. Jev C značí, že na třetí kostce padne číslo větší než dva.
Rozhodněte, zda jsou jevy A, B, C nezávislé.
4) Dva střelci Wang a Bonetti se v disciplíně trap rozstřelují o olympijský bronz. Pan Wang
zasáhne cíl s pravděpodobností 95%. Pan Bonetti zasáhne cíl s pravděpodobností 91%.
Jaká je pravděpodobnost, že při jednom výstřelu každého z nich
a) zasáhnou oba.
b) žádný nezasáhne cíl.
c) Wang zasáhne cíl, Bonetti nezasáhne cíl.
Řešení:
1) jev A znamená, že mezi třemi prodanými byl právě jeden vadný notebook,
P A
5
1
19
2
24
3
5! 19!
4! 17! 2!
24!
21! 3!
855
2024
jev B znamená jev A znamená, že mezi třemi prodanými byly právě dva vadné notebooky,
PB
5
2
19
1
24
3
5! 19!
3! 2! 18!
24!
21! 3!
190
2024
jev C znamená, že mezi třemi prodanými byly právě tři vadné notebooky,
PC
5
3
24
3
5!
2! 3!
24!
21! 3!
10
2024
Chceme vypočítat, že nastane jeden z jevů A, B, C. Jevy se navzájem vylučují.
36
P A
B
C
P A
PB
855
2024
PC
190
2024
10
2024
1050
2024
0,521 (52,1%)
Pravděpodobnost, že byl prodán alespoň jeden vadný notebook, je 52,1%.
33
63
2) jev A znamená, padla samá lichá čísla, P A
33
63
jev B znamená, že padla čísla menší než čtyři, P B
jev P A
B znamená, že na kostkách padla lichá čísla menší než čtyři, P A
B
23
63
Chceme vypočítat, že nastane jeden z jevů A a B. Průnik jevů A a B není prázdná množina, takže
použijeme vzorec s věty 2).
PA
B
PA
PB
PA
33
63
B
33
63
23
63
46
216
0,213 (21,3%)
Pravděpodobnost, že padnou samá lichá čísla nebo čísla menší než čtyři, je 21,3%.
3) Jestliže platí vztahy z věty 4), jevy A, B, C jsou nezávislé. Tyto vztahy ověříme.
P A
1
6
3
6
P A
B
3
62
1
12
A
B
3,1 , 3,3 , 3,5
P A
C
4
62
1
9
A
C
3,3 , 3,4 , 3,5 3,6
PB
C
12
62
1
3
B
C
1,3 , 1,4 , 1,5 1,6 , 3,3 , 3,4 . 3,5 ,
PB
1
2
PC
4
6
2
3
3,6 , 5,3 , 5,4 . 5,5 , 5,6
P A
B
C
12
63
1
A
18
B
C
3,1,3 , 3,1,4 , 3,1,5 3,1,6 , 3,3,3 , 3,3,4 . 3,3,5 ,
3,3,6 , 3,5,3 , 3,5,4 . 3,5,5 , 3,5,6
P A PB
1 1
6 2
1
12
P A PC
1 2
6 3
1
9
P A
C
PB PC
1 2
2 3
1
3
PB
C
P A PB PC
P A
1 1 2
6 2 3
B
1
18
P A
B
C
4) jev A znamená, že pan Wang zasáhl cíl, P A
37
95%
jev B znamená, že pan Bonetti zasáhl cíl, P B
91%
jev A` znamená, že pan Wang nezasáhl cíl, P A`
1 P A
jev B` znamená, že pan Bonetti nezasáhl cíl, P B`
1 PB
0,05
0,09
a) Chceme spočítat, že nastanou oba dva jevy A a B zároveň. Jevy A a B jsou nezávislé (to, že
jeden zasáhne, neovlivní pravděpodobnost toho, že zasáhne druhý).
Platí: P A
B
P A PB
0,95 0,91 0,8645 (86,45%)
b) Chceme spočítat, že nastanou oba dva jevy A` a B` zároveň. Jevy A` a B` jsou nezávislé.
P A` B`
1 PA
P A
PB
B` 1 P A B 1
PA PB 1 PA
P A PB PA B
PB 1 PA
1 PA
1 PB
P A` P B`
Platí: P A` B`
P A` P B`
0,05 0,09
0,0045 (4,5%)
c) Chceme spočítat, pravděpodobnost, že nastanou oba dva jevy A a B` zároveň. Jevy A a B`jsou
nezávislé.
P A B`
1 P A`
P
PB
A ` B` P
A
P A` B 1 P A`
B ` 1 P A` B
P B 1 P A`
1 P A`
1 PB
P A P B`
PA
B`
P A P B`
0,95 0,09 0.0855
8,55%
Příklad:
1) Pravděpodobnost, že byl prodán alespoň jeden vadný notebook, je
52,1%.
Varianta A
Varianta B
2) Pravděpodobnost, že padnou samá lichá čísla nebo čísla menší než
čtyři, je 21,3%.
Varianta C
3) Jevy A, B, C jsou nezávislé.
4)
a) Pravděpodobnost, že oba zasáhnou, je 86,45%.
b) Pravděpodobnost, že oba dva střelci nezasáhnou cíl, je 4,5%.
c) Pravděpodobnost, že pan Wang zasáhne cíl a pan Bonetti ne, je
8,55%.
38
1) Závodu horských kol se účastní žáci dvou místních sportovních škol. První škola vyslala
do závodu 12 dětí a druhá škola 8 dětí. Jaká je pravděpodobnost, že na stupních vítězů
uvidíme alespoň dvě děti z první základní školy?
Jak se změní pravděpodobnost, že na stupních vítězů uvidíme alespoň dvě děti z první
základní školy, jestliže počet dětí vyslaných první školou je 8 a druhou 12?
Výsledky vyjádřete v procentech.
[65,6%, zmenší se o 31,2% ]
2) Agnes zjistila, že při stěhování dala použitá a nepoužitá DVD do stejné krabice. Ví, že
nepoužitých měla 66 a použitých 23. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru
čtyř DVD vytáhne alespoň dvě použitá?
[0,1348]
3) Firma dodala 20 dresů velikosti M a 16 dresů velikosti L. trenér družstva dorostenců
vybere náhodně 5 dresů pro své svěřence. Jaká je pravděpodobnost, že vybral alespoň dva
dresy velikosti L.
[0,754]
4) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padnou
a) samá prvočísla nebo samá čísla menší než pět.
b) samá čísla dělitelná třemi (beze zbytku) nebo samá čísla větší než tři.
[a) 0,639, b)
1
]
3
5) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi různými kostkami padne
a) součet nejvýše tři nebo samá stejná čísla.
b) samá sudá čísla nebo samá stejná čísla.
c) součet právě jedenáct nebo samá lichá čísla větší než dva.
[a)
1
, b) 0,139, c) 0,079]
216
6) Házíme dvěma různě barevnými kostkami (modrou a černou). Rozhodněte, zda jevy
v následujících případech jsou nebo nejsou nezávislé.
a) Jev A značí, že na kostkách padl součet šest.
Jev B značí, že na kostkách padla jen lichá čísla.
b) Jev A značí, že na kostkách padl součet sedm.
Jev B značí, že na černé kostce padlo číslo větší než tři.
c) Jev A značí, že na kostkách padl součet pět.
Jev B značí, že na kostkách padla jen lichá čísla.
[a) ne, b) + c) ano]
39
7) Na čtyřletém gymnáziu propad v průměru 6% žáků z angličtiny a 10% žáků
z francouzštiny. Z obou jazyků najednou propadá 5% žáků. Jsou jevy „žák propadne
z angličtiny“ a „žák propadne z francouzštiny“ nezávislé?
[nejsou]
8) Pravděpodobnost, že se Adriana zúčastní kurzu břišního tance je 25%, zatímco Eliška se
kurzu zúčastní s pravděpodobností 42%. Pravděpodobnost, že se na kurz přihlásí obě je
10,5%. Jsou jevy „Adriana se zúčastní kurzu“ a „Eliška se zúčastní kurzu“ nezávislé?
[jsou]
9) Házíme třemi různými kostkami (označme je x, y, z). Jsou následující jevy nezávislé?
A: součet hodnot, které padly na kostkách x a y, je šest.
B: na kostce z padla hodnota trojka
C: na kostce x padla čtyřka
[nejsou]
10) Určete pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostkou padne v prvním hodu prvočíslo a ve
1
[ ]
3
druhém liché číslo.
11) Kateřina přijde na smluvenou schůzku včas s pravděpodobností 70%, Romana na ni přijde
včas s pravděpodobností 85%. Jaká je pravděpodobnost, že
a) přijdou obě včas.
b) obě přijdou pozdě.
c) Romana přijde včas a Kateřina pozdě.
[a) 0,595, b) 0,045, c) 0,255]
12) V sáčku je 7 štítků s číslem jedna a 10 štítků s číslem dva. Martin si ze sáčku vybere jeden
štítek, podívá se na číslo a vrátí štítek zpět. Lukáš přijde jako druhý, vytáhne štítek, podívá
se na číslo a vrátí štítek zpět. Jaká je pravděpodobnost, že
a) si oba vytáhli štítek s číslem jedna.
b) si oba vytáhli štítek s číslem dva.
c) Martin si vytáhl štítek s číslem jedna a Lukáš si vytáhl štítek s číslem dva.
[a) 0,17, b) 0,346, c) 0,242]
40
Varianta C
Příklady:
1) Na začátku hodiny jsou v matematice zkoušeni u tabule dva žáci (Martin a Libor). Libor
spočítá příklad správně s pravděpodobností 70%. Martin spočítá příklad správně
s pravděpodobností 61%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich spočítá příklad
správně?
2) Karolína si v zahradnictví koupila cibulky okrasných květin. Pravděpodobnost, že cibulka
vzejde, je 85%. Jaká je pravděpodobnost, že z pěti cibulek vzejdou právě tři?
Řešení:
1) Jev A značí, že Libor spočítá příklad správně, P A
0,7
Jev B značí, že Martin spočítá příklad správně, P B
P A`
1 P A
0,3
P B`
1 PB
0,61
0,39
Jevy A a B jsou nezávislé. Alespoň jeden z nich správně znamená, že příklad spočítají
správně oba nebo Libor ho spočítá správně a Martin špatně nebo Libor ho spočítá špatně
a Martin správně. Rovnice bude tvaru:
PA
B
PA
P A PB
B`
P A` B
P A P B`
P A` P B
0,7 0,61 0,7 0,39 0,3 0,61 0,883
88,3%
Další způsob řešení:
1 P A` P B`
0,883
88,3%
Pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich spočítá příklad správně, je 88,3%.
2) Jev A značí, že vzejdou právě tři cibulky, P A
0,853
Jev B značí, že právě dvě cibulky nevzejdou, P B
P Ak
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
n
k
pk qn
k
5
2
P A PB
1 0,85
2
5!
0,853 0,152
3! 2!
0,152
0,138
13,8%
1) Pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich spočítá příklad správně,
je 88,3%.
2) Pravděpodobnost, že vzejdou tři cibulky je 13,8%.
41
1) Martina a Aneta píšou seminární práci. Martina ji dokončí včas s pravděpodobností 25%,
Aneta ji dokončí včas s pravděpodobností 65%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň
jedna z nich dokončí seminární práci včas? Výsledek vyjádřete v procentech.
[73,75%]
2) V košíku je 5 žlutých jablek a 6 červených jablek. Namátkou vybereme 3 jablka. Jaká je
2
[ ]
3
pravděpodobnost, že alespoň dvě vybraná budou žlutá?
3) Matěj a Denis střílí prakem na terč. Matěj zasáhne s pravděpodobností 60% a Denis
zasáhne s pravděpodobností 45%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich
zasáhne terč?
[0,78]
4) Na výlet lodí jede 20 dětí, z nichž je 12 děvčat a 8 chlapců. Namátkou z nich vybereme
trojici. Jaká je pravděpodobnost, že v ní budou alespoň dva chlapci?
[0,396]
5) Milan odpoví na otázku špatně s pravděpodobností 75%. Jaká je pravděpodobnost, že ze
tří otázek zodpoví právě dvě špatně?
[0,42]
6) V přijímacím testu na vysokou školu je 80 otázek. Každá otázka má 4 možné odpovědi, ze
kterých je právě jedna správná. V okamžiku, kdy je ohlášeno posledních deset minut na
vypracování testu, Tomášovi zbývá zodpovědět ještě 20 otázek. Rozhodne se proto, volit
odpovědi náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že zodpoví správně právě 6 otázek?
Vyřešte příklad, jestliže každá otázka má pět správných odpovědí.
[0,168, 0,109]
7) Jaká je pravděpodobnost, že z dvanácti prvních servisů jich deset bude ve správné části
tenisového kurtu, jestliže
a) úspěšnost tenistova prvního servisu je 65%.
[0,109]
b) úspěšnost tenistova prvního servisu je 72%.
[0,191]
8) Úmrtnost na choleru je 50%. Jaká je pravděpodobnost, že ze 25 nakažených jich 17
nemoc přežije?
[0,032]
9) Pravděpodobnost, že obchodní zástupce prodá pojištění je 36%. Jaká je pravděpodobnost,
že prodá pojištění alespoň čtyřem klientům, když jich za jeden den navštíví devět?
[0,226]
42
1) V plátěném pytlíku je šest bílých a tři červené kuličky. Vybereme namátkou dvě kuličky.
Jaká je pravděpodobnost, že budou mít stejnou barvu?
[0,5]
2) Terč je rozdělen na dvě pásma (černé a bílé). Zásah do černého pásma je oceněn třemi
body a zásah do bílého pásma je oceněn jedním bodem. Pravděpodobnost, že se střelec
trefí do černého, je 32%, že se trefí do bílého, je 58%. Jaká je pravděpodobnost, že
a) zasáhne terč?
[0,9]
b) nezasáhne terč?
[0,1]
3) Pravděpodobnost, že se porouchá generátor a výroba bude muset být zastavena, je 10%.
Pravděpodobnost, že se porouchá pás a výroba bude muset být přerušena, je 4%. Jaká je
pravděpodobnost, že při současné práci obou těchto zařízení,
a) dojde k přerušení výroby.
[0,14]
b) nedojde k přerušení výroby.
[0,86]
4) Ve školním autobuse jede 26 dětí, z toho 14 chlapců a 12 dívek. Vybereme namátkou
čtveřici dětí. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou
a) alespoň tři chlapci.
[0,359]
b) nejvýše dvě děvčata.
[0,76]
5) Student prvního ročníku ekonomické vysoké školy musí v prvním semestru absolvovat
tyto předměty: mikroekonomie, základy účetnictví, matematika, marketing, základy
informatiky. Mikroekonomii zvládne s pravděpodobností 65%, základy účetnictví zvládne
s pravděpodobností 95%, matematiku s pravděpodobností 45%, marketing
s pravděpodobností 60% a základy informatiky s pravděpodobností 50%. Jaká je
pravděpodobnost, že student neuspěje v matematice nebo základech informatiky a
v ostatních předmětech uspěje?
6) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu pěti mincemi na vše padne orel?
[0,177]
[3,1%]
7) V obchodě prodají výrobek s vadou s pravděpodobností 12%. Jaká je pravděpodobnost, že
sedm za sebou prodaných výrobků bude bez vady a další dva prodané budou vadné?
Pokusy považujeme za vzájemně nezávislé.
[7%]
8) Střelkyně ze vzduchové pušky zasáhne devítku s pravděpodobností 95%. Jaká je
pravděpodobnost, že osmkrát po sobě zasáhne devítku a poté dvakrát po sobě devítku
nezasáhne? Pokusy považujeme za vzájemně nezávislé.
[0,0016]
9) Biatlonista zasáhne terč s pravděpodobností 80%. Jaká je pravděpodobnost, že z pěti terčů
tři zasáhne a dvakrát mine?
[0,2048]
43
10) Článek do odborného časopisu hodnotí nezávisle na sobě dvě osoby. První dá kladné
stanovisko s pravděpodobností 80%, druhá se vysloví kladně s pravděpodobností 85%.
Článek bude redakcí přijat, jestliže kladné stanovisko dá alespoň jeden z hodnotitelů. Jaká
je pravděpodobnost, že článek bude přijat?
[0,97]
11) Jaká je pravděpodobnost, že v rodině s pěti dětmi, mají alespoň čtyři děvčata?
[0,1875]
12) Jevy A a B jsou nezávislé. Pravděpodobnost, že nastane jev B, je 20%, pravděpodobnost,
že nastanou oba jevy současně, je 45%. Vypočtěte pravděpodobnost, že nastane jev A.
[0,25]
13) Jevy A a B jsou nezávislé. Platí P A
B`
1
aP A
5
B
1
. Určete P A a P B .
4
[
9 5
, ]
20 9
14) Kolik dětí je třeba porodit, aby pravděpodobnost, že se narodí chlapec, byla větší než 0,9.
[4]
15) Jaká je pravděpodobnost, že v rodině s třemi dětmi, jsou právě dvě dcery?
Pravděpodobnost narození dcery je 0,523.
[0,391]
16) Určete pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo je dělitelné 10 nebo 25.
[0,122]
17) Tři nezávislé pokusy A a B a C nastávají s pravděpodobností 0,6 a 0,8 a 0,7. Určete
pravděpodobnost, že
a) nenastane jev B.
[0,2]
b) nenastane žádný z jevů A, B, C.
[0,024]
c) nastane alespoň jeden z jevů A, B, C.
[0,976]
44
Statistika
Důležité pojmy
statistický soubor
je neprázdná konečná množina objektů, které mají společné vlastnosti (např. skupina osob)
rozsah souboru (n)
je počet prvků dané množiny
statistická jednotka
je prvek statistického souboru
statistický znak (x)
je společná vlastnost statistických jednotek (u osob je to například věk, barva vlasů)
hodnota znaku ( x 1 , x 2 ,  , x n )
jednotlivé údaje znaku
45
Rozdělení četností a jeho grafické znázornění
Absolutní četnost n j je počet statistických jednotek, jímž přísluší stejná hodnota znaku.
Pozn.: součet absolutních četností je roven rozsahu souboru
r
nj
n
j 1
Relativní četnost v j je podíl absolutní četnosti znaku a rozsahu souboru v j
Pozn.: součet relativních četností je roven jedné
nj
n
.
r
vj
1.
j 1
Tabulka rozdělení četností:tabulka, ve které je každé hodnotě zkoumaného znaku přiřazena
její četnost
Znak x
x1*
x 2*

x r*
Absolutní četnost
n1
n2

nr
46
Statistické diagramy
Spojnicový diagram (polygon četnosti): závislost absolutní četnosti na hodnotě znaku
4.5
4
3.5
3
y
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
x
Sloupcový diagram (histogram četnosti): používá se, jsou-li hodnoty znaku sdruženy
v intervaly, intervaly tvoří základy sloupku, odpovídající četnosti tvoří jejich výšky
45
40
35
30
y
25
20
15
10
5
0
4
8
12
x
16
47
Kruhový diagram: hodnoty znaku jsou znázorněny kruhovými výsečemi, jejichž obsahy jsou
přímo úměrné relativním četnostem
3. čtvrt.
11%
2. čtvrt.
25%
1. čtvrt.
64%
48
Příklad:
V roce 2002 bylo v ČR zaměstnaných celkem 4764,9 tisíc osob. Z toho
228,7152 bylo zaměstnaných v primární sféře, 39,6% lidí našlo zaměstnání
v sekundární sféře, 55,5% lidí našlo zaměstnání v terciální sféře a u 0,1% lidí
nebylo možno zařadit do žádné z těchto sfér. Určete tabulku rozložení četností,
nakreslete kruhový diagram.
Řešení:
Nejprve určíme tabulku rozložení četností se všemi údaji, které jsou známé ze
zadání.
primární
sekundární
terciální
sféra
sféra
sféra
absolutní četnost
228,7152
ns
nt
no
relativní četnost
vp
39,6%
55,5%
0,1%
Neznámé údaje lze dopočítat pomocí vzorce v j
vp
np
n
228,7152
4764,9
nj
n
ostatní
.
0,048 4,8%
ns
vs n
0,396 4764,9
1886, 9004
nt
vt n
0,555 4764,9
2644, 5195
no
v0 n
0,001 4764,9
4,7649
Kompletní tabulka rozložení četností je tvaru
zaměstnanci zaměstnanci
zaměstnanci
v primární
v sekundární
v terciální
sféře
sféře
sféře
absolutní četnost
228,7152
1886,9004
2644,5195
4,7649
relativní četnost
4,8%
39,6%
55,5%
0,1%
kruhový diagram zaměstnanců podle sektorů
ostatní
0,1%
zaměstnanci v
terciální sféře
55,5%
zaměstnanci v
primární sféře
4,8%
zaměstnanci v
sekundární
sféře
39,6%
ostatní
49
Rozdělení četnosti a jeho grafické znázornění
Varianta A
Příklady:
1) Celkový počet porodů za rok 2001 byl 89425. V tabulce jsou porody rozděleny podle
počtu narozených dětí. Doplňte tabulku. Znázorněte spojnicovým diagramem počet
porodů podle počtu narozených dětí.
Počet narozených dětí
1
2
3
4
Počet porodů
87887
1525
11
2
vj
2) V roce 2000 bylo dokončeno 25 207 bytů. V tabulce jsou dokončené byty rozděleny podle
formy výstavby. Doplňte tabulku. Znázorněte kruhovým diagramem podíl dokončených
bytů podle formy výstavby.
Formy výstavby
družstevní
komunální
individuální
ostatní
Dokončené byty
629
6691
3579
Podíl dokončených bytů
2,5%
26,5%
14,2%
Řešení:
1) Spočítáme relativní četnost podle vzorce v j
nj
n
, kde n je 89425 a absolutní četnosti jsou
počty porodů dle narozených dětí.
v1
87887
89425
0,983
v2
1525
0,017
89425
v3
11
89425
0,00012
v4
2
89425
0,000022
doplněná tabulka:
Počet narozených dětí
1
2
3
4
Počet porodů
87887
1525
11
2
vj
0,983
0,017
0,00012
0,000022
50
spojnicový diagram počtu porodů podle počtu narozených dětí:
100000
90000
80000
počet porodů
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
1
2
3
4
počet dětí
2) Využijeme toho, že platí
r
r
nj
n a
j 1
vj
1 , kde n je celkový počet postavených bytů.
j 1
4
nj
25207
j 1
629 6691 n3
n3
3579
25207
25207 10899 14308
4
vj
1
j 1
0,025 0,265 v3
v3
1 0,432
0,142 1
0,568
doplněná tabulka:
Formy výstavby
družstevní
komunální
individuální
ostatní
Dokončené byty
629
6691
14308
3579
Podíl dokončených bytů
2,5%
26,5%
56,8%
14,2%
Kruhový diagram počtu dokončených bytů podle formy výstavby:
ostatní
14,2%
družstevní
2,5%
komunální
26,5%
individuální
56,8%
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
1) v1
0,983 v 2
2) n3
14308 v3
0,017 v3
0,568
0,00012 v 4
0,000022
51
52
1) Doplňte tabulky rozdělení četností. Zakreslete polygon četností a kruhový diagram.
a)
velikost
1
2
3
4
Četnost
25 20 15 5
Relativní četnost
b)
velikost
1
Četnost
10
2 3
4
20 25
Relativní četnost 10%
[a) výsledky, b) výsledky]
2) Tabulky udávají množství vytěžených listnatých dřevin v ČR podle druhů dřevin. Doplňte
relativní četnosti a znázorněte je kruhovým diagramem.
a)
Druh
dub
buk
jasan
javor
lípa
olše
bříza
dřeviny
Topol,
Ostatní
vrba,
osika
Množství
313521 484098 54562 16472 35961 33759 107713 46736
63999
( m3 )
b)
Druh
dřeviny
dub
buk
jasan
javor
lípa
olše
bříza
Topol,
Ostatní
vrba,
osika
Množství
( m3 )
414684 725199 73120 34266 74390 43273 194866 101416
80001
53
c)
Druh
dub
buk
jasan
javor
lípa
olše
bříza
dřeviny
Topol,
Ostatní
vrba,
osika
Množství
336313 573979 70264 22536 54818 24613 105909 49306
72327
( m3 )
[a) výsledky, b) výsledky, c) výsledky]
3) Tabulky uvádějí výši měsíčního kapesného žáků 5. třídy základní školy s rozdělením
četností. Doplňte relativní četnosti. Nakreslete spojnicový diagram.
a)
výše kapesného 100 200 500 1000
počet
3
10
15
2
b)
výše kapesného 200 400 700 1000
počet
5
12
10
1
4) Soukromou jazykovou školu navštěvuje 320 osob. Každá osoba se učí právě jeden jazyk.
Rozdělení četností je dáno tabulkou:
a)
Jazyk
Angličtina Španělština francouzština Italština
Relativní četnost 46,875%
7,8125%
34,375%
10,9375%
b)
Jazyk
Angličtina němčina francouzština Ruština
Relativní četnost 0,55
0,25
0,15
0,05
c)
Jazyk
Angličtina němčina francouzština čínština
Doplňte absolutní četnosti.
33,75%
31,25%
0,0125
[a) výsledky, b) výsledky, c) výsledky]
54
5) U pětiset manželských párů starších třiceti let byl zkoumán počet dětí. Lidé špatně
vyplnili dotazníky, a tak se podařilo získat pouze údaje uvedené v následující tabulce.
a)
Počet dětí
1
Četnost
2
3 jinak
350
5
2 3
jinak
b)
Počet dětí
1
Četnost
5
0,03
Je-li to možné, tabulky doplňte.
Výsledky varianta A
1Aa
velikost
1
2
3
4
Četnost
25
20
15
5
Relativní četnost 0,38 0,31 0,23 0,08
četnost
spojnicový diagram
30
20
10
0
1
2
3
4
velikost
kruhový diagram
8%
38%
23%
31%
1Ab
velikost
1
2
3
4
Četnost
10
45
20
25
Relativní četnost 10% 45% 20% 25%
55
56
spojnicový graf
50
četnost
40
30
20
10
0
1
2
3
4
velikost
kruhový diagram
10%
25%
20%
45%
2Aa
Druh
dub
buk
jasan
javor
lípa
olše
bříza
dřeviny
Topol,
Ostatní
vrba,
osika
Množství
313521 484098 54562 16472 35961 33759 107713 46736
63999
27%
6%
( m3 )
Relativní
četnost
42%
5%
1%
3%
3%
9%
4%
57
míra těžby dřevin v závislosti na
druhu
dub
buk
jasan
javor
lípa
olše
bříza
topol, vrba, osika
ostatní
6%
4%
3%
5%
3%
9%
27%
1%
42%
2Ab
Druh
dub
buk
jasan
javor
lípa
olše
bříza
dřeviny
Topol,
Ostatní
vrba,
osika
Množství
414684 725199 73120 34266 74390 43273 194866 101416
80001
24%
5%
( m3 )
Relativní
42%
4%
2%
4%
2%
11%
četnost
druhu
dub
buk
jasan
javor
lípa
olše
bříza
topol, vrba, osika
ostatní
6% 5%
4%
2%
2%
4%
11%
24%
42%
6%
58
2Ac
Druh
dub
buk
jasan
lípa
javor
olše
bříza
dřeviny
Topol,
Ostatní
vrba,
osika
Množství
336313 573979 70264 22536 54818 24613 105909 49306
72327
26%
6%
( m3 )
Relativní
44%
5%
2%
4%
2%
8%
četnost
druhu
dub
buk
jasan
javor
lípa
olše
bříza
topol, vrba, osika
ostatní
4% 6%
2%
2%
8%
26%
4%
5%
43%
3Aa
výše kapesného
100 200
500 1000
počet
3
15
10
0,33 0,5
2
0,07
4%
počet
spojnicový graf
16
14
12
10
8
6
4
2
0
100
200
500
1000
výše kapesného
3Ab
výše kapesného
200 400 700 1000
počet
5
12
10
1
Relativní četnost
spojnicový graf
počet
15
10
5
0
200
400
700
1000
výše kapesného
4Aa
Jazyk
Angličtina Španělština francouzština Italština
Četnost
150
25
110
35
7,8125%
34,375%
10,9375%
59
60
4Ab
Jazyk
Angličtina němčina francouzština Ruština
četnost
176
80
48
16
0,25
0,15
0,05
4Ac
Jazyk
Angličtina němčina francouzština čínština
četnost
108
108
100
4
33,75%
31,25%
0,0125
5Aa
Počet dětí
1
2
3
jinak
Četnost
120
350
25
5
5Ab
Počet dětí
1
2
3
jinak
Četnost
120
360
15
5
61
Varianta B
Příklady:
1) Celkový počet rozvodů v roce 2006 byl 31 415. Tabulka zobrazuje počet rozvodů podle
délky trvání manželství. Doplňte ji a nakreslete grafy.
Délka trvání
0-1
2-5
6-9
10-14
15-19
20-70
manželství (roky)
Počet rozvodů
1280
7331
Míra rozvodovosti
17,8%
18,1%
17,4%
Řešení:
1) Nejprve doplníme údaje tam, kde chybí pouze jeden řádek. Použijeme vzorec v j
nj
n
,
kde n je 31415. Pak doplníme absolutní a relativní četnost ve sloupečku 2-5 let pomocí
vzorců
4
4
n a
nj
j 1
vj
1.
j 1
v1
1280
31415
n3
0,178 31415 5578 n4
0,041 v6
7331
0,233
31415
0,181 31415 5681 n5
0,174 31415 5479
6
nj
31415
j 1
1280 n2
5578 5681 5479 7331 31415 n2
6066
6
vj
1
j 1
0,041 v2
0,178 0,181 0,174 0,233 1 v2
0,193
Doplněná tabulka:
Délka trvání
0-1
2-5
6-9
10-14
15-19
20-70
Počet rozvodů
1280
6066
5578
5681
5479
7331
Míra rozvodovosti
4,1%
19,3%
17,8%
18,1%
17,4%
23,3%
manželství (roky)
62
Vzhledem k tomu, že jsou hodnoty znaku sdruženy v intervaly, použijeme histogram pro
znázornění závislosti počtu rozvodů na délce trvání manželství. Hodnoty na ose x jsou
zaokrouhleny na střed intervalu. Druhý graf bude kruhový.
Počet rozvodů v závislosti na délce trvání
Míra rozvodovosti v závislosti na délce trvání
manželství
manželství
0-1
4,1%
počet rozvodů
8000
6000
20-70
23,3%
4000
2000
15-19
17,4%
0
0.5
4
7.5 12 17 45
10-14
18,1%
délka trvání manželství
Příklad:
Varianta A
1) v1
Varianta B
n2
Varianta C
0,041 v2
6066 n3
0,193 v4
5578 n4
0,233
5681 n5
2-5
19,3%
5479
6-9
17,8%
63
1) Tabulka udává počet účastníků jednotlivých kategorií na mistroství republiky v jízdě na
koloběžce. Zakreslete histogram.
[výsledek]
Kategorie (dle věku) 5-7 7-9
9-14 14-18 18-30 30-45 45-60 60-120
Počet účastníků
52
25
50
65
20
15
10
2
2) Rozdělení četností studentů čtvrtých ročníků sportovního gymnázia podle výšky je
zachyceno v tabulce. Doplňte relativní četnosti, zakreslete histogram.
a)
Výška (cm) 150-160 160-170 170-180 180-190
Počet
10
40
65
35
b)
Výška (cm) 160-170 170-180 180-190 190-200
Počet
38
40
50
12
3) Tabulka udává počet obyvatel ČR v roce 2003závislosti na věku. Tabulku doplňte.
Zakreslete histogram. Jaký byl celkový počet obyvatel ČR v tomto roce?
věk
Počet 2003 (v tis.) Relativní četnost 2003
0-14
1554
14-65
70%
65-120
15 %
[výsledek]
64
Výsledky varianta B
1B
počet
Počet účastníků v závisloti na věku
70
60
50
40
30
20
10
0
5-7
7-9
9-14
14-18
18-30
30-45
45-60 60-120
věk
2Ba
Výška (cm)
150-160 160-170 170-180 180-190
Počet
10
40
65
35
0,27
0,43
0,23
Počet studentů v závislosti
na výšce
počet
100
50
0
150-160
160-170
170-180
180-190
výška
2Bb
Výška (cm)
160-170 170-180 180-190 190-200
Počet
38
40
50
12
0,29
0,36
0,08
Počet studentů v závislosti
na výšce
počet
60
40
20
0
160-170
170-180
180-190
190-200
výška
3B
věk
Počet 2003 (v tis.) Relativní četnost 2003
0-14
1554
15%
14-65
7252
70%
65-120
1554
15%
celkem 10360
počet
počet obyvatel v ČR v
závisloti na věku
8000
6000
4000
2000
0
0-14
14-65
věk
65-120
65
66
Varianta C
Příklady:
1) Rozběhy závodu na 100 metrů běželo 30 závodníků? Závodníci dosáhli časů: 9,86; 8.99;
9,15; 9,20; 9,06; 8,89; 9,12; 9,00; 9,65; 9,26; 9,15; 8,99; 8,98; 9,14; 9,19; 9,32; 9,40; 9,30;
9,09; 9,16; 9,33; 9,01; 9,03; 10,01; 8,95; 9,26; 9,28; 9,72; 9,55; 8,82. Zvolte délku rozpětí
intervalu 0,2 sekundy a uspořádejte časy do tabulky rozdělení četností. Spočítejte relativní
četnosti. Znázorněte grafy.
2) Počet zaměstnanců ve výzkumu a vývoji v roce 1995 byl 47500. Z toho 42,9%
zaměstnanců bylo zaměstnáno v podnikatelské sféře, 29,1% zaměstnanců bylo
zaměstnáno ve vládním sektoru, 28% zaměstnanců bylo zaměstnáno ve vysokoškolském
sektoru a 0% zaměstnanců bylo zaměstnáno v soukromém neziskovém sektoru. V roce
2007 bylo ve výzkumu zaměstnáno 73081 lidí s podíly v sektorech 43,6%, 20,3%, 35,8%
a 0,3%. Vypočtěte absolutní četnosti zaměstnanců pracujících v jednotlivých sektorech a
sestrojte tabulku četností.
Řešení:
1) Nejhorší čas je 10,01 a nejlepší je 8,82, takže intervalů bude šest. Pro výpočet relativní
nj
četnosti použijeme vzorec v j
v1
v5
8
30
2
30
0,267
v2
0,067
v6
n
10
30
1
30
. První graf bude histogram, druhý graf bude kruhový.
0,333
v3
7
30
0,233
v4
2
30
0,067
0,033
tabulka rozdělení četností:
Interval
8,82-9,02
9,03-9,23
9,24-9,44
9,45-9,65
9,66-9,86
9,87-10,07
Počet časů
8
10
7
2
2
1
Relativní
0,267
0,333
0,233
0,067
0,067
0,033
četnost
9,66-9,86
6,7%
počet závodníků v
závisloti na čase
9,8710,07
3,3%
9,45-9,65
6,7%
8,82-9,02
26,7%
15
počet
67
10
9,24-9,44
23,3%
5
9,03-9,23
33,3%
0
8.92 9.13 9.34 9.55 9.76 9.97
čas
2) Procenta lidí pracující v jednotlivých sférách jsou relativní četnosti, absolutní četnosti dopočítáme
pomocí v j
nj
n
a sestavíme tabulku rozdělení četností.
n1 / 1995
0,429 47500
20377,5 n 2 / 1995
0,291 47500 13822,5
n3 / 1995
0,28 47500 13300 n 4 / 1995
n1 / 2007
0,436 73081 31863,316 n 2 / 2007
0,203 73081 14835,443
n3 / 2007
0,358 73081 26162,998 n 4 / 2007
0,003 73081 219,243
0
Tabulka rozdělení četností:
Sektor
Počet 1995 Počet 2007 Relativní četnost 1995 Relativní četnost 2007
Podnikatelský
20377,5
31863,316
0,429
0,436
Vládní
13822,5
14835,443
0,291
0,203
Vysokoškolský
13300
26162,998
0,28
0,358
219,243
0
0,003
Soukromý neziskový 0
Příklad:
Varianta A
1) v1
Varianta B
2) n1 / 1995
Varianta C
n1 / 2007
31863,316 n 2 / 2007
n 4 / 2007
219,243
0,267 v 2
0,333 v3
20377,5 n 2 / 1995
0,233 v 4
0,067 v5
13822,5 n3 / 1995
0067 v 6
0,033
13300 n 4 / 1995
14835,443 n3 / 2007
26162,998
0
68
1) V obchodě specializujícím se na prodej večerních šatů zaznamenávali kvůli optimalizaci
objednávek velikosti prodaných šatů s tímto výsledkem: 36, 44, 38, 38, 38, 40, 42, 44, 38,
42, 38, 44, 46, 44, 38, 38, 40. Sestavte tabulku rozdělení četností jednotlivých hodnot
znaku „velikost“ a určete relativní četnosti pro jednotlivé velikosti. Sestrojte odpovídající
polygon četností rozdělení četností.
[výsledek]
2) Trenéři zjišťovali věk hráčů A mužstva první fotbalové ligy. Byly zjištěny tyto hodnoty:
25, 24, 17, 32, 26, 24, 25, 26, 27, 31, 19, 21, 32, 25, 36, 29, 20, 24, 25. Určete rozsah
souboru, sestavte tabulku rozdělení četností jednotlivých hodnot znaku „věk“, určete
relativní četnosti a znázorněte je do grafu
[výsledek]
3) V roce 2000 bylo v televizi odvysíláno celkem 17 568 hodin. Z toho 39,5% bylo
zpravodajství, 4,9% byly vzdělávací pořady, 3,7% připadlo na kulturu, 40,4% vysílacího
času připadlo zábavným pořadům, 0,6% náboženským pořadům, 1% připadlo na reklamu
a 9,9% na ostatní blíže nespecifikované pořady. Vypočtěte absolutní četnosti vysílacích
hodin jednotlivých druhů pořadů. Sestrojte tabulku četností.
[výsledek]
4) Na první stupeň školy dochází v školním roce 2001/2002 135 žáků. Pětina z nich chodí
pěšky, třetinu dovezou rodiče autem a zbytek jezdí autobusem. Další školní rok
(2002/2003) školu navštěvuje také 135 žáků. Počet dětí chodících pěšky se zvýší o 5,
autobusem jezdí o jednoho žáka méně. Vypočtěte absolutní a relativní četnosti žáků
jezdících do školy v roce 2002/2003 podle druhu dopravního prostředku.
[výsledek]
Výsledky varianta C
1C
Velikost
36
38
40
42
44
46
Počet
1
7
2
2
4
1
Relativní četnost 0,06 0,41 0,12 0,12 0,23 0,06
počet prodaných šatů v
závisloti na velikosti
8
počet
6
4
2
0
36
38
40
42
velikost
44
46
69
70
2C
Věk
17
19
20
21
24
25 26
27
29
31
32
36
Počet
1
1
1
1
3
4
1
1
1
2
1
2
Relativní počet (%) 5,3 5,3 5,3 5,3 15,6 21 10,5 5,3 5,3 5,3 10,5 5,3
Míra zastoupení fotbalistů daného
věku v mužstvu
32
3%
36 17
12% 13%
31
12%
27
12%
19
12%
20
12%
21
12%
26 25
3% 5%
24
4%
3C
Typ pořadu
zpravodajství vzdělávací kultura
zábava
Počet hodin
6939,36
860,832
650,016 7097,472 105,408
175,68
1739,232
Relativní
0,395
0,049
0,037
0,01
0,099
0,404
náboženství reklama ostatní
0,006
počet (%)
4C
Druh dopravního prostředku chůze
auto
Autobus
Počet žáků
32
41
62
Relativní četnost
23,7% 30,4% 45,9%
71
Charakteristiky polohy a variability
Charakteristika polohy: číslo charakterizující průměrnou hodnotu sledovaného znaku
(aritmetický průměr, geometrický průměr, harmonický průměr,
modus, medián)
Charakteristika variability: číslo charakterizující proměnlivost sledovaného znaku (rozptyl,
směrodatná odchylka)
_
Aritmetický průměr x je součet hodnot znaku zjištěných u všech jednotek souboru, dělený
počtem všech jednotek souboru.
_
1
n
x
n
xj
j 1
Geometrický průměr xG z kladné hodnoty znaku je n-tá odmocnina ze součinu hodnot znaku.
xG
n
x1  xn
Harmonický průměr x H z nenulových hodnot statistického souboru je podíl rozsahu souboru
a součtu převrácených hodnot znaku.
xH
n
1
x1

1
xn
Modus Mod x je nejčastěji se vyskytující hodnota mezi znaky.
Medián Med x je prostřední člen mezi znaky, jestliže je uspořádáme podle velikosti.
Pozn.
je-li n liché, určíme medián podle vzorce: Med x
x
n 1
2
je-li n sudé, je medián aritmetickým průměrem dvou hodnot „kolem středu“:
Med x
1
x
2
n
2
x
n
1
2
72
Rozptyl s x2 je průměr druhých mocnin odchylek od aritmetického průměru.
s
2
x
1
n
n
_
xj
2
x
j 1
Směrodatná odchylka s x je druhá odmocnina z rozptylu.
sx
Příklad:
s x2
V tabulce je dán počet obyvatel ČR k 21.12. od roku 1996 do roku 2003.
Vypočítejte průměrný počet obyvatel ČR za období 1996 až 2003.
rok
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
Počet obyvatel
10309
10299
10290
10278
10267
10206
10203
10211
k 31.12. (tis)
Řešení:
Budeme počítat aritmetický průměr za osm období, takže n=8.
_
x
1
n
n
xj
j 1
1
10309 10299 10290 10278 10267 10206 10203 10211
8
1
82144 10268
8
Průměrný počet obyvatel ČR za období 1996 až 2003 byl 10268.
73
Varianta A
Příklady:
1) Tabulka udává HDP (Hrubý domácí produkt) v ČR od roku 2000 do roku 2005. Vypočtěte
aritmetický geometrický a harmonický průměr HDP v ČR od roku 2000 do roku 2005.
Rok
2000
2001
2002
2003
2004
2005
HDP (mil. Kč)
2189169
2352214
2464432
2577110
2814762
2983862
2) Vypočtěte modus a medián ze souboru písmen: A, B, B, C, D, E, F, E, B, C, D, E, A, B,
C, D, E, F, E, E, D, C, A, B, B.
Písmeno A B C D E F
Počet
Řešení:
1) Půjde o dosazování do vzorců, kde n=6 a x1
x4
_
x
_
x
2577110, x5
2814762, x 6
2189169, x2
2352214, x3
2983862, .
1 n
xj
n j1
1
2189169 2352214 2464432 2577110 2814762 2983862
6
xG
n
x1  xn
xG
6
2189169 2352214 2464432 2577110 2814762 2983862
xH
xH
2464432,
6
2563591,5
2,747 1038
n
1
x1

1
xn
6
1
1
1
1
1
1
2189169 2352214 2464432 2577110 2814762 2983862
2535779,578
74
2) Sestavíme si tabulku, kde první řádek bude písmeno a druhý jeho početní zastoupení
v souboru.
Písmeno A B C D E F
Počet
3
6
4
4
6
2
Modus je nejčastěji vyskytující se hodnota mezi znaky, takže Mod x
E.
Abychom vypočítali medián, musíme znaky uspořádat podle velikosti.
Písmeno F A C D E B
Počet
2
3
4
4
6
6
Počet prvku souboru je 25, takže n je liché a Med x
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
x
n 1
2
x13
D.
_
1)
x
2563591,5 xG
2) Mod x
E Med x
6
2,747 1038 x H
D
2535779,578
75
1) Tabulka udává průměrnou ošetřovací dobu od roku 2000 do roku 2008. Vypočtěte
aritmetický průměr ošetřovací doby od roku 2000 do roku 2008.
rok
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Průměrná délka ošetřovací
8,7
8,5
8,3
8,3
8,1
8,0
7,8
7,7
7,4
doby ve dnech
[8,09,]
2) Tabulka udává průměrnou výši měsíčních důchodů mužů a žen v ČR od roku 1999 až do roku
2008. Vypočítejte aritmetický průměr průměrné celkové měsíční výše důchodů od roku 1999 až
do roku 2008 .
Rok
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Výše důchodu muži 6557 6885 7595 7622 7902 8133 8660 9157 9784 10715
Výše důchodu ženy
5391 5735 6196 6213 6429 6600 7030 7431 7938 8784
[7537,85]
3) Závodníci při skoku do dálky dosáhli těchto výkonů: 7,80, 7,65, 8,15, 8,21.
Vypočítejte aritmetický, harmonický a geometrický průměr těchto hodnot a porovnejte jejich
velikosti.
[7,9525, 7,949, 7,946, největší je aritmetický a nejmenší harmonický průměr]
4) Vypočítejte modus a medián souboru hodnot 2, 5, 6, 3, 2, 5, 3, 6, 1, 2, 3, 1, 2.
[2,3]
5) Určete median a modus znaku A z následující tabulky rozdělení četností:
Ai
1 2 3 4
ni
5 7 8 6
[2, 3]
6) Tabulka udává počet narozených štěňat v chovatelské stanici za prvních šest měsíců. Určete
modus a median.
a)
Měsíc
leden únor březen duben květen Červen
Počet štěňat 5
8
26
30
22
25
b)
Měsíc
leden únor březen duben květen Červen
Počet štěňat 5
8
26
30
21
25
[a) duben, červen,b) duben, červen]
76
Varianta B
Příklady:
1) Třetí ročníky gymnázia psali čtvrtletní práci z matematiky v jeden týden. Jedničku dostalo
5 žáků, dvojku 15 žáků, trojku 32 žáků, čtverku 21 žáků a pětku 9 žáků. Spočítejte
aritmetický průměr známek.
2) Tabulka udává počet obyvatel ČR starších patnácti let s vysokoškolským vzděláním.
Tabulka je z období 2004 až 2008. Spočítejte rozptyl a směrodatnou odchylku.
Rok
2004
2005
2006
2007
2008
Počet (tis.) 862,2 907,1 954,6 974,8 1050,0
Řešení:
1) vytvoříme tabulku rozložení četností
Známka
1
2
3
4
5
počet
5
15
32
21
9
Jestliže počítáme aritmetický průměr z tabulky rozdělen četností, musíme každou hodnotu
_
1
n
x *j násobit její četností, takže vzoreček má tvar x
n
x *j n j . Dále už jen dosazujeme,
j 1
n je počet žáků třetích ročníků, kteří psali čtvrtletní práci.
_
x
1
1 5 2 15 3 32 4 21 5 9
82
2) Vzorec pro výpočet rozptylu je s x2
1
n
260
82
n
3,17
_
xj
x
2
, takže si nejprve spočítáme
j 1
aritmetický průměr, a pak dosadíme.
_
x
s
2
x
n
1
n
1
862,2 907,1 954,6 974,8 1050,0
5
xj
j 1
1
n
n
_
xj
2
1
5
x
j 1
862,2 949,74
2
2
949,74
907,1 949,74
2
2
2
954,6 949,74
974,8 949,74
1050,0 949,74
1
7663,2516 1818,1696 23,6196 628,0036 10052,0676
5
Směrodatná odchylka je druhá odmocnina z rozptylu, takže
sx
s x2
4037,0224
63,54
4037,0224
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
_
1) x
2) s x2
3,17
4037,0224 s x
63,54
77
78
1) Z tabulky rozdělení četností určete aritmetický a geometrický průměr.
a)
xi
1
2
3
4
5 6
ni
26 31 11 12 5 8
[40,3, 38,11 ]
b)
xi
0,5 1
ni
26
1,5 2
31 11
2,5 3
12 5
8
[20,17, 19,06]
2) Skupina 25 brigádníků česala na letní brigádě ovoce. Tabulka uvádí rozdělení nasbíraného
množství. Vypočtěte aritmetický průměr.
a)
Množství (kg) 20 25 30 35 40
počet
2
8
7
6
2
b)
Množství (kg) 20-24 25-29
30-34 35-39 40-46
počet
7
2
8
6
2
[a) 148,b) 158,4 ]
3) V roce 2006 maturovali na církevním gymnáziu 4 třídy. Třídy označme W, X, Y, Z. Ve
třídě označené W maturovalo 27 žáků s průměrnou známkou 2,16, Ve třídě X maturovalo
30 žáků s průměrnou známkou 1,9, ve třídě Y maturovalo 28 žáků s průměrnou známkou
2,5 a v poslední třídě maturovalo 26 lidí s průměrnou známkou 2,7. Určete aritmetický
průměr průměrných známek z maturity ve všech třídách dohromady.
[2,3]
79
4) Spočítejte rozptyl a směrodatnou odchylku z tabulky rozdělení četností:
a)
xi
A
B
C
D
ni
25 12 42 16
[133,1875, 11,54]
b)
xi
1
2
3
4
ni
36 22 11 8
[22,1875, 4,71]
5) Kamila házela dvacetkrát po sobě šesti kostkami. V každém hodu si zaznamenala, kolikrát
padla jednička. Rozdělení četností tohoto znaku je dáno tabulkou:
a)
Počet jedniček 0 1
četnost
2 3 4 5 6
2 10 6 1 1 0 0
b)
Počet jedniček 0 1 2 3 4 5 6
četnost
2 8 4 3 2 1 0
Určete rozptyl a směrodatnou odchylku.
[a) 11,452, 3,38, b) 8,58, 2,93]
80
Varianta C
Příklady:
1) Zuzana jela na kole navštívit svoji kamarádku. První polovinu cesty se pohybuje rychlostí
30 km//h, ale na jejím konci píchne a zbytek musí dojít pěšky. Zbytek cesty se pohybuje
rychlosti 6 km/h. Určete průměrnou rychlost.
2) Návštěvnost plaveckého centra se během druhého roku provozu zvýšila o dvacet procent,
další rok růst pokračoval, návštěvnost se zvýšila o dalších dvanáct procent. Jaký byl
průměrný roční koeficient růstu návštěvnosti za první dva roky provozu?
Řešení:
1) K výpočtu průměrné rychlosti je vhodné použít vzorec pro výpočet harmonického
průměru.
n
xH
1
x1
2
1
x2
1
30
1
6
10
Zuzana se pohybuje průměrnou rychlostí 10km/h.
2) K určení průměrného tempa růstu používáme geometrický průměr. V tomto případě se
jedná o dvě období.
první rok + 20%
druhý rok +12%
xG
n
x1  xn
1,2 1,12
1,159
Průměrný roční koeficient růstu za první dva roky provozu byl 1,159.
Příklad:
Varianta A
1) 10km/h
Varianta B
2) 1,159
Varianta C
81
1) Karel svaří dva pláty kovu za dvě minuty, Pavlovi to trvá a minutu déle. Jak dlouho trvá
v průměru svaření dvou plechů dohromady? Kolik plechů svaří oba muži za deset minut?
[2,4]
2) Eva ozdobí jednu vánoční baňku za 5 minut, Alena to zvládne za 3 minuty a Vlastě to trvá
6 minut. Jak dlouho trvá v průměru ozdobení jedné baňky?
[4,29]
3) Helena si vyjela na výlet na koni. První polovinu vyjížďky se pohybuje rychlostí 12 km/h,
ale kůň je unavený a musí zpomalit na rychlost 7 km/h. Jakou průměrnou rychlostí Helena
na vyjížďce jede?
[8,84]
4) Závodník v běhu na 1500 metrů běží první kolo rychlostí 20 km/h, v druhé pětistovce
zvolní na 18 km za hodinu a v poslední pětistovce se vzepne k rychlosti 25 km/h. Jakou
průměrnou rychlostí závodník běžel?
[20,6]
5) Tabulka vyjadřuje růst cen jistých komodit v roce 1993 až 1997. Vypočtěte průměrné
cenové indexy jednotlivých komodit za dané období (obdobím je míněn průměr podílů
hodnot za dvě po sobě jdoucí období).
Rok
1993
1994
Chléb
9,6
10,22 11,29 15,74 16,2
Pivo 10 5,8
Benzin
5,94
1995
6,19
1996
6,52
1997
6,88
18,79 19,13 19,05 20,99 22,19
[1,14, 1,03, 1,04]
6) Cena lístků na hokej se v první extraligové sezoně zvýšila o 70%. Další rok byly lístky
znovu zdraženy o dalších 10%. Na další sezonu zůstala cena lístků stejná. Vypočtěte roční
koeficient růstu ceny lístků za první tři extraligové sezony klubu.
[1,23]
82
1) Tabulka udává pořadí mužstev florbalové ligy po 22 kolech.
Určete:
a) průměrný počet branek obdržených všemi mužstvy v jednom kole
b) průměrný počet branek obdržených jedním mužstvem ve všech 22 kolech.
pořadí mužstvo
Zápasy Výhry Remízy Prohry Skóre
Body
1.
Tatran
22
19
1
2
131:71
58
2.
Vítkovice
22
17
0
5
116:71
54
3.
Boleslav
22
15
2
5
131:98
46
4.
Chodov
22
12
2
8
123:99
42
5.
Bulldogs
22
11
3
8
110:92
37
6.
Future
22
11
1
10
110:99
34
7.
Liberec
22
10
1
11
93:125
30
8.
Sparta
22
8
3
11
113:128 26
9.
Ostrava
22
6
3
13
120:135 21
10.
Pardubice 22
3
4
15
82:110
18
11.
Havířov
22
4
4
14
80:123
17
12.
Znojmo
22
3
2
17
81:139
13
[a) 58,64,b) 107,5]
2) Určete, jak se změní aritmetický průměr, jestliže se každá hodnota zmenší o pět procent.
[zmenší se také o pět procent]
3) Z prvního lomu je denně vytěženo 63 tun kamene, z druhého lomu se denně vytěží 58 tun
kamene. Určete průměrný výnos z obou lomů, jestliže v prvním lomu těží kámen 12
dělníků a v druhé lomu ho těží 10 dělníků.
[60,73]
4) Dokažte, že pokud vynásobíme každou hodnotu znaku třemi, tak směrodatná odchylka
vzroste třikrát.
1
n
n
_
3 xj
j 1
3 x
2
9s x2
3s x
83
5) Chemické olympiády se zúčastnilo 121 studentů, z nichž 23 získalo více než 50 bodů.
Základní škola z Přítluk na olympiádu vyslala 12 dětí, z nichž dva získali více než padesát
bodů. Je výsledek dětí z Přítluk v počtu dětí, které mají více než 50 bodů, horší nebo lepší
než výsledek všech účastníků?
[horší]
6) Graf udává uživatele jednotlivých druhů prohlížečů mezi skupinou 57 238 uživateli.
Sestrojte příslušnou tabulku rozdělení četností a polygon četností.
Ostatní
5%
Safari
2%
Opera
5%
prohlížeče
Mozilla
10%
Internet
Explorer
46%
Firefox
32%
[výsledky]
7) V prodejně sledovali počet prodaných učebnic cizího jazyka v závislosti na obtížnosti (1.,
2., 3.) s tímto výsledkem: 1., 2., 1., 3., 3., 3., 2., 1., 2., 1., 3., 2., 1., 3., 2., 2., 1., 3., 1.
a) určete rozsah souboru
b) Určete absolutní a relativní četnosti znaku „obtížnost“.
[a) 19, b) výsledek ]
8) Krmná směs pro koně byla smíchána ze dvou druhů krmiva a to v poměru 10 kg z prvního
pytle v ceně 250 kč/kg a 15 kg z druhého pytle v ceně 190 kč/kg. Jaká bude cena 1 kg
směsi?
[214]
9) Kolik kilogramů kukuřice v ceně 25 kč/kg musíme smíchat s 10 kg kvalitnější kukuřice
v ceně 48 kč/kg, aby 1 kg výsledné směsi byl za cenu 35 kč/kg.
[13]
84
10) Házíme kostkou, než padne šestka. Znak x udává, v kolikátém hodu se to stalo. Pokus
opakujeme 25krát. Toto opakování dalo následující tabulku:
Počet hodů potřebných na hození šestky 1 2 3 4
četnost
5
3 5 5 10 2
a) vypočítejte aritmetický průměr a medián
b) Porovnejte relativní četnosti s příslušnými pravděpodobnostmi.
[a) 3,12, 3, b) výsledek ]
11) V tabulce je uveden index spotřebitelských cen v procentech oproti minulému měsíci.
Jaké bylo průměrné měsíční tempo růstu cen?
Měsíc l
Index
ú
b
d
k
č
čc
s
z
ř
ld
p
102 103 104 105 102 106 107 108 102 101 100 104
[103,6%]
12) Novákovi spotřebovali za 4 měsíce 20, 25, 22, 20 kilogramů masa. Novotní spotřebovali
10, 12, 15, 32 kilogramů masa. O kolik se lišila průměrná spotřeba mezi oběma rodinami?
[4,5 kg]
13) Spočítejte zvýšení ceny určité komodity za 9 let v procentech při ročním koeficientu růstu
a) 1,025
b) 1,032
[a) 24,9%, b) 32,8%]
Souhrnné příklady k procvičení - výsledky
6)
prohlížeč
Internet Explorer Firefox Opera Mozilla Safari Ostatní
četnost
26329
18316
2862
5724
1145
2862
32%
5%
10%
2%
5%
Četnost užívání jednotlivých druhů
prohlížečů
30000
četnost
25000
20000
15000
10000
5000
0
Internet
explorer
Firefox
Opera
Mozilla
Safari
Ostatní
prohlížeč
7b
Obtížnost
1.
2.
3.
Četnost
7
6
6
Relativní četnost 36,8% 31,6% 31,6%
10b
Počet hodů potřebných na hození šestky 1
2
3
4
Relativní četnost
12%
20%
20%
40%% 8%
P xi
16,7%% 13,9% 11,6% 9,6%
5
8%
85

Pravděpodobnost a statistika - Student na prahu 21. století

Transkript

Podobné dokumenty

08) Pravděpodobnost a statistika

Co dělá domov domovem?

magisterské a doktorské studijní programy, sborník rozšířených

MS Excel 2010 - Elearning VOŠ, SOŠ a SOU Kopřivnice

editel Ladislav Steinhauser. - Automatizace v potravinářství