Základy pružnosti a pevnosti (starší verze)

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
PRUŽNOST A PEVNOST
Přednáška č. 5
Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc.
MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES
Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které
splňují svoji funkci a jsou bezpečné.
2 základní úlohy PP
- pevnostní úloha
- tuhostní úloha
Základní pojmy
Vnější síly - povrchové (F, M, …)
- objemové (vlastní tíha, ….)
Vnitřní síly – Vlivem působení vnějších sil
se těleso deformuje a v tělese vznikají
tzv. vnitřní síly.
Napětí a deformace
Intenzitu vnitřních sil lze vyjádřit pomocí napětí
Normálová složka napětí σ =
Smyková složka napětí
dT
[Pa]
dA
ɺγ =
Zkouška materiálu při smyku tg γ =
Deformace materiálu
Zkouška tahem
Poměrné prodloužení
τ=
dN
[Nm −2 = Pa]
dA
∆x
y
γ … zkos
ε=
∆l
l
Závislost mezi napětím a deformací
Tahový diagram
Hookeův zákon
σ = E ⋅ε
E … modul pružnosti
v tahu [Pa]
ocel
tgα = E
E = (1,9 ÷ 2,2 )⋅1011 Pa
Hookeův zákon pro smyk
τ = G ⋅γ
G … modul pružnosti ve smyku
G =ɺ 0,8 ⋅1011 Pa
V zatěžovaném tělese vzniká napjatost
Jednoosá napjatost – namáhání prostým tahem
σx =
F
A
Rovinná napjatost
Rovinná napjatost je popsána složkami
σ x, σ y, τ
Rovinná napjatost je taková napjatost, kde všechna napětí leží v jedné rovině.
Hookeův zákon pro rovinnou napjatost
~
~
~
εx =
σx
E
σy
−ν
σy
E
σx
=
1
[σ x −ν σ y ]
E
1
εy =
−ν
= [σ y −ν σ x ]
E
E E
γ=
 1

ε x   E
ε  = − ν
 y  E
 γ  
0

~
τ
G
−
ν
E
1
E
0

0

0

1
G 
σ x 
σ 
 y
 τ 
ε=C σ
σ=S ε
S = C −1
Namáhání přímého prutu
- tah (tlak)

- krut
 jejich kombinace

- ohyb
Prostý tah
Napětí
σ=
F
A
Dovolené napětí σ D =
Poměrné prodloužení ε =
Pevnostní podmínka
σ ≤σD
σ
E
=
F
∆l
; ε=
⇒
EA
l
∆l =
Tuhostní podmínka
∆l ≤ ∆l D
Fl
EA
[m]
σ K  σ p 
k k  k p 
Prostý krut
Kroutící moment
Napětí τ =
Wk =
πd 3
16
Úhel zkroucení ϕ
M l
ϕ= k
G Jp
M k = F ⋅ a [Nm ]
M k  Nm

=
Pa

Wk  m 3
Wk [m 3 ] … průřezový modul v krutu
Poměrný zkrut ϑ
ϑ=
ϕ
l
=
Mk
G Jp
J p [m 4 ] …. polární kvadratický moment
Pevnostní podmínka
τ ≤τD
Tuhostní podmínka
ϕ ≤ ϕ D (ϑ ≤ ϑD )
Prostý ohyb
Prut namáhaný příčnými silami nazýváme nosník.
Reakce
R A = RB =
F
2
Max. ohybový moment
Maximální napětí
Wo [m3 ]
Průběh napětí σ o podél průřezu
M o max =
σ o max =
F l Fl
⋅ =
2 2 4
M o max
[Pa]
Wo
…průřezový modul v ohybu …
Pevnostní podmínka
σ o max ≤ σ D
Tuhostní podmínka
(průhyb)
vmax ≤ vD
INŽENÝRSKÉ VÝPOČTY
V TECHNICKÉ PRAXI
Přednáška č. 5a
Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc.
Inženýrské výpočty v technické praxi
Obsah:
•
•
•
•
•
Význam výpočtů v technické praxi
Druhy výpočtových metod
Princip a vývoj MKP
MKP systémy
Aplikace MKP
Význam výpočtů v technické praxi
Při produkci výrobků je nutné znát
vlastnosti a chování daného výrobku
v reálných (provozních) podmínkách
Simulace provozního procesu („odezva
výrobku“ na provozní podmínky)
Analyticky řešitelné úlohy pružnosti:
•
•
•
•
•
Namáhání přímých prutů (tah, tlak, krut, vzpěr
a stabilita, …)
Tenkostěnné a silnostěnné rotační nádoby
Rotující kotouče
Desky kruhové a obdélníkové
…
Praktické úlohy většinou podstatněji složitější
Použití přibližných diskrétních výpočtových metod
•
•
•
•
•
Metoda sítí
Metoda konečných objemů
Metoda hraničních prvků
Metoda konečných prvků (MKP)
…
Výhody použití výpočtových metod
v kombinaci s CAD systémy:
•
•
•
•
•
•
Zkrácení vývojového času
Redukce výrobních nákladů a úspora surovin
Inovace a tvořivost
Zvyšování kvality
Dodržování stále přísnějších norem
…
Vyšší efektivita výroby
Flexibilita vs. náklady na změnu výroby
Náklady na změnu
výroby
Flexibilita
definování
výroby
koncepce
výroby
seriová
výroba
Princip MKP
Zatížené pružné těleso
Vlivem zatížení dochází
k deformaci tělesa
Pole posuvů
u = [u x , u y , u z ] T
Pole deformací (přetvoření)
ε = [ε x , ε y , ε z , γ yz , γ zx , γ xy ] T
Pole napětí:
σ = [σ x , σ y , σ z , τ yz , τ zx , τ xy ] T
Princip MKP
Deformační stav pružného tělesa je podle matematické teorie
pružnosti popsán 15-ti rovnicemi
3 podmínky rovnováhy (Cauchyho)
∂σ+R = 0
(3 rovnice)
kde ∂ je matice operátorů, R = [ X , Y , Z ] T vektor objemových sil
6 geometrických rovnic
ε = ∂T u
6 fyzikálních rovnic (rozšířený Hookeův zákon)
σ = Dε
Princip MKP
Deformační varianta
• Hledání neznámých funkcí posunutí u (x, y, z) je nahrazeno
hledáním konečného počtu hodnot těchto funkcí, z nichž lze
zkonstruovat přibližné řešení.
• Hledané neznámé funkce posunutí aproximujeme pomocí
bázových polynomických funkcí v diskrétních bodech a
s jejich pomocí vyjádříme neznámé posuvy v celém kontinuu.
• Matematicky se tak řešení diferenciálních rovnic převádí na
řešení soustav algebraických rovnic.
Princip MKP
Princip MKP je založen na Lagrangeově principu:
Těleso je v rovnováze, jestliže celková potenciální energie
deformace soustavy je minimální.
Celková potenciální energie Π = Ei + Ee
Ei …. potenciální energie deformace vnitřních sil
Ee …. potenciální energie deformace vnějších sil
Minimum
∂Π
=0
∂u
Ei
Postup:
Oblast A s hranicí Γ nahradíme konečným počtem prvků →
diskretizace
Γ
A
→
a) Funkce posuvů nahradíme polynomem
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y
v( x, y ) = a4 + a5 x + a6 y
b) Funkce posuvů u,v vyjádříme
pomocí hodnot posuvů
v uzlových bodech
ui , vi ,
i = 1, 2, 3.
c) Sestavení celkové potenciální energie prvků Π ie jako funkce
posuvů.
d) Sestavení celkové potenciální energie soustavy
n
Π = ∑ Π ie ,
i =1
zavedení okrajových podmínek
e) Minimalizace celkové potenciální energie soustavy
∂Π
=0
∂u
⇒
soustava lineárních algebraických
rovnic s neznámými posuvy
v uzlových bodech
f) Známe-li vektor neznámých posuvů u, potom lze
vyšetřit deformace
ε = ∂T u
a napětí
σ=Dε
Získáváme přibližné řešení úlohy
Vývoj MKP a její aplikace
rok
2000 1990 -
simulace výrobních
procesů (lití, svařování,
tváření), mechanika
kompozitních a
anizotropních materiálů
biologie, lékařství,
fyzika, geofyzika
1980 1970 1960 -
elektronika, mikromechanika
průmysl spotřební, chemický
(plasty), strojírenský
průmysl automobilový, loďařský,
letecký, vesmírný, stavební
oblasti použití
MKP systémy
Kompaktní systémy
• Vznik v 50. a 60. letech
• Robustní systémy schopné řešit široké
spektrum úloh
• Vysoká cena
• Např.: MARC, ANSYS, NASTRAN, ABAQUS,
COSMOS, SYSTUS, …
Specializované systémy:
• Zaměřeny na určitou oblast úloh
• Např.: ADAMS, FLUENT, PAM-FLOW, PAMCRASH, DYNA, FORGE, FATIGUE …
Přístupné na ZČU:
•
Např.: ANSYS, MARC, ADAMS, SYSTUS,
FLUENT, PAM-CRASH, DYNA, FATIGUE
Prostorová diskretizace
Princip MKP
• Základním předpokladem
MKP je diskretizace
spojitého kontinua na
prvky - konečné počtem
i velikostí
Metodický postup při definování MKP úlohy:
• Postavení fyzikálního modelu :
- stanovení cíle výpočtu
- rozhodnutí o typu úlohy
- rozhodnout o dimenzi úlohy
- izolace tělesa a nahrazení
vlivu okolí vazbami,
tj. stanovení okrajových podmínek
řešení
Metodický postup při definování MKP úlohy:
• Postavení MKP modelu
- Volba typu prvku
- Volba hustoty sítě
- Kontrola sítě
Skladba MKP systémů
• Preprocesor
• Solver
• Postprocesor
Čelist s vedením
Cíl řešení: dimenzovat čelist soustruhu
- Řešení provedeno v prostoru
- Volba okrajových podmínek
- Materiál čelisti
- Provedena diskretizace s
přihlédnutím ke koncentrátorům
napětí
- Kontakt dotýkajících se ploch
Čelist s vedením
• Vyhodnocení chyby
výpočtu
• Posouzení výsledků
• Ověření experimentem
Napěťová analýza rámu lisu
Tahová zkouška
Úlohy pružnosti a pevnosti
Simulace tvárného lomu tyčky
Diskretizace úlohy pomocí konečných prvků
Kumulace dutin
•
Vibrační a tuhostní analýza experimentálního fúzního
reaktoru Wendelstein 7-X (SRN)
Vtlačování kladky do trubky
Projekty a předdiplomní projekty
Bezpečnostní prvek v nárazníku
Bezpečnostní prvek nárazníku
Bezpečnostní prvek nárazníku
Nárazník – absorber energie