kvantová fyzika

1
31 SCHRÖDINGEROVA FORMULACE KVANTOVÉ FYZIKY
Pravdìpodbnost výskytu
Schrödingerova rovnice
Kvantovìmechanický formalismus
Korpuskulární vlastnosti èástic podmiòují jejich pohyb, který vyjadøuje "newtonovská"
mechanika nejdokonaleji formulovaná zákony analytické mechaniky. Existence vlnových vlastností
èástic podstatnì mìní popis zákonitostí pohybu v mikrosvìtì, proto bylo nevyhnutelné vybudovat
novou mechaniku. Nazýváme ji vlnová mechanika a zpravidla ji zahrnujeme pod obecnìjší název
kvantová mechanika. Jak má vypadat základní pohybová rovnice v této nové mechanice? Tento
problém se podaøilo témìø souèasnì vyøešit dvìma fyzikùm - Heisenbergovi a Schrödingerovi.
Heisenberg formuloval svou vlnovou mechaniku pomocí tzv. maticového poètu, Schrödinger pomocí
diferenciálních rovnic. Zanedlouho po vzniku tìchto teorií se podaøilo dokázat, že obì teorie jsou
navzájem ekvivalentní. Schrödinferùv postup je bližší tradiènímu zpùsobu formulování rovnic pro
fyzikální dìje, proto se èastìji používá.
Pravdìpodobnost, hustota pravdìpodobnosti
Vyložíme nejprve na pøíkladech z makrosvìta - bìžné pøípady, které každý zná
Rozložení pravdìpodobnosti p a støední
hodnota x
Pravdìpodobnost výskytu
jednoduchém pohybu
èástice
pøi
2
Jaká je pravdìpodobnost výskytu pøi složitìjším pohybu - na pøíklad pøi kmitavém pohyb
oscilátoru nebo pøi nárau na stìnu . Mùžeme si pøedstavit tak, že snímáme v náhodných èasech
fotografie polohu èástice a výsledky velkého množství “ mìøení “ vynášíme do grafu ve formì
hustoty pravdìpodobnosti
Rozl ože ní
pravdìpodobnos
ti pøi pohybu oscilátor a náraz
3
Pravdìpodobnost v mikrosvìtì
Popis èástic pomocí vln - vlnová funkce - jaké má vlastnosti?
Jaký význam má vlnová funkce ø ? V minulé pøednášce jsme vidìli, že vlnová funkce pøináší
informaci o pravdìpodobnosti výskytu èástice
(30.4)
kde dô je element objemu, má proto význam pravdìpodobnosti výskytu èástice dP v objemu dô
nacházejícího se v místì r.. V tomto pøípadì ø (r ) je tzv. vlnová funkce stacionární, nezávislá
na èase, což pro mnoho výpoètù dostaèuje. Pravdìpodobnost, že èástice je vùbec nìkde v
prostoru je rovna 1, proto musí platit i rovnice
(30.10)
Jestliže vlnová funkce ø splòuje rovnici (30.10) øíkáme, že je to vlnová funkce normovaná.
Zavádíme hustotu pravdìpodobnosti
4
Srovnejme oscilátor v kvantové fyzice - znaèné odchylky od klasického oscilátoru
Jak získat vlnovou funkci konkrétní situace ?
5
31.1 Schrödingerova rovnice
31.1
Èasová Schrödingerova diferenciální rovnice má tvar
(31.1)
kde Wp je potenciální energie.
31.2
Schrödingerova rovnice pro stacionární stavy má tvar
(31.2)
kde W je celková energie (souèet kinetické a potenciální energie).
Obr.31.1 Postup øešení problémù v Schrödingerovì kvantové mechanice
6
Velmi èasto nás zajímají jen informace o stacionárních dìjích, napø. energiích, rychlostech a drahách
elektronù v krystalech ve stacionárních polích, v atomech a molekulách apod. V tìchto pøípadech
mùžeme rovnici (31.1) zjednodušit na tvar stacionární (31.2). Zobecnìním rovnice na trojrozmìrný
pøípad vznikne diferenciální rovnice bez promìnné t, tj. "bezèasová" Schrödingerova rovnice ve tvaru
(31.2). Jejím øešením se doposud získalo nesmírnì mnoho základních informací o látkách a právem ji
mùžeme oznaèit za základní pilíø moderní fyziky.
31.2 Kvantovìmechanický formalismus
Zùstává nám vyøešit ještì poslední principiální otázku kvantové mechaniky: jak z vlnové funkce získat
všechny potøebné informace o probíhajícím jevu. Napø. na obr. 31.2 jsou znázornìny reálné èásti vlnových
funkcí elektronù v závislosti na vzdálenosti od jádra atomu vodíku. Co mùžeme z tìchto funkcí vypoèítat?
Jestliže jsme v pøedchozím èlánku použili pøirovnání vlnové funkce k obilí, které samo je sice bezcenné, ale
obsahuje potøebné zrno, nyní se mùžeme zeptat, jakou "mlátièkou" toto zrní od slámy oddìlíme.
Obr. 31.2 Vlnové funkce elektronu v atomu
vodíku pro rùzné kvantové stavy elektronu
7
Jaké vlastnosti musí splòovat vlnová funkce? Jedná se vlastnì o pravdìpodobnosti !!
Otestuj si úvahu
31.3
Vlnová funkce ø, která je øešením Schrödingerovy rovnice musí splòovat, spolu se sevými prvými
derivacemi, tøi tzv. standartní podmínky:
a) musí být koneèná,
b) musí být jednoznaèná,
c) musí být spojitá.
K tomu se pøidává podmínka normovanosti.
8
Pro zájemce s hlubším zájmem o kvantovou fyziku
31.4
Støední hodnota funkce prostorových souøadnic G (x, y, z) se vypoèítá pomocí vztahu
(31.10)
kde ø * je konjugovaná vlnová funkce.
31.5
Støední hodnota funkce hybnosti p s(p x, p y, p z) se vypoèítá pomocí vztahu
(31.11)
kde p^ je operátor pøíslušné velièiny, který dostaneme z jeho klasického vyjádøení tak, že jednotlivé složky
hybnosti nahradíme operátory složek hybnosti
(31.12)
31.6
Bezèasovou - stacionární - Schrödingerovu rovnici (31.2) mùžeme napsat i v operátorovém tvaru
(31.13)
kde
9
(31.14)
je operátor celkové energie.
Tabulka -
Kvantovìmechanické operátory
velièina
souøadnice
hybnost
moment hybnosti
potenciální energie
kinetická energie
mechanická energie
celková energie
operátor
10
Zdùvodnìní
Z fyzikálního hlediska je zøejmé, že ne každé øešení Schrödingerovy rovnice musí popisovat reálný dìj. Jestliže
se zkoumaná èástice nìkde reálnì v prostoru pohybuje, potom pravdìpodobnost jejího výskytu nemùže být v
žádném bodì nekoneènì velká ani mnohoznaèná. Na základì Bornovy interpretace (vìta 30.3) musíme tedy pro
vlnovou funkci požadovat koneènost a jednoznaènost. Ze vztahu (31.6) se dá usoudit, že derivace vlnové funkce
podle prostorové souøadnice urèuje hybnost, tj. také rychlost (pøi známé hmotnosti). Jestliže by tato funkce
nebyla spojitá, její derivace by byla v bodì nespojitosti nekoneènì velká, což je fyzikální nesmysl. Z tìchto
pøíèin musíme u vlnové funkce požadovat i její spojitost. Tyto požadavky jsou obsaženy ve vìtì 31.3.
Je zajímavé, že aplikace už jen tìchto velmi obecných, témìø triviálních požadavkù na vlnovou funkci
má za následek, že nìkteré fyzikální velièiny mohou mít jen diskrétní hodnoty. Schrödingerova rovnice spolu
se standardními podmínkami obsahují tedy celkem pøirozenì kvantový rys mikrosvìta.
Zpravidla jako prvou informaci o èástici (jejich souboru) získáváme její (jejich) energii W. V celé øadì
pøípadù Schrödingerova rovnice pro stacionární stavy má øešení vyhovující standardním podmínkám 31.3 jen
tehdy, má-li tento parametr jen pøesnì urèené diskrétní hodnoty. Nazýváme je vlastní hodnoty a jim pøíslušné
vlnové funkce vlastní funkce. Pomocí nich mùžeme získat další informace o èásticích. Podle vìty 30.3 druhé
mocniny absolutních hodnot vlnových funkcích, resp. souèiny øø * dx urèuje proto pravdìpodobnost výskytu
èástice na ose x v intervalu mezi x a x+dx. To nám umožòuje výpoèet støední hodnoty souøadnice x
charakterizující polohu èástice. Pomùžeme si pøitom následující úvahou: Má-li urèitá velièina y N možných
hodnot, z kterých N 1 má hodnoty y 1, N 2 hodnoty y 2, atd., je støední hodnota velièiny y urèena vztahem
(31.15)
kde p 1, p 2, p 3 ... jsou pravdìpodobnosti výskytu pøíslušné hodnoty velièiny y . V pøípadì spojitého rozložení
se sumace nahradí integrací. V našem pøípadì se hodnoty x (u intervalu x, x+dx) vyskytují s pravdìpodobností
øø* dx. Pøedpokládáme-li, že funkce ø a ø* jsou normované, tj. splòují podmínku (30.10), je støední hodnota
souøadnice x urèena integrálem
(31.16)
11
Bez újmy na obecnosti a správnosti tohoto vztahu a z dùvodù, které uvedeme pozdìji, píšeme tento vztah ve
tvaru
(31.17)
Bez tìžkosti mùžeme pochopit, že nejen støední hodnotu souøadnice x, ale i støední hodnotu každé jiné funkce
této souøadnice G(x) vypoèítáme pomocí vztahu
(31.18)
Zobecnìním na všechny tøi prostorové souøadnice dostaneme vztah (31.10), který jsme mìli odvodit.
Odlišný okruh fyzikálních velièin tvoøí hybnost a funkce hybnosti (napø. kinetická energie). Souèin
vlnových funkcí øø* nepøedstavuje hustotu pravdìpodobnosti výskytu èástice s hybností p. Proto nemùžeme pro
tyto velièiny použít vztahy analogické k právì odvozeným vztahùm. Jestliže bychom však hybnost (resp. její
funkce) pøevedli do tzv. souøadnicové reprezentace, tj. vyjádøili je pomocí souøadnicových operací pøímo z
vlnových funkcí, mohli bychom napø. pro støední hodnotu složky hybnosti psát
(31.19)
Zdùraznìme ještì jednou, že p^ x v tomto vyjádøení znaèí "operaci", pomocí které mùžeme z vlnové funkce urèit
hybnost p x. Takové operaèní funkce nazýváme operátory a budeme je oznaèovat
12
symbolem velièiny se støíškou (napø.p^). Návod na vyjádøení operátoru složky hybnosti p ^
x
nám mùže
poskytnout rovnice (31.6). Z ní vyplývá, že hybnost p x je ekvivalentní výraz (S/i) M/Mx=(-i h) M/Mx, proto operátor
složky hybnosti p^
x
(a analogicky složky p^
x
a p^ z) má vyjádøení (31.12). Musíme si uvìdomit, že tento
operátor aplikovaný jedinì na funkci ø (tj. p x ø) poskytuje potøebnou transformaci, proto vztah pro støední
hodnotu hybnosti p x namùžeme psát ve tvaru I p x (ø* ø) dx, ani ve tvaru I (ø * ø) p x dx, ale jen ve tvaru
(31.20)
Tím jsme zdùvodnili nutnost zámìny vyjádøení (31.16) vyjádøením (31.17).
Je zøejmé, že støední hodnotu funkce hybnosti p(p x, p y, p z) mùžeme na základì toho vyjádøit ve tvaru
(31.11).
Výpoèet støedních hodnot hybností a jejich funkcí si tedy vynutilo zavedení kvantovìmechanických
operátorù. Nabízí se myšlenka zobrazovat všechny fyzikální velièiny pomocí operátorù a i základní rovnici
(31.2) vyjádøit v operátorovì formì. Mùžeme to lehce uskuteènit. Staèí v každé funkci vyjadøující danou
fyzikální velièinu vztahem klasické fyziky nahradit všechny hybnosti jejich operátory podle vztahù (31.12) a
všechny souøadnice jednoduše pøeznaèit na operátory. Operátor souøadnice x-x^ - je totiž (napø. s ohledem na
vyjádøení /31.17/) totožný se souøadnicí x. Tak dostaneme pro operátor potenciální energie výraz
(31.21)
a pro operátor kinetické energie W k=p 2 /2m výraz
(31.22)
Schrödingerovu rovnici (31.2) mùžeme potom vyjádøit ve velmi jednoduchém tvaru
kde H^=W^ k+W^ p je operátor souètu kinetické a potenciální energie (tzv. Hamiltonián). Tyto výsledky jsou
obsahem vìty 31.6.
Schrödingerova rovnice ve tvaru (31.13) dostává ihned úplnì jinou jednoduchou interpretaci. Je to
podmínka pro operátor celkové energie H^, jeho vlastní hodnoty W a vlastní vlnové funkce ø. Analogicky
mùžeme pro jakékoliv dvì fyzikální velièiny A a B, jejich operátory A^ a B^ a jejich vlnové funkce ø A a ø B
napsat formálnì stejné podmínkové rovnice
13
(31.23)
a dále
(31.24)
Bez dùkazu uvedeme tento cenný poznatek: jsou-li funkce ø A a ø B totožné, potom pro velièiny A a B neplatí
Heisenbergova relace neurèitosti (vìta 30.4), takže obì velièiny jsou souèasnì libovolnì pøesnì mìøitelné.
S tìmito i dalšími vlastnostmi kvantovìmechanických operátorù se podrobnìji zabýváme v kapitole 8.
S konkretizací uvedeného formalismu kvantové mechaniky se støetneme pøi øešení nìkterých prakticky
významných problémù mikrofyziky (kapitola 33 a 34).
Poznámka:
V tomto èlánku jsme použili "primární" velièiny souøadnice a jako "sekundární" hybnosti. Tak vznikla
formulace kvantové mechaniky v tzv. souøadnicové reprezentaci. Mùžeme však postupovat i opaènì - jako
primární zvolit hybnosti (potom jsou operátory hybnosti totožné s pøíslušnými hybnostmi) a jako sekundární
zvolit souøadnice (které se odvodí z hybnosti i pomocí pøíslušných operátorù). Takto vybudované teorii øíkáme
kvantová mechanika v impulzové reprezentaci.
Další vývoj kvantové mechaniky nás nutí ponìkud opravit svùj názor na obecnì pøijímané tvrzení, podle
kterých klasická fyzika není použitelná pro mikrosvìt. Ukázalo se totiž, že Schrödingerovu formulaci kvantové
mechaniky mùžeme "odvodit" i z èistì klasických pøedstav, jestliže respektujeme okolnosti, za kterých se pohyb
v mikrosvìtì uskuteèòuje. Pro objasnìní tohoto tvrzení nám mùže posloužit následující pøíklad: po rovinném
naklonìném svahu hustì pokrytém pøibližnì stejnými kameny padají dva kulové pøedmìty - jeden s rozmìry
daleko pøevyšujícími rozmìry tìchto kamenù (a proto i nepomìrnì tìžší) a druhý s rozmìry (a proto i s
hmotností) porovnatelnými s tìmito pøekážkami. I ze zákonù klasické fyziky bez problémù vyplývá, že v prvém
pøípadì bude dráhu pøedstavovat rovná spojitá èára, zatímco v druhém pøípadì to bude složitý "cik - cak" pohyb.
Stejnì mùžeme bez vìtších názorových tìžkostí pochopit skuteènost, že v prvém pøípadì má smysl mluvit o
pøesných hodnotách velièin urèujících dráhu a hybnost pøedmìtu, zatímco v druhém pøípadì mohou být obì
charakteristiky stanoveny jen s urèitou pravdìpodobností. Již i tento pøíklad signalizuje, že kvantová fyzika má
nìco spoleèného s druhým diskutovaným pøíkladem. Ve skuteènosti je tomu skuteènì tak. Mikrosvìt je naplnìn
"kamínky" pøedstavujícími zdroje rozptylu pøi pohybu - jsou rùzné fluktuace vakua související s neustálým
generováním par èástic a antièástic a fluktuace polí. Jestliže energie pohybujících se èástic daleko pøevyšuje
energii tìchto fluktuací, neprojeví se jejich pøítomnost na kvalitì pohybu. To je pøíklad klasické mechaniky.
Jestliže však energie pohybující se èástice je stejného øádu, ztrácí pojem dráhy i hybnosti svùj klasický smysl
a pohyb takové èástice se musí popisovat se zøetelem na pravdìpodobnostní charakter rozptylu na
mikrofyzikálních pøekážkách. Ukázalo se, že vhodným slovníkem mùže být v tomto pøípadì terminologie
používaná v nauce o vlnìní. Z tohoto hlediska názvy "vlnové" vlastnosti èástic a "vlnová" mechanika
nevyjadøující nic jiného než skuteènost, že k popisu pohybu mikroèástice se hodí vlnový formalismus. Tak se
14
i nejvážnìjší problém kvantové fyziky - zda je mikroobjekt èástice nebo vlna - stává nesmyslným. Èástice
zùstává èásticí, ale když se pohybuje v prostøedí vyplnìném energeticky stejnì "silnými" fluktuacemi, je nutno
její pohyb popsat pomocí pojmù vžitých v nauce o vlnìní.