„Matematika pro všechny“

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047
„Matematika pro všechny“
Univerzita Palackého v Olomouci
Tematický okruh: Geometrie v prostoru a v rovině – Gradovaný řetězec úloh
Téma: Trojboký hranol s podstavou pravoúhlého trojúhelníku
Autor: Schubertová Slavomíra
Úloha 1 (úroveň 2)
Předpokládané znalosti: pravoúhlý trojúhelník, Pythagorova věta, objem hranolu
Zadání: Podstavou kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 5 cm. Obsah
největší stěny pláště je 130 cm2 a výška tělesa je 10 cm. Určete objem tělesa.
Řešení: Obsah největší stěny S = v c = 130 cm2,
vypočítáme velikost přepony c = 130 cm2 : 10 cm = 13 cm
Odvěsna v podstavě hranolu a = 5 cm, vypočítaná přepona c = 13 cm, pomocí Pythagorovy
věty určíme velikost odvěsny b
b2 = c2 – a2
b2 = 169 – 25 = 144
b = 12 cm
Výška tělesa vhranolu =10 cm podle zadání
Objem tělesa V =
vhranolu =
10 V = 300 cm3
Odpověď: Objem hranolu s podstavou pravoúhlého trojúhelníku je 300 cm3.
Metodické poznámky: Jedná se o úlohu na opakování známých vztahů.
Úloha 2 (úroveň 3)
Předpokládané znalosti: kolmý trojboký hranol s podstavou pravoúhlého trojúhelníku,
poměr, povrch hranolu
1
Zadání: Podstavou kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, který má obsah
540 cm2. Podstavná hrana a je odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku, má velikost 30 cm.
Vypočítejte povrch tohoto hranolu, víte-li, že výška hranolu v je s délkou hrany a v poměru
12 : 5.
Řešení: Vypíšeme veličiny podle zadání úlohy
obsah podstavy označíme Sp
Sp = 540 cm2
a = 30 cm
b=?
c=?
Určíme velikost druhé odvěsny pravoúhlého trojúhelníku
Sp =
b = 36 cm
pomocí Pythagorovy věty určíme velikost přepony
c2 = a2 + b2
c2 = 302 + 362
c2 = 900 + 1296
c2 = 2 196
c = 46,86 cm
c = 46,9 cm
výšku hranolu označíme vhranolu
vhranolu : a = 12 : 5
vhranolu = 30
= 72 cm
obsah pláště označíme Spl
S = 2Sp + Spl
S=2
+ Spl
Spl = (a + b + c) vhranolu
Spl = 112,9 72
S = 1 080 + 8 128,8
S = 9 208,8 cm2
Odpověď: Povrch trojbokého hranolu je 9 208,8 cm2.
Metodické poznámky: Jedná se o komplexnější úlohu.
Úloha 3 (úroveň 3)
Předpokládané znalosti: trojboký hranol, Pythagorova věta, objem hranolu
Zadání: Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami
a = 45 cm, b = 24 cm. Výška hranolu se rovná pěti osminám obvodu podstavy. Vypočítejte
objem hranolu. Jaká bude hmotnost tohoto hranolu, bude-li vyroben z čistého ledu?
2
Řešení:
pomocí Pythagorovy věty určíme
délku přepony
c2 = a2 + b2
c2 = 576 + 2025
c = 51 cm
Pro určení výšky potřebujeme
vypočítat obvod podstavy
o = 24 cm + 45 cm + 51 cm
o = 120 cm
vhranolu = 120
vhranolu = 75 cm
vhranolu
a = 45
b = 24
c =?
a = 45
cm cm
b = 24
c=?
Vypočítáme objem hranolu
Spodstavy =
= 540 cm2
V = Spodstavy vhranolu
V = 540 75
V = 40 500 cm3
Nyní vypočítáme hmotnost hranolu.
hustota ledu 917 kg/m3
ρ = 917 kg/m3
V = 40 500 cm3
převede na stejné jednotky
V = 0,0405 m3
m=?
dosadíme do vztahu pro výpočet
m=ρ V
m = 917 0,0405
m = 37,1385 kg
Odpověď: Objem hranolu je 40 500 cm3. Hmotnost hranolu z čistého ledu je 37,14 kg.
Metodické poznámky: Úloha s fyzikálními aplikacemi. Pro snadnější řešení úlohy
použijeme náčrtky.
Zdroj: archiv autora
Obrazový materiál: autor
Autor: Slavomíra Schubertová,[email protected]
3