DPŽ – Hrubý

DPŽ – Hrubý
Dynamická pevnost a životnost
Přednášky - základy
Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý
mechanika.fs.cvut.cz
[email protected]
1
DPŽ – Hrubý
Podklady
mechanika.fs.cvut.cz/predmety/dpz
• přednáškové podklady
• podklady pro cvičení
• literatura
• ...
2
DPŽ – Hrubý
3
Co je to mezní stav konstrukce?
Ztráta schopnosti konstrukce plnit funkci, pro kterou byla určena.
DPŽ – Hrubý
4
Statická pevnost
dC   b  h  d       2  A     2    d
r2
C x    dC    b  h     
x
2
r22  x 2
2
Pevnostní podmínka:
 x  
C x 
   
2
r22  x 2
A
2
 r1 max     
2
r22  r12
2
 D
DPŽ – Hrubý
Plastické přetvoření
5
DPŽ – Hrubý
Stabilita
Kolaps mostu u
Quebecu 1907
6
DPŽ – Hrubý
Creep – tečení za zvýšené teploty
7
DPŽ – Hrubý
Dynamická odezva
The Tacoma Narrows Bridge (1940, present day)
8
DPŽ – Hrubý
Křehký lom
9
DPŽ – Hrubý
Únava
10
DPŽ – Hrubý
Opotřebení a koroze (pitting, fretting)
http://www.lambdatechs.com/images/damage.jpg
11
DPŽ – Hrubý
12
Mezní stavy z pohledu funkčnosti
Ztráta schopnosti konstrukce plnit funkci, pro kterou byla určena.

Statická pevnost

Plastické přetvoření
Stabilita (vzpěr)

Creep (tečení za vysokých teplot)

Dynamická odezva – vynucené kmitání

Křehký lom

Únava – nízkocyklová, vysokocyklová




Opotřebení a koroze
…
Interakce a různé kombinace mezních stavů
DPŽ – Hrubý
13
Výpočet únavového poškození – praxe,
schéma výpočtu
CAD
model
MISES
VALUE
+3.67 E+00
+8.67 E+01
+1.70 E+02
+2.83 E+02
+3.36 E+02
+4.19 E+02
+5.02 E+02
+5.85 E+02
+6.68 E+02
+7.51 E+02
+8.34 E+02
MKP
analýza
2
3
1
+9.17 E+02
+1.00 E+03
+1.63 E+03
V případě
nevyhovění
úprava
konstrukce
Analýza
mezního stavu
poškození
DPŽ – Hrubý
Únava materiálu – fáze aplikace
1. Apriorní

návrh konstrukce

optimalizace

návrh technologie

určení provozních
podmínek
2. Aposteriorní

provozní inspekce

poruchy a havárie
14
DPŽ – Hrubý
15
Únava – únavové poškození přístupy
YES
Critical
Location
Permanent strength
(unlimited fatigue life)
Theoretically
infinite life
Fatigue strength
(limited fatigue life)
NO
SAFE-LIFE
structure
NO
Slow Crack Growth
structure
Inspection
possible
NO
YES
Multiple
elements
Damage Tolerance
structure
YES
FAIL-SAFE
structure
DPŽ – Hrubý
Metody predikce životnosti
16
DPŽ – Hrubý
17
Metody predikce životnosti




Přístup pomocí nominálních napětí
(NSA - Nominal Stress Approach)
Hrubý
Přístup pomocí lokálních elastických napětí
(LESA - Local Elastic Stress Approach)
Přístup pomocí lokálních elasto-plastických
napětí a deformací
(LPSA - Local Plastic Stress
and Strain Approach)
Přístup využívající lomové mechaniky
(FMA - Fracture Mechanics Approach)
Jurenka
DPŽ – Hrubý
Pozadí fenoménu únavy
18
DPŽ – Hrubý
19
Krystalografické mřížky kovů
kubická prostorově centrovaná
(body centered cubic – BCC)
chrom, wolfram, vanad, železo α
kubická plošně centrovaná
(face centered cubic – FCC)
železo γ, nikl, hliník, měď, olovo, zlato,
platina, stříbro
šesterečná
(hexagonal)
hořčík, zinek, titan
http://mechmes.websnadno.cz/dokumenty/pri-st-05_vnitrnistrukturakovu.pdf
DPŽ – Hrubý
20
Krystalografická mřížka - poruchy
bodové poruchy
plochové
poruchy zrna, hranice zrn
čárové poruchy - dislokace
http://python.rice.edu/~arb/Courses/360_defects_handout_01.pdf
DPŽ – Hrubý
21
Technické slitiny železa
makroskopická isometrie
díky náhodné orientaci
anisotropních krystalů v tuhé
fázi
V každém materiálu jsou
poruchy ideální struktury
http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Diagramm_phasen.jpg
http://www.ped.muni.cz/wphy/FyzVla/index.htm
DPŽ – Hrubý
22
Fáze únavového procesu
1
2
• Fáze změn mechanických
vlastností změny struktury kovu v
celém objemu. Doba trvání několik
procent života do lomu.
• Fáze nukleace (iniciace)
mikrotrhliny formování
makrotrhliny, zahrnuje lokální
změny v povrchové vrstvě vyvolané
silokačními efekty a následné
propojování mikrotrhlin nebo růst
dominantní mikrotrhliny. Doba trvání
10 i 90 % života.
• Fáze šíření makrotrhliny, Zahrnuje
stádium růstu dominantní
3 makrotrhliny změnu jejího směru
kolmo na max. hlavní napětí.
4
• Fáze závěrečného lomu, je
reprezentována přechodem na
zrychleným rozvojem zakončeným
houževnatým nebo křehkým lomem
na mezi kluzu nebo mezi pevnosti.
Glissile
Dislocation

1A
Atomic
Distance

102 A
Micro-crack
Formation
1m
Macro-crack
Creation
102 m
Grain Size
of Austenite
1 mm
Macro-crack
Growth
2
10 mm
DPŽ – Hrubý
1
23
Mechanické změny při cyklování
a



t
b



t
c




t
e

t



t
t
d

t
t

A


C
C
t
0
D
B
D
B
E
A
C´
0

DPŽ – Hrubý
24
Místa iniciace, lomová plocha
2
Striační čáry
postupu čela
trhliny
Skluzová pásma
Místo
iniciace
3
Extruse
Intruse
4
DPŽ – Hrubý
Charakteristiky harmonického
cyklického namáhání
25
DPŽ – Hrubý
26
Harmonické zatěžování
amplituda napětí:
a 
střední hodnota napětí:  m 
rozkmit napětí:
h d
2
h  d
frekvence kmitu:
2
d
d
T
h
napěťově řízené zatěžování –
měkké
T
f 
h
m
   h   d
koeficient nesouměrnosti: R 
perioda kmitu:

a
1
T
deformačně řízené zatěžování –
tvrdé
http://fatiguecalculator.com
statický v tahu:
pulzující v tahu:
míjivý v tahu:
(stř. hodnota v tahu)
R   ,1
nesouměrně střídavý:
R 
symetricky střídavý:
(stř. hodnota v tlaku)

nesouměrně střídavý:
míjivý v tlaku:
R 1
pulzující v tlaku:
statický v tlaku:
DPŽ – Hrubý
27
Druhy kmitů
R 1
R 0
R  1
R  0,1
R   1,0
R  1,
DPŽ – Hrubý
Únavové křivky napětí
28
DPŽ – Hrubý
Historie
 19. století  rozvoj technického poznání  rozšíření možnosti využití
oceli a kovových materiálů v běžné praxi.
 Rozvoj železniční dopravy  parní lokomotiva Mr. G. Stephenson 1829.
 Stavebnictví (mosty a nosné konstrukce)  Eiffelova věž 1889.
 Rozvoj lodní dopravy
Výrazný technický pokrok  rostoucí počet havárií – lomy konstrukcí
Lomy os železničních soukolí (konec 19 st.)
August Wőhler (1819-1914)
29
DPŽ – Hrubý
30
Wőhlerova křivka – statistický přehled
1000
1000
1000
 a[MPa]
 a [MPa]
a
[MPa]
structural steel
Mez únavy
100
100
1,E+04
100
1,E+04
1,E+04
•
•
•
•
1,E+05
1,E+06
1,E+05N [1]
1,E+05
N [1]
N [1]
1,E+06
1,E+06
1,E+07
1,E+07
1,E+07
řízení síly, napětí – měkké zatěžování
R=const. nebo m=const.
Mez únavy (Endurance limit, Fatigue limit) C
Pravděpodobnost poruchy P [%]
DPŽ – Hrubý
Odhad meze únavy
Uhlík. oceli (P=1 %):
Střídavý tah-tlak: σc = 0,33 (0,35)Rm
Míjivý tah-tlak: σhc = 0,61Rm
Střídavý ohyb: σoc = 0,43 Rm
Střídavý krut: τc = 0,25 Rm
31
DPŽ – Hrubý
Odhad meze únavy
Meze únavy v ohybu platné pro 50% pravděpodobnost porušení
32
DPŽ – Hrubý
Wöhlerova křivka + Frenchova čára
Rm
oblast
Re
C
33
DPŽ – Hrubý
34
Wőhlerova křivka – ocel (bcc), hliník (fcc)
http://www.tokuroglu.com/SnCurveExp.jpg
http://en.wikipedia.org/wiki/Fatigue_(material)
DPŽ – Hrubý
35
Wőhlerova křivka – popis šikmé části
 aw N  C
mocninný tvar
Basquin 11 523.1


log aw  logN  logC

 w log a  logN  logC
 w log a  logN  K
1000
 a [MPa]
log aw N  logC
100
10
1
10
100
1000
10000
100000
N [1]
Basquin
 a   f ' 2N b
1
1

C   f  b
2
w 
1
b

DPŽ – Hrubý
36
Wőhlerova křivka – celkový popis
900
Weibullův:
800
 a  C w N  A  C
700
 a [MPa]
600
Kohoutův–Věchetův:
500
400
N B
 a  C 

N C 
300
200
100
0
1.0E+01 1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04 1.0E+05 1.0E+06 1.0E+07 1.0E+08 1.0E+09
N [1]
b
DPŽ – Hrubý
37
Další odhady meze únavy
Vyhodnocovaná Vztah pro mez únavy při R=-1 Koeficienty a podmínky
veličina
(pravděpodobnost poruchy
platnosti
P=50%) [MPa]
Autor
mez pevnosti Rm -1=0,432Rm+2,2
[MPa]
-1=0,46Rm
konstrukční oceli
Buch
oceli do Rm =1400 MPa
Žukov
-1= Rm+400
oceli do Rm =1200 až 1800 Ponomarjev
MPa
t-1=0,27Rm
oceli Rm 1200
Žukov
t-1=0,249Rm+2,5
konstrukční oceli
Buch
mez kluzu
-1=0,452Re+94
v tahu Re a krutu
-1=0,45Re+122
tk [MPa]
t-1=0,448 tk+52
konstrukční oceli
Buch
konstrukční oceli
Žukov
konstrukční oceli
Buch
skutečná lomová -1=0,35 f –10
pevnost f
-1=0,315 f -19
[MPa]
konstrukční oceli
Žukov
konstrukční oceli
Mc-Adam
1
6
tvrdost HB
[MPa]
-1=(0,128…0,156)HB
uhlíkové oceli
Grebenik
-1=(0,168…0,222)HB
legované oceli
Grebenik
meze Rm , Re
[MPa]
-1=0,285( Re + R m)
konstrukční oceli
Šapošnikov
DPŽ – Hrubý
Únavové křivky deformace
38
DPŽ – Hrubý
39
Manson-Coffin – unavová křivka
deformace
1
amplituda pom. deformace  a [1]
f '
0.1
c
1
0.01
 f ' /E
0.001
a
b
1
 ae
 ap
0.0001
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
počet půlkmitů 2N [1]
1.E+06
1.E+07
DPŽ – Hrubý
40
Manson-Coffin – matematický popis
 a   ael   apl 
f '
E
2N b   f ' 2N c
σf’…součinitel únavové pevnosti, b…exponent únavové pevnosti
εf’…součinitel únavové deformace, c…exponent únavové deformace
Po logaritmické úpravě
 ael 
log ael
 log
log ael  log
f '
E
f '
E
f '
E
Tranzitní počet cyklů:
 ael   apl
2N b ,
 apl   f ' 2N c
2N 
log apl
b
,
 b log2N ,

 log f ' 2N 
c
log apl  log f 'c log2N 
f '
E
2Nt b   f ' 2Nt c

1  E ' 
Nt   f 
2   f ' 
1
b c
1  ' 
  f 
2  E f ' 
1
c b
DPŽ – Hrubý
Cyklická deformační křivka
41
DPŽ – Hrubý
Tahový diagram – síla-prodloužení
(load-deflection curve)
http://hsc.csu.edu.au/engineering_studies/lifting/3210/image004.png
42
DPŽ – Hrubý
43
Ramberg-Osgood (platné pro přibližné
vyjádření tahového diagramu i cyklické
deformační křivky)
  E el
 el 

E
 
  K  pl

 pl  
1
 n

K 
+
n

 
   
E K 
1
n
Ramberg Osgood 1D
=
DPŽ – Hrubý
44
Cyklické chování, stav saturace pro
symetrické zátěžné cykly
a



t
b
t
t
c
t



t
d
t
t
e
t


Cyklická
relaxace

Cyklický creep
(ratchetting)




Cyklické
změkčení




Cyklické
zpevnění
A

C
C
t
0
D
B
D
B
E
A
C´
0

Paměťový
efekt
DPŽ – Hrubý
45
Hysterezní smyčky, cyklická deformační křivka

Cyklická
deformační
křivka
Saturované
hysterezní
smyčky

cyklická
statická
R = -1

zpevnění
změkčení

 a  E ael
1D
a  K'
 
n'
 apl
1D
a 
a
1
 n'

 a 
E  K' 
1D
DPŽ – Hrubý
46
Rambergova-Osgoodova aproximace CDK
a  K'
 
pl n
a
 a   ael   apl 
1
 a   a  n

E


 K 
K’ - modul cyklického zpevnění
n’ - exponent cyklického zpevnění
E - modul pružnosti v tahu
DPŽ – Hrubý
47
Masingova aproximace hysterezních
smyček a CDK
Nevykazuje chování podle
Masingova pravidla
σ CDK prochází středy posunutých
hyster. smyček
εpl
Saturované hysterezní smyčky uměle
posunuty spodním rohem do počátku
souřadného systému [εpl, σ] mají
shodnou horní větev. Většina kovů se
však podle Masingova pravidla nechová.
Data převzata z: Radim Halama: Experimentální poznatky a fenomenologické modelování cyklické plasticity kovů [Habilitační práce, VŠB-TU Ostrava], 2009.
DPŽ – Hrubý
48
Odhady únavových parametrů
Parametr
Nelegované a nízkolegované oceli
Hliníkové a titanové slitiny
 f
1,5  Rm
1,67  Rm
b
 f
-0,087
0,59 
-0,095
0,35
c
-0,58
0,45  Rm
-0,69
0,42  Rm
C
C
NC
K
n
Rm
 1,95  10 4 
E
5  10 5
1,65  Rm
0,15
kde
  1,0
0,45 
Rm
E
6
1 10
1,61  Rm
0,11
0,42 
Rm
 3  10 3
E
R 
R

  1,375  125,0  m  pro m  3  10 3
E
E 

 0
pro
DPŽ – Hrubý
Koncentrace napětí
49
DPŽ – Hrubý
50
Koncentrace napětí
Součinitel tvaru
(součinitel koncentrace
elastických napětí)
   max 
  Kt 


S   nom 
Poměrný gradient
(gradient normovaný maximálním
elastickým napětím)
 
1   y

 max  x
1   y
  
  x


 x 0


 x 0
DPŽ – Hrubý
51
Koncentrace napětí
R4
2
1
11
1
5
10
20
http://mechanika.fs.cvut.cz/calculator.php
DPŽ – Hrubý
52
Stress amplitude [MPa]
Součinitel vrubu β, vrubová citlivost q
600
smooth
500
notched
400
300
FL
200
FL,N
100
0
1,E+03
1,E+04
1,E+05
1,E+06
1,E+07
1,E+08
Number of cycles [1]
Poloměr vrubu
Vliv vrubu bez
c


K

f
vlivu velikosti
x

c
a povrchu
Thum:
  1   1q
DPŽ – Hrubý
Vliv velikosti a jakosti povrchu
53
DPŽ – Hrubý
54
Vliv velikosti součásti - kS
1
0.9
0.8
součinitel velikosti   [1]
 Vexp 
D
kS  d c10   d 
V 
c
 exp 
oceli
Rm=400 až 580
Rm=700 až 710
litá ocel
Rm=820 až 860
Rm=850 až 910
Rm=890 až 1000
Rm=890 až 1000 aproximace
m=-0.03
m=-0.04
m=-0.05
m=-0.06
m=-0.068
0.7
D
m

0.6

S
0.5
x
0.4
0.3
0.2
0
100
200
300
400
500
600
průměr hřídele D [mm]
700
800
900
1000
y
DPŽ – Hrubý
Vliv jakosti obrobení povrchu - kSF
kSF 
 creal
 cetalon
Jakost povrchu
kSF
Pevnost v tahu
55
DPŽ – Hrubý
Vliv technologie úprav povrchu - kT
 ctechnol
kT  etalon
c
56
DPŽ – Hrubý
57
Mez únavy reálného dílu – dimenzování
na teoreticky nekonečnou životnost
(trvalou pevnost)
 cx   c,v 
 c kS kSF kT
Kf
 cx   c,v 
 c p v

DPŽ – Hrubý
Vliv středního napětí
58
DPŽ – Hrubý
Vliv středního napětí
59
DPŽ – Hrubý
Smithův diagram
FL
60
DPŽ – Hrubý
a
61
Haighův diagram
k=2
F 

C
tg 

a
C
  
 A   C 1  m 
  F 
Re

C
a,ekv

k=1
- m
Re
F
m
+ m
Re
0
Re
Rm
   k 
 A   C 1   m  
  F  


Hodnoty součinitele citlivosti k asymetrii cyklu ψ
(„sbíhavost“)
odhad fiktivního napětí:
tah:  F  Rm
ohyb:  F  1,5  1,7Rm
krut: t F  0,7  0,8Rm
DPŽ – Hrubý
62
Výpočet bezpečnosti
 A M

1
 kt  kt
k1 
 A M

1
 cx  pt
1
a m

 cx  pt
k2 
1
a m

 kt  kt
k  mink1, k2 
 A  k a
 M  k m
DPŽ – Hrubý
63
Př.: Prutová soustava – SU
• Fh = + 10 000 N
• Fd = - 10 000 N
2a
h
a/2
F
•
•
•
•
•
•
•
• určit bezpečnost pro teoreticky
nekonečnou životnost
absolutně tuhý trám
h = 1 000 mm
a = 500 mm
mez pevnosti materiálu prutů 600 MPa
hladké pruty, kruhový průřez 100 mm2
povrch prutů leštěn – souč. jak. povrchu 0,95
součinitele velikosti všech prutů 0,98
DPŽ – Hrubý
64
Př.: Prutová soustava – SN
a
• Fh = + 20 000 N
• Fd = - 20 000 N
a
h
a/2
F
•
•
•
•
•
•
•
• určit bezpečnost pro teoreticky
nekonečnou životnost
absolutně tuhý trám
h = 1 000 mm
a = 500 mm
mez pevnosti materiálu prutů 600 MPa
hladké pruty, kruhový průřez 100 mm2
povrch prutů leštěn – souč. jak. povrchu 0,95
součinitele velikosti všech prutů 0,98
DPŽ – Hrubý
65
Př.: Prutová soustava – SU – 2 parametry
l
l
1
2
 
H
V
N1
N2
H
V
• určit maximální rozmezí symetricky
střídavých sil (působících ve fázi) pro
teoreticky nekonečnou životnost v
závislosti na úhlu alfa
• l = 1 000 mm
• mez pevnosti materiálu prutů 600
MPa
• hladké pruty, kruhový průřez 100
mm2
• povrch prutů leštěn – souč. jak.
povrchu 0,95
• součinitele velikosti všech prutů 0,98
DPŽ – Hrubý
66
Př.: Prutová soustava – SU – 2 parametry
zakreslení diagramu pro mezní stav:
 2 cos
 2 cos
2 cos
cotg 
cotg 
H
 cx A
2 cos
bezpečnost > 1
V
 cx A
jeden prut na mezi
únavy součásti, tj. v
jednom prutu
bezpečnost rovna
jedné
DPŽ – Hrubý
Reálné napěťodeformační stavy ve
vrubech
67
DPŽ – Hrubý
68
Reálná napětí a deformace ve vrubech
Součinitel tvaru (s. koncentrace
elastických napětí)

fic=S C
 =S
A
  Kt 
A’
C’
 fic
S

 fic
e

C0

S0
B0
e0
Součinitel koncentrace napětí
   K 
S (nom)
B
0
e
fic
(nom)
B’
=


S
C '0
S0
Součinitel koncentrace deformace

  K 

e

B'0
e0
DPŽ – Hrubý
69
Skutečná napětí a deformace ve vrubech
Neuber
Glinka
?
Ufic  Uv
z rovnosti
ploch
U fic 
1
1
 1

 fic  fic   2Se   2 nom nom 
2
2
 2

   S e   2Se   2   
1
    
Uv       
2
2 E  K ' 

1
n'



Uv 
2
2E
 pl
 
 K' 
0
pl n '
d
pl
 
 


2E n'1  K ' 

2

1
n'
DPŽ – Hrubý
70
Zobecněné Neuberovo pravidlo


fic
0
m=1
m=0,66
m=0,5
m=0,1
m=0
2
 fic
E
 

m=0
m=1
m=0,1
   E  el 
 
 fic  E 
m=0,5
el 0,5 0,5
 
 fic  E  el

m 1 m

m=0,6
platí pro tvrdé zatěžování, tj.
napětí deformačního původu
rovnoměrně rozdělené po
průřezu
platí pro měkké zatěžování, tj.
napětí silového původu
rovnoměrně rozdělené po
průřezu
pro napětí deformačního
původu mimo vruby (např.
teplotní pnutí)
pro vruby zatížené silově i
deformačně (Neuberovo
pravidlo)
pro napětí silového původu
nerovnoměrně rozložená po
průřezu (např. při ohybu).
DPŽ – Hrubý
(Energetické přístupy – deformační
energie naakumulovaná během cyklu
sumována a porovnávaná s limitní
hodnotou experimentálně zjištěnou)
71
DPŽ – Hrubý
72
Akumulace hysterezní energie (Morrow)
Naakumulovaná hysterezní energie během jednoho zatěžovacího cyklu v elastoplastické
oblasti při aproximaci větve hysterezní smyčky podle Masinga.
 pl
2 a

n'





pl
2 a 2 apl n'
2 apl n'
n'
 pl 
2 a
2 apl
1
1
n
'
2  a n'
U  4 a apl  2   pl d  4 a apl  2
0
 4 a apl  2
2 apl
1
1
2 n' a n'

1
n'
2 a
2 apl
1
1
2 n' a n' 0

2 a

1
n ' d
 4 a apl  2
2 apl
1
1
2 n' a n'
 n '1 
 n' 
 n'1 


 n'  0

1
 1

n
'
n
 2 2 a ' a 
n'
2n' 
1  n'

4 apl 2 a  4 a apl 1 
  4 a apl
 n'1   4 a apl 
n'1
1  n'
 n'1


n'


DPŽ – Hrubý
73
Akumulace hysterezní energie (Feltner)
Naakumulovaná hysterezní energie během jednoho zatěžovacího cyklu v elastoplastické
oblasti při aproximaci větve hysterezní smyčky daným způsobem.
 pl
a

n'





pl
2 apl n'
 a 2 apl n'
n'
Celková plocha počítána jako
dvojnásobek plochy 2x šrafované
2 apl
U  2
  d  pl
0
2

 2 n' a n'
2  apl 
2 apl
  pl n '1 


 n'1 
0

2n '  apl n ' 2 apl
a
1

4


a
apl
n'1
1  n'
2n '  apl n '
DPŽ – Hrubý
74
Př.: koncentrace napětí vs. deformace 1/3
Vzorek z oceli 11 523.1 je zatěžován tvrdým zatěžováním o amplitudě celkové deformace
 a  2  103. Určit elastickou a plastickou složku poměrné deformace. Jsou dány:
E  2,07  105 MPa
K '  1164 MPa
n'  0,199
   2,5
zadáno vůči neoslabenému nominálnímu napětí mimo vrub
DPŽ – Hrubý
75
Př.: koncentrace napětí vs. deformace 2/3
a 
a
380
1
 n'

 a 
E  K' 
a
1
0,199
340
a
i+1
  
0,002 
  a 
2,07  105  1164 
360


 ai
i 1


 a  1164 0,002 
5
2,07  10 

320
0,199
300
280
MATLAB:
sig=50;
krok=0;
for i=1:10000
krok=krok+1;
Sig=1164*(2e-3 - sig/2.07e5)^0.199
if abs(Sig-sig)<0.0001
break;
end
sig=Sig;
end
260
-300
-200
-100
0
100
200
300
 ia
Pro libovolný odhad je řešení:  a  273 MPa
DPŽ – Hrubý
76
Př.: koncentrace napětí vs. deformace 3/3
 a  273 MPa
Pro libovolný odhad je řešení:
 avrub     a  2,5  273  682,5 MPa
1
 n'
a

K
'


 apl  

vrub
apl

 
 K'
vrub
a



1
 0,199
 273


1164


1
n'
 682,5 


1164


 0,68  10  3
1
0,199
 0,0684
 ael 

vrub
ael

a

273
E
2,07  105
 avrub

E
 1,32  103
682,5
 0,0033
5
2,07  10
vrub
vrub
 avrub   ael
  apl
 0,0033  0,0684  0,0717
 avrub 0,0717
 

 35,83
a
2  10 3
       2,5  35,83  9,47 ???
DPŽ – Hrubý
77
Př.: Vetknutý sloupek 1/2
Ocelový sloupek = lopatka dmychadla je vložený mezi dva tuhé členy = disky
oběžného kola a je namáhán cyklicky proměnnou teplotou.
Úkol:
Posoudit, zda hrozí porušení při 10 000 teplotních cyklech
Dáno:
rozsah pracovních teplot T1 = 22 °C, T2 = 370 °C,
modul pružnosti v tahu E = 205 GPa,
únavová křivka poměrné deformace vztažená
k provozní teplotě s parametry:  'f  1140 MPa
 'f  0,1
b  0,16
c  0,58
teplotní roztažnost:   11,5  106 K -1
50
100
DPŽ – Hrubý
78
Př.: Vetknutý sloupek 2/2
T  T2  T1  370  22  348 C
  T  11,5  10 6  348  4,002  103   ateplota 
a 

f '

2
2N b   f ' 2N c 
E
1140

20 000 0,16  0,120 000 0,58  1,460  10 3
5
2,05  10
 a   ateplota
k poruše dojde
 2,001 103
DPŽ – Hrubý
79
Př.: výpočet lokálních napětí a deformací 1/4
Neuber
1
2
1
1

1

2
2
 2

   fic fic   2Se   2 nom nom 
   S e   2Se   2   
1 

1
 S
     n'
Uv   2Se 

    
2
2E
2E 2  E  K '  


2
 fic
2 2
a 
1
 a   a  n

E



K


f '
b
K' 
,
n
'

c
 f 'n'
do Ramberga-Osgooda
 
 fic  E 
el m 1 m


 
  'f 
'
E
 f





c
b
DPŽ – Hrubý
80
Př.: výpočet lokálních napětí a deformací 2/4
 
 fic  E  el
m 1 m

m
 fic
   
 E      'f
E   E

 fic

1 m m 
 E     'f
 E

f     m   E 'f



'
 f




c


'
 f


'
 f




1 m
c
b



c
b







1 m
1 m
b



  fic  0

i 1
 
i
 
f'  
f i
i
DPŽ – Hrubý
81
Př.: výpočet lokálních napětí a deformací 3/4

i m i
   E 'f

 
 i 1   i 

i m 1  i
m
  E 'f

 


'
 f
i




c
b



1 m
 i

'
 f




c
b



1 m
  fic

i m i
 1  m  
  E 'f

 


'
 f
i




c
b



m

i
1  E 'f c  

 'f b   'f


 el 

E

 pl  
1
 n'

 K' 


1
 n'

 
E  K' 




c 1
b



DPŽ – Hrubý
82
Př.: výpočet lokálních napětí a deformací 4/4
K' [MPa]
n' [-]
c [-]
ε’f [-]
b [-]
σ’f [MPa]
E [MPa]
1020
0,14066
-0,6586
0,921985
-0,092718
1009,234
2,1·105
 fic  700 MPa
Iterace
Napětí ve vrubu
[MPa]
0
700
1
559,53
2
481,12
3
454,14
4
451,14
5
451,11
6
451,11
m  0,5
 el 

E
 pl

451,11
2,1 10
 
 
 K' 
5
1
n'
 0,002148
 451,11
 

 1020 
1
0,14066
 0,003027
   el   pl  0,002148  0,003027 
 0,005175