absence arbitráže, když

INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ
Fakulta sociálních věd University Karlovy
FUTURITY
Studijní text č.1 k předmětu Nástroje finančních trhů
Doc. Ing. Oldřich Dědek CSc.
2
A. MECHANIKA KONTRAKTŮ TYPU FORWARD A FUTURES
1. Základní typy kontraktů
a) spotový (promptní, pohotový) kontrakt (spot): dohoda o bezprostřední směně
podkladového aktiva za aktuálně platnou tržní cenu
teoreticky shodný okamžik uzavření transakce (transaction date) a jejího vypořádání
(settlement date, spot date, value date), v praxi se připouští mírný časový rozestup
(do dvou dní)
b) termínový (forwardový) kontrakt (forward): dohoda mezi dvěma stranami, která dnes
fixuje podmínky směny, jež proběhne k budoucímu datu
obsahem kontraktu je předmět směny (podkladové aktivum), cena, termín a místo
dodání, aj.
stranami dohody jsou dvě finanční instituce nebo finanční instituce a její nefinanční
klient
vlastnosti: - šitý na míru podle potřeb obou smluvních stran
- nelze ho zrušit jednostranně bez vzájemné dohody obou smluvních stran
- závazky z dohody obecně nelze převést na třetí stranu
⇒ nižší likvidita a obchodovatelnost
- riziko nedodržení závazků
vždy je pro jednu stranu výhodnější od termínové transakce odstoupit
a dát přednost spotové transakci
termínová cena > spotová cena
pro kupujícího je výhodnější komoditu zakoupit promptně
termínová cena < spotová cena
pro prodávajícího je výhodnější komoditu prodat promptně
c) futuritní kontrakt (futures): standardizovaný termínový kontrakt (jeho vymezení není
předmětem opakované negociace)
obchodovaný hromadně na termínových burzách
specifikace kontraktu:
- podkladové aktivum
3
fyzická komodita (měď, džus, ropa, aj.)
finanční aktivum (obligace, měna, akciový index, aj.)
- velikost kontraktu
příliš velký odrazuje menší investory, příliš malý zvyšuje transakční
náklady
- způsob kotace futuritní ceny
- struktura splatností (3, 6, 9, 12)
spoluvytváří označení futuritního kontraktu
zúčtovací středisko (clearing house)
důležitý prvek bezpečnosti obchodů, ochrana proti riziku nedodržení závazků (default
risk)
i) uzavření dohody
klienti A
obchodník A
(kupující)
obchodník B
(prodávající)
klienti B
ii) interpozice zúčtovacího střediska
klienti A
obchodník A
(kupující)
CH
(prod.) (kup.)
obchodník B
(prodávající)
klienti B
při insolvenci obchodníka B zúčtovací středisko přebírá jeho závazky a
pohledávky vůči burze, systém nechrání klienta před insolvencí vlastního
obchodníka
2. Systém záloh
a) počáteční záloha (initial margin)
vklad složený u zúčtovacího střediska (resp. u obchodníka), vyžadovaný při
otevření každého nového kontraktu (kupující i prodávající stranou)
výše zálohy stanovena s ohledem na pravděpodobnou velikost cenových fluktuací
z ní jsou odepisovány ztráty a k ní jsou připisovány zisky z titulu tržního
přeceňování
žargon: kupující se nazývá dlouhou stranou kontraktu (long)
prodávající se nazývá krátkou stranou kontraktu (short)
4
b) variační záloha (variation margin)
kladný resp. záporný pohyb na zálohovém účtu vyplývající z každodenní
procedury tržného přeceňování
c) udržovací (nesnižitelná) záloha (maintenance margin)
částka, pod kterou nemůže klesnout zůstatek na zálohovém účtu
d) výzva k doplnění zálohy (margin call)
částka, kterou klient musí na vyzvání burzy okamžitě složit, aby dorovnal
zůstatek na zálohovém účtu na velikost udržovací popř. počáteční zálohy
při neuposlechnutí výzvy burza likviduje klientovy kontrakty uzavřením opačné
pozice
stejný systém záloh je uplatňován jak mezi obchodníkem a klientem, tak mezi
obchodníkem a zúčtovacím střediskem (zde buď na čisté nebo na hrubé bázi)
3. Tržní přeceňování (marking to market)
tržní přeceňování je procedura, kdy na konci každého dne jsou všechny otevřené
kontrakty ohodnoceny v nových tržních cenách a finančně jsou vyrovnány zisky a ztráty
v důsledku cenového pohybu během obchodního dne
Ft … cena kontraktu na konci dne t
Ft+1.. cena kontraktu na konci následujícího dne
Ft+1 > Ft
⇒ kupující realizuje zisk, který je připsán na jeho zálohový účet
prodávající realizuje ztrátu, kterou je zatížen jeho zálohový účet
Ft+1 < Ft
⇒ zrcadlově opačná situace pro prodávajícího a kupujícího
je-li požadováno fyzické plnění kontraktu, lze aktivum zakoupit na spotovém trhu,
přičemž akumulované zisky a ztráty z titulu tržního přeceňování vedou k zaplacení ceny
ve výši futuritní ceny platné v okamžiku otevření kontraktu
placená cena = tržní cena na spotovém trhu + zisk/ztráta na termínové burze
= futuritní cena při otevření kontraktu
F0 …futuritní cena v okamžiku zakoupení kontraktu
Ft … uzavírací cena na konci dne t
FT ... vypořádací cena při vypršení kontraktu (= spotová cena v okamžiku T)
(FT = ST)
5
celkový náklad kupujícího:
( F1 − F0 ) + ( F2 − F1 ) + ... + ( FT − FT −1 ) − S T = ( FT − F0 ) − S T = − F0
celkový příjem prodávajícího:
( F0 − F1 ) + ( F1 − F2 ) + ... + ( FT −1 − FT ) + S = ( F − F ) + S = F
T
0
T
T
0
( “+” značí příjem hotovosti, “−” značí výdaj hotovosti)
rozmělnění rizika nedodržení závazků na případ relativně malých mezidenních
cenových fluktuací
♦
Zahajovací
pozice
Uzavírací cena
Kupující
Počáteční záloha
Denní zisk/ztráta
Zůstatek zálohového účtu
Výzva k doplnění zálohy
Celkový zisk/ztráta
Prodávající
Počáteční záloha
Denní zisk/ztráta
Zůstatek zálohového účtu
Výzva k doplnění zálohy
Celkový zisk / ztráta
Udržovací záloha
Den
1000
1
1100
2
1200
3
1050
4
950
5
900
200
200
-
+100
300
100
+100
400
200
-150
250
50
-100
200
50
-50
-50
200
50
-100
200
200
200
-100
200
100
-100
-100
200
100
-200
+150
350
-50
+100
450
50
+50
500
100
kupující zaplatí za komoditu 900 (spotová cena), aktualizacemi doplatil 100
⇒ celkový výdaj 1000
prodávající prodal komoditu za 900 (spotová cena), aktualizacemi získal 100
⇒ celkový příjem 1000
♦
6
graf výplaty futuritního kontraktu
long futures
short futures
ST
F0
ST
F0
F0 … dodací cena (dohodnutá při uzavření kontraktu)
ST … tržní cena (aktuální při splatnosti kontraktu)
konvergence spotové a futuritní ceny
před dnem dodání může být futuritní cena vyšší i nižší než pohotová cena (v závislosti
na velikosti držebného (carry)
báze = spotová cena − futuritní cena = držebné
(kladné či záporné číslo v závislosti na znaménku držebného)
kontango ... báze je záporná
report ....... báze je kladná
kontango (contango):
report (backwardation):
futures
spot
spot
futures
expirace
expirace
ve dni dodání se obě ceny musí rovnat (báze je nulová), v opačném případě lze
vydělat arbitrážový zisk
strategie při záporné bázi (F = 100, S = 80)
zakoupení aktiva pohotově (výdaj 80) a jeho současný termínový prodej (příjem
100), uskutečnění dodání
7
strategie při kladné bázi (F = 80, S = 100)
krátký prodej aktiva (short selling, příjem 100) a zakoupení futurity (získání aktiva
za 80), vrácení aktiva
mechanika krátkého prodeje:
investor dává pokyn brokerovi k uskutečnění krátkého prodeje (n kusů vybraných akcií)
broker si vypůjčuje akcie se souhlasem od jiného svého klienta a prodává je na trhu
po dobu otevřené pozice investor platí brokerovi veškerý důchod plynoucí z vypůjčeného
aktiva (např. výplata dividend), který je transferován na účet vlastníka vypůjčených
akcií
investor uzavírá pozici nákupem vypůjčených akcí, které broker vrací vlastníkovi
vypůjčených akcií
vyvolání tísně krátkého prodeje (short-squeeze) nastává, jestliže broker nemá nadále
k dispozici akcie podléhající krátkému prodeji, takže investor je nucen uzavřít pozici, i
když by to bylo pro něho momentálně nevýhodné
4. Ukončení kontraktu
a) zaujetím opačné pozice před splatností kontaktu (nejčastější případ)
F0 … futuritní cena při otevření kontraktu
Ft … futuritní cena při zaujetí opačné pozice
- F0 + Ft … celkový zisk/ztráta pro dlouhou stranu
F0 - Ft … celkový zisk/ztráta pro krátkou stranu
b) dodáním podkladového aktiva při splatnosti kontraktu
fyzické dodání
krátká strana oznámí zájem o fyzické plnění (notice of intention) ve lhůtě
mezi prvním a posledním oznamovacím dnem
dlouhá strana vybraná burzou (dle stanovených pravidel) je povinna
uskutečnit fyzické plnění v souladu podmínkami kontraktu
pro zohlednění různé kvality dodaného aktiva se používají konverzní
(cenové ) faktory
finanční vypořádání
provádí se u kontraktů neumožňujících fyzické plnění (indexní futuristy)
burza provede v určený okamžik opačný obchod ke všem otevřeným
kontraktům
8
5. Cenové a poziční limity
a) denní cenové limity
sledují požadavek, aby během obchodního dne cenové výkyvy nevybočily ze
stanoveného pásma vytvořeného okolo vypořádací ceny z předchozího
obchodního dne
při dosažení horní nebo dolní meze se přestává obchodovat (období na
zklidněnou)
nástroj omezující riziko abnormální ztráty
b) poziční limity
maximální počet kontraktů, který jednotlivec nebo spřízněná skupina osob může
současně otevřít
nástroj omezující riziko spekulativní cenové manipulace (zneužívání finanční
páky derivátů)
zahánění trhu do rohu (corning the market) je kombinace výrazné dlouhé futuritní pozice a
dosažení účinné kontroly nad nabídkou podkladového aktiva
Ö problémy na krátké straně trhu (obtížné jak uzavírání kontraktů tak
dodání podkladového aktiva)
výrazný růst spotové i futuritní ceny výhodný pro spekulanty
9
B. PŘÍKLADY FUTURITNÍCH KONTRAKTŮ
1. Krátkodobý úrokový futuritní kontrakt (short-run interest rate futures)
ST3 tříměsíční termínové depozitum, obchodováno na LIFFE (London International
Financial Futures Exchange)
specifikace kontraktu:
velikost kontraktu: 500 000 £
kupující kontraktu (dlouhá strana) zamýšlí zapůjčit k budoucímu datu tuto sumu
na tři měsíce (vytvořit tříměsíční termínové depozitum či zakoupit tříměsíční
vkladový certifikát)
prodávající kontraktu (krátká strana) se zavazuje vypůjčit si na tři měsíce
k budoucímu datu tuto částku
způsob kotace: 100 – úroková sazba (%) p.a.
Ft = 90,50 ⇒ vytvoření termínového depozita při anualizované sazbě 9,5 %
velikost tiku: jeden bazický bod (setina procenta)
hodnota tiku: úrok odpovídající změně sazeb o bazický bod
500 000 × 0,0001 ×
3
= 12,5 £
12
počáteční záloha: 750 £ (0,15 % hodnoty kontraktu), též udržovací záloha
150 £ pro vidličku (současné zaujetí dlouhé a krátké pozice téhož
kontraktu avšak s různou dospělostí)
dodací měsíc: 3, 6, 9, 12
poslední den obchodování: třetí středa dodacího měsíce (11.00 hod.)
dodací den: první pracovní den po posledním dnu obchodů
způsoby ukončení kontraktu
i) pozdějším zaujetím opačné pozice
20 dní
nákup 10 kontraktů
F1 = 90,50
prodej 10 kontraktů
F2 = 90,55
zisk: 10 (počet kontraktů) x 5 (počet tiků) x 12,5 (hodnota tiku) = 625,0 £
obrat na zálohovém účtu: 7500 £ počáteční záloha (750 x 10) + 625 £ variační záloha
10
= 8125 £
výnosová míra:
625
= 8,33 % za 20 dní, t.j. 152 % p.a.
7500
ii) finančním vypořádáním kontraktu
dlouhá strana se rozhodne pro peněžní kompenzaci
stanovení vypořádací ceny (EDSP, exchange delivery settlement price):
během posledního dne kontaktováno náhodně 16 bank (z daného seznamu)
vyloučeny 3 nejvyšší a 3 nejnižší sazby, u 10 zbývajících vypočítán průměr
(zajištění podmínky F = S v okamžiku splatnosti kontraktu)
vypořádací sazba = 8,75 % ⇒ vypořádací cena = 91,25
variační záloha = 10 x (9125 - 9050) x 12,5 = 9375 £
implicitní depozitní sazba:
vypořádací sazba (lze teoreticky vydělat vytvořením 3M depozita) +
+
937,5
× 4 (sazba vydělávající z jistiny 500 000 za 3M 937,5)
500 000
= 8,75 % + 0,75 % = 9,5 %
(v souladu s účelem termínového obchodu uzamknout se na
předem známé depozitní sazbě)
iii) fyzickým vypořádáním kontraktu
dlouhá strana se rozhodla pro fyzické plnění kontraktu, chce vytvořit termínový
vklad
krátká strana je povinna během posledního obchodního dne připravit vytvoření
termínového depozita u některé z vybraných bank
dlouhá strana umístí u vybrané banky 500000 £ za faktickou depozitní sazbu a
obdrží od protistrany kompenzaci (invoice), jestliže se depozitní sazba liší od
vypořádací
♦
depozitní sazba (8,65 %) ≠ vypořádací sazba (8,75 %)
faktura =
úrokový rozdíl (anualizovaný) × velikost kontraktu
1 + vypořádací sazba
11
=
(0,0875 − 0,0865) × (91 / 365) × 500 000
= 122 £
1 + 0,0875 × (91 / 365)
implicitní futuritní sazba:
depozitní sazba +
8,65 +
variační záloha + faktura 365
=
×
500 000
91
937,5 + 122,0 365
×
= 9,5 %
500 000
91
2. Dlouhodobý úrokový futuritní kontrakt (long-run interest rate futures)
specifikace kontraktu (LIFFE, long gilt interest rate futures)
předmět kontraktu: pomyslná 20-letá vládní obligace s výnosem do splatnosti 9 % a v
nominální hodnotě 50 000 £
způsob kotace: cena za 100 £ nominální hodnoty (32-tiny libry) bez narostlého kupónu
(stejné jako u podkladového aktiva)
92-12 = 92 +
12
= 92,375 £
32
velikost tiku: 1/32 z jednoho procenta nominální hodnoty kontraktu
50 000 x 0,01 x (1/32) = 15,625 £
počáteční záloha: 750 £ (150 £ pro vidličku)
poslední den obchodů: 2 pracovní dny před posledním pracovním dnem v dodacím
měsíci
dodací měsíc: 3, 6, 9, 12
dodací den: kdykoliv během dodacího měsíce (podle uvážení krátké strany, obyčejně
první nebo poslední den v dodacím měsíci)
ukončení kontraktu
i) zaujetím opačné pozice
92-12
nákup
počet tiků: 12 + (32 - 23) = 21
ztráta: 21 x 15,625 = 328,13 £
ii) fyzickým vypořádáním kontraktu
91-23
prodej
12
předmětem dodání je každá obligace se splatností 15 až 25 let
nelze dodat obligace: přivolatelné během příštích 15 let, indexované, částečně
splacené, konvertibilní, s variabilní sazbou, obchodované special ex-dividend
(možnost zakoupení obligace bez narostlého kupónu v průběhu tří týdnů před dnem
bez dividendy)
konverzní (cenový) faktor:
- násobitel transformující futuritní cenu (cenu hypotetické podkladové obligace) na
cenu faktické obligace kvalifikované pro dodání
futuritní cena faktické obligace = konverzní faktor × futuritní cena
hypotetické obligace
- taková cena faktické obligace (přepočtená na jednotkovou nominální hodnotu 1 £),
která dává výnos do splatnosti 9 %
T
konverzní faktor = ∑
t =1
1
c
+
(pro M = 1)
t
(1 + 0,09)
(1 + 0,09) T
kupónová sazba je větší než (menší než , rovna) 9 %
⇒ konverzní faktor je větší než (menší než, roven) 1
zohlednění faktu, že daná obligace má s ohledem na svůj kupón
jinou současnou hodnotu než ta podkladová
- konverzní faktor je různý pro každou jednotlivou obligaci a každý
jednotlivý měsíc dodání (korekce o narostlý úrok, zaokrouhlovací
procedury)
- zaokrouhlovací procedura
pro účely výpočtu konverzního faktoru je splatnost obligace zaokrouhlena
dolů na nejbližší celé čtvrtletí a takto zaokrouhlená splatnost je rozdělena na
šestiměsíční období
splatnost lze rozdělit beze zbytku na N šestiměsíční období:
N
konverzní faktor = ∑
n =1
1
c/2
+
n
(1,45)
(1,45) N
splatnost lze rozdělit na N šestiměsíčních a 1 tříměsíční období (s první výplatou
kupónu za 3 měsíce)
konverzní faktor =
⎡ N c/2
c / 2⎤
1
1
×
+
−
⎥
⎢∑
n
N
1/ 2
2 ⎦
(1,45)
(1,45)
⎣ n =1 (1,45)
13
(odpočet narostlého kupónu za 1 čtvrtletí)
obligace nejlevnější k dodání (cheapest to delivery, CTD): obligace umožňující nejméně
nákladné plnění futuritního kontraktu, což je obligace s nejvyšší implikovanou
repo sazbou (implied repo rate)
repo strategie: je zajišťovací obchod, ve kterém je současně s prodejem úrokové futurity
(termínové dodání obligace) zakoupena obligace na spotovém trhu (obvykle
prostřednictvím repo operace)
implikovaná repo sazba: taková velikost výpůjční sazby (tj. repo sazby), která činí repo
operaci ziskově neutrální (mezní výpůjční sazba)
příjem z repa = neúrokový výdaj repa ×
× (1 + implicitní repo sazba × (trvání repa/rok))
celkový příjem repa: výnos termínového prodeje obligace (futuritní cena ×
konverzní faktor) + narostlý kupón po dobu repa + reinvestice kupónu
celkový výdaj repa: cena obligace na spotovém trhu + úrok z vypůjčených fondů
CTD obligace: obligace s nejvyšší implikovanou repo sazbu, jelikož každá jiná doručitelná
obligace činí při dané faktické výpůjční sazbě repo operaci méně ziskovou či více
ztrátovou
okamžik dodání CTD obligace
běžný výnos z CTD > tržní úroková sazba
⇒ dodání obligace na konci dodacího měsíce (vydělat lze více držením
obligace než jejím prodejem a uložením výdělku za tržní sazbu)
běžný výnos < tržní úroková sazba
⇒ dodání obligace na začátku dodacího měsíce (zrcadlově opačné důvody)
♦
1.4.
dnes
1.6.
30.6.
dodací měsíc
parametry vládní obligace 10 %, 2004:
cena obligace: 99,125 £ (99-04, na 100 £ nominále)
14
kupónová sazba: 10 %
běžný výnos: 10,09 % (= kupón/cena obligace)
konverzní faktor: 1,0821387
futuritní cena: 91,66 £ (91-21)
tržní úrok: 10 %
délka repo operace: 3 měsíce (90 dní)
peněžní výdaj na zakoupení obligace: 99,125
peněžní příjem z obligace: termínový prodej (99,19 = 91,66 × 1,0821387)
+ kupón (2,46 = 10 × (90/365)) = 101,65
implicitní repo sazba =
101,65 − 99,125 365
×
= 10,33 % (je vyšší než tržní úrok 10 %)
99,125
90
♦
3. Měnový futuritní kontrakt (currency futures)
specifikace kontraktu:
podkladová měna: britská libra šterlinků £
fakturační měna: americký dolar $
předmět kontraktu: 25 000 £
kupující se zavazuje koupit 25 000 £ za složenou protihodnotu v $
prodávající se zavazuje prodat dolary v ekvivalentu 25 000 £
kotace: počet dolarů za libru (stejné jako na spotovém trhu)
1,7812 ⇒ 1 £ = 1,7812 $
(kódy ISO: GBP/USD = 1,7812, USD/GBP = 0,5614)
velikost tiku: setina centu (0,0001 dolaru na libru)
hodnota tiku: 25 000 (£) × 0,0001 ($/£) = 2,5 $
počáteční záloha: 1 500 $, 200 $ pro vidličku
dodací měsíc: 3, 6, 9, 12
dodací den: třetí středa dodacího měsíce
ukončení kontraktu
i) zaujetím opačné pozice
F1 = 1,7215
(zakoupení kontraktu)
15
F2 = 1,7263
(prodej kontraktu)
počet tiků = 48
celkový zisk = 48 × 2,5 = 120 $ (zisk pro kupujícího, ztráta pro prodávajícího)
ii) fyzickým vypořádáním
vypořádací cena = 1,7812 (EDSP = oficiální uzavírací cena LIFFE na spotovém trhu v
posledním obchodním dni kontraktu)
fakturovaná částka = 25 000 (£) × 1,7812 ($/£) = 44 530 $
dlouhá strana zaplatí krátké straně 44 530 $ a obdrží 25 000 £
výsledný kurz =
44 530 − 2,5 × (17812 − 17215)
= 1,7215 GBP/USD
25 000
zaplacená dolarová částka snížena o zisk na zálohovém účtu
4. Indexový futuritní kontrakt (stock index futures)
LIFFE, FTSE 100 index
specifikace kontraktu:
předmět kontraktu: hodnota 25 £ za jeden indexní bod (index 1825 znamená hodnotu
kontraktu 1825 × 25 = 45 625 £)
kotace: shodná s prezentací velikosti indexu
velikost tiku: 1/2 indexního bodu
hodnota tiku: 12,5 ( = 0,5 × 25) £
EDSP: průměrná hodnota podkladového indexu mezi 11.00 a 11.20 posledního
obchodního dne
počáteční záloha: 2 500 £; vidlička 100 £
dodací měsíc: 3, 6, 9, 12
dodací den: první pracovní den po posledním dnu obchodování
poslední den obchodů: 11.20, poslední pracovní den dodacího měsíce
ukončení kontraktu
i) zaujetím opačné pozice
nákup (20 kontraktů)
prodej (20 kontraktů)
16
1825,0
1812,5
počet tiků = 2 × 12,5 = 25
ztráta = 20 × 25 × 12,5 = 6 250 £ (pro dlouhou stranu)
ii) fyzickým vypořádáním
možné pouze peněžní vypořádání
fakturovaná částka = rozdíl mezi EDSP a vypořádací cenou předposledního
obchodního dne (předposlední den se uzavírá systém tržního přeceňování,
nutná kompenzace za pohyb indexu během posledního dne)
17
C. MODEL NÁKLADŮ NA DRŽENÍ AKTIVA
1. Odvození obecné formule
model pro nalezení korektní ceny futuritního kontraktu na bázi určení tzv. držebného
čili nákladů spojených s držením podkladového aktiva (cost-of-carry, cash-andcarry)
vystupující veličiny:
S t ... aktuální spotová cena aktiva
Ft ... aktuální futuritní cena aktiva
r ... nákladovost (na roční bázi) držení aktiva (úměrná ke spotové ceně a době
držení)
položky: úrok, skladování, manipulace, pojištění, fyzické znehodnocení, aj.
d ... výnosovost (na roční bázi) držení aktiva (úměrná k promptní ceně a době
držení)
položky: kupón, dividendy, fyzická dispozice (convenience yield)
T ... doba do dospělosti termínového kontraktu (doba držení aktiva)
strategie A: - vypůjčení peněz na spotové zakoupení aktiva
- uzavření smlouvy o termínovém prodeji aktiva
- držení aktiva do dospělosti termínového kontraktu (nabíhá držebné)
- splacení půjčky z obdržené částky za termínový prodej
podmínka neexistující arbitráže: příjem z termínového prodeje a výnosu aktiva po
dobu jeho držení ( Ft + dS t T ) se rovná výpůjčním nákladům ( S t + rS t T )
strategie B: - krátký prodej aktiva na spotovém trhu
- uložení utržených peněz na termínovém vkladu
- uzavření smlouvy o termínovém nákupu aktiva
- vrácení aktiva a zaplacení ušlých výnosů
podmínka neexistující arbitráže: výnos termínového depozita ( S t + rS t T ) kryje
náklad termínového zakoupení aktiva a uhrazení ušlých výnosů majiteli
aktiva ( Ft + dS t T )
18
Ft + dS t T = S t + rS t T
Ft = S t + S t (r − d)T
S t − Ft (báze) = S t (d − r)T (držebné)
držebné může být kladné (report) i záporné (kontango) v závislosti na velikosti
parametrů d a r
u fyzických komodit obvykle převažuje nákladovost nad výnosovostí (kontango), u
finančních futurit tomu bývá naopak (report))
mechanika arbitráže:
Ft + dS t T > S t + rS t T
vypůjčení peněz na zakoupení aktiva (nutno vrátit S t (1 + rT ) )
termínový prodej aktiva (k dispozici bude Ft + S t dT )
Ft + dS t T < S t + rS t T
krátký prodej aktiva a investování utržené částky (k dispozici bude
S t (1 + rT ) − S t dT )
termínový nákup aktiva a vrácení aktiva (výdaj Ft )
nelze-li provádět krátké prodeje, vede ke stejnému výsledku prodej aktiv
ze zásob (platí pouze pro aktiva držená k investičnímu a nikoli
k produkčnímu užití)
hodnota existujícího termínového kontraktu
jestliže termínový kontrakt ukládá povinnost zakoupit aktivu na dodací cenu K v situaci,
kdy aktuální forwardová cena je Ft , potom tento kontrakt má současnou hodnotu
ft =
Ft − K
1 + rT
po dosazení rovnice držebného
ft = St
1 + ( r − d )T
K
−
1 + rT
1 + rT
při aplikace spojitého úročení vychází
f t = S t e − dT − Ke − rT
19
aplikace modelu držebného pro futuritní kontrakty s odlišnými dospělostmi
F01 ... futuritní cena kontraktu o dospělosti T1
F02 ... futuritní cena kontraktu o dospělosti T2
strategie držebného posunuta do budoucnosti:
- termínové vypůjčení peněz na zakoupení aktiva v čase T1
- termínový prodej aktiva v čase T2 a splacení půjčky
podmínka absentující arbitráže
F02 + dF01 (T2 − T1 ) = F01 + rF01 (T2 − T1 )
F02 = F01 + F01 (r − d )(T2 − T1 )
F01 − F02 (spread ) = F01 ( d − r )(T2 − T1 ) (držebné)
2. Aplikace modelu na konkrétní kontrakty
a) krátkodobá úroková futurita
0
T1
T2
s1 ... spotová úroková sazba pro období T1
s2 ... spotová úroková sazba pro období T2
1f2
... termínová sazba pro období T2 - T1
podmínka úrokové parity:
T ⎞ ⎛
T ⎞ ⎛
T −T ⎞
⎛
⎜1 + s 2 2 ⎟ = ⎜1 + s1 1 ⎟ × ⎜1+ 1 f 2 2 1 ⎟
365 ⎠ ⎝
365 ⎠ ⎝
365 ⎠
⎝
vyjádření v cenách podkladového aktiva (např. jako cena vkladového certifikátu)
dnešní cena CD vyplácejícího v čase T2 jistinu 100: S 0 =
100
T2
1 + s 2 365
tatáž cena placená při nabytí CD v čase T1 (a dohodnutá v T0): F0 =
100
2 −T1
1+ 1 f 2 T365
20
dosazeno do rovnice úrokové parity:
F0 = 100 ×
T1
365
T2
2 365
1 + s1
1+ s
= S 0 + s1
T ⎞
⎛
= ⎜1 + s1 1 ⎟ × S 0
365 ⎠
⎝
T1
× S0
365
rovnice držebného při d = 0
b) měnový kontrakt
i) rovnice pokryté úrokové parity (covered interest rate parity)
strategie:
1) vypůjčení 1$ za sazbu r$
2) konverze dolaru na libry při pohotovém kurzu S0 (kótováno jako počet
liber na 1 dolar, USD/GBP)
3) vytvoření librového depozita se sazbou r£
budoucí příjem S0 (1+ r£) liber
4) termínový prodej liber za cenu F0 (stejná kotace USD/GBP )
budoucí příjem S0 (1+ r£)/F0 dolarů
5) splacení dolarového depozita
potřebný obnos 1+ r$
podmínka absentující arbitráže:
S0 (1+ r£)/F0 = 1+ r$
po úpravě
báze = S 0 − F0 = S 0 ×
r$ − r£
≅ S (r$ − r£ )
1 + r$
= spotový kurz ×
rB − rV
1 + rB
rB …úroková sazba bazické měny
rV … úroková sazba variabilní měny
r£ > r$ ⇔ F0 > S 0
vyšší librová sazba je neutralizována slabším termínovým kurzem
⇒ termínový diskont libry vůči dolaru, termínová prémie dolaru vůči libře
r£ < r$ ⇔ F0 < S 0
⇒ termínová prémie libry vůči dolaru, termínový diskont dolaru vůči libře
21
ii) rovnice nepokryté úrokové parity (uncovered interest rate parity)
termínový kurz je nejlepším odhadem budoucího pohotového kurzu
Et(S) = F0 ⇒
Et ( S ) − S 0
≅ r£ − r$
S0
iii) nedoručitelný forward (non-deliverable forward)
využívání nekonzistence pokryté a nepokryté úrokové parity v režimu pevného
kurzu
rCZK > rUSD ⇒ F0 > S 0 = Et ( S ) (termínový kurz koruny je vždy slabší)
strategie: termínový prodej dolarů a jejich budoucí nákup na spotovém trhu
(za termínově prodaný dolar se dostane F0 korun, které lze okamžitě
konvertovat na F0 / S0 > 1 dolarů)
banka obstarává obě transakce najednou a dělí se s klientem o
arbitrážový zisk
komplikací je udržování pevného kurzu vůči měnovému koši
c) indexní kontrakt
zakoupením indexního kontraktu lze imitovat zakoupení portfolia akcií se
strukturou indexu
formování imitujícího portfolia (tracking portfolio)
komplikace:- transakční náklady na sestavení a udržování imitujícího portfolia
- oproti nejistému a nepravidelnému dividendovému výnosu
vystupují povinné úrokové platby
strategie1: investování částky S0 na zakoupení akcií z indexu a jejich prodej na konci
roku
výnos = S1 - S0 + d × S0
St … hodnota indexu (t = 1,2), d … dividendový výnos akcií
strategie 2: otevření dlouhé pozice ve futuritním kontraktu a investování částky S0 na
peněžním trhu; na konci období je futuritní kontrakt finančně vypořádán
výnos = S1 - F0 + r × S0
(S1 - F0 je zisk na futuritní burze)
F0 ... futuritní cena indexu, r ... tržní úroková sazba
obě strategie mají stejný počáteční výdaj a stejný výsledek (vystoupení z obou trhů
22
na konci období), při korektním ocenění by proto měly být stejně ziskové
S 1 - S 0 + d × S 0 = S 1 - F0 + r × S 0
F0 = S0 + (r - d) × S0
23
D. SPEKULAČNÍ FUTURITNÍ OBCHODY
spekulační obchod se vyznačuje zaujímáním otevřených (nezajištěných a tím i rizikových)
pozic s úmyslem realizovat rychlý a abnormální zisk
omezená racionalita finančních trhů umožňuje vyhledávání nekorektně oceněných aktiv
(lepší informovanost, lepší znalost fundamentálních souvislostí, používání technické
analýzy), současně se spoléhá na efektivní fungování trhu, které rychle odstraňuje
cenové distorze
strategie: nákup “podhodnocených” aktiv v očekávání jejich prodeje jakmile cena
aktiva vzroste
krátký prodej “nadhodnocených” aktiv v očekávání jejich nákupu
jakmile cena aktiva klesne
spekulace na cenový pohyb aktiva obyčejně probíhá v rámci nastavených limitů, po jejichž
dosažení bývá otevřená pozice uzavřena
vybírání zisků (profit taking): uzavření pozice v případě, že cena aktiva se vyvíjela
příznivým směrem
zastropování ztráty (stop-loss): uzavření pozice v případě, že cena aktiva se vyvíjela
nepříznivým směrem
rysy spekulačního obchodu:
- rizikovost (ztráty v případě chybných očekávání)
- krátkodobost (financování otevřených pozic je nákladné)
atraktivnost derivátů: - menší likvidita pohotových trhů, trhy s deriváty dovolují rychlé
otevírání a uzavírání pozic
- snadnější realizace krátkého prodeje, tudíž i zdroj možné
nestability na pohotovém trhu (viz kurzová spekulace,
regulovaný krátký prodej akcií)
- velká finanční páka (leverage), tj. s malým kapitálem lze zaujímat
značné dlouhé a krátké pozice (počáteční záloha je zlomkem
nominální hodnoty kontraktu)
24
♦
Ilustrace finanční páky na měnovém trhu:
pohotový kurz ......... 28,36 USD/CZK
termínový kurz ....... 28,12 USD/CZK
očekávaný kurz ...... 30,00 USD/CZK
disponibilní částka pro spekulaci … 1 mil CZK
i) spekulace na pohotovém trhu: zakoupení dolarů dnes a jejich prodej v pozdějším
okamžiku, např. za 2 měsíce (odhlédnuto od úročení)
30
− 1 000 000
12
28,36
× = 34,7 %
1 000 000
2
1 000 000 ×
výnosová míra =
ii) spekulace na futuritním trhu: termínové zakoupení dolarů (za 2 měsíce, 20 %
počáteční záloha) a jejich pozdější prodej na pohotovém trhu (odhlédnuto od
úročení)
30
− 1 000 000
12
28,12
× = 200,7 %
200 000
2
1 000 000 ×
výnosová míra =
♦
1. Otevřené poziční obchody (open position trading)
snaha o zpeněžení názoru na budoucí vývoj podkladového aktiva
(úrokových sazeb, měnového kurzu, cen akcií)
i) dlouhá otevřená pozice (spekulace na růst futuritní ceny)
♦
Spekulant věří na pokles úrokových sazeb čili na růst ceny úrokové futurity
strategie: zakoupení prosincového šterlinkového úrokového kontraktu
F = 90,50 (hodnota tiku = 12,5 £)
Den
Akce
Futur. cena
Poč. záloha
Přecenění
Čistý zisk
1
Nákup
90,50
-750,00
0
-750,00
2
Držení
90,00
-
-625,00
-1375,00
25
3
Držení
90,25
-
+312,50
-1062,50
4
Držení
90,75
-
+625,00
-437,50
5
Prodej
91,25
+750,00
+625,00
937,50
výnosová míra =
937,50
= 125 % za 5 dní při růstu trhu pouze o 0,83 %
750,00
♦
ii) krátká otevřená pozice (spekulace na pokles futuritní ceny)
♦
Spekulant věří na pokles akciového trhu
strategie: prodej prosincového FTSE 100 futuritního kontraktu
F = 2 400,0 (hodnota bodu = 25 £)
Den
Akce
Futur. cena
Poč. záloha
Přecenění
1
Prodej
2 400
-2 500
0
-2 500
2
Držení
2 000
-
+10 000
+7 500
3
Nákup
1 600
+2 500
+10 000
+20 000
výnosová míra =
Čistý zisk
20000
= 800 % za 3 dny při poklesu trhu o 33 %
2500
♦
2. Spreadové obchody (spread trading)
F
S1
S2
S
3M
6M
26
spread spočívá v současném nákupu a prodeji dvou futuritních kontraktů (dvě nohy
spreadu) splatností
předmětem spekulace není změna úrovně nýbrž změna rozdílu (spreadu) dvou
futuritních cen (nižší rizikovost, proto nižší počáteční zálohy)
nákup spreadu: nákup vzdálenější a prodej bližší splatnosti (nohy)
prodej spreadu: prodej vzdálenější a nákup bližší splatnosti (nohy)
vnitrokontraktní spread (intra-contract spread, straddle)
nákup a prodej rozdílných splatností téhož futuritního kontraktu
(např. nákup 3M červen, prodej 3M prosinec téhož kontraktu)
mezikontraktní spread (inter-contract spread)
nákup a prodej různých typů futuritních kontraktů
(např. nákup 3M červnový šterlinkový kontrakt, prodej 3M červnový
eurodolarový kontrakt)
příklady spreadových obchodů:
i) řízení výnosové křivky: spekulace na relativní změnu úrokových sazeb
♦
Očekává se rychlejší růst krátkodobých úrokových sazeb, neboli při růstu všech sazeb (tj. při
poklesu všech futuritních cen) krátkodobé sazby porostou rychleji.
nákup spreadu (1.den):
září 90,00 (nákup)
červen 89,50 (prodej)
spread = 90,00 - 89,50 = 50 tiků
prodej spreadu (5. den):
září 89,00 (prodej)
červen 88,25 (nákup)
spread = 89,00 - 88,25 = 75 tiků
(delší splatnosti skutečně klesly rychleji)
zisk = (75 - 50) tiků × 12,50 £ za tik
= [(8950 - 8825) - (9000 - 8900)] × 12,50
= 312,50 £
výnosová míra =
312,50
= 208% za 5 dní
150,00
27
♦
ii) motýlí spread (butterfly spread): spekulace na vzájemnou relaci dvou spreadů
ocenění určitého kontraktu se zdá být deformované, neví se však, jakým způsobem
proběhne odstranění cenové anomálie
♦
Údaje o šterlinkovém měnovém futuritním kontrakt (kotace GBP/USD)
červen
1,7010
září
1,7020
prosinec 1,7100
}
}
10 tiků
80 tiků
zřejmé je rozšíření spreadu 6-9 a zúžení spreadu 9-12, ale není zřejmé, zda
klesne 6 nebo vzroste 9
strategie : nákup 6 - 9 spreadu ⎫
⎬ prodej motýlího spreadu
prodej 9 - 12 spreadu ⎭
♦
iii) obchodování s bází (basis trading): simultánní obchodování futuritního kontraktu a
podkladového aktiva na spotovém trhu (časté u obligací)
nákup báze: spotový nákup podkladového aktiva a prodej futuritního kontraktu
prodej báze: spotový prodej podkladového aktiva a nákup futuritního kontraktu
zisk/ztráta:
Bt − B0 = ( S t − Ft ) − ( S 0 − FO ) + držebné
= ( S t − S 0 ) − ( Ft − FO ) + držebné
dlouhá strana spekuluje na rozšíření báze (relativně rychlejší růst spotové ceny resp.
relativně rychlejší pokles futuritní ceny), krátká strana sází na zúžení báze
praktická realizace: i) simultánní nicméně oddělené provedení obchodu na spotovém a
futuritním trhu
ii) uzavření transakce za předem dohodnutou bázi (exchange of
futures for physicals, EFP trh)
nákup báze: spekulant prodává obchodníkovi futuritní kontrakt za aktuální futuritní
cenu F a kupuje podkladové aktivum za cenu S = F + Boffer
prodej báze: spekulant kupuje od obchodníka futuritní kontrakt za aktuální futuritní
28
cenu F a prodává podkladové aktivum za cenu S = F + Bbid
29
E. ARBITRÁŽOVÉ FUTURITNÍ OBCHODY
arbitrážový obchod spočívá ve vyhledávání arbitrážových příležitostí, tj. takových
cenových tržních situací, které umožňují vydělat zisk bez podstupování rizika
vlastnosti arbitrážového portfolia: samofinancovatelnost, bezrizikovost, generování
vyššího než bezrizikového výnosu (při absenci transakčních nákladů)
hypotéza efektivních trhů nepřipouští dlouhodobější přítomnost arbitrážových
příležitostí, stává se ale obecným východisko pro nalezení tzv. korektní (férové,
spravedlivé) ceny (fair price) finančního aktiva
1. Rámečková arbitráž (box arbitrage)
spekulace na spotovém trhu (realizace nepokryté úrokové parity)
1. výpůjčka liber (např. na 3M)
2. promptní konverze liber na dolary
3. vytvoření dolarového depozita (se splatností 3M)
4. konverze jistiny a úroků do liber (za 3M)
5. nárůst závazku na librovém depozitu
6. splacení librové půjčky i s úroky
dnes
3
za 3M
dolary
2
4
libry
5
6
1
arbitráž na futuritním trhu (realizace pokryté úrokové parity pomocí futuritních
kontraktů) :
♦
aktuální kotace (1. duben)
CF
3M$
3M£
Červen
1,7265
89,50
88,25
Září
1,7121
89,50
88,50
CF … šterlinková měnová futurita se splatnostmi červen a září (potřebné pro termínové
30
konverze zúčastněných měn)
3M$ resp. 3M£ … dolarová resp. šterlinková úroková futurita se splatností červen
(potřebné pro termínové vypůjčování a zapůjčování měn)
červen
dolary
3
2
září
4
libry
5
6
1
1. prodej červnového 3M£ (vypůjčení liber na 3 měsíce za 2 měsíce)
výpůjční sazba: 100 - 88,25 = 11,75 % p.a. na 3 měsíce
2. prodej červnového CF (termínová konverze liber na dolary za 2 měsíce)
měnový kurz: 1 $ = 1,7265 $
3. nákup červnového 3M$ (uložení dolarů na 3 měsíce za 2 měsíce)
zápůjční sazba: 100 - 89,50 = 10,5 %
v září k dispozici 1,7265 × [1 + 0,1050 × 91/360]= 1,7723 $
4. nákup zářijového CF (termínová konverze dolarů na libry za 5 měsíců)
měnový kurz: 1 £ = 1,7121 $
5. nárůst librového závazku
6. splacení librové půjčky i s úroky
disponibilní částka po konverzi: 1,7723 $ : 1,7121 £/$ = 1,0352 £
splacení půjčky vyžaduje: 1 × [1 + 0,1175 × 91/360] = 1,0297 £
arbitrážový zisk: 1,0352 - 1,0297 = 0,0055 £
při nákupu jednoho 3M£ (500 000 £) činí zisk 500 000 × 0,0055 = 2 750 £
komplikující faktory:- tržní přeceňování může vést k výzvě na doplnění zálohy, čímž
rostou finanční náklady
- existence obchodního rozpětí (bid–ask spread)
- zaokrouhlování na celočíselný počet kontraktů
2. Konverzní arbitráž
31
kombinace operací na pohotových a futuritních trzích
podstata modelů držebného (cost-of-carry) pro určení korektní futuritní ceny
dlouhá konverzní arbitráž (při dodání CTD obligace)
1. vypůjčení peněz na nákup obligace
2. prodej obligace na futuritním trhu (uzamknutí prodejní ceny)
3. splacení půjčky z výnosů termínového prodeje
krátká konverzní arbitráž
1. krátký prodej obligace a umístění výnosů na peněžním trhu
2. nákup obligace na futuritním trhu z prostředků po splatnosti depozita
3. vrácení obligace (dodána bude CTD obligace a nikoli ta vypůjčená, což
může zvýšit transakční náklady)
3. Naprogramované obchodování (program trading)
využívání arbitrážových příležitostí mezi futuritním a spotovým akciovým indexem
S0, ST ... tržní hodnoty indexu
F0, FT… futuritní hodnoty indexu
r ... tržní úroková sazba
d ... dividendový výnos
korektní cena futuritního kontraktu: F0∗ = S 0 + S 0 ( r − d )
F0 > F0∗ ⇒
naprogramováno kupovat akcie (pomocí úvěru) a prodávat futuritní akciový
index
výsledná pozice na pohotovém trhu (splacení půjčky, dividendový příjem, prodej
akcií) : − S O (1 + r ) + dS O + S T
výsledná pozice na futuritním trhu: F0 − S T
výsledné saldo: F0 − [S 0 + S 0 ( r − d )] > F0 − F0∗ > 0
F0 < F0∗ ⇒ naprogramováno prodávat akcie a kupovat futuritní akciový index
32
F. ZAJIŠŤOVACÍ FUTURITNÍ OBCHODY
zajišťovací obchod vytváří ochranu před budoucí nejistotou pocházející z možnosti
nepříznivého cenového vývoje zajišťovaného aktiva
např.: - dovozce bude muset za 3 měsíce zaplatit v eurech a obává se znehodnocení
koruny
- podnik obdrží za 3 měsíce inkaso bez okamžitého použití, které bude chtít
krátkodobě uložit, a obává se poklesu úrokových sazeb
forwardové zajištění: nejistota odstraněna pomocí přímé dohody o budoucí ceně
(uzamknutí budoucí ceny na dnes známé hodnotě)
futuritní zajištění: zaujetí takové pozice ve futuritním kontraktu, která vydělává na
nepříznivém vývoji ceny zajišťovaného aktiva (ztráta na spotovém trhu
kompenzována ziskem na futuritním trhu)
dlouhé zajištění znamená zaujetí dlouhé pozice ve futuritním kontraktu (tj.
zakoupení kontraktu)
krátké zajištění znamená zaujetí krátké pozice ve futuritním kontraktu (tj.
prodej kontraktu)
přímé zajištění: zajištění, ve kterém zajišťovací instrument obsahuje totéž aktivum, jaké
je zajišťováno (atraktivnost derivátů nabízejících vysoce efektivní zajištění aktiv,
která současně vystupují jako podkladová v derivátových produktech)
dokonalé zajištění: zajištění, ve kterém je cena zajišťovaného aktiva dokonale záporně
korelována s cenou zajišťujícího instrumentu (v praxi ne vždy realizovatelné)
částečné zajištění: zajištění pomocí méně než dokonale korelovaného dostupného
instrumentu
křížové zajištění: zajištění, ve kterém zajišťované a derivátové podkladové aktivum jsou
dvě různá aktiva
bázické riziko (basis risk)
příjem/výdaj zajiš’tovatele = S 2 + ( F1 − F2 ) = F1 + ( S 2 − F2 )
= futuritní cena + báze
- okamžik zajištění se liší od termínu splatnosti použitého kontraktu (nezaručena
podmínka rovnosti spotové a futuritní ceny) z důvodu nevyhovující splatnostní
struktury dostupných kontraktů
33
- zajišťované aktivum se liší od podkladového aktiva použitého futuritního kontraktu
(nenulová báze ani při splatnosti kontraktu)
- obava z fyzického plnění nutí používat kontrakty s pozdější splatností
- vyšší volatilita futuritní ceny krátce před splatností futuritního kontraktu
i) termínové obchody nejsou nezbytně nutné pro konstrukci zajišťovacích pozic, jsou však
levnější
♦
Podnik očekává devizové inkaso 1 mil USD za jeden měsíc, které bude konvertovat do korun
a které chce zajistit proti kurzovému riziku (obava z posílení koruny):
a) užití termínové burzy
prodej futuritního měnového kontraktu (termínový prodej USD resp. termínový
nákup CZK) s cílem uzamknout budoucí konverzi dolarů na koruny na dnes známém
kurzu
b) posunutí konverze do současnosti
- výpůjčka dolarů na 1 měsíc ve výši: 1 mil. = půjčka + úroky
- prodej dolarů na pohotovém trhu (při známém tržním kurzu)
- z očekávaného dolarového inkasa splacena půjčka i s úroky
♦
Podnik si bude chtít vypůjčit za 1 měsíc na dobu 1 měsíce 1 mil. Kč a chce se zajistit proti
úrokovému riziku (obava z růstu úrokových sazeb):
a) užitím termínové burzy
prodej futuritního úrokového kontraktu (ekvivalentní emisi krátkodobého cenného
papíru), což umožňuje uzamknout se na dnes známé úrokové sazbě
b) užitím pohotových trhů
vypůjčení částky X na dva měsíce (za známou sazbu r2 ) a její uložení na jeden měsíc
(za známou sazbu r1 )
r ⎞
⎛
- vypůjčená částka: X ⎜1 + 1 ⎟ = 1 mil (bude k dispozici za 1 měsíc)
⎝ 12 ⎠
⎛ 2r ⎞
- velikost splátky: X ⎜1 + 2 ⎟ (po uplynutí dvou měsíců)
12 ⎠
⎝
34
r ⎞ ⎛
f ⎞
⎛ 2r ⎞ ⎛
- uzamknutá sazba: ⎜1 + 2 ⎟ = ⎜1 + 1 ⎟ × ⎜1 + 1 2 ⎟
12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝
12 ⎠
⎝
♦
ii) zajištění nebude při pohledu ex post výhodné, pokud se spotový trh vyvíjel pro
zajišťovatele příznivě
♦
Právě byl uzavřen kontrakt na budoucí prodej 1 mil barelů ropy (odedneška za 3 měsíce).
aktuální cena ropy:19 $ za barel
aktuální cena tříměsíčního futuritního kontraktu: 18,75 $ za barel (1 futuritní kontrakt zní
na 1000 barelů)
⇒ společnost prodává 1000 srpnových futuritních kontraktů
a) za 3 měsíce cena ropy klesla na 17,50 $ za barel
17,50 mil. ................ tržby za prodej ropy
1,25 mil.
................ zisk z futuritní pozice [(18,75 - 17,50) × 1 mil, neboť při
vypršení kontraktu S = F)]
celkový příjem = 18,75 mil. $
b) za tři měsíce cena ropy vzrostla na 19,50 $ za barel
19,50 mil. ................
tržby za prodej ropy
-0,75 mil. ..............
ztráta z futuritní pozice [(19,50 - 18,75) × 1 mil.]
celkový příjem = 18,75 mil. $
nezajištěná pozice by umožnila příjem 19,5 mil. $ (bylo zajištění výhodné?)
♦
1. Optimalizace zajišťovací pozice
expozice na spotovém trhu:
fyzická : Q S (fyzický objem zajišťovaného aktiva)
hodnotová: VS = S 0 × Qs (aktuální spotová cena × velikost zajišťovaného aktiva)
expozice na futuritním trhu:
fyzická: q × n (objem aktiva v jednom kontaktu × počet kontraktů)
hodnotová : V F = F0 × q × n (aktuální futuritní cena × celkový fyzický objem
podkladového aktiva)
35
fyzický zajišťovací poměr:
h=
fyzická expozice na futuritním trhu q × n
=
QS
fyzická expozice na spotovém trhu
zajišťovací efektivnost:
η=
zisk/ztráta na futuritní pozici
zisk/ztráta na spotové pozici
cílem zajištění je vzájemná kompenzace ztrát a zisků na spotovém a futuritním trhu
∆V S − ∆V F = ∆S × Q S − ∆F × q × n = 0
⇒h=
Q
∆S
, n = h× S
∆F
q
zajišťovací poměr lze odvodit regresí z minulých pozorování
S = a + bF ⇒ h =
σ
∆S
=b= ρ× S
∆F
σF
ke stejnému výsledku vede požadavek minimalizace odchylek od hodnoty zajištěného
portfolia
var( S × QS − F × q × n) = QS × var(S − hF ) → min
σ
∂
(σ S + h 2σ F2 − 2hρσ S σ F ) = 0 ⇒ h = ρ × S
∂h
σF
2. Zajišťování prostřednictvím krátkodobých úrokových futurit
♦
Příklad dlouhého zajištění: podnik očekává příjem 2 mil. liber za dva měsíce, které bude chtít
krátkodobě uložit, ale obává se poklesu úrokových sazeb
⇒ zajišťuje se proti poklesu sazeb (proti růstu cen cenných papírů) zakoupením
šterlinkových úrokových futurit (na růstu vydělává dlouhá strana, proto
nákup futuritních kontraktů)
počet kontraktů =
2 mil
× 1 = 4 (předpoklad dokonalé korelace)
500000
Spotový trh
Dnes
Úroková sazba 3M je 11 %
Futuritní trh
Zakoupení 4 futuritních 3M
kontraktů (á 500 000 £)
F1 = 88,5 (=100 - 11,5 %)
36
Investování 2 mil £ do
3M depozita za sazbu 9 %
Za 2 měsíce
Zaujetí opačné pozice (prodej)
F2 = 90,5 (= 100 – 9,5 %)
ztráta na pohotovém trhu: 2 000 000 × (0,11 - 0,9) ×
3
= 10 000 £
12
zisk na futuritním trhu: 4 (kontrakty) × 200 (tiků) × 12,5 (hodnota tiku) = 10 000 £
zajišťovací efektivnost =
10000
= 100 %
10000
♦
Příklad krátkého zajištění: podnik má půjčku 10 mil £, prolongovanou každé čtvrtletí
(nejbližší prolongace se uskuteční za měsíc), a obává se růstu úrokových sazeb
⇒ zajišťuje se prodejem šterlinkových úrokových futurit
Spotový trh
Dnes
Výpůjční sazba 3M je 13 %
Za měsíc
Výpůjčka 10 mil. £ na 3M
při sazbě 14 %
Futuritní trh
Prodej 20 futuritních 3M
kontraktů (á 500 000 £)
F1 = 87,75 (= 100 - 12,25 %)
Zaujetí opačné pozice (nákup)
F2 = 86,75 (= 100 - 13,25 %)
ztráta na pohotovém trhu: 10 000 000 × (0,14 - 0,13) ×
3
= 25 000 £
12
zisk na futuritním trhu: 20 (kontraktů) × 100 (tiků) × 12,5 (hodnota tiku) = 25 000 £
3. Zajišťování pomocí indexních futurit
příklad krátkého zajištění: manažer penzijního fondu spravuje portfolio akcií a očekává
pokles akciového trhu
⇒ prodej indexních futurit (zaujetí krátké pozice), jelikož vydělávají na poklesu
cen akcií
příklad dlouhého zajištění: manažer očekává příliv hotovosti do fondu a očekává růst cen
akcií, které bude muset nakupovat
⇒ nákup indexních futurit (zaujetí dlouhé pozice), jelikož vydělávají na růstu cen
akcií
37
i) stanovení počtu kontraktů:
∆V (pokles hodnoty portfolia) = Z (zisk na termínové burze)
∆S
∆V
=β×
V0
S0
(beta portfolia je procentní změna hodnoty portfolia vyvolaná
procentní změnu akciového indexu, CAPM považuje za korektní
přebytečný výnos nad bezrizikovým aktivem)
Z = n × v × ∆ F = n × v × F0 ×
∆F
F0
(n …počet kontraktů, v…hodnota indexního
bodu)
Ft = k × S t , t = 0,1 (předpoklad konstantních nákladů držebného)
∆V = Z
⇒
n=
V0 β ∆ S / S 0
V
×
=β× 0
vF0 ∆ F / F0
vF0
beta portfolia ×
= =
aktuální hodnota nezajištěného portfolia
aktuální hodnota futuritního
čím volatilnější je portfolio, tím více kontraktů je nutné použít
k zajištění spotové pozice
♦
aktuální hodnota portfolia V0 = 1 mil £; beta portfolia β = 1,15; aktuální kotace spotového
indexu S0 = 2 204; aktuální kotace futuritního indexu F0 = 2 300 (červnová splatnost);
hodnota indexního bodu v = 25 £
počet červnových kontraktů =
1 000 000
× 1,15 = 20 J
25 × 2300
♦
ii ) uzamknutí hodnoty portfolia k okamžiku splatnosti termínového kontraktu:
výsledná hodnota zajištěného portfolia = konečná hodnota portfolia ± zisk/ztráta na
termínové burze
koncová hodnota nezajištěného portfolia:
⎡ S − S0 ⎤
β⎥
V1 = V0 × ⎢1 + 1
S
0
⎣
⎦
⎡ S − F0
F − S0 ⎤
= V0 × ⎢1 + 1
β+ 0
β⎥
F0
S0
⎣
⎦
použita aproximace ln(1 + x ) =& x pro malá x
38
⎞
⎟⎟ = ln S1 − ln S 0
⎠
S − F0 F0 − S 0
= (lnS1 − lnF0 ) + (lnF0 − lnS 0 ) =& 1
+
F0
S0
⎛ S − S0
S1 − S 0
=& ln⎜⎜1 + 1
S0
S0
⎝
⎛S
⎞
⎟⎟ = ln⎜⎜ 1
⎝ S0
⎠
zisk/ztráta na termínové burze:
Z = n × v × ( F0 − F1 )
=
⎡ S − F0 ⎤
V0 β
× v × ( F0 − S1 ) = − V0 β × ⎢ 1
⎥
vF0
⎣ F0 ⎦
S1 = F1 v důsledku rovnosti spotové a futuritní ceny při
vypršení futuritního kontraktu
hodnota zajištěného portfolia (teoretická):
⎡ F − S0 ⎤
β⎥
V1 + Z = V0 × ⎢1 + 0
S
0
⎣
⎦
hodnota zajištěného portfolia (t = 1) závisí pouze na veličinách
známých v okamžiku vytvoření zajištěné pozice (t = 0)
portfolio je zajištěno na odlišné než své počáteční úrovni v důsledku
velikost držebného tržního indexu a vlivu portfoliového beta
♦
scénář býčího trhu: S0 = 2 204; S1 = 2 700
⎡ 2700 − 2204
⎤
× 1,15⎥ = 1 258 802 £
koncová hodnota fondu: 1 000 000 × ⎢1 +
2204
⎣
⎦
ztráta na termínové burze: -20 × 25 × (2 700 - 2 300) = -200 000 £
hodnota zajištěného portfolia
= 1 258 738 - 200 000 = 1 058 802 £
(teoretická hodnota = 1 050 091 £)
zajišťovací efektivnost: =
200 000
= 77,3 %
258 802
scénář medvědího trhu: S0 = 2 204; S1 = 1 700
⎤
⎡ 1700 − 2 204
× 1,15⎥ = 737 024 £
koncová hodnota fondu: 1 000 000 × ⎢1 +
2 204
⎦
⎣
zisk na termínové burze: -20 × 25 × (1 700 - 2 300) = 300 000 £
hodnota zajištěného portfolia = 736 983 + 300 000 = 1 037 024 £
(teoretická hodnota = 1 050 091 £)
39
zajišťovací efektivnost =
300 000
= 114,1 %
262 976
♦
praktické překážky dokonalého zajištění:
- nenaplnění použitých předpokladů malých procentních cenových změn a těsné
korelace spotového a futuritního trhu (faktická hodnota zajištěného portfolia tak
není zcela nezávislá na budoucích hodnotách)
- přibližnost predikce koncové hodnoty portfolia pomocí koeficientu β (beta je regresní
koeficient, přičemž každý regresní vztah vypovídá pouze o celkovém trendu a
nevysvětluje každou jednotlivou změnu)
- nedělitelnost futuritních kontraktů (v praxi se nelze zajišťovat neceločíselným počtem
kontraktů, který vychází ze vzorce pro optimální počet kontraktů)
- úročení zálohových plateb (při ziskové futuritní pozici je vyděláván dodatečný úrok
z rostoucího zůstatku na zálohovém účtu, při ztrátové pozici rostou náklady o
dodatečný úrok z vypůjčených fondů na doplňování záloh)
⇒ vzorec pro optimální počet kontraktů může vytvářet mírně přezajištěné či
nedojištěné pozice
iii) bázické riziko
vzniká, liší-li se okamžik zajištění od dospělosti futuritního kontraktu plnícího roli
zajišťovacího instrumentu
0
t
otevření
pozice
1
okamžik
zajištění
dospělost
kontraktu
⎡ ⎛ S − S 0 Ft − F0 ⎞
⎤
⎟⎟ × β ⎥
−
Vt = V0 × ⎢1 + ⎜⎜ t
F0 ⎠
⎣ ⎝ S0
⎦
⎡ ⎛ S − F0 F0 − S 0 Ft − F0 ⎞
⎤
⎟⎟ × β ⎥
= V0 × ⎢1 + ⎜⎜ t
+
−
S0
F0 ⎠
⎣ ⎝ F0
⎦
⎡ ⎛ F − S 0 S t − Ft
= V0 × ⎢1 + ⎜⎜ 0
+
F0
⎣ ⎝ S0
⎡ ⎛B
⎤
⎤
⎞
B ⎞
⎟⎟ × β ⎥ = V0 × ⎢1 + ⎜⎜ t − 0 ⎟⎟ × β ⎥
⎠
⎣ ⎝ F0 S 0 ⎠
⎦
⎦
Bt = S t − Ft je báze (basis)
koncová hodnota zajištěného portfolia závisí na předem neznámé
40
velikosti báze (podstupování bazického rizika, které může ovlivnit
výsledek v pozitivním i negativním směru)
v okamžiku dospělosti futuritního kontraktu je báze nulová (S1 = F1)
odhad báze lineární interpolací (využití podobnosti trojúhelníků)
♦
2300
(F0)
48
2204
(S0) 0
1
t =1/2
skutečnost: S1/2 = 1 900, F1/2 = 1 950 ⇒ faktická báze je -50 (oproti předpokladu –48)
hodnota zajištěného portfolia (teoretická):
⎤
⎡ 2300 − 2204
48
1 000 000 × ⎢1 +
× 1,15 −
× 1,15⎥ = 1026 091 £
2300
2204
⎦
⎣
faktická hodnota:
⎡ 1900 − 2204
⎤
1 000 000 × ⎢1 +
× 1,15⎥ + 20 × 25 × (2300 − 1950) = 1 016 379
2204
⎣
⎦
oproti předpokladu byl dosažen horší výsledek v důsledku více nepříznivé báze
♦
iv) interpolativní a extrapolativní zajištění bázického rizika
FS
FH
FJ
současnost
tJ
tH
tS
interpolační techniku lze využít, jestliže okamžik zajištění se nachází mezi
41
termíny splatnosti dvou sousedních futuritních kontraktů
výchozím bodem je interpolační ceny hypotetického futuritního kontraktu, jehož
termín splatnosti se shoduje s okamžikem zajištění
FS − FJ
t −t
= S J
FH − FJ t H − t J
⇒ FH = FJ ×
tS − tH
t −t
+ FS × H J
tS − tJ
tS − tJ
podle stejného klíče se rozdělí celkový počet futuritních kontraktů na červnové a
zářijové futurity, což prakticky znamená zajištění báze speadem
S 0 − FH = S 0 − (1 − w) × FJ − FS = S 0 − FJ + w × ( FS − FJ )
♦
Na začátku dubna se červnová indexová futurita obchoduje za 2300 a zářijová indexová
futurita za 2365. Kolik červnových a zářijových kontraktů je zapotřebí k zajištění
předchozího akciového portfolia, je-li rozhodným okamžikem zajištění začátek srpna?
interpolace futuritní ceny: FH = 2300 ×
počet kontraktů: n =
60
32
+ 2365 ×
= 2323
92
92
VO × β 1000 000 × 1,15
=
= 19,6 =& 20
25 × 2323
v × FA
počet červnových kontraktů: 20 ×
60
=& 13
92
počet zářijových kontaktů: 20 – 13 = 7
komplikace interpolačního zajištění: na konci června červnové futurity přestanou existovat,
což vytváří závislost na bazickém riziku (tj. na budoucím rozdílu spotové a futuritní
ceny)
řešení: - uzavření maturujících pozic a jejich nahrazení pozdějšími splatnostmi
(dochází k prodeji spreadu)
- proti prodanému spreadu je zakoupen spread s pozdějšími splatnostmi
rekapitulace futuritních obchodů:
začátek dubna (vytvoření interpolačního zajištění)
prodej 13J, prodej 7S
konec června (nahrazení maturujících kontraktů a zajištění báze spreadem)
nákup 13J, prodej 13S
prodej 13S, nákup 13D
42
začátek srpna (realizace zajištění)
nákup 33S, prodej 13D
♦
extrapolační techniku lze využít, jestliže okamžik zajištění se nachází za termínem
splatnosti vzdálenějšího futuritního kontraktu (postup je analogický jako při
interpolačním zajištění)
v) pozměňování beta portfolia
βU
βP
βD
NU
0
N
ND
nulový počet futuritních kontraktů znamená nezajištěné portfolio VO s jeho aktuálním
koeficientem beta β P
zaujetí krátké pozice v N futuritních kontraktech snižuje beta portfolia na nulu
jaká pozice ve futuritních kontraktech snižuje beta portfolia na hodnotu β D a zvyšuje
beta portfolia na hodnotu β U ?
snížení beta:
βP
N
=
βD
N − ND
⇒ N D = (β P − β D ) ×
zvýšení beta: N U = (β U − β P ) ×
V0
vFo
V0
vFo
♦
Kolik futuritních kontaktů je zapotřebí prodat, aby portfolio z předchozího příkladu
vykazovalo jednotkovou korelaci s tržním portfoliem?
N D = (1,15 − 1) ×
1 000 000
= 2,6 =& 3 kontrakty
25 × 2300
♦
43
4. Zajišťování pomocí měnových futurit
nástroj zajišťování kurzového rizika (alternativa k termínovým kontraktům)
♦
Britský investor očekává výplatu dividend z amerických akcií ve výši 3 mil USD a obává se
znehodnocení dolaru (zhodnocení libry)
1. 4.
1. 6.
rozhodnutí o zajištění
příjem USD
strategie: zakoupení šterlinkové měnové futurity (potřeba vydělat na zhodnocení libry)
(zakoupení kontraktu = zakoupení 25 000 £ za dolary při daném kurzu)
S (1.4.) = 1,75 GBP/USD
F (1.4.) = 1,77 GBP/USD (červnový kontrakt)
počet kontraktů:
3 000 000
dolarová hodnota dividend
=
= 69
dolarová hodnota futuritníh o kontraktu 1,75 × 25 000
(dokonalá korelace mezi spotovým a futuritním kurzem)
S (1.6.) = 1,82 GBP/USD (dolar znehodnotil)
F (1.6.) = 1,83 GBP/USD
ztráta na pohotovém trhu:
3 000 000 3 000 000
−
= 65 934 £
1,75
1,82
zisk na termínové burze:
69 × 2,5 (velikost tiku) ×
zajišťovací efektivnost =
1,83 − 1,77
1
×
= 56 868 £
0,0001
1,82
56868
= 82,65 %
65934
5. Zajišťování pomocí dlouhodobých úrokových futurit
vhodné pro zajišťování hodnoty individuální obligace resp. celého portfolia obligací
Vnom … nominální hodnota portfolia obligací
Vtrh … tržní hodnota portfolia obligací
44
PB … tržní cena obligace
F … futuritní cena
Vfut … expozice na futuritním trhu
v
… velkost futuritního kontraktu
n
… počet kontraktů
zajišťovací podmínka: ∆Vtrh = ∆V fut
změna tržní hodnoty obligačního portfolia: ∆Vtrh =
změna futuritní pozice: ∆V fut = n ×
Vnom
× ∆PB
100
v
× ∆F
100
vztah futuritní a spotové ceny:
fyzickým plněním úrokové futurity je dodání CTD obligace, lze proto aplikovat model
držebného
k CTD × F = PCTD × (1 + r − d ) ⇒ ∆PCTD = k CTD × ∆F (odhlédnuto od držebného)
(kCTD … konverzní faktor CTD obligace)
stanovení počtu kontraktů (dosazeno do zajišťovací podmínky) :
n=
Vnom ∆PB Vnom
∆PB
×
=
× k CTD ×
∆F
∆PCTD
v
v
užití durace: ∆PB = − DB × PB ×
∆rB
1 + rB
(DB … durace, rB … výnos do splatnosti)
obdobný vztah platí pro změnu CTD obligace
n=
Vnom
× k CTD × DHR (duration hedge ratio)
v
∆rB
DB × PB
1 + rB
DHR =
=&
∆rCTD
DCTD × PCTD
DCTD × PCTD ×
1 + rCTD
DB × PB ×
(založeno na předpokladu procentuálně paralelního posunu výnosové křivky)