Troj- kalkulačka

Řešený příklad – výpočet těžiště rovinného útvaru
Zadání:
Vypočtěte souřadnice těžiště složeného rovinného útvaru.
Dáno:
a= 100 mm
b= 125 mm
c= 200 mm
r= 75 mm
Vzorce pro výpočet souřadnic těžiště rovinného útvaru:
xT =
yT =
∑ Si .x i
S
∑ Si .y i
S
=
S1 .x1 S 2 .x 2 S n .x n
+
...
, kde i ∈ (1, n )
S
S
S
[mm ]
=
S1 .y 1 S 2 .y 2 S n .y n
+
...
, kde i ∈ (1, n )
S
S
S
[mm ]
- Si resp. S1, S2, … Sn jsou plochy (obsahy) jednotlivých (základních) útvarů
- S je plocha (obsah) složenného rovinného tělěsa
2
[mm ]
2
- yi, xi jsou souřadnice těžišť základních útvarů vůči suřadnému systému x, y
- Sixi a Siyi jsou statické momenty
[mm ]
[mm ]
[mm ]
3
Výpočet obsahu složenného rovinného útvaru:
Obsah můžeme vypočítat pomocí základních geometrických těles a to tak, že uvedenou
součást si rodělíme na obdélník a trojúhelník. Tím získame obsah roviného tělesa bez
1/3
kruhového otvoru. Obsah uvedeného rovinného tělesa vypočteme, že od vypočteného
obsahu odečteme plochu kruhu (otvoru):
S = SObd . + STroj . − S Kruh = b.(a + c ) +
c .(a + c )
200.(100 + 200 )
− π .75 2 =
− π .r 2 = 125.(100 + 200 ) +
2
2
= 49828 ,5 mm 2
Výpočet statických momentů v osách x a y:
Dále přistoupíme k výpočtu celkového statického momentu rovinného tělesa, což je součet
všech statických momentů základních útvarů (náš případ: obdelník, trojhelník a kruh).
Statický moment se vypočte z plochy (obsahu) daného geometrického útvaru a souřadnice
těžiště v jednotlivých osách od zvoleného souřadného systému xy.
Pro náš případ jsou statické momenty v ose x následující:
Pro obdéník:
S xObd . = S1 .x1 = b.(a + c ).x i = b.(a + c ).
b
125
= 125.(100 + 200 ).
= 2343750 mm 3
2
2
Pro trojúhelník:
S xTroj . = S 2 .x 2 =
-
c.(a + c )
c.(a + c ) 
c  200.(100 + 300 ) 
200 
3
.x i =
. b +  =
.125 +
 = 7666666 ,7 mm
2
2
3
2
3 


c
protože těžiště trojúhelníku leží v 1/3.
3
Pro kruh:
(
)
(
) (
)
S xKruh = S3 .x 3 = π .r 2 .x i = π .r 2 .b = π .75 2 .125 = 2208932 ,3 mm 3
Celkový statický moment v ose x vypočteme:
2/3
∑ S i .x i
=S xObd . + S xTroj . − S xKruh = 7801484 ,4 mm 3
- statický moment kruhu odečítáme, protože tento útvar chybí (kruhový otvor).
Obdobným způsobem určíme i celkový statický moment v ose y:
∑ S i .y i
=S yObd . + S yTroj . − S yKruh = b.(a + c ).
(a + c ) + c .(a + c ) .(a ) + (π .r 2 ).a =
2
2
(100 + 200 ) + 200 .(100 + 200 ) .(100 ) + (π .75 2 ).100 = 6857854 ,1mm 3
= 125 .(100 + 200 ).
2
2
Výpočet souřadnic těžiště:
Z vypočtených celkových statických momentů a plochy složeného rovinného útvaru
vypočteme souřadnice těžiště xT a yT.
xT =
yT =
∑ Si .x i
S
∑ Si .y i
S
=
7801484 ,4
= 156 ,57 mm
49828 ,5
=
6857854 ,1
= 137 ,63 mm
49828 ,5
3/3