Dvojný integrál
Transkript
Dvojný integrál - řešené příklady 1 Dvojný integrál - Fubiniho věta 1. Příklad RR Spočtěte xy dxdy, kde Ω = h0, 1i × h1, 2i. Ω Řešení Integrační obor Ω je čtverec, tj. dvojrozměrný interval h0, 1i × h1, 2i. Viz Obrázek 1. Aplikujeme Fubiniho větu. Oblast Ω budeme uvažovat jako oblast typu (y, x). Obrázek 1: Ω = h0, 1i × h1, 2i RR Ω R2 R2 R1 R2 h xy+1 i1 xy dxdy = ( xy dx)dy = dy = y+1 1 0 1 0 1 1 y+1 dy h i2 = ln |y + 1| = ln 3 − ln 2 = ln 32 . 1 V případě, že oblast Ω budeme chápat jako oblast typu (x, y), narazíme při výpočtu na integrál R 1 x2 −x dx, který nelze vyřešit v množině elementárních funkcí. 0 ln x 2. Příklad RR Spočtěte x2 yexy dxdy, kde Ω = h0, 1i × h0, 2i. Ω Řešení Integrační obor Ω je obdélník h0, 1i × h0, 2i. Postupujeme analogicky jako v předchozím příkladu. Aplikujeme Fubiniho větu. Oblast Ω budeme uvažovat jako oblast typu (x, y). Obrázek 2: Ω = h0, 1i × h0, 2i i2 u = x2 y, u0y = x2 R1 h R2 xy 2 xy xy 0 x ye dy dx = = e dy dx = xye − x vy = exy , v = 1 exy 0 0 0 0 0 x Ω i2 h i1 R1 h R1 R1 R1 R1 = (xy − 1)exy dx = (2x − 1)e2x + 1 dx = 2xe2x dx + e2x dx + dx = xe2x − e2x − x = 2. RR x2 yexy dxdy = R1 R 2 0 0 3. Příklad 0 RR Spočtěte 0 0 0 0 xy 2 dxdy, kde Ω je určena vztahy x2 + y 2 − 1 ≤ 0, x + y − 1 ≥ 0. Ω Řešení Integrační obor Ω je ohraničen přímkou a kružnicí. Viz Obrázek 3. Oblast Ω je typu (x, y) √ i (y, x). Zvolme typ (x, y). Platí Ω = {[x, y]; 0 ≤ x ≤ 1, 1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 }. K výpočtu použijeme Fubiniho větu. ! √ √ 1−x RR 2 R1 R 2 2 R1 h 1 3 i 1−x2 R1 x p 2 )3 − (1 − x)3 dx = 1 . xy dxdy = dx = (1 − x xy dy dx = xy 3 20 3 1−x 0 0 1−x 0 Ω p Zvolíme-li typ (y, x), pak Ω = {[x, y]; 0 ≤ y ≤ 1, 1 − y ≤ x ≤ 1 − y 2 }. V tomto případě vede výpočet na jednodušší integrál. √ √ 1−y 2 RR 2 R1 R R1 h 1 2 2 i 1−y2 R1 1 2 xy dxdy = xy dx dy = dx = (y 3 − y 4 )dy = 20 . 2x y Ω 0 1−y RNDr. Jiří Klaška, Dr. 0 1−y 0 ÚM FSI v Brně, 2. 3. 2006 Dvojný integrál - řešené příklady 2 Obrázek 3: Ω : x2 + y 2 − 1 ≤ 0, x + y − 1 ≥ 0 4. Příklad RR Spočtěte y dxdy, kde Ω je určena vztahy x2 − y + 2 = 0, x + y − 4 = 0. Ω Řešení Integrační obor Ω je ohraničen přímkou a parabolou. Viz Obrázek 4. Popišme obor Ω jako oblast typu (x, y). Krajní meze x-ové souřadnice oblasti získáme jako x-ové souřadnice průsečíků přímky a paraboly. Řešíme x2 + 2 = 4 − x. Odtud x2 + x − 2 = 0 a x1 = −2, x2 = 1. Platí Ω = {[x, y]; −2 ≤ x ≤ ≤ 1, x2 + 2 ≤ y ≤ 4 − x}. Obrázek 4: Ω : x2 − y + 2 = 0, x + y − 4 = 0 RR y dxdy = R1 R 4−x x2 +2 −2 Ω 5. Příklad RR Spočtěte R1 R1 h 1 2 i4−x dx = y dy dx = 2y 2 x +2 −2 −2 1 2 (4 − x)2 − (x2 + 2)2 dx = 81 5 . xy dxdy, kde Ω je určena vztahy xy = 1, 2x + 2y − 5 = 0. Ω Řešení Integrační obor Ω je ohraničen přímkou a hyperbolou. Viz Obrázek 5. Popišme obor Ω jako oblast typu (x, y). Krajní meze x-ové získáme jako x-ové souřadnice průse souřadnice oblasti 5 2 číků přímky a hyperboly. Řešíme x − x = 1. Odtud 2x − 5x + 2 = 0 a x1 = 12 , x2 = 2. Platí 2 Ω = [x, y]; 12 ≤ x ≤ ≤ 2, x1 ≤ y ≤ 52 − x . Obrázek 5: Ω : xy = 1, 2x + 2y − 5 = 0 RR Ω xy dxdy = R2 5 2 −x 1 2 RNDr. Jiří Klaška, Dr. R 1 x ! xy dy dx = R2 h 1 1 2 2 2 xy i 52 −x 1 x dx = 1 2 R2 1 2 x( 52 − x) − 1 x dx = 165 128 − ln 2. ÚM FSI v Brně, 2. 3. 2006 Dvojný integrál - řešené příklady 6. Příklad RR Spočtěte 3 x e y dxdy, kde Ω je určena vztahy x = 0, y = 1, y = 2, y 2 = x. Ω Řešení Integrační obor Ω je ohraničen přímkou a parabolou. Viz Obrázek 6. Popišme obor Ω jako oblast typu (y, x). Platí Ω = {[x, y]; 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ y ≤ y 2 }. Obrázek 6: Ω : x = 0, y = 1, y = 2, y 2 = x RR x y e dxdy = Ω 7. Příklad ! 2 R2 Ry 1 0 x y e dx dy = R2 h x ye y iy 2 0 1 Spočtěte dy = R2 1 h i2 (yey − y) dy = yey − ey − 12 y 2 = e2 − 32 . 1 RR x dxdy, kde Ω je určena vztahy 1 ≤ x ≤ y ≤ 3. 2 Ω y Řešení Integrační obor Ω je ohraničen třemi přímkami. Viz Obrázek 7. Popišme obor Ω jako oblast obou typů. Pro typ (x, y) platí Ω = {[x, y]; 1 ≤ x ≤ 3, x ≤ y ≤ 3} a pro typ (y, x) platí Ω = = {[x, y]; 1 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ x ≤ y}. Výpočet provedeme pro oba typy. Obrázek 7: Ω : 1 ≤ x ≤ y ≤ 3 RR Ω RR Ω x y 2 dxdy x y 2 dxdy 8. Příklad = = R3 R3 1 x R3 Ry 1 1 x y 2 dy dx = 1 x y 2 dx Spočtěte R3 h dy = R3 h 1 − xy x2 2y 2 i3 dx = x iy 1 R3 1− 1 dy = 1 2 R3 1 x 3 1− h dx = x − 1 y2 dy = 1 2 x2 6 h i3 1 y+ = 23 . 1 y i3 1 = 23 . RR x2 dxdy, kde Ω je určena vztahy x = 2, y = x, xy = 1. 2 Ω y Řešení Integrační obor Ω je ohraničen dvěma přímkami a hyperbolou. Viz Obrázek 8. Popišme obor Ω jako oblast typu (x, y). Platí Ω = {[x, y]; 1 ≤ x ≤ 2, x1 ≤ y ≤ x}. Obrázek 8: Ω : x = 2, y = x, xy = 1 RNDr. Jiří Klaška, Dr. ÚM FSI v Brně, 2. 3. 2006 Dvojný integrál - řešené příklady RR Ω x2 y 2 dxdy 9. Příklad = R2 Rx x2 1 1 x y2 Spočtěte 4 i2 h R2 h 2 ix R2 3 dy dx = − xy 1 dx = x − x dx = 14 x4 − 12 x2 = 94 . 1 1 1 x dxdy, kde Ω je určena vztahy x + y = 4, x + y = 12, y 2 = 2x. RR Ω Řešení Integrační obor Ω je ohraničen dvěma přímkami a parabolou. Viz Obrázek 9. Je zřejmé, že obor Ω je nutné rozdělit na dvě části Ω1 a Ω2 tak, že √ Ω = Ω1 ∪Ω2 . Oblasti Ω1 , Ω2 popíšeme √ jako oblasti typu (x, y). Platí Ω1 = {[x, y]; 0 ≤ x ≤ 8, 4 − x ≤ y ≤ 2x} a Ω2 = {[x, y]; 8 ≤ x ≤ 18, − 2x ≤ y ≤ 12 − x}. Obrázek 9: Ω : x + y = 4, x + y = 12, y 2 = 2x RR dxdy = Ω − x + 12)dx RR dxdy + Ω1 = 74 3 10. Příklad RR dxdy = 0 Ω2 + 122 3 R8 √ R2x ! dy dx + 4−x R18 12−x R 8 √ − 2x ! R18 √ R8 √ dy dx = ( 2x + x − 4)dx + ( 2x − 0 8 = 62. RR Spočtěte sin y 2 dxdy, kde Ω je určena body A = [0, 0], B = [9, 3], C = [1, 3]. Ω Řešení Integrační obor Ω je ohraničen přímkami. Viz Obrázek 10. Obor Ω popíšeme jako oblast 1 typu (y, x). Platí Ω = {[x, R y]; 02 ≤ y ≤ 3, 3 y ≤ x ≤ 3y}. Volba typu (x, y) vede k rozdělení oblasti na dvě části a navíc k integálu sin y dy. Tento integrál nelze vyřešit nad množinou elementárních funkcí. Obrázek 10: Ω : A = [0, 0], B = [9, 3], C = [1, 3] RR 2 cos y dxdy = Ω = R9 4 3 0 cos tdt = 4 3 h R3 R3y 0 y 3 sin t i9 RNDr. Jiří Klaška, Dr. 0 ! 2 cos y dx dy = R3 h 0 = 4 3 x cos y 2 i3y y 3 dy = 4 3 R3 0 t = y2 2y cos y dy = 0 → 0, 3 → 9 2 = sin 9. ÚM FSI v Brně, 2. 3. 2006
Podobné dokumenty
Stáhnout
Trubková otopná tělesa KORALUX jsou určena především
k vytápění koupelen, WC, kuchyní, obytných místností,
kanceláří, vstupních a komunikačních prostor v obytných
i veřejných budovách. Moderní kons...
Otázka
Náčrtek jednotkové koule v prvních čtyřech dimenzích :-).
Užijeme-li projekci do prostoru o jednu dimenzi menšího, tak náčrtek jednotkových koulí
může vypadat např. takto:
> with(plots):
Jednorozmě...
trubková otopná tělesa
Trubková otopná tělesa KORALUX jsou určena především
k vytápění koupelen, WC, kuchyní, obytných místností,
kanceláří, vstupních a komunikačních prostor v obytných
i veřejných budovách. Moderní kons...
23 Neorientovaný plošný integrál
Přı́klad
RR
Vypočtěte integrál Γ z dS, kde Γ je stejně jako v přı́kladu 22.12 část šroubového konoidu
x = t cos s, y = t sin s, z = s pro 0 ≤ t ≤ 1 a 0 ≤ s ≤ 2π.
MA2
x - OK1TEH
Odtud již plyne vztah (x, y) ≤ kxk2 kyk2 , z něhož získáme po odmocnění Schwarzovu nerovnost.
Povšimněte si, že rovnost nastává pouze tehdy, když x = λy nebo když je y = 0,
tj. právě tehdy, když ...
Studijní text - MATEMATIKA online
Základní metodický postup je následující. Funkce, jejíž limitu v daném bodě máme počítat, má tvar zlomku.
Určíme nejprve limitu čitatele a limitu jmenovatele. Tyto limity často zjistíme pouhým dosa...