Ackermannův vzorec

1
Důkazy Ackermannova vzorce
Rady studentům:
•
•
•
Důkaz 1 je trochu zdlouhavý, ale přirozený. Tak byste při odvození postupovali, kdybyste
vzorec předem neznali.
Důkaz 2 je krátký, ale je založen na triku, na který byste předem (bez znalosti výsledku)
nepřišli. Jakmile ho ale použijete, hledaný vzorek se zázračně „vyloupne.“
Důkaz 3 vyžaduje předchozí znalosti matematiky a teorie systémů, které dosud nemáte.
Důkaz 1- Konstruktivní pomocí transformace, podle Franklina, Apendix E, p. 853)
x Ax + Bu hledáme stavovou zpětnou vazbu u = −Kx takovou, aby výsledný
Pro soustavu=
s ) det ( sI − A + BK ) .
charakteristický polynom uzavřené smyčky byl c(=
a) Obecná transformace stavu x do nového stavu x je dána vztahem x = Tx s nesingulární maticí T
. Při ní se stavové rovnice změní následovně
x = Tx = Ax + Bu = ATx + Bu
x =
T-1 ATx + T-1Bu =
Ax + Bu
Pokud známe staré a nové matice, ale ne matici transformační, můžeme ji vypočítat pomocí matic
řiditelnosti
Cx = B AB  A n −1B 
Cx = B AB  A n −1B 
které jsou spojeny vztahem
Cx
B AB  A n −1B  =
B AB  A n −1B   T-1B T-1 ATT-1B  T-1 A n −1TT-1B 
=
-1
-1
-1
n −1
T-1 AB  T-1 A n −1B  T=
T B =
B AB  A B  T Cx
z čehož plyne, že nesingulární T nemění hodnost matice řiditelnosti a tedy řiditelnost systému a dále
T = Cx Cx−1
b) Ve speciálním případě převodu systému do kanonického tvaru řiditelnosti mají matice zvláštní
strukturu, což ukážeme na systému 3. řádu s charakteristickým polynomem
ac ( s ) =s 3 + a1s 2 + a2 s + a1 :
(1.1)
 − a1 − a2 − a3 
 1
A A=
B B=
=
0
0  , =
c
c

 0
1
0 
1 −a1 a 21 −a2 


C=
C=
−a1 
x
c
0 1
0 0
1 

2
1 
0
 
0 
T = Cx Cc−1
(1.2)
tedy matice řiditelnosti v normálním tvaru řiditelnosti je horní trojúhelníková s jedničkami na hlavní
diagonále. Tedy má plnou hodnost a z toho plyne, že systém lze do tohoto tvaru převést právě, když
je úplně řiditelný. Pro zajímavost je
1 a1
C = 0 1
0 0
−1
c
a2 
a1 
1 
tedy horní trojúhelníkoví Toeplitzova matice s prvním řádkem vazbu [1 a1
a2 ] .
c) Pro systém v kanonickém tvaru řiditelnosti je návrh stavové ZV snadný. Výsledná stavová matice
uzavřené smyčky je A new,=
A c − B c K c a má charakteristický polynom (stále pro 3. řád)
c
s 3 + ( a1 + kc1 ) s 2 + ( a2 + kc 2 ) s + ( a3 + kc 3 )
Označíme-li požadovaný výsledný charakteristický polynom uzavřené smyčky
cCL ( s ) =s 3 + c1s 2 + c2 s + c3
pak z porovnání koeficientů u jednotlivých mocnin plyne
a1 + kc1= c1 , a2 + kc 2= c2 , a3 + kc 3= c3
nebo vektorově
a + Kc =
c
d) Nyní najdeme vztahy mezi koeficienty charakteristických polynomů a maticí A. Podle CayleyHamiltonovy věty každá čtvercová matice vyhovuje své charakteristické rovnici. Pro matici A c to
znamená
A cn + a1A cn −1 +  + an −1A c + an I =
0
z čehož
A cn =
−a1A cn −1 −  − an −1A c − an I .
3
Nyní dosaďme matici do charakteristického polynomu uzavřené smyčky
cCL ( A c ) = A cn + c1A cn −1 +  + cn −1A c + cn I
a v tom dosaďme z předchozího za nejvyšší mocninu matice A c
cCL ( A c ) = ( −a1 + c1 ) A cn −1 +  + ( −an −1 + an −1 ) A c + ( −an + cn ) I
(1.3)
e) Dále ukážeme, že matice A c má díky své struktuře zajímavou vlastnost "posunutí" :
=
když označíme en
 0 1] , en −1 [ 0
[0=
 0 1 0] atd., pak zřejmě
 0 1 0] en −1
[0=
 0 1 0] A c en − 2
[0=
=
en A c
=
( en A c ) A c

=
en A
0  0] e1
[1=
n −1
c
Když tedy přenásobíme vztah (1.3) en = [ 0  0 1] , dostaneme
en cCL ( A c ) = ( −a1 + c1 ) e1 +  + ( −an −1 + cn −1 ) en −1 + ( −an + cn ) en
=
kc1 kc 2  kcn ]
[=
Kc
f) Nyní máme kompaktní řešení, ale v kanonickém tvaru řiditelnosti. Musíme proto naše K c převést
na hledané K v původních souřadnicích. Jestliže u = −K c x c , tak u = −K c T −1x a
−1
=
en cCL ( A c )T−1
K K=
cT
= en cCL (T−1AT)T−1
= en T−1cCL ( A)
(
kde jsme použili fakt, že T −1AT
)
k
= T−1A k T . Nyní dosadíme za transformační matici ze (1.2)
T = Cx Cc−1 :
K = enCc Cx−1cCL ( A)
Ze zvláštního tvaru matice Cc plyne, že její poslední řádek, tedy en Cc se rovná en . Z toho konečně
dostáváme Ackermannův vzorec
K = enCx−1cCL ( A)
Numerická poznámka:
Raději se vyhneme invertování matice řiditelnosti. Uděláme to tak, že řešením soustavy rovnic
ZCx = en vypočteme rovnou Z = enCx−1 a pak stavovou ZV dostaneme přímo z
K = ZcCL ( A) .
4
5
Důkaz 2 – Odvození Ackermannova vzorce pro n=3 podle Ogaty (1997, kap. 12).
Pro soustavu=
x Ax + Bu hledáme stavovou zpětnou vazbu u = −Kx takovou, aby výsledný
charakteristický polynom uzavřené smyčky byl
c(=
s ) det ( sI − A + BK )
kde
c( s ) = s n + cn −1s n −1 +  + c1s + c0
je dáno.
Pro zjednodušení výrazů označíme
A new= A − BK
(1)
c( s ) det ( sI − A new ) a charakteristická rovnice je
takže CL charakteristický polynom je=
c(=
s ) det ( sI − H
=
) det ( sI − A + BK=) 0
Podle Cayley- Hamiltonovy věty z lineární algebry každá matice vyhovuje své charakteristické rovnici,
takže když dosadíme do c( s ) za s A new tak platí
−1
+  + A new s + c0 I= 0
c( A new )= A nnew + cn −1A nnew
(2)
Dále budeme pokračovat pro zvláštní případ n = 3 , což zjednoduší výrazy, ale zachová myšlenku
důkazu. Proto má (2) tvar
c( A new ) = A 3new + c2 A 2new + A new s + c0 I = 0,
n= 3
(3)
Abychom mohli ve (3) dosadit z definice za A new , nejprve si vypočteme potřebné mocniny
A 2new =
A 2 − ABK − BKA + ( BK )
( A − BK ) =
2
2
Na pravé straně, protože se to bude později hodit, znovu vytkneme BK a dosadíme A new
A 2new =
A 2 − ABK − BKA new
( A − BK ) =
2
(4)
Podobně, po troše počítání, dostaneme
A 3new =
A 2 − A 2 BK − ABKA new − BKA 2new
( A − BK ) =
3
(5)
Nyní už můžeme dosadit (1), (4) a (5) do (3)
(A
2
− A 2 BK − ABKA new − BKA 2new ) + c2 ( A 2 − ABK − BKA new ) + c1A new ( A − BK ) + c0 I =
0
Což, po úpravě, dává
(A
3
+ c2 A 2 + As + c0 I ) − c2 ( ABK − BKA new ) − c1 ( BK ) − ( A 2 BK − ABKA new − BKA 2new ) =
0
Člen v první závorce můžeme zkráceně napsat jako 1
c( A) = A 3 + c2 A 2 + As + c0 I
(6)
Když to dosadíme do předchozího vztahu, ostatní členy převedeme zleva doprava a seřadíme je tak,
aby měly vedoucí koeficienty B, BA atd., dostáváme
2
c( A) =B ( c1K + c2 KA new + KA new
) + AB ( c2K + KA new ) + A 2BK
Tuhle rovnici můžeme také napsat maticově jako
2
c1K + c2 KA new + KA new



2
=
c( A) B AB A B  
c2 K + KA new



K


Levá matice na pravé straně je zřejmě matice řiditelnosti soustavy. Protože Ackermannův vzorec platí
jen pro úplně řiditelné soustavy, je matice řiditelnosti invertovatelná a výraz můžeme upravit na
2
c1K + c2 KA new + KA new

−1


2


K
+
KA
=
B
AB
A
B
c
2
new

 
 c( A)


K


Konečně přenásobíme rovnost zleva vektorem [ 0
0 1] , čímž extrahujeme hledané K
−1
K = [ 0 0 1] B AB A 2 B  c( A)
(6)
Což je zřejmě Ackermannův vzorec ve zvláštním případě n = 3 .
Odvození pro obecné n , bychom provedli obdobně.
1
Pozor, uvědomte si, že vytkneme
nikoli matice
A!
c( A) ≠ 0 , protože c( x) je charakteristickým polynomem matice A new a
6
Další poznámky - Matice řiditelnosti v normálním tvaru řiditelnosti:
Pro 4. řád je:
>> Ac=[-a1 -a2 -a3 -a4;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0], Bc=[1;0;0;0]
Ac =
[ -a1, -a2, -a3, -a4]
[
1,
0,
0,
0]
[
0,
1,
0,
0]
[
0,
0,
1,
0]
Bc =
1
0
0
0
>> Cc=[Bc Ac*Bc Ac^2*Bc Ac^3*Bc]
Cc =
[ 1, -a1, a1^2 - a2, a1*a2 - a3 + a1*(a2 - a1^2)]
[ 0,
1,
-a1,
a1^2 - a2]
[ 0,
0,
1,
-a1]
[ 0,
0,
0,
1]
>> inv(Cc)
ans =
[ 1, a1, a2, a3]
[ 0, 1, a1, a2]
[ 0, 0, 1, a1]
[ 0, 0, 0,
1]
Pro 5. řád
>> Ac=[-a1 -a2 -a3 -a4 -a5;1 0 0 0 0;0 1 0 0 0;0 0 1 0 0; 0 0 0 1 0],
Bc=[1;0;0;0; 0]
Ac =
[ -a1, -a2, -a3, -a4, -a5]
[
1,
0,
0,
0,
0]
[
0,
1,
0,
0,
0]
[
0,
0,
1,
0,
0]
[
0,
0,
0,
1,
0]
Bc =
1
0
0
0
0
>> Cc=[Bc Ac*Bc Ac^2*Bc Ac^3*Bc Ac^4*Bc]
Cc =
[ 1,-a1,a1^2-a2,a1*a2-a3+a1*(a2-a1^2),a1*a3-a4+a2*(a2-a1^2)- a1*(a1*a2 - a3 + a1*(a2 - a1^2))]
[ 0, 1,
-a1,
a1^2 - a2,
a1*a2 - a3 + a1*(a2 - a1^2)]
[ 0, 0,
1,
-a1,
a1^2 - a2]
7
[ 0, 0,
[ 0, 0,
0,
0,
>> inv(Cc)
ans =
[ 1, a1, a2, a3, a4]
[ 0, 1, a1, a2, a3]
[ 0, 0, 1, a1, a2]
[ 0, 0, 0, 1, a1]
[ 0, 0, 0, 0, 1]
1,
0,
-a1]
1]
8
9
Důkaz 3 - Matematický, podle Kailatha s. 198 a dále
a) Vztah mezi OL a CL charakteristickými polynomy
aCL=
( s ) det ( sI − A + BK )
{
(
= det ( sI − A ) I + ( sI − A ) BK
−1
(
)}
= det ( sI − A ) det I + ( sI − A ) BK
(
−1
= aOL ( s ) det 1 + K ( sI − A ) B
(
−1
= aOL ( s ) 1 + K ( sI − A ) B
−1
)
)
)
, kde naposledy byl požit maticový vztah obecně pro obdélníkové matice P rozměrů n × m a Q
rozměrů m × n , že det ( I n − PQ )= det ( I m − QP ) , v našem případě pro m = 1 to je
det ( I n − PQ ) = det (1 − QP ) .
Z předchozího tedy plyne pro oba charakteristické polynomy
( s ) aOL ( s ) K ( sI − A ) B
aCL ( s ) − aOL=
−1
b) Z předchozího vztahu můžeme určit K porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin obou
polynomů. Předtím ještě použijeme jeden ze "vztahů pro resolventy" (lze dokázat přenásobením
( sI − A) )
adj ( sI − A )= Is n −1 + ( A + a1 I ) s n − 2 +  + ( An −1 + a1 An − 2 +  + an −1I )
tedy
− A)
( sI =
−1
1
 Is n −1 + ( A + a1 I ) s n − 2 +  + ( An −1 + a1 An − 2 +  + an −1I ) 

a( s) 
označíme-li
aOL ( s ) = s n + a1s n −1 +  + an , aCL ( s ) = s n + α1s n −1 +  + α n
dostaneme porovnáním koeficientů polynomů výše
a1 − α1 =
KB
a2 − α 2 = kAB + a1 KB
a3 − α 3= kA2 B + a1 KAB + a2 KB

což můžeme napsat v kompaktním tvaru
10
a −α =
KCA−T
(1.4)
kde
a
a1 a2  an ] , α [α=
α 2  α n ] ,C
[=
1
 B
AB  An −1 B 
a A− je dolní trojúhelníková Toeplitzova matice s prvním sloupcem [1 a1  an −1 ] .
T
Protože je A− vždy nesingulární, má rovnice (1.1) řešení pro libovolná a, α právě když C je
nesingulární.
Pak můžeme stavovou ZV vypočítat z (Bass-Gurova) vzorce
K=
( a − α ) A−−TC −1
c) Nyní z Bass-Gurova vzorce odvodíme Ackermannův vzorec
K = qn′ aCL ( A) ,
kde aCL ( s ) je požadovaný CL charakteristický polynom a
qn′ = [ 0  0 1]C −1
je poslední řádek matice C
−1
Pokud by soustava byla v kanonickém tvaru řiditelnosti, měl by Ackermannův vzorec tvar
K C = ε − a = qc′,nα ( AC )
tedy poslední řádek matice
α ( AC )
(1.5)