v , ρ dv dt

Lagrangeovský model ve 2D
• Eulerovy rovnice ve 2D v Lagrageovských souřadnicı́ch
1 dρ
= −∇ · v,
ρ dt
dv
ρ
= −∇ · p,
dt
de
ρ
= −p ∇ · v
dt
• diskretizace v uzlech a buňkách, sı́la zonálnı́, subzonálnı́ a
viskóznı́
• Lagrangeovská sı́t’ se pohybuje s tekutinou
• hmota neteče přes hranice buněk
• pohyblivá sı́t’ může degenerovat .
1
Metoda ALE – Arbitrary Lagrangian Eulerian method
• kombinuje Lagrangeovský a Eulerovský přı́stup
1. Lagrangeovský výpočet – několik kroků, nebo dokud se
nezhoršı́ kvalita výpočetnı́ sı́tě
2. rezónovánı́ – vyhlazenı́, zlepšenı́ kvality výpočetnı́ sı́tě
3. remapovánı́ – konzervativnı́ interpolace zachovávajı́cı́ch
se veličin ze staré sı́tě na novou
Rezónovánı́
• vyhlazenı́ průměrovánı́m
• Winslowovo vyhlazenı́
1
k
k
k
k
k
k
xk+1
=
(x
+
x
)
+
γ
(x
+
x
α
i,j+1
i,j−1
i+1,j
i−1,j )
i,j
2 (αk + γ k )
1 k k
k
k
k
− β (xi+1,j+1 − xi−1,j+1 + xi−1,j−1 − xi+1,j−1) ,
2
kde koeficienty αk = x2ξ + yξ2, β k = xξ xη + yξ yη , γ k = x2η + yη2,
a kde (ξ, η) jsou logické souřadnice
• rozmotánı́ (untangling) degenerované sı́tě
2
Remapovánı́
• Dáno:
– dvě sı́tě: Lagrangeovská - {C}, a vyhlazená {C̃}
– střednı́ hodnoty zahovávajı́cı́ch se veličin g(r), r = (x, y) v Lagrangeovských buňkách (např., g = ρ, g = ρ u, g = ρ ε +
R
g(r) dV
Z
mC
=
, mC ≡ g(r) dV .
gC = C
V (C)
V (C)
C
– celková hmota (hybnost, energie)
Z
XZ
X
M ≡ g(r) dV =
g(r) dV =
mC .
∀C C
Ω
∀C
• je třeba najı́t střednı́ hodnoty v rezónovaných buňkách:
m̃∗
∗
g̃C̃ = V C̃C̃
( )
– přesnost:
Z
m̃∗C̃ ≈ m̃C̃ = g(r) dV
C̃
– zachovánı́ mezı́:
gCmax ≥ g̃C̃∗ ≥ gCmin ,
gCmax = max gk , gCmin = min gk
k∈C(C)
3
k∈C(C)
– konzervativita:
X
m̃∗C̃ = M
∀C
– zachovánı́ lineárnı́ch funkcı́:
Z
m̃∗C̃ = m̃C̃ = g(r) dV ,
If g(r) = a + b x + c y
C̃
• lineárnı́ rekonstrukce funkce v každé původnı́ buňce, s limitry nebo bez limitrů
• přesná integrace vyžaduje výpočet průniků všech buněk velmi pomalé
• přibližná integrace přes oblasti opsané pohybujı́cı́ se hranou
~
P
i+1,j+1
~
P
i.j+1
Pi,j+1
Pi+1,j+1
Pi+1,j
Pi,j
~
P
~
P
i+1,j
i,j
• konzervativnı́ oprava pro zachovánı́ mezı́
4
Rayleigh-Taylorova nestabilita
Lagr., M F = 1.0 Lagr., M F = 0.1 ALE, M F = 0.1
5
Náraz disku do terčı́ku
• Problem parameters similar to a part of the experiment
performed on the PALS laser facility [Borodziuk et al.
(2003)].
• Laser-massive target interaction, crater evolved.
• Disc impact – laser-irradiated Aluminum disc ablatively
accelerates up to 54 km/s (for 250 J laser beam) and
strikes to massive Aluminum target. Impacting disc density
(0.7 g/cm3) estimated from 1D simulation. The disc starts
to sink into the target.
• Simulation starts in the moment of the impact. Lagrangian
simulation fails very soon, ALE grid smooth.
• Density colormap of initial grid and Lagrangian and ALE
grid in time 0.5 ns.
Laser
d Aluminum disc
v
r
Massive target
initial
Lagr
6
ALE
• After impact – both the massive target and the disc start
to raise their temperature, shock wave is formed that propagates into the target and causes heating, melting and
evaporation of the target material.
• Colormap of internal energy increase shows the formed
crater shape after 30 ns.
• Computational grid is still smooth, computation can continue.
• Crater size and shape corresponds approximately to the
experiment.
solid fluid
gas
7
450
400
350
Y [µm]
300
250
200
150
100
50
−500
−400
−300
−200
−100
X [µm]
8
0
100
200