modelování kvantových - Katedra fyzikální elektroniky

Transkript

MODELOVÁNÍ
KVANTOVÝCH
NANOSTRUKTUR
VÝZKUMNÝ ÚKOL PRO INŽENÝRSKÉ STUDIUM
AUTOR PRÁCE
BARBORA MOTTLOVÁ
VEDOUCÍ ÚKOLU
ING. DR. IVAN RICHTER
KONZULTANT
ING. ANTON FOJTÍK, CSC., PROF. ING. PAVEL FIALA, CSC.
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE | FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INžENÝRSKÁ | KATEDRA FYZIKÁLNÍ ELEKTRONIKY | 2005
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská
KATEDRA FYZIKÁLNÍ ELEKTRONIKY
V Holešovičkách 2, 180 00 Praha 8, tel. 2 2191 2270, fax: 2 8468 4818
VÝZKUMNÝ ÚKOL
PRO INŽENÝRSKÉ STUDIUM
Student: Barbora Mottlová
Obor: Fyzikální inženýrství
Zaměření: Fyzikální elektronika
Školní rok: 2004/2005
Téma úkolu: Modelování kvantových nanostruktur
Vedoucí úkolu: Ing. Dr. Ivan Richter
Konzultant: Ing. Anton Fojtík, CSc., Prof. Ing. Pavel Fiala, CSc.
Pokyny pro vypracování:
1. Na základě vypracované rešeršní práce a dalšího studia problematiky kvantových nanostruktur
důkladněji rozeberte a analyzujte jejich vlastnosti, zejména optické. Zaměřte se přitom zejména
na struktury typu polovodičových kvantových teček, poskytující maximální efekt lokalizace, a
způsoby jejich popisu.
2. Zaměřte se dále na základní rozbor využití sledovaných kvantových nanostruktur ve
fotonických strukturách, např. typu fotonických krystalů, respektive struktur fotorefraktivních.
3. V dalším proveďte rozbor matematických a numerických modelů pro analýzu chování
takovýchto struktur.
4. Na základě rozboru se pokuste o praktickou počítačovou implementaci zvolených simulačních
metod, v jejich základní variantě, se zaměřením na modelování základních vlastností struktur.
Pokuste se též srovnání s jinými dostupnými modely, které budou případně k dispozici.
Literatura:
∗. A. Y. Shik, Quantum Wells: Physics & electronics of two-dimensional systems (World Scientific Pub.
Co. 1997).
∗. P. Harrison, Quantum wells, wires and dots: theoretical and computational physics (John Wiley &
Sons, 2000).
∗. C. P. Poole, Jr., F. J. Owens, Introduction to nanotechnology (Wiley Interscience, John Wiley & Sons,
Hoboken, 2003).
∗. M. Grundmann, Nano-optoelectronics (Springer Verlag, Berlin, 2002).
∗. P. N. Prasad, Nanophotonics, (Wiley Interscience, John Wiley & Sons, 2004).
∗. Odborné články podle doporučení vedoucího úkolu, konzultanta i vlastní, zejména z periodik: Physical
Review Letters, Physical Review, JOSA A,B, Applied Optics, Optik, Optics Communications, IEEE
série, SPIE Proceedings atd.
Datum zadání: říjen 2004
Datum odevzdání: září 2005
........................................................
vedoucí katedry fyzikální elektroniky
Prohlašuji, že jsem předloženou práci vypracovala samostatně a že jsem uvedla veškerou
použitou literaturu.
Praha, 2.1.2006
Barbora Mottlová
Obsah
1 Úvod
2 Základní pojmy
2.1 Bravaisova mřížka . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Reciproká mřížka . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Blochovy funkce . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Energetické pásy a Brillouinova zóna . . . .
2.5 Nízkodimenzionální kvantové nanostruktury
2.6 Hustota stavů . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
7
7
8
9
10
11
12
3 Aproximace efektivní hmotností
3.1 Model jednoho páru elektron-díra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Dvoudimenzionální struktura - kvantová jáma . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Jednodimenzionální struktura - kvantový drát s pravoúhlou základnou
3.1.3 Jednodimenzionální struktura - kvantový drát s kruhovou základnou .
3.1.4 Nuladimenzionální struktura - kubické kvantová tečka . . . . . . . . .
3.1.5 Nuladimenzionální struktura - sférická kvantová tečka . . . . . . . . .
3.2 Nespojitost efektivní hmotnosti na hranici struktury . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Zahrnutí Coulombovské interakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Srovnání s experimentem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Další možnosti zpřesňování modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Směšování stavů děr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Model dvou párů elektron-díra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
16
23
28
33
37
43
44
47
48
48
48
4 Modelování optických vlastností
4.1 Optické přechody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Homogenní a nehomogenní rozšíření . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Optické vlastnosti plynoucí z absorpčního koeficientu . . . . . . . . . . . . . .
55
55
56
59
5 Ostatní modely elektronové struktury
5.1 Empirická pseudopotenciální metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Metoda těsné vazby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Hartreeho-Fockova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
60
62
63
6 Praktická implementace modelování vlastností kvantových nanostruktur
6.1 Konvergence metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Použité konstanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
65
66
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
OBSAH
3
7 Možné aplikace kvantových nanostruktur
7.1 Polovodičové nanokrystaly ve fotonicky omezených strukturách . . . . . . . .
7.2 Kvantové tečky ve fotorefraktivních strukturách . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
68
69
8 Závěr
71
Kapitola 1
Úvod
Ještě v polovině minulého století nebylo zřejmé, že bychom mohli ovládat hmotu na atomární
či molekulární úrovni. Převládala především Schrödingerova představa, že atomy nelze přesně
v prostoru lokalizovat, protože „atomy nelze pokládat za individuality, které lze identifikovatÿ.
O něco později Heisenberg doplnil, že atomy „ jsou forma potenciality či možnosti, spíše než
jedna z věcí nebo skutečnostiÿ. Ve světle těchto prohlášení byla většina vědců přesvědčena o
praktické nemožnosti využívat atomy záměrně jako stavební jednotky prakticky použitelných
zařízení.
Koncem padesátých let 20. století se však našli jednotlivci, kteří předpověděli možnost
konstrukce zařízení o molekulárních rozměrech, tak jak to od pradávna dělá příroda. Pravděpodobně prvním byl von Hippel, elektroinženýr z Massachussets Institute of Technology,
který zavedl pojem „molekulární inženýrstvíÿ a poté fyzik R. Feynman, nositel Nobelovy ceny
za fyziku, který v roce 1959 svojí legendární přednáškou „There’s Plenty Room at the Bottomÿ , přednesenou na výročním zasedání American Physical Society v Pasadeně, upozornil
na možnost manipulace s objekty o nepatrných rozměrech. Hovořil tehdy o mikrotechnologii.
Řekl: „ Zákony fyziky, jak mohu posoudit, nejsou proti možnosti manipulovat s věcmi atom
po atomu. Není to pokus porušit žádný zákon, je to něco, co může být v zásadě udělánoÿ .
Uplynulo přibližně dvacet let, kdy na uvedené průkopníky navázal K. E. Dexler, který
uveřejnil článek o molekulárním inženýrství a upozornil na možnost použít jako základní
stavební kameny proteiny. Jelikož molekuly mají rozměry řádově v nanometrech, vžil se postupně pro molekulární inženýrství či molekulární technologie termín nanotechnologie, který
jako první použil v roce 1974 Taniguchi ve zcela jiné technické oblasti, když popisoval výrobní způsoby a měřící techniku, při kterých je možné dosáhnout přesnost výroby součástí v
nanometrech.
Souběžně s uvedenými úvahami probíhaly v druhé polovině 20. století s rostoucí intenzitou výzkumné práce zaměřené na poznání vlastností základních prvků hmoty a jevů, které
se na atomové a molekulární úrovni projevují, které mj. prokázaly, že atomy jsou dostatečně
robustní, takže je můžeme izolovat, počítat, pozorovat a manipulovat s nimi. Výzkumné práce
se orientovaly na poznání způsobů, jak konstruuje struktury příroda a jak se chovají biologické entity o rozměrech na úrovni molekul. V osmdesátých letech bylo postupně rozvinuto
zkoumání možnosti syntézy a vlastností částic krystalů, povrchů atd. o rozměrech řádově v
nanometrech. Průlomovou událostí bylo vynalezení nových přístrojů, umožňující nejen pozorování, ale i manipulaci s jednotlivými atomy a molekulami (rastrovací tunelovací mikroskop,
mikroskop atomárních sil). Strojní inženýři započali obrábět povrchy s nanometrickou přes-
1. Úvod
5
ností a výroba čipů velké integrace se začala blížit rozměrům 100 nm. Zrodil se nový interdisciplinární obor - nanotechnologie, který má způsobit novou průmyslovou a sociální revoluci.
Tento výzkumný úkol mapuje možnosti fyzikálního popisu unikátních elektronických a
optických vlastností kvantově omezených struktur a je první sondou tohoto druhu na KFE
FJFI. Fyzikální modely, které dokáží popsat optoelektronické vlastnosti kvantových struktur
na rozličných úrovních aproximace, jsou stále předmětem výzkumu na mnohých vědeckých
pracovištím na celém světě. Cílem této práce byl rozbor vlastností kvantových nanostruktur, možných aplikací pro fotoniku, matematických a numerických modelů pro chování těchto
struktur. Já jsem svoji práci zaměřila zejména na metodu aproximace efektivní hmotností (effective mass aproximation - EMA), která je široce používanou metodou a v mnohých případech
je dostatečným popisem. Praktickou částí mé práce byla implementace v programu MATLAB,
výroba softwarového nástroje na výpočet energetického spektra a optických vlastností kvantových nanostruktur s různým stupněm prostorového omezení a geometrie. Dosažené teoretické
výsledky jsem srovnala s experimenty.
Zvolená struktura práce je následující:
Druhá kapitola shrnuje důležité pojmy ve fyzice pevných látek, související s polovodičovými nízkodimenzionálními strukturami. Vysvětluje také základní pojmy, objevující se u
struktur o velikosti nanometrů, nízkodimenzionálních polovodičových struktur (tzv. nanostruktur) - kvantových jam (quantum wells - QW), kvantových drátů (quantum wires - Qwi)
a kvantových teček (quantum dots - QD) a objasňuje tzv. kvantově velikostní efekt.
Následující kapitola se věnuje fyzikálními popisu struktur EMA. Model, který uvažuje
pouze jeden neinteragující pár elektron-díra v nekonečné a konečné pravoúhlé potenciálové
jámě jsem řešila pro všechny typy kvantově omezených struktur (2-, 1- a 0-dimenzionální)
a to ve dvou prostorových uspořádáních, sférickém a rektangulárním. Základní model jsem
pro kvantové tečky zpřesnila zavedením efektu nespojitosti efektivní hmotnosti na hranici
struktury. Teoretické výsledky jsem porovnala s výsledky experimentálního měření Dr. Ing.
Fojtíka. Část kapitoly věnuji také popisu dalšího možného zpřesnění modelu zahrnutím efektu
směšování stavů děr, zahrnutím Coulombovské interakce nebo interakce ostatních částic.
Čtvrtá kapitola využívá výsledků kapitoly předchozí a z vypočteného energetického spektra řeší výpočet absorpčního koeficientu kvantových teček. Také diskutuje možný výpočet
dalších optických vlastností, jako je reálná a imaginární část indexu lomu nebo průběh komplexní permitivity.
Pátá kapitola je věnována stručnému výčtu ostatních fyzikálních modelů. Jsou zde nastíněny základní principy empirické pseudopotenciální metody, metody těsné vazby a HartreehoFockovy metody. Některé z těchto metod budou předmětem zájmu v navazující diplomové
práci.
Následující kapitola zmiňuje některé detaily praktické implementace (v programu MATLAB).
Je zde také uveden seznam použitých konstant a následná diskuze numerických koeficientů.
Kapitola poslední je věnována stručnému přehledu možných aplikacích kvantových nanostruktur pro fotoniku - využití ve fotonicky omezených strukturách a fotorefraktivních
strukturách.
Děkuji za cenné připomínky a rady Dr. Ing. Ivanu Richterovi a Dr. Ing. Antonu Fojtíkovi,
CSc.
Část výsledků této práce bylo prezentována na konferenci NANO 2005 v Brně, 8.11.2005,
1. Úvod
6
v rámci prezentace ”Preparation and modelling of selected types of quantum dots”, přednesené
autorkou tohoto textu.
Kapitola 2
Základní pojmy
V následující kapitole je na úvod připomenuto několik základních pojmů fyziky pevných látek,
související s polovodičovými nízkodimenzionálními strukturami.
2.1
Bravaisova mřížka
K vytvoření modelu popisujícího elektronovou strukturu krystalu musíme být schopni vyjádřit
fyzikální strukturu matematicky. Zavádí se termín Bravaisovy mřížky, který vyjadřuje prostorově periodickou skupinu atomů. Nejčastější krystalickou strukturou polovodičů je plošně
centrovaná kubická Bravaisova mřížka (viz obr. 2.1). Body mřízky jsou definovány lineárními
kombinacemi základních mřížkových vektorů:
a1 =
A0
(j + k),
2
a2 =
A0
(k + i),
2
a3 =
A0
(i + j).
2
(2.1)
Mřížkové vektory pak definujeme jako,
R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3
kde ni jsou celá čísla.
Obrázek 2.1: Plošně centrovaná kubická Bravaisova mřížka.
(2.2)
2. Základní pojmy
8
Kompletní krystalická struktura vznikne umístěním jednotlivých atomů do bodů Bravaisovy mřížky. Materiály IV skupiny, jako jsou Si, Ge, mají krystalickou strukturu ekvivalentní
struktuře diamantové (viz obr. 2.2 vlevo). U materiálů III-V a II-VI skupiny, jako jsou GaAs,
AlAs, InP, HgTe a CdTe, jsou kationty umístěny v pozici (− 18 , − 18 , − 81 ) a anionty v pozici
( 18 , 18 , 18 ). Tyto látky krystalizují ve sfaleritové krystalické struktuře (viz obr. 2.2 vpravo).
Obrázek 2.2: Krystalická struktura diamantu (vlevo) a ZnS (vpravo).
Z elektrodynamického hlediska jsou krystalické potenciály složeny z třídimenzionální
mříže sféricky symetrických potenciálů tvořených obalovými elektrony, které jsou spojeny
kovalentní vazbou, která vše drží pohromadě.
2.2
Reciproká mřížka
Uvažujme rovinnou vlnu procházející krystalem. Obecně, rovinná vlna nebude mít periodicitu
mřížky. Existuje však sada vlnových vektorů, které periodicitu krystalu mají a pro které platí
eik.r = eik.(r+R) ,
(2.3)
tzv. reciproké mřížkové vektory (RMV)
G.R = 2πn,
(2.4)
kde n je celé číslo a G je RMV. Celá sada G může být vytvořena primitivními vektory bi
reciprokého prostoru
G = m1 b1 + m2 b2 + m3 b3 ,
(2.5)
kde mi jsou celá čísla. Použijeme-li definici 2.2, primitivní vektory můžeme vyjádřit jako
b1 = 2π
a2 × a3
a1 .(a2 × a3 )
b2 = 2π
a3 × a1
a1 .(a2 × a3 )
b3 = 2π
a1 × a2
,
a1 .(a2 × a3 )
(2.6)
zároveň musí vyhovovat podmínce
bi .aj = 2πδij ,
kde δij je Kroneckerovo delta v běžné notaci.
(2.7)
2. Základní pojmy
2.3
9
Blochovy funkce
Elektron ve vakuu s polohovým vektorem r, vlnovým vektorem k, úhlovou frekvencí ω, na
který nepůsobí žádný elektromagnetický potenciál, může být popsán stavovou vlnovou funkcí.
Ψ ∼ ei(k.r−ωt) .
(2.8)
Kvantově mechanická hybnost byla odvozena jako lineární operátor vlnové funkce Ψ, kde
hybnost p je její vlastní hodnotou,
−i~∇Ψ = pΨ.
(2.9)
Rovnice popisující celkovou energii takovéto částice se nazývá bezčasová Schödingerova
rovnice a pro tento případ má tvar
2
b = − ~ ∇2 Ψ = EΨ,
HΨ
2m
(2.10)
b je Hamiltonián systému a E jsou vlastní hodnoty energie.
kde H
Pohyb elektronu v krystalu ovšem není pohybem ve vakuu, ale pohybem v periodicky se
měnícím potenciálu Bravaisovy mřížky
V (r) = V (r + R),
(2.11)
kde R jsou mřížkové vektory. Schrödingerova rovnice, popisující takovýto systém přechází na
tvar
2
¡
¢
b = − ~ ∇2 + V (r) Ψ.
HΨ
2m
(2.12)
b je jednoelektronová vlnová funkce, tzv.
Řešením (2.12), vlastní funkcí Hamiltoniánu H,
Blochova funkce
Ψn,k (r) = eik.r un,k (r),
(2.13)
složená z rovinné vlny eik.r a funkce un,k (r) s periodou mřížkových vektorů R
un,k (r) = un,k (r + R),
(2.14)
kde n je index hladiny a k je příslušný vlnový vektor. Rovnice (2.13) a (2.14) reprezentují
tzv. Blochův teorém.
Blochovy funkce mohou být sestaveny do vlnových balíků, reprezentující elektrony a díry,
které se šíří potenciálním polem iontových jader.
2. Základní pojmy
2.4
10
Energetické pásy a Brillouinova zóna
První Brillouinova zóna je definována jako Wigner Seitzova buňka v reciprokém prostoru. Je
konstruována jako nejmenší mnohostěn vytvořený kolem počátku (Γ) a vymezený souborem
rovin procházejících kolmo středy vektorů, které spojují počátek s nejbližšími uzly reciproké
mříže. Na obr. 2.3 je vyznačeno několik bodů symetrie: body (0, 0, 1) a (1, 1, 1), známé jako
body X a L.
[001]
[010]
Obrázek 2.3: První Brillouinova zóna plošně centrované kubické Bravaisovy mřížky.
Další Brillouinovy zóny mohou být zkonstruovány podobným způsobem, spojením počátku s dalšími nejbližšími uzly. Libovolný vektor k v jakékoliv Brillouinově zóně může být
vyjádřen jako k + G, kde k nyní leží v první Brillouinově zóně. Pro každý bod k v první
Brillouinově zóně existuje nekonečně mnoho řešení vlastní energie elektronu En,k a vlastní
vlnové funkce Ψn,k , které tvoří pásovou strukturu krystalu (viz obr.2.4, ilustrující příklad
GaAs). Závislost |k| na E je pak známa jako tzv. disperzní křivka redukované zóny.
Na hranici Brillouinovy zóny dochází k Braggově odrazu pro valenční elektrony, což vede
k diskontinuitám elektronového energetického spektra. Toto vede ke vzniku zakázaných pásů
(band-gap) energií, které elektron nemůže dosáhnout. Energie nad a pod tímto pásem se
nazývají vodivostní a valenční pás. Pásová struktura definuje elektrické a optické vlastnosti
a klasifikaci materiálů na izolátory, polovodiče a nevodiče. Šířka zakázaného pásu polovodičů
leží zhruba v rozmezí od 0,1 do 3 eV.
V ideálním polovodičovém krystalu, při teplotě absolutní nuly jsou všechny elektrony obsazeny v nejnižších energetických stavech, valenční pás je kompletně plný a žádný elektron
není ve valenční vrstvě. Jestliže zvýšíme teplotu, valenční elektrony mohou termálním pohybem dosáhnout energie vodivostního pásu, ve valenčním pásu vzniká tzv. díra, která se může
pohybovat jako pozitivně nabitý nosič náboje.
2. Základní pojmy
11
Obrázek 2.4: Pásová struktura GaAs.
2.5
Nízkodimenzionální kvantové nanostruktury
Zásadním průlomem ve výzkumu nízkodimenzionálních struktur byl vývoj tenkých polovodičových vrstev, tzv. kvantových jam (quantum wells - QW) v pozdních 70-tých a začátkem
80-tých letech. Tímto začal vývoj materiálů s novými, zcela unikátními, u klasických polovodičů dosud nepozorovanými vlastnostmi. Nízkodimenzionální v tomto případě znamená
snižování velikostí v jedné nebo více dimenzích na velikost, srovnatelnou s de-Brogliovou vlnovou délkou, velikostí, kdy klasický popis vlastností přestává platit a začíná se uplatňovat
tzv. velikostně-kvantový efekt.
Jestliže velikost vodivostního materiálu zmenšíme do oblasti nanometrů, volné elektrony
(neomezené elektrony) začnou být omezeny fyzickou velikostí oblasti, ve které se mohou pohybovat. Vliv elektrostatických sil se začne více projevovat a pohyb elektronů je vymezen
potenciálová bariérou, elektrony začnou být odděleny do tzv. kvantových jam, uzavřených
oblastí s negativní energií a ve směru omezení nastane silná diskretizace povolených energetických hladin. S rostoucím velikostním omezením výška energetických hladin roste, tzn.
optické přechody se posunují ke kratším vlnovým délkám, pozorujeme tzv. modrý posun (blue
shift) (viz obr. 2.5).
U QW toto nastává v jedné dimenzi, vodivostní elektrony budou delokalizovány pouze v
rovině příslušné vrstvy, mluvíme o dvoudimenzionálních strukturách. Kvantové dráty (quantum wires - QWi) jsou struktury jednodimenzionální, omezené ve dvou dimenzích. Elektrony
se mohou pohybovat volně pouze v jedné dimenzi, podélně podél drátu. O struktuře nuladimenzionální - kvantové tečce (quantum dot - QD) mluvíme v případě, když všechny tři
2. Základní pojmy
12
Obrázek 2.5: Velikostně-kvantový efekt. Přechod od spojitého spektra makro látky (vlevo)
k diskrétnímu spektru velikostně omezené struktury.
rozměry jsou nanometrických velikostí, elektrony jsou omezeny ve všech třech dimenzích,
takže zde nedochází k žádné delokalizaci. Obr. 2.6 ilustruje proces omezování dimenzí těchto
tří typů struktur.
Obrázek 2.6: Proces omezování dimenzí nanostruktur.
2.6
Hustota stavů
Mnoho vlastností elektricky vodivých materiálů se odvíjí od předpokladu, že valenční elektrony jsou disociovány a stávají se delokalizovanými elektrony, které se volně pohybují - tzv.
Fermiho plyn. Mají kinetickou energii E = 1/2 mv 2 = p2 /2m, kde m je hmotnost elektronu,
v je jeho rychlost a p je hybnost.
Podle kvantové mechaniky je hybnost podél osy x dána px = ~kx , kde ~ je Planckova
2. Základní pojmy
13
konstanta, kx je x-ová složka vlnového vektoru elektronu. Při teplotě absolutní nuly, vlnové
vektory elektronů Fermiho plynu dosahují hodnot od k = 0 do hodnoty kF , která odpovídá
hodnotě energie, nazývané Fermiho energie EF , dané výrazem
~2 kF2
.
(2.15)
2m
Předpokládáme, že elektron se pohybuje v krychli o hraně L, vzdálenost dvou sousedních
elektronů v k prostoru je 2π/L, a při teplotě absolutní nuly jsou vodivostní elektrony rovnoměrně rozloženy uvnitř koule o poloměru kF . Odpovídající rovnoměrná hustota je zobrazena
na obrázku 2.7, kde vidíme odchylku od rovnoměrného rozložení okolo Fermiho energie EF .
EF =
f(E)
f(E)
1
1
EF
E
EF
E
Obrázek 2.7: Fermi-Diracova distribuční funkce f (E), zobrazující rovnoměrnou hustotu v
k-prostoru, vykreslenou pro teploty (napravo) T = 0 a (nalevo) 0 < T ¿ TF .
Počet vodivostních elektronů závisí na hodnotě celkové energie a na dimenzi prostoru. To
protože v jedné dimenzi velikost Fermiho oblasti má délku 2kF , ve dvou dimenzích Fermiho
kružnice πkF2 a ve třech dimenzích jde o Fermiho kouli objemu 4πkF3 /3. Jestliže vydělíme tyto
velikosti Fermiho oblasti velikostí korespondujícího k-prostoru a dosadíme do rovnice (2.15),
dostaneme závislost množství elektronů N na energii E pro jednotlivé případy nízkodimenzionálních struktur.
Jestliže dále vezmeme v úvahu velikostní omezení, při kterých se vodivostní elektrony
rozdělí do povolených energetických hladin, dostáváme vztahy pro počet elektronů a hustoty
stavů závisející na energii pro totální omezení (kvantové tečky), částečné omezení (kvantové
dráty a kvantové jámy) a systém bez omezení (objemový materiál) (viz tab. 2.1). Na obr. 2.8
vidíme, že počet elektronů N (E) roste s energií, tři kvantové struktury a objemový krystal se
liší pouze kvalitativně. Naopak hustota stavů D(E), která determinuje mnoho elektronických
a optických vlastností látky, se dramaticky liší pro každou kvantovou strukturu. Tyto výsledky
jsou využívány pro předpověď vlastností nanostruktur.
2. Základní pojmy
Typ
Tečka
Drát
Jáma
Objem
14
Počet elektronů N (E)
P
N (E) = K0 di Θ(E − EiW )
P
N (E) = K1 P di (E − EiW )1/2
N (E) = K2 di (E − EiW )
N (E) = K3 (E)3/2
Hustota stavů D(E)
P
D(E) = K0 di δ(E − EiW )2
P
D(E) = 21 KP
di (E − EiW )−1/2
1
D(E) = K2 di
D(E) = 23 K3 (E)1/2
Delokalizace
0
1
2
3
Tabulka 2.1: Počet elektronů N (E) a hustota stavů D(E) = dN/dE jako funkce energie E
pro delokalizované/omezené elektrony v kvantových tečkách, kvantových drátech, kvantových
jámách a objemovém materiálu.
kvantová tečka
počet
elektronů
N(E)
kvantový drát
N(E)
E
kvantová jáma
N(E)
E
objemový krystal
N(E)
E
E
hustota
stavů
D(E)
D(E)
E
D(E)
E
D(E)
E
E
Obrázek 2.8: Závislost počtu elektronů N (E) a hustotu stavů D(E) na energii pro tři
kvantové struktury a objemový krystal v aproximaci pravoúhlé potenciálové jámy/Fermiho
plynu.
Kapitola 3
Aproximace efektivní hmotností
Spolehlivý popis elektronických a s tím souvisejících optických vlastností kvantově omezených
struktur je stále předmětem výzkumu. V současné době se používá několik fyzikálních modelů,
které dokáží popsat optoelektronické vlastnosti kvantových jam, drátů a teček na rozličných
úrovních aproximace. Já jsem tuto úvodní práci zaměřila na metodu aproximace efektivní
hmotností (effective mass aproximation - EMA), která je široce používanou metodou a v
mnohých případech je dostatečným popisem. Ukazuje se, že vykazuje velmi dobrou shodu s
experimentem u částic o velikostech větších než cca 1.5 nm. Dalšími fyzikálními přístupy a
metodami se zabývá následující kapitola 5.
Přes nejjednodušší model, kdy uvažuje pouze jeden neinteragující pár elektron-díra (kapitola 3.2), přes zahrnutí vzájemné Coulomovské interakce (kapitola 3.3) se dostáváme ke
složitějšímu modelu dvou a více interagujících částic (kapitola 3.5.2). Tímto zpřesňováním
modelu dochází ke zvýšení hustoty populace excitovaných stavů v kvantově omezených strukturách.
Aproximace efektivní hmotností nahrazuje komplexní potenciál pole konstantou, empirickým parametrem zvaným efektivní hmotnost m∗ , Schrödingerova rovnice částice, pohybující
se v krystalické struktuře pak přechází do tvaru
2
b = − ~ ∇2 Ψ = EΨ.
HΨ
2m∗
(3.1)
Jestliže spojíme dvě různé látky, s různou velikostí zakázaného pásu, vytvoříme tzv. heteropřechod a elektron uzavřeme do kvantové jámy. Pak rovnice (3.1) je platnou pro každou
oblast stejné látky zvlášť. Musíme však mít na paměti, že efektivní hmotnost může být funkcí
polohy, stejně tak zakázané pásy dvou různých materiálů mohou být také různé (viz obr. 3.1).
Diskontinuitu ve valenčním nebo vodivostním pásu můžeme nahradit konstantou, reprezentující změnu potenciálu V . Schrödingerova rovnice přechází na tvar
2
b = − ~ ∇2 Ψ + V Ψ = EΨ.
HΨ
2m∗
(3.2)
Tzv. aproximace obálkovou funkcí předpokládá, že vlnovou funkci můžeme rozepsat do
součinu periodické části Blochovy funkce un,k a nové specifické obálkové funkce. Předpokládá
se, že periodické části Blochovy funkce un,k v bariéře a jámě jsou stejné. Periodická část
je aproximována jednoduchým dvoupásovým polovodičem s parabolickým, isotropickým a
přímým zakázaným pásem. Ve skutečnosti mnohé polovodičové struktury mají mnohem složi-
3. Aproximace efektivní hmotností
16
Obrázek 3.1: Změna potenciálu, která vzniká mezi dvěma různými materiály.
tější uspořádání pásů. V kapitole 3.5.1 je ve zkratce zmíněna možnost zahrnutí neparabolicity
do Hamiltoniánu. Našim cílem pak zůstává určit obálkou funkci ψ pro elektrony a díry
Ψ = ψu.
3.1
(3.3)
Model jednoho páru elektron-díra
Nejjednodušším přiblížením situace v krystalu je model jednoho páru elektron-díra, kdy zanedbáváme vzájemné působení částic. Řešíme tedy v kvantové mechanice dobře známý problém
pohybu ”částice v krabici”. Hamiltonián takového systému můžeme napsat jako součet Hamoltoniánu elektronu a díry
2 2
2 2
b = − ~ ∇e − ~ ∇h + Ve (re ) + Vh (rh ),
H
2me
2mh
(3.4)
kde me , mh je efektivní hmotnost elektronu, resp. díry a Ve + Vh je výška potenciálové bariéry,
vzniklá spojením dvou různých materiálu. Soubor energetických stavů je pak řešením stacionární Schrödingerovy rovnice, pro každou částici (elektron a díru) zvlášť, kdy celková energie
bude součtem energie elektronu a díry. Obálková funkce ψ je separovatelná na příspěvěk od
elektronu a díry a můžeme ji psát jako součin
ψ(re , rh ) = ψe (re ) · ψh (rh ).
(3.5)
Řešme nyní Schrödingerovu rovnici pro elektron a díru seperátně. V následujícím textu
budu m označovat efektivní hmotnost částice (elektronu, díry) a V výšku potenciálové bariéry
částice (elektronu, díry).
3.1.1
Dvoudimenzionální struktura - kvantová jáma
Jestliže předpokládáme, že potenciál V lze napsat jako součet nezávislých funkcí, např.
V = V (x) + V (y) + V (z) a vlastní vlnovou funkci jako ψ = ψx (x)ψy (y)ψz (z), pak je možno
celkovou energii E rozložit na součet příspěvků z jednotlivých směrů, E = Ex + Ey + Ez a
Schrödingerova rovnice přechází na soustavu rovnic
17
−
~2 ∂ 2 ψx
+ V (x)ψx = Ex ψx
2m ∂x2
(3.6)
−
~2 ∂ 2 ψy
+ V (y)ψy = Ey ψy
2m ∂y 2
(3.7)
~2 ∂ 2 ψz
+ V (z)ψz = Ez ψz .
(3.8)
2m ∂z 2
Uvažujme nyní kvantovou jámu, o tloušťce Lz , ve které jsou elektrony nebo díry omezeny
v jedné dimenzi a mohou se volně pohybovat pouze v rovině xy, pak potenciály V (x) =
V (y) = 0. Řešení rovnic v rovině x, resp. y je řešením volné částice a vlastní funkci lze psát
ve tvaru eikx x , resp. eiky y . Pak rovnice (3.6) přechází na tvar
−
−
~2 ∂ 2 ikx x
e
= Ex eikx x ,
2m ∂x2
(3.9)
kde řešením kinetické energie pro vlnu pohybující se ve směru x je
−
~2 kx2
= Ex ,
2m
(3.10)
tedy spojitá energie a podobně pro kinetickou energii vlny pohybující se ve směru y.
Obrázek 3.2: Schema disperzní křivky kx,y kvantové jámy a struktura ”mezipásu”.
Řešení vlastních hodnot energie ve směru z (směru omezení pohybu) je kvantováno závisle
na kvantovém čísle nz . Celkovou energii tedy můžeme psát jako
E = Enz +
~2 |kx,y |2
,
2m∗
(3.11)
kde k2x,y = kx2 + ky2 (viz obr. 3.2). Druhá část výrazu (3.11) je u objemových látek nazývána ”energetickými pásy” pro svůj spojitý charakter, u omezených struktur je nazývána
”mezipás” (subband). Díky tomuto efektu jsou proto stavy v kvantové jámě uváděny jako
dvoudimenzionální.
18
Řešme nyní příspěvek energie Enz . Uvažujeme-li Lz jako jednotku délky a ~2 /2mL2 jako
jednotku energie (v těchto jednotkách budu označovat energie a velikosti s čárkou), rovnice
(3.8) přechází na tvar
∂2
ψ(z 0 ) = (E 0 − V 0 )ψ(z 0 )
∂z 02
 0 0
 V0 z ≤ − 21
0 − 1 ≤ z 0 ≤ 12 .
V 0 (z 0 ) =
 0 12 0
V0 2 ≤ z
−
(3.12)
(3.13)
Nyní musíme uvažovat 2 případy, E > V (klasicky povolená oblast) a E < V (klasicky
nepovolená oblast). Pro oba případy definujme zatím neznámé konstanty
k2 = E 0 − V 0
E>V
(3.14)
κ2 = V 0 − E 0
E < V.
(3.15)
Dosadíme-li k a κ do diferenciální rovnice, dostáváme řešení
½
Acos(kx)
ψ(z) =
E>V
Asin(kx)
ψ(z) = Bexp(±κx)
(3.16)
E < V.
Obě separátní řešení musí vyhovovat podmínce spojitosti ψ a
(3.17)
∂ψ
∂z .
Nekonečná potenciálová bariéra
E
V(z)= 0
V(z)=
8
8
V(z)=
Lz
Obrázek 3.3: Schema jednodimenzionální jámy s nekonečnou potenciálovou bariérou.
Uvažujme nyní nejjednodušší, ale nereálný případ, kdy obklopíme jámu nekonečnou bariérou (viz obr. 3.3).
V tomto případě jsou oblasti, kde E < V , nejen ”klasicky nepovolené”, ale jsou ”nekonečně nepovolené”. Vlnové funkce v takovýchto oblastech musí být nulové a protože musí
19
n=3
n=2
n=1
0. 5
0
z [2nm/Lz]
0.5
Obrázek 3.4: Řešení jednodimenzionální nekonečné potenciálové jámy.
být také splněna podmínka spojitosti vlnové funkce a její derivace, hodnoty na hranici budou
taktéž nulové. Takovéto podmínce vyhovuje řešení
k 0 = πn
k=
πn
,
Lz
(3.18)
kde n je celé číslo, reprezentující sérii řešení. Dosazením do rovnice (3.14) dostáváme energii
omezených stavů jako
En0 = k 02
En =
~2 π 2 n2
.
2mL2z
(3.19)
Jedinou prozatím neznámou je konstanta A v řešení vlnové funkce, kterou dostaneme z
normalizační podmínky vlnové funkce, kdy ψ ∗ (z)ψ(z) reprezentuje pravděpodobnost nalezení
částice v bodě z, pak normalizační podmínkou je
Z
Lz
ψ ∗ (z)ψ(z)dz = 1,
(3.20)
0
ze které dostáváme A =
p
2/Lz . Řešením je tedy ortogonální soustava
 q
³
´
2
πnz

cos
q Lz
³ Lz ´
ψ(z) =
πnz
2

Lz sin Lz .
(3.21)
Na obr. 3.4 jsou zobrazena jako příklad řešení vlastních vlnových funkcí ψ pro kvantová
čísla n = 1, 2, 3.
Na obr. 3.5 jsou vypočtené energetické hladiny pro polovodičové materiály s různou efektivní hmotností elektronu. S obrázku je možné vysledovat nepřímá úměrnost výšky energetických hladin na efektivní hmotnosti. Materiály s vyšší efektivní hmotností dosahují nižších
energetických hladin.
20
2
E[eV]
1.5
1
0.5
0
CdS
CdSe
GaAs
InSb
PbS
me=0.19
me=0.13
me=0.07
me=0.015
me=0.1
Obrázek 3.5: Energetické hladiny kvantové jámy, Lz = 10nm, pro materiály s různou efektivní hmotností.
25
n=1
n=2
n=3
E[eV]
20
15
10
5
0
1
2
3
Lz [nm]
4
5
Obrázek 3.6: První tři energetické hladiny elektronu v závislosti na velikosti kvantové jámy
Lz CdS, obklopené hypotetickou nekonečnou bariérou.
21
Na obr. 3.6 je zobrazena závislost prvních tří energetických hladin na velikosti kvantové
jámy CdS obklopené hypotetickou nekonečnou bariérou. Docházíme k jednomu z nejdůležitějším závěrům kvantově-velikostního efektu - čím je struktura menší (je více prostorově
omezená), tím jsou energetické hladin vyšší.
Konečná potenciálová bariéra
E
V0
B exp( - κz)
Acos(kz)
0
Lz/2
Obrázek 3.7: Konečně hluboká potenciálová jáma.
Zatímco model nekonečného potenciálu dával dobrou představu o kvalitativní změně
spektra, přesnějších výsledků můžeme dosáhnout, připustíme-li, že elektron se pohybuje v
omezené potenciálové jámě, reprezentované materiálem, který jámu obklopuje (viz obr. 3.7).
Takovýto problém je ovšem řešitelný již pouze numerickými metodami. V následujícím textu
zmiňuji metodu konečných diferencí a metodu výpočtu vlnových funkcí na základě znalosti
analytického řešení vlnové funkce pro každou oblast jámy zvlášť, kde hledané řešení vyhovuje
podmínce spojitosti ψ a ∂ψ
∂z na hranici jámy.
Symetrický průběh potenciálové jámy nám ručí za symetrii vlnových funkcí (pro liché
funkce to bude symetrický - kosinový průběh, pro sudé antisymetrický - průběh sinový).
Vyjdeme-li nyní ze separátního řešení pro pravoúhlou potenciálovou jámu (3.16) a (3.17),
z podmínky spojitosti na hranici dostáváme
½
A cos(k 0 /2)
ψ(−1/2) =
=
ψ(1/2) = B exp(κ0 /2),
(3.22)
A sin(k 0 /2)
kde A, B jsou zatím neznámé konstanty, které mají co do činění s normalizací vlnové
funkce v každé oblasti. Přidejme nyní podmínku spojitosti ∂ψ
∂z .
½
−A sin(k 0 /2)
ψ(−1/2) =
=
ψ(1/2) = −Bκ exp(−κ0 /2).
(3.23)
A cos(k 0 /2)
Eliminujeme-li neznámé konstanty A, B vydělením rovnice (3.22) rovnicí (3.23) dostáváme
k 0 tan(k 0 /2) − κ0 = 0, n liché
k 0 cot(k 0 /2) + κ0 = 0, n sudé.
(3.24)
Jedná se o nelineární transcendentní rovnici, připomeňme, že řešení k 0 a κ0 jsou jen funkcí
E. Rovnici lze vyřešit použitím standardních technik, jako je např. Newton-Raphson iterace
22
[1]. V této technice, jestliže E (n) je prvním odhadem řešení rovnice f (E) = 0, pak lepší odhad
je dán
E (n+1) = E n −
f (E (n) )
.
f 0 (E (n) )
(3.25)
Nový odhad E (n+1) je pak zdrojem dalšího zpřesnění E (n+2) atd., dokud nedosáhneme
požadované přesnosti.
K řešení Schrödingerovy rovnice (3.12) pro konečný potenciál lze přistupovat také jinak.
Použijeme numerickou metodu konečných diferencí, kde derivace vlnové funkce je převedena
do numericky řešitelných konečných diferencí. Touto metodou lze řešit nejen jámu pravoúhlou,
ale obecně jakoukoliv jámu. První derivace funkce je definovaná jako
∆f
df
=
.
∆z→0 ∆z
dz
Pro konečné diference můžeme potřebné derivace přepsat jako
lim
(3.26)
df
∆f
f (z + δz) − f (z − δz)
≈
=
,
dz
∆z
2δz
(3.27)
d2 f
f (z + δz) − 2f (z) + f (z − δz)
.
≈
dz 2
(δz)2 )
(3.28)
druhou derivaci jako
Dosadíme-li tento výraz do (3.12), úpravou dostáváme [1]
h
i
ψ(z 0 + δz 0 ) = (δz 0 )2 (V 0 (z 0 ) − E 0 ) + 2 ψ(z 0 ) − ψ(z 0 − δz 0 ).
(3.29)
Jestliže je tedy vlnová funkce známa ve dvou bodech z a (z − δz), pak hodnota v bodě
(z + δz) může být dopočtena pro jakoukoliv energii E. Tato iterativní rovnice je základem
standardní metody numerického řešení diferenciální rovnice, známé jako metoda střelby [1].
Jestliže použijeme dvě známé hodnoty vlnové funkce ψ(z) a (ψ(z − δz)), třetí hodnota
(ψ(z + δz)) může být dopočtena. Jestliže dále použijeme nový známý bod (psi(z + δz)) spolu
s bodem ψ(z), můžeme vypočítat čtvrtý bod (ψ(z + 2δz)), atd.
První dvě hodnoty vlnové funkce mohou být vyvozeny z jednoduchého předpokladu symetrie V (z), potom jsou vlastní stavy buď symetrické (sudé stavy) nebo antisymetrické (liché
stavy).
Nejprve se zaměřme na stavy liché. Pak je vlnová funkce uprostřed jámy (v tomto případě
značme z = 0) nulová. Dále si musíme uvědomit, že malý posun podél osy z musí vést
k konečné hodnotě vlnové funkce. Přesná hodnota není důležitá, prozatím můžeme vlnové
funkci přisoudit jakékoliv měřítko. Proto v tomto případě okrajové podmínky můžeme napsat
jako
ψ(0) = 0
ψ(δz) = 1.
(3.30)
V případě sudých stavů můžeme vzhledem k symetričnosti vlnové funkce počáteční podmínky nastavit jako
ψ(0) = 1
ψ(δz) = 1.
(3.31)
23
n=3
n=2
n=1
1. 5
1
0. 5
0
z [nm/Lz]
0.5
1
1.5
Obrázek 3.8: Vlastní funkce ψ(z) prvních tří energetických hladin kvantové jámy CdS
tloušťky 2nm, obklopené potenciálovou bariérou 4eV.
Takto kompletní vlnovou funkci můžeme vypočítat pro jakoukoliv energii E. Řešení stacionárních stavů pak vyhovuje standardním hraničním podmínkám
∂
ψ(z) → 0
z → ±∞.
(3.32)
∂z
Jestliže je tedy E neznámou v rovnici (3.29), funkce ψ je funkcí jak pozice z tak energie
E, ψ(z, E), tzn. problém přechází na řešení rovnice
ψ(z) → 0
ψ(∞, E) = 0.
(3.33)
Toto lze opět řešit standardními iteračními technikami, např. Newton-Rapsonovou iterační metodou.
Na obr.3.8 jsou výsledné první tří vlastní funkce ψ(z). Výška potenciálové jámy zde byla
volena 4 eV, což odpovídá situaci, kdy struktura je obklopena vodou. Pro jiné obklopující
prostředí by se parametr V lišil. Výsledek je podobný jako u modelu nekonečného potenciálu
s tím rozdílem, že vlnové funkce nyní zasahují do okolního materiálu. Tzn. že pravděpodobnost
výskytu nosiče uvnitř jámy je vždy menší než 100%.
Obr. 3.9 ilustruje zvyšování energetických hladin při zmenšování velikosti kvantové jámy.
Přerušovanou čarou je znázorněn výsledek modelu s nekonečnou potenciálovou bariérou. Jak
se dalo očekávat, efekt konečné potenciálovou bariéry je markantní u struktur s větším prostorovým omezením, energetické hladiny snižuje.
Na obr. 3.10 je srovnání energetických hladin pro různé výšky potenciálových bariér pro
jámu CdS o 2nm, tzn. pro různé materiálu, který jámu obklopuje. V limitě v nekonečnu jde
o model nekonečného potenciálu.
3.1.2
Jednodimenzionální struktura - kvantový drát s pravoúhlou základnou
Omezíme-li pohyb elektronu na pohyb pouze v jedné dimenzi, mluvíme o tzv. kvantovém
drátu. Řešení energetických hladin je silně závislé na geometrii takovéto struktury. V této
24
4
n=1
n=2
n=3
n=1
n=2
n=3
3.5
3
E[eV]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
Lz [nm]
4
5
Obrázek 3.9: Závislost výšky prvních tří energetických hladin na tloušťce kvantové jámy
CdS. Plnou čarou je znázorněn výpočet pro model s konečnou potenciálová bariérou 4eV a
přerušovanou model nekonečné bariéry.
5
n=1
n=2
n=3
E[eV]
4
3
2
1
0
4
10
20
V[eV]
50
100
Obrázek 3.10: Závislost prvních tří energetických hladin kvantové jámy CdS o tloušťce 2nm
na výšce potenciálové bariéry.
25
8
V=
Ly
y
V=0
x
0
0
z
Lz
Obrázek 3.11: Kvantový drát s pravoúhlou podstavou.
kapitole bude řešena geometrie pravoúhlá, v následující kapitole kruhová. Rozložení energetických hladin kvantového drátu s pravoúhlou podstavou se řeší analogicky jako u kvantové
jámy s tím rozdílem, že elektrony jsou omezeny ve dvou dimezních, V (x) = 0, kde x je směr
volného pohybu. Ve směru velikostního omezení dochází ke kvantování energie a celkovou
energii lze tedy psát jako
E = Eny + Enz +
~2 |kx |2
,
2m∗
(3.34)
kde ny a nz jsou kvantová čísla ve směrech y a z.
Uvažujeme-li nejjednodušší případ struktury obklopené nekonečnou potenciálovou bariérou,
problém je řešitelný analyticky, v analogii kvantové jámy. Vlastními energiemi je pak sada
řešení
Ez =
~2 π 2 n2z
2mL2z
Ey =
~2 π 2 n2y
2mL2y
(3.35)
a pro vlnové funkce dostáváme:
r
ψ(z) =
³ πn z ´
2
z
sin
Lz
Lz
s
ψ(y) =
³ πn y ´
2
y
sin
.
Ly
Ly
(3.36)
Na obr. 3.12 je znázorněno rozložení pravděpodobnosti náboje ψ ∗ ψ v rovině yz. Průběh
funkcí je závislý na kvantových číslech ny a nz , počet minim na ny nz .
Z výše uvedeného je zřejmé, že spektrum kvantových drátů je popsáno dvěmi kvantovými
čísly, pro každý směr jedno. Na obr. 3.13 je výpočet takového spektra. Je možno vidět, že pro
symetrické struktury, kdy Lz = Ly , energie stavů (1, 2) a (2, 1) jsou ekvivalentní, zatímco v
případě, že se o symetrickou strukturu nejedná, energie se rozštěpí.
26
[11]
[12]
[21]
[22]
[23]
[33]
Obrázek 3.12: Rozložení hustoty pravděpodobnosti náboje ψ ∗ ψ v rovině yz, v nekonečně
hlubokém rektangulárním kvantovém drátu pro různá kvantová čísla. Oranžová linka je fyzickou hranicí drátu.
20
30
ny=nz=1
15
E[eV]
ny=nz=1
25
ny=1, n z=2
ny=2, n z=1
ny=1, n z=2
ny=2, n z=1
20
ny=nz=2
10
ny=nz=2
15
10
5
5
0
1
2
3
Lz [nm]
4
5
0
1
2
3
Lz [nm]
4
5
Obrázek 3.13: Energetické hladiny v závislosti na velikosti kvantového drátu CdS, obklopeného hypotetickou nekonečnou bariérou. (nalevo) Lz = Ly - díky symetrii jsou případy
ny = 1, nz = 2 a ny = 2, nz = 1 totožné, (napravo) Lz = 0.8Ly - dochází k rožtěpení hladin.
27
Rozšíříme-li představu o omezené výšce potenciálu do dvou dimenzí, můžeme analogicky, jako
u kvantové jámy, dojít k výpočtům pro kvantový drát. Tato konfigurace však nepovoluje separovatelnost potenciálu V (y, z) do dvou nezávislých potenciálů V (y) a V (z) a proto nemůžeme
rozdělit pohyb elektronu do rovin y a z.
Obrázek 3.14: (vlevo) Rektangulární kvantový drát s konečnými bariérami a (napravo)
aproximace potenciálu.
Můžeme však použít aproximace a potenciál napsat jak je znázorněno na obr. 3.14 vpravo
[1]. Pro takto definovaný potenciál můžeme napsat V (y) + V (z), kde V (y) a V (z) jsou nezávislými potenciály. Nepřesnost této aproximace se objeví v rohových oblastech, kde dva
potenciály kvantové jámy dávají v součtu 2V . Toto jsou však oblasti, kde se neočekává příliš
velké ovlivnění vlastních funkcí. S tímto předpokladem pak řešíme soustavu dvou nezávislých
Schrödingerových rovnic
∂2
ψ(z) + V 0 (z)ψ(z) = Ez0 ψ(z)
∂z 2
(3.37)
∂2
ψ(y) + V 0 (y)ψ(y) = Ey0 ψ(y),
∂y 2
(3.38)
−
−
použitím dříve zmiňovaných numerických metod.
Vlastní hodnoty Ey,z mohou být zpřesněny odstraněním částí potenciálů ”2V”. Použitím
poruchové teorie prvního řádu, změna energie bude
∆E = hψ(y, z)|V (y, z)|ψ(y, z)i,
(3.39)
neboli
Z
+∞ Z +∞
∆E =
−∞
ψ ∗ (y)ψ ∗ (z)V (y, z)ψ(y)ψ(z)dydz.
−∞
Porucha potenciálu V (y, z) bude záporná,
(3.40)
Z
+∞
∆E = −4V
28
Z
ψ ∗ (y)ψ(y)dy
Ly
+∞
ψ ∗ (z)ψ(z)dz.
(3.41)
Lz
10
[nx ny]
[1 1]
[1 2]
[2 2]
[1 1]
[1 2]
[2 2]
E[eV]
8
6
4
2
0
1
2
3
a[nm]
4
5
Obrázek 3.15: Závislost výšky prvních tří energetických hladin Ey,z = Ey + Ez na velikosti
kvantového drátu CdS s potenciálová bariérou 4eV. Přerušovanou čarou je znázorněn výsledek
modelu nekonečné potenciálové jámy.
Na obr. 3.15 je výpočet závislosti výšky prvních tří energetických hladin Ey,z = Ey +Ez na
velikosti kvantového drátu CdS s potenciálovou bariérou 4eV pro symetrickou a nesymetrickou
strukturu.
Vzhledem k nezávislosti potenciálů ve dvou rovinách pohybového omezení je řešení vlastních funkcí stejné jako pro kvantovou jámu. Výsledky vypadají podobně jako u modelu nekonečné bariéry s tím rozdílem, že vlnové funkce se ”rozplývají” za hranici drátu, exponenciálně
klesají k nule. Jako příklad je na obr. 3.16 znázorněna změna rozložení hustoty náboje v rovině yz [ψ(y, z)ψ(y, z)] pro kvantová čísla [23] při přechodu od modelu nekonečné potenciálové
jámy k modelu konečné potenciálové jámy.
3.1.3
Jednodimenzionální struktura - kvantový drát s kruhovou základnou
U struktury, která je rotačně symetrická (viz obr. 3.17) se nabízí převedení Schrödingerovy
rovnice do polárních souřadnic [r, φ]. Uvažujeme-li dále jako jednotku délky a - poloměr drátu
a jednotku energie ~2 /2mL2 , Schrödingerova rovnice přechází na tvar
³ ∂2
1 ∂
1 ∂2 ´
−
+
+
ψ(r0 , φ) = (E 0 − V 0 )ψ(r0 , φ).
∂r02 r0 ∂r0 r02 ∂φ2
(3.42)
Předpokládáme, že řešení ψ je separovatelné v proměnných r0 a φ, tzn. ψ = R(r0 )Φ(φ),
pak rovnice (3.42) přechází na tvar
h 1 ³ ∂2
´i
1 ∂ ´
1 ³ 1 ∂2
0
−
+
Φ(φ)
= E.
R(r
)
+
R(r0 ) ∂r02 r0 ∂r0
r02 Φ(φ) ∂φ2
Řešení pro Φ je zřejmé
(3.43)
[23]
29
V=4eV
[23]
V=infinity
Obrázek 3.16: Srovnání hustoty pravděpodobnosti náboje rektangulárního kvantového
drátu, pro případ konečného a nekonečného potenciálu, pro kvantové číslo [23].
Φ(φ) = N eimφ ,
(3.44)
kde m je celé číslo.
K řešení R(r0 ) musíme opět uvažovat dva případy - klasicky povolený případ E > V
a klasicky nepovolený případ E < V . V prvním případě očekáváme, že vlnová funkce bude
oscilovat v závislosti na hybnosti (očekáváme sinový průběh). V druhém případě očekáváme
exponenciální pokles. Pro oba tyto případy zavedeme substituci pro k 0 (3.14) a pro κ0 (3.15).
Řešením jsou pak funkce
R(r0 ) = AJ|m| (kr0 )
E > V,
z
V
r
y
V=0
a
x
Obrázek 3.17: Kvantový drát s kruhovou podstavou.
(3.45)
30
R(r0 ) = BK|m| (κr0 )
E < V.
(3.46)
kde J|m| je Besselova funkce prvního druhu, řádu m, definovaná jako
Jm (x) =
∞
X
l=0
(−1)l
x2l+m ,
22l+m l!(m + l)!
(3.47)
K|m| je Besselova funkce druhého druhu, řádu m, definovaná jako
Km (x) =
Jm (x) cos(mπ) − J−m (x)
.
sin(mπ)
(3.48)
Uvažujme opět nejjednodušší případ nekonečné potenciálové bariéry. Pro oblast mimo jámu
musí být vlnová funkce nulová, proto musí platit
Jm (kr0 ) = 0,
r = a,
(3.49)
kr0 musí být kořeny Jm . A proto vlastní hodnoty energie musí být
0
Enm
= χnm
Enm =
~2
χnm ,
2ma2
(3.50)
kde χnm je n-tý kořen Besselovy funkce prvního druhu, řádu m. Sloučíme-li separátní řešení
Φ(φ) a R(r), dostáváme sadu vlastních vlnových funkcí
³
r ´ eimφ
ψ(r, φ) = N|m|n J|m| χ|m|n √ ,
a
2π
(3.51)
kde N|m|n je normalizační konstanta
2
N|m|n
=
2
.
Jm+1 (χmn )2
(3.52)
Obr. 3.18 ilustruje rozložení hladin v závislosti na kvantovém čísle m. Na obr. 3.19 je
výpočet prvních tří energetických hladin CdS drátu v závislosti na poloměru a. Ke srovnání
jsou přerušovanou čarou znázorněny tři nejnižší hladiny drátu se čtvercovou podstavou. Z
grafu je patrné, že geometrický tvar drátu výrazně ovlivňuje rozložení energetických hladin.
Na obr. 3.20 je řešení vlnové funkce, resp. její části závislé na souřadnici r, pro různá kvantová
čísla n, resp. m. Obr. 3.21 ilustruje rozložení hustoty pravděpodobnosti náboje v rovině yz.
Uvažujme nyní realističtější model, kde potenciálová bariéra je konečná. Opět zmiňuji dva
numerické přístupy řešení, řešení pomocí konečných diferencí a názornější metodu, iterační
hledání vlastního čísla energie takového, aby vyhovovalo podmínce spojitosti ψ(r) a ∂ψ
∂r , pokud
známe řešení ψ(r) pro každou oblast potenciálové jámy zvlášť
31
50
n=1
n=2
n=3
E[eV]
40
30
20
10
0
-4
-3
-2
-1
0
m
1
2
3
4
Obrázek 3.18: Rozložení hladin v závislosti na kvantovém čísle m.
40
ny=1,nx=1
E[eV]
35
ny=1,nx=2
30
ny=2,nx=2
25
n=1,m=0
n=1,m=1
n=2,m=1
20
15
10
5
0
0.5
1
1.5
a[nm]
2
2.5
Obrázek 3.19: Tři nejnižší energetické hladiny kruhového kvantového drátu CdS v závislosti
na poloměru a. Ke srovnání jsou přerušovanou čarou znázorněny tři nejnižší hladiny drátu se
čtvercovou podstavou. Průběhy pro případy ny = 2, nx = 2 a n = 2, m = 1 splývají.
m=0
32
m=1
m=2
n=3
n=3
n=3
n=2
n=2
n=2
n=1
n=1
n=1
0
0.5
r [nm/a]
1
0
0.5
r [nm/a]
1
0
0.5
r [nm/a]
1
Obrázek 3.20: Řešení vlnových funkcí v nekonečně hlubokém kvantovém drátu s kruhovým
průřezem pro kvantová čísla n = 1, 2, 3 a m = 0, 1, 2.
[10]
[11]
[20]
[21]
[31]
[32]
Obrázek 3.21: Hustota pravděpodobnosti náboje v rovině yz v nekonečně hlubokém kvantovém drátu CdS s kruhovým průřezem pro různá kvantová čísla [nm]. Oranžová linka je
hranicí drátu.
33
R(r0 ) = AK|m| (κr0 )
r>a
(3.53)
R(r0 ) = BJ|m| (kr0 )
r < a.
(3.54)
Podmínku spojitosti ψ(r) a
∂ψ
∂r
lze vyjádřit podílem těchto podmínek jako
0 (k)
kJm
κKm (κ)
=
.
Jm (k)
Km (κ)
(3.55)
Takovýto problém lze řešit Newton-Raphsonovou iterační technikou.
K řešení metodou konečných diferencí je třeba část rovnice (3.43), závislou na proměnné
r, převést na řešení pro konečné diference, podrobněji viz kapitola 3.1.1 nebo [1]
£
¤
2r (δz)2 (V (r) − E) + 2 ψ(z) + (−2r + δr)ψ(z − δz)
ψ(z + δz) =
.
2r + δr
m=0
m=1
m=2
n=3
n=3
n=3
n=2
n=2
n=2
n=1
n=1
n=1
0
0.5
1
r [nm/a]
1.5
0
0.5
1
r [nm/a]
(3.56)
1.5
0
0.5
1
r [nm/a]
1.5
Obrázek 3.22: Řešení vlnových funkcí v kvantovém drátu s kruhovým průřezem o poloměru
2.5nm a výškou potenciálové bariéry 4eV pro různá kvantová čísla n, m.
Na obr. 3.22 je řešení prvních tři vlnových funkcí, resp. jejich částí, závislých na r sférického drátu CdS o poloměru 2.5 nm, obklopeného potenciálovou bariérou o velikosti 4eV.
Na obr. 3.23 jsou vlnové funkce vykresleny jako hustota pravděpodobnosti nalezení náboje v
rovině yz stejné struktury. Řešení se od modelu nekonečné potenciálová bariéry liší v oblastech mimo oblast drátu, kde pravděpodobnost není nulová, ale exponenciálně klesá k nule.
Tento příspěvek je vyšší u vyšších energetických hladin. Na obr. 3.24 je znázorněna závislost
výšky odpovídajících energetických hladin. Dospíváme tady ke stejnému závěru jako u dvoudimenzionálnch struktur - zahrnutí konečnosti potenciálová bariéry má za následek snižování
energetických hladin.
3.1.4
Nuladimenzionální struktura - kubické kvantová tečka
Rozšíříme-li prostorové omezení pohybu elektronu na třídimenzionální případ, mluvíme o
kvantových tečkách. Tímto je elektronu odebrán poslední stupeň volnosti, je lokalizován ve
všech směrech, celková energie je kvantována.
E = Enx + Eny + Enz ,
(3.57)
[23]
34
V=4eV
[23]
V=infinity
Obrázek 3.23: Srovnání hustoty pravděpodobnosti náboje kvantového drátu s kruhovým
průřezem, pro případ konečného a nekonečného potenciálu, pro kvantové číslo [23].
4
[n m]
[1 0]
[1 1]
[1 2]
[1 0]
[1 1]
[1 2]
3.5
3
E[eV]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
1.5
2
2.5
a[nm]
Obrázek 3.24: Závislost energetických hladin na poloměru sférického kvantového drátu CdS
obklopeného potenciálovou bariérou o velikosti 4eV. Přerušovanou čarou je znázorněn výsledek modelu nekonečné potenciálové jámy.
Obrázek 3.25: Schema rektangulární kvantové tečky
35
40
30
[nxn yn
[n n n ]
x
z
35
[1 1 1]
[1 1 2]
[1 2 1]
[2 1 1]
[1 2 2]
[2 1 2]
[2 1 2]
[2 2 2]
20
15
10
25
0
20
15
10
5
z
[1 1 1]
[1 1 2]
[1 2 1]
[2 1 1]
[1 2 2]
[2 1 2]
[2 1 2]
[2 2 2]
30
E[eV]
25
E[eV]
y
5
1
2
3
Lx[nm]
4
0
5
1
2
3
Lx[nm]
4
5
Obrázek 3.26: První tři energetické hladiny v závislosti na velikosti rektangulární kvantové
tečky (”krabice”) CdS, obklopené hypotetickou nekonečnou bariérou. (nalevo) Lz = Ly = Lx ,
(napravo) Lz = 0.9Lx , Ly = 0.8Lx
kde nx , ny a nz jsou kvantová čísla ve směrech x, y a z.
V tomto případě už nemluvíme o vrstvě pásu, ale o ”hladinách” (sublevels). Následující
výpočty ukazují, že nejen velikost a samozřejmě vlastnosti kvantově omezené struktury výrazně ovlivňují elektronické vlastnosti, ale také prostorový tvar. Různý tvar teček je definován
způsobem přípravy. Přibližně kubické tečky vznikají litograficky [2], sférické tečky [3, 4, 5, 6]
lze připravit např. žíháním , jednou z chemických metod, zatímco metodou tzv. samouspořádávání (self-assembly) vznikají rozličné tvary jako např. pyramidy [7, 8, 9, 10], komolé
pyramidy [11, 12], prstence [13], čočky [14], kužely [15], hexagonální pyramidy [12]. V této
kapitole je diskutována kubická kvantová tečka (”kvantové krabice”), v kapitole následující
tečka kulová.
Pro případ nekonečné potenciálová bariéry je řešení vlastních energií triviální, v analogii
kvantové jámy a kvantového drátu
Ex =
~2 π 2 n2x
2mL2x
Ey =
~2 π 2 n2y
2mL2y
Ez =
~2 π 2 n2z
,
2mL2z
(3.58)
a pro vlastní vlnové funkce
r
s
ψ(y) =
³ πn y ´
2
y
sin
Ly
Ly
r
³ πn z ´
2
z
sin
.
Lz
Lz
(3.59)
Třídimenzionální povaha omezení vyžaduje tři kvantová čísla nx , ny a nz . Na obr. 3.26 je
výpočet závislosti prvních tří energetických hladin v závislosti na velikosti rektangulární kvantové tečky CdS, obklopené hypotetickou nekonečnou bariérou. Analogicky jako u kvantového
ψ(x) =
³ πn x ´
2
x
sin
Lx
Lx
ψ(z) =
[111]
36
[211]
[222]
Obrázek 3.27: Hustota pravděpodobnosti náboje rektangulární kvantové tečky, obklopeného
hypotetickou nekonečnou bariérou pro různá kvantová čísla [nx ny nz ]. Horní polovina obrázku
zobrazuje řez hustotou pravděpodobnosti, dolní polovina vybranou ekvipotenciální plochu.
drátu, energetické hladiny (1, 1, 2), (1, 2, 1) a (2, 1, 1) jsou u symetrické struktury identické, u
nesymetrické dochází k rozštěpení hladin. Na obr. 3.27 je znázorněna hustota pravděpodobnosti náboje rektangulární kvantové tečky, obklopeného hypotetickou nekonečnou bariérou
pro různé kvantové čísla [nx ny nz ]. V horní části obrázku je znázorněn řez rovinami, v dolní
části vybraná ekvipotenciální plocha.
Kubické kvantové tečky obklopené konečnou potenciálová bariérou můžeme řešit analogicky
jako rektangulární dráty v předešlé kapitole. Za předpokladu nezávislých potenciálů ve třech
směrech jde o řešení tří Schrödingerových rovnic
−
∂2
ψ(z 0 ) + V 0 (z 0 )ψ(z 0 ) = Ez0 0 ψ(z 0 )
∂z 02
(3.60)
−
∂2
ψ(y 0 ) + V 0 (y 0 )ψ(y 0 ) = Ey0 0 ψ(y 0 )
∂y 02
(3.61)
∂2
ψ(x0 ) + V 0 (x0 )ψ(x0 ) = Ex0 0 ψ(x0 ).
(3.62)
∂x02
Podobně použijeme také poruchovou teorii s tím rozdílem, že ji rozšíříme do tří dimenzí.
−
∆E = hψ(x, y, z)|V (x, y, z)|ψ(x, y, z)i
(3.63)
37
25
[nxn yn z]
[1 1 1]
[1 1 2]
[1 2 2]
[1 1 1]
[1 1 2]
[1 2 2]
E[eV]
20
15
10
5
0
1
2
3
a[nm]
4
5
Obrázek 3.28: První tři energetické hladiny v závislosti na velikosti rektangulární kvantové
tečky (”krabice”) CdS, obklopeného bariérou 4eV. Přerušovanou čarou jsou znázorněny první
tři hladiny stejné struktury v modelu nekonečné bariéry.
neboli
Z
+∞ Z +∞ Z +∞
∆E =
−∞
−∞
ψ ∗ (x)ψ ∗ (y)ψ ∗ (z)V (x, y, z)ψ(x)ψ(y)ψ(z)dxdydz.
(3.64)
−∞
Jako V musíme nyní počítat zápornou hodnotu 8 rohových potenciálů a 12 hranových
potenciálů.
Výsledky výpočtů energetických hladin jsou na obr. 3.28. Výsledky výpočtů hustoty pravděpodobnosti nalezení náboje budou podobné, jako u modelu s nekonečnou bariérou, s tím
rozdílem, že mimo tečku nebudou nulové, ale budou exponenciálně klesat (podobně jako u
kvantového drátu) (viz obr. 3.29).
3.1.5
Nuladimenzionální struktura - sférická kvantová tečka
Podobně jako u kvantového drátu s kruhovým řezem, u sférické tečky (viz obr. 3.30) se nabízí
převedení Schrödingerovy rovnice
−
~2
∇ψ(x, y, z) + V (x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)
2m
(3.65)
do sférických souřadnic (r, θ, φ). V jednotkách délky a a jednotkách energie ~2 /2mL2 pak
rovnice (3.65) přechází na tvar
³ ∂2
2 ∂
1 h 1 ∂ ³
∂ ¢
1 ∂ 2 i´
−
+
+
sin
θ
+
ψ(r0 , θ, φ) = (E 0 − V 0 )ψ(r0 , θ, φ).
∂r02 r0 ∂r0 r02 sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
(3.66)
[211]
38
V=1.5eV
[211]
V=infinity
Obrázek 3.29: Srovnání hustoty pravděpodobnosti náboje rektangulární kvantové tečky, pro
případ konečného a nekonečného potenciálu, pro kvantové číslo [211].
z
V
r
y
V=0
x
Obrázek 3.30: Shema sférické kvantové tečky
39
|Y10|2
Re(Y10)2
Im(Y10)2
|Y11|2
Re(Y11)2
Im(Y11)2
|Y20|2
Re(Y20)2
Im(Y20)2
|Y21|2
Re(Y21)2
Im(Y21)2
|Y22|2
Re(Y22)2
Im(Y22)2
|Y30|2
Re(Y30)2
Im(Y30)2
Obrázek 3.31: Sférické harmonické funkce pro některá kvantová čísla, vyjádřená po řadě
kvadrátem modulu, reálnou částí kvadrátu a imaginární částí kvadrátu.
Část rovnice (3.66) v hranatých závorkách je bezrozměrný čtverec úhlové hybnosti L2 .
Vlastní funkce tohoto operátoru jsou degenerované, takže můžeme bazické stavy definovat
jako sférické harmonické funkce Ylm (viz obr. 3.31). Rovnici (3.66) dále můžeme separovat do
proměnných r a úhlů θ, φ, pak ψ = R(r0 )Ylm (θ, φ) a
h2 ∂
∂2
l(l + 1) i
− 0 0 + 02 −
R(r0 ) = (E 0 − V 0 (r0 ))R(r0 ).
(3.67)
r ∂r
∂r
r02
Opět rozdělíme oblast na dva případy, oblast klasicky povolenou (E − V ) > 0 (očekáváme
harmonický průběh) a klasicky nepovolenou (E − V ) < 0 (očekáváme exponenciální pokles)
a definujeme substituci k (3.14) a κ (3.15). Pro R(r0 ) lze najít řešení [16]
R(r) = Ajl (kr),
(E − V ) > 0
(3.68)
R(r) = Bfl (κr),
(E − V ) < 0,
(3.69)
kde jl je sférická Besselova funkce prvního druhu řádu l, definovaná jako
r
π
jl (x) =
J
(x),
2x l+1/2
(3.70)
kde Jl je Besselova funkce prvního druhu, daná (3.47). fl je sférická Besselova funkce druhého
druhu řádu l, definovaná jako
40
20
nx=1,n y=1,n z=1
nx=2,n y=1,n z=2
E[eV]
15
nx=1,n y=2,n z=2
n=1,l=0
n=1,l=1
n=2,l=0
10
5
0
0.5
1
1.5
a[nm]
2
2.5
Obrázek 3.32: Tři nejnižší energetické hladiny sférické kvantové tečky CdS v závislosti na
poloměru a. Ke srovnání jsou přerušovanou čarou znázorněny tři nejnižší hladiny tečky se
čtvercovou podstavou velikosti 2a.
l=0
l=1
l=2
n=3
n=3
n=3
n=2
n=2
n=2
n=1
n=1
n=1
0
0.5
r [nm/a]
1
0
0.5
r [nm/a]
1
0
0.5
r [nm/a]
1
Obrázek 3.33: Vlnové funkce sférické tečky, obklopené nekonečnou bariérou pro různá kvantová čísla n, l.
r
jl (x) =
π
K
(x),
2x l+1/2
(3.71)
kde Kl je Besselova funkce druhého druhu, daná (3.48).
V nejjednodušším případě, kdy tečku obklopíme nekonečnou potenciálovou bariérou, pro oblast mimo tečku a na hranici tečky vlnová funkce musí být nulová. Z této podmínky dostáváme
řešení
r
2 Jl (χnl ar )
ψnlm (r) = Ylm
,
(3.72)
a3 Jl+1 (χnl )
kde −l ≤ m ≤ l; l = 0, 1, 2, ...; n = 1, 2, 3, ... jsou kvantová čísla, Jl je příslušná Besselova
41
[100]
[110]
[111]
[120]
[121]
[122]
[130]
[131]
[200]
[210]
[211]
[220]
Obrázek 3.34: Hustota pravděpodobnosti náboje sférické kvantové tečky, obklopeného hypotetickou nekonečnou bariérou pro různé kvantové čísla [nlm]. Horní polovina obrázku zobrazuje řez hustotou pravděpodobnosti, dolní polovina vybranou ekvipotenciální plochu.
42
funkce a Ylm jsou sférické harmonické funkce. Vlastní hodnoty energie Enl plynou z požadavku
nulovosti vlnové funkce na hranici
Enl =
~2 χ2nl
,
2m a2
(3.73)
kde χnl je n-tý nulový kořen sférické Besselovy funkce řádu l, a je poloměr kvantové tečky.
Jestliže označíme kvantová čísla l = 0, 1, 2... písmeny s, p, d..., prvními kořeny jsou χ1s =
π; χ1p = 4.493; χ1d = 5.763 atd.
Na obr. 3.32 je výpočet tří nejnižších energetických hladin sférické kvantové tečky CdS v
závislosti na poloměru a. Ke srovnání jsou přerušovanou čarou znázorněny tři nejnižší hladiny
tečky se čtvercovou podstavou velikosti 2a. Z výsledků vyplývá, že energetické hladiny sféricky
symetrické tečky jsou vyšší než hladiny tečky rektangulární. Na obr. 3.33 jsou znázorněny
vlnové funkce, resp. jejich části, závislé na r pro různá kvantová čísla n, l. Na obr. 3.34 je na
první pohled vykreslen design varné konvice druhé poloviny 21. století, na druhý pohled ale
zjišťujeme, že se jedná o hustotu pravděpodobnosti nalezení náboje pro různá kvantová čísla
[nlm]. V horní části obrázku je znázorněn řez rovinami, v dolní části vybraná ekvipotenciální
plocha.
Vezmeme-li v potaz, že v reálném případě je tečka obklopena potenciálovou bariérou konečné
velikosti, problém přestává být řešitelný analyticky, nastupují numerické metody.
Pro oblasti mimo tečku a vně tečky známe řešení
ψ(r0 , θ, φ) = Ajl (kr0 )Ylm (θ, φ),
r<a
(3.74)
ψ(r0 , θ, φ) = Bfl (κr0 )Ylm (θ, φ),
r > a.
(3.75)
Tato dvě řešení musí vyhovovat podmínce spojitosti ψ a
A, B se zbavíme podílem těchto dvou podmínek
∂ψ
∂r
na hranici tečky. Konstant
jl0 (k)
f 0 (κ)
= l
.
jl (k)
fl (κ)
(3.76)
Tato podmínka je řešitelná Newton-Rapsonovou iterací (viz kapitola 3.1.1).
Dalším přístupem k řešení Schrödingerovy rovnice (3.67) je použití metody konečných
diferencí (viz kapitola 3.1.1). K tomuto účelu lze převést rovnici (3.67) do tvaru konečných
diferencí [1]
£
¤
2r2 + r2 (δr/)2 (V (r) − E) + δz 2 l(l + 1) ψ(r) + (rδr + r2 )ψ(r − δr)
ψ(r + δr) =
.
r2 + rδr
(3.77)
Vlnové funkce, resp. části, závislé na r, jsou na obr. 3.35. Průběh je podobný, jako u
modelu nekonečné jámy s tím rozdílem, že mimo jámu není vlnová funkce nulová, ale exponenciálně klesá k nule. Výsledky výpočtů hustoty pravděpodobnosti náboje budou opět
podobné, jako u modelu s nekonečnou bariérou, s tím rozdílem, že pravděpodobnost nalezení
43
l=0
l=1
l=2
n=3
n=3
n=3
n=2
n=2
n=2
n=1
n=1
n=1
0
0.5
1
r [nm/a]
1.5
0
0.5
1
r [nm/a]
1.5
0
0.5
1
r [nm/a]
1.5
Obrázek 3.35: Vlnové funkce ve sférické kvantové tečce CdS s výškou potenciálové bariéry
4eV pro různá kvantová čísla n, l.
[131]
V=3eV
[131]
V=infinity
Obrázek 3.36: Srovnání hustoty pravděpodobnosti náboje sférické kvantové tečky, pro případ konečného a nekonečného potenciálu, pro kvantové číslo [131].
náboje uvnitř tečky je < 100% (viz obr. 3.36).
Výpočty, nastíněné v této kapitole, byly provedené na různé typy struktur (2-, 1- a 0dimenzionální) pro pravoúhlou potenciálovou jámu. U všech tří struktur lze pozorovat znatelný rozdíl výsledků vlastních energií a vlnových funkcí mezi modelem nekonečné a konečné
potnciálové jámy. V následujících kapitolách budu model dále zpřesňovat zavedením nespojitosti na hranici struktury (viz kapitola 3.2, zahrnutím Coulombovského potenciálu (viz kapitola 3.3).
3.2
Nespojitost efektivní hmotnosti na hranici struktury
Poměrně veliké nepřesnosti ve výpočtu se dopouštíme, když heteropřechod mezi nízkodimenzionální strukturou a okolím vyjádříme pouze výškou potenciálové bariéry. Při přechodu do
44
okolí struktury se samozřejmě mění i ostatní materiálové vlastnosti jako dielektrická konstanta, mřížková konstanta a nejdůležitější z nich - efektivní hmotnost. Kinetický operátor,
pro konstantní hmotnost vyjádříme jako
~2 2
∇ ,
2m
(3.78)
´
~2 ³ 1
∇
∇ .
2
m(r)
(3.79)
T =−
přechází [1, 17] do tvaru
T =−
Schrödingerova rovnice pro sférickou tečku pak přechází na tvar
−
´
~2 ³ 1
∇
∇r ψ(r) + V (r)ψ(r) = Eψ(r).
2
m(r)
(3.80)
Řešení takovéto rovnice se opět rozpadá na dva případy, pro oblast (E − V ) > 0 a
(E − V ) < 0. Opět si zavedeme substituce
k2 =
κ2 =
2m(E − V )
,
~2
E−V >0
(3.81)
2mg(V − E)
,
~2
E − V < 0,
(3.82)
kde g = m1 /m2 je podíl efektivních hmotností uvnitř a mimo tečku. Pro každou oblast zvlášť
pak docházíme k řešení (3.80). Vlastní vlnová funkce musí vyhovovat podmínce spojitosti ψ
a ∂ψ
∂r na hranici, což vyjadřuje podmínka
jl0 (k)
1 fl0 (κ)
=
.
jl (k)
g fl (κ)
(3.83)
Na obr. 3.37 je závislost výšky hladiny 1s elektronu na velikosti pro různé parametry
g. g = 1 vyjadřuje dříve uvažovaný jednoduchý případ, kde neuvažujeme změnu efektivní
hmotnosti na hranici tečky, g = meSiO2 /me je případem, kdy tečka je obklopena SiO2 a
g = 1/me je případem tečky v roztoku, kde hmotnost elektronu je 1. Zvyšováním koeficientu
g dostáváme nižší hladiny. Na obr. 3.38 je výpočet celého spektra sférické tečky CdSe o
poloměru 2.8nm. Se zvětšováním koeficientu g dochází ke snižování energetických hladin,
které je markantnější u vyšších hladin. Na obr. 3.39 je znázorněn průběh vlnových funkcí pro
různé kvantové čísla n, l.
3.3
Zahrnutí Coulombovské interakce
Dalším krokem ke zpřesnění modelu je zahrnutí Coulombovské interakce mezi elektronem a
dírou. Takovýto problém bude v následujícím textu popsán pouze pro sférickou kvantovou
tečku vzhledem k možnosti porovnání teoretických výsledků s experimenty. Problém popisuje
následující Hamiltonián
45
0.7
g=1
g=1/me=1.29
g=mSiO2/me=4.76
0.6
E[eV]
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
3
4
a[nm]
5
6
Obrázek 3.37: Závislost energie elektronu 1s na poloměru sférické tečky a CdS pro různé
hodnoty parametru g.
3
g=1
g=1/m e=7.69
2.5
E[eV]
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
l
Obrázek 3.38: Rozložení energetických hladin sférické tečky CdSe pro různé hodnoty parametru g, pro kvantová čísla l = 0, 1, 2, 3.
46
g=1/me
g=1
l=0
g=1/me
g=1
l=1
n=3
g=1/me
g=1
l=2
n=2
n=2
n=1
n=1
n=2
n=1
0
0.5
1
r [nm/a]
1.5
0
0.5
1
r [nm/a]
1.5
0
0.5
1
r [nm/a]
1.5
Obrázek 3.39: Vlnové funkce sférické kvantové tečky CdSe s konečným potenciálem 4eV.
2 2
2 2
e2
c = − ~ ∇e − ~ ∇h −
+ Ve (re ) + Vh (rh ).
H
2me
2mh
ε2 |re − rh |
(3.84)
Vlnová funkce je pak součinem vlnové funkce elektronu, díry a jejich relativního pohybu.
ψ(re , rh ) = ψe (re ).ψh (rh ).ψr
(3.85)
V objemových materiálech je Coulombovká interakce neodmyslitelnou součástí a je důvodem vzniku excitonů - částice, tvořené párem elektron-díra. Hamiltonián objemových látek je
separovatelný do části relativního a těžišťového pohybu páru elektron-díra. U sférické kvantové tečky, bereme-li v potaz Coloumbovskou interakci, vyskytuje se zde změna v symetrii,
protože Coulombovská interakce závisí na prostorové vzdálenosti mezi elektronem a dírou.
Proto separace (3.84) na relativní a těžišťový pohyb v případě kvantové tečky není tak jednoduchá.
Nejjednodušší přiblížení bere Coloumbovskou energetickou váhu jako převrácenou hodnotu vzdálenosti elektronu a díry (∼ 1/R), zatímco kinetickou energetickou váhu jako převrácenou hodnotu čtverce velikosti (∼ 1/R2 ). Jeden možný popis kvantové tečky o malé velikosti,
v tzv. oblasti silného omezení (R ¿ aB , kde aB je excitonový Bohrův poloměr - vzdálenost
mezi elektronem a dírou) zahrnuje všechny možné efekty Coloumbovské interakce a řešení
problému se redukuje na řešení diskutované výše. Kvantové tečky o velikostech R ¿ aB lze
řešit v analogii s problémem ”částice v krabici”, jestliže je pár elektron-díra, tzv. exciton, brán
jako samostatná částice v omezeném potenciálu. Tento případ tzv. slabého omezení funguje
dobře u polovodičů s vysokými excitonovými vazebními energiemi jako je CuCl, CuBr.
Navzdory těmto hrubým aproximacím, Hamiltonián (3.84) je řešitelný poruchovou teorií
[18]. Pro řešení prvního excitovaného stavu poruchovou teorií dostáváme výraz
E10 =
~2 π 2 ³ 1
1 ´ 1.8e2
+
−
.
2R2 me mh
ε2 R
(3.86)
Pro srovnání s experimentálními daty jsem použila přibližného výsledku (3.87), přesněji
druhý výraz, který představuje Coulombovskou energii. Ten byl odečten od celkové energie,
47
vypočtené z modelů, zmiňovaných dříve. Toto přiblížení je pouze přibližné, dává představu,
jak veliká může být korekce Coulombovskou energií.
Další zpřesnění modelu získáme zohledněním konečné výšky potenciálové bariéry Ve a Vh .
Zahrnutí tohoto efektu bude předmětem mého dalšího zkoumání.
3.4
Srovnání s experimentem
Výsledky výše zmíněných modelů jsem porovnala s výsledky experimentů. Ty jsou založeny
na měření tzv. efektivního zakázaného pásu, tzn. energie prvního optického přechodu
E = Ee + Eh + Eex + Egap ,
(3.87)
kde Ee , Eh je energie 1s elektronu, resp. 1s díry, Egap je výška zakázaného pásu objemového materiálu, Eex je energie excitonu - Coulombovské interakce elektron-díra, analyticky
vypočtena podle (3.87).
Následující experimenty byly provedeny na sférických tečkách, připravovaných chemickou
cestou, kde vzorky byly měřeny v roztoku. Tomu odpovídá představa konečně vysoké potenciálové bariéry pro elektron a nekonečné bariéry pro díru [19]. Pro roztok jako obklopující
medium musíme uvažovat hmotnost elektronu mimo tečku m0 , tzn. koeficient g = 1/me .
CdSe sférické tečky v roztoku
Na obr. 3.40 je vidět zpřesňování modelu průběhu efektivního zakázaného pásu, od nejjednoduššího modelu nekonečného potenciálu, přes zahrnutí efektu konečnosti potenciálu, až k
zahrnutí nespojitosti efektivní hmotnosti na hranici struktury. Přidána je také křivka zahrnující Coulombovský efekt. Lze vidět, že poslední model spolehlivě popisuje experimentální
výsledky, pro částice se slabším omezením popisuje dobře model bez Coulombovského efektu.
Na obr. 3.41 je znázorněn výsledek modelů pro různé výšky potenciálové bariéry Ve .
Experimentální výsledky dobře popisuje výška 4eV. V literatuře se objevují různé hodnoty
mh , na obr. 3.42 je výpočet pro tyto různé hodnoty. Jak lze vidět, výsledek se liší nepatrně,
v řádech setin eV.
Experimentální výsledky jsou z publikace [20].
CdS sférické tečky v roztoku
Na obr. 3.43 je opět vidět zpřesňování modelu. Lze vidět, že model dobře popisuje částice
větší než 1.5 nm, pro částice menší je model nedostačující. Na obr. 3.44 je vidět výpočet pro
různé výšky potenciálové bariéry Ve , experimentální výsledky dobře popisuje model s výškou
4eV. V literatuře se objevují různé hodnoty me , na obr. 3.45 je vidět, že vzhledem k rozptylu
experimentálních hodnot je rozdíl zanedbatelný.
PbS sférické tečky v roztoku
Na obr. 3.46 jsou opět výsledky zpřesňování modelu. Vzhledem k rozptylu experimentálních
dat je těžké určit, jak přesně model popisuje realitu. Lze však očekávat, stejně jako v předchozích případech, že tendenci experimentu křivka popisuje dobře pro částice o velikosti větší
48
než 2nm. Obr. 3.47 ilustruje skutečnost, že volba výšky potenciálové bariéry Ve výsledek
dramaticky neovlivňuje, stejně jako volba me a mh (viz obr. 3.48).
3.5
Další možnosti zpřesňování modelu
Možností, jak zpřesnit dosud vytvořený model, je zahrnutí neparabolicity pásové struktury
nebo zahrnutí interakcí mezi více jak jedním párem elektron-díra.
3.5.1
Směšování stavů děr
V dalším kroku zpřesnění modelu je třeba opustit obraz parabolické pásové struktury polovodičů a je třeba uvažovat realističtější modely. Polovodiče jako CdS, CdSe, ZnSe, stejně
jako polovodiče skupiny III-V mají vodivostní pás tvořen s-orbitou kovových iontů, zatímco
valenční pás vzniká z p-orbity S, Se nebo jinou částicí skupiny V nebo VI. Pro velmi malé
kvantové tečky může být neparabolicita pásu kritická. Modely, které zahrnují neparabolicitu
většinou kopírují Kánův model [21] a jeho diagonalizační techniku.
Zatímco vodivostní pás je ve většině případů dobře aproximovatelný parabolickým pásem,
2-krát spinově degenerovaným v bodě k = 0, valenční pás nikoli. Na obr. 3.49 je znázorněna
pásová struktura sfaleritové krystalové struktury. Kombinujeme-li orbitální hybnost 1 a úhlovou hybnost 1/2 spinu, můžeme zkonstruovat valeční pás s degererací 4 totální úhlovou
hybností J = 3/2 (mJ = ±3/2; ±1/2) a valenční pás s degenerací 2 s J = 1/2 (mJ = ±1/2).
V bodě k = 0 jsou tyto dva pásy rozděleny energií, tzv. konstantou spinové vazby ∆SO . Záleží
na polovodičovém materiálu, zda je vrchol valenčního pásu tvořen J = 3/2-stavy (typické pro
II-VI a III-V polovodiče) nebo J = 1/2 stavy (typické pro CuCl). Pro první dva ”mezipásy”
se vžil termín těžké (HH - heavy-hole) a lehké (LH - light-hole) díry a pro nejnižší valenční
pás spinový odštěpený pás (SO - spin-orbit split-off band).
Efektivní hmotnosti díry jednotlivých pásu jsou rozdílné. Disperze energií díry není parabolická, ale izotropní. V Hamiltoniánu díry je pak izotropičnost představena Luttingerovými
parametry γ1 , γ2 , γ3 [22]
2
b h = (γ1 + 5 γ2 ) pb − γ2 (p2 J 2 + p2 J 2 + p2 J 2 ) −
H
y y
z z
2
2m0
m0 x x
+{py pz }{Jy Jz} + {pz px }{Jz Jx}].
2γ3
m0 [{px py }{Jx Jy}
(3.88)
Takto aplikovaný Hamiltonián vede ke zpřesnění a tato možnost bude předmětem mého
dalšího studia.
3.5.2
Model dvou párů elektron-díra
Jestliže je excitován více než jeden pár elektron-díra, musíme také uvažovat interakce elektronelektron, díra-díra a elektron-díra, nejméně čtyřčásticový systém. Počet opticky excitovaných
párů záleží na hustotě stavů populace. Ve velké tečce může být vytvořen velký počet energetických stavů více párů, což vede na řešení mnohočásticového problému. Odpovídající Hamiltonián lze napsat jako
b =H
be + H
b h + Vee + Vhh + Veh + δV (ε1 , ε2 , r e , r h ) + V conf ,
H
e,h
(3.89)
49
spherical QD, CdSe, me=0.13, mh=0.4, Egap=1.73eV
3.5
V=infinity, g=1
V=4eV, g=1
V=4eV, g=1/me
coulomb, V=4eV, g=1/m
e
EXPERIMENT
E[eV]
3
2.5
2
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
a[nm]
Obrázek 3.40: Závislost výšky efektivního zakázaného pásu sférické kvantové tečky CdSe
v roztoku pro různé modely - model nekonečné potenciálové bariérou, konečné potenciálové
bariéry, model, zahrnující nespojitost efektivní hmotnosti na hranici tečky a zahrnutí Coulombovské energie.
spherical QD, CdSe, me=0.13, mh=0.4, Egap=1.73eV, g=1/me
V=1eV
V=2eV
V=3eV
V=4eV
coulomb, V=1eV
coulomb, V=2eV
coulomb, V=3eV
coulomb, V=4eV
EXPERIMENT
2.6
E[eV]
2.4
2.2
2
1.8
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
a[nm]
Obrázek 3.41: Závislost výšky efektivního zakázaného pásu sférické kvantové tečky CdSe v
roztoku pro různé výšky potenciálové bariéry.
50
spherical QD, CdSe, me=0.13, Egap=1.73eV, g=1/me
2.5
mh=0.4, V=1eV
mh=0.45, V=1eV
coulomb, mh=0.4, V=4eV
coulomb, mh=0.45, V=4eV
EXPERIMENT
2.4
2.3
E[eV]
2.2
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
a[nm]
Obrázek 3.42: Závislost výšky efektivního zakázaného pásu sférické kvantové tečky CdSe v
roztoku pro různé efektivní hmotnosti díry.
spherical QD, CdS, me=0.21, mh=0.8, Egap=2.43eV
6
g=1, V=infinity
g=1, V=4eV
g=1/me, V=4eV
coulomb, g=1/me, V=4eV
EXPERIMENT
5.5
5
E[eV]
4.5
4
3.5
3
2.5
2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
a[nm]
3.5
4
4.5
5
Obrázek 3.43: Závislost výšky efektivního zakázaného pásu sférické kvantové tečky CdS
51
spherical, CdS, me=0.21, mh=0.8, Egap=2.43, g=1/me
6
V=1eV
V=2eV
V=4eV
coulomb, V=1eV
coulomb, V=2eV
coulomb, V=4eV
EXPERIMENT
5.5
5
E[eV]
4.5
4
3.5
3
2.5
2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
a[nm]
3.5
4
4.5
5
Obrázek 3.44: Závislost výšky efektivního zakázaného pásu sférické kvantové tečky CdS v
spherical QD, CdS, mh=0.8, g=1/me, Egap=2.43eV, coulomb
5.5
me=0.21, V=1eV
me=0.21,V=2eV
me=0.21,V=4eV
me=0.19, V=1eV
me=0.19,V=2eV
me=0.19,V=4eV
EXPERIMENT
5
E[eV]
4.5
4
3.5
3
2.5
2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
a[nm]
3.5
4
4.5
5
Obrázek 3.45: Závislost výšky efektivního zakázaného pásu sférické kvantové tečky CdS v
roztoku pro různé efektivní hmotnosti elektronu a díry.
52
spherical QD, PbS, me=0.1, mh=0.1, Egap=0.37eV
2.5
V=infinity, g=1
V=1eV, g=1
V=1eV, g=1/me
coulomb, V=1eV, g=1/m
e
EXPERIMENT
E[eV]
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
a[nm]
Obrázek 3.46: Závislost výšky efektivního zakázaného pásu sférické kvantové tečky PbS
spherical QD, PbS, me=0.1, mh=0.1, Egap=0.37eV, g=1/me
2.5
V=1eV
V=2eV
V=4eV
coulomb, V=1eV
coulomb, V=2eV
coulomb, V=4eV
EXPERIMENT
E[eV]
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
a[nm]
Obrázek 3.47: Závislost výšky efektivního zakázaného pásu sférické kvantové tečky PbS v
53
be a H
b h jsou Hamiltoniány elektronu a díry, Vee , Vhh a Veh je vyjádření Coulombovské
kde H
interakce elektron-elektron, díra-díra a elektron-díra, δV (ε1 , ε2 , r e , r h ) je korekce Coulombovského potenciálu plynoucí ze změny dielektrické konstanty polovodiče a hostujícího materiálu
conf
a Ve,h
je výška potenciálové bariéry pro elektron a díru.
Stejně u předchozí kapitoly, zahrnutí tohoto efektu bude předmětem mé budoucí práce.
54
spherical QD, PbS, Egap=0.37eV, V=1eV, g=1/me
2.5
me=0.1, mh=0.1
me=0.12, mh=0.11
coulomb, me=0.1, mh=0.1
coulomb, me=0.12, mh=0.11
EXPERIMENT
E[eV]
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
a[nm]
Obrázek 3.48: Závislost výšky efektivního zakázaného pásu sférické kvantové tečky PbS v
roztoku pro různé efektivní hmotnosti elektronu.
E
0
k
HH
LH
SO
Obrázek 3.49: Pásová struktura polovodiče, krystalující ve sfaleritové krystalické struktuře.
Kapitola 4
Modelování optických vlastností
Následující kapitola se věnuje modelování optických vlastností kvantových teček. Pro ostatní
velikostně omezené struktury by řešení bylo analogické s přihlédnutím na spojitost energetických pásů v některé z dimenzí.
V následující kapitole budou také diskutovány další optické vlastnosti, jako je průběh
komplexní permitivity nebo komplexního indexu lomu, který je determinován průběhem absorpčního koeficientu kvantové tečky uvnitř hostujícího materiálu.
4.1
Optické přechody
Diskutujme nyní absorpční spektrum α(ω) kvantové tečky, jejíž stavy jsou řešením problému
”částice v krabici”. Toto spektrum je úměrné pravděpodobnosti dipólového optického přechodu mezi jednotlivými stavy elektronu a díry jsou dány
α(ω) ∼ |hΨf |e.p̂|Ψi i|2 ,
(4.1)
kde e.p̂ je dipólový operátor (e udává polarizaci, p̂ je operátor hybnosti). Ψi a Ψf jsou
počáteční a konečné stavy optického přechodu:
|ii : Ψi (r) = uνi · ψi (r)
|f i : Ψf (r) = uνf · ψf (r),
(4.2)
kde uνi je periodická funkce Bravaisovy mřížky (viz kapitola 2.3). Uvažujeme-li pouze přechody ”mezipásové”, kdy νi 6= νf , pak integrál (4.1) můžeme přepsat jako
hΨf |e.p̂|Ψi i = huνf |e.p̂|uνi ihψf |ψi i = pcv hψf |ψi i.
(4.3)
Tento integrál může být separován do rychle oscilující Blochovy části a části obálkové
funkce. Integrace Blochovy části vede k velikostně nezávislému mezipásovému dipólovému
elementu matice pcv . Specifické výběrové pravidlo pro mezipásové přechody pro kvantovou
tečku obdržíme integrováním funkce ψ přes objem kvantové tečky. Integrál můžeme počítat
i
. Díky ortonormalitě obálkových funkcí ψf a ψi integrace
exaktně, využít symetrii funkce ψnlm
vede na delta funkce δif . Jako výsledek dostáváme dobře známé výběrové pravidlo, podle
kterého všechny přechody, které zachovávají n a l jsou povoleny mezi neinteragujícími stavy
elektronu a díry, tzn. 1se → 1sh , 1pe → 1ph , 1de → 1dh atd. Tzv. síla oscilátoru těchto
4. Modelování optických vlastností
56
E
stavy elektronů
3s
2s
1s
0
1s
2s
3s
stavy děr
Obrázek 4.1: Schema dipólových povolených optických přechodů v modelu ”částice v krabici”, s nekonečnou potenciálovou bariérou.
přechodů je úměrná (2l + 1) díky součtu přes všechny stavy −l ≤ m ≤ l přispívající k
absorpci. Jestliže zahrneme efekty rozšíření absorpční čáry, nalezneme optické přechody na
e + E h nad zakázaným pásem a absorpční koeficient můžeme napsat jako
energiích hω = Enl
nl
α(ω) =
|pcv | X
e
h
(2l + 1)δ(~ω − Enl
− Enl
).
V
(4.4)
n,l
Možné přechody jsou naznačeny na obr. 4.1.
V případě mezipásových přechodů zjišťujeme, že výběrové pravidlo možných přechodů je
nf 6= ni ; lf − li = 0, ±1; mf − mi = 0, ±1 pro optické přechody mezi stavy elektronu a díry.
Tato jednoduchá úvaha je pro začátek důležitá, přináší nám představu o kvalitativním
průběhu absorpce. Dokáže vysvětlit modrý posun absorpce při zmenšování velikosti kvantových teček, ale nedokáže vysvětlit do detailů všechny pozorované efekty změny absorpčního
spektra při kvantovém omezování.
Vezmeme-li v potaz konečnost potenciálové jámy, vlnové funkce elektronu a díry netvoří
přesně ortogonální soustavu, korespondující vlnové funkce již nejsou identické a pravděpodobnost přechodu mezi neodpovídajícími si stavy nabude nezanedbatelné pravděpodobnosti
a přibudou další delta funkce v optickém spektru.
4.1.1
Homogenní a nehomogenní rozšíření
Z předchozích teoretických úvah bychom očekávali sérii diskrétních optických rezonancí QD.
Experimentální absorpční spektra však takovýto průběh nevykazují, rezonanční píky jsou
rozšířeny. Pozorována je změna absorpčního spektra při změně teploty z pokojové na teplotu kapalného helia. Absorpční hrana se posouvá k vyšším fotonovým energiím, ale pouze
malé zúžení šířky absorpčního píku základního stavu je pozorován. U klasických objemových
materiálů je tomu naopak, velmi silné zúžení je pozorováno mezi 300 K a 4 K.
QD různých velikostí absorbují při různých fotonových energiích. Proto velikostní fluktuace QD má za následek nehomogenní rozšíření, které je v zásadě nezávislé na teplotě. Pro
soubor kvantových teček s charakteristickou distribuční funkcí velikostí teček p(a) pak můžeme absorpční koeficient napsat jako vážený součet přes velikostí distribuční funkci p(a)
jako
57
E
stavy elektronů
3s
2s
1s
0
1s
2s
3s
stavy děr
Obrázek 4.2: Schema dipólových povolených optických přechodů v modelu ”částice v krabici”, s konečnou potenciálovou bariérou.
p
α(ω) =
V
Z
da
4π 3
a p(a)α(ω, a),
3
(4.5)
kde V je průměrný objem tečky, a je poloměr tečky a α(ω, a) je absorpční koeficient jedné
tečky, závislý na frekvenci a poloměru tečky.
V případě homogenního rozšíření, které je způsobené fonony a konečnou délkou doby
života elektronu na dané vyšší energetické hladině, se o všech částic předpokládá, že jsou
identické a mají identické funkce tvaru čáry.
Homogenní rozšíření u kvantových teček při nízkých teplotách je pozorováno větší než u
objemových materiálů. Získání přesné hodnoty homogenního rozšíření je velmi složité, protože
závisí na mnoha faktorech (jiných než Lorentzovské rozšíření, excitované stavy, velikost a
teplota), které zatím nejsou přesně známy. Experimentálně byla zjištěna teplotní závislost
excitonového rozšíření a lze vyjádřit vztahem
Γ(T ) = Γ0 + ∆Γnph
nph =
1
.
exp(~ωLO /kT ) − 1
(4.6)
Tento výraz je pouze přibližným pohledem. Zde rozšíření excitonu je způsobeno emisí
a absorpcí jednoho LO fononu (pro CdSe byly změřeny hodnoty Γ0 = 4.1meV a ∆Γ =
52.8meV [23]). První hodnota zahrnuje mimo LO fononovou emisi také slabě teplotně se
závislý příspěvek akustického fononu a malé pozadí vznikající rozptylem defektu.
Na obr. 4.3 je srovnání výpočtu a experimentálních měření [20] absorpčního spektra a
CdSe sférických teček s různými poloměry. Pro výpočet byl použit model konečné potenciálové
bariéry, kde výška potenciální bariéry pro elektrony byla zvolena Ve = 4eV a protože byl
vzorek měřen v roztoku, potenciálová bariéra pro díry byla zvolena nekonečná. Model zahrnuje
také nespojitost efektní hmotnosti na hranici tečky a Coulombovskou energii. Jak lze vidět, pro
větší tečky model dobře popisuje první přechody, u menších teček se experiment s teoretickým
modelem rozchází. Důvodem je použití aproximace efektivní hmotností na silně omezené
částice, na které je toto přiblížení příliš hrubé. Zpřesnění lze dosáhnout zahrnutím efektů,
popsaných v kapitole 3.5.
58
Obrázek 4.3: Absorpční koeficient sférické CdSe tečky v závislosti na energii (frekvenci) pro
různé poloměry tečky.
4.2
59
Optické vlastnosti plynoucí z absorpčního koeficientu
Ze znalosti absorpčního koeficientu lze jednoduchým přepočtem získat absorpční index k
2ωk
,
(4.7)
c
kde c je rychlost světla. Ten tvoří imaginární část komplexního indexu lomu n∗ = n + ik.
Reálná a imaginární část indexu lomu jsou spolu svázány Kramers-Kröningovými relacemi
Z
2 ∞ 0 ω 0 k(ω 0 )
n(ω) =
dω 02
.
(4.8)
π 0
ω − ω2
α=
Index lomu a absorpční index nesou veškerou informaci o průběhu komplexní permitivity
ε = ε1 + iε2
ε1 = n2 − k 2
ε2 = 2nk.
(4.9)
Kapitola 5
Ostatní modely elektronové
struktury
Přestože aproximace efektní hmotností dává dobrou představu o velikostně-kvantovém efektu,
u teček menších než přibližně 1.5 nm selhává. U takto malých struktur je třeba řešit problém
rigoróznějšími přístupy. Motivací mé diplomové práce bude mimo jiné popsání optických vlastností teček o velikostech, které leží pod hranicí použitelnosti aproximace efektivní hmotností,
navíc teček se složitější pásovou strukturou (Si, Ge). V následujích podkapitolách jsem se snažila nastínit cestu některých ab initio metod, empirickou metodu pseudopotenciálu [1, 24, 25],
metodu těsné vazby [26, ?, ?, 27] a Hartree-Fockovu metodu [28, 29, 30]. Prostorové omezení nanočástic lze také řešit např. metodou kvantové Monte Carlo [31, 32, 33] nebo teorií
funkcionální hustoty [34].
5.1
Empirická pseudopotenciální metoda
Empirická metoda pseudopotenciálu je založena na řadě aproximací. První aproximace se
týká přirozené elektronové interakce uvnitř látky. Předpokládá se, že tyto interakce mohou
být přesně nahrazeny jednoelektronovým potenciálem. Tato aproximace může být ospravedlněna Hartree-Fockovým popisem látky, ve které se každý elektron pohybuje v průměrném
potenciálu ostatních elektronů. Jednoelektronová aproximace vede na Schrödingerovu rovnici
tvaru
£
−
¤
~2 2
∇ + V (r) Ψn (r) = En Ψn (r),
2m
(5.1)
kde V (r) je elektronový potenciál (tzv. pseudopotenciál) zahrnující interakce elektron-jádro
a stínění elektron-elektron, En je energetická hladina n-tého stavu Ψn . V další aproximace
uvažuje pouze konfiguraci valenčních elektronů, elektrony, těsně svázány s jádrem neuvažuje.
Schema atomového pseudopotenciálu je na obr. 5.1. Potenciál ”všech elektronů” je výsledným potenciálem jak jaderných, tak valenčních elektronů, pseudopotenciál zahrnuje pouze
valenční elektrony. V oblasti kolem jádra (r < rc ) je odchylka pseudopotenciálu od potenciálu
všech elektronů velmi výrazná. Singularita 1/r je z oblasti blízko jader odstraněna. Transformace mezi potenciálem všech elektronů a pseudopotenciály může být provedena rigorózně.
Jediným požadavkem je, aby byl pseudopotenciál slabý a rychle konverguje ve Fourierově
5. Ostatní modely elektronové struktury
61
Obrázek 5.1: Schema pseudopotenciálů a ”potenciálů všech elektronů”. Pseudopotenciální
a pseudo-vlnová funkce dobře souhlasí s výsledkem ”všech elektronů” vně poloměru jádra rc
prostoru. Potenciál se rozkladá do atomových pseudopotenciálů. Pro elementární krystal diamantové struktury může být napsán jako
Vp (r) =
X
Vpa (|r − R − τ |),
(5.2)
R,r
kde
R = a(lx + my + nz)
(5.3)
τ = ±a(x + y + z)/8,
(5.4)
kde a je mřížková konstanta, R je mřížkový vektor a τ je bazický vektor, (l, m, n) je soubor
libovolných celých čísel. Předpokládá se sféricky symetrický pseudopotenciál pro každý atom
Vpa . Ve Fourierově prostoru, rovnice (5.2) může být přepsána jako
Vp (r) =
X
Vpa (G)cos(G · τ ), kde
(5.5)
G
G=
2π
(hx + jy + kx),
a
(5.6)
kde G je reciproký mřížkový vektor. Celá čísla (h, j, k) mohou být buď všechna lichá nebo
všechna sudá. Vpa (G) se nazývá formující faktor (form factor) a je definován jako
Z
1
a
Vp (G) =
Vpa (r) exp(iG · r)d3 r,
(5.7)
Ωa
kde Ωa je objem atomu. Jestliže pseudopotenciál konverguje rychle ve Fourierově prostoru,
pouze několik málo formujícíh faktorů musí konvergovat. Tyto formující faktory korespondují s
nejmenšími G-vektory. Např. pro krystalický křemík jsou potřeba pouze tři formující faktory
k definování elektronických vlastností [35]. Ty mohou být vypočteny nebo nafitovány na
experimentální data.
62
Obrázek 5.2: Schema pseudopotenciálu V (q) ve Fourierově prostoru. Hodnoty V (q) pro
nejnižší reciproké vektory, G se nazývají formující faktory.
Jestliže je potenciál definován, energetické a prostorové distribuce stavů elektronu mohou
být určeny. Obvykle se definuje báze rovinných vln
Ψn,k (r) =
X
αn (k, G) exp(i(k + G) · r),
(5.8)
G
kde Ψn,k (r) je Blochova funkce, n je index pásu a k je vlnový vektor. Vlnová funkce a energetické pásy jsou pak vlastními čísly a vlastními funkcemi
¯
¯³ ~2 (k + G)2
´
¯
¯
− E δG,G0 + Vpa (|G − G0 |) cos((G − G0 ) · τ )¯ = 0
det ¯
2m
(5.9)
Typicky je třeba uvažovat kolem 100 rovinných vln.
5.2
Metoda těsné vazby
Další metoda pro výpočet optických přechodů kvantové tečky je založena na těsné vazbě.
Vlnová funkce může být napsána jako součet bazických funkcí
Ψn (r) =
X
anj,k Φj (r − Rk ),
(5.10)
j,k
kde (j, m) označují pozice atomů, dané Rm a lokální orbitou Φj pro (s, p, d, ...) stav. Pro popis
lokální orbity Φj můžeme použít různé formy vyjádření - atomové orbitaly, exponenciály, atd.
Uvažujme Hamiltonián těsné vazby HT B . Přecházíme k řešení problému vlastních čísel
Hlm Ψn = En Slm Ψn ,
(5.11)
kde
Hlm =
X
jj 0 kk0
Z
alj,k am
j 0 ,k0
Φ∗j (r − Rk )HT B Φj 0 (r − Rk0 )d3 r
(5.12)
63
a překryvový maticový element Slm je dán
Z
X
l
m
Slm =
aj,k aj 0 ,k0 Φ∗j (r − Rk )Φ∗j 0 (r − Rk0 )d3 r.
(5.13)
jj 0 kk0
Maticové elementy mohou být vypočteny přímo, jestliže známe HT B . V opačném případě
může být nafitován na experimentální data. Jestliže známe maticové elementy, energie a vlnové
funkce mohou být nalezeny standardními maticovými operacemi.
Metoda těsné vazby má jednu nespornou výhodu oproti pseudopotenciální metodě. Každý
atom je reprezentován malým počtem orbit, např. pro křemík stačí uvažovat sp3 konfiguraci
pro každý atom. Takže místo 50-100 rovinných vln připadající na jeden atom, můžeme počítat
pouze se 4 orbitami.
Poměrně veliké tečky mohou být řešeny modelem těsné vazby, např. tečky o několika
stovkách atomů již byly řešeny.
5.3
Hartreeho-Fockova metoda
Rigorózním přístupem k řešením totální energie křemíkových nanokrystalů je vyřešení Schrödingerovy rovnice mnohočásticového systému. Toto ale znamená vyřešení komplexního problému s mnoha stupni volnosti. Elektronovou část Hamiltoniánu pro N elektronový systém v
nejjednodušší formě můžeme napsat jako
(
)
2
X ~2
X Z m e2
X
e
−
∇2 +
+
Ψ(r 1 , ..., r N ) = EΨ(r 1 , ..., r N ), (5.14)
2m i
|r i − Rm |
|r i − r j |
i
i,m
i>j,i6=j
kde Rm je pozice jader s atomovým číslem Zm , E je totální energie systému. Tento složitý
problém může však být vyřešen pomocí následujících aproximací. Například mnohočásticová
vlnová funkce může být v Hartree-Fockově aproximaci napsána jako
φ1 (r 1 s1 )
φ (r s )
Ψ(r 1 s1 , ..., r N sN ) = det 2 1 1
...
φN (r 1 s1 )
φ1 (r 2 s2 )
φ2 (r 2 s2 )
...
φN (r 2 s2 )
...
...
...
...
φ1 (r N sN )
...
...
φN (r N sN ),
(5.15)
kde spinová souřadnice je explicitně psána jako s. Tato forma vlnové funkce je známa jako
Slaterův determinant. Je v něm obsažena symetrie vlnové funkce fermionů a Pauliho princip.
Jestliže dva elektrony obsadí stejný orbital, dvě řady determinantu budou stejné a vlnová
funkce bude nulová. Determinant bude také nulový v případě, jestliže dva elektrony obsadí
ten samý bod v prostoru.
Jestliže použijeme Slaterův determinant, elektronové stavy a orbity dostaneme jako řešení
Hartree-Fockovy rovnice
³
P R e2 |φj (r0 )|2 3 0 ´
2 ∇2
− ~2m
+ Vion (r) + N
d r φi (r)
j
|r´
−r0 |
(5.16)
PN ³ R e2 ∗ 0
− j
φ (r )φj (r)d3 r0 δsi ,sj φj (r) = Ei φi (r)
|r−r0 | j
64
kde Vion je
Vion (r) = −
X Z m e2
.
|r − r m |
m
(5.17)
Tato rovnice se obvykle přepisuje na
h
−
i
~2 ∇2
− Vion (r) + VH (r) + Vxi (r) φi (r) = Ei φi (r),
2m
(5.18)
kde Hartreeho potenciál je definován
∇2 VH (r) = −4πeρ(r).
ρ(r) = −e
X
(5.19)
|Ψ(r)|2
(5.20)
n
Součet v rovnici 5.20 probíhá přes všechny obsazené stavy. Řešení (5.18) značně komplikuje tzv. výměnný potenciál (exchange potencial) Vxi (r), protože je orbitalově závislý. Je dán
výrazem
N
Vxi (r) = −
1 X
φj (r)δsi ,sj
φi (r)
Z
j=1
e2
φ∗ (r 0 )φ∗i (r 0 )d3 (r 0 ).
|r − r 0 | j
(5.21)
Jestliže najdeme Hartree-Fockovy orbitaly φi (r), celková energie systému může být vypočtena jako
E(N ) =
N
X
n=1
−
1
2
Z
N
VH (r)ρ(r)d3 r −
1X
2
Z
φ∗i (r)φi (r)Vxi (r)d3 r
(5.22)
i=1
Hartree-Fockova aproximace má jeden nedostatek a to, že nedokáže zahrnout korelační
energie. Korelační energie jsou obvykle definovány jako rozdíl mezi exaktním řešením a řešením Hartree-Fockovou metodou. Tento rozdíl nastává díky Slaterovu determinantu, který
nedostatečně nahrazuje exaktní mnohočásticovou vlnovou funkci. Tento nedostatek lze vyřešit dodáním prázdné nebo virtuální orbity do determinantu. Této metodě se říká metoda
konfigurační interakce (CI - configuration interaction method).
Kapitola 6
Praktická implementace modelování
vlastností kvantových nanostruktur
Praktická část mé práce spočívala ve vytvoření softwarového balíku pro modelování vlastností kvantových polovodičových (CdS, PbS, CdSe) nanostruktur (kvantové jámy, kvantového drátu, kvantové tečky). Klíčovým je výpočet energetického spektra, což bylo provedeno
ve dvou typech prostorové geometrie (rektangulární a kruhové) metodou aproximace efektivní
hmotností - řešení bezčasové Schrödingerovy rovnice ”částice v krabici” (particle in the box)
v jedné, dvou a třech dimezních (viz kapitola 3.1). Pásová struktura byla uvažována parabolická. Řešen byl nejprve nejjednodušší model, kdy částice (elektron a díra) jsou posazeny
do nekonečně hluboké potenciálové jámy, který je řešitelný analyticky. Tento hrubý model
sloužil pro srovnání s přesnějším modelem konečné potenciálové jámy. Zahrnut byl také efekt
nespojitosti efektivní hmotnosti na hranici struktury. Ze zjištěného energetického spektra dále
vychází výpočty frekvenční závislosti absorpčního koeficientu.
K řešení Schrödingerovy rovnice (parciální diferenciální rovnice) byly pro srovnání použity dvě numerické metody. První, která využívá znalosti analytických řešení pro klasicky
povolenou a klasicky nepovolenou část pravoúhlé kvantové jámy, řešení pak vyhovuje podmínce spojitosti vlnové funkce a její derivace na hranici potenciálové jámy. Tato metoda je
numericky méně náročnější a numericky stabilnější než druhá metoda, metoda konečných diferencí, která je však aplikovatelná na obecný průběh potenciálu. Obě metody jsou tzv. metodami střelby, kdy vlnové funkce jsou vypočítány pro odhad energie, který je dále zpřesňován
Newton-Rapsonovou iterací do té doby, než jsou s uspokojivou přesností splněny hraniční
podmínky.
Softwarový balík byl vyroben v programu MATLAB.
6.1
Konvergence metod
První metoda je méně numericky náročnější, protože pro splnění podmínky spojitosti vlnové
funkce a její derivace na hranici nám postačí výpočet pouze v jednom bodě a to na hranici
jámy. Energii je pak možno vypočítat s libovolnou přesností (jde o ”kvazianalytické” řešení).
Zatímco u druhé metody vlnovou funkci musím vypočítat v každém bodě (z tohoto nám
plyne volba hustoty sítě bodů) a přičemž se kontroluje splnění podmínky nulovosti vlnové
funkce v nekonečnu (z tohoto plyne volba vzdálenosti nekonečna). Na obr. 6.1 jsou znázorněny
konvergenční grafy pro různé volby parametru O, resp. M , kde O značí počet bodů v jámě a
6. Praktická implementace modelování vlastností kvantových nanostruktur
spherical CdS, a=6.5nm, V=4eV, 1s
3.265
M =5
M = 10, 15, 20
II. metoda
3.26
3.255
0.0436
0.0435
E[eV]
E[eV]
M = 1.25
M = 1.5, 1.75, 2, 5
II. metoda
0.0437
3.25
3.245
3.24
0.0434
0.0433
0.0432
3.235
0.0431
3.23
0.043
0.0429
100 200 500
1000
O
3.225
100 200
500
1000
O
0.176
M = 1.25
M = 1.5, 1.75, 2, 5
II. metoda
0.175
M = 1.25
M = 1.5
M = 1.75, 2, 5
II. metoda
3.48
3.47
3.46
0.174
E[eV]
E[eV]
66
0.173
3.45
3.44
3.43
3.42
0.172
100 200 500
O
3.41
3.4
100 200
1000
500
O
1000
Obrázek 6.1: Konvergence metody konečných diferencí v závislosti na parametrech O a M
pro různé velikosti tečky a a pro různé hladiny. Přerušovanou čarou je znázorněn výsledek
metodou hledání spojitosti analytických řešení na hranici jámy.
M vzdálenost nekonečna v jednotkách velikosti jámy. Jak lze vidět pro velmi malou tečku (0.5
nm) je vzdálenost nekonečna M kritická, je třeba volit vzdálenost M > 5, to protože vlnová
funkce stavu 1s velmi malé tečky propaguje do okolí jámy mnohem více než u tečky větší, tam
postačí volit M > 1.5. Lze vidět, že se zvyšováním počtu bodů v jámě O výsledek konverguje
k přesné hodnotě metody hledání spojitosti analytických řešení na hranici jámy. Taky lze
vidět, že se zvýšením hodnoty O ze 100 na 1000, což znamená 10-tinásobek výpočetního času,
jsme schopni zpřesnit výsledek v řádu setin eV.
6.2
Použité konstanty
Pro numerické výpočty je třeba definovat redukované atomové jednotky. V těchto jednotkách
je pak
~ = m∗ = e = a∗0 = 1
ε = 1/4π,
(6.1)
kde ~ Plancova konstanta, m∗ je efektivní hmostnost, e je náboj elektronu, ε je dielekrická
6. Praktická implementace modelování vlastností kvantových nanostruktur
c
e
ε0
~
m0
rychlost světla ve vakuu
náboj elektronu
permitivita vakua
Planckova konstanta
hmotnost elektronu
67
2.9979e8 m/s
1.6088e-19 C
8.8542e-12 F/m
1.0546e-34 J.s
9.1095e-031 kg
Tabulka 6.1: Atomové konstanty
me
mh
V
Eg
ε
efektivní hmostnost elektronu
efektivní hmostnost díry
potenciálová bariéra
zakázaný pás
permitivita
CdS
0.19 me
0.8 me
3.8 eV
2.58 eV
5.7 ε0
PbS
0.1 me
0.1 me
3.8 eV
0.37 eV
17 ε0
CdSe
0.13 me
0.45 me
3.8 eV
1.75 eV
9.3 ε0
Tabulka 6.2: Materiálové konstanty [36]
konstanta a a∗0 je efektivní Bohrův poloměr
a∗0 =
4πε~2
.
m ∗ e2
(6.2)
Jednotkou délky je Bohrův poloměr a jednotkou energie je
E0 =
e2
.
4πεa∗0
(6.3)
V tabulce 6.1 jsou uvedeny hodnoty použitých atomových konstant, v tabulce 6.2 pak
výčet použitých materiálových konstant.
Kapitola 7
Možné aplikace kvantových
nanostruktur
Prvním pokusem o pochopení zvláštních a unikátních vlastností kvantově omezených struktur
bylo především výzkum zabývající se optickými vlastnosti. Objevení jedinečných optických
vlastností (disktrétních optických přechodů, nelinearity, elektro-optického jevu, tzv. modrého
posunu - blue efect, kdy se zmenšováním nanokrystalu dochází k posouvání povolených přechodů s vyššíím energiím, kratším vlnovým délkám) skel a polymerů dopovanými kvantovými
částicemi vedlo k velkému zájmu o tyto struktury pro všechny optické aplikace. Již na začátku 80-tých let bylo vypracováno mnoho návrhů pro aplikace, velmi optimististicky slibující
využití polovodičových kvantově omezených struktur pro celooptické zařízení. Na začátku let
90-tých byl tento názor nahrazen více realisitickými vizemi praktického využití nanočástic.
Intenzivní snaha byla směrována k pochopení a vývoji technologických procesů. V dalších
letech mohly být detailní koncepty teorie srovnány s experimenty s uspokojivou přesností.
Od unikátních optických vlastností si mnoho slibuje výzkum v oborech jako integrovaná
optika (kvantové tečky jsou používány jako aktivní části vlnovodných struktur, v rychlých
přepínačích [37], laserových diodách [38, 39, 40, 41], zesilovačích [41] elektroabsorpčních modulátorech [42]) nebo dynamické holografie (kvantové tečky jako fotorefraktivní materiál) [43].
Právě těmto dvěma vybraným směrům se krátce věnují následující partie.
7.1
Polovodičové nanokrystaly ve fotonicky omezených strukturách
Fotonické krystaly (photonic crystals - PhCs) jsou uměle vytvořené optické materiály s periodickou změnou indexu lomu, která má za následek vytvoření tzv. fotonických zakázaných
pásů (photonic band gaps - PBGs). V posledních letech se PhCs těší velkému zájmu díky
schopnosti kontrolovat optické pole. Uměle vytvořené defekty mohou vytvořit lokalizované
elektromagnetické módy v PBG a tím se stát optickými vlnovody nebo optickými rezonátory.
Kvantově omezené nanostruktury pak mohou být ve PhCs použity jako aktivní laserovací medium. Takto byly použity kvantové jámy a kvantové tečky, které díky disktrétnímu charakteru
energetických hladin slibují zlepšení laserových charakteristik, jako je výška prahového proudu
nebo teplotní charakteristiky. Kombinace těchto dvou nanostruktur - PhCs a QD je klíčem
k budoucím fononickým aplikacím. Manipulací elektronem i fotonem mohou vznikat velmi
účinné lasery miniaturních velikostí [44, 45, 46, 47] nebo neklasické zdroje jako jednofotonové
7. Možné aplikace kvantových nanostruktur
69
světelné emitory [48]. QD ve PhCs mohou také být nelineárním zdrojem fázového posunu
(optical switch) [37].
Obrázek 7.1: (vlevo) Schema propagujícího módu ek uvnitř dutiny fotonického krystalu.
Módy jsou znázorněny tmavě vybarvenými soustřednými kruhy a plné kruhy reprezentují
vrduchové díry. (vpravo) Schema dutiny ve fotonickém krystalu.[49]
Na obr. 7.1 vlevo je znázorněno schema propagujícího módu ek uvnitř dutiny fotonického
krystalu. V pravo je schema nanodutiny, do které je vložena QD, jejíž excitonová rezonance
je blízká erzonanci dutiny. Propagující pole excituje dutinu, která je ve vazbě s propagujícím
Blochovým módem a vloženou QD.
První experimenty byly prováděny s vysoce kvalitními jednodimenzionálními mikrodutinami, slibnějšími se potom ukázaly planární fotonické krystaly ([50]), které vykazovaly zlepšení emisního faktoru při pokojové teplotě.
Také bylo publikováno mnoho experimentálních prací, které studují spontánní emisi světla
v třídimenzionální periodické dielektrické struktuře s vloženými nanokrystaly. Experimentálně
byla vyrobena struktura 3D opálových fotonických krystalů plněných vodním roztokem CdT e
nanočástic velikostí v rozmezí od 1.8 do 2.4nm [51]. Práce [52] se věnuje luminiscenci CdS
nanočástic, vložených do a − Si/SiO2 3D fotonických krystalů. Charakterizovány byly také
módy emise ve 2D fotonické struktuře s InAs nanočásticemi jako aktivní materiál [53].
Vypracováno bylo také několik numerických metod na výpočet rozložení pole ve fotonicky
omezené struktuře obsahující laserově aktivní QD. Tyto metody jsou založené na použití klasické teorii Greenovy funkce a kvantové Dysonovy rovnice [50, 11] nebo frekvenčně závislá
metoda konečných diferencí [54]. Příklad výpočtu rozložení pole poslední zmiňovanou metodou, aplikovanou na strukturu 2D fotonických krystalů, obsahující QD, náhodně rozložené ve
fotonické struktuře je na obr. 7.2.
7.2
Kvantové tečky ve fotorefraktivních strukturách
Dynamické (s možností změny v čase) fázové difrakční struktury pracující na principu tzv.
fotorefraktivního jevu, kdy osvětlením vhodného krystalu (fotorefraktivního materiálu) interferenčním polem dochází v materiálu ke vzniku volných nosičů náboje (např. elektronů).
Takto vzniká lokální elektrického pole, které způsobí změnu indexu lomu. Jelikož proces probíhá v reálném čase, jedná se o materiály dynamické (difraktivní strutura se v reálném čase
7. Možné aplikace kvantových nanostruktur
70
Obrázek 7.2: Výpočet rozložení optického pole (napravo) Hz a (nalevo) Ex [14].
zaznamená a současně na dané struktuře difraktuje). Ke standardně používaným materiálům patří anorganické krystaly (LiN bO3 , KN bO3 , BaT iO3 ), dále polymerní materiály nebo
polovodičové kvantové jámy [55, 56].
Díky dynamičnosti a vysoké difrakční účinosti jsou fotorefraktivní krystaly unikátním
nástrojem v optickém zpracování informací - zpracovávání obrazu v reálném čase, optickém
přepojování, paralelním odečítání obrazu, fázové konjugace, optických pamětí a prostorové
modulace světla. Obecně se fotorefraktivní krystaly využívají v aplikacích, kde je třeba v
reálném čase vytvářet a zároveň číst výsledek operace.
QD (CdS, CdSe [43]) jsou používány jako senzibilizátory v polymerních nebo skelných
matricích. Interferenční pole, dopadající na film, obsahující QD, vytváří populaci volných nábojů, která moduluje absorpci vrstvy (imaginární část indexu lomu) nosičově indukovaným
Starkovým efektem. Díky kauzalitě Kramers-Krönigovy transformace je současně modulována reálná část indexu lomu. Tak je obecně tvořena smíšená mřížka (absorpce i index lomu
jsou modulovány). Oproti organickým molekulám, které jednoduše degradují při intenzivním
osvícení, QD jsou charakterizovány vynikající dlouhotrvající fotostabilitou díky silné chemické vazbě anorganických polovodičů. Velká optická nelinearita (díky nosičově indukovaném
Starkově efektu), spektrální laditelnost velikostí částic, chemická flexibilita a velký stupeň
fotostability dělá z QD atraktivní fotorefraktivní materiál.
Svou diplomovou práci bych ráda orientovala na modelování optických vlastností QD v
návaznosti na aplikace zmíněné v předešlých kapitolách. Výpočet lineárního a nelineárního
absorpčního koeficientu nebo emise QD různých polovodičových materiálů různého geometrického uspořádání by mohl sloužit jako předpověď vlastností, které aplikace vyžaduje.
Kapitola 8
Závěr
Teoretická část mé práce popisuje základní fyzikální charakteristiky kvantově omezených nanostruktur (QD, QWe, Qwi). Blíže se věnuje možným teoretickým popisům a fyzikálním aproximacím těchto struktur. Nastiňuje také možnost využití v některých aplikačních oblastech
fotoniky.
V praktické části mé práce byla snaha o vytvoření dostačujícího modelu, který by se s
uspojivou přesností shodoval s výsledky experimentu. Byl vytvořen softwarový balík, který
mimo energetického spektra simuluje také optické vlastnosti. Model je postaven na aproximaci
efektivní hmotností (aproximaci obálkovou funkcí). Do modelu je zahrnut efekt konečnosti
pravoúhlé potenciálové jámy, zahrnuta je také nespojitost na hranici struktury. Pásová struktura je aproximována parabolickou. Teoretické výsledky jsem srovnala s experimentálními
daty a mohu říci, že model popisuje dobře optické vlastností pro částice větší než přibližně
1.5 nm.
V textu je zmíněn možný směr dalšího zpřesnění modelu, které bude předmětem mého
dalšího výzkumu. Dalším zajímavým bodem mé budoucí práce bude určitě využití jiných
fyzikálních modelů, než aproximace efektivní hmotností a porovnání těchto modelů.
Literatura
[1] P. Harrison, Quantum Wells, Wires and Dots (Theoretical and Computational Physics).
John Wiley & Son, 1999.
[2] C. P. Poole and F. J. Owens, Introduction to nanotechnology. John Wiley & Sons, Inc.,
2003.
[3] A. Fojtík, H. Weller, U. Koch, and A. Henglein, “Photo-chemistry of colloidal metal
sulfides,” Ber. Bunsendes. Phys. Chem., vol. 88, pp. 969–977, 1984.
[4] H. Weller, H. M. Schmidt, U. Koch, A. Fojtik, S. Baral, A. Henglein, W. Kunath,
K. Weiss, and E. Dieman, “Photochemistry of colloidal semiconductors. Onset of light
absorption as a function of size of extremely small CdS particles.,” Ch. Phys. Letters,
vol. 124, no. 6, pp. 557–560, 1986.
[5] Y. Wang, A. Suna, W. Mahler, and R. Kasowski, “PbS in polymers. From molecules
to bulk solids.,” J. Chem. Phys., vol. 91, no. 2, pp. 257–260, 1987.
[6] K. A. Alim, V. A. Fonoberov, M. Shamsa, and A. A. Balandin, “Micro-raman investigation of optical phonons in ZnO nanocrystals,” J. of Appl. Phys., vol. 97, pp. 1243131–
5, 2005.
[7] T. Muranakaa, H. Okadab, H. Fujikuraa, and H. Hasegawaa, “Realization of InP-based
InGaAs single electron transistors on wires and dots grown by selective MBE,” Microelectronic Engineering, vol. 47, pp. 201–203, 1999.
[8] F. Volpi, A. R. Peaker, I. D. Hawkins, M. P. Halsall, P. B. Kenway, A. Portavoce,
A. Ronda, and I. Berbezier, “Hole trapping in self-assembled SiGe quantum nanostructures,” Materials Science and Engineering, vol. B101, pp. 338–344, 2003.
[9] E. Pelucchi, S. Watanabe, K. Leifer, B. Dwir, and E. Kapon, “Site-controlled quantum
dots grown in inverted pyramids for photonic crystal applications,” Physica E, vol. 23,
pp. 476–481, 2004.
[10] E. Kapon, E. Pelucchi, S. Watanabe, A. Malko, M. H. Baier, K. Leifer, B. Dwir, F. Michelini, and M.-A. Dupertuis, “Site-and energy-controlled pyramidal quantum dot heterostructures,” Physica E, vol. 25, pp. 288–297, 2004.
[11] N. N. Ledentsov, V. A. Shchukin, M. Grundmann, N. Kirstaedter, J. Böhrer, O. Schmidt,
D. Bimberg, V. M. Ustinov, A. Y. Egorov, A. E. Zhukov, P. S. Kop’ev, S. V. Zaitsev,
N. Y. Gordeev, Z. I. Alferov, A. I. Borovkov, A. O. Kosogov, S. S. Ruvimov, P. Werner,
LITERATURA
73
U. Gösele, and J. Heydenreich, “Direct formation of vertically coupled quantum dots
in Stranski-Krastanow growth,” Phys. Rev. B, vol. 54, no. 12, pp. 8743–8750, 1996.
[12] V. A. Fonoberov and A. A. Balandin, “Excitonic properties of strained wurtzite and
zinc-blende GaN/Alx Ga1−x N quantum dots,” J. of Appl. Phys., vol. 94, no. 11,
pp. 7178–7186, 2003.
[13] H. Sakaki, “Progress and prospects of advanced quantum nanostructures and roles of
molecular beam epitaxy,” Journal of Crystal Growth, vol. 251, pp. 9–16, 2003.
[14] J. M. Moison, F. Houzay, F. Barthe, L. Leprince, E. André, and O. Vatel, “Self-organized
growth of regular nanometer-scale InAs dots on GaAs,” Appl. Phys. Lett., vol. 64, no. 2,
pp. 196–198, 1994.
[15] J. Y. Marzin and G. Bastard, “Calculation of the energy-levels in InAs/GaAs quantum
dots,” Solid State Communications, vol. 92, no. 437-442, 1994.
[16] Tools for science. http://www.physics.csbsju.edu/QM/.
[17] N. H. Quang, T. T. Trung, J. Sée, and P. Dollfus, “Exact calculation of single-electron
states in Si-nanocrystal embedded in SiO2 ,” (preprint).
[18] E. O. Kane, “Band structure of indium antimonide,” J. Chem. Phys. Solids, vol. 1,
pp. 249–261, 1957.
[19] U. Woggon, Optical properties of semicondor quantum dots. Springer, 1997.
[20] S. Nalwa, Handbook of Nanostructured Materials and Nanotechnology. Academic Press.
[21] L. E. Brus, “Electron-electron and electron-hole interactions in small semiconductor
crystallites: The size dependence of the lowest excited electronic state,” J. Chem. Phys.,
vol. 80, pp. 4403–4409, 1984.
[22] J. M. Luttinger, “Quantum theory of cyclotron resonance in semiconductors: General
theory,” Phys. Rev., vol. 102, pp. 1030–1041, 1956.
[23] F. Henneberger and S. S.-R. E. O. Göbel, Optics of semiconductor nanostructures.
Akademie Verlag, 1993.
[24] A. Tomasulo and M. V. Ramakrishna, “Spectral shifts of semiconductor clusters,”
Chem. Phys., vol. 9502003, 1995.
[25] A. Franceschetti and A. Zunger, “Direct pseudopotential calculation of exciton Coulomb
and exchange energies in semiconductor quantum dots,” Phys. Rev. Lett., vol. 78, no. 5,
pp. 915–918, 1997.
[26] J. P. Proot, C. Delerue, and G. Allan, “Electronic structure and optical properties of
silicon crystallites: application to porous silicon,” Appl. Phys. Lett., vol. 62, no. 1948,
pp. 423–425, 1992.
[27] T. Tchelidze and T. Kereselidze, “Exciton energies and probability of their radiative
decay in GaN/AlN quantum structures,” Opto-electronic Review, vol. 12, no. 4, pp. 441–
443, 2004.
LITERATURA
74
[28] S. McCarthy, Calculation of the Electronic Structure of N-Electron Quantum Dots using
Hartree-Fock Method. Honour Thesis for University of Western Australia, 2000.
[29] S. A. McCarthy, J. B. Wang, and P. C. Abbott, “Electronic structure calculation for
N-electron quantum dots,” Computer Physics Communications, vol. 141, pp. 175–204,
2001.
[30] C. Hines, S. A. McCarthy, J. B. Wang, and P. C. Abbott, “Electronic structure of
quantum dots,” Nanotech, vol. 1, pp. 498 – 501, 2002.
[31] B. L. Hammond, W. A. Lester, and P. J. Reynolds, Monte Carlo Methods in Ab Initio
Quantum Chemistry. World Scientific, 1994.
[32] A. J. Williamson, R. Q. Hood, and J. C. Grossman, “Linear scaling quantum Monte
Carlo calculations,” Phys. Rev. Lett., vol. 87, p. 246406, 2001.
[33] E. Räsänen, H. Saarikoski, V. N. Stavrou, A. Harju, M. J. Puska, and R. M. Nieminen,
“Electronic structure of rectangular quantum dots,” Phys. Rev. B, vol. 67, pp. 2353071–
8, 2003.
[34] C. S. Garoufalis and A. D. Zdetsis, “Real space optical gap calculations in oxygenated
Si nanocrystals,” J. of Phys.: Conference Series, vol. 10, pp. 69–72, 2005.
[35] M. L. Cohen and J. R. Chelikowsky, Electronic Structure and Optical Properties of
Semiconductors. Springer-Verlag, 1989.
[36] C. M. Wolfe, N. Holonyak, and G. E. Stillman, Physical Properties of Semiconductors.
Prentice Hall, 1989.
[37] H. Nakamura, Y. Sugimoto, K. Kanamoto, N. Ikeda, Y. Tanaka, Y. Nakamura, S. Ohkouchi, Y. Watanabe, K. Inoue, H. Ishikawa, and K. Asakawa, “Ultra-fast photonic
crystal/quantum dot all-optical switch for future photonic networks,” Optical Express,
vol. 12, no. 26, pp. 6606–6614, 2004.
[38] S. Ossicini, L. Pavesi, and F. Priolo, Light Emitting Silicon for Microphotonics. Springer,
2003.
[39] V. I. Klimov, “Nanocrystal quantum dots. From fundamental photophysics to multicolor
lasing.,” Los Alamos Science, no. 28, pp. 214–220, 2003.
[40] P. Miska, J. Even, C. Paranthoen, O. Dehaese, H. Folliot, S. Loualiche, M. Senes, and
X. Marie, “Optical properties and carrier dynamics of InAs/InP(1 1 3)B quantum dots
emitting between 1.3 and 1.55 µm for laser applications,” Physica E, vol. 17, pp. 56–59,
2003.
[41] D. Bimberg, M. Kuntz, and M. Laemmlin, “Quantum dot photonic devices for lightwave
communication,” Microelectronics Journal, vol. 36, no. 3-6, pp. 175–179, 2005.
[42] R. Sahara, M. Matsuda, H. Shoji, K. Morito, and H. Soda, “Proposal for quantum-dot
electroabsorption modulator,” Photonics Technology Letters, vol. 8, no. 11, pp. 1477–
1479, 1996.
LITERATURA
75
[43] B. Kraabel, A. Malko, J. Hollingsworth, and V. I. Klimov, “Ultrafast dynamic holography in nanocrystal solids,” Appl. Phys. Lett., vol. 78, no. 13, pp. 1814–1817, 2001.
[44] J. Sabarinathan, P. Bhattacharya, P.-C. Yu, S. Krishna, J. Cheng, and D. G. Steel,
“An electrically injected InAs/GaAs quantum-dot photonic crystal microcavity lightemitting diode,” Appl. Phys. Lett., vol. 81, no. 20, pp. 3876–3878, 2002.
[45] V. Vitale, M. Todaro, T. Stomeo, E. Margapoti, A. Passaseo, M. D. Giorgi, M. D.
Vittorio, R. Cingolani, F. Romanato, P. Candeloro, and E. D. Fabrizio, “Light emission
tuning of In0.5 Ga0.5 As/ In0.05 Ga0.95 As quantum dots by a two-dimensional photonic
crystal,” Microelectronic Engineering, vol. 67-78, pp. 832–837, 2003.
[46] Y. A. Vlasova, K. Luterova, I. Pelant, B. Hönerlage, and V. N. Astratov, “Optical
gain and lasing in a semiconductor embedded in a three-dimensional photonic crystal,”
Journal of Crystal Growth, vol. 187-185, pp. 650–653, 1998.
[47] J. Vuckovic and Y. Yamamoto, “Photonic crystal microcavities for cavity quantum
electrodynamics with a single quantum dot,” Appl. Phys. Lett., vol. 82, no. 15, pp. 2374–
2376, 2003.
[48] Y. Ben, Z. Hao, C. Sun, F. Ren, N. Tan, and Y. Luo, “Three-dimensional photoniccrystal cavity with an embedded quantum dot as a nonclassical light emitter,” Optical
Express, vol. 12, no. 21, pp. 5146–5153, 2004.
[49] S. Hughes, “Enhanced single-photon emission from quantum dots in photonic crystal
waveguides and nanocavities,” Optics Lett., vol. 29, no. 22, pp. 2659–2661, 2004.
[50] S. Hughes, “Quantum emission dynamics from a single quantum dot in a planar photonic
crystal nanocavity,” Optics Lett., vol. 30, no. 11, pp. 1393–1395, 2005.
[51] S. V. Gaponenko, V. N. Bogomolov, E. P. Petrov, A. M. Kapitonov, A. A. Eychmueller, A. L. Rogach, I. I. Kalosha, F. Gindele, and U. Woggon, “Spontaneous emission
of organic molecules and semiconductor nanocrystals in a photonic crystal,” J. of Luminescence, vol. 87-89, pp. 152–156, 2000.
[52] O. Hanaizumi, Y. Sakurai, Y. Aizawa, S. Kawakami, E. Kuramochi, and S. Oku, “Fabrication of structures with iiiv compound semiconductors embedded into 3D photonic
crystals,” Thin Solid Films, no. 426, p. 172 177, 2003.
[53] T. Yoshie, A. Scherer, H. Chen, D. Huffaker, and D. Deppe, “Optical characterization of
two-dimensional photonic crystal cavities with indium arsenide quantum dot emitters,”
Appl. Phys. Lett., vol. 79, no. 1, pp. 114–116, 2001.
[54] S. Iwamoto, J. Tatebayashi, S. Kako, S. Ishida, and Y. Arakawa, “Numerical analysis
of DFB lasing action in photonic crystals with quantum dots,” Physica E, vol. 21,
pp. 814–819, 2004.
[55] A. Partovi, “Photorefractive multiple quantum well materials and applications to signal
processing,” Optical Materials, vol. 4, pp. 330–338, 1995.
LITERATURA
76
[56] N. T. Pelekanos, B. Deveaud, C. Guillemot, J. M. Gérard, P. Gravey, B. Lambert, A. L.
Corre, and J. E. Viallet, “Fast photorefractive materials using quantum wells,” Optical
Materials, vol. 4, pp. 348–353, 1995.
[57] S. M. North, Electronic Structure of GaSb/ GaAs and Si/ Ge Quantum Dots. Thesis
for University of Newcastle upon Tyne, 2001.
[58] C. Delerue, G. Allan, and M. Lannoo, “Theoretical aspects of the luminescence of porous
silicon,” Phys. Rev. B, vol. 48, pp. 11024–11036, 1993.
[59] F. Huaxiang, Y. Ling, and X. Xide, “Optical properties of silicon nanostructures,” Phys.
Rev. B, vol. 48, pp. 10978–10982, 1993.
[60] M. Boero, J. M. Rorison, G. Duggan, and J. C. Inkson, “A detailed theory of excitons
in quantum dots,” Surface Science, vol. 377-379, pp. 371–375, 1997.
[61] J. F. McGilp, “Optical response of low-dimensional In nanostructures grown by selfassembly on Si surfaces,” Phys. Stat. Sol., vol. 188, no. 4, pp. 1361–1369, 2001.
[62] M. Kira, F. Jahnke, W. Hoyer, and S. W. Koch, “Quantum theory of spontaneous
emission and coherent e!ects in semiconductor microstructures,” Progress in Quantum
Electronics, vol. 23, pp. 189–279, 1999.
[63] V. A. Fonoberov, E. P. Pokatilov, and A. A. Balandin, “Exciton states and optical
transitions in colloidal CdS quantum dots: Shape and dielectric mismatch effects,”
Phys. Rev. B, vol. 66, pp. 85310–13, 2002.
[64] S. Baskoutas, M. Rieth, A. F. Terzis, V. Kapaklis, and C. Politis, “Novel numerical
method for the solution of Schödinger equation:Exciton energy of CdS quantum dots,”
International J. of Modern Phys. B, vol. 16, no. 27, pp. 4093–4103, 2002.
[65] P. Coli and G. Iannaccone, “Modelling of self-organized InAs quantum dots embedded
in an AlGaAs/GaAs heterostructure,” Nanotechnology, vol. 13, pp. 263–266, 2002.
[66] A. L. Efros and A. V. Rodina, “Band-edge absorption and luminescence of nonspherical
nanometer-size crystals,” Phys. Rev. B, vol. 47, no. 15, pp. 10005–7, 1993.
[67] I. Kang and F. W. Wise, “Electronic structure and optical properties of PbS and PbSe
quantum dots,” J. Opt. Soc. Am. B, vol. 14, no. 7, pp. 1632–1646, 1997.
[68] Y. Li, O. Voskoboynikov, C.P.Lee, and S.M.Sze, “Computer simulation of electron
energy levels for different shape InAs/GaAs semiconductor quantum dots,” Computer Physics Communications, vol. 141, pp. 66–72, 2001.
[69] B. G. Fernandezand, M. López, C. García, A. Pérez-Rodríguez, J. R. Morante, C. Bonafos, M. Carrada, and A. Claverie, “Influence of average size and interface passivation on
the spectral emission of Si nanocrystals embedded in SiO2 ,” J. of Appl. Phys., vol. 91,
no. 2, pp. 796–807, 2002.
[70] I. Vasiliev, S. Ögüt, and J. R. Chelikowsky, “Ab initio absorption spectra and optical
gaps in nanocrystalline silicon,” Phys. Rev. Lett., vol. 86, no. 9, pp. 1813–1816, 2001.
LITERATURA
77
[71] I. P. Ipatova, A. Y. Maslov, and O. V. Proshina, “Polaron in quantum nanostructures,”
Surface Science, vol. 507-510, pp. 598–602, 2002.
[72] T. Ogino, Y. Homma, Y. Kobayashi, H. Hibino, K. Prabhakaran, K. Sumitomo, H. Omi,
S. Suzuki, T. Yamashita, D. J. Bottomley, F. Ling, and A. Kaneko, “Design of Si surfaces
for self-assembled nanoarchitecture,” Surface Science, vol. 514, pp. 1–9, 2002.
[73] C. Weisbuch, H. Benisty, and R. Houdre, “Overview of fundamentals and applications
of electrons, excitons and photons in conned structures,” J. of Luminescence, vol. 85,
pp. 271–293, 2000.
[74] U. E. H. Laheld, F. B. Pedersen, and P. C. Hemmer, “Exciton in type-II quantum dots:
Finite offsets,” Phys. Rev. B, vol. 52, no. 4, pp. 2697–2703, 1995.
[75] G. Wang and K. Guo, “Interband optical absorptions in a parabolic quantum dot,”
Physica E, vol. 28, no. 1, pp. 14–21, 2005.
[76] Y. Fu and M. Willander, “Photonic dispersions of semiconductor-quantum-dot-arraybased photonic crystals in primitive and face-centered cubic lattices,” Superlattices and
Microstructures, vol. 27, no. 4, pp. 255–264, 2000.
[77] D. Gerace and L. C. Andreani, “Strong exciton-light coupling in photonic crystal nanocavities,” Phys. Stat. Sol., vol. 2, no. 2, pp. 801–804, 2005.
[78] A. Mintairov, Y. Tang, J. Merz, V. Tokranov, and S. Oktyabrsky, “Single dot nearfield spectroscopy for photonic crystal micro-cavities,” Phys. Stat. Sol., vol. 2, no. 2,
pp. 845–849, 2005.
[79] J. Moosburger, M. Kamp, A. Forchel, U. Oesterle, and R. Houdré, “Transmission
spectroscopy of photonic crystal based waveguides with resonant cavities,” J. of Appl.
Phys., vol. 91, no. 8, pp. 4791–4794, 2002.
[80] Y. A. Vlasov, K. Luterova, I. Pelant, B. Hönerlage, and V. N. Astratov, “Optical gain
of CdS quantum dots embedded in 3D photonic crystals,” Thin Solid Films, vol. 318,
pp. 93–95, 1998.
[81] S. Ogut, “First principles modeling of nanostructures,” Turk. J. Phys, vol. 27, pp. 443–
458, 2003.
[82] J. R. Chelikowsky, “Simulation of quantum confinement in silicon nanocrystals,” University of Minnesota Supercomputing Institute Research Report, vol. 156, 2003.
[83] R. Guo, H. Shi, X. Sun, W. Pecharapa, W. Techitdheera, and J. Nukeaw, “Theoretical
study of electronic-structure for semiconductor quantum dot,” Science Asia, vol. 30,
pp. 157–162, 2004.
[84] T. Matsuse, T. Hama, H. Kaihatsu, N. Toyoda, and T. Takizawa, “Electronic structures in coupled two quantum dots by 3D-mesh Hartree-Fock-Kohn-Sham calculation,”
European Phys. J. D, vol. 16, pp. 391–394, 2001.
[85] S. N. Milicic, F. Badrieh, D. Vasileska, A. Gunther, and S. M. Goodnick, “3D modeling
of silicon quantum dots,” Superlattices and Microstructures, vol. 27, no. 5/6, pp. 377–
382, 2000.
LITERATURA
78
[86] S. N. Milicic, R. Akis, D. Vasileska, A. Gunther, and S. M. Goodnick, “3D modeling
of discrete impurity effects in silicon quantum dots: energy level spacing and scarring
effects,” Superlattices and Microstructures, vol. 28, no. 5/6, pp. 461–467, 2000.
[87] M. Kobayashi, S. Miyahara, N. Mori, and C. Hamaguchi, “Electron transport in quantum dot arrays: self-consistent modeling,” Physica E, vol. 19, pp. 188–191, 2003.
[88] N. F. Johnson, “Quantum dots: few-body, low-dimensional systems,” J. of Phys.: Condens. Matter, vol. 7, pp. 965–989, 1995.
[89] M. Ciurla, J. Adamowski, B. Szafran, and S. Bednarek, “Modelling of confinement
potentials in quantum dots,” Physica E, vol. 15, pp. 261–268, 2002.
[90] F. Gelbard and K. J. Malloy, “Modeling quantum structures with the boundary element
method,” Journal of Computational Physics, vol. 171, pp. 19–39, 2001.
[91] S. Udipi, D. Vasileska, and K. Ferry, “Numerical modeling of silicon quantum dots,”
Superlattices and Microstructures, vol. 20, no. 3, pp. 343–347, 1996.
[92] A. Zunger, “Electronic-structure theory of semiconductor quantum dots,” MRS Bulletin, pp. 35–42, 1998.
[93] V. A. Fonoberov, E. P. Pokatilov, V. M. Fomin, and J. T. Devreese, “Photoluminescence
of tetrahedral quantum-dot quantum wells,” Physica E, vol. 26, pp. 63–66, 2005.
[94] V. A. Fonoberov and A. A. Balandin, “Interface and confined optical phonons in wurtzite
nanocrystals,” Phys. Rev. B, vol. 70, pp. 2332051–4, 2004.
[95] V. A. Fonoberov and A. A. Balandin, “Radiative lifetime of excitons in ZnO nanocrystals: The dead-layer effect,” Phys. Rev. B, vol. 70, pp. 1954101–5, 2004.
[96] V. A. Fonoberov, E. P. Pokatilov, V. M. Fomin, and J. T. Devreese, “Photoluminescence of tetrahedral quantum-dot quantum wells,” Phys. Rev. Lett., vol. 92, no. 12,
pp. 1274021–4, 2004.
[97] E. P. Pokatilov, V. A. Fonoberov, V. M. Fomin, and J. T. Devreese, “Development
of an eight-band theory for quantum dot heterostructures,” Phys. Rev. B, vol. 64,
pp. 2453281–16, 2001.
[98] E. P. Pokatilov, V. A. Fonoberov, V. M. Fomin, and J. T. Devreese, “Electron and hole
states in quantum dot quantum wells within a spherical eight-band model,” Phys. Rev.
B, vol. 64, pp. 2453291–7, 2001.
[99] T.O.Cheche and M.C.Chang, “Optical spectra of quantum dots: A non-adiabatic approach,” Ch. Phys. Letters, vol. 406, pp. 479–482, 2005.
[100] I. Gerdova and A. Haché, “Third-order non-linear spectroscopy of CdSe and CdSe/ZnS
core shell quantum dots,” Optics Communications, vol. 246, pp. 205–212, 2005.
[101] T. Iida and H. Ishihara, “Optically induced force between nano-particles irradiated by
electronic resonant light,” J. of Luminescence, vol. 112, pp. 151–155, 2005.
LITERATURA
79
[102] K. Tomihira, D. Kim, and M. Nakayama, “Optical properties of ZnSCdS alloy quantum
dots prepared by a colloidal method,” J. of Luminescence, vol. 112, pp. 131–135, 2005.
[103] M. Triki and S. Jaziri, “Polaronic states in IIVI quantum dot,” Applied Surface Science,
vol. 240, pp. 2–6, 2005.
[104] Y.-B. Yu, S.-N. Zhu, and K.-X. Guo, “Exciton effects on the nonlinear optical rectification in one-dimensional quantum dots,” Physics Letters A, vol. 335, pp. 175–181,
2005.
[105] H. Benisty, “Reduced electron-phonon relaxation rates in quantum-box system:
Theoretical analysis,” Phys. Rev. B, vol. 51, no. 19, pp. 13281–13293, 1995.
[106] D. A. Broido, A. Cros, and U. Rössler, “Theory of holes in quantum dots,” Phys. Rev.
B, vol. 45, no. 19, pp. 11395–11398, 1992.
[107] G. W. Bryant, “Electronic structure of ultrasmall quantum-well boxes,” Phys. Rev.
Lett., vol. 59, no. 10, pp. 1140–1143, 1987.
[108] T. Darnhofer and U. Rössler, “Effects of band structure and spin in quantum dots,”
Phys. Rev. B, vol. 47, no. 23, pp. 16020–16023, 1993.
[109] N. F. Johnson and M. C. Payne, “Exactly solvable model of interacting particles in a
quantum dots,” Phys. Rev. Lett., vol. 67, no. 9, pp. 1157–1160, 1991.
[110] U. E. H. Laheld, F. B. Pedersen, and P. C. Hemmer, “Exciton in type-II quantum
dots: Binding of spatially separated electron and hole,” Phys. Rev. B, vol. 48, no. 7,
pp. 4659–4665, 1993.
[111] D. Pfannkuche, V. Gudmundsson, and P. A. Maksym, “Comparison of Hartree, a
Hartree-Fock, and an exact treatment of quantum-dot helium,” Phys. Rev. B, vol. 47,
no. 4, pp. 2244–2250, 1993.
[112] A. L. Efros, “Luminiscence polarization of CdSe microcrystals,” Phys. Rev. B, vol. 46,
no. 12, pp. 7448–7458, 1992.
[113] N. Vankatram, D. N. Rao, and M. A. Akundi, “Nonlinear absorption, scattering and
optical limiting studies of CdS nanoparticles,” Optical Express, vol. 13, no. 3, pp. 867–
872, 2005.

modelování kvantových - Katedra fyzikální elektroniky

Transkript

Podobné dokumenty