Stáhnout soubor - Semináře na Fakultě aplikovaných věd ZČU

Stáhnout soubor - Semináře na Fakultě aplikovaných věd ZČU

Přednáška v rámci semináře FAV a habilitačního řízení
18.1. 2010
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Modelování proudění tekutin s aplikacemi
v biomechanice a ve vnitřní aerodynamice
Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
Katedra mechaniky, Fakulta aplikovaných věd
Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Matematické modelování proudění krve
v kompletním modelu bypassu
Motivace – Kardiovaskulární choroby
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
30% předčasných úmrtí na celém světě způsobeno
kardiovaskulárními chorobami (OSN statistics, 2005)
v Evropě zaznamenáno okolo 50%, v ČR dokonce více
než 50% (European cardiovascular disease statistics, 2000)
infarkt myokardu (50%), mozková mrtvice (35%)
90% případů – ateroskleróza (kornatění tepen)
vliv charakteru proudění krve (nedostatečná stimulace
cévní stěny => podpora zánětlivých procesů)
výskyt ve specifických místech (bifurkace...)
Motivace – Implantace bypassových štěpů
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
léčba: balónková angioplastika, stentování...
implantace bypassového štěpu - vliv zdravotního stavu
pacienta (trombóza, virové/bakteriální infekce, intimální hyperplázie)
(neo-)intimální hyperplázie (IH)
postoperativní proces hojení poškozené cévní stěny
(zbytnění vnitřní vrstvy v oblasti anastomózy)
40-60% ztráta průchodnosti štěpu do 10 let
(výrazně delší životnost u arteriálních štěpů než u žilních
a syntetických – odlišné materiálové vlastnosti)
Motivace – Implantace bypassových štěpů
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
léčba: balónková angioplastika, stentování...
implantace bypassového štěpu - vliv zdravotního stavu
pacienta (trombóza, virové/bakteriální infekce, intimální hyperplázie)
(neo-)intimální hyperplázie (IH)
postoperativní proces hojení poškozené cévní stěny
(zbytnění vnitřní vrstvy v oblasti anastomózy)
40-60% ztráta průchodnosti štěpu do 10 let
(výrazně delší životnost u arteriálních štěpů než u žilních
a syntetických – odlišné materiálové vlastnosti)
Motivace – Vliv hemodynamiky
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
rozvoj intimální hyperplázie na distální anastomóze
míra poškození – chirurgické poškození tkáně v oblasti
linie švu (minimalizováno mikrochirurgií)
struktura cévní stěny ovlivněna lokální hemodynamikou
(negativní vliv - recirkulace, víry, WSS, WSSG...)
nejasná souvislost mezi podobou hemodynamiky a
rozvojem IH (klinické a experimentální studie => hypotézy)
[Haruguchi et al., Intimal hyperplasia and hemodynamic factors..., 2003]
matematické modelování proudění => studium
charakteru hemodynamiky a vlivu geometrie na
strukturální změny cévní stěny na distální anastomóze
State of art
Modelování
proudění tekutin
v současnosti dvě oblasti výzkumu problematiky bypassů
Jan Vimmr
1
studium proudění krve ve standardních geometriích,
snaha o pochopení souvislostí mezi hemodynamikou a
rozvojem intimální hyperplázie
2
snaha o vylepšení stávajících geometrií v oblasti distální
anastomózy (optimalizace vybraných hemodynamických
faktorů – výskyt recirkulací, rozložení tlaku, hodnoty
smykového napětí na stěně bypassu vč. jeho gradientů...)
vzhledem ke složitosti problému bude v budoucnu nutná
provázanost klinických, experimentálních a numerických
studií (pozorována souvislost hemodynamiky a struktury
cévní stěny na biochemické a genetické úrovni,
)
[Bronzino, 2000]
State of art
Vliv geometrických, tokových a materiálových parametrů
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
State of art
Optimalizace geometrie anastomózy
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Modelování krve jako nenewtonské kapaliny
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Lidská krev
složité reologické vlastnosti
nestlačitelná vazká kapalina složená z krevní plazmy (55%), v níž jsou
rozptýleny krevní částice:
červené krvinky - erytrocyty (40%), vysoká koncentrace
bílé krvinky - leukocyty (0,06%)
krevní destičky - trombocyty (3%)
nehomogenní anizotropní kapalina s hustotou okolo 1040 − 1060 kg.m−3
Reologické vlastnosti krve
souvisí s chováním červených krvinek v závislosti na hodnotě smykové
rychlosti γ̇ [s−1 ] a celé řadě dalších faktorů (hematokrit, teplota, ...)
Viskozimetrická měření
pro γ̇ < 10 s−1 – shlukování erytrocytů, vznik tzv. rouleaux
pro γ̇ < 1 s−1 – vzrůstá složitost těchto uskupení
⇒ nárůst celkové viskozity krve vedoucí k nenewtonskému chování
pro γ̇ > 100 s−1 – rozpad rouleaux, rovnoměrné rozptýlení erytrocytů
⇒ pokles celkové viskozity krve, která se chová jako newtonská kapalina
Modelování krve jako nenewtonské kapaliny
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Malé cévy
tepénky a kapiláry
pozorován výrazný pokles viskozity
krve, tzv. Fåhræův-Linqvistův efekt
Velké cévy
aorta a velké artérie
obvyklá zjednodušení
předpoklady:
krev - homogenní kapalina,
dostatečně velké hodnoty smykové
rychlosti γ̇ > 100 [s−1 ] po celé
délce cévy
=⇒ krev jako newtonská kapalina
s konstantní viskozitou
(3 · 10−3 − 5, 5 · 10−3 Pa.s)
Modelování krve jako nenewtonské kapaliny
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Modelování proudění krve ve středně velkých tepnách (koronární,
femorální artérie) – předpoklady:
laminární, izotermické proudění
tokové vlastnosti krve odpovídají chování nestlačitelné zobecněné
newtonské kapaliny ⇒ hustota % =konst, dynamická viskozita η(γ̇)
Aplikace 3 makroskopických modelů
(0)
newtonská kapalina: η(γ̇)(0) = η∞ ≡ 3, 45 · 10−3 Pa.s
nenewtonská kapalina (Carreauův-Yasudův model):
(1)
(1)
(1)
η(γ̇)(1) = η∞ + η0 − η∞
kde
(1)
η∞
h
1 + λ(1) γ̇
= lim η(γ̇)(1) ≡ 3, 45 · 10−3 Pa.s;
≡ 56 ·
γ̇→∞
10−3 Pa.s;
(1)
η0
m i n−1
m
,
= lim η(γ̇)(1) ≡
γ̇→0
λ(1) = 1, 1902 s; m = 1, 25; n = 0, 22
[Cho et al., Effects of the non-Newtonian viscosity of blood on flows in a diseased arterial vessel, 1991]
nenewtonská kapalina (modifikovaný Crossův model):
(2)
(2)
(2)
η(γ̇)(2) = η∞ + η0 − η∞
kde
(2)
η∞
h
1 + λ(2) γ̇
= lim η(γ̇)(2) ≡ 3, 5 · 10−3 Pa.s;
≡ 160
γ̇→∞
· 10−3
(2)
η0
b i−a
,
= lim η(γ̇)(2) ≡
γ̇→0
Pa.s; λ(1) = 8, 2 s; a = 1, 23; b = 0, 64
[Leuprecht et al., Computer simulation of non-Newtonian effects of blood flow in large arteries, 2000]
Modelování krve jako nenewtonské kapaliny
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Oba
nenewtonské
mo-
dely spadají do kategorie
pseudoplastických kapalin
(shear-thinning fluids).
– platí:
√
γ̇ = 2 DII , kde DII =
1
2
TrD2 − (TrD)2 , D =
1
2
∇v + (∇v)T
– v případě nestlačitelné kapaliny je TrD = 0 =⇒ DII =
√
– smyková rychlost: γ̇ = 2 TrD2
1
2
TrD2
– konkrétně pro případ ve 2D:
tenzor rychlosti deformace
=⇒ γ̇ =
r h
2
D=
∂u
∂x
2
+
1
2
∂v
∂y
∂u
∂x
∂u + ∂v
∂y
∂x
2 i
+
1
2
∂u + ∂v
∂y
∂x
∂v
∂y
+
∂v
∂x
∂u
∂y
2
Matematický model laminárního proudění nestlačitelné zobecněné
newtonské kapaliny
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
uvažujeme ohraničenou výpočtovou oblast Ω ⊂ RN s hranicí
∂Ω = ∂ΩI ∪ ∂ΩO ∪ ∂ΩW a časový interval (0, T ) pro T > 0
proudění krve ve středně velkých tepnách lze matematicky popsat
nelineárním systémem rovnic v konzervativním tvaru
∂vj
= 0,
∂yj
∂
1 ∂p
1 ∂
∂vj
∂vi
∂vi
+
(vi vj ) +
=
η(γ̇)(k)
+
∂t
∂yj
% ∂yi
% ∂yj
∂yj
∂yi
na ΩT = Ω × (0, T ), i, j = 1, . . . , N
nelineární elipticko-parabolický systém Navierových-Stokesových
rovnic lze vyjádřit v bezrozměrovém tvaru a zapsat v kompaktní
vektorové formě jako
D
N
N
1 X ∂F Vs (w)
∂w X ∂F Is (w)
+
=
∂t
∂ys
∂ys
Re (k)
s=1
s=1
kde D = diag (0, 1, . . . , 1) řádu r = N + 1,
na ΩT = Ω × (0, T ) ,
Matematický model laminárního proudění nestlačitelné zobecněné
newtonské kapaliny
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
vektor primitivních proměnných:
w = [w1 , . . . , wr ]T ≡ [p, v1 , . . . , vN ]T ∈ Rr , w = w(y, t),
vektory nevazkých toků, s = 1, . . . , N,:
F Is (w) = [vs , v1 vs + pδ1s , . . . , vN vs + pδNs ]T ∈ Rr ,
vektory vazkých toků, s = 1, . . . , N:
h
F Vs (w) = 0, η(γ̇)(k)
∂v1
∂ys
+
∂vs
∂y1
, . . . , η(γ̇)(k)
referenční Reynoldsovo číslo: Re (k) =
∂vN
∂ys
+
∂vs
∂yN
%ref Lref vref
(k)
iT
∈ Rr ,
.
ηref
– počáteční podmínka: w(y, 0) = w 0 (y), y ∈ Ω
– okrajové podmínky: B(w (y, t)) = 0
pro (y, t) ∈ ∂Ω × (0, T )
vstup ∂ΩI : Dirichletovy okrajové podmínky v1 = v1I , . . . , vN = vNI
výstup ∂ΩO : Dirichletova okrajová podmínka p = pO
stěny ∂ΩW : neskluzové okrajové podmínky (no-slip) v = 0
Přehled a rozdělení metod numerického řešení
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Metoda umělé stlačitelnosti (ACM, Artificial Compressibility Method)
navržena A. J. Chorinem při řešení ustáleného proudění
nestlačitelných newtonských kapalin [Chorin, 1967]
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
ukážeme aplikaci i pro řešení ustáleného proudění nestlačitelných
nenewtonských kapalin
N
X
∂vs
princip:
s=1
∂ys
N
=0
nahradíme
−→
∂ %̃ X ∂vs
+
= 0,
∂ys
∂ t̃
s=1
kde %̃ ... umělá hustota, t̃ ∈ (0, ∞) ... fiktivní čas (iterační čas)
p=
ã =
%̃
,
δ
√1
δ
N
δ ... umělá stlačitelnost kapaliny
1 ∂p X ∂vs
=⇒ 2
+
=0
, ã ... umělá rychlost zvuku
ã ∂ t̃
∂ys
s=1
modifikovaný hyperbolicko-parabolický systém NavierovýchStokesových rovnic
N
N
I
∂w X ∂ F̃ s (w)
1 X ∂F Vs (w)
+
=
∂ys
∂ys
Re (k)
∂ t̃
s=1
na ΩT = Ω × (0, ∞) ,
s=1
kde vektory nevazkých toků jsou dány jako
T
I
F̃ s (w) = ã2 vs , v1 vs + pδ1s , . . . , vN vs + pδNs ∈ Rr , s = 1, . . . , N
Metoda umělé stlačitelnosti (ACM, Artificial Compressibility Method)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
při užití stacionárních okrajových podmínek a vhodné numerické
metody konvergující pro t̃ → ∞ ke stacionárnímu řešení, nebude
stacionární řešení záviset na ã, resp. na parametru δ
=⇒ získané řešení je tedy stacionárním řešením původního systému
Navierových-Stokesových rovnic
fiktivní čas t̃ má v tomto procesu ustalování pouze roli iterační
proměnné bez fyzikálního významu =⇒ metoda umělé stlačitelnosti
je aplikovatelná pouze pro řešení problémů ustáleného proudění
optimální volba parametru ã závisí na řešeném problému
pro ustálené proudění se doporučuje volit
s
ã ≈ max
Ω⊂RN
N
P
s=1
!
vs2
Metoda konečných objemů (FVM, Finite Volume Method)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
prostorová diskretizace modifikovaného systému NS rovnic ve 2D
Ω ⊂ R2 −→ disjunktní podoblasti Ωq ⊂ Ω, q = 1, 2, . . . , NCV ,
SNCV
Ωh = q=1
Ωq je aproximace Ω pomocí uzavřených konvexních
mnohoúhelníků
čtyřúhelníková síť – podoblasti Ωq jsou čtyřúhelníky
strukturovaná čtyřúhelníková síť, buňka
S4 sítě (kontrolní
S4 objem)
Ωij ≡ A1 A2 A3 A4 s hranicí ∂Ωij = m=1 Am Am+1 ≡ m=1 Γm
ij ,
Am+1 ≡ A1 pro m = 4, Am = [xm , ym ]
nm
ij =
|Γm
ij |
x
=
Sm =
nijm , y nijm
p
∆xm2
[Smx ,
T
h
∆ym
m
, − ∆x
|Γm |
|Γm |
ij
+
Smy ]T
≡ [ sin ϑm , − cos ϑm ]T =
∆ym2 ,
=
nm
ij
iT
,
ij
∆xm = xm+1 − xm , ∆ym = ym+1 − ym
T
|Γm
ij | = [∆ym , −∆xm ] ,
m = 1, . . . , 4
Metoda konečných objemů (FVM, Finite Volume Method)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
vektor w určujeme ve středech (i, j) kontrolních objemů Ωij
−→ „cell-centred" metoda konečných objemů
integrace modifikovaného systému NS rovnic přes kontrolní objem
Z
∂w
∂ t̃
dS = −
Z X
2
I
∂ F̃ (w)
s
Ωij
Ωij
Z
∂w
∂ t̃
I
∂Ωij
1
I
s
F̃ s (w) nij dl +
Z X
2
∂F V (w)
s
Re (k)
s=1
2
X
dS = −
Ωij
∂ys
dS +
1
∂ys
Ωij
I
Re (k)
s=1
dS,
s=1
2
X
∂Ωij
V
s
F s (w) nij dl
s=1
aproximace vektoru neznámých w na Ωij konstantní funkcí w ij (t̃)
w ij (t̃) =
Z
1
|Ωij |
Z
=⇒
w(y, t̃) dS
w ij (t̃) |Ωij | =
Ωij
w(y, t̃) dS
Ωij
dosazením a náhradou křivkových integrálů součtem integrálů přes
jednotlivé strany Γm
ij
d
dt̃
w ij (t̃)
|Ωij | = −
Z
4
X
m=1
+
1
I
x m
I
y m
F̃ 1m (w) nij + F̃ 2m (w) nij
dl+
Γm
ij
4
XZ
Re (k)
m=1
Γm
ij
V
x m
V
y m
F 1m (w) nij + F 2m (w) nij
dl
Metoda konečných objemů (FVM, Finite Volume Method)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
aproximace celkového nevazkého a vazkého toku veličiny w stranou
I
Γm
ij nevazkým numerickým F m a vazkým numerickým tokem
m
V
F m konstantním podél Γij
Z
I
I x m
1
I y m
F m ≡ f m nij + g m nij =
I
ij
V
V x m
dt̃
dl
Z
V
x m
V
y m
F 1m (w) nij + F 2m (w) nij
|Γm |
ij
dl
Γm
ij
dostaneme
d
y m
Γm
ij
1
V y m
F m ≡ f m nij + g m nij =
I
x m
F̃ 1m (w) nij + F̃ 2m (w) nij
|Γm |
"
w ij (t̃) |Ωij | = −
4
X
I
x
y
I
f m Sm + g m Sm
−
4
X
1
Re (k)
m=1
V
x
f m Sm + g m Sm
m=1
Aproximace nevazkého numerického toku
F Im
závisí na zvoleném numerickém schématu
např. centrální aproximace druhého řádu přesnosti
f I1
g I1
≡
≡
f I 1 (t̃ )
i+ j
2
def
g I 1 (t̃ )
i+ j
2
def
=
=
1
2
I
F̃ 1 (w ij (t̃ )) + F̃ 1 (w i+1j (t̃ ))
1
2
I
I
I
V
#
y
F̃ 2 (w ij (t̃ )) + F̃ 2 (w i+1j (t̃ ))
,
Metoda konečných objemů (FVM, Finite Volume Method)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Aproximace vazkého
numerického toku F Vm
vždy centrálně s druhým
řádem přesnosti
fV
1
≡
gV
1
≡
f V 1 (t̃ )
i+ j
2
g V 1 (t̃ )
i+
2
j
FV
(w
1
=
(t̃ )) ,
i+ 1 j
2
FV
(w 1 (t̃
2
i+ j
2
=
))
potřeba určit derivace složek vektoru rychlosti v bodě (i + 12 , j)
zavedeme duální čtyřúhelníkovou buňku Ωi+ 1 j ≡ B1 B2 B3 B4
∂x
∂u
≈
i+ 1 j
2
Z
1
|Ω
i+ 1 j
2
=
|
∂y
≈
i+ 1 j
2
|Ω
|
k=1
Z
1
|Ω
i+ 1 j
2
uk ·
Γk
i+ 1 j
2
∂u
|
∂y
dS =
XZ
|
k=1
Γk
i+ 1 j
|
x k
n 1
i+ j
2
|Ω
i+ 1 j
2
uk ·
u·
x
n
u·
y
n
∂Ω 1
i+ j
2
i+ 1 j
2
dl =
dl ,
I
1
Ω 1
i+ j
2
4
1
|Ω
|Ω
2
I
1
i+ 1 j
2
XZ
1
i+ 1 j
2
=
∂x
dS =
Ω 1
i+ j
2
4
i+ 1 j
2
∂u
∂u
|
y k
n 1
i+ j
2
∂Ω 1
i+ j
2
dl
i+ 1 j
2
dl =
Metoda konečných objemů (FVM, Finite Volume Method)
Modelování
proudění tekutin
aproximace integrálů na pravých stranách
Z
Jan Vimmr
Z
uk ·
x k
n 1
i+ j
2
dl
=
u k · x nk 1 |Γk 1 | ,
i+ j
i+ j
2
2
uk ·
y k
n 1
i+ j
2
dl
=
u k · y nk 1 |Γk 1 | ,
i+ j
i+ j
2
2
Γk
i+ 1 j
2
Γk
i+ 1 j
2
pro normálový vektor
dual
S k ke straně Γki+ 1 j platí:
2
dual
S k = nk
i+ 12 j
=⇒
|Γk
i+ 12 j
| = [∆yk , −∆xk ]T
4
X
∂u 1
u k ∆yk ,
1 ≈
∂x i+ 2 j
|Ωi+ 1 j |
k=1
2
4
X
∂u 1
≈
−
u k ∆xk
∂y i+ 1 j
|Ωi+ 1 j |
2
2
k=1
Metoda konečných objemů (FVM, Finite Volume Method)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
označíme
R (w ij (t̃)) =
4
X
m=1
f Im Smx + g Im Smy −
4
1 X
Re (k)
f Vm Smx + g Vm Smy
m=1
R je operátor prostorové diskretizace reprezentující popsanou
centrální aproximaci druhého řádu přesnosti ve smyslu
„cell-centred" metody konečných objemů
dostaneme soustavu ODR:
d
[w ij (t̃)] |Ωij | = −R (w ij (t̃))
dt̃
při centrální aproximaci F Im s druhým řádem přesnosti vznikají
v místech s velkými tlakovými gradienty nefyzikální oscilace, které
mohou vést ke ztrátě stability numerické metody
přidáním disipativního členu s umělou vazkostí −→ stabilizace
numerické metody, konvergence ke stacionárnímu řešení
d
[w ij (t̃)] |Ωij | = −R (w ij (t̃)) + D (w ij (t̃))
dt̃
Metoda konečných objemů (FVM, Finite Volume Method)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Umělá vazkost Jamesonova typu (Jameson’s artificial viscosity)
[Jameson et al., Numerical solution of the Euler equations by finite volume methods..., 1981]
D w ij (t̃)
= Dx w ij (t̃) + Dy w ij (t̃) =
= d i+ 1 j (t̃) − d i− 1 j (t̃) + d ij+ 1 (t̃) − d ij− 1 (t̃)
2
2
2
2
d (t̃) součet druhých a čtvrtých diferencí s koeficienty závislými
na lokálním gradientu tlaku
v našem případě se osvědčilo
|Ωij | + |Ωi+1j | (2)
d i+ 1 j (t̃) =
εi+ 1 j (w i+1j − w ij ) ·
2
2∆t̃
2
"
1
0
0
#
(2)
εi+ 1 j = β2 max (εi+1j , εij ),
2
εij =
|pi+1j − 2pij + pi−1j |
,
|pi+1j | + 2|pij | + |pi−1j |
εi+1j =
|pi+2j − 2pi+1j + pij |
|pi+2j | + 2|pi+1j | + |pij |
Metoda časové diskretizace
Modelování
proudění tekutin
řešíme počáteční úlohu
d
dt̃
w ij (t̃) |Ωij | = −R w ij (t̃)
Jan Vimmr
w ij (t̃)
Z
1
0
w ij ≡ w ij (0) =
+D
|Ωij |
w(y, 0) dS,
kde w 0ij =
pij0 , (v1 )0ij , (v2 )0ij
T
Ωij
nechť je 0 = t̃0 < t̃1 < . . . < T dělení intervalu (0, T ), ∆t̃ = t̃n+1 − t̃n
w nij je aproximace funkce w ij (t̃) ve fiktivním čase t̃n na Ωij
aplikace explicitní čtyřstupňové Rungeovy-Kuttovy metody
čtvrtého řádu přesnosti ve fiktivním čase t̃
w
(0)
ij
=
w nij ,
w
(l)
ij
=
w
(0)
ij
(4)
ij
=
w
(0)
ij
−
w n+1
=
w
(4)
ij
,
w
ij
kde
∆t̃
− αl
|Ωij |
1 ∆t̃
R(w
6 |Ωij |
α1 = 21 , α2 = 12
a
(l−1)
)
ij
R(w
α3 = 1
(0)
)
ij
a
∆t̃ ≤ min
i,j


p

 |uij | + uij2 + ã2
√
∆xij
kde CFL ∈ (0, 2 2)
∆t̃
|Ωij |
+ 2R(w
∆t̃

+ αl
(1)
)
ij
D(w
(0)
)
ij
pro l = 1, 2, 3,
+ 2R(w
(2)
)
ij
+ R(w
(3)
)
ij
+
∆t̃
|Ωij |
určíme z nutné podmínky stability



,

CFL
|vij | +
+
D(w
p
v 2 + ã2
ij
∆yij
+
2
Re (k)
1
∆x 2
ij
+
1
∆y 2
ij
(0)
),
ij
Projekční metoda (FSM, Fractional Step Method)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Princip:
numerickým řešením Poissonovy rovnice pro tlak určíme p n+1
pomocí hodnot p n+1 následně opravíme vypočtené rychlostní pole
tak, aby splňovalo podmínku ∇ · v n+1 = 0
– strukturované sítě
aplikace FSM na tzv. střídavě uspořádaných sítích (staggered grids)
– nestrukturované sítě
použití staggered grid systému nevhodné z hlediska implementace
algoritmu
klasicky uspořádaná síť (nonstaggered grid) vede při aplikaci FSM
a při užití centrální prostorové diskretizace systému NS ke vzniku
nefyzikálních oscilací
Projekční metoda (FSM, Fractional Step Method)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
odstranění problému:
aplikace FSM na tzv. hybridních nestrukturovaných sítích
[Kim and Choi, A second-order time-accurate finite volume method..., 2000]
– myšlenka:
propojení interpolační metody navržené v
systémem klasicky uspořádané sítě
[Rhie et al., 1983]
se
normálová rychlost Vm = um · x nkm + vm · y nkm , kde um a vm na Γm
k
získáme interpolační metodou druhého řádu přesnosti z hodnot
rychlostí ve středech dvou sousedních buněk Ωk a Ωl
interpolační schéma je nezávislé na tvaru buňky
– uvažujme nelineární systém Navierových-Stokesových rovnic
∂vj
= 0,
∂yj
∂p
1
∂ 2 vi
∂vi
∂
+
(vi vj ) +
=
,
∂t
∂yj
∂yi
Re (0) ∂yj ∂yj
Časová diskretizace
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
– plně implicitní FSM
konvektivní a vazké členy: aplikace implicitního
Crankova-Nicolsonova schématu druhého řádu přesnosti v čase
tlakový člen: aplikace implicitního Eulerova schématu
vin+1 − vin
1 ∂
+
∆t
2 ∂yj
n+1 n+1
vj
vi
n n
+vi vj
∂p n+1
+
∂yi
| {z }
=
∂2
1
n+1
2 Re (0) ∂yj ∂yj
vi
n
+ vi
linearizace
n+1 n+1
vj
vi
n+1 n
vj
= vi
n n+1
+ vi vj
n n
2
− vi vj + O(∆t )
doplníme podmínku nulové divergence rychlosti:
∂vjn+1
∂yj
=0
užijeme FSM v následujících krocích:
v̂i − vin
1 ∂
+
∆t
2 ∂yj
n
n
v̂i vj + vi v̂j
vi∗ − v̂i
∆t
=
=
2 n+1
∂ p
∂yi ∂yi
vin+1
vi∗
=
−
∂p n
∂yi
∂p n
∂yi
1
+
1
∂2
2Re (0) ∂yj ∂yj
n
v̂i + vi
,
,
∂vi∗
∆t ∂yi
,
−
∂p n+1
= −
∆t
∂yi
... vyjadřuje korekci i-té složky vektoru rychlosti v (n + 1) časové hladině pomocí hodnot p n+1
Prostorová diskretizace
„cell-centred" metoda konečných objemů na hybridní
nestrukturované čtyřúhelníkové síti
integrace přes každý kontrolní objem Ωij , k = 1, . . . , NCV
zavedení
integrálníchZprůměrů:
Z
Z
Z
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
n
(vi )k =
1
1
n
vi dS , (v̂i )k =
|Ωk |
Ωk
1
∗
v̂i dS , (vi )k =
|Ωk |
∗
Ωk
∆t
2|Ωk |
I
n
n
j
n
δv̂i V + vi · nk δv̂j + 2vi V
∂Ωk
+
I
∂Ωk
(vin+1 )k
∂p n+1
∂nk
−
I
∆t
2Re (0) |Ωk |
(vi∗ )k − (v̂i )k
dl
(vi∗ )k
)k =
1
=
=
Ωk
dl = −
∂
∂Ωk
∆t
n
n
∂Ωk
dl ,
n
i
p · nk dl ,
|Ωk |
∂Ωk
I
∗
i
vi · nk dl ,
∆t
∂Ωk
=
−
∆t
|Ωk |
kde jsme označili δv̂i = v̂i − vin
I
p
∂Ωk
n+1
i
i
p · nk dl+
|Ωk |
δv̂i + 2vi
∂nk
I
I
∆t
1
n
n+1
vi
|Ωk |
Ωk
aplikace Greenovy věty
(δv̂i )k +
n+1
vi dS , (vi
|Ωk |
· nk dl ,
dS
Prostorová diskretizace
aproximace křivkových integrálů součtem integrálních průměrů přes
jednotlivé strany Γm
k , m = 1, . . . , 4 kontrolních objemů Γk
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
(δv̂i )k +
∆t
4
X
n
m=1
=−
n
j m
δv̂i m Vm + vi m · nk δv̂j m
2|Ωk |
4
X
∆t
|Ωk |
n
i m
n
+
m
|Γk | =
4
X
∆t
m
pm · nk |Γk | +
n
2vi m Vm
∂
∂nm
2Re (0) |Ωk |
∗
(vi )k − (v̂i )k
=
4
X
∆t
|Ωk |
n
i m
m
|Γk | ,
(1)
k
m=1
m=1
n
δv̂i m + 2vi m
m
pm · nk |Γk | ,
m=1
4
X
∂p n+1
∂nm
=
k
m=1
n+1
(vi
m
|Γk |
4
X
1
∆t
∗
i m
m
vi m · nk |Γk | ≡
1
∆t
m=1
∗
)k − (vi )k
=
−
∗
m
Vm |Γk | ,
(2)
m=1
4
X
∆t
4
X
|Ωk |
n+1
pm
i m
m
· nk |Γk | ,
m=1
n+1
Vm
∗
− Vm
=
−∆t
∂p n+1
∂nm
,
k
∗
· inkm . Vypočetné hodnoty normálových rychlostí Vmn+1
přičemž Vm∗ = vim
se dosadí za Vmn vystupující v první rovnici v následující časové iteraci.
Interpolace
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
n
potřeba určit hodnoty veličin δv̂i m , vinm , pm
a derivací
∂p n+1
n
m
∂
(δv̂
+
2v
),
na
straně
Γ
kontrolního
objemu Ωk
im
im
k
∂nm
∂nm
k
k
Φm =
∂Φ ∂nkm ≈
Γm
k
Am
ns
X
(Φ)i
kde ΦAm =
i=1
1
|Ωi |
Am
ns
X
i=1
1
|Ωi |
γlm (Φ)k + γk (Φ)lm
γk + γlm
ΦAm+1 − ΦAm
(Φ)lm − (Φ)k
+
· tg αm ,
γk + γlm
|Γm
|
k
Numerická realizace rovnice (1) a (2)
Modelování
proudění tekutin
je vyjádřena v implicitním tvaru pro časovou proměnnou
její řešení vede na řešení soustavy lineárních algebraických rovnic
A·x =b
kde globální matice A je čtvercová řádu 2NCV , vektor neznámých
Jan Vimmr
iT
h
x = [(δv̂1 )1 , (δv̂2 )1 ], . . . , [(δv̂1 )k , (δv̂2 )k ], . . . , [(δv̂1 )NCV , (δv̂2 )NCV ] ,
vektor pravé strany b soustavy je tvořen členy z n-té časové hladiny
Poissonova rovnice pro tlak
4
X
∂p n+1
∂nm
m=1
k
m
|Γk | ≡
4 h
X
(p n+1 )l
m
− (p n+1 )k
γk + γlm
m
|Γk | +
n+1
m+1
pA
n+1
m
− pA
tg αm
i
=
1
4
X
∆t
m=1
∗
m
Vm |Γk |
m=1
rovnici zapíšeme pro každý kontrolní objem Ωk , k = 1, . . . , NCV a
dostaneme soustavu lineárních algebraických rovnic
à · x̃ = b̃
kde matice à je čtvercová řádu NCV a
h
x̃ = (p n+1 )1 , (p n+1 )2 , . . . , (p n+1 )k , . . . , (p n+1 )NCV
je vektor neznámých
iT
Numerická realizace rovnice (1) a (2)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
– řešení soustavy A · x = b s řídkou maticí A
iterační stabilizovaná metoda bikonjugovaných gradientů
(BICGSTAB) implementované v knihovně UMFPACK
A je špatně podmíněná =⇒ předpodmínění úlohy pomocí
neúplného LU rozkladu implementovaného v knihovně UMFPACK
– řešení soustavy à · x̃ = b̃ s řídkou maticí Ã
přímá metoda pomocí LU rozkladu
Ustálené proudění 2D bypassem
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
ustálené laminární proudění krve jako nestlačitelné newtonské
kapaliny v kompletních 2D modelech koronárního bypassu
sledován vliv průměrů bypassového štěpu na charakter proudění
zaveden parametr λ – poměr mezi průměry bypassového štěpu d a
nativní artérie D = 3.3mm:
λ = d/D
uvažovány 3 různé průměry štěpu: λ1 = 0, 5, λ2 = 1, λ3 = 1, 5
aplikace metody umělé stlačitelnosti
(ACM)
a projekční metody
(FSM)
Okrajové podmínky
vstup ∂ΩI - plně vyvinutý rychlostní profil (Re =
v1I (y ) = 2U 1 −
UD%
η(γ̇)0
2 y
R
v2I = 0 m.s−1
výstup ∂ΩO - konstantní tlak (pO = 12 000 Pa)
stěna ∂ΩW - neskluzové okrajové podmínky v = 0
= 230)
Ustálené proudění 2D bypassem
Modelování
proudění tekutin
izočáry rychlosti [m.s−1 ]
izočáry tlaku [Pa]
model č.1: λ1 = 0, 5
model č.1: λ1 = 0, 5
model č.2: λ2 = 1
model č.2: λ2 = 1
model č.3: λ3 = 1, 5
model č.3: λ3 = 1, 5
Jan Vimmr
λ1 = 0, 5: pouze malé zlepšení průtoku krve do distální části
(aplikace nevyhnutelná u koronárních artérií – žilní/arteriální štěpy)
⇒ vysoké riziko vzniku trombóz a lokálních stenóz v místě našití
λ3 = 1, 5: výskyt výrazných recirkulačních zón
⇒ vysoké riziko akumulace krevních částic (nebezpečí trombóz)
z hlediska charakteru proudění se jeví nejvhodnější bypass s λ ' 1
Nestacionární proudění 2D bypassem
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
pulzující proudění krve jako nestlačitelné newtonské kapaliny
v kompletních 2D modelech koronárního bypassu
(průtočné množství pro pravou koronární artérii, Wo = 2.4,
[Bertolotti et al., 2001])
sledován vliv průměrů bypassového štěpu na charakter proudění
aplikace metody duálního času (DTM) a projekční metody (FSM)
Okrajové podmínky
vstup ∂ΩI - Womersleyho rychlostní profil ve 2D
v1I (y , t) = <
√
Wo i
2R
√
√
cosh(Wo Ry i) − cosh(Wo i)
Q(t)
√
√
√
sinh(Wo i) − Wo i cosh(Wo i)
v2I = 0 m/s
výstup ∂ΩO - konstantní tlak (pO = 12 000 Pa)
stěna ∂ΩW - neskluzové okrajové podmínky v = 0
Nestacionární proudění 2D bypassem
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
izočáry rychlosti [m.s−1 ]
model č.1 - parametr λ1 = 0, 5
model č.2 - parametr λ2 = 1
model č.3 - parametr λ3 = 1, 5
λ1 = 0, 5: dominantní vliv reziduálního toku stenózou (jet flow )
po systole komor ⇒ riziko poškození krevních částic a jejich
hromadění v oblasti stenózy, nedostatečný průtok do distální části
λ1 = 1, 5: výrazné recirkulace v celém modelu bypassu po celou
dobu srdečního cyklu, nedostatečně vyvinutý proudu uvnitř štěpu
⇒ zvýšené riziko vzniku trombů a embolií (především na stenóze)
z hlediska proudového pole je bypass s λ ' 1 optimální
Nestacionární proudění 3D bypassem
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
pulzující proudění krve jako nestlačitelné newtonské kapaliny
v kompletním 3D modelu koronárního bypassu
(průtočné množství pro pravou koronární artérii, Wo = 2.4,
aplikace projekční metody
[Bertolotti et al., 2001])
(FSM)
Okrajové podmínky
vstup ∂ΩI - Womersleyho rychlostní profil ve 3D
v1I (r , t) = <
√
Wo i3
πR 2
√
√
J0 (Wo i3 Rr ) − J0 (Wo i3 )
Q(t)
√
√
√
2J1 (Wo i3 ) − Wo i3 J0 (Wo i3 )
v2I = 0 m/s
v3I = 0 m/s
výstup ∂ΩO - konstantní tlak (pO = 12 000 Pa)
stěna ∂ΩW - neskluzové okrajové podmínky v = 0
Nestacionární proudění 3D bypassem
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
izoplochy rychlosti [m.s−1 ]
3D model koronárního bypassu (λ = 1)
výrazný reziduální tok stenózou po systole komor (jet flow ),
přítomnost vysokorychlostních recirkulačních zón před a za zúžením
=⇒ riziko poškození krevních částic při průchodu stenózou a jejich
hromadění (ovlivnění růstu aterosklerotického plátu)
nerovnoměrný proud v oblasti distální anastomózy
(nepravidelné rozložení smykového napětí na stěně modelu)
=⇒ negativní vliv na rozvoj intimální hyperplázie
Ustálené proudění 3D bypassem – zobecněná newtonská kapalina
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
laminární proudění krve jako nestlačitelné nenewtonské kapaliny
v kompletním 3D modelu bypassu
studium nenewtonských efektů v závislosti na typu bypassu
(koronární/femorální) a poškození nativní artérie (okluze/stenóza)
užití makroskopických nenewtonských modelů:
Carreauův-Yasudův model a Crossův model
aplikace metody umělé stlačitelnosti
(ACM)
Okrajové podmínky
vstup ∂ΩI - plně vyvinutý rychlostní profil
v1I (r ) = 2U 1 −
(Rekor = 230, Refem = 125)
2 r
R
v2I = 0 m.s−1
v3I = 0 m.s−1
výstup ∂ΩO - konstantní tlak (pO = 12 000 Pa)
stěna ∂ΩW - neskluzové okrajové podmínky v = 0
Ustálené proudění 3D bypassem – zobecněná newtonská kapalina
Modelování
proudění tekutin
Profily rychlosti ve vybraných řezech modelem bypassu:
nenewtonská kapalina (CY model)
newtonská kapalina
Jan Vimmr
koronární bypass s okluzí
koronární bypass s okluzí
femorální bypass s okluzí
femorální bypass s okluzí
femorální bypass se stenózou
femorální bypass se stenózou
výrazné potlačení recirkulací u femorálního bypassu (okluze/stenóza)
ovlivnění reziduálního toku stenózou (nevýrazná struktura)
⇒ snížení rizika hromadění krevních částic vč. jejich poškození
Přínosy a výhledy
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
modelování proudění krve v kompletním modelu bypassu,
tj. model se skládá jak z distální, tak i proximální části nativní
artérie a end-to-side bypassového štěpu
aplikace fyziologických parametrů
– rozměry nativní artérie odpovídající koronární/femorální artérii
– vstupní okrajové podmínky převzaty z in vivo měření
modelování krve jako nestlačitelné zobecněné newtonské kapaliny
model reálného sekvenčního aorto-koronárního bypassu
(rekonstrukce dat z počítačové tomografie/angio-CT)
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Matematické modelování laminárního proudění
stlačitelné tekutiny ve velmi úzkých mezerách
Motivace a formulace problému
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
okruh aplikací proudění v úzkých mezerách a kanálech
(Lref ∼ 102 µm) je široký: biologické systémy (játra, mozek,
ledivny,...) nebo mikroturbíny, jaderné reaktory, stroje na dopravu
plynů např. šroubové kompresory
na jedné straně je potřeba utěsnit prostor, v němž dochází ke
stlačování média, na druhé straně je nutné zabránit zadírání soukolí
(provozní otáčky i 10000 ot/min)
ztráty způsobené prouděním média těsnícími mezerami a technicky
nutnými vůlemi – vliv na celkovou vnitřní účinnost kompresoru
šroubový kompresor bez vstřikování
=⇒ stlačované médium – vzduch (model – ideální plyn)
transsonické proudění v těsnící mezeře mezi hlavou zubu hlavního
rotoru a skříní šroubového kompresoru
Motivace a formulace problému
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
– předpoklad:
rovinný model těsnící mezery v čelním řezu
z důvodu srovnání výsledků numerických simulací a experimentu
(ÚT AV ČR – Dr. Dvořák, Dr. Luxa) nebyl uvažován pohyb hlavního rotoru
– výpočtová oblast Ω ⊂ R2 s hranicí ∂Ω = ∂ΩI ∪ ∂ΩO ∪ ∂ΩWS ∪ ∂ΩWR ,
H ... výška aerodynamického hrdla 2D modelu mezery (pro x = 0)
– numerické simulace prezentovány pro 2 testovací případy A a B
charakteristické rozměry HA a HB
dva tlakové poměry z intervalu 0, 091 < pO /p0I < 0, 6,
kde p0I = 101 325 Pa
Motivace a formulace problému
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
– Testovací případ A:
výška aerodynamického hrdla těsnící mezery
tlakový poměr
HA = 200 µm
pO /p0I = 0, 182
T0I = 298, 15 K, η = 1, 879 · 10−5 kg · m−1 s−1 , κ = 1, 4, cp = 1005 J · kg−1 K−1
LA
≡ HA , pref ≡ p0I , Tref ≡ T0I , ηref ≡ η
ref
=⇒
ReA =
%ref LA
v
ref ref
ηref
= 2331
– Testovací případ B:
výška aerodynamického hrdla těsnící mezery
tlakový poměr
HB = 350 µm
pO /p0I = 0, 2
T0I = 298, 15 K, η = 1, 879 · 10−5 kg · m−1 s−1 , κ = 1, 4, cp = 1005 J · kg−1 K−1
LB
≡ HB , pref ≡ p0I , Tref ≡ T0I , ηref ≡ η
ref
=⇒
ReB =
%ref LB
v
ref ref
ηref
= 4078
Motivace a formulace problému
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
=⇒ proudění v obou případech je charakterizováno relativně nízkými
hodnotami Reynoldsových čísel ReA , ReB .
p
κπ
M
Knudsenovo číslo Kn = Lλ = Re
pro obě uvažované výšky
2
ref
(HA = 200 µm a HB = 350 µm) aerodynamického hrdla modelu těsnící
mezery nepřevyšuje při kritickém průtoku (M ≈ 1) hodnotu 10−3
=⇒ volba matematického modelu:
systém Navierových-Stokesových rovnic pro laminární proudění
stlačitelné newtonské tekutiny
+
klasické neskluzové okrajové podmínky na stěnách
Matematický model laminárního proudění stlačitelné newtonské
tekutiny
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
– nelineární hyperbolicko-parabolický systém Navierových- Stokesových
rovnic v bezrozměrovém tvaru
2
X ∂F I (w)
1
∂w
s
+
=
∂t
∂ys
Re
s=1
2
X
∂F V (w)
s
na
∂ys
s=1
ΩT = Ω × (0, T ) ,
kde w = [%, % v1 , % v2 , E ]T ∈ R4 , w = w(y, t) je vektor konzervativních
proměnných, F Is (w) = [% vs , % v1 vs + p δ1s , % v2 vs + p δ2s , (E + p) vs ]T ∈ R4
∂T
jsou vektory nevazkých toků, F V
s (w) 0, τ1s , τ2s , τ1s v1 + τ2s v2 + k ∂y
T
s
jsou vektory vazkých toků.
∈ R4
Pro složky symetrického tenzoru vazkých napětí platí:
∂v
τ11 = 23 η 2 ∂y1 −
1
∂v2
∂y2
, τ12 = τ21 = η
∂v1
∂y2
−
∂v2
∂y1
∂v
, τ22 = 23 η 2 ∂y2 −
2
systém rovnic doplníme stavovou rovnicí pro ideální plyn:
p = %rT
p = (κ − 1) E − 21 %
=⇒
2
P
vs2
s=1
pro termodynamickou teplotu a rychlost zvuku platí:
T =
E
%
−
1
2
2
P
s=1
vs2 ,
a=
pκp
%
∂v1
∂y1
Matematický model laminárního proudění stlačitelné newtonské
tekutiny
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
– počáteční podmínka:
w(y, 0) = w 0 (y), y ∈ Ω
– okrajové podmínky:
vstup ∂ΩI :
p0 = p0I ,
2
výstup ∂ΩO :
%
&
vl + k ∂T
=0
∂n
τsl · s n
s=1
p = pO
—



+
2
X
τsl · s n = 0 ,
s=1
∂T
= 0 , l = 1, 2
∂n
stěny ∂ΩW :
ϕ,
P P
l=1
T0 = T0I ,
2
v = 0,
∂T
=0
∂n
Metody numerického řešení
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Prostorová diskretizace nelineárního hyperbolicko-parabolického
systému Navierových-Stokesových rovnic – „cell-centred" metoda
konečných objemů na strukturované čtyřúhelníkové síti
d w ij (t) |Ωij | = −
dt
4
X
1
F Im |Γm
ij |−
Re
m=1
4
X
!
m
FV
m |Γij |
≡ −R(w ij (t))
m=1
aproximace vazkého numerického toku F Vm :
kartézské složky f Vm a g Vm , m = 1, . . . , 4 stranou Γm
ij kontrolního
objemu Ωij aproximujeme vždy centrálně s druhým řádem přesnosti
na duálních buňkách
aproximace nevazkého numerického toku F Im :
provedeme pomocí AUSM schématu s lineární rekonstrukcí
AUSM schéma (Advection Upstream Splitting Method)
[Liou et al., A new flux spliting scheme, 1993]
patří do skupiny upwind schémat založených na myšlence štěpení
toku (flux splitting)
Metody numerického řešení

Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
F I = f I · x n ij + g I · y n ij = Mn 

%a
% v1 a
% v2 a

0


xn
 + p  ij  ≡ F (c) + F (p)

 yn 
%h0 a
ij
0
F (c) ... konvektivní část numerického toku
F (p) ... tlaková část numerického toku
h0 = +
p
%
+ 12 (u 2 + v 2 ) ... měrná stagnační entalpie
Mn ... normálové Machovo číslo
MnL =
MnR =
vT
L · n L/R
aL
vT
R · n L/R
aR
=
VL
,
aL
=
VR
,
aR
kde V = u · x nij + v · y nij ≡ v T · n ij je
konvektivní normálová rychlost
Metody numerického řešení
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
M± (M)
Pomocí splitting funkcí
ΓL/R :
určíme Machovo číslo na společné straně
−
+
ML/R = M (MnL ) + M (MnR ) ,
přičemž
1
(
2
±
M (M) =
Pomocí splitting funkcí
(M ± |M|)
pro |M| > 1 ,
1
2
2
2
± (M ± 1) ± (M − 1) ,
4
8
1
P ± (M)
určíme tlak na
+
pL/R = P (MnL ) · pL + P
přičemž
P
±


1 (M ± |M|)
2
M
−
jinak .
ΓL/R :
(MnR ) · pR ,
pro |M| > 1 ,
(M) =

1
4
2
(M ± 1) (2 ∓ M) ,
jinak .
Konvektivní část nevazkého numerického toku stranou
(
(c)
F
L/R
T
T
ML/R · %a, %v1 a, %v2 a, %h0 a
=
ML/R · %a, %v1 a, %v2 a, %h0 a
,
jestliže ML/R ≤ 0
,
jestliže ML/R > 0
R
L
Metody numerického řešení
Modelování
proudění tekutin
=⇒ Nevazký numerický tok F Im :
I
AUSM
F m ≡ F L/R
Jan Vimmr
L
m
R
w ij , w i+1j , n ij

==
1
2
ML/R
%a

%ua

%va

%h0 a

1
− |ML/R |
2

%a

%ua

−

%va
%h0 a

+
 
%a
%ua

 −
%va
%h0 a

%ua
  + pL/R  y nijm 
%va

R
%a
0
x m
nij
%h0 a
R
L

L
0
Zvýšení řádu přesnosti AUSM schématu
– upwind schémata jsou obecně 1. řádu přesnosti v prostorové proměnné
– lineární rekonstrukce s limiterem
rekonstrukce (oprava) numerického
řešení na společné straně dvou
sousedních kontrolních objemů
náhrada konstantních funkcí w ij
funkcemi lineárními
konstruujeme zvlášť pro x a pro y
(σs )U
x =
(σs )U
y =
(ws )ij − (ws )i−1j
∆x
i− 1 j
2
(ws )ij − (ws )ij−1
∆y
ij− 1
2
,
,
(σs )D
x =
(σs )D
y =
(ws )i+1j − (ws )ij
∆x
i+ 1 j
2
(ws )ij+1 − (ws )ij
∆y
ij+ 1
2
,
,
Metody numerického řešení
implementace β-verze minmod limiteru – navržena speciálně pro
stabilizaci numerického řešení v oblastech s velmi malými M
Modelování
proudění tekutin
def
Jan Vimmr
β −minmod(b, c) = β(Mij ) · minmod(b, c)
(0
β(Mij ) =
(b,
pro Mij < 0, 2 ,
(Mij − 0, 2)/0, 8 pro 0, 2 ≤ Mij < 1 , minmod(b, c) =
1
pro Mij ≥ 1
=⇒
(σs )minmod
y
,
= β −minmod
,
D
(σs )U
y , (σs )y
a
b · c > 0,
a
b · c > 0,
0, jestliže b · c < 0 .
D
(σs )minmod
= β −minmod (σs )U
x
x , (σs )x
jestliže |b| < |c|
c, jestliže |b| > |c|
s = 1, . . . , 4 ,
pomocí nichž rekonstruujeme hodnoty numerického řešení w ij na Γm
ij
∆x
w
i+ 1 j
2
i+ 1 j
2
= wij +
2
∆x
minmod
(σs )x
,
w
i− 1 j
2
∆y
w
ij+ 1
2
= wij +
ij+ 1
2
2
i− 1 j
2
= wij −
2
minmod
,
minmod
.
(σs )x
∆y
minmod
(σs )y
,
w
ij− 1
2
= wij −
ij− 1
2
2
(σs )y
pro výpočet celkového nevazkého AUSM numerického toku stranou
ΓL/R užijeme hodnotyw Li+ 1 j z buňky Ωij a w Ri+ 1 j z buňky Ωi+1j
2
I
Fm
≡
AUSM
F L/R
2
L
R
m
w 1 , w 1 , nij
i+ j
i+ j
2
2
Metody numerického řešení
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Časová diskretizace
aplikace explicitní dvoustupňové Rungeovy-Kuttovy metody
druhého řádu přesnosti v čase
(0)
= w nij ,
(1)
= wij −
(2)
= wij −
wij
wij
wij
(0)
∆t
(0)
R(w ij ) ,
|Ωij |
(0)
1 ∆t
2 |Ωij |
(2)
w n+1
= wij ,
ij
(0)
(1)
R(w ij ) + R(w ij ) ,
Numerické výsledky
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
– Testovací případ A (HA = 200 µm, pO /p0I = 0, 182)
izočáry Machova čísla vykreslené po ∆M = 0, 02
izočáry výsledné rychlosti [m.s−1 ]
izočáry tlaku [Pa]
Numerické výsledky
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
– Testovací případ B (HB = 350 µm, pO /p0I = 0, 2)
strukturovaná čtyřúhelníková síť (250 × 90 buněk)
Numerické výsledky
Modelování
proudění tekutin
izočáry Machova čísla vykreslené po ∆M = 0, 02
Jan Vimmr
izočáry výsledné rychlosti [m.s−1 ]
izočáry tlaku [Pa]
Numerické výsledky
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
na základě provnání dosažených numerických výsledků
s experimentálně získanými šlírovými snímky (ÚT AV ČR –
Aerodynamická laboratoř ÚT AV ČR v Novém Kníně) je patrná dobrá
shoda ⇒ zvolený matematický model a navržená numerická
metoda řešení je vhodná
lze pozorovat typické struktury pro proudění stlačitelné vazké
tekutiny v zakřivených úzkých kanálech (expanze na kovnexním
rohu, odraz šikmé rázové vlny od volné hranice a od konkávního
povrchu stěny kanálu, odtržení proudu od horní stěny následkem
nárazu šikmé rázové vlny, střídání kompresních a expanzních míst v
transsonickém proudění)
Numerické výsledky
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
díky citlivosti užité experimentální metody lze stanovit limity
aerodynamického ucpání hrdla
kritický tlakový poměr
proměnný parametr závisející na hydraulickém průměru a drsnosti
stěn
klesá se změnšujícím se charakteristickým rozměrem kanálu
(výškou aerodynamického hrdla H)
pro testovací případ A (HA = 200 µm) poklesne kritický tlakový
poměk k hodnotě pO /p0I = 0, 425
Modelování
proudění tekutin
Poděkování
Jan Vimmr
svým doktorandům:
Ing. Aleně Jonášové
Ing. Ondřeji Bublíkovi
Ing. Marku Hajžmanovi
všem členům katedry mechaniky
Literatura
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Bertolotti, C., Deplano, V., Fuseri, J. and Dupouy, P.: Numerical and experimental model of
post-operative realistic flows in stenosed coronary bypasses. J. Biomech., 34, 1049–1064, (2001).
Bronzino, J.D.: The Biomedical Engineering HandBook, 2nd Edition, vol. 1 & 2. CRC Press, Boca
Raton, USA, 2000.
Haruguchi, H., Teraoka, S.: Intimal hyperplasia and hemodynamic factors in arterial bypass and
arteriovenous grafts: a review. Journal of Artificial Organs, 6(4), (2003), 227–235.
Cho, Y.I., Kensey, K.R.: Effects of the non-Newtonian viscosity of blood on flows in a diseased
arterial vessel. Part 1: Steady flows. Biorheology, 28(3-4), (1991), 241–262.
Chorin, A.J.: A numerical method for solving incompressible viscous flow problems. J. Comput.
Phys., 2, 12–26, (1967).
Jameson, A., Schmidt, W., Turkel, E.: Numerical solution of the Euler equations by finite volume
methods using Runge-Kutta time-stepping schemes. AIAA Paper, (1981), 1–15.
Kim, D. and Choi, H.: A second-order time-accurate finite volume method for unsteady
incompressible flow on hybrid unstructured grids. J. Comput. Phys., 162, 411–428, (2000).
Leuprecht, A., Perktold, K.: Computer simulation of non-Newtonian effects of blood flow in large
arteries. Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, 4(2), (2000), 149–163.
Loth, F., Fischer, P.F., Bassiouny, H.S.: Blood flow in end-to-side anastomoses. Annual Review of
Fluid Mechanics, 40, (2008), 367–393.
Rhie, C.M., Chow, W.L.: Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge
separation. AIAA Journal, 21(11), (1983), 1525–1532.
Literatura + Vybrané publikace autora
Modelování
proudění tekutin
Jan Vimmr
Liou, M.-S., Steffen, Ch.J.: A new flux spliting scheme. Journal of Computational Physics, 107,
(1993), 23–39.
Vimmr, J., Jonášová, A., Bublík, O.: A comparison of two numerical algorithms for the finite
volume modelling of physiological pulsatile blood flow in a complete bypass model.
(preprint submitted to Mathematics and Computers in Simulation)
Vimmr, J., Jonášová, A.: Non-Newtonian effects of blood flow in complete coronary and femoral
bypasses. Mathematics and Computers in Simulation, doi:10.1016/j.matcom.2009.01.004.
(v tisku)
Jonášová, A., Vimmr, J.: Numerical simulation of non-Newtonian blood flow in bypass models.
PAMM - Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics, 8(1), (2008), 10179–10180.
Vimmr, J., Jonášová, A.: On the modelling of steady generalized Newtonian flows in a 3D
coronary bypass. Engineering Mechanics, 15(3), (2008), 193–203.
Vimmr, J., Jonášová, A.: Analysis of blood flow through a three-dimensional bypass model.
Applied and Computational Mechanics, 1(2), (2007), 693–702.
Vimmr, J., Jonášová, A.: Finite volume simulation of blood flow through complete bypass models.
PAMM - Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics, 7(1), (2007), 4100005–4100006.