KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN
K ivka je jednoparametrická množina bod X(t), jejíž sou adnice jsou dány funkcemi:
x = x(t), y = y(t), t ∈ I ⊂ R.
Te na k ivky je ur ena bodem dotyku X a te ným vektorem o sou adnicích (dx/dt, dy/dt).
Normála k ivky je kolmice k te n v bod X.
K ivka jako trajektorie pohybujícího se bodu – parametr t m žeme chápat jako as.
(kinematické pojetí k ivek)
K ivka jako obálka jednoparametrické soustavy k ivek k(p), p je parametr.
Obálku zna íme (k).
Obálka (k) má s každou polohou k ivky spole nou te nu v bod dotyku.
K ivky dané jednotlivými body – grafické, empirické, tvarov složité k ivky, interpola ní
k ivky.
Body k ivek:
- Regulární (v bod existuje práv jedna te na)
- Singulární (všechny 1. derivace = 0)
- bod uzlový (násobný bod) – v bod existuje více než jedna te na
- bod obratu (inflexní bod) – 2. derivace = 0 (te na protíná k ivku)
- bod vratu – dv splývající, ale opa n orientované te ny
Technické k ivky:
- Ekvidistanta (paralelní k ivka) – na normálu k ivky v každém bod naneseme stejnou
vzdálenost.
- Evoluta – obálka normál (n) k ivky
= množina všech st ed oskula ních kružnic, tj. množina všech st ed k ivostí.
- Evolventa – vznikne odvalováním te ny po k ivce.
Kinematická geometrie v rovin
Studuje vlastnosti trajektorií bodu p i daném pohybu.
Její p vod je v mechanice, kde zkoumá zákonitosti pohybu sou ástí stroje,
ale všímá si pouze geometrických vlastností (neuvažuje as, hmotnost…).
Neprom nná rovinná soustava (NRS) je množina všech geometrických útvar roviny,
která se jako neprom nný celek pohybuje.
Trajektorie pohybu jsou k ivky, které opisuje pohybující se NRS.
Obálka k ivky je geometrický útvar v rovin , jehož se k ivka ve všech svých polohách dotýká.
Pohyb NRS je ur en: 1. trajektoriemi dvou r zných bod ,
2. obálkami dvou r zných k ivek,
3. obálkou k ivky a trajektorií bodu,
4. pevnou a hybnou polodií.
V ta: V každé poloze pohybující se NRS procházejí normály trajektorií pevným
(vlastním nebo nevlastním) bodem S = okamžitý st ed otá ení (OSO) = pól pohybu.
Pevná polodie p je množina všech OSO pohybující se NRS.
Hybná polodie h je množina všech bod NRS, které se p i jejím pohybu stanou OSO.
V ta: Hybná poldie h se odvaluje po pevné polodii p, polodie se dotýkají v OSO.
1. základní v ta kinematické geometrie v rovin : Jsou-li dány dv polohy NRS p i daném
pohybu,pak existuje bu oto ení nebo posunutí, které p emis uje danou NRS z jedné polohy
do druhé.
2. základní v ta kinematické geometrie v rovin : Každý pohyb NRS krom rotace a translace
lze p evést na valení (kotálení) hybné polodie h po pevné polodii p.
Vratný pohyb je ten, který vznikne z daného pohybu zám nou polodií.
V ta: Jestliže bod A se pohybuje po trajektorii, pak p i vratném pohybu je bod A obálkou
této trajektorie.
Jestliže p i daném pohybu k ivka k vytvá í obálku, pak p i vratném pohybu tato obálka je
obálkou k ivky k.
Klasifikace pohyb :
1. Cyklické - polodiemi jsou 2 kružnice nebo kružnice a p ímka
- Cykloidální
h
p
- Epicykloidální
p
h
- Hypocykloidální
h
p
- Pericykloidální
h
p
- Evolventní
p
h
2. Eliptický
je ur en dv ma p ímkovými trajektoriemi
Jsou to navzájem vratné pohyby.
Kardioidický je ur en dv ma bodovými obálkami.
τA
(k)
(k´)
τB
3. Konchoidální - je ur en obálkou bodu a trajektorií
(k)
τA
4. Kloubový ty úhelník
D
A
C
B
Cykloida
Cykloida je cyklická k ivka, kterou vytvo í bod pevn spojený s kružnicí, která se valí (kotálí)
po p ímce.
Prostá cykloida
Pokud bod pevn spojený s
kružnicí leží na jejím obvodu,
pak p i valení této kružnice po
p ímce opisuje tento bod
prostou (obecnou,
oby ejnou) cykloidu.
Prostou cykloidu lze vyjád it parametrickými rovnicemi
x = a (t − sint)
y = a (1 − cost)
kde a je polom r kružnice a parametr t odpovídá délce oblouku kotálející se kružnice.
Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve sm ru osy x posunuta o a souhlasn s
p vodní cykloidou a ve sm ru osy y je posunuta o 2a nesouhlasn s orientací p vodní cykloidy.
Evolventou cykloidy je op t posunutá shodná cykloida.
Zkrácená a prodloužená cykloida
Zkrácená cykloida.
Prodloužená cykloida.
Pokud bod pevn spojený s kotálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho
vzdálenost od st edu kružnice o polom ru a je d, pak pro d < a získáme cykloidu zkrácenou a
pro d > a cykloidu prodlouženou.
Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru
x = a.t − d.sint
y = a − d.cost
Oblouk cykloidy snese ze všech oblouk nejv tší zatížení, proto mnoho oblouk most má
práv její tvar. ást cykloidy je ešením úlohy o brahystochron
Brachystochrona
Brachystochrona (ozna ovaná také jako k ivka
nejkratšího spádu) je k ivka spojující dva body,
po které se hmotný bod dostane z jednoho bodu
do druhého p sobením homogenního
gravita ního pole za nejkratší as.
Brachystochrona p edstavuje vždy ást oblouku cykloidy.
Tento pojem zavedl poprvé Johann Bernoulli roku 1696 v asopise Acta Eruditorium.
Úloha o brachystochron
Úkolem je najít tvar spojnice místa A a B, po které by se t leso pohybující se vlivem gravita ní
síly, dostalo z místa A do místa B v nejkratším ase. P edpokládá se pohyb v homogenním
gravita ním poli a odporové síly se zanedbávají.
Schéma k úloze o brachystochron .
Úlohu lze p eformulovat tak, že hledáme takovou hladkou k ivku
spojující body A[xA,yA],B[xB,yB], p i emž p edpokládáme yA > yB a xA
< xB, po níž se hmotný bod o hmotnosti m pohybuje v tíhovém poli
od bodu A do bodu B za nejkratší as. Volba sou adnicového
systému je zobrazena na obrázku.
Podle zákona o zachování energie platí
Úpravou tohoto vztahy dostaneme výraz pro rychlost
v2 = 2g(yA − y)
Rychlost je však možné podle vyjád it také jako
,
kde bylo užito vztahu pro délku oblouku rovinné k ivky, p i emž s p edstavuje oblouk k ivky.
P edpokládáme, že platí y < yA. Pokud by totiž v n kterém bod platilo y = yA, byla by v tomto
bod podle p edchozích vztah rychlost v nulová a k dalšímu pohybu by bylo nutné dodat
hmotnému bodu další energii. Pokud tedy p edpokládáme y < yA pro
, dostaneme z
p edchozích výraz vztah
Celkovou dobu pot ebnou k prob hnutí podél k ivky z bodu A do B lze tedy zapsat jako
Fyzikální problém se tedy redukuje na ešení varia ního problému s funkcionálem
. V tomto p ípad se jedná o jeden ze speciálních p ípad Eulerovy
rovnice. Dosazením uvedeného funkcionálu získáme první integrál Eulerovy rovnice
, kde C je konstanta.
Úpravou posledního vztahu dostaneme
a umocn ním
Za p edpokladu
lze provést substituci
, ímž získáme
Položíme-li nyní
, dostaneme ešením p edchozí diferenciální rovnice parametrické
vyjád ení hledané k ivky ve tvaru
kde
jsou integra ní konstanty, které se ur í z podmínky, že extremální k ivka prochází
body A a B.
Z parametrického vyjád ení získané k ivky je z ejmé, že se jedná o ást cykloidy.
Epicykloida
Epicykloida je cyklická k ivka, kterou vytvo í bod pevn spojený s kružnicí, která se valí
(kotálí) po vn jší stran nehybné kružnice.
Epicykloida je speciálním p ípadem epitrochoidy.
Znalost epicykloid využil Ptolemaios p i popisu pohybu planet ve své soustav , kdy pohybující
se kružnice je ozna ována jako epicyklus (epicykl) a pevná kružnice jako deferent.
Prostá epicykloida
Každý bod kružnice, která se kotálí (valí) po
nehybné kružnici v její vn jší oblasti, opisuje
rovinnou k ivku, která se nazývá prostá
(obecná, oby ejná) epicykloida.
Použijeme-li jako parametr úhel odvalení t, pak
lze parametrické rovnice prosté epicykloidy
zapsat ve tvaru
kde a je polom r nehybné kružnice a b je
polom r kružnice hybné.
Je-li jako parametr použit úhel oto ení , pak dostaneme
kde a je polom r nehybné kružnice a b je polom r kružnice hybné.
Vlastnosti
D ležitou charakteristikou prosté epicykloidy je pom r a/b.
Je-li a/b = m celé íslo, pak je prostá epicykloida uzav ená k ivka s m v tvemi, které vzniknou
p i jednom ob hu hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li a/b racionální íslo p/q, pak je prostá epicykloida uzav ená k ivka s p v tvemi, které
vzniknou p i q ob zích hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li a/b iracionální íslo, pak prostá epicykloida není uzav enou k ivkou a má nekone n
mnoho v tví.
Zkrácená a prodloužená epicykloida
Jestliže tvo ící bod epicykloidy neleží na hybné kružnici, ale ve vzdálenosti d od st edu této
(hybné) kružnice, pak leží-li uvnit hybné kružnice, tzn. d < b, opisuje k ivku ozna ovanou jako
zkrácená epicykloida (k ivka k1 na obrázku), leží-li vn hybné kružnice, tzn. d > b, opisuje
k ivku ozna ovanou jako prodloužená
epicykloida (k ivka k2 na obrázku).
Zkrácenou a prodlouženou epicykloidu lze
vyjád it parametrickými rovnicemi
kde t je úhel odvalení, a je polom r nehybné
kružnice a b je polom r hybné kružnice.
Použijeme-li jako parametr úhel oto ení , lze
parametrické rovnice zapsat jako
Speciální p ípady
Kardioida
Zvláštní p ípad prosté epicykloidy získáme pro a = b,
tzn. hybná kružnice má stejný polom r jako nehybná kružnice.
Tato epicykloida se nazývá kardioida (srdcovka).
Parametrické rovnice srdcovky jsou
Je-li po átek soustavy sou adnic ve st edu k ivky a hrot na ose x, pak lze srdcovku vyjád it
rovnicí
Je-li po átek sou adnicové osy ve dvojném bod a osa x je osou soum rnosti k ivky, lze použít
rovnici
V polárních sou adnicích lze rovnici kardioidy zapsat jako
Nefrioda
Prostá epicykloida s b = a/2 je ozna ována jako nefroida.
Epitrochoida
Epitrochoida je k ivka, která vzniká pohybem bodu spojeného s kružnicí, která se odvaluje
okolo kružnice o menším polom ru Menší pevná kružnice je p itom uvnit v tší pohyblivé
kružnice.
Pokud polom r menší (stojící) kružnice je a, polom r v tší
kružnice b a pohybující se bod je ve vzdálenosti h od st edu
v tší kružnice, lze k ivku vyjád it v parametrickém tvaru jako:
kde je úhel otá ení.
Pokud h = b (bod se nachází p ímo na v tší kružnici) nazývá se
k ivka epicykloida.
Použití: Epitrochoidní tvar má nap íklad komora Wankelova motoru.
Hypocykloida
Hypocykloida je cyklická k ivka, kterou vytvo í bod pevn spojený s kružnicí, která se valí
(kotálí) po vnit ní stran nehybné kružnici.
Hypocykloida je speciálním p ípadem hypotrochoidy.
Prostá hypocykloida
Každý bod kružnice, která se kotálí (valí) po
nehybné kružnici v její vnit ní oblasti, opisuje
rovinnou k ivku, která se nazývá prostá (obecná,
oby ejná) hypocykloida.
Použijeme-li jako parametr úhel odvalení t, pak lze
parametrické rovnice prosté hypocykloidy zapsat
ve tvaru
kde a je polom r nehybné kružnice a b je polom r kružnice hybné.
Je-li jako parametr použit úhel oto ení , pak dostaneme
kde a je polom r nehybné kružnice a b je polom r kružnice hybné.
Vlastnosti
D ležitou charakteristikou prosté epicykloidy je pom r a/b.
Je-li a/b = m celé íslo, pak je prostá hypocykloida uzav ená k ivka s m v tvemi, které
vzniknou p i jednom ob hu hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li a/b racionální íslo p/q, pak je prostá hypocykloida uzav ená k ivka s p v tvemi, které
vzniknou p i q ob zích hybné kružnice kolem nehybné kružnice.
Je-li a/b iracionální íslo, pak prostá epicykloida není uzav enou k ivkou a má nekone n
mnoho v tví.
Zkrácená a prodloužená hypocykloida
Jestliže tvo ící bod hypocykloidy neleží na hybné
kružnici, ale ve vzdálenosti d od st edu této (hybné)
kružnice, pak leží-li uvnit hybné kružnice, tzn. d <
b, opisuje k ivku ozna ovanou jako zkrácená
hypocykloida (k ivka k1 na obrázek), leží-li vn
hybné kružnice, tzn. d > b, opisuje k ivku
ozna ovanou jako prodloužená hypocykloida
(k ivka k2 na obrázek).
Zkrácenou a prodlouženou hypocykloidu lze
vyjád it parametrickými rovnicemi
kde t je úhel odvalení, a je polom r nehybné kružnice a b je polom r hybné kružnice.
Použijeme-li jako parametr úhel oto ení , lze parametrické rovnice zapsat jako
Speciální p ípady
Asteroida
Zvláštní p ípad prosté hypocykloidy získáme pro b = a/4.
Tato hypocykloida se nazývá asteroida.
Parametrické rovnice asteroidy jsou
Úse ka a elipsa
Pro b = a/2 p echází prostá hypocykloida na úse ku, ehož se využívá k p em n otá ivého
pohybu na pohyb kmitavý (p ímo arý). Prodloužená a zkrácená hypocykloida p echází pro
= a/2 v elipsu s rovnicemi:
Využívá se v technické praxi pro p evod
otá ivého pohybu na pohyb eliptický.
b
KINEMATICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
K ivka je jednoparametrická množina bod X(t), jejíž sou adnice jsou dány funkcemi: x = x(t),
y = y(t), z = z(t), t ∈ I ⊂ R. (bod + pohyb)
Šroubovice:
x = r . cos t
y = r . sin t
z = v0 . t
v
∆
v
α r
t.r
v0
r
t
v0
∆
2πr
v0
r
Šroubový pohyb:
rotace (osa o), posunutí ve sm ru osy o (v0, ev.v ), orientace (pravo a levoto ivá)
Plocha (tvo ící k ivka + pohyb)
- Transla ní plochy
- Rota ní plochy
- Šroubové plochy
- Obalové plochy (tvo ící plocha + pohyb)
Charakteristika c obalové plochy Ω je k ivka, podél níž se
tvo ící plocha α dotýká obalové plochy Ω.
Charakteristika = tvo ící k ivka obalové plochy.
Literatura:
Urban Alois – Deskriptivní geometrie II, SNTL, Praha 1967
Kargerová Marie - Deskriptivní geometrie pro technické školy, vysoké, vyšší a st ední,
Montanex a.s., Ostrava 1997
http://cs.wikipedia.org/wiki/Kinematika
http://cs.wikipedia.org/wiki/Cykloida
http://mathonline.fme.vutbr.cz/1kg/11_Kinematika/Kinematika.htm
http://mathonline.fme.vutbr.cz/Cyklicke-krivky/sc-85-sr-1-a-82/default.aspx
http://mathonline.fme.vutbr.cz/1kg/12_Sroubovice/sroubovice.htm
http://geometrie.kma.zcu.cz – p edm t GS2 – u ební text
http://www.gymun.cz/projekt-kinematika.php