E. Pohyblivá řádová čárka

E. Pohyblivá řádová čárka
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
pevná a pohyblivá řádová čárka
formát US Air Force MIL-STD-1750A
základní operace
normalizace
přetečení a nenaplnění
formát BFLM – 1
přímý kód
– sčítání a odčítání
– násobení, dělení a posuvy
obvody pro posuv
aditivní kód
– sčítání a odčítání
formát BFLM – 2
formát ANSI/IEEE Std 754-1985
JPO 2005/6
c A. Pluháček 12.4.2006
pevná a pohyblivá řádová čárka
řádová mřížka (dosud uvažovaná) . . .
pevná řádová čárka
=⇒ omezený rozsah čísel
změna rozsahu (ale nikoliv změna přesnosti!):
• vhodné (konstantní) měřítko
• proměnné měřítko (mění se podle potřeby)
→ pohyblivá řádová čárka
(M, E)
∼
A = M ·z E
M — mantisa . . . Jaké číslice?
E — exponent nebo charakteristika . . . Kam umístit čárku?
znaménko(A) = znaménko(M )
JPO 2005/6
E1
c A. Pluháček 12.4.2006
pohyblivá řádová čárka — příklad formátu
Příklady 1 a 2: (US Air Force MIL-STD-1750A)
24 bitů
8 bitů
D′ (M )
D′′ (E)
dvojková čárka
dvojková čárka
D′ (M ) . . . doplňkový kód, modul Z = 2, t.j. 20+1
D′′ (E) . . . doplňkový kód, modul Z = 256, t.j. 27+1
1. A ∼ A8 00 00 0316 = 1010 1000 0 . . . 0 0000 00112
D′ (M ) = 1,010 12 ⇒ M = −0,10112
D′′ (E) = 112
⇒ E = 112 = 310
A
=
−0,10112 ⊳ 310
=
−101,12
=
−5,5 10
2. A ∼ 58 00 00 FF16 = 0101 1000 0 . . . 0 1111 11112
D′ (M ) = 0,101 12
⇒ M = 0,10112
′′
D (E) =1111 11112 ⇒ E = −12 = −110
A = 0,10112 ⊲ 1 = 0,010112 = 0,343 750 10
JPO 2005/6
E2
c A. Pluháček 12.4.2006
základní operace
i
násobení a dělení:
M1 · z E1 · M2 · z E2 = M1 · M2 · z E1 +E2
M 1 · z E1 = M 1 · z E1 −E2
M2
M 2 · z E2
základní princip (pouze!):
(M1 , E1 ) · (M2 , E2 ) = (M1 · M2 , E1 +E2 )
(M1 , E1 ) / (M2 , E2 ) = (M1 /M2 , E1 −E2 )
sčítání:
JPO 2005/6
M1 · z E1 + M2 · z E2 = ?
E3
c A. Pluháček 12.4.2006
základní operace
ii
Příklad 3:
(MIL-STD-1750A)
A ∼ F5 00 00 0616 = 1111 0101 0 . . . 0 0000 01102
D′ (M ) = 1,111 01012 ⇒ M = −0,000 10112
D′′ (E) = 1102
⇒ E = 1102 = 610
A = −0,000 10112 ⊳ 610 = −101,12 = −5,5 10
F5 00 00 0616
A8 00 00 0316
∼
∼
−5,5 10
−5,5 10
—
viz př. 1
obecně : M ·z E = M z j · z E −j = M ⊳ j · z E −j , popř.
M ·z E = M z −j · z E +j = M ⊲ j · z E +j
jinak:
(M, E) = (M ⊳ j, E −j), popř.
(M, E) = (M ⊲ j, E +j)
M ⊲ j −→ ? ztrátu přesnosti ?
? platnost vztahů ?
M ⊳ j −→
? přeplnění ?
JPO 2005/6
E4
c A. Pluháček 12.4.2006
základní operace
iii
sčítání (2):
• úprava na stejný exponent
(M1 , E1 ) + (M2 , E2 ) = (M1′ , E) + (M2′ , E) =
= (M1′ + M2′ , E),
neboť M1′ ·z E +M2′ ·z E = (M1′ + M2′ )·z E
• Pokud je to možné, provádět posuv mantisy příslušející
většímu exponentu vlevo (a tento exponent snižovat).
• Není-li to již možné, provádět posuv mantisy příslušející
většímu exponentu vpravo (a tento exponent zvyšovat).
zjednodušení algoritmu — vyloučit posuv mantis vlevo,
tzn. připustit pouze normalizovaný tvar:
• mantisa je posunuta co nejvíce vlevo, popř.
• exponent je nejmenší možný
JPO 2005/6
E5
c A. Pluháček 12.4.2006
základní operace
iv
Příklad 4:
(MIL-STD-1750A)
A8 00 00 0316
normalizovaný tvar čísla −5,5 10 (př. 1)
F5 00 00 0616 nenormalizovaný tvar čísla −5,5 10 (př. 3)
◮ F5 00 00 0616 = 1111 0101 0 . . . 0 0000 01102
◮ obraz mantisy v doplňkovém kódu = 1111 0101 . . .
◮ možný aritmetický posuv o 3 místa vlevo
sčítání (3): srovnat na větší z exponentů:
M1 ·z E1 + M2 · z E2 = (M1 · z E1 − E2 + M2 ) · z E2
= (M1 + M2 · z E2 − E1 ) · z E1
(M1 , E1 ) + (M2 , E2 ) = (M1 ⊲ (E2 −E1 ) + M2 , E2 )
= (M1 + M2 ⊲ (E1 −E2 ), E1 )
odčítání — analogicky:
(M1 , E1 ) − (M2 , E2 ) = (M1 ⊲ (E2 −E1 ) − M2 , E2 )
= (M1 − M2 ⊲ (E1 −E2 ), E1 )
JPO 2005/6
E6
c A. Pluháček 12.4.2006
rozklad operandů a složení výsledku
před „vlastníÿ operací je třeba operandy rozložit
po
operací je třeba
výsledek složit
Příklad 5:
(MIL-STD-1750A)
50000004 ∼ 10
E1 = 4
M1 = 0,1012
40000001 ∼ 1
E2 = 1
M2 = 0,12
M2′ = M2 ⊲ 3
M1′ = 0,1012
M2′ = 0,00012
M = 0, 101 + 0, 0001 = 0, 10112
E1 > E2
E1 − E2 = 3
E = E1
E=4
0101 1000 . . . 0000 0000 0100 2 = 58 00 00 0416 ∼
JPO 2005/6
E7
11
c A. Pluháček 19.4.2006 (opraveno)
úpravy řádové mřížky
Příklad 6:
(MIL-STD-1750A)
60000002 ∼ 3 40000002 ∼ 2 E1 = E2 = 2
M1 = 0,112
M2 = 0,12
E=2
0,11 + 0,1 = 1,01 = D′ (M ) ⇒ M < 0 ⇒ špatně!
rozšířená řádová mřížka pro mantisu:
00,11 + 00,1 = 01,01 = D∗ (01, 012 )
mantisa: 01, 01 ⊲ 1 = 00, 101 — po zkrácení: 0,101
exponent (zvýšení o 1): 2 + 1 = 3
výsledek: 50 00 00 03
∼
5=3+2
• rozšíření řádové mřížky, posuv (nebo „neposuvÿ) a následné
zkrácení lze provést mimo registry, tzn. v kombinačních
obvodech (sčítačka, obvod pro posuv a multiplexor)
• alternativní řešení: posuv operandů vpravo a příslušná
úprava výsledku
JPO 2005/6
E8
c A. Pluháček 12.4.2006
normalizace
Příklad 7:
(MIL-STD-1750A)
40000005 ∼ 16
8800004 ∼ −15
E1 = 5
E2 = 4
E1 > E2
∗
∗
D (M1 ) = 00,1000 D (M2 ) = 11,0001
E1 − E2 = 1
∗
posuv D (M2 ) o 1 místo vpravo
D∗ (M2 ) ← 11,10001 E = E1 = 5
00,100 0000... 0
11,100 0100... 0
0 0 , 0 0 0 0 1 0 0 . . . 0 −→ 04 00 00 05 ∼ 1
normalizovaný tvar:
40 00 00 01 ∼ 1
• Na konci každé operace je nutno výsledek
převést na normalizovaný tvar — normalizace.
• Pak lze výsledek použít jako operand.
JPO 2005/6
E9
c A. Pluháček 12.4.2006
normalizovaný obraz nuly
Příklad 8:
654321FB ∼ 0,065432116
E1 = −5
(MIL-STD-1750A)
0000000 ∼ 0
E2 = 0
E1 < E2
0,110 0101 0100 0011 0010 0001 ⊲ 5 =
= 0,000 0011 0010 1010 0001 1001 0000 1
přičíst 0 a složit
výsledek = 032A1900 ∼ 0,065430016
0,0654300 6= 0,0654321 + 0
E = E2 = 0
špatně!
Nula nesmí mít větší exponent než jiné číslo!
normalizovaný obraz nuly — nejmenší možný
exponent
Př. (MIL-STD-1750A): 0 ∼ 00 00 00 80
D′′ (E) = 8016 ⇒ E = −12810
mantisu lze posouvat, ale exponent nelze snižovat
JPO 2005/6
E 10
c A. Pluháček 12.4.2006
přetečení a nenaplnění
výsledek operace:
(M, E) ∼ A = M ·z E
požadováno:
Emin ≤ E ≤ Emax
např. −128 ≤ E ≤ 127
• E > Emax — přeplnění (nebo přetečení)
angl. overflow
• E < Emin — nenaplnění (nebo podtečení)
angl. underflow
E → −∞ ⇒ z E → 0
⇒A→0
JPO 2005/6
E 11
c A. Pluháček 12.4.2006
jiný formát
Příklad: formát označovaný dále BFLM
P(M )
A(E)
|M |
dvojková čárka (pro M i pro E)
mantisa:
přímý kód — znaménko a absolutní hodnota
exponent:
aditivní kód (kód s posunutou nulou)
pozn.:
Formát BFLM je jakýsi „kříženecÿ formátu IBM-360 a
dále diskutovaného formátu ANSI/IEEE Std 754-1985.
JPO 2005/6
E 12
c A. Pluháček 12.4.2006
přímý kód
Přímý kód:
P(X)
± absolutní hodnota
↑
znaménkový bit: 0 ∼ +
1∼ −
Př.:
X
+0,00
+0,01
+0,10
+0,11
−0,00
−0,01
−0,10
−0,11
JPO 2005/6
P(X)
000 ←kladná
001
nula
010
011
100 ←záporná
101
nula
110
111
E 13
e
6
eZ
u
e
− 12 Z
u
0
1
Z
2
e
e- X
1
Z
2
c A. Pluháček 12.4.2006
sčítání a odčítání v přímém kódu
A+B →A
nebo
A−B →A
sčítání ""bb ne
"
b
bzA = zB
"
bb""
ano ?
aA + aB → aA
zA
aA
zB
aB
...
...
...
...
odčítání ""bb
ano
- "zA = zBb
b
"
bb""
ne
?
aA − aB → aA
""bb
""bb 0
1
"
b - " přenos b
b
"
b přenos""
bb""
bb"
0
1
?
0 − aA → aA
znaménko A
zA → zA
|A|
znaménko B
|B|
?
?
přeplnění
JPO 2005/6
E 14
konec
c A. Pluháček 12.4.2006
násobení, dělení a posuvy v přímém kódu
znaménko:
+
+
−
−
+
−
+
−
+
−
⇒
−
+
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
⇒ XOR
absolutní hodnota — nezáporné číslo
násobení a dělení nezáporných čísel
již bylo diskutováno
aritmetický posuv:
• znaménkový bit se nemění;
• posouvá se část obsahující absolutní hodnotu;
• vypadne-li nenulový bit při posuvu doleva,
dochází k přeplnění;
• vypadne-li nenulový bit při posuvu doprava,
dochází k ztrátě přesnosti
JPO 2005/6
E 15
c A. Pluháček 12.4.2006
obvody pro posuv
obvod angl. nazývaný „barrel shifterÿ
JPO 2005/6
E 16
c A. Pluháček 12.4.2006
aditivní kód
A(X)
Aditivní kód:
6
Z e
A(X) = X + K
• K = 21 Z
• K = 21 Z − ε
K
−K ≤ X < Z − K
u
−K
Zde budeme uvažovat
K = 21 Z − 1, tzn.
Př.:
A(X) = X + 12 Z − 1
takže
− 12 Z + 1 ≤ X ≤
1
Z
2
první bit ⇒ znaménko
JPO 2005/6
e
E 17
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
u
e- X
0 Z−K
A(X)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
c A. Pluháček 12.4.2006
sčítání a odčítání v aditivním kódu
i
A(A + B) = A(A) + A(B) − K
A(A − B) = A(A) − A(B) + K
A(A + B) = A(A) + A(B) − 12 Z + 1
A(A − B) = A(A) − A(B) + 12 Z − 1
− 12 Z ≡ + 21 Z
(mod Z)
− 21 Z ≡ + 21 Z
(mod Z)
1
Z
2
∼ 100. . . 00
negace bitu v nejvyšším řádu
přeplnění:
sčítání:
stejná znaménka sčítanců
a jiné znaménko výsledku
odčítání: znaménka menšence a menšitele se liší a
liší se znaménka menšence a výsledku
(odvození analogické jako u doplňkového kódu)
JPO 2005/6
E 18
c A. Pluháček 12.4.2006
sčítání a odčítání v aditivním kódu
an
bn
pn
qn
sn
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
ii
qn = s n
qn
qn
qn
qn
qn
qn
6= sn
6= sn
6= sn
6= sn
6= sn
6= sn
qn = s n
over = qn ⊕ sn
JPO 2005/6
E 19
c A. Pluháček 12.4.2006
sčítání a odčítání v aditivním kódu
JPO 2005/6
E 20
iii
c A. Pluháček 12.4.2006
vlastnosti formátu BFLM
P(M )
A(E)
|M |
dvojková čárka (pro M i pro E)
• obraz nejmenšího možného exponentu = 0
⇒ normalizovaný obraz nuly = nula
(se znaménkem plus či mínus)
• porovnání: A ≥ B ⇐⇒ A − B ≥ 0
obrazy čísel A a B lze odečíst jako čísla
v přímém kódu a v pevné řádové čárce
• normalizovaný tvar nenulového čísla má v nejvyšším řádu
|M | vždy jedničku — tu lze ze zápisu vypustit
⇒ lze použít princip skryté jedničky
JPO 2005/6
E 21
c A. Pluháček 12.4.2006
formát ANSI/IEEE Std 754-1985
i
ANSI/IEEE Std 754-1985 — jednoduchý formát — 32b
±
8b
E+127
?
24 b
|M |
6 dvojková čárka (pro M i pro E)
8b
g
s
g=0af =0
g = 0 a f 6= 0
g ∈ h1, 254i
g = 255 a f = 0
g = 255 a f 6= 0
JPO 2005/6
23 b
f
(−1)s
(−1)s
(−1)s
(−1)s
NaN
E 22
·0
· f · 2−126
· (1 + f ) · 2g−127
·∞
c A. Pluháček 12.4.2006
ANSI/IEEE Std 754-1985
ii
Příklad:
−5,510 ∼ ?
5,510 = 101,12 = (1,011 ⊳ 10)2
f = 0,011 000 . . . 0002
g = (127 + 2)10 = 1000 00012
obraz čísla −5,510 :
1 1000 0001 011 000. . . 0002 =
= 1100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 00002 =
= C0B0 000016
JPO 2005/6
E 23
c A. Pluháček 12.4.2006
ANSI/IEEE Std 754-1985
iii
ANSI/IEEE Std 754-1985 — dvojitý formát — 64b
g . . . 11b
f . . . 52b
g=0a
g=0a
g ∈ h1,
g = 2047
g = 2047
JPO 2005/6
f =0
f 6= 0
2046i
af =0
a f 6= 0
(−1)s
(−1)s
(−1)s
(−1)s
NaN
E 24
·0
· f · 2−1022
· (1 + f ) · 2g−1023
·∞
c A. Pluháček 12.4.2006