Opory studia

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
CZ.1.07/2.2.00/28.0141
Jitka Machalová, Horymír Netuka
VARIAČNÍ METODY
Olomouc 2014
Předmluva
Tento text vznikl v rámci projektu MATAP určenému ke zkvalitnění výuky studentů Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci s matematickým zaměřením. Primárně je
určen pro podporu studia kurzu Variační metody (KMA/VM) na Katedře matematické analýzy
a aplikací matematiky. Tento kurz je v podstatě zamýšlený jako první část výuky metody konečných prvků (MKP), kde se jedná především o formulace a metodiku zpracování úloh, které
tato metoda používá. Někteří studenti s teoretickým zaměřením ale další přednášku, která je již
na MKP specializovaná, neabsolvují. Proto je přednáška z variačních metod a tím i tato skripta
koncipovaná jako samostatný celek bez zvláštního důrazu na výpočetní stránku problematiky.
Na tu se dostane až v následujícím kurzu KMA/MKP.
Probíraná látka se omezuje na eliptické problémy, tj. úlohy, které z fyzikálního hlediska
nejsou závislé na čase a kde se tedy řeší rovnovážné stavy stacionárních systémů. Proto se
zde čtenář, pokud jde o rovnice, setká výhradně s lineárními úlohami. Nelineární úlohy jsou v
textech zastoupeny variačními nerovnicemi.
Text předpokládá, že student má dostatečné znalosti z funkcionální analýzy a je již obeznámen aspoň se základy moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic, tedy že již ví, co jsou to
Sobolevovy prostory a slabá řešení okrajových úloh. Aby bylo čtení těchto skript „uživatelsky
přívětivé“ (neboli „user friendly“), zařadili jsme základní definice a tvrzení o Sobolevových
prostorech do Dodatku 1.
Hlavním studijním materiálem byla pro studenty až doposud známá kniha prof. Karla Rektoryse [Rektorys 1999], která má nesporné kvality, je však zaměřena, jak je patrné i z jejího
názvu, přece jen spíše na inženýry a fyziky. Autoři proto doufají, že svým textem pomohou
studentům lépe zvládnout náročnou látku.
Milou povinností autorů je poděkovat oběma recenzentům za podrobné pročtení rukopisu a
za cenné odborné připomínky. Textu to nepochybně velmi prospělo. Zvláštní poděkování patří
prof. Jaroslavu Haslingerovi za jeho skvělé lekce a knihy, které pro nás byly vzorem a z nichž
jsme i nemálo čerpali.
listopad 2014
Autoři
3
Obsah
0
Úvod
5
1
Základy variačního počtu
1.1 Základní pojmy a tvrzení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Základní úloha variačního počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
13
2
Variační formulace eliptických okrajových úloh 2. řádu
2.1 Eliptické okrajové úlohy 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Variační formulace a řešitelnost okrajových úloh 2. řádu . . . . . . . . . . . .
22
22
27
3
Variační formulace některých eliptických okrajových úloh 4. řádu
3.1 Určení ohybu nosníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Biharmonická rovnice a ohyb tenké desky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
39
4
Nesymetrické eliptické úlohy
47
5
Variační nerovnice
5.1 Eliptické variační nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Nesymetrické eliptické nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
59
6
Přibližné řešení eliptických variačních rovnic a nerovnic
6.1 Ritzova a Galerkinova metoda pro řešení variačních rovnic . . . . . . . . . . .
6.2 Ritzova a Galerkinova metoda pro řešení variačních nerovnic . . . . . . . . . .
66
66
76
Dodatek 1: Sobolevovy prostory
87
Dodatek 2: Úloha lineární pružnosti
95
4
0
Úvod
Uvažujme klasickou okrajovou úlohu:
Mějme dánu omezenou oblast Ω ⊂ R2 s hranicí Γ a chceme
nalézt funkci u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) splňující
−∇. (q∇u(x, y)) = p(x, y)
u(x, y) = 0
∀x ∈ Ω,
∀x ∈ Γ
pro zadanou funkci p ∈ C(Ω) a konstantu q > 0, přičemž ∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y). Položíme-li
f (x, y) = p(x, y)/q, obdržíme jednodušší (a obvyklejší) tvar úlohy:

 nalézt u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) splňující
(P1 )
− ∆u(x, y) = f (x, y)
∀x ∈ Ω,

u(x, y) = 0
∀x ∈ Γ.
Jedná se o Dirichletovu úlohu pro Poissonovu rovnici, dobře známou z knih o parciálních
diferenciálních rovnicích.
Tuto úlohu můžeme fyzikálně interpretovat např. jako problém průhybu tenké membrány
tvaru Ω, která je upevněná na okraji Γ. Přitom
u(x, y) je výchylka membrány ve vertikálním směru,
p(x, y) je její vertikální zatížení.
Obrázek 1: Průhyb membrány
Protože zde neuvažujeme veličiny závislé na čase, fyzikální úvahy říkají nyní zhruba řečeno
toto: soustava - v tomto případě membrána - zaujme vlivem působícího zatížení vždy rovnovážný stav. Rovnovážným stavem chápeme takový stav, kdy její celková potenciální energie
nabývá podle tzv. Lagrangeova principu svého minima. Celková energie J sestává z deformační
energie J1 a z energie J2 dané vnějšími silami:
J = J1 − J2 .
Z fyzikálních úvah plyne, že deformační energie membrány je úměrná zvětšení plochy, které
je způsobeno právě příčným vychýlením membrány, a rovněž je úměrná napětí membrány τ
Z 2 1/2
− 1 t dx,
J1 (u) =
τ 1 + |∇u|
Ω
přičemž t představuje tloušt’ku membrány.
5
Pokud předpokládáme jen malé průhyby membrány (což je rozumné, nebot’ membrána pak
nepraskne), máme k∇uk 1 a můžeme odmocninu rozvinout podle binomické věty a zanedbat členy vyšších řádů. Jelikož veličiny τ a t uvažujeme konstantní, jako výsledek dostaneme
Z
1
J1 (u) = τ t (∇u)2 dx.
2
Ω
A protože
Z
J2 (u) =
pudx,
Ω
je celková energie
Z
Z
1
p
2
J(u) = τ t
(∇u) dx −
udx .
2 Ω
Ω τt
Nyní stačí položit f (x, y) = p(x, y)/(τ t) a máme výsledný tvar energetického funkcionálu
Z
Z
1
2
ˆ
J(u) =
(∇u) dx − f udx,
2 Ω
Ω
nebot’ konstanta τ t nebude hrát v dalším žádnou roli a proto ji můžeme vypustit.
Za předpokladu f ∈ L2 (Ω) je pak určení stacionárního stavu průhybu membrány dané řešením následující úlohy nepodmíněné optimalizace na jisté třídě přípustných funkcí V . Vzhledem k tomu, že čtenář je již obeznámen se Sobolevovými prostory, můžeme bez průtahů položit
V = H01 (Ω). Úloha je tudíž tvaru
(
nalézt u ∈ H01 (Ω) tak, že
(P2 )
ˆ
ˆ
J(v).
J(u)
= min
1
v∈H0 (Ω)
Jaký je rozdíl mezi formulacemi (P1 ) a (P2 )? Jednoduchým porovnáním snadno nahlédneme, že
• formulace úlohy (P2 ) připouští znatelně méně hladké řešení než u klasické úlohy (P1 ),
• pravá strana f musí být u úlohy (P1 ) (i s ohledem na řešitelnost) spojitá, což je ale z
praktického hlediska značný handicap, nebot’ si snadno představíme spoustu zadání s
nespojitou působící silou; úloha (P2 ) se naproti tomu spokojí s velmi obecnou funkcí z
L2 (Ω),
• úloha (P1 ) představuje dobrý lokální popis problému, tj. víme, co se děje v každém x ∈
Ω; kdežto úloha (P2 ) poskytuje pouze globální popis, nebot’ pracuje s integrály přes
uvažovanou oblast Ω.
Zůstávají ještě tři velmi důležité otázky:
1. zda prvek u vyhovující úloze (P2 ) vůbec existuje,
2. a pokud tomu tak je, kolik je takovýchto prvků,
3. a jak numericky řešit úlohy tohoto typu.
První dvě otázky nemají význam pouze teoretický, ale jsou důležité i pro praxi, nebot’ mohou např. upozornit na nesprávnost volby matematického modelu nebo na potíže s numerickým
řešením.
Této problematice jsou věnovaná naše skripta.
6
1
Základy variačního počtu
1.1
Základní pojmy a tvrzení
Nejprve se seznámíme s aparátem, který budeme potřebovat prakticky po celý zbytek
tohoto kurzu, protože stále budeme pracovat s funkcionály. Něco bude představovat
jen připomenutí starých poznatků, řada věcí bude ale nejspíše nových.
V dalším textu budeme značit
• V
Banachův prostor,
• V0
duální prostor k prostoru V ,
• J :V → R
daný funkcionál.
Definice 1.1 Necht’ u, h ∈ V jsou pevně zvolená. Položme
ϕ(t) = J(u + th)
t ∈ R.
Jestliže existuje
ϕ(t) − ϕ(0)
J(u + th) − J(u)
= lim
,
t→0
t→0
t
t
ϕ0 (0) = lim
řekneme, že J má v bodě u diferenciál Gâteaux ve směru h a označíme J 0 (u, h).
Jestliže J má v bodě u diferenciál Gâteaux pro libovolné h ∈ V , řekneme, že J je gâteauxovsky diferencovatelný v bodě u nebo stručně G-diferencovatelný.
Je-li J G-diferencovatelný v libovolném bodě u ∈ V řekneme, že J je G-diferencovatelný
na V .
Poznámka 1.1 René Eugène Gâteaux (1889 - 1914) byl francouzský matematik, který jako
první matematicky korektně definoval derivování funkcionálů. Padl v první světové válce.
Poznámka 1.2 Připomeňme si, že G-diferencovatelnost funkcionálu J v bodě u neimplikuje
jeho spojitost v tomto bodě. Viz cvičení 1.3.
Poznámka 1.3 Je-li funkcionál J v bodě u G-diferencovatelný, pak pro zobrazení
h 7→ J 0 (u, h)
se někdy používá název první variace funkcionálu J v bodě u a značení δJ(u, h).
Toto zobrazení není obecně lineární, viz cvičení 1.4.
Definice 1.2 Necht’ funkcionál J je G-diferencovatelný na V . Je-li F : h 7→ J 0 (u, h) spojité
a lineární zobrazení, je F ∈ V 0 . Zobrazení F pak nazýváme derivací Gâteaux funkcionálu
J v bodě u, značíme ho J 0 (u) (popř. JG0 (u)) nebo ∇J(u) a píšeme
J 0 (u, h) = hJ 0 (u), hiV 0 ×V = h∇J(u), hiV 0 ×V ,
přičemž h ., .iV 0 ×V značí dualitu mezi V 0 a V .
7
Příklad 1.1 Necht’ V = L2 (Ω), Ω ⊂ RN . Necht’ g(t) ∈ C 1 je funkce taková, že
• |g(t)| ≤ ct2
∀t ∈ R,
• |g 0 (t)| ≤ c|t|
∀t ∈ R,
kde c je kladná konstanta nezávislá na t. Pro danou funkci u ∈ L2 (Ω) položíme
Z
J(u) =
g(u(x)) dx.
Ω
Potom pro libovolnou h ∈ V je
Z
0
J (u, h) =
g 0 (u(x))h(x) dx.
Ω
Příklad 1.2 Necht’ V je Hilbertův prostor se skalárním součinem (., .)V a asociovanou normou
k.kV . Určíme Gâteauxovu derivaci funkcionálu
J(v) = kvk2V
v bodě u ∈ V . Položíme ϕ(t) = ku + thk2V a dostaneme
1
1
ϕ(t) − ϕ(0)
= lim ku + thk2V − kuk2V = lim 2t(u, h)V + t2 khk2V .
t→0 t
t→0 t
t→0
t
ϕ0 (0) = lim
Odtud
J 0 (u, h) = hJ 0 (u), hiV 0 ×V = (2u, h)V
∀h ∈ V
je hodnota derivace Gâteaux v bodě u ve směru h. Ztotožníme nyní Hilbertův prostor V s jeho
duálem V 0 ve smyslu Rieszovy věty o reprezentaci. Pak identifikací operátoru J 0 (u) s prvkem
z V , který rovněž označíme J 0 (u) nebo ∇J(u) a pro který je
J 0 (u, h) = (J 0 (u), h)V
∀h ∈ V,
máme
J 0 (u) = ∇J(u) = 2u.
Takový výraz nazveme gradient daného funkcionálu J.
Definice 1.3 Necht’ u, h, k ∈ V jsou pevně zvolené. Položíme
ψ(t) = J 0 (u + tk, h)
t ∈ R.
Jestliže existuje
J 0 (u + tk, h) − J 0 (u, h)
,
t→0
t
řekneme, že J má v bodě u druhý diferenciál Gâteaux ve směrech h a k a označíme
J 00 (u, h, k).
ψ 0 (0) = lim
Jestliže J má v bodě u druhý diferenciál Gâteaux pro libovolné h, k ∈ V , řekneme, že J je
v bodě u dvakrát Gâteauxovsky diferencovatelný.
Je-li druhý diferenciál Gâteaux spojitý a lineární podle proměnných h a k, je J 00 (u, h, k) pro
pevně zvolené u bilineární forma na V × V a existuje tudíž jediný prvek H(u) ∈ L (V, V 0 )
takový, že
J 00 (u, h, k) = hH(u)h, kiV 0 ×V .
Prvek H(u) nazýváme hessián funkcionálu J v bodě u.
8
Věta 1.1 (Věta o střední hodnotě)
Necht’ J : V → R má G-diferenciál v libovolném bodě tvaru u + th, t ∈ [0, 1], ve směru h.
Potom existuje t0 ∈ (0, 1) tak, že
J(u + h) = J(u) + J 0 (u + t0 h, h).
Důkaz: Položme
t ∈ R.
ϕ(t) = J(u + t h)
Pak
J(u + t h + ∆ t h) − J(u + t h)
ϕ(t + ∆ t) − ϕ(t)
= lim
= J 0 (u + t h, h).
∆ t→0
∆ t→0
∆t
∆t
ϕ0 (t) = lim
Z věty o střední hodnotě pro funkci jedné reálné proměnné plyne existence t0 ∈ (0, 1) takového,
že ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ0 (t0 ). Tedy
ϕ(1) = ϕ0 (t0 ) + ϕ(0).
Dosazením za ϕ dostáváme
J(u + h) = J 0 (u + t0 h, h) + J(u).
Věta 1.2 Necht’ J : V → R je dvakrát G-diferencovatelný v libovolném bodě tvaru u + th,
t ∈ [0, 1], ve směrech h, h. Potom existuje t0 ∈ (0, 1) tak, že
J(u + h) = J(u) + J 0 (u, h) +
1 00
J (u + t0 h, h, h).
2
Definice 1.4 Necht’ J : V → R, M ⊆ V je konvexní množina. Řekneme, že J je konvexní
na M , jestliže
J (u + t(v − u)) ≤ J(u) + t (J(v) − J(u))
∀u, v ∈ M, ∀t ∈ [0, 1].
Jestliže lze pro u 6= v psát místo neostré nerovnosti ostrou nerovnost, řekneme, že J je ryze
konvexní na M .
Věta 1.3 Necht’ J : V → R je G-diferencovatelný na V . Pak
• J je konvexní na V právě tehdy, když platí
J(v) ≥ J(u) + J 0 (u, v − u)
∀u, v ∈ V,
• J je ryze konvexní na V právě tehdy, když platí
J(v) > J(u) + J 0 (u, v − u)
9
∀u, v ∈ V, u 6= v.
Důkaz: provedeme pro první tvrzení.
1. Předpokládejme nejprve, že J je konvexní na V , tedy platí
J(u + t (v − u)) ≤ J(u) + t (J(v) − J(u))
∀t ∈ (0, 1).
Odtud
J(u + t (v − u)) − J(u)
≤ J(v) − J(u).
t
Provedeme limitu pro t → 0 a obdržíme
J 0 (u, v − u) ≤ J(v) − J(u),
což je požadovaná nerovnost.
2. Nyní předpokládejme, že platí
J(v) ≥ J(u) + J 0 (u, v − u)
∀u, v ∈ V.
Dosadíme sem
v := u
u := u + t (v − u)
∀t ∈ (0, 1)
a dostaneme
J(u) ≥ J(u + t (v − u)) + J 0 (u + t (v − u), −t (v − u)).
Tedy
(∗) :
J(u) ≥ J(u + t (v − u)) − t J 0 (u + t (v − u), v − u).
Nyní do výchozí nerovnosti dosad’me
v := v
u := u + t (v − u)
∀t ∈ (0, 1).
Dostaneme
J(v) ≥ J(u + t (v − u)) + J 0 (u + t (v − u), (1 − t) (v − u))
a tedy
(∗∗) :
J(v) ≥ J(u + t (v − u)) + (1 − t) J 0 (u + t (v − u), v − u).
Nyní vynásobíme-li nerovnost (∗) číslem (1 − t), nerovnost (∗∗) číslem t a vzniklé nerovnosti
sečteme, obdržíme
(1 − t) J(u) + t J(v) ≥ J(u + t (v − u))
neboli
J(u) + t (J(v) − J(u)) ≥ J(u + t (v − u)).
To značí, že funkcionál J je konvexní na V .
Věta 1.4 Necht’ J : V → R je dvakrát G-diferencovatelný na V a takový, že
J 00 (u, v, v) ≥ 0
Potom J je konvexní na V .
10
∀u, v ∈ V.
Důkaz: Podle věty 1.2 existuje t0 ∈ (0, 1) takové, že platí
J(v) = J(u) + J 0 (u, v − u) +
1 00
J (u + t0 (v − u), v − u, v − u)
2
≥ J(u) + J 0 (u, v − u),
když jsme použili předpoklad o J 00 . Tvrzení pak plyne z věty 1.3.
Věta 1.5 Je-li J : V → R dvakrát G-diferencovatelný na V a takový, že
J 00 (u, v, v) > 0
∀u, v ∈ V, v 6= 0.
Pak J je na V ryze konvexní.
Důkaz: se provede analogicky jako u předchozí věty.
Definice 1.5 Necht’ J : V → R je daný funkcionál. Řekneme, že J je zdola polospojitý v
bodě u, jestliže pro libovolnou posloupnost {un }, un ∈ V , platí
un → u ⇒ lim inf J(un ) ≥ J(u).
n→+∞
Je-li J zdola polospojitý v každém bodě u ∈ V , řekneme, že J je zdola polospojitý na V .
Definice 1.6 Necht’ J : V → R je daný funkcionál. Řekneme, že J je slabě zdola polospojitý v bodě u, jestliže pro libovolnou posloupnost {un }, un ∈ V , platí
un * u ⇒ lim inf J(un ) ≥ J(u).
n→+∞
Je-li J slabě zdola polospojitý v každém bodě u ∈ V , řekneme, že J je slabě zdola polospojitý na V .
Poznámka 1.4 Neplatí, že každý spojitý funkcionál J : V → R je zároveň slabě zdola polospojitý na V .
Jako příklad můžeme vzít např. funkcionál
Z 1
J(v) = 1 −
v 2 (x)dx
v ∈ V = L2 (0, 1).
0
Věta 1.6 Necht’ funkcionál J : V → R je konvexní na V a má derivaci Gâteaux v libovolném bodě u ∈ V . Potom J je slabě zdola polospojitý na V .
Důkaz: Uvažujme posloupnost {un }, un ∈ V takovou, že un * u, u ∈ V . Funkcionál J má v
bodě u derivaci Gâteaux, tedy dle věty 1.3 platí
J(un ) ≥ J(u) + J 0 (u, un − u) = J(u) + h∇J(u), un − ui
11
∀n.
Jelikož ∇J(u) ∈ V 0
un * u ⇒ h∇J(u), un − ui → 0.
Odtud plyne, že
lim inf J(un ) ≥ lim inf {J(u) + h∇J(u), un − ui} = J(u).
n→+∞
n→+∞
Lze dokázat také následující tvrzení:
Věta 1.7 Každý konvexní a spojitý funkcionál J : V → R je slabě zdola polospojitý na V .
Příklad 1.3 Uvažujme funkcionál
J(v) = kvk
v ∈ V,
kde V je Banachův prostor.
Tento funkcionál je zjevně spojitý. Dále z vlastností normy dostáváme
kλu + (1 − λ)vk ≤ λkuk + (1 − λ)kvk
∀u, v ∈ V, λ ∈ [0, 1],
což dle definice značí konvexitu J. Na základě předchozí věty pak můžeme konstatovat, že
norma je na Banachově prostoru slabě zdola polospojitá.
Definice 1.7 Mějme bilineární formu a : V × V → R. Řekneme, že je spojitá, jestliže
existuje konstanta Q > 0 tak, že
|a(u, v)| ≤ Qkukkvk
∀ u, v ∈ V
nebo (ekvivalentně) jestliže platí
un → u, vn → v ⇒ a(un , vn ) → a(u, v).
Řekneme, že bilineární forma a(u, v) je symetrická, jestliže
a(u, v) = a(v, u)
∀u, v ∈ V.
Definice 1.8 Necht’ a(., .) je symetrická bilineární forma na V × V , necht’ f ∈ V 0 . Funkcionál
1
J(v) = a(v, v) − hf, viV 0 ×V
v∈V
2
nazveme kvadratickým funkcionálem na V .
Příklad 1.4 Pro kvadratický funkcionál máme
J 0 (u, v) = a(u, v) − hf, vi
J 00 (u, v, w) = a(v, w)
12
∀u, v ∈ V
∀u, v, w ∈ V.
Navíc, je-li bilineární forma a(., .) spojitá na V × V , má kvadratický funkcionál J v libovolném
bodě u ∈ V derivaci, tj. ∇J(u) ∈ V 0 , a platí
h∇J(u), vi = a(u, v) − hf, vi
J 00 (u, v, v) = a(v, v).
Odtud plyne:
• jestliže a(v, v) ≥ 0, pak funkcionál J je na V konvexní,
• jestliže a(v, v) > 0 pro v 6= 0, pak funkcionál J je na V ryze konvexní.
Příklad 1.5 Necht’ V = RN , A = (ai,j )N
i,j=1 je reálná symetrická matice a (., .) je skalární
N
součin v R . Položíme-li
a(u, v) = (Au, v) = (Au)T v = uT Av,
je a(., .) symetrická bilineární forma na RN × RN . Položíme-li dále
1
J(v) = (Av, v) − (f, v),
2
kde f ∈ RN , pak
∇J(u) = Au − f ⇒ J 0 (u, v) = hAu − f, vi.
S ohledem na předcházející příklad pak platí:
• a(v, v) = (Av, v) ≥ 0 ∀v ∈ RN , pak funkcionál J je na V konvexní,
• a(v, v) = (Av, v) > 0 ∀v ∈ RN , v 6= 0, pak funkcionál J je na V ryze konvexní.
1.2
Základní úloha variačního počtu
V této části se budeme zabývat úlohou nalezení minima daného funkcionálu. Nejprve vymezíme pojem minimum, pak přejdeme k problému existence takovéto hodnoty,
popř. i jednoznačnosti. O tom hovoří tzv. základní věty variačního počtu. Nakonec půjde o charakterizaci bodů, v nichž se minima nabývá. Seznámíme se přitom i s řešením
tzv. klasické úlohy variačního počtu.
V dalším textu bude
• V
Banachův prostor,
• M ⊆V
neprázdná podmnožina V ,
• J :V → R
daný funkcionál.
13
Definice 1.9 Řekneme, že funkcionál J má v bodě u lokální minimum na M , jestliže u ∈ M
a existuje okolí U (u), takové, že
J(u) ≤ J(v)
∀v ∈ M ∩ U (u).
Pokud lze v uvedeném vztahu pro v 6= u psát ostrou nerovnost, hovoříme o ostrém lokálním
minimu J na M .
Definice 1.10 Řekneme, že funkcionál J má v bodě u globální minimum na M , jestliže
u ∈ M a platí
J(u) ≤ J(v)
∀v ∈ M.
Pokud lze v uvedeném vztahu pro v 6= u psát ostrou nerovnost, hovoříme o ostrém globálním minimu J na M .
Základní úlohou ve variačním počtu zpravidla rozumíme určení extrémů daného funkcionálu. Hlavní problém, kterým se budeme v dalším zabývat, je otázka existence minima funkcionálu J na množině M .
Poznámka 1.5 Připomeňme si, že Banachův prostor V nazýváme reflexivní, když jeho libovolná omezená a slabě uzavřená podmnožina je slabě kompaktní. Všechny Hilbertovy prostory
jsou reflexivní.
Věta 1.8 (Základní věta variačního počtu - 1. varianta)
Necht’ V je reflexivní Banachův prostor, funkcionál J : V → R je slabě zdola polospojitý
na V , M ⊆ V je neprázdná, omezená a slabě uzavřená podmnožina V .
Potom existuje alespoň jeden bod globálního minima J na M .
Důkaz: Označme
q = inf J(v).
v∈M
Pak jistě existuje minimalizující posloupnost {vn }, vn ∈ M , taková, že
lim inf J(vn ) = q.
n→+∞
Protože posloupnost {vn } je podle předpokladu omezená a V je reflexivní, existuje vybraná
podposloupnost {vn0 } taková, že
vn0 * u
ve V.
Navíc je M slabě uzavřená a proto je u ∈ M . Jelikož funkcionál J je slabě zdola polospojitý,
máme
J(u) ≤ lim
inf J(vn0 ).
0
n →+∞
Odtud plyne, že
q = lim J(vn ) = 0lim J(vn0 ) = lim
inf J(vn0 ) ≥ J(u)
0
n→+∞
n →+∞
n →+∞
a tedy platí
J(u) ≤ q ≤ J(v)
14
∀v ∈ M,
takže u ∈ M je bod globálního minima J na M .
Jednoznačnost není v úlohách minimalizace zcela obvyklým jevem. Postačující podmínky
udává následující tvrzení.
Věta 1.9 Necht’ V je reflexivní Banachův prostor, J : V → R je slabě zdola polospojitý na
V , M ⊆ V je neprázdná, omezená, slabě uzavřená a konvexní podmnožina V a necht’ J je
ryze konvexní na M .
Potom existuje právě jeden bod, v němž J nabývá globálního minima na M .
Důkaz: Z předchozí věty plyne existence alespoň jednoho globálního minima funkcionálu J na
M.
Jednoznačnost dokážeme sporem. Předpokládejme, že existují u1 ∈ M a u2 ∈ M takové, že
u1 6= u2
a J(u1 ) = J(u2 ) = min J(v) = q.
v∈M
Protože množina M je konvexní, je 21 (u1 + u2 ) ∈ M a z ryzí konvexity funkcionálu J na M
dostáváme
u1 + u2
q−q
1
J
= q,
< J(u1 ) + (J(u2 ) − J(u1 )) = q +
2
2
2
což je ovšem spor s definicí globálního minima.
Ve znění věty 1.8 máme předpoklad omezenosti množiny M . Ten může být v řadě případů
nesplnitelný. Proto potřebujeme další verzi Základní věty, která tento předpoklad neobsahuje.
Definice 1.11 Necht’ M je neprázdná podmnožina V . Řekneme, že funkcionál J : V → R
je koercivní na M , jestliže
lim J(v) = +∞.
kvk→+∞
v∈M
Věta 1.10 (Základní věta variačního počtu - 2. varianta)
Necht’ V je reflexivní Banachův prostor, M ⊆ V je neprázdná slabě uzavřená podmnožina
V , J : V → R je slabě zdola polospojitý funkcionál na V a koercivní na M .
Potom existuje alespoň jeden bod globálního minima J na M .
Důkaz: Označíme
inf J(v) = q < +∞.
v∈M
Zřejmě existuje minimalizující posloupnost {vn }, vn ∈ M , taková, že
lim J(vn ) = q.
n→+∞
Přitom posloupnost {vn } je omezená. Kdyby totiž nebyla, pak by existovala vybraná podposloupnost {vn0 } taková, že
pro n0 → +∞,
kvn0 k → +∞
15
takže z koercivity funkcionálu J bychom dostali
lim J(vn0 ) = +∞.
n0 →+∞
Pak by ale q = +∞, což by byl spor.
Tedy posloupnost {vn } je omezená, a proto existuje konstanta β > 0 tak, že
kvn k ≤ β
∀n.
Tedy minimum funkcionálu J lze hledat na omezené podmnožině M ∩ B(0, β), kde B(0, β) je
koule o středu v 0 a poloměru β.
Zbytek již plyne z 1. verze Základní věty variačního počtu.
Poznámka 1.6 S ohledem na větu 1.7, lze právě dokázané tvrzení obměnit následujícím způsobem:
Věta 1.11 (Základní věta variačního počtu - 2. verze)
Necht’ V je reflexivní Banachův prostor, M ⊆ V je neprázdná slabě uzavřená podmnožina
V , J : V → R je spojitý a konvexní funkcionál na V a koercivní na M .
Potom existuje alespoň jeden bod globálního minima J na M .
Nyní přejdeme od problému, kdy existuje minimum daného funkcionálu, k problému, jak
toto minimum charakterizovat.
Věta 1.12 Necht’ M ⊆ V je neprázdná otevřená podmnožina V , funkcionál J : V → R
nabývá v bodě u ∈ M lokálního minima na M a je v tomto bodě G-diferencovatelný. Pak
J 0 (u, v) = 0
∀v ∈ V.
Důkaz: Definujme funkci
ϕ(t) = J(u + tv).
Pak pro libovolné v ∈ M leží bod u + tv také v M pro všechna t ∈ (−δ, δ), zvolíme-li δ > 0
dostatečně malé. Přitom ϕ(0) = J(u) je podle předpokladu lokální minimum ϕ(t) na (−δ, δ) a
funkcionál J je v bodě u G-diferencovatelný. Odtud již dostáváme, že
ϕ0 (0) = 0 = J 0 (u, v).
Poznámka 1.7 Obrácené tvrzení zřejmě neplatí (což je čtenáři dobře známé z kurzů matematické analýzy).
Definice 1.12 Necht’ M ⊆ V je neprázdná otevřená podmnožina V , necht’ J : V → R je
G-diferencovatelný funkcionál. Bod u
b ∈ M splňující podmínku
J 0 (b
u, v) = 0
se nazývá stacionární bod funkcionálu J na M .
16
∀v ∈ V
Poznámka 1.8 Místo stacionární bod se někdy používá název kritický bod funkcionálu J.
Věta 1.13 Necht’ funkcionál J : V → R je konvexní a G-diferencovatelný na V . Potom
1. každé lokální minimum je zároveň globálním minimem funkcionálu J na V ,
2. následující dvě podmínky jsou ekvivalentní
(1) J(u) ≤ J(v)
∀v ∈ V ,
(2) J 0 (u, v) = 0
∀v ∈ V .
Důkaz:
1. Protože J je konvexní a G-diferencovatelný, platí podle věty 1.3
J(v) ≥ J(u) + J 0 (u, v − u)
∀u, v ∈ V.
Je-li u ∈ V bod lokálního minima J na V pak J 0 (u, v − u) = 0 ∀v ∈ V . Celkem je tedy
J(v) ≥ J(u)
∀v ∈ V.
2. Dokážeme vzájemnou ekvivalenci tvrzení (1) a (2).
• Jestliže J(u) ≤ J(v) ∀v ∈ V , pak z předchozí věty dostáváme J 0 (u, v) = 0 ∀v ∈
V.
• Je-li J 0 (u, v) = 0 ∀v ∈ V , pak také J 0 (u, v − u) = 0 ∀v ∈ V a zbytek plyne z první
části této věty.
Poznámka 1.9 Z předcházející věty nijak neplyne existence minima konvexního funkcionálu.
Na to je třeba hledat odpověd’ u věty 1.7 spolu s některou variantou Základní věty variačního
počtu.
Věta 1.14 (Postačující podmínka koercivity)
Necht’ funkcionál J je dvakrát G-diferencovatelný na V , J 0 (u, v) je lineární a spojitý vzhledem k v pro libovolné u ∈ V a necht’
J 00 (u, v, v) ≥ kvk · χ (kvk)
∀u ∈ V, ∀v ∈ V,
kde t 7→ χ(t) ≥ 0 je funkce taková, že
lim χ(t) = +∞.
t→+∞
Potom J je koercivní na V .
Důkaz: Vyjdeme z Taylorova rozvoje
J(u) = J(0) + J 0 (0, u) +
1 00
J (θu, u, u),
2
17
θ ∈ (0, 1).
Z předpokladu spojitosti a linearity J 0 plyne
J 0 (0, u) ≤ Qkuk.
Dále platí
J 00 (θu, u, u) ≥ kuk · χ (kuk) .
Celkem lze tedy psát
1
J(u) ≥ J(0) − Qkuk + kuk · χ (kuk) → +∞
2
pro kuk → +∞.
Poznámka 1.10 Často se volí χ(t) = αt, kde α > 0 je konstanta. Pak podmínka z předchozí
věty je tvaru
J 00 (u, v, v) ≥ αkvk2
∀u ∈ V, ∀v ∈ V.
Příklad 1.6 Necht’ V je reflexivní Banachův prostor, funkcionál J : V → R splňuje předpoklady předchozí věty. Na základě předcházejících výsledků víme, že J má na V alespoň jedno
globální minimum. Je-li navíc χ(t) > 0 pro t > 0, je toto minimum jediné.
Příklad 1.7 Necht’ V = RN a
1
J(v) = (v, Av) − (f, v),
2
kde A je symetrická pozitivně definitní matice, f ∈ RN a (., .) je skalární součin v RN .
Úloha
(
nalézt u ∈ RN tak, že
J(u) = min J(v)
v∈RN
má právě jedno řešení u, které vyhovuje soustavě lineárních algebraických rovnic
v RN .
Au = f
Příklad 1.8 Necht’ V je Hilbertův prostor, necht’
J(v) =
1
a(v, v) − (f, v),
2
kde f ∈ V 0 , je daný funkcionál a a(u, v) je spojitá, symetrická a V -eliptická bilineární forma,
tj. platí
a(v, v) ≥ αkvk2
∀v ∈ V.
Pak úloha
(
(P1 )
nalézt u ∈ V tak, že
J(u) = min J(v)
v∈V
má právě jedno řešení charakterizované vztahem
nalézt u ∈ V tak, že
(P2 )
a(u, v) = (f, v)
∀v ∈ V.
18
Úlohy (P1 ) a (P2 ) jsou ekvivalentní.
Interpretace úlohy (P2 ):
Necht’ u ∈ V je pevně zvolené. Pak zobrazení v → a(u, v) definuje pro každé v ∈ V na V
lineární spojitý funkcionál, který označíme Au, tj.
Au ∈ V 0 :
a(u, v) = (Au, v)V 0 ×V .
Lze ukázat, že A ∈ L (V, V 0 ). Odtud plyne, že úloha (P2 ) je ekvivalentní řešení operátorové
rovnice
Au = f
ve V 0 .
Na závěr se ještě seznámíme s jednou klasickou úlohou, která se často objevuje v učebnicích
variačního počtu.
Uvažujme funkci F : [a, b]×R×R → R tří proměnných, která je spojitě diferencovatelná,
a definujme funkcionál J : V ⊆ C 1 ([a, b]) → R předpisem
Z b
J(u) =
F (x, u(x), u0 (x)) dx
u ∈ V.
a
Úloha
(P )
nalézt funkci u
b(x) ∈ V takovou, že platí
J(b
u) ≤ J(u)
∀u ∈ V
se obvykle nazývá klasickou úlohou variačního počtu, pro její řešení u
b(x) se někdy používá
tradiční název extremála.
Pro další odvození budeme potřebovat tzv. základní lemma variačního počtu:
Lemma 1.1 (Základní lemma variačního počtu)
Necht’ pro funkci v(x) spojitou na intervalu [a, b] platí
b
Z
vh dx = 0
∀h ∈ V,
a
kde
V = C01 ([a, b]) = {v ∈ C 1 ([a, b]) : v(a) = 0, v(b) = 0}.
Potom v ≡ 0 na [a, b].
Důkaz: Necht’ pro nějaké x0 ∈ [a, b] je v(x0 ) 6= 0. Potom existuje interval [c, d] ⊆ [a, b] na
němž je v(x) nenulová a nemění znaménko. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že
∀x ∈ [c, d].
v(x) > 0
Uvažujme funkci
h̃(x) =
(x − c)2 (x − d)2 pro x ∈ [c, d],
0
jinak.
Jelikož h̃ ∈ V , je podle předpokladu
Z
b
v h̃ dx = 0.
a
19
Současně ale podle věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo ξ ∈ (a, b) tak, že
b
Z
Z
v h̃ dx = v(ξ)
a
b
h̃ dx.
a
Tato hodnota je však evidentně kladná, což je spor s předchozím výsledkem.
Obecnější verzi právě dokázaného lemmatu představuje následující tvrzení:
Lemma 1.2 (du Bois-Reymondovo lemma)
Necht’ v je lokálně integrovatelná funkce definovaná na otevřené množině Ω ⊂ RN . Jestliže
platí
Z
vh dx = 0
∀h ∈ D(Ω),
Ω
pak v = 0 skoro všude na Ω.
Poznámka 1.11 Paul du Bois-Reymond (1831 – 1889) byl - navzdory svému jménu - německým matematikem, který výrazně přispěl k rozvoji infinitezimálního i variačního počtu. Jeho
bratr Emil byl zase významným lékařem a zakladatelem elektrofyziologie.
Hledejme nyní stacionární bod u
b uvažovaného funkcionálu na V = C01 ([a, b]). Definujme si
Z
ϕ(t) = J(u + th) =
b
F (x, u + th, u0 + th0 ) dx
t ∈ R, h ∈ V
a
a kvůli přehlednosti označme
w = u0 .
Pro bod u
b pak platí
0
Z
0
J (b
u, h) = ϕ (0) =
a odtud
Z b
a
b
lim
a t→0
1
[F (x, u + th, w + th0 ) − F (x, u, w)] dx = 0 ∀h ∈ V
t
∂F (x, u
b, w)
b
∂F (x, u
b, w)
b 0
h+
h dx = 0
∂u
∂w
Druhý sčítanec upravíme pomocí integrace per partes a máme
Z b
∂F (x, u
b, w)
b
d ∂F (x, u
b, w)
b
−
h dx = 0
∂u
dx
∂w
a
∀h ∈ V.
∀h ∈ V.
Pomocí lemmatu 1.1 pak dostaneme
∂F
d
−
∂u
dx
∂F
∂w
= 0 .
Tato diferenciální rovnice, která je vyjádřením nutné podmínky extrému, se nazývá Euler–
Lagrangeova rovnice příslušející uvažovanému funkcionálu J.
20
Poznámka 1.12 (Vznik variačního počtu)
Na problémech vedoucích k této rovnici pracoval v letech 1754 - 1756 italský matematik, fyzik
a astronom Giuseppe Lodovico Lagrangia (1736 - 1813), známý později jako Lagrange. Pro
řešení těchto úloh bylo nutné zkoumat maxima a minima funkcionálů. Lagrange přitom využil
některé dřívější postupy pro práci s funkcionály, které vymyslel švýcarský matematik a fyzik
Leonhard Euler (1707 - 1783). Oba si na toto téma vyměnili řadu dopisů a jejich práce pak
vedly k položení základů variačního počtu, což je termín, který zavedl Euler v roce 1766.
Úkoly k procvičení
Cvičení 1.1 Proved’te podrobně příklad 1.1.
Cvičení 1.2 Vypočítejte diferenciál Gâteaux pro funkcionál
Z
Z
Z 1
1 1 4
1 1 0 2
(v ) dx +
v dx −
f v dx
J(v) =
2 0
4 0
0
v ∈ H01 ((0, 1)).
Cvičení 1.3 Uvažujme funkci dvou proměnných
1 pro x > 0 a y = x2 ,
f (x, y) =
0 jinak.
Ukažte, že tato funkce je v bodě (0, 0) G-diferencovatelná, dokonce zde existuje derivace Gâteaux, ale není v tomto bodě spojitá.
Cvičení 1.4 Uvažujme funkci zadanou v polárních souřadnicích
f (r, ϕ) = rcos(ϕ),
r ∈ [0, +∞), ϕ ∈ [0, 2π].
Ukažte, že tato funkce je v bodě (0, 0) G-diferencovatelná a že její první variace není lineární
vzhledem ke směru h.
Cvičení 1.5 Určete, zda je funkcionál z cvičení 1.1 konvexní na H01 ((0, 1)).
Cvičení 1.6 Proved’te podrobně odvození vztahů a výsledků z příkladu 1.4, 1.5, 1.6, 1.7 a 1.8.
21
2
Variační formulace eliptických okrajových úloh 2. řádu
2.1
Eliptické okrajové úlohy 2. řádu
Nejprve si zopakujeme klasické formulace okrajových úloh pro eliptické rovnice 2. řádu.
Poté ukážeme na jejich souvislost s jistými kvadratickými funkcionály a jejich stacionárními body na vhodně zvolených prostorech funkcí. Tím vznikne možnost oslabit
předpoklady na vstupní data pro uvažované úlohy.
Necht’ Ω ⊂ RN je omezená oblast s dostatečně hladkou hranicí Γ. Uvažujme diferenciální
operátor 2. řádu (k zápisu používáme sumační konvenci)
∂u
∂
aij (x)
+ b(x)u(x),
x ∈ Ω,
Au(x) = −
∂xi
∂xj
kde 1. aij ∈ C 1 (Ω), b ∈ C(Ω),
2. aij (x) = aji (x) ∀x ∈ Ω, ∀i, j = 1, . . . , N .
Definice 2.1 Řekneme, že operátor A je eliptický v bodě x0 ∈ Ω, jestliže
∀ξ ∈ RN , ξ 6= 0.
aij (x0 ) ξi ξj 6= 0
Řekneme, že operátor A je eliptický v Ω, jestliže je eliptický v libovolném bodě x ∈ Ω.
Řekneme, že operátor A je stejnoměrně eliptický v Ω, jestliže existuje konstanta α > 0, tak,
že
aij (x) ξi ξj ≥ αkξk2
∀x ∈ Ω, ∀ξ ∈ RN .
Příklad 2.1 Necht’ aij = δij =
1
0
i=j
i 6= j
a b ≡ 0.
Pak operátor A je tvaru
Au ≡ −∆u = −
N
X
∂ 2u
i=1
∂x2i
.
Jedná se o známý Laplaceův operátor.
V dalším budeme předpokládat, že jsou dány funkce f ∈ C(Ω) a g, h ∈ C(Γ).
Definice 2.2 Klasickým řešením Dirichletovy úlohy nazveme funkci u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω)
splňující
Au(x) = f (x)
∀x ∈ Ω,
u(x) = g(x)
∀x ∈ Γ.
Poznámka 2.1 Připomeňme si, že o podmínkách, které vidíme v této definici, se hovoří někdy
jako o stabilních okrajových podmínkách, kdežto ty, které se objevují v následující definici, bývají označované jako nestabilní. Toto názvosloví se vyskytuje zejména ve fyzikálním kontextu.
22
Definice 2.3 Necht’ aij ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω). Klasickým řešením Neumannovy úlohy nazveme
funkci u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) splňující
Au(x) = f (x)
∂u
(x) = g(x)
∂nA
kde
∀x ∈ Ω,
∀x ∈ Γ,
∂u
∂u
(x) ≡ aij (x)
ni (x)
∂nA
∂xj
x ∈ Γ,
se nazývá derivace podle konormály, přičemž n(x) = (n1 (x), . . . , nN (x)) značí jednotkový
vektor vnější normály ke hranici Γ.
Definice 2.4 Necht’ aij ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω). Klasickým řešením Newtonovy úlohy nazveme
funkci u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) splňující
Au(x) = f (x)
∂u
(x) + h(x)u(x) = g(x)
∂nA
∀x ∈ Ω,
∀x ∈ Γ.
Poznámka 2.2 Tento typ okrajových úloh bývá někdy v literatuře spojován (namísto s Newtonem) se jménem francouzského matematika Victora Gustave Robina (1855 – 1897) a hovoří se
pak o tzv. Robinových okrajových podmínkách.
Definice 2.5 Necht’ Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ R, kde Γ1 , Γ2 jsou neprázdné, navzájem disjunktní a
otevřené v Γ, meas(R) = 0. Necht’ g ∈ C(Γ1 ), h ∈ C(Γ2 ). Klasickým řešením smíšené
úlohy nazveme funkci u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω ∪ Γ1 ) ∩ C 1 (Ω ∪ Γ2 ) splňující
Au(x) = f (x)
u(x) = g(x)
∂u
(x) = h(x)
∂nA
∀x ∈ Ω,
∀x ∈ Γ1 ,
∀x ∈ Γ2 .
Nyní přikročíme k variační formulaci okrajových úloh. Přitom oslabíme požadavky na koeficienty operátoru A a zadané funkce f, g, h:
(A1) aij , b ∈ L∞ (Ω)
(A2) aij (x) = aji (x)
sk. vš. v Ω
(A3) A je stejnoměrně eliptický v Ω, tj. existuje konstanta α > 0 taková, že
aij (x)ξi ξj ≥ αkξk2
Následně položíme
23
sk. vš. v Ω, ∀ξ ∈ RN .
Z ∂u ∂v
aij
a(u, v) =
+ buv dx,
∂xj ∂xi
u, v ∈ H 1 (Ω).
Ω
Tímto předpisem jsme zavedli symetrickou, spojitou bilineární formu na H 1 (Ω) × H 1 (Ω) - viz
cvičení 2.1.
Položme dále
1
v ∈ H 1 (Ω),
J(v) = a(v, v) − hf, vi,
2
kde
Z
f v dx,
hf, vi ≡
Ω
přičemž f ∈ L2 (Ω). Pak
Z Z
∂v ∂ϕ
aij
J (v, ϕ) = h∇J(v), ϕi =
+ bvϕ dx − f ϕ dx
∂xj ∂xi
0
Ω
∀ϕ ∈ H 1 (Ω).
Ω
Necht’ prostor V je takový, že H01 (Ω) ⊆ V ⊆ H 1 (Ω), a necht’ u ∈ V je stacionární bod J na
V . Pak
J 0 (u, v) = h∇J(u), vi = 0
∀v ∈ V.
Jelikož H01 (Ω) ⊆ V a prostor D(Ω) ≡ C0∞ (Ω) je hustý v H01 (Ω), tato rovnost platí pro všechny
v ∈ D(Ω). Necht’ u, aij jsou natolik hladké funkce, že lze aplikovat Greenovu formuli na
předchozí vztah. Pak
Z
Z ∂u ∂v
+ buv dx − f v dx =
0=
aij
∂xj ∂xi
Ω
Ω
Z ∂u
∂
=
−
aij
+ bu − f v dx
∀v ∈ D(Ω)
∂xi
∂xj
Ω
a odtud máme za pomoci lemmatu 1.2
∂
∂u
−
aij
+ bu = f
∂xi
∂xj
sk. vš. v Ω,
což značí, že
Au = f
sk. vš. v Ω.
ZÁVĚR: Necht’ prostor V je takový, že
H01 (Ω) ⊆ V ⊆ H 1 (Ω),
a necht’ u ∈ V je stacionární bod funkcionálu J na V , tj. platí
J 0 (u, v) = 0
∀v ∈ V.
Potom za předpokladu dostatečné hladkosti funkce u i koeficientů operátoru A dostaneme z
rovnice pro stacionární bod, že u vyhovuje vztahu
Au(x) = f (x)
pro sk. vš. x ∈ Ω.
24
Vztah
u∈V
J 0 (u, v) = h∇J(u), viV 0 ×V = 0
∀v ∈ V
tedy představuje zobecněnou definici řešení diferenciální rovnice Au = f , pro niž se používá
často název slabé řešení. Splnění okrajových podmínek dosáhneme jednak vhodnou volbou
prostoru V , jednak modifikací původního funkcionálu J.
Nyní probereme postupně jednotlivé okrajové úlohy, přičemž budeme vždy definovat prostor V a tvar funkcionálu příslušející dané okrajové úloze.
1. Dirichletova úloha
Necht’ V = H01 (Ω) a necht’ existuje u0 ∈ H 1 (Ω) tak, že u0 = g na Γ ve smyslu stop.
Dále necht’ w ∈ H01 (Ω) je stacionární bod funkcionálu
Z
1
J1 (v) = a(v + u0 , v + u0 ) − f v dx,
2
Ω
tj. platí
J10 (w, v)
Z
= a(w + u0 , v) −
∀v ∈ H01 (Ω).
f v dx = 0
Ω
Odtud
Z Z
∂
∂v
aij
(w + u0 )
+ b(w + u0 )v dx =
f v dx
∂xj
∂xi
Ω
∀v ∈ H01 (Ω).
Ω
Formálním užitím Greenovy věty pak dostaneme
∂
∂
−
aij
(w + u0 ) + b(w + u0 ) = f
∂xi
∂xj
sk. vš. v Ω.
Odtud tedy plyne, že funkce
u = w + u0
vyhovuje rovnici
Au = f
sk. vš. v Ω
a přitom je
u|Γ = u0 |Γ + w |Γ = g.
Tedy u řeší Dirichletovu úlohu.
2. Neumannova úloha
Necht’ V = H 1 (Ω), g ∈ L2 (Γ).
Dále necht’ u ∈ H 1 (Ω) je stacionární bod funkcionálu
Z
Z
1
J2 (v) = a(v, v) − f v dx − gv ds,
2
Ω
Γ
tj. platí
J20 (u, v)
Z
= a(u, v) −
Z
f v dx −
Ω
gv ds = 0
Γ
25
∀v ∈ H 1 (Ω).
Formálním užitím Greenovy věty dostaneme
Z
Z Z
Z
∂
∂u
∂u
−
aij
+ bu v dx + aij
ni v ds = f v dx + gv ds
∂xi
∂xj
∂xj
Ω
Γ
∀v ∈ H 1 (Ω).
Γ
Ω
Testováním pro v ∈ D(Ω) dostaneme
Au = f
a následně
Z
sk. vš. v Ω
Z
∂u
v ds =
∂nA
∀v ∈ H 1 (Ω),
gv ds
Γ
Γ
tj.
∂u
= g
∂nA
sk. vš. na Γ.
Tedy u řeší Neumannovu úlohu.
3. Newtonova úloha
Necht’ V = H 1 (Ω), h ∈ L∞ (Γ), g ∈ L2 (Γ).
Dále necht’ u ∈ H 1 (Ω) je stacionární bod funkcionálu
Z
Z
Z
1
1
2
J3 (v) = a(v, v) +
hv ds − f v dx − gv ds,
2
2
Γ
Ω
Z
Z
Γ
tj. platí
J30 (u, v)
Z
huv ds −
= a(u, v) +
Γ
f v dx −
Ω
gv ds = 0
∀v ∈ H 1 (Ω).
Γ
Formálním užitím Greenovy formule dostaneme
Z
Z
Z
Z ∂u
∂
+ bu
v dx + huv ds = f v dx + gv ds
aij
−
∂xi
∂xj
Γ
Ω
Ω
∀v ∈ H 1 (Ω).
Γ
Odtud podobně jako výše dostaneme
Au = f
sk. vš. v Ω
a
∂u
+ hu = g
∂nA
Tedy u řeší Newtonovu úlohu.
sk. vš. na Γ.
4. Smíšená úloha
Necht’ V = {v ∈ H 1 (Ω) : v = 0 na Γ1 }, h ∈ L2 (Γ2 ) a necht’ existuje u0 ∈ H 1 (Ω) tak, že
u0 = g na Γ1 (ve smyslu stop).
Dále necht’ w ∈ V je stacionární bod funkcionálu
Z
Z
1
J4 (v) = a(v + u0 , v + u0 ) − f v dx − hv ds,
2
Ω
26
Γ2
tj. platí
J40 (w, v)
Z
Z
f v dx −
= a(w + u0 , v) −
hv ds = 0
∀v ∈ V.
Γ2
Ω
Formálním užitím Greenovy věty pak dostaneme
Z Z
∂
∂
∂
−
aij
(w + u0 ) + b(w + u0 ) v dx +
(w + u0 )v ds =
∂xi
∂xj
∂nA
Ω
Γ2
Z
Z
= f v dx + hv ds
Ω
∀v ∈ V.
Γ2
Odtud plyne
∂
−
∂xi
∂
aij
(w + u0 ) + b(w + u0 ) = f sk. vš. v Ω,
∂xj
∂
(w + u0 ) = h sk. vš. na Γ2 ,
∂nA
w + u0 = u0 = g sk. vš. na Γ1 .
Tedy funkce u = w + u0 je řešením smíšené úlohy.
ZÁVĚR: Uvažované eliptické okrajové úlohy souvisí se stacionárními body jistých kvadratických funkcionálů na vhodně definovaných prostorech V . Nelze však hovořit o ekvivalenci,
nebot’ Greenovu formuli jsme používali jen formálně, tj. bez ohledu na splnění předpokladů.
2.2
Variační formulace a řešitelnost okrajových úloh 2. řádu
V dalším se budeme zabývat otázkou existence a popřípadě i jednoznačností stacionárních bodů funkcionálů, se kterými jsme se seznámili v předcházejícím textu. To nám
dá možnost vytvořit variační formulace a definovat variační řešení jednotlivých okrajových úloh pro eliptické rovnice. Stabilní okrajové podmínky se v těchto formulacích
realizují volbou prostoru funkcí, nestabilní vhodnou změnou funkcionálu - takzvaně
variačně.
Vrat’me se opět k symetrické a spojité bilineární formě
Z ∂u ∂v
+ buv dx,
a(u, v) =
aij
∂xj ∂xi
u, v ∈ H 1 (Ω).
Ω
Z vlastnosti stejnoměrné elipticity (A3) plyne
a(v, v) ≥ α
2
Z X
N ∂v
Ω
i=1
∂xi
Z
dx +
Ω
Předpokládejme nyní, že platí
(A4) b(x) ≥ 0
sk. vš. v Ω.
27
bv 2 dx
∀v ∈ H 1 (Ω).
Potom
a(v, v) ≥ α
2
Z X
N ∂v
Ω
i=1
∂xi
dx
a z Friedrichsovy nerovnosti (viz Dodatek 1) dostáváme
a(v, v) ≥ ckvk2H 1 (Ω)
∀v ∈ H01 (Ω).
Zaměníme-li předpoklad (A4) za silnější
(A5) b(x) ≥ b0 > 0
sk. vš. v Ω,
obdržíme „lepší“ nerovnost
a(v, v) ≥ ckvk2H 1 (Ω)
∀v ∈ H 1 (Ω).
1. Variační formulace a řešitelnost Dirichletovy úlohy
Věta 2.1 Necht’ f ∈ L2 (Ω) a u0 ∈ H 1 (Ω) je takové, že u0 = g na Γ ve smyslu stop.
Dále necht’ platí (A1), (A2), (A3) a (A4). Potom existuje právě jedno minimum w ∈ H01 (Ω)
funkcionálu
Z
1
J1 (v) = a(v + u0 , v + u0 ) − f v dx
2
Ω
na
H01 (Ω).
Důkaz: Funkcionál J1 (v) lze přepsat do tvaru
1
1
J1 (v) = a(v, v) + a(v, u0 ) + a(u0 , u0 ) −
2
2
Z
f v dx.
Ω
Protože
1
2
a(u0 , u0 ) je konstanta, stačí hledat minimum funkcionálu
1
Je1 (v) = a(v, v) − L(v),
2
kde
Z
L(v) = −a(u0 , v) +
f v dx
Ω
je lineární spojitý funkcionál na H01 (Ω). Navíc forma a(u, v) splňuje dle předpokladu (A4)
a(v, v) ≥ ckvk2H 1 (Ω)
∀v ∈ H01 (Ω),
tudíž existence a jednoznačnost w ∈ H01 (Ω) takového, že
Je1 (w) = min
Je1 (v)
1
v∈H0 (Ω)
pak plyne z výsledků kapitoly 1.
28
Definice 2.6 Funkci
u = w + u0
nazveme variačním řešením Dirichletovy úlohy.
Věta 2.1 neodpovídá na otázku, zda existuje právě jedno řešení Dirichletovy úlohy. Její
řešení je u = w + u0 , w ∈ H01 (Ω), je dle této věty jediné, ale jeho hodnoty závisí na výběru
funkce u0 .
Lemma 2.1 Za výše uvedených předpokladů součet w + u0 nezávisí na konkrétní volbě
funkce u0 ∈ H 1 (Ω) splňující u0 = g na Γ ve smyslu stop.
Důkaz: Necht’ w0 + u0 je původní řešení. Necht’ w1 ∈ H01 (Ω) je bod minima funkcionálu
Z
1
J1 (v) = a(v + u1 , v + u1 ) − f v dx
2
Ω
na
H01 (Ω),
1
kde u1 ∈ H (Ω) je taková, že u1 = g na Γ. Odtud plyne, že
J10 (w1 , v) = 0
∀v ∈ H01 (Ω),
tedy
Z Z
∂
∂v
aij
(w1 + u1 )
+ b(w1 + u1 )v dx = f v dx ∀v ∈ H01 (Ω)
∂xj
∂xi
Ω
Ω
a zároveň
Z ∂v
∂
(w0 + u0 )
+ b(w0 + u0 )v
aij
∂xj
∂xi
Z
dx =
f v dx
∀v ∈ H01 (Ω).
Ω
Ω
Odečtením těchto dvou vztahů dostaneme pro libovolné v ∈ H01 (Ω)
Z ∂v
∂
((w0 − w1 ) + (u0 − u1 ))
+ b ((w0 − w1 ) + (u0 − u1 )) v dx = 0.
aij
∂xj
∂xi
Ω
Jelikož součet (w0 − w1 ) + (u0 − u1 ) padne do H01 (Ω), položíme zde v = (w0 − w1 ) + (u0 − u1 )
a z Friedrichsovy nerovnosti pak následně máme
(w0 − w1 ) + (u0 − u1 ) = 0
sk. vš. v Ω.
Tedy
w 0 + u0 = w 1 + u1
sk. vš. v Ω.
Z předcházejících úvah ihned dostáváme následující tvrzení:
Věta 2.2 Necht’ jsou splněny předpoklady věty 2.1. Potom existuje právě jedno variační
řešení u Dirichletovy úlohy a toto řešení je charakterizováno vztahy

 u − u0 ∈ HZ01 (Ω)
 a(u, v) =
f v dx
∀v ∈ H01 (Ω).
Ω
29
2. Variační formulace a řešitelnost Neumannovy úlohy
Definice 2.7 Funkci u ∈ H 1 (Ω) takovou, že
J2 (u) = min
J2 (v)
1
v∈H (Ω)
nazveme variačním řešením Neumannovy úlohy.
Věta 2.3 Necht’ f ∈ L2 (Ω), g ∈ L2 (Γ) a necht’ platí (A1), (A2), (A3) a (A5). Potom
existuje právě jedno variační řešení u ∈ H 1 (Ω) Neumannovy úlohy a toto řešení je charakterizováno vztahem

1

 u ∈ H (Ω)Z
Z
a(u, v) =
f v dx + gv ds
∀v ∈ H 1 (Ω).


Ω
Γ
Důkaz: - viz cvičení 2.2.
Jestliže platí (A4), může nastat situace, že
b(x) = 0
sk. vš. v Ω.
Potom funkcionál J2 není ryze konvexní, ale pouze konvexní, a mohou nastat komplikace s existencí i jednoznačností řešení.
Označíme
N = v ∈ H 1 (Ω) : a(v, v) = 0 .
Snadno nahlédneme, že je
N = P0 (Ω),
kde symbolem Pk (Ω) budeme značit množinu polynomů stupně k definovaných na Ω.
Tedy N je množina všech konstantních funkcí na Ω.
Věta 2.4 Necht’ f ∈ L2 (Ω), g ∈ L2 (Γ), b ≡ 0 sk. vš. v Ω a necht’ platí (A1), (A2), (A3).
Potom funkcionál J2 nabývá svého minima na H 1 (Ω) právě tehdy, když
Z
Z
f dx = − g ds.
Ω
Γ
Důkaz: 1. Necht’ u ∈ H 1 (Ω) je bod minima funkcionálu J2 na H 1 (Ω). Pak
Z
Z
a(u, v) = f v dx + gv ds
∀v ∈ H 1 (Ω)
Ω
a
Z
a(u + p, v) =
Γ
Z
f v dx +
Ω
gv ds
Γ
30
∀v ∈ H 1 (Ω), ∀p ∈ P0 (Ω).
Tudíž je
∀v ∈ H 1 (Ω), ∀p ∈ P0 (Ω).
a(p, v) = 0
Zvolíme nyní v = u a dostaneme
Z
Z
Z
Z
∀p ∈ P0 (Ω).
f dx + g ds
0 = a(p, u) = a(u, p) = f p dx + gp ds = p
Γ
Ω
Γ
Ω
Odtud již plyne, že
Z
Z
g ds = 0.
f dx +
Γ
Ω
2. Nyní předpokládejme, že platí vztah
Z
Z
f dx = − g ds.
Γ
Ω
Položme
N
⊥
1
= v ∈ H (Ω) : (v, p)H 1 (Ω)
= 0 ∀p ∈ P0 (Ω) =
Z
1
v ∈ H (Ω) :
v dx = 0 .
Ω
To je uzavřený podprostor prostoru H 1 (Ω) vzhledem k normě k.kH 1 (Ω) , ortogonální k N a
H 1 (Ω) = N ⊕ N ⊥ .
To znamená, že každou funkci v ∈ H 1 (Ω) lze psát jednoznačně ve tvaru
v1 ∈ N , v2 ∈ N ⊥ .
v = v1 + v2 ,
Pak máme
1
J2 (v) = a(v, v) −
2
Z
Z
f v dx −
Ω
gv ds =
Γ
1
= a(v1 + v2 , v1 + v2 ) −
2
Z
Z
f (v1 + v2 ) dx −
Ω
1
1
= a(v1 , v1 ) + a(v1 , v2 ) + a(v2 , v2 ) − v1
2
2
Z
Z
− f v2 dx − gv2 ds = J2 (v2 ),
Ω
g(v1 + v2 ) ds =
ZΓ
g ds −
f dx +
Ω
Z
Γ
Γ
Z
Z
f dx +
nebot’ podle předpokladu
Ω
g ds = 0
Γ
a pro libovolné v1 ∈ N je
a(v1 , v1 ) = a(v1 , v2 ) = 0.
Tedy minimum funkcionálu J2 stačí hledat pouze na N ⊥ .
Dle Poincarého nerovnosti (viz Dodatek 1) je
2
Z
a(v, v) +
v dx
Ω
≥α
2
Z X
N ∂v
Ω
i=1
∂xi
2
Z
dx +
v dx
Ω
31
≥ ckvk2H 1 (Ω)
∀v ∈ H 1 (Ω).
Odtud
∀v ∈ N ⊥ .
a(v, v) ≥ ckvk2H 1 (Ω)
Uvědomme si, že množina N ⊥ je uzavřená v H 1 (Ω), tedy N ⊥ je Hilbertův prostor. Funkcionál
J2 je kvadratický, koercivní a ryze konvexní na N ⊥ , proto tedy existuje právě jedno minimum
J2 na N ⊥ .
Na N ⊥ tedy existuje jediné řešení Neumannovy úlohy, kdežto na H 1 (Ω), existuje nekonečně
mnoho variačních řešení této úlohy a všechna tato řešení jsou tvaru u + p, kde p ∈ P0 (Ω). 3. Variační formulace a řešitelnost Newtonovy úlohy
Definice 2.8 Funkci u ∈ H 1 (Ω) splňující
J3 (u) = min
J3 (v)
1
v∈H (Ω)
nazveme variačním řešením Newtonovy úlohy.
Věta 2.5 Necht’ f ∈ L2 (Ω), g ∈ L2 (Γ), h ∈ L∞ (Γ) a necht’ existuje konstanta h0 > 0 tak,
že
h(x) ≥ h0 > 0
sk. vš. na Γ.
Necht’ jsou splněny předpoklady (A1), (A2), (A3) a (A4). Potom existuje právě jedno variační řešení Newtonovy úlohy a toto řešení je charakterizované vztahem

 u ∈ H 1 (Ω)
Z
Z
Z
f v dx + gv ds
∀v ∈ H 1 (Ω).
 a(u, v) + huv ds =
Γ
Ω
Γ
Důkaz: Z předpokladů a z Friedrichsovy nerovnosti dostáváme
Z
2
hv ds ≥ α
a(v, v) +
Γ
2
Z X
N ∂v
Ω
i=1
∂xi
Z
dx + h0
v 2 ds ≥ ckvk2H 1 (Ω)
∀v ∈ H 1 (Ω).
Γ
Tedy funkcionál J3 je ryze konvexní, koercivní kvadratický funkcionál na H 1 (Ω). Existence a
jednoznačnost variačního řešení Newtonovy úlohy pak plyne z výsledků kapitoly 1.
Věta 2.6 Necht’ f ∈ L2 (Ω), g ∈ L2 (Γ), h ∈ L∞ (Γ) a necht’
h(x) ≥ 0
sk. vš. na Γ.
Necht’ jsou splněny předpoklady (A1), (A2), (A3) a (A5). Potom existuje právě jedno variační řešení Newtonovy úlohy a toto řešení je charakterizované vztahem

 u ∈ H 1 (Ω)
Z
Z
Z
 a(u, v) + huv ds =
f v dx + gv ds
∀v ∈ H 1 (Ω).
Γ
Ω
Γ
Důkaz: - viz cvičení 2.3.
32
4. Variační formulace a řešitelnost smíšené úlohy
Věta 2.7 Necht’ f ∈ L2 (Ω), h ∈ L2 (Γ2 ), necht’ Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ R, kde meas(R) = 0 a
necht’ jsou splněny předpoklady (A1), (A2), (A3) a (A4). Potom existuje právě jedna funkce
w ∈ V = {v ∈ H 1 (Ω) : v = 0 na Γ1 } tak, že
J4 (w) = min J4 (v).
v∈V
Důkaz: se vede analogicky jako u věty 2.1.
Funkcionál J4 upravíme následovně
1
J4 (v) = a(v + u0 , v + u0 ) −
2
Z
Z
f v dx −
hv ds =
Γ2
Ω
1
1
= a(v, v) + a(u0 , v) + a(u0 , u0 ) −
2
2
Z
Z
hv ds ≡
f v dx −
Γ2
Ω
1
≡ Je4 (v) + a(u0 , u0 ).
2
Stačí tedy ověřit existenci a jednoznačnost minima funkcionálu


Z
Z
1
Je4 (v) = a(v, v) − −a(u0 , v) + f v dx + hv ds ,
2
Ω
Γ2
což plyne ihned z Friedrichsovy nerovnosti.
Definice 2.9 Funkci
u = w + u0
nazveme variačním řešením smíšené úlohy.
Lemma 2.2 Variační řešení smíšené úlohy je dáno jednoznačně, tj. součet w + u0 nezávisí
na konkrétním výběru funkce u0 ∈ H 1 (Ω) splňující u0 = g na Γ1 .
Důkaz: - viz cvičení 2.4.
Poznámka 2.3 Další - a pro praxi velmi důležitou - eliptickou úlohu 2.řádu najde čtenář v Dodatku 2 - jde o úlohu lineární pružnosti, resp. elasticity. Tato úloha je však již úlohou vektorovou
na rozdíl od těch, kterými jsme se zde zabývali doposud a kterým pak můžeme analogicky říkat
skalární.
33
Úkoly k procvičení
Cvičení 2.1 Dokažte, že předpis
Z ∂u ∂v
aij
+ buv dx
a(u, v) =
∂xj ∂xi
Ω
definuje za splnění podmínek (A1), (A2), (A3) symetrickou a spojitou bilineární formu na
H 1 (Ω) × H 1 (Ω).
Cvičení 2.2 Proved’te důkaz věty 2.3. Využijte přitom větu o stopách k ověření toho, že
Z
Z
L(v) = f v dx + gv ds
Γ
Ω
je lineární spojitý funkcionál na H 1 (Ω).
Cvičení 2.3 Proved’te důkaz věty 2.6.
Cvičení 2.4 Proved’te důkaz lemmatu 2.2. Postupujte analogicky jako u lemmatu 2.1.
34
3
Variační formulace některých eliptických okrajových úloh
4. řádu
3.1
Určení ohybu nosníku
Nosník je důležitý konstrukční prvek zpravidla přímého tvaru, který u strojních a stavebních konstrukcí slouží k zachycení vnějšího příčného zatížení. Určení jeho průhybu,
který vznikne působením takového zatížení, má pro praxi nezanedbatelný význam.
V tomto odstavci se budeme zabývat v praxi nejčastěji používaným matematickým modelem nosníku, který kolem roku 1750 vytvořili společně Leonhard Euler (1707 – 1783) a
Daniel Bernoulli (1700 – 1782). Dobře popisuje elastické chování štíhlých nosníků, tj. nosníků s délkou výrazně převyšující jejich tloušt’ku a šířku. Euler–Bernoulliho model nosníku je
jednodimenzionální rovnice tvaru
00
(EI u00 (x)) = f (x),
x ∈ (0, L),
s označením
E - Youngův modul pružnosti,
I - moment
průřezu vzhledem k ohybové ose,
R setrvačnosti
2
I = A z dydz, A - plocha příčného řezu v rovině (y, z),
u - průhyb nosníku,
f - vertikální zatížení nosníku,
L - délka nosníku.
Uvažované okrajové podmínky rozdělíme na
• stabilní: u(a), u0 (a),
• nestabilní: M (a), V (a),
kde M (x) = EIu00 (x) je ohybový moment,
V (x) = (EIu00 (x))0 je posouvající síla.
Přitom s ohledem na fyzikální realitu budeme uvažovat pouze následující typy okrajových podmínek v bodě x = a:
u(a) = u0 (a) = 0,
• pevné vetknutí:
• prosté podepření:
• volný konec:
u(a) = M (a) = 0,
M (a) = V (a) = 0.
Současně je zřejmé, že reálně má smysl jen omezený počet jejich kombinací:
1. oboustranně vetknutý nosník:
2. prostě podepřený nosník:
u(0) = u0 (0) = 0 = u(L) = u0 (L),
u(0) = M (0) = 0 = u(L) = M (L),
3. nosník s vetknutím a podepřením:
4. nosník s volným koncem:
u(0) = u0 (0) = 0 = u(L) = M (L),
u(0) = u0 (0) = 0 = M (L) = V (L).
35
Obrázek 2: Nosník s volným koncem
Poznámka 3.1 Z čistě matematického hlediska jsou koeficienty E a I funkce proměnné x.
Z pohledu fyzikálního je modul pružnosti E zpravidla konstanta, nebot’ je dán vlastnostmi
materiálu, z něhož je nosník vyroben. Moment setrvačnosti I závisí na průřezu nosníku a proto
jde obecně o funkci. Avšak v praktických úlohách je to většinou bud’to funkce konstantní nebo
nanejvýš po částech konstantní.
1 4
b , pro kruhový průřez o poloměru r dostaneme
Např. pro čtvercový průřez šířky b je I = 12
1
4
I = 4 πr .
Funkcionál celkové potenciální energie nosníku je tvaru
J5 (v) = Jint (v) + Jext (v),
kde
1
Jint (v) =
2
ZL
2
EI (v 00 ) dx
0
je potenciální energie vnitřních sil a
ZL
Jext (v) = −
f v dx
0
je potenciální energie vnějších sil. Celkem tedy
1
J5 (v) =
2
ZL
ZL
00 2
EI (v ) dx −
0
f v dx
∀v ∈ V,
0
přičemž prostor V splňuje
H02 ((0, L)) ⊆ V ⊆ H 2 ((0, L)) .
Označíme-li
ZL
a(u, v) =
EIu00 v 00 dx
u, v ∈ V,
0
pak stacionární bod u ∈ V funkcionálu J5 vyhovuje vztahu
ZL
a(u, v) =
f v dx
0
36
∀v ∈ V.
Formálním použitím Greenovy věty pak dostaneme
ZL
ZL
00 00
(EI u ) v dx =
0
Odtud
∀v ∈ D((0, L)).
f v dx
0
00
(EI u00 (x)) = f (x)
sk. vš. v (0, L),
přičemž v případě, že EI = konst., dostáváme z literatury známý tvar
EIuIV (x) = f (x)
sk. vš. v (0, L).
V úloze s oboustranně vetknutým nosníkem požadujeme splnění okrajových podmínek
u(0) = u0 (0) = 0, u(L) = u0 (L) = 0. Uvažujeme tedy prostor
V = H02 ((0, L)) = v ∈ H 2 ((0, L)) : u(0) = u0 (0) = 0 = u(L) = u0 (L) .
Definice 3.1 Variačním řešením úlohy s oboustranně vetknutým nosníkem nazveme funkci
u ∈ H02 ((0, L)) takovou, že
J5 (u) =
min
v∈H02 ((0,L))
J5 (v).
Poznámka 3.2 Tato definice je matematickým vyjádřením známého Lagrangeova principu minima potenciální energie. Ten je jedním ze základních zákonů mechaniky a vyplývají z něho
tzv. statické podmínky rovnováhy sil. Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) ho ve skutečnosti
zformuloval roku 1788 pouze pro tuhé těleso, v 19. století byl pak tento princip rozšířen i na
pružná tělesa. Lagrange byl za své zásluhy v roce 1808 vyznamenán Napoleonem řádem čestné
legie a byl mu udělen titul hraběte císařství, takže se pak psal comte de Lagrange.
Věta 3.1 Pro libovolnou funkci f ∈ L2 ((0, L)) existuje právě jedno variační řešení u úlohy
o průhybu oboustranně vetknutého nosníku a toto řešení je charakterizováno vztahem

2

 u ∈ H0 ((0, L))

ZL
ZL
00 00

∀v ∈ H02 ((0, L)) .

 EIu v dx = f v dx
0
0
Důkaz: provedeme za předpokladu, že
EI = konst > 0.
V obecném případě, kdy EI(x) ≥ CEI > 0, se postupuje analogicky.
Nyní předefinujeme f := f /(EI) a označíme V = H02 ((0, L)). Pak, je-li v ∈ H02 ((0, L)), je
v ∈ H01 ((0, L)) a v 0 ∈ H01 ((0, L)).
37
Dále užitím Friedrichsovy nerovnosti dostáváme
kvk2H 1
ZL
0 2
2
v + (v )
=
ZL
dx ≤ c0
Z
0 2
(v ) dx +
0
0
ZL
= c0
(v 0 )2 dx
2
v ds
=
∂Ω0
∀v ∈ V
0
a podobně
kv 0 k2H 1
ZL
0 2
00 2
(v ) + (v )
=
ZL
dx ≤ c1
Z
00 2
(v ) dx +
0
0
ZL
= c1
(v 00 )2 dx
0 2
(v ) ds
=
∂Ω0
∀v ∈ V.
0
Z tohoto vztahu dostaneme
ZL
a(v, v) =
1
(v 00 )2 dx ≥
c1
0
ZL
(v 0 )2 + (v 00 )2 dx
∀v ∈ V
0
a podobně pomocí první nerovnosti obdržíme
ZL
a(v, v) =
1
(v ) dx ≥
c1 c0
00 2
ZL
0 2
2
v + (v )
1
dx +
c1
0
0
ZL
(v 00 )2 dx
∀v ∈ V.
0
Tedy celkem
1
kvk2V
c1 max{c0 , 1}
a(v, v) ≥
∀v ∈ V,
jelikož
kvk2V
ZL
=
(v 00 )2 + (v 0 )2 + (v)2 dx.
0
Existence a jednoznačnost variačního řešení dané úlohy pak plyne z výsledků kapitoly 1.
Podobně postupujeme i v dalších úlohách, tedy v úloze s prostě podepřeným nosníkem a s
nosníkem s volným koncem.
V případě, že je nosník umístěn na podloží, je příslušná rovnice tvaru
00
(EIu00 (x)) + r(x) = f (x),
x ∈ (0, L),
kde r(x) je tzv. odezvová funkce. Jestliže uvažujeme klasický jednoparametrický Winklerův
model podloží, je
r(x) = kF u(x),
kde kF je koeficient tuhosti podloží.
38
Poznámka 3.3 Pro čtenáře může být zajímavý fakt, že tento model vznikl v době, kdy německý inženýr Emil Winkler (1835 - 1888) přednášel na Polytechnice v Praze (dnešní ČVUT).
Publikoval ho v knize
E. Winkler: Die Lehre von der Elasticität und Festigkeit mit besonderer Rücksicht auf ihre
Anwendung in der Technik. Verlag H. Dominicus, Prag, 1867.
Variační formulace dané úlohy s podložím pak bude následující.
Mějme dán prostor V , jenž splňuje H02 ((0, L)) ⊆ V ⊆ H 2 ((0, L)). Chceme nalézt funkci
u ∈ V tak, že platí
J6 (u) = min J6 (v),
v∈V
kde
1
J6 (v) =
2
ZL
1
EI (v ) dx + kF
2
00 2
0
ZL
ZL
v 2 dx −
f v dx
0
∀v ∈ V.
0
Poznámka 3.4 Poznamenejme ještě, že uvedená formulace implicitně předpokládá, že nosník
je s podložím pevně spojený. Úloha tak zůstává lineární. Případ, kdy nosník na podloží pouze
volně leží, vyžaduje trochu jiný přístup a vede na nelineární problémy.
Poznámka 3.5 Pokud jde o podloží, lze ovšem uvažovat i složitější tzv. víceparametrické modely. Např. v případě dvouparametrického Pasternakova modelu podloží z roku 1954 je
r(x) = kF u(x) − kS u00 (x),
přičemž kS je koeficient tuhosti smykových vrstev podloží.
Poznámka 3.6 Další možné rozšíření základní úlohy představuje přidání síly P působící v ose
nosníku, tj. na ose x (v inženýrských publikacích se používá termín axiální zatížení). Rovnice
nosníku pak přejde na tvar
00
(EIu00 (x)) + P u00 (x) = f (x),
x ∈ (0, L).
Je-li P < 0, je nosník namáhán tahem, pokud máme P > 0, pak je nosník stlačován. V tomto
případě se úloha stává poměrně komplikovanou a ztrácí i jednoznačnost řešení v důsledku ztráty
konvexity funkcionálu energie.
3.2
Biharmonická rovnice a ohyb tenké desky
U desek je jeden rozměr - tloušt’ka - podstatně (3 a více krát) menší než rozměry
ostatní. Je-li tloušt’ka 10 a více krát menší, pak desky označujeme jako tenké a můžeme k jejich analýze použít Kirchhoffovu teorii pro tenké desky. V opačném případě
desky označujeme jako tlusté a měli bychom používat Reissner–Mindlinovu teorii. Zde
se zaměříme pouze na některé okrajové úlohy pro tenkou desku a biharmonickou rovnici, která s nimi souvisí.
Deska bude reprezentována omezenou oblastí Ω ⊂ R2 s lipschitzovskou hranicí Γ. Deska
bude tenká, tj. její tloušt’ka bude alespoň o jeden řád menší než průměr desky. Budeme uvažovat
39
pouze malé průhyby, tj. tyto průhyby budou malé v porovnání s tloušt’kou desky a deformace
budou mnohem menší než 1.
Pak průhyb u tenké pružné desky splňuje rovnici
(x, y) ∈ Ω,
∆(D∆u(x, y)) = f (x, y),
kde
D =
Et3
12(1 − ν 2 )
je ohybová tuhost desky a
E je Youngův modul pružnosti,
ν je Poissonova konstanta,
t je tloušt’ka desky.
Je-li D = konst, dostáváme rovnici
∆(∆u) =
f
D
v Ω.
Poznámka 3.7 Za tuto rovnici získala její autorka, francouzská matematička, fyzička a filozofka Sophie Germainová (1776 – 1831) v roce 1815 cenu pařížské Akademie věd. Její první
pokus v roce 1813 nebyl kvůli matematickým nedostatkům úspěšný, ty jí však pomohl opravit
nedlouho před svou smrtí Lagrange.
Definice 3.2 Výrazem
∆2 u = ∆(∆u) =
∂ 4u
∂ 4u
∂ 4u
+
2
+
∂x4
∂x2 ∂y 2 ∂y 4
je definován v R2 biharmonický operátor, někdy se hovoří také o bilaplaciánu.
Nakonec provedeme předefinování f := f /D, čímž dostaneme biharmonickou rovnici ve
tvaru
∆2 u(x, y) = f (x, y),
(x, y) ∈ Ω .
Pro danou funkci f ∈ L2 (Ω) nyní zavedeme funkcionál
2 2 !
Z
∂ 2v ∂ 2v
∂ v
+2 2 2 +
dxdy − f v dxdy =
∂x ∂y
∂y 2
Ω
Ω
Z
Z
1
(∆v)2 dxdy − f v dxdy,
v ∈ H 2 (Ω),
=
2
1
J7 (v) =
2
Z
∂ 2v
∂x2
2
Ω
Ω
přičemž derivace chápeme v zobecněném smyslu. Definujme dále předpisem
Z
a(u, v) = ∆u∆v dxdy,
u, v ∈ H 2 (Ω),
Ω
symetrickou spojitou bilineární formu na H 2 (Ω) × H 2 (Ω) (viz cvičení 3.2). Pak je zřejmé, že
J7 je kvadratický funkcionál daný touto formou.
40
Necht’ prostor V je takový, že H02 (Ω) ⊆ V ⊆ H 2 (Ω) a necht’ u ∈ V je stacionární bod J7
na V , tj. J 0 (u, v) = 0 ∀v ∈ V . Pak u splňuje
Z
Z
∀v ∈ V.
∆u∆v dxdy = f v dxdy
Ω
Ω
Je-li u dostatečně hladká funkce, použijeme Greenovu větu pro v ∈ D(Ω):
Z
Z
2
∆ u v dxdy = f v dxdy
∀v ∈ D(Ω)
Ω
Ω
a odtud
∆2 u(x, y) = f (x, y)
sk.vš. v Ω.
Splnění okrajových podmínek se dosáhne vhodnou volbou prostoru V , podobně jako u úloh 2.
řádu.
Dvě nejvýznamnější aplikace biharmonické rovnice jsou ohyb tenké desky a určení proudové funkce Stokesova modelu proudění v 2D. Zde se budeme věnovat problematice ohybu
desek. Protože však fyzikální rozbor ukazuje, že řešení těchto úloh obvykle závisí na hodnotě
Poissonovy konstanty ν, upravíme z toho důvodu tvar biharmonického operátoru následovně
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
2
+ ν 2 + 2(1 − ν)
+
+ν 2 .
∆u =
∂x2 ∂x2
∂y
∂x∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂y 2
∂x
Poissonovu konstantu budeme uvažovat v rozmezí 0 < ν < 0.5 .
Deskovou rovnicí pak budeme rozumět rovnici
∆2 u = f
v Ω ⊂ R2 ,
kde operátor ∆2 uvažujeme ve smyslu předchozí definice.
Zároveň budeme definovat další funkcionál pro deskové úlohy pomocí bilineární formy na
2
H (Ω) × H 2 (Ω) tvaru
Z ∂ 2u ∂ 2v
∂ 2u ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2v
b(u, v) =
∆u∆v + (1 − ν) 2
−
−
dxdy =
∂x∂y ∂x∂y ∂x2 ∂y 2 ∂y 2 ∂x2
Ω
2
Z ∂ 2u ∂ 2v
∂ 2u ∂ 2v
∂ u ∂ 2v
+2
+
=
dxdy.
ν∆u∆v + (1 − ν)
∂x2 ∂x2
∂x∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂y 2
Ω
Snadno lze ověřit, že b(., .) je symetrickou spojitou bilineární formou na H 2 (Ω) × H 2 (Ω) (viz
cvičení 3.3).
Funkcionál celkové potenciální energie desky pak bude pro funkce v ∈ H 2 (Ω) definován
takto
Z
1
J8 (v) = b(v, v) − f v dxdy =
2
Ω
!!
2 2
Z
Z
1
∂ v
∂ 2v ∂ 2v
2
=
(∆v) + 2(1 − ν)
− 2 2
dxdy − f v dxdy.
2
∂x∂y
∂x ∂y
Ω
Ω
41
Necht’ prostor V je takový, že H02 (Ω) ⊆ V ⊆ H 2 (Ω) a necht’ u ∈ V je stacionární bod J8
na V , tj. J 0 (u, v) = 0 ∀v ∈ V . Pak tento bod splňuje
Z
∀v ∈ V.
b(u, v) = f v dxdy
Ω
Formálním užitím Greenovy formule dostaneme (viz cvičení 3.4)
Z
Z
Z
∂v
2
b(u, v) = ∆ u v dxdy + Mn
ds + Vn v ds.
∂n
Ω
Γ
Γ
Přitom jsme označili
Mn = ν∆u + (1 − ν)
∂ 2u
,
∂n2
∂u
∂u
(∆u) + (1 − ν)
Vn = −
∂n
∂n
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
2
2
(n − ny ) −
nx ny −
nx ny .
∂x2
∂x∂y x
∂y 2
Použité symboly jsou analogické tomu, co známe z předcházejícího odstavce 3.1, tj. Mn je
ohybový moment a Vn je posouvající síla na okraji desky vzhledem k odpovídající normále
n = (nx , ny ).
Vezmeme-li nyní testovací funkce v z prostoru D(Ω), obdržíme rovnici desky
∆2 u(x, y) = f (x, y)
sk.vš. v Ω.
Úloha s vetknutou deskou
U této úlohy předepíšeme okrajové podmínky
u=
∂u
=0
∂n
na Γ
a podle toho zvolíme
V = H02 (Ω) = {v ∈ H 2 (Ω) : v =
∂v
= 0 na Γ},
∂n
přičemž hodnoty v a ∂v/∂n na Γ uvažujeme ve smyslu stop.
Lemma 3.1
Z
∂ 2v ∂ 2v
dxdy =
∂x2 ∂y 2
Ω
Z ∂ 2v
∂x∂y
2
∀v ∈ D(Ω).
dxdy
Ω
Důkaz: Pro libovolnou funkci v ∈ D(Ω) dle Greenovy formule platí
Z 2
Z
Z
∂ v ∂ 2v
∂ 3 v ∂v
∂ 2v ∂ 2v
dxdy
=
−
dxdy
=
dxdy.
∂x2 ∂y 2
∂x2 ∂y ∂y
∂x∂y ∂x∂y
Ω
Ω
Ω
42
Lemma 3.2 (O ekvivalenci norem v H02 (Ω))
Necht’ Ω je omezená s lipschitzovskou hranicí. Potom seminorma |∆v|H 0 (Ω) je na prostoru
H02 (Ω) normou, která je ekvivalentní se standardní normou kvkH 2 (Ω) , a platí
∀v ∈ H02 (Ω).
|∆v|H 0 (Ω) = |v|H 2 (Ω)
Důkaz: Podle definice seminormy v H 2 (Ω) máme
|v|2H 2 (Ω) =
Z X
(Di v)2 dxdy =
Ω |i|=2
Z
∂ 2v
∂x2
2
+2
∂ 2v
∂x∂y
2
+
∂ 2v
∂y 2
2 !
dxdy,
Ω
kdežto v H 0 (Ω) = L2 (Ω)
|∆v|2H 0 (Ω)
Z
=
∂ 2v
∂x2
2
∂ 2v ∂ 2v
+2 2 2 +
∂x ∂y
∂ 2v
∂y 2
2 !
dxdy.
Ω
Jelikož je prostor D(Ω) hustý v H02 (Ω), platí tvrzení lemmatu 3.1 pro každé v ∈ H02 (Ω). Odtud
pak dostáváme vztah
|v|H 2 (Ω) = |∆v|H 0 (Ω)
∀v ∈ H02 (Ω)
a z něj plyne tvrzení lemmatu.
Věta 3.2 Na prostoru H02 (Ω) jsou funkcionály J7 a J8 identické, tj.
∀v ∈ H02 (Ω).
J7 (v) = J8 (v)
Důkaz: Tvrzení plyne ihned z lemmatu 3.1 a z hustoty prostoru D(Ω) v H02 (Ω).
Z tohoto důvodu můžeme v uvažovaném případě složitější funkcionál J8 nahradit jednodušším funkcionálem J7 . U jiných okrajových podmínek to však již nepůjde.
Definice 3.3 Variačním řešením úlohy průhybu vetknuté desky nazveme funkci u ∈ H02 (Ω)
takovou, že platí
J7 (u) = min
J7 (v).
2
v∈H0 (Ω)
Věta 3.3 Necht’ f ∈ L2 (Ω). Pak existuje právě jedno variační řešení u úlohy průhybu
vetknuté desky a toto řešení je charakterizováno vztahem


u ∈ H02 (Ω)
Z
Z
∆u ∆v dxdy = f v dxdy ∀v ∈ H02 (Ω).


Ω
Ω
43
Důkaz: Z definice bilineární formy a(., .) plyne
Z
a(v, v) = (∆v)2 dxdy = |∆v|2H 0 (Ω)
∀v ∈ H02 (Ω).
Ω
Z lemmatu 3.2 pak dostáváme
a(v, v) =
|v|2H 2 (Ω)
=
XZ
(Di v)2 dxdy
∀v ∈ H02 (Ω).
|i|=2 Ω
Odtud užitím Friedrichsovy nerovnosti na H02 (Ω)
a(v, v) ≥ c kvk2H 2 (Ω)
∀v ∈ H02 (Ω).
Tedy funkcionál J7 je ryze konvexní a koercivní na H02 (Ω). Tvrzení věty pak plyne z výsledků
variačního počtu.
Poznámka 3.8 Na prostoru V = H02 (Ω) lze snadno ukázat i V -elipticitu formy b(., .). Podle
definice formy b, lemmatu 3.2 a Friedrichsovy nerovnosti totiž máme
b(v, v) = ν|∆v|2H 0 (Ω) + (1 − ν)|v|2H 2 (Ω) = |v|2H 2 (Ω) ≥ Ckvk2H 2 (Ω)
∀v ∈ H02 (Ω).
Úloha s prostě podepřenou deskou
Pro tuto úlohu zadáme okrajovou podmínku
u=0
na Γ
a v souladu s tím zvolíme pro variační formulaci prostor
V = {v ∈ H 2 (Ω) : v = 0 na Γ}.
V tomto případě však funkcionály J7 a J8 nemají na prostoru V stejné hodnoty. K formulaci
uvedené deskové úlohy musíme proto použít druhý z nich.
Definice 3.4 Variačním řešením úlohy průhybu prostě podepřené desky nazveme funkci
u ∈ V takovou, že
J8 (u) = min J8 (v).
v∈V
Věta 3.4 Necht’ f ∈ L2 (Ω). Pak existuje právě jedno variační řešení u úlohy prostě podepřené desky a toto řešení je charakterizováno vztahem


u∈V
Z
b(u, v) =
f v dxdy
∀v ∈ V.


Ω
44
Důkaz: Z definice bilineární formy b máme vyjádření
b(v, v) = ν|∆v|2H 0 (Ω) + (1 − ν)|v|2H 2 (Ω)
∀v ∈ H 2 (Ω), ν ∈ (0, 0.5).
Odtud a užitím Friedrichsovy nerovnosti pro funkce z V dostáváme
b(v, v) ≥ (1 − ν)|v|2H 2 (Ω) ≥ C kvk2H 2 (Ω)
∀v ∈ V.
Tedy funkcionál J8 je ryze konvexní a koercivní na V . Existence a jednoznačnost variačního
řešení pak plyne z výsledků variačního počtu, stejně jako uvedená charakterizace tohoto řešení.
Okrajová podmínka u = 0 na Γ je splněna výběrem prostoru V . Ve formulaci úlohy je však
skrytá ještě jedna okrajová podmínka, kterou si nyní odvodíme. Necht’ u je dostatečně hladká
funkce a necht’ v ∈ C ∞ (Ω) ∩ V je libovolná. Ze cvičení 3.4 již víme, že pomocí Greenovy
formule lze psát
Z ∂ 2u ∂ 2v
∂ 2u ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2v
∆u∆v + (1 − ν) 2
b(u, v) =
−
dxdy =
−
∂x∂y ∂x∂y ∂x2 ∂y 2 ∂y 2 ∂x2
Ω
Z
Z
Z
∂v
2
= ∆ u v dxdy + Mn
ds + Vn v ds =
∂n
Ω
Γ
Z
ZΓ
∂v
= ∆2 u v dxdy + Mn
ds
∀v ∈ C ∞ (Ω) ∩ V.
∂n
Ω
Γ
Protože dle předcházející věty
Z
b(u, v) =
f v dxdy
∀v ∈ V
Ω
a skoro všude v Ω platí ∆2 u = f , můžeme psát
Z
b(u, v) = ∆2 u v dxdy
∀v ∈ D(Ω).
Ω
Ze srovnání vyjádření pro b(u, v) je zřejmé, že
Z
∂v
Mn
ds = 0
∂n
∀v ∈ C ∞ (Ω) ∩ V
Γ
a tedy
Mn = 0
sk. vš. na Γ.
ZÁVĚR: Kromě stabilní okrajové podmínky u = 0 na Γ má variační formulace v sobě
implicitně obsaženou i nestabilní podmínku Mn = 0 na Γ. Klasická formulace úlohy prostě
podepřené desky má tedy tvar
∆2 u = f
u = Mn = 0
45
v Ω,
na Γ.
Analogicky s nosníkovými úlohami lze uvažovat ještě deskovou úlohu s podmínkami
Mn = Vn = 0
na Γ,
kterou nazýváme úloha s volným okrajem.
Evidentně takto zadaná úloha nemá fyzikální smysl a nemá ani řešení z hlediska matematického. Smysl ovšem má smíšená úloha, kde na části hranice předepíšeme vetknutí nebo
podepření a na zbylé části volný okraj.
Úkoly k procvičení
Cvičení 3.1 Napište variační formulaci problému nosníku s osovou silou. Přesvědčte se, že
pro P < 0 zůstává funkcionál celkové potenciální energie ryze konvexní, kdežto v opačném
případě to již obecně neplatí.
Cvičení 3.2 Ukažte, že
Z 2
∂ u ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2v
+
+
+
dxdy
a(u, v) =
∂x2 ∂x2 ∂x2 ∂y 2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 ∂y 2
Ω
je spojitá symetrická bilineární forma na H 2 (Ω) × H 2 (Ω).
Cvičení 3.3 Dokažte, že b(., .) je pro hodnoty ν ∈ (0, 0.5) symetrická spojitá bilineární forma
na H 2 (Ω) × H 2 (Ω).
Cvičení 3.4 Za předpokladu, že u a v jsou dostatečně hladké funkce, proved’te podrobně výpočet
Z
Z
Z
∂v
2
ds + Vn v ds.
b(u, v) = ∆ u v dxdy + Mn
∂n
Ω
Γ
Γ
Cvičení 3.5 Necht’ Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ R, meas(R) = 0. Na hranici Γ1 je deska vetknutá a na Γ2
prostě podepřená. Napište variační formulaci a ukažte, že pro každou f ∈ L2 (Ω) má tato úloha
právě jedno řešení.
46
4
Nesymetrické eliptické úlohy
V této části zobecníme některé výsledky z předcházejících kapitol pro případ, kdy bilineární forma není symetrická.
Až dosud jsme se zabývali převážně úlohami typu
(
nalézt u ∈ V tak, že
J(u) = min J(v),
v∈V
kde
1
a(v, v) − hf, viV 0 ×V .
2
Uvedená úloha byla za jistých předpokladů ekvivalentní s úlohou
nalézt u ∈ V tak, že
a(u, v) = hf, viV 0 ×V
∀v ∈ V.
J(v) =
Zde a(u, v) byla vždy symetrická bilineární forma na V × V . Tato symetrie pro odpovídající
lineární diferenciální operátor
∂
∂u
Au(x) = −
aij (x)
+ b(x)u(x),
x ∈ Ω,
∂xi
∂xj
znamenala, že platí
aij (x) = aji (x)
∀i, j = 1, . . . , N, sk. vš. v Ω.
Řada úloh z praxe však tuto podmínku nesplňuje. V dalším nebudeme splnění takové podmínky
předpokládat a bilineární formu
Z ∂u ∂v
+ buv dx,
u, v ∈ H 1 (Ω),
a(u, v) =
aij
∂xj ∂xi
Ω
budeme tedy uvažovat jako obecně nesymetrickou.
V této kapitole bude V znamenat Hilbertův prostor. Necht’ a(u, v) je spojitá a V -eliptická,
tj. necht’
∃ Q > 0 : |a(u, v)| ≤ Qkukkvk
∃ α > 0 : a(v, v) ≥ αkvk2
∀u, v ∈ V,
∀v ∈ V.
Necht’ L(v) je spojitá lineární forma na V , tj.
∃C > 0 :
|L(v)| ≤ Ckvk
∀v ∈ V.
Definice 4.1 Nesymetrickým eliptickým problémem nazveme úlohu
nalézt u ∈ V tak, že
(P)
a(u, v) = L(v)
∀v ∈ V.
47
Poznámka 4.1 Pro porovnání se symetrickým případem lze zavést formu L formálně takto
L(v) = hf, viV 0 ×V
∀v ∈ V.
Věta 4.1 (Lax–Milgramova)
Necht’ bilineární forma a(u, v) je spojitá a V -eliptická. Potom pro libovolnou omezenou
lineární formu L(v) existuje právě jedno řešení úlohy (P).
Důkaz:
Jestliže forma a(u, v) je navíc symetrická, pak a(u, v) definuje na V skalární součin a
p
a(v, v) je norma ekvivalentní s původní normou na V v důsledku spojitosti a elipticity. Podle
Rieszovy věty o reprezentaci existuje právě jeden prvek uL ∈ V tak, že
∀v ∈ V.
a(uL , v) = L(v)
Necht’ je nyní forma a(u, v) obecně nesymetrická a u ∈ V je libovolné ale pevné. Pak
zobrazení
v 7→ a(u, v)
∀v ∈ V
představuje spojitý lineární funkcionál na V . Z Rieszovy věty o reprezentaci dále plyne existence právě jednoho prvku U ∈ V takového, že
∀v ∈ V.
a(u, v) = (U, v)
Prvek U přitom závisí na u, přičemž u 7→ U je spojité a lineární zobrazení z V do V (viz
cvičení 4.1). Označme ho symbolem A. Potom jednak
kAkL (V,V ) ≤ Q
a také
kAukV ≥ αkukV
∀u ∈ V
(viz cvičení 4.1).
Podobně existuje právě jeden prvek F ∈ V takový, že
L(v) = (F, v)
∀v ∈ V.
Z těchto vztahů ihned plyne, že úloha (P) je ekvivalentní s úlohou
nalézt u ∈ V takové, že
0
(P )
Au = F.
Položme dále
Tγ u = u − γ(Au − F ),
γ > 0.
Úloha (P 0 ) je zřejmě ekvivalentní s úlohou nalézt pevný bod operátoru Tγ , tj.
nalézt u ∈ V takové, že
00
(P )
u = Tγ u.
48
Ukážeme, že pro γ > 0 dostatečně malé je Tγ kontraktivní zobrazení z V do V . Necht’
u, v ∈ V jsou libovolné a položme w = u − v. Pak
kTγ u − Tγ vk2 = ku − γ(Au − F ) − v + γ(Av − F )k2 =
= ku − v − γA(u − v)k2 = kw − γAwk2 =
= kwk2 − γ(Aw, w) − γ(w, Aw) + γ 2 kAwk2 ≤
≤ kwk2 (1 − 2γα + γ 2 Q2 ),
přičemž
jsme použili výše uvedené nerovnosti pro operátor A. Odtud dále plyne, že pro γ ∈
2α
0, 2 je
Q
1 − 2γα + γ 2 Q2 < 1.
Z Banachovy věty o kontrakci (resp. o pevném bodě) nyní plyne existence právě jednoho řešení
úlohy (P 00 ) a tedy i (P 0 ) a (P).
Poznámka 4.2 Na základě důkazu lze definovat iterační proces
u0 ∈ V dané,
un+1 = un − γ(Aun − F ),
nebot’ pro γ ∈ (0, 2α/Q2 ) máme un → u ve V . K výpočtům se ale nepoužívá.
V dalším zadání eliptické úlohy poněkud zobecníme a s ohledem na to, že se budeme zabývat nesymetrickými problémy, uvažujme obecný lineární diferenciální operátor 2. řádu tvaru
∂
∂u
∂u
Au ≡ −
aij
+ bi
+ du,
∂xi
∂xj
∂xi
kde aij , bi a d jsou omezené měřitelné funkce v Ω a podmínky elipticity zůstávají stejně jako
dříve. Definujme na H 1 (Ω) × H 1 (Ω) bilineární formu
Z ∂u ∂v
∂u
+ bi
v + duv dx
∀u, v ∈ H 1 (Ω).
a(u, v) =
aij
∂xj ∂xi
∂xi
Ω
Tato forma je spojitá pro u, v ∈ H 1 (Ω) (viz cvičení 4.2).
Necht’ V je uzavřený podprostor v H 1 (Ω) takový, že na H01 (Ω) ⊆ V ⊆ H 1 (Ω) a necht’
koeficienty operátoru A jsou takové, že a(u, v) je V -eliptická, tj.
a(v, v) ≥ αkvk2H 1 (Ω)
∀v ∈ V.
Pak podle Lax-Milgramovy věty má úloha (P) právě jedno řešení.
Lze pak uvažovat následující možnosti:
Dirichletova úloha - volíme V = H01 (Ω) a
Z
L(v) = f v dx − a(u0 , v),
Ω
přičemž u0 ∈ H 1 (Ω): u0 = g na Γ.
49
f ∈ L2 (Ω),
Neumannova úloha - volíme V = H 1 (Ω) a
Z
Z
L(v) = f v dx + gv ds,
Ω
Γ
Newtonova úloha - volíme V = H 1 (Ω) a
Z
Z
L(v) = f v dx + gv ds,
g ∈ L2 (Γ), f ∈ L2 (Ω),
Γ
Ω
přičemž a(u, v) := a(u, v) +
g ∈ L2 (Γ), f ∈ L2 (Ω).
R
h ∈ L∞ (Γ).
huv ds,
Γ
Smíšená úloha - volíme V = {v ∈ H 1 (Ω) : v = 0 na Γ1 } a
Z
Z
L(v) = f v dx + hv ds − a(u0 , v),
Ω
h ∈ L2 (Γ2 ),
Γ2
přičemž u0 ∈ H 1 (Ω): u0 = g na Γ1 .
Formální interpretace úloh pomocí Greenovy věty probíhá stejně jako v předcházejících
kapitolách. Symetrie formy a(u, v) se totiž při tom ve skutečnosti nepotřebovala.
Úkoly k procvičení
Cvičení 4.1 Ověřte, že zobrazení
A : u 7→ U
z důkazu Lax-Milgramovy věty definované vztahem
a(u, v) = (U, v)
∀v ∈ V,
je spojité a lineární zobrazení z V do V a dokažte nerovnost
kAukV ≥ αkukV
∀u ∈ V.
Cvičení 4.2 Ukažte, že bilineární forma
Z ∂u ∂v
∂u
a(u, v) =
aij
+ bi
v + duv dx
∂xj ∂xi
∂xi
Ω
je spojitá na H 1 (Ω) × H 1 (Ω).
Cvičení 4.3 Mějme dán okrajový problém
−u00 + ku0 + u = f
u0 (0) = u0 (1) = 0,
v [0, 1],
kde k > 0 je konstanta.
Zformulujte odpovídající obecnou eliptickou úlohu pro hodnotu k = 1 a ověřte předpoklady
Lax-Milgramovy věty. Analyzujte pak z hlediska existence a jednoznačnosti řešení případ, kdy
koeficient k je libovolné kladné číslo.
50
5
Variační nerovnice
5.1
Eliptické variační nerovnice
Mnohé fyzikální problémy vedou na formulace, které nelze vyjádřit ve tvaru, který je
v matematice obvyklý - ve tvaru rovnic. Takové úlohy lze často vyjádřit jako nerovnice
a speciálně jako tzv. variační nerovnice. Ukážeme si, že i tyto úlohy mají smysl, např.
jsou jednoznačně řešitelné. Důležité pro pochopení problematiky jsou příklady, několik
jich zde čtenář nalezne.
Necht’ V je reflexivní Banachův prostor, M ⊆ V neprázdná podmnožina a J : V → R je
daný funkcionál. V kapitole 1 jsme se zabývali úlohou
(
nalézt u ∈ M tak, že
J(u) = min J(v).
v∈M
Postačující podmínky na M a J, aby tato úloha měla právě jedno řešení, udává Základní věta
variačního počtu. V odstavci 1.2 jsme probrali případ, kdy M = V . Nyní se zaměříme na
případ M ( V . Tato množina bude dále neprázdná, konvexní, uzavřená podmnožina prostoru
V . Abychom zdůraznili její podstatnou vlastnost, budeme ji v dalším značit K.
Věta 5.1 Necht’ K 6= ∅ je konvexní podmnožina V . Pak K je uzavřená tehdy a jen tehdy,
když je slabě uzavřená.
Z předchozí věty a Základní věty variačního počtu ihned plyne:
Věta 5.2 Necht’ K je neprázdná, konvexní, uzavřená podmnožina V , J : V → R je slabě
zdola polospojitý funkcionál na V a na K je koercivní. Potom existuje alespoň jedno minimum J na K.
Necht’ J je G-diferencovatelný na K. Víme, že pokud je K otevřená množina a J má v
bodě u ∈ K minimum, pak
J 0 (u, v) = 0
∀v ∈ V.
Je-li však K uzavřená, může u ležet na hranici K a důkaz rovnosti J 0 (u, v) = 0 ∀v ∈ V
neprojde.
Věta 5.3 Necht’ K je neprázdná konvexní podmnožina V , J : V → R je daný G-diferencovatelný funkcionál na V . Necht’ J nabývá v bodě u ∈ K svého minima na K. Potom platí
J 0 (u, v − u) ≥ 0
∀v ∈ K.
Důkaz: Protože u ∈ K je bod minima je
J(v) ≥ J(u)
∀v ∈ K.
Množina K je konvexní, proto u + t(v − u) ∈ K ∀t ∈ [0, 1], ∀v ∈ K a
J(u + t(v − u)) ≥ J(u)
51
∀t ∈ [0, 1].
Pak
J(u + t(v − u)) − J(u)
≥ 0
∀t ∈ (0, 1)
t
a limitním přechodem pro t → 0+ dostáváme J 0 (u, v − u) ≥ 0.
Poznámka 5.1 Ověříme, zda v případě, že u ∈ K je vnitřním bodem množiny K, dostaneme
z tvrzení předcházející věty vztah
J 0 (u, v) = 0
∀v ∈ V.
Necht’ v ∈ V je libovolný, pak u + t(v − u) ∈ K ∀t ∈ [−δ, +δ] pro δ > 0 dostatečně malé.
Pak pro každé t ∈ (0, δ)
J(u + t(v − u)) ≥ J(u)
a také
J(u − t(v − u)) ≥ J(u).
Odtud dále dostáváme, že
1
[J(u + t(v − u)) − J(u)] ≥ 0,
t
1
[J(u + t(u − v)) − J(u)] ≥ 0.
t
Nyní limitním přechodem pro pro t → 0+ dostaneme
J 0 (u, v − u) ≥ 0
J 0 (u, u − v) ≥ 0
∀v ∈ V,
∀v ∈ V
J 0 (u, v − u) = 0
∀v ∈ V.
a odtud tedy nutně
Protože v jsme volili libovolně, je w = v − u ∈ V také libovolné a
J 0 (u, w) = 0
∀w ∈ V.
Poznámka 5.2 Je-li J(v) = 21 a(v, v) − hf, vi, kde a(., .) je symetrická bilineární forma, pak
lze podmínku J 0 (u, v − u) ≥ 0 zapsat ekvivalentně ve tvaru
u∈K:
a(u, v − u) ≥ hf, v − ui
∀v ∈ K.
Věta 5.4 Necht’ K je neprázdná konvexní podmnožina V , J : V → R je daný konvexní a
G-diferencovatelný funkcionál na V . Potom J nabývá v bodě u ∈ K svého minima na K
právě tehdy, když
J 0 (u, v − u) ≥ 0
∀v ∈ K.
Důkaz: Je-li u ∈ K bodem minima J na K, plyne tvrzení z předchozí věty.
Naopak je-li J konvexní na V a G-diferencovatelný, pak je
J(v) ≥ J(u) + J 0 (u, v − u)
52
∀u, v ∈ V.
Z předpokladu dále víme, že pro každé v ∈ K platí J 0 (u, v − u) ≥ 0, tudíž je
J(v) ≥ J(u)
∀v ∈ K.
Odtud je již zřejmé, že u je bod minima.
Definice 5.1 Necht’ a(., .) je spojitá V -eliptická bilineární forma na V × V a f ∈ V 0 je
daný prvek. Eliptická variační nerovnice prvního druhu je úloha
nalézt u ∈ K tak, že
(P1 )
a(u, v − u) ≥ hf, v − ui
∀v ∈ K.
V případě symetrické bilineární formy můžeme nerovnici (P1 ) přiřadit variační problém ve
smyslu poznámky 5.2, tj. úlohu
(
nalézt u ∈ K tak, že
J(u) = min J(v),
v∈K
kde
1
a(v, v) − hf, vi.
2
Analýzu existence a jednoznačnosti řešení úlohy (P1 ) provedeme v odstavci 5.2 bez toho, že
bychom využili předpokladu symetrie formy a(., .).
J(v) =
Příklad 5.1 (Průhyb tenké vetknuté desky s překážkou)
Vespod desky Ω ⊂ R2 je umístěna dokonale tuhá překážka ϕ, která omezuje její průhyb. Pro
zadané zatížení f ∈ L2 (Ω) je příslušný funkcionál tvaru (viz odstavec 3.2)
Z
Z
1
2
(∆v) dx − f v dx,
v ∈ H02 (Ω).
J7 (v) =
2
Ω
Ω
Místo celého prostoru H02 (Ω) však budeme uvažovat pouze množinu přípustných funkcí
KΩ = v ∈ H02 (Ω) : v(x) ≥ ϕ(x) sk. vš. v Ω ,
kde ϕ ∈ C(Ω) je daná funkce popisující překážku, přičemž ϕ ≤ 0 na Γ.
Definice 5.2 Variačním řešením úlohy tenké vetknuté desky s překážkou nazveme funkci
u ∈ KΩ takovou, že
J7 (u) = min J7 (v).
v∈KΩ
Množina KΩ není zjevně lineární, je však konvexní a dokážeme, že je uzavřená v H02 (Ω).
K důkazu uzavřenosti KΩ je třeba ukázat, že je-li vn ∈ KΩ : vn → v v normě prostoru
2
H0 (Ω), pak v ∈ KΩ .
Protože H02 (Ω) ,→ C(Ω), konverguje vn k v stejnoměrně, tj. vn ⇒ v. Přitom vn ≥ ϕ sk. vš.
v Ω, tedy i v ≥ ϕ sk. vš. v Ω. Odtud je již zřejmé, že v ∈ KΩ .
53
Funkcionál J7 je spojitý, koercivní a ryze konvexní na H02 (Ω), je tedy i slabě zdola polospojitý. Z toho je zřejmé, že existuje právě jedno řešení uvažované úlohy. Dle předchozí věty je
funkce u ∈ KΩ řešením této úlohy právě tehdy, když
Z
Z
∀v ∈ KΩ ,
∆u(∆v − ∆u) dx ≥ f (v − u) dx
Ω
Ω
což nyní využijeme k formální interpretaci řešení u (budeme proto předpokládat, že řešení je
dostatečně hladké).
Body oblasti Ω rozdělíme do dvou skupin podle toho, zda se deska v tom bodě dotýká nebo
nedotýká překážky:
Ω+ = {x ∈ Ω : u(x) > ϕ(x)},
Ω0 = {x ∈ Ω : u(x) = ϕ(x)}.
Z věty o vnoření máme u ∈ C(Ω). Necht’ x ∈ Ω+ . Ze spojitosti u a ϕ v Ω je
∀x ∈ Ω = B(x, ) ∩ Ω,
u(x) > ϕ(x)
kde > 0 je dostatečně malé.
Necht’ w ∈ D(Ω ) je libovolná. Potom pro dostatečně malé δ > 0 je
v(x) = u(x) ± tw(x) ≥ ϕ
∀x ∈ Ω , ∀t ∈ [0, δ].
Nyní dosadíme tuto funkci do výše uvedené nerovnosti, kterou má splňovat řešení u, a dostaneme
Z
Z
± t ∆u ∆w dx ≥ ± t f w dx
∀w ∈ D(Ω ).
Ω
Odtud
Ω
Z
Z
∆u ∆w dx =
Ω
∀w ∈ D(Ω )
f w dx
Ω
a tedy
∆2 u(x) = f (x)
sk. vš. v Ω .
Protože Ω+ je otevřená množina, lze stejně postupovat pro libovolný bod x ∈ Ω+ . Dostáváme
tedy
∆2 u(x) = f (x)
sk. vš. v Ω+ .
Necht’ nyní w ∈ D(Ω ) je libovolná taková, že w ≥ 0. Potom v = u + w ∈ KΩ a po opětovném
dosazení do použité nerovnosti dostaneme
Z
Z
∆u(∆(u + w) − ∆u) dx ≥ f (u + w − u) dx.
Ω
Ω
Tedy
Z
Z
∆u ∆w dx ≥
Ω
f w dx
∀w ∈ D(Ω ) : w ≥ 0
Ω
a odtud
∆2 u(x) ≥ f (x)
54
sk. vš. v Ω,
přičemž na základě předchozích výsledků pro x ∈ Ω+ zde nastává rovnost. Z druhé strany pro
x ∈ Ω0 máme jinou rovnost, a to u(x) = ϕ(x). Dohromady to lze zapsat takto
(u(x) − ϕ(x)) (∆2 u(x) − f (x)) = 0
sk. vš. v Ω.
ZÁVĚR: Řešení u úlohy tenké vetknuté desky s překážkou tedy (formálně) splňuje následující
vztahy
u ≥ ϕ sk. vš. v Ω,
2
∆ u ≥ f sk. vš. v Ω,
(u − ϕ)(∆2 u − f ) = 0 sk. vš. v Ω,
u = 0 sk. vš. na Γ.
Úloha z tohoto příkladu patří mezi tzv. úlohy s volnou hranicí, nebot’ rozdělení na Ω+ a Ω0
není předem známé a jeho určení je součástí řešení této úlohy.
Příklad 5.2 (Úloha s překážkou na hranici oblasti)
Nyní bude překážka ϕ zadaná pouze na hranici Γ. Funkcionál pro danou funkci f ∈ L2 (Ω)
bude mít tvar (viz odstavec 2.1)
Z
Z
1
2
2
(∇v) + v dx − f v dx,
v ∈ H 1 (Ω)
J(v) =
2
Ω
Ω
a omezení bude popsáno pomocí množiny
KΓ = v ∈ H 1 (Ω) : v(x) ≥ ϕ(x) sk. vš. na Γ ,
kde ϕ ∈ L2 (Γ) je daná funkce popisující překážku na Γ.
Uvažujeme tedy úlohu
(
nalézt u ∈ KΓ tak, že
J(u) = min J(v).
v∈KΓ
Je zřejmé, že KΓ je konvexní. Přitom je také uzavřená v H 1 (Ω), což nyní dokážeme.
Necht’ tedy {vn }, vn ∈ KΓ je taková posloupnost, že vn → v v normě H 1 (Ω). Dle věty o
stopách pak také
vn → v v normě L2 (Γ).
Proto tedy existuje vybraná posloupnost {vn0 } ⊂ {vn }, taková, že vn0 → v sk. vš. na Γ, navíc
vn0 ≥ ϕ sk. vš. na Γ. Proto i v ≥ ϕ sk. vš. na Γ tedy nutně v ∈ KΓ .
Funkcionál J je konvexní a koercivní na H 1 (Ω), proto existuje právě jedno řešení naší úlohy
a toto řešení je charakterizováno vztahem


u
Z ∈ KΓ
Z
(∇u ∇(v − u) + u(v − u)) dx ≥
f (v − u) dx
∀v ∈ KΓ .


Ω
Ω
Toto využijeme k formální interpretaci řešení u:
Zvolme w ∈ D(Ω) libovolně. Pak v = u ± w ∈ KΓ a dosazením dostaneme
Z
Z
± (∇u ∇w + uw) dx ≥ ± f w dx
∀w ∈ D(Ω).
Ω
Ω
55
Odtud
Z
Z
f w dx
∀w ∈ D(Ω).
Dále užitím Greenovy formule
Z
Z
(−∆u w + uw) dx = f w dx
∀w ∈ D(Ω)
(∇u ∇w + uw) dx =
Ω
Ω
Ω
Ω
a tedy
−∆u + u = f
sk. vš. v Ω.
Nyní použijeme Greenovu formuli na výchozí nerovnici. Dostaneme
Z
Z
Z
∂u
(−∆u (v − u) + u(v − u)) dx +
(v − u) ds ≥ f (v − u) dx ∀v ∈ KΓ
∂n
Γ
Ω
a následně
Z
Z
((−∆u + u)(v − u)) dx +
Ω
Ω
∂u
(v − u) ds ≥
∂n
Γ
Z
f (v − u) dx
∀v ∈ KΓ .
Ω
Z již dokázané rovnosti −∆u + u = f pak plyne, že
Z
∂u
(v − u) ds ≥ 0
∂n
∀v ∈ KΓ .
Γ
Uvažujme funkci w ∈ C ∞ (Ω) takovou, že w ≥ 0 na Γ. Potom v = u + w ∈ KΓ . Dosadímeli ji do předchozí nerovnosti, máme
Z
∂u
w ds ≥ 0
∀w ∈ C ∞ (Ω) : w ≥ 0 na Γ
∂n
Γ
a odtud
∂u
≥ 0
sk. vš. na Γ.
∂n
Dále necht’ existuje v ∈ H 1 (Ω) tak, že v = ϕ sk. vš. na Γ. Opět dosadíme do stejné
nerovnosti jako před tím a dostaneme
Z
∂u
(ϕ − u) ds ≥ 0.
∂n
Γ
Protože však je
∂u
≥ 0 a zároveň ϕ − u ≤ 0, je nutně
∂n
Z
∂u
(ϕ − u) ds = 0.
∂n
Γ
Pro integrand platí
∂u
(u − ϕ) ≥ 0
∂n
56
sk. vš. na Γ.
Celkem tedy vychází
∂u
(u − ϕ) = 0
∂n
sk. vš. na Γ.
ZÁVĚR: Řešení u úlohy s překážkou na hranici tedy (formálně) splňuje následující vztahy
−∆u + u
u
∂u
∂n
∂u
(u − ϕ)
∂n
= f
≥ ϕ
sk. vš. v Ω,
sk. vš. na Γ,
≥ 0
sk. vš. na Γ,
= 0
sk. vš. na Γ.
Úloha z tohoto příkladu patří mezi tzv. jednostranné nebo unilaterální úlohy. Ty jsou charakteristické okrajovými podmínkami na Γ tvaru
u ≥ ϕ,
∂u
∂u
≥ 0, (u − ϕ)
= 0.
∂nA
∂nA
Může zde být popřípadě i ϕ ≡ 0 a potom hovoříme o okrajových podmínkách Signoriniho typu
(viz příklad 5.3).
Derivace podle vnější normály.
U funkce u ∈ H 1 (Ω) máme na hranici Γ definovanou pouze její stopu. Směrové derivace
zde nejsou definovány a tedy ani derivace podle normály ke Γ.
Protože jsou funkce u i f z L2 (Ω) a u řeší operátorovou rovnici −∆u + u = f , dostáváme
odtud, že také ∆u ∈ L2 (Ω). Pak podle Greenovy formule
Z
Z
Z
∂u
v ds
∀v ∈ H 1 (Ω).
∆u v dx = − ∇u ∇v dx +
∂n
Ω
Ω
Γ
Na tomto základě je možné pro funkci u ∈ H 1 (Ω) definovat lineární spojitý funkcionál N (u) :
H 1 (Ω) → R předpisem
Z
hN (u), vi =
(∆u v + ∇u ∇v) dx
∀v ∈ H 1 (Ω).
Ω
Evidentně pro funkci w ∈ C 2 (Ω) dostáváme z Greenovy formule
Z
∂w
hN (w), vi =
v ds
∀v ∈ H 1 (Ω),
∂n
Γ
tj. funkcionál N (w) v tomto případě reprezentuje klasickou derivaci podle vnější normály.
∂u
Unilaterální podmínka
≥ 0 tedy bude znamenat, že platí
∂n
∀v ∈ H 1 (Ω).
hN (u), vi ≥ 0
57
Příklad 5.3 (Signoriniho úloha)
Uvažujme opět úlohu známého tvaru
(
(PS )
nalézt u ∈ K tak, že
Π(u) = min Π(v),
v∈K
kde však
1
a(v, v) − hf, vi,
v ∈ V,
2
bude funkcionál úlohy pružnosti (o níž si lze přečíst/zopakovat v dodatku 2), tedy
Z
Z
Fi vi dx,
v ∈ V,
τij (u)ij (v) dx a hf, vi =
a(u, v) =
Π(v) =
Ω
Ω
3
V = {v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ H 1 (Ω) : vi = 0 na Γu , i = 1, 2, 3}
a
K = {v ∈ V : vn ≥ 0 na ΓK }
je konvexní a uzavřená podmnožina V . Přitom vn značí normálovou složku vektoru v a hranice
oblasti je rozdělena následovně
Γ = Γu ∪ ΓK ,
Γu , ΓK 6= ∅.
Ekvivalentně můžeme danou úlohu zformulovat takto:
nalézt u ∈ K tak, že
0
(PS )
a(u, v − u) ≥ hf, v − ui
∀v ∈ K.
Definice 5.3 Funkci u ∈ K, která je řešením úlohy (PS ) resp. (PS0 ), nazýváme variačním
řešením Signoriniho úlohy.
Existence a jednoznačnost variačního řešení se ukáže analogicky jako v předchozím příkladu.
Pro Signoriniho úlohu lze odvodit okrajové podmínky tvaru
un ≤ 0, Tn ≤ 0 sk. vš. na ΓK ,
un Tn = 0
sk. vš. na ΓK ,
přičemž un = ui ni , Tn = Ti ni , jsou normálové složky vektorů u a T , ni zde značí komponenty
vektoru vnější normály ke ΓK (viz cvičení 5.3).
Na závěr odstavce se ještě seznámíme s dalším pro aplikace důležitým typem nerovnic.
Obecnější tvar úlohy (P1 ) představuje:
Definice 5.4 Necht’ a(., .) je spojitá V -eliptická bilineární forma na V × V a f ∈ V 0 je
daný prvek. Necht’ j : V → R = R ∪ {+∞} je funkcionál konvexní zdola polospojitý a
vlastní (anglicky proper), tj. takový, že j(v) > −∞ ∀v ∈ V a j 6≡ +∞. Eliptická variační
nerovnice druhého druhu je úloha
nalézt u ∈ V takové, že
(P2 )
a(u, v − u) + j(v) − j(u) ≥ hf, v − ui
∀v ∈ V.
58
V případě symetrické bilineární formy můžeme nerovnici (P2 ) přiřadit variační úlohu
(
nalézt u ∈ V tak, že
J(u) = min J(v),
v∈V
kde
1
a(v, v) + j(v) − hf, vi,
2
přičemž člen j(.) je obecně nediferencovatelný a funkcionál J má oproti předcházejícímu textu
rozšířený obor hodnot R = R ∪ {+∞}.
J(v) =
Poznámka 5.3 Pro K = V a j ≡ 0 přecházejí úlohy (P1 ) a (P2 ) na klasické variační rovnice
tvaru a(u, v) = hf, vi ∀v ∈ V .
Poznámka 5.4 Úloha (P1 ) je speciálním případem úlohy (P2 ), nebot’ můžeme položit
(
0
pro v ∈ K,
j(v) = IK (v) =
+∞ pro v 6∈ K.
Zde IK značí indikátorový funkcionál množiny K. Zřejmě je konvexní a zdola polospojitý (viz
cvičení 5.4). Úloha (P1 ) je pak ekvivalentní s úlohou
nalézt u ∈ V takové, že
a(u, v − u) + IK (v) − IK (u) ≥ hf, v − ui
∀v ∈ V,
což je evidentně tvar nerovnice druhého druhu.
Rozbor existence a jednoznačnosti řešení úlohy (P2 ) provedeme v následujícím odstavci,
přičemž opomineme předpoklad symetrie formy a(., .).
5.2
Nesymetrické eliptické nerovnice
Nyní přejdeme k obecnějšímu případu, který nepočítá se symetrií bilineární formy a
tudíž není založený na variační formulaci.
Nejprve si uvedeme obecnou definici variační nerovnice.
Definice 5.5 Necht’ V je Banachův prostor, V 0 odpovídající duální prostor, K ⊂ V uzavřená konvexní podmnožina. Necht’ T : K → V 0 je daný operátor. Obecnou variační
nerovnicí rozumíme úlohu
nalézt u ∈ K tak, že
hT u, v − uiV 0 ×V ≥ 0
∀v ∈ K.
V případě, že T je tzv. potenciální operátor, tj. existuje funkcionál F na V takový, že
hT u, viV 0 ×V = hF 0 (u), viV 0 ×V
59
∀v ∈ V,
lze uvedené variační nerovnici přiřadit variační úlohu. V opačném případě nelze nerovnici z
žádné variační úlohy odvodit. V literatuře se však termín variační nerovnice tradičně používá i
v takových situacích.
My se budeme v dalším textu zabývat pouze eliptickými nerovnicemi typu
(P1 )
(P2 )
u ∈ K : a(u, v − u) ≥ L(v − u)
∀v ∈ K,
u ∈ V : a(u, v − u) + j(v) − j(u) ≥ L(v − u) ∀v ∈ V,
kde a(u, v) je obecně nesymetrická bilineární forma, V je Hilbertův prostor, K je neprázdná
konvexní uzavřená podmnožina V , a(u, v) je spojitá na V , tj.
∃Q > 0 : |a(u, v)| ≤ Qkukkvk
∀u, v ∈ V,
a V -eliptická, tj.
∃α > 0 : a(v, v) ≥ αkvk2
∀v ∈ V,
L : V → R je spojitý lineární funkcionál, resp. spojitá lineární forma, a j : V → R =
R ∪ {+∞} je obecně nediferencovatelný, konvexní, zdola polospojitý funkcionál a takový, že
j(v) > −∞ ∀v ∈ V a j 6≡ +∞.
Poznámka 5.5 S ohledem na předpoklady z úvodu tohoto odstavce si uvědomme, že pro nesymetrickou formu a(u, v) není úloha (P1 ) ekvivalentní s nějakou úlohou minimalizace (např.
kvadratického) funkcionálu.
Věta 5.5 (1. Lions–Stampacchiova věta)
Necht’ K je konvexní, uzavřená podmnožina Hilbertova prostoru V a necht’ a(u, v) je spojitá a V -eliptická bilineární forma. Potom úloha (P1 ) má právě jedno řešení.
Důkaz: Nejprve dokážeme sporem jednoznačnost řešení. Necht’ tedy u1 a u2 jsou dvě řešení
úlohy (P1 ), pak
a(u1 , v − u1 ) ≥ L(v − u1 )
a(u2 , v − u2 ) ≥ L(v − u2 )
∀v ∈ K,
∀v ∈ K.
V první nerovnosti položíme v = u2 , ve druhé v = u1 , a po jejich sečtení dostaneme
a(u2 − u1 , u2 − u1 ) ≤ 0.
A jelikož z V -elipticity máme
αku2 − u1 k2 ≤ a(u2 − u1 , u2 − u1 ) ≤ 0,
α > 0,
nutně musí být u1 = u2 .
Nyní dokážeme existenci řešení. Použijeme ideu Ciarletova důkazu Lax-Milgramovy věty,
tj. převedeme úlohu (P1 ) na úlohu o pevném bodě. Podle Rieszovy věty o reprezentaci v Hilbertově prostoru existují A ∈ L (V, V ) a l ∈ V tak, že
(Au, v) = a(u, v)
L(v) = (l, v)
60
∀u, v ∈ V,
∀v ∈ V.
Pak (P1 ) má následující ekvivalentní tvar
nalézt u ∈ K takový, že
(u − ρ(Au − l) − u, v − u) ≤ 0
Ten je ekvivalentní s úlohou
nalézt u ∈ K takový, že
u = PK (u − ρ(Au − l))
∀v ∈ K, ρ > 0.
pro nějaké ρ > 0,
kde PK značí operátor projekce z V do K vůči skalárnímu součinu v prostoru V .
Uvažujme dále zobrazení Tρ : V → V definované takto
Tρ (v) = PK (v − ρ(Av − l)).
Protože projekce je kontraktivní zobrazení, platí pro libovolné v1 , v2 ∈ V
kTρ (v1 ) − Tρ (v2 )k2 ≤ kv2 − v1 k2 + ρ2 kA(v2 − v1 )k2 − 2ρ a(v2 − v1 , v2 − v1 ) ≤
≤ (1 − 2ρα + ρ2 kAk2 ) kv2 − v1 k2 .
Je zřejmé, že pro ρ takové, že 0 < ρ <
2α
, je
kAk2
1 − 2ρα + ρ2 kAk2 < 1.
Pro takové ρ existuje pevný bod operátoru Tρ a je jediný. Totéž pak platí i pro úlohu (P1 ).
Poznámka 5.6 Pro K = V dostáváme Lax-Milgramovu větu.
Věta 5.6 (2. Lions–Stampacchiova věta)
Necht’ V je Hilbertův prostor, a(u, v) je spojitá a V -eliptická bilineární forma na V × V ,
L : V → R je spojitý lineární funkcionál a j : V → R je konvexní zdola polospojitý
funkcionál takový, že j 6≡ +∞, j(v) > −∞ ∀v ∈ V . Potom úloha (P2 ) má právě jedno
řešení.
Důkaz: Nejprve dokážeme jednoznačnost řešení. Necht’ tedy u1 a u2 jsou dvě řešení úlohy (P2 ),
pak
a(u1 , v − u1 ) + j(v) − j(u1 ) ≥ L(v − u1 )
a(u2 , v − u2 ) + j(v) − j(u2 ) ≥ L(v − u2 )
∀v ∈ V,
∀v ∈ V.
Z vlastností funkcionálu j plyne existence v0 ∈ V takového, že −∞ < j(v0 ) < +∞. Do obou
nerovností dosadíme v = v0 a dostaneme
a(u1 , v0 − u1 ) − L(v0 − u1 ) + j(v0 ) ≥ j(u1 ) > −∞,
a(u2 , v0 − u2 ) − L(v0 − u2 ) + j(v0 ) ≥ j(u2 ) > −∞,
tedy −∞ < j(u1 ), j(u2 ) < +∞. Nyní v první nerovnosti položíme v = u2 a ve druhé v = u1 ,
po jejich sečtení a užitím V -elipticity dostaneme
0 ≥ a(u1 − u2 , u1 − u2 ) ≥ αku1 − u2 k2 ,
61
tedy nutně u1 = u2 .
Nyní dokážeme existenci řešení. Každému u ∈ V a ρ > 0 přiřadíme úlohu (Puρ ) typu (P2 )
definovanou následovně:
nalézt w ∈ V tak, že
u
(Pρ )
(w, v − w) + ρj(v) − ρj(w) ≥ (u, v − w) + ρL(v − w) − ρa(u, v − w) ∀v ∈ V.
Místo úlohy (P2 ) budeme uvažovat úlohu (Puρ ). Pointou je, že bilineární forma úlohy (Puρ ) je
skalární součin ve V , tj. je symetrická. Úloha (Puρ ) má pro libovolné u ∈ V a ρ > 0 právě jedno
řešení. To ukáže následující lemma.
Lemma 5.1 Necht’ b : V × V → R je symetrická spojitá V -eliptická bilineární forma s
konstantou V -elipticity β > 0. Necht’ L ∈ V 0 a j : V → R je konvexní zdola polospojitý
funkcionál takový, že j 6≡ +∞, j(v) > −∞ ∀v ∈ V . Necht’
J(v) =
Potom úloha
(P)
1
b(v, v) + j(v) − L(v).
2
nalézt u ∈ V takové, že
J(u) ≤ J(v)
∀v ∈ V
má právě jedno řešení, které je charakterizováno vztahem
(P0 )
u ∈ V : b(u, v − u) + j(v) − j(u) ≥ L(v − u)
∀v ∈ V.
Důkaz: Nejprve dokážeme existenci a jednoznačnost řešení. Dle předpokladu b je V -eliptická,
j(v) je konvexní a L(v) je lineární, tedy funkcionál J je ryze konvexní. Dále b a L jsou spojité
formy a j je zdola polospojitý, tedy funkcionál J je zdola polospojitý.
Jelikož j je konvexní, zdola polospojitý a takový, že j 6≡ +∞, j(v) > −∞ ∀v ∈ V , existuje
λ ∈ V 0 a µ ∈ R tak, že
j(v) ≥ λ(v) + µ.
Potom
β
kvk2 − kλkkvk − kLkkvk + µ =
2
r
r !2
β
kλk + kLk 2
(kλk + kLk)2
=
kvk −
+µ−
2
2
β
2β
J(v) ≥
a odtud je zřejmé, že
lim
kvk→+∞
J(v) = +∞.
Podle Základní věty variačního počtu pak existuje právě jedno řešení úlohy (P).
Nyní dokážeme, že úloha (P) je ekvivalentní s úlohou (P0 ). Necht’ tedy nejprve je u řešením
úlohy (P). Pak
J(u) ≤ J(u + t(v − u))
∀v ∈ V, ∀t ∈ (0, 1].
Položme
J0 (v) =
1
b(v, v) − L(v),
2
62
což značí, že J(v) = J0 (v) + j(v) ∀v ∈ V . Dosazením do poslední nerovnosti obdržíme
J0 (u) + j(u) ≤ J0 (u + t(v − u)) + j(u + t(v − u))
a odtud dále
0 ≤ J0 (u + t(v − u)) − J0 (u) + j(u + t(v − u)) − j(u) ≤
≤ J0 (u + t(v − u)) − J0 (u) + t (j(v) − j(u)) ∀v ∈ V,
nebot’ j je konvexní. Je zřejmé, že
0 ≤
1
(J0 (u + t(v − u)) − J0 (u)) + j(v) − j(u)
t
a limitním přechodem pro t → 0 dostaneme
0 ≤ J00 (u, v − u) + j(v) − j(u).
Přitom
J00 (v, w) = b(v, w) − L(w)
∀v, w ∈ V.
Dosazením do předchozí nerovnosti dostaneme
b(u, v − u) + j(v) − j(u) ≥ L(v − u)
∀v ∈ V.
Tedy u je také řešením úlohy (P0 ).
Nyní necht’ naopak u je řešením úlohy (P0 ). Pak
J(v) − J(u) =
1
(b(v, v) − b(u, u)) + j(v) − j(u) − L(v − u)
2
∀v ∈ V.
Protože
b(v, v) = b(u + v − u, u + v − u) = b(u, u) + 2b(u, v − u) + b(u − v, u − v),
dostaneme po dosazení do předchozího vztahu
J(v) − J(u) = b(u, v − u) + j(v) − j(u) − L(v − u) +
1
b(v − u, v − u).
2
Přitom ale z (P0 ) je
b(u, v − u) + j(v) − j(u) − L(v − u) ≥ 0
∀v ∈ V
a z V -elipticity je
1
b(v − u, v − u) ≥ 0
2
∀v ∈ V.
Tedy nutně
J(v) ≥ J(u)
∀v ∈ V,
tj. u je řešením úlohy (P).
Nyní již zbývá jen ukázat transformaci úlohy (P) na úlohu (Puρ ). Budeme-li nyní považovat
b(u, v) za skalární součin ve V a provedeme-li ve znění lemmatu záměny
j(v) → ρj(v),
L(v) → (u, v) + ρL(v) − ρa(u, v),
63
obdržíme úlohu (Puρ ). Ta má tudíž jediné řešení.
Nyní se vrátíme k důkazu 2. Lions-Stampacchiovy věty.
Pro každé ρ > 0 definujme zobrazení fρ : V → V předpisem
fρ (u) = w,
kde w řeší úlohu (Puρ ) (nyní víme, že takový prvek existuje a je určen jednoznačně). Ukážeme,
že fρ je stejnoměrně striktně kontraktivní zobrazení při vhodné volbě ρ > 0.
Necht’ u1 , u2 ∈ V a w1 = fρ (u1 ), w2 = fρ (u2 ). Z vlastností funkcionálu j plyne, že
hodnoty j(w1 ) a j(w2 ) jsou konečné a platí
(w1 , w2 − w1 ) + ρj(w2 ) − ρj(w1 ) ≥ (u1 , w2 − w1 ) + ρL(w2 − w1 ) − ρa(u1 , w2 − w1 ),
(w2 , w1 − w2 ) + ρj(w1 ) − ρj(w2 ) ≥ (u2 , w1 − w2 ) + ρL(w1 − w2 ) − ρa(u2 , w1 − w2 ).
Nerovnosti sečteme a použijeme v následujícím odhadu:
kfρ (u1 ) − fρ (u2 )k2 = kw1 − w2 k2 ≤ ((I − ρA)(u2 − u1 ), w2 − w1 ) ≤
≤ kI − ρAk ku2 − u1 k kw2 − w1 k.
Jelikož
2α
⇒ kI − ρAk < 1,
kAk2
je fρ stejnoměrně striktně kontraktivní a má tudíž právě jeden pevný bod u, tj.
0<ρ<
fρ (u) = u.
Odtud
(u, v − u) + ρj(v) − ρj(u) ≥ (u, v − u) + ρL(v − u) − ρa(u, v − u)
∀v ∈ V
a dále
a(u, v − u) + j(v) − j(u) ≥ L(v − u)
Tedy u je řešením úlohy (P2 ) a tato úloha má právě jedno řešení.
∀v ∈ V.
Poznámka 5.7 (Stručná historie variačních nerovnic)
První úlohou, v níž se objevila variační nerovnice, byla Signoriniho úloha zformulovaná v roce
1933 významným italským matematickým fyzikem a stavebním inženýrem Antoniem Signorinim (1888 – 1963). Existenci a jednoznačnost řešení této úlohy dokázal jeho žák italský matematik Gaetano Fichera (1922 – 1996) v roce 1963, který se pak zasadil o to, aby úloha nesla
jméno Signoriniho.
V roce 1964 zobecnil pro potřeby variačních nerovnic Lax-Milgramovo lemma jiný italský matematik Guido Stampacchia (1922 - 1978). Stampacchia spolu se slavným francouzským matematikem Jacques-Louis Lionsem (1928 – 2001) dále rozšířili a zobecnili původní výsledky,
takže důkazy obou Lions-Stampacchiových vět byly publikovány v roce 1967.
Mezitím francouzský aplikovaný matematik Georges Duvaut (*1934) rozšířil povědomí o Ficherových výsledcích a variačních rovnicích, s nimiž se seznámil v roce 1965 na konferenci
v Brixenu, i ve Francii. V roce 1972 vychází v pařížském nakladatelství Dunod jeho a Lionsova průkopnická a dodnes citovaná kniha o variačních nerovnicích v matematice a ve fyzice
Les Inéquations en Mécanique et en Physique. O čtyři roky později pak totéž nakladatelství
vydává druhou zásadní a dnes klasickou publikaci trojice autorů Glowinski, Lions a Trémolières zaměřenou na numerické řešení variačních nerovnic Analyse Numérique des Inéquations
Variationnelles.
64
Poznámka 5.8 (Důležité aplikace eliptických nerovnic)
Pomocí eliptické nerovnice 1. druhu lze matematicky modelovat tzv. kontaktní úlohy, v nichž
neuvažujeme vliv tření. Takové úlohy modelují deformace těles při jejich vzájemném dotyku.
Prototypem těchto úloh je Signoriniho úloha (PS ).
Z fyzikálního hlediska jsou realistické obvykle jen kontaktní úlohy se třením. V praxi se můžeme setkat s relativně jednoduchým Trescovým modelem (s tzv. daným třením), který lze vyjádřit pomocí eliptických nerovnic 2. druhu. Klasický Coulombův model tření pak můžeme
vyřešit pomocí posloupnosti těchto úloh.
Všechny zde zmiňované úlohy jsou tzv. statické, tj. neuvažujeme v nich závislost na čase.
Z hlediska praxe mají kontaktní úlohy značný význam např. pro různá průmyslová odvětví strojírenství a stavebnictví, ale vyskytují se také např. i v medicínských aplikacích.
Formulace a analýzy kontaktních úloh se v systematickém podání objevují poprvé ve výše zmiňované knize Duvauta a Lionse. Zájemcům o tuto problematiku lze doporučit práce našich
matematiků [Hlaváček 1982], [Hlaváček 1988] a [Haslinger 1996].
Úkoly k procvičení
Cvičení 5.1 Uvažujme příklad 5.1. Přesvědčte se, že množina KΩ není lineární a ověřte, že je
konvexní.
Cvičení 5.2 Necht’ V = H01 (Ω), K = {v ∈ V : v(x) ≥ 0 sk. vš. v Ω}. Definujme pro b ≥ 0
af ∈V0
Z
Z
a(u, v) =
∆u ∆v dx + buv dx,
∀u, v ∈ V,
Ω
J(v) =
Ω
1
a(v, v) − hf, vi
2
∀v ∈ V, f ∈ L2 (Ω),
a uvažujme úlohu
(
nalézt u ∈ K takové, že
J(u) = min J(v).
v∈K
Úlohu analyzujte z hlediska existence a jednoznačnosti řešení a proved’te její formální interpretaci.
Cvičení 5.3 Odvod’te Signoriniho okrajové podmínky pro úlohu z příkladu 5.3.
Cvičení 5.4 Dokažte, že indikátorový funkcionál IK splňuje požadavky kladené na funkcionál
j v definici úlohy (P2 ).
Cvičení 5.5 Dokažte implikaci
2α
⇒ kI − ρAk < 1
ρ ∈ 0,
kAk2
použitou v důkazu 2. Lions-Stampacchiovy věty.
65
6
Přibližné řešení eliptických variačních rovnic a nerovnic
Až doposud jsme se zabývali formulacemi úloh a problematikou s nimi spojenou, tj.
zejména otázkami existence a jednoznačnosti řešení. Nyní se zaměříme na možnosti
řešení takových úloh. Je zřejmé, že přímo vyřešit tyto úlohy je možné jen v poměrné
malém počtu velmi jednoduchých případů. V těch zbývajících musíme přejít k metodám získání vhodného přibližného řešení, které budou použitelné s pomocí počítačů.
Nejvýznamnější a nejpoužívanější metody jsou Ritzova a Galerkinova metoda.
V dalším textu budeme používat toto značení
• V
Banachův, popř. Hilbertův prostor se skalárním součinem (., .)V a normou k.kV ,
• K
neprázdná uzavřená konvexní podmnožina ve V ,
• J
daný funkcionál definovaný na V , popř. K,
• a
bilineární spojitá a V -eliptická forma na V × V ,
• L
spojitý lineární funkcionál na V .
6.1
Ritzova a Galerkinova metoda pro řešení variačních rovnic
V této části se budeme zabývat problematikou aproximace řešení variační úlohy
(
nalézt u ∈ V tak, že
(P )
J(u) = min J(v).
v∈V
Idea Ritzovy metody spočívá v tom, že místo hledání minima funkcionálu J na V hledáme
minimum J na jeho vhodném podprostoru, kde dokážeme úlohu řešit. Tím ovšem získáme jen
přibližné řešení původní úlohy.
Zejména jde o to, aby úloha byla realizovatelná na počítači. Zmíněný podprostor proto
volíme tak, aby byl konečnědimenzionální, což je pro realizaci na počítači nezbytné. Značit ho
budeme obvykle Vh , přičemž h je tzv. diskretizační parametr. V konkrétních výpočtech (např.
metodou konečných prvků) mu lze přiřadit konkrétní hodnotu, zde půjde o abstraktní veličinu.
Definice 6.1 Ritzova aproximace přesného řešení u na podprostoru Vh prostoru V je definována jako řešení úlohy
(
nalézt uh ∈ Vh tak, že
(Ph )
J(uh ) = min J(vh ).
vh ∈Vh
Funkce uh je označovaná jako tzv. diskrétní řešení a úloha (Ph ) jako diskrétní úloha.
V kontextu právě uvedené definice pak hovoříme o úloze (P ) jako o spojité úloze a o jejím řešení u jako o spojitém řešení. Diskretizací rozumíme proces převodu spojité úlohy na
odpovídající úlohu diskrétní.
66
Věta 6.1 Necht’ J : V → R je ryze konvexní, slabě zdola polospojitý a koercivní na V a
Vh ⊂ V je podprostor ve V . Potom existuje právě jediná Ritzova aproximace uh ∈ Vh .
Důkaz: Úloha (P ) má právě jedno řešení dle vět variačního počtu. Vh jako podprostor reflexního
Banachova prostoru je sama také reflexivním Banachovým prostorem. Dle týchž vět pak má
(Ph ) právě jedno řešení.
Necht’ J je G-diferencovatelný na V a Vh je podprostor dimenze N . Pak existují funkce
{ϕi }N
i=1 takové, že
Vh = span{ϕ1 , . . . , ϕN },
tj. tvoří bázi prostoru Vh . Je tedy zřejmé, že každý prvek v ∈ Vh lze jednoznačně zapsat ve tvaru
N
X
v =
αi ∈ R.
αi ϕi ,
i=1
Na podprostoru Vh pak můžeme psát
J(v) = J
X
N
αi ϕi
i=1
a na základě toho definovat funkci N proměnných
F : (α1 . . . , αN ) 7−→ J
X
N
∀α = (α1 , . . . , αN ) ∈ RN
αi ϕ i
i=1
tj. F : RN → R. Úloha (Ph ) tedy vede na úlohu
(
nalézt α∗ ∈ RN tak, že
(P)
F (α∗ ) = min F (α),
α∈RN
kde definujeme
F (α) ≡ J
X
N
αi ϕi ,
α ∈ RN .
i=1
Jelikož J je G-diferencovatelný, konvexní, slabě zdola polospojitý a koercivní na V , má tytéž vlastnosti F na RN . Úloha (P) má proto právě jedno řešení a je ekvivalentní (kvůli konvexitě
funkce F ) s úlohou

 nalézt α∗ ∈ RN tak, že
0
∂F (α∗ )
(P )
= 0
∀i = 1, . . . , N.

∂αi
ZÁVĚR: Ritzovu aproximaci získáme za uvedených předpokladů
• bud’ z úlohy (P) pomocí algoritmů numerické optimalizace,
• nebo z úlohy (P0 ), tj. řešením soustavy N obecně nelineárních algebraických rovnic.
67
Příklad 6.1 Necht’
1
a(v, v) − hf, vi,
v ∈ V,
2
kde a(u, v) je spojitá symetrická bilineární forma na V × V a f ∈ V 0 .
Pak
! *
+
N
N
N
X
X
X
1
F (α) = a
αi ϕi ,
αj ϕj − f,
αi ϕi =
2
i=1
j=1
i=1
J(v) =
=
N
N
N
N
X
X
1 X
1 X
a(ϕi , ϕj )αi αj −
aij αi αj −
hf, ϕi iαi =
bi αi ,
2 i,j=1
2
i,j=1
i=1
i=1
kde
aij = a(ϕi , ϕj ),
bi = hf, ϕi i.
A = (aij )N
i,j=1 ,
b = (bi )N
i=1 .
Označme ještě
F je tedy kvadratická funkce daná maticí A a vektorem b. Její gradient v bodě α∗ je dán vztahy
N
X
∂F (α∗ )
=
aij αj∗ − bi ,
∂αi
j=1
i = 1, . . . , N.
ZÁVĚR: Vektor α∗ ∈ RN řeší soustavu lineárních algebraických rovnic
Aα∗ = b.
Matice A je symetrická a v případě, že a(u, v) je V -eliptická, je také pozitivně definitní (viz
cvičení 6.1).
Je evidentní, že k tomu, abychom dokázali přesné řešení u libovolně přesně aproximovat
pomocí přibližného řešení, nevystačíme s jedním (pevným) podprostorem.
Necht’ h je tzv. diskretizační parametr. Každému h > 0 přiřadíme konečnědimenzionální
prostor Vh , tak, že
dim Vh = N (h) → +∞ pro h → 0+
a
Vh = span{ϕ1 , . . . , ϕN (h) },
dim Vh = N (h) < +∞.
Budeme tudíž uvažovat systém {Vh } konečnědimenzionálních podprostorů prostoru V .
V dalším se budeme zabývat vztahem přesného řešení u a jeho Ritzovy aproximace uh . Za
tím účelem budeme zkoumat odchylku
ku − uh kV .
A budeme chtít vědět ještě více, nebot’ naším cílem bude zjistit, za jakých předpokladů kladených na J a systém {Vh } platí
ku − uh k → 0 pro h → 0 + .
68
Definice 6.2 V případě, když platí lim ku − uh k = 0, řekneme, že Ritzova metoda je pro
h→0+
úlohu (P ) konvergentní.
Věta 6.2 Necht’ úloha (P ), resp. (Ph ), má právě jedno řešení u, resp. uh . Necht’ J je spojitý
na V a prostory Vh , h ∈ (0, 1), splňují podmínku
(Vh )
∀ v ∈ V ∃ {vh }, vh ∈ Vh :
kv − vh k → 0 když h → 0 + .
Potom
J(uh ) → J(u) pro h → 0 + .
Důkaz: Z předpokladu (Vh ) plyne, že
∃ {vh }, vh ∈ Vh : ku − vh k → 0 pro h → 0 + .
Ze spojitosti funkcionálu J dále plyne, že
J(vh ) → J(u) pro h → 0 + .
Přitom z definice prvků u a uh máme
J(u) ≤ J(uh ) ≤ J(vh ).
Aplikací předchozího výsledku a věty o limitě tří posloupností pak dostáváme tvrzení věty. Věta 6.3 Necht’ J a {Vh } splňují předpoklady předchozí věty. Necht’ navíc J je dvakrát
G-diferencovatelný a
∃α > 0 :
J 00 (v, h, h) ≥ αkhk2
∀v, h ∈ V.
Potom je Ritzova metoda konvergentní.
Důkaz: Vyjdeme z Taylorova rozvoje J v bodě u
1
J(uh ) = J(u) + J 0 (u, uh − u) + J 00 (u + θ(uh − u), uh − u, uh − u) ≥
2
α
2
≥ J(u) + ku − uh k ,
θ ∈ (0, 1),
2
kde jsme využili předpokladu věty a toho, že J 0 (u, v) = 0 ∀ v ∈ V . Odtud a aplikací předchozí
věty dostaneme
ku − uh k2 ≤
2
(J(uh ) − J(u)) → 0
α
pro h → 0 + .
Nyní uvažujme kvadratický funkcionál tvaru
J(v) =
1
a(v, v) − hf, vi,
2
69
f ∈ V 0.
Důsledek 6.1 Pro kvadratický funkcionál J s V -eliptickou formou a(., .) platí
J 00 (u, h, h) = a(h, h) ≥ αkhk2
∀h ∈ V.
V tomto případě tedy z V -elipticity plyne ihned konvergence.
Věta 6.4 Mějme dán kvadratický funkcionál J. Jestliže jsou splněny následující předpoklady
(Q)
(α)
∃Q > 0 :
∃α > 0 :
|a(u, v)| ≤ Qkukkvk
a(v, v) ≥ αkvk2
∀u, v ∈ V,
∀v ∈ V,
platí odhad
r
ku − uh k ≤
Q
inf ku − vh k.
α vh ∈Vh
Důkaz: Necht’ vh ∈ Vh je libovolný. Pak z Taylorova rozvoje stejně jako v důkazu předchozí
věty dostaneme
α
ku − uh k2 ≤ J(uh ) − J(u) ≤
2
1 00
J (u + θ(vh − u), vh − u, vh − u) =
2
1
1
= J 0 (u, vh − u) + a(vh − u, vh − u) ≤ Qku − vh k2 ,
2
2
≤ J(vh ) − J(u) = J 0 (u, vh − u) +
nebot’ J 0 (u, vh − u) = 0. Odtud je
r
ku − uh k ≤
Q
ku − vh k
α
∀vh ∈ Vh ,
tedy
r
ku − uh k ≤
Q
inf ku − vh k.
α vh ∈Vh
Příklad 6.2 Pomocí Ritzovy metody určíme přibližné řešení okrajové úlohy 2. řádu
−(p(x)u0 (x))0 + q(x)u(x) = f (x),
u(0) = 0,
u(π) = 0,
x ∈ (0, π),
kde
p(x) ≡ 1,
q(x) = 1 + sin2 x,
f (x) ≡ 4.
Diferenciálním operátorem této úlohy je
Au = −u00 + (1 + sin2 x)u.
70
Jelikož je úloha lineární, můžeme jí přiřadit kvadratický funkcionál tvaru
1
(Av, v) − (f, v) =
2 Z
Z π
1 π
0 2
2
2
4v dx,
(v ) + (1 + sin x)v dx −
=
2 0
0
J(v) =
v ∈ V = H01 ((0, π)).
Funkcionál je na H01 ((0, π)) ryze konvexní a úloha minimalizace má, a to právě jedno, řešení
(viz cvičení 6.2).
K nalezení Ritzovy aproximace použijeme podprostory s trigonometrickou bází. Její funkce
ovšem budou splňovat předepsané stabilní okrajové podmínky. Nejprve hledejme aproximaci na
podprostoru
S1 = span{ϕ1 }, ϕ1 = sin x.
Přibližné řešení bude mít proto tvar
u1 = α1∗ ϕ1 .
S ohledem na výsledky z příkladu 6.1 je zřejmé, že potřebujeme vyřešit rovnici
a(ϕ1 , ϕ1 )α1∗ = (f, ϕ1 ).
Odtud výpočtem dostaneme
α1∗ =
64
≈ 1.85
11π
a hledané řešení tedy je
u1 (x) ≈ 1.85 sin x.
Dosažené přibližné řešení není pochopitelně ještě příliš kvalitní. Nyní zpřesníme výpočet
tím, že přejdeme k podprostoru
S5 = span{ϕ1 , . . . , ϕ5 },
ϕk = sin kx, k = 1, . . . , 5.
To je možné proto, že systém podprostorů Sn = span{sin x, . . . , sin nx} je hustý v H01 ((0, π)).
Přibližné řešení budeme nyní hledat ve tvaru
u5 =
5
X
αi∗ ϕi .
i=1
Soustava lineárních algebraických rovnic
5
X
a(ϕi , ϕj )αj∗ = (f, ϕi ),
i = 1, . . . , 5
j=1
je symetrická a pozitivně definitní a jejím řešením získáme hodnoty (na 3 platné cifry)
α1∗ ≈ 1.87, α2∗ ≈ 0, α3∗ ≈ 0.207, α4∗ ≈ 0, α5∗ ≈ 0.0404.
Ritzova aproximace přesného řešení na S5 je pak funkce
u5 (x) ≈ 1.87 sin x + 0.207 sin 3x + 0.0404 sin 5x.
71
Necht’ je v dalším V Hilbertův prostor a bilineární forma a(u, v) obecně není symetrická.
Uvažujme tedy nesymetrický eliptický problém:
nalézt u ∈ V tak, že
(P)
a(u, v) = L(v)
∀v ∈ V.
Necht’ Vh ⊂ V je podprostor prostoru V konečné dimenze.
Definice 6.3 Prvek uh ∈ Vh se bude nazývat Galerkinova aproximace přesného řešení u na
Vh , pokud splňuje
(Ph )
∀vh ∈ Vh .
a(uh , vh ) = L(vh )
Podobně jako dříve, uh označujeme jako diskrétní řešení a úlohu (Ph ) jako diskrétní úlohu.
Necht’ nyní dim Vh = N < +∞, přičemž Vh = span{ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN } a {ϕi }N
i=1 je báze.
Pak existují čísla α1 , . . . , αN taková, že prvek uh ∈ Vh lze psát ve tvaru
uh =
N
X
αj ϕj .
j=1
Je tedy evidentní, že k otestování rovnice a(uh , v) = L(v) z úlohy (Ph ) stačí vzít všechny
bázové funkce {ϕi }N
i=1 , tj.
a(uh , ϕi ) = L(ϕi )
∀i = 1, . . . , N.
Užitím vztahu pro prvek uh dostaneme
X
N
a
αj ϕj , ϕi = L(ϕi )
∀i = 1, . . . , N
j=1
a
N
X
a(ϕj , ϕi )αj = L(ϕi )
∀i = 1, . . . , N.
j=1
Označíme-li
aij = a(ϕj , ϕi ),
A = (aij )N
i,j=1 ,
bi = L(ϕi ),
b = (bi )N
i=1 ,
dostáváme soustavu N lineárních algebraických rovnic
Aα = b
pro neznámé α = (α1 , . . . , αN ). Platí-li předpoklad (α) z věty 6.4, je matice A pozitivně definitní, není ale symetrická.
V případě symetrické bilineární formy a(u, v) lze použít jak Ritzovu tak i Galerkinovu
metodu. Obě však zřejmě vedou na stejnou úlohu, resp. stejnou soustavu rovnic.
Nyní opět zavedeme diskretizační parametr h a systém konečnědimenzionálních podprostorů {Vh }, h ∈ (0, 1), dim Vh = N (h) < +∞, abychom mohli zkoumat konvergenční vlastnosti metody.
72
Budeme zkoumat, kdy platí
ku − uh k → 0
pro h → 0 + .
Definice 6.4 V takovém případě řekneme, že Galerkinova metoda je pro úlohu (P) konvergentní.
Věta 6.5 Necht’ jsou splněny předpoklady (Vh ), (Q) a (α). Potom
lim ku − uh k = 0.
h→0+
Důkaz: Z předpokladů plyne, že
αkuh k2 ≤ a(uh , uh ) = L(uh ) ≤ kLkkuh k,
tedy
kLk
.
α
Posloupnost {uh } je tedy omezená a protože V je reflexivní prostor, existuje vybraná podposloupnost {uh0 } a prvek u∗ ∈ V tak, že
kuh k ≤
uh0 * u∗
ve V.
Ukážeme, že u∗ je řešením úlohy (P), tj.
a(u∗ , v) = L(v)
∀v ∈ V.
Necht’ v ∈ V je libovolný vektor. Dle předpokladu (Vh ) existuje posloupnost {vh }, vh ∈ Vh ,
tak, že
kvh − vk → 0 pro h → 0 + .
Pak také
kvh0 − vk → 0 pro h0 → 0 + .
Dále platí
|a(uh0 , vh0 ) − a(u∗ , v)| ≤ |a(uh0 , vh0 − v)| + |a(uh0 , v) − a(u∗ , v)|.
Podle předpokladu (Q) a s ohledem na výše ukázanou omezenost norem kuh k je pak
|a(uh0 , vh0 − v)| ≤ Qkuh0 kkvh0 − vk ≤
Q
kLkkvh0 − vk.
α
Protože uh0 * u∗ , platí
a(uh0 , v) → a(u∗ , v) pro h0 → 0 + .
Celkem proto dostáváme, že
a(uh0 , vh0 ) → a(u∗ , v)
73
pro h0 → 0 + .
Zároveň platí
∀vh0 ∈ Vh .
a(uh0 , vh0 ) = L(vh0 )
Je tedy zřejmé, že limitním přechodem pro h0 → 0+ obdržíme
a(u∗ , v) = L(v)
∀v ∈ V.
Za daných předpokladů však existuje jediné řešení u úlohy (P), proto u = u∗ a dokonce pro
celou posloupnost platí
uh * u = u∗ .
Nakonec ukážeme, že tato konvergence je silná.
Podle předpokladu (α) lze psát
αku − uh k2 ≤ a(u − uh , u − uh ) = a(u, u) − a(uh , u) − a(u, uh ) + a(uh , uh ).
Z definice úlohy (Ph ), slabé konvergence uh * u a definice úlohy (P) vyplývá, že
a(uh , uh ) = L(uh ) → L(u) = a(u, u),
pokud h → 0+, a také
a(uh , u) → a(u, u) ← a(u, uh ).
Podle věty o třech posloupnostech pak máme
ku − uh k → 0
pro h → 0 + .
Příklad 6.3 Pomocí Galerkinovy metody určíme přibližné řešení okrajové úlohy z příkladu
6.2:
−u00 (x) + (1 + sin2 x)u(x) = 4,
u(0) = 0,
u(π) = 0.
x ∈ (0, π),
Úloze přiřadíme eliptickou rovnici
u ∈ V = H01 ((0, π)) :
∀v ∈ V,
(Au, v) = (f, v)
podrobněji
u∈
H01 ((0, π))
Z
:
π
0 0
2
Z
u v + (1 + sin x)uv dx =
0
π
4v dx
∀v ∈ H01 ((0, π)).
0
K nalezení Galerkinovy aproximace použijeme podprostory s polynomiální bází. Polynomy
musíme ovšem volit tak, aby splňovaly předepsané stabilní okrajové podmínky. Nejprve budeme hledat aproximaci na podprostoru
S1 = span{ϕ1 },
ϕ1 = x(π − x).
Přibližné řešení bude mít proto tvar
u1 = α1∗ ϕ1 .
74
S ohledem na předchozí výsledky potřebujeme vyřešit rovnici
a(ϕ1 , ϕ1 )α1∗ = (f, ϕ1 ).
Odtud výpočtem dostaneme
α1∗ ≈ 0.738
a hledané řešení tedy je
u1 (x) ≈ 0.738x(π − x).
Nyní přibližné řešení zpřesníme rozšířením podprostoru, nebot’ uvažovaný systém {Sn } je
hustý ve V . Zvolme
S3 = span{ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 },
ϕ1 = x(π − x), ϕ2 = x2 (π − x), ϕ3 = x3 (π − x)
a hledejme aproximaci tvaru
u3 = α1∗ ϕ1 + α2∗ ϕ2 + α3∗ ϕ3 .
Soustava lineárních algebraických rovnic
3
X
a(ϕi , ϕj )αj∗ = (f, ϕi ),
i = 1, . . . , 3
j=1
je zde symetrická a pozitivně definitní a jejím řešením získáme hodnoty (na 3 desetinná místa)
α1∗ ≈ 1.016, α2∗ ≈ −0.416, α3∗ ≈ 0.132.
Galerkinova aproximace přesného řešení na S3 je pak funkce
u3 (x) ≈ 1.016x(π − x) − 0.416x2 (π − x) + 0.132x3 (π − x).
Poznámka 6.1 (Stručná historie variačních metod)
Základy metody položil roku 1909 nadaný švýcarský teoretický fyzik Walter Ritz (1878 – 1909)
v práci zabývající se výpočtem vlastních kmitů pružné desky. Bohužel, krátce nato podlehl
plicní chorobě ve svých 31 letech.
Jako první si uvědomil význam Ritzovy ideje významný odborník z oblasti mechaniky Stěpan Prokofjevič Timošenko (1878 – 1972), který na jeho práci upozornil ve svém článku v roce
1913.
Ruský inženýr a konstruktér ponorek Ivan Grigorjevič Bubnov (1872 - 1919) rozpoznal, že
slabé řešení lze definovat i pro problémy, které nemají funkcionál energie. Ve své práci z roku
1913, inspirované Timošenkovým článkem, to použil k řešení problémů rovnováhy nosníků a
desek, přičemž za bázové funkce volil ortogonální trigonometrické funkce.
Metodu dále zobecnil v roce 1915 běloruský inženýr a železniční stavitel Boris Grigorjevič
Galerkin (1871 - 1945), když ukázal v článku zabývajícím se v podstatě stejnou problematikou
jako Bubnov, že podmínka ortogonality bázových funkcí není nutná a za bázové funkce lze
volit polynomy. Z citované literatury je zřejmé, že znal Ritzovy práce. Pro čtenáře může být
zajímavé, že v letech 1899 - 1906 pracoval na výstavbě železničních tratí na Sibiři a v Číně.
Na Sibiř se pak nedobrovolně vrátil v roce 1907 na 1,5 roku jako vězeň kvůli svým politickým
aktivitám. Po propuštění se věnoval již jen výzkumné a pedagogické činnosti.
75
6.2
Ritzova a Galerkinova metoda pro řešení variačních nerovnic
Nyní se vrátíme k úloze
(
(P )
nalézt u ∈ K tak, že
J(u) = min J(v)
v∈K
a budeme se zabývat případem, kdy K ( V je neprázdná konvexní uzavřená podmnožina
prostoru V .
Necht’ Kh taková, že
Kh ⊂ Vh ⊂ V,
je obecně jiná neprázdná konvexní uzavřená podmnožina. Poznamenejme, že v případě Kh =
Vh bychom se de facto vrátili k problematice odstavce 6.1.
Funkci uh , jenž řeší úlohu
(
(Ph )
nalézt uh ∈ Kh tak, že
J(uh ) = min J(vh )
vh ∈Kh
nazveme stejně jako výše Ritzova aproximace přesného řešení u úlohy (P ) na Kh .
Mějme dán diskretizační parametr h > 0 a předpokládejme, že Kh ⊂ Vh , kde Vh je podprostor ve V konečné dimenze, tj. dim Vh = N = N (h). Necht’
Vh = span{ϕ1 , . . . , ϕN },
kde {ϕi }N
i=1 je množina bázových funkcí. Pak libovolné v ∈ Vh lze psát jako
v =
N
X
αj ϕj .
j=1
Příklad 6.4 Předpokládejme, že J je kvadratický funkcionál, tj.
J(v) =
1
a(v, v) − hf, vi,
2
v ∈ V,
jehož bilineární forma splňuje předpoklady (Q) a (α) z předchozího odstavce, což implikuje
jeho konvexitu. Dosadíme-li za v lineární kombinaci bázových funkcí z předchozího vztahu,
dostaneme stejně jako v příkladu 6.1 kvadratickou funkci F proměnných α1 , . . . , αN :
N
N
X
1 X
F (α) =
aij αi αj −
bi α i ,
2 i,j=1
i=1
kde
aij = a(ϕi , ϕj ),
bi = hf, ϕi i.
Pomocí izomorfismu
I : Vh → RN ,
76
I(v) = α,
lze konvexní uzavřenou podmnožinu Kh ⊂ Vh ztotožnit s konvexní uzavřenou podmnožinou
M = {α ∈ RN : I −1 α ∈ Vh } ⊂ RN . Úloha (Ph ) má pak ekvivalentní vyjádření:
nalézt α∗ ∈ M tak, že
(PM )
F (α∗ ) ≤ F (α)
∀α ∈ M,
kde
F (α) = J(I −1 α)
je konvexní funkce N proměnných.
ZÁVĚR: (PM ) je úloha konvexního programování v RN .
I v dalším bude pro jednoduchost J(v) kvadratický funkcionál, jehož bilineární forma splňuje předpoklady (Q) a (α), a budeme se zajímat o vztah přesného a přibližného řešení úlohy
(P ).
Ze stejného důvodu jako u variačních rovnic ani zde nevystačíme s jedinou konvexní množinou Kh . Uvažujme proto systém {Vh }, h ∈ (0, 1), konečnědimenzionálních podprostorů prostoru V , dim Vh = N (h), a rovněž systém {Kh } neprázdných konvexních uzavřených podmnožin takových, že Kh ⊂ Vh ⊂ V . Toto dle předcházejícího příkladu zaručuje, že pro dané h
každá z úloh
(
nalézt uh ∈ Kh tak, že
(Ph )
J(uh ) = min J(vh )
vh ∈Kh
vede na úlohu konvexního programování v konečné dimenzi.
Úloha (Ph ) je zřejmě (viz odstavec 5.1) ekvivalentní s úlohou
0
nalézt uh ∈ Kh tak, že
(Ph )
a(uh , vh − uh ) ≥ hf, vh − uh i ∀vh ∈ Kh .
Po systému {Vh } požadujeme, aby N (h) → +∞ pro h → 0+. Přitom ale obecně nemusí
být splněno, že KT
h ⊆ K, závazné je splnění vztahu Kh ⊂ Vh . Obvykle se předpokládá pouze
platnost inkluze h Kh ⊂ K.
Stejně jako u variačních rovnic postup, při němž zaměníme úlohu (P ) systémem úloh (Ph ),
nazveme Ritzovou metodou. Diskrétní úlohy tedy zformulujeme jako úlohy minimalizace da0
ného funkcionálu. Pokud namísto toho použijeme při diskretizaci systém úloh (Ph ), mluvíme o
Galerkinově metodě.
V prvním případě forma a(., .) musí být symetrická. Galerkinovu metodu lze použít pro
bilineární formu symetrickou i nesymetrickou.
Nyní se tedy zaměříme na to, kdy platí
ku − uh k → 0 pro h → 0 + .
Situace je však složitější než u rovnic, nebot’, jak již víme, neplatí obecně, že Kh ⊂ K.
77
Věta 6.6 Vedle výše uvedených předpokladů na J, a(., .) a Kh necht’ ještě systém {Kh }
splňuje následující dvě vlastnosti
∀v ∈ K ∃ vh ∈ Kh : kv − vh k → 0 pro h → 0+,
{vh }, vh ∈ Kh : vh * v ve V ⇒ v ∈ K.
(K1)
(K2)
Potom platí, že
lim ku − uh k = 0,
h→0+
tj. Ritzova metoda je pro úlohu (P ) konvergentní.
Důkaz: Dle předpokladů existuje pro libovolné h ∈ (0, 1) právě jedna Ritzova aproximace u na
Kh (viz cvičení 6.7). Dále z (K1) plyne, že existuje posloupnost {vh }, vh ∈ Kh taková, že
vh → u pro h → 0 + .
Odtud a ze spojitosti funkcionálu J máme
J(vh ) → J(u).
Dle definice uh pak je
J(uh ) ≤ J(vh ) → J(u)
pro h → 0 + .
Z toho je zřejmé, že posloupnost {J(uh )} je omezená. Dále z předpokladu (α) plyne, že J je
koercivní, proto je i posloupnost {uh } omezená. Tedy existuje vybraná podposloupnost {uh0 } a
prvek u∗ ∈ V tak, že
uh0 * u∗ ve V.
Z předpokladu (K2) pak dostáváme, že u∗ ∈ K.
Ukážeme, že u∗ řeší úlohu (P ). Protože funkcionál J je slabě zdola polospojitý na V , plyne
s využitím výše odvozených vztahů
J(u∗ ) ≤ 0lim inf J(uh0 ) ≤ 0lim inf J(vh0 ) = J(u).
h →0+
h →0+
Současně dle definice prvku u platí
J(u) ≤ J(u∗ ).
Tedy celkem
J(u) = J(u∗ ).
Zároveň je ale dle předpokladů řešení úlohy (P ) jediné, proto nutně je u = u∗ . Odtud proto
plyne, že celá posloupnost {uh } konverguje slabě k u, tj.
uh * u
ve V,
a navíc dostáváme
J(uh ) → J(u)
78
pro h → 0 + .
Nakonec ukážeme, že tato konvergence je dokonce silná. Z Taylorova rozvoje dostáváme
1 00
J (u + θ(uh − u), uh − u, uh − u) =
2
1
= J(u) + a(u, uh − u) − hf, uh − ui + a(uh − u, uh − u) ≥
2
α
≥ J(u) + a(u, uh − u) − hf, uh − ui + kuh − uk2
2
J(uh ) = J(u) + J 0 (u, uh − u) +
a odtud
2
(J(uh ) − J(u) − a(u, uh − u) + hf, uh − ui) .
α
Vzhledem k tomu, že z předchozího víme, že J(uh ) → J(u) a uh * u, máme pak
ku − uh k2 ≤
ku − uh k → 0 pro h → 0 + .
Poznámka 6.2 V případě, že Kh ⊂ K, je předpoklad (K2) automaticky splněn (viz cvičení
6.8).
V dalším se budeme zabývat případem, kdy V je Hilbertův prostor a forma a(., .) obecně
není symetrická. Nejprve uvažujme eliptickou nerovnici 1. druhu
nalézt u ∈ K tak, že
(P1 )
a(u, v − u) ≥ L(v − u)
∀v ∈ K.
Necht’ dále Kh , Kh 6= ∅, je konvexní uzavřená podmnožina ve Vh . Definujme diskrétní
úlohu k úloze (P1 )
nalézt uh ∈ Kh tak, že
(P1h )
a(uh , vh − uh ) ≥ L(vh − uh )
∀vh ∈ Kh .
Definice 6.5 Funkci uh , která řeší úlohu (P1h ), nazveme Galerkinova aproximace přesného
řešení u úlohy (P1 ) na množině Kh .
K dalším úvahám o konvergenci metody potřebujeme
• systém {Vh } podprostorů prostoru V , které jsou konečné dimenze
• systém {Kh } neprázdných uzavřených konvexních podmnožin V takových, že Kh ⊂ Vh
(obecně nepožadujeme Kh ⊂ K) a které splňují následující dvě podmínky:
(a) {vh }, vh ∈ Kh : {vh } je ohraničená ve V a vh * v ve V ⇒ v ∈ K,
(b) existují U ⊂ V , U = K, a rh : U → Kh tak, že lim rh v = v ve V ∀v ∈ U .
h→0
Poznámka 6.3 V případě, že Kh ⊂ K, je podmínka (a) splněna triviálně.
79
Věta 6.7 Necht’ u je řešení úlohy (P1 ) a uh je řešením odpovídající úlohy (P1h ), přičemž
bilineární forma a(., .) splňuje vlastnosti (Q) a (α). Za výše uvedených předpokladů platí
lim ku − uh k = 0.
h→0
Důkaz: Důkaz provedeme ve třech krocích.
1) Nejprve najdeme apriorní odhad pro posloupnost {uh }. Z úlohy
a(uh , vh − uh ) ≥ L(vh − uh )
(P1h ) :
∀vh ∈ Kh
dostáváme
a(uh , uh ) ≤ a(uh , vh ) − L(vh − uh ) = (Auh , vh ) − L(vh − uh ) ∀vh ∈ Kh .
Z předpokladů (Q) a (α) dále plyne
αkuh k2 ≤ kAkkuh kkvh k + kLk(kvh k + kuh k)
∀vh ∈ Kh .
Necht’ v0 ∈ U a vh = rh v0 ∈ Kh . Z druhé podmínky na systém {Kh } plyne, že rh v0 → v0 ve
V . Tudíž
∃m > 0 : kvh k ≤ m
∀h > 0.
Z výše získaných odhadů máme
kuh k2 ≤
Označíme-li
C1 =
1
((mkAk + kLk)kuh k + kLkm) .
α
1
(mkAk + kLk),
α
C2 =
m
kLk,
α
pak
kuh k2 ≤ C1 kuh k + C2
a tedy
kuh k ≤ C
∀ h,
jelikož C1 a C2 nezávisí na parametru h.
2) Dále dokážeme slabou konvergenci posloupnosti {uh }. Z toho, že jsme právě ukázali, že
tato posloupnost je omezená, plyne existence podposloupnosti {uh0 } a prvku u∗ takových, že
uh0 * u∗
ve V.
Z první podmínky na systém {Kh } pak máme, že u∗ ∈ K.
Ukážeme, že u∗ řeší úlohu (P1 ). Z úlohy
(P1h ) :
a(uh0 , vh0 − uh0 ) ≥ L(vh0 − uh0 )
∀vh0 ∈ Kh0
dostáváme
a(uh0 , uh0 ) ≤ a(uh0 , vh0 ) − L(vh0 − uh0 )
80
∀vh0 ∈ Kh0 .
Necht’ v ∈ U a vh0 = rh0 v. Pak
a(uh0 , uh0 ) ≤ a(uh0 , rh0 v) − L(rh0 v − uh0 ).
Protože však pro h0 → 0 platí jednak
uh0 * u∗ =⇒ uh0 → u∗
a také
rh0 v → v,
plyne odtud
lim0 inf a(uh0 , uh0 ) ≤ a(u∗ , v) − L(v − u∗ )
∀v ∈ U.
h →0
Z předpokladu V -elipticity máme
0 ≤ a(uh0 − u∗ , uh0 − u∗ ) = a(uh0 , uh0 ) − a(uh0 , u∗ ) − a(u∗ , uh0 ) + a(u∗ , u∗ ),
což dává
a(uh0 , u∗ ) + a(u∗ , uh0 ) − a(u∗ , u∗ ) ≤ a(uh0 , uh0 ).
A jelikož uh0 * u∗ , dostáváme, že
a(u∗ , u∗ ) ≤ lim0 inf a(uh0 , uh0 ).
h →0
Odtud a z předchozího pak máme
a(u∗ , u∗ ) ≤ lim0 inf a(uh0 , uh0 ) ≤ a(u∗ , v) − L(v − u∗ )
h →0
∀v ∈ U,
z čehož dostaneme
a(u∗ , v − u∗ ) ≥ L(v − u∗ )
∀v ∈ U.
Protože formy a a L jsou dle předpokladů spojité a U = K, obdržíme konečně
a(u∗ , v − u∗ ) ≥ L(v − u∗ )
∀v ∈ K.
Tedy u∗ je řešení úlohy (P1 ). Přitom tato úloha má právě jedno řešení, takže nutně je u∗ = u a
proto i celá posloupnost {uh } konverguje slabě k řešení u.
3) Nyní dokážeme, že konvergence posloupnosti {uh } je dokonce silná. Z V -elipticity
máme
0 ≤ αkuh − uk2 ≤ a(uh − u, uh − u) = a(uh , uh ) − a(uh , u) − a(u, uh ) + a(u, u),
kde u značí řešení (P1 ) a uh řešení (P1h ). Protože uh řeší úlohu (P1h ), platí
a(uh , uh ) ≤ a(uh , vh ) − L(vh − uh )
∀vh ∈ Kh .
Zároveň pro libovolné v ∈ U je rh v ∈ Kh . Dosazením za vh pak obdržíme
a(uh , uh ) ≤ a(uh , rh v) − L(rh v − uh )
∀v ∈ U.
Zkombinováním nerovností získáme
0 ≤ αkuh − uk2 ≤ a(uh , uh ) − a(uh , u) − a(u, uh ) + a(u, u) ≤
≤ a(uh , rh v − u) − L(rh v − u) − a(u, uh − u).
81
Máme již dokázáno, že
uh * u
slabě ve V
rh v → v
silně ve V.
a dle předpokladu
Na základě toho limitním přechodem pro h → 0 dostaneme
0 ≤ α lim inf kuh − uk2 ≤ α lim sup kuh − uk2 ≤ a(u, v − u) − L(v − u)
h→0
∀v ∈ U.
h→0
Přitom U = K a formy a a L jsou spojité, proto tato nerovnost platí také pro libovolné v ∈ K.
Dosadíme-li ještě v = u, obdržíme
0 ≤ α lim kuh − uk2 ≤ 0 ⇒ lim kuh − uk = 0.
h→0
h→0
Tím je důkaz proveden.
Nyní přejdeme k aproximaci eliptických nerovnic 2. druhu
nalézt u ∈ V takové, že
(P2 )
a(u, v − u) + j(v) − j(u) ≥ L(v − u)
∀v ∈ V.
Předpoklady uvedené u úlohy (P1 ) doplníme o předpoklad, že j : V → R, R = R ∪ {+∞},
je konvexní zdola polospojitý a vlastní funkcionál, tj. j > +∞ a j 6≡ +∞. V kapitole o
variačních nerovnicích jsme již ukázali, že za uvedených předpokladů má úloha (P2 ) právě
jedno řešení.
Necht’ Vh je podprostor ve V . Definujme diskrétní úlohu k úloze (P2 )
nalézt uh ∈ Vh takové, že
(P2h )
a(uh , vh − uh ) + j(vh ) − j(uh ) ≥ L(vh − uh )
∀vh ∈ Vh .
Definice 6.6 Funkci uh , která řeší úlohu (P2h ), nazveme Galerkinova aproximace přesného
řešení u úlohy (P2 ) na podprostoru Vh .
Kvůli jednoduchosti budeme v dalším předpokládat, že funkcionál j : V → R je spojitý.
Důkazy však lze provést i bez tohoto předpokladu (viz [Glowinski 1984]).
Zavedeme nyní pro h ∈ (0, 1) systém {Vh } uzavřených podprostorů prostoru V , které budou
konečné dimenze.
Musíme ovšem provést i aproximaci funkcionálu j:
Definujme systém {jh }, h ∈ (0, 1), tak, že pro libovolné h jsou jednotlivé aproximace
jh : Vh → R
1. konvexní,
2. zdola polospojité,
3. stejnoměrně vlastní v proměnné h.
82
Stejnoměrně vlastní (anglicky uniformly proper) v h pro systém {jh } znamená, že existuje
λ ∈ V 0 a µ ∈ R takové, že
jh (vh ) ≥ hλ, vh iV 0 ×V + µ
∀vh ∈ Vh , ∀h.
Navíc budeme požadovat splnění následujících předpokladů:
(i) existuje U ⊂ V tak, že U = V , a navíc
∀ h ∈ (0, 1) ∃ rh : U → Vh :
lim rh v = v
h→0
∀v ∈ U ,
(ii) vh * v ve V ⇒ lim inf jh (vh ) ≥ j(v),
h→0
(iii) lim jh (rh v) = j(v) ∀v ∈ U .
h→0
Poznámka 6.4 Pro spojitý funkcionál j je vždy možné sestrojit jeho aproximaci jh splňující
druhý a třetí předpoklad. V některých případech lze dokonce splnit jh (vh ) = j(vh ) ∀vh ∀h. V
takovém případě jsou druhý a třetí předpoklad splněny triviálně.
Věta 6.8 Necht’ u je řešení úlohy (P2 ) a uh je řešením odpovídající úlohy (P2h ), přičemž
bilineární forma a(., .) splňuje vlastnosti (Q) a (α). Za výše uvedených předpokladů na j a
jh platí
lim ku − uh k = 0,
lim jh (uh ) = j(u).
h→0
h→0
Důkaz: Důkaz provedeme ve opět třech krocích.
1) Nejprve provedeme apriorní odhad pro {uh }. Z úlohy (P2h ) máme
a(uh , uh ) + jh (uh ) ≤ a(uh , vh ) + jh (vh ) − L(vh − uh ) =
= (Auh , vh ) + jh (vh ) − L(vh − uh )
∀vh ∈ Vh .
Odtud předně máme jh (uh ) < +∞. Dále z V -elipticity a z vlastností aproximace jh plyne
αkuh k2 ≤ kλkkuh k + |µ| + kAkkuh kkvh k + |jh (vh )| + kLk(kvh k + kuh k).
Nyní necht’ v0 ∈ U a vh = rh v0 . Pak z předpokladu (i) je kvh k ≤ m a z (iii) |jh (vh )| ≤ m, kde
m > 0 nezávisí na h. Dosadíme do předchozí nerovnosti a dostaneme
kuh k2 ≤
m
|µ|
1
(kλk + mkAk + kLk) kuh k + (1 + kLk) +
.
α
α
α
Označíme-li
C1 =
1
(kλk + mkAk + kLk) ,
α
C2 =
m
|µ|
(1 + kLk) +
,
α
α
pak
kuh k2 ≤ C1 kuh k + C2 ,
tj.
kuh k ≤ C
∀h ∈ (0, 1).
83
2) Dále dokážeme slabou konvergenci posloupnosti {uh }. Z její omezenosti, kterou jsme
právě dokázali, plyne, že existuje vybraná podposloupnost {uh0 } taková, že
uh0 * u∗
ve V.
Protože uh0 řeší úlohu (P2h ), je podle první části důkazu
a(uh0 , uh0 ) + jh0 (uh0 ) ≤ a(uh0 , vh0 ) + jh0 (vh0 ) − L(vh0 − uh0 )
∀vh0 ∈ Vh .
Položíme vh0 = rh0 v, v ∈ U . Potom
a(uh0 , uh0 ) + jh0 (uh0 ) ≤ a(uh0 , rh0 v) + jh0 (rh0 v) − L(rh0 v − uh0 )
∀v ∈ U.
Z předpokladu (iii) a z toho, že uh0 * u∗ , potom plyne
lim0 inf (a(uh0 , uh0 ) + jh0 (uh0 )) ≤ a(u∗ , v) + j(v) − L(v − u∗ )
h →0
∀v ∈ U.
Zároveň dle předpokladu (ii) je
lim0 inf (a(uh0 , uh0 ) + jh0 (uh0 )) ≥ a(u∗ , u∗ ) + j(u∗ ).
h →0
Spojením obou výsledků obdržíme
a(u∗ , v − u∗ ) + j(v) − j(u∗ ) ≥ L(v − u∗ )
∀v ∈ V.
Tudíž u∗ je řešením úlohy (P2 ) a protože řešení této úlohy je jediné, musí být u = u∗ . Z toho
ovšem plyne, že pro celou posloupnost platí
uh * u
ve V.
3) Nyní dokážeme silnou konvergenci posloupnosti {uh }. Z V -elipticity a s použitím úvodní
nerovnosti z první části důkazu máme pro libovolnou vh ∈ Vh
αkuh − uk2 + jh (uh ) ≤ a(uh − u, uh − u) + jh (uh ) =
= a(uh , uh ) − a(u, uh ) − a(uh , u) + a(u, u) + jh (uh ) ≤
≤ a(uh , vh ) + jh (vh ) − L(vh − uh ) − a(u, uh ) − a(uh , u) + a(u, u).
Dosadíme vh = rh v, v ∈ U , a obdržíme
αkuh − uk2 + jh (uh ) ≤ a(uh , rh v) + jh (rh v) − L(rh v − uh )−
− a(u, uh ) − a(uh , u) + a(u, u)
∀v ∈ U.
Limitním přechodem pro h → 0 dostaneme na pravé straně této nerovnosti
a(u, v) + j(v) − L(v − u) − a(u, u) = a(u, v − u) + j(v) − L(v − u).
Odtud pak plyne
lim inf jh (uh ) ≤ lim inf αkuh − uk2 + jh (uh ) ≤
h→0
h→0
≤ lim sup αkuh − uk2 + jh (uh ) ≤
h→0
≤ a(u, v − u) + j(v) − L(v − u)
84
∀v ∈ U.
Protože U = V , platí tato nerovnost také pro všechna v ∈ V . Nyní položíme v = u a dostaneme
lim inf jh (uh ) ≤ lim sup αkuh − uk2 + jh (uh ) ≤ j(u).
h→0
h→0
Ale dle předpokladu (ii) je
lim inf jh (uh ) ≥ j(u),
h→0
takže dostáváme
lim jh (uh ) = j(u).
h→0
Dosadíme-li tento výsledek do uvedené dvojnásobné nerovnosti, obdržíme ihned
lim ku − uh k = 0.
h→0
Tím je tvrzení věty dokázáno.
Poznámka 6.5 V řadě úloh je nutné aproximovat i formy a(uh , vh ), hf, vh i nebo L(vh ), se kterými jsme pracovali v této kapitole a které bývají zpravidla zadané pomocí integrálů. Místo nich
pak musíme použít výrazy ah (uh , vh ), hfh , vh ih nebo Lh (vh ), které jsou dány pomocí numerické kvadratury. Zde jsme pro jednoduchost předpokládali, že jejich hodnoty umíme vypočítat
přesně.
ZÁVĚR: V klasické Ritzově nebo Galerkinově metodě jsou bázové resp. testovací funkce
zadány na celé vyšetřované oblasti a jejich volba je při komplikovanějším tvaru oblasti nebo
za složitějších okrajových podmínek značně obtížná nebo často přímo nemožná. Proto se tyto
metody v první polovině 20. století nakonec neosvědčily tak, jak se očekávalo.
Až v druhé polovině 20. století zažily svoji renesanci pod názvem metoda konečných prvků
– ale to je už „příběh“ pro jiná skripta . . . .
Úkoly k procvičení
Cvičení 6.1 Ověřte tvrzení z příkladu 6.1, že V -elipticita bilineární formy a(u, v) implikuje
pozitivní definitnost matice A.
Cvičení 6.2 Ověřte, že funkcionál z příkladu 6.2 je na H01 ((0, π)) ryze konvexní (použijte k
tomu Friedrichsovu nerovnost) a že příslušná variační úloha má právě jedno řešení.
Cvičení 6.3 V příkladu 6.2 vypočítejte Ritzovu aproximaci řešení na podprostoru
S3 = span{ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 },
ϕk = sin kx, k = 1, 2, 3.
85
Cvičení 6.4 Necht’ a(u, v) splňuje předpoklady z věty 6.4, necht’ S ⊂ V je uzavřená lineární
podmnožina. Ukažte, že potom existuje právě jedna Galerkinova aproximace u na S.
Cvičení 6.5 Necht’ (obecně nesymetrická) bilineární forma a(u, v) splňuje předpoklady (Q) a
(α). Dokažte, že potom platí
ku − uh k ≤
Q
inf ku − vh k.
α vh ∈Vh
Srovnejte to s větou 6.4 a vysvětlete rozdíl v odhadech v případě, že uvažujeme symetrickou
formu a(u, v).
Návod: Nejprve dokažte následující pomocné tvrzení:
Lemma 6.1
a(u − uh , vh ) = 0
∀vh ∈ Vh .
Cvičení 6.6 Porovnejte graficky výsledky příkladů 6.2 a 6.3.
Cvičení 6.7 Necht’ J je kvadratický funkcionál definovaný na Hilbertově prostoru V se symetrickou bilineární formou a(u, v), která splňuje předpoklady (Q) a (α). Necht’ Kh je konvexní
podmnožinou konečnědimenzionálního podprostoru Vh ⊂ V . Ukažte, že potom existuje právě
jedna Ritzova aproximace funkce u na Kh .
Cvičení 6.8 Dokažte:
Jestliže platí Kh ⊂ K pro libovolné h ∈ (0, 1), pak je předpoklad (K2) automaticky splněn.
Cvičení 6.9 Přesvědčte se, že za uvedených předpokladů má úloha (P1h ) z odstavce 6.2 právě
jedno řešení.
Cvičení 6.10 Dokažte, že úloha (P2h ) má za uvedených předpokladů právě jedno řešení.
86
Dodatek 1
Sobolevovy prostory
V tomto dodatku si pouze stručně zrekapitulujeme hlavní pojmy a výsledky spojené
se Sobolevovými prostory. V žádném případě zde nejde o systematický výklad této
problematiky, jen o jednotlivá hesla.
V dalším bude Ω ⊂ RN oblast, tj. otevřená a souvislá množina, která je omezená. Její hranici
budeme značit zpravidla Γ a dále označíme Ω = Ω ∪ Γ její uzávěr.
Prostory hladkých funkcí
Multiindex: α = (α1 , . . . , αN ), αi , i = 1 . . . , N , jsou celá nezáporná čísla.
N
P
Výška multiindexu: |α| =
αi .
i=1
Pro funkci u : Ω → R označíme její parciální derivace řádu |α| symboly
D0 u = u,
Dα u =
∂ |α| u
.
· · · ∂xαNN
∂xα1 1
C k (Ω) značí množinu spojitých funkcí N proměnných, které mají spojité parciální derivace až do řádu k podle každé proměnné v Ω a jež jsou se všemi svými derivacemi spojitě
prodlužitelné na Ω.
C k (Ω) je Banachův prostor vzhledem k normě kukC k (Ω) = max sup |Dα u(x)|.
0≤|α|≤k x∈Ω
Z X
(u, v)k =
Dα u Dα v dx definuje skalární součin v C k (Ω), k ≥ 0 je celé číslo.
|α|≤k
pΩ
kukk = (u, u)k je norma asociovaná s tímto skalárním součinem.
Prostor C k (Ω) není úplný vzhledem k normě k.kk a není to tedy Hilbertův prostor.
C0k (Ω) = {v ∈ C k (Ω) : Dα v = 0 na Γ pro |α| ≤ k − 1}.
∞
T
C ∞ (Ω) =
C k (Ω) značí množinu funkcí majících spojité parciální derivace všech řádů.
k=0
Nosič funkce u: supp u = {x ∈ Ω : u(x) 6= 0} (uzávěr bereme v eukleidovské normě).
Prostor nekonečně diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem v Ω:
D(Ω) = C0∞ (Ω) = {u ∈ C ∞ (Ω) : supp u ⊂ Ω}.
Lebesgueovy prostory
Lp (Ω), p ∈ [1, +∞), značí množinu všech měřitelných funkcí f : Ω → R takových, že
Z
|f (x)|p dx < +∞.
Ω

1/p
Z
Prostor Lp (Ω) je opatřen normou kf kp =  |f (x)|p dx .
Ω
87
Pro 1 ≤ p < q < +∞ platí Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω).
Pro p = +∞ je L∞ (Ω) množina všech měřitelných funkcí f : Ω → R takových, že
kf k∞ =
sup |f (x)| < +∞.
inf
M ⊂Ω
x∈ΩrM
meas(M )=0
Pro 1 ≤ p ≤ +∞ je Lp (Ω) Banachův prostor (vzhledem k uvedeným normám).
V případě p = 2 jde dokonce o prostor Hilbertův.
Z
p
L (Γ) značí množinu funkcí f , pro něž |f |p ds < +∞.
Γ
Z
p
L (Γ) je Banachův prostor s normou
kf kLp (Γ) =
p
|f | ds
1/p
.
Γ
Definice 7.1 Řekneme, že Ω je oblast se spojitou hranicí, jestliže existují čísla α > 0,
β > 0, M souřadných systémů (xr1 , xr2 , . . . , xrN ) ≡ (x0r , xrN ) a funkce ar , r = 1, . . . , M ,
jež jsou spojité na uzavřených krychlích
∆r = {|xri | ≤ α, i = 1, . . . , N − 1}
dimenze N − 1 a takové, že
(i) každý bod x ∈ Γ můžeme zapsat alespoň v jedné soustavě souřadnic ve tvaru
x = (x0r , ar (x0r )), x0r ∈ ∆r,
(ii) body tvaru (x0r , xrN ), x0r ∈ ∆r, takové, že
ar (x0r ) < xrN < ar (x0r ) + β,
leží v Ω,
(iii) body tvaru (x0r , xrN ), x0r ∈ ∆r, xrN = ar (x0r ),
leží na Γ,
(iv) body tvaru (x0r , xrN ), x0r ∈ ∆r, takové, že
ar (x0r ) − β < xrN < ar (x0r ),
leží vně Ω.
Definice 7.2 Řekneme, že Ω je oblast s lipschitzovskou hranicí, jestliže funkce ar , r =
1, . . . , M , jsou lipschitzovské na ∆r.
Oblasti s lipschitzovskou hranicí umožňují zavést např. plošný integrál nebo vektor vnější
normály n = (n1 , . . . , nN ) k hranici oblasti Ω skoro všude na Γ:
88
ni =
1+
N
−1 X
j=1
nN =
1+
N
−1 X
j=1
∂ar
∂xrj
∂ar
∂xrj
2 !−1/2
∂ar
∂xri
,
i = 1, . . . , N − 1,
2 !−1/2
,
přičemž ar je lipschitzovská funkce popisující uvažovanou část hranice Γ.
Definice 7.3 Necht’ u ∈ L1 (Ω), α > 0 celé. Řekneme, že u má zobecněnou derivaci Dα u,
jestliže existuje funkce uα ∈ L1 (Ω) taková, že
Z
Z
|α|
uα ϕ dx = (−1)
uDα ϕ dx
∀ϕ ∈ D(Ω).
Ω
Ω
Přitom klademe Dα u = uα .
Je-li u ∈ C k (Ω), pak každá klasická derivace Dα u, |α| ≤ k, vyhovuje předchozí definici a
je tedy zobecněnou derivací.
Prostory funkcí s konečnou energií
Definice 7.4 Sobolevův prostor W k,p (Ω), k ≥ 0, p ∈ [1, +∞) celé:
W k,p (Ω) = {v ∈ Lp (Ω) : Dα v ∈ Lp (Ω) ∀|α| ≤ k}.
W k,p (Ω) je Banachův prostor vzhledem k normě
X
1/p
α
p
• p ∈ [1, +∞) : kukk,p =
kD ukp
,
|α|≤k
• p = +∞ :
kukk,∞ = max kDα uk∞ .
|α|≤k
Pro p < +∞ jsou prostory W k,p (Ω) navíc separabilní, tj. obsahují spočetnou hustou podmnožinu.
Pro případ p = 2, který má speciální vlastnosti, se zavádí speciální označení:
Definice 7.5 Sobolevův prostor H k (Ω), k ≥ 0 celé:
H 0 (Ω) = L2 (Ω),
H k (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : Dα v ∈ L2 (Ω) ∀|α| ≤ k}.
89
p
H k (Ω) je Hilbertův prostor vzhledem k normě kukH k (Ω) = (u, u)H k (Ω) dané skalárním
součinem
XZ
(u, v)H k (Ω) =
Dα u Dα v dx.
|α|≤k Ω
Derivace zde uvažujeme - oproti skalárnímu součinu v C k (Ω) - v zobecněném smyslu.
Kromě normy kukH k (Ω) se na H k (Ω) pracuje i se seminormou
|u|H k (Ω) =
X Z
α
2
(D v) dx
1/2
.
|α|=k Ω
Poznámka 7.1 Separabilita prostorů H k (Ω) znamená, že v nich existuje spočetná báze.
Příklad 7.1 Dva jednoduché příklady z R1 :
a)
b)
f (x) = |x|, x ∈ (−1, 1).
Snadno ověříme, že f ∈ H 1 ((−1, 1)).
0 x < 0,
f (x) =
Heavisideova funkce.
1 x ≥ 0,
Nyní však dostaneme, že f 6∈ H 1 ((−1, 1)).
Alternativní způsob zavedení Sobolevových prostorů:
Definice 7.6 Symbolem H̃ k (Ω) označíme prostor funkcí definovaný jako zúplnění prostoru
C ∞ (Ω) vzhledem k normě k.kk .
Obecně platí
H̃ k (Ω) ⊆ H k (Ω).
Věta 7.1 (Meyers–Serrinova věta)
Je-li Ω ⊂ RN oblast s lipschitzovskou hranicí, pak
H k (Ω) = H̃ k (Ω).
Věta 7.2 (o aproximaci hladkými funkcemi)
Necht’ u ∈ H k (Ω). Potom existuje posloupnost {un } funkcí z C ∞ (Ω) ∩ H k (Ω) taková, že
un → u v H k (Ω).
Definice 7.7 Symbolem H̃0k (Ω) označíme prostor funkcí definovaný jako zúplnění prostoru
D(Ω) vzhledem k normě k.kk .
90
Věta 7.3 Předpis
[u, v]k =
XZ
Dα u Dα v dx
|α|=k Ω
definuje na H̃0k (Ω) skalární součin. Asociovaná norma
p
[u]k = [u, u]k = |u|H k (Ω)
je pak na H̃0k (Ω) ekvivalentní se standardní normou kukH k (Ω) .
Uvažujme dále pro p ≥ 1 prostory Lp (Ω). Jejich prvky jsou třídy funkcí. Kvůli řešení
okrajových úloh musí mít ale smysl hovořit o funkčních hodnotách funkce f na hranici Γ (což
je množina míry nula!). Zobecnění pojmu restrikce představuje pro funkce z H k (Ω) pojem
stopa funkce.
Věta 7.4 Necht’ Ω je oblast s lipschitzovskou hranicí. Potom existuje právě jedno spojité
lineární zobrazení γ : H 1 (Ω) → L2 (Γ) tak, že pro libovolné v ∈ C 1 (Ω) je
γv(x) = v(x)
∀x ∈ Γ
a platí
kvkL2 (Γ) ≤ ckvkH 1 (Ω) ,
kde konstanta c > 0 je závislá pouze na oblasti Ω.
Věta 7.5 Necht’ Ω je oblast s lipschitzovskou hranicí. Potom pro každý multiindex i, |i| ≤
k − 1, existuje právě jedno spojité lineární zobrazení γi : H k (Ω) → L2 (Γ) takové, že
γi v = Di v
na Γ
∀v ∈ C k (Ω).
Definice 7.8 Funkci γi v nazveme stopou i-té derivace funkce v na Γ, γi nazveme operátorem stop.
Poznámka 7.2 Stopa γv je v případě, že v ∈ H 1 (Ω), dobře definovaná funkce z L2 (Γ). Avšak
pro v ∈ L2 (Ω) nedává tento pojem žádný smysl.
Věta 7.6 Pro funkce v ∈ H̃0k (Ω) platí
γi v = 0
∀i : |i| ≤ k − 1.
Definice 7.9
H0k (Ω) = {v ∈ H k (Ω) : Dα v = 0 ∀|α| ≤ k − 1 na Γ ve smyslu stop}.
Je-li Ω oblast s lipschitzovskou hranicí a
91
• bud’ za jistých doplňujících předpokladů na Γ, které se týkají diferencovatelnosti funkcí
ar z definice lipschitzovské hranice,
• nebo je-li oblast Ω omezená (toto zde v celém odstavci předpokládáme),
potom platí
H̃0k (Ω) = H0k (Ω).
Poznámka 7.3 V R1 je situace jednoduchá, nebot’ pro libovolné a < b platí
H k ((a, b)) = H̃ k ((a, b)) ,
H0k ((a, b)) = H̃0k ((a, b)) .
Poznámka 7.4 V odborné literatuře se obvykle definuje i prostor stop, pro který se používá
označení H 1/2 (Γ). Tento prostor bývá opatřen normou
kvkH 1/2 (Γ) = inf{kϕkH 1 (Ω) : γ0 (ϕ) = v}.
Takto definovaný prostor je Hilbertovým prostorem (a proto mu zůstává označení H).
Základní Greenova formule
Z
Z
∂u
dx =
uni ds
∂xi
Ω
∀i = 1, . . . , N, ∀u ∈ H 1 (Ω)
Γ
Ω ⊂ RN - ohraničená oblast s lipschitzovskou hranicí Γ,
n = (ni ) - vektor vnější normály k Γ.
Greenova formule v H 1 (Ω)
Z
Z
Z
∂u
∂v
u
dx = −
v dx + uvni ds
∀i = 1, . . . , N, ∀u, v ∈ H 1 (Ω)
∂xi
∂xi
Ω
Ω
Γ
Greenovy formule v H 2 (Ω)
Z
Z
Z
∂u ∂v
∂u
dx = − ∆u v dx +
v ds
∀u ∈ H 2 (Ω), v ∈ H 1 (Ω)
∂xi ∂xi
∂n
Ω
Z
Z Ω
Z Γ
Z
∂v
∂u
ds −
v ds
∀u, v ∈ H 2 (Ω)
u ∆v dx = ∆u v dx + u
∂n
∂n
Ω
Ω
Γ
Γ
Zobecněná Friedrichsova nerovnost

1/2
2
Z X
Z
N ∂v
kvkH 1 (Ω) ≤ c 
dx + v 2 ds
∂x
j
j=1
Ω
∀v ∈ H 1 (Ω)
Γ0
Ω ⊂ RN - ohraničená oblast s lipschitzovskou hranicí Γ, Γ0 ⊆ Γ: meas(Γ0 ) > 0,
konstanta c = c(Ω, Γ0 ) > 0 nezávisí na v ∈ H 1 (Ω).
Friedrichsova nerovnost - speciální případ s Γ0 = Γ, c = c(Ω) > 0.
Pro v ∈ H01 (Ω) odtud plyne
92
Důsledek 7.1 (Ekvivalence norem v H01 (Ω))
Je-li Ω ohraničená oblast s lipschitzovskou hranicí, pak seminorma |.|H 1 (Ω) je na prostoru
H01 (Ω) normou, která je ekvivalentní se standardní normou k.kH 1 (Ω) .
Nerovnost pro funkce z H 2 (Ω):
1/2

Z
Z X
(Dα v)2 dx + v 2 ds
kvkH 2 (Ω) ≤ c 
Ω |α|=2
∀v ∈ H 2 (Ω),
Γ0
kde c = c(Ω, Γ0 ) > 0 je konstanta.
Zobecněná Poincarého nerovnost


2
Z
2 1/2
Z X
N ∂v
kvkH 1 (Ω) ≤ c 
dx +
v dx 
∂x
j
j=1
Ω
∀v ∈ H 1 (Ω)
Ω0
N
Ω ⊂ R - ohraničená oblast s lipschitzovskou hranicí Γ, Ω0 ⊆ Ω: meas(Ω0 ) > 0,
konstanta c = c(Ω0 ) > 0 nezávisí na v ∈ H 1 (Ω).
Poincarého nerovnost - speciální případ s Ω0 = Ω.
Nerovnost pro funkce z H 2 (Ω):


Z
2 1/2
Z X
X
kvkH 2 (Ω) ≤ c 
(Dα v)2 dx +
∀v ∈ H 2 (Ω),
Dα v dx 
Ω |α|=2
|α|<2 Ω
0
kde c = c(Ω0 ) > 0 je konstanta.
Stručný přehled uvedených nerovností pro k = 1, 2 :
• F RIEDRICHS
kvk2H k (Ω)
≤ c(Ω, Γ0 )
|v|2H k (Ω)
Z
+
2
v ds
∀v ∈ H k (Ω), Γ0 ⊆ Γ.
Γ0
• P OINCARÉ
kvk2H k (Ω)
2 X Z
2
α
≤ c(Ω0 ) |v|H k (Ω) +
D v dx
∀v ∈ H k (Ω), Ω0 ⊆ Ω.
|α|<k Ω
0
Věty o vnoření
Definice 7.10 Necht’ X, Y jsou Banachovy prostory. Jestliže
1. X ⊂ Y ,
řekneme, že X je algebraicky vnořen do Y ,
2. existuje konstanta c > 0 taková, že
kvkY ≤ ckvkX
∀v ∈ X,
řekneme, že toto vnoření je topologické.
Je-li X vnořen do Y algebraicky i topologicky, hovoříme o spojitém vnoření X do Y a
značíme to X ,→ Y .
93
Věta 7.7 (Sobolevova věta o vnoření)
Necht’ Ω ⊂ RN je oblast s lipschitzovskou hranicí. Potom platí
• H k (Ω) ,→ H l (Ω)
∀ k > l ≥ 0, k, l celá čísla,
• H k (Ω) ,→ C(Ω)
pro k >
N
.
2
To značí: je-li funkce u ∈ H k (Ω), k > N/2, potom její vhodnou změnou na množině míry nula
dosáhneme toho, že u ∈ C(Ω) a navíc existuje c > 0 nezávisející na u tak, že
max |u(x)| ≤ ckukH k (Ω) .
x∈Ω
Věta 7.8 Necht’ Ω ⊂ RN je oblast s lipschitzovskou hranicí. Potom
H k (Ω) ,→ C m (Ω)
pro k >
Obecně
W k,p (Ω) ,→ C m (Ω)
pro k >
N
+ m.
2
N
+ m.
p
Věta 7.9 Necht’ Ω je oblast s lipschitzovskou hranicí. Potom identické zobrazení H k (Ω) do
H k−1 (Ω) je pro k ≥ 1 totálně spojité.
Poznámka 7.5 V této souvislosti hovoříme o kompaktním vnoření H k (Ω) do H k−1 (Ω).
Poznámka 7.6 Pro k = 1 jde o známou Rellichovu větu.
Důsledek 7.2 Je-li {vn } omezená posloupnost v normě H k (Ω), pak z ní lze vybrat podposloupnost {vn0 }, která konverguje v normě prostoru H k−1 (Ω).
94
Dodatek 2
Úloha lineární pružnosti
Necht’ Ω ⊂ R3 je oblast s lipschitzovskou hranicí, přičemž hranici mějme rozdělenu takto
Γ = Γu ∪ ΓP ,
Γu 6= ∅.
Klasická formulace
Formulace sestává ze 3 rovnic (plus okrajové podmínky) pro 3 zadané a 3 proměnné veličiny. Těmi jsou (i, j = 1, 2, 3):
• u = (ui ) - vektor posunutí
• ε = (εij ) - tenzor tzv. malých deformací (symetrický)
• σ = (σij ) - tenzor napětí (symetrický)
Vstupní údaje představují:
• F = (Fi ) - vektor objemových (vnitřních) sil
• P = (Pi ) - vektor vnějších sil
• C = (Cijkl ) - tenzor 4. řádu obsahující tzv. elastické koeficienty (vystihují vlastnosti
materiálu), někdy se nazývá elastický tenzor
Obrázek 3: Úloha lineární elasticity
Přitom tenzor C splňuje:
a) podmínku symetrie
Cijkl = Cjikl = Cklij
95
∀i, j, k, l = 1, 2, 3,
b) podmínku elipticity
∃α > 0 :
Cijkl ξij ξkl ≥ α ξij ξij
∀ξij ∈ R, ξij = ξji .
Rovnice a okrajové podmínky:
• 1. Rovnice rovnováhy:
∂σij (u)
+ Fi = 0
∂xj
v Ω.
• 2. Zobecněný Hookeův zákon:
σij (u) = Cijkl εkl (u)
v Ω.
• 3. Kinematické rovnice:
1
εij (u) =
2
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
v Ω.
• 4. Okrajové podmínky:
u=0
σij (u) nj = Pi
na Γu ,
na ΓP .
Hookeův zákon zde představuje tzv. konstitutivní vztah specifický pro úlohu lineární pružnosti.
Na povrchu tělesa bývá ještě definován tzv. vektor napětí T = (Ti ), kde
Ti (x) = σij (u(x)) nj (x),
x ∈ Γ, i = 1, 2, 3.
Velmi významnou variantu představuje případ, kdy materiál uvažovaného tělesa je izotropní,
což znamená, že elastický tenzor C je invariantní vůči všem transformacím kartézských souřadnic. Jinými slovy: vlastnosti materiálu jsou nezávislé na směru souřadných os. Přidáme-li ještě
předpoklad homogenity materiálu, jsou v takovém případě složky Cijkl dané pouze pomocí
dvou nezávislých konstant λ, µ > 0, které nazýváme Lamého konstanty:
Cijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δjk δil ).
V praxi se však používá jiná dvojice:
• Youngův modul pružnosti E,
• Poissonova konstanta ν,
přičemž platí následující převodní vztahy
λ=
Eν
,
(1 + ν)(1 − 2ν)
µ=
E
.
1+ν
Kromě prostorové úlohy se v aplikacích občas objevují z praktických důvodů i zjednodušené 2D úlohy. Je vcelku evidentní, že jejich řešení nebude ani zdaleka tak náročné jako u plné
3D úlohy.
96
Úloha rovinné napjatosti (anglicky plane stress).
Lze ji použít v případech, kdy dva rozměry úlohy výrazně převyšují rozměr třetí (např.
tloušt’ku), jako je tomu např. u stěn, plechů, pásů. Necht’ je tomu tak ve směru osy z. Dále ještě
budeme předpokládat, že zatížení je v tomto směru nulové a položíme
σzz = σxz = σyz = 0,
εxz = εyz = 0,
takže všechny složky napětí tedy leží v jedné rovině. Výsledný konstitutivní vztah bude mít tvar





1 ν
0
σxx
εxx
E
 ν 1
0 
 σyy  =

  εyy  .
1−ν
(1 + ν)(1 − ν)
σxy
εxy
0 0
2
Těleso se zde může deformovat ve směru osy z a proto v těchto úlohách lze zadávat i tloušt’ku
stěny.
Konečně z Hookeova zákona doplníme vztah
εzz = −
ν
1
ν(σxx + σyy ) = −
(εxx + εyy ).
E
1−ν
Poznámka 8.1 Tato úloha je svou geometrií podobná deskové úloze. Rozdíl zde spočívá v tom,
že zatímco deska je zatížena kolmo ke své střednicové rovině, u stěny zatížení působí právě v
této rovině.
Úloha rovinné deformace (anglicky plane strain).
Zde na rozdíl od předchozí úlohy je třetí rozměr výrazně větší než zbylé dva, jako příklad
mohou posloužit přehrady, hráze nebo tunely. Necht’ je tomu tak opět ve směru osy z. Ještě
budeme předpokládat, že zatížení je v tomto směru nulové a položíme
εzz = εxz = εyz = 0,
σxz = σyz = 0.
Tedy všechny složky tenzoru deformace leží v jedné rovině a těleso se proto nemůže deformovat
ve směru osy z. Výsledný konstitutivní vztah pak bude





1−ν ν
0
εxx
σxx
E
 ν 1−ν
0 
 σyy  =

  εyy  ,
1
−
2ν
(1 + ν)(1 − 2ν)
εxy
σxy
0
0
2
přičemž z Hookeova zákona doplníme vztah
σzz =
E
ν(εxx + εyy ) = ν(σxx + σyy ).
(1 + ν)(1 − 2ν)
Redukci z 3D do 2D představuje ještě i tzv. rotačně symetrická úloha. Jde o trojrozměrné
objekty, které jsou rotačně symetrické kolem osy symetrie, jako např. válce. Je-li problém symetrický nejenom z hlediska geometrie, ale také dalšími vlastnostmi jako jsou např. zatížení,
uložení a materiálové charakteristiky, má to za důsledek, že i napětí a deformace jsou rotačně
97
symetrické, tj konstantní na jednotlivých soustředných kružnicích a mění se jen s poloměrem
měřeným od osy rotace (stejně jako vnější zatížení takovéto úlohy).
Tuto problematiku však zde podrobněji rozebírat nebudeme.
Variační formulace
Uvažujme prostor
V = v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ (H 1 (Ω))3 : vi = 0 na Γu , i = 1, 2, 3 ,
kde v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ (H 1 (Ω))3 , pokud vi ∈ H 1 (Ω) pro i = 1, 2, 3, a V je opatřen normou
!1/2
3
X
.
kvkV =
kvi k2H 1 (Ω)
i=1
Dále necht’ tenzor malých deformací εij (u) a tenzor napětí τij (u) jsou provázané zobecněným
Hookeovým zákonem stejně jako výše. Přitom Cijkl jsou omezené měřitelné funkce v Ω splňující podmínku symetrie a elipticity jako výše pouze s tou změnou, že místo pro všechna x ∈ Ω
budeme požadovat platnost pro skoro všechna x ∈ Ω. Položme dále
Z
Z
σij (u)εij (v) dx =
Cijkl εkl (u)εij (v) dx,
u, v ∈ V,
a(u, v) =
Ω
Z
L(v) =
Ω
Z
Fi vi dx +
Ω
v ∈ V.
Pi vi ds,
ΓP
Pak funkcionál celkové potenciální energie je dán jakožto
Π(v) =
1
a(v, v) − L(v)
2
∀v ∈ V.
Definice 8.1 Funkci u ∈ V takovou, že platí
Π(u) = min Π(v)
v∈V
nazveme variačním řešením úlohy lineární pružnosti.
3
3
Věta 8.1 Necht’ F ∈ (L2 (Ω)) , P ∈ (L2 (ΓP )) . Pak existuje právě jedno variační řešení
úlohy lineární pružnosti charakterizované vztahem
(
u∈V
a(u, v) = L(v)
∀v ∈ V.
Důkaz: Protože Cijkl ∈ L∞ (Ω), je forma a(u, v) omezená na V × V . Ze symetrie tenzoru C
plyne ihned symetrie formy a(u, v). Nyní dokážeme, že a(u, v) je také V -eliptická.
Z Hookeova zákona a předpokladu elipticity pro C dostáváme
Z
Z
a(v, v) =
Cijkl εkl (v)εij (v) dx ≥ α εij (v)εij (v) dx.
Ω
Ω
98
Avšak výraz
1/2
Z
εij (v)εij (v) dx
Ω
3
nedefinuje normu funkce v ∈ (H 1 (Ω)) , nebot’ z toho, že εij (v) = 0 evidentně neplyne, že
v = 0 na Ω. Nicméně díky podmínce v = 0 na Γu platí tzv. Kornova nerovnost
Existuje konstanta c = c(Ω) > 0 taková, že
∀v ∈ (H 1 (Ω))3 .
kvk2(H 1 (Ω))3 ≤ c kvk2(H 0 (Ω))3 + kε(v)k2(H 0 (Ω))3
Pomocí této nerovnosti lze pak ukázat, že
Z
εij (v)εij (v) dx ≥ e
c kvk2V
∀v ∈ V.
Ω
Odtud společně s předpokladem elipticity pro tenzor C dostáváme V -elipticitu formy a(., .). 99
Literatura
[Bouchala 2012] J. Bouchala: Variační metody. Učební text, VŠB-TU Ostrava a ZČU Plzeň,
2012.
[Brenner 2008] S.C. Brenner, L.R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods. 3rd edition. Sprimger, 2008.
[Céa 1971] J. Céa: Optimisation. Théorie et Algorithmes. Dunod, Paris, 1971.
[Céa 1978] J. Céa: Optimization. Theory and Algorithms. Lecture Notes, Vol.53, Tata Inst.
Fund. Research, Bombay, 1978.
[Ciarlet 1978] P.G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems. Studies in
Mathematics and its Applications 4, North Holland Publishing Company, Amsterdam,
1978.
[Fučík 1978] S. Fučík, A. Kufner: Nelineární diferenciální rovnice. SNTL, Praha, 1978.
[Glowinski 1984] R. Glowinski: Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems.
Springer Verlag, New York, 1984.
[Haslinger 1981] J. Haslinger: Metoda konečných prvků pro řešení variačních rovnic a nerovnic. Skripta MFF UK, Praha, 1981.
[Haslinger 1996] J. Haslinger, I. Hlaváček, J. Nečas: Numerical Methods for Unilateral Problems in Solid Mechanics. In: Handbook of Numerical Analysis, Vol IV, Edited by P.G.
Ciarlet and J.L. Lions, pp. 313 - 485. Elsevier, 1996.
[Hlaváček 1982] I. Hlaváček J. Haslinger J. Nečas J. Lovíšek: Riešenie variačných nerovností
v mechanike. Alfa Bratislava - SNTL Praha, 1982.
[Hlaváček 1988] I. Hlaváček, J. Haslinger, J. Nečas, J. Lovíšek: Solution of Variational Inequalities in Mechanics. Springer, 1988.
[John 1977] O. John, J. Nečas: Rovnice matematické fyziky. Skripta MFF UK Praha, 1977.
[Křížek 1990] M. Křížek, P. Neittaanmäki: Finite Element Approximation of Variational Problems and Applications. Longman, New York, 1990.
[Nečas 1983] J. Nečas, I. Hlaváček: Úvod do matematické teorie pružných a pružně plastických těles. SNTL, Praha, 1983.
[Rektorys 1999] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech
matematické fyziky. Academia, Praha, 1999.
100