Příklady

Příklady k přednášce
23 – Diskrétní systémy
Michael Šebek
Automatické řízení 2016
4-5-16
Stavový a vnější popis
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Modely a převody v CSTbx
>> F=[1 2; 3 4]; G=[1 ;2]; H=[2 1]; J=0;
>> Pss = ss(F,G,H,J,-1)
a =
x1 x2
x1
1
2
x2
3
4
b =
u1
x1
1
x2
2
c =
x1 x2
y1
2
1
d =
u1
y1
0
Sampling time: unspecified
Discrete-time model.
>> Ptf=tf(Fss)
Transfer function:
4 z + 1
------------z^2 - 5 z - 2
Sampling time: unspecified
>> Psdf = sdf(Pss)
Psdf =
1 + 4z
-------------2 - 5z + z^2
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2012
2
Odezva dlouhým dělením
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Vzor k danému (racionálnímu) z-obrazu lze také najít
„dlouhým dělením,“ které
• nekončí výpočtem zbytku, ale pokračuje „do záporných mocnin“
• Toho můžeme využít k výpočtu odezvy
pro přenosy v z
z
1 z −1 + z −2 − z −3 + z −4 − 
=−
z +1
1
−1
−2
−3
−4
i v z-1
z
z
z
z
1
=−
+
−
+
−
−1
1+ z
1
−1
−2
−3
−4
z
z
z
z
1
=+
+
+
+
+
−1
1− z
z −1
z −1
−1
−2
−3
−4
z
z
z
z
2
3
4
=
=
+
+
+
+
−1
−2
−1 2
(1 − z ) 1 − 2 z + z
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2012
3
Přenosy v z a v z-1 = d
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Příklady převodů: zkoumejte ryzost, řád apod.
b( z )
z
z z −2
z −1
d
bˆ(d )
= =
=
=
=
2
2
−2
−2
a( z ) 1 + z
1+ z z
1+ z
1 + d 2 aˆ (d )
b( z )
z2
z 2 z −2
1
1
bˆ(d )
= =
=
=
=
2
2
−2
−2
a( z ) 1 + z
1+ z z
1+ z
1 + d 2 aˆ (d )
1
1
b( z )
z2
z 2 z −2
bˆ(d )
= =
=
=
=
−2
−1
−2
a( z ) 1 + z 1 + z z
z +z
d + d 2 aˆ (d )
b( z ) 1
bˆ(d )
−2
2
= =
z = d=
2
a( z ) z
aˆ (d )
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2012
4
Póly a nuly z a v z-1 = d
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Změna operátoru (komplexní proměnné): z → f(z) = z-1 = d
• je kruhová inverze plus reflexe (překlopení) podle reálné osy
0↔∞
1↔1
j↔−j
d = z −1
−1 ↔ −1
2 j ↔ −½ j
−½ ↔ −2
1+ j ↔ ½ − ½ j
z
• Oblasti stability
a nestability
jsou překlopené
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2012
5
Póly a nuly v z a s
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro návrh diskrétního řízení pro diskrétní soustavu metodou umístění
pólů s danými specifikacemi v časové oblasti potřebujeme vědět, kam
je máme umístit?
• Můžeme využít vzorců pro spojitý případ ve spojení se vzorcem pro
póly/nuly vzorkovaného systému
• Pro soustavu 1. řádu
• Pro soustavu 2. řádu
Michael Šebek
z1 = e hs1
z1,2 = e
= e h ( −σ ± jωd )
h ( −ζωn ± jωn 1−ζ 2 )
=e
ωn h ( −ζ ± j 1−ζ 2 )
=e
hs1,2
ARI-Pr-23-2012
6
Doba ustálení Ts
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Stejná doba ustálení Ts = k
σ
• v s-rovině póly ležící na vertikálních
přímkách σ = konst.
• v z-rovině jim odpovídají soustředné
kružnice se středem v počátku e −σ h = konst
s
z = e hs
= e h ( −σ ± jωd )
h ( −ζωn ± jωn 1−ζ 2 )
=e
ωn h ( −ζ ± j 1−ζ 2 )
=e
>> T=1;sigma=1;omegad=0:.01:pi/T;
=1
>> σ
explus=exp(-sigma+j*omegad);
>> exminus=exp(-sigma-j*omegad);
>> ex=[explus exminus];
>> plot(real(ex),imag(ex),'.')
>> hold
σ =2
Current plot held
>> T=1;sigma=2;omegad=0:.01:pi/T;
>> explus=exp(-sigma+j*omegad);
>> exminus=exp(-sigma-j*omegad);
>> ex=[explus exminus];
σ =3
>> plot(real(ex),imag(ex),'.')
>> T=1;sigma=3;omegad=0:.01:pi/T;
>> explus=exp(-sigma+j*omegad);
>> exminus=exp(-sigma-j*omegad);
−σ T
>> ex=[explus exminus];
>> plot(real(ex),imag(ex),'.')
z
e
σ =3
Michael Šebek
σ =2
σ =1
ARI-Pr-23-2012
7
Okamžik prvého maxima Tp
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
π
π
Stejný okamžik prvého maxima
Tp =
=
2
ωd
1
ω
ζ
−
n
• v s-rovině horizontální
přímky ωd = konst.
• v z-rovině jim odpovídají radiální polopřímky
± jω h
vycházející z počátku e d = konst
ωd = π
ωd = 2
ωd = 1
ωd = 0
ωd = 1
ωd = 2
ωd = π
Michael Šebek
π
2
ω>>
ωd = 1
ωd =
d =T=1;sigma=1;omegad=0:.01:pi/T;
2
explus=exp(-sigma+j*omegad);
s
π
ωd =
2
z = e hs
= e h ( −σ ± jωd )
h ( −ζωn ± jωn 1−ζ 2 )
=e
ωn h ( −ζ ± j 1−ζ 2 )
=e
exminus=exp(-sigma-j*omegad);
ex=[explus exminus];
plot(real(ex),imag(ex),'.')
>> hold
Current plot held
>> T=1;sigma=2;omegad=0:.01:pi/T;
∠ = d [rad]
explus=exp(-sigma+j*omegad);
exminus=exp(-sigma-j*omegad);
ex=[explus exminus];
=0
plot(real(ex),imag(ex),'.') d
>> T=1;sigma=3;omegad=0:.01:pi/T;
explus=exp(-sigma+j*omegad);
exminus=exp(-sigma-j*omegad);
ex=[explus exminus];
plot(real(ex),imag(ex),'.')
ωd = π
ω
ω
z
ARI-Pr-23-2012
8
Stejná doba náběhu Tr
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Stejná doba náběhu
Tr ≈
z = e hs
= e h ( −σ ± jωd )
h ( −ζωn ± jωn 1−ζ 2 )
=e
ωn h ( −ζ ± j 1−ζ 2 )
=e
1.8
ωn
• v s-rovině póly ležící na
soustředných kružnicích ωn = konst.
• v z-rovině jim odpovídají křivky
z
s
cos θ = ζ
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2012
9
Stejný překmit a tlumení
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
= 100 × e
• Stejný překmit %OS
a tlumení
• v s-rovině mu odpovídají přímky
procházející počátkem
• v z-rovině části spirál
(pro rostoucí velikost s se kroutí kolem bodu 0)
− (ζπ
1−ζ 2 )
z = e hs
= e h ( −σ ± jωd )
h ( −ζωn ± jωn 1−ζ 2 )
=e
ωn h ( −ζ ± j 1−ζ 2 )
=e
z
s
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2015
10
Požadavky na odezvu pomocí polohy pólu: Řád 2
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Spojité s1,2 =−σ ± jωd =−ζωn ± jωn
• Požadovaná doba náběhu
s1,2= ωn >
1.8
1− ζ 2
Diskrétní
1,2
=
z1,2 e=
e h ( −σ ± jωd )
hs
=e
Im
Im
h ( −ζωn ± jωn 1−ζ 2 )
τr
Re
Re
• Požadovaná doba ustálení
k
Ts < τ s ⇔ Re s1,2 = −σ < − %
τs
Im
Im
Re s1,2 = −σ
<−
Michael Šebek
k%
τs
z1,2 < e
Re
−
k%
τs
Re
Pr-ARI-03-2012
11
Požadavky na odezvu pomocí polohy pólu: Řád 2
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Spojité s =−σ ± jω =−ζω
• Požadovaný překmit
1,2
d
n
± jωn 1 − ζ 2
Diskrétní
1,2
=
z1,2 e=
e h ( −σ ± jωd )
hs
= e h ( −ζωn ± jωn
1−ζ 2 )
Im
θ < arccos ζ min
Re
ζ min =
− ln ( pmax 100 )
π 2 + ln 2 ( pmax 100 )
• Požadovaný překmit a
Im
θ < arccos ζθmin
−
k%
τs
> Re s1,2
Michael Šebek
Re
Pr-ARI-03-2012
12
Diskrétní Root Locus
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• graf CL pólů v závislosti na K, tj. graf nul výrazu 1 + KL( z ) =
0
• graf se kreslí podle stejných pravidel, jako ve spojitém případě
• ale interpretace jeho polohy je samozřejmě jiná
>> Ls=(s+3)*(s+4)/(s+1)/(s+2)
Ls = 12+7s+s^2 / 2+3s+s^2
>> rlocus(Ls),sgrid
>> Lz=(z+3)*(z+4)/(z+1)/(z+2)
Ls = 12+7z+z^2 / 2+3z+z^2
>> rlocus(Lz),zgrid
všude stabilní
všude nestabilní
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2012
13
Diskrétní Nyquistovo kritérium stability
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Diskrétní
Spojitý pro srovnání
Z= N + P
CL systém má Z= P − N nestabilních pólů, kde
N … počet bodu -1 Nyquistovým grafem L(s)
ale tady je N
P … počet nestabilních OL pólů.
Nyquistovo kritérium stability
P=N
CL systém je stabilní
N … počet obkroužení
Nyquistova grafu L(s)
P … počet nestabilních OL pólů
Zvláštní případ:
Nyquistovo kritérium stability pro stabilní OL systém
Je-li OL systém stabilní, pak je i CL systém stabilní
Nyquistův graf L(s) neobkrouží kritický bod -1
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2012
P = −N
ale tady
je –N
,
takže je to
vlastně stejně
14
Paralelní odvození obojího - pro srovnání
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
n … počet nul fce H ( z ) (= OL pólů) = počet pólů H ( z ) (= CL pólů)
Z … počet nestabilních CL pólů = počet nestabilních nul funkce
P … počet nestabilních OL pólů = počet nestabilních nul funkce
N … počet obkroužení kritického bodu -1 Nyquistovým grafem
ve stejném směru, ve kterém obkružujeme uvažovanou oblast
Diskrétní
Spojitý
• obkružujeme oblast stability
• obkružujeme oblast nestability
proti směru hodinových ručiček
po směru hodinových ručiček
• z Principu argumentu plyne
• z Principu argumentu plyne
N =( n − Z ) − ( n − P ) = P − Z
N= Z − P
• Z toho plyne
Z= P + N
• CL stabilní když Z = 0 , tj. když
P = −N
tedy obkroužení opačným směrem
• tedy proti směru hodin. ručiček
Michael Šebek
• z toho plyne
Z= P − N
• CL stabilní když Z = 0 , tj. když
P=N
tedy obkroužení stejným směrem
• tedy proti směru hodinových ručiček
ARI-Pr-23-2012
15
Příklad
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenos otevřené smyčky
je nestabilní, tedy P = 1
• Nyquistův graf je
2
L( z ) =
z−2
>> a=z-2,b=2
a =
-2 + z
b =
2
>> nyquist(b/a)
>> a+b
ans = z
tedy je N = 1 a
• podle kritéria bude uzavřená smyčka stabilní
• Opravdu je stabilní,
charakteristický polynom uzavřené smyčky je c( z ) = ( z − 2 ) + 2 = z
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2012
16
Příklad
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Vyhodnoťte CL stabilitu diskrétního systému se soustavou
G=
( s ) 1 s ( s + 1)
• vzorkovanou s frekvencí 0.5 Hz (tj. s periodou vzorkování T = 2 s)
• s tvarovacím členem nultého řádu (ZOH)
• a diskrétním proporcionálním regulátorem L( z ) = KG ( z )
>> G=1/(1+s)/s
G = 1 / s(s+1)
>> Gz3=c2d(tf(G),2)
Transfer function:
1.135z + 0.594
--------------------z^2 - 1.135z + 0.1353
Sampling time: 2
>> zpk(Gz3)
Zero/pole/gain:
1.1353 (z+0.5232)
----------------(z-1) (z-0.1353)
Sampling time: 2
K=1;Lz=K*Gz3;
nyquist(Lz)
Michael Šebek
N =0, P =0 ⇒ Z =0
ARI-Pr-23-2012
>> pformat rootc
>> Gzp=sdf(Gz3);
>> K=1;Lz=K*Gzp;
>> cl_char=Lz.num+Lz.den
cl_char =
(z+0.8540i)(z-0.8540i)
>> isstable(cl_har_pol)
ans = 1
17
Příklad: Diskrétní PM a GM
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
( s ) 1 s ( s + 1) 2 vzorkovanou s frekvencí 5 Hz ,
• Pro soustavu G=
ZOH a diskrétní P regulátor s K = 1
• najděte diskrétní PM a GM
>> Gz=c2d(tf(1/(1+s)^2/s),1/5,'zoh');
>> zpk(Gz)
Zero/pole/gain:
0.0012077(z+3.381)(z+0.2422)
---------------------------(z-1)(z-0.8187)^2
Sampling time: 0.2
>> Lz=Gz;nyquist(Lz)
• GM ≈ 1.7 ≈ 5dB, PM ≈ 17.5º
• spojité hodnoty skoro stejné:
GM ≈ 6dB
PM ≈ 21º
PM
=
PM spoj =
− ∆ϕ PM spoj − 29ωTs
dis
Korekce:
= 21 − 29 × 0.6 × 0.2 = 21 − 3.5 = 17.5
Michael Šebek
ARI-Pr-23-2012
18