matematické modelování proudění stlačitelné kapaliny s kavitací

matematické modelování proudění stlačitelné kapaliny s kavitací

Konference ANSYS 2009
MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ
STLAČITELNÉ KAPALINY S KAVITACÍ
Rautová, J., Kozubková, M.
VŠB-TU Ostrava, tř, 17. listopadu 15, Ostrava – Poruba, [email protected],
[email protected].
Abstract: The article is specialized of the modelling of the fluid compressible liquid with cavitation
in the divergent nozzle. Cavitation is not desirable, where pressure may fall blow the saturated
vapour pressure and thereby happen to vaporization of the liquid. The bubbles come into being in
the section higher pressure suddenly become extinct, it means - behind divergent nozzle – where
decrease of the velocity and increase of the pressure. The incurred bubbles are dissolving in the
zone of the higher pressure quickly; it is beyond divergent nozzle – where velocity decreases and
pressure increase.
Fluent offers two possibility of the air entry during modelling of the cavitation. The first variant
the air is entry in the cavitation model, where I entry mass fraction of the non-condensable gas.
The second variant the air is entry as next (third) phase.
Abstrakt: Článek je zaměřen na modelování proudění stlačitelné kapaliny s kavitací v Lavalové
dýze. Kavitace je nežádoucí děj, který nastává při poklesu tlaku k hodnotě nasycených par a tím
dochází k odpařování kapaliny. Vzniklé bublinky v oblasti vyššího tlaku, tzn. za Lavalovou dýzou –
kde se sníží rychlost a zvýší tlak, náhle zanikají.
Jako nejjednodušší řešení se nabízí modelovat kavitaci pouze jako směs vody a vodní páry.
Významnější, především z hlediska konvergence, je však úlohu řešit také se vzduchem. Fluent
nabízí dvě možnosti přístupu zadávání vzduch při modelování kavitace Jednou z možností je
zadávání vzduchu v kavitačním modelu kde je zadáván hmotnostní zlomek nekondenzujícího plynu.
Další přístup je zadávání vzduchu jako další fáze ve směsi.
Keywords: divergent nozzle, cavitation, compressible fluid, Fluent
Klíčová slova: Lavalova dýza, kavitace, stlačitelné proudění, Fluent
1. Stlačitelná kapalina
Kapalina je stlačitelná z důvodu přítomnosti vzduchu v kapalině a to ve formě rozpuštěného i
nerozpuštěného. Vzduch způsobuje dynamické chování proudění. Stlačitelné tekutiny jsou
rozpínavé a zaujímají celý objem nádoby. Veličina, která určuje tuto vlastnost kapaliny se nazývá
objemová stlačitelnost – vlastnost tekutiny zmenšovat svůj objem při zvyšování tlaku
 ∆p 
V 0 = 1 −

K 

(1)
TechSoft Engineering & SVS FEM
kde K je modul objemové stlačitelnosti tekutiny a je definovaný vztahem
K=ρ
dp
dρ
(2)
Při stlačování kapaliny se její hmotnost nemění, proto lze psát m = ρ ⋅ V = konst . Diferencováním
dostaneme
ρ ⋅ dV + V ⋅ dρ = 0
(3)
z čehož pro objemovou změnu vyplývá
dV dρ
+
=0
V
ρ
(4)
Pro vodu je modul objemové stlačitelnosti definovaný K = 2,1 ⋅10 9 Pa (bez vzduchu).
Rozpuštění vzduchu v kapalině se řídí tzv. Henryho zákonem, který vyjadřuje závislost
rozpustnosti x plynu v kapalině na jeho tlaku p nad kapalinou při konstantní teplotě
x=
p
K
(5)
Henryho konstanta závisí na teplotě, s rostoucí teplotou se snižuje – při zahřívání vody se objevují
bublinky, nejedná se o bublinky voní páry, ale o plyny ve vodě rozpuštěné.
Stav tekutiny nacházející se v rovnováze může být určen tlakem p , hustotou ρ a teplotou T .
Korelaci mezi těmito třemi veličinami určuje stavová rovnice
p
ρ
= r ⋅T
(6)
[ ]
kde V je objem kapaliny m 3
r je měrná plynová konstanta, jenž závisí od druhu tekutiny ( r = 267,1 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ).
Směs kapaliny (vody) a vzduchu (stlačitelného) se může vytvářet uvolňováním rozpuštěného
vzduchu z kapaliny (při změně tlaku, rychlosti, teploty), přisátím vzduchu netěsnostmi vedení,
především při špatně navržené sací výšce čerpadla. Směs bude mít jiné fyzikální vlastnosti,
především pak modul objemové pružnost kapaliny. Stlačitelnost se především projeví u
hydraulického rázu a nebo při kavitaci, a mohla by upřesnit použité matematické modely. (Hružík,
2007; Kozubková, 2006).
2. Kavitační modely ve Fluentu 12
Pro řešení kavitace je v literatuře (Ansys, 2009; Kozubková, 2008; Singhal, 2002) doporučený
dvourovnicový k-ε model. Pro nízká Reynoldsová čísla (při řešení varianty 12 se pohybujeme
Konference ANSYS 2009
Re = (110400 ÷ 219600) ) je vhodné užívat RNG k-ε model, který je odvozený z Navier-Stokes
rovnice.
Mixture model je zjednodušený více fázový model, který může být použitý při modelování
homogenního vícefázového proudění jestliže se jednotlivé fáze pohybují rozdílnou rychlostí.
Vazba mezi jednotlivými fázemi by měla být silná. Mixture model může být také použitý při
výpočtech s nenewtonskou kapalinou. Typické aplikace zahrnují usazování, vírové proudění,
proudění s nízkým zatížením a proudění s bublinami, kde objemový zlomek plynu zůstává nízký.
Mixture model může modelovat n- fází (proudění nebo částice), řeší momentovou rovnici, rovnici
spojitosti a rovnici energie pro směs, rovnici objemového zlomku pro druhou fázi a algebraické
vyjádření relativní rychlosti. (Kozubková, 2003). Z důvodu zjednodušení je modelována proudící
kapalina – voda jako nestlačitelná fáze, avšak pára popř. vzduch jsou modelovány jako stlačitelné
a jejich hustota je počítána ze stavové rovnice (6), viz tab. 1.
2.1
Teorie kavitace
Nechť pracovní tekutina je směsí kapaliny a páry. Standardní řídící rovnice v modelu směsi a
turbulentním modelu popisuje tok a zodpovídá za efekt turbulence. Transportní rovnice pro páru
určuje hmotnostní zlomek páry f vap z rovnice
(
(
)
)
∂
∂
∂
ρf vap +
ρf vap u vap j =
∂t
∂x j
∂x j
 ∂f vap 
γ
 + Re − Rc
 ∂x j 


(7)
Zdrojové členy zahrnující vznik a kondenzaci páry jsou odvozena z Rayleigho - Plessetovy
rovnice a zohledňují limitní velikost bublinky (rozhraní plocha povrchu na jednotkový objem
páry). Tyto členy jsou funkcí okamžitého lokálního statického tlaku a jsou dány vztahy
pro p < p sat
Re = C e
Vch
ρ l ρ vap
pro p > p sat
Rc = C c
Vch
ρl ρl
σ
σ
2( p sat − p )
1 − f vap
3ρ l
(
2( p − p sat )
f vap
3ρ l
)
(8)
(9)
kde Vch je charakteristická rychlost, která je aproximována z lokální intenzity turbulence (např.
Vch = k ) a Ce a Cc empirické konstanty, standardně C e = 0 ,02 , C c = 0 ,01 , p sat je tlak
nasycených par v kapalině při dané teplotě.
2.2
Rovnice pro nekondenzující plyn
Předpokládáme, že proudící kapalina bude směs vody, páry a nekondenzujícího plynu. Hustota
směsi se vypočítá jako
1
ρ
=
f vap
ρ vap
+
fg
ρg
+
1 − f vap − f g
ρl
(10)
TechSoft Engineering & SVS FEM
Hustota nekondenzujícího plynu ρ g je dána výpočtem
ρg =
V⋅p
r ⋅T
(11)
Objemový zlomek nekondenzujícího plynu a kapaliny je upravený na tvar
αg = fg
ρ
ρg
(12)
α 1 = 1 − α vap − α g
(13)
Jestli-že uvažujeme účinek nekondenzujícího plynu, je modifikována rovnice (7), a při dosazení za
Vch proměnnou
Re = Ce
Rc = C c
k
σ
k
σ
k můžeme psát
ρ l ρ vap
ρl ρl
2( p sat − p )
1 − f vap − f g
3ρ l
(
)
2( p sat − p )
f vap
3ρ l
(14)
(15)
3. Proudění Lavalovou dýzou
Je řešená kavitace v Lavalové dýze. Energetický ústav, Odbor fluidního inženýrství Viktora
Kaplana, Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně provedl experimentální
měření, se kterým lze naměřená data srovnávat.
Obvod experimentu se skládal z cirkulačního čerpadla WILO, snímačů tlaků (na vstupu a
výstupu), průtokoměru, Lavalovy dýzy, nádrže, uzavíracího ventilu a hadic. Proudící médium byla
voda. Detail Lavalovy dýzy je na obr. 1.
Obr. 1. Geometrie Lavalovy dýzy
Konference ANSYS 2009
Řešené varianty
A.
voda+ para – Singhalův kavitační model
B.
voda+para+vzduch – Singhalův kavitační model
C.
voda+para+vzduch – Schnerr and Sauer model
Při řešení modelování v programu Fluent 12 byla použitá čtvercová sít vytvořená v programu
Gambit. Síť měla 9228 buněk, bylo však provedeno zjemnění na vstupu a síť má 9660 buněk.
Jedná se o osově souměrnou úlohu, detail sítě a popis je uveden na obr. 2.
Obr. 2. Síť pro numerický výpočet
3.1
Fyzikální vlastnosti proudícího média
Teplota vody je konstantní a předpokládá se 20°C (tj. 293,15K). Je počítána varianta bez vzduchu.
Dále jsou počítány dvě varianty se vzduchem, kde v jednom případě je vzduch zadáván v
Singhalově kavitačním modelu, jako hmotnostní zlomek nekondenzujícího plynu. V druhém
případě je vzduch zadáván jako třetí fáze (Schnerr and Sauer model).
Voda
Pára
Vzduch
Hustota [kg.m-3]
998.2
hustota je počítána ze stavové rovnice
uživatelsky definovaná - hustota je počítána ze stavové
rovnice*
Dynamická viskozita [Pa.s]
0,000985
8,854.10-6
1,789.10-5
Tab.1 Fyzikální vlastnosti
* systém Fluent 12 nedovoluje definovat dvě fáze, kde hustota je počítána ze stavové rovnice,
proto musela být u vzduchu použita uživatelsky definovaná funkce.
V případě kavitace je třeba uvažovat další parametry:
povrchové napětí
σ = 0,0717 N ⋅ m −1
tlak nasycených par
p N = 2338 Pa
hmotnostní zlomek vzduchu
0–2%
množství bublin
nb = 1,5.1014
TechSoft Engineering & SVS FEM
3.2
Okrajové podmínky
A
B
C
Hmotnostní průtok vody
[kg.s-1]
1,71592
1,71592
1,67824
Hmotnostní průtok vzduchu
[kg.s-1]
-*
4.10-5 **
Tlak na výstupu
[Pa]
113847
113847
113847
Tab.2 Okrajové podmínky
* Varianta B hmotnostní zlomek nekondenzujícího plynu
f A = 1,24 ⋅10 −5 , (tj. 1% vzduchu)
**(tj. 2% vzduchu.)
4. Výsledky řešení
Obr. 3 Velikost kavitační oblasti v Lavalové dýze – experiment (měření 12)
minimum
A
B
C
Obr. 4 Množství páry vyjádřené pomocí objemového zlomku
maximum
Konference ANSYS 2009
Tlak
Rychlost
A
B
C
Obr. 5 Průběhy tlaků a rychlostí
Při monitorování rychlosti na výstupu z Lavalovy dýzy, bylo zjištěno, že rychlost pulzuje a tudíž
se také významně mění velikost oblasti páry. Na obr. 6 jsou zaznačeny body ve kterých byla
velikost oblasti páry snímána.
Provedeme srovnání velikosti kavitační oblasti a rychlosti, dle obr. 5 a obr. 6. Můžeme srovnat
bod 2 a bod 8 (obr. 5), kde rychlost proudění média je přibližně stejná. Z obr. 6 je však patrné, že
velikost kavitační oblasti při této rychlosti se výrazně liší. Je patrné, že v bodě 8 dosahuje pára
svého maxima, což by se dalo očekávat v bodě 7, kde je maximální rychlost.
TechSoft Engineering & SVS FEM
Obr. 6 Pulsace rychlosti na výstupu z Lavalovy dýzy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Obr. 7 Množství páry
5. Závěr
Všechny úlohy jsou řešeny jako osově souměrné, vícefázové proudění (voda, pára popř. vzduch),
časově závislé (je očekávána pulsace toku). Jsou definovány stejné fyzikální vlastnosti všech fází a
okrajové podmínky, jednotlivé varianty se liší v kavitačním modelu, tzn. v zadávání vzduchu při
výpočtu. Varianta A nekonverguje.
Konference ANSYS 2009
Obsah vzduchu byl určený ve srovnání s fyzikálním experimentem. Vzduch má důležitý vliv na
řešení a z výsledků je patrné, že varianta A bez vzduchu není srovnatelná s experimentem (viz obr.
4). Srovnáním obr. 3 a obr. 4 je patrné, že varianta B a C odpovídají experimentu. Také
hmotnostní průtok na vstupu a výstupu u varianty A je velmi rozdílný, avšak hmotnostní průtok u
varianty B a C je přibližně stejný (což je patrné z obr. 5 – průběhy rychlostí). Z obr. 5 (průběhy
tlaků) je zřejmé, že tlak na vstupu je ve všech variantách přibližně stejný.
Varianta B předpokládá homogenní rozložení vzduchu ve vodě, to však není vhodné pro všechny
úlohy s rozpuštěným vzduchem ve vodě, především pak pro úlohy se složitější geometrií. U
varianty C je vzduch modelován jako další (třetí) fáze.
Vznik a vývoj páry závisí na velikosti rychlosti, avšak při maximální rychlosti pára nedosahuje
svého maxima, viz obr. 6 a 7.
GA ČR č. 101/09/1715 Kavitující vírové struktury vyvolané rotací kapaliny.
6. Reference
1. Ansys Fluent Inc. Fluent 12.16– User’s guide. [Online]. c2009. Dostupné z:
<URL:http://sp1.vsb.cz/DOC/Fluent_12.0.16/html/ug/ /main_pre.htm>.
2. Kozubková M., Numerické modelování proudění – FLUENT I. [Online]. c2003. Ostrava:
VŠB – TUO, 116 s, poslední revize 6.1.2005, Dostupné z: <URL:
http://www.338.vsb.cz/seznam.htm>.
3. Kozubková M., Modelování proudění tekutin FLUENT, CFX. Ostrava: VŠB-TU, 2008, 154
s., ISBN 978-80-248-1913-6, (Elektronická publikace na CD ROM)
4. Kozubková M., Drábková S., Modelování proudění oleje jako stlačitelné kapaliny
(hydraulický ráz). In 12. uživatelská konference FLUENT 2006, 7. – 9. březen 2006.
Hrotovice: TechSoft Engineering, 2006, s. 153-160. ISBN 80-239-7211-1.
5. Singhal A.K., Athavale M. M., Li H., Jiang Y., Mathematical Basis and Validation of the Full
Cavitation Model. In Journal of Fluids Engineering, Vol. 124, 2002, p. 617-624.
6. Hružík L., Simulation of Pressure Response in Pipe. Acta Hydraulica et Pneumatica, 2007,
(3), č.1, s. 38 – 42. ISSN 1336-7536.
TechSoft Engineering & SVS FEM