če sxé vvsoxé uče ruí T€cHN tcxé - České vysoké učení technické v

če sxé vvsoxé uče ruí T€cHN tcxé - České vysoké učení technické v

če sxé vvsoxé uče ruí T€cHN
tokul[cr jcrdarnó
Ing.
tcxé
o [pzlkólně inžanQrskó
Jiří MIKYŠKA, Ph,D.
katedra matematiky
íakufta jaderná a tyzikálně inženýrská
.
CESKE VYSOKE UCENI TECHNICKE V PRAZE
Trojanova 73
72000 PRAHA2
Tel.:
E-
(420-) 224 358 553
mai l : j i r i, m i kyska@íjf i. cvut. cz
Posudek diplomové práce Bc. Pavla Hrona
"Numerická simulace dvoufázového proudění v poréznínt
prostředí"
Předložená diplomová práce je věnována numerickému řešení probIému
dvoufázového proudění v poréznm prostředí a je výsledkem spolupráce
Katedry matematiky FJFI ČVUr s Center of ExperimentaI Study of
Subsurface Environmental Processes, CoIorado School of Mines v
Goldenu a Reservoir Engineering Research Institute, Pa1o AIto,
California v této oblastí.
V první kapitole jsou popsány základní pojmy z teorie vícefázového
proudění a odvozeny základní rovnice dvoufázového mode]-u.
Ve druhé kapitole je uveden přehled dostupných formulací,
zjednodušených jednorozměrných problémů,které jsou dále využívány k
testování a je odvozena nová formulace s globálním tlakem. Dále jsou
diskutovány vlastnosti jednotlivých formulací a jsou diskutována
jejich omezení.
Ve třetí kapitole je navržena nová metoda diskretizace dvoufázových
rovnj-c založená na původníkombinaci smíšenéhybridní metody
konečných prvků pro diskretizaci celkového toku a metody konečných
objemů pro diskretizaci transportních rovnic. Časová diskretizace je
provedena Eulerovou metodou. Tento postup vede k ve]_ké soustavě
nelineárních algebraických rovnic, který je linearizován NevÝtonovou
metodou. Velikost výsledného systému líneárních algebraických rovnic
je redukována pomocí hybridizace. Autor popisuje i technické detaily
implementace této metody včetně modifikace Nevýtonovy metody a
adaptivní volby časovéhokroku.
Ve čtvrté kapitole je schéma podrobeno důkladnémutestování a
experimentálnímu ověření konvergence, a to jak v případě bez
kapilárnho tlaku (Buckleyho-Leverettův problém), tak i v případě, že
kapilarita není zanedbána (Mc!,Jhorterův-Sunadův problém). Dále jsou
prezentovány výsledky simulací vtláčeníjedné fáze do dvourozměrné
homogenní oblasti nasycené druhou fází. Tyto výsledky jsou ověřovány
opakovaným výpočtem na jemnějších sítích. Jsou ukázány různépřípady
vtláčení a je diskutován vliv hustoty a rychlosti vtláčenína
rozloženísaturace ve zkoumané oblasti. Na závěr je ukázána úloha, v
nížse obé fáze vyskytují v obou extrémních saturacích. Díky použité
formulaci založenéna globálním tlaku lze simulovat i tuto situaci,
která představovala těžký problém pro modely, které byly na KM FJFI
vyvíjeny doposud.
při obhajobě předkládám následující otázky:
je výpočetnínáročnost použitémetody s ohledem
Pro diskuzi
.
Jaká
.
Moh1 by
sítě a
časovékroky?
na použité
autor komentovat fingering na obrázku 4,24? Objevuje se
tento jev i na jemnějšíchsítích?
Student se práci průběžněintenzivně věnoval, pracovaI
z velké míry
samostatně, pravidelně se zúčastňovalkonzultací, samostatně
nastudoval doporučenou literaturu, a sám vyhledal i některé nedávno
publikované články z dané oblasti. V krátké době zvládl nastudovat a
aktivně využítnetriviální matematický aparát (mj. pokročilépartie
metody konečných prvků, metoda konečných objemů, Newtonova metoda,
Eulerova metoda, metody pro řešení velkých řídkých soustav lineárních
algebraických rovnic). Navrženou numerickou metodu samostatně
implementoval a testoval. Společně jsme se zabýval-i- korektní
formulací problému a zkoumáním vlastností dostupných formulací. V
práci jsem objevil jen malé množstvíjazykových neobratností a
překlepů, které ovšem nesnižujíhodnotu jinak vysoce kvalitní práce.
k výše uvedenému navrhuji hodnotit tuto diplomovou práci
A (výborně).
Vzhledem
známkou
Y Praze, dne 26. ledna
2010
/4"41.Ing. Jiří Mikyška, Ph.D.
česxe vvsoHé uče rui reclxltcxé v pBRz€
fcrkultcr jcrdornó
o fgzikólně inžonQrskó
Posudek na diplomovou práci studenta Matematického inženýrství
Bc. Pavla Hrona
Numerická simulace dvoufázového proudění v poréznírn
prostředí
celkové hodnocení
Předk]ádaná diplomová práce se zabývá numerickým modelováním nestlačitelného a nemísivéhodvoufázového proudění v porézním prostředí s kapilárními jevy, Cflem práce bylo sestavení matematického
modelu (s využitímdoporučené literatury), navrženívhodné numerické metody, její implementace a
aplikace na testovacích úlohách v 1D a 2D.
Úvodem student formuluje fyzikální problém vycházející z Darcyho zákona, zákona zachování hmoty
a modelu pro kapilaritu. V následující kapitole jsou přehledně shrnuty 3 základní formulace - pomocí
saturace a fázového tlaku, pomocí pouze saturace v lD a nakonec pomocí zavedení globálního tlaku.
Formulace s globálním tlakem v Kapitole 2.4 je překvapivě uvedena pro stlačitelnéproudění (přestože
první věta Kapitoly 2 hovoří o nestlačitelném proudění). To samozřejmě není chybou, zbytečně to dle
mého názoru komplikuje zápis a například rovnice (2.20) až (2.26) by pro nestlačitelný případ byly pro
čtenáře přehlednějšími.
V Kapitole 3 je přehledně popsána diskretizace a algoritmus výpočtu numerického řešení. Pominu-Ii
překlepy a nejasnosti (viz níže),jetato kapitola velmi dobře napsaná a její rozčlenění pomáhá snadné
orientaci v jednotlivých krocích diskretizace,
Poslední kapitola obsahuje numerické experimenty, kde je navržené numerické schéma podrobeno
srovnání s přesným řešením a dále použito k simulování vytlačování (těžbě) ropy z horizontálně a vertikálně umístěných rezervoárů. Výsledky prezentovaných numerických simulací jsou zajímavé a ukazují
na typické chování numerických metod s upwindem prvního řádu. Výsledky simulací proudění v rezervoárech dávají poměrně dobrou představu o chování dvoufázového systému v homogenním 2D prostředí
a přestože nebyla možnost je porovnat s experimentálními daty v rámci předložené práce, jsou tyto
výsledky dle mého názoru věrohodné. Z formálního hlediska by tato kapitola zasloužila více pečlivosti ve
svém zpracování (viz níže- napŤ. absence seznamu použitých symbolů, chybějícívýpočetníčasy, jednotky
v obrázcích, jednoznačný popis simulací, . . ,).
Za cenné považuji zvládnutí komplikované problematiky formulace dvoufázového problému § extremálními saturacemi pomocí globálního tlaku a použitímoderní smíšenéhybridní metody při návrhu
numerického schématu. Autor rovněž provedl značnémnožství numerických výpočtů,
Otázky
Do diskuse v rámci obhajoby předkládám autorovi následující otázky:
1, Proč má řešení úlohy s okrajovou podmínkou
S- : I
na obrázku 4.5 na kraji z
:
0 saturaci 0.8?
2, Na straně 50 je nejasně popsán simulovaný problém vzhledem ke zdroji a k odtokové hranici, Jakou
hodnotu má zdrojový člen F-? Tato hodnota by měla být nezávislá na dané síti. Z textu mi není
nejasné, zda pro každézjemnění sítě autor uvažuje zdrojový člen pouze v jednom elementu nebo
je zdrojovou oblastí znázornéná 1/36 oblasti Q na obr, 4.8.
3. V poslední větě na straně 50 autor tvrdí, že ,,Výsledky
numerické metody.". Proč?
..
.
se nehodí k určenířádu konvergence
4. Na straně 53 autor hovoří o výpočetnínáročnosti svého algoritmu, to však nikde není doloženo.
Autor by měl ve své prezentaci uvést orientačnírýpočetníčasy pro konvergenční analýzu 1D a 2D
schématůa popsat použitý hardware,
5. Vtabulkách4.2,4.3,4.4,4.5,4.6,4.7,4.8,4.9,4.I0,4.I3a4.14autorneuvedlE7*pro.9-,přestože
E7* pro p- jsou všude. V jiných tabulkách (např. 4.15, 4,16), s těmito údaji pracuje. Prosím o
vysvětlení a o doplrrění těchto výsledků při prezentaci.
Nalezené nepřesnosti, nejasnosti a překlepy
celek Chybí §eznam použitých symbolů,
S4,
Ř2 ,,...vlastnosti porézníhoprostředí závisína směru proudění...o'- v našem světě toto většinou
platí obráceně.
37, R(1.5) Nekonzistence znaóení zdrojového členu (1.5): pqvs. (2.34a,b)
F.
58, R(1.8) Bylo by dobré odkázat na Obr. 1.1 a okomentovat volbu r.
S10, Ř11 Parametr
S10-11
) bývámezi
3 a 6 pro drainage cycle, a mezi2
a4 pro wetting cycle (exp. datazCESEP).
Inkonzistenceznačeník,n:k,n(,)v(1.18b)(k,"(S,))vs.(1.19b)(k.,(S-))-vizpoužitív(2.3d).
S13, R(2.3) Rovnice (2.3b) je špatně -
(§,) místo (1 - S,) v časovéderivaci.
S15, Ř24 Bylo by dobré doplrrit odkaz/vysvětlit, proč ,,musí" být
v7 konstarrtní.
515-16 Záména značeníSag za §-a vzhledem k McWhorterově a mému článku (:drobnost).
S17, R(2.20) Nejednoznačný zápispři používánísčítacíhoindexu o - buď uzávorkovat faktor před velkou závorkou
nebo ve velké závorce použítjiný sčítacíindex.
S18, R(2.44) Tato nerovnice platí pro efektivní saturaci mezi [0, I]. Zárovefito, že je p dobře definovaná souvisí
až s vysvětlením v sekci 2.5,2, ze samotného integráIu (2.30) to totiž zíejrnénení neboť ),npl" -+ -a
viz (2.4Ib).
S20 Funkce G je vektorová, proto by měla být tučně G (na dalším stranách tomu tak jiZ
S24,
je).
Ř1 Překlep,...je v symetrický ... ".
S27 Na straně 27 míneníjasná metoda, kterou autor nazývá,,mass-lumping".Pokud je mi známo,
je touto metodou označována technika aproximace nějaké matice M diagonáIní maticí D tak, že
diagonál_rrí prvky matice D tvoří součet všech prvků v příslušnéřádce původnímatice M. ByIo by
dobré vysvětlit a doložit citací z literatury tvrzení, že ,,. . . můžebýt výhodné vypočítat integrál
(3.11) pouze přibližně s použitímnumerické integrace...". V uvedeném zdroji [33] jsem nalezl
pouze odkaz na dalšízdroje, které však v práci citovány nejsou. Důvod mého dotazu je především
ten, že ,,mass-lumpedo' matice popsaná autorem se lišíod matice, kterou jsem popsal výše, o faktor
1
S27 Uvedené matice (3.19)-(3.20) a (3.22)-(3.23) nejsou navzájem inverzní, chyba je v prvcíchlofl,,
které by v jedné z lro,ždédvojice matic měly být převrácené.
S28, 3,3
V druhé větě odstavce je 2x použito ,,použita".
S29, Ř13 Nejedná se o dosazení (3.30) do (3.29), nýbrž aproximaci.
S29, 2 Galerking?
S30, Ř16 Jedná se o skalární součin gradientu tlaku s normálovým vektorem, nikoliv ,,skalární součin . . . tlaku
..,
".
S31, R(3.37) Nevhodné značenívlakovaných veličin, které jsou brány jako funkce v (3.35), ale v (3.37,38,39...) už
jako konstanty, anižby byla tato důležitáskutečnost popsána v textu. Navrhuji používatznačení
Ía Pro
S31,
aproximace
Ř7 Chybí vysvětlení f
/
na hraně .E apod..
citace, proč nelze íázové toky vyčíslitjako arit. průměr.
je zavádéjící- proč např. zbytečně mást čtenáře volbou i- :
1, která nedává smysl vzhledem k definicím mobilit? Mnohem lepšíby bylo volbu těchto
S31, Ř13 Popis volby upwindových hodnot
}, :
mobilit popsat v závislosti na směru
Ř16
S31,
,,. .
.
§měr
toku fáze
S31 Chybí vyjádření
..
.".
Í- " k.
S32,
Ř5 Fx,n:0 místo F6,rr.
S33,
Ř2 Proč není tato metoda vhodná pro
S34, Ř16
tl.
řešení systému rovnic? Chybí vysvětlení nebo aspoň citace.
J§ místo J!
S40, T4,1 Chybí hustoty
- formulace s globálním tlakem totižbyla formulována pro nestlačitelrnéproudění
(tedy s hustotami), proto by v této tabulce měly být hustoty uvedeny.
S41
volba počátečnípodmínky tlaku má velký vliv na stabilitu schématu. . . " - toto není dále
diskutováno, V dané úIoze by toto šIo lehce obejít např. znalostí přesného řešení pro tlak
,,. .
.
0o,,,
#:-().,+),)-1K-lu7.
Je tato nestabilita způsobena nekonvergencí Newtonovy metody? Pozoroval autor toto chování i u
jiných úloh?
S44, O4.2 Velmi nepřehledný graf, hodilo by se použítjiný styl grafu, především pak aspoň bílý podklad pro
legendu.
M6, Ř14 Chybí jednotky parametru Á.
S49, O4.7, O4.8 Chybí jednotky v obrázcích.
55l-566 Chybí jednotky v obrázcích.
556,
Ř5 Vodu obvykle nevláčíme ani pomalu, natož rychle.
Hodnocení
Práce je zpracována na odpovídajícíodborné a grafické úrovni, přičemžuvedený §eznam nepřesností
a překlepů v žádnérnpřípadě nesnižuje její vysokou odbornou úroveň v dané problematice. Proto za
předpokladu dostatečného zodpovézenívšech pěti položených otázek nawhuji známku výborně.
!
:-,-]]""
*
""___---,
-'-vul'
-§*
Irrg. Rafiek Pt eit, Ph.D.
Katedra matematiky
Fakulta jaderná a fyzikáIně inženýrská
Českévysoké učenítechnické v Praze
Tlojanova
13
120 00 Praha 2
V Goldenu dne 28. ledna
2011