Y36SAP-2

Y36SAP
26.2.2007
Y36SAP-2
Logické obvody kombinační
Formy popisu
Příklad návrhu
Sčítačka
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
1
Logický obvod
• Vstupy a výstupy nabývají pouze hodnot 0
nebo 1
Kombinační obvod – popsán kombinační funkcí
Hodnoty všech výstupních proměnných jsou v každém časovém okamžiku
určeny pouze hodnotami vstupních proměnných v témže časovém okamžiku
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
2
1
Y36SAP
26.2.2007
Kombinační funkce
Kombinační funkce:
outk = f(i1, i2, i3, … ip), k=1,2,…,m
i1
i2
i3
out1
out2
f
outm
ip
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
3
Základní kombinační prvky - hradla
Wire
Inverter
In Out
0
1
Out = In
In
0
1
A
Out
B
0
0
1
1
A
Out
B
2007-Kubátová
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A
1
1
1
0
A
A
1
1
0
0
Out
B
DeMorgan’s
Theorem
Out = A • B = A + B
1
1
1
0
A
B
Y36SAP-Logické obvody
0
0
1
1
B Out
0
1
0
1
1
0
0
0
Out = A + B = A • B
B Out
1
0
1
0
1
0
NOR Gate
B Out
0
1
0
1
0
1
Out = In
NAND Gate
A
In Out
Out
Out
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A
1
1
0
0
B Out
1
0
1
0
1
0
0
0
4
2
Y36SAP
26.2.2007
Obecná kombinační logická buňka, zpoždění
Vout
A
B
.
.
.
Combinational
Logic Cell
Delay
Va -> Vout
X
Cout
X
X
X
X
X
X
delay per unit load
Internal Delay
Ccritical
Cout
Kombinační buňka (symbol) je plně určena:
– Funkčním chováním (input -> output)
• Pravdivostní tabulka, logická rovnice, ….
– Zatížením vstupů
– Propagačním zpožděním z každého vstupu na výstup a
pro každou změnu signálu
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
5
Návrhový proces
•
•
•
•
•
•
•
•
Specifikace
Určení vstupů a výstupů
Pravdivostní tabulky
Boolovské rovnice
Návrh realizace na úrovni hradel
Simulace na úrovni hradel
Realizace číslicového obvodu
Ověření návrhu
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
6
3
Y36SAP
26.2.2007
Základní pojmy logické syntézy
•
Logické funkce a jejich reprezentace, formy
popisu a jejich vzájemný převod
–
–
–
–
•
tabulka
n-rozměrné krychle
algebraický zápis
mapy
Logická minimalizace –
•
•
•
Karnaughova mapa
(metoda Quine-McCluskey)
Realizace na úrovni hradel
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
7
Boolovská n-krychle (cube) Bn
• B = { 0,1}
• B2 = {0,1} X {0,1} = {00, 01, 10, 11}
B0
B2
B1
B4
B3
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
8
4
Y36SAP
26.2.2007
Booleovské funkce
n
f(x) : B
B
B = {0, 1}, x = (x1, x2, …, xn)
• x1, x2, … jsou proměnné - variables
• x1, x1, x2, x2, … jsou literály - literals
n
• Každému vrcholu B je přiřazena 0 nebo 1
– onset f je {x|f(x)=1} =f 1 = f -1(1)
– offset f je {x|f(x)=0} =f 0 = f -1(0)
• jestliže f 1 = Bn, f je tautologie, tzn. f ≡ 1
n
• jestliže f 0 = B (f 1 = ∅), f není splnitelná
• jestliže f(x) = g(x) pro všechna x ∈Bn, pak f a g jsou
ekvivalentní
Obvyklé zjednodušení: f namísto f 1
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
9
Literály
Literál je proměnná nebo její negace
y, y
Literál reprezentuje logickou funkci.
Literál x1 reprezentuje logickou funkci f,
kde
f = {x| x1 = 1}
f = x1
g = x1
x1
x1
Literál x1 reprezentuje logickou
funkci g, kde
g = {x| x1 = 0}
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
10
5
Y36SAP
26.2.2007
Boolovské formule - výrazy
Boolovské formule (Boolean formulas) mohou být
reprezentovány formulemi definovanými jako zřetězení
• závorek ( , )
• literálů x, y, z, x, y, z
• Boolovských operátorů + (OR), . (AND)
• komplementace, např. x + y
Příklady
f = x1 . x2 + x1 . x2 = (x1+x2) . (x1+x2)
h = a + b . c = a . (b + c)
Obvykle nahrazujeme . jen zřetězením, a . b → ab
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
11
Logické funkce
Existuje 2n vrcholů v prostoru Bn
111
x3
x2
000
x1
000
1
001
0
010
1
011
0
100 ⇒ 1
101
0
110
1
111
0
n
2
Existuje 2 různých logických funkcí
Každá podmnožina vrcholů tvoří jinou logickou funkci:
f ⊆ Bn
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
12
6
Y36SAP
26.2.2007
Logické funkce
• Ale existuje nekonečně logických formulí
f=x+y
= xy + xy + xy
= xx + xy + y
= (x + y)(x + y) + xy
• Syntéza – nalezení "nejlepší" formule
(nebo “reprezentace”) z hlediska cílové platformy
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
13
Boolovské operace AND, OR, KOMPLEMENT
f : Bn → B
g : Bn → B
• AND - fg = h kde
h = {x| f(x)=1 and g(x)=1}
• OR - f + g = h kde
h = {x| f(x)=1 or g(x)=1}
• KOMPLEMENT - f = h kde
h = {x| f(x) = 0}
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
14
7
Y36SAP
26.2.2007
Úpravy algebraických výrazů
Shannonův expanzní teorém:
f (a, b,...., c) = a. f (1, b,..., c) + a . f (0, b,..., c)
Důkaz: platí pro všechna a .....
Důsledek:
∀a ∈ {0,1}
f (a, b,...., c) = a.g (b,..., c) + a .h(b,..., c)
Každá logická funkce se dá zapsat pomocí
logického součtu, součinu a negace
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
15
Y36SAP-Logické obvody
16
Booleeova agebra:
BA = {B,+,•, ,0 ,1}
B = {0,1}
x, y , z ∈ B
a platí Huntingtonovy
axiomy
2007-Kubátová
8
Y36SAP
26.2.2007
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
17
Krychle - cube
• Logický součin (AND) množiny literálů
(“conjunction - konjunkce” literálů) je krychle
C = xy
C = (x=1)(y=0)
ale může to být i samotný literál
z
y
x
x =1
2007-Kubátová
y =0
Y36SAP-Logické obvody
xy
18
9
Y36SAP
26.2.2007
Reprezentace Boolovských funkcí
• Pravdivostní tabulka funkce f : Bn → B je vyjádření jejich
hodnot všech 2n vrcholů z Bn.
abcd f
• Pro
0 0000 0
f = abcd + abcd + abcd + abcd + abcd +
1 0001 1
2 0010 0
abcd + abcd + abcd
Pravdivostní tabulka (truth table):
Nepoužitelná pro velká n
(ale je kanonická - canonical)
Kanonická znamená: když jsou dvě funkce
stejné, je jejich kanonická
reprezentace izomorfní.
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
3 0011 1
4 0100 0
5 0101 1
6 0110 0
7 0111 0
8 1000 0
9 1001 1
10 1010 0
11 1011 1
12 1100 0
13 1101 1
14 1110 1
15 1111 1
19
Pravdivostní tabulka
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
20
10
Y36SAP
26.2.2007
Logický obvod
•
•
•
•
Dvojkové signály – 0 a 1
Číslicový návrh
Číslicové obvody – logické obvody
Realizace základních bloků číslicového
počítače – obecněji číslicového systému a jejich komunikace
• Kombinační obvody x sekvenční obvody
• Práce s moderními návrhovými systémy
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
21
Jednotlivé fáze návrhového
procesu pro číslicové systémy
•
•
•
•
•
•
•
•
Specifikace
Příklad 1, sl. 23 - 25
Určení vstupů a výstupů
Pravdivostní tabulky
Příklad 1, sl. 26-31
Booleovské rovnice
Návrh realizace na úrovni hradel Příklad 1, sl. 32-35
Simulace na úrovni hradel
Realizace číslicového obvodu
Ověření návrhu
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
22
11
Y36SAP
26.2.2007
Příklad 1
Co ?
Chci sčítat …
Co chci
dostat?
JAK ???
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
23
Příklad 1
Dvojkové
číslo S =
A+B
Dvojková
čísla A a B
JAK - číslicově
Dvojková čísla budou nejprve 1 bitová, tzn.:
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, ale pozor 1+1=10 !!!
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
Přenos !!!
24
12
Y36SAP
26.2.2007
Příklad 1
a
s
b
Σ
p
2007-Kubátová
q
Y36SAP-Logické obvody
25
Příklad 1 - intuitivně
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
2007-Kubátová
p
0
1
0
1
0
1
0
1
q
0
0
0
1
0
1
1
1
s
0
1
1
0
1
0
0
1
s = abp + abp + abp + abp
q = abp + abp + abp + abp
Y36SAP-Logické obvody
Úpravy výrazů na tabuli:
26
13
Y36SAP
26.2.2007
Příklad 1 – stavový index
si
0
1
2
3
4
5
6
7
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
p
0
1
0
1
0
1
0
1
2007-Kubátová
q
0
0
0
1
0
1
1
1
S
0
1
1
0
1
0
0
1
SOP – Úplná normální
disjunktivní forma
q = abp + abp + abp + abp
p
b
a
si – stavový index
Y36SAP-Logické obvody
27
Příklad 1 - krychle
si
0
1
2
3
4
5
6
7
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
2007-Kubátová
p
0
1
0
1
0
1
0
1
q S
0 0
0 1
0 1
1 0
0 1
1 0
1 0
1 1
SOP – Úplná normální
disjunktivní forma ÚNDF
q = abp + abp + abp + abp
bp
p
ap
ab
b
a
SOP – Minimální normální
disjunktivní forma MNDF
Y36SAP-Logické obvody
q = bp + ap +ab
28
14
Y36SAP
26.2.2007
Mapy
Svobodova mapa
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
Karnaughova mapa
29
Zápis do mapy – podle
přiřazení proměnných,
tzn. proužků, které vyjadřují
kdy nabývá proměnná hodnotu 1
Minimalizace v mapě – viz →
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
30
15
Y36SAP
26.2.2007
Změna velikosti mapy – zvyšování
počtu proměnných
Karnaughova
Svobodova
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
31
Realizace pomocí hradel
Hradla
A .B = P …. and
C .D = P
2007-Kubátová
E+F = R … or, V
G xor H = S
Y36SAP-Logické obvody
32
16
Y36SAP
26.2.2007
Funkce hradel, Booleova algebra
NAND Gate
NOR Gate
Invertor
A
Out
In
B
Out
A
Out
B
Out = In
A
0
0
1
1
B Out
0
1
0
1
A
1
1
1
0
2007-Kubátová
B
Out
In Out
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
Y36SAP-Logické obvody
33
Funkce hradel, Booleova algebra
OR Gate
XOR Gate
XOR Gate
A
AND Gate
AND Gate
Out
G
H
S
A
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
2007-Kubátová
A
Out
B
B
B Out
0
1
0
1
0
1
1
1
Y36SAP-Logické obvody
A
0
0
1
1
B Out
0
1
0
1
0
0
0
1
34
17
Y36SAP
26.2.2007
Sčítačka
p
S
q
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
35
Sčítačka-jiné řešení
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
36
18
Y36SAP
26.2.2007
Sčítačka - ještě jiné řešení
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
37
•
•
•
•
•
•
•
•
Specifikace
Určení vstupů a výstupů
Pravdivostní tabulky
Booleovské rovnice
Návrh realizace na úrovni hradel
Simulace na úrovni hradel
Realizace číslicového obvodu
Ověření návrhu
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
automatizováno
Programovatelné obvody
38
19
Y36SAP
26.2.2007
Kombinační x sekvenční obvody
• Kombinační – vystup je dán kombinací
vstupů, „nezáleží“ na čase
• Sekvenční – výstup závisí na posloupnosti
(sekvenci) hodnot na vstupech, realizuje
se tzv. zpětnou vazbou
• Vše lze matematicky popsat
– Logická funkce
– Konečný automat - FSM
2007-Kubátová
Y36SAP-Logické obvody
39
20