Matematika I/1 BA06

Vysoké učení technické v Brně
Stavební fakulta
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
Matematika I/1 BA06
Cvičení, zimní semestr
DOMÁCÍ ÚLOHY
Jan Šafařík
Brno
c 2014
1
(1) Určete rovnici kručnice o poloměru r, procházející počátkem, jestliže S[3; 2].
[ (x − 3)2 + (y − 2)2 = 13 ]
(2) Znázorněte parabolu x2 − 10x − 9y + 61 = 0.
[ (x − 5)2 = 9(y − 4) ]
(3) Znázorněte množinu x2 − 4x + 4y ≤ 0, x2 − 4x + y 2 ≤ 0.
[ (x − 2)2 ≤ −4(y − 1), (x − 2)2 + y 2 ≤ 22 ]
(4) Zjednodušte výraz
sin x+sin 2x
.
1+cos x+cos 2x
[ tg x, cos x 6= − 12 , x 6=
π
2
+ kπ ]
(5) Určete sudost, lichost funkce f .
a) y = x2
b) y = x1
c) y = 2x − 1
[ funkce je sudá ]
[ funkce je lichá ]
[ funkce není sudá, ani lichá ]
(6) Nakreslete graf funkce y = f (x), jestliže

x ∈ (−∞; −1)
 1
x2
x ∈ h−1; 1i
a) f (x) =

3 − 2x x ∈ (1.5; 2i
b) y = 3 sin x
c) y = sin 2x
d) y = −3 sin(x + 3π)
e) y = −2 sin( 13 x + 56 π)
f) y = − sin(x + 3π)
(7) Pomocí Hornerova schematu určete funkční hodnotu polynomu f v bodě x0 .
a) f : y = x3 − 3x2 − 3x − 5, x0 = 2
b) f : y = x5 − 3x4 + 7x2 + 2, x0 = 2
[ −15 ]
[ 14 ]
(8) Ukažte, že číslo x0 = −2 je dvojnásobným kořenem polynomu f : y = x3 + 3x2 − 4.
2
(9) Najděte všechny reálné kořeny polynomu f .
a) f : y = x5 − 3x4 − x3 + 11x2 − 12x + 4
b) f : y = x5 + 6x4 + 9x3 − 3x2 − 10x − 3
c) f : y = 3x4 + 2x3 − 28x2 − 18x + 9
[ 1, 1, 1, 2, −2
]
√
−3± 5
[ 1, −1, −3, 2 ]
[ 31 , −1, 3, −3 ]
(10) Vyjádřete racionální funkci jako součet polynomu a ryzí racionální funkce.
a) f : y =
2x6 − 9x4 + 4x3 + 8x2 − 7x + 4
x4 − 3x2 + 2x − 1
NP) f : y =
c)
[ = 2x2 − 3 +
x2 − x + 1
]
x4 − 3x2 + 2x − 1
85
2
1 2
[ = − − + 12 + 3 ]
4 x 4x − 1 x + 2
1
1
1
[=− − 2 +
]
x x
x−2
4 − x3
4x3 + 7x2 − 2x
x+2
,
− 2x2
x3
(11) Napište tvar rozkladu funkce f v součet parciálních zlomků.
x2 + 4x − 18
(x − 1)3 x8 (x2 + 1)2
A1
A2
A3
B1 B2 B3 B4 B5 B6
[f :y=
+
+
+
+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6+
2
3
x − 1 (x − 1)
(x − 1)
x
x
x
x
x
x
2
B7 B8 C1 x + D1 C2 x + D2 C3 x + D3
x + 4x − 18
+ 7 + 8 +
+ 2
+ 2
=
]
2
2
3
x
x
x +1
(x + 1)
(x + 1)
(x − 1)3 x8 (x2 + 1)2
3x4 + 2x
b) f : y = 2
(x + 1)2 (3x + 1)2 x3
C1
C2
D1 D2 D3
A1 x + B1 A2 x + B3
+ 2
+
+
+
+ 2 + 3 ]
[f :y=
2
2
2
x +1
(x + 1)
3x + 1 (3x + 1)
x
x
x
NP) f : y =
(12) Rozložte racionální funkci v součet polynomu a parciálních zlomků.
4x2 + 9x − 1
x3 + 2x2 − x − 2
2x3 − 2x2 + 5
b) f : y =
x2 − 2x
a) f : y =
[=
A
x−1
+
B
x+1
+
C
x+2
=
2
x−1
+
[ = 2x + 2 −
3
x+1
51
2x
+
1
x+2
]
13 1
2 x−2
]
−
(13) Vypočtěte limity funkcí:
x3 − 4x2 + 5x − 2
x→1
x5 − 3x + 2
sin 3x
b) lim
x→0 sin 2x
a) lim
[0]
[
3
]
2
3
|4 − x|
x→4 x − 4
c) lim
[ neexistuje, lim+
x→4
|4 − x|
|4 − x|
= 1, lim−
= −1 ]
x→4
x−4
x−4
(14) Vypočtěte limity složených funkcí:
a) lim ln sin3 2x
[ − ln 8 ]
x→π/12
1
b) lim− arctg
x→0
x
x+1
x−1
c) lim
x→1
x2 − 1
[ − π2 ]
[
1
4
]
(15) Vypočtěte limity typu k0 :
2x − 1
x→3 9 − x2
x+1
b) lim−
x→0 sin x
cos x
c) lim
x→0 sin x
[ −∞ ]
a) lim+
[ −∞ ]
[ neexistuje, lim−
x→0
cos x
cos x
= −∞, lim+
=∞]
x→0 sin x
sin x
(16) Vypočtěte limity v nevlastním bodě:
3x2 − 2x + 4
x→∞ 2x4 − 3x3 − 1
5x6 + 2x4 − x
b) lim
x→−∞
4x3 − x
x2
b) lim x arctg 2
x→∞
x +4
[0]
a) lim
[ −∞ ]
[∞]
NP S použitím definice derivace určete derivaci f 0 (x) funkcí:
a) f (x) =
b) f (x) =
√
3
x
x−1
3x2
1
[ D(f ) = R, f 0 (x) = √
, D(f 0 ) = R − {0} ]
33x
2−4
[ D(f ) = R − {0}, f 0 (x) =
, D(f 0 ) = D(f ) ]
3
3x
(17) Určete derivaci f 0 (x) a definiční obory D(f ), D(f 0 ) funkcí:
a) f (x) =
4x7 + 3x5 − 2x4 + 7x − 2
3x4
[ D(f ) = R − {0}, f 0 (x) =
12x7 + 3x5 − 21x + 8
, D(f 0 ) = D(f ) ]
3x5
4
b) f (x) = (x3 + 8)(x − 2)
ex − 1
c) f (x) = x
e +1
1
d) f (x) =
2
log(3x + x + 1)
[ D(f ) = R−{0, − 13 }, f 0 (x) =
[ D(f ) = R, f 0 (x) = 4x3 − 6x2 + 8, D(f 0 ) = D(f ) ]
2ex
[ D(f ) = R, f 0 (x) = x
, D(f 0 ) = D(f ) ]
(e + 1)2
(3x2
6x + 1
, D(f 0 ) = D(f ) ]
+ x + 1) ln 10 log2 (3x2 + x + 1)
(18) Určete první a druhou derivaci f 0 (x), f 00 (x) a příslušné definiční obory funkcí:
√
a) f (x) = x x2 + 3
2x2 + 3 00
x(2x2 + 9)
, D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = R ]
[ f 0 (x) = √
, f (x) = p
x2 + 3
(x2 + 3)3
r
1 − sin x
b) f (x) = ln
1 + sin x
1
sin x
[ f 0 (x) = −
, f 00 (x) = − 2 , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = R − { π2 + kπ, k ∈ Z} ]
cos x
cos x
(19) Určete druhou derivaci f 00 (x) a příslušné definiční obory funkcí:
1
, D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = (0, ∞) ]
x
√
x
, D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = R ]
b) f (x) = arctg(x − x2 + 1) [ f 00 (x) = − 2
(x + 1)2
a) f (x) = x(ln x − 1)
[ f 00 (x) =
(20) Najděte rovnici tečny t a normály n ke grafu funkce y = f (x):
a) f (x) = e−x cos 2x v bodě A = [0, ?]
[ t : x + y − 1 = 0, n : x − y + 1 = 0 ]
x
2
b) f (x) = e + 1, je-li t rovnoběžná s přímkou x − 2y + 1 = 0
[ t : x − 2y + 3 = 0, n : 4x + 2y − 3 = 0 ]
NP Najděte přírůstek funkce ∆f a diferenciál df v čísle x0 pro přírůstek ∆x:
f (x) = arccotg x, x0 = 1, ∆x = 0.2
[ ∆f = −0.09; df (x0 ) = −0.1 ]
NP Vypočítejte diferenciál funkce df v bodě x pro přírůstek h:
√
4x + 3 x
2
√
3
24x x2 + 1
√
[ df (x, h) =
h]
3
3 x2
5
(21) Napište následující funkce užitím MacLaurinova polynomu n-tého stupně:
x2 x4 x6
[ T6 (x) = − −
−
]
2
12 45
1
1
5 4
1
x ]
[ T4 (x) = 1 + x − x2 + x3 −
2
8
16
128
a) f (x) = ln(cos x), n = 6
b) f (x) =
√
x + 1, n = 4
(22) Napište následující funkce užitím Taylorova polynomu n-tého stupně v okolí bodu
x0 :
1
, x0 = 2, n = 3
x
√
3
b) f (x) = x2 , x0 = 1, n = 3
a) f (x) =
1 x − 2 (x − 2)2 (x − 2)3
−
+
−
]
2
4
8
16
2(x − 1) (x − 1)2 4(x − 1)3
[ T3 (x) = 1 +
−
+
]
3
9
81
[ T3 (x) =
(23) Vypočítejte přibližně následující funkční hodnotu pomocí Taylorova polynomu n-tého
stupně Tn v okolí x0 :
ln 2, x0 = 1, n = 10
[ f (x) = ln x, T10 (x) =
10
X
(−1)k−1
k=1
k
.
.
(x − 1)k , ln 2 = T10 (2) = 0.646 ]
(24) Vypočtěte s pomocí L’Hospitalova pravidla:
x2 − 1
x→1 x3 − 2x2 + 2x − 1
e2x
b) lim 3
x→∞ x
ln(1 + x)
c) lim 2x
x→∞ 3
−1
x−1
d) lim
x→1 ln x
a) lim
[2]
[∞]
[0]
[1]
(25) Vypočtěte limity typu 0 · ∞:
a) lim+ x ln x
[0]
b) lim xex
[0]
x→0
x→−∞
6
(26) Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce.
(x − 1)3
y=
(x + 1)2
[ x = −1, y = x − 5 ]
(27) Vyšetřete průběh funkce.
x2
x2
nebo
f
(x)
=
x2 − 1
x2 − 4
x3 − 3x2 + 3x + 1
NP) f (x) =
x−1
3
1−x
d) f (x) =
x2
e) f (x) = x + 2 arccotg x
a) f (x) =
NP) f (x) =
x2
1+x
1
x
1 − x2
NP) f (x) = arcsin
1 + x2
NP) f (x) = arctg



4 1 1
1 2 1
(28) Jsou dány matice A =  2 1 2 , B =  −4 2 0 . Vypočtěte matici
1 2 1
1 2 3
AB − BA.


−10 −4 −7
14 4  ]
[ AB − BA =  6
−7 5 −4


3 2 1 −1
 2 1 0
0 

(29) Určete hodnost matice A = 
 0 1 −3 2 
−2 0 3
0

[ h(A) = 4 ]
(30) Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic:
x1
2x1
x1
x1
+ 2x2
+ x2
− x2
+ 2x2
− x3
+ x3
− x3
+ 2x3
− 2x4
+ x4
+ x4
− x4
= −2
=
8
=
1
=
4
[ (1; 2; 1; 3) ]
7
(31) Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic:
x1
x1
3x1
2x1
x1
+
−
−
+
+
7x2
2x2
2x2
9x2
5x2
+ 5x3
− x3
+ x3
+ 8x3
+ 3x3
+ 2x4
− x4
− x4
+ 3x4
+ x4
sin x
(32) Vypočtěte determinant A = sin y
sin z
=
=
=
=
=
1
1
1
4
5
13 [ (t + 5; 2/3; −t − 1; 2t − 1/3), t ∈ R ]
7
5
cos x cos y .
cos z [ sin(x − z) + sin(z − y) + sin(y − x) ]
1 1
1
1
1
2 3
4
5
6
36 .
NP Vypočtěte Vandermondův determinant A = 4 9 16 25
8 27 64 125 216 16 81 256 625 1296 [ 288 ]
NP Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic:
x1 + 2x2 + 4x3 + = 31
5x1 + x2 + 2x3 + = 29
[ (3; 4; 5) ]
3x1 − x2 + x3 + = 10




1 0 1
1 2 0
(33) Jsou dány matice A =  0 1 3  a B =  2 3 1 . Spočtěte A−1 ,
3 3 1
0 0 1
NP: B −1 , B −1 · A−1 , (A · B)−1 , A−1 · B −1 , (B · A)−1 .

[ A−1



0 −1 1
1 −2 6
=  0 1 −3 , B −1 =  − 13 23 − 13 ,
0 0
1
1
1 −1


0 −1 4
 1 4

−1 −1
B A =  − 3 3 − 13
= (AB)−1 ,
3 
1 −1 2


20
11
13
−
3
3
 3

7
8
A−1 B −1 =  − 10
−
 = (BA)−1 ]
3
3
3
1
1 −1
8
2
(34) Řeštematicovou
X, jestliže
rovnici
A ·X +
B = Cpro neznámou
2 1
7 −5
3 −2
A=
,B=
,C=
.
5 −2
4 2
5 −7
A2 · X + B = C
A2 · X = C − B
X = (A2 )−1 · (C − B)
/ − B zprava
/ · A−1 zleva
1
[X=
9
NP Řeštematicovou
2 −1

−2 0
A=
3 −3
−4 3
1 −9
]
rovnici
· A = B pro neznámou
X, jestliže
 A · X

1
4 −3 2
−1 , B =  −5 5 −1 .
0
−3 3
3
A·X ·A = B
X · A = A−1 · B
X = A−1 · B · A−1
/ · A−1 zleva
/ · A−1 zprava

1
1 0
[ X =  −1 0 1  ]
0 −1 1
(35) Zjistěte zda jsou dané vektory lineárně závislé: ~a = (1; 1; −5), ~b = (−3; −3; 1),
~c = (0; 1; 2), d~ = (5; 6; 7).

[ jsou lineárně závislé]
(36) Vektor ~c = (3; 2; 1) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů ~u1 = (1; 1; 3), ~u2 =
(2; 1; −2), ~u3 = (4; 2; 1).
[ ~v = ~u1 + ~u2 ]
NP Určete vlastní čísla (spektrum) a vlastní vektory matice


3 −1 0 0
 1 1 0 0 

A=
 3 0 5 −3  .
4 −1 3 −1
[ λ1,2,3,4 = 2, (u − v; u − v; v; u)T ]
9
(37) Určete vlastní čísla (spektrum) a vlastní vektory matice


0 −2 3
2
 1 1 −1 −1 
.
A=
 0 0
2
0 
1 −1 0
1
[ λ1,2 = 0, (0; s; 0; s)T ; λ3,4 = 2, (t; 0; 0; t)T ]
NP Určete zda následující matice z
závislé nebo lineárně nezávislé:



1 0 3
5



1 2 1 , A2 =
2
A1 =
2 0 1
3
vektorového prostoru V = M at3,3 (R) jsou lineárně





−1 3
2 −1 0
1 0 0
3 3 , A3 =  1 −1 2 , A4 =  0 1 0  .
1 4
1 1 1
0 0 1
[ jsou lineárně závislé ]
(38) Určete objem rovnoběžnostěnu s vrcholy dolní podstavy A = [3; 4; 0], B = [9; 5; −1],
C = [1; 7; 1], jestliže krajní bod hrany AE je E = [3; 2; 5].
[ V = |[~a · ~b · ~c]| = 108 ]
NP Jsou dány body A = [1; 1; 4], B = [4; 2; 2], C = [1; 2; 6]. Určete jednotkový vektor
−→ −→
~v 0 kolmý k vektorům AB, AC.
1
0
[ ~v1,2
= ± √ (4~i + 6~j + 3~k) ]
61
(39) Vypočtěte objem čtyřstěnu s vrcholy A = [1; −5; 4], B = [0; 3; 1], C = [−2; −4; 3],
D = [−4; 4; −2; ] a vzdálenost v vrcholu A od stěny BCD.
[V =
41
41
,v = √
]
6
1457
(40) Napište obecnou rovnici roviny procházející bodem A = [23; 3; −4] a přímkou p.

 x = 8 − 2t
y = 5t
p=
 z = −3 − 4t
[ 7x − 62y − 81z − 299 = 0 ]
10
(41) Je dána rovina σ : 22x − 43y − 17z = 0, rovina ω : −2x + 3y + z + 5 = 0 a rovina α
určená body A = [1; 3; 0], B = [2; 2; 1], C = [4; 12; −1]. Vypočítejte úhel společných
přímek rovin σ, ω a rovin σ, α.
[ 90◦ ]
11
Reference
[1] Novotný J.: Matematika I - Základy lineární algebry, CERM, FAST VUT Brno 2004.
[2] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkce jedné reálné promenné, CERM,
FAST VUT Brno 2004.
[3] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkcí více reálných promennch, CERM,
FAST VUT Brno 2004.
[4] Tryhuk, V. - Dlouhý, O.: Matematika I, Vybrané části a aplikace vektorového počtu, Modul GA01 M01,
CERM, FAST VUT Brno 2007.
[5] Chrastinová, V.: Matematika, Vektorvá algebra a analytická geometrie, Modul 3, studijní opory pro
studijní programy s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno,
2004.
[6] Daněček, J. - Dlouhý, O.: Integrální počet I, CERM, FAST VUT Brno 2003.
[7] Tryhuk, V.: Matematika I1 - Úvod do matematické logiky a teorie množin, CERM, FAST VUT Brno
1994.
[8] Tryhuk, V.: Matematika I2 - Reálná funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 1994.
[9] Veverka, J. - Slatinský E.: Matematika I3 - Diferenciální pocet funkce jedné reálné promenné, CERM,
FAST VUT Brno 1995.
[10] Novotný J.: Matematika I4 - Lineární algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995.
[11] Horňáková, D.: Matematika I5 - Vektorová algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995.
[12] Horňáková, D.: Matematika I6 - Analytická geometrie, CERM, FAST VUT Brno 1995.
[13] Voráček, J.: Matematika I7 - Neurčitý integrál, CERM, FAST VUT Brno 1995.
[14] Voráček, J.: Matematika II1 - Určitý integrál a jeho užití, CERM, FAST VUT Brno 1995.
[15] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Koutková, H. - Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů
z matematiky I., CERM, FAST VUT Brno 1994.
[16] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II.,
CERM, FAST VUT Brno 1994.
[17] Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky III., CERM, FAST VUT
Brno 1995.
[18] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001,
http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/diferencialni pocet/.
[19] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Integrální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001,
http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/integralni pocet/.
[20] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 1982.
[21] Eliaš, J. - Horvát, J. - Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky, 1. časť, SVTL, Bratislava 1965.
[22] Černá, B.: Cvičení z lineární algebry, MZLU v Brně, Brno 1998.
[23] Jelínek, Z. - Samotná O.: Matematika - Integrální počet, Skriptum VŠ zemědělské v Brně, SPN, Praha
1985.
[24] Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I, SNTL/ALFA, Praha
1987.
[25] Karásek, J. - Maroš, B.: Integrální počet, Matematika - Metodické pokyny pro cvičení, CERM, FAST
VUT Brno 1994.
[26] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 1978.
[27] Vosmanská, G.: Matematika, MZLU v Brně, Brno 1997.
[28] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 1, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie,
Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/skripta.pdf.
[29] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 2, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie,
Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta2/skripta2.pdf.