Kapitola 1 Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty

Kapitola 1 Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty

Kapitola 1
Jednokriteriální rozhodování za rizika a
nejistoty
U jednokriteriálních úloh je vždy pouze jedno kritérium optimality, a to buď maximalizační nebo
minimalizační. Varianty rozhodování jsou zadány
1. implicitně – podmínkami, které musí být splněny (viz úlohy lineárního programování s jednou
účelovou funkcí)
2. explicitně – je dán seznam variant, mezi kterými se má řešitel rozhodnout
V našem kurzu se budeme věnovat explicitnímu zadání variant. Cílem je tedy vybrat ze všech variant
variantu nejvýhodnější. Musíme znát následující údaje:
a) kritérium rozhodování,
b) seznam m variant V1 , V2 , . . . , Vm ,
c) seznam n situací S1 , S2 , . . . , Sn ,
d) m × n důsledků dij (důsledek výběru varianty Vi při situaci Sj ).
Statický (jednoetapový) rozhodovací problém se zobrazuje pomocí rozhodovací matice. Řádky
v rozhodovací matici se vztahují k variantám, sloupce se vztahují k situacím a prvky matice dij
představují důsledky výběru varianty Vi při situaci Sj . Obecně můžeme rozhodovací matici zapsat
takto:
V1
V2
...
Vm
S1 S2
d11 d12
 d21 d22

 ... ...
dm1 dm2

...
...
...
...
...
Sn
d1n
d2n
...
dmn




Jeden rozhodovací jednokriteriální problém je popsaný v příkladu 1. Na tomto problému budeme
ilustrovat různé postupy rozhodování.
Příklad 1. Majitel cestovní kanceláře se rozhoduje, jakou variantu zvolit - kolik má objednat míst
v hotelu (25, 30, 35, 40), když přesně neví, jaká situace nastane - kolik zájemců o zájezd se přihlásí
(25, 30, 35, 40). Od jedné přihlášené osoby bude vybírat 10000 Kč. Skutečné náklady na jednu osobu
jsou 6000 Kč. V případě přebytečně objednaných míst musí počítat se ztrátou 1000 Kč na jedno
místo. Důsledky výběru jednotlivých variant v jednotlivých situacích (realizovaný zisk v tis.Kč) jsou
v následující matici.
1
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
V1
V2
V3
V4
S1
100
 95

 90
85

S2
100
120
115
110
S3
100
120
140
135
S4
100
120
140
160
2




Prvky matice se vypočítají následujícím způsobem. Pokud poptávka převyšuje nabídku nebo je
rovna nabídce (P ≥ N ), zisk neboli důsledek rozhodnutí dij = 4000N Kč, kde N je počet nabízených míst. Pokud je poptávka menší než nabídka (P < N ), zisk - důsledek rozhodnutí dij =
4000P − 1000(N − P ) Kč, kde P je počet zájemců.
4
Kritérium v tomto příkladu je výnosového typu (maximalizační). Vyhodnocením prvků rozhodovací matice lze dospět k preferenčnímu uspořádání variant, tj. k jejich seřazení podle výhodnosti
z hlediska daného kritéria hodnocení. Skutečnost, že varianta Vi má přednost (je preferována) před
variantou Vh , značíme Vi Vh . Jestliže mezi danými situacemi je taková, která určitě nastane (nastane s pravděpodobností 1), hovoříme o rozhodování za jistoty. V tomto případě se rozhodovací
matice zredukuje jen na jeden sloupec a je zřejmé, že největší (nejmenší) číslo v tomto sloupci určuje
nejvýhodnější variantu rozhodnutí vzhledem ke kritériu výnosového (nákladového) typu.
Jako určitá podpora rozhodovatele pro hodnocení rizikových variant při jediném kritériu byla navržena pravidla, jejichž charakter se liší podle toho, zda známe či neznáme pravděpodobnosti, s jakými
nastanou jednotlivé situace. Jestliže známe pravděpodobnosti, s jakými nastanou uvažované situace,
hovoříme o rozhodování za rizika (pravděpodobnosti můžeme určit například z historických dat
– počasí, zájem o dovolenou,. . . ). Pokud tyto pravděpodobnosti neznáme, jde o rozhodování za
(úplné) nejistoty.
Zvláštním případem hodnocení rizikových variant z hlediska jednoho kritéria jsou úlohy typu
portfolio, v nichž jde o optimální výběr souboru rizikových variant, které nárokují tytéž omezené
zdroje. S výběrem tohoto souboru úzce souvisí otázka snížení celkového rizika tzv. diverzifikací,
tj. vytvořením většího počtu realizovatelných rizikových variant se stejným očekávaným výnosem.
Postup při řešení úloh typu portfolio a jeho aplikaci na optimální alokaci peněžních prostředků do
souboru cenných papírů uvádí Fotr 1992.
Vedle statických (jednoetapových) jednokriteriálních rozhodovacích problémů existují jednokriteriální problémy víceetapové, v nichž důsledky rozhodnutí v každé etapě ovlivňují výběr variant
v etapách následujících. Vhodnou pomůckou pro zobrazení a analýzu těchto problémů jsou rozhodovací stromy.
Pomocí rozhodovací matice a rozhodovacího stromu lze zobrazit důsledky rizikových variant v případě, že faktory rizika mají diskrétní povahu (diskrétní rozdělení, viz Statistika). Jestliže faktory
rizika představují spojité náhodné veličiny, pro stanovení důsledků rizikových variant lze využít
počítačovou simulaci. Tento přístup vyžaduje matematické vyjádření závislosti zvoleného kritéria
hodnocení na faktorech rizika a znalost rozdělení jejich pravděpodobnosti.
1.0.1
Dominovanost
Mnohdy nelze u rozhodování za rizika a nejistoty (a stejně tak při vícekriteriálním rozhodování)
jednoznačně určit optimální variantu. Výběr optimální varianty je často subjektivní záležitostí, jiný
rozhodovatel by na základě svých preferencí a znalostí zvolil jinou variantu za optimální a nelze říci,
že by jeden měl pravdu a druhý nikoliv. Ovšem každá varianta, která je zvolena jako optimální musí
být tzv. nedominovaná.
Definice 1. Řekneme, že varianta je dominovaná, pokud k ní existuje varianta, která je v jednom
z uvažovaných kritérií lepší a ve všech ostatních stejná nebo lepší. Variantu nazveme nedominovanou, pokud k ní neexistuje žádná, která ji dominuje.
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
1.1
3
Rozhodování za jistoty
Mezi situacemi je taková, která určitě nastane. Rozhodovací matici zredukujeme na jeden sloupec
a největší (nejmenší číslo) určí nejvýhodnější variantu rozhodování vzhledem k příslušnému kritériu
optimálnosti. Například pokud byste věděli, že se na zájezd přihlásí 30 lidí, potom byste objednali
30 míst v hotelu a dosáhli byste maximálního možného zisku 120 tis.Kč.
1.2
Rozhodování za rizika
Známe nebo dokážeme odhadnout pravděpodobnosti, s jakými jednotlivé situace nastanou. Více
informací o pravděpodobnostním počtu, o odhadech pravděpodobnosti apod. naleznete v Dodatku
(Pravděpodobnost).
Pravidla pro rozhodování za rizika
1. Pravidlo očekávané střední hodnoty
E Xi =
n
X
pj dij , i = 1, 2, . . . m
(1.1)
j=1
Xi je náhodná veličina, která představuje hodnoty důsledků varianty Vi při situacích S1 , S2 , . . . , Sn ,
tedy nabývá hodnot di1 , di2 , . . . din s pravděpodobnostmi p1 , p2 , . . . , pn . E(Xi ) je střední hodnota náhodné veličiny.
Řešený příklad 1. Z historických dat podnikatel usuzuje, že jednotlivé situace z příkladu
1 nastanou s pravděpodobnostmi 0,2; 0,3; 0,3; 0,2. Vyberte nejlepší variantu, která přinese
majiteli cestovní kanceláře maximální zisk podle pravidla očekávané střední hodnoty.
Řešení. Nejprve spočítáme podle vztahu (1.1) střední hodnoty výnosů jednotlivých variant:
E X1
E X2
E X3
E X4
= 100
= 95 · 0, 2 + 120 · 0, 3 + 120 · 0, 3 + 120 · 0, 3 = 115
= 90 · 0, 2 + 115 · 0, 3 + 140 · 0, 3 + 140 · 0, 3 = 122, 5
= 85 · 0, 2 + 110 · 0, 3 + 135 · 0, 3 + 160 · 0, 3 = 122, 5
Vzhledem k tomu, že kritérium je výnosového typu, nejvýhodnější je varianta s nejvyšší střední
hodnotou (zde jsou dvě, a to varianta 3 a 4). Varianty jsou uspořádány V3 ≈ V4 V2 V1 .
2
Poznámka. Protože jsou zde dvě nejvyšší střední hodnoty, podle tohoto pravidla se nelze jednoznačně rozhodnout, přihlédneme k dalšímu pravidlu.
Poznámka. V případě, že by rozhodovací kritérium bylo minimalizační, vybírali bychom jako
nejvýhodnější variantu s nejnižší střední hodnotou.
2. Pravidlo očekávané střední hodnoty a rozptylu
Rozptyl důsledků jednotlivých variant při všech uvažovaných situacích počítáme ze vztahu
var Xi =
n
X
pj [dij − E(Xi )]2 , i = 1, 2, . . . m.
(1.2)
j=1
Méně riziková varianta má menší rozptyl, ať se jedná o výnosový nebo nákladový typ kritéria.
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
4
Řešený příklad 2. Pro příklad 1 spočítejte rozptyl pro varianty, které mají stejnou (nejvyšší)
střední hodnotu.
Řešení.
var X3 = 0, 2(90 − 122, 5)2 + 0, 3(115 − 122, 5)2 + 0, 3(140 − 122, 5)2 + 0.2(140 − 122, 5)2 = 381, 25
var X4 = 0, 2(85 − 122, 5)2 + 0, 3(110 − 122, 5)2 + 0, 3(135 − 122, 5)2 + 0.2(160 − 122, 5)2 = 656, 25
Nižší rozptyl má varianta 3. Vzhledem k tomu, že střední hodnota výnosů je stejná u varianty
3 a varianty 4, doporučili bychom k realizaci variantu 3, která je méně riziková.
2
Poznámka. Nemáme-li sklon k riziku, vždy platí čím menší rozptyl, tím lepší.
Podle pravidla očekávané střední hodnoty a rozptylu rozhodovatel preferuje variantu, která je
z hlediska očekávané střední hodnoty i rozptylu lepší, nebo která je lepší jen z jednoho hlediska
a z druhého stejná. V případě maximalizačního kritéria, když preferujeme variantu i před variantou h, můžeme předchozí větu zapsat pomocí následujících výroků:
Vi Vh ⇔ E Xi ≥ E Xh ∧ var Xi < var Xh ,
Vi Vh ⇔ E Xi > E Xh ∧ var Xi ≤ var Xh .
V našem příkladu platí:
E X3 = E X4 ∧ var X3 < var X4 ,
varianty jsou uspořádány v pořadí V3 V4 .
V případě, že by rozhodovací kritérium bylo nákladového typu, pak by platilo
Vi Vh ⇔ E(Xi ) ≤ E(Xh ) ∧ var Xi < var Xh ,
Vi Vh ⇔ E(Xi ) < E(Xh ) ∧ var Xi ≤ var Xh .
Pravidlo očekávané hodnoty a rozptylu obecně neumožňuje úplné preferenční uspořádání rizikových variant, ale pouze zjištění nedominovaných a dominovaných variant.
Může se totiž stát, že varianta Vi bude mít střední hodnotu větší než varianta Vj , ale zároveň také bude mít větší rozptyl. V takové případě nedokážeme jednoduše rozhodnout, kterou
variantu preferovat. K tomuto rozhodnutí bychom museli užít například některých medod vícekriteriální optimalizace.
Příklad 2. Mějme dva podnikatelské záměry, které mají šanci na úspěch 60%. Zisk z prvního
z nich (A) je odhadován na 11 milionů Kč, zisk z druhého z nich (B) je odhadován na 101
milionů Kč. V případě neúspěchu je ztráta z projektu A 0,5 milionů Kč a z projektu B 50
milionů Kč. Jaká je střední hodnota zisku a rozptyl u obou variant?
E XA
E XB
var XA
var XB
= 11 · 0, 6 + (−0, 5) · 0, 4 = 6, 4
= 101 · 0, 6 + (−50) · 0, 4 = 40, 6
= 0, 6(11 − 6, 4)2 + 0.4(−0.5 − 6.4)2 = 31.74
= 0, 6(101 − 40, 6)2 + 0.4(−50 − 40, 6)2 = 5472, 24
Z hlediska středních hodnot je lepší varianta B, z hlediska rozptylů varianta A.
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
5
4
3. Pravidlo očekávaného užitku
Pro toto pravidlo musíme znát funkci užitku. Funkce užitku vyjadřuje, jaký přínos pro rozhodovatele znamenají změny tohoto kritéria. Užitek nejhorší hodnoty kritéria je 0 a užitek nejlepší
hodnoty kritéria je 1. Užitek ostatních kriteriálních hodnot se nachází mezi těmito dvěma hodnotami. Uvažujeme tedy užitkovou funkci v normovaném tvaru.
Pro očekávaný užitek varianty Vi platí:
E[u(Vi )] =
n
X
pj u(dij ),
(1.3)
j=1
pro i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n, kde u(Vi ) je užitek varianty Vi , pj je pravděpodobnost, se
n
P
kterou nastane situace Sj (musí platit
pj = 1) a u(dij ) je užitek varianty Vi při situaci Sj .
j=1
Platí, že
Vi Vh ⇔ E[u(Vi )] > E[u(Vh )].
(1.4)
Řešený příklad 3. V příkladu 1 kromě pravděpodobnosti, se kterými nastanou jednotlivé situace, známe ještě ohodnocení (užitky) jednotlivých částek, které si určil majitel cestovní kanceláře.
Řešení. Užitky byly odvozeny z jeho užitkové funkce zisku v intervalu od 85 tis. Kč do 160
tis. Kč.
Zisk 85 90 95 100 110 115 120 135 140 160
Užitek 0 0,2 0,3 0,4 0,55 0,65 0,7 0,85 0,9
1
Nyní postupujeme stejně, jako u střední hodnoty výnosů, jen místo výnosů počítáme s užitky
těchto výnosů.
E[u(V1 )] = 0, 4
E[u(V2 )] = 0, 2 · 0, 3 + 0, 3 · 0, 7 + 0, 3 · 0, 7 + 0, 2 · 0, 7 = 0, 62
E[u(V3 )] = 0, 2 · 0, 2 + 0, 3 · 0, 65 + 0, 3 · 0, 9 + 0, 2 · 0, 9 = 0, 685
E[u(V4 )] = 0, 2 · 0 + 0, 3 · 0, 55 + 0, 3 · 0, 85 + 0, 2 · 1 = 0, 62
Nejlepší z variant je podle pravidla očekávaného užitku varianta 3, ostatní varianty lze seřadit
následujícím způsobem V3 V2 ≈ V4 V1 .
2
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
1.2.1
6
Cena dokonalé informace
Je to částka, která by se rozhodovateli vyplatila investovat do získání dalších informací o výskytu
jednotlivých situací (pokud by taková informace byla k dispozici). Největší (nejmenší) čísla ve sloupcích rozhodovací matice odpovídající fiktivní variantě, která dosahuje nejlepších hodnot podle všech
kritérií. Tuto fiktivní variantu můžeme vyhodnotit například pomocí pravidla očekávané střední hodnoty. Rozdíl mezi touto hodnotou a střední hodnotou pro nejvýhodnější reálnou variantu představuje
cenu dokonalé informace.
Řešený příklad 4. Pro příklad 1 spočítejte, kolik by se vyplatilo investovat do získání informace o
možném výskytu jednotlivých situací.
Řešení. Nejprve v každém sloupci najdeme největší číslo a čísla zapíšeme jako důsledky (zisky) pro
fiktivní variantu ve všech situacích.
F = [100, 120, 140, 160]
Nyní tuto variantu vyhodnotíme podle pravidla očekávané střední hodnoty.
E XF = 100 · 0, 2 + 120 · 0, 3 + 140 · 0, 3 + 160 · 0, 2 = 130
Cena dokonalé informace se pak počítá jako rozdíl mezi touto střední hodnotou a střední hodnotou
pro nejvýhodnější reálnou variantu.
E XF − E X3 = 130 − 122, 5 = 7, 5
2
1.3
Rozhodování za nejistoty
Při rozhodování za nejistoty rozhodovatel ví, jaké situace mohou nastat, ale neví s jakými pravděpodobnostmi. K rozhodnutí o výběru nejlepší varianty lze použít různá pravidla, která mohou vést
k různým výsledkům. U všech následujících pravidel předpokládejme, že rozhodovací kritérium je
maximalizační (výnosového typu). Všechny dále zmiňované přístupy budou ilustrovány na příkladu
z rozhodování za rizika.
1. Optimistický přístup - princip maximaxu
Rozhodovatel je optimista a předpokládá, že ať vybere jakoukoli variantu, vždy nastane situace, která je mu nejvíce nakloněná. Rozhodovatel vybere variantu, která mu přinese nejlepší
výsledek. Nalezne se největší číslo v celé rozhodovací matici, tedy maxi maxj dij . Vybere se v
řádku největší prvek a z těchto největších prvků zase ten největší.
Řešený příklad 5. Jak by se měl majitel cestovní kanceláře z příkladu 1 rozhodnout, pokud
by byl optimista?
Řešení. Největší hodnota možného zisku 160 tis.Kč odpovídá volbě varianty 4 (objednání
40-ti míst).
2
Poznámka. Pokud by rozhodovací kritérium bylo minimalizační, vybíral by se nejmenší prvek
v každém řádku a z těchto nejmenších prvků opět minimum.
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
7
2. Pesimistický přístup - Waldův princip maximinu
Rozhodovatel očekává nejhorší výsledek a vybere z nejhorších výsledků ten nejlepší, tedy v
rozhodovací matici vybere v každém řádku nejmenší číslo a z nejmenších čísel pak to největší,
neboli maxi minj dij .
Řešený příklad 6. Jak by se měl majitel cestovní kanceláře z příkladu 1 rozhodnout, pokud
by byl pesimista?
Řešení. Pokud rozhodovatel pro rozhodování použijeme pesimistický přístup, vybere variantu
1 a objedná pouze 25 míst.
2
Poznámka. Při minimalizačním rozhodovacím kritériu by se v každém řádku vybíralo maximum
a z těchto prvků minimum.
3. Hurwiczovo pravidlo
Nejprve je nutné stanovit index optimismu α, α ∈ h0; 1i. Pro α = 1 je realistické pravidlo
shodné s optimistickým přístupem a naopak při α = 0 je toto pravidlo shodné s pesimistickým
přístupem. Index optimismu oslabuje extrémní postoje rozhodovatele. V řádcích se vybere vždy
maximum a to se násobí α a nejmenší prvek, který se násobí 1 − α. Tyto dva součiny se pak
sečtou. Nejlepší varianta rozhodnutí je ta, pro kterou výraz
α max dij + (1 − α) min dij
j
j
(1.5)
je maximální.
Řešený příklad 7. Předpokládejme, že majitel cestovní kanceláře z příkladu 1 je spíše optimista a index α si zvolil 0,7. Jaká varianta je potom pro něj nejlepší?
Řešení.
V1 . . . 0, 7 · 100 + 0, 3 · 95 = 100
V2 . . . 0, 7 · 120 + 0, 3 · 100 = 112, 5
V1 . . . 0, 7 · 140 + 0, 3 · 90 = 125
V1 . . . 0, 7 · 160 + 0, 3 · 85 = 137, 5
Podle Hurwiczova pravidla by rozhodovatel volil variantu 4, tedy objednal by 40 míst.
2
Poznámka. V případě minimalizačního kritéria indexem α násobíme minimum v řádcích a
maximum naopak násobíme (1−α). Jako nejlepší pak označíme variantu, pro kterou je hodnota
výrazu 1.5 je minimální.
Nevýhodou Hurwiczova pravidla je skutečnost, že jsou stejně ohodnoceny varianty, v nichž nejnižší a nejvyšší hodnota důsledků rozhodnutí je stejná a přitom může jít o varianty podstatně
odlišné vzhledem k dalším hodnotám kritéria.
Příklad 3. Mějme dvě varianty A a B a čtyři různé situace, které mohou nastat. Kriteriální
hodnoty jsou v následující matici.
V1
V2
S1 S 2 S3 S4 2 14 14 15
2 3 3 15
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
8
Obě varianty při zvoleném indexu optimismu α = 0, 5 se jeví stejně dobré. Většina rozhodovatelů by zřejmě volila variantu první, protože nejhorší a nejlepší kriteriální hodnota je pro obě
varianty stejná a ostatní hodnoty jsou u první varianty výrazně lepší.
4
Dalším nedostatkem Hurwiczova pravidla je kvantifikace indexu optimismu α. Doporučuje se
vážený průměr nejlepších a nejhorších výsledků v jednotlivých variantách vyjádřit pro obecnou
hodnotu α a pak konkrétní hodnotu α specifikovat intervalově.
Na obrázku 1.1 jsou pro příklad 1 znázorněny grafy funkcí 100α + 100(1 − α), 120α + 95(1 − α)
140α + 90(1 − α) 160α + 85(1 − α), které pro α = 0 nabývají hodnot 100, 95, 90, 85 a pro α = 1
nabývají hodnot 100, 120, 140, 160. Na obrázku 1.1 jsou silně vytaženy ty části úseček, které
představují maximum z hodnot všech uvažovaných funkcí. Graf tohoto maxima se v řešené úloze
láme v bodě s hodnotou α, která je řešením rovnice 100α + 100(1 − α) = 160α + 85(1 − α), tj.
α = 0, 2. Pro index optimismu α < 0, 2 je nejvýhodnější volit variantu 1, tedy objednat 25 míst,
pro α > 0, 2 je nejvýhodnější volit variantu 4, tedy objednat 40 míst. Pokud by rozhodovatel
zvolil α = 0, 2,pak by obě varianty (25 míst a 40 míst) byly pro něj stejně výhodné.
160
140
120
100
100
95
90
85
0
0,2
1
alfa
Obrázek 1.1: Odvození hodnoty indexu optimismu
Poznámka. V případě minimalizačního kritéria indexem by se v grafu hledalo minimum těchto
funkcí.
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
9
4. Laplaceovo pravidlo (princpi stejné věrohodnosti)
U tohoto pravidla se předpokládá, že všechny situace mohou nastat se stejnou pravděpodobností, tedy pokud počet situací je n, tzn. P(Sj ) = n1 , kde j = 1, 2, . . . , n.
Pro nejvýhodnější variantu podle principu stejné věrohodnosti platí, že výraz
n
1X
dij
n j=1
(1.6)
je maximální.
Řešený příklad 8. Využijte principu stejné věrohodnosti k doporučení volby některé z variant
majiteli kempu - viz příklad 1
Řešení.
V1
V2
V3
V4
= 100
= 0, 25 · 95 + 0, 25 · 120 + 0, 25 · 120 + 0, 25 · 120 = 113, 75
= 0, 25 · 90 + 0, 25 · 115 + 0, 25 · 140 + 0, 25 · 140 = 121, 25
= 0, 25 · 85 + 0, 25 · 110 + 0, 25 · 135 + 0, 25 · 160 = 122, 5
2
Z hlediska principu stejné věrohodnosti můžeme varianty seřadit takto: V4 V3 V2 V1 .
Poznámka. V případě minimalizačního kritéria vybíráme variantu s nejnižší střední hodnotou.
5. Savageovo pravidlo
U tohoto pravidla je Waldův princip aplikovaný na matici ztrát. Matici ztrát značíme R a její
prvky rij určíme tak, že pro každou situaci určíme ztrátu, která by vznikla při volbě jednotlivých
variant oproti nejvýhodnější variantě v dané situaci. Platí
rij = max dij − dij .
i
(1.7)
Nebo-li v každém sloupci této matice najdeme nejvyšší číslo a od něj se odečtou všechny prvky
v daném sloupci.
Řešený příklad 9. Pro příklad 1 určíme matici

0 20
 5 0
R=
 10 5
15 10
ztrát podle vztahu 1.7

40 60
20 40 

0 20 
5 0
V matici ztrát vybereme v řádcích maxima a z nich potom minimum. Maxima v jednotlivých
řádcích jsou 60, 40, 20, 15, nejmenší je 15 a z toho vyplývá, že nejvýhodnější je objednat 40
míst (varianta 4).
Pokud bychom chtěli sestavit preferenční uspořádání, bylo by následující: V4 V3 V2 V1 .
2
Poznámka. V případě minimalizačního kritéria zjišťujeme absolutní hodnoty rozdílů mezi nejlepší variantou a ostatními - tím získáme matici ztrát a další postup je shodný s postupem u
maximalizačního typu kritéria.
Závěr: Podle většiny pravidel se jeví jako nejvýhodnější volit variantu 4 (objednat 40 míst).
Kromě uvedených pravidel pro výběr nejvýhodnější varianty při rozhodování za nejistoty existují
ještě další principy, u kterých lze najít více či méně racionální jádro. Použití kteréhokoli z těchto
principů však pouze zaručuje, že nebude vybrána varianta vyloženě špatná.
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
1.4
10
Rozhodovací stromy
Rozhodovací stromy jsou grafickým nástrojem rozhodovací analýzy, vhodným zejména pro víceetapové rozhodovací procesy s jedním kritériem rozhodování. Umožňují zobrazit logický vývoj časově
na sebe navazujících alternativních rozhodnutí a náhodných situací. Jejich cílem je stanovení optimální strategie rozhodovatele, tj. posloupnost rozhodnutí, která vede k nejlepší očekávané hodnotě
zvoleného kvantitativního kritéria (výnosového či nákladového typu).
Rozhodovací strom je zvláštním typem grafu, tzn. skládá se z uzlů a hran. Uzly rozhodovacího
stromu představují fáze rozhodovacího procesu, ve kterých se střídá rozhodování rozhodovatele (tyto
rozhodovací uzly zpravidla značíme čtverečky) a rozhodování ”přírody” (tyto uzly nazýváme situační
a značíme kroužky). Co představují hrany záleží na tom, z jakého typu uzlu vycházejí. Z rozhodovacích uzlů vycházejí hrany, které představují deterministické činnosti, závislé na vůli rozhodovatele,
jedná se o různé varianty rozhodnutí. Ze situačních uzlů vycházejí hrany, které představují náhodné
(stochastické) alternativy vyskytující se s určitými pravděpodobnostmi. Náhodné alternativy tvoří
úplnou soustavu jevů, a proto součet pravděpodobností jejich výskytu se rovná jedné.
Optimální strategii rozhodovatele v rozhodovacím stromu určíme tak, že z hlediska zvoleného
kritéria rozhodování vyhodnotíme jednotlivé uzly, přičemž postupujeme od konce stromu k jeho začátku.
V situačních uzlech počítáme jistotní ekvivalent, který představuje jistý užitek nahrazující nejistý
užitek náhodných variant, které z daného situačního uzlu vycházejí. Za předpokladu, že rozhodovatel
má neutrální postoj k riziku, jistotní ekvivalent uzlu je totožný se střední hodnotou veličiny, která
je přiřazena náhodným variantám vycházejícím z tohoto uzlu.
V rozhodovacích uzlech počítáme poziční hodnotu, která představuje maximum (při výnosovém
rozhodovacím kritériu) nebo minimum (při nákladovém kritériu) z ocenění variant, které vycházejí
z daného uzlu. Varianty s horším ohodnocením zamítneme.
Řešený příklad 10. Firma zavádí na trh nový výrobek a rozhoduje se, zda má pro jeho prodej
zmodernizovat stávající obalovou techniku a zlepšit potisk obalu nebo zda má koupit novou obalovou
linku s atraktivním potiskem (v tom případě má možnost vybrat si mezi výrobci A a B). Při volbě
optimálního rozhodnutí firma vychází z těchto údajů:
Náklady spojené se změnou obalové techniky, přepočítané na jeden měsíc provozu
linky
• Modernizace stávající obalové linky . . . 3 mil.Kč
• Nákup obalové linky od výrobce A . . . 5 mil.Kč
• Nákup obalové linky od výrobce B . . . 6 mil.Kč
Pravděpodobnosti velké poptávky po změně obalové techniky
• Modernizace stávající obalové linky . . . 0,5
• Nákup obalové linky od výrobce A . . . 0,7
• Nákup obalové linky od výrobce B . . . 0,8
Měsíční tržby při velké poptávce jsou odhadnuty na 13 mil.Kč, při malé poptávce na 7 mil.Kč.
Při koupi obalové linky od výrobce B je obal natolik atraktivní, že lze počítat s většímu měsíčními
tržbami, a to 15 mil.Kč při velké a 9 mil.Kč při malé poptávce.
Pro jakou variantu zlepšení obalové techniky se má firma rozhodnout, aby očekávaný měsíční rozdíl
mezi tržbami a náklady na změnu v obalové technice byl co největší?
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
11
Řešení. Rozhodovací strom pro zadaný příklad je na obrázku 1.2, do kterého jsou již vepsány
pravděpodobnosti velké a malé poptávky a výnosy a náklady spojené s rozhodnutím firmy. Nad
situačními uzly jsou vepsány jejich jistotní ekvivalenty, tj. střední hodnoty měsíčních tržeb při velké
a malé poptávce:
• Uzel 1: 0, 5 · 13 + 0, 5 · 7 = 10
• Uzel 2: 0, 7 · 13 + 0, 3 · 7 = 11, 2
• Uzel 3: 0, 8 · 15 + 0, 2 · 9 = 13, 8
Nad rozhodovacími uzly v obrázku 1.2 jsou napsány jejich poziční hodnoty:
• Uzel 2: max(11, 2 − 5; 13, 8 − 6) = 7, 8. . . zamítneme nákup linky od výrobce A
• Uzel 1: max(7, 8; 10 − 3) = 7, 8 . . . zamítneme modernizaci obalové linky
13
10
VP
-3
p=0,5
1
MP
modernizace
7
p=0,5
7,8
13
11,2
1
VP p=0,7
nová linka
7,8
2
-5
MP
výrobce A
7
p=0,3
2
15
výrobce B
VP p=0,8
-6
3
MP
13,8
8
p=0,2
Obrázek 1.2: Rozhodovací strom k řešenému příkladu
Při výběru optimální varianty postupujeme od konce stromu. Nejprve porovnáme rozdíly mezi jistotními ekvivalenty a náklady pro situační uzly 2 a 3. Větší rozdíl mezi střední hodnotou výnosů a
náklady na pořízení odpovídá variantě volit výrobce B (proto poziční hodnota u rozhodovacího uzlu
2 odpovídá rozdílu mezi střední hodnotou výnosů při volbě výrobce B a náklady na pořízení linky
od výrobce B). Potom postupujeme opět blíže k počátku a porovnáváme zisk v případě modernizace
se ziskem při volbě nové linky od výrobce B. I zde vychází lépe nová linka od výrobce B. Optimální
strategií firmy je nákup nové obalové linky od výrobce B. Měsíční rozdíl mezi tržbami a náklady na
změnu v obalové technice lze očekávat ve výši 7,8 milionů Kč.
2
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
12
Řešený příklad 11. Majitel domu, který chce dům prodat nejpozději do dvou let, se rozhoduje, zda
má dům prodat hned (za 3 milionů Kč, přičemž by získané peníze uložil se sedmiprocentním úrokem),
nebo za rok (dům by pronajímal s ročním ziskem 200 tisíc Kč), nebo za dva roky (dům by po celou
tuto dobu pronajímal se stejným ročním ziskem 200 tisíc Kč). Majitel domu počítá se změnou ceny
domu v průběhu jednoho roku v rozmezí ±300 tis.Kč, přičemž pravděpodobnost vzrůstu i poklesu
ceny budov o 10 % v průběhu uvažovaných dvou let odhadl následujícími hodnotami:
• vzrůst ceny v prvním roce . . . p = 0, 2
• vzrůst ceny ve druhém roce za předpokladu jejího vzrůstu v prvním roce . . . p = 0, 3
• vzrůst ceny ve druhém roce za předpokladu jejího poklesu v prvním roce . . . p = 0, 1
Řešení. Nejprve nakreslíme rozhodovací strom, viz obrázek 1.3.
1. rok
2. rok
3,4347
prodat
3,4347
1
3,531
3,531
prodat
2
neprodat
3,0174
vzrùst cen
3,6
neprodat
0,2
+0,2
+0,2
3,18
0,3
2
1
0,7
0,8
vzrùst cen
pokles cen
3
pokles cen
2,889
2,889
prodat
3
neprodat
+0,2
2,46
0,1
3
0,9
3
vzrùst cen
pokles cen
2,4
Obrázek 1.3: Rozhodovací strom k řešenému příkladu 2
Rozhodovací strom v této úloze obsahuje tři situační a tři rozhodovací uzly. Hrany stromu jsou ohodnoceny výnosy z prodeje a pronájmu domu (v milionech Kč). U hran vycházejících ze situačních
uzlů jsou uvedeny příslušné pravděpodobnosti. Strom budeme vyhodnocovat zprava doleva, jistotní
ekvivalenty a poziční hodnoty jsou vepsány nad uzly.
Situační uzel 2
V situačním uzlu 2 je očekávaná hodnota zisku 0, 3 · 3, 6 + 0, 7 · 3 = 3, 18. Dále postoupíme směrem
vlevo k rozhodovacímu uzlu 2.
Rozhodovací uzel 2
Větev ”prodat” vycházející z rozhodovacího uzlu 2 je ohodnocena číslem 3,531 milionů Kč, což představuje výnos z uložené částky 3,3 milionů Kč (= cena domu po 1. roce) na dobu jednoho roku se
sedmiprocentním úrokem. Číslo 0,2, kterým je ohodnocena větev ”neprodat” vycházející z rozhodovacího uzlu 2, představuje celoroční výši nájemného (v milionů Kč), o kterou musíme zvýšit jistotní
ekvivalent situačního uzlu 2. Poziční hodnota uzlu 2 je dána maximem z hodnot 3, 531; 0, 2 + 3, 18,
KAPITOLA 1. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY
13
tj. číslem 3,531, neboli v rozhodovacím uzlu 2 zamítneme variantu ”neprodat”.
Situační uzel 3
V situačním uzlu 3 je očekávaná hodnota zisku dána výrazem 0, 1 · 3 + 0, 9 · 2, 4 = 2, 46.
Rozhodovací uzel 3
Podobným způsobem jako u rozhodovacího uzlu 2 stanovíme poziční hodnotu rozhodovacího uzlu
3, která představuje max(2, 7 · 1, 07; 0, 2 + 2, 46) = 2, 889. V uzlu 3 tedy opět zamítneme variantu
”neprodat”.
Situační uzel 1
Jistotní ekvivalent v situačním uzlu 1 je dán výrazem 0, 2 · 3, 531 + 0, 8 · 2, 889 = 3, 0174, takže pro
rozhodovací uzel 1 počítáme max(3 · 1, 072 ; 0, 2 + 3, 0174) = 3, 4347.
Rozhodovací uzel 1
I v prvním rozhodovacím uzlu zamítneme variantu ”neprodat”, neboli pro majitele domu je nejvýhodnější prodat dům hned, peníze uložit a dva roky z tohoto vkladu nic nevybírat. Kdyby např.
uložené peníze chtěl vybrat po jednom roce, bylo by pro něho výhodnější prodat dům až později
(3 · 1, 07 − 0, 25 · 3 · 0, 71 < 0, 2 + 3, 0174).
2
Poznámka. Někdy je také možné (především u menších stromů postupovat opačným postupem, tedy
od začátku ke konci. Kdy si pro každou větev počítáme pravděpodobnosti (s jakými daná situace
nastane) a hodnotu optimalizačního kritéria, které bychom dosáhli v případě, že se vývoj bude ubírat
cestou na jejímž konci je tato větev. Výhodou tohoto postupu je, že na konci získáme všechny možné
výsledky včetně jejich pravděpodobností. Nevýhodou, zvláště pak u větších úloh je větší pracnost.
K výhodám rozhodovacích stromů patří především jejich univerzálnost, názornost, snazší komunikace mezi pracovníky řešícími stejný rozhodovací proces, odstranění nedostatků koncepčního
rozhodování (je nutné znát důsledky i časově vzdálenějších rozhodnutí) a v neposlední řadě možnost
experimentování se vstupními daty rozhodovacích stromů, tj. s pravděpodobnostmi jednotlivých situačních variant a s údaji ovlivňujícími hodnotu rozhodovacího kritéria, popř. s hypotézami o možných
důsledcích rozhodování. Při tomto experimentování na modelu víceetapového rozhodovacího problému lze využít počítače, které navíc ještě umožňují simulaci některých vstupních dat.
Analýzou rozhodovacího stromu získáme výběr nejvýhodnějších variant od začátku rozhodovacího
procesu až do jeho konce, ale praktický význam má především realizace optimální varianty v 1. etapě
rozhodování. Do doby realizace dalších rozhodnutí zpravidla nastanou změny, které mohou jejich
důsledky ovlivnit (vzniknou nové rozhodovací i situační varianty, dodatečně se získají informace
podstatné pro další rozhodování apod.) Proto se doporučuje po realizaci první etapy rozhodovacího
procesu sestrojit a vyhodnotit nový rozhodovací strom.
Pomocí rozhodovacích stromů můžeme znázornit i jednoetapové (statické) rozhodovací procesy,
které se běžně zobrazují rozhodovacími maticemi. Postup výpočtu v rozhodovacím stromu i jeho
výsledek odpovídá pravidlu očekávané (střední) hodnoty kritéria rozhodování.
1
zúročený vklad se sníží o daň z úroku