Objevujme mnohostěny

Transkript

Objevujme mnohost ny
Sb rka eench loh pro zjemce o geometrii
Michaela Kobl kov
Obsah
vod
Kapitola 1. Opravdu znte krychli?
een
K zapamatovn
Poznmky
Kapitola 2. Jednoduch a dokonal
een
K zapamatovn
Poznmky
Kapitola 3. Jehlany, hranoly, mnohostny
3.1. tystn
een
3.2. Jehlany mohou bt pravideln nebo nepravideln
een
3.3. Krychle pat mezi hranoly
een
3.4. Rovnobnostn opsan tystnu
een
3.5. Co jsou mnohostny
een
K zapamatovn
Poznmky
Kapitola 4. Eulerova vta a typy mnohostn
4.1. Eulerova vta
een
4.2. Typy mnohostn, dualita mnohostn
een
K zapamatovn
Poznmky
Kapitola 5. Pravideln tystn a krychle maj jen ti dal sourozence
5.1. Pravideln mnohostny
een
5.2. Vlastnosti pravidelnch mnohostn
een
K zapamatovn
Poznmky
Kapitola 6. Dal mnohostny s pravidelnmi stnami
6.1. Konvexn mnohostny se shodnmi pravidelnmi stnami
een
3
7
9
12
16
16
17
18
23
23
25
25
26
28
29
31
33
35
36
39
40
43
43
45
45
46
50
52
54
54
55
55
57
59
60
66
66
67
67
68
4
OBSAH
6.2. Polopravideln mnohostny
een
6.3. Nekonvexn mnohostny s pravidelnmi stnami
een
K zapamatovn
Poznmky
Kapitola 7. Mnohostny o dan vlastnosti
7.1. Speciln tystny
een
7.2. Trojhelnkov a jednoduch mnohostny
een
K zapamatovn
Poznmky
70
72
76
77
79
79
81
81
83
88
89
91
91
Kapitola 8. ezy a prniky
8.1. ezy
een
8.2. ezn pravidelnch mnohostn
een
8.3. Prniky
een
K zapamatovn
Poznmky
93
93
94
97
98
101
103
104
104
Kapitola 9. St mnohostn a k emu je lze vyut
9.1. St jehlan
een
9.2. St dalch mnohostn
een
9.3. Nejkrat cesty na povrchu mnohostn
een
K zapamatovn
Poznmky
105
105
106
112
114
116
117
120
120
Kapitola 10. Tdn a popis konvexnch mnohostn
10.1. Typy konvexnch mnohostn
een
10.2. Diagramy konvexnch mnohostn
een
K zapamatovn
Poznmky
121
121
122
124
125
127
127
Kapitola 11. Oten a barven mnohostn
11.1. Grupy zkrytovch otoen mnohostn
een
11.2. Obarvovn
een
K zapamatovn
Poznmky
129
129
131
133
134
136
136
Kapitola 12. Dal lohy
12.1. Mnoiny bod dan vlastnosti
een
137
137
138
OBSAH
12.2. Rzn
een
K zapamatovn
Poznmky
Kapitola 13. Historick a jin zajmavosti
een
K zapamatovn
Poznmky
Zvr
Literatura
5
141
142
144
144
145
147
149
149
151
153
vod
Dostvte do rukou sbrku loh, kter vs nejen chce provst jednou z nejkrsnjch parti matematiky, ale i bt vm zdrojem zbavy a dobrodrustv.
Do zatku potebujete hlavn zvdavost a matematick znalosti na rovni zhruba prvnch dvou ronk gymnzia. Ve ostatn - dal potebn znalosti a dovednosti - si mete postupn objevit sami.
Nejdleitj poznatky budou vdy na konci kapitoly shrnuty v odstavci K zapamatov n, obas rozen o jejich zobecnn.
Kad kapitola zan zadnm loh. lohy jsou azeny od snadnjch k obtnjm a postupn
rozvjej obsah (teoretick pnos) kapitoly. Proto je vhodn eit je v uvedenm poad. Nejprve vdy
zkouejte vyeit zadan lohy samostatn a teprve pot porovnejte sv vahy, ppadn postup een a
zvr s eenmi, kter jsou uvedeny.
V ppad poteby nevhejte nahldnout do uebnic, matematickch tabulek nebo do jin literatury
pro podrobnj informace.
Jdro vtiny loh je v jejich prostorovm stereometrickm een. Grackou st, pokud pesahuje
vae dosavadn znalosti, sledujte ve vzorovch eench a urit nco z grackch postup pochytte.
Pomoci vm me uebnice deskriptivn geometrie.
een pklad si zapisujte. Ute se popisovat sv vahy a formulovat zvry tak, abyste je byli
schopni pedvat dalm lidem. O een diskutujte s kamardy. Vymlejte si i sv vlastn lohy a kla te
si dal nov otzky
Vydrte a do konce. Nejene zskte mnoho novch poznatk, kter ve va uebnici matematiky
nejsou, ale zopakujete si (protoe to budete muset pouvat) i mnoho z toho, co se bn ve kole ute.
7
KAPITOLA 1
Opravdu znte krychli?
Zaneme tlesem, kter znaj i mal dti jako kostku ze stavebnice!, krychl.
loha 1.1.
Dobe si prohldnte obrzek 1.1 zobrazujc krychli ABCDEFGH . (erchovanmi arami nakreslen
tverec A(B )C (D) ukazuje skutenou velikost jej podstavy.)
Obrzek 1.1. Zobrazen krychle ve volnm rovnobnm promtn
Dokreslete chybjc st obrzku a slovy popite polohu hloubkov pmky.
9
10
1. OPRAVDU ZNTE KRYCHLI?
loha 1.2.
Vrcholy krychle ABCDEFGH jsou krajnmi body vznamnch seek na krychli.
(a) Kolik je tchto seek celkem, kolik z nich je hran krychle, kolik stnovch a kolik tlesovch
hlopek?
(b) Vypotejte dlky tlesovch a stnovch hlopek krychle, jej hrana m dlku a.
loha 1.3.
Do nsledujc tabulky vypite (roztdn) seky, kter jsou u krychl na obrzku 1.1 nakresleny ve skuten velikosti:
a)
b)
c)
d)
hrany
stnov hlopky
tlesov hlopky
loha 1.4.
Krychli ABCDEFGH o hran dlky a, lze temi rovinami, kter jdou jejm stedem S rovnobn se
stnami krychle, rozznout na n krychliek o hran dlky a2 .
(a) Urete n.
(b) Kad mal krychlika tvo zejm n1 objemu V pvodn krychle. Jak je to vak s povrchem:
Jak st povrchu mal krychliky tvo i st povrchu pvodn krychle?
V jakm pomru je cel povrch Sm mal krychliky k povrchu S pvodn krychle?
(c) Kolik procent je
dlka am hrany krychliky z dlky a hrany krychle,
(cel) povrch Sm krychliky z povrchu S krychle,
objem Vm krychliky z objemu V krychle.
loha 1.5.
Na krychli ABCDEFGH o hran dlky a je vyznaen ez rovinou =$ BGD (obrzek 1.2).
(a) Co je tmto ezem?
(b) Vypotejte obsah ezu.
Obrzek 1.2. K loze 1.5
11
loha 1.6.
Dobe si prohldnte obrzek 1.3 zobrazujc rzn otoenou krychli ABCDEFGH stojc na pdorysn.
Dokreslete chybjc st obrzku.
Obrzek 1.3. Zobrazen krychle v Mongeov promtn
loha 1.7.
Do nrysu z prostedn sti obrzku 1.3 jsem si dokreslila ez BDG (viz loha 1.5) a ez FAH . Pi pohledu na vsledek jsem vyslovila hypotzu:
p Rovnobn roviny, jejich ezy na krychli o hran a jsou
rovnostrann trojhelnky o stran b = a 2, jsou kolm na jednu z tlesovch hlopek krychle a dl
ji na tetiny.! Rozhodnte, zda je to pravda.
loha 1.8.
Obrzek 1.2 dopl$te o ez krychle rovinou jdouc stedem krychle rovnobn s vyznaenou rovinou
a urete, co je tmto ezem.
loha 1.9.
Dopl$te tvrzen:
(a) Tleso (mnohostn), kter m pouze vrcholy A, C , F , H a je vepsan do krychle ABCDEFGH ,
m prv . . . stn(y), kter vechny jsou . . .
(b) Tleso (mnohostn), jeho vrcholy jsou prv vechny stedy stn krychle ABCDEFGH , m
prv . . . stn(y), kter vechny jsou . . .
loha 1.10.
Dny ti po dvou k sob kolm polopmky ! DX , ! DY , ! DZ . Urete na nich postupn body A,
C , H tak, aby v krychli ABCDEFGH platilo, e vzdlenost hrany krychle od tlesov hlopky s n
mimobn je 2 cm.
12
een
loha 1.1.
Hloubkovou pmkou rozumme pmku kolmou na tzv. preln roviny (roviny rovnobn s rovinou,
do kter promtme).
Doplnn obrzku 1.1 st d) viz obrzek 1.4.
Obrzek 1.4. K een lohy 1.1
loha 1.2.
Potejme:
(a) Kad z osmi vrchol lze spojit s ostatnmi 7 vrcholy a kad seka je urena dvma vrcholy.
Celkov poet vznamnch seek je tedy p = (8 7) : 2 = 28.
Hrany: 12 (2x4 podstavnch + 4 bon).
Stnov hlopky: 6x2=12.
Tlesov hlopky: 4 (kadm vrcholem jde jedna, kter ho spojuje s protjm! vrcholem).
p
(b) Dlka stnov hlopky je dlka hlopky ve tverci o stran dlky a, tedy us = ap2.
Dlka tlesov hlopky je dlka hlopky v obdlnku s rozmry a krt us , tedy ut = a 3.
(Vpoty provdme dle Pythagorovy vty.)
Poznmka: Obr zek 1.5 porovnej se nekem na konstrukci odmocnin zn mm z uebnice matematiky.
EEN
13
loha 1.3.
een viz nsledujc tabulka.
a)
b)
c)
d)
AB, CD, EF, GH AE, BF, CG, DH AB, CD, EF, GH AE, BF, CG, DH
AE, BF, CG, DH
AE, BF, CG, DH
stnov hlopky AF, BE, DG, CH
AC, EG
AF, BE, DG, CH
AC, EG
tlesov hlopky
AG, CE
AG, CE
hrany
loha 1.4.
Pro krychli rozezanou na krychliky plat:
(a) n = 2 2 2 = 8 (kadm ezem plme vechny ji vznikl sti).
(b) Ti stny krychliky le na stnch pvodn krychle, co je polovina.
Sm = 6(0 5a)2 = 1 5a2 = 0 25(6a2) = 14 S
Pomr povrch je Sm : S = 1 : 4.
(c) am : a = 1 : 2, Sm : S = 1 : 4, Vm : V = 1 : 8.
Odpov : am je 50,0 % z a, Sm je 25,0 % z S , Vm je 12,5 % z V .
loha 1.5.
Viz obrzek 1.2.
(a) ezem je rovnostrann trojhelnk,
jeho strany jsou stnov hlopky krychle. Strany trojp
helnka maj tedy dlku b = a 2.
(b) Obsah ezu je
p
p
p
p
p
Sr = 0 5bvr = 0 5b( 23 b) = 43 b2 = 43 (a 2)2 = 23 a2 .
loha 1.6.
Chybjc nrys krychle je na obrzku 1.6.
Obrzek 1.6. Chybjc nrys k obrzku 1.3
loha 1.7.
p
Zvolme za nrysnu rovinu hlopnho ezu ACGE (obdlnk, jeho dlka k ce je 2 : 1). Viz obrzek 1.7. V prmtn pak le i body O, Q (stedy podstav), S (sted krychle).
Ozname
X prsek EC a OG.Obdlnk ACGE je podobn obdlnku CGQO (i jeho dlka k ce je
p
2 : 1. Odtud: hly \ACE , \CGO jsou shodn, trojhelnk OCX je podobn trojhelnku OGC podle
vty uu, a proto je tak pravohl ) CE ? OG.
Pmka BD je kolm k nrysn (a tedy i ke vem pmkm lecm v nrysn) ) CE ? BD.
Tlesov hlopka CE je kolm ke dvma rznobkm lecm v rovin =$ BGD, tedy je kolm
k cel rovin (dle kritria kolmosti pmky
a roviny).
p
3
Zbv ukzat, e dlky jCX j a jCE j : 3 = 3 a se rovnaj.
Dlku v = jCX j spotme jako vku z pravohlho
trojhelnka OCG, jeho obsah je tvrtina obsahu
p
hlopnho ezu ACGE : SOCG = 0 25a2 2 = 12 zv. Dlku zkladny jOGj spotme podle Pythagorovy
14
vty z pravohlho trojhelnka OCG
: jOGj2p= a2 + 0 5p
a2 = 1p 5a2 ) z = jOGj =
p
2
Potom jCX j = v = 2S : z = (0 5a 2) : (0 5 6a) = a : 3 = 33 a.
Odpov : Tvrzen je pravdiv.
p
6
2 a.
loha 1.8.
p
Odpov : ezem je pravideln estihelnk o dlce strany c = 2b = 22 a. Viz obrzek 1.8.
loha 1.9.
Doplnn tvrzen:
(a) Tleso (mnohostn), kter m pouze vrcholy A, C , F , H a je vepsan do krychle ABCDEFGH ,
m prv ty
i stny, kter vechny
p jsou rovnostrann trojhelnky, jejich strany le ve stnovch hlop
k ch krychle (b = a 2).
Nalezen tleso se jmenuje pravideln tystn.
EEN
15
(b) Tleso (mnohostn), jeho vrcholy jsou prv vechny stedy stn krychle ABCDEFGH , m
prv osm stn, kter vechny jsou rovnostrannp trojhelnky, jejich strana m dlku rovnou
polovin stnov hlop
ky krychle, tj. c = 2b = 22 a.
Je to speciln dvojjehlan, sjednocen dvou rznch pravidelnch tybokch jehlan s rovnostrannmi bonmi stnami a spolenou tvercovou podstavou.
Nalezen tleso se jmenuje pravideln osmistn.
loha 1.10.
Rozbor (obrzek 1.9):
Ve vhodnm kolmm promtn zkoumejme vzdlenost v mimobek p =$ BH , q =$ EF :
v = v ($
), kter jeprovn p
polovin stnov hlopky FC .
p EF $ ABHp
us = a 2 ) a = us : 2 = 2v : 2 = 2 2 'cm].
Obrzek 1.9. Nrt k rozboru lohy 1.10
Konstrukce (obrzek 1.10):
Na kadou ze zadanch polopmek naneseme od D dlku a. Krychli zobrazme ve voln rovnobn
projekci s prmtnou rovnobnou s $ DY Z .
Obrzek 1.10. Konstrukce k loze 1.10
16
K zapamatovn
p
1.1 Krychle o stran
p dlky a m stnovou hlopku o dlce us = a 2 a tlesovou hlopku
o dlce ut = a 3.
p
p
hlopn ez krychle je obdlnk o rozmrech a, a 2, kter m hlopku a 3.
1.2 Podobn tlesa, jejich koecient podobnosti je k, maj:
odpovdajc si dlky v pomru 1 : k,
odpovdajc si povrchy (plochy) v pomru 1 : k2 ,
odpovdajc si objemy v pomru 1 : k3 .
1.3 Rovnobn roviny,pjejich ezy na krychli o hran dlky a jsou rovnostrann trojhelnky
o stran dlky b = a 2, jsou kolm na jednu z tlesovch hlopek a dl ji na tetiny. Rovina
s nimi rovnobn a jdouc stedem krychle ee krychli v pravidelnm estihelnku.
Poznmky
1.1 Pi een prostorovch loh je dleit umt se dvat ze vech stran a smr pohledu (zpsob
zobrazen) dle poteby mnit.
1.2 Na kadm obrzku je nutno dsledn rozliovat, kter seka je (respektive nen) zobrazena ve
skuten velikosti. Obdobn pro zobrazovan hel.
KAPITOLA 2
Jednoduch a dokonal
Na konci minul kapitoly jsme se seznmili s tlesem, jeho vechny tyi stny jsou rovnostrann
trojhelnky. Takovmu tlesu kme pravideln tystn. Ke kadmu pravidelnmu tystnu KLMN
lze zejm nalzt s nm shodn pravideln tystn ACFH , kter je st vhodn krychle ABCDEFGH ,
a tedy i tystn KLMN pjde na krychli doplnit.
loha 2.1.
Najdte co nejvce vlastnost pravidelnho tystnu.
loha 2.2.
Nakreslete ve volnm rovnobnm promtn obraz pravidelnho tystnu ABCD s hranou o dlce a,
kde a je 5 cm. Stnu ABC volte ve vodorovn rovin tak, e $ AC je hloubkov. Zjistte, kter seky
a hly jsou zobrazeny ve skuten velikosti.
loha 2.3.
Nakreslete ve volnm rovnobnm promtn obraz pravidelnho tystnu ABCD s vkou o velikosti
v = 3 cm.
loha 2.4.
Vypotejte objem a povrch pravidelnho tystnu, jeho hrana m dlku b.
loha 2.5.
Zjistte, kolik meme na pravidelnm tystnu sestrojit tvercovch ez?
loha 2.6.
Dokate, e kad bod pravidelnho tystnu m od stn tystnu konstantn souet vzdlenost rovn
vce tystnu.
loha 2.7.
Zjistte, jak tleso uruj:
(a) stedy stn pravidelnho tystnu,
(b) stedy hran pravidelnho tystnu.
loha 2.8.
Jakou s) m pravideln tystn?
17
18
2. JEDNODUCH A DOKONAL
een
loha 2.1.
Mete urit napklad tyto vlastnosti pravidelnho tystnu:
(1) Pravideln tystn je pravideln trojbok jehlan, jeho podstava i bon stny jsou shodn
rovnostrann trojhelnky, vechny hrany tystnu maj stejnou dlku a vechny vnitn hly
stn, tzv. hranov hly, maj velikost 60 .
(2) Tleso m tyi vrcholy, tyi stny a est hran.
(3) Podstava a bon stny jehlanu jsou zamniteln! (tleso vypad stejn, a) le na kterkoli ze
svch stn) a tedy vechny tlesov vky mus bt stejn dlouh (i vpoty velikost libovolnch
dvou vek budou seln zcela stejn).
(4) Vechny pravideln tystny jsou navzjem podobn.
(5) Protj hrany kadho pravidelnho tystnu jsou na sebe kolm (protoe smry hlopek
te stny krychle na kterou meme tystn doplnit
jsou
p k sob kolm) a jejich vzdlenost se
p
rovn dlce hrany pslun krychle, tedy v = b : 2 = 22 b, kde b je dlka hrany tystnu.
(6) Pravideln tystn o hran dlky b m opsanou kulovou plochu (S r) (kulov plocha je popsan
pslun krychli), jej sted S je prsek spojnic sted protjch hran ap polomr r = 46 b.
(7) Pravideln tystn o hran dlky b m vepsanou kulovou plochu (S 42 b), kter se dotk
hran tystnu v jejich stedech.
loha 2.2.
Postup konstrukce (obrzek 2.1):
(1) Rovnostrann trojhelnk (A)B (C ) se stranou dlky a (tnici BP volme vodorovnou)
(2) Prmt podstavy ABC tak, e $ AC je hloubkov.
(3) O: O je tit trojhelnka ABC .
(4) o: O 2 o, o je svisl (o je kolm k BP ).
(5) D: D 2 o, jBDj = a (BD je preln a promt se ve skuten velikosti).
EEN
19
mluva: Shodn hly jsou v obr zku vyznaeny stejnmi eckmi psmeny. Ten z nich, kter je zobrazen
ve skuten velikosti zvraznme dvojitm obloukem.
Ve skuten velikosti jsou:
(1) tlesov vka OD,
(2) strany rovnoramennho trojhelnka BDP , tj. jedna z hran tystnu a dv vky jeho stn,
(3) vnitn hly rovnoramennho trojhelnka BDP , tj. odchylka stny ACD od roviny podstavy
(= odchylka dvou sousednch stn tystnu) a odchylka bon hrany BD od roviny podstavy
(= odchylka hrany od stny, ve kter nele),
(4) hel ODB , jeho velikost je odchylka hrany tystnu od tlesov vky jdouc stejnm vrcholem.
Poznmka: Vzhledem k pravidelnosti ty
stnu je podstava ABC rovnocenn libovoln ze stn a vechny
odchylky dvojic stn p
padn hrany od stny, ve kter nele, jsou stejn velk.
loha 2.3.
lohu meme eit dvma rznmi zpsoby:
(1) Dopotat velikost b hrany tystnu a pak konstruovat obdobn jako v loze 2.2.
Vpoet
pomoc
Pythagorovy vty z pravohlho trojhelnka OBD, dle obrzku 2.1 dv
p
p
3
6
6
b= 2 v= 2 .
(2) Konstrukn bez vpotu:
Rozbor:
Vechny pravideln tystny jsou navzjem podobn, a proto meme kterkoli z nich zvtit
nebo zmenit tak, abychom dostali tystn sprvn velikosti (nap. pout stejnolehlost).
Konstrukce (nalezen postup zjednodume* obrzek 2.2):
(a) Z pomocnho tystnu vyrsujeme jen trojhelnk B 0 D0 P 0 s vkou OD0 , kter zobrazme
do trojhelnka BDP ve stejnolehlosti se stedem O tak, aby jODj = 3cm.
(b) Prmt podstavy: rovnostrann trojhelnk ABC , kde P je sted AC a strana m dlku
a = jBDj.
(c) Prmt tystnu.
loha 2.4.
p
p
S = 4Sr = b2 3 (Vka ve stn je vr = 23 b, obsah rovnostrannho trojhelnka Sr =
Pro tlesovou vku v plat Pythagorova
p vta v pravohlm trojhelnku OBD:
v2 = b2 ; ( 32 vr )2 = 32 b2 = 96pb2 ) v = 36 b.
Potom V = 31 Sr v = = 122 b3 .
p
3 2
4 b ).
20
loha 2.5.
tvercov je napklad ez KLMN , kde K je sted AB , L je sted BC , M je sted CD a N je sted AD.
(Nakreslete si obrzek.) Rovina ezu je rovnobn s protjmi (na sebe kolmmi) hranami AC , BD
a ostatn hrany pl. ez je ohranien stednmi pkami stn tystnu, kter jsou navzjem shodn,
KL i MN jsou rovnobn s AC , LM i KN jsou rovnobn s BD. Pravideln tystn m ti dvojice
protjch hran, a proto lze takov ezy najt celkem ti.
ezy dalmi rovinami rovnobnmi s dvojicemi protjch hran ji mus bt obdlnky (jedna dvojice
shodnch protjch stran ezu je krat ne stedn pka stny, druh dvojice shodnch stran ezu je
del ne stedn pka stny).
Pokud je spojnice XY prsek roviny ezu s hranami AB a BC rznobn s AC , mus bt rznobn
s rovinou stny ACD a ez neme bt rovnobnk, nato tverec.
Na pravidelnm tystnu lze najt pouze ti tvercov ezy.
loha 2.6.
Rozlime nsledujc monosti:
M je vrchol tystnu: v1 + v2 + v3 + v4 = v + 0 + 0 + 0 = v, kde v je vka tystnu,
M le
na hran: v1 + v2 + v3 + v4 = v1 + v2 + 0 + 0 = v (v1 je vka malho pravidelnho tystnu
odznutho ze zadanho tystnu rovinou jdouc bodem M a rovnobnou s nkterou ze stn, ve kter
bod M nele, v2 je vzdlenost rovnobnch rovin),
M le
na stn: v1 + v2 + v3 + v4 = v1 + v2 + v3 + 0 = vm + v3 = v (vm je vka malho pravidelnho
tystnu odznutho ze zadanho tystnu rovinou jdouc bodem M a rovnobnou s nkterou ze stn,
ve kter bod M nele. M pak le na hran malho tystnu a v1 + v2 = vm podle pedchozho, v3 je
vzdlenost rovnobnch rovin),
M le
uvnit tystnu: v1 + v2 + v3 + v4 = vm + v4 = v (vm je vka malho pravidelnho tystnu
odznutho ze zadanho tystnu rovinou jdouc bodem M a rovnobnou s nkterou z jeho stn. M
pak le na stn malho tystnu a v1 + v2 + v3 = vm podle pedchozho, v4 je vzdlenost rovnobnch
rovin).
Tvrzen je dokzno.
loha 2.7.
Zjistme:
(a) Stedy A0 , B 0 , C 0 , D0 stn pravidelnho tystnu o hran dlky b uruj pravideln tystn
o hran dlky c, kter je rovna 32 z 2b . Tedy c = 3b .
Dkaz (obrzek 2.3):
(1) Ob tlesa kolmo promtneme do roviny ABC (T je prsek tlesovch vek). Prmt
stny A0 B 0 C 0 je ve skuten velikosti. Jde zejm o rovnostrann trojhelnk.
(2) Protoe v kolmm prmtu plat: jTB j = 2jTP j, jTB 0 j = 32 jTP j a vzhledem k tomu, e
kolm promtn pomry na sekch zachovv, mus bt i ve skutenosti jTB 0 j : jTB j =
1 : 3.
V prmtu jsou trojhelnky A0 B 0 C 0 a ABC stejnolehl ve stejnolehlosti se stedem T a koecientem ; 31 . V prostoru jsou stejnolehl ve stejnolehlosti se stedem T a koecientem ; 31 tystn
A0 B 0 C 0 D0 a ABCD. Jsou tedy pravideln oba.
Poznmka: Je-li S a V povrch a objem pvodnho ty
stnu, m mal ty
stn povrch S9 a objem
V
27 .
(b) Nech) je dn pravideln tystn s hranou dlky b. Ukeme, e stedy jeho hran uruj pravideln osmistn o hran 2b .
Dkaz (Obrzek 2.4):
Odzneme-li kad z vrchol tystnu rovinou urenou stedy prv tch hran, kter z nho
vychzej, zstane nm osmistn. ezy jsou trojhelnky, jejich vechny strany jsou stedn
pky pvodnch stn a maj proto dlku 2b . Dal tyi stny tohoto osmistnu jsou rovnostrann trojhelnky, kter zstaly ze stn tystnu (ohranien stednmi pkami pvodnch
EEN
21
Obrzek 2.3. K een lohy 2.7 a)
stn). V kadm vrcholu osmistnu se stkaj prv tyi rovnostrann trojhelnky
Osmistn je tedy pravideln.
Obrzek 2.4. K een lohy 2.7 b)
loha 2.8.
Kdy sthme podle souvisl ry - s) je rovnobnk o stranch b, 2b a hlech 60 , respektive 120
(nap. obrzek 2.5 pro tystn ABCD).
Obrzek 2.5. S) pravidelnho tystnu - rovnobnk
Kdy sthme podle hran jedoucch z tho vrcholu - s) je rovnostrann trojhelnk (nap. obrzek 2.6
pro tystn ABCD).
22
Obrzek 2.6. S) pravidelnho tystnu - rovnostrann trojhelnk
POZNMKY
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
23
K zapamatovn
Protj hrany pravidelnho tystnu jsou na sebe kolm.
Vechny pravideln tystny jsou navzjem podobn.
Pravideln tystn ABCD lze doplnit na krychli AKBLMCND.
Na pravidelnm tystnu le prv ti tvercov ezy (prochzejc stedy dvou dvojic protjch
hran rovnobn se tet dvojic protjch hran).
Stedy stn pravidelnho tystnu uruj dal pravideln tystn. Dlka jeho hrany je 31 dlky
hrany pvodnho tystnu.
Oba tystny jsou navzjem stejnolehl.
Stedy hran pravidelnho tystnu uruj pravideln osmistn. Dlka hrany osmistnu je 21
dlky hrany tystnu.
Kad bod pravidelnho tystnu m od vech stn tystnu konstantn souet vzdlenost
rovn velikosti vky tohoto tystnu.
p
Tlesov vka pravidelnho tystnu m velikost v = 36 b.
S) pravidelnho tystnu s hranou dlky b m tvar bu rovnostrannho trojhelnka se stranami
dlek 2b, nebo rovnobnku o stranch dlek b, 2b a hlech s velikostmi 60 , respektive 120 .
Poznmky
2.1 Chceme-li zdraznit, e nkter z oznaench hl je na obrzku zobrazen ve skuten velikosti
meme ho zvraznit (obdobn jako v obrzku 2.1) dvojitm obloukem.
KAPITOLA 3
Jehlany, hranoly, mnohost ny
3.1. tystn
Zvolme v prostoru tyi libovoln body, kter nele v te rovin a zkoumejme mnohostn, kter m
za vrcholy prv jen tyto tyi body. Tomuto tlesu, kter m prv tyi trojhelnkov stny kme
tystn. Je to nejjednodu mnohostn a znte ho pod nzvem trojbok jehlan.
loha 3.1.1.
Rozhodnte, zda existuje nekonvexn tystn.
loha 3.1.2.
Ukate, e se seky spojujc stedy protjch hran tystnu navzjem pl.
loha 3.1.3.
Dokate tvrzen:
Tnice tystnu (spojnice vrchol s titi protjch stn) se protnaj v jedinm bod zvanm tit
tystnu. Tit le na kad z tnic ve 43 od vrcholu.
loha 3.1.4.
Aplikujeme-li tvrzen z pedchozho pkladu na pravideln tystn, u kterho jsou tnice stmi vek
(kolmic sputnch z vrcholu tystnu na jeho protj stnu), uvidme, e existuj tzv. ortocentrick
ty
stny, jejich vky se protnaj v jednom bod. Najdte pklad tystnu, kter nen ortocentrick.
loha 3.1.5.
Pro hranov hly pi libovolnm vrcholu kadho tystnu plat: souet dvou z nich je vdy vt ne
hel tet. Zdvodnte pravdivost tohoto tvrzen.
loha 3.1.6.
Dn tystn ABCD. Na kolik st rozdluj prostor roviny jeho stn?
loha 3.1.7.
Dokate, e v kadm tystnu existuje takov vrchol, e z seek shodnch s hranami, kter z nho
vychzej, lze sestrojit trojhelnk.
tystn a souadnice
loha 3.1.8.
Znte symbolick rovnice S = (A + B ) : 2 pro vpoet souadnic stedu (tit) seky AB a T =
(A + B + C ) : 3 pro vpoet souadnic tit trojhelnka ABC . Plat podobn rovnice i pro vpoet
souadnic tit tystnu ABCD?
loha 3.1.9.
Ukate, e tit libovolnho tystnu je i stedem kad z jeho st
ednch p
ek (spojnic sted protjch
hran).
25
26
3. JEHLANY, HRANOLY, MNOHOSTNY
een
loha 3.1.1.
Mnoina M je konvexn mnoinou bod prv tehdy, kdy pro libovoln dva rzn body X , Y mnoiny
M je i seka XY st M.
Nech) ABCD je njak tystn a K , L jsou libovoln dva z jeho bod (tj. le bu na hranici tystnu co je sjednocen trojhelnk 4ABC , 4BCD, 4CDA, 4DAB , nebo uvnit tystnu, v prostoru touto
hranic omezenm). Pak seka KL pat poloprostorm ! ABCD, ! BCDA, ! CDAB , ! DABC a
je tedy st jejich prniku, kterm je prv uvaovan tystn.
Kad tystn ABCD je tedy konvexn.
loha 3.1.2.
Nech) ABCD je tystn. Ozname K , L, M , N stedy jeho hran AB , BC , CD, AD. Potom KL i MN
jsou rovnobn s hranou AC a maj polovin dlku ne tato hrana (jsou to stedn pky v trojhelncch
ACB a ACD). Potom ovem KL a MN jsou rovnobn a stejn dlouh seky. KLMN je rovnobnk,
jeho hlopky KM a LN (spojnice sted protjch hran danho tystnu) maj spolen sted S .
Je-li XY spojnice tetho pru protjch hran, obdobn ukeme, e se pl nap. s sekou KM , tj.
tak prochz bodem S .
loha 3.1.3.
Uvame ez tystnu ABCD rovinou BQD, kde Q je tit trojhelnka ABC (obrzek 3.1). ez je
ohranien hranou BD a tnicemi stn ABC a ACD. Ozname P sted hrany AC a R tit trojhelnka
ACD. Tnice DQ a BR tystnu le v rovin ezu a protnaj se v bod T . Z vty o titi trojhelnka
pro trojhelnky ABC a ACD plyne, e trojhelnk PQR je podobn trojhelnku PBD v podobnosti
s koecientem 31 . QR je rovnobn s BD a m tetinovou dlku. Potom trojhelnky QRT a DBT jsou
podobn (podle vty uu) s koecientem podobnosti k = 3. Odtud TB = 3RT a TD = 3QT .
Obdobn v ezech rovinami AQD, CQD ukeme, e DQ protn i dal dv tnice ve sv tvrtin od
bodu Q, tedy v bod T .
Obrzek 3.1. ez tystnu ABCD rovinou BQD
loha 3.1.4.
Uvaujme napklad tystn ABDO, kter je st krychle ABCDEFGH tak, e O je sted stny
EFGH . (Nakreslete si obrzek.) Vky z vrchol A a O se protnaj ve stedu S seky BD. Pokud by
byl S ortocentrem, musely by ob zbvajc vky splynout s pmkou $ BD. Pak by ovem roviny stny
ADO a ABO byly navzjem rovnobn - spor. tystn ABDO nen ortocentrick.
EEN
27
loha 3.1.5.
Pedpokldejme, e v njakm tystnu existuje vrchol A, pi kterm hranov hly podmnku nespl$uj.
Stny tystnu vychzejc z vrcholu A rozvineme do roviny tak, e nejvt hel je uprosted. Pokusme-li
se nyn dt k sob rozstienou hranu!, peklop se bon stny a do roviny prostednho trojhelnka,
ani by ly jejich pslun strany slepit! mimo tuto rovinu - popsan situace neme nastat.
loha 3.1.6.
Na patnct st: vlastn tystn* 4 sti prostoru nad stnami!* 6 st prostoru nad hranami!* 4 sti
prostoru nad vrcholy!.
loha 3.1.7.
Nech) ABCD je tystn. Ozname a, b, c obvyklm zpsobem dlky stran trojhelnka ABC a x, y, z
dlky hran jdoucch z bodu D postupn do vrchol A, B , C . (Nakreslete si obrzek.)
Mohou nastat dv monosti. Bu dlky x, y, z maj zkoumanou vlastnost a hledanm vrcholem je bod
D, nebo dlky x, y, z nespl$uj trojhelnkovou nerovnost (nejde z nich sestrojit trojhelnk) napklad
proto, e z x + y. Ve stnch vak trojhelnkov nerovnosti plat: x + b > z , z + x > b, y + a > z ,
z + y > a. Pak a + z a + y + x > z + x > b a obdobn b + z b + x + y > z + y > a. Tak z x + y >
z ; b + z ; a = 2z ; (a + b). Odtud plyne a + b > z . Dlky hran vychzejcch z vrcholu C tedy spl$uj
vechny ti trojhelnkov nerovnosti a lze sestrojit trojhelnk se stranami dlek a, b, z .
loha 3.1.8.
Pro vpoet souadnic tit tystnu plat T ;D = 43 '(A+B +C ) : 3;D]. Odtud T = (A+B +C +D) : 4.
loha 3.1.9.
Pro sted O stedn pky spojujc stedy hran AB a CD mus platit O = '(A + B ) : 2 + (C + D) :
2] : 2 = (A + B + C + D) : 4 = T . Obdobn pro zbvajc dv stedn pky. Prsek stednch pek
tystnu je titm tystnu.
28
3.2. Jehlany mohou bt pravideln nebo nepravideln
loha 3.2.1.
Nakreslete voln rovnobn prmt pravidelnho estibokho jehlanu tak, aby:
(1) se jeho vka v rovnala dlce a podstavn hrany,
(2) pro dlku b jeho bon hrany platilo b = 2a.
Volte a = 3 cm.
loha 3.2.2.
Kolik rovin symetrie m pravideln n-bok jehlan (kter nen pravidelnm tystnem)?
loha 3.2.3.
Pravideln trojbok jehlan ABCV je v nkterch otoench kolem sv vky $ V S samodrun (ABCV
se zobraz do BCAV , respektive do CABV nebo znovu na ABCV ). Jak jsou hly tchto zkrytovch!
otoen?
loha 3.2.4.
Jakou st objemu krychle ABCDEFGH je:
(a) objem pravidelnho tystnu z lohy 1.9 a),
(b) objem pravidelnho osmistnu z lohy 1.9 b)?
loha 3.2.5.
V jak vzdlenosti od roviny podstavy je teba vst rovinu ezu rovnobnou s podstavou danho jehlanu,
aby vznikl komol jehlan ml stejn objem jako jehlan odznut?
loha 3.2.6.
Dn pravideln estibok jehlan ABCDEFV . Kolik existuje dalch jehlan, jejich vrcholy jsou prv
nkter z bod A, B , C , D, E , F , V ?
EEN
29
een
loha 3.2.1.
Pokyny pro konstrukci (obrzek 3.2:
(a) Trojhelnk ADV (kter volme preln) je pravohl rovnoramenn (polovina tverce s hlopkou dlky 2a).
BC a EF jsou preln, BF a CE jsou hloubkov.
(b) Trojhelnk ADV (kter volme preln) je rovnostrann.
BC a EF jsou preln, BF a CE jsou hloubkov.
Obrzek 3.2. Konstrukce k loze 3.2.1
loha 3.2.2.
Je to prv n rovin, kter vechny prochzej spojnic hlavnho vrcholu V se stedem S podstavy
A1 A2 A3 : : : An;1 An .
Nech) Oi je sted hrany Ai Ai+1 pro i 2 f1 2 : : : n ; 1g, On je sted hrany An A1 .
Pro lich n jsou rovinami symetrie vechny roviny V SAi , kter jsou i rovinami V SOj , pro i j 2
f1 2 : : : ng.
Pro n = 2k sud jsou rovinami symetrie vechny roviny V SAi = V SAi+k a vechny roviny V SOi =
V SOi+k , kde i = 1 2 3 : : : k.
loha 3.2.3.
Jde o vechny orientovan hly s velikost k 120 , kde k 2 Z (k je cel slo). Rzn otoen jsou to vak
pouze ti: pro k = 3l + 1, pro k = 3l + 2 a identick pro k = 3l (l 2 Z ).
30
loha 3.2.4.
Pro danou krychli ABCDEFGH plat:
p
p
2 3
(a) tystn
m
hranu
dlky
b
=
a
2.
Vypotejme
jeho
objem.
V
=
12 b (dle lohy 2.4). Tedy
p
p 3
3
2
a
V = 12 (2 2a ) = 3 . Objem vepsanho tystnu je tetinou objemu krychle.
(b) Osmistn
je sjednocenm dvou jehlan, kter maj spolenou tvercovou podstavu o; stran
dlky
p
2
a
1
3
c = 2 a (kter je tak jejich prnikem) a vku 2 . Objem osmistnu je V = 2 12 a = a63 .
Objem vepsanho osmistnu je estinou objemu krychle.
loha 3.2.5.
Odznut jehlan je podobn jehlanu pvodnmu.
jeho objem Vm a vku vm . Je-li koecient
q Ozname
p
p
34
3
V
3 1
3
podobnosti k, bude Vm = k V = 2 . Tedy k = 2 = 2 a hledan vzdlenost je v ; vm = v ; 24 v =
p
2; 3 4 v .
2
p
3
Odpov : Rovina ezu je ve vzdlenosti 2;2 4 v od roviny podstavy (piblin 0 206v).
loha 3.2.6.
Vechny jehlany mus mt vrchol V , kter dokonce vdy meme povaovat za vrchol hlavn. Sta zjistit,
kolik existuje rznch podstav. Kad podstava je jednoznan urena vybranou mnoinou jejch vrchol
(podstavn hrany se nesm navzjem protnat). Ptihelnk je 6 (mme 6 monost, jak z bod A, B , C ,
D, E , F jeden vynechat). Poet tyhelnk je roven potu kombinac tvrt tdy ze esti prvk, co se
rovn potu kombinac druh tdy ze esti prvk, tedy 15. Poet trojhelnk je roven potu kombinac
tet tdy ze esti prvk, tedy 20. Vyhovujcch podmnoin je 41.
Poznmka: Poet lze zjistit i bez uit kombinac. Nejprve urme poet vech podmnoin estiprvkov
mnoiny vrchol podstavy. Kad ze esti bod v hledan podmnoin bu je, nebo nen - je tedy celkem
2 2 2 2 2 2 = 26 = 64 rznch podmnoin. Nyn odeteme poet podmnoin, kter nevyhovuj. Co
jsou pr zdn a pln podmnoina (2), jednoprvkov (6) a dvouprvkov (polovina z 6 5) podmnoiny.
Vyhovujcch podmnoin je tedy 64 ; 23 = 41.
Odpov : Celkem meme najt 41 jehlan (vesms konvexnch) vepsanch jehlanu danmu a rznch od
nj.
3.3. KRYCHLE PAT MEZI HRANOLY
31
3.3. Krychle pat mezi hranoly
loha 3.3.1.
Kdy krychli ABCDEFGH s hranou dlky a = 4 cm otome kolem osy spojujc stedy stn ABCD
a EFGH o +45 , dostaneme krychli A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 G0 H 0 . Kolm hranoly H1 , (H2 ) vzniknou jako prnik
(sjednocen) dvou krychl. Urete objemy takto vytvoench tles.
loha 3.3.2.
Rozhodnte, zda existuje hranol, u kterho jsou:
(a) navzjem shodn vechny hrany, ale nejsou shodn vechny stny.
(b) navzjem shodn vechny stny, ale nejsou shodn vechny hrany,
loha 3.3.3.
Rozmry kvdru jsou temi po sob jdoucmi leny geometrick posloupnosti. Dv men ze stn maj
obsah 25 cm2 a 150 cm2 . Kvdr nakreslete ve volnm rovnobnm promtn v ptinsobnm zmenen.
(Pslun dlky seek urete konstrukn.)
loha 3.3.4.
Pro ikm trojbok hranol KLMNOP na obrzku 3.3, jeho st je pravideln tystn KLMN , vypotejte velikost povrchu.
Obrzek 3.3. Hranol KLMNOP z lohy 3.3.4
loha 3.3.5.
Bon stny kadho hranolu jsou rovnobnky (pro kolm hranol dokonce pravohelnky). Jsou-li rovnobnky i podstavy hranolu, nazvme tleso rovnobnostn. Dokate, e roviny kad dvojice protjch
(nesousednch) stn libovolnho rovnobnostnu jsou navzjem rovnobn.
loha 3.3.6.
Dokate, e kad rovnobnostn je stedov soumrn.
32
loha 3.3.7.
Nech) ABCDEFGH je rovnobnostn. Dokate, e jemu vepsan tystny ACFH a GEDB jsou
shodn.
EEN
33
een
loha 3.3.1.
Pro objem kadho z obou kolmch hranol plat V = Sp v. Sta tedy zjistit obsah Sp podstavy, vka
v = a.
U sjednocen je podstavouposmicp hvzda s dlkou strany x, pro prnik je podstavou pravideln osmihelnk s dlkou strany x 2.
Zejmpplat (obrzek 3.4):
p
p
2x + x 2 = a = 4, x = 4 : (2 + 2) = = 4 ; 2 2
Pro prvn hranol plat:
p 2
p
p
S1 = a2 ; 4St = 4p2 ; 2x2 = 16 ; 2(4
p ; 2 2) = 16 ; 2(24 ; 16 2) = 32 2 ; 32
V1 = 4 S1 = 128 2 ; 128 = 128( 2 ; 1)
Pro druh hranol plat:
p
p
p
S2 = a2 + 4St = 42 + p
2x2 = 16 + 2(4p; 2 2)2 = 16 + 2(24 ; 16 2) = 64 ; 32 2
V2 = 4S2 = 256 ; 128 2 = 128(2p; 2)
p
Objemy hranol jsou: V1 = 128( 2 ; 1) cm3 a V2 = 128(2 ; 2) cm3 .
Obrzek 3.4. K een lohy 3.3.1
loha 3.3.2.
Odpovdi:
(a) Ano.
Pkladem jsou pravideln n-bok hranoly (n je rzn od 4), jejich bon stny jsou tverce.
(b) Ne.
Dkaz: Bon stny hranolu jsou rovnobnky. Pokud m hranol vechny stny navzjem
shodn, mus to bt rovnobnky. Nech) se tedy ve vrcholu A hranolu stkaj ti shodn rovnobnkov stny ABCD, ABFE , ADHE . Nech) jAB j = a a jADj = jAE j = b, pak ovem
ADHE je kosotverec nebo tverec, protoe m vechny strany dlky b. Vechny hrany hranolu
jsou stejn dlouh (a = b).
loha 3.3.3.
Ozname q kvocient geometrick posloupnosti. Rozmry kvdru ozname: qb , b, bq a nech) jsou seazeny
p
2
podle velikosti vzestupn. Men stny maj obsah bq = 25, b2 = 150. Z druhho vztahu plyne b = 5 6.
34
p
p
p
Dopotme q = 6. Kvdr m v centimetrech rozmry: 56 6, 5 6, 30 6.
Popis konstrukcep(kterou si ji snadno narsujete sami):
(1) Dlku 6 sestrojmepnap. pomoc
Euklidovy vty o odvsn.
p
p
p
5
(2) Stnu o rozmrech 5 6 krt 6 6 umstme preln. Zobrazme ji 5 krt men: 6 cm x 66
cm.
p
(3) Hrany s dlkou 30 6 p
le na hloubkovch pmkch (zkrtme je na polovinu), po ptinsobnm
zmenen naneseme 3 6 cm.
loha 3.3.4.
Vechny hrany tlesa maj dlku a = 4 cm. Stny KLON a KMPN jsou shodn kosotverce, na kter
lze doplnit rovnostrann trojhelnk, tedy kosotverce s hly o velikostech 60 a 120 . MLOP je tverec
(seka OL je rovnobn s sekou KN , tedy kolm na seku ML). Povrch je tvoen esti rovnostrannmi trojhelnky (tyi
a jednm tvercem.
vytvo dva kosotverce)
pz nich
p
3
3
3
2
2
2
Povrch tlesa je S = 6 4 a + a = (1 + 2 )a .
loha 3.3.5.
Nech) ABCDEFGH je rovnobnostn. Pak AB je rovnobn s EF a tedy i s GH a AE je rovnobn s CG. Z kritria rovnobnosti dvou rovin plyne, e roviny protjch stn ABFE a DCGH jsou
rovnobn. Obdobn pro dal dvojice rovin protjch stn.
loha 3.3.6.
Nech) ABCDEFGH je rovnobnostn. Pak AB je rovnobn s EF i s DC , kter pak jsou rovnobn
navzjem. CDEF je tedy rovnobnk. Ozname-li S jeho sted, jsou dvojice bod C , E a D, F soumrn
sdruen podle S . Tak ADGF je rovnobnk, jeho stedem je sted seky DF , tedy bod S . Body A,
G jsou pak soumrn sdruen podle S . Rovnobnkem je i BCHE , jeho sted je sted seky CE , tj.
bod S a i body B , H jsou soumrn sdruen podle S . Bod S je stedem symetrie rovnobnostnu.
loha 3.3.7.
tystny jsou navzjem soumrn podle stedu soumrnosti rovnobnostnu, jemu jsou vepsny. Tento
sted je dle lohy 3.1.9 tak jejich spolenm titm.
3.4. ROVNOBNOSTN OPSAN TYSTNU
35
3.4. Rovnob
nostn opsan tystnu
Pi een loh se asto vyplat dopl$ovat tystn na rovnobnostn. Toto lze vdy udlat dokonce
nkolika rznmi zpsoby. Mme-li tystn RSTU , doplnme ho na rovnobnostn ABCDEFGH napklad tak, e polome: 1) A = R, C = S , H = T , F = U nebo 2) A = R, B = S , D = T , E = U .
Prvn zpsob (napklad opsn krychle pravidelnmu tystnu, kter jsme ji v pedchozm pouili): Stny rovnobnostnu prochzej vdy hranou tystnu rovnobn s hranou protj. +dn ze
stn tystnu nen st stny opsanho rovnobnostnu, hrany tystnu jsou stnovmi hlopkami
rovnobnostnu.
Druh zpsob: Zachovv roviny vech stn u vybranho vrcholu, nap. R = A, a dal ti vrcholy
rovnobnostnu zskme doplnnm tchto trojhelnkovch stn na rovnobnky. Doplnme-li tmto
zpsobem pravideln trojbok jehlan tak, e zachovme hlavn vrchol, zskme rovnobnostn, jeho
vechny stny jsou navzjem shodn kosotverce, tzv. klenec.
Poznmky:
(1) Jin klenec zsk me doplnnm pravidelnho trojbokho hranolu prvnm zpsobem.
(2) Klenec m dva protj vrcholy, p
i kterch jsou vechny hranov hly shodn i shodn navz jem.
Jsou-li tyto hranov lohy ostr, nazv me ho klenec prothl a, jsou-li hranov hly tup,
nazv me ho klenec zplotl.
loha 3.4.1.
Dn tystn ABCD: jAB j = jADj = jBDj = 3 cm, jBC j = 4 cm, jAC j = jCDj = 5 cm. Zobrazte ho ve
vhodn voln rovnobn projekci a pak ho dopl$te na rovnobnostn obma ve zmnnmi zpsoby.
loha 3.4.2.
Ukate, e dn tystn KLMN neme mt prv jen dv dvojice navzjem kolmch protjch hran.
loha 3.4.3.
Najdte osy symetrie pravidelnho tystnu.
loha 3.4.4.
Dn pravideln tystn ABCD, body E , F , G, H , I , J jsou po ad stedy jeho hran AB , BC , AC ,
AD, BD, CD. Sedmistn AEFGHIJ m ti stny, kter jsou kosotverce a dal stny rovnostrann
trojhelnky. Lze najt bod X tak, e uvaovan sedmistn je st klence AEFGHIXJ , na kter je
mon doplnit pravideln tystn AEGH (druhm zpsobem zachovvajcm bod A). Porovnejte objemy
mnohostn AEFGHIJ , AEFGHIXJ .
loha 3.4.5.
ete lohy o rovnobnostnech:
(a) Rozhodnte, zda existuje rovnobnostn, kter nen krychl a pesto m vechny stny navzjem
shodn. Meme ho najt k libovoln zvolenmu rovnobnku?
(b) Rozhodnte, zda existuje rovnobnostn, kter nen krychl ani klencem a pesto m vechny
hrany navzjem shodn.
(c) Rovnobnostn nen krychl. Kolik me mt nejve tvercovch stn?
loha 3.4.6.
Dn tystn ABCD. Urete prsek spojnic sted hran AB a CD s BC a DA pomoc opsanho
rovnobnostnu.
loha 3.4.7.
Jsou dny dv mimobky a, b. Po pmce a se pohybuje seka AB dlky m. Po pmce b se pohybuje
seka CD dlky n. Dokate, e objem tystnu ABCD nezvis na poloze seek AB a CD.
36
een
loha 3.4.1.
Rozbor:
DBC i ABC jsou navzjem shodn pravohl trojhelnky s pravm hlem u vrcholu B . Dle kritria
kolmosti pmky a roviny mus bt $ BC ? $ ABD.
Konstrukce tystnu (obrzek 3.5 a)):
(1) Rovnostrann trojhelnk ABD o stran dlky 3 cm v preln rovin.
(2) $ BC (hloubkov pmka): $ BC ? $ ABD a jBC j = 4 cm.
(3) tystn ABCD.
Doplnn na rovnobnostn:
Prvn zpsob (obrzek 3.5 b)):
(1) S : S je sted BD.
(2) S 0 : S 0 je sted AC .
(3) A0 C 0 : A0 C 0 je shodn a rovnobn s AC a S je jej sted.
(4) B 0 D0 : B 0 D0 je shodn a rovnobn s BD a S 0 je jej sted.
(5) Rovnobnostn AB 0 CD0 A0 BC 0 D.
Druh zpsob (obrzek 3.5 c)):
Zachovme stny u vrcholu A.
(1) X , Y , Z : ABXC , ABY D, ACZD jsou rovnobnky.
(2) Q: BXQY je rovnobnk.
(3) Rovnobnostn ABXCDY QZ .
Obrzek 3.5. Konstrukce k loze 3.4.1
EEN
37
loha 3.4.2.
Nech) ve tystnu KLMN je KL kolm na MN a LM je kolm na KN . tystn doplnme prvnm
zpsobem na rovnobnostn KBLDEMGN . (Nakreslete si obrzek.) Potom BDkMN a EGkKL a
rovnobnk KBLD m hlopky na sebe kolm, mus to tedy bt rovnobnk se shodnmi stranami
(kosotverec nebo tverec). Obdobn i pro stny BMGL a KEND. Vechny hrany rovnobnostnu
jsou tedy stejn dlouh. Potom i rovnobnky KBME a DLGN maj vechny hrany navzjem shodn.
Pak ovem maj i na sebe kolm hlopky KM s BE a DG s NL. Protoe KM kDG a LN kBE mus
bt protj hrany KM , LN tystnu tak na sebe kolm. tystn, kter by ml prv jen dv dvojice
navzjem kolmch protjch hran, neexistuje.
Poznmka: Z kolmosti dvou dvojic protjch hran ty
stnu vyplv i kolmost zbvajc dvojice hran.
loha 3.4.3.
Dan tystn doplnme na krychli ABCDEFGH tak, e ACFH je zkouman tystn. Nech) O je
sted AC a S je sted FH . O, S jsou tedy i stedy protjch stn krychle, pmka $ OS je pak osou
soumrnosti dan krychle i j vepsanho tystnu (v dan soumrnosti si prv navzjem odpovdaj body
A, C , resp. F , H ). Obdobn lze ukzat, e i dal pmky spojujc stedy protjch hran pravidelnho
tystnu jsou jeho osy soumrnosti.
Pokud existuje osov soumrnost s osou, ve kter je dan pravideln tystn samodrun, mus si v n
odpovdat:
bu vdy dva a dva vrcholy tystnu, pak ovem osa symetrie prochz stedy seek tmito
dvojicemi bod urench a jde o soumrnost nalezenou v pedchozm odstavci,
nebo mus bt alespo$ dva vrcholy samodrun a osa symetrie by musela bt jejich spojnic,
pak by ovem vechny tyi vrcholy musely leet v jedn rovin - spor.
Odpov : Pravideln tystn m prv ti osy soumrnosti. Tyto osy spojuj stedy dvojic jeho protjch
hran.
loha 3.4.4.
Sedmistn vznikl z pravidelnho tystnu ABCD odznutm t malch pravidelnch tystn s polovin dlkou hrany obsahujcch vrcholy B , C , D.
Zkoumejme doplnn sedmistnu AEFGHIJ na klenec AEFGHIXJ . (Nakreslete si obrzek.) Bod X
bude spolenm bodem t rovin $ EFI , $ HIJ , $ GFJ . Nad trojhelnkovou stnu FIJ jsme pidali
pravideln tystn o polovin dlce hrany, ne m tystn ABCD.
Mal tystny maj objem,
je osminou objemu V pvodnho tystnu.
; kter
V1 = VAEFGHIJ = V ; 3 V8 = 58 V , V2 = VAEFGHIXJ = V1 + V8 = 68 V .
Odpov : Objemy jsou v pomru 5:6.
Poznmka: Sedmistn AEFGHIJ je uk zkou tzv. hranolce neboli prizmatoidu (viz poznmka 4.4 na
stran 54).
loha 3.4.5.
een loh o rovnobnostnech:
(a) Pslun rovnobnostn existuje, je to klenec, jeho vechny stny jsou navzjem shodn kosotverce.
Pokud m rovnobnostn vechny stny shodn a dv sousedn stny maj spolenou hranu
o dlce a a dal hrany nap. dlky b, mus mt s nimi sousedc tet rovnobnkov stna dlky
vech hran b. Odtud a = b.
Musme jet zjistit, zda klenec existuje ke kadmu kosotverci:
Rozbor:
M-li kosotveren stna velikosti vnitnch hl , takov, e < , + = 180 , jsou
u jedn dvojice protjch vrchol hledanho rovnobnostnu sam hly velikosti (resp. ),
zatmco u vech dalch vrchol jsou vdy dva hly velikosti a jeden hel velikosti (resp. ,
, ). Prvn typ existuje vdy. U druhho typu mus platit 3 < 360 , tj. < 120 , 60 < .
Odpov : Hledan rovnobnostny existuj a nazvaj se klence. Ke kadmu kosotverci lze
38
sestrojit klenec, kter m s nm shodn stny (vdy klenec prodlouen, nkdy klenec zplotl).
Nelze vak sestrojit rovnobnostn, jeho vechny stny jsou navzjem shodn kosodlnky.
(b) Ano. Je to nap. kad ikm hranol se tvercovmi podstavami, jeho bon hrany jsou shodn
s podstavnmi hranami.
(c) tyi. (,ikm tybok hranol se tvercovmi podstavami, jeho bon hrany jsou shodn s podstavnmi hranami a jsou kolm k jedn dvojici navzjem rovnobnch podstavnch hran.)
Poznmka: Rovnobnostn z een lohy 3.4.5 c) lze t popsat jako kolm hranol, jeho podstavy jsou
kosotverce a bon stny tverce.
loha 3.4.6.
tystnu opeme rovnobnostn ATBUV CWD. Hledan prsek je sted symetrie rovnobnostnu.
Poznmka: e spojnice st
ed vech dvojic protjch hran libovolnho ty
stnu maj spolen st
ed, kter
je dokonce titm ty
stnu, jsme dok zali u v loze 3.1.9.
loha 3.4.7.
Tentokrt provedeme doplnn tystnu ABCD na rovnobnostn tak, aby m, n byly dlky jeho hran.
Nejprve urme bod X tak, aby byl obrazem bodu A v posunut urenm C ! D.
tystn doplnme na rovnobnostn ABY XCUV D (obrzek 3.6). tystn je st trojbokho hranolu
ABCXY D a m s nm stejnou podstavu (ABC ) i vku, kter je vzdlenost rovin $ ABC a $ XY D.
Objem tystnu je tedy tetina objemu hranolu a tedy estina objemu rovnobnostnu. Je-li odchylka
a v vzdlenost mimobek a, b, bude hledan objem V = 61 SABY X v = 16 mnv sin a tedy nezvis na
poloze bod A, B , C , D na pmkch a, b.
3.5. CO JSOU MNOHOSTNY
39
3.5. Co jsou mnohostny
Hranoly a jehlany jsou nejznmj pklady mnohostn. Bude nm stait zjednoduen intuitivn
vymezen mnohostnu jako tlesa, jeho hranice je sloena z konenho potu mnohohelnk zvanch
stny. Libovoln dv stny jsou bu disjunktn, nebo maj spolen vrchol, nebo maj spolenou prv
jednu stranu, kter budeme kat hrana mnohostnu. Stnm o spolen hran kme sousedn. +dn
dv sousedn stny nesm leet v jedn rovin a kad strana stny je hranou, ve kter se stkaj prv dv
stny. Vrcholm stn kme vrcholy mnohostnu. Vrcholm spojenm hranou kme sousedn vrcholy.
Mnohostn s s stnami nazvme s-stn (s 4).
Zejm plat: Kad vrchol mnohostnu pat stejnmu potu hran i stn (a to minimln tem)
a kad hrana pat prv dvma stnm.
ekneme, e vrchol mnohostnu m valenci p prv tehdy, kdy z nj vychz p hran (stn).
Je-li mnohostn M konvexn mnoinou bod, nazvme ho konvexn mnohostn. Konvexn s-stn lze
vyjdit jako prnik s poloprostor (hranicemi tchto poloprostor jsou prv roviny jednotlivch jeho
stn). V konvexnm mnohostnu je zejm souet vnitnch hl u tho
vrcholu pro vechny
stny, kter tento vrchol obsahuj (tzv. hranovch hl), v
dy men ne
360 .
loha 3.5.1.
Dokate tvrzen: Poet v vrchol libovolnho mnohostnu a poet h jeho hran spl$uj vztah 3v 2h.
loha 3.5.2.
Dokate, e kad mnohostn m alespo$ dv stny o stejnm potu vrchol.
loha 3.5.3.
Urete minimln a maximln poet hran u ptistnu.
loha 3.5.4.
Rozhodnte, zda existuje nekonvexn ptistn.
loha 3.5.5.
Kolik existuje rznch typ ptistn? Za rzn typy povaujme mnohostny, kter se li v potu vrchol
nebo hran.
loha 3.5.6.
ete:
(a) Najdte tystn s hranami dlek n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5.
(b) Rozhodnte, zda existuje konvexn s-stn s hranami dlek n, n + 1, n + 2, . . . , n + h ; 1 pro
njak pirozen sla s > 4, n, h.
40
een
loha 3.5.1.
Z kadho vrcholu mnohostnu vychzej alespo$ ti hrany a kad hrana m prv 2 vrcholy. Tedy
3v 2h.
loha 3.5.2.
Pokud by s-stn ml kad dv stny s rznm potem vrchol, musel by mt i stny, kter maj poet
vrchol i hran vt ne s. Poet stn sousednch k takov stn je potom vt ne s - spor.
loha 3.5.3.
Ozname v poet vrchol a h poet hran hledanho ptistnu. Protoe 4 vrcholy m prv jen tystn
mus platit v 5.
Stny ptistnu jsou pouze tyhelnky a trojhelnky. Pt stn m dohromady alespo$ 15 stran, z nich
vdy dv splynou do jedn hrany mnohostnu. Stran stn tedy mus bt alespo$ 16, a proto je dle Dirichletova principu alespo$ jedna ze stn tyhelnk. S touto tyhelnkovou stnou pak mus sousedit
vechny tyi zbvajc stny. Pkladem mnohostnu s minimlnm potem hran, tj. s jedinou tyhelnkovou stnou a tymi trojhelnkovmi stnami, kter m prv 5 vrchol a 8 hran, je tybok jehlan.
Maximum hran pak bude mt ten ptistn, kter m maximln mon poet tyhelnkovch stn.
Nech) m dan ptistn tyhelnkovou stnu ABCD. Ta pak soused se vemi tymi zbvajcmi stnami, tedy i s dal tyhelnkovou stnou ABEF . Body C , D tedy nele v rovin $ ABE a body E ,
F nele v rovin $ ABC . Kad z vrchol A, B mus leet jet v dal stn (kter navc mus sousedit
s obma tyhelnkovmi stnami ABCD, ABEF ), a proto stna obsahujc vrchol A obsahuje i vrcholy
D, F a stna obsahujc vrchol B obsahuje i vrcholy C , E .
Tyto stny pak u spolu nemohou navzjem sousedit (byly by ptihelnkov) a jsou to tedy trojhelnky.
Pt stna je tyhelnk CDFE . V kadm vrcholu tohoto ptistnu se tedy setkvaj prv 2 tyhelnky a jeden trojhelnk. Ukzkou takovho ptistnu je napklad trojbok hranol, respektive komol
trojbok jehlan. Stny jsou dva trojhelnky a ti tyhelnky a mnohostn m devt hran.
Odpov : Ptistn m minimln 8 a maximln 9 hran.
loha 3.5.4.
Ano. Napklad tybok jehlan, jeho podstava je nekonvexn tyhelnk.
loha 3.5.5.
Dle vsledku lohy 3.5.3 existuj dva typy ptistn:
Typ Poet stn Poet hran Poet vrchol
1.
5
8
5
2.
5
9
6
Ppadn dal typy nemohou ji mt dv (sousedn) tyhelnkov stny, jejich existence vede k typu 2.
Ale pokud vme, e ptistn m prv jednu tyhelnkovou stnu a 4 trojhelnkov stny, je jednoznan
uren poet jeho hran (8). Pak ovem z v > 4 a 3v 16 plyne v = 5. Jde o typ 1.
Odpov : Existuj jen dva typy ptistn.
EEN
41
loha 3.5.6.
Zkoumejme, zda hledan tlesa existuj:
(a) Ano, tystny s dlkami hran n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5 existuj:
S) na obrzku 3.7 je pro n = 2 a m stnu s hranami n, n +1, n +2. Z trojhelnkov nerovnosti
plyne, e n > 1. S) na obrzku 3.8 a) je pro n = 4 a m stnu s hranami n + 3, n + 4, n + 5.
Obrzek 3.7. S) tystnu pro n = 2
Z trojhelnkov nerovnosti plyne, e n > 2, ale pro n = 3 (obrzek 3.8 b)) by souet hl
u jednoho z vrchol peshl 360 a to nen u konvexnho mnohostnu mon.
Obrzek 3.8. St een lohy 3.5.6 a)
Existenci tystn ovme jejich vymodelovnm v prostoru. (Pokud vak n dostaten vzroste,
bl se kad ze zkoumanch tystn tystnu pravidelnmu, tedy existovat mus.)
Odpov : tystny dan vlastnosti existuj a je jich nekonen mnoho.
(b) Viz obrzek 3.9.
Nech) ABCD je tystn s hranami dlek nap. 4, 5, 6, 7, 8, 9 a stnou ABC o stranch dlek
7, 8, 9. Zvolme bod E v opanm poloprostoru k poloprostoru ! ABCD tak, aby ABCE byl
tystn o hranch 7, 8, 9, 10, 11, 12. ,estistn (dvojjehlan), kter vznikl sjednocenm obou
tystn (s) na obrzku 3.9) m hrany dlek 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 a je zejm konvexn.
Odpov : Mnohostny dan vlastnosti existuj.
42
Obrzek 3.9. S) estistnu spl$ujcho lohu 3.5.6 b)
POZNMKY
43
K zapamatovn
3.1 Pro kad tystn ABCD plat:
ABCD = (! ABCD) \ (! BCDA) \ (! CDAB ) \ (! DABC ).
3.2 Tit tystnu le na kad z jeho tnic v 14 od tit stny a ve 43 od vrcholu. Pro jeho
souadnice plat symbolick rovnice (A + B + C + D) : 4. Tit tystnu je tak prsekem
jeho stednch pek.
3.3 Souet dvou hranovch hl pi libovolnm vrcholu kadho tystnu je vt ne tet hranov
hel pi tomt vrcholu.
3.4 Rozdl dvou hranovch hl pi libovolnm vrcholu kadho tystnu je men ne tet hranov
hel pi tomt vrcholu.
3.5 Pravideln tystn m prv ti osy soumrnosti. Tyto osy spojuj stedy dvojic jeho protjch
hran.
3.6 Kad rovnobnostn je stedov soumrn.
3.7 Oba tystny ACFH a GEDB vepsan danmu rovnobnostnu ABCDEFGH jsou navzjem nepmo shodn, soumrn sdruen podle spolenho tit.
3.8 Rovnobnostn, jeho vechny stny jsou navzjem shodn kosotverce, se nazv klenec.
3.9 Kad mnohostn m alespo$ dv stny o stejnm potu vrchol.
3.10 V kadm mnohostnu plat 3v 2h, kde v je poet jeho vrchol a h poet jeho hran.
Obdobn pro poet s stn plat 3s 2h.
Poznmky
3.1 Pi een loh o tystnech je mnohdy vhodn doplnit ho na rovnobnostn.
3.2 Dirichletv princip Mme-li alespo$ np +1 prvk, a rozdlme je do n pihrdek, mus existovat
pihrdka, ve kter je vc jak p prvk.! je velmi inn metoda pro een irok kly loh.
3.3 Jsou-li dv dvojice protjch hran tystnu na sebe kolm, pak jsou na sebe kolm i zbvajc
dv protjch hrany.
KAPITOLA 4
Eulerova v ta a typy mnohost n
4.1. Eulerova vta
loha 4.1.1.
Zkoumejte n-bok hranol a n-bok jehlan, oznate v poet jeho vrchol, s poet jeho stn, h poet jeho
hran a vypl$te pipojenou tabulku. Zjistte vztah mezi s, v, h.
n-bok hranol
n-bok jehlan
v
s
h
loha 4.1.2.
Tvrzen V kadm konvexnm mnohostnu M s potem stn s, potem vrchol v a potem hran h plat
. . . (zde dopl$te vztah nalezen v loze 4.1.1).! je pravdiv a nazv se Eulerova vta. Pouijte ji ke
zjitn, jak stny m konvexn sedmistn se esti vrcholy.
loha 4.1.3.
Nakreslete pklad sedmistnu, o jakm hovo pedchzejc loha.
loha 4.1.4.
Ke kterm trojicm sel 6 v h existuje pslun konvexn estistn?
loha 4.1.5.
Najdte pklad nekonvexnho mnohostnu respektive hranatho tlesa, kter nen mnohostnem, a) spl$ujcho, b) nespl$ujcho Eulerv vztah.
loha 4.1.6.
Rozhodnte:
(a) Jak minimln poet hran hm me mt konvexn mnohostn?
(b) Existuje konvexn mnohostn s potem hran hm + 1?
loha 4.1.7.
Mnohostn, pro kter plat Eulerova vta nazvme eulerovsk mnohostn. Ukate, e odznutm nvalentnho vrcholu od eulerovskho mnohostnu zskme nov eulerovsk mnohostn.
45
46
4. EULEROVA VTA A TYPY MNOHOSTN
een
loha 4.1.1.
Doplnn tabulky:
n-bok hranol
n-bok jehlan
Plat vztah: v + s = h + 2.
v
2n
n+1
s
n+2
n+1
h
3n
2n
loha 4.1.2.
Tvrzen: V kadm konvexnm mnohostnu M s potem stn s, potem vrchol v a potem hran h plat
s + v = h + 2.!
Pro n ppad: h = s + v ; 2 = 7 + 6 ; 2 = 11. Kad hrana tvo stranu dvou stn. Stny maj tedy
dohromady 22 stran. Protoe je to 7 stn, mus (dle Dirichletova principu) alespo$ jedna z nich mt vc
ne 3 strany a tedy i vc ne 3 vrcholy.
Pak 2h = 22 4 + 3(s ; 1) = 4 + 18 = 22. Pedchoz vztah mus bt rovnost a v danm sedmistnu je
tedy prv jedna stna tyhelnk, zatmco ostatn jsou trojhelnky.
loha 4.1.3.
Rozbor (obrzek 4.1):
Sedmistn m 7 stn (1 tyhelnk nap. ABCD a 6 trojhelnk) a 6 vrchol.
Mus tedy existovat prv dva vrcholy E , F , kter nele v rovin tyhelnka ABCD.
loha m nekonen mnoho een. Sedmistny jsou vak jen dvou typ:
(1) Stny EFX , EFY maj vrcholy X , Y , kter jsou dvojic protjch vrchol tyhelnka ABCD
(obrzek 4.1 a)).
(2) Stny EFX , EFY maj vrcholy X , Y , kter jsou dvojic sousednch vrchol tyhelnka ABCD
(obrzek 4.1 b)).
loha 4.1.4.
Nejprve si uvdomme, e estistn m nejmn 5 vrchol (tyi vrcholy m pouze tystn) a e jeho
stny mohou bt jen trojhelnky, tyhelnky a ptihelnky (ppadn estihelnkov stna by toti
musela mt 6 sousednch stn). Pokud m estistn za stnu ptihelnk, mus tato stna sousedit se vemi
EEN
47
zbvajcmi stnami a spolu s nimi tvo cel estistn.
Dosadme s = 6 do Eulerova vztahu a vyjdme h:
(4.1)
6+v =h+2)h=v+4
Z 3v 2h plyne 3v 2(v + 4) = 2v + 8, tj. v 8.
Do vztahu 4.1 dosazujeme za v a vsledky zapisujeme do tabulky:
v h Pklad
1. 5 9 dvojjehlan se spolenou trojhelnkovou podstavou (trojbok)
2. 6 10 ptibok jehlan nebo mnohostn na obrzku 4.2 a)
3. 7 11 mnohostny na obrzku 4.2 b)
4. 8 12 tybok hranol nebo seznut ptibok jehlan na obrzku 4.3
Poznmka: Dvojjehlanem rozumme sjednocen dvou jehlan, jejich prnikem je jejich spolen podstava.
Obrzek 4.2. Pklady estistn (st krychle) k een lohy 4.1.4
Odpov : Jsou 4 trojice sel s, v, h urujc estistn.
Poznmky:
(1) Trojice sel s, v, h urujc estistn jsou pouze ty
i, ale existuje nejmn 7 typ estistn,
pokud p
ihldneme k typm jednotlivch stn, respektive k valenci vrchol.
(2) Mnohostny ( sti krychle) na obr zku 4.2 jsou tzv. hranolce neboli prizmatoidy (viz pozn mka 4
na konci kapitoly).
48
loha 4.1.5.
Konkrtn pklady vhodnch tles jsou na pipojench obrzcch. Vimnte si zvlt obrzku 4.6, na
kterm je ukzka mnohostnu, pro kter Eulerova vta neplat.
Ad a) viz obrzky 4.4 a 4.5, ad b) viz obrzky 4.6 a 4.7.
Obrzek 4.4. Krychle ABCDEFGH s dutinou tvaru jehlanu ABFES , kde S je sted
krychle, s = 9, v = 9, h = 16
Obrzek 4.5. Kvdr s tunelem tvaru kvdru, s = 10, v = 16, h = 24
Poznmka: Tlesa na obr zcch 4.5 a 4.7 nejsou mnohostny, protoe maj stny, kter nejsou mnohohelnky (maj stny tvaru prstence).
EEN
49
Obrzek 4.6. Krychle s tunelem tvaru sjednocen dvou komolch jehlan, s = 12,
v = 12, h = 24
Obrzek 4.7. Kvdr s dutinou tvaru kvdru, s = 11, v = 16, h = 24
loha 4.1.6.
Postupn zji)ujeme:
(a) Pro konvexn mnohostn s potem stn s, potem vrchol v a potem hran h, mus platit:
s + v = h + 2, 3s 2h a 3v 2h.
Odtud 3s + 3v = 3h + 6 4h, 6 h.
Zbv jet rozhodnout, zda se h me rovnat 6. Ano, kad tystn m est hran.
Odpov : Konvexn mnohostn m nejmn hm = 6 hran.
(b) Pokud by existoval konvexn mnohostn se sedmi hranami, mus pro nj platit s + v = 9, 3s 14
a 3v 14. Vzhledem k dlitelnosti temi mus bt 3s 12 a 3v 12. Odtud 3s + 3v = 27 24
- spor.
Odpov : Konvexn mnohostn se sedmi hranami neexistuje.
loha 4.1.7.
Nech) pro pvodn mnohostn plat s1 + v1 = h1 + 2. Potom pro nov mnohostn je s2 = s1 + 1,
v2 = v1 + n ; 1, h2 = h1 + n a plat: s2 + v2 = s1 + v1 + n = h1 + 2 + n = h2 + 2. Nov mnohostn je
eulerovsk.
50
4.2. Typy mnohostn, dualita mnohostn
Typem konvexnho mnohostnu rozumme mnoinu vech mnohostn, takovch, e ke kad dvojici
mnohostn z n vybranch existuje vzjemn jednoznan piazen vrchol, hran a stn, kter zachovv
incidenci.
Dsledek: Odpovdajc si stny mnohostn tho typu maj stejn poet stran a odpovdajc si
vrcholy jsou te valence.
Plat tzv. Steinitzova vta: "Ke ka
d uspodan trojici pirozench sel 's v h], pro
kter plat s + v = h + 2, 3s 2h a 3v 2h, existuje konvexn mnohostn s potem stn s,
potem vrchol v a potem hran h."
Dsledek: Pro kadou uspodanou trojici pirozench sel 's v h] spl$ujc pslun vztahy existuje
jeden nebo vce typ konvexnch mnohostn s potem stn s, potem vrchol v a potem hran h.
loha 4.2.1.
Dokate: Existuje-li konvexn mnohostn M , kter m s stn, v vrchol a h hran, existuje i konvexn
mnohostn D s s vrcholy, v stnami a h hranami.
Pokud jet navc mezi mnohostny M a D existuje piazen, ve kterm kadmu p-valentnmu vrcholu prvnho mnohostnu odpovd stna s p stranami druhho mnohostnu a naopak, piem sousednm
vrcholm odpovdaj sousedn stny, nazvme mnohostn D mnohostnem du lnm k mnohostnu M .
Poznmky:
(1) Je-li mnohostn D mnohostnem du lnm k mnohostnu M , je z
ejm i M du ln k D.
(2) Kad mnohostn stejnho typu jako D je t du ln k mnohostnu M i ke kadmu mnohostnu
stejnho typu s mnohostnem M . Lze tedy hovo
it o navz jem du lnch typech mnohostn.
loha 4.2.2.
Ukate, e existuj mnohostny autodu ln, tj. takov, kter jsou duln samy k sob.
loha 4.2.3.
Najdte mnohostny duln k n-bokm hranolm.
loha 4.2.4.
Vtu V kadm mnohostnu plat 3v 2h, kde v je poet jeho vrchol a h poet jeho hran.! nazvme
vtou du ln k vt V kadm mnohostnu plat 3s 2h, kde s je poet jeho stn a h poet jeho hran.!.
Eulerova vta je sama k sob duln. Pokuste se vytvoit duln vtu k tvrzen Stny s-stnu maj
nejve s ; 1 vrchol.! a rozhodnte o jej pravdivosti.
loha 4.2.5.
Na obrzku 4.8 je tybok antihranol. (tvercov podstavy lec v rovnobnch rovinch jsou navzjem
pootoeny o 45 , bon stny jsou navzjem shodn rovnoramenn trojhelnky.)
Najdte k nmu alespo$ jeden duln mnohostn.
4.2. TYPY MNOHOSTN, DUALITA MNOHOSTN
Obrzek 4.8. tybok antihranol
51
52
een
loha 4.2.1.
Trojice 's v h] zadanho mnohostnu spl$uje vztahy s + v = h + 2, 3s 2h a 3v 2h. Vztahy jsou
symetrick vzhledem k v a s, proto i 'v s h] spl$uje vztahy v + s = 2h, 3v 2h a 3s 2h. Podle
Steinitzovy vty pak mus existovat mnohostn D.
loha 4.2.2.
Jde napklad o tystny, respektive dal jehlany.
loha 4.2.3.
Hledme mnohostny duln k n-bokm hranolm. Sta najt duln mnohostn k libovolnmu z nich.
Uvame pravideln n-bok hranol H . Duln mnohostn D je napklad n-bok dvojjehlan, jeho vrcholy
jsou prv stedy stn hranolu H .
Odpov : K n-bokm hranolm jsou dulnmi mnohostny n-bok dvojjehlany, tj. sjednocen dvou nbokch jehlan, jejich prnikem je prv jen jejich spolen podstava.
loha 4.2.4.
Ve vt musme zamnit pojmy tkajc se stn za pojmy tkajc se vrchol a zachovat incidenci.
Hledan vta zn: Kad z v vrchol mnohostnu je nejve (v ; 1)-valentn.!
Vta je pravdiv. Pokud by toti mnohostn ml vrchol s valenc alespo$ v, stkalo by se v tomto vrcholu
nejmn v hran, tj. byl by spojen s dalmi v vrcholy a celkov poet vrchol mnohostnu by byl alespo$
(v + 1) - spor.
loha 4.2.5.
Pro antihranol plat: s = 10 (dv tvercov podstavy a osm bonch stn tvaru rovnoramennho trojhelnka), v = 8, h = 16 (v kadm vrcholu se setkvaj tyi hrany a kad hrana m dva vrcholy).
Duln mnohostn bude mt osm tyhelnkovch stn, deset vrchol takovch, e prv ve dvou z nich
(nespojench hranou) se setkvaj tyi hrany (stny), kad ze zbvajcch osmi vrchol je spojen hranou
s jedinm vrcholem prvnho typu a je spolenm bodem prv t hran (stn).
Hledejme konkrtn pklad takovho osmistnu: Zkusme nejprve obdobn jako v minulm pklad zvolit stedy S , O podstav antihranolu za hlavn! vrcholy hledanho dulnho mnohostnu a zkoumejme,
zda by tit trojhelnkovch stn nemohla bt zbvajcmi vrcholy hledanho mnohostnu. Zjistme, e
nen zajitno, e tyhelnky!, kter by byly stnami nalezenho tlesa jsou rovinn. Duln mnohostn
jsme sice jet nenali, ale zjistili jsme jak zhruba vypad: v hlavnch vrcholech se mohou ve specilnm
ppad setkvat tyi deltoidy dle obrzku 4.9.
Obrzek 4.10 nm ukazuje konstrukci hledanho dulnho mnohostnu v Mongeov promtn jako prniku shodnch pravidelnch tybokch jehlan ABCDO, EFGHS . Vrchol X dulnho mnohostnu,
kter je prsekem hrany AO (kterpje v nrysu ve skuten velikosti) se stnou EHS druhho jehlanu,
zejm dl tuto hranu v pomru 1 : 2, jak plyne z podobnosti vyrafovanch trojhelnk. Hrana OX
vslednho prniku je kratm z obou dl.
EEN
Obrzek 4.9. Nrt k loze 4.2.5 (osmistn deltoidov)
Obrzek 4.10. Duln mnohostn k tybokmu antihranolu v Mongeov promtn
53
54
K zapamatovn
4.1 Eulerova vta:
V kadm konvexnm mnohostnu M plat v + s = h + 2, kde v je poet jeho vrchol, s poet
jeho stran a h poet jeho hran.
4.2 Steinitzova vta:
Ke kad uspodan trojici pirozench sel 's v h], pro kter plat s + v = h + 2, 3s 2h a
3v 2h, existuje konvexn mnohostn s potem stn s, potem vrchol v a potem hran h.
4.3 Typem mnohostnu rozumme mnoinu vech mnohostn takovch, e ke kad dvojici mnohostn z n vybranch, existuje vzjemn jednoznan piazen vrchol, hran a stn, kter
zachovv incidenci.
4.4 N -bok dvojjehlan je sjednocen dvou n-bokch jehlan, jejich prnikem je prv jen jejich
spolen podstava.
Poznmky
4.1 Eulerv vztah se t obas uvd ve tvaru v ; h + s = 2, kdy se dodruje poad vrcholy (bez
rozmru), hrany (jednorozmrn tvary), stny (dvojrozmrn tvary).
4.2 Eulerv vztah spl$uj krom konvexnch mnohostn i nkter mnohostny nekonvexn.
Bylo dokzno, e ji nespl$uj pouze ty mnohostny, kter maj tunely!.
Mnohostny, kter spl$uj Eulerovu vtu, nazvme eulerovskmi mnohostny.
4.3 Existuje prv 7 typ estistn.
4.4 Hranolec neboli prizmatoid je mnohostn, kter vznikne tak, e v rznch navzjem rovnobnch rovinch zvolme dv mnohohelnkov podstavy (jedna z podstav me bt nahrazena
bodem nebo sekou) a pak vytvome prnik vech takovch poloprostor, kter jsou uren
stranou jedn podstavy a jednm vrcholem druh podstavy tak, e tento poloprostor obsahuje
vechny vrcholy obou podstav.
4.5 Hledn tvrzen dulnch ke znmm vtm o mnohostnech je dobr cesta k rozen naich
znalost.
KAPITOLA 5
Pravideln tyst n a krychle maj jen ti dal
sourozence
5.1. Pravideln mnohostny
Pravideln mnohostn je konvexn mnohostn, jeho
vechny stny jsou navzjem shodn pravideln p-helnky (p 3) takov, e v ka
dm jeho vrcholu se stk stejn poet q
(q 3) hran a stn.
Znme ji pravideln tystn, pravideln estistn (krychli) a pravideln osmistn.
loha 5.1.1.
Nsledujc tabulka uvd pehled vech druh pravidelnch mnohostn a jejich nejdleitjch vlastnost. Pslun mnohostny jsou zobrazeny na obrzku 5.1.
Poet
Nzev mnohostnu
Stna je
stn vrchol hran
Pravideln tystn
rovnostrann trojhelnk 4
4
6
Pravideln estistn (krychle) tverec
6
8
12
Pravideln osmistn
6
12
Pravideln dvanctistn
pravideln ptihelnk
12
20
30
Pravideln dvacetistn
12
30
Bez uit Eulerovy vty zdvodnte, pro jich neme bt vce.
Obrzek 5.1. Pravideln mnohostny
55
56
5. PRAVIDELN TYSTN A KRYCHLE MAJ JEN TI DAL SOUROZENCE
loha 5.1.2.
Nakreslete st vech pravidelnch mnohostn.
loha 5.1.3.
Na pt lstk postupn napeme nzvy vech pravidelnch mnohostn, na kad lstek prv jeden
nzev. Jak je pravdpodobnost, e mnohostn na nhodn zvolenm lstku m:
(a) slo 12 za poet hran, stn nebo vrchol,
(b) poet hran dliteln esti,
(c) lich poet vrchol?
loha 5.1.4.
V jakm pomru jsou objemy pravidelnho tystnu a pravidelnho osmistnu o stejn dlce hrany?
EEN
57
een
loha 5.1.1.
V kadm vrcholu mnohostnu se mus stkat stejn poet navzjem shodnch pravidelnch stn, kter
je alespo$ ti. Souet vnitnch hl tchto stn pi libovolnm vrcholu mus bt men ne 360 . To me
bt splnno jen tak, e se v kadm vrcholu stkaj ti, tyi nebo pt rovnostrannch trojhelnk, ti
tverce nebo ti pravideln ptihelnky. Co prv odpovd pti mnohostnm z uveden tabulky. Vc
monost nen.
loha 5.1.2.
St jsou na obrzku 5.2.
loha 5.1.3.
Z tabulky u lohy 5.1.1 snadno zjistme, e ozname-li postupn poet stn s, poet vrchol v, poet
hran h, plat:
(a) Pouze pravideln tystn m vechny sla s, v, h rzn od 12.
Pravdpodobnost zvolen tystnu je 51 . Hledan pravdpodobnost je pak 1 ; 51 , tedy 45 .
(b) Vechna sla h jsou dliteln esti. Jde o jist jev a jeho pravdpodobnost je tedy 1.
(c) Vechna sla v na tabulce jsou sud a dn v se tedy nerovn lichmu slu. Jev je nemon
a jeho pravdpodobnost je 0.
loha 5.1.4.
Z pravidelnho tystnu po odznut tystn s polovin dlkou hrany (a osminovm objemem) pi
jeho tyech vrcholech zbude pravideln osmistn, tento osmistn mus tedy tvoit polovinu pvodnho
tystnu. Odznut tystny a vznikl osmistn maj stejnou dlku hrany. Viz obrzek 2.4 u een
lohy 2.7.
Odpov : Pravideln osmistn m 4x vt objem ne pravideln tystn o stejn dlce hrany.
58
Obrzek 5.2. St pravidelnch mnohostn
5.2. VLASTNOSTI PRAVIDELNCH MNOHOSTN
59
5.2. Vlastnosti pravidelnch mnohostn
loha 5.2.1.
Nakreslete krychli K , vyznate stedy jejch stn a zjistte, kter mnohostn M uruj. Potom zjistte,
jak tleso T uruj stedy stn mnohostnu M . Porovnejte objemy K a T .
loha 5.2.2.
V tabulce u lohy 5.1.1 je vidt i dualita mezi pravidelnm osmistnem a krychl a mezi pravidelnm
dvanctistnem a pravidelnm dvacetistnem. Pravideln tystn je duln sm k sob. Projevem tto
duality je i to, e stedy stn kadho pravidelnho mnohostnu uruj pravideln mnohostn duln.
Popsan geometrick vznam duality mezi krychl a pravidelnm osmistnem znzornte obrzky ve
voln rovnobn projekci.
loha 5.2.3.
Pomoc obrzk nakreslench k pedchoz loze najdte alespo$ ti vlastnosti hlopek pravidelnho
osmistnu. Zjistte tak, podle jakho stedu, jakch os a rovin je osmistn soumrn.
loha 5.2.4.
Dn pravideln osmistn. Na kad jeho hran urete jeden bod tak, aby prv jen tyto nalezen body,
byly vrcholy jinho pravidelnho mnohostnu.
loha 5.2.5.
Lze, obdobn jako v minul loze, najt vrcholy novho pravidelnho mnohostnu tak, aby kad z nich
leel na hran dan krychle (na kad hran jedin bod)?
loha 5.2.6.
Dn pravideln dvacetistn. Zvolme jeden z jeho vrchol, ozname ho A a uvame vechny stny, kter
vrchol A obsahuj. Tyto stny jsou zejm pltm pravidelnho ptibokho jehlanu. Tento jehlan od
dvacetistnu odzneme. Podobn z nj odzneme i pravideln ptibok jehlan, jeho pltm jsou stny
obsahujc vrchol protj k vrcholu A. Po odznut nm zbude tleso, tzv. antihranol, se dvma pravidelnmi ptihelnkovmi podstavami a dalmi deseti pravidelnmi trojhelnkovmi bonmi stnami.
Toto tleso zobrazte ve volnm rovnobnm promtn.
loha 5.2.7.
Nen mezi nm ji znmmi tlesy dal antihranol (tleso se dvma navzjem shodnmi a pootoenmi
pravidelnmi n-helnkovmi podstavami v rovnobnch rovinch a dalmi 2n navzjem shodnmi
bonmi stnami tvaru rovnoramennch, ppadn rovnostrannch trojhelnk)?
loha 5.2.8.
Kadou krychli lze sloit s osmi krychliek o polovin hran. Lze obdobn rozklad udlat i pro njak
dal pravideln mnohostn?
loha 5.2.9.
Pedstavte si, e mte cihly tvaru pravidelnch mnohostn:
(a) krychle,
(b) tystny,
(c) osmistny,
(d) dvacetistny.
Jak tvar cihel meme pout, chceme-li bez mezer vypl$ovat prostor?
60
een
loha 5.2.1.
Obrzek 5.3 ukazuje vechna tlesa: krychli K , pravideln osmistn M a krychli T . Vhodn kolm prmt
zachycuje hrany obou krychl ve skuten velikosti. Hrany AB a XY krychl jsou stejnolehl s koecientem
1
3 . Objemy jsou v pomru 1:27.
Obrzek 5.3. Krychle K , pravideln osmistn M a krychle T z lohy 5.2.1
loha 5.2.2.
Viz obrzek 5.4.
Obrzek 5.4. Dualita mezi krychl a pravidelnm osmistnem
loha 5.2.3.
Meme najt napklad tyto vlastnosti hlopek pravidelnho osmistnu:
Kadm vrcholem A prochz jedin tlesov hlopka, kter ho spojuje s protjm vrcholem
C . (S kadm dalm vrcholem je A spojen hranou.)
EEN
61
Vechny ti hlopky se protnaj v jednom bod, kter je pl, jsou stejn dlouh a na sebe
kolm.
Kad dvojice hlopek uruje rovinu, kter ee osmistn ve tverci.
Jsou-li A, C dva protj vrcholy pravidelnho osmistnu ABCDEF je hlopka AC kolm
na rovinu tverce urenho zbvajcmi vrcholy.
Pravideln osmistn ABCDEF (obrzek 5.5) je symetrick podle:
stedu S (S je prsek hlopek),
pmek spojujcch protj vrcholy $ AC , $ BD, $ EF (ti navzjem kolm osy soumrnosti),
esti pmek jdoucch stedem osmistnu a spojujcch stedy protjch hran,
rovin tverc ABCD, AFCE , BFDE (ti navzjem kolm roviny soumrnosti.
Obrzek 5.5. Sted, osy a roviny soumrnosti pravidelnho osmistnu ABCDEF
loha 5.2.4.
Protoe osmistn m 12 hran, mus mt hledan mnohostn prv 12 vrchol. Bude to tedy dvacetistn.
Body zejm nemohou bt ve stedech hran, protoe nov tleso by mlo i tvercov stny.
Body tedy mus bt na hranch jedn stny rozmstny dle obrzku 5.6. Je-li hrana osmistnu rozdlena
na dlky x < y, pak pro hranu a hledanho dvacetistnu z kosinov vty plat:
(5.1)
a2 = x2 + y2 ; 2xy cos 60
Na sousednch hranch jdoucch z tho vrcholu jsou rzn dlky, proto mus bt na protjch (na sebe
kolmch) hranch stejn dlky.
Potom dostvme z Pythagorovy vty:
(5.2)
a2 = x2 + x2
62
Porovnnm vztah 5.1 a 5.2:
x2 + y2 ; xy = 2x2
x2 + xy ; y2 = 0
2
x + x ;1=0
y
y
p
Po substituci k = xy dostvme z kvadratick rovnice k2 + k ; 1 = 0 jedin kladn een k = ( 5 ; 1) : 2.
Obrzek 5.6. Umstn vrchol dvacetistnu na hranch osmistnu
Vrcholy
p pravidelnho dvacetistnu zskme tak, e kadou hranu osmistnu rozdlme v pomru x : y =
k = ( 5 ; 1) : 2, tj. v pomru zlatho ezu (vce v poznmce 5.1). Prvn bod lze na urit hran osmistnu
zvolit dvma zpsoby. Pro tento zvolen bod je pak u vepsan dvacetistn uren jednoznan.
loha 5.2.5.
Na hranch krychle nelze najt vrcholy pravidelnho mnohostnu.
Pokud by toti takov pravideln mnohostn existoval, musel by mt 12 vrchol (s valenc 4) a tvercov
stny. Takov pravideln mnohostn vak nen.
loha 5.2.6.
Mme zobrazit ptibok antihranol se shodnmi (navzjem pootoenmi) ptihelnkovmi podstavami
a rovnostrannmi bonmi stnami.
Poznmky ke konstrukci (obrzek 5.7):
(1) ABCDE , FGHIJ jsou pravideln ptihelnky.
(2) Bod H 0 , kter je patou kolmice sputn z bodu H na rovinu ABC je soumrn sdruen k bodu
A podle stedu S podstavy ABCDE .
(3) CDH je rovnostrann trojhelnk, jeho stnov vka OH je na obrzku ve skuten velikosti
loha 5.2.7.
Ano, nap. pravideln osmistn je trojbokm antihranolem. (Se tybokm antihranolem jsme se ji dve
setkali v loze 4.2.5, viz obrzek 4.8.)
EEN
63
Obrzek 5.7. Ptibok antihranol, kter je st pravidelnho dvacetistnu
loha 5.2.8.
Ne.
Pro tystn nelze po odznut malch tystn pi jeho tyech vrcholech rozloit zbyl pravideln
osmistn na 4 tystny.
Odstranme-li u pravidelnho osmistnu 6 osmistn o polovin hran u vech jeho vrchol stkajcch
se ve stedu osmistnu, zstane sjednocen osmi pravidelnch tystn stkajcch se ve stedu tlesa.
Dvanctistn i dvacetistn u maj vc vrchol ne 8. Pi polovin dlce hrany me toti bt na jednom
malm tlese jen jedin vrchol pvodnho tlesa a objem tohoto tlesa je 18 objemu celho tlesa. Do
pvodnho tlesa tedy nelze umstit zmenen tlesa tak, aby se nkter nepekrvala. Souhrnn objem
vech malch tles je vt ne objem pvodnho tlesa.
loha 5.2.9.
Uvaujme:
(a) Krychlov cihly samozejm vyhovuj.
(b) Zkoumejme, zda lze pout tystn. Sjednotme-li pt shodnch pravidelnch tystn tak,
aby jejich prnikem byla spolen hrana a sousedn z nich se dotkaly stnou (obrzek 5.8),
zstane mezi prvnm a poslednm z nich mezera.
Vpotem snadno zjistte, e odchylka rovin dvou stn pravidelnho tystnu je piblin
70 5 .)
p
(c) Zkoumejme
osmistnn
cihly. Pravideln osmistn m dle obrzku 5.9 tan = 2. Protoe
p
p
p
2
2 < 2 < 3 (tj. tan 45 < tan < tan 60 ), a tedy i 45 < < 60 (funkce tangens
v I. kvadrantu roste), plat pro odchylku sousednch stn 2 : 90 < 2 < 120 . Ti tlesa se
nedotknou a tyi u se pekrvaj.
(d) Na obrzku 5.10 je gracky urena odchylka sousednch stn pravidelnho dvacetistnu. Zejm
360 < 3
.
Odpov : Pouze krychlov cihly vypln prostor bez mezer.
64
Obrzek 5.8. K loze 5.2.9 b)
Obrzek 5.9. K loze 5.2.9 c)
EEN
Obrzek 5.10. Grack uren odchylky sousednch stn pravidelnho dvacetistnu
65
66
K zapamatovn
5.1 Pravidelnch mnohostn, kter se nazvaj t platnsk tlesa, je prv pt druh.
5.2 Jsou-li pro hledan pravideln mnohostn zadny vechny pravideln stny stkajc se v jednom vrcholu, lze ji tleso jednoznan zkonstruovat dopl$ovnm chybjcch stn v dalch
vrcholech.
5.3 Navzjem duln jsou krychle s pravidelnm osmistnem a pravideln dvanctistn s pravidelnm dvacetistnem. Pravideln tystn je duln sm k sob.
5.4 Pravideln osmistn m 4x vt objem ne pravideln tystn o stejn dlce hrany.
5.5 Na hranch pravidelnho osmistnu lze nalzt vrcholy pravidelnho dvacetistnu. Tyto vrcholy
dl kadou hranu v pomru zlatho ezu.
Poznmky
5.1 Pomr zlatho ezu dl danou seku tak, e dlka kratho seku je k dlce delho seku ve
stejnm pomru jako dlka delho
seku k dlce cel seky. seln vyjden pomru zlatho
p
ezu je tzv. zlat slo = ( 5 ; 1) : 2 (kladn een rovnice x2 + x ; 1 = 0, kterou zskme ze
vztahu x : 1 = 1 : (x + 1)).
5.2 Prostor nelze bez mezer vyplnit shodnmi pravidelnmi mnohostny krom krychl.
Lze ho vak vypl$ovat t pravidelnmi tystny s pravidelnmi osmistny.
KAPITOLA 6
Dal
mnohost ny s pravidelnmi st nami
V denici pravidelnho mnohostnu poadujeme, aby mnohostn byl konvexn, jeho stny byly navzjem shodn pravideln mnohohelnky a vechny vrcholy mly stejnou valenci. Budou-li i nadle vechny
stny konvexnho mnohostnu pravideln mnohohelnky meme pravidelnost poruit dvma zpsoby.
Bu dovolme, aby rzn vrcholy mly rznou valenci, nebo, aby stny mly rzn poty vrchol.
Lze se tak ptt, zda nkter nekonvexn mnohostny mohou mt navzjem shodn pravideln stny.
6.1. Konvexn mnohostny se shodnmi pravidelnmi stnami
loha 6.1.1.
Vechny stny konvexnho mnohostnu jsou navzjem shodn pravideln n-helnky. Urete n.
loha 6.1.2.
Ukate, e jedin konvexn mnohostn, jeho stny jsou sam tverce, je krychle.
loha 6.1.3.
Rozhodnte, zda existuje krom krychle jet dal estistn se shodnmi pravidelnmi stnami.
loha 6.1.4.
Pravideln osmistn pat mezi tzv. dvojjehlany. Je toti sjednocenm dvou shodnch pravidelnch tybokch jehlan soumrn sdruench podle roviny jejich spolen podstavy. Kolik dalch dvojjehlan
s rovnostrannmi stnami existuje? Urete vdy valenci jednotlivch vrchol.
loha 6.1.5.
Pravideln osmistn rozzneme na dva shodn pravideln jehlany, kter navzjem pootome (o 45 ) a
vlome mezi n vhodn antihranol, jeho bon stny jsou tak rovnostrann trojhelnky.
(a) Vsledn 16-stn, jeho vechny stny jsou shodn rovnostrann trojhelnky, nakreslete v Mongeov promtn.
(b) Libovolnou ze stn pvodnho pravidelnho osmistnu oznate ABC . Potom urete valenci
vrchol A, B , C na novm tlese.
loha 6.1.6.
Postup rozznut a pootoen! z minul lohy aplikujte i na dal dvojjehlany s rovnostrannmi stnami.
Jak tlesa zskte po vloen vhodnho antihranolu?
loha 6.1.7.
K dvojjehlanm nalezenm v loze 6.1.4 najdte ty duln mnohostny, kter jsou ureny titi jejich
stn.
67
68
6. DAL MNOHOSTNY S PRAVIDELNMI STNAMI
een
loha 6.1.1.
Souet vnitnch hl vech navzjem shodnch stn pi uritm vrcholu zkoumanho konvexnho mnohostnu mus bt men ne 360 . Protoe tyto stny jsou alespo$ ti, mohou stny, obdobn jako u pravidelnho mnohostnu, bt jen rovnostrann trojhelnky, tverce nebo pravideln ptihelnky.
Odpov : n 2 f3 4 5g.
loha 6.1.2.
Ji dve jsme ukzali, e v jednom vrcholu A konvexnho mnohostnu se mohou stkat jen ti tvercov
stny. Nech) to jsou ABCD, ABEF a ADMF . Ve vrcholu B jsou u dv tvercov stny, tet tvercov
stna BCNE je svmi stranami BC , BE jednoznan uren a je dle kritria rovnobnosti dvou rovin
rovnobn s rovinou stny ADMF .
Obdobn doplnme i dal dv chybjc stny.
Tleso je pravideln tybok hranol, jeho vechny stny jsou tverce, tj. krychle.
loha 6.1.3.
Hledan estistn je dvojjehlan, kter dostaneme jako sjednocen dvou rznch pravidelnch tystn
o spolen stn.
loha 6.1.4.
Protoe existuj jen ti typy jehlan s rovnostrannmi stnami, trojbok, tybok a ptibok (souet hl
pi hlavnm vrcholu mus bt men ne 360 ) jsou zkouman dvojjehlany prv ti: estistn z lohy 6.1.3,
pravideln osmistn a desetistn sloen ze dvou ptibokch jehlan. Existuj tedy krom pravidelnho
osmistnu se vemi vrcholy valence 4, jet dal dva dvojjehlany dan vlastnosti.
,estistn m ti vrcholy s valenc 4 a dva vrcholy s valenc 3.
Desetistn m pt vrchol s valenc 4 a dva vrcholy s valenc 5.
loha 6.1.5.
Rovnobn prmt vslednho 16-stnu a skuten velikost stny ABC je na obrzku 6.1.
Dva z vrchol A, B , C (v naem obrzku to jsou A, B ) maj valenci 5, zbvajc vrchol m valenci 4.
loha 6.1.6.
Zkoumejme jednotliv dvojjehlany postupn:
(a) ,estistn rozzneme na dva pravideln tystny a mezi n vlome pravideln osmistn (obrzek 6.2).
Pidme-li nad jednu stnu pravidelnho osmistnu pravideln tystn o stejn dlce hrany,
obdrme tot tleso, jako kdy odeeme z pravidelnho tystnu o dvojnsobn hran ti
jeho vrcholy tak, e ezy vedeme v polovinch hran jdoucch z pslunho vrcholu. Dostaneme
sedmistn, jeho 4 stny jsou rovnostrann trojhelnky a ti stny jsou kosotverce vznikl
sjednocenm dvou rovnostrannch trojhelnk. Pidnm dalho pravidelnho tystnu k t
stn pvodnho osmistnu, kter je protj ke stn, ke kter jsme ji tystn pidali, zskme
dal ti kosotveren stny. (Porovnej s lohou 3.4.4.)
Odpov : Vsledn tleso je rovnobnostn, jeho vechny stny jsou navzjem shodn kosotverce, tj. klenec.
(b) Rozzneme-li desetistn a vlome antihranol s ptihelnkovmi podstavami zskme pravideln
dvacetistn (jde o opan postup ne v loze 5.2.6).
loha 6.1.7.
Hledan duln mnohostny, kter uruj stedy stn dvojjehlan z een lohy 6.1.4 jsou: k estistnu
pravideln trojbok hranol a k desetistnu pravideln ptibok hranol.
EEN
Obrzek 6.1. ,estnctistn z lohy 6.1.5
Obrzek 6.2. Speciln klenec jako pravideln osmistn vloen mezi dva pravideln tystny
69
70
6.2. Polopravideln mnohostny
loha 6.2.1.
Tak u krychle se meme ptt, jak mnohostn m vrcholy prv ve stedech jejch hran. Nov tleso
vznikne z krychle odznutm vech jejch osmi vrchol (pravidelnch trojbokch jehlan, kter maj
odezvan vrchol krychle za hlavn vrchol). ezy jsou rovnostrann trojhelnky a z kad stny zstane
nov tvercov stna. Dostaneme konvexn mnohostn, jeho stny tvo est shodnch tverc a osm
shodnch rovnostrannch trojhelnk. Vechny hrany tlesa jsou stejn dlouh, v kadm vrcholu se
stkaj dva tverce a dva rovnostrann trojhelnky ve stejnm poad (stdav). Konvexn mnohostn
takovho druhu nazvme polopravideln mnohostn. Lze tento trnctistn, tzv. kubooktaedr, zskat
odezvnm vrchol! i jinho pravidelnho mnohostnu?
loha 6.2.2.
Jin polopravideln mnohostn - osmistn, jeho stny jsou tyi shodn pravideln estihelnky se tymi
shodnmi rovnostrannmi trojhelnky, zskme z pravidelnho tystnu tak, e vhodn odzneme jeho
vrcholy. Popite zpsob odznut vrchol tystnu a zjistte poet hran a stn, kter se v kadm vrcholu
tohoto novho tlesa s nzvem otupen ty
stn stkaj.
loha 6.2.3.
Obdobnm postupem urete dal polopravideln mnohostn tak, aby se v kadm jeho vrcholu stkaly
ti stny, z nich dv jsou pravideln estihelnk a jedna tverec.
loha 6.2.4.
Ukate, e existuje polopravideln s-stn (konvexn mnohostn, jeho vechny stny jsou pravideln mnohohelnky alespo$ dvou typ, vechny vrcholy maj stejnou valenci a stkaj se v nich jednotliv typy
mnohohelnk ve stlm poad), pro kad s 7.
loha 6.2.5.
Urete alespo$ jeden polopravideln mnohostn takov, e se v kadm jeho vrcholu stkaj pravideln
stny, z nich kad m jin poet vrchol.
loha 6.2.6.
Lze mezi mnohostny dulnmi ke kubooktaedru najt takov, jejich vechny stny jsou pravideln mnohohelnky?
loha 6.2.7.
Na obrzku 6.3 jsou dva polopravideln mnohostny: a) rombokubooktaedr a b) ikosododekaedr. Otote
st tlesa nad rovinou vdy kolem pslun osy kolm na tak, aby bod A peel do bodu B . Zjistte,
zda nov vznikl mnohostn je tak polopravideln.
6.2. POLOPRAVIDELN MNOHOSTNY
Obrzek 6.3. Rombokubooktaedr a ikosododekaedr
71
72
een
loha 6.2.1.
Kubooktaedr lze zskat i odezvnm vrchol! pravidelnho osmistnu rovinami vedenmi stedy hran,
kter odezvan vrchol obsahuj. Na obrzku 6.4 jsou znzornny oba zpsoby vytvoen kubooktaedru.
Obrzek 6.4. Dva zpsoby, jak odezvnm vrchol! zskat kubooktaedr
loha 6.2.2.
Kad vrchol odzneme tak, e ez vedeme v jedn tetin hran vychzejcch z tohoto vrcholu (od danho
vrcholu) - obrzek 6.5. Z kadho vrcholu tohoto polopravidelnho tlesa vychzej 3 hrany a stkaj se
v nm jeden rovnostrann trojhelnk se dvma pravidelnmi estihelnky.
Obrzek 6.5. Otupen tystn
loha 6.2.3.
Tento mnohostn (obrzek 6.6), otupen osmistn, zskme odezvnm vrchol pravidelnho osmistnu.
ezy i tentokrt vedeme ve tetinch hran.
EEN
73
Obrzek 6.6. Otupen osmistn
loha 6.2.4.
Existuj dokonce dv nekonen mnoiny polopravidelnch s-stn:
(1) Pravideln hranoly se tvercovmi bonmi stnami:
Trojbok m prv 5 stn, ptibok m 7 stn, n-bok pak m n + 2 stn pro n 3. V tto
mnoin je vak pro n = 4 i krychle, tj. pslun estistn je dokonce pravideln (tedy nen
polopravideln).
(2) Antihranoly (obrzek 6.7), jejich podstavy jsou pravideln n-helnky (navzjem pootoen
o 180 =n) a bon stny rovnostrann trojhelnky. V kadm vrcholu se stkaj prv ti rovnostrann trojhelnky a n-helnk. Celkov poet stn je 2n+2, tedy vechna sud sla ponaje
10 (pro n = 3 zskme pravideln osmistn).
Polopravideln s-stn existuje pro kad s 7.
Obrzek 6.7. Antihranoly
loha 6.2.5.
Lze snadno ukzat, e poet hran a stn pi jednom vrcholu mus bt prv ti. Pokud by se toti v uritm vrcholu stkaly 4 pravideln stny, nap. trojhelnk, tverec, ptihelnk a estihelnk, bude souet
hranovch hl pi tomto vrcholu 378 a mnohostn neme bt konvexn. Pro jinou kombinaci ty
stkajcch se stn je souet hl jet vt.
74
Pklad takovho tlesa zskme z krychle s dlkou hrany a tak, e odeeme vechny hrany rovinami
rovnobnmi vdy s odezvanou hranou a souasn t odzneme pvodn vrcholy. Msto dvancti
hran zskme tverce, msto osmi vrchol pravideln estihelnky a z pvodnch esti stn zbudou pravideln osmihelnky. Vechny hrany novho tlesa mus mt tut dlku b. Vzdlenost x (obrzek 6.8)
charakterizujcpveden ezy je nutno spotat:
p
p
b = a ; 4x = x 2, potom x = a : (4 + 2) = a(4 ; 2) : 14, co je piblin 0 186a. Rovina odezvajc
hranu, kter jde z vrcholu A, je s n rovnobn a protn ob dal hrany vychzejc z A ve vzdlenosti
x od A. Rovina odezvajc vrchol A protn vechny pvodn hrany jdouc z A ve vzdlenosti 3x od A.
Obrzek 6.8. Zskan polopravidelnho 26-stnu oezvnm krychle
Poznmka: Existuje jet dal typ mnohostnu se t
emi rznmi typy stn stkajcmi se v kadm vrcholu.
Jeho hranice je sloena ze tverc, pravidelnch estihelnk a pravidelnch desetihelnk. Tento 62-stn
lze zskat o
ez v nm pravidelnho dvan ctistnu.
loha 6.2.6.
Nelze.
Zdvodnn: Mnohostn duln ke kubooktaedru je dvanctistn, kter m 24 hran a trnct vrchol.
Protoe se v kadm vrcholu kubooktaedru stkaj tyi stny, m jeho duln mnohostn jen tyhelnkov stny. Jedin mnohostn, kter m vechny stny tvercov je vak krychle o dvancti hranch a
osmi vrcholech.
loha 6.2.7.
Zkoumejme oba mnohostny:
(a) Z rombokubooktaedru zskme mnohostn na obrzku 6.9, kter spl$uje vechny vlastnosti polopravidelnho mnohostnu (je konvexn, vechny stny jsou pravideln mnohohelnky alespo$
dvou typ, vechny vrcholy maj stejnou valenci a stkaj se v nich jednotliv typy mnohohelnk ve stlm poad). Odpov je tedy ano. Pesto vak tento tzv. Millerv mnohostn tvo
zvltn skupinu polopravidelnch mnohostn, protoe jeho tvercov stny jsou dvou typ
(zvolme-li tvercovou stnu S1 , kter pat rovnku! ze tverc a tvercovou stnu S2 , kter
mu nepat, nenajdeme shodnost zobrazujc S1 , na S2 , ve kter by bylo tleso samodrun).
(b) Z ikosododekaedru zskme mnohostn, kter ji nen polopravideln, protoe bude mt dva typy
vrchol:
EEN
75
Obrzek 6.9. Millerv mnohostn
vrcholy, ve kterch se jako v pvodnm tlese stkaj stny v poad trojhelnk, ptihelnk,
trojhelnk, ptihelnk,
vrcholy, ve kterch se stkaj stny v poad trojhelnk, trojhelnk, ptihelnk, ptihelnk.
76
6.3. Nekonvexn mnohostny s pravidelnmi stnami
loha 6.3.1.
Ji vme, e vhodnm odznutm malch pravidelnch tystn ze tystnu danho, meme zskat
pravideln osmistn. Te vak budeme postupovat opan. K pravidelnmu osmistnu budeme pravideln
tystny se stejnou dlkou hrany pidvat.
(a) Kolik rznch pravidelnch tystn meme popsanm zpsobem dostat z pedem danho
pravidelnho osmistnu pidnm ty pravidelnch tystn?
(b) Jak stny m tleso, kter vznikne, kdy pslun tystny pidme souasn nad vechny
stny osmistnu?
loha 6.3.2.
Postup pidvn tystn popsan v loze 6.3.1 b) nazveme protaen osmistnu a vsledn nekonvexn
mnohostn protaen osmistn. Nzev je zdvodnn postupem, kdy hranici (povrch) novho tlesa zskme tak, e kadou stnu nahradme novmi stnami, kter vzniknou protaenm! stn sousednch
k pvodn (odstrann) stn.
(a) Kter z dalch pravidelnch mnohostn lze protahovat?
(b) Maj tyto nov protaen mnohostny tak vechny stny shodn, ppadn pravideln?
loha 6.3.3.
Protaen pravideln osmistn, tzv. stella octangula neporuuje nae pojet mnohostnu, protoe jsme
nezakzali, aby sousedn hrany mnohostnu leely v jedn pmce, ani to, aby nkter dvojice nesousednch
stn leely v te rovin. Zjistte u stelly octanguly, kolik hran vdy le v jedn pmce a kolik stn le
v te rovin. Pak ovte, zda mnohostn spl$uje Eulerovu vtu.
loha 6.3.4.
K dan krychli pidme, nad kadou jej stnu, pravideln tybok jehlan s rovnostrannmi bonmi
stnami. Sjednocen vech sedmi mnohostn je mnohostn, jeho stnami je 24 shodnch rovnostrannch
trojhelnk. Rozhodnte, zda je vsledn mnohostn konvexn nebo nekonvexn.
loha 6.3.5.
Zkoumejme dal tlesa:
(a) Nyn jsme nad vechny stny pravidelnho dvanctistnu pidali pravideln ptibok jehlany
s rovnostrannmi bonmi stnami. Zskme nekonvexn mnohostn o shodnch rovnostrannch
trojhelnkovch stnch. Urete, kolik m vrchol, hran a stn.
(b) Nad stny pravidelnho dvacetistnu pidme pravideln tystny. Urete, kolik m nov mnohostn vrchol, hran a stn.
loha 6.3.6.
Nekonvexn mnohostn, jeho stny jsou sam tverce lze zskat spojovnm shodnch krychl tak, e
nov krychle vdy m s nkterou z ji spojench krychl spolenou stnu. Tmto zpsobem vytvote
nekonvexn mnohostn, jeho stnami je 30 shodnch tverc, kter m prv osm vrchol s valenc 6,
zatmco vechny dal vrcholy maj valenci 3. Z kolika krychl jsme ho sloili, kolik hran me leet v jedn
pmce a kolik stn me leet v jedn rovin?
EEN
77
een
loha 6.3.1.
Zejm:
(a) Zvolme-li libovolnou ze stn zadanho pravidelnho osmistnu a pidme-li k n pravideln
tystn o stejn velikosti hrany a tot udlme u dalch t k n i navzjem nesousednch
stn, pak dostaneme pravideln tystn T o dvojnsobn dlce hrany. Pokud tot udlme
nad tymi zbvajcmi stnami, dostaneme nov tystn shodn s T .
Odpov : tystny jsou dva.
(b) Stny novho tlesa, protaenho osmistnu neboli stelly octanguly, jsou rovnostrann trojhelnky.
loha 6.3.2.
Zjistme:
(a) Protahovat lze jen ty pravideln mnohostny, u kterch sousedn stny svraj tup hly, co
jsou krom osmistnu i dvanctistn a dvacetistn.
(b) Stny protaenho dvanctistnu jsou rovnoramenn trojhelnky s velikost vnitnho hlu pi
hlavnm vrcholu 36 .
Zkoumejme nyn protaen dvacetistn. Aby u nj byly pidan tystny! pravideln, musely
by se hly mezi sousednmi stnami pro pravideln tystn a dvacetistn dopl$ovat do pmho
hlu. Protoe vak odchylka sousednch stn pravidelnho dvacetistnu je zejm vt ne odchylka stn pravidelnho osmistnu (souet odchylek stn pravidelnho osmistnu a tystnu
se pmmu hlu rovn), nen to mon.
Odpov : Oba zkouman protaen mnohostny maj vechny stny navzjem shodn, ale pouze
rovnoramenn trojhelnky.
loha 6.3.3.
Na jedn pmce vdy le dvojice hran nebo jen jedna hrana a v jedn rovin vdy ti nesousedn stny.
Protoe s = 24, v = 14, h = 36, Eulerova vta plat a mnohostn je eulerovsk.
Obrzek 6.10. Stella octangula
loha 6.3.4.
Mnohostn je nekonvexn.
Zdvodnn: V kadm vrcholu pvodn krychle se u novho tlesa stk est rovnostrannch trojhelnkovch stn. Souet hranovch hl pi takovm vrcholu je tedy 360 , pitom vak stny nemohou leet
v jedn rovin (dvojice z nich jsou sousedn stny tho pravidelnho jehlanu). Tleso tedy neme bt
78
konvexn, protoe ve vrcholech konvexnho tlesa je vdy souet vech pslunch hranovch hl men
ne 360 .
loha 6.3.5.
Hledme v, h, s pro jednotliv tlesa:
(a) Kad stna je nahrazena pti novmi: s = 12 5 = 60, k pvodnm hranm pibylo po pti
hranch pidanch jehlan: h = 30 + 12 5 = 90, pvodn vrcholy zstaly a pibyl nov vrchol
nad kadou z pvodnch stn: v = 20 + 12 = 32.
(b) s = 20 3 = 60, h = 30 + 20 3 = 90, v = 12 + 20 = 32.
Poznmka: Mnohostny z p
edchoz lohy se li valenc jednotlivch vrchol. Oba jsou eulerovsk.
loha 6.3.6.
Sjednotili jsme sedm krychl dle obrzku 6.11.
Existuj trojice hran, kter le v jedn pmce a existuj i takov hrany, kter nejsou na stejn pmce
s dnou dal hranou. Le-li vak na jedn pmce dvojice hran, pak na n le i hrana tet.
Existuj tveice stn lecch v jedn rovin a existuj i stny, kter nele v te rovin s dnou dal
stnou. Le-li vak v jedn rovin dvojice stn, pak v n le jet dv dal stny.
Obrzek 6.11. Sjednocen 7 krychl
POZNMKY
79
K zapamatovn
6.1 Jedin konvexn mnohostn, jeho vechny stny jsou tverce je krychle a jedin konvexn mnohostn, jeho vechny stny jsou pravideln ptihelnky, je pravideln dvanctistn.
Jinak:
Pokud m konvexn mnohostn, kter nen pravidelnm mnohostnem, vechny stny navzjem shodn pravideln mnohohelnky, mohou bt jeho stny pouze rovnostrann trojhelnky.
Takovto mnohostn nazvme deltastn.
6.2 Odznutm vrchol pravidelnch mnohostn (jejich stny jsou pravideln p-helnky a vrcholy
maj valenci q) rovinami:
(a) kter prochzej stedy pslunch hran zskme mnohostny, jejich stny jsou pravideln
p-helnky a q-helnky:
z pravidelnho tystnu pravideln osmistn,
z krychle a pravidelnho osmistnu kubooktaedr,
z pravidelnho dvanctistnu a pravidelnho dvacetistnu polopravideln 32-stn,
tzv. ikosododekaedr (na obrzku 6.3 vpravo), jeho stnami je 20 shodnch rovnostrannch trojhelnk a 12 shodnch pravidelnch ptihelnk, takov, e v jednom
vrcholu se vdy stkaj dva trojhelnky se dvma ptihelnky (stdav),
(b) tak, e z pravidelnch p-helnkovch stn vzniknou pravideln 2p-helnkov stny a za
odznut vrcholy budou q-helnky, dostaneme dalch 5 polopravidelnch mnohostn:
otupen tystn, otupenou krychli, otupen osmistn . . .
6.3 Souasnm odznutm vrchol pravidelnch mnohostn i jejich hran zskme:
polopravideln mnohostny, jejich stny jsou q-helnky, tverce a p-helnky, nap. z pravidelnho tystnu zskme nm ji znm kubooktaedr a z krychle rombokubooktaedr
(na obrzku 6.3 vlevo),
polopravideln mnohostny, jejich stny jsou 2q-helnky, tverce a 2p-helnky, nap.
z krychle 26-stn z lohy 6.2.5, ktermu dal Kepler nzev otupen kubooktaedr (i kdy
ho skutenm otupovnm kubooktaedru nelze zskat - odznutm vrchol bychom zskali
obdlnkov stny).
6.4 Nekonvexnm mnohostnem, jeho vechny stny jsou shodn rovnostrann trojhelnky je napklad protaen osmistn, zvan t stella octangula.
Poznmky
6.1 Poslednm objevenm polopravidelnm mnohostnem je Millerv 26-stn z lohy 6.2.7 a) (obrzek 6.9). Tvo zvltn skupinu polopravidelnch mnohostn. Ostatn polopravideln mnohostny jsou znm u od starovku. Ty z nich, kter nejsou hranoly ani antihranoly, nazvme
archimedovsk tlesa.
6.2 Archimedovskch tles je znmo 13 druh. (Nkter z nich nelze zskat ve popsanmi postupy.)
6.3 Pokud m konvexn mnohostn (deltastn) vechny stny navzjem shodn rovnostrann trojhelnky, ale v jeho jednotlivch vrcholech se stkaj rzn poty stn, me toto tleso vypadat
velmi nepravideln!, ztrc toti kulovit vzhled!, kter maj vechny pravideln i polopravideln mnohostny.
6.4 Mnohostny duln k mnohostnm polopravidelnm mohou mt t jist typ polopravidelnosti!. Protoe u pvodnch mnohostn vychzel ze vech vrchol konstantn poet r hran,
bude mt duln mnohostn za stny sam r-helnky. D se zkoumat, zda lze doshnout toho,
aby tyto stny byly navzjem shodn (i kdy nepravideln).
KAPITOLA 7
Mnohost ny o dan vlastnosti
7.1. Speciln tystny
tystny, jejich
vechny stny jsou navzjem shodn
loha 7.1.1.
Dn rznostrann ostrohl trojhelnk KLM s dlkami stran k, l, m. Tento trojhelnk je po rozdlen
stednmi pkami st tystnu, jeho vechny stny jsou shodn trojhelnky o stranch dlek k2 , 2l , m2 .
Zjistte, dal vlastnosti takovho tystnu porovnnm se seznamem vlastnost pravidelnho tystnu
z een lohy 2.1. (Vynechte vlastnosti, kter m kad tystn.)
loha 7.1.2.
Pro mus bt trojhelnk KLM v pedchoz loze ostrohl?
tystny vepsan kvdru a klenci
loha 7.1.3.
V loze 1.9 jsme se seznmili s pravidelnm tystnem ACFH jako st krychle ABCDEFGH . Jak
tystn ACFH dostaneme, kdy ABCDEFGH bude kvdr nebo klenec?
loha 7.1.4.
Ukate, e tystn, vepsan klenci dle pedchoz lohy, m ortocentrum (bod, ve kterm se protnaj
vechny tlesov vky tystnu), a proto ho meme nazvat ortocentrick.
Ortocentrick tystny
Lze ukzat, e tystn je prv tehdy ortocentrick, kdy
ka
d dv jeho protj hrany
jsou k sob kolm.
Poznmka: Ve skutenosti sta jen zkontrolovat, e dv dvojice protjch hran ty
stnu jsou k sob
kolm, abychom mohli rozhodnout, e ty
stn je ortocentrick (viz loha 3.4.2).
Uveden tvrzen meme pout pi een nsledujcch loh.
loha 7.1.5.
Ukate, e kad pravideln trojbok jehlan je ortocentrick tystn.
loha 7.1.6.
Dokate: Opeme-li tystnu rovnobnostn tak, e hrany tystnu jsou stnovmi hlopkami rovnobnostnu (prvn zpsob popsan na stran 35), je tento tystn ortocentrick prv tehdy, kdy m
rovnobnostn vechny hrany stejn dlouh.
81
82
7. MNOHOSTNY O DAN VLASTNOSTI
tystny s pravohlmi stnami
loha 7.1.7.
Dokate, e pro kad tystn ABCD plat: Jestlie jeho hly ADB , BDC , CDA (hranov hly pi
vrcholu D) jsou vechny prav, pak trojhelnk ABC je ostrohl.
loha 7.1.8.
Nech) ABCD je tystn takov, e vechny hranov hly pi vrcholu D jsou prav. Dokate, e druh
mocnina obsahu stny ABC je soutem druhch mocnin obsah zbvajcch stn.
loha 7.1.9.
tystny z pedchozch dvou loh nazvme t
ikr t pravohl. Ukate, e takovm tikrt pravohlm
tystnem je i pravideln trojbok jehlan, kter m proti pravidelnmu tystnu se stejnou podstavou
polovin vku.
loha 7.1.10.
Sted vky z vrcholu C pravidelnho tystnu ABCD zvolme za potek kartzsk soustavy souadnic.
Souadnicov osy prolote body A, B , D. Urete souadnice vech vrchol tystnu, je-li dlka jeho hrany
a = 6.
loha 7.1.11.
Dokate, e tikrt pravohl tystn je ortocentrick.
loha 7.1.12.
Ukate, e existuje tystn, jeho vechny stny jsou pravohl.
EEN
83
een
loha 7.1.1.
Vlastnosti stejn s vlastnostmi pravidelnho tystnu jsou:
(1) Podstava a stny tystnu jsou zamniteln! a vechny tlesov vky jsou stejn dlouh.
(2) Kad bod takovho tystnu m od jeho stn konstantn souet vzdlenost rovn vce tystnu.
Obdobn vlastnosti:
(3) Vechny stny jsou navzjem shodn, ale jen protj hrany mus mt stejnou dlku. Jsou-li
velikosti vnitnch hl stn , , , je souet tchto velikost 180 a u kadho vrcholu jsou
hranov hly prv vech t velikost.
(4) Stedy hran uruj na zkoumanm tystnu ezy, kter jsou:
trojhelnky podobn stnm (odzneme-li vrchol),
kosotverce (je-li ez veden prv tmi stednmi pkami dvou stn, kter jsou rovnobn
se spolenou hranou tchto stn).
Odlin vlastnosti jsou:
(5) Protj hrany nemus bt na sebe kolm.
(6) tystny tohoto typu nejsou vechny navzjem podobn.
Dkaz tvrzen (2) je stejn jako u pravidelnho tystnu. Pro vnitn body tystnu ho lze provst i
tak, e tystn ABCD rozdlme za pomoci vnitnho bodu M na tyi tystny, jejich podstavy jsou
postupn stny tystnu ABCD a M je hlavn vrchol. Pro objemy V1 , V2 , V3 , V4 tchto dlch tystn
a pro objem V danho tystnu plat: V = V1 + V2 + V3 + V4 . Protoe podstavy vech pti tystn jsou
shodn, mus se souet vek malch tystn rovnat vce tystnu ABCD. Vka tystnu ABCD
je tedy soutem vzdlenost bodu M od stn tystnu ABCD.
loha 7.1.2.
Vnitn hly trojhelnka KLM (jejich souet je hel pm) budou, pokud je tento trojhelnk st
tystnu, vnitnmi hly jednotlivch jeho stn pi jednom jeho vrcholu. Mus pro n tedy platit dle
tvrzen 3.3 z sti K zapamatovn na stran 43, e souet libovoln dvojice z nich je vt ne hel tet.
Pokud by nkter z hl byl prav nebo tup, nemohl by ji bt souet zbvajcch dvou hl vt ne
tento hel.
Trojhelnk tedy mus bt ostrohl.
loha 7.1.3.
Protj stny kvdru jsou shodn obdlnky, jejich vechny tyi stnov hlopky jsou stejn dlouh.
Ozname-li jejich dlku a, resp. b, resp. c, bude tystn vepsan tomuto kvdru prv tystn, jeho
vechny stny jsou navzjem shodn trojhelnky s dlkami stran a, b, c.
Vechny stny klence jsou shodn kosotverce a hlopky v kosotverci jsou na sebe kolm. Ozname-li
dlky hlopek tohoto kosotverce a, b, bude tystn vepsan tomuto klenci tystnem, jeho kad
dvojice protjch hran jsou hrany k sob kolm. Dle vme, e tystn m hrany prv dvou rznch
dlek a, b a pitom se v jednom z jeho vrchol stk trojice stejn dlouhch hran (kad klenec m
vrchol, pi kterm jsou vechny hranov hly navzjem shodn) a stny stkajc se v tomto vrcholu jsou
tedy shodn rovnoramenn trojhelnky, zatmco zbvajc stna je rovnostrann. Zkouman tystn je
pravideln trojbok jehlan.
loha 7.1.4.
V minul loze jsme zjistili, e zkouman tleso je pravideln trojbok jehlan. Ozname ho ABCV .
Jsou-li A1 , B1 , C1 stedy jeho podstavnch hran dle obrzku 7.1, pak rovina $ AA1 V je kolm na hranu
BC a le v n tedy vka v na rovinu podstavy i vka u na stnu BCV . Prsek M tchto vek je
prsekem vek trojhelnka AA1 V . Ze shodnosti trojhelnk CC1 V , BB1 V s trojhelnkem AA1 V
plyne, e M je prsek vky v i s dalmi dvma vkami tystnu. tystn m ortocentrum.
84
Obrzek 7.1. Ortocentrum pravidelnho trojbokho jehlanu
loha 7.1.5.
Pm dkaz tvrzen jsme u provedli jako st pedchoz lohy.
Jin postup: Uijeme tvrzen o ortocentrickch tystnech ze strany 81. Sta zkontrolovat, e protj
hrany pravidelnho trojbokho jehlanu jsou k sob kolm:
Nech) ABCV je zkouman pravideln trojbok jehlan se stedem S podstavy ABC . Pak V S je kolm
k AB i CS je kolm k AB . Rovina $ SCV je dle kritria kolmosti pmky a roviny kolm na hranu AB ,
a proto je i hrana CV kolm na AB . Pro ostatn hrany se kontrola provede obdobn.
loha 7.1.6.
Dokeme implikace obou smr:
(1) Nech) je tystn ortocentrick. Pak m protj hrany na sebe kolm a v opsanm rovnobnostnu jsou stnov hlopky v kad rovnobnkov stn na sebe kolm. Stny jsou tedy
jen kosotverce nebo tverce a vechny hrany tedy mus mt tut dlku.
(2) Nech) m opsan rovnobnostn danho tystnu vechny hrany stejn dlouh. Pak vechny
jeho stny mus bt kosotverce nebo tverce, jejich hlopky jsou na sebe kolm. Protj
hrany danho tystnu tedy mus bt tak k sob kolm a tystn je ortocentrick.
Tvrzen je dokzno.
loha 7.1.7.
Ozname jDAj = x, jDB j = y, jDC j = z , a, b, c jsou dlky stran trojhelnka ABC , , , velikosti
jeho vnitnch hl. Pak mus platit: c2 = x2 + y2 , a2 = y2 + z 2, b2 = x2 + z 2.
Odtud: b2 + c2 ; a2 = 2x2 a dle kosinov vty cos = (b2 + c2 ; a2 ) : (2bc) = x2 : (bc) > 0 ) je ostr
hel. Obdobn a2 + c2 ; b2 = 2y2 ) je ostr hel a a2 + b2 ; c2 = 2z 2 ) je ostr hel.
Vechny hly trojhelnka ABC jsou ostr.
loha 7.1.8.
Pi oznaen dle pedchoz lohy je souet tverc obsah pravohlch stn roven 41 (x2 y2 + x2 z 2 + y2z 2 ).
Pro obsah S trojhelnka ABC plat S = 12 bc sin . p
Protoe cos = (b2 + c2 ; a2 ) : (2bc) = = x2 : (x2 + z 2 )(x2 + y2) (uij vztahy z een pedchoz
EEN
85
lohy), je sin2 = 1 ; x4 : '(x2 + z 2)(
x2 + y2)] = (x2 y2 + x2 z 2 + y2 z 2 ) : '(x2 + z 2 )(x2 + y2 )] =
;1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(x y + x z + y z ) : b c a tedy S = 2 bc sin 2 = 14 (x2 y2 + x2 z 2 + y2 z 2).
Tvrzen je dokzno.
loha 7.1.9.
K danmu pravidelnmu tystnu
systm
p ABCD zvolte souadnicov
p
p dle obrzku
p 7.2 (dlka jeho
p hrany
je 6, vka
ve
stn
m
dlku
3
3
a
tlesov
vka
2
6).
Pak
A
'2
3
0
0],
B
'
;
3
3
0]
C
'
;
3 ;3 0],
p
p
D'0 0 2 6]. Bod v polovin vky ozname
E
'0
0
6].
Spotnm
pslunch
skalrnch
souin
p
p
p
p
p
p
snadno ukeme, e vektory A ; E = (2 3 0 ; 6), B ; E = (; 3 3 ; 6), C ; E = (; 3 ;3 ; 6)
jsou po dvou k sob kolm:
(A ; E ) (B ; E ) = ;2 3 + 6 = 0,
(A ; E ) (C ; E ) = ;2 3 + 6 = 0,
(B ; E ) (C ; E ) = 3 ; 9 + 6 = 0.
Obrzek 7.2. Souadnicov systm zvolen k pravidelnmu tystnu ABCD
loha 7.1.10.
p
p
Protoe tlesov vka pravidelnho tystnu o stran a = 6 je v = 2 q6 a vka stnov u = 3 3, jsou
p
; v 2 ; 2u 2
p
6
+
12
=
3
2
body A, B , D vzdleny od potku novho souadnicovho systmu
o
+
=
2
3
p
p
p
a souadnice jednotlivch vrchol tedy jsou (obrzek 7.3): A'3 2 0 0], B '0 3 2 0], D'0 0 3 2]. Protoe
sted
p Spstny
p ABD je i jejm titm, lze ho vyjdit symbolickou rovnic S = (A + B + D) : 3, odtud
S ' 2 2 p2]. p p
Vrchol C '; 2 ; 2 ; 2] je s S symetrick podle potku.
loha 7.1.11.
Podle vty na stran 81 musme ukzat, e protj hrany tikrt pravohlho tystnu jsou k sob kolm.
Ukame to pro hrany AD a BC . BC le v rovin $ BCD, ke kter je AD kolm dle kritria kolmosti
pmky a roviny (AD kolm na DB i AD kolmo na DC ), tady AD je kolm i na BC .
86
Obrzek 7.3. Souadnicov systm popsan v loze 7.1.10
loha 7.1.12.
Pklady tystn lze zskat experimentovnm, kdy pome znalost pythagorejskch trojhelnk. Uveden jsou jen dv ukzky z nekonen mnoha monost. Pslun st najdete na obrzku 7.4 a to, e
k dan sti tystn skuten existuje, ovme jeho vymodelovnm v prostoru:
AB BC AC AD BD CD
Prav hly
Poznmka
p
a)
34 5
3
5
3
4 BDC , ACD, BDA, ACB dv dvojice shodn ch stn
p
b) 5 10 5 15 9 13 12 BCD, ADC , ADB , ACB v!echny stny neshodn
Existenci pravch hl snadno ovme pomoc Pythagorovy vty:
(a) dv shodn pravohl stny BDC ,pACD s dlkami stran 3, 4, 5 a dv shodn pravohl stny
BDA, ACB s dlkami stran 3, 5, 34,
(b) pravohl stna BCD s dlkami stran 5, 12, 13,
pravohl stna ADC s dlkami stran 9, 12, 15,
p
pravohl stna ADB s dlkami stran 9, 13, 5p 10,
pravohl stna ACB s dlkami stran 15, 5, 5 10.
Poznmka: Nejsnadnj zpsob nalezen st ty
stnu, kter m vechny stny pravohl, je vzt kosodlnk s dlkami stran a, b a vnit
nm ostrm hlu velikosti takov, e a = b + b cos , spojit hlop
kou
vrcholy, p
i kterch je tup hel a vztyit v nich kolmice na del stranu (obr zek 7.5).
EEN
Obrzek 7.4. St tystn z lohy 7.1.12
Obrzek 7.5. Nalezen st tystnu podle poznmky na stran 86
87
88
7.2. Trojhelnkov a jednoduch mnohostny
loha 7.2.1.
V nsledujc tabulce je uvedeno nkolik konvexnch mnohostn, kter maj pouze trojhelnkov stny
a kter proto nazvme trojhelnkov mnohostny.
v s h Pklad tlesa
4 4 6 tystn
5 6 9 trojbok dvojjehlan
6 8 12 tybok dvojjehlan (nap. pravideln osmistn)
7 10 15 ptibok dvojjehlan
8 12 18
9 14 21
.. .. ..
. . .
12 20 30 pravideln dvacetistn
Dopl$te dva chybjc nzvy tles.
loha 7.2.2.
Ukate, e trojhelnkovch mnohostn je nekonen mnoho typ.
loha 7.2.3.
Ukate, e mezi trojhelnkovmi mnohostny existuj tlesa, kter maj t poet vrchol, stn i hran a
pesto jsou rznch typ.
loha 7.2.4.
Mnohostn (konvexn), jeho kad vrchol m valenci ti (obsahuj ho prv ti hrany) nazvme jednoduch mnohostn. Jednoduchmi mnohostny jsou napklad tystny a vechny konvexn hranoly.
Urete alespo$ ti jin jednoduch mnohostny.
loha 7.2.5.
Jak podmnka mus platit pro trojici hranovch hl pi libovolnm vrcholu jednoduchho mnohostnu?
loha 7.2.6.
Kolik existuje typ mnohostn, kter jsou trojhelnkov i jednoduch souasn?
loha 7.2.7.
Jakho typu je duln mnohostn a) trojhelnkovho, b) jednoduchho mnohostnu?
loha 7.2.8.
Pomoc Eulerovy vty najdte obecn vyjden pro poty vrchol, stn a hran a) trojhelnkovho, b)
jednoduchho mnohostnu.
EEN
89
een
loha 7.2.1.
v
4
5
6
7
8
9
..
.
12
s
4
6
8
10
12
14
..
.
20
h Pklad tlesa
6
9
12
15
18
21
..
.
30
tystn
trojbok dvojjehlan
tybok dvojjehlan (nap. pravideln osmistn)
ptibok dvojjehlan
estibok dvojjehlan
sedmibok dvojjehlan
pravideln dvacetistn
loha 7.2.2.
Nekonen mnoho je napklad konvexnch dvojjehlan. Dvojjehlan lze najt pro kadou pedem zvolenou
spolenou konvexn n-helnkovou podstavu.
loha 7.2.3.
Ukzku snadno najdeme pomoc tabulky v een lohy 7.2.1:
Jsou to napklad desetibok dvojjehlan a pravideln dvacetistn. Oba tyto rozdln dvacetistny maj
dvanct vrchol a ticet hran.
loha 7.2.4.
Jednoduchmi mnohostny jsou i vechny konvexn komol jehlany, pravideln dvanctistn a nkter
polopravideln mnohostny, nap. otupen krychle.
loha 7.2.5.
Souet libovolnch dvou hranovch hl pi danm vrcholu jednoduchho mnohostnu je vdy vt ne
tet hranov hel pi tomto vrcholu (viz een lohy 3.1.5). Rozdl libovolnch dvou hranovch hl pi
danm vrcholu jednoduchho mnohostnu je vdy men ne tet hranov hel pi tomto vrcholu.
loha 7.2.6.
Jednoduch trojhelnkov mnohostn je pouze tystn.
(Trojhelnkov mnohostn m 1 5s hran a jednoduch mnohostn m 1 5v hran, tedy s = v, Eulerova
vta: 2s = 1 5s + 2 dv s = 4.)
loha 7.2.7.
Zejm plat:
(a) Duln mnohostn k trojhelnkovmu mnohostnu je jednoduch.
(b) Duln mnohostn k jednoduchmu mnohostnu je trojhelnkov.
loha 7.2.8.
Nalezen obecnch vyjden:
(a) Pro trojhelnkov mnohostn:
Protoe vechny stny jsou trojhelnky, mus platit 3s = 2h. Ozname-li poet jeho hran
h = 3k, je poet stn s = 2k a z Eulerovy vty dostaneme v = k + 2.
A naopak pro kad cel k > 1 uruje v = k + 2, s = 2k, h = 3k trojhelnkov mnohostn
(nap. tystn a dvojjehlany z tabulky v een lohy 7.2.1).
90
(b) Pro jednoduch mnohostn:
Protoe z kadho vrcholu vychzej prv ti hrany, mus platit 3v = 2h. Ozname-li poet
jeho hran h = 3k, je poet vrchol v = 2k a z Eulerovy vty dostaneme s = k + 2.
A naopak k v = 2k, s = k + 2, h = 3k, kde k je cel slo vt ne 1, lze vdy jednoduch
mnohostn najt (nap. tystn a k-bok hranoly).
POZNMKY
91
K zapamatovn
7.1 tystn je prv tehdy ortocentrick, kdy kad dv jeho protj hrany jsou k sob kolm.
7.2 Rovnobnostn ABCDEFGH opsan ortocentrickmu tystnu ACFH m vechny hrany
stejn dlouh.
7.3 Tikrt pravohl tystn je ortocentrick.
7.4 Trojhelnkovch mnohostn je nekonen mnoho a plat pro n v = k + 2, s = 2k, h = 3k,
kde k je pirozen slo vt ne jedna.
7.5 Jednoduchch mnohostn je nekonen mnoho a plat pro n v = 2k, s = k + 2, h = 3k, kde k
je pirozen slo vt ne jedna.
7.6 Kad mnohostn duln k trojhelnkovmu mnohostnu je jednoduchm mnohostnem a naopak.
Poznmky
7.1 Vechny stny tystnu mohou bt pravohl trojhelnky pouze tenkrt, tvo-li prav hly
prv dv dvojice hl majcch spolen vrchol.
7.2 Jednoduch trojhelnkov mnohostn je pouze tystn.
KAPITOLA 8
ezy a prniky
8.1. ezy
loha 8.1.1.
Dn kvdr ABCDEFGH , pomry dlek stran obdlnku ABCD jsou 5:3, bod M le na spojnici sted
obdlnk ABCD a EFGH 1 cm od roviny ABC . Jak m kvdr rozmry, kdy ez ABUV kvdru
rovinou jdouc bodem M je tverec a body U , V pl pslun hrany? Popite odznut tleso ABCDUV .
loha 8.1.2.
Dn pravideln tybok jehlan ABCDV , jeho vka se rovn dlce podstavn hrany. Rovinou rovnobnou s rovinou podstavy rozzneme dan jehlan na jehlan a komol jehlan tak, e obsah ezu je
polovin ne obsah podstavy pvodnho jehlanu. V jak vzdlenosti od roviny podstavy vedeme rovinu
ezu? Zmn se tato vzdlenost, kdy bude zadan jehlan n-bok?
loha 8.1.3.
Jak lze na libovolnm tystnu najt ez, kter je:
(a) rovnobnkem,
(b) kosotvercem
a jak je dlka hrany kosotverenho ezu?
loha 8.1.4.
ez na n-bokm hranolu je m-helnk. Jak velk me bt m?
loha 8.1.5.
ez na dvojjehlanu s 2n stnami je m-helnkem. Popite takov dvojjehlan, aby m mohlo doshnout
sv maximln hodnoty.
loha 8.1.6.
Dn pravideln tystn ABCD s vyznaenmi ezy rovinami a . Rovina je rovnobn s hranami
AB i CD a pl jejich vzdlenost, rovina je rovnobn s hranami BC i AD a tak pl jejich vzdlenost.
Vyjdete dlku seky, kter je prnikem obou ez, pomoc dlky a hrany tystnu.
93
94
8. EZY A PRNIKY
een
loha 8.1.1.
Je-li ez ABUV kvdru ABCDEFGH
rovinou jdouc bodem M tverec o stan a cm, pak jAB j = a,
p
jDV j = 2, jAV j = a, jADj = a2 ; 4. Protoe jAB j je del ne jADj, mus platit jAB j = 5x a jADj = 3x,
kde x je kladn dlka. Pak 9x2 = (25x2 ; 4), 16x2 = 4, x = 0 5.
Kvdr m rozmry jAB j = 2 5 cm, jADj = 1 5 cm, jAE j = 4 cm.
Odznut hranolec ABCDUV je kolm trojbok hranol BCUADV s pravohlmi podstavami (viz
obrzek 8.1).
Obrzek 8.1. K loze 8.1.1
loha 8.1.2.
Kdy pravideln tybok jehlan ABCDV, jeho vka v se rovn dlce podstavn hrany a, rozzneme
rovinou rovnobnou s rovinou podstavy, zskme jehlan s nm podobn a komolpjehlan. Pro pomr k
podobnosti pevdjc ppvodn jehlan
do odznutho plat: k2 = 0 5. Tedy k = 22 . Vka h, ve kter
p
2
;
2
2
vedeme ez je h = v ; 2 v = 2 a.
Tato vzdlenost nezle na potu stn jehlanu - pro n-bok jehlan se tedy nezmn.
loha 8.1.3.
een:
(a) Rovnobnk je ez rovinou rovnobnou s dvojic protjch hran a lec mezi tmito hranami.
(b) Kosotverec hledme mezi rovnobnkovmi ezy v rovinch rovnobnch s AB a CD dle a):
Je-li a dlka AB , b dlka CD, pak x = jXY j = ua, jCX j = ujCB j, jBX j = (1 ; u)jCB j,
x = jXZ j = (1 ; u)b. Tedy ua = (1 ; u)b.
Odtud u = b : (a + b), 1 ; u = a : (a + b). Vrchol X kosotverenho ezu mus dlit hranu BC
v pomru a : b (obrzek 8.2).
Dlka x strany kosotverce je ab : (a + b).
loha 8.1.4.
ez na n-bokm hranolu (kter m n bonch stn a dv podstavy) je nejve (n +2)-helnk a minimln
trojhelnk.
Odpov : Pro pirozen slo m plat 3 m n + 2.
EEN
95
loha 8.1.5.
Pro dvojjehlany sloen ze dvou pravidelnch jehlan zejm plat: Je-li n = 3, pak je 3 m 5, pi
n > 3 je 4 m n + 2.
Dvojjehlan vak m 2n stn. Zkoumejme tedy, za jakch okolnost me rovina ezu protnout vechny
stny tak, aby ez zstal souvisl. Prsenice roviny ezu s rovinou spolen n-helnkov podstavy mus
protnat jej hranici v sousednch stranch a oba hlavn vrcholy mus leet uvnit tho poloprostoru
urenho rovinou ezu jako odznut vrchol podstavy. ezem je 2n-helnk. Na obrzku 8.3 je pklad
takovho dvojjehlanu s vyznaenou rovinou ezu zobrazen v pravohlm promtn na jednu prmtnu.
Obrzek 8.3. Dvojjehlan s ezem k loze 8.1.5
loha 8.1.6.
Oba ezy jsou tvercov (viz loha 2.5) a jejich prnikem je spojnice sted hran AC a BD (obrzek 8.4),
kter m dlku x. Doplnme-li tystn na krychli tak, e hrany tystnu
jsou stnov
p hlopky krychle,
p
m hrana krychle dlku x appro dlku a hran tystnu plat a = x 2. Tedy x = 22 a.
Odpov : Dlka seky je 22 a.
96
8. EZY A PRNIKY
Obrzek 8.4. Prnik tvercovch ez pravidelnho tystnu k loze 8.1.6
8.2. EZN PRAVIDELNCH MNOHOSTN
97
8.2. ezn pravidelnch mnohostn
loha 8.2.1.
Dn pravideln tystn ABCD. Sestrojme jeho ezy tmito rovinami rovnobnmi se stnou ABC :
(a) D vedenou v polovin pslun vky,
(b) D vedenou ve tetin vky od vrcholu D,
(c) D vedenou ve tetin vky od stedu stny ABC ,
(d) D vedenou ve tvrtin vky od stedu stny ABC .
Jak jsou pslun ezy?
loha 8.2.2.
Obdobn jako v loze 8.2.1 sestrojme ezy pravidelnho tystnu ABCD vemi rovinami A , B , C ,
D . Odznut sti tlesa obsahujc pslun vrchol odstranme. Co nm zbude?
loha 8.2.3.
loha 8.2.4.
loha 8.2.5.
loha 8.2.6.
Rozhodnte, zda na:
(a) krychli,
(b) pravidelnm osmistnu,
(c) pravidelnm dvanctistnu,
lze najt ez, kter je pravideln estihelnk.
loha 8.2.7.
Dokate, e ty roviny rovnobn se stnou pravidelnho osmistnu o hran dlky a, kter maj s osmistnem neprzdn prnik, ho eou v mnohohelnku konstantnho obvodu.
98
8. EZY A PRNIKY
een
loha 8.2.1.
Vechny ezy jsou rovnostrann trojhelnky. M-li tystn hranu dlky a, je dlka strany ezu:
(a) a2 ,
(b) a3 ,
(c) 23 a,
(d) 34 a.
loha 8.2.2.
Zskme pravideln osmistn, jeho vrcholy jsou stedy hran zadanho tystnu. Hrana osmistnu m
dlku a2 .
loha 8.2.3.
Jde o konstrukci otupenho tystnu odezvnm vrchol!, kter je popsno v podkapitole o archimedovskch (polopravidelnch) tlesech.
loha 8.2.4.
V tomto ppad se ji budou ezy protnat. Uvdomme si, e kad z ez prochz titi t stn.
Tedy vechna tit danho tystnu le na povrchu novho mnohostnu. Kad dva ezy (trojhelnky
o stran dlky 32 a) se protnaj ve spolen stedn pce dlky a3 , kter je prv spojnic ti) dvou stn.
Nov mnohostn je tystn, jeho vrcholy jsou stedy (tit) stn tystnu zadanho.
loha 8.2.5.
Kad z ez prochz titm danho tystnu. Z tystnu tedy nezstane nic.
loha 8.2.6.
Hledejme pslun ez:
(a) U krychle jsme ji estihelnkov ez urovali v loze 1.8.
(b) Pravideln osmistn si pedstavme jako antihranol, jeho podstavami je zvolen dvojice protjch stn (na obrzku 8.5 je osmistn ABCDEF kolmo promtnut do roviny stny CDF
rovnobn s rovinou stny ABE ). Ostatnch est stn je pak rovinou, kter je s rovinami tchto
podstav rovnobn a pl jejich vzdlenost, pro)ato ve stejn dlouhch stednch pkch. ez
je pravideln estihelnk, protoe i vechny jeho hlopky plc se ve stedu osmihelnka
jsou navzjem shodn. Na obrzku je tento estihelnk 123456 ve skuten velikosti.
(c) Na pravidelnm dvanctistnu lze najt ez, kter je pravidelnm estihelnkem, napklad
jeho rozznutm na dv shodn sti rovinou dle obrzku 8.6. Existuj vak i dal dv roviny
rovnobn s , kter tak eou dvanctistn v pravidelnch estihelncch (navzjem shodnch
a mench ne je estihelnk vyznaen).
Odpov : ezy tvaru pravidelnho estihelnku lze najt pro vechny ti uveden pravideln mnohostny.
loha 8.2.7.
Na danm pravidelnm osmistnu ABCDEF s protjmi vrcholy E , F zkoumejme ezy rovinami rovnobnmi s rovinami stn ABE a CDF . Mezi nimi (uprosted) je dle pedchzejc lohy i pravideln
estihelnk, kter m obvod 3a. Ostatn prniky, krom obou trojhelnkovch stn, jsou estihelnky,
kter maj stdav prv dv rzn dlky stran. Rozvineme-li, pi oznaen dle obrzku 8.5, do roviny
dvojici sousednch stn ABF a CBF zskme kosotverec ABCF , kter na kad pmce rovnobn
s AB a CF vytn seku dlky a (viz obrzek 8.7). Obvod ezu je stle 3a.
EEN
Obrzek 8.5. Pravideln estihelnk jako ez pravidelnho osmistnu
Obrzek 8.6. Pravideln estihelnk jako ez pravidelnho dvanctistnu
99
100
8. EZY A PRNIKY
8.3. PRNIKY
101
8.3. Prniky
loha 8.3.1.
Pravideln tystny ACFH a BDEG jsou vepsny te krychli ABCDEFGH . Co je prnikem obou
tystn?
loha 8.3.2.
Pravideln mnohostny krychle a osmistn na obrzku 8.8 maj za prnik kubooktaedr. Uri dlku x
hrany osmistnu v zvislosti na dlce a hrany krychle.
Obrzek 8.8. Kubooktaedr jako prnik krychle a pravidelnho osmistnu
loha 8.3.3.
Jak dva vhodn soustedn pravideln mnohostny musme vzt, aby jejich prnik byl ikosododekaedr?
loha 8.3.4.
Na obrzku 8.9 je posloupnost mnohostn zanajc krychl. Dal tlesa zskme postupn oezvnm!
krychle rovinami pibliujcmi se stle vce jejmu stedu. Nejprve vhodn odzneme pouze rohy krychle
a vsledkem je otupen krychle. Nsledujc tleso je kubooktaedr, jeho trojhelnkov stny (vznikl
jako ezy) se zvtily a dotkaj se svmi vrcholy, zatmco osmihelnkov stny se zmnily na tvercov. tvrtm tlesem je otupen osmistn, u kterho trojhelnkov stny pely do estihelnkovch
a poslednm tlesem je pravideln osmistn. Obdobnou posloupnost mnohostn lze zskat i postupnm
oezvnm! jinch pravidelnch mnohostn. Kter tlesa vytvo podobnou posloupnost zanajc:
(a) pravidelnm tystnem,
(b) pravidelnm osmistnem,
(c) pravidelnm dvanctistnem?
102
8. EZY A PRNIKY
Obrzek 8.9. Posloupnost mnohostn k loze 8.3.4
EEN
103
een
loha 8.3.1.
Prnikem je pravideln osmistn s vrcholy ve stedech hran tystn a stedem ve stedu krychle (spolenm titi tystn). - viz obrzek 8.10
Poznmka: Sjednocen obou zadanch ty
stn je protaen osmistn (stella octangula).
Obrzek 8.10. Pravideln osmistn jako prnik pravidelnch tystn k loze 8.3.1
loha 8.3.2.
Zavedeme oznaen:
a : : : dlka hrany krychle,
y : : : dlka hrany kubooktaedru,
x : : : dlka hrany osmistnu.
p
Na krychli plat y = 22 a, zatmco
pro osmistn je y = x2 .
p
Porovnnm dostvme x = a 2.
loha 8.3.3.
Ikosododekaedr meme zskat jako prnik pravidelnho dvanctistnu s vhodnm soustednm pravidelnm dvacetistnem. Vrcholy ikosododekaedru jsou spolen stedy hran dvanctistnu s dvacetistnem.
loha 8.3.4.
Posloupnosti pro jednotliv pravideln mnohostny:
(a) Pravideln tystn, otupen tystn, pravideln osmistn s polovin dlkou hrany, dal otupen tystn, tystn s tetinovou dlkou hrany. Porovnej s lohami 8.2.2 a 8.2.4.
(b) Pravideln osmistn, otupen osmistn, kubooktaedr, otupen krychle, krychle. (Tuto posloupnost obdrme i obrcenm poad posloupnosti zadan.)
(c) Pravideln dvanctistn, otupen dvanctistn, ikosododekaedr, otupen dvacetistn, pravideln dvacetistn.
104
8. EZY A PRNIKY
K zapamatovn
8.1 Na kadm tystnu lze najt rovnobnkov ezy.
8.2 ez na n-bokm hranolu je nejve (n + 2)-helnk a minimln trojhelnk.
8.3 Roviny rovnobn se stnou pravidelnho osmistnu o hran dlky a, kter maj s osmistnem
neprzdn prnik, ho eou v mnohohelnku konstantnho obvodu 3a.
Poznmky
8.1 U vech antihranol, kter jsou polopravidelnmi mnohostny (podstavy jsou pravideln mnohohelnky a bon stny jsou rovnostrannmi trojhelnky) plat tvrzen obdobn k 8.3:
Roviny rovnobn s podstavami antihranolu, kter s nm maj neprzdn prnik, ho eou
v mnohohelnku konstantnho obvodu rovnho obvodu podstav.
Toto tvrzen plat i tenkrt, jsou-li bon stny jen rovnoramenn trojhelnky.
KAPITOLA 9
St mnohost n a k emu je lze vyut
9.1. St jehlan
loha 9.1.1.
Rozhodnte, zda existuje tystn, jeho nkter s) je pedem dan rovnoramenn trojhelnk (vhodn
rozdlen dalmi hranami).
loha 9.1.2.
Zjistte vechna pirozen n, pro kter existuje tystn, jeho nkter s) je pravideln n-helnk.
loha 9.1.3.
Urete tybok jehlan s pravidelnou (tvercovou) podstavou o stran dlky a, kter m prv jen dv
rzn dlky bonch hran a, b. Nakreslete s) jehlanu pro a = 3 cm a b = 4 cm.
loha 9.1.4.
Urete tybok jehlan J s vlastnostmi dle pedchoz lohy, kter m maximln mon objem a tento
objem spotejte v zvislosti na dlce podstavn hrany a.
Nakreslete s) jehlanu J pro a = 3 cm.
loha 9.1.5.
Rozhodnte, zda existuj n-bok jehlany s pravidelnou podstavou o stran dlky a, kter maj prv jen
dv rzn dlky bonch hran a, b pro n > 4.
loha 9.1.6.
Hledejte vechny tystny, jejich nkter s) je rovnobnk se zadanmi dlkami stran a = 10 cm, b = 6
cm a jednm z hl o velikosti 45 .
loha 9.1.7.
Ukate, e existuj dva tystny, jejich nkter s) je ttivovm deltoidem ABCD, kter m dlky stran
jAB j = a = 8 cm, jBC j = b = 5 cm a porovnejte jejich objemy.
105
106
9. ST MNOHOSTN A K EMU JE LZE VYUT
een
loha 9.1.1.
Pokud tystn KLMN existuje, bude jeho st zadan rovnoramenn trojhelnk ABC rozdlen stednmi pkami KL, LM , MK a vechny body A, B , C pedstavuj na sti bod N . Pro velikosti , , hranovch hl pi vrcholu N mus platit 2 > . Protoe 2 + = 180 mus bt velikost ostrho
hlu a pvodn rovnoramenn trojhelnk je ostrohl.
Odpov : tystn existuje pouze tehdy, kdy je zadan rovnoramenn trojhelnk ostrohl.
loha 9.1.2.
Rozstihneme-li pl) tystnu podle t hran a rozvineme-li ho do roviny, zskme s) tystnu, kter je
obecn estihelnk a s) m 9 hran. Pi rozvinut do roviny vak mohou dv hrany st vychzejc z tho
vrcholu bt st te pmky. Zkoumme tedy postupn rovnostrann trojhelnk, tverec, pravideln
ptihelnk a pravideln estihelnk. Vymylenou s) vdy vystihneme a vyzkoume. Pslunou s) lze
najt pro n = 3 4 5 - viz obrzek 9.1.
Zkoumejme n = 6:
Pokud s) existuje musme estihelnk rozdlit dalmi temi sekami (abychom oddlili stny), co lze
udlat jen tak, e z njakho vrcholu vychzej dv nov hrany. Nech) je to vrchol A. Dv nov hrany
z bodu A lze zvolit jen dvma zsadn odlinmi zpsoby - viz obrzek 9.2. Vdy je porueno, e souet
dvou hl pi vrcholu A mus bt vt ne hel tet. tystn neexistuje.
Odpov : Vyhovujc n jsou 3 4 5.
loha 9.1.3.
Jehlan ABCDV mus mt i nkterou z bonch hran, nap. AV , dlky a.
(1) Pedpokldejme, e vechny ostatn bon hrany maj dlku b. Potom ovem stny BCV a
CDV jsou rovnoramennmi trojhelnky se zkladnami BC a CD. Hlavn vrchol V tedy le
v rovinch soumrnosti tchto zkladen, jejich prsenic je kolmice o na rovinu podstavy
vztyen ve stedu S tverce ABCD. V tedy le na o, a proto je stejn vzdlen od vech ty
vrchol tverce ABCD. Tedy i vzdlenost od AV se mus rovnat b, co nen mon - spor.
Obdobn nen mon, aby prv jen jedna bon hrana mla dlku b.
(2) Nech) tedy dlku a maj prv dv bon hrany:
(a) Shodn jsou vdy dvojice protjch bonch hran, nap. AV , CV maj dlku a, BV a DV
maj dlku b. Pak rovnoramenn trojhelnky BDV a ACV nejsou shodn, maj shodn
zkladny, ale jin dlky ramen, tedy i rzn vky. seka SV je vak spolen - spor.
(b) Dlku a maj dv sousedn bon hrany nap. AV a BV . Stna ABV je potom rovnostrann
trojhelnk o stranch a, stny BCV a DAV jsou shodn o stranch dlek a, a, b a stna
CDV m dlky stran b, b, a.
Odpov : Existuje jedin typ jehlanu s danmi vlastnostmi. Podmnkou eitelnosti lohy je platnost
trojhelnkov nerovnosti pro vechny stny. Tedy 4a > 2b > a.
S) hledanho jehlanu pro a = 3 cm a b = 4 cm je na obrzku 9.3.
loha 9.1.4.
Protoe obsah podstavy je stl, hledme jehlan s nejvtm monou vkou. Vka jehlanu je vak nejve
rovna nejmen z vek jednotlivch stn. Protoe
b me bt vt ne a, bude se vka hledanho jehlanu
p
rovnat vce rovnostrann! stny, tj. v = 23 a. Potom rovina tto
stny je kolm na rovinu podstavy a
p
sousedn stny jsou pravohl rovnoramenn
trojhelnky (b = a 2).
p
p
Pro objem jehlanu plat V = 13 a2 23 a = 63 a3 .
Zobrazen tlesa a jedna z monch st je na obrzku 9.4.
EEN
107
Obrzek 9.1. St tystn k loze 9.1.2 pro n = 3 4 5
loha 9.1.5.
Budou-li pro n = 5 mt bon hrany jen dv rzn dlky, mus existovat ti stejn dlouh bon hrany.
Pak ovem hlavn vrchol jehlanu mus leet na kolmici vztyen na rovinu podstavy ve stedu podstavy
a jehlan mus bt pravideln - spor.
Obdobn pro n 6.
Odpov : N -bok jehlan s danou vlastnost pro n 5 neexistuje.
Jinak: Nepravideln jehlan s pravidelnou podstavou, kter je alespo$ ptibok, mus mt alespo$ ti rzn
dlky bonch hran.
loha 9.1.6.
Zvolme oznaen rovnobnku ABCD tak, aby hly s velikost 45 byly pi vrcholech A, C . Na obvodu
108
Obrzek 9.2. K loze 9.1.2 pro n = 6
Obrzek 9.3. S) jehlanu z lohy 9.1.3
rovnobnku musme najt dva vrcholy st. Protoe del strany zejm nelze slepit navzjem, mus
hledan vrcholy leet prv na nich:
vrcholy tyto strany pl a tystn m vechny stny shodn dle vty sus - viz obrzek 9.5,
jeden vrchol le na AB 4 cm od A, druh na CD 4 cm od C , tystn pak m hranu BD a dv
dvojice shodnch stn - viz obrzek 9.6,
jeden vrchol le na AB 6 cm od A, druh na CD 6 cm od C , tystn pak m hranu AC a dv
dvojice shodnch stn - viz obrzek 9.7.
loha 9.1.7.
Deltoid ABCD m osu symetrie $ AC a lze mu opsat, protoe je ttivov, krunici k. Ta je opsan nad
prmrem AC , a proto hly pi vrcholech B , D jsou prav. Mohou nastat dv monosti:
EEN
109
Obrzek 9.4. Rzn zobrazen a s) jehlanu z lohy 9.1.4
(1) tystn je AXY C , kter m za podstavu rovnoramenn trojhelnk XY A a vku b (body
B a D jsou tent vrchol
tystnu jako A a AC je kolm na rovinu podstavy). Pro objem
tystnu plat V1 = a2 b24sin . S) tystnu je na obrzku 9.8.
(2) tystn je CUV A, kter m za podstavu rovnoramenn trojhelnk UV C a vku a (body B
a D zobrazuj t vrchol
tystnu jako bod C a AC je kolm na rovinu podstavy). Pro objem
2 sin(180 ; )
ab
tystnu plat V2 =
= ab224sin . S) tystnu je na obrzku 9.9.
24
Odpov : tystny existuj a jejich objemy jsou v pomru a : b = 8 : 5.
110
Obrzek 9.5. S) 1. tystnu k loze 9.1.6
EEN
111
112
9.2. St dalch mnohostn
loha 9.2.1.
Rozhodnte, zda pravideln estihelnky na obrzku 9.10 jsou stmi konvexnch ptistn.
Obrzek 9.10. Nvrhy st k loze 9.2.1
loha 9.2.2.
Rozhodnte, zda pravideln estihelnky na obrzku 9.11 jsou stmi konvexnch estistn.
Obrzek 9.11. Nvrhy st k loze 9.2.2
loha 9.2.3.
Nech) ABCDEF je pravideln osmistn s hranou dlky a a protjmi vrcholy E , F . Vrcholy A, B , C , D
odzneme stejnm zpsobem, jako kdy vytvme kubooktaedr (vrcholy E , F neodzneme). Zskme
dvanctistn. tyi ze stn dvanctistnu jsou pslun tvercov ezy. Zjistte, jakmi mnohohelnky
jsou zbvajc stny, a nakreslete s) dvanctistnu.
loha 9.2.4.
Jakm dvojjehlanem ABCDV W musme nahradit pravideln osmistn z pedchoz lohy, abychom vhodnm odznutm vrchol A, B , C , D zskali dvanctistn, jeho vechny stny jsou navzjem shodn
kosotverce? Nakreslete s) hledanho tlesa.
9.2. ST DALCH MNOHOSTN
113
loha 9.2.5.
Na obrzku 9.12 je polovina st tlesa zvanho ty
iadvacetistn deltoidov. S) pekreslete na peloen
karton, vystihnte ob poloviny a slepte model tlesa tak, e dlc ez ABCDEFGH je pravideln
osmihelnk.
Obrzek 9.12. Polovina st tyiadvacetistnu deltoidovho k loze 9.2.5
114
een
loha 9.2.1.
Ne, protoe:
(a) pi vrcholu E je souet hl 360 ,
(b) pi vrcholu V je v obou ppadech souet hl 480 .
loha 9.2.2.
Ne. Nevyhovuje souet hl pi vrcholu V .
loha 9.2.3.
Vech osm zbvajcch stn jsou kosotverce se stranou dlky 0 5a a vnitnmi hly velikost 60 a 120 .
S) dvanctistnu je na obrzku 9.13.
Obrzek 9.13. S) dvanctistnu k loze 9.2.3
loha 9.2.4.
Vechny hrany dvanctistnu budou navzjem shodn s dlkou c = 2b , kde b je dlka bon hrany jehlan.
Protoe vnitn hly vech stn lec pi vrcholech V , W jsou ostr, mus bt kosotverce, kter se
v bodech V , respektive W , stkaj na vku!, zatmco kosotverce vznikl jako ezy rovinami rovnobnmi s pmkou $ V W na ku!. Aby byly vechny stny dvanctistnu shodn, musme jet zajistit,
aby i hlopky kosotverc byly shodn, tedy zmenit vky dlch pravidelnch tybokch jehlan
ABCDV , ABCDW tak, aby jejich stnov vky mly velikost w, kter se rovn stran tverce EFGH ,
EEN
115
p
kde E , F , G, H jsou po ad stedy hran AB , BC , CD, DA. Tedy w = 22 a, kdep a je dlka strany
2
2
2
spolen podstavy ABCD. Protoe w2 = b2 ; a4 mus platit a2 p= b2 ; a4 , tedy b = 23 a.
p
S) dvanctistnu kosotverenho na obrzku 9.14 je pro a = 4 3j , kdy c = 3j , b = 6j , w = 2 6j , kde
j oznauje jednotku dlky.
Obrzek 9.14. S) dvanctistnu kosotverenho k loze 9.2.4
loha 9.2.5.
Nejprve k sob slepte pravideln osmihelnk ABCDEFGH obou polovin st. Poloviny st jsou nepmo
shodn.
p
p
p
p
Poznmka: Stna ty
iadvacetistnu m strany
dlek
a
=
3
2
;
2
j
,
b
=
18 ; 6 6j a hlop
ku,
p
p
podle kter je deltoid soumrn, dlky u = 18 ; 6 3j .
116
9.3. Nejkrat cesty na povrchu mnohostn
loha 9.3.1.
Na obrzku 9.15 je vyznaena jedna z monost, jak pevzat balk. Jak tmto zpsobem peveme balk
o rozmrech 60 x 40 x 20 cm a kolik motouzu pi tom spotebujeme, kdy na zavzn konc je teba
30 cm?
Obrzek 9.15. K zadn lohy 9.3.1
loha 9.3.2.
Tleso na obrzku 9.16 vzniklo sjednocenm ticeti pti shodnch krychl. Ozname A, B , C , D vrcholy
doln podstavy! a O sted horn podstavy!. Najdte nejkrat cestu spojujc body A, C , kter jde po
povrchu tto pyramidy tak, e neobsahuje dn vnitn bod tverce ABCD.
Obrzek 9.16. Pyramida! ze zadn loh 9.3.2 a 9.3.3
loha 9.3.3.
Obdobn jako v pedchoz loze uvaujeme pyramidu tvoenou n vrstvami shodnch krychl (obrzek 9.16
je pro n = 3). Na povrchu pyramidy vyzname nejkrat cestu mezi body A, C , kter neprochz vnitnmi
body podstavy ABCD. Najdte vechna n, pro kter cesta minimln dlky vystoup prv do poloviny
vky pyramidy.
EEN
117
een
loha 9.3.1.
Na povrchu balku si ozname body X , Y , kter dl motouz obtoen kolem balku na polovinu. mskmi sly oslujeme stny kvdru v poad, kter uruje cesta! motouzu z bodu X do bodu Y .
Nakreslme pslunou st st kvdru tak, aby XY byla seka (nejkrat spojnice), kter je st sjednocen obdlnk I a IV a prochz stedem stny II. Dlka seky XY se rovn jKLj - obrzek 9.17.
KL m dlku 100 cm (pepona pravohlho trojhelnka s dlkami odvsen 80 cm a 60 cm).
Odpov : Potebujeme 230 cm motouzu.
Obrzek 9.17. S) k een lohy 9.3.1
loha 9.3.2.
Na obrzku 9.18 je pyramida zachycen pdorysem, piem sla udvaj poet krychl, kter stoj na
sob.
Mon cesty rozlime podle vky, do jak vystoupaj, a porovnme je s cestou kolem pyramidy!. Pi
vpotech polome dlku hrany krychle rovnu 1.
(1) Pm cesta pes bod O zejm nen nejkrat, la by toti zkrtit i pouhm obejitm nejvy
krychle. Pedpokldejme, e budeme vrchol obchzet zprava.
(2) Porovnejme dlky minimlnch cest pes body P1 , respektive P2 :
Cesta pes bod P1 je vyznaena na sti
p st povrchu pyramidy na obrzku 9.19. Ze siln vyznaenho trojhelnka spotme d2 = 2 5. Toto d je zejm men ne dlka cesty kolem pyramidy
o dlce 10.
Cesta pes bod P2 je vyznaena na sti st povrchu pyramidy na obrzku 9.20. Ze siln vyznaenho trojhelnku spotme d2 = 5. Tato cesta je stejn dlouh jako cesta kolem pyramidy.
Odpov : Nejkrat cesty jsou dv. Ta, kter obchz vrchol zprava, vede pes bod P1 .
loha 9.3.3.
Je-li n poet stup$ pyramidy a zvolme-li vku stupn za jednotku dlky, m strana doln podstavy
pyramidy dlku 2n ; 1. Ozname body P1 P2 : : : obdobn jako v minul loze. Bod Pk , pes kter vede
nejkrat cesta, je tedy ve vce k. Hledme ten z bod Pi , kter je na sti povrchu pyramidy nejble pat
kolmice sputn z bodu A na spojnici bod Pi . Zavedeme-li si souadnicov systm dle obrzku 9.21,
m vektor P1 ; B souadnice (;1 2) a vektor k nmu kolm je rovnobn s vektorem o souadnicch
(2 1).
Tedy (2n;2k1);k se piblin rovn 12 . Odtud je k piblin rovno 52 n ; 51 .
118
Obrzek 9.18. Pdorys pyramidy z lohy 9.3.2
Obrzek 9.19. Cesta pes bod P1 k loze 9.3.2
Aby mohla cesta vystoupat prv do poloviny vky n, mus bt n sud. Zejm n = 2 vyhovuje, n = 4
dv k = 1 a nevyhovuje, n = 6 dv k = 2 a nevyhovuje (lze ovit i gracky). Vme tak (vzhledem ke
koecientu 52 ve vyjden k pomoc n), e k roste pomaleji ne n2 .
Odpov : Nejkrat cesta z bodu A do bodu C vystoup do poloviny vky pouze u dvoustup$ov
pyramidy.
EEN
Obrzek 9.20. Cesta pes bod P2 k loze 9.3.2
119
120
K zapamatovn
9.1 M-li jehlan, jeho podstava je pravideln mnohohelnk, alespo$ ti stejn dlouh bon hrany,
pak je pravideln.
9.2 Existuje dvan ctistn kosotveren, jeho stny jsou navzjem shodn kosotverce.
9.3 Existuje ty
iadvacetistn deltoidov, jeho stny jsou shodn deltoidy.
Poznmky
9.1 Dvanctistn
p kosotveren m za stny navzjem shodn kosotverce, jejich hlopky jsou
v pomru 2 : 1.
9.2 Vrcholy tyiadvacetistnu deltoidovho zskme promtnutm vrchol, sted hran a sted stn
pravidelnho osmistnu na kulovou plochu se stedem ve stedu osmistnu. (tyiadvacetistnu
z lohy 9.2.5 lze opsat kulovou plochu o polomru 3j .)
KAPITOLA 10
Td n a popis konvexnch mnohost n
10.1. Typy konvexnch mnohostn
loha 10.1.1.
Ji dve (podkapitola 4.2) jsme se setkali s tm, e rzn tlesa, nap. n-bok hranol a n-bok komol
jehlan, povaujeme za mnohostny tho typu!, protoe, nejen, e maj stejn poty vrchol, stn i
hran, ale tak lze vrcholy obou tles navzjem piadit tak, e z odpovdajcch si vrchol vychz t
poet hran a odpovdajc si stny maj stejn poet vrchol, piem sousedn vrcholy se zobraz do
sousednch vrchol a sousedn stny do sousednch stn. Vyhledejte alespo$ jeden pklad jin takov
dvojice konvexnch mnohostn stejnho typu.
loha 10.1.2.
Dan mnohostn jsme zskali tak, e u pravidelnho osmistnu chpanho jako dvojjehlan jsme jeden
z dlch pravidelnch tybokch jehlan sezli tak, e vznikl jehlan komol, jeho vka je polovin
ne vka pvodnho jehlanu. Urete k tomuto novmu mnohostnu mnohostn duln a oba navzjem
duln mnohostny porovnejte.
loha 10.1.3.
Dv z tles posloupnosti mnohostn ze zadn lohy 8.3.4 (krychle, otupen krychle, kubooktaedr,
otupen osmistn a osmistn) maj stejn poet stn, hran i vrchol. Zjistte, kter to jsou, a rozhodnte,
zda je lze povaovat za mnohostny tho typu.
loha 10.1.4.
Dva z archimedovskch mnohostn maj shodn poet stn s = 32, poet vrchol v = 60 i poet hran
h = 90. Nejsou vak tho typu. Prvn z nich popeme (125, 206), zatmco druh (203 , 1210). O kter
tlesa se jedn a co znamenaj zpisy v zvorkch?
121
122
10. TDN A POPIS KONVEXNCH MNOHOSTN
een
loha 10.1.1.
Na obrzku 10.1 je jeden z monch pklad - estistny ABV EFGH tho typu:
Prvn z nich vznikl z pravidelnho tybokho jehlanu ABCDV odznutm jeho sti rovinou, kter jde
stedy G, H hran CV a DV kolmo na rovinu podstavy. ez ozname EFGH .
Druh vznikl z pravidelnho trojbokho hranolu ABV EFW seznutm rovinou GHV , kde G, H jsou
stedy hran FW a EW . Jen tento z obou estistn je hranolec.
Kad estistn m dv trojhelnkov stny ABV a HGV se spolenm vrcholem V . Vrchol V obsahuj
i dv tyhelnkov stny AEHV a BFGV . Zbvajc tyhelnkov stny EFGH a ABFE ji vrchol
V neobsahuj.
,estistny jsou tho typu, i kdy meme najt dost rozdl. Napklad u prvnho z nich jsou trojhelnky
ABV a HGV podobn a u druhho ne, druh tleso m ti lichobnkov stny a prvn jen jednu atd.
Obrzek 10.1. Pklad estistn tho typu k loze 10.1.1
loha 10.1.2.
Zvolme-li pklad dulnho mnohostnu D tak, aby jeho vrcholy byly stedy stn, respektive prseky
stnovch hlopek, zadanho mnohostnu M (obrzek 10.2), bude tento reprezentant mnoiny dulnch mnohostn stejnho typu s mnohostnem danm. Bude sjednocenm pravidelnho tybokho
jehlanu s pravidelnm tybokm hranolem (dokonce krychl), na jeho jedn podstav stoj. Jehlan m
tvrtinovou vku proti hranolu. Kad dal mnohostn duln k M je tho typu s mnohostnem D,
tedy i s mnohostnem M . Mnohostn je autoduln (viz podkapitola 4.2).
loha 10.1.3.
Jde o otupenou krychli a otupen osmistn, kter oba jsou 14-stny s 24 vrcholy a s 36 hranami. Nejsou
vak tho typu, protoe prvn tleso m stny, kter jsou pravideln osmihelnky a rovnostrann trojhelnky, zatmco druh je ohranieno pravidelnmi estihelnky a tverci.
EEN
123
Obrzek 10.2. Autoduln devtistn z lohy 10.1.2
loha 10.1.4.
Jde o otupen dvacetistn a otupen dvanctistn.
Zpis v zvorce k, e prvn tleso m 12 ptihelnkovch a 20 estihelnkovch stn, zatmco druh
m 20 trojhelnkovch a 12 desetihelnkovch stn.
124
10.2. Diagramy konvexnch mnohostn
loha 10.2.1.
Na obrzku 10.3 jsou Schlegelovy diagramy krychle, pravidelnho dvanctistnu a pravidelnho dvacetistnu, kter jsme zskali tak, e jsme vdy pslun mnohostn stedov promtli do roviny jedn z jeho
stn (ze stedu, kter le vn mnohostnu blzko stedu tto stny) tak, aby se vechny vrcholy mnohostnu, kter nepat stn, na jej rovinu promtme, promtaly dovnit zvolen stny. Jak vypadaj
Schlegelovy diagramy pravidelnho tystnu a pravidelnho osmistnu?
Obrzek 10.3. Schlegelovy diagramy krychle, pravidelnho dvanctistnu a pravidelnho dvacetistnu
loha 10.2.2.
Kreslen diagram zjednodume tak, e abstrahujeme od konkrtnho stedovho promtn. U stny,
do kter promtme, zachovme jen poet vrchol, nejastji (pro pehlednost) ji dlme pravidelnou,
nap. vechny tystny znzornme stejn jako pravideln tystn v loze 10.2.1. Nakreslete (do tverc
pedstavujcch jednu jejich tyhelnkovou stnu) diagramy obou typ ptistn (viz een lohy 3.5.5).
loha 10.2.3.
Zkuste pomoc diagram zachytit co nejvt poet rznch typ konvexnch estistn.
loha 10.2.4.
Najdte alespo$ jeden konvexn mnohostn od kadho typu zadanho diagramy na obrzku 10.4.
Obrzek 10.4. Diagramy mnohostn k loze 10.2.4
EEN
125
een
loha 10.2.1.
Hledan diagramy jsou na obrzku 10.5.
Obrzek 10.5. Diagramy pravidelnho tystnu a pravidelnho osmistnu (k loze 10.2.1)
loha 10.2.2.
Hledan diagramy jsou na obrzku 10.6. Jde o typy tybok jehlan! a typ zahrnujc trojbok hranol
Obrzek 10.6. Diagramy obou typ ptistn (k loze 10.2.2)
loha 10.2.3.
Nejprve ukeme, e estistn neme mt ti ptihelnkov stny. Tyto stny by musely bt po dvou
sousedn a sousedit i s kadou dal stnou estistnu. Nech) tedy m napklad stna ABCDE dv
sousedn ptihelnkov stny. Pak mohou nastat tyto dva ppady:
(1) Vechny ti stny maj spolen vrchol (nap. A). Pak ovem z vrcholu A vychzej pouze ti
hrany AB , AE , AX . Dal (tvrt) stna, kter obsahuje bod X , mus bt sousedn i ke stn
ABCDE . Tato tvrt stna spolu se stnou ABCDE a hranou AX oddluj od sebe druhou a
tet ptihelnkovou stnu, a proto pt ani est stna estistnu ji nemohou sousedit souasn
se stnou druhou i tet.
(2) Druh a tet stna soused se stnou ABCDE v nesousednch hranch, nap. AB , CD. Vechny
ti ptihelnkov stny vytvo prstenec oddlujc (tvrtou) stnu obsahujc hranu BC od stn
obsahujcch hrany AE (pt) a ED (est). tvrt stna je trojhelnk, pt a est stna jsou
trojhelnky nebo tyhelnky, aby nenastala situace z bodu 1. Pt a est stna soused podle
hrany EY . Bod Y neme patit tvrt stn a mus leet na druh nebo tet stn.
Pokud by to byl spolen bod tchto stn mus bt pt i est stna tyhelnky (soused
s prvn, druhou i tet stnou a obsahuj hranu EY ). Bod Y je tedy bodem protjm hran AB
ve druh stn a bodem protjm hran CD ve tet stn. Pak ovem m druh a pt stna
(stejn jako tet a est) dv spolen hrany - spor.
Nech) bod Y le jen na druh stn, pak mus bt sousedn k bodu A (protoe bod A neobsahuj
126
tet, tvrt ani 6 stna). Pt stna je trojhelnk AEY a nesoused tedy s tet stnou - spor.
Obdobn bod Y neme leet jen na tet stn.
Pi hledn ukzek estistn nm pome nsledujc tvrzen, kter snadno dokeme, kdy si uvdomme,
e souet pot stran vech stn se rovn 2h.
Lemma: Pokud m mnohostn stny s lichm potem stran, mus tchto stn bt sud poet.
Jsou tedy:
(1) ,estistny s ptihelnkovmi stnami - viz obrzek 10.7:
,estistny se dvma ptihelnkovmi (sousednmi) stnami, kter maj za ostatn stny 2x
trojhelnk a 2x tyhelnk.
,estistny s jednou ptihelnkovou stnou a:
dvma tyhelnkovmi stnami a temi trojhelnkovmi stnami,
pti trojhelnkovmi stnami.
Obrzek 10.7. Diagramy estistn s ptihelnkovmi stnami (k loze 10.2.3)
(2) ,estistny bez ptihelnkovch stn - viz obrzek 10.8:
sam tyhelnky,
tyi tyhelnky a dva trojhelnky,
dva tyhelnky a tyi trojhelnky,
sam trojhelnky.
Obrzek 10.8. Diagramy estistn bez ptihelnkovch stn (k loze 10.2.3)
Odpov : Ukzali jsme, e existuje alespo$ sedm typ estistn - srovnej s eenm lohy 4.1.4.
Poznmka: Lze dok zat, e typ estistn je pr v sedm.
loha 10.2.4.
Devtistn znzornn prvnm diagramem je napklad kvdr s jehlanovou stechou.
Devtistn znzornn druhm diagramem je napklad kvdr se sedlovou stechou.
Desetistn znzornn tetm diagramem je napklad tybok antihranol (viz obrzek 4.8 na stran 51).
POZNMKY
127
K zapamatovn
10.1 sla s, v, h udvajc poet stn, vrchol a hran konvexnho mnohostnu neuruj typ mnohostnu jednoznan.
10.2 Pokud m mnohostn stny o lichm potu stran, mus tchto stn bt sud poet.
10.3 Typ konvexnho mnohostnu lze nzorn zachytit Schlegelovm diagramem.
Poznmky
10.1 Dopl$ujc daj o mnohostnu tvaru (n3 , m4 , l5 , k6 , . . . ) udv poty stn, kter jsou trojhelnky, tyhelnky, ptihelnky, estihelnky atd.
10.2 Diagramy mnohostn kreslme obvykle do pravidelnm mnohohelnkem znzornn stny
o nejvtm potu vrchol. Pokud to lze, sname se i nkter dal stny znzornit specilnmi mnohohelnky.
KAPITOLA 11
Oten a barven mnohost n
11.1. Grupy zkrytovch otoen mnohostn
Mnoina G, kter je uzaven vzhledem k operaci , tvo s operac grupu prv tehdy, kdy:
(1) operace je asociativn,
(2) G obsahuje neutrln prvek n, tj. takov prvek, e pro kad x 2 G plat n x = x n = x,
(3) ke kadmu prvku x 2 G existuje inverzn prvek x;1 2 G tak, e x x;1 = x;1 x = n.
loha 11.1.1.
Pravideln trojbok jehlan ABCV , kter nen pravidelnm tystnem, je rotan soumrn podle osy
$ V S , kde S je sted podstavy ABC , tj. je v nkterch otoench kolem tto osy samodrun. Kolik
tchto otoen vetn identickho je rznch?
Poznmka: Ot zku lze tak vyslovit ve tvaru: Jakou etnost m tato rotan soumrnost?
Pro dan mnohostn asto hledme ta shodn zobrazen, ve kterch je zadan mnohostn samodrun.
Shodn zobrazen, ve kterm je mnohostn M samodrun, nazveme z krytovou shodnost mnohostnu M .
Zkrytovou shodnost mnohostnu M kter je shodnost pmou, nazveme z krytovm pohybem mnohostnu M .
Otoen kolem osy, kter je zkrytovm pohybem mnohostnu M , nazveme z krytovm otoenm
mnohostnu M .
Uvdomme si jet, e skldn zobrazen je zavedeno tak, aby bylo asociativn.
loha 11.1.2.
Najdte vechny dal zkrytov shodnosti pravidelnho trojbokho jehlanu ABCV z pedchoz lohy
rzn od uvedench zkrytovch otoen.
loha 11.1.3.
Ukate, e mnoina vech zkrytovch shodnost, respektive mnoina vech zkrytovch pohyb, danho
pravidelnho jehlanu ABCV , kter nen pravidelnm tystnem, spolu se skldnm zobrazen tvo
grupu.
loha 11.1.4.
Rozhodnte, zda se skldnm zobrazen tvo grupu mnoina vech nepmch zkrytovch shodnost
jehlanu ABCV z pedchozch loh.
loha 11.1.5.
Tak pravideln tystn m zkrytov pohyby. Kolik jich celkem je? Tvo tak se skldnm zobrazen
grupu?
loha 11.1.6.
Urete vechny podgrupy grupy zkrytovch pohyb danho pravidelnho tystnu (tj. grupy vzhledem
ke skldn zobrazen tvoen mnoinou jen nkterch ze zkrytovch pohyb tohoto tlesa).
129
130
11. OTEN A BARVEN MNOHOSTN
loha 11.1.7.
Ukate, e krychle m 13 os rotan soumrnosti o1 o2 o3 : : : o13 a zkoumejte zkrytov otoen kolem
nich.
(a) Ukate, e mnoina R vech zkrytovch otoen krychle je uzaven vzhledem ke skldn
zobrazen.
(b) Urete podmnoinu mnoiny R tak, aby byla grupou vzhledem ke skldn zobrazen a mla
nejmen mon poet prvk rzn od jedn.
loha 11.1.8.
Ukate, e pravideln osmistn m stejn poet os rotan soumrnosti jako libovoln krychle a e lze osy
obou tchto tles piadit tak, e budou nejen stejn etnosti rotanch symetri pro odpovdajc si osy,
ale zachov se i vzjemn poloha a odchylka libovolnch dvou os.
EEN
131
een
loha 11.1.1.
Rznmi otoenmi jsou identita a dv dal otoen o hly velikost 120 +k 360 , respektive 240 +k 360 .
Jinak: etnost rotan soumrnosti kolem $ V S je 3.
loha 11.1.2.
Dal zkrytov shodnosti jsou rovinov symetrie podle rovin $ V SA, $ V SB , $ V SC . Tyto soumrnosti podle rovin jsou nepm zkrytov shodnosti.
Protoe V je samodrun bod, mme pro zobrazen vrchol A, B , C na vrcholy A, B , C prv 3 2 = 6
monost. Krom t otoen a t rovinovch soumrnost tedy u dal zkrytov shodnosti nejsou.
loha 11.1.3.
Sloenm dvou shodnost, ve kterch je jehlan samodrun, dostaneme zase shodnost, ve kter je samodrun. Sloenm shodnost pmch dostaneme shodnost pmou. Mnoina zkrytovch shodnost i
mnoina zkrytovch pohyb je tedy vzhledem ke skldn zobrazen uzaven.
Skldn shodnost je asociativn operace.
Identita je neutrlnm prvkem skldn shodnost a je shodnost pmou.
Otoen o 120 a o 240 kolem $ V S jsou navzjem inverzn. Kad rovinov soumrnost prv tak jako
identita je inverzn sama k sob.
Tedy: Mnoina vech zkrytovch shodnost, respektive mnoina vech zkrytovch pohyb, danho pravidelnho jehlanu ABCV , kter nen pravidelnm tystnem, spolu se skldnm zobrazen tvo grupu.
Grupa zkrytovch pohyb je podgrupou grupy zkrytovch shodnost.
loha 11.1.4.
Mnoina t rovinovch symetri nen uzaven vzhledem ke skldn zobrazen (sloenm dvou nepmch
shodnost je shodnost pm), ani nem neutrln prvek, proto neme se skldnm zobrazen tvoit
grupu.
Poznmka: dn mnoina nep
mch z krytovch shodnost njakho mnohostnu (geometrickho tvaru) nen spolu se skl d nm zobrazen grupou.
loha 11.1.5.
Zkoumejme nejprve neidentick zkrytov otoen: Existuj vdy 2 rzn otoen o 120 a 240 , kter
zachovvaj zvolen vrchol tystnu kolem osy, kter jde tmto vrcholem kolmo k protj stn, tj. celkem
8 otoen. Dle 3 osov soumrnosti (otoen o 180 s osami ve spojnicch sted kad dvojice protjch
hran.
Uvame nyn, e dan tystn ABCD me mt nejve 43 = 12 pmch zkrytovch shodnost, protoe
bod A meme zobrazit na libovoln ze ty bod A, B , C , D a jeho protj stnu meme otoit do
t rznch poloh. Dvanct zkrytovch pohyb jsme u nali: identitu, osm neidentickch zkrytovch
otoen zachovvajcch dan vrchol a ti osov soumrnosti. Dal zkrytov pohyby u neexistuj.
Ukeme jet, e mnoina vech zkrytovch otoen danho pravidelnho tystnu ABCD spolu se
skldnm zobrazen tvo grupu:
Sloenm zkrytovch pohyb mus vzniknout zkrytov pohyb a jin zkrytov pohyby ne zkrytov
otoen nejsou. Skldn shodnost je asociativn operace. Identita je neutrln prvek a ke kadmu otoen
existuje inverzn (opan) otoen kolem te osy o opan hel (otoen o 240 je otoen o ;120 ). Osov
soumrnost a identita jsou inverzn samy k sob.
loha 11.1.6.
Krom trivi lnch podgrup, kdy pslunou podmnoinou je bu cel mnoina vech zkrytovch pohyb,
nebo je to mnoina jednoprvkov obsahujc pouze identitu, existuj zejm i podgrupy zkrytovch
otoen kolem kad z pslunch os. Tedy 4 tprvkov podgrupy a 3 dvouprvkov, pitom identitu
chpeme jako identick otoen podle libovoln z os. Dle existuje typrvkov podgrupa tvoen identitou
132
a temi osovmi symetriemi - sta ukzat, e sloenm dvou z pslunch osovch soumrnost je tet
z nich - viz obrzek 11.1, kde sloenm symetri s osami o1 a o2 je osov soumrnost s osou o3 .
Obrzek 11.1. Osov soumrnosti pravidelnho tystnu (k loze 11.1.6)
loha 11.1.7.
Osy rotan symetrie jsou:
Spojnice sted protjch stn
3 osy (maj etnost 4)
Spojnice protjch vrchol
4 osy (maj etnost 3)
Spojnice sted protjch hran
6 os (maj etnost 2)
Celkem
13 os rotan symetrie
Zkoumejme nejprve neidentick otoen:
Existuj vdy 3 rzn otoen o 90 , 180 a 270 kolem t os, kter jsou spojnicemi sted protjch stn,
celkem 9 otoen. Dle existuj vdy 2 rzn otoen o 120 a 240 , kter zachovvaj dvojici zvolench
protjch vrchol krychle kolem osy, kter tyto vrcholy spojuje, tchto otoen je celkem 8. Dle je 6
osovch soumrnost (otoen o 180 ), jejich osy jsou spojnice sted protjch hran.
Dohromady s identickm otoenm jsme nali 24 zkrytovch otoen.
(a) Uvame nyn, e dan krychle ABCDEFGH me mt nejve 24 pmch zkrytovch shodnost, protoe bod A meme zobrazit na libovoln z osmi bod A, B , C , . . . , H a sousedn
vrchol B pak meme otoit do t rznch poloh. tyiadvacet otoen jsme u nali, dal
zkrytov pohyby tedy ji nemohou existovat. Sloenm dvou zkrytovch pohyb vak mus
vzniknout zase zkrytov pohyb. Sloenm dvou zkrytovch otoen dan krychle vznikne tedy
zase zkrytov otoen tto krychle.
(b) Hledanou podgrupou je kad ze esti podgrup tvoench identitou spolu s osovou soumrnost
podle spojnice sted urit dvojice protjch hran. Tyto podgrupy jsou dvouprvkov.
loha 11.1.8.
Zvolme libovolnou krychli K a vepime j pravideln osmistn tak, e jeho vrcholy jsou stedy stn krychle.
Tento osmistn je samodrun v kadm zkrytovm otoen krychle. Protoe osmistn me mt nejve
6 4 = 24 pmch zkrytovch shodnost, je zejm, e ji nem dn dal zkrytov otoen ne ta,
kter jsou souasn zkrytovmi otoenmi krychle K . Osy rotanch symetri obou tles splvaj. Systm
os libovoln dal krychle je shodn se systmem os krychle K . Tato shodnost je hledanm piazenm.
Poznmka: Pravideln osmistn m stejn jako krychle 13 os rotan symetrie.
11.2. OBARVOVN
133
11.2. Obarvovn
loha 11.2.1.
Stny n-stnu chceme obarvit tak, aby sousedn stny mly rznou barvu. Ukate, e existuje mnohostn,
na jeho obarven sta pouze dv barvy. Kolik takovch mnohostn je?
loha 11.2.2.
Existuje estistn, kter lze obarvit dvma barvami tak, aby kad dv sousedn stny mly rznou barvu?
loha 11.2.3.
Kolik potebujeme rznch barev, abychom obarvili stny libovolnho ptistnu tak, e sousedn stny
maj rznou barvu?
loha 11.2.4.
U pravidelnho tystnu obarvme kadou z jeho stn jinou barvou. Kolik rozliitelnch obarven meme
pro zvolen tyi barvy dostat?
loha 11.2.5.
Dn pravideln trojbok hranol. Jeho hrany a stnov hlopky chci obarvit dvma rznmi barvami
(nap. ern a ble) tak, aby dn z trojhelnk, jejich strany jsou na obarvench sekch, neml
vechny strany obarveny stejnou barvou. Poda se mi to udlat?
loha 11.2.6.
Dn ptibok hranol s podstavami A1 A2 A3 A4 A5 a B1 B2 B3 B4 B5 . Vechny podstavn hrany a vechny
seky Aj Bk pro vechna j , k z mnoiny 1 2 3 4 5 jsou obarveny ern nebo ble tak, aby dn trojhelnk, jeho vrcholy jsou vrcholy zadanho hranolu a jeho vechny strany jsou obarveny, nebyl jednobarevn!. Dokate, e vech deset podstavnch hran m stejnou barvu.
134
een
loha 11.2.1.
Hledanm mnohostnem je napklad pravideln osmistn, ppadn kubooktaedr, jejich stny lze obarvit
jako achovnici. Nutn podmnka existence hledanho obarven je, e v kadm vrcholu mnohostnu se
stk prv sud poet stn.
Mnohostn, jejich stny lze obarvit jen dvma barvami jako achovnici, je nekonen mnoho. Jsou to
napklad vechny dvojjehlany, kter jsou sjednocenm dvou jehlan o sudm potu bonch stn.
loha 11.2.2.
Obarven provst nelze - za pomoci diagram jednotlivch typ estistn (een lohy 10.2.3) snadno
ovme, e vechny estistny maj vrchol, ve kterm se stkaj prv ti stny.
loha 11.2.3.
Nejprve si pipome$me, e existuj jen dva typy ptistn. Typ tybok jehlan! a typ reprezentovan
nap. trojbokm hranolem nebo komolm trojbokm jehlanem. U obou typ existuj vrcholy, ve kterch
se stkaj prv ti stny. V obou ppadech tedy musme k obarven ut alespo$ ti barvy. U trojbokho
hranoly vak ti barvy nesta (podstavy mus mt jinou barvu ne kad ze t stn).
Odpov : K barven ptistn potebujeme tyi barvy.
loha 11.2.4.
lohu budeme eit pro barvy: ervenou, modrou, lutou a blou.
Postavme-li tystn na ervenou stnu a otome-li ho modrou stnou dozadu, lze rozliit, je-li lut
stna z naeho pohledu vpravo nebo vlevo.
Jinak: Nejprve si pedstavme, e stny tystnu jsou slovan a tak barvy uijeme v pedem urenm
poad nap. ervenou, modrou, lutou a blou. Pi barven ervenou barvou meme obarvit kteroukoli ze
ty stn, mode u lze natt jen nkterou ze t dosud neobarvench stn a lut zvolenou ze dvou stn.
Ble pak natu posledn neobarvenou stnu. Monost postupu pi obarvovn je tedy 4! = 24. Pokud
vak stny nejsou oslovny nepjdou rozliit ta obarven, kter meme dostat rznm otenm ji
obarvenho tystnu. Protoe tystn m 12 zkrytovch otoen budou jen dv rozliiteln obarven.
Odpov : Existuj jen dv rozliiteln obarven stn pravidelnho tystnu zvolenmi tymi rznmi
barvami.
loha 11.2.5.
Uvame nejprve obarven podstavnch hran jedn podstavy. Jedna z hran mus mt nap. barvu A a
druh dv barvu B .
Uvame, e pro obarven kad z bonch stn jsou dv monosti (dva typy):
(1) Vechny hrany maj jednu barvu a hlopky barvu druhou.
(2) Podstavn hrany maj stejnou barvu s jednou hlopkou zatmco bon hrany a druh hlopka maj druhou barvu. Zde jsou dv nepmoshodn monosti.
Nakreslete si s) plt hranolu tak, aby barvou A byly obarveny podstavn hrany prostednho obdlnku.
Oba postrann obdlnky pak maj podstavn hrany barvy B .
(a) M-li prostedn obdlnk obarven prvnho typu, pak postrann obdlnky mus mt obarven
druhho typu, kdy jedna hlopka je barvy A a druh barvy B . Obarvme-li vak kteroukoli
ze stnovch hlopek barvou B , vznikne trojhelnk barvy B .
(b) M-li prostedn obdlnk obarven druhho typu (dv vzjemn zrcadlov monosti), pak postrann obdlnky maj obarven prvnho typu, kdy hrany jsou obarveny barvou B a hlopky
barvou A. Pak ovem vzniknou dva trojhelnky barvy A.
Odpov : Ne. Poadovan obarven nelze provst.
EEN
135
loha 11.2.6.
Nejprve ukeme, e vechny hrany zvolen podstavy mus mt stejnou barvu. Dkaz vedeme sporem:
Nech) existuje obarven, kde maj podstavy rznobarevn hrany. Bez jmy na obecnosti meme pedpokldat, e hrana A1 A2 je bl a hrana A2 A3 je ern. Z pti seek A2 B1 A2 B2 : : : A2 B5 maj alespo$
ti stejnou barvu, pedpokldejme, e blou. Alespo$ dva z vrchol (ozname je Bi , Bj ), do kterch tyto
bl seky vedou jsou sousedn. Hrana jimi uren Bi Bj pak ovem mus bt ern, aby trojhelnk
A2 Bi Bj nebyl cel bl. ern pak mus bt i hrany A1 Bi a A1 Bj , aby nevznikl jednobarevn trojhelnk
(A1 A2 Bi , respektive A1 A2 Bj ). Nyn je vak jednobarevn trojhelnk A1 Bi Bj - spor.
Ukeme jet, e podstavy nemohou mt rzn barvy:
Nech) nap. vechny hrany podstavy A1 A2 A3 A4 A5 jsou bl a vechny hrany podstavy B1 B2 B3 B4 B5
ern. Pak z dnho vrcholu Aj nesmj jt vc ne dv ern seky (aby nekonily v sousednch vrcholech), tj. celkem nejve 10 ernch, a z dnho vrcholu Bk nesmj jt vc ne dv bl seky, tj. celkem
nejve 10 blch seek. Nememe tedy vhodn obarvit vech 5 5 = 25 seek Aj Bk - spor.
Vechny podstavn hrany mus mt stejnou barvu.
Zbv jen dodat, e vyhovujc obarven je napklad: vechny podstavn hrany bl a ostatn seky
ern.
136
K zapamatovn
11.1 Pravideln tystn m ti osy soumrnosti a dal tyi osy rotan soumrnosti s etnost 3,
tedy celkem sedm os rotan soumrnosti.
11.2 Krychle a pravideln osmistn maj 13 os rotan soumrnosti, z nich 9 je i osami osov soumrnosti.
11.3 Mnoina vech zkrytovch shodnost, respektive mnoina vech zkrytovch pohyb, danho
tvaru spolu se skldnm zobrazen v
dy tvo grupu.
11.4 Nutnou podmnkou pro achovnicov obarven danho mnohostnu je, aby se v kadm jeho
vrcholu stkal sud poet stn.
Poznmky
11.1 Pravideln tystn m 12 zkrytovch otoen.
Krychle i pravideln osmistn maj 24 zkrytovch otoen.
11.2 Lze dokzat: Pravideln mnohostn m 2h zkrytovch otoen, kde h je poet hran
mnohostnu.
11.3 +dn z mnoin nepmch zkrytovch shodnost njakho mnohostnu spolu se skldnm
zobrazen grupu netvo.
11.4 Pro vechny mnohostny je mnoina vech jejich zkrytovch pohyb rovna mnoin vech jejich
zkrytovch otoen. (Pro jin tvary to vak ji nastat nemus.)
11.5 Pi obarvovn mnohostn se zkoum tak modikovan problm ty barev!.
KAPITOLA 12
Dal
lohy
12.1. Mno
iny bod dan vlastnosti
loha 12.1.1.
Dna krychle ABCDEFGH . Urete mnoinu vech sted seek XY , kde X le na AC a Y na FH .
loha 12.1.2.
Dn pravideln tystn ABCD. Urete mnoinu vech bod, ze kterch je nkter dvojice jeho protjch
hran vidt pod pravmi hly.
loha 12.1.3.
Urete mnoinu sted vech tverc, jejich vechny strany le na stnch dan krychle, vme-li, e
tverec nen st dn ze stn krychle.
loha 12.1.4.
Je dna krychle ABCDEFGH . Bod X se pohybuje z bodu A stlou rychlost po hranici tverce ABCD
(v tomto poad) a bod Y z bodu F stejnou stlou rychlost po hranici tverce FGCB . Urete trajektorii
stedu seky XY , kdy vme, e se oba body zaaly pohybovat souasn.
137
138
12. DAL #LOHY
een
loha 12.1.1.
Uvame pravideln tystn ACFH , kter je prv sjednocenm vech monch poloh seky XY . Mnoinou vech sted seek XY je ez tystnu rovinou rovnobnou s obma hranami AC a FH , kter
pl vechny ostatn hrany tystnu. Takovto ez je, jak ji bylo dve ukzno (loha 2.5), tverec.
Odpov : Hledanou mnoinou bod je tverec. Dlka strany tverce je rovna polovin dlky stnov
hlopky krychle.
loha 12.1.2.
tystn doplnme na krychli AKBLMDNC . Mnoina bod, ze kterch je vidt hranu AB pod pravm
hlem je kulov plocha 1 (vytvoen Thaletovmi krunicemi) opsan nad prmrem AB s vjimkou
bod A, B . Mnoina bod, ze kterch je vidt hranu CD pod pravm hlem je kulov plocha 2 opsan
nad prmrem CD s vjimkou bod C , D. Tyto dv kulov plochy (obrzek 12.1) maj za prnik krunici
k lec v rovin, kter jde; stedem
S ;krychle
rovnobn s rovinou ABL. Pro polomr r tto krunice
kde a je dlka hrany krychle a b dlka hrany tystnu
(t
plat z Pythagorovy vty 2b 2 = r2 + a2 2 , p
p
2
2
2
2
b
b
b
2
2
prmr obou kulovch ploch). Protoe b = a 2 zskme rovnici: 4 = r + 8 , r = 8 , r = 4 b.
Pro dal dv dvojice protjch hran zskme obdobn krunice l, m stejnho polomru r.
Odpov
p : Hledanou mnoinou bod je sjednocen t krunic k , l, m, kter vechny maj shodn polomr
r = 42 b, spolen sted S a kad z nich le v rovin rovnobn s jednou dvojic protjch hran
zadanho pravidelnho tystnu, jeho hrana m dlku b.
loha 12.1.3.
Nech) ABCDEFGH je dan krychle s hranou dlky a a KLMN hledan tverec.
(1) Nech) je rovina ezu rovnobn se stnou krychle. Sted O tverce le na spojnici sted tch
stn krychle, se ktermi je rovina ezu rovnobn.
Tak plat, e kad bod X lec uvnit seky spojujc stedy protjch stn krychle je stedem
jednoho hledanho tverce, jeho rovina je kolm na tuto seku.
(2) Je-li rovina ezu rovnobn pouze s jednou hranou krychle, nap. AD (obrzek 12.2), mus
platit KLkMN kAD a hledan tverec m dlku strany a. Ozname Q sted KL, R sted MN
a S sted AD. Sted O tverce je stedem seky QR a trojhelnk QSR je pravohl. Potom
jORj = jOQj = jOS j = a2 a bod O le na krunici k se stedem S a polomrem a2 a uvnit
krychle.
Pokud zvolme bod X uvnit krychle a souasn na krunici k, v rovin krunice k opeme krunici l se stedem X a polomrem a2 a najdeme prseky Q, R krunice l s povrchem krychle,
meme urit rovinu jdouc body Q, R rovnobn s AD, kter ee krychli ve tvercovm ezu,
jeho stedem je bod X . Bod X toti mus bt stedem krunice opsan pravohlmu trojhelnku QSR (le v rovin tohoto trojhelnku a m od vech t vrchol stejnou vzdlenost), tedy
stedem pepony QR. Dle plat jQRj = a.
EEN
139
(3) Uvaujeme tverec KLMN , jeho rovina nen rovnobn s dnou hranou krychle. Nech) K
le nap. na hran AB , KL ve stn ABCD a KN ve stn ABFE . seka KL je tedy kolm
na KN i na BF . Pak je ovem kolm (dle kritria kolmosti pmky a roviny) tak k rovin
$ ABF . Strana KL je rovnobn se vemi kolmicemi k $ ABF , tedy i s BC . Rovina tverce
je rovnobn s hranou BC - spor.
tvercov ezy, jejich roviny jsou rznobn se vemi hranami krychle neexistuj.
Odpov : Hledan mnoina je sjednocenm vnitk t seek spojujcch stedy protjch stn krychle
s vnitky dvancti tvrtkrunic s polomrem a2 , sted kad z tchto tvrtkrunic je stedem nkter
hrany dan krychle, piem rovina tvrtkrunice je kolm na hranu, na n le sted tvrtkrunice, a
tvrtkrunice je st dan krychle.
loha 12.1.4.
Pi oznaen dle obrzku 12.3:
(1) X a Y probhaj prvn hrany. seky vyjdme parametricky:
Pro 0 t 1 je X = A + t(B ; A), tj. X = (1 ; t);A + tB a obdobn
Y = (1 ; t)F + tG.
Potom S = X +2 Y = (1 ; t) A+2 F + t B+2 G = A+2 F + t B+2 G ; A+2 F probh seku, jej koncov
body jsou stedy seek AF a BG, tedy stedy K , L stn ABFE a BCGF . Body S probhaj
seku KL.
(2) X a Y probhaj druh hrany.
Pro 0 t 1 je X = (1 ; t)B + tC a Y = (1 ; ;t)G + tC . Potom S = X +2 Y = (1 ; t) B+2 G + tC = B+2 G + t C ; B+2 G probh seku, jej koncov body
jsou sted seky BG a vrchol C , tedy sted stny BCGF a vrchol C . Body S probhaj seku
LC .
(3) X a Y probhaj tet hrany.
Pro 0 t 1 je X = (1 ; t)C + tD a Y = (1 ;;t)C + tB .
Potom S = X +2 Y = (1 ; t)C + t B+2 D = C + t D+2 B ; C probh seku, jej koncov body
jsou vrchol C a sted seky DB , tedy vrchol C a sted M stny ABCD. Body S probhaj
seku CM .
(4) X a Y probhaj tvrt hrany.
pro 0 t 1 je X = (1 ; t)D + tA a Y = (1 ; t)B; + tF .
Potom S = X +2 Y = (1 ; t) D+2 B + t A+2 F = D+2 B + t A+2 F ; D+2 B probh seku, jej koncov
body jsou stedy seek BD a AF , tedy stedy stn ABCD a ABFE . Body S probhaj seku
MK.
140
12. DAL #LOHY
Odpov : Trajektori bodupS je hranice tyhelnku KLCM . Na obrzku 12.3 vidme, e KLCM je
kosotverec o dlce strany 22 a.
12.2. RZN
141
12.2. Rzn
loha 12.2.1.
Najdte dal slo posloupnosti tzv. jehlanovch sel: 1, 5, 14, 30, 55, . . .
loha 12.2.2.
Vytvote magickou kostku 3x3x3, tj. krychli, na kterou rozmstte (do vrchol, do sted hran i stn a
do stedu tlesa) prvnch 27 pirozench sel tak, aby na kad hran, tlesov i stnov stedn pce
nebo tlesov hlopce byl souet sel stle stejn.
loha 12.2.3.
Z reklamnch dvod byla postavena v z umlohmotnch krychl postavench na sob tak, aby vdy
vrcholy doln podstavy dal krychle byly stedy hran horn podstavy pedchzejc krychle. Doln krychle
m dlku hrany 5 metr a tvrci zvyovali v tak dlouho, pokud jim to technick monosti dovolily.
Kolikrt men maketu ve je teba vyrobit pro veletrh, je-li vka vstavn sn 6 metr?
loha 12.2.4.
Na obrzku 12.4 jsou ti shodn zlat obdlnky!, tj. obdlnky o rozmrech axb, kdy b = ka a k je
pomr zlatho ezu, tedy kladn een rovnice k2 + k ; 1 = 0 (ze vztahu k : 1 = 1 : (k + 1)). Obdlnky
maj spolen sted a jejich roviny jsou vechny navzjem kolm. Ukate, e 12 vrchol obdlnk uruje
pravideln dvacetistn.
Obrzek 12.4. Ti zlat obdlnky v pravidelnm dvacetistnu (k loze 12.2.4)
142
12. DAL #LOHY
een
loha 12.2.1.
Jehlanov sla (jejich nzev vysvtluje obrzek 12.5) jsou sten souty posloupnosti tverc:
1, 1 + 4 = 5, 1 + 4 + 9 = 14, . . . dal slo je tedy 55 + 36 = 91.
Obrzek 12.5. Jehlanov sla (k loze 12.2.1)
loha 12.2.2.
Uprosted krychle bude aritmetick prmr sel 1 a 27, prostedn slo tto konen posloupnosti sel,
tedy p = 14. Konstantn souty na hranch, stednch pkch a tlesovch hlopkch budou 3p = 42.
Jedna z monost, jak sla rozmstit, je na obrzku 12.6.
Obrzek 12.6. Magick kostka - een lohy 12.2.2
loha 12.2.3.
Snadno zjistme, e pro vky (dlky hran) jednotlivch krychl plat rekurentn pedpis vn+1 = pvn2 . Tyto
vky tvo geometrickou posloupnost s kvocientem p12 . Horn odhad celkov vky se bude rovnat soutu
s pslun geometrick ady s = 1;5p1 . Piblin hodnota s je 17 metr 7 cm.
2
Jinak: Uvdomme si, e vn+2 = v2n . Tedy v3 = 2 5, v5 = 1 25, . . . , v11 = 0 15625, v13 = 0 078125,
EEN
143
patnct krychlika nem ani tyi centimetry. Zjistme a seteme vky vech patncti krychl. Vka
ve peshne 17 metr jen o centimetry.
Odpov : Maketu je teba vyrobit tikrt men.
Poznmka: Objem ve se zmen sedmadvacetkr t.
loha 12.2.4.
Zvolme vhodn souadn systm podle obrzku 12.7. Potom a = 2, b = 2k, souadnice vrchol vech
obdlnk lze snadno urit. Vechny vrcholy obdlnk zejm le na te kulov ploe se stedem v potku.
Trojhelnk AEC je zejm rovnostrann. Ukeme jet, e tak vrcholy A'1 k 0], B '1 ;k 0] s vrcholem
C 'k 0 1], respektiveps vrcholem D'k 0 ;1],
p uruj rovnostrann trojhelnky:
jAB j = 2k , jAC j =p (k ; 1)2 + k 2 + 1 = 2k 2 ; 2k + 2 = jBC j.
p
Obdobn jADj = (k ; 1)p2 + k2 + 1 = 2kp2 ; 2k + 2 = jBDj.
p
Protoe k2 + k ; 1 = 0 je 2k2 ; 2k + 2 = 2(k2 ; k + 1) + 2(k2 + k ; 1) = 4k2 = 2k.
Zkouman trojhelnky jsou rovnostrann s dlkou strany 2k. Ostatn trojhelnky vzniknou vhodnm
otoenm nkterho z trojhelnk ABC nebo AEC (ppadn spotme i dlky jejich stran).
Opsan mnohostn je pravideln dvacetistn.
Tvrzen je dokzno.
144
12. DAL #LOHY
K zapamatovn
12.1 Pomr zlatho ezu je takov pomr dvou dlek, e krat seka k del je ve stejnm pomru
jako del k jejich soutu. Jdeptedy o pomr k = k : 1 = 1 : (k + 1), tj. kladn een rovnice
k2 + k ; 1 = 0. Odtud k = 52;1 . (V poznmce 5.1 jsme toto slo nazvali zlatm slem a
oznaili je .)
12.2 Zlatm obdlnkem nazveme obdlnk, jeho ka ku dlce je v pomru zlatho ezu.
12.3 Na pravidelnm dvacetistnu lze najt ti navzjem kolm shodn zlat obdlnky uren vrcholy
dvacetistnu.
12.4 V prostoru plat obdoba Thaletovy vty:
Mnoina vech bod v prostoru, ze kterch je danou seku AB vidt pod pravm hlem, je
kulov plocha opsan nad prmrem AB bez bod A, B .
Poznmky
12.1 Posloupnost pyramidovch sel: 1, 5, 14, 30, 55, . . . je posloupnost stench sout posloupnosti tverc.
KAPITOLA 13
Historick a jin zajmavosti
loha 13.1.
Polopravidelnmu mnohostnu objevenmu jako posledn (tzv. Millerv mnohostn, viz obrzek 6.9) chyb
jedna z vlastnost, kterou maj vechna plat.nsk a archimedovsk tlesa znm od starovku, a proto
ho nkte autoi k polopravidelnm mnohostnm nepotaj. Zkuste tuto vlastnost popsat.
loha 13.2.
Kdyby ke fotbalovho me nebyla prun, ml by tvar jednoho polopravidelnho mnohostnu. Zjistte,
z jakch mnohohelnk je povrch me seit, a urete nzev mnohostnu.
loha 13.3.
Na hodinch chemie jste se uili o uhlku. Jeho normln forma je grat, kter m atomy uhlku uspodny v molekule jako vrcholy pravidelnch estibokch hranol, a diamant, jeho atomy jsou uspodny
jako vrcholy pravidelnho tystnu. Nedvno objeven forma uhlku C60 1 m 60 uhlkovch atom
rozloench jako vrcholy pravidelnch pti a estihelnk tvocch kulovit tvary nazvan fullereny,
respektive buckyballs 2. Zkontrolujte, e 60 vrchol m prv fotbalov m!.
loha 13.4.
Na obrzku 13.1 je tzv. Campanova koule, 8n2 -stn, kterm lze aproximovat kouli. Mnohostn nese jmno
Campana z Novary, jednoho ze stedovkch pekladatel Euklidovch Zklad (v polovin 13. stolet).
V Zkladech je koule! popsna v 17. sti 12. knihy. Zobrazen mnohostn obdrme pro n = 3.
(a) Kter mnohostn je Campanovou koul pro n = 1?
(b) V Mongeov promtn zobrazte Campanovu kouli pro n = 2 vepsanou kulov ploe s polomrem
r. Pi konstrukci nejprve zvolte p.ly!, pak vepite pravideln osmihelnk rovnku! a potom
vepite dal pravideln osmihelnky tm polednkm!, kter jdou jeho vrcholy.
loha 13.5.
V pravidelnm tystnu a krychli provedeme tento vpoet:
Pro kad vrchol tlesa nejprve spotme souet vech pslunch hranovch hl, kter se v danm
vrcholu stkaj a urme jejich doplnk do plnho hlu. Takto zskan seteme pro vechny vrcholy
mnohostnu:
4 (360 ; 180 ) = 720 (= 8 90 ), respektive 8 (360 ; 270 ) = 8 90 .
Zkontrolujte, zda stejn vsledek dostanete i pro ostatn pravideln mnohostny.
1Nobelova cena za chemii 1996
2podle americkho architekta Buckminstera Fullera, autora tzv. geodetickch dom, z nich nejznm
j byl americk
pavilon na EXPO 1967 v Montrealu
145
146
13. HISTORICK A JIN ZAJMAVOSTI
Obrzek 13.1. Campanova koule (k loze 13.4)
EEN
147
een
loha 13.1.
Na tlese jsou dva druhy vrchol: vrcholy tverc tvocch ps (na obrzku 6.9 rovnk!) a ostatn
vrcholy. Neexistuje zkrytov shodnost pevdj bod prvnho typu na bod druhho typu.
Na platonskch a archimedovskch tlesech jsou vechny vrcholy rovnocenn!.
loha 13.2.
M je seit z dvancti pravidelnch ptihelnk a dvaceti pravidelnch estihelnk. Hledanm mnohostnem je otupen dvacetistn.
loha 13.3.
+e je vrchol na fotbalovm mi! 60, zjistme jednoduchou vahou:
Pi otupen! nahradme kad z pvodnch dvancti vrchol dvacetistnu pravidelnm ptihelnkem.
Vrchol je tedy 12 5 = 60.
Poznmka: Jsou zn my i dal nov formy uhlku C70 , C32 aj., jejich molekuly jsou rovn kulovit
tvary, a proto se jim (nejen jejich molekul m) spolu s C60 k fullereny. Nap
. molekuly C70 jsou
tvo
eny 12 ptihelnky a 25 estihelnky a jsou podobn spe mi ragbyovmu. Fulleron C60 je z nich
vak nejstabilnj a existuje i v krystalick form.
loha 13.4.
een:
(a) Je to pravideln osmistn.
(b) Prmtny volte tak, aby pdorysna byla rovnobn s rovinou rovnku! a nrysna s rovinou
jedno z polednk!. Vsledn sdruen prmty jsou na obrzku 13.2.
loha 13.5.
Pro pravideln osmistn je 6(360 ;240 ) = 720 , pro dvanctistn je 20(360 ;3108 ) = 2036 = 720
a pro dvacetistn 12 (360 ; 300 ) = 720 .
Souet rozdl pro vechny vrcholy je u vech pravidelnch mnohostn roven osmi pravm hlm.
Poznmky:
(1) Tvrzen, e souet rozdl pro vechny vrcholy kadho konvexnho mnohostnu je roven osmi
pravm hlm, se nazv Descartesova vta.
(2) Tvrzen ekvivalentn Descartesov vt k , e souet vech hranovch hl konvexnho mnohostnu s v vrcholy je (v ; 2)360 .
(3) slo popisuje ostrost, resp. tupost p
slunho vrcholu mnohostnu.
148
13. HISTORICK A JIN ZAJMAVOSTI
Obrzek 13.2. Campanova koule pro n = 2 (k loze 13.4)
POZNMKY
149
K zapamatovn
13.1 Pklady mnohostn mimo matematiku:
Stavby, jejich celkov tvar (nebo tvar jejich st) je mnohostn rzn od hranol a jehlan
nebo st takovho mnohostnu, nazvme geodetick domy!.
Fotbalov m je seit z dvancti pravidelnch ptihelnk a dvaceti pravidelnch estihelnk,
jde vlastn o otupen dvacetistn.
Mnoho krsnch mnohostn najdeme mezi prodnmi krystaly i v klenotnictv na vybrouench
drahokamech.
Tak tzv. kulovit viry maj tvar mnohostnu - nap. virus dtsk obrny m tvar pravidelnho
dvacetistnu.
Poznmky
13.1 Euklidovy Zklady obsahuj stereometrick poznatky, tedy i poznatky o mnohostnech, v knihch 11, 12 a 13. Euklides ji znal vechna plat.nsk tlesa i Campanovu kouli.
13.2 Plat.n pedpokldal, e tvar pravidelnch mnohostn maj atomy jednotlivch ivl: tystn
- ohe$, krychle - zem, osmistn - vzduch, dvacetistn - voda.
13.3 Zkoumn mnohostn se dle vnovali:
renesann umlci: nap. Leon Battista Alberti, Paolo Ucello, Piero della Francesca, Albrecht D/rer a dal. Leonardo da Vinci zhotovoval modely mnohostn a ilustroval knihu
mnicha Luca Paccioliho O bosk proporci, kter se zabv napklad zlatm ezem, speciln i zlatm obdlnkem v pravidelnm dvacetistnu.
Jan Kepler: hledal souvislost mezi pravidelnmi mnohostny a drahami planet slunen
soustavy. Keplerovo jmno dvme dvma tlesm, jejich stny jsou shodn kosotverce
(nap. dvanctistn kosotveren) a nkolika hvzdicovm mnohostnm!.
Ren Descartes: prvn studoval mnohostny v obecnch souvislostech. Jmenuje se po nm
jedna z vt o hlech v mnohostnu.
Leonhard Euler: viz Eulerova vta.
13.4 Mineralogie:
Nerost
Tvar krystal
kamenn sl krychle
vpenec
klenec
pyrit
krychle, pravideln dvanctistn, vzcn i osmistn
magnetovec pravideln osmistn
kazivec
krychle, otupen krychle, ppadn osmistn
grant
dvanctistn kosotveren
leucit
tyiadvacetistn deltoidov
Zv r
Mnohostny - krsn partie matematiky
V roce 1991 vyel ve 3. sle asopisu Pokroky matematiky, fyziky a astronomie lnek (peklad
z anglitiny) Davida Wellse Jsou to ty nejkrsnj?! tkajc se krsy matematiky, ve kter matematici
bodovali krsu 24 vybranch matematickch tvrzen. Vsledek ankety byl nsledujc:
(1) ei = ;1
(2) Eulerova formule pro mnohostn: v + s = h + 2
(3) Existuje nekonen mnoho prvosel.
(4) Existuje
pesn pt pravidelnch
mnohostn.
; 2 ; 2 ; 2
2
(5) 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ = 6
..
.
(13) Pravideln dvacetistn vepsan do pravidelnho osmistnu rozdluje hrany v pomru zlatho ezu.
..
.
Trojice vt o mnohostnech zde velmi estn obstla v konkurenci tvrzen z jinch parti matematiky.
Nezbv ne pipomenout, e s ka
dou z tchto t krsnch vt jste se v na sbrce loh
seznmili.
Pokud jste doetli a sem, proli si een vech sto osmdesti ty loh a prohldli si vech sto est
obrzk, budete urit i vy mnohostny fascinovni. Nkdy se k nim zase vra)te.
151
Literatura
1] ALEXANDROV, P. S. vod do teorie grup. 1. vydn. Moskva: Mir, 1985.
2] ANDRES, J. - FIER, J. ez zlat, stbrn a bronzov. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 1995, ro. 40, . 6,
s. 307-317. CS-ISSN-0032-2423.
3] BOEK, L. - VRBA, A. Vybran lohy z matematick olympidy: Kategorie B. 1. vydn. Praha: Sttn pedagogick
nakladatelstv, 1984.
4] BOEK, L. - VRBA, A. Vybran lohy z matematick olympidy: Kategorie C. 1. vydn. Praha: Sttn pedagogick
5] BUDOVSK, L. - KLUVNEK, I. Dirichletov princp. 1. vydn. Praha: V Matematick olympidy, 1970. kola
mladch matematik sv. 25.
6] BYD!OVSK, B. a kol. Sbrka loh z matematiky pro IV. - VIII. tdu stednch kol. 4. vydn. Praha: Jednota
eskoslovenskch matematik a fysik, 1936.
7] CROMWELL, P. R. Polyhedra. 1st edition. Cambridge University Press, 1997. ISBN 9-521-55432-2.
8] DELONE, B. - !ITOMIRSKIJ, O. Zadanik po geometrii. Izdanie pjatoje. Moskva: 1950.
9] Geometrie v technice a umn: Sbornk konference podan ke stmu vro narozen prof. Dr. techn. Franti
ka
Kadevka DrSc., nositele du republiky. Praha: Jednota eskoslovenskch matematik a fyzik, 1985.
10] HECHT, T. - SKLENRIKOV, Z. Metdy rie
enia matematickch loh. 1. vydanie. Bratislava: Slovensk pedagogick
nakladatel'stvo, 1992. ISBN 80-08-00340-5.
11] HEJN, M. a kol. Teria vyuovania matematiky 2. 1. vydn. Bratislava: Slovensk pedagogick nakladatel'stvo, 1989.
ISBN 80-08-00014-7.
12] HORK, K. - M#LLER, V. - VRBA, A. lohy mezinrodnch matematickch olympid. 1. vydn. Praha: Sttn
pedagogick nakladatelstv, 1986.
13] HORK, S. Mnohostny. 1. vydn. Praha: V Matematick olympidy, 1970. kola mladch matematik sv. 27.
14] HRUA, K. a kol. Pehled elementrn matematiky. 4. vydn. Praha: Sttn nakladatelstv technick literatury, 1964.
15] JACOBS, H. R. Geometry. 1st edition. San Francisco: Freeman, 1974. ISBN 0-7167-0456-0.
16] Jihoesk matematick korespondenn semin: zadn a vzorov e
en. esk Bud
jovice: Pedagogick fakulta Jihoesk univerzity, 1989-2002.
17] JUCOVI, E. Konvexn mnohosteny. 1. vydanie. Bratislava: Veda, 1981.
18] KADEVEK, F. - KL$MA, J. - KOUNOVSK, J. Deskriptivn geometrie: Dl prvn. 2. vydn. Praha: Jednota
eskoslovenskch matematik a fysik, 1945.
19] KADLEEK, J. Geometrie v rovin a prostoru: pro stedn koly. 1. vydn. Praha: Prometheus, 1996. ISBN 80-807196-017-9.
20] KOLMAN, A. Djiny matematiky ve starovku. Praha: Academia, 1969.
21] KUINA, F. Deset pohled na geometrii. Praha: Matematick %stav AV R, 1996. ISBN 80-85823-21-7.
22] KUINA, F. Umn vidt v matematice. 1. vydn. Praha: Sttn pedagogick nakladatelstv, 1989. ISBN 80-04-237533.
23] LARSON, L. C. Metdy rie
enia matematickch problmov. 1. vydanie. Bratislava: ALFA, 1990. ISBN 80-05-00627-6.
24] LEVITIN, K. Geometrick rapsdie. 1. vydn. Praha: Sttn nakladatelstv technick literatury, 1991. ISBN 80-0300628-7.
25] MATY, M. Fullereny a fullerity. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 1992, ro. 37, . 5, s. 288-292. CS-ISSN0032-2423.
26] MOLNR, J. - VREK, J. - KUERA, M. Olomouck matematick korespondenn semin (1986 - 1991). 1. vydn.
Olomouc: Univerzita Palackho, 1993. ISBN 80-7076-187-4.
27] N&MEC, F. Kl k urovn nerost a hornin. 5. upraven vydn. Praha: Sttn pedagogick nakladatelstv, 1999.
ISBN 80-04-23957-9.
28] PAPPASOV, T. Pote
enie z matematiky: Objavovanie matematiky v
ade okolo ns. 1. vydanie. Bratislava: Nebojsa,
1997. ISBN 80-967724-6-5.
29] POLK, J. Stedo
kolsk matematika v lohch II. 1. vydn. Praha: Prometheus, 1999. ISBN 80-7196-166-3.
30] POMYKALOV, E. Matematika pro gymnzia: Stereometrie. 1. vydn. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 80-7196-0047.
31] PRASOLOV, V. V. - ARYGIN, I. F. Zadai po stereometrii. Izdanie pervoje. Moskva: 1989. ISBN 5-02-013921-1.
32] RACH'NEK, J. Grupa a jej modely pro tdy gymnzi se zamenm na matematiku. 3. vydn. Praha: Sttn
pedagogick nakladatelstv, 1987.
153
154
LITERATURA
33] RIEGER, L. O grupch. 2. vydn. Praha: V Matematick olympidy, 1974. kola mladch matematik sv. 34.
34] SCHATTACHNEIDEROV, D. - WALKER, W. M. C. Escher Kaleidocykly. Berln: Benedikt Taschen Bratislava:
Slovart, 1992. ISBN 3-89450-390-4 CS.
35] VRBA, A. - HORK, K. Vybran lohy matematick olympidy: Kategorie A. 1. vydn. Praha: Sttn pedagogick
36] VY$N, J. Metodika e
en matematickch loh. 2. dopln
n vydn. Praha: Sttn pedagogick nakladatelstv, 1972.
37] WELLS, D. Jsou to ty nejkrsn
j?. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 1991, ro. 36, . 3, s. 171-179. CSISSN-0032-2423.
38] ZEDEK, M. a kol. Vybran lohy z matematick olympidy: Kategorie B, C. 1. vydn. Praha: Sttn pedagogick

Objevujme mnohostěny

Transkript

Podobné dokumenty

Mezinárodní projekty mladých psychiatrů v Evropě

Obsah - Austin Detonator sro

BAKAL A RSK A PR ACE

KOMBINATORIKA A GRAFY I

Dodatek k podmínce Severní Amerika (severni_amerika | 8.8 MB)

Vzdělávací program