Mechanika kompozitních materiálů, analytické metody výpočtu

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
FAKULTA STROJNÍ
Centrum leteckého a kosmického výzkumu
Mechanika kompozitních materiálů, analytické metody
výpočtu stabilitních úloh kompozitních desek a
sendvičových panelů a jejich porovnání s MKP
Zpracoval:
Karlovo nám. 13, 121 35 Praha 2
Ing. Martin Baumruk
: 224 357 205 /FAX: 224 920 594
E-mail: [email protected]
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Použité symboly:
Symbol
Jednotky
Význam
a, b
A
B
C
D
D0
H11, H22
m
N/m
N
rozměry desky ve směru x a y
matice axiální tuhosti ve směru roviny desky
matice kombinované axiál-ohybové tuhosti
koeficient závisející na podmínkách uložení
matice ohybové tuhosti
D12+2D33
příčná (skrz tloušťku) smyková tuhost vzhledem k rovině xz
a yz
modul pružnosti materiálu
množství půl vln při ztrátě stability ve směru x a y
intenzita ohybových momentů působící v rovině xz a yz a
intenzita kroutícího momentu působící v ose x a y
intenzity přímé a smykové síly působící na neutrální plochu
hodnota Nx při které dojde ke ztrátě stability
příčná smyková síla na jednotku délky působící v rovině xz a yz
tloušťka desky
souřadný systém materiálu a desky
smyková deformace skrz tloušťku
přímá deformace a smyková deformace působící na neitrální
rovinu desky vzhledem souřadnicím xy
Poissonovo číslo
Nm
Nm
Nm
E
N/m2
m ,n
Mx, My, Mz Nm/m
Nx, Ny, Nz
Nxb
Qx, Qy
t
x,y,z
γxz, γyz
εx, εy, εz
ν
N/m
N/m
N/m
m
Strana 2/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
OBSAH
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Úvod do konstrukčních kompozitních materiálů, základní pojmy .................................... 4
Závislost napětí–deformace u kompozitu .......................................................................... 7
Výslednice sil a momentu ................................................................................................ 14
Závislost ABD.................................................................................................................. 16
Ztráta stability laminátové desky ..................................................................................... 19
Sendvičové konstrukce..................................................................................................... 23
Seznam použité literatury................................................................................................. 23
Strana 3/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
1. Úvod do konstrukčních kompozitních materiálů,
základní pojmy
Kompozitové materiály se díky svým nesporným výhodám stále více používají v různých
odvětvích průmyslu. Kompozitem obvykle nazýváme materiál, který je složen z dvou a více
komponentů, jehož výsledné vlastnosti jsou lepší, než vlastnosti samostatných částí.
Jedna složka slouží jako matrice (výplň) a další jako výztuha (vlákna, rohož apod.).
Výztuha poskytuje téměř veškerou pevnost a tuhost. Matrice má za úkol vázat výztuhu
dohromady, držet ji ve správné orientaci, přenášet na ni a mezi ni rovnoměrně zatížení,
chránit ji před vnějším prostředí, poskytovat odolnost proti šíření trhlin a poškození a
poskytovat mezilaminární smykovou pevnost kompozitu.
Změnou orientace vláken lze optimalizovat pevnost, tuhost, odolnost proti únavě, teplotě a
vlhkosti apod. . Je tak možné ušít materiál na míru zatížení a specifickým potřebám
konstrukce. Díky možnosti orientovat vlákna můžeme dosáhnout přesně takového modulu
pružnosti a pevnosti v daném směru, jaký je potřeba a oproti isotropním materiálům tak získat
mnohem lepší poměr pevnost/váha.
Nejčastější materiály výztuh:
•
Sklo (dobrý poměr mechanických, chemických a elektrických vlastností, rozumná
cena)
•
Uhlík (populární a často používané pro vysokovýkonné kompozitní konstrukce)
•
Aramid ( (Kevlar) vysoká pevnost a odolnost proti nárazu. Nevýhodou je tendence
absorbovat vlhkost a ne moc dobrá adheze k materiálu matrice)
•
Bor (výborný modul a pevnost, ale drahé)
Materiál matrice:
•
Epoxid (termosetická pryskyřice, snadno zpracovatelná, dobré mechanické vlastnosti,
cena, nevýhodou je omezení maximální provozní teploty do 120oC)
•
Bismaleimid (BMI, dobré vlastnosti, ale křehké)
•
Polyamid (dobrá kvalita, malý obsah dutin, obtížně zpracovatelná)
Obr.1 Souřadnicový systém 123 laminy (vrstvy) a globální souřadnicový systém xyz komp. laminátu, základní
pojmy jednosměrný kompozitový laminát
Strana 4/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Konstrukční komp. laminát je vytvořen nakladením jednotlivých vrstev vyztužených lamin
na sebe a jejich následným permanentním spojením (slepením) za působeni tepla a tlaku
(vakuování, autokláv, pultrusion atd).
Použitím klasické laminační teorie (CLT) lze odvodit tuhost výsledného komp. laminátu
z jeho jednotlivých vrstev (lamin). U kompozitních materiálu se setkáváme s množstvím
zajímavých jevů, které u klasických isotropních materiálu nemohou nastat. Například pouhou
záměnou posloupnosti skladby jednotlivých vrstev dosáhneme odlišných mechanických
vlastností.
Na obr. 2 jsou ukázány dva komp. lamináty se skladbou (0/90/90/0) a (90/0/0/90). Oba mají
stejnou geometrii, čtyři vrstvy stejné tloušťky a působí na ně stejná axiální sila N a ohybový
moment M. Avšak (0/90/90/0) vykazuje tužší chování v ohybu, než (90/0/0/90) kvůli větší
efektivní vzdálenosti vrstev ve směru 0. Tento příklad ukazuje velkou výhodu komp.
materiálů, pouhou záměnou skladby a orientace vláken můžeme měnit a optimalizovat
mechanickou odezvu konstrukce.
Obr. 2 Podélná a ohybová deformace dvou „cros- ply“ laminátů s různou posloupností skladby vrstev
S různou skladbou a orientací dostaneme různou odezvu na zatížení.
.
Obr. 3 Isotropní, orthotropní, anisotropní materiál, efekt zdvojeni (coupling) ohybové/koutícít deformace
Strana 5/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Všechny vrstvy jsou orientovány pod úhlem θ. Axiální zatíženi vyvolá nejen tah, ale i smyk.
•
Dvě vrstvy pod úhly ± θ. Protilehlá smyková deformace v ± vrstvě způsobí a tah a krut.
•
Skladba 0/90 dojde k ohybu při axiálním zatížení, střednice E je posunutá
oproti geometrické střednici.
•
Další 0/90 skladba. Kvůli různým teplotním roztažnostem každé vrstvy se laminát při
zahřátí zdeformuje do tvaru „sedla“.
Symetrický laminát: laminát je symetrický, když ke každé vrstvě na jedné straně od
střednice existuje další vrstva stejné tloušťky, materiál. vlastností a orientace ve stejné
vzdálenosti na druhou stranu od střednice např. (+45/-45/0/90/90/0/-45/+45).
Balanced (vyvážený) laminát: laminát je vyvážený když pro každou vrstvu specifické
tloušťky, materiál. vlastností a směru vláken existuje další vrstva někde v laminátu se stejnou
tloušťkou, materiálem ale opačnou orientací vláken. Jak (0/45/90/-45) tak (0/-30/60/30/90/60) jsou vyvážené (úhly 0 a 90 jsou vzájemně opačné).
Angle-ply laminát: každá vrstva má buď +θ nebo –θ např. (30/-30/30-30).
Cros-ply laminát: každá vrstva má buď 0 nebo 90 (0/90/0/90).
Quasi isotropic laminát: každá vrstva má buď 0, 90, +45 nebo -45 symetricky složené
vzhledem k střednici (+45/-45/0/90/90/0/-45/+45) (tato skladba je vždy symetrická a
„balanced“).
Strana 6/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
2. Závislost napětí–deformace u kompozitu
Předpoklady:
o deformace je lineární k napětí (Hook)
o homogennost (protože není možné modelovat každé vlákno a matrici zvlášť,
vlastnosti vláken a matrice se převedou na ekvivalentní homogenní materiál)
o osa 1 základního materiálového souřadného systému je rovnoběžná se směrem vláken
výztuhy laminy
Závislost napětí-deformace v základním materiálovém souřadném systému:
(1)
(2)
Je zde obsaženo devět nezávislých inženýrských vlastností - modul E1, E2, E3, ν12, ν13 a ν23 a
tři moduly ve smyku G12 G13 a G23.
Pro izotropický materiál stačí pouze dvě nezávislé vlastnosti E a ν, modul ve smyku je dán z
(3)
Poisson. číslo:
(4)
Použije se Kirchhoffova hypotéza a klasická laminační teorie (předpokládá se dokonalé
spojení vrstev laminátu bez skluzu mezi vrstvami).
Podle Kirchhoffova normála kolmá k povrchu vrstev před deformací, zůstává přímková a
kolmá i po deformaci (dochází jen k posuvům a rotacím) a vzdálenost mezi spodním a horním
povrchem zůstává konstantní.
Strana 7/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Obr. 4. Kinematika Kirchhoffovy hypotézy
Šest členů deformace lze napsat:
(5)
Strana 8/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
kde deformace vztažného povrchu a jeho zakřivení:
(6)
Předpoklad rovinné napjatosti
Předpokládáme, že jednotlivé vrstvy laminátu jsou ve stavu rovinné napjatosti, tj. napětí
mimo rovinu je nula. Tímto předpokladem se závislost napětí-deformace značně zjednoduší,
smyk deformace skrz tloušťku je nulová, což souhlasí s Kirchhoffovou teorií. Pak
(7)
Inverzí vztahu (1) a použitím (7) závislost napětí-deformace bude:
(8)
kde Qij je redukovaná tuhost:
(9)
Poznámka: ε3 lze ve skutečnosti vypočítat, ale předpokládáme, ze je nulová z Kirchhoffa a
rovinné napjatosti.
Je také důležité poznamenat, že k popisu chovaní napětí-deformace pro podmínky rovinné
napjatosti jsou potřeba jen čtyři inženýrské konstanty (E1 E2 G12 ν12) oproti devíti v rovnici
(2)
Transformujeme rovnice (8) z materiálového souřadnicového systému 123 do globálního
souřadného systému xyz použitím transformačních vztahů.
(10)
Kde Qij je transformovaná redukovaná tuhost (m=cosθ , n=sinθ )
Strana 9/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
(11)
z Kirchhoffovy hypotézy dostaneme vztah napětí-deformace ve tvaru:
o
(12)
o
Kde ε je deformace a κ zakřiveni vztažného povrchu laminátu.
Příklad rozložení napjatosti v laminátu:
Vezměme šestivrstvý uhlíkový laminát [±30/0]symetric (E1=155Gpa, E2=12,1GPa
G12=4,4GPa ν12=0,248, tloušťka vrstvy h=150x10-6m ) a zatižme jej tak, že deformace
vztažného povrchu ve směru x bude:
εox=0,001
εoy=0
γoxy=0
z (12) spočítáme napětí, které lze vykreslit jako funkce pozice vrstvy skrz tloušťku laminátu
z celkové tloušťky H=0,9mm Obr 5a.
I když se deformace mění plynule z vrstvy na vrstvu (v tomto případě stejná pro každou
vrstvu), transformovaná redukovaná tuhost se mění nespojitě z vrstvy na vrstvu vzhledem k
její závislosti na orientaci vláken θ. Tato nespojitost rovinných napětí je charakteristická pro
vrstveny materiál.
Dále budeme uvažovat stejný laminát zatížený tak, že se ohne ve směru x o κox=2,22/m a
všechny další deformace vztažného povrchu budou nulové.
Deformace se mění plynule skrz tloušťku lineárním způsobem, ale napětí opět nespojitě.
Protože deformace ve směru y je omezena, z Poissona indukuje toto zakřivení napětí i ve
směru y . Smykové napětí se také generuje v ±30o vrstvách Obr 5b.
Strana 10/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Obr. 5a Rozdělení napětí skrz tloušťku [±30/0]symetric laminátu, pro εox=0,001
Obr. 5b Rozdělení napětí skrz tloušťku [±30/0]symetric laminátu, pro κox=2,22/m
Strana 11/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Obr. 5aa Porovnaní výsledků s výpočtem MKP σx [MPa] vrstvy 1-3 (pro vrstvy 4-6 je symetrické) pro εox=0,001
Obr. 5bbPorovnaní výsledků s výpočtem MKP σy [MPa] vrstvy 1-3 (pro vrstvy 4-6 je symetrické) pro εox=0,001
Strana 12/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Obr. 5c Porovnaní výsledků s výpočtem MKP τxy [MPa] vrstvy 1-3 (stejne prevracene hodnoty pro 4-6) pro
εox=0,001
Strana 13/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
3. Výslednice sil a momentu
Když napětí zintegrujeme skrz tloušťku, dostaneme sílu na jednotku délky (obr. 6), pro
předcozí příklad je výslednice síly do směru x Nx=0,1024MN/m, což odpovídá jednotné síle
12800N).
Obdobně integrál σy přes tloušťku dá Ny=0,01894MN/m (z efektu Poissonova zůžení) což
odpovídá jednotné síle 4760N
Formálně lze výslednice sil napsat jako:
(13)
Obr. 6 Definice výslednic sil Nx, Ny, Nz
Druhý příklad na obr. 5b měl pouze zakřivení vztažného povrchu ve směru x a průběh
napětí σx skrz tloušťku může být interpretován jako čistý moment působící na laminat:
(14)
což představuje moment na jednotku délky ve směru y. V našem případě Mx=12,84Nm/m.
Podobně další dvě výslednice momentu:
(15)
Pak My=3,92Nm/m a Mxy=2,80Nm/m. Na Obr. 7 je ukázána výslednice momentu My,
která způsobí „anticlastic“ zakřivení, které by vzniklo i u kovové desky.
Přítomnost Mxy je velmi jedinečná a u kovové desky by se neobjevila. Smykové napětí ve
dvou +30o vrstvách vede ke kladnému příspěvku k Mxy, zatímco smyk. napětí v dvou -30o
k zápornému příspěvku k Mxy. Avšak záporné vrstvy mají menší vliv vzhledem k menší
vzdálenosti z od vztažného povrchu. Výsledkem je kladná hodnota Mxy. Tento fenomén je
často ignorován pro zjednodušeni analýzy, ale může vést k vážným chybám.
Strana 14/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Obr. 7 Definice výslednice momentu Mx, My a Mxy
Strana 15/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
4. Závislost ABD
Když spojíme závislost napětí-deformace s definicí výslednice sil a momentu, dostaneme
vztah mezi výslednicí sil a momentu a deformaci a zakřivení. Tento vztah obsahuje soubor
parametrů, které představují podélnou (tah/tlak) (A) a ohybovou (D) tuhost laminátu společně
s kombinovanou (coupling) tuhostí tah/tlak-ohyb (B), která je jedinečná u kompozitových
laminátu.
Z (13) a (12)
(15)
(16)
Pro danou vrstvu je Qij konstantní, integrál se změní na součet a výslednice sil a momentu
lze napsat v maticové formě jako:
(17)
Tato matice 6x6 je známa v kompozitových konstrukčních analýzách jako matice ABD, a
rovnice jako závislost ABD, nebo zobecněný „Hookův zákon“ pro lamináty.
Jednotlivé členy matice ABD:
(18)
Kde N je počet vrstev laminátu a zk a zk-1 umístění rozhraní k-tý vrstvy laminátu.
Strana 16/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Podobně:
(19)
Aij je podélná (tah/tlak) tuhost
Dij je ohybová tuhost
Bij je kombinace podélné-ohybové tuhosti
Výslednice sil a momentu závisí na všech deformacích a zakřivení vztažného povrchu.
Když je přítomen B16 chováni laminátu může byt velmi složité
Zkroucení vztažného povrchu κoxy ovlivni Nx
Podélná (tahová) deformace εox ovlivní Mxy (krouticí moment).
Pro jednu isotopickou vrstvu tloušťky H s modulem v tahu E a Poiss. číslem ν ABD vztah
bude:
(20)
kde
(21)
Zjednodušení matice ABD, vliv klasifikace laminátu:
Symetricky laminát → Bij jsou nulové, není kombinovaný (coupling) efekt.
Balanced laminát → A16 a A26 jsou nula.
Symetrický a balanced laminát vztah ABD bude:
⎧ N x ⎫ ⎡ A11
⎪N ⎪ ⎢
⎪ y ⎪ ⎢ A12
⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢ 0
⎬=⎢
⎨
⎪Mx ⎪ ⎢ 0
⎪My ⎪ ⎢ 0
⎪ ⎢
⎪
⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎣⎢ 0
A12
0
0
0
A22
0
0
0
0
A26
A66
0
0
0
0
0
D11
D12
D16
0
0
D12
D22
D26
0 ⎤ ⎧ ε x0 ⎫
⎪ ⎪
0 ⎥⎥ ⎪ ε y0 ⎪
0 ⎥ ⎪⎪γ xy0 ⎪⎪
⎥⎨ ⎬
D16 ⎥ ⎪ κ x0 ⎪
D26 ⎥ ⎪ κ y0 ⎪
⎥⎪ ⎪
D66 ⎦⎥ ⎩⎪κ xy0 ⎪⎭
Strana 17/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
(22)
U symetrického vyváženého (balanced) laminátu dojde ke značnému zjednodušení matice
ABD.
I pro symetrickou, vyváženou (balanced) konstrukci zůstávají všechny členy Dij. Pokud má
laminát pouze vrstvy 0 a 90, pak je D16 a D26 nulová.
Eliminací efektu kombinace (coupling) podélné (membránové) a ohybové deformace (tj. Bij
= 0) dosáhneme kromě zjevného zjednodušení výpočtu technologických výhod. Pokud bude
laminát symetrický kolem střednicové plochy, vyvarujeme se problémům kroucení při
procesu výroby (působení tepla a tlaku), které by nastaly, kdyby symetrie neexistovala.
Standardně se používají úhly vrstev 0o, 45o, -45o a 90o . Další úhly by měly být použity jen
tehdy, když takové řešení vede k výraznému snížení váhy a u speciálních konstrukcí.
Množství různých úhlů vrstev by mělo byt co nejmenší.
Strana 18/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
5. Ztráta stability laminátové desky
Běžná obdélníková laminátová deska jednoduše podepřená podél hran x=0 a y=0 je na
obr. 8.
Obr 8. Jednoduše podepřená deska pod tlakovým zatížením před a po ztrátou stability, ztráta stability desky se
zvětšující se počáteční imperfekcí
Narozdíl od ztráty stability tyče, kde se objeví boční deformace podél délky, u desek ztráta
stability zahrnuje dvourozměrnou sinusovou deformaci (zvlnění) mimo rovinu desky.
Množství sinusových vln které se objeví závisí na délce a podepření desky.
Když zatežovací síla roste, deska se zkracuje ve směru zatížení a zůstává rovinná až do
dosažení kritického zatížení, při kterém se systém stane nestabilním a dojde k rozděleni
(bifurcate) zatěžovací cesty (tj. jde po jedné z dvou cest, z nichž nová je stabilní a druhá stará
cesta je nestabilní) a deska vybočí z rovinného do deformovaného tvaru.. Obr 8b ukazuje že
po ztrátě stability deska je dále schopna přenášet zatížení i když jen se sníženou tuhostí. To je
rozdíl oproti ztrátě stability tyče, kde zatížení při ztrátě stability představovalo mezní zatížení.
Zlom křivky zatížení-deformace je přítomen pouze, když je deska dokonale rovinná před
ztrátou stability. Zlom vymizí, pokud roste počáteční imperfekce desky, což také způsobí
snížení závislosti zatížení/deformace.
Analýza při rovinném zatěžování zahrnuje řešení vlastních čísel, posuv před ztrátou stability
se zanedbává. Rovinné zatížení vstupuje do matematické formulace vlastních čísel spíše jako
koeficient zakřivení než jako zatížení na pravé straně rovnice tj.
KD = 0
Pro netriviální řešení D ≠ 0 se hledá K = 0 (tuhost)
Strana 19/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Ztráta stability speciálních orthotropních laminátových desek.
Speciální orthotropní laminát má více orthotropních vrstev, které jsou symetricky srovnané
kolem střednicového povrchu (tvoří symetricky cross-ply laminát). Členy smyk/prodloužení
(A16, A26), ohyb/krut (D16, D26) a ohyb-prodloužení (Bij) jsou nulové.
(23)
Zatížení při ztrátě stability může být odvozeno z následující diferenciální rovnice:
(24)
S jednoduchou okrajovou podmínkou prostého podepření na zatěžované hraně
Okrajové podmínky jsou splněny když:
(25)
Kde m a n je množství půl vln v x a y směru. Řešením řídící diferenciální rovnice je:
(26)
Neboť nejmenší hodnota pro Nx je když n = 1, výraz pro kritické zatížení ztráty stability se
redukuje na
(27)
Přes zjednodušení minimální hodnota stále není zřejmá, protože je závislá nejen na m, ale
také na štíhlosti desky a/b.
Pro bor-epoxid D11/D22 a (D12 + 2 D66)/ D66 = 1 rovnice se dále zjednoduší:
(28)
Strana 20/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Obr.9 Ztráta stability obdélníkové speciální orthotropní laminátové desky pod tlakem Nx
Pokud rovnici vykreslíme proti štíhlosti obr.9 lze odvodit zatížení ztráty stability čtvercové
desky jako:
(29)
Porovnání výpočtu ztráty stability, hodnot z „data sheet“ a MKP vypočtu v MSC
Nastran/Patran:
Provedeme výpočet zatížení (jednosměrný tlak) při kterém, dojde ke ztrátě stability
laminátového panelu křídla. Šířka zatěžované hrany je 300mm a délka panelu 300mm.
Laminát je složen z 20 vrstev jednosměrné uhlík/epoxid rohože tloušťky 0,1397mm, tj.
celková tloušťka je 2,794mm.
Skladba je [+45/0/-452/±45/902/+45]sym tj. 20% 0o 60% ±45o a 20% 90o
Všechny vrstvy mají stejné materiálové vlastnosti
E1=131kN/mm2 , E2=13kN/mm2, G12=6,4kN/mm2, ν=0,38
Matici D lze snadno spočítat:
Kriticke zatizeni vypocteme z
Strana 21/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Pro m=1
Pro m=2
Aby bylo se zjednodušilo dimenzování kompozitových desek, byly vytvořeny grafy, např
ESDU 80023 data sheet na obr. 10 dává velmi přesný odhad kritického zatížení ztráty stability
laminátu za podmínek jednoosého rovinného zatížení.
Z grafu:
Kde šířka b je měřena v metrech
Pak:
Obr.10 ESDU 80023 Návrhové křivky ztráty stability pro orthotropní lamináty
Strana 22/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Z analýzi bucklingu v MKP Nastran/Patran bylo kritické zatížení spočtěno pro první mód
Nx = 50,74 a pro druhý mód Nx = 87,94.
Obr. 11 „Statická“ deformace kompozitové desky při jednoosém zatížení
Obr. 12 První mód ztráty stability kompozitové desky [+45/0/-452/±45/902/+45]sym, vypočtená kritická síla
Nx=50,74 N/mm (měřítko 0,1)
Strana 23/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Obr. 13 Druhý mód ztráty stability kompozitové desky [+45/0/-452/±45/902/+45]sym, vypočtená kritická síla
Nx=87,94 N/mm (měřítko 0,1)
Strana 24/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
6. Sendvičové konstrukce
Sendvičem rozumíme materiál složený z vnější tenké tuhé desky a lehké výplně (např. pěna,
voština).
Síly a momenty v rovině desky (ohyb, tlak) jsou téměř zcela zachyceny vnější vrstvou,
protože výplň má v rovinně desky malou tuhost. Výplň pak slouží k zachycení a rozvedení sil
kolmo na desku a poskytuje odolnost ve smyku. Funguje jako spojitě rozložená stojina, která
stabilizuje vnější desku proti místnímu vybočení . Díky tomu může být vnější vrstva tenká a
získáme větší efektivní stavební výšku panelu a vyšší účinnost a tuhost v ohybu.
Obr 6a Sendvičový panel
Sendviče se v leteckých aplikacích používají již více než šedesát let, právě díky výhodnému
poměru ohybové tuhosti a nízké váhy. Nicméně v posledních letech dochází k dalšímu
významnému zájmu o sendvičové díly v primární letecké konstrukci hlavně díky zavádění
nových kompozitových materiálů.
Velké množství dílů na letadle je zatíženo tlakovou silou (potahy, pásnice..), proto je nutné
důkladně znát jevy, ke kterým dochází při dosažení mezních hodnot, kdy nastává ztráta
stability konstrukce (buckling) .
Protože kompozitové materiály nevykazují velké poddajné deformace před jejich porušením
(tak jak je tomu u kovu) je třeba pečlivý návrh a řada experimentů pro zjištění jejich chování.
Obr 6b Ztráta stability kompozitového sendviče
Při zatěžování v čistém tlaku se u kompozitu jde po téměř lineární křivce a) až dojde k
ztrátě stability b) a případně k dalšímu modu ztráty stability c)
Strana 25/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Z dosud provedených výzkumů je zřejmé, že u sendvičů zatížených v tlaku se objevuje celá
řada různých modů porušení, které můžeme obecně rozdělit do 2 kategorií:
1) Nestability
• ztráta stability jako celku (velká délka půlvlny, při
velké štíhlosti)
• vytvoření smykového lemu (není lokální porucha ale forma celkové ztráty
stability, kdy délka vlny je velmi malá kvůli nízkému modulu pružnosti ve
smyku. Lem se objeví náhle a obvykle způsobí, že se výplň v lemu poruší,
nebo se usmykne lepidlo)
• zvlnění vnější desky (wrinkling) (lokální nestabilita, vybočení samotných
vnějších vrstev - malá délka půlvlny způsobená nedostatečnou rovinou, nebo
ohybovou tuhostí a elastickými vlastnostmi jádra. Vnější desky se mohou
zbořit buď dovnitř nebo ven, záleží na pevnosti v tlaku výplně vzhledem k
napětí v tahu lepidla)
2) Materiálová porucha
• odtržení vnějších vrstev od výplně a jejich vyboulení (nedostatečná pevnost
lepidla)
• materiálová porucha vnějších vrstev (příliš křehký materiál vnější vrstvy a
příliš tažný materiál výplně)
• porucha výplně a následné vyboulení vnějších vrstev (usmyknutí jádra výplně,
nedostatečná pevnost a houževnatost
Obr 6c Druhy poruch sendvičového panelu v tlaku
Strana 26/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Druhy poruch při kolmém zatížení (3 bodový ohyb):
Obr 6d Tří bodový ohyb
•
•
•
•
Microbuckling (objeví se když axiální napětí na tlačené straně dosáhne kritického
napětí, obvykle pod zatěžovacím prvkem)
Zvlnění desky (wrinkling) (krátké vlny na horní desce, můžeme na to pohlížet jako na
nosník zatížený axiálním tlakem podepřený elastickým podkladem – jádrem)
Smyk jádra
Protlačení (indetance)
Obr 6e Druhy poruch u tří bodového ohybu
Při zkoumání jevů kolem ztráty stability (celková, lokální), případně chování sendviče po
ztrátě stability (post-buckling) je nejprve nutné znát axiální a ohybovou tuhost (určí se z
vypočtu, experimentu). Tuto tuhost ovlivňuje jak geometrie - tj. tloušťky vnější vrstvy a jádra,
stavební výška mezi deskami apod., tak i zvoleny materiál a jeho vlastnosti, orthotropie atd.
Na kritické zatížení při ztrátě stability a chovaní po ztrátě stability má ale kromě této tuhosti
vliv mnoho dalších parametrů. Velký význam má druh okrajových podmínek - způsob uložení
hran panelu, nebo vliv imperfekcí a vad.
Obr 6f Další mód ztráty stability (secondary buckling)
V bodě A dojde ke ztrátě stability (dynamický děj). Deska dále nese se změněnou tuhostí.
V bodě B náhle dojde 2 modu ztráty stability, dojde ke změně konfigurace - deska přenese
pouze zatížení PC (ne PB), tj. dojde ke snížení nosnosti. Při dalším zatěžování je úhel
stoupání CC´ menší tj. opět se zmenší tuhost. U kompozitu je velmi významný vliv
Strana 27/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
mezilaminárního napětí v centru desky, které se při ztrátě stability prudce zvýší - může vést k
poruše.
Příklad:
Ztráta stability sendvičového panelu, [0, 45, -45, pěna, -45, 45, 0], materiál vnějších desek
Fiberdux 913, E1= 138Gpa, E2= 7Gpa, G12= 5,4Gpa, μ= 0,28, t=0,125mm, pěna Divinicell60,
E= 60Gpa, G= 22Gpa, t= 6mm. Síla při ztrátě stability Nx = 706,8 N/mm
Imperfekce mohou být jak geometrické (rovinnost) tak i materiálové. Tyto imperfekce mají
významný vliv na únosnost, a chování při ztrátě a po ztrátě stability.
Imperfekce mohou vzniknout již ve výrobě, nebo pak v provozu, stárnutím a vlivem
prostředí – vznikají vady a požkození jako jsou dutiny, poréznost, delaminace, trhliny v
matrici, lom vláken výztuže a další.
Tyto vady, poškození nemusí být nutně viditelné a snadno detekovatelne, mohou však
způsobit značnou degradaci tuhosti a ovlivnit pevnost a mez ztráty stability.
Teoretická předpověď mezního zatížení vyžaduje komplexní znalost geometrických a
materiálových charakteristik, okrajových podmínek apod., jejichž určení není vždy
jednoduché. Navíc při přítomnosti vad a poškození jsou tyto teoretické výpočty případně
modely ještě komplikovanější.
Proto je někdy výhodné odhadnout mezní zatížení z kombinace experimentu a výpočtu.
Tímto nepřímým přístupem se lze vyhnout nutnosti znát přesně vlastnosti sendviče,
modelovat poškozený stav apod. Degradaci tuhosti způsobene imperfekcí, vadou
(simulovaným poškozením) lze získat z měření vibračních modálních charakteristik. Změřená
vlastní frekvence a tvar kmitu se použije k sestavení funkce tuhosti poškozeného panelu a tato
funkce se použije v integrální formulaci rovnice ztráty stability pro zjištění kritického
zatížení. ( Více viz Anil L. Salunkhe and Prasanna M. Mujumdar, „Identification Approach to
Estimate Buckling Load of Damaged Composite Plates,“ Indian Institute of Technology,
Bombay)
Strana 28/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
Značný význam na únosnost kompozitového sendviče může mít také vliv vnějšího prostředí,
tj. působení teplot, vody, vlhkosti, agresivní atmosféry, kapalin, únavy, creepu a dalších
podmínek, které působí na materiálové vlastnosti. Zkoumá se např. vliv prostředí na pěnovou
výplň, zvýšení váhy, degradace mechanických vlastností, chování lepeného spoje atd..
V důsledku absorbce vlhkosti dochází k roztažení kompozitu. Změna rozměrů je
charakterizována součinitelem expanze absorbce vlhkosti β. Vlhkostí se sytí jen matice,
vlákna ji nepřijímají.
E ρ
Součinitel ve směru vláken β 1 = m c β m
E1 ρ m
Kolmo na vlákna
β 1 = (1 + v m )
ρc
βm
ρm
Pro navrhování laminátů se používají různé teorie pevnosti podobně jako pro kovové
materiály. Jsou to hypotézy, které by se měly ověřovat experimentálně. U laminátů se hodnotí
porušování každé vrstvy podle zvoleného kritéria pevnosti. Když hodnota z hypotézy je větší,
než mezní materiálová hodnota (mez pevnosti laminy) předpokládá se, že se daná vrstva
poruší. Používané teorie porušení lamin jsou např.:
Teorie maximálních normálových napětí, Teorie max. normálového prodloužení (St. Venant),
Tsai-Hill a Modifikovaná Tsa-Hillova teorie porušení, Teorie porušení Tsai-Wu, případně
Teorie porušení dle Pucka.
Tsai-Hillovo energetické kritérium porušení.
2
2
2
⎡ σ 1 ⎤ ⎡ σ 1 σ 2 ⎤ ⎡σ 2 ⎤
⎡τ 12 ⎤
⎢ ⎥ −⎢
⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ≤1
⎣S ⎦
⎣ X1 ⎦ ⎣ X1 X 2 ⎦ ⎣ Y ⎦
kde X1 je mezní pevnost ve směru vláken v tahu pokud je napětí σ1 >0, resp. v tlaku, pokud je
napětí σ1 <0, X2 je mezní pevnost ve směru vláken v tahu pokud je napětí σ2 >0, resp. v tlaku,
pokud je napětí σ2 <0, Y je mezní pevnost kolmo na vlákna v tahu pokud je σ2 >0, resp.
v tlaku, pokud je napětí σ2 <0 a S je smyková pevnost.
Strana 29/30
ČVUT – FS, CLKV
ZPRÁVA
7. Seznam použité literatury
[1] L. T. Tenek amd J. Argyris Finite Element Analysis for Composite Structures, Kluwer Academic Publishers
1998
[2] N.J.Pagano. Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates. J. Compos. Mater,
1970
[3] N.D. Phan a J.N.Reddy. Analysis of laminated composite plates using a higher-order shear deformation
theory. Int. J. Numer. Meth. Eng., 1985
[4] A.K Noor. Stability of multilayred composite plates. Fibre Sci. Technol., 1985
[5] M. Ahmer Wadee, and A. Blackmore, Delamination from localized instabilities in compression sandwich
panels, a Department of Civil & Environmental Engineering, Imperial College of Science, Technology &
Medicine, London SW7 2BU, UK, 2000
[6] Structural Sandwich Composites, MIL-HDBK-23, U.S. Department of Defense, Washington, DC, 1968
Rao, K.M., “Buckling Analysis of Anisotropic Sandwich Plates Faced with Fiber-Reinforced Plastics,” AIAA
Journal, VOl. 23, 1985
[7] Benson, A.S. and Mayers, J., “General Instability and Face Wrinkling of Sandwich Plates: Unified Theory
and Applications,” International Journal of Solids and Structures, Vol. 20, 1984
[8] Pierre Minguet, John Dugundji „Buckling and Failure of Sandwich Plates with Graphite-Epoxy Faces and
Various Cores,“ Massachusetts Institute of Technology, Cambridge
Uemura, M., and Byon, „Secondary Buckling of Flat Plate Under Uniaxial Compressiom Part 2: Analysis of
[9] Stoll, F., „Analysis of the Snap Phenomenon in Buckled Plates,“ International Journal of Nonlinear
Mechanics, Vol. 29
[10] Anil L. Salunkhe and Prasanna M. Mujumdar, „Identification Approach to Estimate Buckling Load of
Damaged Composite Plates,“ Indian Institute of Technology, Bombay,
[11] Aa Mujumdar, P.M., and Suryanarayan, S., „Nondestructive Techniques for Prediction of Buckling LoadsA Review,“ Journal of the Aeronautical Society of Inida
Strana 30/30