Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou

Transkript

Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Periodický pohyb obecného oscilátoru
ve dvou dimenzı́ch
Autor: Šárka Petřı́čková (A05221, [email protected])
Vedoucı́: Ing. Petr Nečesal, Ph.D.
Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávánı́,
Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita v Plzni
Matematické modelovánı́, 7. 2. 2008
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
1 / 14
www.KMA.zcu.cz
Program prezentace
1
Motivace
2
Harmonický oscilátor
3
Speciálnı́ typ obecného oscilátoru
Popis systému
Analytické řešenı́
Postup zı́skánı́ periodických řešenı́
Vizualizace
4
Dalšı́ cı́le
7.2.2008
2 / 14
www.KMA.zcu.cz
Definice úlohy
I
Systém dvou nelineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic druhého řádu s
po částech konstantnı́mi funkcemi k(x, y) and l(x, y)
x00 + k(x, y)x = 0,
y 00 + l(x, y)y = 0,
I
Cı́lem je pro speciálnı́ volbu funkcı́ k(x, y) a l(x, y) zformulovat
podmı́nky pro existenci periodických řešenı́.
7.2.2008
3 / 14
Motivace
www.KMA.zcu.cz
Motivace
I
I
Mechanika, elektrotechnika (LC obvody), optika, kvantová fyzika,
chemie, biologie
Dvourozměrný mechanický oscilátor s tuhostı́ pružin měnı́cı́ se v
závislosti na znaménku souřadnic x, y okamžité výchylky (tyč
kmitajı́cı́ mezi čtyřmi stěnami různých tuhostı́)
l1
k1
k2
l2
7.2.2008
4 / 14
oscilátor
www.KMA.zcu.cz
Harmonický oscilátor
I
Popis systému
I
I
I
Netlumený oscilátor jednotkové hmotnosti bez přidané budı́cı́ sı́ly
Oscilace okolo stabilnı́ rovnovážné pozice
Hookův zákon
x00 + kx = 0
y 00 + ly = 0
√
x(t) = A sin(√kt)
y(t) = B sin( lt − ϕ)
I
Lissajousovy obrazce
I
J. A. Lissajous (FR, 1822-1880), N. Bowditch (USA, 1773-1838)
Trajektorie je uzavřená právě tehdy, když platı́
podmı́nkách.
√
√k
l
∈ Q, nezávisle na počátečnı́ch
7.2.2008
5 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
I
Systém dvou nelineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic druhého řádu se
speciálnı́mi, po částech konstantnı́mi, funkcemi k(x) and l(x)
x00 + k(x)x = 0,
y 00 + l(x)y = 0,
k1
k2
pro x > 0,
pro x ≤ 0,
l1
l2
pro x > 0,
pro x ≤ 0.
k(x) =
l(x) =
7.2.2008
6 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
I
Systém může být přepsán jako
y 00
x00 + k1 x+ − k2 x− = 0,
+ l1 χ(x+ )y − l2 χ(x− )y = 0,
x+ := max{x, 0},
x− := max{−x, 0},
I
+
χ(x ) =
1
0
pro x > 0,
pro x ≤ 0,
(1)
(2)
−
χ(x ) =
1
0
pro x < 0,
pro x ≥ 0.
Vlastnosti
I
I
I
(1) - nezávislá na y and pozitivně homogennı́ (Fučı́kova rovnice)
(2) - lineárnı́ (Meissnerova rovnice [E. MEISSNER, Über Schüttel-schwingungen in Systemen
mit
Periodisch Veranderlicher Elastizität; Schweizer Bauzeitung, 72, No. 10 (1918), pp. 95-98.])
(1)+(2) - autonomnı́
7.2.2008
7 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro x
I S. Fučı́k (CR, 1944-1979)[ S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D.
Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331.]
I E. N. Dancer (AUS, 1946 - )[E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial
differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300.]
I Analytická metoda střelby, lepenı́ půlvln
I Autonomnı́ a pozitivně homogennı́ systém =⇒ x(0) = 0, x0 (0) = 1
(
x(t) =
T0 =
T =
√1
k1
√1
k2
√
sin( k1 t)
√
sin( k2 ( √πk − t))
1
for
for
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T )
√π
k1
nπ
√
k1
+
nπ
√
k2
n∈N
7.2.2008
8 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro x
I S. Fučı́k (CR, 1944-1979)[ S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D.
Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331.]
I E. N. Dancer (AUS, 1946 - )[E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial
differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300.]
I Analytická metoda střelby, lepenı́ půlvln
I Autonomnı́ a pozitivně homogennı́ systém =⇒ x(0) = 0, x0 (0) = 1
(
x(t) =
T0 =
T =
√1
k1
√1
k2
√
sin( k1 t)
√
sin( k2 ( √πk − t))
1
for
for
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T )
√π
k1
nπ
√
k1
+
nπ
√
k2
n∈N
7.2.2008
8 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro y
I Výběr prvnı́ Fučı́kovy křivky (n = 1)
I Řešenı́ pro y (pro l1 > 0, l2 > 0)
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
y2 (t) = C sin( l2 (t − T )) + D cos( l2 (t − T )),
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
I Periodické podmı́nky
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l1 ,l2
I Eliminace A,B,C,D
I Implicitnı́ předpis F (l1 , l2 ) = 0 křivek
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Eliminace A,B,C,D
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Eliminace A,B,C,D
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Eliminace A,B,C,D
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Eliminace A,B,C,D
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Eliminace A,B,C,D
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
1) Volba n-té křivky Fučı́kova spektra a
jednoho z parametrů k1 , k2 pro danou
periodu
2) Určenı́ druhého parametru použitı́m
předpisu pro Fučı́kovo spektrum
7.2.2008
10 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
periodu
7.2.2008
10 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
periodu
7.2.2008
10 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
periodu
3) Výběr bodu na křivce zadané
implicitně F (l1 , l2 ) = 0
v (l1 , l2 )-rovině
7.2.2008
10 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
periodu
3) Výběr bodu na křivce zadané
implicitně F (l1 , l2 ) = 0
v (l1 , l2 )-rovině
7.2.2008
10 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
4) Určenı́ počátečnı́ch podmı́nek pro proměnnou y
5) Vytvořenı́ grafů
7.2.2008
11 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
7.2.2008
12 / 14
Dalšı́
cı́le
www.KMA.zcu.cz
Dalšı́ cı́le
I
Vytvořenı́ obecného řešiče úlohy pro libovolnou křivku Fučı́kova
spektra
I
Přidánı́ tlumenı́ a budicı́ sı́ly
7.2.2008
13 / 14
Dalšı́
cı́le
www.KMA.zcu.cz
Reference
I E. A. Coddington, N. Levinson, Theory od Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill
Inc., 1955, Chpt. 1., pp. 1 - 41.
I E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial differential
equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300.
I S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel
Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331.
I E. MEISSNER, Über Schüttel-schwingungen in Systemen mit Periodisch Veranderlicher
Elastizität; Schweizer Bauzeitung, 72, No. 10 (1918), pp. 95-98.
I P. NEČESAL, Nonlinear boundary value problems with asymmetric nonlinearities - periodic
solutions and the Fučı́k spectrum, Ph.D. thesis, University of West Bohemia, Pilsen, 2003.
7.2.2008
14 / 14

Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou

Transkript

Podobné dokumenty

Petrickova-Obecny oscilator ve dvou dimenzich

Experimentální stanovení kritických otáček rotoru RotorKitu.

Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů

Apollo TM Defektoskop CZ

to get the file

dynamical model of a flexible tube

ABSOLVENTSK´A PR´ACE

Viscous-elastic elements optimization of rheological models

INTERFERENCE SVĚTLA

Přečtěte si celý článek