Kvantova teorie koherence

CESKE VYSOKE
Fakulta
UCENI TECHNICKE
jaderna
katedra
a fyzikalne
fyzikalnr
v
PRAZE
inzenyrska
elektroniky
K vantova teorie koherence
-'fJU/:lisl IJfcdll.clll
11/""
J{V/WlO1l1i dckl1'fJ71ikll
1- 1'fJ/:ltik
Miroslava
Vrbova
NI
Praha
1997
I
2
KVANTOV..\
TEORIE
KOHERENCF.
Obsah
1 Kvantovy popis optickeho zeifeni
1.1 Operatory poli
1.2
1.3
Vlastni
stavy operatoru
1.2.1
1.2.2
Fockovy
1.2.3
Vlastni
Statisticky
..•
stavy
Koherentni
11
11
13
14
15
.
stavy
stavy operatoru
operator
mnohomodoveho
pole
.
20
1.3.1
CistY stav
1.3.2
Smiseny
stav
1.3.3
Zakladnl
vlastnosti
1.3.4
Statisticky
20
20
operator
statistickeho
operatoru
elektromagnetickeho
21
pole ve Foc-
kove bazi
1.3.5
1.4
21
Statisticky
operator
koherentnich
stavu
Kvazidistribucni
1.5
Usporadani
1.6
Charakteristicke
operatoru
1.6.2
Kvantova
Mnohomodove
Fotodetekcni
pole v bazi
21
22
23
.
funkce
Charakteristicka
1.8
elektromagnetickeho
funkce
1.6.1
1.7
19
26
funkce v teorii nahodne
charakteristicka
funkce
promenne
26
27
.
28
rovnice .
29
pole
4
KVANTOVA
Redukovany
2.2
Evoluce
2.3
statisticky
operator
redukovaneho
Pravdepodobnost
kvantoveho
35
operatoru
Rovnovazne
3.2
Tlumeny
prechodu
zareni
Heisenb~rgova-Langevinova
3.2.2
Casovy vyvoj statistickeho
3.3
Zareni jednomodoveho
3.4
Zareni idealniho
laseru
39
Jednoatomovy
4.2
Mnohoatomovy
4.3
Younguv
4.4
analyticky
sdruzeny
49
A.I.4
Gaussovsky
nahodny
proces .
5.1
Korelacni
funkce vyssfch radu
5.2
Rad a stupe"
koherence
.
Fotopulsni
6.2
Intenzitni
6.2.1
statistika
A.2.3
Younguv
90
poll .
interferencni
61
A.2.6
Michelsonuv
funkce v procesu
stelarni
91
experiment
sireni optickeho
veta
interferometr
..
signalu
91
92
94
62
64
65
65
69
69
73
73
...
interferometrie
Brownuv-Twissuv
Superpozice
.
delka
87
71
6 Neklasicke mei'ici metody
6.1
A.2.2
85
89
Van Cittertova-Zernikeova
pole
proces
.
A.2.5
.
5 Zobecnemi teorie koherence
zareni
Korelacni
a kvazimonochromaticke
nahodny
88
A.2.4
interferometr
veta
Intenzita
80
83
.
zareni ..
A.2.1
.
82
signal.
proces
58
Stacionarni
doba, koherencni
sdruzeny
59
4.3.2
Koherencni
Popis optickeho
80
81
.
.
stupe"
Wienerova-ChinCinova
A.2
Signal
analyticky
.
81
Komplexni
A.1
79
spektros-
A Zaklady klasicke teorie koherence
A.I.3
55
Korelacni
kopie vyssfch radii
46
53
.
vyssfch radii.
Nahodny
Komplexni
4.4.1
korelace
A.I.2
.
4.4.2
Intenzitni
43
4.3.1
Michelsonuv
6.2.4
rovnice .
detektor
koherence
spektroskopie
Komplexni
laseru
experiment
Korelacni
A.I.1
operatoru
detektor
interferencni
6.2.3
42
55
dvouhladinovy
interferometr
.
4 Teorie opticke detekce
4.1
korelacni
39
.....
jednomodoveho
Hvezdny
.
mod
3.2.1
6.2.2
36
3 ZvlciStni stavy elektromagnetickeho pole
3.1
5
OBSAH
34
.....
statistickeho
KOHERENCE
33
2 Interakce mezi kvantovymi soustavami
2.1
TEORIE
75
jev
77
-
6
KVANTOVA
TEORU;
KOIIERENCE
Uvod
Pojem
koherence je obecne spojovan
radanosti
v soustavach
slova koherence
poetem
se vsak spolu s rozvojem
i posouva
upresnuje
s velkym
s vysokou
.
zarenim
kovacl sterbiny
obrazce.
zarieu.
interference
Vzhledem
na 50
a tuto
jako klasickci) teorie koherence
miru definovat.
pole a magneticke
signalu
charakteristikou
Nasledujrcl
se ukazalo,
pnbllzil vzorinterferenenr
mrru usporadanos-
rozvoj (v te dobe
byl zalozen
nove,
na popisu intenprostoroeasovych
A). Z teto teorie vyplynulo,
pro popis koherenenich
dT1Lhiho fcidu. Dodateene
a pozoroval
11m
indukce jako nahodnych
(viz Dodatek
in-
ze v experimentech
ze slu·neenr zareni ma jistou
nynr oznaeovane
zit elektrickeho
vyznam
disciplinach
nebyly, bylo sluneenr
V roce 1869 vsak Verdet
experimentu
pnpustit,
k tomu,
pozorovany
ti - koherence,
analogovYch
Presny
v jednotlivych
tesne svazan s pozorovatelnymi
bezne
za nekoherentni.
v Youngove
Bylo tfeba
volnosti.
~ uspo-
•
terferencerni v poli optickych
zarenr povazovano
stupnu
poznanr
Ve stare optice byl pojem koherence
se sluneenrm
mrrou korelovanosti
ze dostaeujrcl
muze byt korelacni funkce
vlastnostl
ze je to dusledkem
souhry nasledujidch
fa ktu:
1. Tehdejsr
movou
absorpci
experimentalnr
energii
energie
jiste funkenr
2. Vsechna
technika
umoznovala
elektromagnetickeho
a tepelnych
jevech).
hod note korelaenr
elementarnimi
ment
Merena
optickych
pouze stredni
(detektory
hustota
funkce druheho
pole, v te dobe znamych
ha nezavislymi
zareni
energie
na
odpovrda
radu.
zaneu,
zanei (jednotlivymi
obje-
byly zalozeny
byla vytvarena
mno-
atomy v procesu spon-
~
8
KVANTOVA
TEORIE
KOIIERENCE
o
OVOI)
tanni
emise) .. takze
melo zakonite
je-li znama
vysledne
gaussovsky
korelacni
pole (ve shode
charakter.
funkce druheho
s centralni
Gaussovske
limitni vetou)
pole je zcela
Pro srovnani
terakci
radu.
elektromagnetickeho
vostnimi),
Stimulem
pro novou etapu
rozvoje teorie koherence
ru v roce 1960. Princip stimulovane
je zakladem
zancu.
jeho cinnosti,
vylucuje
0 elektromagnetickem
dedukovat
jen na zaklade
statisticke
nezavislou
superpozici
rezonatoru,
charakter.
kvantove
Statisticke
zareni jednotlivych
teorie
vlastnosti
interakce
kvantove
fyziky.
va detekce
intenzitni
ulohu v rozvoji moderni teorie koherence
metod
pro detekci optickeho
a statisticke
zpracovani
interferometrie
apod.
elektronickych
mereni energie,
resp. korelacni funkce druheho
ne mentelnymi
v opticke
teorie interakce
K vantolla
sehral i rozvoj
signalu,
jiz zdaleka
korelacni
mereni
nereprezentuji
jen
radu. Ktere veliciny jsou vlast-
oblasti, je mozne odvodit
na zaklade
dr.J.:tronibL je obor zabyvajid
spektrum
zl/.fenz a zaklady
k tomuto
1995/96,
volnymi
se in-
nebo vodi-
efekty se pri vymene
neprojevujf.
na KFE FJFI je zarazen
dd:trouika
intemkce
text je obsahem
cviceni
Grafickou
teorie
(zpravidla
energif. Kvantove
elektron,ka
rocniku oboru jyzihl.lnf.
niho roku
dch.
spojite
kvantova
Nasledujid
namety
pole s elektrony
Byl napsan
ve skolnim
prednasek.
v zimnim
roce
ktery vedl cviceni, a za prispeni
upravu textu i obrazku
do programu
teorii }.;o/wn:ut:f:
Of/-
zrLfr:nz s ltLtko1L.
sesti dvouhodinovych
predmetu.
a dopracovan
a zahrnuje
Obsahuje
semestru
1996/97
posluchacu
skol-
ve spolupraci
v obou
rocni-
proved I Michal Vrba. Vsem zucastne-
nym dekuji za spolupraci.
zareni, napr. jednofotoelektrono-
Tyto metody
ze klasicka
mezi latkou a prostredim
5 Ing.I.Richterem,
Nezanedbatelnou
elektronickych
ctvrteho
tide/to
Pro po-
pouzit aparat
majidmi
Predmet
laseru je mozne
zareni s I.hkou.
zareni, tak latky je treba
energie
ktery
zareni laseru jiz nelze v principu predpokladat,
ze by mohlo mit gaussovsky
pis jak elektromagnetickeho
byl pak objev lase-
emise uvnitr optickeho
uved'me,
urceno,
Dekuji tez predem vsem pripadnym
ctenarum
za pripominky
a dodatecne
opravy textu.
30.zai'i 1997
M.V.
uvah z oblasti
zareni s latkou.
teorie
koherence
optickeho
zareni je tedy
teoreticky
obor
rozvijejid kva ntovY popis statistickych
vlastnosti optickeho elektromagnetickeho zareni se zvlastnim zretelem na moznosti meridch metod v teto oblasti
spektra.
Je soucasti
Kvantova
terakd
sirsiho vedniho
clektmnika
je definovana
elektromagnetickeho
iontech,
molekulach,
spojene
s vyuzitim
krystalickych
kvantovYch
vzdy, pro popis elektromagnetickeho
vnitrni energie
vazanych
energie
soustav
ktere jsou vazany
strukturach
soustav
apod.
pro generaci
prostredi
elektroniky.
jako vedni obor zabYvajid
pole s elektrony,
tickeho zarenf. Pro popis latkoveho
se vymena
oboru - kvantove
Resi zejmena
a detekci
pouziva aparatu
elementarnfch
problemy
elektromagnekvantove
zareni jen nekdy. Vzhledem
mezi nimi a elektromagnetickym
se in-
v atomech,
teorie
k tomu,
castic jsou kvantovany,
polem po kvantech.
ze
deje
frprava kxtll v)'Lvorl'lIa l.ypogr;dirkYIII
prOAnHllf~11I
I~TI';X
10
KVANTOVA
TEOIUE
KOHERENCE
Kapitola 1
Kvantovy popis optickeho zareni
V ramci kvantoveho
intenzite
cialu
jako 0 operatorech dynamickych
a 0 vektoTOvern poten-
promennYch.
Stay elektromagne-
pole je pak dan stavovyrn vektorern I x> resp. stavovYm operatorem
(statistickym
operatorem,
ktery ma dimenzi
soustavy
1.1
(poctem
maticf hustoty
rovnou
poctu
stavu)
stupnu
m6du elektromagnetickeho
v Hilbertove
volnosti
stavovem
uvazovane
pro-
kvantove
pole).
Operatory poll
Uvazujeme
0 elektromagnetickem
ticke pole uvniti' teto
spocetnym
poctem
mfnek je mozne
nekonecne
stupnu
volnosti.
Pi'i volbe periodickych
operator vektoTOveho potencialu
Elektromagne-
za dynamicky
A(r, t)
system
okrajovych
zapsat
se
pod-
ve tvaru
i'ady:
A(r,
r je
L.
poli v krychli 0 rozmeru
krychle muze byt povazovano
1
kde
zai'enf se uvazuje 0 polnfch velicinach:
E, rnagneticki indukfi B
elektrickeho pole
A,
tickeho
storu,
popisu optickeho
t)
= ( 2EOCL3
1i
)
polohovy
vlnu s celistvym
1 a 2,definuje
vektor,
poctem
orientaci
2
2z=z=
k .,=1 b\ (e(s)(k)ak,sei(kr-ckt)
t oznacuje
cas,
k je
+ h.s.)
vlnovy vektor charakterizujicf
pulvln ve vsech ti'ech smerech,
jednotkoveho
vektoru
(1.1)
polarizace
s nabyva
hodnot
e(s)(k),
pro nejz
--
KVANTOVA.
12
soueasne
TEORIE
KOHERENCE
KVANTOVY
Soucin
plati vztahy:
e(s)(k)
=
. e(SI)(k)
e(s)(k)
=
fiA
13
ZARENi
ataA byva oznaeovan
fi a shora uvedenych
z definice
primo dokazat
(1.3)
= 0
. k
OPTICKEHO
operatoru
Vyjdeme-li
(1.2)
OSS'
POPIS
nasledujid
jako
operator poCtlL lotonu.
komutacnich
vztahu,
je mozne
relace:
[IDJ
neboli, jednotkove
Ii je Planckova
vektory
konstanta,
opertltor, zkratka
elenu
a k/k
e(2)(k)
jsou navzajem
c je rychlost svetla. Operator
h .s. oznaeuje
v teze zavorce.
prostoroeasovou
e(I)(k),
elen hermitovsky
Zavedeme-li
promen nou
-a
.x
oznaeeni
= (k, 8)
x
[-a,n-]
ak,s je tzv. anihilacni
sdruzeny
= (r,
1.1
ortogonalnL
k predchozfmu
=
a ,
(1.12)
fian!
=
am(fi - m),
(1.13)
=
(a+)m(fi
fie a+)'T1
A
A(x)
A
= A(+)(x) + A(-\'T)
kde uA(.7:) oznaeuje
nev s d ruzena.
v
'V
sdruzene,
(1.4)
komplexni
e rv,
Icmy A(+\) x
modovou
(1.5)
funkci, uHx) je funkce k nf komplex-
a A(-)()' x JSou ve ,-v.
Icmy navzaJem
,.
anihilacni a heacni (kladnou a zapornou
oznacujf
h ermltovs
.
ky
frekveneni)
cast
(a)m(a+)n!
+ m),
(1.14)
fi(fi - 1)(fi - 2)
(a+)mam
= L:aAuA(x) + L:atuHx),
A(x)
(1.11)
-+
[fi, a+]
t) pro etyrrozmernou
pro m6dovy index, je mozne psat:
= a,
-
=
Dukazy
proved'te
m6du,
ale modovy
(fi+l)(fi+2)
(fi - m
(fi+m).
(1.16)
•
jednoho
vybraneho
Operator energie elektromagneticke-
index neuvadime).
ii
(1.15 )
0 operatorech
jako cvieenf (uvazujeme
ho pole (harniltonian)
+ 1),
vyjadi'ujeme
elektromagnetickeho
pole v uvazovanem
pres krychli 0 strane
L:
jako paralelu
objemu,
s vyrazem
pro energii
tj. jako objemovy
integral
operatorn vektoroveho potenciallL.
Obdobne
indukce
vyjadrenf
13 pomod
operatoru
anihilaenich
intenzity
a kreaenich
elektrickeho
operatoru
H
= -1 J (-2
foE + -B
rlV.
1 -2)
2
E a magneticke
pole
plyne ze vztahu:
-
E
=-- at '
(1.6)
13
=
(1. 7)
Rozdeleni
aA
rotA
operatoru
intenzity
elektrickeho
pole
E
a magneticke
na anihilacni a kreacni cast pak plyne primo z uvedenych
Pripomenme,
hermitovsky
faA' a:f,]
=
10,\,\1,
13
Po dosazenf rozvoje (1.4) do (1.6)
dostavame
harniltonian ve tvaru:
ii = ~
coz je vyraz
(fiA
a (1.7)
a dale do (1.17)
+ ~)hWA'
stejny
osciliitoru s obecne
vztahu.
ze anihilacni a kreacni operatory aA a at
sdrnzene a vyhovuji komutacnirn
indukce
( 1.17)
JLo
jako
(1.18)
harniltonian
ruznymi
a po integraci
kruhovymi
soustavy
nezavislych
frekvencemi
harmonickych
WA.
jsou navzajem
1.2 Vlastni stavy operatoru
relacim:
(1.9)
(1.10)
(1.8)
Vla.~tni stav operatorn je takovy stav kvantove
aplikad
uvazovaneho
operatoru.
V dalsim
soustavy,
uvedeme
ktery se nezmeni
vlastnf stavy vybranych
operatoru.
-
KVANTOVA
14
1.2.1
pole, index
definovan
KVANTOVY
1.2.2
nejprv~; 0 jedno'm
uvazujeme
n je
= n In>
OPTICKEHO
15
zAiiENi
Koherentni stavy
Koherentni
nechan)
stav jisteho
m6du elektromagnetickeho
pole (m6dovY index vy-
jako vla.~tni stav anihilacniho
je definovan
vlastnf
va oznaeovan
je stejne
hodnota
(realne,
jako Fockul(.
mohutna
Stay
ii Ia> = a
(1.19)
cele, nezaporne
In>. Tento vlastni stay je soueasne
cetna.
ni6duelektromagnetickeho
Vlastni stav In> opertitoru poCtu fotonu ii je
nevypisujeme.
POPIS
openitoru:
vztahem:
ii In>
stavu
KOHERENCE
Fockovy stavy
Pro jednoduchost
kde
TEORIE
Mnozina
jako mnozina
10> s vlastni
vlastnim
vlastnich
nezapornych
hodnotouO
cislo) pfislusejicf
stavem
vlastnimu
hamiltonianu
stavu operatoru
poetu
celych eise!, tj. nekoneena
je zakladnim
stavem
Vzhledem
a by-
mohutna
spo-
k tomu,
a
hodnoty
fotonu
Ia>.
obecne
ze anihilaeni
komplexnimi
jako mnozina
Koherentnf
(byva oznaeovan
(1.26)
do Fockovy
operator
a neni hermitovsky,
eisly. Mnozina
vlastnich
jsou
vlastni
stavu je tedy stejne
bodu v rovine.
stay, jako kazdy jiny stay, je mozne zapsat
ve tvaru
rozvoje
baze:
jako stay "vakuovY:').
~
~
Je mozne ukazat,'
zepl~~f"
.
In>=_l_(ii+fIO>,'
1.2
vnT
(1.20)
"
..
ruzne
navzajem
ortogonalni, tj. pro skalarni soucin plati
Vsechny
stavyl
m> a In> operatoru
a ze dva
<mln>
vlastni
n
stavu operatoru
prostoru
elektromagnetickeho
stavu
poctu fotonu
harmonickeho
pole). Tato baze byva oznaeovana
If> jisteho
m6du
pole muze bytzapsan
(jednoho
_
(1.28)
jako linearni
kombinace
baze takto:
zde zustava
(1.24 )
LCn In>.
(1.25)
velicina <Ola>.
Vzhledem
k tomu,
ze hod nota skalar-
<a I a> by mela byt rovna norme, tedy jednotce,
musi platit:
~
1.3
1<0Ia>12
L In><nlf>,
(1.29)
= Ln yn:
qan<Ola>ln>.
nfho soueinu
jako Fockova. Libo-
(1.23 )
n
Neureena
m6du
1 If>,
= <n I f>·
relaci k (1.20):
rozvoj tvaru
la>
muze tvofi bazi v uva-
oscilatoru
n
Cn
konjugovanou
1
"
Hilbertove
kde
hermitovsky
= yn:
q<Olan,
poetu fotonu tvofi 7iplny system, takze plati:
(1.22)
vsech vlastnich
If>
v uvahu
1
<nl
= 1.
Mnozina
Fockovy
Vezmeme-li
fi jsou
nabude
zovanem
vektoru
fotonu
(1.27)
(1.21)
vlastni stavy operatoru
volny stay
poetu
= 8mn.
L I n><n I
= L<nla>ln>,
n
la>
c}
Zvollme-li
nulovou,
= e-1al'.
dosud
(1.30)
neureitou
hodnotu
faze skalarnfho
bude mft rozvoj koherentnfho
1
Ia> = Ln yn!
,eoane-
soueinu
stavu do Fockovy
<0 I a> za obecne
baze tvar
1.!!t
2
In>.
(1.31 )
-
16
[lli]
1.4
KVANTOVA
Jestlize pouzijeme v (1.31) vztah
fovu identitu] dostavame:
1a>
=
L
71
1
~ 1
rrO'ne-,
r:-;(a+)"
vn!
vn!
(1.20) a uplatnime
TEOlllE
Bakerovu-Hausdor-
10>,
fID]
1.5
a nasledne
stavu
10'».
operatoru
Zjistene
posuvu,
(1.36)
tribueni
soudit
aa+
a take
[D(a), a+]
=
[.mI
S vyuzitfm Bakerovy-Hausdorfovy
1.6 nlch vztahu Ize dale odvodit:
15-1(o)a+ 15(0')
1 Bakerova-Han8dorfova
+ 0',
a+ + 0'*.
a
15-1 (O')a15(o)
a drive odvozenych
vyskytu
systemu
ve stavu
stavu operatoru
s definovanym
rozdileni je zname jako poissonovski.
merenf energie (poetu
hodnota
=
stavu
soueinu.
jsou rovny kvadratu
LL
komutae-
'"
koherentnich
stavu
(1.40 )
1<0'1,8>12
identita: Json-li A a .8 operatory, jejichZ komntator [A, BJ je klasicke cIslo,
Ize u-
ze 10'> a 1,8> jsou
Predpokladejme
(1.31)
( *)",8'"
0'
1 <n 1m>,
vyjadren
(1.44)
(n!m!)2
e -f{lal'+II1I')+{at 11.
Je to velieina obecne
nalnf. Oruha mocnina
dis-
modulu
stay definuje.
stavy. Skalarni souein muze byt pomod
e-f{lal'+II1I')
Je zrej-
10'>, nema presne ureenou
fotoni),) musi byt poissonovska
i disperse
(neortogonalitu)
ortogonalitu
skalarniho
71
(1.39)
(po-
energie:
e _1"1' .
eisla 0', ktere koherentni
z vlastnosti
<0'1,8>
identity
(1.41)
(1.43)
1271
funkce, jejiz stfedni
(1.38)
pravde-
1 I0'
I"
n.
dva ruzne koherentni
ve tvaru:
a15(O')
aa .
amplitudu
(1.42)
Na vzajemnou
(1.37)
vyjadfit
I<n 10'>12,
pravdipodobnostni
komplexniho
= a15(O')
snadno
me, ze pole, ktere se nachazi v koherentnim
neboli
[a,15(O')]
je mozne
neboli ve vlastnim
energii. Vysledkem
= 15(O')a + 0'15(0')
(1.31)
1
~
vn!
;:::rO'ne-,
n,
jako operator posuvu (stavu
17
zARENI
pravdepodobnost
p(n)
byva oznaeovan
OPTICKEIiO
rozvoje
=
etem fotonu)
(1.35)
Pfimo z definice pak ply~ou nektere zajima've vlastnosti
napr.
a15(a)
<n 10'>
(1.34)
= e"a+-o'a
vakua do koherentniho
POPIS
Na zaklade
podobnosti
(1.33)
15(0')10>,
15(0')
kde operator
[ID]
1.7
e"a+ -a'a 10>,
=
KVANTOVY
KOIIERENCE
(1.45)
nenulova. Ova ruzne koherentni
modulu skalarniho soueinu
stavy jsou neortogo-
= e-I"-!1I2
(1.46)
tj, plat.
[IA,.8], A]
= o.
[[A, B], B]
=
klesa s rostoud vzdalenostf bodu (pfislusnych
0' a ,8 v rovine komplexnfch eise!.
0,
lID]
potom take pla.t!:
e (A+.8) =e A.8
e e-~[A,.8[
komplexnfch
vlastnfch
hod not)
Je mozne ukazat, ze system vsech koherentnfch
stavu (vlastni elsla
celou rovinu komplexnfch eisel) je systemern pfinejmensim uplnyrn,
1.8 zahrnujl
nebot'
(1.32)
1 J 10'><0' 1d 2;;:
0'
= 1.
(1.47)
-
KVANTOVY
18
KVANTOVA
Dukaz
se provede
Fockovy
pi'imo dosazenim
rozvoje
(1.31)
TEORIE
koherentniho
stavu
operatoru
(1.47)
umoZlluje
rozvinutf
libovolne-
= ~J
nebof s vyuzitim
<all>
Dukladnejsi
I I> do Fockovy
[lliI
1.9
a
2
analyza
slozeno
ii) je
z mnoha
ne-
dan souctem
m6du:
+~)nw),.
(1.56)
.
vede k zaveru.
m6du
rnnohomodoveho
prostor
(obecne
jednotlivych
spocetne
m6du.
pole ma stejnou
mnoho),
je to direktnf
Vlastni stav hamiltonianll
ze system
rozvoj jednotkoveho
vsech koherentnfch
operatoru
dimenzi
soucin
jak~ je pocet
stavovych
(Fockuv
stay)
prostoru
mnohom6do-
veho pole
neni jedno-
=
I{n),}>
je popsan
In,>dn2>2 ... lnk>k""
( 1.57)
II), In),>),
(1.58)
mnozinou
s m6dovymi
vlastnich
Uplnost systemu
2:
hodnot
{n),} pi'islusejfdch
jednotlivym
m6dum
indexy A.
Fockovych
I {n),}><{ n),} I
{n,}
stavu vyjadruje
rovnost:
= 1.
(1.59)
K oherentni stav ma pomerne
nom6dove
pole v tomto
souradnice
a zobecneneho
a intenzite
eHektrickeho
~
q=
p~ =
stavu,
impulsu ij a p (veliciny umerne
pole) minimalni
rovnosti,
mozna.
2
-2. (nw)
V Heisenbergove
(P)
indukci
(neostre)
(1.53)
kde se sCfta pres vsechny
Koherentni
I{a),}>
~ (a - a+),
(1.54 )
=!!:
2
(1.55)
«p - (p) )2) je stredni
= <alpla>.
stavem
mozne kombinace
stav mnohomodoveho
=
Je snadne
vlastnim
(6p)2))t
=
magneticke
tj.:
(ii+a+),
(2W)
kde «tlp )2)
ni hodnoty
vysokou miru urCitosti. Nachazi-li se jedje neurcitost soucasneho
mereni zobecnene
n t
(((tlq)2)
1
*)"
moznY).
ne1'Ovnosti platf znamenf
~
je obecne
(hamiltonian
-; - ~I~ ,
(1.52)
1 _~ (
vn!
~e
(rh
prostoru
celkove energie
baze Ize ukazat:
'"
teoreticka
(jediny
promenne
(1.51)
stavu je vice nei uplnY. Uvedeny
znacny
funkce komplexni
2:Cn
<a I vn!
~(a+nO>,
n
L..Jcn
n
Operator
jednotlivych
ii = ~
Stavov}t
(1.50)
rozvoje <a I I> je celistva
rozvoje
pole ve volnem
m6du.
(1.49)
la><ald2all>,
amplituda
19
ZARENI
Vlastni stavy operatorii mnohomodoveho pole
zavislych
(1.48)
= ~
7r J <all>la>d2a.
'
Komplexni
1.2.3
hamiltonianu
stavu:
i II>,
=
OPTICKEIIO
Elektromagneticke
jednotkoveho
I I> do koherentnich
I I>
a,
do
baze).
Vyjadreni
ho stavu
POPIS
KOIIERENCE
kvadraticke
odchylky od stred-
celych Cfsel.
la,>da2>2".lak>k""
(1.60)
II), Ia),>),.
(1.61)
ukazat,
ze koherentni
anihilacnf
-(+)
A (x)l{a),}>
=
stay mnohom6doveho
casti vektoroveho
2:ii),u),(x) I{a),}>,
),
2:a),u),(x) I {a),}>,
hodnota
nezapornych
pole je analogicky
),
U(x)
I {a),}>,
pole je soucasne
potencialu:
(1.62)
(1.63)
(1.64 )
••
20
KVANTOVA
TEORIE
KOIIERENCE
kde funkce
1.3.3
= LO'AUA(X)
U(x)
(1.65)
A- .
je vlastni
KVANTOVY
hodnotou
anihilacni
casti vektoroveho
POPIS
1.3 Statisticky operator
Stay kvantoveho
Cis,ty stay
Cistystav
• e je
hermitovsky:
• e je
normovany:
V souboru
1.3.2
nebo vektorem
takovych
objektu,
ve stavovem
kvantovych
ktery muze byt popsan
prostoru
objektu
representativniho
jsou vsechny
objektu.
prvky v tomtez
stavu.
)
I
I
I
(1\1)
ze smiseneho
sou-
LL
Ve smiSenem =
se vyskytuji prvky v ruznych
=souboru Irn><mleln><nl,
Kazdy z moznych kvantovych stavu IIi> je charakterizo-
van pravdepodobnosti
veliciny popsane
objektu
m n
{rnA} {nA}
{mA}
objektu.
kvantovYch stavech.
Wi vyskytu v danem souboru.
operatorem
1.3.4
Vysledne
M muze byt vyjadreno
stfedni
vlastnosti:
operatoreme
(ve
= e+.
TrW) = 1.
hod nota operatoru
promenne
M je dana stopou
mentelne
a statistickeho
operatoru:
soucinu
opera-
(F) = Tr (Me).
Statisticky operator elektromagnetickeho pole ve Fockove bazi
bazi popsan
kvantoveho
statistickym
e
Pro jeden mod elektromagnetickeho
Smiseny stav je stay representativniho
popsan
zakladni
vlno-
SmiSeny stay
boru kvantovych
je obecne
a ma nasledujici
toru dynamicke
je stay soubQru kvantovYch
you funkci,
systemu
prostoru)
• Stfedni
1.3.1
21
ZARENI
Zakladni vlastnosti statistickeho operatoru
stavovem
potencialu.
OPTICKEHO
pole je statisticky
operator
eve Fockove
matici s prvky (!mn nebof:
LL
LL
LL
l{mA}><{mA}I§I{nA}><{nA}I,
e = leI)
=
emn pole
Im><n
Pro mnohomodove
pak:I.I{mA}><{nA} I.
e{mA}{n,j
e = leI,
(1.75)
(1.71)
(1.74)(1.72)
(1.70)
(1.73)
mereni fyzikalni
hodnotou
= LWi<ldMlli>,
i
(1.66)
nebo ve tvaru
(M)
= Tr
kdyz zavedeme
e
(eM) ,
novy operator
= LwdJ;><ld,
nazyva me operatorem
ktery
bo matici hustoty
statisticky operator
e
(1.67)
=
110><10 I.
(1.68)
hustoty stavu (statistickym
stavu). Je-li soubor
v cistem
stavu
openitorem.
I fo>,
1.3.5
Statisticky operator elektromagnetickeho pole v bazi koherentnich stavu
ne-
ma pnslusny
tvar
Vyjadnme-li
jednotkovy
vu, je mozn{statisticky
(1.69)
§
= :2
operator
pomoci
uplneho
operator
zapsat
ve tvaru:
JJ 10'><0' I § I,8><,8 I d20' d2,8,
systemu
koherentnich
sta-
(1.76)
-
KVANTOVA
22
kde mnozina
maticovych
(!(a,,B)
mennych
rozvoje
<O'lgl,B>
dynamicke
zionalni
funkci dvou komplexnich
stavu
. Jeji vlastnosti
do Fockovy
KVANTOVY
nahledneme
prosti'ednictvim
analytickou
Tr(gF),
=
:211
F
stredni
hod nota
se pak pocita jako dvoudimen-
(1. 78)
'
<0'1 gl,B><,BIFIO'>
cf>N(O')
=1
souciny
komplexnich
promennych
Zvlastnim
1.11
<a/gIO'>
pnpadem
=
=
(1. 79)
d2ad2,8.
<a I,>
operator
0 stochastic kern charakteru
popisu,
amplitudy
modu
jednotlivych
du kazdeho
modu je mozne
mnohomodoveho
ne pouzit
Statisticky
promenne.
funkci pea)
distribucni
popisu vystupuje
Pro zapis statistickeho
namisto
operatoru
distribucnf
jednoho
operator
l'y p-rojckce koherentnich
funkce
cf>N(a) vsak vyplyvaji
1.3.3):
stavu.
cf>N(a),
analyticke
funkce
dvou
(1.45)).
je diagonaln!
maticovy
prvek
1 cf>NCr)e-I'Y-r.t/2d2"
(1.83)
take za kvazidistribllc,ni fllnkci, ktera je s Glaube-
integnilni
(tzv. Zernanianovoll)
reprezentaci
svazana
ve Fockove
bazi je mozne vyjadnt
element
1.12
<mlgln>
=
1 cf>N(,)<ml,><,ln>d2"
=
1
~
funkce statis-
Stfedni
cf>N(,)
hodnota
1.13 takto:
prvku ve Fockove
m6du pole je moz<nlgln>
ftmkci
,TII(,*)"
vm!n! e-hl2
=
poctu
fotonu
jako integral
(1.84)
(1.85)
d2,.
(diagonalni
bazi, Ize ji vyjadi'it
pomoci
prvek) je rovna diagonalnimu
kvazidistribucni
funkce
1
cf>N(a)<nla><aln>d2a,
I
vztahem:
se vyjadi'uje
zname
a stav
P({a}).
funkci vice promennych
(viz
jsou
Maticovy
Amplitu-
stavu je roven integralu
(1.81)
a <,1,8>
[ID]
do modu budou
1 cf>N(a)e-'r.t12
-;-
cf>N(a)
(1.86)
/2n
n.
d2a
( 1.87)
(1.80)
1cf>N(O')IO'><0'Id2a.
kvazidistribucni
odst.
rozkladu
za nahodne
charakterizovat
distri-
elektromagnetickeho
Glallberovll-Slldarshano1Jll rcprcsentaci - kvazidistribucni
cf>N(O'), definovanou
g=
pi'i zvolenem
povazovany
pole distribucni
V ramci kvantoveho
ticky operator.
potom
za zobecneni
koherentnich
(1.82)
rovou-Sudarshanovou
muze byt v jistem smyslu povazovan
pole v ramci klasickeho
promenne),
1 cf>NCr)<a/,><,IO'>d2"
transforrnaci (1.83).
bucnich funkci. Uvazujme-li
komplexni
funkce)
cf>N(,)<al,><,I,B>d2"
kde skalarni
[!gJ
Kvazidistribucni funkce
Statisticky
= cf>N(a) (realna funkce
= 1 (normovana
1 cf>N(O') d2a
ktery muze byt povazovan
1.4
23
prvek v reprezentaci
<O'lgl,B>
1.10
funkci. Statisticka
operatorem
MaticovY
(1.77)
vn!rn!
popsane
ZARENi
baze:
flTII"e-!1r.t12e-~1~12(a*)m {3n.
promenne
=
OPTICKEIiO
• g je normovany:
integral
(F)
1'01'15
pro-
[!gJ
= Lm Ln
ze (!( a, (3) je obecne
Je patrne,
pi'edstavuje
KOIIERENCI::
• g je hermitovsky:
=
koherentnich
(!( a, (3)
elementu
TEOIUE
jako vazeny
Z definice
soucet
neni zrejme,
ani zdali existuje
ze zakladnich
pres vsechny
vlastnostf
jake
1.5
Usporadani operatoru
ma vlastnosti
vzdy. Zakladni
statistickeho
operritovlastnosti
operatoru
(viz
openLtoru meritelnych
tvaru rnocninnych
fad anihilacnich
Velkou tndu
F
k
I
= LLCk/(a+)kf/.
(fyzikalnich)
a kreacnich
velicin je mozne zapsat
operatoru,
ve
nap!'.
(1.88)
~
24
KVANTOVA
V uvedenem
tvaru (1.88) je kazdy scltanec
lezi vlevo od operatorU anihilacnich.
nich operatoru
je mozna.
KVANTOVY
KOHERENCE
zapsan tak, ze kreacni opera tory
Zamena
Je vsak treba
TEORIE
poradi anihilacnich
respektovat
komutacni
a+ a a. Proto jiny mozny zapis tehoz
F = Lk LI
tvar
ve tvaru
(1.89)
zapisy operatoru
tn
(1.89)
fj,
(1.88)
jako normalni
Existuji
usporadanich.
pro zapis oper;horu
poetu
Pro ilustraci
i
(1.91)
-1 (~+~
a a + aa
~-+ - 1) .
2
(1.92)
druhy v antinormalnim
operator
posuvu
piSH stavu
usporadani operatoru
pole statisticky
taci. Statisticka
stredni
(e(o'+/a1)
=
= eau+-a"a
operator
ma jistou
v normalnim
usporadani.
prednost
pouzivame-li
v GIa1tberove-Sudarshanove
hod nota operatoru
Tr
Tr
Tr
ktera
prislusneho
m6du
byly popsany
1'epresen-
(a+)kO,I muze byt totiz vyjadrena
U <T>N(a)la><cd d2a (O,+)kO,I),
U <T>N(a)a./la><al (0,+).1- d2a) ,
U <T>N(a)a1Ia><al(a*)kd2a),
= ~ 11 <T>N(a)(a*)koJ<,la><a
1<T>N(a)(a*)kal
d2a.
h> d2ad2;,
(1.93)
(1.94)
(1.95)
(1.96)
(1. 97)
operatoru
stejny jako vypocet
fluktuuje
v dusledku
elektromagnetickeho
pomod
distribucni
stredni
nahodnosti
pole,
funkce
kdyz
<T>N(a).
vsak primo neplyne, ze tato
smyslu).
Nektere
v antinormalnim
0 operatorech
a vyjadrime-li
dostavame:
=
Tr (eO,I(a+)k)
stredni
hodnotu
jeji v/astnosti
budou
usporadani, napr. 0 ope-
vypoctem
stopy v bazi kohe-
Tr ((a+leO,I),
(1. 98)
~1
~1
(1.99)
<a I (O,+)kef/ I a> d2a,
<T>
A( a)
bucni funkci, vhodnou
=
(1.100)
Ie! a> d2o:.
ci(a*)k<a
danych
za-
nize.
Uvazujeme-Ii
Pnjali jsme oznaceni
k po-
hodnoty
Glauberovy-Sudarshanovy
representace
(v matematickem
a treti v tzv. symet-
takto:
Tr
a
veliciny,
1al(a*l<T>A(a)
15(a)
stredni
formalne
operatoru)
vlastnosti
usporadani.
Ll4
Normalni
diskutovany
ratoru al(a+)k,
rentnich stavu,
fotonu:
o'a+ - 1,
statisticke
Z definice Glauberovy-Sudarshanovy
uved'me
(1.90)
ze vypocet
fyzikalni
funkce je distribud
usporadani,
pochopitelne
25
usporadani je (s vyuzitim
amplitudy
by jeji statisticke
nezavisle.
~+~
a a,
rickem (Weylove)
Zapiste
ne vsak vzajemne
antinormalnim.
obecnejsich
Prvni radek je v normalnim,
[lli]
ruzne,
byva oznacovan
byva nazyvan
v mnohem
ruzne moznosti
obecne
ZARENi
statistickeho
prislusne
komplexni
Zapis operatoru
zatimco
v normalnim
hodnoty
muze mit tvar
dklak(a+t
prvky Ckl a dkl jsou
Maticove
operatoru
OPTICKEIlO
je patrne,
representace
relace mezi
I\!
operatory
Z uvedeneho
psanem
a kreac-
POPIS
d2a.
(1.101 )
~<a I e I a>, definovali jsme jinou kvazidistri-
pro vypocet
strednich
hod not antinormalne
uspora-
operatoru.
ze <T>A(a)a <PN(a) jsou dye ruzne kvazidistribucni
Pripomenme,
prislusejid
jednomu
informace
0 kvantovych
jejich pouzivani
Maticovy
statistickemu
zavisi na pouzitem
prvek v reprezentaci
mod Glauberovy-Sudarshanovy
<alel,B>
=
e,
promitaji
vlastnostech
daneho
operatoru
statistickych
usporadani
operatoru
koherentnich
representace
mentelnych.
po-
takto:
(1.102)
<T>N(;)<a!;><,I,B>d2;,
1
se do nich stejne
m6du. Vyhodnost
stavu je mozne vyjadrit
1
e-1.<>fe-t1-
funkce
<T>N(,)e-hI2+a''Y+!9'Y'
d2,.
(1.103)
••
26
KVANTOVA
TEORIE
KOHERENCE
KVANTOVY
Pro diagonalnf
<0'1
prvek pak platf
gla>
1.6.2
7r<PA(a),
(1.104)
J
(1.105)
I"
<PNCt)e-I,-012d2,.
§ (cisteho)
lID]
Statisticky operator
1.15 pomocf kvazidistribucnich
<PN(a)
=
koherentnfho
stavu
I,> muze
byt zapsan
POPIS
charakteristicka
vztahu
o anihilacnfm
operatoru
funkcf:
(1.106)
C -10-,12
<PA(a)
(1.107)
7r
(efJa+ e-PO,,) =
CN(!3) = (e-P'acfJa+)
1.6 Charakteristicke funkceCA(!3)
Charakteristicka
funkce f(x)
c(u)
= J f(x)e-iXU
jako
Fourierova
transformace
ruzne funkce,
uspofadanim
nahodne promenne x:
(1.108)
ze muze byt take interpretovana
y priradfme
popsano
Napr. kvantova
CN(!3)
vyjadrena
(1.109)
komplexnf
distribucnf
cfslo 0'
funkcf
Fourierove
= + iy,
X
f(a).
Prfslusna
transformaci
a promennym
takze jejich stochasticke
charakteristicka
funkce
chovani je
muze byt
(epao-(3o,,)
statisticka
plexni promenne
sHedni
a.
(1.110)
d2a,
(1.111)
,
hodnota
jadra
el1"o-Bo"
- funkce
nahodne
kom-
=
ze anihi-
nenf toto
kvantove
funkce
(1.114)
(1.112)
(1.113)
statistickemu
operatoru
§. Lisf se
operatoru
v zobecnenem
Fourierove
funkce CN(!3). odpovfdajfcf
v zobecnenem
(efJa+ e-poa)
= J
je vlastne
Fourierove
normalnf-
jadfe
ce statistickeho
teristicke
2ProbIemy
(1.115)
,
(1.116)
(§efJa+ e-Po,,) ,
(1.117)
<PN(a)eP"O e-Poo d2a,
Fourierovou
Sudarshanovu
J f(a)eP"O-poo
temuz
a kreacnich
charakteristicka
operatoru
Tr
x,
jako
c(!3)
k tomu,
statisticka
transform ace:
0 dvoudimenzionalnf
Uvazujeme-li
tj. jako
jako strednf
= (e-ixu).
c(u)
funkce
jadre.
dx.
hod nota jadra Fourierovy
0' uvazujeme
uvazovane
Tr(§cfJa+-PO,,),
pnrazene
anihilacnich
mu usporadanf
Ze zapisu je patrne,
=
(cfJa+-P''')
nekomutujf,
Charakteristicke
zo-
funkce v teorii nahodne promenne
funkce c(u) je definovana
distribucnf
§. Vzhledem
operatoru
mozne.
amplitude
hodnoty
jako jiste
Tr(§e-Po"efJa+)
Tr(§efJa+ e-pO,,), I
jsou obecne
Charakteristicka
strednf
a a a+ vzajemne
jedine
byt definovana
0 komplexnf
kdyz namfsto
operator
=
pak muze
a a pro vypocet
statistickeho
zobecnenf
Cw(!3)
1.6.1
(1.111),
vyuzfvame
mechanicke
funkce
operatoru
lacnf a kreacnf
8(2)(0' - ,),
27
ZAItENi
Kvantova charakteristicka funkce
Kvantova
becnenf
OPTICKEHO
operatoru
representaci
transforrnaci
Glauberovy-Sudarshanovy
<PN(a). Naopak
je mozne definovat
representaGlauberovu-
jako inversni Fourierovutransformaci2
k charak-
funkci CN(!3).
existence Glauberovy-Sudarshanovy
Fourierovy transformaee.
K tomu, ahy e.xistovala
i
representare
jsou tedy reSeny spolu s existenci
invcrsni
Ke kaidemu statistiekemu
openitoru existuje eharakteristieka
funkee CN(I1).
inverBui FOllrier~va transfopnace
je ti'eba uvazovat 0 prostoru zobecnenych
funkcij ve kterem je inversni Fourierova transform ace zobrazenim do sebe, tedy 0 prostoru
zobeenene fnnkee se singularitami
vyssfho radn nei odpovfda distribnc1m .
obsahujicirn
••
28
KVANTOVA
TEORlE
KOHERENCE
KVANTOVY
UkaZte, ze
[ffiJ
= (e-fl"lie{1a+),
= J <I>A(a)eP"" e-rr", d2a.
(1.118)
(1.119)
zakladnich
pole na mnohomodove
[mJ
Maticovy
vlastnost!
kvazidistribueni
funkce
pro jeden
mod
pole je prime.
element
vyjadrit
1.20 stavu je mozne
29
ZARENj
statistickeho
takto:
operatoru
v reprezentaci
koherentnich
UkaZte, ze
~
I e I {;3,x}> = J
< {,B,x}
1.17
<I>N(a)
=
:2
J CN(j3)e",rr
e-",'(3 d2j3,
(1.120)
<I>
A (a)
=
:2
J CA(j3)e",rr
e-""P d2j3.
(1.121 )
Pravdepodobnostni
sneji hustota
f.mJ
. Charakteristicke
pro normalne
funkce usnadnuji mj. vypoeet
usporadane
operatory plati:
1.18 napr.
statistickych
(1.122)
=
kde u
stredni
;3=0
Mezi uvedenymi
1.l9 vztahy:
CN(;3)
1.7
funkcemi
plat! obecne
k-te
nasledujici
etlP1'Cw(j3)
= eIPI'CA(j3).
0 mnohomodovem
(1.124)
<I>N({a,x}) statistickeho
plexnich
e
operatoru
kvazidistribuenf
represen-
funkci vice kom-
1.8
pravdepodobnostniho
poetu fotonu
mocniny
tickeho
poetu
souvislost
operatoru
fotonu
§= J <I>N({O:,\})I{a,\}><{a,\})I
kde I {a,x}> oznaeuje
{o:,\} a
d2(
koherentni
{a,x}) je element
(1.125)
d2({a,\}),
stay popsany
v prislusnem
mnozinou
komplexnich
mnohodimenzionalnim
Cisel
prostoru.
eisel
rozdelenf
v mnohomodovem
poetu fotonu
11,,\,
jejichz
soueet
je pak mozne
poli, nebo obecneji
vyjadnt
stredni
jako soueet
(1.128)
mnohomodoveho
hodnota
Vyuzijeme-li
representaci,
(nk)
mezi Glauberovou-Sudarshanovou
k-te mocniny
hodnota
representaci
pole a pravdepodobnostnim
pn mereni v mnohomodovem
take primo jako strednf
!III
kombinace
Fotodetekcni rovnice
Stredni
promennych:
(1.127)
= n=O
L p(n)nk
Odvodime
poli, je Glauberova-Sudarshanova
muze bYt s vyu-
00
(uk)
Mnohomodove pole
Uvazujeme-li
tace
=
charakteristickymi
tohoto
hodnotu
hodnotu
[lliJ
m fotonu)
takto:
L,x n,x. SCitame jen pres takove
Pomoci
(1.123)
o*\/CN(fJ)
cr
p(m) namerenf
poli (pre-
m.
Je roven
O;3k'
baze vyjadreno
poetu fotonu v mnohomodovem
= Le({n,x},{n,x})Onm,
n,
p(m)
01
Ok
rozdelenf
(1.126)
a,x).
d2(
momentu,
= J <I>N(o:*)kal 020:,
((a+/al)
<I>N({a,x} )II,xe-1P,-"',I'
pravdepodobnosti
zitim Fockovy
!I
OPTICKEIIO
Zobecneni
1.16
CA(j3)
POPIS
poetu
operatoru
zapisu statistickeho
statis-
rozdelenim
poli.
fotonu
poetu
operatoru
(nk)
fotonu
muze byt vyjadrena
n
= L,x
n,\.
v Glauberove-Sudarshanove
platf:
= J <I>N({a,x})<{a,x}lnkl{a,x}>d2({a,x}).
(1.129)
••
30
KVANTOVA
TEORIE
KOllERENCE
KVANTOVY
Jednotkovy operator ve tvaru
L:
=
f{u,\}><{n,\}I
{n,,}
i
pen)
ftk,
OPTICKEHO
31
ZARENi
Oznacime-li W = Lw lawl2 a porovname predehozi vYraz se vztahem (1.128)
dostavame tzv. fotodetekcni rovnici ve tvaru:
(1.130)
vlozme do vyrazu (1.129) pred i za
POPIS
cimz dostaneme
= 1000
PN(W)-e-W
Tvn
o
n!
dW'
(1.137)
- L:lawI2)d2({aw}).
w
(1.138)
kde
(nk)
= J <PN({a,\}) {n,,}
L:
.
,\
(1<{a,\}!{n,\}>12(L:n,\)k)
(1.131)
d2({a,\}).
Dosazenim vyrazu (1.41) za modul skalarniho soucinu kazdeho modu dostavame:
PN(W)
[ffi]
1.22
(fjk)
= J <PN( {a,\}) {n,,}
L: IL
Cawnw·
I~n.•e-/ow/' d2aw)
(L:
,\ n,\)k
(1.132)
(L:n,\t
,\
(1.133)
=J
<PN({aw})8(W
Vyjadrete pravdepodobnostni rozdeleni poctu fotonu pro koherentni stay
mnohomodoveho pole, tj. ve zvlastnim pripade, kdy
<P({a,\})
= II,\6(2)(a,\
- (3,\).
(1.139)
a po zamene poradi scitani a integraee:
(ftk)
Scitani
= {n,,}
L: J
<PN({a,\})IIw
('awl~nw
nw. e-lowl'd2aw)
pres vseehny mozne realizaee mnoziny {n,\} provedeme tak, ze nejpr-
ve scitame pres ty realizaee, kdy eelkovy pocet fotonu v poli je eele nezaporne
eelyeh neCislo m, ktere postupne krokujeme, tj. scitame pres pos/oupnast
zapornyeh Cisel m:
I
Iii
m
{n,,}
= L:mk
L: I J
(ftk)
<PN({a,\})IIw
nw.
('awl~nwe_lowl'
d2aw)
(1.134)
,
LI{n,,} oznacuje scitani jen pres podmnozinu realizaee {n,\}. kde L u,\
rmJ
Vezmeme-li v uvahu pfatnost multinomialni
1.21
(".
L..~
n.I
r = '~'II, ~
L.
{n,,}
= m.
vety
n"
"( n,\ )".
(1.135)
plati:
(fik)
= L:
m mk J <PN({a,\})
(Lw tn!
law/2)TTI e- Lw lowI' d2( {aw}).
(1.136)
••
32
KVANTOVA
TEORlE
KOIIERENCE
Kapitola 2
Interakce mezi kvantovymi
soustavami
Predpokladame
dye obecne
Predpokladame,
ze soustava
hamiltonianem
Obr. 2.1). Evoluce
I
A je
interakce
HB,
v Heisenbergove
kvantove
popsana
kvantoveho
I
fiA
A
PA
I
M
ktere spolu interaguji.
hamiltonianem
systemu
VAB (viz
muze byt popsana
buo
Schrodingerove.
mv,,,, 'y",m
I
fiB
B
HA a soustava
hamiltonianem
nebo v reprezentaci
fi I
I
B.
a
mezi nimi je popsana
uvazovaneho
reprezentaci,
A
soustavy
B
PB
I
I
PAE
IIII
Obr. 2.1: Schema
interagujfdch
kvantovYch
soustav
I
I
Pokud 0 systemu
5 okolnfm prostredfm),
predpokladame,
ze je uzavreny
je jeho casovy vyvoj popsan
(jiz dale neinteragujfd
statistickym
operatorem
••
KVANTOVA
34
YAlI, vyhovujicim
Liouvillove
TEORIE
KOIIERENCE
INTERAKCE
kde eA
rovnici:
stavu
=
. agAB
2h~
(2.1)
[-H, (lAB,
_ ]
kde
MEZl KVANTOVYMI
=
Tl'BeAB
Obdobne
= liA + liB + VAB.
Zavedeme-li
(2.2)
I A> (resp.
znaceni
nianu liA (resp. liB)
I B»
a EA (resp.
pro vlastni
EB)
pro prislusne
stavove
vektory
vlastni
statisticky
openitor,
prislusejici
smisenemu
A.
operator
rem podsystemu
li
je redukovany
podsystemu
35
SOUSTAVAMl
eB
= Tr
B. Obecne
AYAB je redukovanym
vsak neni mozne vyjadrit
statistickym
opera to-
eAB jako souCin eA a
eB·
hamilto-
hodnoty
energie
2.2 Evoluce redukovaneho statistickeho operatoru
plati:
Unitarni
= E A I A>
<A'iA"> = t5A'A"
=
2: IA><AI
A
Vlastni
odpovidaji
1
podsystemu.
(2.4 )
2:
IB><BI = 1.
B
(2.5)
podsystemu.
v prostoru
Vektory
I AI B'>
danem
=
Stavove
direktnim
brizemi ve stavo-
vektory
soucinem
celeho
systemu
prostoru
stavu
IA'> IB'> jsou pak bazi ve vyslednem
sta-
repl'ezentaci,
-s
M
Predpokladejme,
ze
systemu
popsan
statistickym
prislusne
veliciny dana vyrazem:
(M) =
je operator
mentelne
operatorem
v podsystemu
eAB. je stredni
=
A. Je-li stay
hod nota
i1i~ae~B
(2.6)
(2.7)
<A',B'IAIeABIAI,BI>,
reprezentaci.
tent9z
uzavreneho
operator
neexistuje.
systemu
v tzv. interakcni
(ve Schrodin(Dimcove)
plati:
-I
-
operator
=
mezi podsystemy
operator
a e~B(t)
-+
Uo(t, to)(lAB(t)UO
pomerne
mereni
kdy vazba
je statisticky
potom
kde V1B(t, to)
Tr AB(MeAB),
= 2:
rovnice
(2.11)
reprezentaci)
Pro statisticky
2.1 Redukovany statisticky operator
UO (t, to)Uo (t, to)
-B
evoluci v pripade,
(lAB(t)
vovem prostoru.
(2.10)
-A
Nechf e~B(t)
gerove
,
C-WiA+HB)(HO)
Oo(t, to)
popisuje
energie jsou ortonormalnimi
jednotlivych
vektorum
(2.3)
EBIB>,
= t5B'B'"
<B'IB">
stavy operatoru
vych prostorech
=
liBIB>
HAl A>
operator
e~B(t)
jednoduchy
v interakcni
reprezentaci
(2.1) ma Liouvillova
tvar:
-I
-I]
[VAB(t,
to), (lAB(t)
= Oct(t,
(2.12)
(t, to).
to)1l1BOo(t,
Reseni rovnice (2.13)
(2.13)
,
to) je hamiltonian
poruchovou
interakce
metodou
v interakcni
v druhe aproximaci
vede k vyrazu
A',B'
e~B( t)
=
i!~B(tO)
(2.8)
A'
2:<A'IM
Tr A(MeA)
B'
(2:<B/leABIB'»
IA'>,
(2.9)
+
UI,
(.:y
+ 2H.: ltoIt dtl
[VI(tl
- to),e~B(to)]
+
lto
{tdt1 lto
Itldt2rV[(tl-tO),[VI(t2-tO),i!~B(t0)]]'
(2.14)
-
KVANTOVA
36
kde bylo pnjato
operator
zkracene
podsystemu
dospejeme
oznaceni
vlB'
VT pro
A pak (vyjadrenim
stopy
TEORIE
KOIIERENCE
Pro redukovany
statisticky
obou stran
rovnosti
INTERAKCE
MEZI KVANTOVYMI
+ (1h
(2.14))
kde jsme
=
g~(to)
+ ~n.~ 110
{I dtlTrB
f
2
C~) i:
+
dtl
([VT
+
(tl - to), g~B(tO)])
r
110
{t dt2 110
(I, dtl
TrB «AfIVdAi><AiltSIAf>g1(to))
k vyrazu:
g~(t)
37
SOUSTAVAMI
(2.15)
dt2TrB ([Vi (tl - to), [Vi (t2 - to), g~B(tO)]])
zavedli
nom z integralu
integrandy
zkracene
oznacenf
prejmenovali
se staly stejnYmi.
V;
integracni
Obory
=
Vi(ti
predpokladame.
g~(to)g1(to),
a ze system
toru energie),
tj. g~(to)
lAp
+<Af
t
v ease
energii)
<Af I g~(t) lAp.
=
bude nachazet
stavu
v jinem
pak bude dana diagonalnfm
pro ktery z (2.15)
<Af I Ai><Ai
I In.~110
{t dtlTrB
/
I Ap
stavu
to
maticovYm
to
plyne:
+
([Vi (tl - to), g1(to) I A;><A;I])
lAp
ruzne
nulovY. Vyuzijeme-li
energie,
<Aj IV I Ai><Ai
Z posledniho
vlastnfch
zjistime,
ze
hamiltonianu
pro vyjadrenf
ve
druhem
IAj> - <Aj I Ai><Ai
elenu rovnice (2.16)
<Aflg~(t)IAp
stavu
(dva
trojuhelniky
IAf>'
jsou
vyrazy
IV I Aj>, ktere jsou take obecne
zustavajf
= (1)2
-ft 110
{dt
1
TrB «Af
je prvni elen na
jen dva nenulove
VII Ai><Ai
typu:
nulove.
dohromady
r
Tento poslednf vyraz vyjadruje
za dobu
pokrYvajf obdelnik).
takze
(2.17)
(t - to) ze stavu
a redukovany
(2.18)
iot dtlio 1 dt2
TrB «Af
interakce
cleny:
IVII Ai><A;I
pravdepodobnost
IAi> do stavu
statisticky
operator
IAf>,
V21
Af>g1(to))
toho, ze podsystem
jestlize
pro system
A prejde
je znam hamiltonian
B v case to.
(2.17)
1 110
{'t ut2
I
= (1h
stopy opet vlastnf stavy opeelenu
v rovine tl, t2
psat ve tvaru:
<Aflg~(t)IAf>
k ortogonalite
tI
+
muzeme
IAi><A;I]])
t
Obr. 2.2: Obory integrace
(2.16)
<Af ITrB ([Vi (tl - to), [Vi (t2 - to), g1(to)
ratoru
takze
opera-
jsou
prave strane
a v jed-
=
+ (~
{dtI
{I1 dt2
1ft
110
1 )2 1to
1
Vzhledem
1,2)
IA;><A;I.
ze se system
(5 presne definovanou
<Af I g~(t) I Af>
=
t
g~B(tO)
operator
IAi> (vlastnim
A se naleza ve stavu
=
Pravdepodobnost,
elementem
ease to je statisticky
ze v pocatecnim
(i
tI za t2 a naopak.
v rovine tl, t2 (viz Obr. 2.2)
integrace
t2
2.3 Pravdepodobnost kvantoveho prechodu
- to)
promenne
1
1121 Af>g~(tO))
+
-
38
KVANTOVA
TEORIE
KOHERENCE
Kapitola 3
Zvlastni stavy elektromagnetickeho
pole
Elektromagneticke
proto
pole interaguje
obecne
ve smfsenem
Schrodingerove
reprezentaci
s okolnfm
stavu,
popsanem
je statisticky
prostredfm
statistickym
operator
obecne
vzdy a nachazi
se
operatorem.
Ve
zavisly na case.
3.1 Rovnovazne zarenl
Ve stavu termodynamicke
tikou teplota.
nou teplotou
rovnovahy
Kazdy podsystem
a vsechny
je zakladni
makroskopickou
je v rovnovaznem
makroskopicke
stavu,
charakteristiky
Je-li uvazovanym
podsystememelektromagneticke
statisticky operator 'za psat ve tvaru:'
charakteris-
urcenem
jsou nezavisle
rovnovazna case.
pole, je mozne jeho
ii
e-pt
(3.1)
0= Tr(e-~)'
kde
jj = ~
ftw,\
(n,\
+~)
(3.2)
-
II'
I
KVANTovA
40
je hamiltonian
pole, 0 nemz uvazujeme,
elektromagnetickeho
nova konstanta.
TEORIE
KOIIERENCE
STAVY ELEKTROMAGNETICKEHO
O'~"(O'~)m;I nJl><mJlI,
e_lo"e_~12 J"e-~i'
1
(3.3)
(nw ImW
~
(!
operator
zapsan
ve tvaru:
~
F
= Tr(F)'
Cilem dalsich
F
uprav operatoru
je zapis p v Glauberove-Sudarshanove
o"e-~
e
F
tegral
vynasobime
operatoru
jednotkovym
projekce
operatorem,
koherentnich
vyjadrenym
eIIJl
2. Koherentni
~
F
jako in-
Zavedeme-li
stavu:
F
(3.5)
L).~~n~III' J -;1 10'1,><0'1'I d 2 0'1'
(3.6)
J -;e
1 -~~Tn"
(3.7)
kT
1O'Jl><O'I'
stavy rozvineme
.
= IIJl J d20'Jl L L
m" n"
1
stavu,
3.]
takze:
20'n" (0'.) m.
Ow
_e-.#-n"e-1o"'
Jl
I'
(nJl!mp!)2
7r
F
1
Pro vypocet
sentaci:
k tomu,
vine je roven
exponenciale
ze naznaceny
nule, vyjma
nahradit
vlozit jednicku
zapsanou
nJl
integral
pi'ipadu,
vyrazem
kdy
(nJl
v libovolne
nJl
=
+ mJl)/2
mJl,
komplexni
je mozne
a soucasne
ve tvaru:
Statisticky
(!~
I
12
·1
1
(3.9)
tribucni
nezavisle
Ow
~
1 I nJl><TnJlI,
(3.11)
I.
prom~nou
(3.12)
(3Jl
= O'Jle-~,
potom je
;r
2
FJl
vyuzijeme
Ow
operator
= IIJl--(e~ 7r -
Z uvedeneho
'w
e- o"e-ifif
e o"e-~Ow l' _-
)m
(3.14)
J d2(3 Jl7r-eTre-I.B"I (e -I) 1(3Jl ><(3Jl' I
-
0'1' ro-
do souCinu
~.
J d(3Jl-;em-e-.B"1
2
1
I 2( e<T-I
~
(3.8)
v prvni
a*
(3.13)
(e~
3. Vzhledem
jJ
n (
ve tvaru:
stopy operatoru
Tr(FJl)
I np><mJlI.
Q'
Jl I Jl,
(nwTT1W)2
100Jle-m><O'Jle-m
12
zapsat
1
[IDl
do baze Fockovych
~12
I
IIJlF",
ITJl
1 d 2 O'w
12
~
Ow
I
novou komplexni
mozne operator
F = Fi
2
II Jl J ~
7r d20' Jle-1o"12
re-
prezentaci.
1. Operator
Ow
1
- 0 e- ~I:T
L
L e-m-(n"+m")e"
m" n"
(3.4)
(3.10)
't
o"e-~
2
II Jl J 7r
- d20' Jl e-1o"1 e
muze byt statisticky
41
POLE
k je Boltzman-
OznaCfme-li
= e- L~T-tii~,
F
ZVLAsnii
rl e~
kT
1
rovnovazneho
1)
Glauberovu-Sudarshanovu
(3.15)
)
(3.16)
•
zareni je tedy mozne
psat ve tvaru:
J d 2{3Jle -I.B" (e;r-I) I{3Jl><{3JlI.
(3.17)
12
je pak zrejme,
funkce je vlastne
repre-
ze pi'islusna
Glauberova-Sudarshanova
kvazidis-
soucin gaus.w11,~kYchJunkd
a~
e ~n~
ta kZe
F
L -eII " J d2 O'Jl L
1
mJ! n~ 7r
<PN({O:.\})
2kT ( n"+m")e-!o"1
Ow.
2
7r n.\
= II.\-(-),
kde bylo pi'ijato oznaceni
(n.\) pro sti'edni hodnotu
(3.18)
poctu
fotonu
v m6du A:
-
KVANTOVA TEORIE KOHERENCE
42
lID]
3.2
(e
3.2
(3.19)
Tr(gnA),
(nA)
~ It!
kT
(3.20)
-
43
ZVLASTNI STAVY ELEKTROMAGNETICKEHO POLE
a,a
soustava
'ljJj
disipativni
bj,
bj
B
A
dynamicka
- -+
soustava
w
Tlumeny mod
Optickemu
(take laserovemu)
du (prostorovych
obecne
usporadani
izolovany
hmotnym
rezonatoru
pole s definovanymi
od okolnlho
prostredim
uvnitr.
prostredi.
Statisticke
presentovany
statistickymi
vlastnostmi
ru. Jsou urcene interakd
m6du s
1. aktivnim
prostredim
toru, vyvedenym
2. okolnim
sledovat
0 statisticky
harmonickym
ratorem
system
kreacnimi)
ze znalosti
il
mediem
S
dynamicke
w a anihilacnim
harmonickych
operatory
il teto
hamiltonianu
=
(tlumid)
oscilatoru
bj (resp.bj).
rovnovahy).
\lAB
3.2.1
operatoru).
V Heisenbergove
reprezentaci
Heisenbergovou
rovnici:
reprezentovane
da
kreacnim)
dt
ope-
vychazi
soustavy:
a obdobne
[a,
rovnice
-iwa
je casovy vyvoj anihilacniho
a popsan
operatoru
il] ,
(3.24 )
- i
(3.25)
Lj Kjbj.
pro anihilacni
-dbj =
obou soustav
bez vza-
dt
Dynamika
operatory
-2<//'
'.1. b . - lK,a
. *~
J
soustavy
diferencialnich
pusobeni
= hw (a+a + 1) + L h'ljJj Cbjbj~ + 1)
(3.23)
.
'ljJj a anihilacni-
popis chovani
(3.21)
J
i~
=
se modeluje
Ho + \lAB,
2"
=L
(hKjbja+ + hKjbja)
j
Heisenbergova-Langevinova
zavislost
Ho
-
interakce
pole a budeme
soustava
s frekvencemi
Kvantovy
kde prvni cast na prave strane je celkovy hamiltonian
jemneho
(resp.
cast je hamiltonian
rovnovahy)
statistickeho
soustavy
m6du
rezonato-
se uvnitr rezona-
ve stavu termodynamicke
vyvoj jemu prlslusneho
frekvend
Obr. 3.1: Model tlumeneho
zareni jsou re-
m6du optickeho
nachazejidm
a (resp. a+). viz Obr. 3.1. Disipativni
mi (resp.
laseroveho
a
a druha
model tlumeni
oscilatorem
jako spocetny
rezonatoru
na jediny m6d elektromagnetickeho
jeho vyvoj (presneji
Jde
vlastnosti
m6-
M6dy nejsou
se zrcadly
buzenim ze stavu termodynamicke
(zpravidla
Nyni se soustredime
spektrum
frekvencemi).
interaguji
vybranych
(Iaserovym
vnejsim
prostredim
prlslusi jiste diskretni
J
J'
bj soustavou
pro vsechna
je tak popsana
rovnic pro anihilacni
Heisenbergovych
rovnic
j.
soustavou
operatory.
(3.26)
spocetneho
systemu
Predpokladame-li,
linearnich
ze casova
a(t) je dana, je mozne nalezt reseni rovnic (3.26) ve tvaru:
(3.22)
2"
bj(t)
= bj(O)e-i,p;t
- iKj lot a(t')ei,p;(t'-t)
dt'.
(3.27)
-
KVANTOVA
44
Po dosazenf
tohoto
resenf do rovnice
(3.25)
dostavame
TEORIE
KOIIERENCE
integrodiferencialni
ZVLASTNI
da.
~~ =
-iwa
- i~I'>:/6j(O)e-i,p;t
J
Ve zvlastnim
pripade.
-
kdy je vazba
mezi systemy
lI'>:jI ~ 1, je mozne pm jiste kratke casove intervaly
a(t) vyvojem
bez zapocitani
vlivu tlumidho
velmi
tj.
kdyz
(3.29)
a(t')
==
a(O)e-iwt',
(3.30)
a(t')
==
a (t)eiw{t-t')
(3.31 )
LJ I'>:jbj(O)e-i,p;t-a
~~= -iwa-i
Jestlize
zeme
uvazovany
sledovat)
integralu
v pnbliznem
charakteristicky
je podstatne
delsi
00 a soucasne
nahradit
nez
*
behem
(resp.
vyuzit definicnfho
t),
I pro
kterych
je mozne
vztahu
zpusobeny
interakd
proces muhorni
mez
pro zobecnenou
tlumeni zpusobeneho
.
,= 27rw(w)
ktera
2
1I'>:(w)I
pro tak zvanou
vlivem reservoiru:
,
(3.38)
Langevinovu
si/u
= i L I'>:jbj(O)e-i,p;t,
L(t)
dt'(3.32)
(3.37)
2P J w(1f;: 1I'>:(1f;)12
d1f;,
soucinitel
a L(t)
tvaru:
~J lI'>:jJ2
e-i{,p;-W)tfotei{,p;-w)t'
cas (intervaly
=
~w
a(O)e-iwt,
muze by! zapsana
pro posuv frekvence
~w
casovy vyvoj
==
(3.28)
oznacenf
(3.36)
s reservolrem:
tj.:
a(t)
rovnice
+ ~w) a - -a
2' - L
kde bylo zavedeno
slaba,
aproximovat
systemu,
(w
1"Ovnici
I_ -
_
-dt = -t
(3.28)
~I'>:jl'>:j
lot a(t')ei,p;{l'-t)dt'.
J
45
POLE
k tzv.HeisenbeTgOVe-Langevinove
tfm dospejeme
rovnlcr:
takze
STAVY ELEKTROMAGNETICKEIIO
(3.39)
j
reprezentuje
stochasticky
vliv okolnfho
Langevinova
slla je vyjadrena
pomod
ticka strednf
hod nota muze byt vypoctena,
prostredf
operatoru
tlumkiho
jestlize
na uvazovany
systemu
mod.
a statis-
je znam statisticky
ope-
funkci:
8+(x)
JorOO
=
takze
1
-8(x)
2
platf
da
dt
-iwa
ii
Vzhledem
-
i
1
+ -P-,
7r
i Lj
nym modem
L ----> J w(1f;)
cJ?N({,6j})
J
Statisticky
operator
rovnovazneho
= rr.e-TniT
)7r
(7r8(1f;j - w)
system
j k integraci
d1f;,
ovlivnen.
tlumfdho
~
(3.34)
-
mol velky pocet stupnu
pres spojitou
Stredni
+ 2i-.-P-)
~-w .
promennou
(3.40)
(nj)'
hod nota Langevinovy
slly je rovna nule, nebof:
volnosti, je mozne
1f;
s vahovou
~
funkd
(L(t))
tj.
w(1f;),
znatelne
system u Ize za psat ve tvaru:
I'>:jbj(O)e-i,p;t
Lj JI'>:l e-i{,p;-w)t
pres
(3.33)
X
k tomu, ze tlumid
prejit od scitani
rator tlumfdho systemu. 0 tlumfdm systemu se predpoklada,
ze mol v~lmi
velky pocet stupnu volnosti, a ze jeho celkovy stay neni interakd s vybra-
ei211"IIzdv'
(3.35)
Prave
=
uvedeny
soustavy
i Lj
I'>:je-i,p;t
zpusob
J e7r (njn; },6j
eliminace
rovnic pro reservoirove
d2,6j
(3.41 )
= O.
reservoirovych
a dynamicke
promennych
promenne
- prechod
k rovnidm
od
jen pro
-
KVANTOVA
46
dynamicke
ma
promenne
eliminace
dynamiky
byva oznacovan
reservoirovych
jako
promennYch.
tzv. markovovskych
TEORIE
KOHERENCE
Wiencrovo-Weisskopfovo
Je to pffstup
ZVLASTNi
Pred poklada me-Ii,
sche-
obecny
pro popis
ze pro korelacnt funkce Langevinovy
sHy platt:
STAVY ELEKTROMAGNETICKEIIO
operatoru
47
POLE
ze Glauberova-Sudarsha
nova
reprezentace
statistickeho
ma tvar soucinu
promennYch.
e~ I~Ae
[lli]
Prtmym ,~ypoctem
3.3
ukazte,
I (nT)
=
(L+(t)£(tf))
(L(t)L+(t'))
I
kde (nr) je strednt
hodnota
majt frekvenci
8(t - tf),
+ 1) 8(t
«(nr)
poau
fotonu
3.4
v tech m6dech
rezonatoru,
charakter'isticka
CN({3, t)
ktere
rovnice
-- J
ma tvar:
w
+ 6.w,
(3.45)
e-iw't-tt
u(t)
WI(t)
=
funkce
=
d2ail>
N
kde jsme uplatnili
,
(3.51 )
7r n,\
n,\-(-),
.:[
(1 '1/Ji-w'+
- ei(tPl-W')t-tt)
12
/(,IC-i./J/t
(a )e.8ll'(t)a'-Wu(t)an
J
,\,\
d2
e _M
,;;AY
{3 __
7r ( n,\ ) c.8wj.,(t).8j.,-Ww,(t).8,
,
= J d2ail>N(a)ef1u'(t)a'-Wu(t)aII,\c-If1,12Iw~(t)12(n,),
(3.44 )
kde
w
= il>N(a)
w. "
= u(t)ii(O) + I:
I WI(t)b(O),
ii(t)
potom
(3.43)
- tf),
,Ukazte, ze reseni Heisenbergovy-Langevinovy
~
il>N(a, {{3,\})
(3.42)
znamy
integral
(3 .52)
(3.53)
(dokaZte):
~
3,5
(3.46)
.
J e-sl'Y12+a'Y'+a''Y
(3.47)
Ve zvlastnim
poctu
fotonu
d2
,= -e' .
7r
oS
pffpade,
(3.54 )
QQ'
kdy je mozne
ve vsech m6dech
predpokladat,
je pi'iblizne stejna.
tj.(n,\)
ze stredni
==
hod nota
(n), plati:
a plati
lu(t)12
+ I:
I IWI(t)12 = 1.
(3.48)
,
e -1.812l:,lw,(t)12 (n,)
n,\e -1.812Iw,(t)12(n,)
e _11112
(n) I:,lw~(t)l2
(3.55)
,
(3.56)
e -1.812(n)( Hu(t)12)
3.2.2
Pro vyjadreni
casove zavislosti
senbergovy-Langevinovy
na reprezentaci,
CN({3, t)
=
Tr
statistickeho
rovnice (3.44).
kou funkci CNU3, t). Tato
nezavisi
(3.57)
Casovy vyvoj statistickeho operatoru
Vyjadffme
charakteristicka
kterou zvolime
vyuzijeme
reseni Hei-
kvantovou
charakteristic-
funkce je obecne
funkci casu.
pro vypocet,
(fl (t)efJa+ e -.8'a) ,
Tr (eH efJCi+(t)e~f1'a(t))
operatoru
a
charakteristicke
funkce,
pffslusejici tlumenemu
m6du,
ma
tvar soucinu
CN({3, t)
= CN({3u*(
t),
(3.58)
0)e-If112(n)(Hu(tJI2),
tj. platt:
(3.49)
.
a casova zavislost
(3.50)
kde CN({3u*(t),O)
je kvantova
nimu statistickemu
operatoru
kdyz za nezavisle
promennou
charakteristicka
funkce
v Glauberove-Sudarshanove
dosazujeme
pffslusejici
vyjadreni
pocatecil>N(a),
(3u*(t).
-
-
KVANTOVA TEORlE KOHERENCE
48
Hledana
Glauberova-Sudarshanova
pak inverzni
Fourierovou
kvazidistribucni
transformad
(3.58).
funkce
tedy konvolud
<PN(a, t) je
dvou funkd:
lal2
(3.59)
<PN(a,t)
= <PN (a)
u*(t)'O
®
a-",u.(t)
=J
Ve zvlastnim
nim stavu
,
pi'"ipade, kdy je vybrany
= /)<2)( 1/;-
jejiz stred se pohybuje
a jeji (na pocatku
funkce se postupem
vaze s okolnim
nulova)
casu blizi stavu
(3.60)
mod pole na pocatku
{3) je kvazidistribucni
v koherent-
funkce gaussov-
jen jediny
torn laseru. Tento mod interaguje
rezonatoru,
jednak
systemu
uzavreneho
podle schematu
systemu.
prostredim umfstenym
energii, jednak
s okolnim
prosti'"edf nenf od okolniho
a budid
pnjfma,
systemu
s aktivnim
Aktivnf
ma take svuj tlumid
mod optickCho rezona-
buzeny
modu dodava
mod tlumi.
svemu tlumfdmu
ne model
jednak
ktere uvedenemu
ktere tento
prosti'"edf od budidho
system.
odevzdava
pro-
Energii, kterou aktivnf
jednak
Ve shode
s uvedenou
reprezentovat
minimalne
laserovemu
predstavou
ctyrmi
modu,
je moz-
podsystemy
na Obr. 3.3.
,.
po spirale smerem
disperse
ke sti'"edu v pocatku
se zvetsuje
odpovidajicimu
a kvazidistribucni
termodynamicke
rovno-
(3.61 )
\YAk
,,-----,,-II
I I
HRF
HFHRA
'fFh
II II
VAF
prosti'"edim (viz Obr. 3.2), presneji:
<PN(a,
predpokladame
sti'"edi izolovano,
2
e (n) 1-Iu(')I)
' ...
,,~\ d21/;.
<PN(1/;,0)
113>, tj. <PN(1/;,0)
skou knvkou,
souradnic
Pro jednoduchost
prosti'"edim,
coz znamena
<PN(a, t)
3.3 Zaren! jednom6doveho laseru
uvnitr
7r(n)e (n)(l-\u(t)I')
(1-lu(t)12)'
49
ZVLASTNi STAVY ELEKTROMAGNETICKEHO POLE
HA
~
r
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
t)
I
I
I
I
I
'
,
L- V astnl system
I II
JL
o k0InI' prostrev
d'I I
_
--.J
Obr. 3.3: Model laseru
Obr. 3.2: Casovy vyvoj kvazidistribucnt
tlumeneho
harmonickeho
oscilatoru
funkce
Aktivni prostfedi (atomy, ionty, molekuly) a vybrany mod optickCho rezonatorn se nazyvajf vlastnim systemem laseru. Kazda z obou slozek vlastntho systemu
je tlumena
jinym
podsystemem
s velikym
mnozstvim
stupnu
-
~
'-
ZVLA.STNJ
KVANTovA
50
stemu
muze
byt obdobny
systemu
laseru,
tisticky
operator
vychazi
z Hamiltonianu
Ji
kde
mechanicky
popis celE!ho uzavreneho
jako popis tlumeneho
k Langevinovym
a smerovat
modu
v predchozi
TOvnicim pro dynamicke
nebo muze sledovat
poruchovou
promenne
teorii
Ji
celkovy
pri merenich
vany statisticky
pro redukovany
sta-
bez vzajemneho
soustav
(atomu)
interakce
V
rezonatoru).
a tlumici
system
operatoru
prostredi.
elektromagneticke
(reservoir)
(reservoir)
aktivnich
laseroveho
modu.
modem,
VAR, je hamiltonian
cimi a budicimi
kvantovych
elektromagnetickeho
Cely system
tistickym
ve Schrodingerove
Liouvillove
interakce
pole a pfislusnym
fj
(ve stavovem
reprezentaci
keho pole, neni nutne
Hamiltonian
(obecne
reservoiru.
interakce
tlumicim
prostredim
bylo
souCinu
ze me-
0 statistickem
je mozne
+ 6.e,
(3.68)
~tatisticke
operatory
ktere jsou urceny kazdy svou teplotou
operator
v prostoru
systemu
mezi laserovym
systemem.
prostoru
pak operator
vsech
ctyr
uzavreneho
sta-
podsystemu)
systemu
soustavu
ticke operatory
modem
k reprezentaci
do druheho
odvodit
a jeho tlumi-
za uzavrenY. Jeho stay je popsan
stavu
laseru).
dyna mickych
zapoCitavajid
a
tlumicich
6.e je
ma-
promen nych ja k
korelace
mezi pod-
8tati8ticky operator pro elektromagneticke
uplatnime-li
pres reservoirove
dvou integrodiferencialnich
elektromagnetickeho
metodu
poruchoveho
promenne,
je mozne
rovnic pro red ukovane
pole a aktivniho
statis-
prostredi:
oep
if/at
[(VAF)A,
(3.69)
ep] -
systemu,
zarenl:
(3;66)
Ut
.",OfjA
-"
at
+ VRF(t),
1000 [VAf·(t)
-iTrA,RF
vyhovuje
elektromagnetic-
celeho uzavreneho
interakce.
radu a stfedujeme
a
(3.65)
I
jen 0 mereni charakteristik
znat sta~i.~tickY operator
= TrA,RA,RF(fj(t)).
ve tvaru
Predpokladame-li,
vazba.
v case nepromenne
tak vlastniho
Prejdeme-li
poctu
a laserovym
"" ,"•
ale staci znat redukovany
ep(t)
prostfedim
mezi aktivnim
'
V pi"ipade, ze se zajimame
podsystemu.
zapsat
nezavisle,
ze ma tvar:
("reservoiru"),
la oprava
[VAF
fj] •
operatoru
systemu
jen mala statisticka
= eF(t)eA(t)eRFeRA
rovnici:
in ~e
vt = [Ji,
uzavreneho
byly navzajem
systemy.
mezi aktivnim
muze byt povazovan
operatorem
existuje
predpokladat.
systemu
(3.64)
a VFR hamiltonian
systemy,
pole
jako soucet
interakce
reduko-
(3.67)
operator
kde eRF a eRA oznacuji
aktivni
= v"IF + VAR + VFR,
kde VAF je hamiltonian
staci znat
(3.63)
tlumici system
je pak mozne vyjadrit
prostfedi
prostredi
vsech podsystemu
statistickych
zi podsystemy
puso-
= JiA + JiF + JiRA + JiRI.-,
(mod optickeho
v aktivnim
pro aktivni
vlastnosti
by mozne statisticky
e(t)
kde indexy A, F. RA a RF oznacuji
51
POI,E
TrF,RA,RF(e(t)).
redukovanych
(3.62)
vsech ctyr podsoustav
provadenych
operator
Kdyby statisticke
se
beni,
Ho
=
eA(t)
vlastniho
systemu:
hamiltonian
ELEKTROMAGNETICKEHO
kapitole
= Jio + V,
Jio je
sy-
v reseni tzv. fidici TOvnice. V obou pfipadech
a spocivat
STAVY
KOHERENCE
Obdobne
- re8enlOirem. Kvantove
volnosti
TEORIE
+ VRF
[(VAF)F,
-
(VAF)A
-
(VAF)F,
eF(t)fjA(t)eRF]]
dT,
(3.70)
fjA] -
-~Tl'FRA
h
'
Joroo [VAF(t)
[VAF+
VRA -
(VAF)A
+ VRA(t),
-
(VAF)F,
eA(t)fjF(t)eRA]]
dT.
-
KVANTOVA
52
V obou rovnidch
jsme vynechali
oznaeeni
nezavisle
promenne
pokud je rovna (t - T) a zavedli jsme znaeeni:
interakce
TEORIE
KOIlBRENCE
u hamiltonianu
(X)A
= TrA(XeA)
= TrF(XeF)'
a (X)F
Z rovnice
je mozne
odvodit
<I>N(a) statistickeho
=
dt
d<I>N(a)
reseni Fokkerovy-Planckovy
<I>N(a) bude cylindricky
rovnici
operatoru
{II~
aa . ~<I>N(a)
aa'
2Re
+ :a
eF v nasledujidm
<5js~u stredni
(3.71)
+
hodnoty
II,
di a reservoiru.
Je to Fokkerova-Planckova
fyzice pro distribueni
Greenova
G(
K,
funkce teto
Q'
" (3)
Ve zvlastnim
rovnice
stacionarnim
popis statistiky
mentelnych
funkci markovovske
eUI_e-Ui
!L..·r-,----=
aktivnich
(ktera
plati v klasicke
nahodne
promenne
=
27r
V ramci
mnohomodoveho
buzenym
modem
kde
11
= Re(~
-
Z uvedeneho
funkce
K),
funkci
a je soueasne
v rovine
kdy uvazujeme,
tj. laser je vysoko
ze budid
system
nad prahem,
dodava
muzeme
vyjadreni
1(31)
pro
ve tvaru:
(3.76)
lal
(3.74)
kde ). je modovy
popsat
(3.77)
1(312).
popisu
pole je mozne
laserove
zareni
s jedinym
funkd:
8 (la," -1f3,xI)II,x .x-8(la,xl),
27r la,x I
index buzeneho
of
27r la,x I
(3.78)
modu.
,
(t -> 00) stavu se Greenova
tvaru je zrejme, ze v ustalenem
blizi gaussovske
=
(3.73)
2i8) + -::;
2i8 (1- e-ut)
+ -::;
a v = Re(II).
souradnic
funkce
a).
(3.72)
(<>+M)OU1/2_80-U'/212
_ e-'Y/2t)e-'Y/2t
( (ii(O))F
8 (la/ -
<I>N(a,t)
<I>N({a})
_(e-ut
v poeatku
zareni vyuzit aproximativni
~8
7r (la12 1
se stfedem
pripade,
energie,
laseroveho
prostre-
kde
M
symetricka
na fazi, kvazidistribueni
a.
mnozstvi
rovnice ma tvar:
= -uv . ----etl
eut 2eut
- e-ut
t
rovnice nezavisle
3.4 Zareni idealniho jednomodoveho laseru
tvaru:
[K(ii)F+i<5+aG-K)]<I>N(a)},
kde soueinitele
eisel
53
POLE
pro Glauberovu-Sudarsha-
dostateene
statisticke
STAVY ELEKTROMAGNETICKEIIO
komplexnich
(3.70)
novu reprezentaci
ZVLASTNi
stacionarnim
resenim
rovnice
(3.71 ):
G(
a,
(3)
= 2u
-e'
v ~
Stred gaussovske
je cislo umerne
optickeho
(3.75)
2i812
"f
funkce je v bode _2i6 komplexni
'Y
pomeru
rezonatoru
tj. pracuje-li
a+I
vysoko
ani ridit poeateeni
soueinitele
zisku aktivniho
a-roviny
prostfedi
s disperzi {,u coz
a soueinitele
. Toto cislo je tim vetSi. eim je laser intenzivneji
nad prahem.
Vzhledem
k tomu,
fazi vybraneho
laseroveho
modu
ze neni mozne
ztrat
buzen,
urCit,
pole, bude i stacionarni
-
54
KVANTovA TEORlE KOHERENCE
Kapitola 4
Teorie opticke detekce
detekce (fotodetekce)
Teorie opticke
terakce zarenz s latkou, presneji
soustavami,
jadnt
ktere
souvislost
vlastnostmi
soustav
jsou
principialnf
vyvolava.
Prfkladem
snadno
kvantoveho
(v nemz je elektron
toveho
stavu
mu (obecneji
zdrojem
pozoruje
z mnoha
elektrickeho
o prftomnosti
soustava,
pozorovatelne
vazan
kvantovych
proudu.
vlastnostech
optickeho
a
soustavy
z jednoho
do jineho
vazan).
slozenem
mohou
elektrickou
kvantove
jadru
V detektoru
soustav
kvantovych
prechazf
jadru)
je vy-
kvan-
Elektron
z mnoha
byt uvolnene
(elektronickou)
ato-
elektrony
informaci
zareni.
Ukolem teorie detekce je stanovit
statistickych
zmeny
k atomovemu
soustav)
Poskytuji
elektromagnetickeho
diem
kvantovych
interaguje,
neni k atomovemu
se fotoefekt.
Jejfm
stavu
tn-
popisu
s kvantovymi
ktere zmeny v souboru
s niz zareni
(v nemz jiz elektron
volnym,
zmenami
zarenf,
Kvantova
na kvantovem
op1;ickeho zarenf
castf fotodetektoru.
mezi pozorovatelnymi
elektromagnetickeho
je ionizace.
se stava
je zalozena
interakce
zavislost
zareni,
zmen kvantovych
ktere na soustavy
soustav
na
pusobi.
4.1 J ednoatomovy dvouhladinovy detektor
Nejjednodussim
mode/em detektoru je kvantova
jen dve energeticki
soustava
hladiny, a ktera je v interakci
(atom),
ktera ma
5 elektromagnetickym
-
1Ii.\
KVANTOVA
56
(obecne
mnohom6dovYm)
0
polem.
obecne znamy (popsa ny statistickym
pokladame,
ze se na pocatku
(je na dolnf energeticke
hladine).
poli predpokladame,
pozorovanf
pravdepodobnosti
prechodu
soustavy
soustave
jsou zalozena
prechodu.
kvantove
stav je
pred-
nachazf v zakladnim
Nase pozorovanf
udaje 0 tom, zdali doslo ke kvantovemu
KOHERENCE
ze jeho
0 kva ntove
operatorem).
naseho
TEORIE
Teoreticky
stavu
TEORIE
OPTICKE
elektrickeho
interakce
pole
E. Zvolfme-li
interakcnf
reprezentaci,
bude mft hamiltonian
tvar:
yI(t-tO)
(4.3)
=_(dI.~)
na zjisfovanf
jde 0 odvozenf
ze zakladnfho
57
DETEKCE
do vzbuzeneho
= _ekHA(Ho);f
e-kHA(Ho)
. ekHB(I-lo)Ef
=
e-iHA(t-Io)
.2:= (a>.e-iw.>.(HO)v>.
_ekHA(Ho);f
C-kHB(Ho)
(4.4)
+ h.8.)
(4.5)
>.
stavu zpusobem
uvedenym
Pro urcitost
poli jako 0 soustave
stavy:
zakladnf
a vzbuzeny
hodnoty
jako 0 soustave
B. Pr~dpokladame,
ze hamiltonian
- oznaceny
energie
2.
0 atomu
- reprezentovany
Soustava
jako
stavovYm
(angl.
Ie>
vektorem
"excited").
A, 0 mnohom6dovem
HA ma jen dva vlastnf
Ig>
(angl.
"ground")
K nim pffslusejf vlastnf
B je soustava
= -(+)
E
+ -H
E
,kde
cast operatoru
harmonickych
-(+) (resp.j<j·)
-:=:;.(-)
E
oscilatoru
elektrickeho
je kladna
popsana
hamiltonia-
pole odpovfda
(resp. zaporna)
predpokladame,
a dip610vy moment
vy element
d· E je
kvantove
interakce
Ig> do stavu
=
pole, ktere ve shode s (1.4) a (1.6) mo-
Integral
(resp. kreacnfch)
podstatne
(4.1)
slozek d a E a matico-
kvantovemu
prechodu
soustavy
(4.6)
+
(a>.e-iW.>.(I-lo)v>. h.s.).
>.
anihilacnfch
~
pffslusejfd
po-
ma tentYz smer. Uvazovany
kartezskych
<eldSlg>e;(E,;Eg)(Ho).
. 2:=
elektrickeho
= 2:= a>. v>.
soustavy
pole je linearne
Ie> je pa k roven:
frekvencnf
jednotlivych
ze elektricke
pak roven soucinu
hamiltonianu
<elyI(t-to)lg>
pomod
operatoru
zjednodusenf
operator
m6du
E
larizovane
skalarnf souCin
intenzity
hou byt zapsany
-(+)
v zajmu
A ze stavu
Eg a EP..
fiB = L:>./iw>.(ata>. + !). Intenzite
nem
-E
v Kapitole
uvazujeme
tohoto
maticoveho
delsi nez perioda
elementu
pres casovy
jednoho
[I dt2<e /VI (t2 - to) Ig>
ho
==
optickeho
interval
(t -
to), kterY je
kmitu je pfiblizne
[I
<e I as I g> ho dt2eiw,g(12-lo) .
roven:
(4.7)
. ""
L., a>.e
- -iw.>.(t2-IO) v>.
>.
>.
(4.2)
E-(-) -- ""
L., a>.
-+ v>.,
•
>.
kde
v>.
je m6dova
prostoru
_
funkce intenzity
elektromagneticke
ve soustavy
netickem
energii
pole (obecne
vektorova
funkce
na predstave,
ze intenzita
elektrickeho
na elektricky
nabite
a casu).
Model interakce
naboje,
elektrickeho
vlny pusobi
(atomu)
takzeje
je zalozen
a vyvolava
mozne uvazovat
poli jako 0 elektrickem
dip61u v elektrickem
toru dip61oveho
momentu
opacny
posuv teziste
0 kvantove
dip6lu.
soustave
Hamiltonian
poli a je roven skalarnfmu
kvantove
soustavy
da
castice
kladneho
(atomu)
interakce
soucinu
vektoru
uvnitf
pole
Obdobne
[I
Jlo
<eld"'Slg>
dtl<glyI(tl
_ to)le>
==
(4.9)
<gldsle>.
.Jlo[I dtle-iw'9(tl-10)EH(t1
a zaporneho
Y odpovfda
TakZe pravdepodobnost
vaneho
- t(J1.8)
pak
kvanto-
v elektromag-
[I dt2eiw,g(t2-lo)E(+)(t2
110
stavu
prechodu
Ie> v casovem
atomu
intervalu
ze zakladnfho
(t -
_ to).
stavu
Ig> do excito-
to) je dana pod Ie (2.18) vztahem
vektoru opera-
operatoru
intenzity
p(t,elto,g)
= 1i--;Jlo[I dt2 [I dt1TrB
110
(l<eldlg>12
eiW,g(tl-12) .
(4.10)
-
KVANTOVA.
58
. E(+)(tl
- to){?B(to)EH(t2
1
dt2
ze ktereho
12
hoduje
[I
Jlo
(4.11)
dtleiw,g(/1-/2) (EH(t2
- to)E(+)(tl
tl)
TrB (goEH(t2
(EH(t2
hodnota
detektoru
uvazovaneho
kvantoveho
prechodu
roz-
- to)E(+)(tl
(4.12)
- to))
argumentu)
a je realnou
funkci
funkci umernou
druMho
plosne hustote
vykonu
0 stacionarnim
k uvolneni
dochazi
zareni a mnohoatomovem
k vnejsimu
fotoelektronu
fotoefektu),
za jednotku
sirokopasmovem
W,
pravdepodobnost
casu bude umerna
intenzite
nebof:
W
=
/)'P
(4.17)
/),t
(4.18)
8 (EH(t)E(+)(t)).
tj. kvantova
korelacni
meritelnou velicinou.
funkce
druMho
hidu
. Prave
tato
funkce
je tedy
Ukazali jsme
mj., ze mereni
chazi k prenosu
operatoru
4.2 Mnohoatomovy detektor
Realny detektor
frekvenci
kvantoveho
vyskytu
dana
atomu
prechodu
s frekvenci
Weg,
s vahou
w(weg)
integralem
v jednotkovem
s
byva slozen z mnoha atomu,
intervalu
ktere se navzajem
Weg. Je-li w(weg)
je vysledna
umernou
v okoli
hustota
hustote
poctu
mohou
lisit
pravdepodobnosti
pravdepodobnost
P(t)
prechodu
atomu
s frekvenci
1
fi2
weg
v
pripade,
chodu,
dt2
momentu
bude se integral
podobnost
dtleiw,g(tl-/2) (EH(t2
[I
J10
ze je mozne detektor
dulu dip61oveho
(4.14)
elto, g)w(weg)
kvantoveho
povazovat
pres
weg
prechodu
=
l<el~~g>12W(Weg)
tedy operatoru
do-
odpovida
intenzityzareni
pi'. v maserovem
jfH(t),
zesilovaci),
tedy operatoru
zareni,
ktery operator
odpovida
intenzity
iN(t)
i iA(t)
tedy jedne
je spravnym
operatoru
mei'itelne
zareni s antinormalnim
jsou
usporadanim.
kvantovemechanickymi
"mei'itelne"
zobecnenim,
= E(+)(t)
iA(t)
veliciny
v klasicke
rozhoduje
zvolena
zobecnenimi
optice.
merid
0 tom,
metoda.
4.3 Younguv interferencni experiment
za sirokopasmovy
na frekvenci
blizit zobecnene
- to)).
a velikost
kvantoveho
mopre-
funkci 8(tl - t2) a pravde-
Schema
Youngova 'interferencniho
klada se, ze zdroj optickeho
Ql je umisteno
stinitko
jimz prlslusi polohove
bude rovna:
1: dt2(EH(t2
= EH(t)E(+)(t),
&(t)
(ve kterem
pole k detektoru)
[:IDJ
UkaZte, ze mereni detektorem,
ve kterem jsou atomy na pocatku vexci4.1 tovanem stavu Ie> a ucinkem zareni prechazeji do zakladniho
stavu Ig> (na-
jsou rovnomerne
P(t)
absorpcniho I detektoru
(4.15)
- to)E(+)(tl
nezavisi vyznamne
pomod
od elektromagnetickeho
usporadanim.
Oba operatory
J dwegw(weg) l<eldlg>1 2 .
. J10
[I
energie
meritelne
normalnim
intenzity
= J dwegp(t,
P(t)
ra-
zaren i.
(4.13)
- to)E(+)(tl - to))
= (EH(t)E(+)(t))Korelacni
G(2)(t, t)
(ve kterem
ze dojde
59
DETEKCE
Uvazujeme-li
zareni,
=
OPTICKE
(intenzitej
- to)),
velicina
G(2\t2,
TEOlUE
Stredni
- to))
.
ze 0 rychlosti
je patrne,
KOilERENCE
du (stejnych
-
j=11<e Idlg>
. J10
[I
TEORIE
- to)E(+)(t2
- to))
(4.16)
emulze).
zareni je umisten
se dvema
vektory
rozmisteny
experimentu
sterbinami
je na Obr. 4.1. Predpo-
vlevo od roviny
se stredy
rl a r2. V rovine Q2 rovnobezne
absorpcni
detektory
Q\.
v bodech
V rovine
PI a
P2,
s rovinou QI
(napr. ve vrstve fotograficke
-
TEORIE oPTrcKE
KVANTOVA TEORIE KOHERENCE
60
Qr
Q2
..!l
IJ:I _
-8---t-;
Z
Ve zvlastnim
pi'ipade,
WI(r, t)
=s
B
W2(r, t)
=
Z vyrazu
trickeho
E(r, t).
pole,
Q2 je vysledna
o dobu,
= KtE(rr,
kde r), r2 jsou
plexnf
tl
=
soueinitele.
ktere
intenzite
zarenf.
vektory
bodu
na
geometrii
zavisli
=
presneji
normalne
r)
vektorem
poli od dvou sterbin,
ve stinitku
P2 a
Pt,
v rovine
k pozorovadmu
t - tl)E(+)(rJ, t - tl)),
(4.22)
s IK212(EH(r2'
t - t2)E(+) (r2, t - t2))'
(4.23)
KI,
poctu
bude umerna
(4.21) je patrne,
od jednotlivych
Casova
cetnosti
korelacni
Zakon
=
s (EH(r,
kee dr1thiho
0 superpozici
intenzit
elektrickych
kom-
popisuje
(4.24)
= (EH(rr, tr)E(+)(r2,
rdd1t a I(r, t) = G(2)(r, t; r, t).
t2)) je kvantovd korelacnz f1tn-
je nenulovy
interferenei.
jen tehdy,
Normovana
kdyz jsou obe sterbiny
komplexnf
korelaeni
otevrene,
funkce
zpozdeni
detekd,
'Y
,
a tedy
-=========
(2)(rr tr'r2 t2) - G(2)(rl, t - tl; r2, t - t2)
",
- JI(rr,t-tr)I(r2,t-t2)
je soueasne
funkci
(4.20)
poli (4.19)
[G(2)(rl,
tt; r2, tt -- t2)]
JI(rr, t -t -tr)I(r2,
t2) ,
ale
4.3.1 Komplexni stupeii koherence
kvantovych
t)E(+)(r, t)).
nenf sou-
bodu:
obecne
excitovanych
signal od obou sterbin
sterbin,
= WI + W2 + 2v'WI W2Re
TIeti elen v (4.24)
K2 jsou
ze vysledny
mei'itkem
viditelnosti
vazby pole v prostoroeasovych
W(r, t)
pozoruJeme
IKd2 (EH(rr,
kde G(2)(rl, tr; r2, t2)
(4.19)
experimentu.
usporadane
W
elek-
zpozdenych
t - t2),
Ir - r21Ie. Hustota
tvoi'f plosny detektor
slozce intenzity
(s polohovym
+ K2E(r2,
t - tl)
polohove
Ir - rd Ie a t2
soustav,
P
dana superpozid
ctem ..signalu
experiment
jen 0 jedne
se svetlo siri od sterbin
po kterou
E(r, t)
interfereneni
V case t v bode
intenzita
zakryta,
resp.
P2
teorie uvazujeme
PI)
P2 (resp.
r2---=-
I
V ramci tzv. skalarni
kdy je sterbina
v rovine Q2 signal
P
A
Obr. 4.1:,Younguv
61
DETEKCE
platf i pro anihilaeni
nazyvana
1m]
komplexnzm
Obecne
interferend
bodech
, neboli mel'ftkem statisticke
(rl' tr)
a (r2, t2)' Tato funkce
st1tpnem koherence (druheho
platf (dokahe),
(4.25)
byva
radu).
ze
4.2
(resp.
kreacni)
W(r, t)
casti operatoru
=
intenzity
s (IKd2 (E(-)(rr,
+ IK212(EH(r2'
elektrickeho
pole. takze
(4.26)
~ 1.
V pi'ipade, ze je modul komplexnfho
t - tr)E(+)(rr, t - tt)) +
t - t2)E(+)(r2, t - t2)) +
+KIK'; (E(-)(rr, t - tl)E(+)(r2, t - t2)) +
+ Kj K2 (EH(r2'
o ~ h,(2)(rl,tr;r2,t2)1
.
t - t2)E(+)(rl, t - tl))) .
(4.21 )
vany signal roven souctu
pozorovany.
komplexnfho
Pole byva oznacovano
stupne
stupne
koherence
signalu od jednotlivych
koherence
roven nule, je deteko-
sterbin.
Interference
nejsou
jako nekoherentnz. V pi'ipade, ze je modul
roven jedne,
jsou interference
nejvyraznejsf,
-
KVANTOVA
62
za kohereritni.
pole povazujeme
castecne koherentni.
komplexniho
Mei'itkem
stupne
Ve vsech ostatnich
castecne
koherence
TEORIE
KOHERENCE
TEORIE
jde 0 pole
pi'ipadech
OPTICKE
ma tato
je prave velikost modulu
rovnice tvar:
=
W
koherence.
Vzhledem
4.3.2
r,
Staciomirni a kvazimonochromaticke pole
63
DETEKCE
+ W2 + 2.jWI
WI
k tomu,
W2!BI2(r)1 cos(Adr)
ze IBt2(r)1 a AI2(r) jsou pomalu
je mozne v okoli kazdeho
bodu
dickou funkci, jejiz maximalni
Nahodny
jev je povazovan
rakteristiky
jsou nezavisle
ze pro stacionarni
ce zaviset
na zmene
pocatku
kdyz vsechny
pocatku
elektromagneticke
na zmene
casovych
za stacionarni,
odecitani
makroskopicke
stupen
Viditelnost (visibilita,
casu, tj. muze byt jen funkei rozdilu
souradnic:
na (podobne
jen m6dy s kruhovou
frekvenci
v
(4.27)
navfc 0 pole kvazirnonochrornaticke,
Jde-li
maji nenulovou
w,\ blizkou jiste
stredni
frekvenci
a plati
4.:J
=
stupen koherence stacionarniho
nalu ,(2)(rl, tlj r2, t2) ma tvar (odvod'te):
,(2)(rl, tJ; r2, t2)
kvazimonochromatickeho
sigW2),
e-iWO(tl-t,)B' (rt, r2, (tf - t2)),
(4.28)
B 12 (r )eiwor,
(4.29)
srovnani
toru m.
s casovym
kde'T
intervalem
funkce casoveho
l/wo),
index
t2
zpozdeni
se vztahuje
r
= t2 - tl
k polohovym
je mozne zapsat
= WI + W2 + 2.jWI
~
=
Ir1-rHr,-rl.
c
Zapiseme-li
dale korelacni
funkci BI2(r)
v polarnim
=
!B12(r)1 eiA,,(r)
(4.31)
modulace
v radiote~hnice)
vztahem
,
(4.35)
[IDJ
lID]
4.6
(4.36)
kdy signaly
od obou
obrazcu
korelacni
sterbin
jsou stejne
roven modulu
velke (Wt
korelacni
funkce:
nejvetsi.
(4.37)
funkce je roven jedne,
V minimech
Ukazte, ze 1,(2)(rj,tl; r2, t2)1
funkce faktorizovatelna,
tj. plati
je obecne
4.5
BI2(r)
obrazcuv je definova-
je kontrast
interfe-
je signal roven nule (merena
energie
zarenl je nulova).
I,(rl, tIj r2, t2)!
(4.30)
tvaru
interferencnich
interferencnich
ze modul
obrazcu
dopadajiciho
do tvaru
W2Re [Bd r )eiwor],
kontrast)
= IBI2(r)1 = 1,(2)(rJ,r2,r)\.
V pi'ipade,
(ve
vek-
(4.34)
+ W2)
pi'ipade,
je kontrast
v
4.4
Rovnici (4.24)
W
promenna
jako hloubka
2(WI
rencnich
kde BI2(r) je pomalu
signal za kvaziperio-
Wmax a Wmin jsou:
(4.33)
Wmax - Wmin
Wmax + Wmin
Ve zvlastnim
Komplexni
detekcni
hodnoty
= 4y'WlW;"IBdr)l.
v
w,\ = Wo + t.w,\ a t.w,\ ~ woo
[lli]
realne funkce
a je tedy rovna
amplitudu
Wo
promenne
= WI + W2 + 2.jWIW2IBj2(r)!,
Wmin = WI + W2 - 2.jWtW2IBI2(r)l·
koheren-
,(2)(rl, tl; r2, t2)= B(rJ, r2, (t2 - tl))'
(4.32)
Wmax
casu. Z toho vyplyva,
pole nesmi komplexni
odecitani
cha-
povazovat
a minimalni
+ wor).
komplexni
= V*(rJ,
=
Mereni v poli idealniho
nich obrazcu, dokazte.
kdyz je tate
stavu
prostoru
ra
casu
t.
I{Q',\}> pak je 1,(rt,tt;r2,t2)1
laseru vede k maximalnimu
korelacni
(4.38)
td . V(r2, t2), kde VCr, t)
funkce souradnic
Je-li pole v koherentnim
dokaZte.
1 prave tehdy,
kontrastu
=
I,
interferenc-
-
KVANTOVA.
64
TEORIE
KOIIERENCE
TEORIE
OPTICKE
65
DETEKCE
funkce)
Z2
~~
12
_- ~
IC(2)(r, t; r, t
"
J:'
..L1_~
,:m--"""-J-c;;-r-
-----1/'----m
,,
~:7
D
ZI
Michelsonova
korelacni
je roven jedne
S
ukazat,
nezavisejid
kterem
4.4 Michelsonuv interferometr
Mereni kontrastu
1/ pomod
da vyhodnocovani
cetnosti
nalu, ktere jsou jeden
odpovidajid
popis
=
oproti druhemu
merene
Vysledny
pro stacionarni
¥
ramenech
veliciny detektorem,
analogicky
signal je umerny
pole nezavisi
ktery
na case
t,
=
je modul
funkci
2
Ma-
zareni
Koherencni
v poli
korelacni
t;
ale jen na casovem
r, t
+ T),
dluzovanim
zavaden
posuvu
doba predstavuje
Vzhledem
z ramen
tisticke
tzv. casove koherence
Posuvem
zrcadla
zrcadle
(zmenou
zmeny urovne detekovaneho
jako viditelnost
l/
je take
=
interferencnich
D Michelsonova
delky drahy
signalu.
interferometru.
II nebo
12)
dosahneme
Hloubka modulace definovana
obrazcu
modulu
jako funkcional
nad
k tomu,
Ikoh
pi'i kterem
ze se toto
signal jeste
zpozdeni
byva namisto
= CTkoh,
kde
C
vazby v elektromagnetickem
poli v jistem
dosahuje
koherencni
je rychlost
delka jsou tedy mei'itkem
interprodoby
svetla.
doby trvani sta-
bode prostoru,
jsou meritky
.
periodicke
4.4.2
obdobne
Wienerova-ChinCinova veta
Wienerova-Chincinova
(4.39)
vetaje vztah mezi spektralni
keho zareni) a korelacni funkd
normovane
kohe-
od nuly, se nazyva
vztahem
Wmax - Wmin
Wmax + Wmin
rovna
k nule a
Tkoh, na
(4.41 )
interferometru,
doba i koherencni
vektorem
delidm
norm ova-
.
casove zpozdeni.
koherencni dilka
parametr
Koherencni
odlisny
doba definovana
t; r, t + T)I dr
t; r, t + T) IdT
fa I,(2)(r,
T
mezi signaly prichazejidmi
z ruznych ramen. Korelacni funkce obsahuje jen jednu prostorovou
souradnici,
ktera odpovida bodu s polohovym
r na
funkce vyrazne
funkce
nule. Dale je mozne
pole je modul
+
byva koherencni
~r(2)(r,
jednoho
T rovno
zpozdeni
korelacni
napr.
feruje sam se sebou.
mereni v Youngove
,(2)(r,
_
Tkoh -
normovane
T)I funkd T monotonne
klesajid
casove souradnice It. Casovy interval
pocatku
sig-
(II-h),
c
interferometru.
absorbuje
popisu
korelacni
T
ze modul
kvazimonochromaticka
1,(2)(r, t; r, t
funkce
na volbe
1,(2)(r. t; r, t + T)/.
(Obr. 4.2) odpovi-
ze dvou stejnych
0 casovy interval
zpozdeny
ze dvou svazku, je naprosto
experimentu.
ktera
interferometru
vyplyva,
vzdy, kdyz je casove
rencni dobou. Presneji
v poli slozenem
rozdilu delek drah v jednotlivych
tematicky
slozenem
Michelsonova
fotodetekd
funkce
ze pro stacionarni,
ne korelacni
interferometru
(4.40)
Koherencni doba, koherencni delka
Z definice
~7
..
...
Obr. 4.2: Schema
4.4.1
1
I
~7
+ T)I
= 1,(2)(r, t; r, t + T)I = JI(r, t)I(r, t + T)
l/
korelacni
funkce
(presneji
autokorelacni
Muze
-
byt odvozena
druheho
primo z definice
funkd
(signalu,
radu. Plat! jen pro stacionarni
korelacni
funkce
C(2)(r,
t; r, t
opticsignaly.
+ T) =
.-
KVANTOVA
66
(iEH(r,
t)E(+)(r,
t
zity elektrickeho
+ T)),
kdyz za operatory
pole dosadfme
anihilacnf
rozvoje do m6dovych
TEORIE
TEORIE
IWIIERENCE
a kreacnf casti inten-
Vztah
zejmena
funkd:
OPTICKE
(4.46)
tehdy,
67
DETEKCE
se vyuZiva pro odhad
kovem pffpade je totiz koherencnf
E(+)(r,
(4.42)
l:a,\eiw>.tv,\(r)
t)
,\
EH(r,
l:
t)
(4.43)
ate-iw>.tv,\(r),
,\
ta kze:
G(2)(r, t;
r, t + T) = l: l: (ata,\')
Je-li pole ve stacionar~fm
ei(w>.-w>.,)te-iw>.'T
v~,(r)v,\ (r).
,\,
,\
stavu,
je statisticka
strednf
hodnota
(4.44)
=
(ata,\,)
8u' (n,\) a
G(2)(r, t;
r, t + T) = J w(w,\)
Iv(r,w'\)12
= w(w,\)
(n(w,\))
Funkce S(w,\)
i'enf v bode r.
Sifka
spektralni
jako interval
frekvend,
Korelacnf
G(2)( T) stacionarnfho
funkce
energie
S(w) jsou tedy obrazem
T ohoto
vztahu
se vyuZiva ke stanovenf
kvazimonochromatickych
bot: obecne,
a obrazem
signalu
pro dvojici funkd
Fourierovy
razu je bezrozmerne
nad spektralnf
energie
hustotou
na kterem je spektralnf
konst.
herencnf
v rozmezf
s jednfm
nahodneho
a vzorem
za-
S(w).
hustota
hlavnfm maximem,
funkd.
Ne-
ktere jsou vzorem
platf, ze soucin sfrek maxim vzoru a ob-
cfslo radu jednotek.
Pro sfi'ku spektra
(spektralnf
hustoty
dobu Tkoh platf tedy vztah:
(4.46)
pro ruzne tvary
doby i sfi'ky spektra
1 az 10.
a spektralnf
transformace.
car stacionarnfch
merenf korelacnfch
= konst.,
je ruzna
signalu
Fourierovy
sfi'ek spektralnfch
na zaklade
transformace.
b.w a koherencnf
b.w . Tkoh
kde
hustota
(4.45)
nenulova.
hustota
zarenf)
e-iW>.Tdw,\.
je spektralni
car'y b.w je funkcional
Muze byt definovana
vyrazne
Iv(r,w'\)12
(n(w,\))
spektralnfch
i na tvaru spektralnf
car, zavisf na definici
ko-
cary, obvykle se pohybuje
delka lkoh dobre mefitelna.
ke stanovenf
sfrek velmi uzkych spektralnfch
kdyz jsou mensf nez rozlisenf dostupnych
spektralnfch
doba Tkoh pomerne
Michelsonuv
vlastnostf
spektrometr
zareni.
spektrometru.
car,
V ta-
velka a tfm koherencnf
je tak mj. mozne vyuZit
68
KVANTOVA
TEORIE
KOHEltENCE
Kapitola 5
Zobecnena teorie koherence
5.1 Korelacni funkce vyssich radii
v
predchozi
kapitole
bylo ukazano,
ze korelacni funkce druheho
radu
C(2)(r, t; r, t) = (EH(r, t)EC+)(r, t)) je umerna pravdepodobnosti, ze za
jednotku casu v miste a v case t dojde k premene kvanta energie rezonanc-
r
niho zareni v excitacni energii kvantove soustavy. Obdobnym postupem se
da ukazat, ze korelacni funkce Ctvrteho hidu
C (4) (rl,tJ,r2,t2,r2,t2,rl,tl)
.
-_
E (rl,tl)E -C-) (r2,t2)'
(-C-)
(5.1)
·EC+)(r2, t2)EC+)(rl, tl))
vyjadruje podminenou
kvanta detektorem
pravdepodobnost,
umistenym v bode
v okoli casoveho okamziku
ze dojde k absorpci rezonancniho
rl
v jednotkovem casovem intervalu
tl a soucasne k absorpci detektorem umistenym
v bode r2 v jednotkove casovem intervalu v okoH casu t2.
Obecne pak korelacni funkce 2n-teho f6.du
cC2n)(rr, tl, r2, t2,· .. , rn, tn; rn, tn, ... ,r2, t2, rr, tl)
= (-C-)
E
(rl, tl)E-(-) (r2, t2) ... E
-C-) (rn, tn)'
.E-C+)(rn, tn ) ... EC+)( r2, t2 )E(+) (rr, t))1
=
(5.2)
KVANTOV'\
70
vyjadruje
pravdepodobnost
ru umistenych
korelacni
zpozdenych
v bodech
funkce je pomerne
snadne
rator v Glauberove-Sudarshanove
I
II
souCinu normalne
Obecnejsi
usporadanych
jsou
koincidenci
s polohovymi
TEORIE
KOHERENCE
1£-absorpcnich
ZOBECNEN'\
detekto-
informaci
rl,r2 ... rn. Tyto kvantove
vektory
vypocist,
pokud je znam statisticky
reprezentaci,
nebof jde 0 stredni
II
+ n)-teho
hodnoty
nesymetricke,
prostoru
normalne
usporadane
korelacni
funkcc
[lliJ
vztahem
5.4
I
G(m+n)(rI, tt, r2, t2, ... , rm, tm; rm+I, tm+I,""
= (EH(rl'
xJ)EH(r2'
t2) ... EH(rn"
·E(+)(rm+], tm+I)"
Mereny
mohou
byt pomoci
uziti nelinearnich
Vsechny
zaklade
optickych
uvadene
znalosti
. E(+)(rm+n,
slozitejsich
rm+ntm+n)
statistickeho
funkce
= V(rl,
(5.3)
zalozenych
na vy-
~
5.5
mohou
operatoru
byt teoreticky
(s vyhodou
tl, r2, t2,""
G(m+n)(r],
tm+n)).
metod
vypocteny
Polim,
v Glauberove-Sudarsha-
tl)V(r2,
ktera
funkce druheho
radu,
souradnice
ctyr-
faktorizaci.
stavu ma vsechny
tj. zapsatelna
ve
=
rm, tm; rm+l, tm+I, ... , rm+n, tm+n)
t2)'"
V(rm,
tm)V*(rm+l,
nejsou ve stavu
tm+I)'"
V* (rm+n, tm+n).
radu pro pole idealniho
termodynamicke
(5.6)
rovnovahy,
jednomodoprisluseji
vyjadfitelne
funkce vyssich radu obsahujf
funkci druheho
0 statistickych
radu. Korelacni
vlastnostech
na zaklade
ko-
mych korelacnich
+G(2)(rl'
= G(2)(rI,
5.2
a plati:
G(4)(r], t], r2, t2; r2, t2, r], tJ)
= G(2)(r],
tl; r], t])G(2)(r2'
t]; rl, tl)G(2)(r2'
·(1 + j-p\rI,
5.2
funkce
v souCin) nazyvame
zna-
pole.
Ukazte, ze pro rovnovazne zareni (zareni ve stavu termodynamicke
rovnovahy) je korelacni funkce ctvrteho radu vyjadfitelna
na zaklade znalosti
korelacni
[lli]
je komplexni
(rozklad
relacnf funkce vyssich radu, ktere nejsou obecne
dalsi informace
5.1
=
Vyjadrete korelacni funkci ctvrteho
veho laseru. Je take faktorizovatelna?
na
nove reprezentaci).
~
radu.
pro pole, ktere se nachazi v (cistem)
ve tvaru soucinu G(4)(XI, X2; x3, X4)
kde V(x)
Tuto vlastnost
funkci druheho
Obecne je mozne ukazat, ze pole v koherentnirn
korelacni funkce libovolne vysokeho fadu faktorizovatelne,
tm)·
detekcnich
= (r, t).
x
v korelacni
tvaru:
=
jevu vyssich radu.
korelacni
nez tu, ktera je jiz obsazena
\l(XI)V(X2)V*(X3)V*(X4)'
operatoru.
rtidu, definovane
71
KOIlERENCE
~
Korelacnf funkci ctvrteho radu
5.3 koherentnim
stavu je mozne vyjadfit
ope-
II
(m
TEORlE
r2,
tt; r2, t2)G(2) (r2' t2; r], tJ) +
t2; r2, t2)
V klasicke optice je povazovano
(5.4)
jsou dobre
t2; r2, t2) .
pomoci
relacni funkce (m
korelacnich
+ 1£)-teho
7)1\
ce druhilw
(5.5)
Z toho take vyplyva,
rovnovahy,
nepfinaseji
funkci druheho
radu pro
ze v polich,
mereni
Tn
=J. 1£
radu a kazda nesymetricka
funkci vyssich
jehoz
hodnoty
Jak
termodynamicke
radu zadnou
interferencni
-
vyplynulo,
obrazcu je rnodul kornplexniho
I (2)
G (x!,
.
x2)1
I'
[G(2)(XI, Xl)G(2)(X2,
X2)]'-
se pohybuji
bylo ukazano
v intervalu
v (4.38),
stupne
ve kterem
ze meritkoheren-
-----------
(5.7)
(0,1).
je modul
druheho radu roven jedne prave tehdy,
fa ktorizovatel na.
dalsi
to pole (zareni),
Z predchoziho
fddu
I (2)( X],X2 )1_-
ko-
za koherentni
interference.
I
je rovna nule.
ktera jsou ve stavu
korelacnich
pozorovatelne
kem kontrastu
Obecneji (primym vypoctem) je mozne ukazat, ze pro rovnovazne zareni kazda symetricka
korelacni funkce libovolne vysokeho radu 21£ muze byt
vyjadrena
Reid a stupeii koherence
komplexniho
kdyz je korelacni
stupne
koherence
funkce druheho
radu
.-
KVANTOVA TEORlE KOHERENCE
72
Jestlize
ho zareni,
se klasicka
optika
bylo postacujid
umoziluji
stanovit
i omezeni
korelacni
0 statistickych
informace
omezovala
detektoru
funkci druheho
Objev laseru stimuloval
- stupeil
hodnotit
koherence
korelacni
rovnovazmfho
na energeticke,
optickenebot
radu (ve ktere je obsazena
tyto
uplna
vlastnostech).
rozvoj teorie koherence
v optice proto, ze v jeho poli Ize pozorovat
obrazcu
na zdroje
(druheho
maximalni
a novych metod
kontrast
mereni
Neklasicke merici metody
radu) je roven jedne, je tedy treba dale
- definice komplcxniho
Nabizi se zobecneni
normalne
stupne koherencc (m+n)-
usporadane
korelacni
funkce
(m
+ n)-
6.1 Fotopulsni statistika
teho radu
I
I (m+n)(,. Xl: X2 ...
Xm, Xm+l
Ic(m+n)(X],
==
[G(2) (x!,
o
stupni
Zavadi
koherence
se definice
m-teho
pak muzeme
radu zapsat
Faktorizace
tl,
Xm; Xm+l ...
X2) ...
merid technika,
Xm+n)1
C(2)(xm+n,
fotoelektronu,
na vyhodnocovani
photocounting)
statistickych
je standardni
vlastnosti
elektronu
1·
uvolnenych
Xm+n)j2
mluvit v ramci zvoleneho
radu (m
z fotokatody
v dusledku
+ n),
fotoelektrickeho
jevu.
F
--
v n-tem radu, jestlize jsou vsechny korelacni funkce
S n je
=:~::S]
mozne korelacni funkci
ve tvaru:
r2, t2,
implikuje,
Tj. pro kazde m
...
, rm, tm)
Obr. 6.1: Schema
= V(r!,
t!)V(r2'
ze modul komplexniho
stupne
t2)'"
V*(rm,
koherence
tm).
je roven jed-
Pro urcitost
koherentni
stay
representuje
koherentni
zarlzeni
Na vystupu
pole
5.6 v libovolne
odpovidaji
fotonasobice
jednotlivym
neni fotoelektronu
nahodna.
EI
pro fotopulsni
-
z predstavy,
statistiku
elektronum
je umerna
zareni
v kolmem
4 bylo ukazano,
integralu
smeru
z fotokatody.
charakteru
ze pravdepodobnost
intenzity
zareni
(energii
impulsy,
ktere
Okamzik
uvol-
interakce,
prechodu
(tedy pravdepodobnost
s plo-
(viz Obr. 6.1).
kratke proudove
uvolilovanym
ke kvantovemu
stavu do excitovaneho
je fotonasobic
zedetektorem
je mozne pozorovat
je, vzhledem
V kapitole
ze zakladniho
lektronu)
vychazime
S, na niz dopada
chou fotokatody
Ve smyslu teto definice
vysokem radu.
~
(5.9)
ne.
~
zalozena
hidu koherence:
n faktorizovatelne.
c(m\r!,
X2
Fotopulsni statistika (statistika
(5.8)
Xm+n ) -_
:Cl)C(2)(X2,
Pole je kohercntni
az do radu
"
interferencnich
funkce vyssich radu.
teho Mdu jako normovane
.
Kapitola 6
veliCina
atomu
uvolnerii fotoe-
dopadle
na detektor
.-
KVANTOVA
74
v uvazovanem
casovem
za predpokladu
ve fotodetekcnim
ve dane
intervalu
stacionarity
Pri zvolene
T).
signalu,
pak tate
S a vYSce
fotokatody
konfiguraci
rovnajici
MERicf
75
METODY
a
\/
energii zareni
p(n)~I
valcem 0 podsta-
vymezenym
CT
NEKLASICKE
KOHERENCE
experimentu
energie odpovida
objernu pred fotonasobicem
plochou
'rEORIE
se draze,
kterou
t,1,
\~,
2I
urazi
t
svetlo za cas T.
,,
I
I
\
J
Pocet n uvolnenych
Zakladni
charakteristikou·nahodne
definovana
renim.
fotoelektron-u v intervalu
podobnost
todetekcnim)
prave
n
objemu
fotodetekcni
ucinnosti
fotonu.
hod nota
rovnajici
bude zjistena
pravde-
fotodetekcnim
objemu
mereni energie v kvantovacim
a Glauberovy-Sudarshanovy
distribucni
opakovanym
J
I
I
Iii
6.1
p(n, r) muze byt experimentalne
funkce
merenim
histogram.
vyhodnocujeme
Pri dostatecne
aproximovat
6.2
/
(fo-
Obr. 6.2: Fotopulsni
funkce je dana
zavislost
pocty
n
zjistena
uvolnenych
velkem mnozstvi
tak,
elektronu
1 - v poli idealniho
laseru,
statistika
2 - v poli chaotickeho
zdroje
namerenych
ze
a vy-
hodnot
bude
deleni odpovida
obecne
fotonu.
i merenim
vetsi disperse
funkce
mereni
Dokazte.
merenych
byt generovana
v poli idealniho
laseru. Polim chaotickym
moderni
fotonu
statisticke
optiky
nez prislusi koherentnimu
metodami
nelinearni
optiky.
patri pole s mensi dispersi
stavu.
Takova
Byvaji oznacovana
poissonovskd"
statisticke
odpovida
nez je u Poisson ova rozdeleni.
K zajimavostem
p(n, T).
Pro zareni ve stavu termodynamicke
rovnovahy je rozdelovaci
p(n, T) monotonne klesajici, pritom nejpravdepodobnejsim
vysledkem
je nulovy pocet
!lliJ
,,
~n
poctu
[lli]
\
I
me-
se jedne je tato
ze ve zllJinenem
Souvislost
n
\
J
rovn ici (1.137).
Rozdelovaci
histogram
kvantove
rovna pravdepodobnosti,
bude namereno
tvarime
ze zvolena
nahodna.
funkce p(n, r),
veliCiny je jeji distriRucni
jako pravdepodobnost,
Za predpokladu
T je take velicina
1
pole. Tato pole vsak neni mozne
teorie.
popsat
pole mohou
jako
na zaklade
"s'ub-
klasicke
Dopada-li
na fotodetektor
zareni idealniho laseru ma funkce p(n, r)
maximum pro nenulovou hodnotu (n) a disperse rozdelovaci funkce je rovna
teto stredni
Z analyzy
ke vlastnosti
dopada-li
statistiky
pole,
6.2
(n). Vypoctete.
hodnote
fotoelektronu
ktere
na detektor
je tedy mozne
na fotodetektor
pole tepelneho
pusobi.
zdroje
nebo
usuzovat
Napr.:
na statistic-
je mozne
laserove
zareni
rozlisit,
(srovnej
Intenzitni
interfemmetr
vych impulsech
V polich beznych
zdroju,
ostre meritelnou
stav. Tomu odpovida
se kterYmi se setkavame,
velicinou.
Poissonovo
Klasicke
nebyva energie
(po-
"vine" je nejblizsi koherentni
rozdeleni poctu fotoelektronu.
Totez roz-
interferometr
ticky delic
D
pak ubehnou
je zarizeni,
detektoru
nu). Nejjednodussim
Obr. 6.2)
cet fotonu)
Intenzitni interferometrie
ktere
vyhodnocuje
(neboli korelace v okamzicich
intenzitnim
interferometrem
drahy
11
Z puvodniho
a
12
a dopadaji
v proudo-
uvolneni fotoelektro-
je Michelsonuv
(viz. Obr. 6.3). Mereny svazek optickeho
(rozhrani).
korelace
intenzitni
zareni dopada
svazku jsou odvozeny
na op-
dva svazky, ktere
na dva ruzne fotodetektory
(1 a 2).
.-
76
KVANTOVA
TEORlE
KOHERENCE
MtRici
NEKLASICKE
77
METODY
Fl
--- --- - r:::--
.--- --~--v
, , ------'-;;r
, ,
~- - - __
- -
I
uu_
~Il12
t
2. detektor
::
~7
F2
K
t
o
o
Obr. 6.4: Fotopulsni
Obr. 6.3: Michelsonuv
Fl'
F2 - fotonasobice,
intenzitni
Zj, Z2 - zesilovace,
interferometr
K - korelator,
Soucasne
0 -
delic svazku
koincidence
koincidence
Vystup
z kazdeho
cidence
IIII
II
detektoru
nahodne
v sigmllech
fotonasobicu,
depodobnost
detekce
ctvrteho radu
C(4)(C,
I
je reprezentovan
uvolnenym
vyhodnocujeme
detektorech,
impulsu
(viz. Obr. 6.4),
Vyhodnocujeme-li
vlastne
ktera je umerna
koin-
podmfnenou
prav-
korelacni
funkci
koincidence
jako jev shlukovaci
vyrazne
C, t
Provadime-li
jevuje,
+ T).E(+\r,
vysledky
pozorovan
t)).
mereni znazornuje
jevu spociva
r
Ve zvlastnim
pripade
=
(l1-12)/cje
zpozdeni
od delice svazku.
stacionarniho
chaotickeho
mezi signaly dane
v nekterych
+ T; C, t + T, c, t) =
- C(2)(r t·, c ,t)C(2)(r , t + T'r t + T)
+C(2)(r, t; r, t + T)C(2)(r, t + T; r, t)
= C(2)(r, t; c, t)C(2)(r, t + T; r, t + T)(l + 1'Y(2)(r, r,
C(4)(r, t, c, t
-
)
ramci kvantove
antishlukovanf
zareni plati
= 00).
Zpozdeni,
teorie
nez
Tento jev
pri nemz
doM
Tk (viz
zvlastnich
jev se nepro-
kflvka 2 na Obr. 6.5. Duvod pro absenci
zareni neplati vztah (6.2).
ilustruje
tzv. antishlukovaci
pripadech
tzv."neklasickYch"
obrazku
v ramci klasickeho
stochastickeho
pole je mozne nalezt zvlastni
pozorovatelne,
zarenf v nelinearnfm
zdroje shlukovaci
v tom, ze pro koherentni
jev, ktery neni vysvetlitelny
kde je poloha delice svazku a T
rozdilem vzdalenostf fotodetektoru
(pro T
effect).
reyno koherencni
bude priblizne
mereni v poli koherentniho
Kflvka 3 na stejnem
(6.1)
t
poklesnou
(bunching
pravdepodobnejsi
Obr. 6.5, kflvka 1).
shlukovaciho
+ T, r, t) =
= (JfH(r, t)JfH(c, t + T)Jf(+)(c,
t,
r, t + T;
v obou
sledem
fotoelektronum.
0) jsou dvakrat
0 velmi velky casovy interval
zpozdene
byva oznacovan
odpovfdajicim
=
(pro T
koincidence
napriklad
jev. Ten byva
poli (tj. jde 0
popisu polf). V
stavy polf, pn kterych
pfl parametricke
generaci
je
optickeho
prostredi.
(6.2)
6.2.1
"
Pocty
T)I\
(6.3)
Browmiv-Twissuv jev
fotoelektronu
v jistem
nl
pevne zvolenem
a n2 uvolnovane
intervalu
z fotokatod
T, jsou veliciny
ruznych
nahodne,
fotonasobicu
nemusejf
vsak
..-
KVANTOVA TEORIE KOHERENCE
78
NEKLASTCKE
MER-lei
79
METODY
~
v<I>
~
~
t
~
'"
"'~
F]
F2
"
~
~~
K
Obr. 6.5: Pravdepodobnost
1 - shlukovad
zpozdenych
koincidend
jev, 2 - HB-T jev, 3 - antishlukovad
jev
Obr. 6.6: Hvezdny
FI' F2 - fotonasobice,
byt statisticky
fotoelektronu
nezavisle.
Je mozne
.0..n] a ~n2
mohou
ukazat,
ze korelace
ve fluktuadch
Ll17.]Lln2
>=<
17.]
><
n2
>
T
(6.4 )
[:mJ
Absence koincidend
6.3 radu pro idealni laser.
6.2.2
=
kde zkracene
tuadch
oznacova
1
{t+T )t{t+T (C (4) (r],t,r2,t
I
TC(2)(2))t
11 C22
- C(2)d2))
11
22 dtdt" ,
znaceni
je nenulova,
cW
bylo pouzito
dopada-li
pro C(2)(r],
na detektory
".
,r2,t
t;
chaoticke
"
koherentniho
r], t).
jako statisticky
koherentnich
je korelace
Hvezdny
Korelace ve fluk-
zarenL Tento jev byva
zdroje (kde jsou vsechny, kqrelacni
nezavisle
zdroju
ve fluktuadch
zdroje fotoelektronu.
nepozoruje.
nulova,
fotonasobice
plyne primo z vypoctu
korelacni
funkce
ctvrteho
Hvezdny korelacni interferometr
funkce
korelacni
(intenzitni)
re dovoluje
stanovit
existujidch
teleskopu.
terferometru
zamerenych
se chovaji
Brownuv- T wissuv jev se v poli
interferometr
uhlovy
prumer
Je obdobou
(viz. Dodatek
druheho
1
'.
. ~.,
idroje,
radu na vzdalenosti
','
(viz Obr: 6.6),
nez je uhlove
Michelsonova
stelarniho
se ze dvou teleskopickych
ohnisdch
jsou umisteny
kte-
rozliseni
in-
zrcadel,
fotonasobi-
p;'ol;)ustemi (filtry). Meri se korel~ce poctu
v zavislosti na vzdaleno~ti zrcadel. Predpo•••••
vyjadri se zavislost
teleskopu.
yen stejne jako u Michelsonova
je zarizeni
mensich
klasickeho
v iejichz
ce s uzkopasmo~y~'i
'optick9m'i:
fotoelektronu
v obou detekt~rech
klada se nekoherE:.ltnost
hvezd,
A). Sklada
na danou hvezdu,
•
faktorizovatelne)
K - korelator
(6.5)
,r],t)-I
n ja ko Brownuv- Twissuv.
V poli idealniho
Z2 - zesilovace,
poctu
kde
(T)
interferometr
byt vyjadreny
(T)
<
Z],
korelacni
modulu
Uhlovy rozmer
stelarniho
interferometru
stupne
koherence
hvezdy je,pa,~ stano(viz. Dodatek
ft.).
-
KVANTOVA
80
Prednosti
korelacniho
korelovat
signaly
tek kilometru.
II
malych
(intenzitniho)
v bodech
Takove
interferometru
blizkych
mereni
je moznost
i vzdalenych
umoziluje
TEORIE
od sebe
pak stanovit
KOHERENCE
detekovat
a
az nekolik desi-
uhlove prumery
i velmi
hvezd.
Dodatek A
6.2.3
Korelacni spektroskopie
na Wieneravu-Chincinavu
S ohledem
interferometr
vyuzit pro stanoveni
ho) zdroje.
se nazyva
Metoda
ur~ovani
vetu muze byt Michelsonuv
sirky spektra
pro hodnoceni
velmi uzkych
zareni chaotickeho
sirek spektralnich
karelacni spektroskapii.
(tepelne-
car z interferencnich
Je vyznamnou
spektralnich
intenzitni
diagnostickou
mereni
technikou
car (ale jen chaotickych
polf).
Intenzitni korelace vyssich tadiI. Korelacni spektroskopie
vyssich tad iI
Obecne
je mozne
ukazat,
ze korelace
z fotokatod
N ruznych
v poctu
nl, n2, ... nN,
fotoelektronu
detektoru
v jednotkovych
Klasicka
teorie
nistickych)
6.2.4
uvolilovanych
Zaklady klasicke teorie koherence
casovych
in-
koherence
elektromagnetickych
(resp. teorie sumu),
reticke radiotechniky
A.I
je zalozena
ktera
na popisu
polf, a je jisto~
byla vypracovana
fluktuujicich
extrapolaci
(nedetermi-
tearie .~ignalu,
a je stale rozvijena
v ramci teo-
a elektrotechniky.
Sigmil
tervalech
Signalem
SJS2TN
... SN it{t+T "'Jt (t+T
<nJn2···nN>=
C(2N)(rJ, tJ, r2, t2,""
rN, tNi rN, tN,···
(6.6)
r2, t2, rJ, tl) dtJdt2'"
dtN,
chovani
vice nezavisle
mohou
jsou dany korelacnimi
Ve zvlastnim
je, odrazeji
i tate
funkci druheho
stanoveni
funkcemi
pi'ipade,
mereni korelacnich
radu.
nejen
Napi'iklad,
absolutni
radu. ale i pro stanoveni
tektorove
duvodu
metody,
2N -teho
radu.
dopada
ti'idetektorova
Gamova
komplexniho
stupne
jeho faze, coz dale umoziluje,
tuto
detailniho
metodu
tvaru
pouZit
spektralni
metoda
zdro-
korelacnich
se uziva pro
koherence
druheho
na rozdil od dvoudeki'ivky. Ze zrejmych
pro stanoveni
tvaru
spektralni
Matematickou
promennYch.
byt diskretni
Diskretni
zareni chaotickeho
funkci vyssich radu vlastnosti
hodnoty
stanoveni
neni ale mozne
cary laseru.
sudeho
kdy na detektory
se rozumi fyzikalni velicina,
objektu.
gitalni signal (nap!'. pocet
funkce spojitych
elektrickeho
Jak
nezavisle
promenne,
(poradove
promennych
nezavisle
promenne
fotoelektronu
(zavisle
cislo detektoru
predstavuji
ho analogoveho
tak funkcni
nebo
hodnoty,
statistickych
vlastnosti
byva oznacovana
promenna)
muze byt jedna
zaznamenany
promenna)).
Spojite
souradnice).
muze byt signal
bud' deterrninistic-
pri opakujicich
nebo nahodnyrn (stochastickym).
signalu
jako di-
analagave signaly (napr. intenzita
kyrn, tj. presne urcenym a presne se opakujicim
pickych podminkach,
0 stavu nebo
je funkce jedne
- nezavisle
pole jako funkce casu nebo prostorove
Z hlediska
informace
signalu
nebo spojite.
funkce diskretni
ruznymi detektory
ktera obsahuje
reprezentaci
slozka vektoru
se makrosko-
Pi'ikladem
intenzity
nahodne-
elektrickeho
-
82
KVANTOVA
pole optickeho
zarenf vybojky v jistem
vyplyva z vlastnostf
(atomu.
iontu,
spontannf
Fyzikalnim
jejf nahodny
emise mnoha nezavislych
ZAKI,ADY
elementarnich
velicinam
duvodu
zaricu
obecne
t
realne promenne
x
proudu,
realne funkce
jednoduchosti
kornplexni analyticky
souradnic
(popr.
= (r, t))
to'/J01Ltransforrnaci
nezavisle
vice realnych
promennYch.
signalu
x(r)(t)
realneho
P oznacuje
hodnotu
singularnim
bode).
K uvedene
pfr-
jako komplexni
promennych,
napr. prostorocasovych
funkce
signalu,
dokazat,
signal X(t)
platf
Nahodny
=
i:
k tomu,
cehoz vyplyva,
casti spektra
x(r)(v),
(A.4)
definovany
komplexni
analyticky
sdruzeny
spojita
proud v zavislosti
na prostorovych
funkce spojite
nezavisle
na case, nebo intenzita
souradnidch).
Nahodny
I
promenne
(na-
elektrickeho
pole
proces je tedy ekviva-
nahodneho analogoveho signalu.
f
(A.2)
t2
analyticky
hodnoty
(symetricke
sdruzeneho
transformaci.
Fourierovu
limity v
signalu je mozne
Predpokladame,
transformaci
realneho
~IX:JIX'
ze
signalu
(A.3)
je realne,
je obsazena
jen
(X(t1))
ve smyslu vlastni
informace,
signal integrad
(X(t2))
musi platit
ktera je obsazena
i v kladne frekvencni
x(r)*(v)
= x(r)( -v).
v zaporne
frekvencni
casti spektra
x(r)(v).
W2-
Wt-Obr.
ze x(r)(t)
sdruzeny
(A.l).
proces je nahodna
cast je dana Hilber-
x(r) (v)e-21Tivt dv.
ze stejna
analyticky
cast spektra
ze pro takto
tj.
x(r)(t)
komplexnf
x(r)(v)e-21Tivt dv.
priklad, elektricky
lentem
dt. ,
oznacuje
83
KOIIEIlENCE
Nahodny proces
A.lo2
tj.:
uvahy 0 Fourierove
funkce x(r)(v)
= 210"'"
Je mozne
v zavislosti
schematu:
signalu a imaginarnf
definici komplexniho
prostrednictvim
komplexnf
frekvencni
(A. 1)
x(r)(t')
t' _ t
integralu
Z
signal X(t),
podle nasledujfdho
= ~p
{"-00
7r
X(i)(t)
Vzhledem
realnych
TEORIE
poli, magneticke-
se vsak k realnemu
sdruzeny
Jeho realna cast je rovna realnemu
x(r)(t),
elektrickemu
= x(r)(t) + X(i)(t).
X(t)
pres kladnou
X(t)
(elektrickemu
matematicke
KLASICKE
Je tedy mozne definovat
charakter
molekul).
mu poli) odpovidajf
dospet
KOIIBRENCE
Komplexni analyticky sdruzeny signal
A.lo1
razuje
mfste prostoru;
TEORIE
A.l:
Wi -
Realizace
hustota
~(t) a stredni
pravdepodobnosti
hodnota
(X(t))
funkcnf
hodnoty
nahodneho
procesu
x v case ti(
i = 1,2)
X(t)
Z
Uvazujeme
funkci jedne
0 nahodnem
spojite
nezavisle
procesu X (t) (pro jednod uchost jednorozmerne
promenne
- casu).
Pfr opakovanych
merenich
84
KVANTovA
teto
veliciny neni vysledek
su X(t)
odpovida
spojitou
funkd
jedna
realizace
nezavisle
makroskopickych
kazdem
podminek
WI (tI, XI),
hodnoty
v jednotkovem
mereni
nahodneho
se tato
funkce
presne neopakuje,
case tl je pravdepodobnost
v okoli funkcni
vyskytu
funkcni
za stejnych
v. obr.A.1.
V
hustotou
funkcni
XI. Tzn., ze v
dXI
v intervalu
rovna
hodnoty
na sobe nezavisle.
druhiho
odpovidajid
Jejich
ruznym
vzajemny
W2( t I, XI, t2, X2),
f6du
tl lezi funkcni
ze v okamziku
intervalu
v okoli funkcni
intervalu
v okolf funkcni
Obecne
vztah
ktera
hodnota
hodnoty
XI a soucasne
V teorie
elektromagnetickeho
elektrickeho
Namisto
Statisticke
v okamziku
proces
vlastnosti
popsan
po.sloupnosti
tn, X,,) pro n
toho,
X v jednotkovem
Wn
= 1,2, ....
je mozne
hustot
11Im(tl, XI, t2, )(2, ... , tm, Xm)
= J wn(tj, XI, t2, X2"'"
proces
vzhledem
stacion6rni,
k POsUVU pocatku
XI, t2,
integrad
urcit vsechny
hodnot
prostorocasove
popisu je
"\12(x) , ... , Vn(x))
x
= (r, t).
ne-
S
Uloha casove
funkd
= v(r)(r,
komplexnich
signalu.
analyticky
t)
procesu do statistickych
signalu
distribucnich
analytickeho
X(t),
analyticky
funkd
Napr.,
=
resp.v(x)
sdruzenych
nad komplexnimi
pro jednorozmerny
signal V(r, t) jde 0 posloup-
11In(rj, tl, VI, r2, t2, V2, ... , rn, tn, Vn) vice komplex-
VI, "\12,...
komplexni
popis
posloupnosti
= v(r)(r,
resp.v(r)(x)
i nahodnost
sdruzenych
promenny
V.,' z nichz kazda
analyticky
t)
X2, ... , tn, ...
\:",,)
tn, X,,) dXm+1
jsou vsechny
odecitani
•••
dXn·
distribucni
funkce
casu, tj. pro libovolne
=
Wn invato plati:
(A.6)
v prostorocasovych
hodnot,
jejichz
hodnot
VJ;) a imaginarni
predstavuje
pravdepodobnost,
signal
+ iV(i)(r,
t),
(A.7)
plexne sdruzeny
nahodny
proces
WI
a W2 zavisi jen na rozdilu casovYch okamziku
t2 - tl)'
neni funkd
t,
(t2 - tl),
tj.
bodech
casti v jednotkovych
distribucnich
nahodny
funkci
hodnota
(x(r>(t))
realneho
sdruzeneho
= J w\r)(t,
nahodneho
nahodneho
XI))(I
dXI
v okoli funkcnich
v okoli
V(r,
v,~i).
proces (resp. kommentelnymi.
napr. sti'edni
procesu X(')(t),
signalu
funkcnich
intervalech
nejsou velicinami
funkcionaly,
m ::; n
intervalech
Wn, ktere nahodny
proces) definuji,
Fit je zpravidla mozne jen nektere
korelacni funkce.
nota analyticky
(rn" tm) pro vsechna
realne casti lezi v jednotkovych
Posloupnosti
Stfedni
= 11Is2(XI: X2,
(VI(x),
procesu x(r)(t),
analyticky
stochasticky
funkcnich
V(r, t)
Zobecneni
indukce).
souradnicemi
Stejne se promita
rovinami
nabyva
(A.S)
- to, Xl, t2 - to, X2, ... , tn - to, X,,).
= 'Wsl(XI)
uplny
realneho
znat
ze nahodny
Cleny teto posloupnosti
=
Z toho take plyne, ze pro stacionarni
1112
vlastnosti
nich promennych
pravdepodob-
vektor
slozi(vektor
zachovana.
signalu je potrebne
komplexni
t2 v jednotkovem
vystupuje
zdanlive
promennych
< n:
funkce Wm pro m
tj.11I1
X(t)
komplexnich
Pro
byvaji signaly
vicedimensionalnich
prostorocasovymi
t zustava
promenne
pole a v optice
funkce
pole, vektor magneticke
zavisle promennymi
V(r, t).
pmvdepodobnosti
pravdepodobnost
procesu
KOIIERENCE
se 0 vektorove
tejsi, jedna
nost distribucnich
Ze znalosti
na sobe nezavisle.
= Wn(tl
tl a t2 vsak nejsou
hustota
predstavuje
nejsou
Wn(tl,
udava
nahodneho
nosti w,,(tl, Xj, t2, X2,""
riantni
souradnidm
X2.
je nahodny
Je-li nahodny
Komplexni analyticky sdruzeny nahodny proces
se popisuji analogicky.
WI(tl,XddXI
Funkcni
A.1.3
vsak prime.
pmvdCpo-
vyskytu
hodnoty
hodnoty
KLASICKf;
intenzity
hod nota X povazovana
v case tl pravdepodobnost
intervalu
proce-
TEORIE
85
ZAKLADY
ktera je obecne
merenich
a muze bYt charakterizovana
udavajid
KOIIERENCE
nahodneho
procesu,
t. V opakovanych
bode tl muze byt funkcni
promennou
dobnosti
((t)
promenne
pevne zvolenem
za ruihodnou
vzdy stejnY. Kazdemu
TEORIE
hodnotu
resp. stredni
t) jsou definovane
Menebo
hodtakto:
(A.B)
-
86
KVANTOVA
TEORIE
KOIIER~;NCE
ZAKLADY
KLASfCKf;
resp.
TEOlliE
V*(rrn+l,
(V(r,
=j
t))
wl(r, t, VI)VI d 2 VI,
kde pro plosny element
dVl(r) dV?) Stredni
(r, t).
resp.
hodnoty
nezaviseji
hodnoty
Jen v pnpade
na casove
jsou obecne
stacionarnich
na prostorove
ni hodnoty
soucinu
souradnici
funkcnich
hodnot
Pro komplexni
=j
nahodneho
realneho
nezaviseji
homogennich
stredni
procesu
Normalizovane
t2,
sdruzeny
VI, r2,
tl,
korelacni
'Y (m+n) (trl,
procesu
korelacni
nahodneho
stfed-
pro obecne
funkce
ruzne
druhCho Mdu
procesu
x(r)(t)
je
xJr))Xfr) XJr) dxir)dx2
signal, bYva definovana
(A.IO)
(r).
komplexni
kore-
(X(t1)X*(t2))
t2)
j W2(t},
(A.ll)
,
Xj,
t2, X2)X1X2
d2Xld2 X2.
a tedy
i korelacni
promenne
(t2 -
Obecna
funkce
nahodneho procesu zaviseji distribucni
druheho
radu jen na rozdilu
byvaji oznacovany
jako komplexni
hodnot
nabyva
Vzajemna
(m+n)-teho
tl)V(r2, t2)'"
faduje
(A.14)
funkce W2s
souradnic
r(2)(rm+n,
r~~nahodnych
Napr., vzajemna
Je-
(0,1).
komplexni
procesu je definovana
ruv
(2) ( rl,tl,r2,t2)
I
tm+n, rrn+n, trn+n))"
stupnc kohcrcnce (m+n)-teho.radu.
v intervalu
hodnota
korelacni
soucinu
funkce druheho
naradu
takto:
=
(V(rltdV*(r2,
=
j102uv(rl,
t2)),
(A. IS)
tl, VI; r2, t2, V2)V1 V2*d2Vld2VdA.19)
Gaussovsky nahodny proces
nahodny
proces je zvlastni
funkce prvniho radu Wl(X1)
rozdelenim
1
= v27!'B
rn= e-
1Ol(X1)
definovana
stacionarni
neusporadanosti,
vztahem:
(X2) ~. (X)2.
gaussovskeho
wn(tl,
(A.I5)
=
..IY" t2, X2"'"
1
procesu
'R
X(t)
predsta-
Distribucni
je dana Gaussovym
(A.20)
,
funkce
tn, XII)
A
= (X)
stfedni
hodnotou
n-teho
radu je definovana
=
a dispersi B2
=
vztahem
(A.2I)
e-t~;=lE;=,Cpq(Xp-A)(Xq-A)
27!'~2Dl~
proces,
(X,-:)'
dvema parametry
Distribucni
nahodny
tj. maximalni'entropii.
nezavisle
=
V(rrn, tm)
rrn+n, tm+lI)
korelacni funkce je statisticka'stfedni
procesu.
specifikovanym
r(rn+n)( rl, t 1, r2, t 2, .. ·, rm+n, t m)
= (V(rl,
(A.13)
tl).
korelacni funkce
t2, r2, t2)'"
jich modul
A.1.4
(A.I7)
r(rn+n) (rl, t}, r2, t2,""
Gaussovsky
= (V(rltl)V*(r2' t2)),
= j W2(rl, tl, VI, r2, t2, V2 )VI V2* d 2 V1d2 V2.
stacionarniho
(A.I6)
funkce
vujid proces s maximalni
V pripade
rm+n, tm+n, Vm+n)
(A.I2)
resp.
r(2)(rl, t}, r2, t2)
t2, V2,···,
}, r2, t 2, ... rm+n, t)m+n -
lacni funkce vztahem:
r(2)(tl,
trn+n))
(r(2)(r}, tl, rJ, tl)r(2)(r2,
hodnych
102(tl, xir),
analyticky
procesu
t,
wn(rl,
V*(rm+n,
VI V2 ... v'n V';;+I ... V';;+II d2VI d2V2 ... d2Vrn+1I
=
promennych
trn+I)'"
_-
Napnklad,
=
t2)
nezavisle
d2Vt
r.
[(2)(r)(tl, t2)
(x(r)(tl)x(r)(t2))
definovana vztahem:
r(2)(r)(tl,
nahodnych
oznaceni
autoko1-elacni funkce) jsou statisticke
r, t.
t, resp.
promenne
funkcemi
t. V pripade prostorove
promenne
Korelacni funkce (presneji
nezavisle
VI rovine bylo zavedeno
v komplexni
=j
(A.9)
87
KOIiEIlENCE
'
88
KVANTOVA
kde Cpq jsou prvky inverzni matice
(X}2 a D je determinant
Z uvedeneho
(X) a korelacni
je vzhledem
=
(X(tp)X(tq))
funkce
k predpokladane
stacionarite
nezavisle
nahodny
ka atd.)
nahodnym
v ramci klasicke optiky,
relacnich
funkd
vysokeho
Vzhledem
doplnujid
zarovka,
vlastnosti
Pocatecni
byla proto venovana
teorie
vyhradne
frekvence
ko-
pole a magneticke
nezavisle
dirnenzionalni
nahodny proces se Ctyfdimensionalni
V kazdem
bodu
analyticky
sdruzeny
distribucnfch
vektorem
prostoru
funkd,
je mozne
definovat
signal a jeho statisticke
tak jak bylo naznaceno
popis je vsak pomerne
vlastnosti
zareni je mozne zpra-
v(rJ(r,
t) je nenulove
tzn., ze spektrum
jen v malem
analyticky
sdruzeny
okoli stredni
signal V(r, t)
(A.22)
v)e-21Tillt dv,
L: v(rJ(/.l)e-21Ti/lt
(A.23)
d/.l,
(A.25)
analyze
ko-
kde nahodna
amplituda
na komplexni
amplituda
A(r,
A(r,
ctyr-
t)
faze <r>(r,t) stejne
= A(r, t)ci<l>(r,tJ
jsou pomalu
jako
nahod-
promenenymi
TClilny opticky
t)
= A(r,
signal
ve skalarnim
kvazimonochromatickem
psat ve tvaru:
(A.26)
t) cos(<r>(r, t) - 27riit).
A.2.1 Intenzita zareni
Intenzita
komplexni
ani realny
posloupnosti
odstavci.
t) a nahodna
casu.
v(rJ(r,
intenzity
elektrickeho
opticky
primo mereny
tzv. skalarni ap-
energie,
di za nejaky
-
pole (ani magneticke
signal
dostupnymi
Na pi'itomnost
Tento
mnozstvi
zjednoduseni,
optickeho
t)e-21Tiilt,
slozitY.
V rade pi'ipadu je vsak mozne pi'ijmout
frekvendm
A(r,
sesti funkd
popsat
signalem
koherence,
nezavisle promennou.
v predchazejidm
jednodi-
komplexnim
(A.24)
popisu jde 0 sesti-
sestidimenzionalni
pole reprezentovat
t)ei<l>(r,tJe-21Tiilt,
zavislosti
V ramci stochastickeho
optickemu
A(r,
priblizeni je pak mozne
indukce, tj. obecne
promenne.
intenzi-
mohou byt
A.2 Popis optickeho Zaren!
dimenzionalni
polarizovanemu
promennym
Pi'islusny komplexni
2c-21Tiilt
vyboj-
funkce vyssich radu vzbudil
prostorocasovou
napr.linearne
a elektromagneticke
21000 v(rJ(r,
Prislusny
elektrickeho
signalu
ii (resp.-ii).
V(r, t)
funkcemi
pole je pine popsano
0 vektoru
napi'iklad
bude mit tvar:
laseru.
Elektromagneticke
pole,
ze z,Heni je kvazimonochromatickC,
v(rJ(r, v) realneho
funkd
nepi'inaseji
slozce
prostorocasove
k velmi vysokym
informace.
zareni (Slunce,
procesem.
kore-
rcidu. Ko-
korelacnich
proces gaussovsky,
zadne
prostoru)
nahodnym
vidla predpokladat,
vlastnostmi
jen 0 jedne
V(r, t).
procesu
znalosti
89
KOIIERENCE
pole (coz odpovidci
mensionalnim
- tq) (ktera
rFJ(tp
TEORIE
signalu ve volnem
hod nota
t).
radu. Zajem 0 korelacni
druheho
vynalez
gaussovskeho
pole, jejfchz statisticke
rozvijena
teprve
=
klasicke zdroje optickeho
gaussovskym
stredni
nahodneho
funkci libovolne
radu nez druheho
budi elektromagneticka
modelovany
KLASICKE
roximaci a uvazovat
distribucni
r(2J(tp, tq)
promenne
radu. Jinymi slovy, je-li nahodny
Pozn.: Vsechny
ze vsechny
kdyz je znama
radu jsou tak urcovany
relacni funkce vyssich
= (X(tp)X(tq)}-
proces je tedy mozne na zaklade
lacni funkce 2. radu vyjcidi'it distribucni
relacni funkce vyssich
ZAKLADY
ty elektrickeho
funkd je patrne,
procesu jsou definovany,
Pro gaussovsky
KOIIERENCE
Bpq.
funkd jen rozdilu souradnic
druheho
matici Bpq
ke korelacni
tvaru distribucnich
funkce gaussovskeho
TEORIE
v(rJ(r,
t))
indukce)
nejsou
technickymi
optickeho
velicinami,
ktere
pole se zpravidla
ktere elektromagneticke
pole predava
s periodou
byt
prostredky.
elektromagnetickeho
(ve srovnani
zareni (tedy
by mohly
kmitu)
dlouhy
usuzuje
z mereni
hmotnemu
prostre-
casovy
interval.
Tzn.,
--
90
KVANTovA
ze meritelnou
ta energie
velicinou
pfipadajid
je napr. plosna hustota
na jednotku
casu),
zafiveho
casteji
TEORIE KOHERENCE
toku (plosna
oznacovana
jako
husto-
a vysledna
(I(r,
1 Jo{T (V(r)(r,
EocT
t))2
1
dt,
~EocIA(r,
(A.28)
1
-EOcW(r,
2
~EocV(r,
2
Je-li V(r, t) nahodny
Prostrednictvim
(A.29)
2
t)1 ,
(A.3D)
~EOC
(It(r,
analyticky
signal, je i I(r, t) nahodny
deju (experimentu)
(I(r,
(V(r,
t)},
muze
ktera je umerna
t)V*(r,
proces.
byt stanovena
drive zavedene
(A.32)
a (I2(r, t)}
(A.33)
Pro
(magneticke
indukce)
kych indukd)
linearity
je rovna souctu
od jednotlivych
rovnic popisujidch
ve volnem
prostoru.
prostoru,
ktery rika, ze vysledna
Obecne
zdroju.
intenzit
Princip
prostorocasove
buzenem
intenzita
pole
poll (magneticvyplyva
primo z
zmeny elektromagnetickeho
se vsak nescitaji
intenzity
pole
zu:reni jednotlivych
zdroju.
A.2.3
v ramci skalarni
aproximace
0 poli V(r, t), vzniklem
su-
= V1(r,
t)
+ V2(r,
t)
(A.35)
+ V2*(r, tm,
zareni
t)} je vzajemna
ze vysledna
funkce
(A.36)
(A.37)
od jednotlivych
korelacni
funkce
zdroju,
nahodnych
stredni
hodnota
od jednotlivych
•
intenzity
je rovna
zdroju jen tehdy,
kdyz je
r~~nulova.
Popis Youngova
interferencniho
ve vyslednem
vyrazu (4.24)
experimentu,
ktery je uveden v odst. 4.3, je
analogickY.
Jediny rozdil spoCiva v tom, ze
vystupuje
analyticky
t - tt; r2, t - t2)
kde V(rt,
t) a V(r2'
namisto
G(2) klasicka
sdruzeny
signal V(r, t):
=
t - tJ)V*(r2'
(V(rl,
dajid jedne
A.2.4
Jestlize
sloke
t) jsou analyticky
intenzity
(A.34)
korelacni
funkce
(A.38)
t - t2)},
komplexni
pole v mistech
signaly,
st~rbin
rt
a
odpovi-
r2)'
Korelacni funkce v procesu sifeni optickeho sigmilu
posouvame
vzorkujid
kontrast
s vyuzitfm
sterbiny
pozorovanych
reni zareni volnym prostorem
napr.
sdruzene
elektrickeho
ne je mozne tento jev vysvetlit
dvou poll "Vl(r, t) a V'2(r, t), plat!.:
V(r, t)
t)
Younguv interferencni experiment
zdroje, vzrusta
Uvazuje~e-li
perpozid
t)](Vt(r,
zd roji ,
elektrickeho
elektrickych
superpozice
ruznymi
zareni
intenzity
hod not intenzit
korelacni
r(2)(rl,
pole ve volnem
superpozice,
jsou
je patrne,
stfednkh
vzajemna
Superpozice poli
elektromagneticke
intenzity
Vt(r, t) a V2(r, t).
r(2) pro komplexni
plati zakon
+ V2(r,
v ramci klasicke teorie koherence
-EoCr
(2) (r, t, r, t ) .
21
A.2.2
((Vt(r, t)
sta-
korelacni
t)} ,
t)}
Z uvedeneho
(A.31)
t)
~EOC
hodnota
r, t) = (Vt(r, t)V2*(r,
t;
procesu
souctu
komplexni
hod nota
t)}
kde
d~(r,
t)V*(r,
opakovanych
stfedni
(I(r,
tW,
=
t)}
stredni
= (VI(r, t)Vj*(r, t)} + (V2(r,t)V2*(r, t)} +
+ (Vt(r, t)V2*(i, t)} + (V2(r, t)vt(r, t)},
= (It(r, t)} + (I2(r, t)} + 2~EOcRe{rW(r,;;
r, t)},
2
(A.27)
2EocA2(r, t),
tisticka
funkci:
statisticka
intenzita
zareni I(r, t):
I(r, t)
91
ZAKLADY KLASICKE TEORIE KOHERENCE
Greenovych
dochazi
v Youngove
interferencnkh
obrazcu.
od
si-
koherence.
Obecfunkce.
ktere
odrazeji
stupne
smerem
V procesu
resenim vlnovYch rovnic pro korelacni
funkd,
ke zvysovani
experimentu
Huygensuv
princip,
tj.
93
92
KVANTOVA
TEORIE
KOIIERENCE
ZAKLADY
KI,ASICKE
TEORIE
slozen ze spoeetne
KOHERENCE
mnoha
malych
Pole pozorujeme
v mefid
hovymi vektory
jsou signaly
rovine z
zdroje.
u
zareni v poli nekoherentniho
u - plosny nekoherentni
pozorovatele,
skuteenost,
A.2.5
v tomto
od m-teho
V(RJ,
t)
V(R2,
t)
nachazejidch
a s uspechem
vyuzivanym
elementu
veta vyjadruje
zdrojem
se rozumi svitid
zdroje s polohovymi
funkce je nulova,
tl;
r2, t2)
Pro jednoduchost
ten v rovine z
predpokladame
=
Zo je rovina
~m
druheho
tJ,
bodech
s polo-
ze Y,,,j(t),
V"dt)
Vysledne
signaly
bodech.
od vsech elementarnich
ploch rovinneho
(A.40)
t),
(A.41 )
t).
radu v rovine pozorovatele
=
R2, t2)
(V(RI'
(A.42)
tl)V*(R2,'t2))
= ~m (V';;(RI, tl)Vm(R2, t2)) +
+ ~m~n#m (V';;(RI, tl)V,.(R2, t2))
na hranici
Vzhledem
k tomu,
klasicke teorie
ko-
ze je zdroj nekoherentni.
je druhy elen v posledni
dale predpokladame,
veta.
koherence
od nekoherentniho
teleso,
vektory
druheho
plosneho
pro jehoz libovolne
rl
a
r2
t2))
ze zdroj je kvazimonochromaticky,
Vm(RJ,t)
=
Am(t_Rmj)e21Tiii(t-¥)
c
Rml'
Vm(R2, t)
=
A",(t
(A.44)
ze nekoherentni
souradnic.
(A.45)
_ Rm2)
c e21Tiv(t-¥)
Rm2
radu opzdroje.
dva ruz-
kde Am(t -~)
a Am(t -~)
a korelaeni funkce
jsou pomalu
promenne
komplexni
plati, ze vzajemna
8(rj - rJ.
(A.39)
zdroj je rovinny a je umisPredpokladame,
rovnosti
plati:
veta
stupen
(A.43)
jako superpozice
ze zdroj je
amplitudy
(A.46)
r(2)(RI,t,R2,t)
0 v okoll poeatku
Vm(RJ,
~~ Vm(R2,
funkce
r(2)(RI,
nebo-li:
= (V(rJ, tjW*(rj,
ruznych
m).
zdroje
na vlnoplose
vysledkem
zdroje v techto
pfispevku
koherence
smeru je tzv. Van Cittertova-Zernikeova
zareni ve velmi velke vzdalenosti
r(2)(rl'
=
=
roven nule. Pokud
ne body na povrchu
korelaeni
zarieu,
Van Cittertova-Zernikeova
Nekoherentnim
z
bez zdroju muze byt vyjadreno
bodovych
Van Cittertova-Zernikeova
tickeho
= 0,
1,2 - body v nichz se vysetruje
ze pole v oblasti
Nejznamejsim
herence
zdroj v rovine z
Zo ve dvou
indexem
tj.:
Korelaeni
Obr. A.2: Koherence
=
identifikujeme
RI a R2 (viz. Obr. A.2) Predpokladame,
jsou pak dany superpozid
poll od jednotlivych
oblasti.
ploch (ktere
y
y
=~(A;,,(t-
=
21Tiv(~)
R~l)Am(t-
R2)e
~)
kde Rml
=
elementu
od bodu 1, resp. 2. Prechodem
IRI - rml,
resp. R,n2
=
RmIRm2'
IR2 - rml
od seitani
jsou
vzdalenosti
pres diskretni
m-teho
elementy
-
94
KVANTovA
zdroje
k integraci
vztah
pres plochu
zdroje
dostavame
TEORIE
95
KOHERENCE
ZAKLADY
KLASICKE
TEORIE
KOJlERENCE
Van Cittertuv-Zernikeuv
v obvyklE.im tvaru
.
r(2)(Ri,t,
~
kde bylo pfijato
rovine zdroje
stredni
.I
, •
R51, resp.RS2
pro vzdalenost
obecneho
1, resp. 2, v rovine pozorovatele,
vlnovy vektor a I(S)
pro intenzitu
11121
(A.47)
R 51 R 52 dS,
(1
o~naceni
od bodu
eik(Rsl-Rs2)
1I(S)
=
R2, t)
dale k
zareni na povrchu
=
bodu
I
v
2:':; pro
nekoherentniho
zdroje:
(Am(t)A;'.(t))
= /(S)
(A.48)
dS,
Obr. A.3: Kontrast
kde dS je ploch a rn-tehoelementu.
zaficiho
[lli]
A.I
disku v rovine z
Integrace
probiha
= o.
~
rovinnou
IRI!, IR21 a pozorovani
disku ve vzdalenosti
v Michelsonove
(k - stredni
Z uvedeneho vyrazu A.47 odvod'te Van Cittertuv-Zernikeuv
zvlastni pfipad, kdy se predpoklada,
ze zdroj je homogenne
polomeru.p
a
pres celou plochu
se uskutecnuje
teorem pro
svitici disk 0
v rovine rovnobezne
s
Zoo
stelarni
obrazcu
rovinny
souradnic,
vysilajici
kruh 0 polomeru
kvazimonochromaticke
herence 1'12. vyhodnocovany
(Xl, Y1,Zo) a
d
= V((X1
112
-
v paralelni
(X2, Y2, Zo), vzdalenych
X2)2
2.11(v)
= --e
v
+
i,p
(Yi -
Y2)2),
12.1vi(v)
v pocatku
zareni, je komplexni
rovine v bodech
kartezskych
stupen
s polohovymi
I'
ko-
vektory
vyjadren
souradnic
p.~o·maxima
Napfiklad,
namerime-li,
sterbin
Zo -
vztahem:
kde VI
(A.49)
prvniho
druhu,
V
d
=
je zafizeni,
na vzdalenosti
ma tvar, vyjadreny
=~
a
1j;
= k2~o'
Modul
(A.50)
kdp/Zo
hvezdy,
mefi kontrast
vzorkovacich
sterbin
v (A.50). Na zaklade
a minima je mozne vyhodnotit
ze interferencni
ktere
obrazce
in-
d (viz.
porovnani
uhlovy prumer
hvezdy.
poprve vymizi pro vzdalenost
do, je
L-~
od sebe 0
,
kde .h(v) je Besselova funkce
komplexniho stupne koherence
I~ni=
p se stfedem
interferometr
v zavislosti
Obr. A.4). Tato, zavislost
Je-li zdroj
nf! parametru
viz. Obr. A.3.
terferencnich
Michelsomiv stel<irni interferometr
interferometru
obrazcu
vlnovy vektor, d - vzdalenost zrcadel, p - polomer
Zo - vzdalenost hvezdy od interferometru)
Michelsonuv
A.2.6
hvezdnem
interferencnich
(A.51)
kdo'
= 3.83
je souradnice
prvni nuly Besselovy
funkce J1·
96
KVANTOVA
TEORIE
KOIIERENCE
Doporucena literatura
I
I
'V
'V
1
I
>[
d
\<
3
[1] L.Mandel, EWolf: COHERENCE PROPERTIES OF OPTICAL FIELDS,
Reviews of Modern Physics, vol. 37 (1965) 231-287.
4
I
2
¥'
~-~IA-~
-1-1\'/
~7
[2] L.Mandel. EWolf: OPTICAL COHERENCE AND QUANTUM OPTICS,
New York, Cambridge University Press 1995.
•
[3] J.Penna:
KOGERENTNOSt
SVETA, Moskava, Mir 1974.
[4] J.Penna: COHERENCE OF LIGHT, Dordrecht, Reidel Publishing Company 1985.
[5] M.vrbova a kol.: lASERY A MODERN! OPTIKA - Oborova encyklopedie, Praha, Prometheus 1994.
Obr. A.4: Schema Michelsonova hvezdneho interferometru
1.2 - vzorkovad zrcadla; 3,4 - pevna zrcadla; 5,6 - sterbiny ve stinitku,
7 - plosny detektor hustoty vykonu (fotograficka deska), 8 - spojna cocka
,
98
KVANTOVA TEORIE KOHERENCE
Seznam obrazku
2.1
Schema
interagujicich
kvantovych
2.2
Obory integrace
3.1
Model tlumeneho
3.2
CasovY vyvoj kvazidistribucnf
3.3
Model laseru
4.1
Younguv
interferencni
4.2
Schema
Michelsonova
6.1
Schema
zafizeni
6.2
Fotopulsnf
6.3
Michelsonuv
6.4
Fotopulsni
v rovine
tl.
m6du
...
33
soustav
37
t2
43
48
funkce
49
.
koincidence
Pravdepodobnost
6.6
Hvezdny
A.l
Realizace
korelacni
73
statistiku
75
.
intenzitnf
6.5
64
interferometru
pro fotopulsni
statistika
60
experiment.
interferometr
77
.....
zpozdenych
78
koincidenci
interferometr
~(t) a stredni
76
..
hodnota
79
.
(X(t))
nahodneho
X(t)
procesu
83
A.2
Koherence
zareni v poli nekoherentniho
zdroje
A.3
A.4
Kontrasty interferencnich
obrazcu
Schema Michelsonova
hvezdneho interferometru
.
92
95
96
101
RE.TSTRIK
operator
redukovany,
pole
koherentnf,
interference,
baze, 34
elektronika,
65
8
koherence,
dip6lu,
fotodetekce,
fotoefekt,
56
casova,
laser, 8
matice
autokorelacni,
charakteristicka,
kvantova,
nerovnost
objem fotodetekcnf,
radu, 7
operator
ctvrteho
korelacnf,
kvantova,
kvazidistribucnf,
radu, 69
58,61
22
korelacnf,
2n-teho
radu, 69
hamiltonian
hustota
energie,
index m6dovy,
56
spektralnf,
12
66
vakuovy,
vhstnf,
12
stupen
35
hustoty
stavu,
kreacni,
12
35
laseru, vlastnf,
49
system
uplny, 17
50
sfrka spektralni
Liouvillova,
teorie
52
klasicka,
43
kvantova,
43
Poissonovo,
redukovany,
potencialu,
rad koherence,
8
Fourierova,
integralnf,
26
Zemanianova,
23
74
usporadanf,
16
7
transformace
34, 50
poissonovske,
statisticky,
cary, 66
koherence
29, 31
Heisenbergova,
13
20
56
72
rozdeleni
statisticky,
14
19
koherence,
35
Fokkerova-Planckova,
74
20
fotonu,
vektoroveho
22, 40
Heisenbergova-Langevinova,
13
13
rovnlce
12, 15
energie,
posuvu,
interakce,
45
fotodetekcnf,
anihilacni,
poctu
13
18
27
59
korelacni,
hamiltonian,
Heisenbergova,
vlastni,
smfSeny, 20
Schrodingerova,
55
reservoir,
26
operatoru
zakladni,
interakcnf,
20
model detektoru,
65
charakteristicka,
druheho
11
15, 17, 19, 21, 71,
74
Glauberova-Sudarshanova,
h ustoty,
80
73
14,19
koherentni,
reprezentace
65
55
korelacni,
71
popis kvantovY,
relace komutacni,
7
Fockuv,
61
posuv frekvence,
77
62
19
pole koherentni,
Diracova,
55
funkce
funkce
64
jev shlukovacf,
9
kvantova,
energie
75
korelacni,
fotopulsni,
cisty, 20
castecne,
mnohom6dove,
Michelsonuv,
45
stav
62
nekoherentnf,
intenzitnf,
5!>
doba koherencni,
7
interferometr
14, 21
opticka,
spektroskopie
35
koherentnf,
detekce
tlumenf,
statistika
Rejstfik
Fockova,
soucinitel
statisticky
17
27
antinormalnf,
normalnf,
72
24
24, 59
50
sfla Langevinova,
12
-
45
veta
I
KVANTOVA
102
multinomialnf, 30
Wienerova-Chincinova,
65
viditel n05t
interferend, 61
interferencnfch obrazcu, 63
zarenf koherentnf, 71
"
TEORlE
KOIIERENCE