Niels Bohr 1885–1962 Bohrův model atomu Max Born 1882–1970

Niels Bohr
1885–1962
Erwin Schrödinger
1887–1961
Bohrův
model atomu
Schrödingerova
vlnová rovnice
Louis de Broglie
1892–1987
Max Born
1882–1970
duální (vlnově-částicový)
charakter elementárních
částic
Bornova
(pravděpodobnostní)
interpretace vlnové
funkce
Werner Heisenberg
1901–1976
Heisenbergovy relace
neurčitosti
kvantová mechanika
Wolfgang Pauli
1900–1958
Pauliho princip
výlučnosti
Historické modely atomu
Rutherfordův planetární model atomu: Elektrony obíhají kolem jádra jako planety kolem
Slunce.
+
Rutherfordův model je v rozporu s klasickou fyzikou: Při zrychleném pohybu (s
dostředivým zrychlením) by elektron musel vyzařovat energii ve formě elektromagnetických
vln, ztrácet rychlost a nakonec splynout s jádrem.
Bohrův model atomu: Elektrony vyzařují elektromagnetické vlny jen při přechodech mezi
jednotlivými oběžnými drahami (orbity)
Elektron: částice nebo vlna?
Elektrony a další elementární částice mají jak částicové (srážky, pružný a nepružný rozptyl),
tak vlnové vlastnosti (interference, difrakce)
rovnice postupné vlny
  x t 
Y ( x, t )  Y0 cos 2π  
   T 
Difrakční obrazec z transmisního
elektronového mikroskopu
Y
Y0

De Broglieova vlnová délka

h
p
p=mv
h6,626068.10-34 Js
hybnost částice
Planckova konstanta
x
Vlnové vlastnosti částic
Zatímco polohu částice lze určit přesně...
x
Heisenbergův princip neurčitosti:
...vlna je delokalizovaná v prostoru
px  h / 4
x standardní odchylka měření polohy částice
p standardní odchylka měření hybnosti částice
1x
Nelze tedy současně určit přesně polohu a
hybnost částice.
1 > 2 , 2x > 1x
2x
Klasická mechanika – trajektorie r(t)=[x(t), y(t), z(t)]
2. Newtonův pohybový zákon:
dv (t )
d  dr (t ) 
d 2r (t )
F (r )  ma (t )  m
m 
m
dt
dt  dt 
dt 2
m
r
v
a
F
hmotnost částice
polohový vektor (souřadnice částice)
rychlost částice
zrychlení částice
síla působící na částici
Newtonovy pohybové rovnice
d 2 x(t )
V ( x, y, z )
m

F


x
dt 2
x
d 2 y (t )
V ( x, y, z )
m

F


y
dt 2
y
d 2 z (t )
V ( x, y, z )
m

F


z
dt 2
z
Jsou-li známy poloha r(t0) a rychlost částice v(t0) v
určitém čase t0, a potenciální energie V(r) jako
funkce souřadnic, je možné vypočítat polohu a
rychlost částice v kterémkoli čase
Kvantová mechanika – Schrödingerova vlnová funkce y(x,y,z)
jednorozměrný pohyb – vztah pro celkovou energii:
1 2
m2v 2
p2
E  T  V ( x)  mv  V ( x) 
 V ( x) 
 V ( x)
2
2m
2m
dosazení za p z de Broglieova vztahu a úprava
h2
1 2m
E  2  V ( x) 
 2 E  V ( x)
2
2 m

h
rovnice jednorozměrné vlny
m
v
p

h
E
V
T
x
hmotnost částice
rychlost částice
hybnost částice
vlnová délka částice
Planckova konstanta
celková energie částice
potenciální energie částice
kinetická energie částice
souřadnice
d 2y ( x)
4π 2
4π 2
 2π 
 2π 
y ( x)  y 0 cos x  
  2 cos x    2 y ( x)
2
dx


 
 
d 2y ( x) 8π 2 m
 2 E  V ( x)y ( x)  0
dx 2
h
Schrödingerova vlnová rovnice pro pohyb ve třech rozměrech
 2y ( x, y, z )  2y ( x, y, z )  2y ( x, y, z ) 8π 2 m


 2 E  V ( x, y, z )y ( x, y, z )  0
2
2
2
x
y
z
h
Interpretace Schrödingerovy vlnové rovnice a funkce
SVR nahrazuje Newtonovy pohybové rovnice v kvantové mechanice, SVF nahrazuje
trajektorii částice a je v ní obsažena veškerá informace o stavu systému
Přesnou polohu částice neznáme, kvadrát amplitudy vlnové funkce udává hustotu
pravděpodobnosti výskytu částice v poloze o souřadnicích x,y,z
  
   y ( x, y , z )
   
2
  
dxdydz 
  y * ( x, y, z)y ( x, y, z)dxdydz  1
   
každému stavu částice popsanému vlnovou funkcí přísluší určitá vlastní hodnota energie E
– různé stavy o stejné hodnotě energie se označují jako degenerované. Energie částice se
tedy obecně nemůže měnit spojitě – odtud termín kvantový stav, kvantová mechanika
Schrödingerova kočka
Je-li registrován rozpad radioaktivního atomu, rozbije zařízení baňku s jedem a ten usmrtí kočku.
Podle kvantové teorie je stav kočky v čase t = t1/2 popsán vlnovou funkcí

1
1
y živá  y mrtvá
2
2
Schrödingerovy vlnové funkce pro atom vodíku – atomové orbitaly
Potenciální energie elektronu
v elektrickém poli protonu
V (r )  
z
Sférické souřadnice r,J,j
e2
4 0 r
y n,l ,ml (r ,J ,j )  Rn,l (r )Yl ,ml (J ,j )
r
Rn,l(r)
radiální část vlnové funkce
Yl,ml(J,j) angulární část vlnové funkce
(sférická harmonická funkce)
z = r cosJ
J
0
y
j
x = r sinJ cosj
y = r sinJ sinj
x
kvantová čísla
n = 1, 2, 3....
l = 0, 1, 2, 3, 4..., n1
s, p, d, f, g,...
ml= l, l+1, ..., l1, l
hlavní kvantové číslo
vedlejší kvantové číslo
3p
magnetické kvantové číslo
n
l
Orbitaly 1s, 2s a 2px,y,z pro atom vodíku
3/ 2
1  1   r / a0
1 11
  e
 
y 1s (r ) 
y 2s (r ) 
π  a0 
4 2π  a0 
1 11
 
y 2 p z ( r ,J , j ) 
4 2π  a0 
3/ 2
1 11
 
4 2π  a0 
3/ 2
1 11
 
y 2 p y ( r ,J , j ) 
4 2π  a0 
3/ 2
y 2 p x ( r ,J , j ) 
2px
3/ 2
r  r / 2 a0
e
cosJ
a0
r  r / 2 a0
e
sin J cos j
a0
r  r / 2 a0
e
sin J sin j
a0
2py

r 
 2  e  r / 2 a0
a0 

100
80
)
2pz
y(r) (nm
2s
-3/2
1s
60
40
20
0
4 02 h 2
a0 
 0,0529nm
πme 2
2s
0.0
1s
0.1
0.2
r / nm
0.3
0.4
Hladiny energie elektronu v atomu vodíku
E
E = 0
5
4
2 3
n=1
e 4  1 
En   2 2  
8 0 h  n 

mp me
 me
me  mp
2
Orbitální magnetický moment elektronu
Pohybu („rotaci“) elektronu v orbitalu přísluší určitý moment hybnosti, a tím i
magnetický moment, jehož velikost a směr závisí na l a ml
Orbitální magnetický moment: velikost vektoru a jeho průmět do osy z
eh
eh
μ
l (l  1)
z  
ml
4πme
4πme
Orbitaly s (l=0):
μ 0
Orbitaly p (l=1):
μ
1
0
+1
z =
2eh
4πme
eh
4 πme
0

eh
4 πme
Vícelektronové atomy
Potenciální energie atomu s protonovým číslem Z
(r1, r2,..., rZ – souřadnice elektronů)
Ze 2 Z 1
e2
1
V (r1 , r2 ,...,rZ )  



4π 0 i 1 ri 4 0 i  j ri  r j
interakce mezi elektrony
interakce elektronjádro
Malá potíž: Schrödingerovu vlnovou rovnici s tímto potenciálem nelze řešit
Místo SVR pro Z elektronů se řeší jednoelektronové vlnové rovnice pro každý
elektron zvlášť, přičemž každý elektron se pohybuje ve zprůměrovaném poli
ostatních elektronů. Tomu odpovídá potenciál
Vi (r )  
2
2
y j (r j )
2
Ze
e

d 3r


4π 0 r 4 0 j i V r  r j
Hladiny orbitální energie ve víceelektronových atomech
vodík
E
víceelektronový atom
4p
3d
4s
4p
4d
4f
4s
3p
3s
3p
3d
3s
2p
2s
2p
2s
Energie elektronů roste s rostoucím n+l, je-li součet n a l stejný, má vyšší energii elektron v
orbitalu s vyšším n. V atomu v základním stavu jsou orbitaly jsou obsazovány v pořadí podle
rostoucí energie (výstavbový princip)
1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 4s < 3d < 4p < 5s < 4d < 5p < 6s < 4f < 5d < 6p < 7s < 5f < 6d < 7p
Výjimky: Hladiny vnitřních elektronů u nejtěžších atomů – důsledek relativistických efektů
Spinový magnetický moment elektronu
Spinová kvantová čísla: s=1/2, s = ±s

1
2
Spinový magnetický moment: velikost vektoru a jeho
průmět do osy z
μ

1
2
geh
3geh
s ( s  1) 
4πme
8πme
z  
geh
geh
s 
4 πme
8πme
g-faktor elektronu: g = 2,002
Spinorbital
y (r,s )  j (r) (s )
j(r) prostorový orbital
(s) spinová funkce
(1) (1/2)=0, (1/2)=1
(2) (1/2)=1, (1/2)=0
Elektronové konfigurace atomů
Pauliho princip výlučnosti: V atomu nemohou existovat 2 elektrony, které by měly
všechna čtyři kvantová čísla shodná, t.j. v jednom orbitalu mohou být nejvýše dva
elektrony s opačným spinem.
Hundovo pravidlo maximální multiplicity: Konfiguraci s vyšší spinovou multiplicitou
přísluší nižší energie, proto jsou v každé podslupce elektrony rozmístěny tak, aby bylo v
co největším počtu orbitalů po jednom elektronu s paralelními spiny.
Li
2s

2p
N
2s

2p



Be
2s

2p
O
2s

2p
 

B
2s

2p

F
2s

2p
  
C
2s

2p

Ne
2s

2p
  

Zpola a zcela zaplněné podslupky mají obzvlášť stabilní konfiguraci (=s nízkou energií), což
se projeví při malém energetickém rozdílu mezi podslupkami:
Cr
4s

3d

Cu
4s

3d
    




místo 4s

3d

místo 4s

3d
    



Periodická tabulka prvků