orlojkombi14 - Alena Šolcová

Jan Šindel a matematika
ukrytá v pražském orloji
HMI
Alena Šolcová
10. května 2014
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
2
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
3
Znamení
zvířetníkových
souhvězdí:
Beran
Býk
Blíženci
Rak
Lev
Panna
Váhy
Štír
Střelec
Kozoroh
Vodnář
Ryby
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
zodiak = zvěrokruh = zvířetník
4
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
5
Jaké časy lze určit na orloji?
Staročeský (italský) čas
Rozděluje den a a noc na 24 stejných hodin,
Počítá se od západu Slunce. Je vyznačen na vnějším
černém okruží gotickými indicko-arabskými číslicemi.
Německý čas
Den a noc rozděluje na 12 a 12 hodin.
Je vyznačen římskými číslicemi. Zavedl jej na orloj Jan
Táborský z Klokotské Hory (2. pol. 16. st.)
Babylónský čas
Světlý den je rozdělen na 12 hodin, v létě jsou delší,
v zimě kratší. Je vyznačen indicko-arabskými číslicemi
a hodinovými čarami v modrém poli astrolábu.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
6
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
7
Autor prvního popisu orloje
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
8
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
9
Vyobrazení orloje
•
•
•
•
•
•
1570
1730-1740
1793
1794
počátek 20. století
květen 1945
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
10
Jan Táborský z Klokotské Hory
Zpráva o orloji pražském, 1570
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
11
1730 - 1740
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
12
1793
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
13
1794
Výška radniční věže
je 59 m = 100 loktů.
Začala se stavět
ze vlády Jana
Lucemburského.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v
Praze
14
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
15
Květen 1945
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
16
Jan Ondřejův, zvaný Šindel
•
•
•
•
Narozen kolem r. 1375 v Hradci Králové.
1395 bakalář na Pražské univerzitě
1399 mistr
1406 správce farní školy sv. Mikuláše
Do roku 1410 vytvořil model orloje!
• 1410 rektor pražské univerzity
(24. 4. – 31. 10.) a doktor lékařství
• lékař Václava IV.
• Koncem r. 1412 zahájil přednášky
o Ptolemaiově Almagestu.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
17
Stoicheia - Základy
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
18
Další osudy Jana Šindela
• 17. září 1418 kanovník svatovítské kapituly,
nepřestal působit na univerzitě,
i když v roce 1419 vypukla skutečná revoluce Olomouc?
• 1430 odchod do Norimberku, stal se městským
fyzikem
• lékař krále a císaře Zikmunda
• 1432 jej Zikmund v Sienně přijal do svých služeb
• Zikmundova korunovace 3. května 1433
• Doprovázel Šindel Zikmunda do Říma nebo se
vrátil do Norimberku?
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
19
Poslední léta Šindelova života
• Návrat Zikmunda otevřel Šindelovi brány Prahy.
• V září 1437 byl vysvěcen na jáhna. Knězem
patrně vysvěcen nikdy nebyl.
• 1441 děkanem kapituly vyšehradské
• 1445 kontakty
• 1448 Účastnil se promoce tří bakalářů.
• Zůstal na univerzitě i za Jiříka z Poděbrad.
• Úřad zastává, pokud je známo, do 15. ledna
1455.
• 1457 zřídila kapitula z jeho odkazu zádušní mši
na jeho památku. Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
10. 5. 2014
20
Původ Jana Šindela
• hypotéza Josefa Smolíka
Nudvojovice, Nudvovice - dnes součást Turnova
románský farní kostel sv. Jana Křtitele
patronem kostela v r. 1395 – Václav Šindel
z Nudvojovic
• hypotéza F. M. Bartoše
Šindel pochází z Prahy, z dosti rozvětvené rodiny, otec
Ondřej není v žádném místopisu uveden, HK uvádí
teprve 1608 Bacháček, citováno Balbínem
• hypotéza Eduarda Wintera
Šindelovi předkové jsou Němci –měšťané
10. 5. 2014
v Hradci Králové Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
21
Dílo Jana Šindela
• Matematické traktáty
1. Lectio Almagesti iuxta expositionem Thebitis
2. Lectura super Librium de numeris
3. De notitia triangulorum cum notis Iohannis
Schindel
• Astronomická díla
tabulky a popisy užívaných symbolů
• Ostatní
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
22
De numeris, 1437
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
23
Z Almagestu
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
24
Z Almagestu
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
25
Almagest
s komentářem Thabita
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
26
Thabit ibn Qurra - komentátor
Eukleida
• 826 (836) v Harranu,
Mezopotámie, dnes
Turecko
• † 901 v Bagdadu, Irák,
syrský matematik,
astronom, lékař a filosof
• latinizovaný tvar jeho
jména: Thebit
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
27
Thabitovo dílo
• Matematické vzdělání získal
u Muhammada bin Musa bin Shakira, Dům
moudrosti, Bagdad.
• Thabit ibn Qurra do arabštiny přeložil řecká
díla Archimedova, Apollonia
z Pergy do arabštiny a přeložil a komentoval
Eukleidovy Základy
(19 rukopisů), Ptolemaiův Almagest a
Geographii, lékařské práce Galena
Pergamonu aAlena
Hippokrata
z Kosu.
10. 5. 2014
Šolcová, FIT ČVUT v Praze
28
Thabitovo dílo
• Thabitův překlad Archimedova díla
O pravidelném sedmiúhelníku byl objeven
v 20. stol.
• Zobecnění Pythagorovy věty
• Věnoval se axiomu rovnoběžek
• Studoval magické čtverce
• Thabitova (Thebitova) čísla
• Věta o spřátelených číslech
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
29
Thabit a Pythagorova věta
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
30
Eukleidův důkaz
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
31
Thabit a Pythagorova věta II
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
32
Thabit ibn Qurra
10. 5. 2014
• Thabit zobecnil Pythagorovu
větu (podobně jako Pappos).
• Zabýval se také trisekcí úhlu.
• Byl srovnáván s Pappem
(v roli komentátora).
• Zakladatel překladatelské školy
(Eukleides, Archimedes,
Ptolemaios, Eutocius).
• Diofantos
a Pappos byli Arabům
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
do 10. století neznámí.
33
Thabitova čísla
Předpokládejme, že
• (1) h = 3 . 2n - 1 Thabitovo číslo
• (2) t = 3 . 2n - 1 - 1
• (3) s = 9 . 22n - 1 - 1
jsou prvočísla.
Potom (2nht, 2n s) tvoří dvojici spřátelených
čísel, např. 220, 284.
Fermat (1636), Descartes (1638), zobecnil
Euler.
h = 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431,
51539607551 - Thabitova prvočísla.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
34
Astronomická díla Jana Šindela
Tabulky a popisy užívaných přístrojů
1. Tabulae (Alphonsinae) de mediis et veris
motibus planetarum super meridianum
Pragensem reductae – vznik před r. 1428
2. Canones pro eclipsibus Solis et Lune per
instrumentum adhoc factum inveniendis M.
Johanniss Schindel
3. Compositio chilindri
4. De quantitate trium solidorum
(Teige, Mnichov)
10. 5. 2014
Alena Šolcová,
FIT ČVUT v Praze
a další
35
Ostatní práce
Botanika
komentovaný herbář podle Macera Florida
„Mgri Syndel compilatum … Finitum a. D. 1424 IIa
feria post Gregorii“ (13. 3. 1424) – k latinským
názvům připojeny německé a české názvy
Medicina
2 spisy
Teologie
Opus de decem praeceptis flagellum nuncupatum,
Bamberg – výklad desatera
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
36
Korespondence
• Obrana Johna Wykleffa - 5. 4. 1410.
• Dopis rektora pražské univerzity papeži
Janu XXIII. - 12. 12. 1410.
• Výměna korespondence s Aenášem
Sylviem – 20.11. 1445.
Poznámky:
• Jeho Tabulae astronomicae užíval Tycho
Brahe, podle Tadeáše Hájka.
Planetka č. 3847 a dalekohled v HK nese
jméno Šindel.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
37
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
38
Rafie a ojnice
měsíčního
ukazatele
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
39
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
40
Věta 1 (Ptolemaios).
Kružnice ležící na kulové ploše a
neprocházející středem promítání
se při stereografické projekci
zobrazí opět na kružnici.
Věta 2. Kružnice ležící na kulové ploše a
procházející středem promítání se při
stereografické projekci zobrazí na přímku.
A. Šolcová, M. Křížek: Pražský orloj a stereografická projekce,
Matematika-fyzika-informatika, 2007.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
41
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
42
Pohled z prvního
do druhého patra
ukazuje spojení
všech strojů orloje.
Hlavní hodinový
stroj (tzv. jicí stroj)
reguluje:
a. ukazovací stroj
b. diferenční stroj
c. bicí stroj
d. zvonicí stroj
e.
kalendářní stroj
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
43
Bicí stroj byl původně
ve věži. Později byl
přemístěn do 2. patra
a začleněn do hlavního
hodinového stroje.
To umožnilo vzájemnou
synchronizaci obou
strojů.
Informace o počtu
úderů zvonu se
do věže předává
pomocí drátěných
táhel.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
44
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
45
Ukazovací stroj:
První kolo má 365 zubů a otočí
ekliptikou jednou za hvězdný den,
tj. za 23 hodin 56 minut a 4 sekundy.
Druhé kolo, které má 366 zubů, otočí
sluneční ukazatel jednou za střední
sluneční den, tj. za 24 hodin.
Třetí kolo má 379 zubů a rotuje se
středním zdánlivým pohybem Měsíce.
Měsíční ukazatel se opozdí za
slunečním o 379-366=13 zubů za den.
To odpovídá úhlu
(1-366/379).360° = 12,348°,
10. 5. 2014
což poměrně dobře vystihuje
skutečnost, že se Měsíc každý den
posune na ekliptice o 12,191 stupňů
směrem na východ. Poloha Měsíce se
Alena Šolcová, FIT ČVUT
v Praze
musí
několikrát ročně upravovat. 46
Věta 4 (Gauss). Nechť p je liché prvočíslo. Pak lze
pomocí kružítka a pravítka zkonstruovat pravidelný
n
2
p-úhelník právě tehdy, když p = 2 +1.
M. Křížek, F. Luca, L. Somer: 17 Lectures on Fermat numbers, Springer,
New York, 2001.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
47
Bicí stroj obsahuje velké oběžné
kolu s 24 zářezy na vnějším
obvodu, jejichž vzdálenosti
postupně narůstají. To umožňuje
periodické opakování 1-24 úderů
zvonu během každého dne.
Součástí bicího stroje je i pomocné
kolečko, jehož obvod je rozdělen 6
zářezy na segmenty o délkách
oblouku
1, 2, 3, 4, 3, 2 .
10. 5. 2014
Tato čísla se periodicky opakují po
každé otočce a jejich součet je
s = 15 .
Na začátku každé hodiny se
zvedne západka, obě kola se
začnou otáčet a zvon odbíjí
příslušný počet hodin. Kola se
zastaví, jakmile západka zapadne
současně do zářezů na obou
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
48
kolech.
1
2
3
...
24
300
je počet úderů zvonu každý den, a protože toto
číslo je dělitelné s = 15, bude pomocné kolečko
na počátku každého dne vždy ve stejné poloze.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
49
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
50
Dále ukážeme, jak trojúhelníková čísla
Tk
1
2
...
k
souvisí s bicím strojem pražského orloje.
Pro periodickou posloupnost
s
a1
a2
...
ap
a i položme
,
kde p je délka periody.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
51
T7
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
52
Definice. Periodická posloupnost {ai } se nazývá
šindelovská, jestliže pro každé přirozené číslo k
existuje přirozené číslo n tak, že
Tk
a1
a2
... a n
Věta 3. Periodická posloupnost je pro liché číslo s
šindelovská, jestliže pro každé k<(s+1)/2 existuje
přirozené číslo n tak, že
Tk
10. 5. 2014
a1
a2
... a n
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
53
Věta 4. Periodická posloupnost je pro sudé
číslo s šindelovská, jestliže pro každé k<s
existuje přirozené číslo n tak, že
Tk
a1
a2
... a n
Věta 5. Nerovnost k<(s+1)/2, resp. k<s ve
větě 3, resp. 4 nelze zlepšit.
M. Křížek, L. Somer, A. Šolcová: Jaká matematika se ukrývá v pražském
orloji?, Matematika-fyzika-informatika 16 (2006/ 2007), 129-137.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
54
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
55
Věta 7. Periodická posloupnost a i je
šindelovská právě tehdy, když pro každé a n
n = 1, 2,…, p a každé j = 1, 2,…,
je číslo 8 ( a1 ... a n
j) 1
kvadratické nereziduum modulo s.
Věta 8 (Plútarchos).
Přirozené číslo r je trojúhelníkové
právě tehdy, když 8r + 1 je čtvercem.
M. Křížek, A. Šolcová, L. Somer: What mathematics is hidden behind the astronomical
clock of Prague, Proc. of the IAU XXVI.General Assembly, Cambridge Univ. Press, 2007.
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
56
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
57
s
Primitivní šindelovské posloupnosti
1
1
2
1 1
3
1 2
4
1 1 1 1
5
1 2 2
6
1 2 1 2
7
1 2 3 1
8
1 1 1 1 1 1 1 1
9
1 2 3 3
10
1 2 2 1 2 2
11
1 2 1 2 4 1
12
1 2 1 2 1 2 1 2
13
1 1 1 3 2 2 3
14
1 2 3 1 1 2 3 1
15
1 2 3 4 3 2
16
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
17
1 1 1 1 2 4 1 4 2
18
1 2 3 3 1 2 3 3
19
1 1 1 3 1 2 1 5 2 2
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
20
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
58
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
59
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
60
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
61
Padova
1344
(1434)
62
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
Ulm
1520
10. 5. 2014
63
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
Hampton
Court
1520
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
64
LITERATURA
Z. Horský: Pražský orloj, Panorama, Praha, 1988.
**********************************************************
M. Křížek, A. Šolcová, L. Somer: Construction of
Šindel sequences, CMUC 48 (2007)
V. Rosický: Staroměstský orloj v Praze, nakl. J.
Otto, Praha, 1923.
J. Smolík: Mathematikové v Čechách od založení
university Pražské, Antonín Renn, Praha, 1864.
K. Teige: Doplňky a nové zprávy k dějinám věd
mathematických v Čechách, ČPMF XXII (1893),
244 – 246.
V. Vojtíšek: Radnice staroměstská v Praze,
nakl. A.B. Černý, Praha, 1923.
a další.
10. 5. 2014
65
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
Děkuji za pozornost!
10. 5. 2014
Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
66